Consider a long, solid, rigid, regular hexagonal prism like a common type of pencil (Figure 1.1). The mass of the prism is \(M\) and it is uniformly distributed. The length of each side of the cross-sectional hexagon is \(a\). The moment of inertia \(I\) of the hexagonal prism about its central axis is

\[ I=\frac{5}{12}Ma^2 \tag{1.1} \]

Figure 1.1: A solid prism with the cross section of a regular hexagon.

The moment of inertia \(I'\) about an edge of the prism is

\[ I'=\frac{17}{12}Ma^2 \tag{1.2} \]

a) (3.5 points) The prism is initially at rest with its axis horizontal on an inclined plane which makes a small angle \(\theta\) with the horizontal (Figure 1.2). Assume that the surfaces of the prism are slightly concave so that the prism only touches the plane at its edges. The effect of this concavity on the moment of inertia can be ignored. The prism is now displaced from rest and starts an uneven rolling down the plane. Assume that friction prevents any sliding and that the prism does not lose contact with the plane. The angular velocity just before a given edge hits the plane is \(\omega_i\) while \(\omega_f\) is the angular velocity immediately after the impact.

Show that we may write

\[ \omega_f=s\omega_i \tag{1.3} \]

and write the value of the coefficient \(s\) on the answer sheet.

¹Authors: Leó Kristjánsson and Thorsteinn Vilhjálmsson

Figure 1.2: A hexagonal prism lying on an inclined plane.

b) (1 point) The kinetic energy of the prism just before and after impact is similarly \(K_i\) and \(K_f\).

Show that we may write

\[ K_f=rK_i \tag{1.4} \]

and write the value of the coefficient \(r\) on the answer sheet.

c) (1.5 points) For the next impact to occur \(K_i\) must exceed a minimum value \(K_{i,min}\) which may be written in the form

\[ K_{i,min}=\delta Mga \tag{1.5} \]

where \(g=9.81\ \mathrm{m/s^2}\) is the acceleration of gravity.

Find the coefficient \(\delta\) in terms of the slope angle \(\theta\) and the coefficient \(r\). Write your answer on the answer sheet. (Use the algebraic symbol \(r\), not its value.)

d) (2 points) If the condition of part (c) is satisfied, the kinetic energy \(K_i\) will approach a fixed value \(K_{i,0}\) as the prism rolls down the incline.

Given that the limit exists, show that \(K_{i,0}\) may be written as:

\[ K_{i,0}=\kappa Mga \tag{1.6} \]

and write the coefficient \(\kappa\) in terms of \(\theta\) and \(r\) on the answer sheet.

e) (2 points) Calculate, to within \(0.1^\circ\), the minimum slope angle \(\theta_0\) for which the uneven rolling, once started, will continue indefinitely. Write your numerical answer on the answer sheet.

Official English text of the problem.

An ice cap is a thick sheet of ice (up to a few km in thickness) resting on the ground below and extending horizontally over tens or hundreds of km. In this problem we consider the melting of ice and the behavior of water under a temperate ice cap, i.e. an ice cap at the melting point. We may assume that under such conditions the ice causes pressure variations as a viscous fluid, but deforms in a brittle fashion, principally by vertical movement. For the purposes of this problem the following information is given.

Density of water:	\(\rho_w=1.000\cdot10^3\ \mathrm{kg/m^3}\)
Density of ice:	\(\rho_i=0.917\cdot10^3\ \mathrm{kg/m^3}\)
Specific heat of ice:	\(c_i=2.1\cdot10^3\ \mathrm{J/(kg\,^\circ C)}\)
Specific latent heat of ice:	\(L_i=3.4\cdot10^5\ \mathrm{J/kg}\)
Density of rock and magma:	\(\rho_r=2.9\cdot10^3\ \mathrm{kg/m^3}\)
Specific heat of rock and magma:	\(c_r=700\ \mathrm{J/(kg\,^\circ C)}\)
Specific latent heat of rock and magma:	\(L_r=4.2\cdot10^5\ \mathrm{J/kg}\)
Average outward heat flow through the surface of the earth:	\(J_Q=0.06\ \mathrm{W/m^2}\)
Melting point of ice:	\(T_0=0^\circ\mathrm C\), constant

a) (0.5 points) Consider a thick ice cap at a location of average heat flow from the interior of the earth. Using the data from the table, calculate the thickness \(d\) of the ice layer melted every year and write your answer in the designated box on the answer sheet.

b) (3.5 points) Consider now the upper surface of an ice cap. The ground below the ice cap has a slope angle \(\alpha\). The upper surface of the cap slopes by an angle \(\beta\) as shown in Figure 2.1. The vertical thickness of the ice at \(x=0\) is \(h_0\). Hence the lower and upper surfaces of the ice cap can be described by the equations

\[ y_1=x\tan\alpha,\qquad y_2=h_0+x\tan\beta \tag{2.1} \]

Derive an expression for the pressure \(p\) at the bottom of the ice cap as a function of the horizontal coordinate \(x\) and write it on the answer sheet.

Formulate mathematically a condition between \(\beta\) and \(\alpha\), so that water in a layer between the ice cap and the ground will flow in neither direction. Show that the condition is of the form \(\tan\beta=s\tan\alpha\). Find the coefficient \(s\) and write the result in a symbolic form on the answer sheet.

The line \(y_1=0.8\,x\) in Figure 2.2 shows the surface of the earth below an ice cap. The vertical thickness \(h_0\) at \(x=0\) is 2 km. Assume that water at the bottom is in equilibrium. On a graph answer sheet draw the line \(y_1\) and add a line \(y_2\) showing the upper surface of the ice. Indicate on the figure which line is which.

\(^{6}\)Authors: Gudni Axelsson and Thorsteinn Vilhjálmsson

Figure 2.1: Cross section of an ice cap with a plane surface resting on an inclined plane ground. \(S\): surface, \(G\): ground, \(I\): ice cap.

c) (1 point) Within a large ice sheet on horizontal ground and originally of constant thickness \(D=2.0\) km, a conical body of water of height \(H=1.0\) km and radius \(r=1.0\) km is formed rather suddenly by melting of the ice (Figure 2.3). We assume that the remaining ice adapts to this by vertical motion only.

Show analytically on a blank answer sheet and pictorially on a graph answer sheet, the shape of the surface of the ice cap after the water cone has formed and hydrostatic equilibrium has been reached.

d) (5 points) In its annual expedition, an international group of scientists explores a temperate ice cap in Antarctica. The area is normally a wide plateau but this time they find a deep crater-like depression, formed like a top-down cone with a depth \(h\) of 100 m and a radius \(r\) of 500 m (Figure 2.4). The thickness of the ice in the area is 2000 m.

After a discussion the scientists conclude that most probably there was a minor volcanic eruption below the ice cap. A small amount of magma (molten rock) intruded at the bottom of the ice cap, solidified and cooled, melting a certain volume of ice. The scientists try as follows to estimate the volume of the intrusion and get an idea of what became of the melt water.

Assume that the ice only moved vertically. Also assume that the magma was completely molten and at \(1200^\circ\mathrm C\) at the start. For simplicity, assume further that the intrusion had the form of a cone with a circular base vertically below the conical depression in the surface. The time for the rising of the magma was short relative to the time for the exchange of heat in the process. The heat flow is assumed to have been primarily vertical such that the volume melted from the ice at any time is bounded by a conical surface centered above the center of the magma intrusion.

Given these assumptions the melting of the ice takes place in two steps. At first the water is not in pressure equilibrium at the surface of the magma and hence flows away. The water flowing away can be assumed to have a temperature of \(0^\circ\mathrm C\). Subsequently,

Figure 2.2: Cross section of a temperate ice cap resting on an inclined ground with water at the bottom in equilibrium. \(G\): ground, \(I\): ice cap.

hydrostatic equilibrium is reached and the water accumulates above the intrusion instead of flowing away.

When thermal equilibrium has been reached, you are asked to determine the following quantities. Write the answers on the answer sheet.

1. The height \(H\) of the top of the water cone formed under the ice cap, relative to the original bottom of the ice cap.
2. The height \(h_1\) of the intrusion.
3. The total mass \(m_{tot}\) of the water produced and the mass \(m'\) of water that flows away.

Plot on a graph answer sheet, to scale, the shapes of the rock intrusion and of the body of water remaining. Use the coordinate system suggested in Figure 2.4.

Figure 2.3: A vertical section through the mid-plane of a water cone inside an ice cap. \(S\): surface, \(W\): water, \(G\): ground, \(I\): ice cap.

Figure 2.4: A vertical and central cross section of a conical depression in a temperate ice cap. \(S\): surface, \(G\): ground, \(I\): ice cap, \(M\): rock/magma intrusion, \(W\): water. Note that the figure is NOT drawn to scale.

Official English text of the problem.

In this problem we analyze and interpret measurements made in 1994 on radio wave emission from a compound source within our galaxy.

The receiver was tuned to a broad band of radio waves of wavelengths of several centimeters. Figure 3.1 shows a series of images recorded at different times. The contours indicate constant radiation strength in much the same way as do altitude contours on a geographical map. In the figure the two maxima are interpreted as showing two objects moving away from a common center shown by crosses in the images. (The center, which is assumed to be fixed in space, is also a strong radiation emitter but mainly at other wavelengths). The measurements conducted on the various dates were made at the same time of day.

The scale of the figure is given by a line segment showing one arc second (as). (1 as = 1/3600 of a degree). The distance to the celestial body at the center of the figure, indicated by crosses, is estimated to be \(R=12.5\ \mathrm{kpc}\). A kiloparsec (kpc) equals \(3.09\cdot10^{19}\ \mathrm{m}\). The speed of light is \(c=3.00\cdot10^8\ \mathrm{m/s}\). Error calculations are not required in the solution.

a) (2 points) We denote the angular positions of the two ejected radio emitters, relative to the common center, by \(\theta_1(t)\) and \(\theta_2(t)\), where the subscripts 1 and 2 refer to the left and right hand ones, respectively, and \(t\) is the time of observation. The angular speeds, as seen from the Earth, are \(\omega_1\) and \(\omega_2\). The corresponding apparent transverse linear speeds of the two sources are denoted by \(v'_{1,\perp}\) and \(v'_{2,\perp}\).

Using Figure 3.1, make a graph to find the numerical values of \(\omega_1\) and \(\omega_2\) in milli-arc-seconds per day (mas/d). Also determine the numerical values of \(v'_{1,\perp}\) and \(v'_{2,\perp}\), and write all answers on the answer sheet. (You may be puzzled by some of the results).

b) (3 points) In order to resolve the puzzle arising in part (a), consider a light-source moving with velocity \(\vec v\) at an angle \(\phi\) (\(0\leq\phi\leq\pi\)) to the direction towards a distant observer \(O\) (Figure 3.2). The speed may be written as \(v=\beta c\), where \(c\) is the speed of light. The distance to the source, as measured by the observer, is \(R\). The angular speed of the source, as seen from the observer, is \(\omega\), and the apparent linear speed perpendicular to the line of sight is \(v'_\perp\).

Find \(\omega\) and \(v'_\perp\) in terms of \(\beta\), \(R\) and \(\phi\) and write your answer on the answer sheet.

c) (1 point) We assume that the two ejected objects, described in the introduction and in part (a), are moving in opposite directions with equal speeds \(v=\beta c\). Then the results of part (b) make it possible to calculate \(\beta\) and \(\phi\) from the angular speeds \(\omega_1\) and \(\omega_2\) and the distance \(R\). Here \(\phi\) is the angle defined in part (b), for the left hand object, corresponding to subscript 1 in part (a).

Derive formulas for \(\beta\) and \(\phi\) in terms of known quantities and determine their numerical values from the data in part (a). Write your answers in the designated fields on the answer sheet.

d) (2 points) In the one-body situation of part (b), find the condition for the apparent perpendicular speed \(v'_\perp\) to be larger than the speed of light \(c\).

\(^{7}\) Authors: Einar Gudmundsson, Knútur Árnason and Thorsteinn Vilhjálmsson

Figure 3.1: Radio emission from a source in our galaxy.

Figure 3.2: The observer is at \(O\) and the original position of the light source is at \(A\). The velocity vector is \(\vec v\).

Write the condition in the form \(\beta>f(\phi)\) and provide an analytic expression for the function \(f\) on the answer sheet.

Draw on the graph answer sheet the physically relevant region of the \((\beta,\phi)\)-plane. Show by shading in which part of this region the condition \(v'_\perp>c\) holds.

e) (1 point) Still in the one-body situation of part (b), find an expression for the maximum value \((v'_\perp)_{\max}\) of the apparent perpendicular speed \(v'_\perp\) for a given \(\beta\) and write it in the designated field on the answer sheet. Note that this speed increases without limit when \(\beta\to1\).

f) (1 point) The estimate for \(R\) given in the introduction is not very reliable. Scientists have therefore started speculating on a better and more direct method of determining \(R\). One idea for this goes as follows. Assume that we can identify and measure the Doppler shifted wavelengths \(\lambda_1\) and \(\lambda_2\) of radiation from the two ejected objects, corresponding to the same known original wavelength \(\lambda_0\) in the rest frames of the objects.

Starting from the equations for the relativistic Doppler shift, \(\lambda=\lambda_0(1-\beta\cos\phi)(1-\beta^2)^{-1/2}\), and assuming, as before, that both objects have the same speed, \(v\), show that the unknown \(\beta=v/c\) can be expressed in terms of \(\lambda_0,\lambda_1,\) and \(\lambda_2\) as

\[ \beta=\sqrt{1-\frac{\alpha\lambda_0^2}{(\lambda_1+\lambda_2)^2}}. \tag{3.1} \]

Write the numerical value of the coefficient \(\alpha\) in the designated field on the answer sheet.

You may note that this means that the suggested wavelength measurements will in practice provide a new estimate of the distance.

Official English text of the problem.

Betrachten Sie ein langes, massives, starres Prisma mit regelmäßigem sechseckigem Querschnitt, wie es etwa ein gewöhnlicher Bleistift aufweist (Abbildung 1.1). Die Masse des Prismas beträgt \(M\) und ist gleichmäßig verteilt. Die Seitenlänge des sechseckigen Querschnitts beträgt \(a\). Das Trägheitsmoment \(I\) des hexagonalen Prismas bezüglich seiner Mittelachse ist

\[ I=\frac{5}{12}Ma^2 \tag{1.1} \]

Abbildung 1.1: Ein massives Prisma mit dem Querschnitt eines regelmäßigen Sechsecks.

Das Trägheitsmoment \(I'\) bezüglich einer Kante des Prismas ist

\[ I'=\frac{17}{12}Ma^2 \tag{1.2} \]

a) (3.5 Punkte) Das Prisma ruht zunächst mit horizontaler Achse auf einer schiefen Ebene, die mit der Horizontalen einen kleinen Winkel \(\theta\) bildet (Abbildung 1.2). Nehmen Sie an, dass die Seitenflächen des Prismas leicht konkav sind, sodass das Prisma die Ebene nur an seinen Kanten berührt. Der Einfluss dieser Konkavität auf das Trägheitsmoment kann vernachlässigt werden. Das Prisma wird nun aus seiner Ruhelage ausgelenkt und beginnt, ungleichmäßig die Ebene hinabzurollen. Nehmen Sie an, dass die Reibung jegliches Gleiten verhindert und dass das Prisma den Kontakt mit der Ebene nicht verliert. Die Winkelgeschwindigkeit unmittelbar bevor eine bestimmte Kante auf die Ebene auftrifft, ist \(\omega_i\), während \(\omega_f\) die Winkelgeschwindigkeit unmittelbar nach dem Stoß ist.

Zeigen Sie, dass sich die Beziehung

\[ \omega_f=s\omega_i \tag{1.3} \]

schreiben lässt, und tragen Sie den Wert des Koeffizienten \(s\) auf dem Antwortbogen ein.

¹Autoren: Leó Kristjánsson und Thorsteinn Vilhjálmsson

Abbildung 1.2: Ein hexagonales Prisma auf einer schiefen Ebene.

b) (1 Punkt) Entsprechend sind die kinetischen Energien des Prismas unmittelbar vor und nach dem Stoß \(K_i\) und \(K_f\).

Zeigen Sie, dass sich die Beziehung

\[ K_f=rK_i \tag{1.4} \]

schreiben lässt, und tragen Sie den Wert des Koeffizienten \(r\) auf dem Antwortbogen ein.

c) (1.5 Punkte) Damit der nächste Stoß stattfinden kann, muss \(K_i\) einen Mindestwert \(K_{i,min}\) überschreiten, der sich in der Form

\[ K_{i,min}=\delta Mga \tag{1.5} \]

schreiben lässt, wobei \(g=9.81\ \mathrm{m/s^2}\) die Erdbeschleunigung ist.

Bestimmen Sie den Koeffizienten \(\delta\) in Abhängigkeit vom Neigungswinkel \(\theta\) und vom Koeffizienten \(r\). Tragen Sie Ihre Antwort auf dem Antwortbogen ein. (Verwenden Sie das algebraische Symbol \(r\), nicht seinen Zahlenwert.)

d) (2 Punkte) Wenn die Bedingung aus Teil (c) erfüllt ist, nähert sich die kinetische Energie \(K_i\) einem festen Wert \(K_{i,0}\), während das Prisma die schiefe Ebene hinabrollt.

Zeigen Sie unter der Voraussetzung, dass der Grenzwert existiert, dass sich \(K_{i,0}\) wie folgt schreiben lässt:

\[ K_{i,0}=\kappa Mga \tag{1.6} \]

Tragen Sie den Koeffizienten \(\kappa\) in Abhängigkeit von \(\theta\) und \(r\) auf dem Antwortbogen ein.

e) (2 Punkte) Berechnen Sie auf \(0.1^\circ\) genau den kleinsten Neigungswinkel \(\theta_0\), bei dem das ungleichmäßige Rollen, nachdem es einmal begonnen hat, unbegrenzt anhält. Tragen Sie Ihr numerisches Ergebnis auf dem Antwortbogen ein.

Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt.

Eine Eiskappe ist eine mächtige Eisschicht (bis zu einigen km dick), die auf dem darunterliegenden Boden aufliegt und sich horizontal über einige zehn oder hundert km erstreckt. In dieser Aufgabe betrachten wir das Schmelzen von Eis und das Verhalten von Wasser unter einer temperierten Eiskappe, d. h. einer Eiskappe am Schmelzpunkt. Wir dürfen annehmen, dass das Eis unter diesen Bedingungen Druckänderungen wie eine viskose Flüssigkeit hervorruft, sich jedoch spröde verformt, hauptsächlich durch vertikale Bewegung. Für diese Aufgabe sind die folgenden Angaben gegeben.

Dichte von Wasser:	\(\rho_w=1.000\cdot10^3\ \mathrm{kg/m^3}\)
Dichte von Eis:	\(\rho_i=0.917\cdot10^3\ \mathrm{kg/m^3}\)
Spezifische Wärmekapazität von Eis:	\(c_i=2.1\cdot10^3\ \mathrm{J/(kg\,^\circ C)}\)
Spezifische Schmelzwärme von Eis:	\(L_i=3.4\cdot10^5\ \mathrm{J/kg}\)
Dichte von Gestein und Magma:	\(\rho_r=2.9\cdot10^3\ \mathrm{kg/m^3}\)
Spezifische Wärmekapazität von Gestein und Magma:	\(c_r=700\ \mathrm{J/(kg\,^\circ C)}\)
Spezifische Schmelzwärme von Gestein und Magma:	\(L_r=4.2\cdot10^5\ \mathrm{J/kg}\)
Mittlere nach außen gerichtete Wärmestromdichte durch die Erdoberfläche:	\(J_Q=0.06\ \mathrm{W/m^2}\)
Schmelzpunkt von Eis:	\(T_0=0^\circ\mathrm C\), konstant

a) (0.5 Punkte) Betrachten Sie eine mächtige Eiskappe an einem Ort mit durchschnittlichem Wärmestrom aus dem Erdinneren. Berechnen Sie anhand der Daten in der Tabelle die Dicke \(d\) der Eisschicht, die jedes Jahr schmilzt, und tragen Sie Ihre Antwort in das dafür vorgesehene Feld auf dem Antwortblatt ein.

b) (3.5 Punkte) Betrachten Sie nun die obere Oberfläche einer Eiskappe. Der Boden unter der Eiskappe hat einen Neigungswinkel \(\alpha\). Die obere Oberfläche der Eiskappe ist um den Winkel \(\beta\) geneigt, wie in Abbildung 2.1 dargestellt. Die vertikale Eisdicke bei \(x=0\) beträgt \(h_0\). Somit lassen sich die untere und die obere Oberfläche der Eiskappe durch die folgenden Gleichungen beschreiben:

\[ y_1=x\tan\alpha,\qquad y_2=h_0+x\tan\beta \tag{2.1} \]

Leiten Sie einen Ausdruck für den Druck \(p\) an der Unterseite der Eiskappe als Funktion der horizontalen Koordinate \(x\) her und tragen Sie ihn auf dem Antwortblatt ein.

Formulieren Sie mathematisch eine Bedingung zwischen \(\beta\) und \(\alpha\), damit Wasser in einer Schicht zwischen der Eiskappe und dem Boden in keine der beiden Richtungen fließt. Zeigen Sie, dass die Bedingung die Form \(\tan\beta=s\tan\alpha\) hat. Bestimmen Sie den Koeffizienten \(s\) und tragen Sie das Ergebnis in symbolischer Form auf dem Antwortblatt ein.

Die Gerade \(y_1=0.8\,x\) in Abbildung 2.2 zeigt die Erdoberfläche unter einer Eiskappe. Die vertikale Dicke \(h_0\) bei \(x=0\) beträgt 2 km. Nehmen Sie an, dass sich das Wasser am Boden im Gleichgewicht befindet. Zeichnen Sie auf einem Diagramm-Antwortblatt die Gerade \(y_1\) und ergänzen Sie eine Gerade \(y_2\), die die obere Oberfläche des Eises darstellt. Kennzeichnen Sie in der Abbildung, welche Gerade welche ist.

\(^{6}\)Autoren: Gudni Axelsson und Thorsteinn Vilhjálmsson

Abbildung 2.1: Querschnitt einer Eiskappe mit ebener Oberfläche, die auf einem geneigten ebenen Boden aufliegt. \(S\): Oberfläche, \(G\): Boden, \(I\): Eiskappe.

c) (1 Punkt) Innerhalb einer großen Eisschicht auf horizontalem Boden mit ursprünglich konstanter Dicke \(D=2.0\) km entsteht durch Schmelzen des Eises relativ plötzlich ein kegelförmiger Wasserkörper mit der Höhe \(H=1.0\) km und dem Radius \(r=1.0\) km (Abbildung 2.3). Wir nehmen an, dass sich das verbleibende Eis ausschließlich durch vertikale Bewegung daran anpasst.

Zeigen Sie analytisch auf einem leeren Antwortblatt und zeichnerisch auf einem Diagramm-Antwortblatt die Form der Oberfläche der Eiskappe, nachdem sich der Wasserkegel gebildet hat und das hydrostatische Gleichgewicht erreicht ist.

d) (5 Punkte) Auf ihrer jährlichen Expedition erkundet eine internationale Gruppe von Wissenschaftlern eine temperierte Eiskappe in der Antarktis. Das Gebiet ist normalerweise ein weites Plateau, doch diesmal finden sie eine tiefe kraterartige Senke in Form eines mit der Spitze nach unten gerichteten Kegels mit einer Tiefe \(h\) von 100 m und einem Radius \(r\) von 500 m (Abbildung 2.4). Die Eisdicke in diesem Gebiet beträgt 2000 m.

Nach einer Diskussion kommen die Wissenschaftler zu dem Schluss, dass es höchstwahrscheinlich einen kleineren Vulkanausbruch unter der Eiskappe gegeben hat. Eine kleine Menge Magma (geschmolzenes Gestein) drang an der Unterseite der Eiskappe ein, erstarrte und kühlte ab, wobei ein bestimmtes Eisvolumen schmolz. Die Wissenschaftler versuchen im Folgenden, das Volumen der Intrusion abzuschätzen und sich ein Bild davon zu machen, was aus dem Schmelzwasser geworden ist.

Nehmen Sie an, dass sich das Eis nur vertikal bewegte. Nehmen Sie außerdem an, dass das Magma zu Beginn vollständig geschmolzen war und eine Temperatur von \(1200^\circ\mathrm C\) hatte. Nehmen Sie zur Vereinfachung ferner an, dass die Intrusion die Form eines Kegels mit kreisförmiger Grundfläche senkrecht unter der kegelförmigen Senke an der Oberfläche hatte. Die Aufstiegszeit des Magmas war kurz im Vergleich zur Dauer des Wärmeaustauschs während dieses Vorgangs. Es wird angenommen, dass der Wärmestrom hauptsächlich vertikal gerichtet war, sodass das aus dem Eis geschmolzene Volumen zu jedem Zeitpunkt durch eine Kegelfläche begrenzt ist, deren Mittelpunkt über dem Mittelpunkt der Magmaintrusion liegt.

Unter diesen Annahmen erfolgt das Schmelzen des Eises in zwei Schritten. Zunächst befindet sich das Wasser an der Oberfläche des Magmas nicht im Druckgleichgewicht und fließt daher ab. Für das abfließende Wasser kann eine Temperatur von \(0^\circ\mathrm C\) angenommen werden. Anschließend

Abbildung 2.2: Querschnitt einer temperierten Eiskappe auf geneigtem Boden mit Wasser an der Unterseite im Gleichgewicht. \(G\): Boden, \(I\): Eiskappe.

wird das hydrostatische Gleichgewicht erreicht, und das Wasser sammelt sich über der Intrusion, anstatt abzufließen.

Bestimmen Sie die folgenden Größen für den Zustand, in dem das thermische Gleichgewicht erreicht ist. Tragen Sie die Antworten auf dem Antwortblatt ein.

1. Die Höhe \(H\) der Spitze des unter der Eiskappe entstandenen Wasserkegels, bezogen auf die ursprüngliche Unterseite der Eiskappe.
2. Die Höhe \(h_1\) der Intrusion.
3. Die Gesamtmasse \(m_{tot}\) des entstandenen Wassers und die Masse \(m'\) des abfließenden Wassers.

Zeichnen Sie auf einem Diagramm-Antwortblatt maßstabsgetreu die Formen der Gesteinsintrusion und des verbleibenden Wasserkörpers. Verwenden Sie das in Abbildung 2.4 vorgeschlagene Koordinatensystem.

Abbildung 2.3: Ein vertikaler Schnitt durch die Mittelebene eines Wasserkegels innerhalb einer Eiskappe. \(S\): Oberfläche, \(W\): Wasser, \(G\): Boden, \(I\): Eiskappe.

Abbildung 2.4: Ein vertikaler Schnitt durch die Mitte einer kegelförmigen Senke in einer temperierten Eiskappe. \(S\): Oberfläche, \(G\): Boden, \(I\): Eiskappe, \(M\): Gesteins-/Magmaintrusion, \(W\): Wasser. Beachten Sie, dass die Abbildung NICHT maßstabsgetreu gezeichnet ist.

Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt.

In dieser Aufgabe analysieren und interpretieren wir Messungen der Radiowellenemission einer aus mehreren Komponenten bestehenden Quelle innerhalb unserer Galaxie, die 1994 durchgeführt wurden.

Der Empfänger war auf ein breites Band von Radiowellen mit Wellenlängen von mehreren Zentimetern abgestimmt. Abbildung 3.1 zeigt eine Reihe von Bildern, die zu verschiedenen Zeiten aufgenommen wurden. Die Konturlinien kennzeichnen eine konstante Strahlungsintensität, ähnlich wie Höhenlinien auf einer geografischen Karte. Die beiden Maxima in der Abbildung werden als zwei Objekte gedeutet, die sich von einem gemeinsamen Zentrum entfernen, das in den Bildern durch Kreuze markiert ist. (Das Zentrum, das als im Raum ruhend angenommen wird, ist ebenfalls eine starke Strahlungsquelle, allerdings hauptsächlich bei anderen Wellenlängen). Die Messungen an den verschiedenen Tagen wurden jeweils zur selben Tageszeit durchgeführt.

Der Maßstab der Abbildung ist durch eine Strecke angegeben, die einer Bogensekunde (as) entspricht. (1 as = 1/3600 eines Grades). Die Entfernung zu dem Himmelskörper im Zentrum der Abbildung, der durch Kreuze markiert ist, wird auf \(R=12.5\ \mathrm{kpc}\) geschätzt. Ein Kiloparsec (kpc) entspricht \(3.09\cdot10^{19}\ \mathrm{m}\). Die Lichtgeschwindigkeit beträgt \(c=3.00\cdot10^8\ \mathrm{m/s}\). Fehlerrechnungen sind bei der Lösung nicht erforderlich.

a) (2 Punkte) Wir bezeichnen die Winkelpositionen der beiden ausgestoßenen Radioquellen relativ zum gemeinsamen Zentrum mit \(\theta_1(t)\) und \(\theta_2(t)\), wobei sich die Indizes 1 und 2 auf die linke beziehungsweise die rechte Quelle beziehen und \(t\) die Beobachtungszeit ist. Die von der Erde aus beobachteten Winkelgeschwindigkeiten sind \(\omega_1\) und \(\omega_2\). Die entsprechenden scheinbaren transversalen Geschwindigkeiten der beiden Quellen werden mit \(v'_{1,\perp}\) und \(v'_{2,\perp}\) bezeichnet.

Erstellen Sie mithilfe von Abbildung 3.1 ein Diagramm, um die Zahlenwerte von \(\omega_1\) und \(\omega_2\) in Millibogensekunden pro Tag (mas/d) zu bestimmen. Bestimmen Sie auch die Zahlenwerte von \(v'_{1,\perp}\) und \(v'_{2,\perp}\) und tragen Sie alle Antworten auf dem Antwortblatt ein. (Einige Ergebnisse könnten Sie verwundern).

b) (3 Punkte) Um das in Teil (a) auftretende Rätsel zu lösen, betrachten Sie eine Lichtquelle, die sich mit der Geschwindigkeit \(\vec v\) unter einem Winkel \(\phi\) (\(0\leq\phi\leq\pi\)) zur Richtung auf einen weit entfernten Beobachter \(O\) zu bewegt (Abbildung 3.2). Der Geschwindigkeitsbetrag lässt sich als \(v=\beta c\) schreiben, wobei \(c\) die Lichtgeschwindigkeit ist. Die vom Beobachter gemessene Entfernung zur Quelle beträgt \(R\). Die vom Beobachter aus gesehene Winkelgeschwindigkeit der Quelle ist \(\omega\), und die scheinbare Geschwindigkeit senkrecht zur Sichtlinie ist \(v'_\perp\).

