1a) KLYSTRON

Klystrons are devices used for amplifying very high-frequency signals. A klystron basically consists of two identical pairs of parallel plates (cavities) separated by a distance \(b\), as shown in the figure.

An electron beam with an initial speed \(v_0\) traverses the entire system, passing through small holes in the plates. The high-frequency voltage to be amplified is applied to both pairs of plates with a certain phase difference (where period \(T\) corresponds to \(2\pi\) phase) between them, producing horizontal, alternating electric fields in the cavities. The electrons entering the input cavity when the electric field is to the right are retarded and vice versa, so that the emerging electrons form bunches at a certain distance. If the output cavity is placed at the bunching point, the electric field in this cavity will absorb power from the beam provided that its phase is appropriately chosen. Let the voltage signal be a square wave with period \(T=1.0\times10^{-9}\ \mathrm{s}\), changing between \(V=\pm0.5\) volts. The initial velocity of the electrons is \(v_0=2.0\times10^6\ \mathrm{m/s}\) and the charge to mass ratio is \(e/m=1.76\times10^{11}\ \mathrm{C/kg}\). The distance \(\alpha\) is so small that the transit time in the cavities can be neglected. Keeping 4 significant figures, calculate;

a) the distance \(b\), where the electrons bunch. Copy your result onto the answer form. [1.5 pts]

b) the necessary phase difference to be provided by the phase shifter. Copy your result onto the answer form. [1.0 pts]

1b) INTERMOLECULAR DISTANCE

Let \(d_L\) and \(d_V\) represent the average distances between molecules of water in the liquid phase and in the vapor phase, respectively. Assume that both phases are at \(100\ ^\circ\mathrm{C}\) and atmospheric pressure, and the vapor behaves like an ideal gas. Using the following data, calculate the ratio \(d_V/d_L\) and copy your result onto the answer form. [2.5 pts]

Density of water in liquid phase: \(\rho_L=1.0\times10^3\ \mathrm{kg/m^3}\),

Molar mass of water: \(M=1.8\times10^{-2}\ \mathrm{kg/mol}\)
Atmospheric pressure: \(P_a=1.0\times10^5\ \mathrm{N/m^2}\)
Gas constant: \(R=8.3\) J/mol. K
Avagadro’s number: \(N_A=6.0\times10^{23}\) /mol

1c) SIMPLE SAWTOOTH SIGNAL GENERATOR

A sawtooth voltage waveform \(V_0\) can be obtained across the capacitor \(C\) in Fig. 1. \(R\) is a variable resistor, \(V_i\) is an ideal battery, and \(SG\) is a spark gap consisting of two electrodes with an adjustable distance between them. When the voltage across the electrodes exceeds the firing voltage \(V_f\), the air between the electrodes breaks down, hence the gap becomes a short circuit and remains so until the voltage across the gap becomes very small.

Figure 1

a) Draw the voltage waveform \(V_0\) versus time \(t\), after the switch is closed. [0.5 pts]

b) What condition must be satisfied in order to have an almost linearly varying sawtooth voltage waveform \(V_0\)? Copy your result onto the answer form. [0.2 pts]

c) Provided that this condition is satisfied, derive a simplified expression for the period \(T\) of the waveform. Copy your result onto the answer form. [0.4 pts]

d) What should you vary( \(R\) and/or \(SG\) ) to change the period only? Copy your result onto the answer form. [0.2 pts]

e) What should you vary ( \(R\) and/or \(SG\) ) to change the amplitude only? Copy your result onto the answer form. [0.2 pts]

f) You are given an additional, adjustable DC voltage supply. Design and draw a new circuit indicating the terminals where you would obtain the voltage waveform \(V_0'\) described in Fig. 2. [1.0 pts]

Figure 2

1d) ATOMIC BEAM

An atomic beam is prepared by heating a collection of atoms to a temperature \(T\) and allowing them to emerge horizontally through a small hole (of atomic dimensions) of diameter \(D\) in one side of the oven. Estimate the diameter of the beam after it has traveled a horizontal length \(L\) along its path. The mass of an atom is \(M\). Copy your result onto the answer form. [2.5 pts]

Official English text of the problem.

a) It is well known that most stars form binary systems. One type of binary system consists of an ordinary star with mass \(m_0\) and radius \(R\), and a more massive, compact neutron star with mass \(M\), rotating around each other. In all the following ignore the motion of the earth. Observations of such a binary system reveal the following information:

• The maximum angular displacement of the ordinary star is \(\Delta\theta\), whereas that of the neutron star is \(\Delta\phi\) (see Fig. 1).
• The time it takes for these maximum displacements is \(\tau\).
• The radiation characteristics of the ordinary star indicate that its surface temperature is \(T\) and the radiated energy incident on a unit area on earth’s surface per unit time is \(P\).
• The calcium line in this radiation differs from its normal wavelength \(\lambda_0\) by an amount \(\Delta\lambda\), due only to the gravitational field of the ordinary star. (For this calculation the photon can be considered to have an effective mass of \(h/c\lambda\).)

Fig. 1

Find an expression for the distance \(\ell\) from earth to this system, only in terms of the observed quantities and universal constants. Copy your result onto the answer form. [7 pts]

b) Assume that \(M\gg m_0\), so that the ordinary star is basically rotating around the neutron star in a circular orbit of radius \(r_0\). Assume that the ordinary star starts emitting gas toward the neutron star with a speed \(v_0\), relative to the ordinary star (see Fig. 2). Assuming that the neutron star is the dominant gravitational force in this problem and neglecting the orbital changes of the ordinary star find the distance of closest approach \(r_f\) shown in Fig. 2. Copy your result onto the answer form. [3pts]

Fig. 2

Official English text of the problem.

A horizontal rectangular plastic pipe of width \(w\) and height \(h\), which closes upon itself, is filled with mercury of resistivity \(\rho\). An overpressure \(P\) is produced by a turbine which drives this fluid with a constant speed \(v_0\). The two opposite vertical walls of a section of the pipe with length \(L\) are made of copper.

The motion of a real fluid is very complex. To simplify the situation we assume the following:

• Although the fluid is viscous, its speed is uniform over the entire cross section.
• The speed of the fluid is always proportional to the net external force acting upon it.
• The fluid is incompressible.

These walls are electrically shorted externally and a uniform, magnetic field \(\mathbf B\) is applied vertically upward only in this section. The set up is illustrated in the figure above, with the unit vectors \(\hat{x}\), \(\hat{y}\), \(\hat{z}\) to be used in the solution.

a) Find the force acting on the fluid due to the magnetic field (in terms of \(L\), \(B\), \(h\), \(w\), \(\rho\) and the velocity \(v\)) [2.0 pts]

b) Derive an expression for the new speed \(v\) of the fluid (in terms of \(v_0\), \(P\), \(L\), \(B\) and \(\rho\)) after the magnetic field is applied. [3.0 pts]

c) Derive an expression for the additional power that must be supplied by the turbine to increase the speed to its original value \(v_0\). Copy your result onto the answer form. [2.0 pts]

d) Now the magnetic field is turned off and mercury is replaced by water flowing with speed \(v_0\). An electromagnetic wave with a single frequency is sent along the section with length \(L\) in the direction of the flow. The refractive index of water is \(n\), and \(v_0\ll c\). Derive an expression for the contribution of the fluid’s motion to the phase difference between the waves entering and leaving section \(L\). Copy your result onto the answer form. [3.0 pts]

Official English text of the problem.

1a) KLYSTRON

Klystrons sind Geräte zur Verstärkung sehr hochfrequenter Signale. Ein Klystron besteht im Wesentlichen aus zwei identischen Paaren paralleler Platten (Resonatoren), die sich im Abstand \(b\) voneinander befinden, wie in der Abbildung dargestellt.

Ein Elektronenstrahl mit der Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\) durchläuft das gesamte System und tritt dabei durch kleine Löcher in den Platten. Die zu verstärkende hochfrequente Spannung wird mit einer bestimmten Phasendifferenz zwischen den beiden Plattenpaaren angelegt (wobei die Periodendauer \(T\) einer Phase von \(2\pi\) entspricht) und erzeugt in den Resonatoren horizontale elektrische Wechselfelder. Elektronen, die in den Eingangsresonator eintreten, während das elektrische Feld nach rechts gerichtet ist, werden abgebremst und umgekehrt, sodass die austretenden Elektronen in einem bestimmten Abstand Pakete bilden. Wird der Ausgangsresonator an der Stelle der Paketbildung angeordnet, so nimmt das elektrische Feld in diesem Resonator Leistung aus dem Strahl auf, sofern seine Phase passend gewählt ist. Das Spannungssignal sei ein Rechtecksignal mit der Periodendauer \(T=1.0\times10^{-9}\ \mathrm{s}\), das zwischen \(V=\pm0.5\) Volt wechselt. Die Anfangsgeschwindigkeit der Elektronen beträgt \(v_0=2.0\times10^6\ \mathrm{m/s}\), und das Verhältnis von Ladung zu Masse ist \(e/m=1.76\times10^{11}\ \mathrm{C/kg}\). Der Abstand \(\alpha\) ist so klein, dass die Durchlaufzeit in den Resonatoren vernachlässigt werden kann. Berechnen Sie mit 4 signifikanten Stellen:

a) den Abstand \(b\), bei dem sich die Elektronen zu Paketen bündeln. Übertragen Sie Ihr Ergebnis auf das Antwortblatt. [1.5 Punkte]

b) die erforderliche Phasendifferenz, die der Phasenschieber erzeugen muss. Übertragen Sie Ihr Ergebnis auf das Antwortblatt. [1.0 Punkte]

1b) INTERMOLEKULARER ABSTAND

\(d_L\) und \(d_V\) bezeichnen die mittleren Abstände zwischen Wassermolekülen in der flüssigen Phase beziehungsweise in der Dampfphase. Nehmen Sie an, dass beide Phasen bei \(100\ ^\circ\mathrm{C}\) und Atmosphärendruck vorliegen und sich der Dampf wie ein ideales Gas verhält. Berechnen Sie anhand der folgenden Daten das Verhältnis \(d_V/d_L\) und übertragen Sie Ihr Ergebnis auf das Antwortblatt. [2.5 Punkte]

Dichte von Wasser in der flüssigen Phase: \(\rho_L=1.0\times10^3\ \mathrm{kg/m^3}\),

Molare Masse von Wasser: \(M=1.8\times10^{-2}\ \mathrm{kg/mol}\)
Atmosphärendruck: \(P_a=1.0\times10^5\ \mathrm{N/m^2}\)
Gaskonstante: \(R=8.3\) J/mol. K
Avogadro-Konstante: \(N_A=6.0\times10^{23}\) /mol

1c) EINFACHER SÄGEZAHNSIGNALGENERATOR

Am Kondensator \(C\) in Abb. 1 lässt sich eine Sägezahnspannung \(V_0\) abgreifen. \(R\) ist ein veränderlicher Widerstand, \(V_i\) eine ideale Batterie und \(SG\) eine Funkenstrecke aus zwei Elektroden mit einstellbarem Abstand. Wenn die Spannung zwischen den Elektroden die Zündspannung \(V_f\) überschreitet, kommt es zu einem elektrischen Durchschlag der Luft zwischen den Elektroden. Die Funkenstrecke wird dadurch zu einem Kurzschluss und bleibt in diesem Zustand, bis die Spannung an ihr sehr klein geworden ist.

Abbildung 1

a) Zeichnen Sie den zeitlichen Verlauf der Spannung \(V_0\) in Abhängigkeit von \(t\) nach dem Schließen des Schalters. [0.5 Punkte]

b) Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit die Sägezahnspannung \(V_0\) nahezu linear verläuft? Übertragen Sie Ihr Ergebnis auf das Antwortblatt. [0.2 Punkte]

c) Leiten Sie unter der Voraussetzung, dass diese Bedingung erfüllt ist, einen vereinfachten Ausdruck für die Periodendauer \(T\) des Signals her. Übertragen Sie Ihr Ergebnis auf das Antwortblatt. [0.4 Punkte]

d) Was müssen Sie verändern (\(R\) und/oder \(SG\)), um nur die Periodendauer zu ändern? Übertragen Sie Ihr Ergebnis auf das Antwortblatt. [0.2 Punkte]

e) Was müssen Sie verändern (\(R\) und/oder \(SG\)), um nur die Amplitude zu ändern? Übertragen Sie Ihr Ergebnis auf das Antwortblatt. [0.2 Punkte]

f) Ihnen steht eine zusätzliche einstellbare Gleichspannungsquelle zur Verfügung. Entwerfen und zeichnen Sie eine neue Schaltung und kennzeichnen Sie die Anschlüsse, an denen Sie den in Abb. 2 dargestellten Spannungsverlauf \(V_0'\) erhalten würden. [1.0 Punkte]

Abbildung 2

1d) ATOMSTRAHL

Ein Atomstrahl wird erzeugt, indem eine Ansammlung von Atomen auf die Temperatur \(T\) erhitzt wird und die Atome durch eine kleine Öffnung (mit atomaren Abmessungen) vom Durchmesser \(D\) in einer Seitenwand des Ofens horizontal austreten können. Schätzen Sie den Durchmesser des Strahls ab, nachdem er entlang seiner Bahn eine horizontale Strecke \(L\) zurückgelegt hat. Die Masse eines Atoms beträgt \(M\). Übertragen Sie Ihr Ergebnis auf das Antwortblatt. [2.5 Punkte]

Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt.

a) Es ist allgemein bekannt, dass die meisten Sterne Doppelsternsysteme bilden. Eine Art von Doppelsternsystem besteht aus einem gewöhnlichen Stern mit der Masse \(m_0\) und dem Radius \(R\) und einem massereicheren, kompakten Neutronenstern mit der Masse \(M\), die einander umkreisen. Vernachlässigen Sie im gesamten Folgenden die Bewegung der Erde. Beobachtungen eines solchen Doppelsternsystems liefern die folgenden Informationen:

• Die maximale Winkelverschiebung des gewöhnlichen Sterns beträgt \(\Delta\theta\), die des Neutronensterns hingegen \(\Delta\phi\) (siehe Abb. 1).
• Die Zeit, die für diese maximalen Verschiebungen benötigt wird, beträgt \(\tau\).
• Die Strahlungseigenschaften des gewöhnlichen Sterns zeigen, dass seine Oberflächentemperatur \(T\) beträgt und dass die pro Zeiteinheit auf eine Flächeneinheit der Erdoberfläche auftreffende Strahlungsenergie \(P\) beträgt.
• Die Calciumlinie in dieser Strahlung weicht von ihrer normalen Wellenlänge \(\lambda_0\) um den Betrag \(\Delta\lambda\) ab, und zwar ausschließlich aufgrund des Gravitationsfeldes des gewöhnlichen Sterns. (Für diese Berechnung kann dem Photon eine effektive Masse von \(h/c\lambda\) zugeschrieben werden.)

Abb. 1

Bestimmen Sie einen Ausdruck für die Entfernung \(\ell\) von der Erde zu diesem System, der ausschließlich die beobachteten Größen und universelle Konstanten enthält. Übertragen Sie Ihr Ergebnis auf das Antwortblatt. [7 Punkte]

b) Nehmen Sie an, dass \(M\gg m_0\) gilt, sodass der gewöhnliche Stern im Wesentlichen den Neutronenstern auf einer Kreisbahn mit dem Radius \(r_0\) umkreist. Nehmen Sie an, dass der gewöhnliche Stern beginnt, Gas mit einer Geschwindigkeit \(v_0\) relativ zum gewöhnlichen Stern in Richtung des Neutronensterns auszustoßen (siehe Abb. 2). Bestimmen Sie unter der Annahme, dass die Gravitationskraft des Neutronensterns in dieser Aufgabe dominiert, und unter Vernachlässigung der Bahnänderungen des gewöhnlichen Sterns den in Abb. 2 dargestellten kleinsten Abstand \(r_f\). Übertragen Sie Ihr Ergebnis auf das Antwortblatt. [3 Punkte]

Abb. 2

Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt.

Ein horizontal verlaufendes, in sich geschlossenes Kunststoffrohr mit rechteckigem Querschnitt der Breite \(w\) und der Höhe \(h\) ist mit Quecksilber mit dem spezifischen elektrischen Widerstand \(\rho\) gefüllt. Eine Turbine erzeugt einen Überdruck \(P\), der diese Flüssigkeit mit einer konstanten Geschwindigkeit \(v_0\) antreibt. Die beiden gegenüberliegenden vertikalen Wände eines Rohrabschnitts der Länge \(L\) bestehen aus Kupfer.

Die Bewegung einer realen Flüssigkeit ist sehr komplex. Zur Vereinfachung nehmen wir Folgendes an:

• Obwohl die Flüssigkeit viskos ist, ist ihre Geschwindigkeit über den gesamten Querschnitt gleichförmig.
• Die Geschwindigkeit der Flüssigkeit ist stets proportional zur resultierenden äußeren Kraft, die auf sie wirkt.
• Die Flüssigkeit ist inkompressibel.

Diese Wände werden außen elektrisch kurzgeschlossen, und nur in diesem Abschnitt wird ein homogenes Magnetfeld \(\mathbf B\) angelegt, das senkrecht nach oben gerichtet ist. Die Anordnung ist in der obigen Abbildung dargestellt, zusammen mit den Einheitsvektoren \(\hat{x}\), \(\hat{y}\), \(\hat{z}\), die in der Lösung zu verwenden sind.

a) Bestimmen Sie die Kraft, die aufgrund des Magnetfelds auf die Flüssigkeit wirkt (in Abhängigkeit von \(L\), \(B\), \(h\), \(w\), \(\rho\) und der Geschwindigkeit \(v\)). [2.0 Punkte]

b) Leiten Sie einen Ausdruck für die neue Geschwindigkeit \(v\) der Flüssigkeit nach dem Anlegen des Magnetfelds her (in Abhängigkeit von \(v_0\), \(P\), \(L\), \(B\) und \(\rho\)). [3.0 Punkte]

c) Leiten Sie einen Ausdruck für die zusätzliche Leistung her, welche die Turbine aufbringen muss, um die Geschwindigkeit auf ihren ursprünglichen Wert \(v_0\) zu erhöhen. Übertragen Sie Ihr Ergebnis auf das Antwortblatt. [2.0 Punkte]

d) Nun wird das Magnetfeld abgeschaltet und das Quecksilber durch Wasser ersetzt, das mit der Geschwindigkeit \(v_0\) strömt. Eine elektromagnetische Welle mit einer einzigen Frequenz wird entlang des Abschnitts der Länge \(L\) in Strömungsrichtung ausgesandt. Der Brechungsindex von Wasser ist \(n\), und es gilt \(v_0\ll c\). Leiten Sie einen Ausdruck für den Beitrag der Flüssigkeitsbewegung zur Phasendifferenz zwischen den in den Abschnitt \(L\) eintretenden und aus ihm austretenden Wellen her. Übertragen Sie Ihr Ergebnis auf das Antwortblatt. [3.0 Punkte]

Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt.

1a) KLİSTRON

Klistronlar, çok yüksek frekanslı sinyalleri yükseltmek için kullanılan aygıtlardır. Bir klistron temel olarak, şekilde gösterildiği gibi aralarında \(b\) uzaklığı bulunan, birbirinin aynı iki paralel levha çiftinden (kavite) oluşur.

Başlangıç sürati \(v_0\) olan bir elektron demeti, levhalardaki küçük deliklerden geçerek tüm sistemi kat eder. Yükseltilecek yüksek frekanslı gerilim, iki levha çiftine aralarında belirli bir faz farkı olacak şekilde uygulanır (burada \(T\) periyodu \(2\pi\) faza karşılık gelir); böylece kavitelerde yatay, yönü dönüşümlü olarak değişen elektrik alanlar oluşur. Elektrik alan sağa doğruyken giriş kavitesine giren elektronlar yavaşlatılır, alan ters yöndeyken ise hızlandırılır; böylece çıkan elektronlar belirli bir uzaklıkta demetçikler oluşturur. Çıkış kavitesi demetçiklerin oluştuğu noktaya yerleştirilirse, bu kavitedeki elektrik alan, fazı uygun seçilmek koşuluyla demetten güç soğurur. Gerilim sinyalinin, \(V=\pm0.5\) volt değerleri arasında değişen, \(T=1.0\times10^{-9}\ \mathrm{s}\) periyotlu bir kare dalga olduğunu kabul edin. Elektronların başlangıç hızı \(v_0=2.0\times10^6\ \mathrm{m/s}\), yüklerinin kütlelerine oranı ise \(e/m=1.76\times10^{11}\ \mathrm{C/kg}\) değerindedir. \(\alpha\) uzaklığı, kavitelerdeki geçiş süresi ihmal edilebilecek kadar küçüktür. 4 anlamlı basamak kullanarak aşağıdakileri hesaplayın:

a) Elektronların demetçikler oluşturduğu \(b\) uzaklığı. Sonucunuzu cevap formuna yazın. [1.5 puan]

b) Faz kaydırıcının sağlaması gereken faz farkı. Sonucunuzu cevap formuna yazın. [1.0 puan]

1b) MOLEKÜLLER ARASI UZAKLIK

\(d_L\) ve \(d_V\), sırasıyla sıvı fazdaki ve buhar fazındaki su molekülleri arasındaki ortalama uzaklıkları göstersin. Her iki fazın da \(100\ ^\circ\mathrm{C}\) sıcaklıkta ve atmosfer basıncında olduğunu, buharın ise ideal gaz gibi davrandığını varsayın. Aşağıdaki verileri kullanarak \(d_V/d_L\) oranını hesaplayın ve sonucunuzu cevap formuna yazın. [2.5 puan]

Sıvı fazdaki suyun yoğunluğu: \(\rho_L=1.0\times10^3\ \mathrm{kg/m^3}\),

Suyun molar kütlesi: \(M=1.8\times10^{-2}\ \mathrm{kg/mol}\)
Atmosfer basıncı: \(P_a=1.0\times10^5\ \mathrm{N/m^2}\)
Gaz sabiti: \(R=8.3\) J/mol. K
Avogadro sayısı: \(N_A=6.0\times10^{23}\) /mol

1c) BASİT TESTERE DİŞİ SİNYAL ÜRETECİ

Şekil 1'deki \(C\) kondansatörünün uçları arasında testere dişi biçiminde bir \(V_0\) gerilimi elde edilebilir. \(R\) değişken bir direnç, \(V_i\) ideal bir pil, \(SG\) ise aralarındaki uzaklık ayarlanabilen iki elektrottan oluşan bir kıvılcım aralığıdır. Elektrotlar arasındaki gerilim ateşleme gerilimi \(V_f\)'yi aştığında, elektrotlar arasındaki hava elektriksel olarak delinir; böylece aralık kısa devre hâline gelir ve uçları arasındaki gerilim çok küçük bir değere inene kadar bu durumda kalır.

Şekil 1

a) Anahtar kapatıldıktan sonra \(V_0\) geriliminin \(t\) zamanına göre dalga biçimini çizin. [0.5 puan]

b) Yaklaşık olarak doğrusal değişen testere dişi biçiminde bir \(V_0\) gerilimi elde etmek için hangi koşul sağlanmalıdır? Sonucunuzu cevap formuna yazın. [0.2 puan]

c) Bu koşulun sağlandığını kabul ederek dalga biçiminin \(T\) periyodu için basitleştirilmiş bir ifade türetin. Sonucunuzu cevap formuna yazın. [0.4 puan]

d) Yalnızca periyodu değiştirmek için neyi (\(R\) ve/veya \(SG\)) değiştirmelisiniz? Sonucunuzu cevap formuna yazın. [0.2 puan]

e) Yalnızca genliği değiştirmek için neyi (\(R\) ve/veya \(SG\)) değiştirmelisiniz? Sonucunuzu cevap formuna yazın. [0.2 puan]

f) Size ek bir ayarlanabilir doğru gerilim kaynağı veriliyor. Şekil 2'de gösterilen \(V_0'\) gerilim dalga biçimini elde edeceğiniz uçları belirterek yeni bir devre tasarlayın ve çizin. [1.0 puan]

Şekil 2

1d) ATOM DEMETİ

Bir atom topluluğu \(T\) sıcaklığına kadar ısıtılıp atomların fırının bir yanındaki \(D\) çaplı küçük (atomik boyutlarda) bir delikten yatay olarak çıkmaları sağlanarak bir atom demeti hazırlanır. Demetin, yolu boyunca yatay doğrultuda \(L\) uzaklığını kat ettikten sonraki çapını tahmin edin. Bir atomun kütlesi \(M\)'dir. Sonucunuzu cevap formuna yazın. [2.5 puan]

Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir.

a) Yıldızların çoğunun çift yıldız sistemleri oluşturduğu iyi bilinmektedir. Bir çift yıldız sistemi türü, birbirlerinin çevresinde dolanan, kütlesi \(m_0\) ve yarıçapı \(R\) olan normal bir yıldız ile kütlesi \(M\) olan, daha büyük kütleli, kompakt bir nötron yıldızından oluşur. Aşağıdaki tüm işlemlerde Dünya'nın hareketini ihmal ediniz. Böyle bir çift yıldız sisteminin gözlemlerinden şu bilgiler elde edilmektedir:

• Normal yıldızın maksimum açısal yer değiştirmesi \(\Delta\theta\), nötron yıldızınınki ise \(\Delta\phi\)'dir (bkz. Şekil 1).
• Bu maksimum yer değiştirmeler için geçen süre \(\tau\)'dur.
• Normal yıldızın ışınım özellikleri, yüzey sıcaklığının \(T\) olduğunu ve Dünya yüzeyindeki birim alana birim zamanda ulaşan ışınım enerjisinin \(P\) olduğunu göstermektedir.
• Bu ışınımdaki kalsiyum çizgisinin dalga boyu, yalnızca normal yıldızın kütleçekim alanı nedeniyle, normal dalga boyu \(\lambda_0\)'dan \(\Delta\lambda\) kadar farklıdır. (Bu hesaplamada fotonun \(h/c\lambda\) etkin kütlesine sahip olduğu düşünülebilir.)

Şekil 1

Dünya'dan bu sisteme olan \(\ell\) uzaklığı için yalnızca gözlenen nicelikler ve evrensel sabitler cinsinden bir ifade bulunuz. Sonucunuzu cevap formuna yazınız. [7 puan]

b) \(M\gg m_0\) olduğunu, dolayısıyla normal yıldızın esas olarak nötron yıldızının çevresinde \(r_0\) yarıçaplı çembersel bir yörüngede dolandığını varsayınız. Normal yıldızın, nötron yıldızına doğru, normal yıldıza göre \(v_0\) süratiyle gaz salmaya başladığını varsayınız (bkz. Şekil 2). Bu problemde baskın kütleçekim kuvvetinin nötron yıldızından kaynaklandığını varsayarak ve normal yıldızın yörüngesindeki değişimleri ihmal ederek Şekil 2'de gösterilen en yakın yaklaşma uzaklığı \(r_f\)'yi bulunuz. Sonucunuzu cevap formuna yazınız. [3 puan]

Şekil 2

Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir.

Genişliği \(w\) ve yüksekliği \(h\) olan, kendi üzerine kapanan yatay, dikdörtgen kesitli bir plastik boru, özdirenci \(\rho\) olan cıva ile doldurulmuştur. Bu akışkanı sabit \(v_0\) süratiyle hareket ettiren bir türbin, \(P\) basınç farkı oluşturur. Borunun \(L\) uzunluğundaki bir bölümünün karşılıklı iki düşey duvarı bakırdan yapılmıştır.

Gerçek bir akışkanın hareketi oldukça karmaşıktır. Durumu basitleştirmek için aşağıdaki varsayımları yapıyoruz:

• Akışkan viskoz olmasına rağmen, sürati tüm kesit boyunca aynıdır.
• Akışkanın sürati, üzerine etkiyen net dış kuvvetle her zaman doğru orantılıdır.
• Akışkan sıkıştırılamazdır.

Bu duvarlar dışarıdan elektriksel olarak kısa devre edilmiştir ve yalnızca bu bölümde, düşey olarak yukarı yönelmiş düzgün bir \(\mathbf B\) manyetik alanı uygulanmaktadır. Düzenek, çözümde kullanılacak \(\hat{x}\), \(\hat{y}\), \(\hat{z}\) birim vektörleriyle birlikte yukarıdaki şekilde gösterilmiştir.

a) Manyetik alan nedeniyle akışkana etkiyen kuvveti (\(L\), \(B\), \(h\), \(w\), \(\rho\) ve \(v\) hızı cinsinden) bulunuz. [2.0 puan]

b) Manyetik alan uygulandıktan sonra akışkanın yeni \(v\) sürati için (\(v_0\), \(P\), \(L\), \(B\) ve \(\rho\) cinsinden) bir ifade türetiniz. [3.0 puan]

c) Sürati başlangıçtaki \(v_0\) değerine çıkarmak için türbinin sağlaması gereken ek güç için bir ifade türetiniz. Sonucunuzu cevap formuna yazınız. [2.0 puan]

d) Şimdi manyetik alan kapatılıyor ve cıvanın yerine \(v_0\) süratiyle akan su konuluyor. Tek frekanslı bir elektromanyetik dalga, \(L\) uzunluğundaki bölüm boyunca akış yönünde gönderiliyor. Suyun kırılma indisi \(n\) olup \(v_0\ll c\) koşulu sağlanmaktadır. Akışkanın hareketinin, \(L\) bölümüne giren ve bu bölümden çıkan dalgalar arasındaki faz farkına katkısı için bir ifade türetiniz. Sonucunuzu cevap formuna yazınız. [3.0 puan]

Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir.

1a) KLISTRÓN

Los klistrones son dispositivos utilizados para amplificar señales de muy alta frecuencia. Un klistrón consta básicamente de dos pares idénticos de placas paralelas (cavidades) separados por una distancia \(b\), como se muestra en la figura.

Un haz de electrones con una rapidez inicial \(v_0\) atraviesa todo el sistema, pasando por pequeños orificios en las placas. La tensión de alta frecuencia que se desea amplificar se aplica a ambos pares de placas con una cierta diferencia de fase entre ellos (donde el período \(T\) corresponde a una fase de \(2\pi\)), produciendo campos eléctricos alternos horizontales en las cavidades. Los electrones que entran en la cavidad de entrada cuando el campo eléctrico apunta hacia la derecha se frenan, y viceversa, de modo que los electrones que salen forman paquetes a una cierta distancia. Si la cavidad de salida se coloca en el punto de agrupamiento, el campo eléctrico en esta cavidad absorberá potencia del haz siempre que su fase se elija adecuadamente. Sea la señal de tensión una onda cuadrada con período \(T=1.0\times10^{-9}\ \mathrm{s}\), que varía entre \(V=\pm0.5\) voltios. La velocidad inicial de los electrones es \(v_0=2.0\times10^6\ \mathrm{m/s}\) y la relación entre carga y masa es \(e/m=1.76\times10^{11}\ \mathrm{C/kg}\). La distancia \(\alpha\) es tan pequeña que puede despreciarse el tiempo de tránsito por las cavidades. Conservando 4 cifras significativas, calcule:

a) la distancia \(b\) a la que se agrupan los electrones. Copie su resultado en la hoja de respuestas. [1.5 puntos]

b) la diferencia de fase necesaria que debe proporcionar el desfasador. Copie su resultado en la hoja de respuestas. [1.0 puntos]

1b) DISTANCIA INTERMOLECULAR

Sean \(d_L\) y \(d_V\) las distancias medias entre las moléculas de agua en la fase líquida y en la fase de vapor, respectivamente. Suponga que ambas fases se encuentran a \(100\ ^\circ\mathrm{C}\) y a presión atmosférica, y que el vapor se comporta como un gas ideal. Utilizando los siguientes datos, calcule la razón \(d_V/d_L\) y copie su resultado en la hoja de respuestas. [2.5 puntos]

Densidad del agua en fase líquida: \(\rho_L=1.0\times10^3\ \mathrm{kg/m^3}\),

Masa molar del agua: \(M=1.8\times10^{-2}\ \mathrm{kg/mol}\)
Presión atmosférica: \(P_a=1.0\times10^5\ \mathrm{N/m^2}\)
Constante de los gases: \(R=8.3\) J/mol. K
Número de Avogadro: \(N_A=6.0\times10^{23}\) /mol

1c) GENERADOR SENCILLO DE SEÑALES DE DIENTE DE SIERRA

Puede obtenerse una tensión \(V_0\) con forma de onda de diente de sierra entre los bornes del condensador \(C\) de la Fig. 1. \(R\) es una resistencia variable, \(V_i\) es una batería ideal y \(SG\) es un explosor formado por dos electrodos cuya separación puede ajustarse. Cuando la tensión entre los electrodos supera la tensión de cebado \(V_f\), se produce la ruptura dieléctrica del aire entre ellos; por tanto, el explosor se convierte en un cortocircuito y permanece así hasta que la tensión entre sus bornes se hace muy pequeña.

Figura 1

a) Dibuje la forma de onda de la tensión \(V_0\) en función del tiempo \(t\), después de cerrar el interruptor. [0.5 puntos]

b) ¿Qué condición debe cumplirse para obtener una tensión \(V_0\) con forma de onda de diente de sierra que varíe casi linealmente? Copie su resultado en la hoja de respuestas. [0.2 puntos]

c) Suponiendo que se cumple esta condición, deduzca una expresión simplificada para el período \(T\) de la forma de onda. Copie su resultado en la hoja de respuestas. [0.4 puntos]

d) ¿Qué debe variar (\(R\) y/o \(SG\)) para cambiar únicamente el período? Copie su resultado en la hoja de respuestas. [0.2 puntos]

e) ¿Qué debe variar (\(R\) y/o \(SG\)) para cambiar únicamente la amplitud? Copie su resultado en la hoja de respuestas. [0.2 puntos]

f) Se le proporciona una fuente adicional de tensión continua ajustable. Diseñe y dibuje un nuevo circuito indicando los bornes entre los que obtendría la tensión \(V_0'\) con la forma de onda descrita en la Fig. 2. [1.0 puntos]

Figura 2

1d) HAZ ATÓMICO

Se prepara un haz atómico calentando un conjunto de átomos hasta una temperatura \(T\) y permitiendo que salgan horizontalmente a través de un pequeño orificio (de dimensiones atómicas) de diámetro \(D\) situado en un lado del horno. Estime el diámetro del haz después de que haya recorrido una longitud horizontal \(L\) a lo largo de su trayectoria. La masa de un átomo es \(M\). Copie su resultado en la hoja de respuestas. [2.5 puntos]

Enunciado traducido del texto oficial en inglés.

a) Es bien sabido que la mayoría de las estrellas forman sistemas binarios. Un tipo de sistema binario está constituido por una estrella ordinaria de masa \(m_0\) y radio \(R\), y una estrella de neutrones compacta y más masiva, de masa \(M\), que giran una alrededor de la otra. En todo lo que sigue, ignore el movimiento de la Tierra. Las observaciones de un sistema binario de este tipo proporcionan la siguiente información:

• El desplazamiento angular máximo de la estrella ordinaria es \(\Delta\theta\), mientras que el de la estrella de neutrones es \(\Delta\phi\) (véase la Fig. 1).
• El tiempo necesario para efectuar estos desplazamientos máximos es \(\tau\).
• Las características de la radiación de la estrella ordinaria indican que su temperatura superficial es \(T\) y que la energía radiada que incide por unidad de área de la superficie terrestre y por unidad de tiempo es \(P\).
• La línea del calcio en esta radiación difiere de su longitud de onda normal \(\lambda_0\) en una cantidad \(\Delta\lambda\), debida únicamente al campo gravitatorio de la estrella ordinaria. (Para este cálculo, puede considerarse que el fotón tiene una masa efectiva de \(h/c\lambda\).)

Fig. 1

Obtenga una expresión para la distancia \(\ell\) de la Tierra a este sistema, únicamente en función de las magnitudes observadas y de constantes universales. Copie su resultado en la hoja de respuestas. [7 puntos]

b) Suponga que \(M\gg m_0\), de modo que la estrella ordinaria gira esencialmente alrededor de la estrella de neutrones en una órbita circular de radio \(r_0\). Suponga que la estrella ordinaria comienza a emitir gas hacia la estrella de neutrones con una rapidez \(v_0\), respecto de la estrella ordinaria (véase la Fig. 2). Suponiendo que la estrella de neutrones ejerce la fuerza gravitatoria dominante en este problema y despreciando los cambios orbitales de la estrella ordinaria, determine la distancia de máxima aproximación \(r_f\) indicada en la Fig. 2. Copie su resultado en la hoja de respuestas. [3 puntos]

Fig. 2

Enunciado traducido del texto oficial en inglés.

Un tubo horizontal de plástico de sección rectangular, de anchura \(w\) y altura \(h\), que forma un circuito cerrado, está lleno de mercurio de resistividad \(\rho\). Una turbina produce una sobrepresión \(P\) que impulsa este fluido con una rapidez constante \(v_0\). Las dos paredes verticales opuestas de un tramo del tubo de longitud \(L\) están hechas de cobre.

El movimiento de un fluido real es muy complejo. Para simplificar la situación, suponemos lo siguiente:

• Aunque el fluido es viscoso, su rapidez es uniforme en toda la sección transversal.
• La rapidez del fluido es siempre proporcional a la fuerza externa neta que actúa sobre él.
• El fluido es incompresible.

Estas paredes se cortocircuitan eléctricamente por el exterior y se aplica un campo magnético uniforme \(\mathbf B\), dirigido verticalmente hacia arriba, solo en este tramo. El montaje se muestra en la figura anterior, junto con los vectores unitarios \(\hat{x}\), \(\hat{y}\), \(\hat{z}\) que se utilizarán en la solución.

a) Determine la fuerza que actúa sobre el fluido debida al campo magnético (en función de \(L\), \(B\), \(h\), \(w\), \(\rho\) y la velocidad \(v\)) [2.0 pts]

b) Deduzca una expresión para la nueva rapidez \(v\) del fluido (en función de \(v_0\), \(P\), \(L\), \(B\) y \(\rho\)) después de aplicar el campo magnético. [3.0 pts]

c) Deduzca una expresión para la potencia adicional que debe suministrar la turbina para aumentar la rapidez hasta su valor original \(v_0\). Copie su resultado en la hoja de respuestas. [2.0 pts]

d) Ahora se desactiva el campo magnético y se sustituye el mercurio por agua que fluye con rapidez \(v_0\). Se envía una onda electromagnética de una sola frecuencia a lo largo del tramo de longitud \(L\), en el sentido del flujo. El índice de refracción del agua es \(n\), y \(v_0\ll c\). Deduzca una expresión para la contribución del movimiento del fluido a la diferencia de fase entre las ondas que entran y salen del tramo \(L\). Copie su resultado en la hoja de respuestas. [3.0 pts]

Enunciado traducido del texto oficial en inglés.

1a) 速调管

速调管是一种用于放大甚高频信号的器件。速调管主要由两组相同的平行极板（谐振腔）组成，两组极板之间的距离为 \(b\)，如图所示。

一束初速度为 \(v_0\) 的电子束穿过极板上的小孔，贯穿整个系统。将待放大的高频电压施加在两组极板上，并使两者之间具有一定的相位差（其中一个周期 \(T\) 对应于 \(2\pi\) 的相位），从而在谐振腔内产生水平方向的交变电场。当输入腔内的电场向右时，进入该腔的电子会减速；反之则加速，因此离开输入腔的电子会在一定距离处聚成电子群。如果将输出腔放置在聚束位置，只要适当选择其电场的相位，该腔内的电场就会从电子束中吸收功率。设电压信号为周期 \(T=1.0\times10^{-9}\ \mathrm{s}\) 的方波，在 \(V=\pm0.5\) 伏之间变化。电子的初速度为 \(v_0=2.0\times10^6\ \mathrm{m/s}\)，荷质比为 \(e/m=1.76\times10^{11}\ \mathrm{C/kg}\)。距离 \(\alpha\) 很小，以至于电子穿越谐振腔所需的时间可以忽略。计算下列各项，结果保留 4 位有效数字：

a) 电子聚束处的距离 \(b\)。将结果填写在答题纸上。[1.5 分]

b) 移相器需要提供的相位差。将结果填写在答题纸上。[1.0 分]

1b) 分子间距

用 \(d_L\) 和 \(d_V\) 分别表示液态水和水蒸气中分子之间的平均距离。假设两相均处于 \(100\ ^\circ\mathrm{C}\) 和大气压下，且水蒸气可视为理想气体。利用以下数据，计算比值 \(d_V/d_L\)，并将结果填写在答题纸上。[2.5 分]

液态水的密度：\(\rho_L=1.0\times10^3\ \mathrm{kg/m^3}\)，

水的摩尔质量：\(M=1.8\times10^{-2}\ \mathrm{kg/mol}\)
大气压：\(P_a=1.0\times10^5\ \mathrm{N/m^2}\)
气体常量：\(R=8.3\) J/mol. K
阿伏伽德罗常数：\(N_A=6.0\times10^{23}\) /mol

1c) 简易锯齿波信号发生器

在图 1 中的电容器 \(C\) 两端可以得到锯齿波电压 \(V_0\)。\(R\) 为可变电阻，\(V_i\) 为理想电池，\(SG\) 为由两个间距可调的电极构成的火花隙。当电极间电压超过击穿电压 \(V_f\) 时，电极间的空气被击穿，因而火花隙变为短路，并保持这一状态，直到火花隙两端的电压变得很小。

图 1

a) 画出开关闭合后电压 \(V_0\) 随时间 \(t\) 变化的波形。[0.5 分]

b) 要得到几乎线性变化的锯齿波电压 \(V_0\)，必须满足什么条件？将结果填写在答题纸上。[0.2 分]

c) 在满足上述条件的情况下，推导波形周期 \(T\) 的简化表达式。将结果填写在答题纸上。[0.4 分]

d) 若只改变周期，应调节什么（\(R\) 和/或 \(SG\)）？将结果填写在答题纸上。[0.2 分]

e) 若只改变振幅，应调节什么（\(R\) 和/或 \(SG\)）？将结果填写在答题纸上。[0.2 分]

f) 现另提供一个可调直流电源。设计并画出一个新电路，标明可获得图 2 所示电压波形 \(V_0'\) 的端子。[1.0 分]

图 2

1d) 原子束

将一群原子加热到温度 \(T\)，使其通过炉子一侧直径为 \(D\) 的小孔（原子尺度）沿水平方向射出，从而制备一束原子束。估算原子束沿其路径水平传播距离 \(L\) 后的直径。一个原子的质量为 \(M\)。将结果填写在答题纸上。[2.5 分]

题目译自官方英文原文。

a) 众所周知，大多数恒星组成双星系统。一类双星系统由一颗质量为 \(m_0\)、半径为 \(R\) 的普通恒星和一颗质量为 \(M\)、质量更大且结构致密的中子星组成，两者相互绕转。在以下所有讨论中，均忽略地球的运动。对这样一个双星系统的观测给出了以下信息：

• 普通恒星的最大角位移为 \(\Delta\theta\)，中子星的最大角位移为 \(\Delta\phi\)（见图 1）。
• 完成这些最大位移所需的时间为 \(\tau\)。
• 普通恒星的辐射特征表明，其表面温度为 \(T\)，单位时间内入射到地球表面单位面积上的辐射能量为 \(P\)。
• 该辐射中的钙谱线波长与其正常波长 \(\lambda_0\) 相差 \(\Delta\lambda\)，这一差异仅由普通恒星的引力场引起。（在此计算中，可以认为光子的有效质量为 \(h/c\lambda\)。）

图 1

求地球到该系统的距离 \(\ell\) 的表达式，仅用观测量和普适常数表示。将结果抄写在答题纸上。[7 分]

b) 假设 \(M\gg m_0\)，因此普通恒星基本上沿半径为 \(r_0\) 的圆轨道绕中子星运动。假设普通恒星开始朝中子星喷出气体，气体相对于普通恒星的速率为 \(v_0\)（见图 2）。假设在本题中中子星的引力占主导地位，并忽略普通恒星轨道的变化，求图 2 所示的最近距离 \(r_f\)。将结果抄写在答题纸上。[3 分]

图 2

题目译自官方英文原文。

一根水平放置、首尾相接的矩形塑料管，其宽度为 \(w\)，高度为 \(h\)，管内充满电阻率为 \(\rho\) 的汞。涡轮机产生压强增量 \(P\)，驱动该流体以恒定速率 \(v_0\) 流动。管道中一段长度为 \(L\) 的管段，其两个相对的竖直管壁由铜制成。

实际流体的运动十分复杂。为简化问题，作如下假设：

• 尽管流体具有黏性，但其速率在整个横截面上均匀一致。
• 流体的速率始终与作用在流体上的合外力成正比。
• 流体不可压缩。

这两个管壁通过外部导线短接，并且仅在这一管段内施加竖直向上的匀强磁场 \(\mathbf B\)。装置如上图所示，图中的单位矢量 \(\hat{x}\)、\(\hat{y}\)、\(\hat{z}\) 将用于解答。

a) 求磁场对流体施加的力（用 \(L\)、\(B\)、\(h\)、\(w\)、\(\rho\) 和速度 \(v\) 表示）。[2.0 分]

b) 推导施加磁场后流体的新速率 \(v\) 的表达式（用 \(v_0\)、\(P\)、\(L\)、\(B\) 和 \(\rho\) 表示）。[3.0 分]

c) 推导为使速率增大至原来的值 \(v_0\)，涡轮机必须额外提供的功率的表达式。将结果抄写到答题纸上。[2.0 分]

d) 现在撤去磁场，并将汞换成以速率 \(v_0\) 流动的水。沿流动方向向长度为 \(L\) 的管段发射一束单一频率的电磁波。水的折射率为 \(n\)，且 \(v_0\ll c\)。推导流体运动对进入和离开管段 \(L\) 的波之间的相位差所作贡献的表达式。将结果抄写到答题纸上。[3.0 分]

题目译自官方英文原文。

1a) КЛИСТРОН

Клистроны — это устройства, используемые для усиления сигналов очень высокой частоты. В простейшем случае клистрон состоит из двух одинаковых пар параллельных пластин (резонаторов), расположенных на расстоянии \(b\) друг от друга, как показано на рисунке.

Пучок электронов с начальной скоростью \(v_0\) проходит через всю систему сквозь небольшие отверстия в пластинах. Усиливаемое высокочастотное напряжение подаётся на обе пары пластин с некоторой разностью фаз между ними (при этом периоду \(T\) соответствует фаза \(2\pi\)), создавая в резонаторах горизонтальные переменные электрические поля. Электроны, входящие во входной резонатор в тот момент, когда электрическое поле направлено вправо, замедляются, и наоборот, так что электроны, вышедшие из резонатора, на некотором расстоянии образуют сгустки. Если выходной резонатор поместить в точке образования сгустков, электрическое поле в нём будет отбирать энергию у пучка при соответствующем выборе фазы. Пусть сигнал напряжения представляет собой меандр с периодом \(T=1.0\times10^{-9}\ \mathrm{s}\), принимающий значения \(V=\pm0.5\) вольт. Начальная скорость электронов равна \(v_0=2.0\times10^6\ \mathrm{m/s}\), а отношение заряда к массе равно \(e/m=1.76\times10^{11}\ \mathrm{C/kg}\). Расстояние \(\alpha\) настолько мало, что временем пролёта через резонаторы можно пренебречь. Сохраняя 4 значащие цифры, вычислите:

a) расстояние \(b\), на котором электроны образуют сгустки. Перенесите результат в бланк ответов. [1.5 балла]

b) необходимую разность фаз, которую должен обеспечивать фазовращатель. Перенесите результат в бланк ответов. [1.0 балла]

1b) МЕЖМОЛЕКУЛЯРНОЕ РАССТОЯНИЕ

Пусть \(d_L\) и \(d_V\) обозначают средние расстояния между молекулами воды в жидкой и паровой фазах соответственно. Считайте, что обе фазы находятся при температуре \(100\ ^\circ\mathrm{C}\) и атмосферном давлении, а пар ведёт себя как идеальный газ. Используя приведённые ниже данные, вычислите отношение \(d_V/d_L\) и перенесите результат в бланк ответов. [2.5 балла]

Плотность воды в жидкой фазе: \(\rho_L=1.0\times10^3\ \mathrm{kg/m^3}\),

Молярная масса воды: \(M=1.8\times10^{-2}\ \mathrm{kg/mol}\)
Атмосферное давление: \(P_a=1.0\times10^5\ \mathrm{N/m^2}\)
Газовая постоянная: \(R=8.3\) Дж/(моль·К)
Число Авогадро: \(N_A=6.0\times10^{23}\) моль⁻¹

1c) ПРОСТОЙ ГЕНЕРАТОР ПИЛООБРАЗНОГО СИГНАЛА

Пилообразное напряжение \(V_0\) можно получить на конденсаторе \(C\) на рис. 1. Здесь \(R\) — переменный резистор, \(V_i\) — идеальная батарея, а \(SG\) — искровой разрядник, состоящий из двух электродов с регулируемым расстоянием между ними. Когда напряжение между электродами превышает напряжение пробоя \(V_f\), воздух между ними пробивается, и разрядник замыкает цепь накоротко, оставаясь в этом состоянии до тех пор, пока напряжение на нём не станет очень малым.

Рисунок 1

a) Изобразите график зависимости напряжения \(V_0\) от времени \(t\) после замыкания ключа. [0.5 балла]

b) Какое условие должно выполняться, чтобы получить пилообразное напряжение \(V_0\), изменяющееся почти линейно? Перенесите результат в бланк ответов. [0.2 балла]

c) При выполнении этого условия выведите упрощённое выражение для периода \(T\) сигнала. Перенесите результат в бланк ответов. [0.4 балла]

d) Что следует изменять (\(R\) и/или \(SG\)), чтобы изменять только период? Перенесите результат в бланк ответов. [0.2 балла]

e) Что следует изменять (\(R\) и/или \(SG\)), чтобы изменять только амплитуду? Перенесите результат в бланк ответов. [0.2 балла]

f) Вам дан дополнительный регулируемый источник постоянного напряжения. Разработайте и нарисуйте новую схему, указав выводы, между которыми можно получить напряжение \(V_0'\) с формой сигнала, показанной на рис. 2. [1.0 балла]

Рисунок 2

1d) АТОМНЫЙ ПУЧОК

Атомный пучок получают, нагревая совокупность атомов до температуры \(T\) и позволяя им вылетать горизонтально через небольшое отверстие (атомных размеров) диаметром \(D\) в одной из стенок печи. Оцените диаметр пучка после того, как он пройдёт по горизонтали расстояние \(L\) вдоль своей траектории. Масса атома равна \(M\). Перенесите результат в бланк ответов. [2.5 балла]

Условие переведено с официального английского текста.

a) Хорошо известно, что большинство звёзд образуют двойные системы. Один из типов двойных систем состоит из обычной звезды массой \(m_0\) и радиусом \(R\) и более массивной компактной нейтронной звезды массой \(M\), обращающихся друг вокруг друга. Во всём дальнейшем пренебрегайте движением Земли. Наблюдения такой двойной системы дают следующую информацию:

• Максимальное угловое перемещение обычной звезды равно \(\Delta\theta\), а нейтронной звезды — \(\Delta\phi\) (см. рис. 1).
• Время, за которое происходят эти максимальные перемещения, равно \(\tau\).
• Характеристики излучения обычной звезды показывают, что температура её поверхности равна \(T\), а энергия излучения, падающего на единицу площади поверхности Земли за единицу времени, равна \(P\).
• Линия кальция в этом излучении смещена относительно своей нормальной длины волны \(\lambda_0\) на величину \(\Delta\lambda\) исключительно под действием гравитационного поля обычной звезды. (В этом расчёте можно считать, что фотон имеет эффективную массу \(h/c\lambda\).)

Рис. 1

Найдите выражение для расстояния \(\ell\) от Земли до этой системы только через наблюдаемые величины и универсальные постоянные. Перенесите результат в бланк ответов. [7 баллов]

b) Предположим, что \(M\gg m_0\), так что обычная звезда фактически обращается вокруг нейтронной звезды по круговой орбите радиусом \(r_0\). Предположим, что обычная звезда начинает испускать газ в направлении нейтронной звезды со скоростью \(v_0\) относительно обычной звезды (см. рис. 2). Считая, что в этой задаче преобладает гравитационное притяжение нейтронной звезды, и пренебрегая изменениями орбиты обычной звезды, найдите расстояние наибольшего сближения \(r_f\), показанное на рис. 2. Перенесите результат в бланк ответов. [3 балла]

Рис. 2

Условие переведено с официального английского текста.

Горизонтальная замкнутая пластиковая труба прямоугольного сечения шириной \(w\) и высотой \(h\) заполнена ртутью с удельным сопротивлением \(\rho\). Турбина создаёт избыточное давление \(P\), приводя эту жидкость в движение с постоянной скоростью \(v_0\). Две противоположные вертикальные стенки участка трубы длиной \(L\) изготовлены из меди.

Движение реальной жидкости очень сложно. Для упрощения задачи примем следующие предположения:

• Хотя жидкость вязкая, её скорость одинакова по всему поперечному сечению.
• Скорость жидкости всегда пропорциональна результирующей внешней силе, действующей на неё.
• Жидкость несжимаема.

Эти стенки замкнуты накоротко снаружи, и только на этом участке создаётся однородное магнитное поле \(\mathbf B\), направленное вертикально вверх. Установка показана на рисунке выше вместе с единичными векторами \(\hat{x}\), \(\hat{y}\), \(\hat{z}\), которые следует использовать в решении.

a) Найдите силу, действующую на жидкость со стороны магнитного поля (через \(L\), \(B\), \(h\), \(w\), \(\rho\) и скорость \(v\)) [2.0 балла]

b) Получите выражение для новой скорости \(v\) жидкости (через \(v_0\), \(P\), \(L\), \(B\) и \(\rho\)) после включения магнитного поля. [3.0 балла]

c) Получите выражение для дополнительной мощности, которую должна развивать турбина, чтобы увеличить скорость до её исходного значения \(v_0\). Перенесите результат в бланк ответов. [2.0 балла]

d) Теперь магнитное поле выключают, а ртуть заменяют водой, текущей со скоростью \(v_0\). Вдоль участка длиной \(L\) в направлении течения посылают монохроматическую электромагнитную волну. Показатель преломления воды равен \(n\), причём \(v_0\ll c\). Получите выражение для вклада движения жидкости в разность фаз между волнами на входе и выходе участка \(L\). Перенесите результат в бланк ответов. [3.0 балла]

Условие переведено с официального английского текста.

1a) الكليسترون

الكليسترونات أجهزة تُستخدم لتضخيم الإشارات ذات التردد العالي جدًا. يتكوّن الكليسترون أساسًا من زوجين متماثلين من الصفائح المتوازية (تجويفين)، تفصل بينهما مسافة \(b\)، كما هو موضح في الشكل.

تعبر حزمة إلكترونات ذات سرعة ابتدائية \(v_0\) المنظومة بأكملها، مارّةً عبر ثقوب صغيرة في الصفائح. يُطبَّق الجهد عالي التردد المراد تضخيمه على كلا زوجي الصفائح، مع فرق طور معيّن بينهما (حيث يقابل الزمن الدوري \(T\) طورًا مقداره \(2\pi\))، فينشأ مجالان كهربائيان أفقيان متناوبان في التجويفين. تتباطأ الإلكترونات التي تدخل تجويف الدخل عندما يكون المجال الكهربائي متجهًا إلى اليمين، والعكس صحيح، فتشكّل الإلكترونات الخارجة حُزَمًا متجمّعة على مسافة معيّنة. إذا وُضع تجويف الخرج عند موضع التجمّع، فإن المجال الكهربائي في هذا التجويف يمتص قدرة من الحزمة، بشرط اختيار طوره على نحو مناسب. لتكن إشارة الجهد موجة مربعة ذات زمن دوري \(T=1.0\times10^{-9}\ \mathrm{s}\)، تتغير بين \(V=\pm0.5\) فولت. السرعة الابتدائية للإلكترونات هي \(v_0=2.0\times10^6\ \mathrm{m/s}\)، ونسبة الشحنة إلى الكتلة هي \(e/m=1.76\times10^{11}\ \mathrm{C/kg}\). المسافة \(\alpha\) صغيرة إلى حدّ يمكن معه إهمال زمن العبور في التجويفين. احسب ما يلي مع الاحتفاظ بأربعة أرقام معنوية:

a) المسافة \(b\) التي تتجمّع عندها الإلكترونات. انقل نتيجتك إلى نموذج الإجابة. [1.5 درجة]

b) فرق الطور اللازم الذي يجب أن يوفّره مُزيح الطور. انقل نتيجتك إلى نموذج الإجابة. [1.0 درجة]

1b) المسافة بين الجزيئات

ليرمز \(d_L\) و\(d_V\) إلى متوسّط المسافة بين جزيئات الماء في الطور السائل وفي الطور البخاري، على الترتيب. افترض أن كلا الطورين عند \(100\ ^\circ\mathrm{C}\) والضغط الجوي، وأن البخار يسلك سلوك الغاز المثالي. باستخدام البيانات التالية، احسب النسبة \(d_V/d_L\)، وانقل نتيجتك إلى نموذج الإجابة. [2.5 درجة]

كثافة الماء في الطور السائل: \(\rho_L=1.0\times10^3\ \mathrm{kg/m^3}\)،

الكتلة المولية للماء: \(M=1.8\times10^{-2}\ \mathrm{kg/mol}\)
الضغط الجوي: \(P_a=1.0\times10^5\ \mathrm{N/m^2}\)
ثابت الغازات: \(R=8.3\ \mathrm{J/(mol\,K)}\)
عدد أفوغادرو: \(N_A=6.0\times10^{23}\) /mol

1c) مولّد بسيط لإشارة سنّ المنشار

يمكن الحصول على موجة جهد ذات شكل سنّ المنشار \(V_0\) بين طرفي المكثّف \(C\) في الشكل 1. يمثّل \(R\) مقاومة متغيّرة، و\(V_i\) بطارية مثالية، و\(SG\) فجوة شرارية تتكوّن من قطبين يمكن ضبط المسافة بينهما. عندما يتجاوز الجهد بين القطبين جهد القدح \(V_f\)، يحدث انهيار كهربائي للهواء بينهما، فتصبح الفجوة دارة قصر، وتبقى كذلك حتى يصبح الجهد بين طرفيها صغيرًا جدًا.

الشكل 1

a) ارسم موجة الجهد \(V_0\) بدلالة الزمن \(t\)، بعد إغلاق المفتاح. [0.5 درجة]

b) ما الشرط الذي يجب أن يتحقّق للحصول على موجة جهد ذات شكل سنّ المنشار \(V_0\) تتغيّر بصورة شبه خطية؟ انقل نتيجتك إلى نموذج الإجابة. [0.2 درجة]

c) بافتراض تحقّق هذا الشرط، اشتق تعبيرًا مبسّطًا للزمن الدوري \(T\) للموجة. انقل نتيجتك إلى نموذج الإجابة. [0.4 درجة]

d) ما الذي ينبغي تغييره (\(R\) و/أو \(SG\)) لتغيير الزمن الدوري فقط؟ انقل نتيجتك إلى نموذج الإجابة. [0.2 درجة]

e) ما الذي ينبغي تغييره (\(R\) و/أو \(SG\)) لتغيير السعة فقط؟ انقل نتيجتك إلى نموذج الإجابة. [0.2 درجة]

f) أُعطيت مصدر جهد مستمر إضافيًا قابلًا للضبط. صمّم دارة جديدة وارسمها، موضّحًا الطرفين اللذين تحصل بينهما على موجة الجهد \(V_0'\) المبيّنة في الشكل 2. [1.0 درجة]

الشكل 2

1d) حزمة ذرية

تُحضَّر حزمة ذرية بتسخين مجموعة من الذرات إلى درجة حرارة \(T\)، والسماح لها بالخروج أفقيًا عبر ثقب صغير (ذي أبعاد ذرية) قطره \(D\) في أحد جوانب الفرن. قدّر قطر الحزمة بعد أن تقطع طولًا أفقيًا \(L\) على امتداد مسارها. كتلة الذرة هي \(M\). انقل نتيجتك إلى نموذج الإجابة. [2.5 درجة]

نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي.

a) من المعروف أن معظم النجوم تشكّل أنظمة ثنائية. ويتكوّن أحد أنواع الأنظمة الثنائية من نجم عادي كتلته \(m_0\) ونصف قطره \(R\)، ونجم نيوتروني متراصّ أكبر كتلةً، كتلته \(M\)، يدور كلٌّ منهما حول الآخر. أهمل حركة الأرض في كل ما يأتي. تكشف أرصاد هذا النظام الثنائي عن المعلومات الآتية:

• الإزاحة الزاوية العظمى للنجم العادي هي \(\Delta\theta\)، بينما تبلغ الإزاحة الزاوية العظمى للنجم النيوتروني \(\Delta\phi\) (انظر الشكل 1).
• الزمن اللازم لحدوث هاتين الإزاحتين العظميين هو \(\tau\).
• تدل خصائص إشعاع النجم العادي على أن درجة حرارة سطحه هي \(T\)، وأن الطاقة الإشعاعية الساقطة على وحدة المساحة من سطح الأرض في وحدة الزمن هي \(P\).
• يختلف الطول الموجي لخط الكالسيوم في هذا الإشعاع عن طوله الموجي المعتاد \(\lambda_0\) بمقدار \(\Delta\lambda\)، بسبب مجال جاذبية النجم العادي وحده. (يمكن، في هذا الحساب، اعتبار أن للفوتون كتلة فعّالة مقدارها \(h/c\lambda\).)

الشكل 1

أوجد تعبيرًا للمسافة \(\ell\) من الأرض إلى هذا النظام، بدلالة الكميات المرصودة والثوابت الكونية فقط. انقل نتيجتك إلى ورقة الإجابة. [7 درجات]

b) افترض أن \(M\gg m_0\)، بحيث يكون النجم العادي في الأساس دائرًا حول النجم النيوتروني في مدار دائري نصف قطره \(r_0\). افترض أن النجم العادي يبدأ بقذف غاز نحو النجم النيوتروني بسرعة \(v_0\) بالنسبة إلى النجم العادي (انظر الشكل 2). بافتراض أن جاذبية النجم النيوتروني هي القوة المهيمنة في هذه المسألة، وبإهمال التغيرات في مدار النجم العادي، أوجد مسافة أقرب اقتراب \(r_f\) المبيّنة في الشكل 2. انقل نتيجتك إلى ورقة الإجابة. [3 درجات]

الشكل 2

نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي.

أنبوب بلاستيكي أفقي ذو مقطع مستطيل عرضه \(w\) وارتفاعه \(h\)، يشكّل حلقة مغلقة، مملوء بالزئبق ذي المقاومية الكهربائية \(\rho\). يُولِّد توربين زيادة في الضغط مقدارها \(P\)، ويدفع هذا المائع بسرعة ثابتة \(v_0\). والجداران الرأسيان المتقابلان لجزء من الأنبوب طوله \(L\) مصنوعان من النحاس.

حركة المائع الحقيقي معقّدة جدًّا. ولتبسيط الحالة نفترض ما يأتي:

• على الرغم من لزوجة المائع، فإن سرعته منتظمة على كامل المقطع العرضي.
• تتناسب سرعة المائع دائمًا طرديًّا مع محصلة القوى الخارجية المؤثرة فيه.
• المائع غير قابل للانضغاط.

يُوصَل هذان الجداران كهربائيًّا من الخارج بقصر كهربائي، ويُطبَّق في هذا الجزء وحده مجال مغناطيسي منتظم \(\mathbf B\) متجه رأسيًّا إلى أعلى. يوضّح الشكل أعلاه هذا الترتيب، مع متجهات الوحدة \(\hat{x}\)، \(\hat{y}\)، \(\hat{z}\) التي ستُستخدم في الحل.

a) أوجد القوة المؤثرة في المائع بسبب المجال المغناطيسي (بدلالة \(L\)، \(B\)، \(h\)، \(w\)، \(\rho\) والسرعة \(v\)) [2.0 درجة]

b) اشتق تعبيرًا للسرعة الجديدة \(v\) للمائع (بدلالة \(v_0\)، \(P\)، \(L\)، \(B\) و\(\rho\)) بعد تطبيق المجال المغناطيسي. [3.0 درجات]

c) اشتق تعبيرًا للقدرة الإضافية التي يجب أن يوفّرها التوربين لزيادة السرعة إلى قيمتها الأصلية \(v_0\). انقل نتيجتك إلى نموذج الإجابة. [2.0 درجة]

d) يُوقَف الآن المجال المغناطيسي، ويُستبدَل بالزئبق ماء يجري بسرعة \(v_0\). تُرسَل موجة كهرومغناطيسية ذات تردد واحد على امتداد الجزء ذي الطول \(L\) في اتجاه الجريان. معامل انكسار الماء هو \(n\)، و\(v_0\ll c\). اشتق تعبيرًا لمساهمة حركة المائع في فرق الطور بين الموجات الداخلة إلى الجزء \(L\) والخارجة منه. انقل نتيجتك إلى نموذج الإجابة. [3.0 درجات]

نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي.