Solution

1a) Klystron

(a) Bunching distance

Let \(e\) denote the magnitude of the electron charge and let \(U=0.5\ \mathrm{V}\). Neglect space-charge effects and the transit time through either cavity, as intended in the problem.

Nonrelativistic energy conservation gives the two possible speeds after the input cavity:

\[ \frac12mv_s^2=\frac12mv_0^2-eU, \qquad \frac12mv_f^2=\frac12mv_0^2+eU, \]

where \(v_s\) and \(v_f\) are the slow and fast speeds. Hence

\[ v_s=\sqrt{v_0^2-2(e/m)U} =1.955505\ldots\times10^6\ \mathrm{m/s}, \]

\[ v_f=\sqrt{v_0^2+2(e/m)U} =2.043526\ldots\times10^6\ \mathrm{m/s}. \]

Choose the input field to retard electrons during \(0\leq t<T/2\), and to accelerate them during \(T/2\leq t<T\).

A slow electron entering at time \(t_0\) and a fast electron entering at \(t_0+T/2\) reach the output together when

\[ t_0+\frac{b}{v_s} =t_0+\frac{T}{2}+\frac{b}{v_f}. \]

Therefore,

\[ b\left(\frac1{v_s}-\frac1{v_f}\right)=\frac{T}{2}, \]

so that

\[ \boxed{b=\frac{T\,v_sv_f}{2(v_f-v_s)}}. \]

For a square-wave modulation, this condition makes the entire slow half-cycle packet overlap in arrival time with the following fast half-cycle packet. It is the first maximum-bunching distance; the bunch has finite duration rather than being an instantaneous pulse.

Substitution, retaining extra digits until the final step, gives

\[ b=0.022699764\ldots\ \mathrm{m}. \]

Thus, to four significant figures,

\[ \boxed{b=0.02270\ \mathrm{m}=2.270\ \mathrm{cm}}. \]

(b) Phase difference

The slow and fast flight times across the drift region are

\[ \tau_s=\frac{b}{v_s}=11.6081337\ldots\,T, \qquad \tau_f=\frac{b}{v_f}=11.1081337\ldots\,T. \]

The slow packet reaches the output during

\[ [\tau_s,\tau_s+T/2), \]

while the following fast packet reaches it during

\[ [T/2+\tau_f,T+\tau_f). \]

These intervals coincide because \(\tau_s-\tau_f=T/2\).

To extract energy from the beam, the output electric field must point to the right throughout this occupied half-cycle, thereby retarding the electrons. Thus its waveform must reproduce the input waveform delayed by \(\tau_s\):

\[ E_{\mathrm{out}}(t)=E_{\mathrm{in}}(t-\tau_s). \]

Only the fractional part of \(\tau_s/T\) matters:

\[ \frac{\tau_s\bmod T}{T}=0.6081337\ldots. \]

The required output phase lag is therefore

\[ \Delta\phi_{\mathrm{lag}} =2\pi(0.6081337\ldots) =3.8210167\ldots\ \mathrm{rad}. \]

Hence

\[ \boxed{\Delta\phi_{\mathrm{lag}}=3.821\ \mathrm{rad}=218.9^\circ}. \]

If phase is instead written as an additive argument, \(E_{\mathrm{out}}\propto s(\omega t+\phi)\), the same setting is

\[ \boxed{\phi=-3.821\ \mathrm{rad} \equiv 2.462\ \mathrm{rad}\pmod{2\pi}}. \]

1b) Intermolecular distance

For molecular number density \(n\), the characteristic intermolecular spacing is estimated by assigning a volume \(d^3\) to each molecule:

\[ d\sim n^{-1/3}. \]

The liquid’s number density is

\[ n_L=\frac{\rho_LN_A}{M}, \]

so

\[ d_L=\left(\frac{M}{\rho_LN_A}\right)^{1/3}. \]

For the ideal vapor,

\[ P_aV=\frac{N}{N_A}RT, \]

and therefore

\[ n_V=\frac{N}{V}=\frac{P_aN_A}{RT}, \qquad d_V=\left(\frac{RT}{P_aN_A}\right)^{1/3}. \]

Taking the ratio cancels Avogadro’s number:

\[ \frac{d_V}{d_L} =\left(\frac{\rho_LRT}{P_aM}\right)^{1/3}. \]

Using \(T\simeq373\ \mathrm{K}\),

\[ \frac{d_V}{d_L} = \left[ \frac{(1.0\times10^3)(8.3)(373)} {(1.0\times10^5)(1.8\times10^{-2})} \right]^{1/3} =11.9813\ldots. \]

Thus, consistently with the supplied data,

\[ \boxed{\frac{d_V}{d_L}\simeq 12}. \]

The corresponding characteristic distances are approximately

\[ d_L=3.1\times10^{-10}\ \mathrm{m}, \qquad d_V=3.7\times10^{-9}\ \mathrm{m}. \]

1c) Simple sawtooth signal generator

Assume the capacitor is initially uncharged, the residual voltage after a spark is negligible, and discharge takes much less time than charging.

(a) Voltage waveform

While the spark gap is nonconducting, Kirchhoff’s voltage law gives

\[ V_i=IR+V_0, \qquad I=C\frac{dV_0}{dt}. \]

Consequently,

\[ RC\frac{dV_0}{dt}=V_i-V_0. \]

Starting from \(V_0=0\), the charging solution is

\[ \boxed{V_0(\tau)=V_i\left(1-e^{-\tau/(RC)}\right)}. \]

When \(V_0\) reaches \(V_f\), the spark gap conducts and rapidly discharges the capacitor. The gap then becomes nonconducting, and charging begins again.

The requested sketch therefore has:

• An initial point at \((t,V_0)=(0,0)\).
• A rising, concave-down exponential segment ending at \(V_f\).
• A nearly vertical drop from \(V_f\) to \(0\).
• Identical repetitions at regular intervals.

If continued without firing, each charging segment would approach the asymptote \(V_i\). Sustained oscillation requires \(V_i>V_f\); otherwise the capacitor cannot reach the firing threshold in finite time.

(b) Condition for an almost linear ramp

The charging slope is

\[ \frac{dV_0}{dt}=\frac{V_i-V_0}{RC}. \]

It remains nearly constant throughout \(0\leq V_0\leq V_f\) if

\[ \boxed{V_f\ll V_i}. \]

Then

\[ \frac{dV_0}{dt}\simeq\frac{V_i}{RC}, \qquad V_0(\tau)\simeq\frac{V_i}{RC}\tau. \]

(c) Period

Neglecting the discharge duration, the exact charging time to the threshold follows from

\[ V_f=V_i\left(1-e^{-T/(RC)}\right). \]

Thus,

\[ T=RC\ln\left(\frac{V_i}{V_i-V_f}\right). \]

For \(V_f/V_i\ll1\), use \(-\ln(1-x)\simeq x\):

\[ \boxed{T\simeq RC\frac{V_f}{V_i}}. \]

Equivalently, the nearly constant charging current \(V_i/R\) must deliver the charge \(CV_f\), giving the same result.

(d) Changing the period only

The peak voltage is fixed by the spark-gap threshold \(V_f\), while the charging time is proportional to \(R\).

Therefore, vary \(R\) only, keeping \(SG\) fixed. Increasing \(R\) increases the period without changing the peak-to-peak amplitude.

(e) Changing the amplitude only

The peak-to-peak amplitude is approximately \(V_f\). Change the electrode separation of \(SG\) to change this threshold.

Because

\[ T\simeq \frac{C}{V_i}RV_f, \]

keeping the period constant requires

\[ \boxed{R_{\mathrm{new}}V_{f,\mathrm{new}} =R_{\mathrm{old}}V_{f,\mathrm{old}}}. \]

Thus both \(SG\) and \(R\) must be adjusted. For example, increasing the firing voltage requires a compensating decrease in resistance.

Without the linear approximation, the corresponding exact condition is

\[ R\ln\left(\frac{V_i}{V_i-V_f}\right)=\text{constant}. \]

(f) Circuit for the descending sawtooth

Define the original circuit’s lower rail as node \(G\), and the capacitor’s upper terminal as node \(A\). Then

\[ V(A)-V(G)=V_0. \]

Make the following connections:

1. Retain the original oscillator circuit.
2. Connect the additional DC supply’s negative terminal to \(G\).
3. Adjust this supply to \(V_f\), and call its positive terminal \(B\).
4. Take the new output between \(B\) and \(A\), with positive at \(B\) and negative at \(A\).

For a high-impedance output measurement,

\[ V_0'=V(B)-V(A)=V_f-V_0. \]

During each nearly linear charging interval,

\[ V_0'\simeq V_f-\frac{V_i}{RC}\tau =V_f\left(1-\frac{\tau}{T}\right). \]

Thus the output starts at \(V_f\), falls almost linearly to \(0\), and jumps back to \(V_f\) when the spark discharges the capacitor. These are precisely the intercepts, slopes, and jumps shown in Fig. 2.

1d) Atomic beam

The atomic-scale opening produces quantum diffraction. Let \(h\) be Planck’s constant and \(k_B\) Boltzmann’s constant.

A representative thermal speed follows from equipartition:

\[ \frac12Mv_{\mathrm{th}}^2=\frac32k_BT, \]

giving

\[ v_{\mathrm{th}}=\sqrt{\frac{3k_BT}{M}}, \qquad p_{\mathrm{th}}=Mv_{\mathrm{th}}=\sqrt{3Mk_BT}. \]

This uses the rms thermal speed as a representative speed; an estimate does not require resolving the full distribution of emerging velocities.

The corresponding de Broglie wavelength is

\[ \lambda=\frac{h}{p_{\mathrm{th}}} =\frac{h}{\sqrt{3Mk_BT}}. \]

For an opening of width \(D\), the characteristic diffraction half-angle satisfies

\[ \theta\sim\frac{\lambda}{D}. \]

This follows because an angular deflection \(\theta\) produces a path difference of order \(D\theta\) across the opening; appreciable diffraction occurs when that difference is comparable with \(\lambda\).

For small angles, propagation over distance \(L\) increases the beam radius by approximately \(L\theta\). A simple diameter estimate is therefore

\[ d_{\mathrm{beam}}\sim D+2L\theta, \]

or

\[ \boxed{ d_{\mathrm{beam}}\sim D+\frac{2hL}{D\sqrt{3Mk_BT}} }. \]

The initial aperture diameter matters when spreading is small. When diffraction dominates,

\[ \boxed{ d_{\mathrm{beam}}\sim\frac{hL}{D\sqrt{Mk_BT}} } \]

up to numerical factors of order unity.

For a more specific convention, the first diffraction minimum of an ideal circular aperture occurs at \(\theta\simeq1.22\lambda/D\). Its far-field central-disk diameter would therefore be

\[ d_{\mathrm{first\ minimum}} \simeq \frac{2.44hL}{D\sqrt{3Mk_BT}}. \]

The small-angle estimates require \(\lambda/D\ll1\). If this ratio is not small, the emerging wave is broadly divergent.

The solution was checked against the official solution.

Lösung

1a) Klystron

(a) Abstand der Paketbildung

\(e\) bezeichne den Betrag der Elektronenladung, und es sei \(U=0.5\ \mathrm{V}\). Vernachlässigen Sie Raumladungseffekte und die Durchlaufzeit durch beide Resonatoren, wie in der Aufgabenstellung vorgesehen.

Aus der nichtrelativistischen Energieerhaltung ergeben sich die beiden möglichen Geschwindigkeiten nach dem Eingangsresonator:

\[ \frac12mv_s^2=\frac12mv_0^2-eU, \qquad \frac12mv_f^2=\frac12mv_0^2+eU, \]

wobei \(v_s\) und \(v_f\) die langsame beziehungsweise schnelle Geschwindigkeit sind. Somit gilt

\[ v_s=\sqrt{v_0^2-2(e/m)U} =1.955505\ldots\times10^6\ \mathrm{m/s}, \]

\[ v_f=\sqrt{v_0^2+2(e/m)U} =2.043526\ldots\times10^6\ \mathrm{m/s}. \]

Wählen Sie das Eingangsfeld so, dass es die Elektronen während \(0\leq t<T/2\) abbremst und während \(T/2\leq t<T\) beschleunigt.

Ein langsames Elektron, das zum Zeitpunkt \(t_0\) eintritt, und ein schnelles Elektron, das bei \(t_0+T/2\) eintritt, erreichen den Ausgang gleichzeitig, wenn

\[ t_0+\frac{b}{v_s} =t_0+\frac{T}{2}+\frac{b}{v_f}. \]

Daher gilt

\[ b\left(\frac1{v_s}-\frac1{v_f}\right)=\frac{T}{2}, \]

sodass

\[ \boxed{b=\frac{T\,v_sv_f}{2(v_f-v_s)}}. \]

Bei einer Rechteckmodulation bewirkt diese Bedingung, dass sich das gesamte langsame Halbperiodenpaket hinsichtlich der Ankunftszeit mit dem nachfolgenden schnellen Halbperiodenpaket überlagert. Dies ist der erste Abstand maximaler Bündelung; das Paket hat eine endliche Dauer und ist kein augenblicklicher Impuls.

Durch Einsetzen, wobei zusätzliche Stellen bis zum letzten Rechenschritt beibehalten werden, ergibt sich

\[ b=0.022699764\ldots\ \mathrm{m}. \]

Auf vier signifikante Stellen erhält man somit

\[ \boxed{b=0.02270\ \mathrm{m}=2.270\ \mathrm{cm}}. \]

(b) Phasendifferenz

Die Flugzeiten der langsamen und schnellen Elektronen durch den Driftraum betragen

\[ \tau_s=\frac{b}{v_s}=11.6081337\ldots\,T, \qquad \tau_f=\frac{b}{v_f}=11.1081337\ldots\,T. \]

Das langsame Paket erreicht den Ausgang während des Zeitintervalls

\[ [\tau_s,\tau_s+T/2), \]

während das nachfolgende schnelle Paket ihn in folgendem Zeitintervall erreicht:

\[ [T/2+\tau_f,T+\tau_f). \]

Diese Intervalle stimmen überein, da \(\tau_s-\tau_f=T/2\) gilt.

Um dem Strahl Energie zu entziehen, muss das elektrische Ausgangsfeld während dieser gesamten mit Elektronen besetzten Halbperiode nach rechts gerichtet sein und dadurch die Elektronen abbremsen. Sein zeitlicher Verlauf muss daher den Verlauf des Eingangsfelds um \(\tau_s\) verzögert wiedergeben:

\[ E_{\mathrm{out}}(t)=E_{\mathrm{in}}(t-\tau_s). \]

Nur der Nachkommaanteil von \(\tau_s/T\) ist von Bedeutung:

\[ \frac{\tau_s\bmod T}{T}=0.6081337\ldots. \]

Die erforderliche Phasenverzögerung des Ausgangsfelds beträgt daher

\[ \Delta\phi_{\mathrm{lag}} =2\pi(0.6081337\ldots) =3.8210167\ldots\ \mathrm{rad}. \]

Somit gilt

\[ \boxed{\Delta\phi_{\mathrm{lag}}=3.821\ \mathrm{rad}=218.9^\circ}. \]

Wird die Phase stattdessen als additiver Term im Argument geschrieben, \(E_{\mathrm{out}}\propto s(\omega t+\phi)\), entspricht dieselbe Einstellung

\[ \boxed{\phi=-3.821\ \mathrm{rad} \equiv 2.462\ \mathrm{rad}\pmod{2\pi}}. \]

1b) Intermolekularer Abstand

Bei einer molekularen Anzahldichte \(n\) lässt sich der charakteristische intermolekulare Abstand abschätzen, indem jedem Molekül ein Volumen \(d^3\) zugeordnet wird:

\[ d\sim n^{-1/3}. \]

Die Anzahldichte der Flüssigkeit ist

\[ n_L=\frac{\rho_LN_A}{M}, \]

also gilt

\[ d_L=\left(\frac{M}{\rho_LN_A}\right)^{1/3}. \]

Für den idealen Dampf gilt

\[ P_aV=\frac{N}{N_A}RT, \]

und daher

\[ n_V=\frac{N}{V}=\frac{P_aN_A}{RT}, \qquad d_V=\left(\frac{RT}{P_aN_A}\right)^{1/3}. \]

Bei der Bildung des Verhältnisses kürzt sich die Avogadro-Konstante heraus:

\[ \frac{d_V}{d_L} =\left(\frac{\rho_LRT}{P_aM}\right)^{1/3}. \]

Mit \(T\simeq373\ \mathrm{K}\) folgt

\[ \frac{d_V}{d_L} = \left[ \frac{(1.0\times10^3)(8.3)(373)} {(1.0\times10^5)(1.8\times10^{-2})} \right]^{1/3} =11.9813\ldots. \]

Entsprechend der Genauigkeit der gegebenen Daten ergibt sich somit

\[ \boxed{\frac{d_V}{d_L}\simeq 12}. \]

Die zugehörigen charakteristischen Abstände betragen ungefähr

\[ d_L=3.1\times10^{-10}\ \mathrm{m}, \qquad d_V=3.7\times10^{-9}\ \mathrm{m}. \]

1c) Einfacher Sägezahnsignalgenerator

Es wird angenommen, dass der Kondensator anfangs ungeladen ist, die Restspannung nach einer Funkenentladung vernachlässigbar ist und die Entladung wesentlich weniger Zeit beansprucht als das Aufladen.

(a) Spannungsverlauf

Solange die Funkenstrecke nichtleitend ist, liefert die Kirchhoffsche Maschenregel

\[ V_i=IR+V_0, \qquad I=C\frac{dV_0}{dt}. \]

Folglich gilt

\[ RC\frac{dV_0}{dt}=V_i-V_0. \]

Ausgehend von \(V_0=0\) lautet die Lösung für den Ladevorgang

\[ \boxed{V_0(\tau)=V_i\left(1-e^{-\tau/(RC)}\right)}. \]

Wenn \(V_0\) den Wert \(V_f\) erreicht, wird die Funkenstrecke leitend und entlädt den Kondensator rasch. Anschließend wird die Funkenstrecke wieder nichtleitend, und der Ladevorgang beginnt erneut.

Die verlangte Skizze weist daher Folgendes auf:

• Einen Anfangspunkt bei \((t,V_0)=(0,0)\).
• Einen ansteigenden, nach unten gekrümmten exponentiellen Abschnitt, der bei \(V_f\) endet.
• Einen nahezu senkrechten Abfall von \(V_f\) auf \(0\).
• Identische Wiederholungen in regelmäßigen Abständen.

Würde jeder Ladeabschnitt ohne Zündung fortgesetzt, würde er sich der Asymptote \(V_i\) annähern. Eine anhaltende Schwingung setzt \(V_i>V_f\) voraus; andernfalls kann der Kondensator die Zündschwelle nicht in endlicher Zeit erreichen.

(b) Bedingung für einen nahezu linearen Anstieg

Die Steigung beim Aufladen beträgt

\[ \frac{dV_0}{dt}=\frac{V_i-V_0}{RC}. \]

Sie bleibt im gesamten Bereich \(0\leq V_0\leq V_f\) nahezu konstant, wenn

\[ \boxed{V_f\ll V_i}. \]

Dann gilt

\[ \frac{dV_0}{dt}\simeq\frac{V_i}{RC}, \qquad V_0(\tau)\simeq\frac{V_i}{RC}\tau. \]

(c) Periodendauer

Unter Vernachlässigung der Entladedauer folgt die exakte Ladezeit bis zur Schwelle aus

\[ V_f=V_i\left(1-e^{-T/(RC)}\right). \]

Somit gilt

\[ T=RC\ln\left(\frac{V_i}{V_i-V_f}\right). \]

Für \(V_f/V_i\ll1\) verwendet man \(-\ln(1-x)\simeq x\):

\[ \boxed{T\simeq RC\frac{V_f}{V_i}}. \]

Gleichwertig dazu muss der nahezu konstante Ladestrom \(V_i/R\) die Ladung \(CV_f\) zuführen, was zum selben Ergebnis führt.

(d) Änderung nur der Periodendauer

Die Spitzenspannung wird durch die Zündschwelle \(V_f\) der Funkenstrecke festgelegt, während die Ladezeit proportional zu \(R\) ist.

Verändern Sie daher nur \(R\) und lassen Sie \(SG\) unverändert. Eine Erhöhung von \(R\) verlängert die Periodendauer, ohne die Spitze-Spitze-Amplitude zu verändern.

(e) Änderung nur der Amplitude

Die Spitze-Spitze-Amplitude beträgt ungefähr \(V_f\). Ändern Sie den Elektrodenabstand von \(SG\), um diese Schwelle zu verändern.

Da

\[ T\simeq \frac{C}{V_i}RV_f, \]

muss für eine konstante Periodendauer gelten:

\[ \boxed{R_{\mathrm{new}}V_{f,\mathrm{new}} =R_{\mathrm{old}}V_{f,\mathrm{old}}}. \]

Somit müssen sowohl \(SG\) als auch \(R\) angepasst werden. Eine Erhöhung der Zündspannung erfordert beispielsweise eine entsprechende Verringerung des Widerstands.

Ohne die lineare Näherung lautet die entsprechende exakte Bedingung

\[ R\ln\left(\frac{V_i}{V_i-V_f}\right)=\text{konstant}. \]

(f) Schaltung für die abfallende Sägezahnspannung

Bezeichnen Sie die untere Leitung der ursprünglichen Schaltung als Knoten \(G\) und den oberen Anschluss des Kondensators als Knoten \(A\). Dann gilt

\[ V(A)-V(G)=V_0. \]

Stellen Sie die folgenden Verbindungen her:

1. Behalten Sie die ursprüngliche Oszillatorschaltung bei.
2. Verbinden Sie den Minuspol der zusätzlichen Gleichspannungsquelle mit \(G\).
3. Stellen Sie diese Spannungsquelle auf \(V_f\) ein und bezeichnen Sie ihren Pluspol mit \(B\).
4. Greifen Sie die neue Ausgangsspannung zwischen \(B\) und \(A\) ab, mit dem positiven Anschluss an \(B\) und dem negativen Anschluss an \(A\).

Bei einer hochohmigen Messung der Ausgangsspannung gilt

\[ V_0'=V(B)-V(A)=V_f-V_0. \]

Während jedes nahezu linearen Ladeintervalls gilt

\[ V_0'\simeq V_f-\frac{V_i}{RC}\tau =V_f\left(1-\frac{\tau}{T}\right). \]

Die Ausgangsspannung beginnt somit bei \(V_f\), fällt nahezu linear auf \(0\) und springt auf \(V_f\) zurück, wenn der Funke den Kondensator entlädt. Dies sind genau die in Abb. 2 dargestellten Achsenabschnitte, Steigungen und Sprünge.

1d) Atomstrahl

Die Öffnung mit atomaren Abmessungen bewirkt quantenmechanische Beugung. \(h\) sei die Plancksche Konstante und \(k_B\) die Boltzmann-Konstante.

Eine repräsentative thermische Geschwindigkeit folgt aus dem Gleichverteilungssatz:

\[ \frac12Mv_{\mathrm{th}}^2=\frac32k_BT, \]

woraus sich ergibt:

\[ v_{\mathrm{th}}=\sqrt{\frac{3k_BT}{M}}, \qquad p_{\mathrm{th}}=Mv_{\mathrm{th}}=\sqrt{3Mk_BT}. \]

Hier wird die quadratisch gemittelte thermische Geschwindigkeit als repräsentative Geschwindigkeit verwendet; für eine Abschätzung muss die vollständige Geschwindigkeitsverteilung der austretenden Atome nicht bestimmt werden.

Die zugehörige De-Broglie-Wellenlänge ist

\[ \lambda=\frac{h}{p_{\mathrm{th}}} =\frac{h}{\sqrt{3Mk_BT}}. \]

Für eine Öffnung der Breite \(D\) erfüllt der charakteristische Beugungshalbwinkel die Beziehung

\[ \theta\sim\frac{\lambda}{D}. \]

Dies folgt daraus, dass eine Ablenkung um den Winkel \(\theta\) über die Öffnung hinweg einen Gangunterschied der Größenordnung \(D\theta\) erzeugt; merkliche Beugung tritt auf, wenn dieser Unterschied mit \(\lambda\) vergleichbar ist.

Für kleine Winkel vergrößert die Ausbreitung über die Strecke \(L\) den Strahlradius um ungefähr \(L\theta\). Eine einfache Abschätzung des Durchmessers lautet daher

\[ d_{\mathrm{beam}}\sim D+2L\theta, \]

oder

\[ \boxed{ d_{\mathrm{beam}}\sim D+\frac{2hL}{D\sqrt{3Mk_BT}} }. \]

Der anfängliche Öffnungsdurchmesser ist von Bedeutung, wenn die Aufweitung gering ist. Wenn die Beugung dominiert, gilt

\[ \boxed{ d_{\mathrm{beam}}\sim\frac{hL}{D\sqrt{Mk_BT}} } \]

bis auf Zahlenfaktoren der Größenordnung eins.

Für eine konkretere Definition liegt das erste Beugungsminimum einer idealen kreisförmigen Öffnung bei \(\theta\simeq1.22\lambda/D\). Der Durchmesser ihres zentralen Beugungsscheibchens im Fernfeld wäre daher

\[ d_{\mathrm{first\ minimum}} \simeq \frac{2.44hL}{D\sqrt{3Mk_BT}}. \]

Die Kleinwinkelabschätzungen setzen \(\lambda/D\ll1\) voraus. Ist dieses Verhältnis nicht klein, divergiert die austretende Welle stark.

Die Lösung wurde mit der offiziellen Lösung abgeglichen.

Çözüm

1a) Klistron

(a) Demetçik oluşma uzaklığı

\(e\), elektron yükünün büyüklüğünü göstersin ve \(U=0.5\ \mathrm{V}\) olsun. Soruda amaçlandığı üzere, uzay yükü etkilerini ve her iki kavitedeki geçiş süresini ihmal edin.

Göreli olmayan enerji korunumu, giriş kavitesinden sonraki iki olası sürati verir:

\[ \frac12mv_s^2=\frac12mv_0^2-eU, \qquad \frac12mv_f^2=\frac12mv_0^2+eU, \]

burada \(v_s\) ve \(v_f\), yavaş ve hızlı elektronların süratleridir. Dolayısıyla

\[ v_s=\sqrt{v_0^2-2(e/m)U} =1.955505\ldots\times10^6\ \mathrm{m/s}, \]

\[ v_f=\sqrt{v_0^2+2(e/m)U} =2.043526\ldots\times10^6\ \mathrm{m/s}. \]

Giriş alanını, \(0\leq t<T/2\) aralığında elektronları yavaşlatacak, \(T/2\leq t<T\) aralığında ise hızlandıracak şekilde seçin.

\(t_0\) anında giren yavaş bir elektron ile \(t_0+T/2\) anında giren hızlı bir elektron, şu koşul sağlandığında çıkışa birlikte ulaşır:

\[ t_0+\frac{b}{v_s} =t_0+\frac{T}{2}+\frac{b}{v_f}. \]

Bu nedenle,

\[ b\left(\frac1{v_s}-\frac1{v_f}\right)=\frac{T}{2}, \]

buradan da

\[ \boxed{b=\frac{T\,v_sv_f}{2(v_f-v_s)}}. \]

Kare dalga modülasyonunda bu koşul, yavaş yarım çevrim paketinin tamamının varış zamanlarının, onu izleyen hızlı yarım çevrim paketinin varış zamanlarıyla örtüşmesini sağlar. Bu, demetçik oluşumunun en yüksek düzeye ulaştığı ilk uzaklıktır; demetçik anlık bir darbe değil, sonlu süreli bir pakettir.

Son adıma kadar ek basamaklar korunarak değerler yerine konulduğunda

\[ b=0.022699764\ldots\ \mathrm{m}. \]

elde edilir. Böylece, dört anlamlı basamakla,

\[ \boxed{b=0.02270\ \mathrm{m}=2.270\ \mathrm{cm}}. \]

(b) Faz farkı

Yavaş ve hızlı elektronların sürüklenme bölgesini geçiş süreleri

\[ \tau_s=\frac{b}{v_s}=11.6081337\ldots\,T, \qquad \tau_f=\frac{b}{v_f}=11.1081337\ldots\,T. \]

şeklindedir. Yavaş paket çıkışa

\[ [\tau_s,\tau_s+T/2), \]

aralığında ulaşırken, onu izleyen hızlı paket

\[ [T/2+\tau_f,T+\tau_f). \]

aralığında ulaşır. \(\tau_s-\tau_f=T/2\) olduğundan bu aralıklar çakışır.

Demetten enerji çekebilmek için, çıkış elektrik alanı elektronların bulunduğu bu yarım çevrim boyunca sağa yönelmiş olmalı ve böylece elektronları yavaşlatmalıdır. Dolayısıyla çıkış alanının dalga biçimi, giriş dalga biçiminin \(\tau_s\) kadar geciktirilmiş hâli olmalıdır:

\[ E_{\mathrm{out}}(t)=E_{\mathrm{in}}(t-\tau_s). \]

Yalnızca \(\tau_s/T\)'nin kesirli kısmı önemlidir:

\[ \frac{\tau_s\bmod T}{T}=0.6081337\ldots. \]

Bu nedenle gerekli çıkış faz gecikmesi

\[ \Delta\phi_{\mathrm{lag}} =2\pi(0.6081337\ldots) =3.8210167\ldots\ \mathrm{rad}. \]

olur. Böylece

\[ \boxed{\Delta\phi_{\mathrm{lag}}=3.821\ \mathrm{rad}=218.9^\circ}. \]

Faz bunun yerine \(E_{\mathrm{out}}\propto s(\omega t+\phi)\) biçiminde, argümana eklenen bir terim olarak yazılırsa, aynı ayar

\[ \boxed{\phi=-3.821\ \mathrm{rad} \equiv 2.462\ \mathrm{rad}\pmod{2\pi}}. \]

şeklindedir.

1b) Moleküller arası uzaklık

Moleküllerin sayı yoğunluğu \(n\) olduğunda, her moleküle \(d^3\) hacmi ayrılarak moleküller arası karakteristik uzaklık tahmin edilir:

\[ d\sim n^{-1/3}. \]

Sıvının sayı yoğunluğu

\[ n_L=\frac{\rho_LN_A}{M}, \]

olduğundan

\[ d_L=\left(\frac{M}{\rho_LN_A}\right)^{1/3}. \]

İdeal buhar için,

\[ P_aV=\frac{N}{N_A}RT, \]

ve dolayısıyla

\[ n_V=\frac{N}{V}=\frac{P_aN_A}{RT}, \qquad d_V=\left(\frac{RT}{P_aN_A}\right)^{1/3}. \]

Oran alındığında Avogadro sayısı sadeleşir:

\[ \frac{d_V}{d_L} =\left(\frac{\rho_LRT}{P_aM}\right)^{1/3}. \]

\(T\simeq373\ \mathrm{K}\) kullanılarak,

\[ \frac{d_V}{d_L} = \left[ \frac{(1.0\times10^3)(8.3)(373)} {(1.0\times10^5)(1.8\times10^{-2})} \right]^{1/3} =11.9813\ldots. \]

Böylece, verilen verilerin hassasiyetiyle tutarlı olarak,

\[ \boxed{\frac{d_V}{d_L}\simeq 12}. \]

Buna karşılık gelen karakteristik uzaklıklar yaklaşık olarak

\[ d_L=3.1\times10^{-10}\ \mathrm{m}, \qquad d_V=3.7\times10^{-9}\ \mathrm{m}. \]

değerindedir.

1c) Basit testere dişi sinyal üreteci

Kondansatörün başlangıçta yüksüz olduğunu, kıvılcımdan sonra kalan gerilimin ihmal edilebilir olduğunu ve boşalmanın yüklenmeden çok daha kısa sürdüğünü varsayın.

(a) Gerilim dalga biçimi

Kıvılcım aralığı iletken değilken Kirchhoff'un gerilim yasası

\[ V_i=IR+V_0, \qquad I=C\frac{dV_0}{dt}. \]

bağıntılarını verir. Dolayısıyla,

\[ RC\frac{dV_0}{dt}=V_i-V_0. \]

\(V_0=0\)'dan başlayan yüklenme çözümü

\[ \boxed{V_0(\tau)=V_i\left(1-e^{-\tau/(RC)}\right)}. \]

şeklindedir. \(V_0\), \(V_f\)'ye ulaştığında kıvılcım aralığı iletken hâle gelir ve kondansatörü hızla boşaltır. Ardından aralık yeniden yalıtkan hâle gelir ve yüklenme tekrar başlar.

Dolayısıyla istenen çizim şu özelliklere sahiptir:

• \((t,V_0)=(0,0)\) noktasında bir başlangıç.
• \(V_f\)'de sonlanan, yükselen ve aşağı doğru içbükey bir üstel parça.
• \(V_f\)'den \(0\)'a neredeyse düşey bir iniş.
• Düzenli aralıklarla aynı biçimin tekrarlanması.

Ateşleme olmadan devam etseydi, her yüklenme parçası \(V_i\) asimptotuna yaklaşırdı. Sürekli salınım için \(V_i>V_f\) gerekir; aksi hâlde kondansatör sonlu bir sürede ateşleme eşiğine ulaşamaz.

(b) Yaklaşık doğrusal bir rampa için koşul

Yüklenme sırasındaki eğim

\[ \frac{dV_0}{dt}=\frac{V_i-V_0}{RC}. \]

şeklindedir. Bu eğimin \(0\leq V_0\leq V_f\) aralığının tamamında yaklaşık sabit kalması için

\[ \boxed{V_f\ll V_i}. \]

olmalıdır. Bu durumda

\[ \frac{dV_0}{dt}\simeq\frac{V_i}{RC}, \qquad V_0(\tau)\simeq\frac{V_i}{RC}\tau. \]

(c) Periyot

Boşalma süresi ihmal edildiğinde, eşiğe kadar yüklenmenin tam süresi

\[ V_f=V_i\left(1-e^{-T/(RC)}\right). \]

bağıntısından bulunur. Böylece,

\[ T=RC\ln\left(\frac{V_i}{V_i-V_f}\right). \]

\(V_f/V_i\ll1\) için \(-\ln(1-x)\simeq x\) yaklaşımı kullanılır:

\[ \boxed{T\simeq RC\frac{V_f}{V_i}}. \]

Eşdeğer olarak, yaklaşık sabit olan \(V_i/R\) yüklenme akımı \(CV_f\) yükünü sağlamalıdır; bu da aynı sonucu verir.

(d) Yalnızca periyodun değiştirilmesi

Tepe gerilimi kıvılcım aralığının \(V_f\) eşiğiyle belirlenirken, yüklenme süresi \(R\) ile orantılıdır.

Bu nedenle, \(SG\)'yi sabit tutarak yalnızca \(R\)'yi değiştirin. \(R\)'yi artırmak, tepeden tepeye genliği değiştirmeden periyodu artırır.

(e) Yalnızca genliğin değiştirilmesi

Tepeden tepeye genlik yaklaşık olarak \(V_f\)'dir. Bu eşiği değiştirmek için \(SG\)'nin elektrotları arasındaki uzaklığı değiştirin.

\[ T\simeq \frac{C}{V_i}RV_f, \]

olduğundan, periyodu sabit tutmak için

\[ \boxed{R_{\mathrm{new}}V_{f,\mathrm{new}} =R_{\mathrm{old}}V_{f,\mathrm{old}}}. \]

koşulu gerekir. Dolayısıyla hem \(SG\) hem de \(R\) ayarlanmalıdır. Örneğin, ateşleme geriliminin artırılması, bunu dengelemek üzere direncin azaltılmasını gerektirir.

Doğrusal yaklaşım kullanılmadığında, buna karşılık gelen tam koşul

\[ R\ln\left(\frac{V_i}{V_i-V_f}\right)=\text{sabit}. \]

şeklindedir.

(f) Azalan testere dişi için devre

Özgün devrenin alt iletken hattını \(G\) düğümü, kondansatörün üst ucunu ise \(A\) düğümü olarak tanımlayın. Bu durumda

\[ V(A)-V(G)=V_0. \]

Aşağıdaki bağlantıları yapın:

1. Özgün osilatör devresini koruyun.
2. Ek doğru gerilim kaynağının negatif ucunu \(G\)'ye bağlayın.
3. Bu kaynağı \(V_f\)'ye ayarlayın ve pozitif ucunu \(B\) olarak adlandırın.
4. Yeni çıkışı \(B\) ile \(A\) arasından, pozitif uç \(B\)'de ve negatif uç \(A\)'da olacak şekilde alın.

Yüksek empedanslı bir çıkış ölçümü için,

\[ V_0'=V(B)-V(A)=V_f-V_0. \]

Yaklaşık doğrusal olan her yüklenme aralığında,

\[ V_0'\simeq V_f-\frac{V_i}{RC}\tau =V_f\left(1-\frac{\tau}{T}\right). \]

Dolayısıyla çıkış \(V_f\)'den başlar, yaklaşık doğrusal olarak \(0\)'a iner ve kıvılcım kondansatörü boşalttığında yeniden \(V_f\)'ye sıçrar. Bunlar, Şekil 2'de gösterilen eksen kesişimleri, eğimler ve sıçramalarla tam olarak aynıdır.

1d) Atom demeti

Atomik ölçekteki açıklık kuantum kırınımına yol açar. \(h\) Planck sabiti, \(k_B\) ise Boltzmann sabiti olsun.

Temsilî bir ısıl sürat, enerjinin eşit paylaşımı ilkesinden bulunur:

\[ \frac12Mv_{\mathrm{th}}^2=\frac32k_BT, \]

buradan

\[ v_{\mathrm{th}}=\sqrt{\frac{3k_BT}{M}}, \qquad p_{\mathrm{th}}=Mv_{\mathrm{th}}=\sqrt{3Mk_BT}. \]

elde edilir. Burada temsilî sürat olarak karekök ortalama kare ısıl sürat kullanılır; bir tahmin yapmak için çıkan atomların hız dağılımının tamamını belirlemek gerekmez.

Buna karşılık gelen de Broglie dalga boyu

\[ \lambda=\frac{h}{p_{\mathrm{th}}} =\frac{h}{\sqrt{3Mk_BT}}. \]

şeklindedir. Genişliği \(D\) olan bir açıklık için karakteristik kırınım yarı açısı

\[ \theta\sim\frac{\lambda}{D}. \]

bağıntısını sağlar. Bunun nedeni, \(\theta\) açısal sapmasının açıklık boyunca \(D\theta\) mertebesinde bir yol farkı oluşturmasıdır; bu fark \(\lambda\) ile karşılaştırılabilir olduğunda belirgin kırınım meydana gelir.

Küçük açılar için, \(L\) uzaklığı boyunca ilerleme demetin yarıçapını yaklaşık \(L\theta\) kadar artırır. Dolayısıyla basit bir çap tahmini

\[ d_{\mathrm{beam}}\sim D+2L\theta, \]

veya

\[ \boxed{ d_{\mathrm{beam}}\sim D+\frac{2hL}{D\sqrt{3Mk_BT}} }. \]

şeklindedir. Yayılma küçük olduğunda başlangıçtaki açıklık çapı önem taşır. Kırınım baskın olduğunda,

\[ \boxed{ d_{\mathrm{beam}}\sim\frac{hL}{D\sqrt{Mk_BT}} } \]

elde edilir; burada bir mertebesindeki sayısal çarpanlar göz ardı edilmiştir.

Daha belirli bir tanım kullanılırsa, ideal bir dairesel açıklığın ilk kırınım minimumu \(\theta\simeq1.22\lambda/D\) açısında oluşur. Bu nedenle uzak alandaki merkezî diskin çapı

\[ d_{\mathrm{first\ minimum}} \simeq \frac{2.44hL}{D\sqrt{3Mk_BT}}. \]

olur. Küçük açı tahminleri \(\lambda/D\ll1\) koşulunu gerektirir. Bu oran küçük değilse, çıkan dalga geniş bir açıyla ıraksar.

Çözüm, resmi çözümle karşılaştırılarak kontrol edildi.

Solución

1a) Klistrón

(a) Distancia de agrupamiento

Sea \(e\) el módulo de la carga del electrón y sea \(U=0.5\ \mathrm{V}\). Despreciamos los efectos de carga espacial y el tiempo de tránsito por cada cavidad, tal como se pretende en el problema.

La conservación de la energía no relativista da las dos posibles rapideces después de la cavidad de entrada:

\[ \frac12mv_s^2=\frac12mv_0^2-eU, \qquad \frac12mv_f^2=\frac12mv_0^2+eU, \]

donde \(v_s\) y \(v_f\) son las rapideces de los electrones lentos y rápidos. Por tanto,

\[ v_s=\sqrt{v_0^2-2(e/m)U} =1.955505\ldots\times10^6\ \mathrm{m/s}, \]

\[ v_f=\sqrt{v_0^2+2(e/m)U} =2.043526\ldots\times10^6\ \mathrm{m/s}. \]

Elegimos el campo de entrada de modo que frene los electrones durante \(0\leq t<T/2\) y los acelere durante \(T/2\leq t<T\).

Un electrón lento que entra en el instante \(t_0\) y un electrón rápido que entra en \(t_0+T/2\) llegan juntos a la salida cuando

\[ t_0+\frac{b}{v_s} =t_0+\frac{T}{2}+\frac{b}{v_f}. \]

Por tanto,

\[ b\left(\frac1{v_s}-\frac1{v_f}\right)=\frac{T}{2}, \]

de modo que

\[ \boxed{b=\frac{T\,v_sv_f}{2(v_f-v_s)}}. \]

Para una modulación de onda cuadrada, esta condición hace que todo el paquete del semiciclo lento se solape en tiempo de llegada con el paquete del semiciclo rápido siguiente. Es la primera distancia de agrupamiento máximo; el paquete tiene una duración finita en lugar de ser un pulso instantáneo.

Al sustituir, conservando cifras adicionales hasta el último paso, se obtiene

\[ b=0.022699764\ldots\ \mathrm{m}. \]

Así, con cuatro cifras significativas,

\[ \boxed{b=0.02270\ \mathrm{m}=2.270\ \mathrm{cm}}. \]

(b) Diferencia de fase

Los tiempos de vuelo de los electrones lentos y rápidos a través de la región de deriva son

\[ \tau_s=\frac{b}{v_s}=11.6081337\ldots\,T, \qquad \tau_f=\frac{b}{v_f}=11.1081337\ldots\,T. \]

El paquete lento llega a la salida durante

\[ [\tau_s,\tau_s+T/2), \]

mientras que el paquete rápido siguiente llega durante

\[ [T/2+\tau_f,T+\tau_f). \]

Estos intervalos coinciden porque \(\tau_s-\tau_f=T/2\).

Para extraer energía del haz, el campo eléctrico de salida debe apuntar hacia la derecha durante todo este semiciclo ocupado, frenando así los electrones. Por tanto, su forma de onda debe reproducir la forma de onda de entrada con un retraso de \(\tau_s\):

\[ E_{\mathrm{out}}(t)=E_{\mathrm{in}}(t-\tau_s). \]

Solo importa la parte fraccionaria de \(\tau_s/T\):

\[ \frac{\tau_s\bmod T}{T}=0.6081337\ldots. \]

El retraso de fase necesario de la salida es, por tanto,

\[ \Delta\phi_{\mathrm{lag}} =2\pi(0.6081337\ldots) =3.8210167\ldots\ \mathrm{rad}. \]

Así,

\[ \boxed{\Delta\phi_{\mathrm{lag}}=3.821\ \mathrm{rad}=218.9^\circ}. \]

Si, en cambio, la fase se escribe como un término aditivo en el argumento, \(E_{\mathrm{out}}\propto s(\omega t+\phi)\), el mismo ajuste es

\[ \boxed{\phi=-3.821\ \mathrm{rad} \equiv 2.462\ \mathrm{rad}\pmod{2\pi}}. \]

1b) Distancia intermolecular

Para una densidad numérica de moléculas \(n\), la separación intermolecular característica se estima asignando un volumen \(d^3\) a cada molécula:

\[ d\sim n^{-1/3}. \]

La densidad numérica del líquido es

\[ n_L=\frac{\rho_LN_A}{M}, \]

por lo que

\[ d_L=\left(\frac{M}{\rho_LN_A}\right)^{1/3}. \]

Para el vapor ideal,

\[ P_aV=\frac{N}{N_A}RT, \]

y, por tanto,

\[ n_V=\frac{N}{V}=\frac{P_aN_A}{RT}, \qquad d_V=\left(\frac{RT}{P_aN_A}\right)^{1/3}. \]

Al tomar la razón, se cancela el número de Avogadro:

\[ \frac{d_V}{d_L} =\left(\frac{\rho_LRT}{P_aM}\right)^{1/3}. \]

Utilizando \(T\simeq373\ \mathrm{K}\),

\[ \frac{d_V}{d_L} = \left[ \frac{(1.0\times10^3)(8.3)(373)} {(1.0\times10^5)(1.8\times10^{-2})} \right]^{1/3} =11.9813\ldots. \]

Así, de acuerdo con la precisión de los datos proporcionados,

\[ \boxed{\frac{d_V}{d_L}\simeq 12}. \]

Las distancias características correspondientes son aproximadamente

\[ d_L=3.1\times10^{-10}\ \mathrm{m}, \qquad d_V=3.7\times10^{-9}\ \mathrm{m}. \]

1c) Generador sencillo de señales de diente de sierra

Suponemos que el condensador está inicialmente descargado, que la tensión residual después de una chispa es despreciable y que la descarga dura mucho menos que la carga.

(a) Forma de onda de la tensión

Mientras el explosor no conduce, la ley de tensiones de Kirchhoff da

\[ V_i=IR+V_0, \qquad I=C\frac{dV_0}{dt}. \]

En consecuencia,

\[ RC\frac{dV_0}{dt}=V_i-V_0. \]

Partiendo de \(V_0=0\), la solución para la carga es

\[ \boxed{V_0(\tau)=V_i\left(1-e^{-\tau/(RC)}\right)}. \]

Cuando \(V_0\) alcanza \(V_f\), el explosor conduce y descarga rápidamente el condensador. A continuación, el explosor deja de conducir y la carga comienza de nuevo.

Por tanto, el dibujo solicitado presenta:

• Un punto inicial en \((t,V_0)=(0,0)\).
• Un tramo exponencial creciente, cóncavo hacia abajo, que termina en \(V_f\).
• Una caída casi vertical desde \(V_f\) hasta \(0\).
• Repeticiones idénticas a intervalos regulares.

Si continuara sin que se produjera el cebado, cada tramo de carga se acercaría a la asíntota \(V_i\). Para mantener la oscilación se requiere \(V_i>V_f\); de lo contrario, el condensador no puede alcanzar el umbral de cebado en un tiempo finito.

(b) Condición para una rampa casi lineal

La pendiente durante la carga es

\[ \frac{dV_0}{dt}=\frac{V_i-V_0}{RC}. \]

Se mantiene casi constante en todo el intervalo \(0\leq V_0\leq V_f\) si

\[ \boxed{V_f\ll V_i}. \]

Entonces

\[ \frac{dV_0}{dt}\simeq\frac{V_i}{RC}, \qquad V_0(\tau)\simeq\frac{V_i}{RC}\tau. \]

(c) Período

Despreciando la duración de la descarga, el tiempo exacto de carga hasta el umbral se obtiene de

\[ V_f=V_i\left(1-e^{-T/(RC)}\right). \]

Por tanto,

\[ T=RC\ln\left(\frac{V_i}{V_i-V_f}\right). \]

Para \(V_f/V_i\ll1\), utilizamos \(-\ln(1-x)\simeq x\):

\[ \boxed{T\simeq RC\frac{V_f}{V_i}}. \]

De forma equivalente, la corriente de carga casi constante \(V_i/R\) debe suministrar la carga \(CV_f\), lo que da el mismo resultado.

(d) Cambio únicamente del período

La tensión de pico está fijada por el umbral del explosor \(V_f\), mientras que el tiempo de carga es proporcional a \(R\).

Por tanto, varíe únicamente \(R\), manteniendo fijo \(SG\). Al aumentar \(R\), aumenta el período sin cambiar la amplitud pico a pico.

(e) Cambio únicamente de la amplitud

La amplitud pico a pico es aproximadamente \(V_f\). Cambie la separación entre los electrodos de \(SG\) para cambiar este umbral.

Como

\[ T\simeq \frac{C}{V_i}RV_f, \]

mantener constante el período requiere

\[ \boxed{R_{\mathrm{new}}V_{f,\mathrm{new}} =R_{\mathrm{old}}V_{f,\mathrm{old}}}. \]

Así pues, deben ajustarse tanto \(SG\) como \(R\). Por ejemplo, aumentar la tensión de cebado requiere una disminución compensatoria de la resistencia.

Sin la aproximación lineal, la condición exacta correspondiente es

\[ R\ln\left(\frac{V_i}{V_i-V_f}\right)=\text{constante}. \]

(f) Circuito para el diente de sierra descendente

Definimos el conductor inferior del circuito original como el nodo \(G\) y el borne superior del condensador como el nodo \(A\). Entonces

\[ V(A)-V(G)=V_0. \]

Realice las siguientes conexiones:

1. Mantenga el circuito oscilador original.
2. Conecte el borne negativo de la fuente adicional de tensión continua a \(G\).
3. Ajuste esta fuente a \(V_f\) y denomine \(B\) a su borne positivo.
4. Tome la nueva salida entre \(B\) y \(A\), con el positivo en \(B\) y el negativo en \(A\).

Para una medida de la salida con alta impedancia,

\[ V_0'=V(B)-V(A)=V_f-V_0. \]

Durante cada intervalo de carga casi lineal,

\[ V_0'\simeq V_f-\frac{V_i}{RC}\tau =V_f\left(1-\frac{\tau}{T}\right). \]

Así, la salida comienza en \(V_f\), desciende casi linealmente hasta \(0\) y salta de nuevo a \(V_f\) cuando la chispa descarga el condensador. Estos son precisamente los cortes con los ejes, las pendientes y los saltos que se muestran en la Fig. 2.

1d) Haz atómico

La abertura de escala atómica produce difracción cuántica. Sean \(h\) la constante de Planck y \(k_B\) la constante de Boltzmann.

Una rapidez térmica representativa se obtiene a partir de la equipartición:

\[ \frac12Mv_{\mathrm{th}}^2=\frac32k_BT, \]

lo que da

\[ v_{\mathrm{th}}=\sqrt{\frac{3k_BT}{M}}, \qquad p_{\mathrm{th}}=Mv_{\mathrm{th}}=\sqrt{3Mk_BT}. \]

Aquí se utiliza la rapidez térmica cuadrática media como rapidez representativa; una estimación no requiere determinar la distribución completa de las velocidades de salida.

La longitud de onda de de Broglie correspondiente es

\[ \lambda=\frac{h}{p_{\mathrm{th}}} =\frac{h}{\sqrt{3Mk_BT}}. \]

Para una abertura de anchura \(D\), el semiángulo característico de difracción satisface

\[ \theta\sim\frac{\lambda}{D}. \]

Esto se debe a que una desviación angular \(\theta\) produce una diferencia de caminos del orden de \(D\theta\) entre los extremos de la abertura; la difracción es apreciable cuando esa diferencia es comparable con \(\lambda\).

Para ángulos pequeños, la propagación a lo largo de una distancia \(L\) aumenta el radio del haz en aproximadamente \(L\theta\). Por tanto, una estimación sencilla del diámetro es

\[ d_{\mathrm{beam}}\sim D+2L\theta, \]

o bien

\[ \boxed{ d_{\mathrm{beam}}\sim D+\frac{2hL}{D\sqrt{3Mk_BT}} }. \]

El diámetro inicial de la abertura importa cuando el ensanchamiento es pequeño. Cuando domina la difracción,

\[ \boxed{ d_{\mathrm{beam}}\sim\frac{hL}{D\sqrt{Mk_BT}} } \]

salvo factores numéricos del orden de la unidad.

Para una convención más específica, el primer mínimo de difracción de una abertura circular ideal se produce en \(\theta\simeq1.22\lambda/D\). Por tanto, el diámetro de su disco central en el campo lejano sería

\[ d_{\mathrm{first\ minimum}} \simeq \frac{2.44hL}{D\sqrt{3Mk_BT}}. \]

Las estimaciones para ángulos pequeños requieren \(\lambda/D\ll1\). Si esta razón no es pequeña, la onda emergente presenta una gran divergencia.

La solución se comprobó con la solución oficial.

解答

1a) 速调管

(a) 聚束距离

用 \(e\) 表示电子电荷量的大小，并令 \(U=0.5\ \mathrm{V}\)。按照题目的设定，忽略空间电荷效应以及电子穿越任一谐振腔所需的时间。

由非相对论能量守恒可得电子通过输入腔后的两种可能速率：

\[ \frac12mv_s^2=\frac12mv_0^2-eU, \qquad \frac12mv_f^2=\frac12mv_0^2+eU, \]

其中 \(v_s\) 和 \(v_f\) 分别为慢电子和快电子的速率。因此

\[ v_s=\sqrt{v_0^2-2(e/m)U} =1.955505\ldots\times10^6\ \mathrm{m/s}, \]

\[ v_f=\sqrt{v_0^2+2(e/m)U} =2.043526\ldots\times10^6\ \mathrm{m/s}. \]

选择输入电场，使其在 \(0\leq t<T/2\) 内使电子减速，在 \(T/2\leq t<T\) 内使电子加速。

在时刻 \(t_0\) 进入的慢电子与在 \(t_0+T/2\) 进入的快电子同时到达输出腔的条件为

\[ t_0+\frac{b}{v_s} =t_0+\frac{T}{2}+\frac{b}{v_f}. \]

因此，

\[ b\left(\frac1{v_s}-\frac1{v_f}\right)=\frac{T}{2}, \]

从而

\[ \boxed{b=\frac{T\,v_sv_f}{2(v_f-v_s)}}. \]

对于方波调制，这一条件使整个慢电子半周期束团与随后到来的快电子半周期束团在到达时间上重合。这是首次达到最大聚束程度的距离；电子群具有有限的持续时间，并非瞬时脉冲。

代入数值，并在最后一步之前保留更多位数，得到

\[ b=0.022699764\ldots\ \mathrm{m}. \]

因此，保留四位有效数字，

\[ \boxed{b=0.02270\ \mathrm{m}=2.270\ \mathrm{cm}}. \]

(b) 相位差

慢电子和快电子穿过漂移区的飞行时间分别为

\[ \tau_s=\frac{b}{v_s}=11.6081337\ldots\,T, \qquad \tau_f=\frac{b}{v_f}=11.1081337\ldots\,T. \]

慢电子束团到达输出腔的时间区间为

\[ [\tau_s,\tau_s+T/2), \]

而随后的快电子束团到达输出腔的时间区间为

\[ [T/2+\tau_f,T+\tau_f). \]

由于 \(\tau_s-\tau_f=T/2\)，这两个区间重合。

为了从电子束中提取能量，输出电场必须在电子群占据的整个半周期内指向右方，从而使电子减速。因此，输出电场的波形必须与延迟 \(\tau_s\) 后的输入波形相同：

\[ E_{\mathrm{out}}(t)=E_{\mathrm{in}}(t-\tau_s). \]

只有 \(\tau_s/T\) 的小数部分起作用：

\[ \frac{\tau_s\bmod T}{T}=0.6081337\ldots. \]

因此，输出电场所需的相位滞后为

\[ \Delta\phi_{\mathrm{lag}} =2\pi(0.6081337\ldots) =3.8210167\ldots\ \mathrm{rad}. \]

所以

\[ \boxed{\Delta\phi_{\mathrm{lag}}=3.821\ \mathrm{rad}=218.9^\circ}. \]

若将相位写成自变量中的加性项，即 \(E_{\mathrm{out}}\propto s(\omega t+\phi)\)，则同一设置可表示为

\[ \boxed{\phi=-3.821\ \mathrm{rad} \equiv 2.462\ \mathrm{rad}\pmod{2\pi}}. \]

1b) 分子间距

对于分子数密度 \(n\)，可通过给每个分子分配体积 \(d^3\) 来估算特征分子间距：

\[ d\sim n^{-1/3}. \]

液体的分子数密度为

\[ n_L=\frac{\rho_LN_A}{M}, \]

所以

\[ d_L=\left(\frac{M}{\rho_LN_A}\right)^{1/3}. \]

对于理想水蒸气，

\[ P_aV=\frac{N}{N_A}RT, \]

因此

\[ n_V=\frac{N}{V}=\frac{P_aN_A}{RT}, \qquad d_V=\left(\frac{RT}{P_aN_A}\right)^{1/3}. \]

取比值后，阿伏伽德罗常数消去：

\[ \frac{d_V}{d_L} =\left(\frac{\rho_LRT}{P_aM}\right)^{1/3}. \]

取 \(T\simeq373\ \mathrm{K}\)，

\[ \frac{d_V}{d_L} = \left[ \frac{(1.0\times10^3)(8.3)(373)} {(1.0\times10^5)(1.8\times10^{-2})} \right]^{1/3} =11.9813\ldots. \]

因此，按照所给数据的精度，

\[ \boxed{\frac{d_V}{d_L}\simeq 12}. \]

相应的特征间距约为

\[ d_L=3.1\times10^{-10}\ \mathrm{m}, \qquad d_V=3.7\times10^{-9}\ \mathrm{m}. \]

1c) 简易锯齿波信号发生器

假设电容器初始时不带电，火花放电后的残余电压可以忽略，且放电时间远短于充电时间。

(a) 电压波形

当火花隙不导通时，由基尔霍夫电压定律可得

\[ V_i=IR+V_0, \qquad I=C\frac{dV_0}{dt}. \]

因此，

\[ RC\frac{dV_0}{dt}=V_i-V_0. \]

从 \(V_0=0\) 开始充电，其解为

\[ \boxed{V_0(\tau)=V_i\left(1-e^{-\tau/(RC)}\right)}. \]

当 \(V_0\) 达到 \(V_f\) 时，火花隙导通，电容器迅速放电。随后火花隙恢复不导通状态，充电过程重新开始。

因此，所要求的示意图具有以下特征：

• 起点为 \((t,V_0)=(0,0)\)。
• 一段上升且凹向下的指数曲线，终点电压为 \(V_f\)。
• 从 \(V_f\) 几乎竖直下降至 \(0\)。
• 以固定的时间间隔重复相同的过程。

如果没有发生击穿而继续充电，每一段充电曲线都会趋近渐近线 \(V_i\)。持续振荡要求 \(V_i>V_f\)；否则电容器无法在有限时间内达到击穿阈值。

(b) 斜坡近似线性的条件

充电曲线的斜率为

\[ \frac{dV_0}{dt}=\frac{V_i-V_0}{RC}. \]

要使它在整个 \(0\leq V_0\leq V_f\) 范围内几乎保持不变，需要满足

\[ \boxed{V_f\ll V_i}. \]

此时

\[ \frac{dV_0}{dt}\simeq\frac{V_i}{RC}, \qquad V_0(\tau)\simeq\frac{V_i}{RC}\tau. \]

(c) 周期

忽略放电持续时间，充电至阈值所需的精确时间可由下式求得：

\[ V_f=V_i\left(1-e^{-T/(RC)}\right). \]

因此，

\[ T=RC\ln\left(\frac{V_i}{V_i-V_f}\right). \]

对于 \(V_f/V_i\ll1\)，利用 \(-\ln(1-x)\simeq x\)：

\[ \boxed{T\simeq RC\frac{V_f}{V_i}}. \]

等价地，几乎恒定的充电电流 \(V_i/R\) 必须输送电荷量 \(CV_f\)，由此可得到相同结果。

(d) 只改变周期

峰值电压由火花隙的击穿阈值 \(V_f\) 决定，而充电时间与 \(R\) 成正比。

因此，只调节 \(R\)，保持 \(SG\) 不变。增大 \(R\) 会增大周期，而不会改变峰峰值。

(e) 只改变振幅

峰峰值约为 \(V_f\)。改变 \(SG\) 的电极间距即可改变这一阈值。

由于

\[ T\simeq \frac{C}{V_i}RV_f, \]

保持周期不变要求

\[ \boxed{R_{\mathrm{new}}V_{f,\mathrm{new}} =R_{\mathrm{old}}V_{f,\mathrm{old}}}. \]

因此，必须同时调节 \(SG\) 和 \(R\)。例如，增大击穿电压时，必须相应减小电阻以作补偿。

不采用线性近似时，相应的精确条件为

\[ R\ln\left(\frac{V_i}{V_i-V_f}\right)=\text{常量}. \]

(f) 产生下降锯齿波的电路

将原电路的下方导线定义为节点 \(G\)，电容器的上端定义为节点 \(A\)。则

\[ V(A)-V(G)=V_0. \]

按以下方式连接：

1. 保留原振荡电路。
2. 将附加直流电源的负极连接到 \(G\)。
3. 将该电源的电压调至 \(V_f\)，并将其正极记为 \(B\)。
4. 在 \(B\) 和 \(A\) 之间取新的输出，\(B\) 为正端，\(A\) 为负端。

采用高输入阻抗测量输出时，

\[ V_0'=V(B)-V(A)=V_f-V_0. \]

在每个近似线性的充电区间内，

\[ V_0'\simeq V_f-\frac{V_i}{RC}\tau =V_f\left(1-\frac{\tau}{T}\right). \]

因此，输出从 \(V_f\) 开始，几乎线性地下降至 \(0\)，并在火花使电容器放电时跃变回 \(V_f\)。这与图 2 所示的截距、斜率和跃变完全一致。

1d) 原子束

原子尺度的小孔会产生量子衍射。设 \(h\) 为普朗克常量，\(k_B\) 为玻尔兹曼常量。

由能量均分定理可得一个具有代表性的热运动速率：

\[ \frac12Mv_{\mathrm{th}}^2=\frac32k_BT, \]

从而

\[ v_{\mathrm{th}}=\sqrt{\frac{3k_BT}{M}}, \qquad p_{\mathrm{th}}=Mv_{\mathrm{th}}=\sqrt{3Mk_BT}. \]

这里采用热运动的方均根速率作为代表速率；进行估算不需要求出射出原子速度的完整分布。

相应的德布罗意波长为

\[ \lambda=\frac{h}{p_{\mathrm{th}}} =\frac{h}{\sqrt{3Mk_BT}}. \]

对于宽度为 \(D\) 的孔，特征衍射半角满足

\[ \theta\sim\frac{\lambda}{D}. \]

这是因为偏转角 \(\theta\) 会在孔的两侧之间产生量级为 \(D\theta\) 的程差；当这一程差与 \(\lambda\) 相当时，就会出现显著的衍射。

在小角度情况下，传播距离 \(L\) 后，原子束半径约增加 \(L\theta\)。因此，直径的一个简单估算为

\[ d_{\mathrm{beam}}\sim D+2L\theta, \]

或

\[ \boxed{ d_{\mathrm{beam}}\sim D+\frac{2hL}{D\sqrt{3Mk_BT}} }. \]

当展宽较小时，初始孔径不可忽略。当衍射占主导时，

\[ \boxed{ d_{\mathrm{beam}}\sim\frac{hL}{D\sqrt{Mk_BT}} } \]

其中省略了量级为一的数值因子。

若采用更具体的定义，理想圆孔的第一个衍射极小值出现在 \(\theta\simeq1.22\lambda/D\) 处。因此，其远场中央亮斑的直径为

\[ d_{\mathrm{first\ minimum}} \simeq \frac{2.44hL}{D\sqrt{3Mk_BT}}. \]

小角度估算要求 \(\lambda/D\ll1\)。如果这一比值不小，射出的波就会大幅发散。

解答已与官方解答核对。

Решение

1a) Клистрон

(a) Расстояние образования сгустков

Обозначим через \(e\) модуль заряда электрона и положим \(U=0.5\ \mathrm{V}\). Пренебрежём эффектами пространственного заряда и временем пролёта через каждый из резонаторов, как предполагается в условии задачи.

Нерелятивистский закон сохранения энергии даёт два возможных значения скорости после входного резонатора:

\[ \frac12mv_s^2=\frac12mv_0^2-eU, \qquad \frac12mv_f^2=\frac12mv_0^2+eU, \]

где \(v_s\) и \(v_f\) — скорости медленных и быстрых электронов. Следовательно,

\[ v_s=\sqrt{v_0^2-2(e/m)U} =1.955505\ldots\times10^6\ \mathrm{m/s}, \]

\[ v_f=\sqrt{v_0^2+2(e/m)U} =2.043526\ldots\times10^6\ \mathrm{m/s}. \]

Выберем входное поле так, чтобы оно тормозило электроны при \(0\leq t<T/2\) и ускоряло их при \(T/2\leq t<T\).

Медленный электрон, входящий в момент \(t_0\), и быстрый электрон, входящий в момент \(t_0+T/2\), достигают выхода одновременно, если

\[ t_0+\frac{b}{v_s} =t_0+\frac{T}{2}+\frac{b}{v_f}. \]

Поэтому

\[ b\left(\frac1{v_s}-\frac1{v_f}\right)=\frac{T}{2}, \]

откуда

\[ \boxed{b=\frac{T\,v_sv_f}{2(v_f-v_s)}}. \]

При модуляции меандром это условие обеспечивает совпадение времён прихода всего пакета медленных электронов, прошедших за один полупериод, с временами прихода следующего за ним пакета быстрых электронов. Это первое расстояние, на котором группировка в сгустки максимальна; сгусток имеет конечную длительность, а не представляет собой мгновенный импульс.

Подстановка с сохранением дополнительных цифр до последнего шага даёт

\[ b=0.022699764\ldots\ \mathrm{m}. \]

Таким образом, с четырьмя значащими цифрами,

\[ \boxed{b=0.02270\ \mathrm{m}=2.270\ \mathrm{cm}}. \]

(b) Разность фаз

Времена пролёта медленных и быстрых электронов через область дрейфа равны

\[ \tau_s=\frac{b}{v_s}=11.6081337\ldots\,T, \qquad \tau_f=\frac{b}{v_f}=11.1081337\ldots\,T. \]

Пакет медленных электронов достигает выхода в интервале

\[ [\tau_s,\tau_s+T/2), \]

а следующий за ним пакет быстрых электронов — в интервале

\[ [T/2+\tau_f,T+\tau_f). \]

Эти интервалы совпадают, поскольку \(\tau_s-\tau_f=T/2\).

Чтобы отбирать энергию у пучка, выходное электрическое поле должно быть направлено вправо в течение всего полупериода, когда через резонатор проходят электроны, тормозя их. Поэтому оно должно воспроизводить входной сигнал с задержкой \(\tau_s\):

\[ E_{\mathrm{out}}(t)=E_{\mathrm{in}}(t-\tau_s). \]

Имеет значение только дробная часть \(\tau_s/T\):

\[ \frac{\tau_s\bmod T}{T}=0.6081337\ldots. \]

Поэтому требуемое отставание выходного поля по фазе равно

\[ \Delta\phi_{\mathrm{lag}} =2\pi(0.6081337\ldots) =3.8210167\ldots\ \mathrm{rad}. \]

Следовательно,

\[ \boxed{\Delta\phi_{\mathrm{lag}}=3.821\ \mathrm{rad}=218.9^\circ}. \]

Если же фазу записать как слагаемое в аргументе, \(E_{\mathrm{out}}\propto s(\omega t+\phi)\), той же настройке соответствует

\[ \boxed{\phi=-3.821\ \mathrm{rad} \equiv 2.462\ \mathrm{rad}\pmod{2\pi}}. \]

1b) Межмолекулярное расстояние

При концентрации молекул \(n\) характерное межмолекулярное расстояние оценивается путём отнесения каждой молекуле объёма \(d^3\):

\[ d\sim n^{-1/3}. \]

Концентрация молекул в жидкости равна

\[ n_L=\frac{\rho_LN_A}{M}, \]

поэтому

\[ d_L=\left(\frac{M}{\rho_LN_A}\right)^{1/3}. \]

Для идеального пара

\[ P_aV=\frac{N}{N_A}RT, \]

и, следовательно,

\[ n_V=\frac{N}{V}=\frac{P_aN_A}{RT}, \qquad d_V=\left(\frac{RT}{P_aN_A}\right)^{1/3}. \]

При вычислении отношения число Авогадро сокращается:

\[ \frac{d_V}{d_L} =\left(\frac{\rho_LRT}{P_aM}\right)^{1/3}. \]

Используя \(T\simeq373\ \mathrm{K}\), получаем

\[ \frac{d_V}{d_L} = \left[ \frac{(1.0\times10^3)(8.3)(373)} {(1.0\times10^5)(1.8\times10^{-2})} \right]^{1/3} =11.9813\ldots. \]

Таким образом, с точностью, соответствующей исходным данным,

\[ \boxed{\frac{d_V}{d_L}\simeq 12}. \]

Соответствующие характерные расстояния приблизительно равны

\[ d_L=3.1\times10^{-10}\ \mathrm{m}, \qquad d_V=3.7\times10^{-9}\ \mathrm{m}. \]

1c) Простой генератор пилообразного сигнала

Будем считать, что конденсатор изначально не заряжен, остаточное напряжение после искрового разряда пренебрежимо мало, а разряд занимает гораздо меньше времени, чем зарядка.

(a) Форма сигнала напряжения

Пока искровой разрядник не проводит ток, второе правило Кирхгофа даёт

\[ V_i=IR+V_0, \qquad I=C\frac{dV_0}{dt}. \]

Следовательно,

\[ RC\frac{dV_0}{dt}=V_i-V_0. \]

При начальном значении \(V_0=0\) решение для зарядки имеет вид

\[ \boxed{V_0(\tau)=V_i\left(1-e^{-\tau/(RC)}\right)}. \]

Когда \(V_0\) достигает \(V_f\), искровой разрядник начинает проводить ток и быстро разряжает конденсатор. Затем разрядник перестаёт проводить ток, и зарядка начинается снова.

Таким образом, требуемый график содержит:

• Начальную точку \((t,V_0)=(0,0)\).
• Возрастающий экспоненциальный участок с уменьшающимся наклоном, заканчивающийся при \(V_f\).
• Почти вертикальный спад от \(V_f\) до \(0\).
• Одинаковые повторения через равные промежутки времени.

Если бы пробой не происходил, каждый участок зарядки приближался бы к асимптоте \(V_i\). Для незатухающих колебаний необходимо \(V_i>V_f\); иначе напряжение на конденсаторе не сможет достичь порога пробоя за конечное время.

(b) Условие почти линейного нарастания

Скорость нарастания напряжения при зарядке равна

\[ \frac{dV_0}{dt}=\frac{V_i-V_0}{RC}. \]

Она остаётся почти постоянной во всём диапазоне \(0\leq V_0\leq V_f\), если

\[ \boxed{V_f\ll V_i}. \]

Тогда

\[ \frac{dV_0}{dt}\simeq\frac{V_i}{RC}, \qquad V_0(\tau)\simeq\frac{V_i}{RC}\tau. \]

(c) Период

Если пренебречь длительностью разряда, точное время зарядки до порога определяется уравнением

\[ V_f=V_i\left(1-e^{-T/(RC)}\right). \]

Таким образом,

\[ T=RC\ln\left(\frac{V_i}{V_i-V_f}\right). \]

При \(V_f/V_i\ll1\) воспользуемся приближением \(-\ln(1-x)\simeq x\):

\[ \boxed{T\simeq RC\frac{V_f}{V_i}}. \]

Тот же результат можно получить, учитывая, что почти постоянный ток зарядки \(V_i/R\) должен перенести заряд \(CV_f\).

(d) Изменение только периода

Максимальное напряжение задаётся порогом пробоя искрового разрядника \(V_f\), тогда как время зарядки пропорционально \(R\).

Поэтому следует изменять только \(R\), оставляя \(SG\) неизменным. Увеличение \(R\) увеличивает период, не изменяя размах напряжения.

(e) Изменение только амплитуды

Размах напряжения приблизительно равен \(V_f\). Чтобы изменить этот порог, следует изменить расстояние между электродами \(SG\).

Поскольку

\[ T\simeq \frac{C}{V_i}RV_f, \]

для сохранения постоянного периода необходимо

\[ \boxed{R_{\mathrm{new}}V_{f,\mathrm{new}} =R_{\mathrm{old}}V_{f,\mathrm{old}}}. \]

Таким образом, необходимо регулировать и \(SG\), и \(R\). Например, увеличение напряжения пробоя требует компенсирующего уменьшения сопротивления.

Без линейного приближения соответствующее точное условие имеет вид

\[ R\ln\left(\frac{V_i}{V_i-V_f}\right)=\text{постоянная}. \]

(f) Схема для получения нисходящего пилообразного сигнала

Обозначим нижнюю шину исходной схемы как узел \(G\), а верхний вывод конденсатора — как узел \(A\). Тогда

\[ V(A)-V(G)=V_0. \]

Выполните следующие соединения:

1. Сохраните исходную схему генератора.
2. Подключите отрицательный вывод дополнительного источника постоянного напряжения к \(G\).
3. Установите напряжение этого источника равным \(V_f\) и обозначьте его положительный вывод как \(B\).
4. Снимайте новое выходное напряжение между \(B\) и \(A\), причём положительный вывод находится в \(B\), а отрицательный — в \(A\).

При измерении выходного напряжения прибором с высоким входным сопротивлением

\[ V_0'=V(B)-V(A)=V_f-V_0. \]

В течение каждого почти линейного участка зарядки

\[ V_0'\simeq V_f-\frac{V_i}{RC}\tau =V_f\left(1-\frac{\tau}{T}\right). \]

Таким образом, выходное напряжение начинается со значения \(V_f\), почти линейно падает до \(0\) и скачком возвращается к \(V_f\), когда искровой разряд разряжает конденсатор. Именно такие значения в точках пересечения с осями, наклоны и скачки показаны на рис. 2.

1d) Атомный пучок

Отверстие атомных размеров вызывает квантовую дифракцию. Пусть \(h\) — постоянная Планка, а \(k_B\) — постоянная Больцмана.

Характерная тепловая скорость следует из теоремы о равнораспределении энергии:

\[ \frac12Mv_{\mathrm{th}}^2=\frac32k_BT, \]

откуда

\[ v_{\mathrm{th}}=\sqrt{\frac{3k_BT}{M}}, \qquad p_{\mathrm{th}}=Mv_{\mathrm{th}}=\sqrt{3Mk_BT}. \]

Здесь в качестве характерной скорости используется средняя квадратичная тепловая скорость; для оценки не требуется учитывать полное распределение скоростей вылетающих атомов.

Соответствующая длина волны де Бройля равна

\[ \lambda=\frac{h}{p_{\mathrm{th}}} =\frac{h}{\sqrt{3Mk_BT}}. \]

Для отверстия шириной \(D\) характерный угол дифракционной расходимости относительно оси удовлетворяет соотношению

\[ \theta\sim\frac{\lambda}{D}. \]

Это следует из того, что отклонение на угол \(\theta\) создаёт между краями отверстия разность хода порядка \(D\theta\); заметная дифракция возникает, когда эта разность сравнима с \(\lambda\).

При малых углах распространение на расстояние \(L\) увеличивает радиус пучка приблизительно на \(L\theta\). Поэтому простая оценка диаметра имеет вид

\[ d_{\mathrm{beam}}\sim D+2L\theta, \]

или

\[ \boxed{ d_{\mathrm{beam}}\sim D+\frac{2hL}{D\sqrt{3Mk_BT}} }. \]

Начальный диаметр отверстия существенен, когда уширение мало. Когда преобладает дифракция,

\[ \boxed{ d_{\mathrm{beam}}\sim\frac{hL}{D\sqrt{Mk_BT}} } \]

с точностью до численных множителей порядка единицы.

При более конкретном определении ширины первый дифракционный минимум идеального круглого отверстия наблюдается при \(\theta\simeq1.22\lambda/D\). Поэтому диаметр центрального диска в дальней зоне был бы равен

\[ d_{\mathrm{first\ minimum}} \simeq \frac{2.44hL}{D\sqrt{3Mk_BT}}. \]

Для применимости оценок в приближении малых углов необходимо \(\lambda/D\ll1\). Если это отношение не мало, выходящая волна имеет большую угловую расходимость.

Решение проверено по официальному решению.

الحل

1a) الكليسترون

(a) مسافة التجمّع

ليرمز \(e\) إلى مقدار شحنة الإلكترون، ولتكن \(U=0.5\ \mathrm{V}\). نهمل تأثيرات الشحنة الفراغية وزمن العبور عبر أيٍّ من التجويفين، كما هو مقصود في المسألة.

يعطي انحفاظ الطاقة في التقريب غير النسبي السرعتين الممكنتين بعد تجويف الدخل:

\[ \frac12mv_s^2=\frac12mv_0^2-eU, \qquad \frac12mv_f^2=\frac12mv_0^2+eU, \]

حيث \(v_s\) و\(v_f\) هما السرعة البطيئة والسرعة السريعة. ومن ثم

\[ v_s=\sqrt{v_0^2-2(e/m)U} =1.955505\ldots\times10^6\ \mathrm{m/s}, \]

\[ v_f=\sqrt{v_0^2+2(e/m)U} =2.043526\ldots\times10^6\ \mathrm{m/s}. \]

نختار مجال الدخل بحيث يبطّئ الإلكترونات خلال \(0\leq t<T/2\)، ويسرّعها خلال \(T/2\leq t<T\).

يصل إلكترون بطيء يدخل عند الزمن \(t_0\)، وإلكترون سريع يدخل عند \(t_0+T/2\)، إلى الخرج معًا عندما

\[ t_0+\frac{b}{v_s} =t_0+\frac{T}{2}+\frac{b}{v_f}. \]

لذلك،

\[ b\left(\frac1{v_s}-\frac1{v_f}\right)=\frac{T}{2}, \]

ومن ثم

\[ \boxed{b=\frac{T\,v_sv_f}{2(v_f-v_s)}}. \]

عند التعديل بموجة مربعة، يجعل هذا الشرط رزمة الإلكترونات البطيئة الخاصة بنصف دورة كامل تتراكب زمنيًا عند الوصول مع رزمة الإلكترونات السريعة الخاصة بنصف الدورة التالي. وهذه أول مسافة يبلغ عندها التجمّع أقصاه؛ وتكون للحزمة المتجمّعة مدة زمنية محدودة، ولا تكون نبضة لحظية.

بالتعويض، مع الاحتفاظ بأرقام إضافية حتى الخطوة الأخيرة، نحصل على

\[ b=0.022699764\ldots\ \mathrm{m}. \]

إذن، إلى أربعة أرقام معنوية،

\[ \boxed{b=0.02270\ \mathrm{m}=2.270\ \mathrm{cm}}. \]

(b) فرق الطور

زمنا طيران الإلكترونات البطيئة والسريعة عبر منطقة الانجراف هما

\[ \tau_s=\frac{b}{v_s}=11.6081337\ldots\,T, \qquad \tau_f=\frac{b}{v_f}=11.1081337\ldots\,T. \]

تصل الرزمة البطيئة إلى الخرج خلال الفترة

\[ [\tau_s,\tau_s+T/2), \]

بينما تصل إليه الرزمة السريعة التالية خلال الفترة

\[ [T/2+\tau_f,T+\tau_f). \]

تتطابق هاتان الفترتان لأن \(\tau_s-\tau_f=T/2\).

لاستخلاص الطاقة من الحزمة، يجب أن يتجه المجال الكهربائي للخرج إلى اليمين طوال نصف الدورة الذي توجد فيه الإلكترونات، فيبطّئها بذلك. لذا يجب أن يعيد شكله الموجي إنتاج الشكل الموجي للدخل، متأخّرًا عنه بمقدار \(\tau_s\):

\[ E_{\mathrm{out}}(t)=E_{\mathrm{in}}(t-\tau_s). \]

لا يهمّ سوى الجزء الكسري من \(\tau_s/T\):

\[ \frac{\tau_s\bmod T}{T}=0.6081337\ldots. \]

وعليه، فإن تأخّر طور الخرج المطلوب هو

\[ \Delta\phi_{\mathrm{lag}} =2\pi(0.6081337\ldots) =3.8210167\ldots\ \mathrm{rad}. \]

ومن ثم

\[ \boxed{\Delta\phi_{\mathrm{lag}}=3.821\ \mathrm{rad}=218.9^\circ}. \]

إذا كُتب الطور بدلًا من ذلك حدًا مضافًا في حجة الدالة، \(E_{\mathrm{out}}\propto s(\omega t+\phi)\)، فإن الضبط نفسه يُكتب

\[ \boxed{\phi=-3.821\ \mathrm{rad} \equiv 2.462\ \mathrm{rad}\pmod{2\pi}}. \]

1b) المسافة بين الجزيئات

عندما تكون الكثافة العددية للجزيئات \(n\)، تُقدَّر المسافة المميّزة بين الجزيئات بتخصيص حجم \(d^3\) لكل جزيء:

\[ d\sim n^{-1/3}. \]

الكثافة العددية للسائل هي

\[ n_L=\frac{\rho_LN_A}{M}, \]

ومن ثم

\[ d_L=\left(\frac{M}{\rho_LN_A}\right)^{1/3}. \]

للبخار المثالي،

\[ P_aV=\frac{N}{N_A}RT, \]

ولذلك

\[ n_V=\frac{N}{V}=\frac{P_aN_A}{RT}, \qquad d_V=\left(\frac{RT}{P_aN_A}\right)^{1/3}. \]

بأخذ النسبة يُختزل عدد أفوغادرو:

\[ \frac{d_V}{d_L} =\left(\frac{\rho_LRT}{P_aM}\right)^{1/3}. \]

باستخدام \(T\simeq373\ \mathrm{K}\)،

\[ \frac{d_V}{d_L} = \left[ \frac{(1.0\times10^3)(8.3)(373)} {(1.0\times10^5)(1.8\times10^{-2})} \right]^{1/3} =11.9813\ldots. \]

إذن، بما يتّسق مع البيانات المعطاة،

\[ \boxed{\frac{d_V}{d_L}\simeq 12}. \]

والمسافتان المميّزتان المقابلتان تساويان تقريبًا

\[ d_L=3.1\times10^{-10}\ \mathrm{m}, \qquad d_V=3.7\times10^{-9}\ \mathrm{m}. \]

1c) مولّد بسيط لإشارة سنّ المنشار

نفترض أن المكثّف غير مشحون في البداية، وأن الجهد المتبقّي بعد الشرارة مهمل، وأن التفريغ يستغرق زمنًا أقصر بكثير من زمن الشحن.

(a) شكل موجة الجهد

عندما تكون الفجوة الشرارية غير موصلة، يعطي قانون كيرشوف للجهد

\[ V_i=IR+V_0, \qquad I=C\frac{dV_0}{dt}. \]

وبالتالي،

\[ RC\frac{dV_0}{dt}=V_i-V_0. \]

بدءًا من \(V_0=0\)، يكون حلّ معادلة الشحن

\[ \boxed{V_0(\tau)=V_i\left(1-e^{-\tau/(RC)}\right)}. \]

عندما يبلغ \(V_0\) القيمة \(V_f\)، تصبح الفجوة الشرارية موصلة وتفرّغ المكثّف بسرعة. ثم تصبح الفجوة غير موصلة، ويبدأ الشحن من جديد.

لذلك يتضمّن الرسم المطلوب ما يلي:

• نقطة ابتدائية عند \((t,V_0)=(0,0)\).
• مقطعًا أسّيًا صاعدًا مقعّرًا إلى الأسفل، ينتهي عند \(V_f\).
• انخفاضًا شبه رأسي من \(V_f\) إلى \(0\).
• تكرارات متماثلة على فترات منتظمة.

لو استمر كل مقطع شحن دون قدح، لاقترب من خط التقارب \(V_i\). يتطلّب استمرار التذبذب أن يكون \(V_i>V_f\)؛ وإلا فلن يستطيع المكثّف بلوغ عتبة القدح في زمن محدود.

(b) شرط الارتفاع شبه الخطي

ميل منحنى الشحن هو

\[ \frac{dV_0}{dt}=\frac{V_i-V_0}{RC}. \]

ويظل شبه ثابت طوال المجال \(0\leq V_0\leq V_f\) إذا كان

\[ \boxed{V_f\ll V_i}. \]

عندئذٍ

\[ \frac{dV_0}{dt}\simeq\frac{V_i}{RC}, \qquad V_0(\tau)\simeq\frac{V_i}{RC}\tau. \]

(c) الزمن الدوري

بإهمال مدة التفريغ، يُستنتج زمن الشحن الدقيق حتى العتبة من

\[ V_f=V_i\left(1-e^{-T/(RC)}\right). \]

ومن ثم،

\[ T=RC\ln\left(\frac{V_i}{V_i-V_f}\right). \]

عندما يكون \(V_f/V_i\ll1\)، نستخدم \(-\ln(1-x)\simeq x\):

\[ \boxed{T\simeq RC\frac{V_f}{V_i}}. \]

وبصورة مكافئة، يجب أن ينقل تيار الشحن شبه الثابت \(V_i/R\) الشحنة \(CV_f\)، فنحصل على النتيجة نفسها.

(d) تغيير الزمن الدوري فقط

تحدّد عتبة الفجوة الشرارية \(V_f\) جهد القمة، بينما يتناسب زمن الشحن طرديًا مع \(R\).

لذلك، غيّر \(R\) فقط، مع إبقاء \(SG\) ثابتة. تؤدي زيادة \(R\) إلى زيادة الزمن الدوري دون تغيير السعة من قمة إلى قمة.

(e) تغيير السعة فقط

السعة من قمة إلى قمة تساوي تقريبًا \(V_f\). غيّر المسافة بين قطبي \(SG\) لتغيير هذه العتبة.

بما أن

\[ T\simeq \frac{C}{V_i}RV_f, \]

فإن إبقاء الزمن الدوري ثابتًا يتطلّب

\[ \boxed{R_{\mathrm{new}}V_{f,\mathrm{new}} =R_{\mathrm{old}}V_{f,\mathrm{old}}}. \]

إذن يجب ضبط كلٍّ من \(SG\) و\(R\). فعلى سبيل المثال، تتطلّب زيادة جهد القدح خفضًا تعويضيًا في المقاومة.

دون التقريب الخطي، يكون الشرط الدقيق المقابل

\[ R\ln\left(\frac{V_i}{V_i-V_f}\right)=\text{ثابت}. \]

(f) دارة موجة سنّ المنشار الهابطة

نعرّف الموصل السفلي للدارة الأصلية بأنه العقدة \(G\)، والطرف العلوي للمكثّف بأنه العقدة \(A\). عندئذٍ

\[ V(A)-V(G)=V_0. \]

أجرِ التوصيلات التالية:

1. أبقِ دارة المذبذب الأصلية.
2. صِل الطرف السالب لمصدر الجهد المستمر الإضافي بالعقدة \(G\).
3. اضبط هذا المصدر على \(V_f\)، وسمِّ طرفه الموجب \(B\).
4. خذ الخرج الجديد بين \(B\) و\(A\)، بحيث يكون الطرف الموجب عند \(B\) والطرف السالب عند \(A\).

عند قياس الخرج باستخدام أداة ذات ممانعة عالية،

\[ V_0'=V(B)-V(A)=V_f-V_0. \]

خلال كل فترة شحن شبه خطية،

\[ V_0'\simeq V_f-\frac{V_i}{RC}\tau =V_f\left(1-\frac{\tau}{T}\right). \]

إذن يبدأ الخرج عند \(V_f\)، وينخفض بصورة شبه خطية إلى \(0\)، ثم يقفز عائدًا إلى \(V_f\) عندما تفرّغ الشرارة المكثّف. وهذه هي بالضبط نقاط التقاطع مع المحورين، والميول، والقفزات المبيّنة في الشكل 2.

1d) حزمة ذرية

تُحدث الفتحة ذات الأبعاد الذرية حيودًا كموميًا. ليكن \(h\) ثابت بلانك، و\(k_B\) ثابت بولتزمان.

تُستنتج سرعة حرارية تمثيلية من مبدأ التوزيع المتساوي للطاقة:

\[ \frac12Mv_{\mathrm{th}}^2=\frac32k_BT, \]

فنحصل على

\[ v_{\mathrm{th}}=\sqrt{\frac{3k_BT}{M}}, \qquad p_{\mathrm{th}}=Mv_{\mathrm{th}}=\sqrt{3Mk_BT}. \]

نستخدم هنا الجذر التربيعي لمتوسّط مربع السرعة الحرارية بوصفه سرعة تمثيلية؛ إذ لا يتطلّب هذا التقدير تحديد التوزيع الكامل للسرعات الخارجة.

الطول الموجي المقابل لدي برولي هو

\[ \lambda=\frac{h}{p_{\mathrm{th}}} =\frac{h}{\sqrt{3Mk_BT}}. \]

لفتحة عرضها \(D\)، يحقّق نصف زاوية الحيود المميّزة العلاقة

\[ \theta\sim\frac{\lambda}{D}. \]

ينتج ذلك لأن انحرافًا زاويًا مقداره \(\theta\) يولّد فرقًا في المسار من رتبة \(D\theta\) عبر الفتحة؛ ويحدث حيود ملحوظ عندما يكون هذا الفرق مقاربًا لـ\(\lambda\).

للزوايا الصغيرة، يزيد الانتشار عبر مسافة \(L\) نصف قطر الحزمة بمقدار يقارب \(L\theta\). لذلك يُعطى تقدير بسيط للقطر بالعلاقة

\[ d_{\mathrm{beam}}\sim D+2L\theta, \]

أو

\[ \boxed{ d_{\mathrm{beam}}\sim D+\frac{2hL}{D\sqrt{3Mk_BT}} }. \]

يكون لقطر الفتحة الابتدائي أثر مهم عندما يكون الاتساع صغيرًا. وعندما يهيمن الحيود،

\[ \boxed{ d_{\mathrm{beam}}\sim\frac{hL}{D\sqrt{Mk_BT}} } \]

إلى عوامل عددية من رتبة الواحد.

إذا اعتُمد اصطلاح أكثر تحديدًا، فإن أول حدّ أدنى للحيود لفتحة دائرية مثالية يقع عند \(\theta\simeq1.22\lambda/D\). لذا يكون قطر قرصها المركزي في المجال البعيد

\[ d_{\mathrm{first\ minimum}} \simeq \frac{2.44hL}{D\sqrt{3Mk_BT}}. \]

تتطلّب تقديرات الزوايا الصغيرة أن تكون \(\lambda/D\ll1\). وإذا لم تكن هذه النسبة صغيرة، فإن الموجة الخارجة تكون شديدة التباعد.

تمت مراجعة الحل بمقارنته بالحل الرسمي.