Bestimmen Sie \(\omega\) und \(v'_\perp\) in Abhängigkeit von \(\beta\), \(R\) und \(\phi\) und tragen Sie Ihre Antwort auf dem Antwortblatt ein.

c) (1 Punkt) Wir nehmen an, dass sich die beiden ausgestoßenen Objekte, die in der Einleitung und in Teil (a) beschrieben wurden, mit gleichen Geschwindigkeitsbeträgen \(v=\beta c\) in entgegengesetzte Richtungen bewegen. Dann ermöglichen es die Ergebnisse aus Teil (b), \(\beta\) und \(\phi\) aus den Winkelgeschwindigkeiten \(\omega_1\) und \(\omega_2\) sowie der Entfernung \(R\) zu berechnen. Dabei ist \(\phi\) der in Teil (b) definierte Winkel für das linke Objekt, das dem Index 1 in Teil (a) entspricht.

Leiten Sie Formeln für \(\beta\) und \(\phi\) in Abhängigkeit von bekannten Größen her und bestimmen Sie ihre Zahlenwerte aus den Daten in Teil (a). Tragen Sie Ihre Antworten in die dafür vorgesehenen Felder auf dem Antwortblatt ein.

d) (2 Punkte) Bestimmen Sie für die Situation mit einem Körper aus Teil (b) die Bedingung dafür, dass die scheinbare senkrechte Geschwindigkeit \(v'_\perp\) größer als die Lichtgeschwindigkeit \(c\) ist.

\(^{7}\) Autoren: Einar Gudmundsson, Knútur Árnason und Thorsteinn Vilhjálmsson

Abbildung 3.1: Radioemission einer Quelle in unserer Galaxie.

Abbildung 3.2: Der Beobachter befindet sich bei \(O\), und die ursprüngliche Position der Lichtquelle liegt bei \(A\). Der Geschwindigkeitsvektor ist \(\vec v\).

Schreiben Sie die Bedingung in der Form \(\beta>f(\phi)\) und geben Sie auf dem Antwortblatt einen analytischen Ausdruck für die Funktion \(f\) an.

Zeichnen Sie auf dem Diagramm-Antwortblatt den physikalisch relevanten Bereich der \((\beta,\phi)\)-Ebene. Kennzeichnen Sie durch Schraffur, in welchem Teil dieses Bereichs die Bedingung \(v'_\perp>c\) erfüllt ist.

e) (1 Punkt) Bestimmen Sie weiterhin für die Situation mit einem Körper aus Teil (b) einen Ausdruck für den Maximalwert \((v'_\perp)_{\max}\) der scheinbaren senkrechten Geschwindigkeit \(v'_\perp\) bei gegebenem \(\beta\) und tragen Sie ihn in das dafür vorgesehene Feld auf dem Antwortblatt ein. Beachten Sie, dass diese Geschwindigkeit für \(\beta\to1\) unbegrenzt zunimmt.

f) (1 Punkt) Die in der Einleitung angegebene Schätzung für \(R\) ist nicht sehr zuverlässig. Wissenschaftler haben daher begonnen, über eine bessere und direktere Methode zur Bestimmung von \(R\) nachzudenken. Eine Idee dazu lautet wie folgt. Nehmen Sie an, dass wir die durch den Dopplereffekt verschobenen Wellenlängen \(\lambda_1\) und \(\lambda_2\) der Strahlung der beiden ausgestoßenen Objekte identifizieren und messen können, die derselben bekannten ursprünglichen Wellenlänge \(\lambda_0\) in den Ruhesystemen der Objekte entsprechen.

Zeigen Sie ausgehend von den Gleichungen für die relativistische Dopplerverschiebung, \(\lambda=\lambda_0(1-\beta\cos\phi)(1-\beta^2)^{-1/2}\), und unter der bisherigen Annahme, dass beide Objekte denselben Geschwindigkeitsbetrag \(v\) haben, dass sich das unbekannte \(\beta=v/c\) durch \(\lambda_0,\lambda_1,\) und \(\lambda_2\) ausdrücken lässt als

\[ \beta=\sqrt{1-\frac{\alpha\lambda_0^2}{(\lambda_1+\lambda_2)^2}}. \tag{3.1} \]

Tragen Sie den Zahlenwert des Koeffizienten \(\alpha\) in das dafür vorgesehene Feld auf dem Antwortblatt ein.

Beachten Sie, dass dies bedeutet, dass die vorgeschlagenen Wellenlängenmessungen in der Praxis eine neue Schätzung der Entfernung liefern werden.

Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt.

Yaygın bir kurşun kalem türü gibi uzun, içi dolu, rijit, düzgün altıgen bir prizma düşünün (Şekil 1.1). Prizmanın kütlesi \(M\) olup düzgün dağılmıştır. Altıgen kesitin her bir kenarının uzunluğu \(a\)'dır. Altıgen prizmanın merkez ekseni etrafındaki eylemsizlik momenti \(I\) şöyledir:

\[ I=\frac{5}{12}Ma^2 \tag{1.1} \]

Şekil 1.1: Kesiti düzgün altıgen olan, içi dolu bir prizma.

Prizmanın bir ayrıtı etrafındaki eylemsizlik momenti \(I'\) şöyledir:

\[ I'=\frac{17}{12}Ma^2 \tag{1.2} \]

a) (3.5 puan) Prizma başlangıçta, yatayla küçük bir \(\theta\) açısı yapan eğik bir düzlem üzerinde, ekseni yatay olacak biçimde durmaktadır (Şekil 1.2). Prizmanın yüzeylerinin hafifçe içbükey olduğunu, dolayısıyla prizmanın düzleme yalnızca ayrıtlarından temas ettiğini varsayın. Bu içbükeyliğin eylemsizlik momenti üzerindeki etkisi ihmal edilebilir. Prizma şimdi durgun konumundan hareket ettirilir ve düzlem boyunca aşağıya doğru düzensiz biçimde yuvarlanmaya başlar. Sürtünmenin her türlü kaymayı önlediğini ve prizmanın düzlemle temasını kaybetmediğini varsayın. Belirli bir ayrıtın düzleme çarpmasından hemen önceki açısal hız \(\omega_i\), çarpışmadan hemen sonraki açısal hız ise \(\omega_f\)'dir.

Şu bağıntının yazılabileceğini gösterin:

\[ \omega_f=s\omega_i \tag{1.3} \]

ve \(s\) katsayısının değerini cevap kâğıdına yazın.

¹Yazarlar: Leó Kristjánsson ve Thorsteinn Vilhjálmsson

Şekil 1.2: Eğik bir düzlem üzerinde duran altıgen bir prizma.

b) (1 puan) Prizmanın çarpışmadan hemen önceki ve hemen sonraki kinetik enerjileri de benzer biçimde \(K_i\) ve \(K_f\) ile gösterilmektedir.

Şu bağıntının yazılabileceğini gösterin:

\[ K_f=rK_i \tag{1.4} \]

ve \(r\) katsayısının değerini cevap kâğıdına yazın.

c) (1.5 puan) Bir sonraki çarpışmanın gerçekleşmesi için \(K_i\), aşağıdaki biçimde yazılabilen bir minimum \(K_{i,min}\) değerini aşmalıdır:

\[ K_{i,min}=\delta Mga \tag{1.5} \]

Burada \(g=9.81\ \mathrm{m/s^2}\) yerçekimi ivmesidir.

\(\delta\) katsayısını eğim açısı \(\theta\) ve \(r\) katsayısı cinsinden bulun. Cevabınızı cevap kâğıdına yazın. (\(r\)'nin değerini değil, cebirsel simgesi olan \(r\)'yi kullanın.)

d) (2 puan) (c) kısmındaki koşul sağlanırsa prizma eğik düzlem boyunca aşağıya yuvarlandıkça kinetik enerji \(K_i\), sabit bir \(K_{i,0}\) değerine yaklaşır.

Limitin var olduğu verildiğine göre, \(K_{i,0}\)'ın şu biçimde yazılabileceğini gösterin:

\[ K_{i,0}=\kappa Mga \tag{1.6} \]

ve \(\kappa\) katsayısını \(\theta\) ve \(r\) cinsinden cevap kâğıdına yazın.

e) (2 puan) Düzensiz yuvarlanmanın bir kez başladıktan sonra süresiz olarak devam edeceği minimum eğim açısı \(\theta_0\)'ı \(0.1^\circ\) doğrulukla hesaplayın. Sayısal cevabınızı cevap kâğıdına yazın.

Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir.

Buz örtüsü, altındaki zemine oturan ve yatay doğrultuda onlarca ya da yüzlerce km boyunca uzanan kalın bir buz tabakasıdır (kalınlığı birkaç km'ye kadar çıkabilir). Bu soruda, ılıman bir buz örtüsünün, yani erime noktasındaki bir buz örtüsünün altında buzun erimesini ve suyun davranışını ele alıyoruz. Bu koşullarda buzun viskoz bir akışkan gibi basınç değişimlerine yol açtığını, ancak esas olarak düşey hareketle, kırılgan bir biçimde şekil değiştirdiğini varsayabiliriz. Bu soruda kullanılmak üzere aşağıdaki bilgiler verilmiştir.

Suyun yoğunluğu:	\(\rho_w=1.000\cdot10^3\ \mathrm{kg/m^3}\)
Buzun yoğunluğu:	\(\rho_i=0.917\cdot10^3\ \mathrm{kg/m^3}\)
Buzun özgül ısısı:	\(c_i=2.1\cdot10^3\ \mathrm{J/(kg\,^\circ C)}\)
Buzun özgül erime ısısı:	\(L_i=3.4\cdot10^5\ \mathrm{J/kg}\)
Kayaç ve magmanın yoğunluğu:	\(\rho_r=2.9\cdot10^3\ \mathrm{kg/m^3}\)
Kayaç ve magmanın özgül ısısı:	\(c_r=700\ \mathrm{J/(kg\,^\circ C)}\)
Kayaç ve magmanın özgül erime ısısı:	\(L_r=4.2\cdot10^5\ \mathrm{J/kg}\)
Yeryüzünden dışarıya doğru ortalama ısı akısı:	\(J_Q=0.06\ \mathrm{W/m^2}\)
Buzun erime noktası:	\(T_0=0^\circ\mathrm C\), sabit

a) (0.5 puan) Yer'in içinden gelen ısı akısının ortalama değerde olduğu bir yerde bulunan kalın bir buz örtüsünü ele alın. Tablodaki verileri kullanarak her yıl eriyen buz tabakasının \(d\) kalınlığını hesaplayın ve cevabınızı cevap kâğıdında ayrılan kutuya yazın.

b) (3.5 puan) Şimdi bir buz örtüsünün üst yüzeyini ele alın. Buz örtüsünün altındaki zeminin eğim açısı \(\alpha\)'dır. Örtünün üst yüzeyi, Şekil 2.1'de gösterildiği gibi \(\beta\) açısıyla eğimlidir. Buzun \(x=0\) noktasındaki düşey kalınlığı \(h_0\)'dır. Dolayısıyla buz örtüsünün alt ve üst yüzeyleri şu denklemlerle betimlenebilir:

\[ y_1=x\tan\alpha,\qquad y_2=h_0+x\tan\beta \tag{2.1} \]

Buz örtüsünün tabanındaki \(p\) basıncını yatay \(x\) koordinatının fonksiyonu olarak veren bir ifade türetin ve cevap kâğıdına yazın.

Buz örtüsü ile zemin arasındaki bir tabakada bulunan suyun hiçbir yönde akmaması için \(\beta\) ile \(\alpha\) arasında bulunması gereken koşulu matematiksel olarak ifade edin. Bu koşulun \(\tan\beta=s\tan\alpha\) biçiminde olduğunu gösterin. \(s\) katsayısını bulun ve sonucu sembolik biçimde cevap kâğıdına yazın.

Şekil 2.2'deki \(y_1=0.8\,x\) doğrusu, bir buz örtüsünün altındaki yer yüzeyini göstermektedir. \(x=0\) noktasındaki düşey \(h_0\) kalınlığı 2 km'dir. Tabandaki suyun dengede olduğunu varsayın. Grafik cevap kâğıdına \(y_1\) doğrusunu çizin ve buzun üst yüzeyini gösteren bir \(y_2\) doğrusu ekleyin. Şekil üzerinde hangi doğrunun neyi gösterdiğini belirtin.

\(^{6}\)Yazarlar: Gudni Axelsson ve Thorsteinn Vilhjálmsson

Şekil 2.1: Eğimli düzlemsel bir zemine oturan, düzlemsel yüzeyli bir buz örtüsünün kesiti. \(S\): yüzey, \(G\): zemin, \(I\): buz örtüsü.

c) (1 puan) Yatay bir zemin üzerinde bulunan ve başlangıçta sabit \(D=2.0\) km kalınlığında olan büyük bir buz tabakasının içinde, buzun erimesiyle oldukça ani bir biçimde yüksekliği \(H=1.0\) km ve yarıçapı \(r=1.0\) km olan konik bir su kütlesi oluşur (Şekil 2.3). Geriye kalan buzun bu duruma yalnızca düşey hareketle uyum sağladığını varsayıyoruz.

Su konisi oluştuktan ve hidrostatik dengeye ulaşıldıktan sonra buz örtüsünün yüzeyinin şeklini, boş bir cevap kâğıdında analitik olarak ve grafik cevap kâğıdında çizimle gösterin.

d) (5 puan) Uluslararası bir bilim insanı grubu, yıllık araştırma gezisinde Antarktika'daki ılıman bir buz örtüsünü inceler. Bölge normalde geniş bir platodur; ancak bu kez, derinliği \(h\) 100 m ve yarıçapı \(r\) 500 m olan, tepesi aşağıya bakan bir koni biçiminde derin, krater benzeri bir çöküntü bulurlar (Şekil 2.4). Bölgedeki buzun kalınlığı 2000 m'dir.

Bilim insanları, yaptıkları tartışmanın ardından, büyük olasılıkla buz örtüsünün altında küçük bir volkanik püskürme olduğu sonucuna varırlar. Az miktarda magma (erimiş kayaç), buz örtüsünün tabanına sokulmuş, katılaşmış ve soğuyarak belirli bir hacimdeki buzu eritmiştir. Bilim insanları, sokulumun hacmini tahmin etmek ve eriyen buzdan oluşan suya ne olduğuna ilişkin fikir edinmek için aşağıdaki yolu izlerler.

Buzun yalnızca düşey yönde hareket ettiğini varsayın. Ayrıca magmanın başlangıçta tamamen erimiş durumda ve \(1200^\circ\mathrm C\) sıcaklıkta olduğunu varsayın. Basitlik için, sokulumun yüzeydeki konik çöküntünün düşey olarak altında bulunan, dairesel tabanlı bir koni biçiminde olduğunu da varsayın. Magmanın yükselme süresi, bu süreçteki ısı alışverişinin süresine göre kısadır. Isı akışının esas olarak düşey olduğu, dolayısıyla herhangi bir anda buzdan eriyen hacmin, merkezi magma sokulumunun merkezinin üzerinde bulunan konik bir yüzeyle sınırlandığı varsayılmaktadır.

Bu varsayımlar altında buzun erimesi iki aşamada gerçekleşir. Başlangıçta su, magmanın yüzeyinde basınç dengesinde değildir ve bu nedenle akarak uzaklaşır. Akarak uzaklaşan suyun sıcaklığının \(0^\circ\mathrm C\) olduğu varsayılabilir. Daha sonra,

Şekil 2.2: Eğimli bir zemine oturan ve tabanındaki su dengede olan ılıman bir buz örtüsünün kesiti. \(G\): zemin, \(I\): buz örtüsü.

hidrostatik dengeye ulaşılır ve su akarak uzaklaşmak yerine sokulumun üzerinde birikir.

Isıl dengeye ulaşıldığında aşağıdaki nicelikleri belirlemeniz istenmektedir. Cevapları cevap kâğıdına yazın.

1. Buz örtüsünün altında oluşan su konisinin tepesinin, buz örtüsünün başlangıçtaki tabanına göre \(H\) yüksekliği.
2. Sokulumun \(h_1\) yüksekliği.
3. Oluşan suyun toplam \(m_{tot}\) kütlesi ve akarak uzaklaşan suyun \(m'\) kütlesi.

Kayaç sokulumunun ve geriye kalan su kütlesinin şekillerini grafik cevap kâğıdına ölçekli olarak çizin. Şekil 2.4'te önerilen koordinat sistemini kullanın.

Şekil 2.3: Bir buz örtüsünün içindeki su konisinin orta düzleminden geçen düşey kesit. \(S\): yüzey, \(W\): su, \(G\): zemin, \(I\): buz örtüsü.

Şekil 2.4: Ilıman bir buz örtüsündeki konik çöküntünün merkezinden geçen düşey kesit. \(S\): yüzey, \(G\): zemin, \(I\): buz örtüsü, \(M\): kayaç/magma sokulumu, \(W\): su. Şeklin ölçekli çizilmiş OLMADIĞINA dikkat edin.

Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir.

Bu soruda, gökadamızdaki bileşik bir kaynağın radyo dalgası yayımı üzerine 1994 yılında yapılan ölçümleri analiz edip yorumlayacağız.

Alıcı, dalga boyları birkaç santimetre olan radyo dalgalarını kapsayan geniş bir banda ayarlanmıştı. Şekil 3.1, farklı zamanlarda kaydedilmiş bir dizi görüntüyü göstermektedir. Eş düzey eğrileri, bir coğrafi haritadaki eş yükselti eğrilerine çok benzer biçimde, sabit ışınım şiddetini göstermektedir. Şekildeki iki maksimum, görüntülerde çarpı işaretleriyle gösterilen ortak bir merkezden uzaklaşan iki cisim olarak yorumlanmaktadır. (Uzayda sabit olduğu varsayılan merkez de güçlü bir ışınım kaynağıdır, ancak esas olarak başka dalga boylarında ışınım yaymaktadır). Farklı tarihlerdeki ölçümler günün aynı saatinde yapılmıştır.

Şeklin ölçeği, bir yay saniyesini (as) gösteren bir doğru parçasıyla verilmiştir. (1 as = bir derecenin 1/3600'ü). Şeklin merkezinde çarpı işaretleriyle gösterilen gök cisminin uzaklığının \(R=12.5\ \mathrm{kpc}\) olduğu tahmin edilmektedir. Bir kiloparsek (kpc), \(3.09\cdot10^{19}\ \mathrm{m}\) değerine eşittir. Işık hızı \(c=3.00\cdot10^8\ \mathrm{m/s}\) olarak verilmiştir. Çözümde hata hesaplamaları yapılması gerekmemektedir.

a) (2 puan) Dışarı fırlatılan iki radyo kaynağının ortak merkeze göre açısal konumlarını \(\theta_1(t)\) ve \(\theta_2(t)\) ile gösteriyoruz; burada 1 ve 2 alt indisleri sırasıyla soldaki ve sağdaki kaynağı, \(t\) ise gözlem zamanını belirtmektedir. Dünya'dan görülen açısal hızlar \(\omega_1\) ve \(\omega_2\) olsun. İki kaynağın bunlara karşılık gelen görünür enine doğrusal hızları \(v'_{1,\perp}\) ve \(v'_{2,\perp}\) ile gösterilmektedir.

Şekil 3.1'i kullanarak bir grafik çiziniz ve \(\omega_1\) ile \(\omega_2\) değerlerini gün başına miliyay saniyesi (mas/d) cinsinden bulunuz. Ayrıca \(v'_{1,\perp}\) ve \(v'_{2,\perp}\) değerlerini belirleyiniz ve tüm cevaplarınızı cevap kâğıdına yazınız. (Bazı sonuçlar sizi şaşırtabilir).

b) (3 puan) (a) kısmında ortaya çıkan şaşırtıcı durumu açıklığa kavuşturmak için, uzaktaki bir \(O\) gözlemcisine doğru olan yönle \(\phi\) (\(0\leq\phi\leq\pi\)) açısı yapacak şekilde \(\vec v\) hızıyla hareket eden bir ışık kaynağı düşününüz (Şekil 3.2). Sürat, \(c\) ışık hızı olmak üzere \(v=\beta c\) şeklinde yazılabilir. Gözlemcinin ölçtüğü kaynak uzaklığı \(R\)'dir. Gözlemcinin gördüğü açısal hız \(\omega\), görüş doğrultusuna dik görünür doğrusal hız ise \(v'_\perp\)'dir.

\(\omega\) ve \(v'_\perp\) için \(\beta\), \(R\) ve \(\phi\) cinsinden ifadeler bulunuz ve cevabınızı cevap kâğıdına yazınız.

c) (1 puan) Girişte ve (a) kısmında betimlenen, dışarı fırlatılmış iki cismin zıt yönlerde eşit \(v=\beta c\) süratleriyle hareket ettiğini varsayıyoruz. Bu durumda (b) kısmının sonuçları, \(\omega_1\) ve \(\omega_2\) açısal hızları ile \(R\) uzaklığından \(\beta\) ve \(\phi\)'nin hesaplanmasını mümkün kılar. Burada \(\phi\), (a) kısmında 1 alt indisiyle gösterilen soldaki cisim için (b) kısmında tanımlanan açıdır.

\(\beta\) ve \(\phi\) için bilinen nicelikler cinsinden formüller türetiniz ve (a) kısmındaki verilerden sayısal değerlerini belirleyiniz. Cevaplarınızı cevap kâğıdında ayrılan alanlara yazınız.

d) (2 puan) (b) kısmındaki tek cisimli durumda, görünür dik hızın \(v'_\perp\) ışık hızı \(c\)'den büyük olması için gereken koşulu bulunuz.

\(^{7}\) Yazarlar: Einar Gudmundsson, Knútur Árnason ve Thorsteinn Vilhjálmsson

Şekil 3.1: Gökadamızdaki bir kaynaktan gelen radyo yayımı.

Şekil 3.2: Gözlemci \(O\) noktasında, ışık kaynağının başlangıç konumu ise \(A\) noktasındadır. Hız vektörü \(\vec v\)'dir.

Koşulu \(\beta>f(\phi)\) biçiminde yazınız ve cevap kâğıdında \(f\) fonksiyonu için analitik bir ifade veriniz.

Grafik cevap kâğıdına \((\beta,\phi)\) düzleminin fiziksel olarak anlamlı bölgesini çiziniz. Bu bölgenin hangi kısmında \(v'_\perp>c\) koşulunun sağlandığını tarayarak gösteriniz.

e) (1 puan) Yine (b) kısmındaki tek cisimli durumda, verilen bir \(\beta\) için görünür dik hız \(v'_\perp\)'nin maksimum değeri \((v'_\perp)_{\max}\) için bir ifade bulunuz ve bunu cevap kâğıdında ayrılan alana yazınız. \(\beta\to1\) iken bu hızın sınırsız arttığına dikkat ediniz.

f) (1 puan) Girişte verilen \(R\) tahmini pek güvenilir değildir. Bu nedenle bilim insanları, \(R\)'yi belirlemek için daha iyi ve daha doğrudan bir yöntem üzerinde düşünmeye başlamışlardır. Bu konudaki fikirlerden biri şöyledir. Dışarı fırlatılan iki cisimden gelen ışınımın, cisimlerin durgun referans sistemlerinde aynı bilinen özgün \(\lambda_0\) dalga boyuna karşılık gelen, Doppler kaymasına uğramış \(\lambda_1\) ve \(\lambda_2\) dalga boylarını tanımlayıp ölçebildiğimizi varsayınız.

Göreli Doppler kayması denklemlerinden, \(\lambda=\lambda_0(1-\beta\cos\phi)(1-\beta^2)^{-1/2}\), yola çıkarak ve daha önce olduğu gibi her iki cismin de aynı \(v\) süratine sahip olduğunu varsayarak, bilinmeyen \(\beta=v/c\)'nin \(\lambda_0,\lambda_1,\) ve \(\lambda_2\) cinsinden

\[ \beta=\sqrt{1-\frac{\alpha\lambda_0^2}{(\lambda_1+\lambda_2)^2}}. \tag{3.1} \]

şeklinde ifade edilebileceğini gösteriniz.

\(\alpha\) katsayısının sayısal değerini cevap kâğıdında ayrılan alana yazınız.

Bu sonucun, önerilen dalga boyu ölçümlerinin uygulamada uzaklık için yeni bir tahmin sağlayacağı anlamına geldiğini görebilirsiniz.

Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir.

Considere un prisma hexagonal regular, largo, macizo y rígido, como un tipo común de lápiz (Figura 1.1). La masa del prisma es \(M\) y está distribuida uniformemente. La longitud de cada lado del hexágono de la sección transversal es \(a\). El momento de inercia \(I\) del prisma hexagonal respecto a su eje central es

\[ I=\frac{5}{12}Ma^2 \tag{1.1} \]

Figura 1.1: Un prisma macizo cuya sección transversal es un hexágono regular.

El momento de inercia \(I'\) respecto a una arista del prisma es

\[ I'=\frac{17}{12}Ma^2 \tag{1.2} \]

a) (3.5 puntos) El prisma se encuentra inicialmente en reposo, con su eje horizontal, sobre un plano inclinado que forma un ángulo pequeño \(\theta\) con la horizontal (Figura 1.2). Suponga que las caras del prisma son ligeramente cóncavas, de modo que el prisma solo toca el plano por sus aristas. Puede despreciarse el efecto de esta concavidad sobre el momento de inercia. A continuación, se saca el prisma de su posición de reposo y este comienza a rodar de forma irregular cuesta abajo por el plano. Suponga que el rozamiento impide cualquier deslizamiento y que el prisma no pierde el contacto con el plano. La velocidad angular justo antes de que una determinada arista golpee el plano es \(\omega_i\), mientras que \(\omega_f\) es la velocidad angular inmediatamente después del impacto.

Demuestre que podemos escribir

\[ \omega_f=s\omega_i \tag{1.3} \]

y escriba el valor del coeficiente \(s\) en la hoja de respuestas.

¹Autores: Leó Kristjánsson y Thorsteinn Vilhjálmsson

Figura 1.2: Un prisma hexagonal apoyado sobre un plano inclinado.

b) (1 punto) Las energías cinéticas del prisma justo antes y después del impacto son, de forma análoga, \(K_i\) y \(K_f\).

Demuestre que podemos escribir

\[ K_f=rK_i \tag{1.4} \]

y escriba el valor del coeficiente \(r\) en la hoja de respuestas.

c) (1.5 puntos) Para que se produzca el siguiente impacto, \(K_i\) debe superar un valor mínimo \(K_{i,min}\), que puede escribirse de la forma

\[ K_{i,min}=\delta Mga \tag{1.5} \]

donde \(g=9.81\ \mathrm{m/s^2}\) es la aceleración de la gravedad.

Halle el coeficiente \(\delta\) en función del ángulo de inclinación \(\theta\) y del coeficiente \(r\). Escriba su respuesta en la hoja de respuestas. (Utilice el símbolo algebraico \(r\), no su valor.)

d) (2 puntos) Si se cumple la condición del apartado (c), la energía cinética \(K_i\) se aproximará a un valor fijo \(K_{i,0}\) a medida que el prisma ruede cuesta abajo por el plano inclinado.

Dado que el límite existe, demuestre que \(K_{i,0}\) puede escribirse como:

\[ K_{i,0}=\kappa Mga \tag{1.6} \]

y escriba el coeficiente \(\kappa\) en función de \(\theta\) y \(r\) en la hoja de respuestas.

e) (2 puntos) Calcule, con una precisión de \(0.1^\circ\), el ángulo mínimo de inclinación \(\theta_0\) para el que la rodadura irregular, una vez iniciada, continuará indefinidamente. Escriba su respuesta numérica en la hoja de respuestas.

Enunciado traducido del texto oficial en inglés.

Un casquete de hielo es una gruesa capa de hielo (de hasta unos pocos km de espesor) que descansa sobre el terreno y se extiende horizontalmente a lo largo de decenas o cientos de km. En este problema consideramos la fusión del hielo y el comportamiento del agua bajo un casquete de hielo templado, es decir, un casquete de hielo que se encuentra en el punto de fusión. Podemos suponer que, en estas condiciones, el hielo provoca variaciones de presión como un fluido viscoso, pero se deforma de manera frágil, principalmente mediante movimientos verticales. Para resolver este problema se proporciona la siguiente información.

Densidad del agua:	\(\rho_w=1.000\cdot10^3\ \mathrm{kg/m^3}\)
Densidad del hielo:	\(\rho_i=0.917\cdot10^3\ \mathrm{kg/m^3}\)
Calor específico del hielo:	\(c_i=2.1\cdot10^3\ \mathrm{J/(kg\,^\circ C)}\)
Calor latente específico del hielo:	\(L_i=3.4\cdot10^5\ \mathrm{J/kg}\)
Densidad de la roca y del magma:	\(\rho_r=2.9\cdot10^3\ \mathrm{kg/m^3}\)
Calor específico de la roca y del magma:	\(c_r=700\ \mathrm{J/(kg\,^\circ C)}\)
Calor latente específico de la roca y del magma:	\(L_r=4.2\cdot10^5\ \mathrm{J/kg}\)
Flujo medio de calor hacia el exterior a través de la superficie terrestre:	\(J_Q=0.06\ \mathrm{W/m^2}\)
Punto de fusión del hielo:	\(T_0=0^\circ\mathrm C\), constante

a) (0.5 puntos) Considere un casquete de hielo grueso en un lugar donde el flujo de calor procedente del interior de la Tierra tiene el valor medio. Utilizando los datos de la tabla, calcule el espesor \(d\) de la capa de hielo que se funde cada año y escriba su respuesta en el recuadro correspondiente de la hoja de respuestas.

b) (3.5 puntos) Considere ahora la superficie superior de un casquete de hielo. El terreno situado bajo el casquete tiene un ángulo de inclinación \(\alpha\). La superficie superior del casquete está inclinada un ángulo \(\beta\), como se muestra en la Figura 2.1. El espesor vertical del hielo en \(x=0\) es \(h_0\). Por tanto, las superficies inferior y superior del casquete de hielo pueden describirse mediante las ecuaciones

\[ y_1=x\tan\alpha,\qquad y_2=h_0+x\tan\beta \tag{2.1} \]

Obtenga una expresión para la presión \(p\) en la base del casquete de hielo en función de la coordenada horizontal \(x\) y escríbala en la hoja de respuestas.

Formule matemáticamente una condición entre \(\beta\) y \(\alpha\) para que el agua de una capa situada entre el casquete de hielo y el terreno no fluya en ninguna de las dos direcciones. Demuestre que la condición tiene la forma \(\tan\beta=s\tan\alpha\). Halle el coeficiente \(s\) y escriba el resultado de forma simbólica en la hoja de respuestas.

La recta \(y_1=0.8\,x\) de la Figura 2.2 representa la superficie terrestre bajo un casquete de hielo. El espesor vertical \(h_0\) en \(x=0\) es de 2 km. Suponga que el agua de la base está en equilibrio. En una hoja de respuestas para gráficas, dibuje la recta \(y_1\) y añada una recta \(y_2\) que represente la superficie superior del hielo. Indique en la figura cuál es cada recta.

\(^{6}\)Autores: Gudni Axelsson y Thorsteinn Vilhjálmsson

Figura 2.1: Sección transversal de un casquete de hielo de superficie plana que descansa sobre un terreno plano inclinado. \(S\): superficie, \(G\): terreno, \(I\): casquete de hielo.

c) (1 punto) En el interior de una gran capa de hielo sobre un terreno horizontal, cuyo espesor original es constante e igual a \(D=2.0\) km, se forma de manera bastante repentina, por fusión del hielo, una masa de agua cónica de altura \(H=1.0\) km y radio \(r=1.0\) km (Figura 2.3). Suponemos que el hielo restante se adapta a este cambio únicamente mediante movimientos verticales.

Muestre analíticamente en una hoja de respuestas en blanco y gráficamente en una hoja de respuestas para gráficas la forma de la superficie del casquete de hielo después de que se haya formado el cono de agua y se haya alcanzado el equilibrio hidrostático.

d) (5 puntos) En su expedición anual, un grupo internacional de científicos explora un casquete de hielo templado en la Antártida. La zona es normalmente una amplia meseta, pero esta vez encuentran una profunda depresión similar a un cráter, con forma de cono invertido, de profundidad \(h\) de 100 m y radio \(r\) de 500 m (Figura 2.4). El espesor del hielo en la zona es de 2000 m.

Tras debatirlo, los científicos concluyen que lo más probable es que se haya producido una pequeña erupción volcánica bajo el casquete de hielo. Una pequeña cantidad de magma (roca fundida) penetró en la base del casquete, se solidificó y se enfrió, fundiendo cierto volumen de hielo. Los científicos intentan estimar de la siguiente manera el volumen de la intrusión y hacerse una idea de lo que ocurrió con el agua de fusión.

Suponga que el hielo solo se desplazó verticalmente. Suponga también que el magma estaba completamente fundido y a \(1200^\circ\mathrm C\) al principio. Para simplificar, suponga además que la intrusión tenía forma de cono de base circular situado verticalmente bajo la depresión cónica de la superficie. El tiempo de ascenso del magma fue corto en comparación con el tiempo de intercambio de calor durante el proceso. Se supone que el flujo de calor fue principalmente vertical, de modo que el volumen de hielo fundido en cualquier instante está delimitado por una superficie cónica centrada sobre el centro de la intrusión de magma.

Con estas hipótesis, la fusión del hielo tiene lugar en dos etapas. Al principio, el agua no está en equilibrio de presiones en la superficie del magma y, por tanto, se evacua. Puede suponerse que el agua que se evacua tiene una temperatura de \(0^\circ\mathrm C\). Posteriormente,

Figura 2.2: Sección transversal de un casquete de hielo templado que descansa sobre un terreno inclinado, con agua en equilibrio en su base. \(G\): terreno, \(I\): casquete de hielo.

se alcanza el equilibrio hidrostático y el agua se acumula sobre la intrusión en lugar de evacuarse.

Una vez alcanzado el equilibrio térmico, se pide determinar las siguientes magnitudes. Escriba las respuestas en la hoja de respuestas.

1. La altura \(H\) del vértice del cono de agua formado bajo el casquete de hielo, con respecto a la base original del casquete de hielo.
2. La altura \(h_1\) de la intrusión.
3. La masa total \(m_{tot}\) del agua producida y la masa \(m'\) del agua que se evacua.

Represente a escala, en una hoja de respuestas para gráficas, las formas de la intrusión de roca y de la masa de agua restante. Utilice el sistema de coordenadas sugerido en la Figura 2.4.

Figura 2.3: Sección vertical por el plano medio de un cono de agua en el interior de un casquete de hielo. \(S\): superficie, \(W\): agua, \(G\): terreno, \(I\): casquete de hielo.

Figura 2.4: Sección transversal vertical y central de una depresión cónica en un casquete de hielo templado. \(S\): superficie, \(G\): terreno, \(I\): casquete de hielo, \(M\): intrusión de roca/magma, \(W\): agua. Observe que la figura NO está dibujada a escala.

Enunciado traducido del texto oficial en inglés.

En este problema analizamos e interpretamos mediciones realizadas en 1994 de la emisión de ondas de radio de una fuente compuesta situada en nuestra galaxia.

El receptor estaba sintonizado a una banda ancha de ondas de radio con longitudes de onda de varios centímetros. La figura 3.1 muestra una serie de imágenes registradas en distintos momentos. Las curvas de nivel indican una intensidad de radiación constante, de manera muy similar a las curvas de nivel de altitud de un mapa geográfico. En la figura, los dos máximos se interpretan como dos objetos que se alejan de un centro común señalado mediante cruces en las imágenes. (El centro, que se supone fijo en el espacio, también es un potente emisor de radiación, aunque principalmente en otras longitudes de onda). Las mediciones de las distintas fechas se realizaron a la misma hora del día.

La escala de la figura viene dada por un segmento que representa un segundo de arco (as). (1 as = 1/3600 de grado). Se estima que la distancia al cuerpo celeste situado en el centro de la figura, indicado mediante cruces, es \(R=12.5\ \mathrm{kpc}\). Un kilopársec (kpc) equivale a \(3.09\cdot10^{19}\ \mathrm{m}\). La velocidad de la luz es \(c=3.00\cdot10^8\ \mathrm{m/s}\). No se requieren cálculos de errores en la solución.

a) (2 puntos) Denotamos las posiciones angulares de los dos emisores de radio expulsados, respecto al centro común, mediante \(\theta_1(t)\) y \(\theta_2(t)\), donde los subíndices 1 y 2 se refieren al de la izquierda y al de la derecha, respectivamente, y \(t\) es el instante de observación. Las velocidades angulares, vistas desde la Tierra, son \(\omega_1\) y \(\omega_2\). Las correspondientes velocidades lineales transversales aparentes de las dos fuentes se denotan mediante \(v'_{1,\perp}\) y \(v'_{2,\perp}\).

Utilizando la figura 3.1, elabore una gráfica para hallar los valores numéricos de \(\omega_1\) y \(\omega_2\) en milisegundos de arco por día (mas/d). Determine también los valores numéricos de \(v'_{1,\perp}\) y \(v'_{2,\perp}\), y escriba todas las respuestas en la hoja de respuestas. (Algunos de los resultados pueden resultarle desconcertantes).

b) (3 puntos) Para resolver la paradoja que surge en el apartado (a), considere una fuente de luz que se mueve con velocidad \(\vec v\) formando un ángulo \(\phi\) (\(0\leq\phi\leq\pi\)) con la dirección hacia un observador lejano \(O\) (figura 3.2). El módulo de la velocidad puede escribirse como \(v=\beta c\), donde \(c\) es la velocidad de la luz. La distancia a la fuente, medida por el observador, es \(R\). La velocidad angular de la fuente, vista por el observador, es \(\omega\), y la velocidad lineal aparente perpendicular a la línea de visión es \(v'_\perp\).

Halle \(\omega\) y \(v'_\perp\) en función de \(\beta\), \(R\) y \(\phi\), y escriba su respuesta en la hoja de respuestas.

c) (1 punto) Suponemos que los dos objetos expulsados, descritos en la introducción y en el apartado (a), se mueven en sentidos opuestos con velocidades de igual módulo \(v=\beta c\). Entonces, los resultados del apartado (b) permiten calcular \(\beta\) y \(\phi\) a partir de las velocidades angulares \(\omega_1\) y \(\omega_2\) y de la distancia \(R\). Aquí, \(\phi\) es el ángulo definido en el apartado (b) para el objeto de la izquierda, que corresponde al subíndice 1 del apartado (a).

Deduzca fórmulas para \(\beta\) y \(\phi\) en función de las magnitudes conocidas y determine sus valores numéricos a partir de los datos del apartado (a). Escriba sus respuestas en los espacios correspondientes de la hoja de respuestas.

d) (2 puntos) En la situación de un solo cuerpo del apartado (b), halle la condición para que la velocidad perpendicular aparente \(v'_\perp\) sea mayor que la velocidad de la luz \(c\).

\(^{7}\) Autores: Einar Gudmundsson, Knútur Árnason y Thorsteinn Vilhjálmsson

Figura 3.1: Emisión de radio de una fuente de nuestra galaxia.

Figura 3.2: El observador está en \(O\) y la posición inicial de la fuente de luz es \(A\). El vector velocidad es \(\vec v\).

Escriba la condición en la forma \(\beta>f(\phi)\) y proporcione una expresión analítica de la función \(f\) en la hoja de respuestas.

Dibuje en la hoja de respuestas para gráficas la región físicamente pertinente del plano \((\beta,\phi)\). Indique mediante sombreado en qué parte de esta región se cumple la condición \(v'_\perp>c\).

e) (1 punto) Siguiendo con la situación de un solo cuerpo del apartado (b), halle una expresión para el valor máximo \((v'_\perp)_{\max}\) de la velocidad perpendicular aparente \(v'_\perp\) para un \(\beta\) dado y escríbala en el espacio correspondiente de la hoja de respuestas. Observe que esta velocidad aumenta sin límite cuando \(\beta\to1\).

f) (1 punto) La estimación de \(R\) dada en la introducción no es muy fiable. Por ello, los científicos han empezado a plantearse un método mejor y más directo para determinar \(R\). Una de las ideas es la siguiente. Suponga que podemos identificar y medir las longitudes de onda \(\lambda_1\) y \(\lambda_2\), desplazadas por el efecto Doppler, de la radiación de los dos objetos expulsados, correspondientes a una misma longitud de onda original conocida \(\lambda_0\) en los sistemas de referencia en reposo de los objetos.

Partiendo de las ecuaciones del desplazamiento Doppler relativista, \(\lambda=\lambda_0(1-\beta\cos\phi)(1-\beta^2)^{-1/2}\), y suponiendo, como antes, que ambos objetos tienen velocidades de igual módulo \(v\), demuestre que la incógnita \(\beta=v/c\) puede expresarse en función de \(\lambda_0,\lambda_1,\) y \(\lambda_2\) como

\[ \beta=\sqrt{1-\frac{\alpha\lambda_0^2}{(\lambda_1+\lambda_2)^2}}. \tag{3.1} \]

Escriba el valor numérico del coeficiente \(\alpha\) en el espacio correspondiente de la hoja de respuestas.

Observe que esto significa que las mediciones de longitudes de onda propuestas proporcionarán, en la práctica, una nueva estimación de la distancia.

Enunciado traducido del texto oficial en inglés.

考虑一根细长、实心、刚性的正六棱柱，其形状如一种常见的铅笔（图 1.1）。棱柱的质量为 \(M\)，且质量分布均匀。其正六边形横截面的边长为 \(a\)。六棱柱绕其中心轴的转动惯量 \(I\) 为

\[ I=\frac{5}{12}Ma^2 \tag{1.1} \]

图 1.1：横截面为正六边形的实心棱柱。

棱柱绕其一条侧棱的转动惯量 \(I'\) 为

\[ I'=\frac{17}{12}Ma^2 \tag{1.2} \]

a)（3.5 分）棱柱最初静止在一个与水平面成小角度 \(\theta\) 的斜面上，其轴线保持水平（图 1.2）。假设棱柱的各侧面略微内凹，使棱柱仅以侧棱接触斜面。这种内凹对转动惯量的影响可以忽略。现在使棱柱偏离静止位置，棱柱开始沿斜面向下作不均匀滚动。假设摩擦力阻止了任何滑动，且棱柱始终不脱离斜面。在某一条侧棱即将撞击斜面之前，角速度为 \(\omega_i\)，而撞击刚结束时的角速度为 \(\omega_f\)。

证明可以写成

\[ \omega_f=s\omega_i \tag{1.3} \]

并将系数 \(s\) 的值写在答题纸上。

¹命题人：Leó Kristjánsson 和 Thorsteinn Vilhjálmsson

图 1.2：放置在斜面上的六棱柱。

b)（1 分）类似地，棱柱在撞击即将发生之前和刚结束时的动能分别为 \(K_i\) 和 \(K_f\)。

证明可以写成

\[ K_f=rK_i \tag{1.4} \]

并将系数 \(r\) 的值写在答题纸上。

c)（1.5 分）要使下一次撞击发生，\(K_i\) 必须超过一个最小值 \(K_{i,min}\)，该最小值可写成如下形式

\[ K_{i,min}=\delta Mga \tag{1.5} \]

其中，\(g=9.81\ \mathrm{m/s^2}\) 为重力加速度。

求出用斜面倾角 \(\theta\) 和系数 \(r\) 表示的系数 \(\delta\)。将答案写在答题纸上。（使用代数符号 \(r\)，不要代入其数值。）

d)（2 分）如果满足 (c) 部分的条件，则当棱柱沿斜面向下滚动时，动能 \(K_i\) 将趋于一个固定值 \(K_{i,0}\)。

已知这一极限存在，证明 \(K_{i,0}\) 可写为：

\[ K_{i,0}=\kappa Mga \tag{1.6} \]

并将用 \(\theta\) 和 \(r\) 表示的系数 \(\kappa\) 写在答题纸上。

e)（2 分）计算使这种不均匀滚动一旦开始就能无限持续下去的最小斜面倾角 \(\theta_0\)，精确到 \(0.1^\circ\)。将数值答案写在答题纸上。

题目译自官方英文原文。

冰盖是覆盖在地面上的厚冰层（厚度可达数 km），在水平方向上延伸数十至数百 km。本题讨论温性冰盖，即处于熔点的冰盖下方冰的熔化和水的行为。可以假设，在这种条件下，冰像黏性流体一样产生压强变化，但以脆性方式变形，且主要沿竖直方向运动。本题给出以下数据。

水的密度：	\(\rho_w=1.000\cdot10^3\ \mathrm{kg/m^3}\)
冰的密度：	\(\rho_i=0.917\cdot10^3\ \mathrm{kg/m^3}\)
冰的比热容：	\(c_i=2.1\cdot10^3\ \mathrm{J/(kg\,^\circ C)}\)
冰的比熔化潜热：	\(L_i=3.4\cdot10^5\ \mathrm{J/kg}\)
岩石和岩浆的密度：	\(\rho_r=2.9\cdot10^3\ \mathrm{kg/m^3}\)
岩石和岩浆的比热容：	\(c_r=700\ \mathrm{J/(kg\,^\circ C)}\)
岩石和岩浆的比熔化潜热：	\(L_r=4.2\cdot10^5\ \mathrm{J/kg}\)
通过地表向外传递的平均热流密度：	\(J_Q=0.06\ \mathrm{W/m^2}\)
冰的熔点：	\(T_0=0^\circ\mathrm C\)，为常量

a)（0.5 分）考虑一处从地球内部传来的热流密度等于平均值的地点，该处覆盖着厚冰盖。利用表中的数据，计算每年熔化的冰层厚度 \(d\)，并将答案写在答题纸的指定方框内。

b)（3.5 分）现在考虑冰盖的上表面。冰盖下方地面的倾角为 \(\alpha\)。冰盖上表面的倾角为 \(\beta\)，如图 2.1 所示。在 \(x=0\) 处，冰的竖直厚度为 \(h_0\)。因此，冰盖的下表面和上表面可由下列方程描述：

\[ y_1=x\tan\alpha,\qquad y_2=h_0+x\tan\beta \tag{2.1} \]

推导冰盖底部压强 \(p\) 随水平坐标 \(x\) 变化的表达式，并写在答题纸上。

用数学形式写出 \(\beta\) 与 \(\alpha\) 之间应满足的条件，使冰盖与地面之间水层中的水不向任何一个方向流动。证明该条件具有 \(\tan\beta=s\tan\alpha\) 的形式。求出系数 \(s\)，并将结果以符号表达式的形式写在答题纸上。

图 2.2 中的直线 \(y_1=0.8\,x\) 表示冰盖下方的地表。在 \(x=0\) 处，冰的竖直厚度 \(h_0\) 为 2 km。假设底部的水处于平衡状态。在绘图答题纸上画出直线 \(y_1\)，并添加一条表示冰上表面的直线 \(y_2\)。在图中标明各条直线所代表的表面。

\(^{6}\)作者：Gudni Axelsson 和 Thorsteinn Vilhjálmsson

图 2.1：位于倾斜平面地面上、上表面为平面的冰盖的剖面图。\(S\)：表面，\(G\)：地面，\(I\)：冰盖。

c)（1 分）水平地面上有一大片冰层，最初厚度均匀，为 \(D=2.0\) km。由于冰的熔化，冰层内较为突然地形成了一个高 \(H=1.0\) km、半径 \(r=1.0\) km 的圆锥形水体（图 2.3）。假设剩余的冰仅通过竖直运动来适应这一变化。

在空白答题纸上用解析方法，并在绘图答题纸上用图形，给出水锥形成并达到流体静力平衡后冰盖表面的形状。

d)（5 分）一个国际科学家团队在年度考察中探索南极洲的一处温性冰盖。这一地区通常是一片广阔的高原，但这次他们发现了一个类似火山口的深凹陷，呈倒圆锥形，深度 \(h\) 为 100 m，半径 \(r\) 为 500 m（图 2.4）。该地区冰的厚度为 2000 m。

经过讨论，科学家们认为，最可能的原因是冰盖下发生了一次小规模火山喷发。少量岩浆（熔融的岩石）侵入冰盖底部，凝固并冷却，使一定体积的冰熔化。科学家们尝试用以下方法估算侵入体的体积，并了解融水的去向。

假设冰仅沿竖直方向运动。同时假设岩浆最初完全处于熔融状态，温度为 \(1200^\circ\mathrm C\)。为简单起见，进一步假设侵入体是一个具有圆形底面的圆锥体，位于表面圆锥形凹陷的正下方。岩浆上升所需的时间远短于这一过程中热交换所需的时间。假设热量主要沿竖直方向传递，使得任意时刻冰中熔化区域的边界均为一个圆锥面，其中心位于岩浆侵入体中心的正上方。

在这些假设下，冰的熔化分为两个阶段。起初，水在岩浆表面未达到压强平衡，因此流走。可以假设流走的水的温度为 \(0^\circ\mathrm C\)。随后，

图 2.2：位于倾斜地面上、底部的水处于平衡状态的温性冰盖的剖面图。\(G\)：地面，\(I\)：冰盖。

达到流体静力平衡，水便积聚在侵入体上方，而不再流走。

请确定达到热平衡时的下列物理量。将答案写在答题纸上。

1. 冰盖下形成的水锥顶点相对于冰盖原始底面的高度 \(H\)。
2. 侵入体的高度 \(h_1\)。
3. 产生的水的总质量 \(m_{tot}\) 和流走的水的质量 \(m'\)。

在绘图答题纸上按比例画出岩石侵入体和剩余水体的形状。使用图 2.4 中给出的坐标系。

图 2.3：通过冰盖内部水锥中央平面的竖直剖面图。\(S\)：表面，\(W\)：水，\(G\)：地面，\(I\)：冰盖。

图 2.4：通过温性冰盖中圆锥形凹陷中心的竖直剖面图。\(S\)：表面，\(G\)：地面，\(I\)：冰盖，\(M\)：岩石/岩浆侵入体，\(W\)：水。注意，此图并未按比例绘制。

题目译自官方英文原文。

在本题中，我们将分析并解释 1994 年对银河系内一个复合源的射电辐射所作的测量。

接收机调谐到一个较宽的射电波段，其波长为数厘米。图 3.1 显示了在不同时刻记录的一系列图像。图中的等值线表示辐射强度相同的位置，与地理地图上的等高线十分相似。图中的两个极大值被解释为两个正在远离共同中心的物体，各幅图像中的十字标记表示这个中心。（假定该中心在空间中固定不动，它也是一个强辐射源，但主要在其他波长上发射辐射。）不同日期的测量均在一天中的同一时刻进行。

图中的比例尺是一条表示一角秒（as）的线段。（1 as = 1/3600 度。）图中十字标记所示的中心天体到我们的距离估计为 \(R=12.5\ \mathrm{kpc}\)。一千秒差距（kpc）等于 \(3.09\cdot10^{19}\ \mathrm{m}\)。光速为 \(c=3.00\cdot10^8\ \mathrm{m/s}\)。解答中不要求进行误差计算。

a)（2 分）我们用 \(\theta_1(t)\) 和 \(\theta_2(t)\) 表示两个被抛射出的射电辐射源相对于共同中心的角位置，其中下标 1 和 2 分别指左侧和右侧的辐射源，\(t\) 为观测时刻。从地球上观测到的角速度分别为 \(\omega_1\) 和 \(\omega_2\)。两个辐射源相应的视横向线速度分别记为 \(v'_{1,\perp}\) 和 \(v'_{2,\perp}\)。

利用图 3.1 作图，求出 \(\omega_1\) 和 \(\omega_2\) 的数值，以毫角秒每天（mas/d）为单位。还要求出 \(v'_{1,\perp}\) 和 \(v'_{2,\perp}\) 的数值，并将所有答案写在答题纸上。（其中一些结果可能会令你感到困惑。）

b)（3 分）为了解决 (a) 部分中出现的疑惑，考虑一个以速度 \(\vec v\) 运动的光源，其运动方向与指向远处观测者 \(O\) 的方向成 \(\phi\) 角（\(0\leq\phi\leq\pi\)）（图 3.2）。其速率可写为 \(v=\beta c\)，其中 \(c\) 为光速。观测者测得的光源距离为 \(R\)。观测者看到的光源角速度为 \(\omega\)，垂直于视线方向的视线性速度为 \(v'_\perp\)。

用 \(\beta\)、\(R\) 和 \(\phi\) 表示 \(\omega\) 和 \(v'_\perp\)，并将答案写在答题纸上。

c)（1 分）假定引言和 (a) 部分中描述的两个被抛射出的物体以相同的速率 \(v=\beta c\) 沿相反方向运动。这样，利用 (b) 部分的结果，就可以由角速度 \(\omega_1\) 和 \(\omega_2\) 以及距离 \(R\) 计算出 \(\beta\) 和 \(\phi\)。这里，\(\phi\) 是 (b) 部分中定义的角度，针对的是左侧物体，即 (a) 部分中下标为 1 的物体。

推导用已知量表示 \(\beta\) 和 \(\phi\) 的公式，并根据 (a) 部分中的数据求出它们的数值。将答案写在答题纸的指定位置。

d)（2 分）在 (b) 部分的单物体情形中，求视横向速度 \(v'_\perp\) 大于光速 \(c\) 的条件。

\(^{7}\) 作者：Einar Gudmundsson、Knútur Árnason 和 Thorsteinn Vilhjálmsson

图 3.1：银河系内一个源的射电辐射。

图 3.2：观测者位于 \(O\)，光源的初始位置为 \(A\)。速度矢量为 \(\vec v\)。

将条件写成 \(\beta>f(\phi)\) 的形式，并在答题纸上给出函数 \(f\) 的解析表达式。

在作图答题纸上画出 \((\beta,\phi)\) 平面中具有物理意义的区域。用阴影标明该区域中满足条件 \(v'_\perp>c\) 的部分。

e)（1 分）仍考虑 (b) 部分的单物体情形，求给定 \(\beta\) 时视横向速度 \(v'_\perp\) 的最大值 \((v'_\perp)_{\max}\) 的表达式，并将其写在答题纸的指定位置。注意，当 \(\beta\to1\) 时，这一速度无限增大。

f)（1 分）引言中给出的 \(R\) 的估计值并不十分可靠。因此，科学家已开始探讨一种更好、更直接的确定 \(R\) 的方法。一种设想如下。假定我们能够识别并测量两个被抛射物体的辐射经过多普勒频移后的波长 \(\lambda_1\) 和 \(\lambda_2\)，它们在各自物体的静止参考系中对应同一个已知的原始波长 \(\lambda_0\)。

从相对论多普勒频移公式 \(\lambda=\lambda_0(1-\beta\cos\phi)(1-\beta^2)^{-1/2}\) 出发，并与前面一样假定两个物体具有相同的速率 \(v\)，证明未知量 \(\beta=v/c\) 可以用 \(\lambda_0,\lambda_1,\) 和 \(\lambda_2\) 表示为

\[ \beta=\sqrt{1-\frac{\alpha\lambda_0^2}{(\lambda_1+\lambda_2)^2}}. \tag{3.1} \]

将系数 \(\alpha\) 的数值写在答题纸的指定位置。

你可以注意到，这意味着所提出的波长测量实际上将给出一个新的距离估计值。

题目译自官方英文原文。

Рассмотрим длинную сплошную жёсткую правильную шестиугольную призму, похожую на обычный карандаш (рисунок 1.1). Масса призмы равна \(M\) и распределена равномерно. Длина каждой стороны шестиугольника в поперечном сечении равна \(a\). Момент инерции \(I\) шестиугольной призмы относительно её центральной оси равен

\[ I=\frac{5}{12}Ma^2 \tag{1.1} \]

Рисунок 1.1: Сплошная призма с поперечным сечением в форме правильного шестиугольника.

Момент инерции \(I'\) относительно ребра призмы равен

\[ I'=\frac{17}{12}Ma^2 \tag{1.2} \]

a) (3.5 балла) Первоначально призма покоится на наклонной плоскости, составляющей малый угол \(\theta\) с горизонтом, причём ось призмы горизонтальна (рисунок 1.2). Предположим, что грани призмы слегка вогнуты, так что призма касается плоскости только своими рёбрами. Влиянием этой вогнутости на момент инерции можно пренебречь. Теперь призму выводят из состояния покоя, и она начинает неравномерно катиться вниз по плоскости. Предположим, что трение предотвращает любое скольжение и что призма не отрывается от плоскости. Угловая скорость непосредственно перед ударом очередного ребра о плоскость равна \(\omega_i\), а угловая скорость сразу после удара равна \(\omega_f\).

Покажите, что можно записать

\[ \omega_f=s\omega_i \tag{1.3} \]

и запишите значение коэффициента \(s\) в бланк ответов.

¹Авторы: Лео Кристьянссон и Торстейнн Вильхьяльмссон

Рисунок 1.2: Шестиугольная призма, лежащая на наклонной плоскости.

b) (1 балл) Аналогично обозначим кинетическую энергию призмы непосредственно перед ударом и сразу после него через \(K_i\) и \(K_f\).

Покажите, что можно записать

\[ K_f=rK_i \tag{1.4} \]

и запишите значение коэффициента \(r\) в бланк ответов.

c) (1.5 балла) Чтобы произошёл следующий удар, энергия \(K_i\) должна превышать минимальное значение \(K_{i,min}\), которое можно записать в виде

\[ K_{i,min}=\delta Mga \tag{1.5} \]

где \(g=9.81\ \mathrm{m/s^2}\) — ускорение свободного падения.

Найдите коэффициент \(\delta\) через угол наклона \(\theta\) и коэффициент \(r\). Запишите ответ в бланк ответов. (Используйте буквенное обозначение \(r\), а не его численное значение.)

d) (2 балла) Если условие пункта (c) выполнено, то по мере качения призмы вниз по наклонной плоскости кинетическая энергия \(K_i\) будет приближаться к постоянному значению \(K_{i,0}\).

Считая, что этот предел существует, покажите, что \(K_{i,0}\) можно записать в виде:

\[ K_{i,0}=\kappa Mga \tag{1.6} \]

и запишите в бланк ответов выражение для коэффициента \(\kappa\) через \(\theta\) и \(r\).

e) (2 балла) Вычислите с точностью до \(0.1^\circ\) минимальный угол наклона \(\theta_0\), при котором неравномерное качение, однажды начавшись, будет продолжаться неограниченно долго. Запишите численный ответ в бланк ответов.

Условие переведено с официального английского текста.

Ледниковый покров — это толстый слой льда (толщиной до нескольких километров), лежащий на земной поверхности и простирающийся по горизонтали на десятки или сотни километров. В этой задаче мы рассматриваем таяние льда и поведение воды под тёплым ледниковым покровом, то есть покровом, находящимся при температуре плавления. Можно считать, что в таких условиях лёд создаёт перепады давления подобно вязкой жидкости, но деформируется хрупким образом, преимущественно за счёт вертикальных перемещений. Для решения задачи даны следующие сведения.

Плотность воды:	\(\rho_w=1.000\cdot10^3\ \mathrm{kg/m^3}\)
Плотность льда:	\(\rho_i=0.917\cdot10^3\ \mathrm{kg/m^3}\)
Удельная теплоёмкость льда:	\(c_i=2.1\cdot10^3\ \mathrm{J/(kg\,^\circ C)}\)
Удельная теплота плавления льда:	\(L_i=3.4\cdot10^5\ \mathrm{J/kg}\)
Плотность горной породы и магмы:	\(\rho_r=2.9\cdot10^3\ \mathrm{kg/m^3}\)
Удельная теплоёмкость горной породы и магмы:	\(c_r=700\ \mathrm{J/(kg\,^\circ C)}\)
Удельная теплота плавления горной породы и магмы:	\(L_r=4.2\cdot10^5\ \mathrm{J/kg}\)
Средняя плотность теплового потока наружу через поверхность Земли:	\(J_Q=0.06\ \mathrm{W/m^2}\)
Температура плавления льда:	\(T_0=0^\circ\mathrm C\), постоянна

a) (0.5 балла) Рассмотрим толстый ледниковый покров в месте, где плотность теплового потока из недр Земли равна средней. Используя данные таблицы, вычислите толщину \(d\) слоя льда, тающего за год, и запишите ответ в отведённом для него поле на листе ответов.

b) (3.5 балла) Рассмотрим теперь верхнюю поверхность ледникового покрова. Земная поверхность под ледниковым покровом имеет угол наклона \(\alpha\). Верхняя поверхность покрова наклонена под углом \(\beta\), как показано на рисунке 2.1. Толщина льда по вертикали при \(x=0\) равна \(h_0\). Таким образом, нижнюю и верхнюю поверхности ледникового покрова можно описать уравнениями

\[ y_1=x\tan\alpha,\qquad y_2=h_0+x\tan\beta \tag{2.1} \]

Выведите выражение для давления \(p\) у основания ледникового покрова как функции горизонтальной координаты \(x\) и запишите его на листе ответов.

Сформулируйте математически условие, связывающее \(\beta\) и \(\alpha\), при котором вода в слое между ледниковым покровом и земной поверхностью не будет течь ни в одном направлении. Покажите, что это условие имеет вид \(\tan\beta=s\tan\alpha\). Найдите коэффициент \(s\) и запишите результат в символьном виде на листе ответов.

Прямая \(y_1=0.8\,x\) на рисунке 2.2 показывает земную поверхность под ледниковым покровом. Толщина по вертикали \(h_0\) при \(x=0\) равна 2 км. Предположим, что вода у основания находится в равновесии. На листе ответов для графиков проведите прямую \(y_1\) и добавьте прямую \(y_2\), показывающую верхнюю поверхность льда. Обозначьте на рисунке, какая из прямых чему соответствует.

\(^{6}\)Авторы: Гудни Аксельссон и Торстейнн Вильхьяльмссон

Рисунок 2.1: Поперечное сечение ледникового покрова с плоской поверхностью, лежащего на наклонной плоской земной поверхности. \(S\): поверхность, \(G\): грунт, \(I\): ледниковый покров.

c) (1 балл) Внутри обширного ледникового щита, лежащего на горизонтальном грунте и первоначально имеющего постоянную толщину \(D=2.0\) км, вследствие таяния льда довольно быстро образуется конический объём воды высотой \(H=1.0\) км и радиусом \(r=1.0\) км (рисунок 2.3). Предположим, что оставшийся лёд приспосабливается к этому изменению только за счёт вертикальных перемещений.

Покажите аналитически на чистом листе ответов и графически на листе ответов для графиков форму поверхности ледникового покрова после образования водяного конуса и установления гидростатического равновесия.

d) (5 баллов) Во время ежегодной экспедиции международная группа учёных исследует тёплый ледниковый покров в Антарктиде. Обычно эта местность представляет собой обширное плато, но на этот раз учёные обнаруживают глубокую кратерообразную впадину в форме конуса, обращённого вершиной вниз, глубиной \(h\), равной 100 м, и радиусом \(r\), равным 500 м (рисунок 2.4). Толщина льда в этой местности составляет 2000 м.

После обсуждения учёные приходят к выводу, что, скорее всего, под ледниковым покровом произошло небольшое вулканическое извержение. Небольшое количество магмы (расплавленной горной породы) внедрилось под основание ледникового покрова, затвердело и остыло, растопив некоторый объём льда. Учёные пытаются описанным ниже способом оценить объём внедрения и выяснить, что произошло с талой водой.

Предположим, что лёд перемещался только по вертикали. Также предположим, что вначале магма была полностью расплавлена и имела температуру \(1200^\circ\mathrm C\). Для простоты предположим далее, что внедрение имело форму конуса с круглым основанием, расположенного непосредственно под конической впадиной на поверхности. Время подъёма магмы было мало по сравнению со временем теплообмена в этом процессе. Предполагается, что тепловой поток был преимущественно вертикальным, так что объём растаявшего льда в любой момент ограничен конической поверхностью, центр которой находится над центром магматического внедрения.

При этих предположениях таяние льда происходит в два этапа. Вначале вода у поверхности магмы не находится в равновесии по давлению и потому стекает. Можно считать, что температура стекающей воды равна \(0^\circ\mathrm C\). Затем,

Рисунок 2.2: Поперечное сечение тёплого ледникового покрова, лежащего на наклонной земной поверхности, с водой у основания, находящейся в равновесии. \(G\): грунт, \(I\): ледниковый покров.

устанавливается гидростатическое равновесие, и вода накапливается над внедрением вместо того, чтобы стекать.

Для состояния, в котором установилось тепловое равновесие, требуется определить следующие величины. Запишите ответы на листе ответов.

1. Высоту \(H\) вершины водяного конуса, образовавшегося под ледниковым покровом, относительно первоначального основания ледникового покрова.
2. Высоту \(h_1\) внедрения.
3. Общую массу \(m_{tot}\) образовавшейся воды и массу \(m'\) воды, которая стекает.

На листе ответов для графиков изобразите в масштабе форму внедрения горной породы и оставшегося объёма воды. Используйте систему координат, предложенную на рисунке 2.4.

Рисунок 2.3: Вертикальное сечение водяного конуса внутри ледникового покрова плоскостью, проходящей через его ось. \(S\): поверхность, \(W\): вода, \(G\): грунт, \(I\): ледниковый покров.

Рисунок 2.4: Вертикальное центральное сечение конической впадины в тёплом ледниковом покрове. \(S\): поверхность, \(G\): грунт, \(I\): ледниковый покров, \(M\): внедрение горной породы/магмы, \(W\): вода. Обратите внимание: рисунок выполнен НЕ в масштабе.

Условие переведено с официального английского текста.

В этой задаче мы анализируем и интерпретируем измерения радиоизлучения составного источника в нашей Галактике, выполненные в 1994 году.

Приёмник был настроен на широкую полосу радиоволн с длинами волн в несколько сантиметров. На рисунке 3.1 показана серия изображений, полученных в разные моменты времени. Контурные линии соединяют точки с одинаковой интенсивностью излучения подобно тому, как горизонтали на географической карте соединяют точки с одинаковой высотой. Два максимума на рисунке интерпретируются как два объекта, удаляющихся от общего центра, отмеченного на изображениях крестиками. (Центр, который считается неподвижным в пространстве, также является мощным источником излучения, но преимущественно на других длинах волн.) Измерения в разные даты проводились в одно и то же время суток.

Масштаб рисунка задан отрезком, соответствующим одной угловой секунде (as). (1 as = 1/3600 градуса). Расстояние до небесного тела в центре рисунка, отмеченного крестиками, оценивается как \(R=12.5\ \mathrm{kpc}\). Один килопарсек (kpc) равен \(3.09\cdot10^{19}\ \mathrm{m}\). Скорость света равна \(c=3.00\cdot10^8\ \mathrm{m/s}\). Вычислять погрешности в решении не требуется.

a) (2 балла) Обозначим угловые положения двух выброшенных радиоизлучающих объектов относительно общего центра через \(\theta_1(t)\) и \(\theta_2(t)\), где индексы 1 и 2 относятся соответственно к левому и правому объектам, а \(t\) — время наблюдения. Их угловые скорости, наблюдаемые с Земли, равны \(\omega_1\) и \(\omega_2\). Соответствующие кажущиеся поперечные линейные скорости двух источников обозначим через \(v'_{1,\perp}\) и \(v'_{2,\perp}\).

Используя рисунок 3.1, постройте график и найдите численные значения \(\omega_1\) и \(\omega_2\) в миллисекундах дуги в сутки (mas/d). Определите также численные значения \(v'_{1,\perp}\) и \(v'_{2,\perp}\) и запишите все ответы в бланк ответов. (Некоторые результаты могут вас озадачить.)

b) (3 балла) Чтобы разрешить загадку, возникшую в пункте (a), рассмотрим источник света, движущийся со скоростью \(\vec v\) под углом \(\phi\) (\(0\leq\phi\leq\pi\)) к направлению на удалённого наблюдателя \(O\) (рисунок 3.2). Модуль скорости можно записать в виде \(v=\beta c\), где \(c\) — скорость света. Измеренное наблюдателем расстояние до источника равно \(R\). Наблюдаемая угловая скорость источника равна \(\omega\), а кажущаяся линейная скорость, перпендикулярная лучу зрения, равна \(v'_\perp\).

Найдите \(\omega\) и \(v'_\perp\) через \(\beta\), \(R\) и \(\phi\) и запишите ответ в бланк ответов.

c) (1 балл) Предположим, что два выброшенных объекта, описанных во введении и в пункте (a), движутся в противоположных направлениях с одинаковыми по модулю скоростями \(v=\beta c\). Тогда результаты пункта (b) позволяют вычислить \(\beta\) и \(\phi\) по угловым скоростям \(\omega_1\) и \(\omega_2\) и расстоянию \(R\). Здесь \(\phi\) — угол, определённый в пункте (b), для левого объекта, которому в пункте (a) соответствует индекс 1.

Выведите формулы для \(\beta\) и \(\phi\) через известные величины и определите их численные значения по данным пункта (a). Запишите ответы в отведённые для них поля бланка ответов.

d) (2 балла) Для случая одного тела из пункта (b) найдите условие, при котором кажущаяся поперечная скорость \(v'_\perp\) превышает скорость света \(c\).

\(^{7}\) Авторы: Эйнар Гудмундссон, Кнутур Арнасон и Торстейнн Вильхьяльмссон

Рисунок 3.1: Радиоизлучение источника в нашей Галактике.

Рисунок 3.2: Наблюдатель находится в точке \(O\), а начальное положение источника света — в точке \(A\). Вектор скорости — \(\vec v\).

Запишите условие в виде \(\beta>f(\phi)\) и приведите аналитическое выражение для функции \(f\) в бланке ответов.

Изобразите на бланке для графиков физически допустимую область плоскости \((\beta,\phi)\). Заштрихуйте ту часть этой области, в которой выполняется условие \(v'_\perp>c\).

e) (1 балл) По-прежнему рассматривая случай одного тела из пункта (b), найдите выражение для максимального значения \((v'_\perp)_{\max}\) кажущейся поперечной скорости \(v'_\perp\) при заданном \(\beta\) и запишите его в отведённое поле бланка ответов. Обратите внимание, что эта скорость неограниченно возрастает при \(\beta\to1\).

f) (1 балл) Приведённая во введении оценка \(R\) не очень надёжна. Поэтому учёные стали задумываться о более точном и прямом способе определения \(R\). Одна из идей состоит в следующем. Предположим, что мы можем идентифицировать и измерить смещённые вследствие эффекта Доплера длины волн \(\lambda_1\) и \(\lambda_2\) излучения двух выброшенных объектов, соответствующие одной и той же известной исходной длине волны \(\lambda_0\) в системах отсчёта покоя объектов.

Исходя из формулы релятивистского доплеровского сдвига \(\lambda=\lambda_0(1-\beta\cos\phi)(1-\beta^2)^{-1/2}\) и предполагая, как и прежде, что оба объекта имеют одинаковую по модулю скорость \(v\), покажите, что неизвестную величину \(\beta=v/c\) можно выразить через \(\lambda_0,\lambda_1,\) и \(\lambda_2\) следующим образом:

\[ \beta=\sqrt{1-\frac{\alpha\lambda_0^2}{(\lambda_1+\lambda_2)^2}}. \tag{3.1} \]

Запишите численное значение коэффициента \(\alpha\) в отведённое поле бланка ответов.

Заметим, что это означает, что предложенные измерения длин волн на практике позволят получить новую оценку расстояния.

Условие переведено с официального английского текста.

لنعتبر منشورًا سداسيًا منتظمًا طويلًا ومصمتًا وصلبًا، يشبه نوعًا شائعًا من أقلام الرصاص (الشكل 1.1). كتلة المنشور هي \(M\)، وهي موزعة بانتظام. طول كل ضلع من أضلاع المقطع السداسي هو \(a\). عزم القصور الذاتي \(I\) للمنشور السداسي حول محوره المركزي هو

\[ I=\frac{5}{12}Ma^2 \tag{1.1} \]

الشكل 1.1: منشور مصمت مقطعه العرضي سداسي منتظم.

عزم القصور الذاتي \(I'\) حول إحدى حواف المنشور هو

\[ I'=\frac{17}{12}Ma^2 \tag{1.2} \]

a) (3.5 درجات) يكون المنشور ساكنًا في البداية، ومحوره أفقي، على مستوى مائل يصنع زاوية صغيرة \(\theta\) مع الأفقي (الشكل 1.2). افترض أن أوجه المنشور مقعرة قليلًا، بحيث لا يلامس المنشور المستوى إلا عند حوافه. يمكن إهمال تأثير هذا التقعر في عزم القصور الذاتي. يُزاح المنشور الآن عن وضع سكونه، ويبدأ بالتدحرج بصورة غير منتظمة إلى أسفل المستوى. افترض أن الاحتكاك يمنع أي انزلاق، وأن المنشور لا يفقد تلامسه مع المستوى. السرعة الزاوية قبيل اصطدام حافة معينة بالمستوى هي \(\omega_i\)، بينما \(\omega_f\) هي السرعة الزاوية فور الاصطدام.

بيّن أنه يمكننا كتابة

\[ \omega_f=s\omega_i \tag{1.3} \]

واكتب قيمة المعامل \(s\) في ورقة الإجابة.

¹المؤلفان: Leó Kristjánsson وThorsteinn Vilhjálmsson

الشكل 1.2: منشور سداسي مستقر على مستوى مائل.

b) (1 درجة) وبالمثل، تكون الطاقة الحركية للمنشور قبيل الاصطدام وبُعيده هي \(K_i\) و\(K_f\)، على الترتيب.

بيّن أنه يمكننا كتابة

\[ K_f=rK_i \tag{1.4} \]

واكتب قيمة المعامل \(r\) في ورقة الإجابة.

c) (1.5 درجة) لكي يحدث الاصطدام التالي، يجب أن تتجاوز \(K_i\) قيمة دنيا \(K_{i,min}\)، يمكن كتابتها على الصورة

\[ K_{i,min}=\delta Mga \tag{1.5} \]

حيث \(g=9.81\ \mathrm{m/s^2}\) هو تسارع الجاذبية.

أوجد المعامل \(\delta\) بدلالة زاوية الميل \(\theta\) والمعامل \(r\). اكتب إجابتك في ورقة الإجابة. (استخدم الرمز الجبري \(r\)، لا قيمته.)

d) (2 درجة) إذا تحقق شرط الجزء (c)، فإن الطاقة الحركية \(K_i\) ستقترب من قيمة ثابتة \(K_{i,0}\) أثناء تدحرج المنشور إلى أسفل المستوى المائل.

بفرض وجود النهاية، بيّن أنه يمكن كتابة \(K_{i,0}\) على الصورة:

\[ K_{i,0}=\kappa Mga \tag{1.6} \]

واكتب المعامل \(\kappa\) بدلالة \(\theta\) و\(r\) في ورقة الإجابة.

e) (2 درجة) احسب، بدقة \(0.1^\circ\)، أصغر زاوية ميل \(\theta_0\) يستمر عندها التدحرج غير المنتظم إلى ما لا نهاية بعد بدئه. اكتب إجابتك العددية في ورقة الإجابة.

نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي.

الغطاء الجليدي صفيحة سميكة من الجليد (قد يبلغ سمكها بضعة كيلومترات) تستقر على الأرض تحتها وتمتد أفقيًا عشرات أو مئات الكيلومترات. نتناول في هذه المسألة انصهار الجليد وسلوك الماء تحت غطاء جليدي معتدل الحرارة، أي غطاء جليدي عند درجة الانصهار. يمكننا افتراض أن الجليد في هذه الظروف يُحدث تغيرات في الضغط كما يفعل مائع لزج، لكنه يتشوه على نحو هش، أساسًا بالحركة الرأسية. ولأغراض هذه المسألة، تُعطى المعلومات الآتية.

كثافة الماء:	\(\rho_w=1.000\cdot10^3\ \mathrm{kg/m^3}\)
كثافة الجليد:	\(\rho_i=0.917\cdot10^3\ \mathrm{kg/m^3}\)
الحرارة النوعية للجليد:	\(c_i=2.1\cdot10^3\ \mathrm{J/(kg\,^\circ C)}\)
الحرارة الكامنة النوعية لانصهار الجليد:	\(L_i=3.4\cdot10^5\ \mathrm{J/kg}\)
كثافة الصخور والصهارة:	\(\rho_r=2.9\cdot10^3\ \mathrm{kg/m^3}\)
الحرارة النوعية للصخور والصهارة:	\(c_r=700\ \mathrm{J/(kg\,^\circ C)}\)
الحرارة الكامنة النوعية لانصهار الصخور والصهارة:	\(L_r=4.2\cdot10^5\ \mathrm{J/kg}\)
متوسط التدفق الحراري المتجه إلى الخارج عبر سطح الأرض:	\(J_Q=0.06\ \mathrm{W/m^2}\)
درجة انصهار الجليد:	\(T_0=0^\circ\mathrm C\)، ثابتة

a) (0.5 درجة) اعتبر غطاءً جليديًا سميكًا في موضع يكون فيه التدفق الحراري من باطن الأرض مساويًا لمتوسطه. باستخدام بيانات الجدول، احسب سمك \(d\) طبقة الجليد التي تنصهر كل سنة، واكتب إجابتك في الخانة المخصصة في ورقة الإجابة.

b) (3.5 درجات) اعتبر الآن السطح العلوي لغطاء جليدي. تميل الأرض تحت الغطاء الجليدي بزاوية \(\alpha\). ويميل السطح العلوي للغطاء بزاوية \(\beta\) كما هو موضح في الشكل 2.1. السمك الرأسي للجليد عند \(x=0\) هو \(h_0\). ومن ثم يمكن وصف السطحين السفلي والعلوي للغطاء الجليدي بالمعادلتين

\[ y_1=x\tan\alpha,\qquad y_2=h_0+x\tan\beta \tag{2.1} \]

اشتق تعبيرًا للضغط \(p\) عند قاع الغطاء الجليدي بدلالة الإحداثي الأفقي \(x\)، واكتبه في ورقة الإجابة.

صُغ رياضيًا شرطًا يربط بين \(\beta\) و\(\alpha\)، بحيث لا يجري الماء الموجود في طبقة بين الغطاء الجليدي والأرض في أي من الاتجاهين. بيّن أن الشرط يتخذ الصورة \(\tan\beta=s\tan\alpha\). أوجد المعامل \(s\)، واكتب النتيجة في صورة رمزية في ورقة الإجابة.

يمثل المستقيم \(y_1=0.8\,x\) في الشكل 2.2 سطح الأرض تحت غطاء جليدي. السمك الرأسي \(h_0\) عند \(x=0\) هو 2 km. افترض أن الماء عند القاع في حالة اتزان. ارسم المستقيم \(y_1\) على ورقة الإجابة البيانية، وأضف مستقيمًا \(y_2\) يبين السطح العلوي للجليد. وضّح في الشكل ما يمثله كل مستقيم.

\(^{6}\)المؤلفان: Gudni Axelsson وThorsteinn Vilhjálmsson

الشكل 2.1: مقطع عرضي لغطاء جليدي ذي سطح مستوٍ يستقر على أرض مستوية مائلة. \(S\): السطح، \(G\): الأرض، \(I\): الغطاء الجليدي.

c) (1 درجة) داخل صفيحة جليدية كبيرة على أرض أفقية، كان سمكها في الأصل ثابتًا ويساوي \(D=2.0\ \mathrm{km}\)، يتشكل فجأة إلى حد ما جسم مائي مخروطي ارتفاعه \(H=1.0\ \mathrm{km}\) ونصف قطره \(r=1.0\ \mathrm{km}\) نتيجة انصهار الجليد (الشكل 2.3). نفترض أن الجليد المتبقي يتكيف مع ذلك بالحركة الرأسية فقط.

بيّن تحليليًا على ورقة إجابة فارغة، وبالرسم على ورقة إجابة بيانية، شكل سطح الغطاء الجليدي بعد تشكل مخروط الماء وبلوغ الاتزان الهيدروستاتيكي.

d) (5 درجات) في بعثتها السنوية، تستكشف مجموعة دولية من العلماء غطاءً جليديًا معتدل الحرارة في القارة القطبية الجنوبية. تكون المنطقة عادة هضبة واسعة، لكنهم يجدون هذه المرة منخفضًا عميقًا شبيهًا بفوهة، على هيئة مخروط مقلوب، عمقه \(h\) يساوي 100 m ونصف قطره \(r\) يساوي 500 m (الشكل 2.4). سمك الجليد في المنطقة 2000 m.

بعد مناقشة، يخلص العلماء إلى أن الأرجح هو حدوث ثوران بركاني طفيف تحت الغطاء الجليدي. اندست كمية صغيرة من الصهارة (الصخر المنصهر) عند قاع الغطاء الجليدي، ثم تصلبت وبردت، مما أدى إلى انصهار حجم معين من الجليد. ويحاول العلماء، بالطريقة الآتية، تقدير حجم الجسم المندس وتكوين فكرة عما آل إليه ماء الانصهار.

افترض أن الجليد تحرك رأسيًا فقط. وافترض أيضًا أن الصهارة كانت منصهرة بالكامل وعند \(1200^\circ\mathrm C\) في البداية. وللتبسيط، افترض كذلك أن الجسم المندس كان على هيئة مخروط ذي قاعدة دائرية يقع رأسيًا تحت المنخفض المخروطي في السطح. كان زمن صعود الصهارة قصيرًا مقارنة بزمن التبادل الحراري في العملية. ويُفترض أن التدفق الحراري كان رأسيًا في المقام الأول، بحيث يحد الحجم المنصهر من الجليد في أي وقت سطح مخروطي يتمركز فوق مركز الجسم الصهاري المندس.

في ظل هذه الافتراضات، يحدث انصهار الجليد على مرحلتين. في البداية لا يكون الماء في اتزان ضغطي عند سطح الصهارة، ولذلك يجري مبتعدًا. ويمكن افتراض أن درجة حرارة الماء الذي يجري مبتعدًا هي \(0^\circ\mathrm C\). وبعد ذلك،

الشكل 2.2: مقطع عرضي لغطاء جليدي معتدل الحرارة يستقر على أرض مائلة، والماء عند قاعه في حالة اتزان. \(G\): الأرض، \(I\): الغطاء الجليدي.

يُبلَغ الاتزان الهيدروستاتيكي، ويتراكم الماء فوق الجسم المندس بدلًا من الجريان مبتعدًا.

عند بلوغ الاتزان الحراري، يُطلب منك تحديد الكميات الآتية. اكتب الإجابات في ورقة الإجابة.

1. ارتفاع \(H\) قمة مخروط الماء المتشكل تحت الغطاء الجليدي، بالنسبة إلى القاع الأصلي للغطاء الجليدي.
2. ارتفاع \(h_1\) الجسم المندس.
3. الكتلة الكلية \(m_{tot}\) للماء الناتج، وكتلة \(m'\) الماء الذي يجري مبتعدًا.

ارسم على ورقة إجابة بيانية، بمقياس رسم، شكلي الجسم الصخري المندس والجسم المائي المتبقي. استخدم نظام الإحداثيات المقترح في الشكل 2.4.

الشكل 2.3: مقطع رأسي يمر بالمستوى الأوسط لمخروط ماء داخل غطاء جليدي. \(S\): السطح، \(W\): الماء، \(G\): الأرض، \(I\): الغطاء الجليدي.

الشكل 2.4: مقطع عرضي رأسي ومركزي لمنخفض مخروطي في غطاء جليدي معتدل الحرارة. \(S\): السطح، \(G\): الأرض، \(I\): الغطاء الجليدي، \(M\): الجسم الصخري/الصهاري المندس، \(W\): الماء. لاحظ أن الشكل غير مرسوم بمقياس رسم.

نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي.

في هذه المسألة نحلل ونفسر قياسات أُجريت عام 1994 للانبعاث الراديوي من مصدر مركب داخل مجرتنا.

ضُبط جهاز الاستقبال على نطاق عريض من الموجات الراديوية ذات أطوال موجية تبلغ عدة سنتيمترات. يبين الشكل 3.1 سلسلة من الصور المسجلة في أوقات مختلفة. تشير خطوط التساوي إلى شدة إشعاع ثابتة، على نحو يشبه إلى حد بعيد خطوط تساوي الارتفاع على خريطة جغرافية. تُفسَّر القمتان في الشكل على أنهما تمثلان جسمين يبتعدان عن مركز مشترك تشير إليه علامات تقاطع في الصور. (وهذا المركز، الذي يُفترض أنه ثابت في الفضاء، مصدر قوي للإشعاع أيضًا، ولكن أساسًا عند أطوال موجية أخرى). أُجريت القياسات في التواريخ المختلفة في الوقت نفسه من اليوم.

يُعطى مقياس الشكل بقطعة مستقيمة تمثل ثانية قوسية واحدة (as). (1 as = 1/3600 من الدرجة). تُقدَّر المسافة إلى الجرم السماوي الواقع في مركز الشكل، والمشار إليه بعلامات التقاطع، بأنها \(R=12.5\ \mathrm{kpc}\). يساوي الكيلوفرسخ الفلكي (kpc) مقدار \(3.09\cdot10^{19}\ \mathrm{m}\). سرعة الضوء هي \(c=3.00\cdot10^8\ \mathrm{m/s}\). لا يُطلب حساب الأخطاء في الحل.

a) (درجتان) نرمز إلى الموضعين الزاويين للمصدرين الراديويين المقذوفين، بالنسبة إلى المركز المشترك، بالرمزين \(\theta_1(t)\) و\(\theta_2(t)\)، حيث يشير الدليلان 1 و2 إلى المصدر الأيسر والمصدر الأيمن، على الترتيب، ويمثل \(t\) زمن الرصد. السرعتان الزاويتان، كما تُريان من الأرض، هما \(\omega_1\) و\(\omega_2\). ونرمز إلى السرعتين الخطيتين العرضيتين الظاهريتين المناظرتين للمصدرين بالرمزين \(v'_{1,\perp}\) و\(v'_{2,\perp}\).

باستخدام الشكل 3.1، ارسم رسمًا بيانيًا لإيجاد القيمتين العدديتين لـ \(\omega_1\) و\(\omega_2\) بوحدة ملي ثانية قوسية في اليوم (mas/d). حدد أيضًا القيمتين العدديتين لـ \(v'_{1,\perp}\) و\(v'_{2,\perp}\)، واكتب جميع الإجابات على ورقة الإجابة. (قد تثير بعض النتائج حيرتك).

b) (3 درجات) لحل اللغز الناشئ في الجزء (a)، انظر في مصدر ضوئي يتحرك بسرعة متجهة \(\vec v\) تصنع زاوية \(\phi\) (\(0\leq\phi\leq\pi\)) مع الاتجاه نحو راصد بعيد \(O\) (الشكل 3.2). يمكن كتابة مقدار السرعة على الصورة \(v=\beta c\)، حيث \(c\) سرعة الضوء. المسافة إلى المصدر، كما يقيسها الراصد، هي \(R\). السرعة الزاوية للمصدر، كما يراها الراصد، هي \(\omega\)، والسرعة الخطية الظاهرية العمودية على خط النظر هي \(v'_\perp\).

أوجد \(\omega\) و\(v'_\perp\) بدلالة \(\beta\) و\(R\) و\(\phi\)، واكتب إجابتك على ورقة الإجابة.

c) (درجة واحدة) نفترض أن الجسمين المقذوفين، الموصوفين في المقدمة وفي الجزء (a)، يتحركان في اتجاهين متعاكسين بمقداري سرعة متساويين \(v=\beta c\). عندئذ تتيح نتائج الجزء (b) حساب \(\beta\) و\(\phi\) من السرعتين الزاويتين \(\omega_1\) و\(\omega_2\) والمسافة \(R\). هنا تمثل \(\phi\) الزاوية المعرَّفة في الجزء (b) للجسم الأيسر، الموافق للدليل 1 في الجزء (a).

اشتق صيغتين لـ \(\beta\) و\(\phi\) بدلالة الكميات المعلومة، وحدد قيمتيهما العدديتين من بيانات الجزء (a). اكتب إجاباتك في الخانات المخصصة على ورقة الإجابة.

d) (درجتان) في حالة الجسم الواحد الواردة في الجزء (b)، أوجد الشرط اللازم لكي تكون السرعة الظاهرية العمودية \(v'_\perp\) أكبر من سرعة الضوء \(c\).

\(^{7}\) المؤلفون: Einar Gudmundsson وKnútur Árnason وThorsteinn Vilhjálmsson

الشكل 3.1: انبعاث راديوي من مصدر في مجرتنا.

الشكل 3.2: يقع الراصد عند \(O\)، والموضع الأصلي للمصدر الضوئي عند \(A\). متجه السرعة هو \(\vec v\).

اكتب الشرط على الصورة \(\beta>f(\phi)\)، وقدم تعبيرًا تحليليًا للدالة \(f\) على ورقة الإجابة.

ارسم على ورقة الإجابة البيانية المنطقة ذات المعنى الفيزيائي من المستوى \((\beta,\phi)\). وبيّن بالتظليل الجزء من هذه المنطقة الذي يتحقق فيه الشرط \(v'_\perp>c\).

e) (درجة واحدة) مع الاستمرار في حالة الجسم الواحد الواردة في الجزء (b)، أوجد تعبيرًا للقيمة العظمى \((v'_\perp)_{\max}\) للسرعة الظاهرية العمودية \(v'_\perp\) عند قيمة معطاة لـ \(\beta\)، واكتبه في الخانة المخصصة على ورقة الإجابة. لاحظ أن هذه السرعة تزداد بلا حد عندما \(\beta\to1\).

f) (درجة واحدة) تقدير \(R\) المعطى في المقدمة ليس موثوقًا جدًا. لذلك بدأ العلماء يفكرون في طريقة أفضل وأكثر مباشرة لتحديد \(R\). وتقوم إحدى الأفكار على ما يلي. افترض أننا نستطيع تحديد وقياس الطولين الموجيين \(\lambda_1\) و\(\lambda_2\)، المزاحين بفعل دوبلر، للإشعاع الصادر عن الجسمين المقذوفين، والموافقين للطول الموجي الأصلي المعلوم نفسه \(\lambda_0\) في إطاري سكون الجسمين.

انطلاقًا من معادلات انزياح دوبلر النسبي، \(\lambda=\lambda_0(1-\beta\cos\phi)(1-\beta^2)^{-1/2}\)، وبافتراض أن الجسمين لهما مقدار السرعة نفسه، \(v\)، كما سبق، بيّن أن المجهول \(\beta=v/c\) يمكن التعبير عنه بدلالة \(\lambda_0,\lambda_1,\) و\(\lambda_2\) على الصورة

\[ \beta=\sqrt{1-\frac{\alpha\lambda_0^2}{(\lambda_1+\lambda_2)^2}}. \tag{3.1} \]

اكتب القيمة العددية للمعامل \(\alpha\) في الخانة المخصصة على ورقة الإجابة.

يمكنك ملاحظة أن هذا يعني أن قياسات الأطوال الموجية المقترحة ستوفر عمليًا تقديرًا جديدًا للمسافة.

نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي.