Solution

a) Angular motions and apparent transverse speeds

Take \(t=0\) on 27 March. Measure each component’s angular distance from the cross in its own image, using the full marked scale length as \(1''=1000\ \mathrm{mas}\). Follow the two outward-moving components indicated by the dashed tracks. We use positive angular distances on both sides of the center.

Approximate readings from the supplied figure are:

Plot \(t\) horizontally and angular distance vertically. Each set of points lies approximately on a straight line; the left-hand component has the greater slope. Representative lines are

\[ \frac{\theta_1}{\mathrm{arcsec}} \simeq0.11+0.0175\,\frac{t}{\mathrm d}, \qquad \frac{\theta_2}{\mathrm{arcsec}} \simeq0.08+0.0090\,\frac{t}{\mathrm d}. \]

Thus their vertical intercepts are approximately \(0.11''\) and \(0.08''\), and their slopes give

\[ \omega_1\simeq17.5\ \mathrm{mas/d}, \qquad \omega_2\simeq9.0\ \mathrm{mas/d}. \]

The angles are extremely small, so the transverse displacement corresponding to an angular displacement \(\theta\) is \(R\theta\). Consequently,

\[ v'_{i,\perp}=R\omega_i, \]

where \(\omega_i\) must be expressed in radians per second. The required conversions are

\[ R=12.5(3.09\times10^{19}) =3.8625\times10^{20}\ \mathrm m, \]

\[ 1\ \mathrm{mas} =\frac{\pi}{180\times3600\times1000}\ \mathrm{rad} =4.8481\times10^{-9}\ \mathrm{rad}, \]

and therefore

\[ 1\ \mathrm{mas/d} =5.6113\times10^{-14}\ \mathrm{rad/s}. \]

At the stated distance, \(1\ \mathrm{mas/d}\) corresponds to

\[ R(5.6113\times10^{-14}) =2.1674\times10^7\ \mathrm{m/s}. \]

Hence

\[ v'_{1,\perp} \simeq17.5(2.1674\times10^7) \simeq3.8\times10^8\ \mathrm{m/s} \simeq1.3c, \]

\[ v'_{2,\perp} \simeq9.0(2.1674\times10^7) \simeq2.0\times10^8\ \mathrm{m/s} \simeq0.65c. \]

The first value exceeds \(c\). These speeds use the time interval between the arrivals of signals at Earth; that interval differs from the interval between their emissions.

b) Effect of light-travel time

Work in the inertial frame in which the observer and central source are stationary. Let two signals be emitted a time \(\Delta t_{\mathrm e}\) apart in this frame.

During this interval, the emitter moves a transverse distance

\[ \Delta x_\perp=v\sin\phi\,\Delta t_{\mathrm e}. \]

Its displacement toward the observer is

\[ \Delta x_\parallel=v\cos\phi\,\Delta t_{\mathrm e}. \]

For a distant observer, the second signal’s path is shorter by approximately \(\Delta x_\parallel\). The arrival-time interval is therefore

\[ \Delta t_{\mathrm{obs}} =\Delta t_{\mathrm e}-\frac{\Delta x_\parallel}{c} =(1-\beta\cos\phi)\Delta t_{\mathrm e}. \]

The same expression covers a receding source: then \(\cos\phi<0\), so the second signal travels farther.

The angular displacement is, in the small-angle approximation,

\[ \Delta\theta\simeq\frac{\Delta x_\perp}{R}. \]

Thus

\[ \boxed{ \omega=\frac{\Delta\theta}{\Delta t_{\mathrm{obs}}} =\frac{\beta c\sin\phi}{R(1-\beta\cos\phi)} } \]

and

\[ \boxed{ v'_\perp=R\omega =\frac{\beta c\sin\phi}{1-\beta\cos\phi}. } \]

Here the source’s displacement is negligible compared with \(R\), allowing \(R\) and \(\phi\) to be treated as constant over the observations.

For an approaching emitter, successive signals arrive closer together than they were emitted. Dividing the transverse displacement by this shortened interval can give \(v'_\perp>c\), although the actual emitter speed remains \(v=\beta c<c\).

c) Recovering the true speed and direction

The two directions make angles \(\phi\) and \(\pi-\phi\) with the direction toward the observer. Their transverse velocity magnitudes are equal, while their radial components have opposite signs. Therefore,

\[ \frac{R\omega_1}{c} =\frac{\beta\sin\phi}{1-\beta\cos\phi}, \qquad \frac{R\omega_2}{c} =\frac{\beta\sin\phi}{1+\beta\cos\phi}. \]

Set

\[ X=\beta\cos\phi,\qquad Y=\beta\sin\phi. \]

Then

\[ \omega_1(1-X)=\omega_2(1+X)=\frac{cY}{R}. \]

Equating the first two expressions gives

\[ \boxed{ X=\beta\cos\phi =\frac{\omega_1-\omega_2}{\omega_1+\omega_2}. } \]

Substitution into either angular-speed equation gives

\[ \boxed{ Y=\beta\sin\phi =\frac{2R\omega_1\omega_2}{c(\omega_1+\omega_2)}. } \]

Consequently,

\[ \boxed{ \beta= \frac{\sqrt{(\omega_1-\omega_2)^2+ \left(2R\omega_1\omega_2/c\right)^2}} {\omega_1+\omega_2} } \]

and an expression valid throughout \(0\leq\phi\leq\pi\) is

\[ \boxed{ \phi=\arccos\!\left[ \frac{\omega_1-\omega_2} {\beta(\omega_1+\omega_2)} \right]. } \]

For these observations, \(\omega_1>\omega_2\), so \(\phi\) is acute. We can also use

\[ \tan\phi=\frac{2R\omega_1\omega_2}{c(\omega_1-\omega_2)}. \]

Using the representative rates from (a),

\[ X\simeq\frac{17.5-9.0}{17.5+9.0} \simeq0.321, \]

\[ Y\simeq0.859. \]

Thus

\[ \beta\simeq\sqrt{0.321^2+0.859^2} \simeq0.917, \qquad \phi\simeq69.5^\circ. \]

To the precision justified by the graph,

\[ \boxed{\beta\simeq0.92,\qquad \phi\simeq70^\circ.} \]

The true speed is approximately \(2.8\times10^8\ \mathrm{m/s}\). Since \(\beta\cos\phi>0\), the left-hand component is approaching and the right-hand component is receding.

d) Condition and region for apparent superluminal motion

For a material emitter, \(0\leq\beta<1\). Hence \(1-\beta\cos\phi>0\), and the condition \(v'_\perp>c\) becomes

\[ \frac{\beta\sin\phi}{1-\beta\cos\phi}>1, \]

or

\[ \boxed{\beta(\sin\phi+\cos\phi)>1.} \]

For \(\phi\geq\pi/2\), the denominator of \(v'_\perp/c\) is at least one, while its numerator is at most \(\beta<1\). Superluminal apparent motion is therefore impossible for a receding or exactly transverse source. It is also impossible at \(\phi=0\), where the transverse motion vanishes.

Within the relevant interval \(0<\phi<\pi/2\),

\[ \boxed{\beta>f(\phi),\qquad f(\phi)=\frac{1}{\sin\phi+\cos\phi}.} \]

The complete physical condition is thus

\[ \boxed{ 0<\phi<\frac{\pi}{2}, \qquad \frac{1}{\sin\phi+\cos\phi}<\beta<1. } \]

For the requested diagram, the physically relevant region has

\[ 0\leq\beta<1,\qquad 0\leq\phi\leq\pi. \]

With \(\phi\) horizontal and \(\beta\) vertical, draw the threshold curve over \(0\leq\phi\leq\pi/2\). Its useful points are:

The curve is symmetric about \(\phi=\pi/4\). It decreases from \(1\) to its minimum \(1/\sqrt2\), then rises to \(1\). Shade the region strictly above this curve and strictly below \(\beta=1\). The threshold curve itself has \(v'_\perp=c\), so it is excluded from the shading. No region at \(\phi\geq\pi/2\) is shaded.

Since

\[ \sin\phi+\cos\phi =\sqrt2\cos\!\left(\phi-\frac{\pi}{4}\right)\leq\sqrt2, \]

such a region exists only when

\[ \boxed{\beta>\frac{1}{\sqrt2}.} \]

Equivalently, for any fixed \(\beta>1/\sqrt2\), its angular extent is

\[ \left|\phi-\frac{\pi}{4}\right| < \arccos\!\left(\frac{1}{\sqrt2\,\beta}\right). \]

e) Maximum apparent transverse speed

At fixed \(0<\beta<1\), differentiate the result of (b):

\[ \frac{\mathrm d}{\mathrm d\phi} \left(\frac{v'_\perp}{c}\right) = \frac{\mathrm d}{\mathrm d\phi} \left(\frac{\beta\sin\phi}{1-\beta\cos\phi}\right) = \frac{\beta(\cos\phi-\beta)} {(1-\beta\cos\phi)^2}. \]

The derivative changes from positive to negative where

\[ \cos\phi=\beta. \]

Because the apparent transverse speed vanishes at both \(\phi=0\) and \(\phi=\pi\), this stationary point is the global maximum. At that angle,

\[ \sin\phi=\sqrt{1-\beta^2}, \qquad 1-\beta\cos\phi=1-\beta^2. \]

Therefore,

\[ \boxed{ (v'_\perp)_{\max} =\frac{\beta c}{\sqrt{1-\beta^2}}, \qquad \phi_{\max}=\arccos\beta. } \]

As \(\beta\to1^{-}\), the denominator tends to zero and the maximum apparent speed increases without limit. For \(\beta=0\), the apparent speed is zero at every angle.

f) Determination of \(\beta\) from the Doppler shifts

Let

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}. \]

For the first object, the given Doppler formula is

\[ \lambda_1=\lambda_0\gamma(1-\beta\cos\phi). \]

For the oppositely moving object, \(\cos(\pi-\phi)=-\cos\phi\), giving

\[ \lambda_2=\lambda_0\gamma(1+\beta\cos\phi). \]

Adding these expressions eliminates the direction:

\[ \lambda_1+\lambda_2 =2\lambda_0\gamma =\frac{2\lambda_0}{\sqrt{1-\beta^2}}. \]

Thus

\[ 1-\beta^2 =\frac{4\lambda_0^2}{(\lambda_1+\lambda_2)^2}, \]

and, taking the nonnegative speed,

\[ \boxed{ \beta=\sqrt{1-\frac{4\lambda_0^2}{(\lambda_1+\lambda_2)^2}}, \qquad \alpha=4. } \]

This also explains how the distance could be obtained. The angular motions determine

\[ X=\beta\cos\phi =\frac{\omega_1-\omega_2}{\omega_1+\omega_2}, \]

while the wavelengths determine \(\beta\). Therefore \(\beta\sin\phi=\sqrt{\beta^2-X^2}\), and the relation derived in (c) gives

\[ R= \frac{c(\omega_1+\omega_2)}{2\omega_1\omega_2} \sqrt{\beta^2-X^2}. \]

Thus the combined angular and wavelength measurements determine \(R\) without adopting its initial estimate.

The solution was checked against the official solution.

Lösung

a) Winkelbewegungen und scheinbare Transversalgeschwindigkeiten

Wir setzen \(t=0\) auf den 27. März. Messen Sie den Winkelabstand jeder Komponente vom Kreuz in ihrem jeweiligen Bild und verwenden Sie dabei die gesamte eingezeichnete Maßstabsstrecke als \(1''=1000\ \mathrm{mas}\). Verfolgen Sie die beiden sich nach außen bewegenden Komponenten, die durch die gestrichelten Bahnen gekennzeichnet sind. Wir verwenden auf beiden Seiten des Zentrums positive Winkelabstände.

Aus der vorgegebenen Abbildung lassen sich näherungsweise folgende Werte ablesen:

Tragen Sie \(t\) auf der horizontalen und den Winkelabstand auf der vertikalen Achse auf. Die Punkte jeder Messreihe liegen näherungsweise auf einer Geraden; die linke Komponente hat die größere Steigung. Repräsentative Geraden sind

\[ \frac{\theta_1}{\mathrm{arcsec}} \simeq0.11+0.0175\,\frac{t}{\mathrm d}, \qquad \frac{\theta_2}{\mathrm{arcsec}} \simeq0.08+0.0090\,\frac{t}{\mathrm d}. \]

Ihre Achsenabschnitte auf der vertikalen Achse betragen somit ungefähr \(0.11''\) und \(0.08''\), und ihre Steigungen ergeben

\[ \omega_1\simeq17.5\ \mathrm{mas/d}, \qquad \omega_2\simeq9.0\ \mathrm{mas/d}. \]

Die Winkel sind äußerst klein, sodass die zu einer Winkeländerung \(\theta\) gehörende transversale Verschiebung \(R\theta\) beträgt. Folglich gilt

\[ v'_{i,\perp}=R\omega_i, \]

wobei \(\omega_i\) in Radiant pro Sekunde angegeben werden muss. Die erforderlichen Umrechnungen lauten

\[ R=12.5(3.09\times10^{19}) =3.8625\times10^{20}\ \mathrm m, \]

\[ 1\ \mathrm{mas} =\frac{\pi}{180\times3600\times1000}\ \mathrm{rad} =4.8481\times10^{-9}\ \mathrm{rad}, \]

und damit

\[ 1\ \mathrm{mas/d} =5.6113\times10^{-14}\ \mathrm{rad/s}. \]

Bei der angegebenen Entfernung entspricht \(1\ \mathrm{mas/d}\) einer Geschwindigkeit von

\[ R(5.6113\times10^{-14}) =2.1674\times10^7\ \mathrm{m/s}. \]

Daraus folgt

\[ v'_{1,\perp} \simeq17.5(2.1674\times10^7) \simeq3.8\times10^8\ \mathrm{m/s} \simeq1.3c, \]

\[ v'_{2,\perp} \simeq9.0(2.1674\times10^7) \simeq2.0\times10^8\ \mathrm{m/s} \simeq0.65c. \]

Der erste Wert übersteigt \(c\). Bei diesen Geschwindigkeiten wird das Zeitintervall zwischen den Ankünften der Signale auf der Erde verwendet; dieses Intervall unterscheidet sich vom Intervall zwischen ihren Aussendungen.

b) Einfluss der Lichtlaufzeit

Wir arbeiten in dem Inertialsystem, in dem der Beobachter und die zentrale Quelle ruhen. Zwei Signale sollen in diesem System im zeitlichen Abstand \(\Delta t_{\mathrm e}\) ausgesendet werden.

Während dieses Intervalls beträgt die transversale Verschiebung der Quelle

\[ \Delta x_\perp=v\sin\phi\,\Delta t_{\mathrm e}. \]

Ihre Verschiebung in Richtung auf den Beobachter beträgt

\[ \Delta x_\parallel=v\cos\phi\,\Delta t_{\mathrm e}. \]

Für einen weit entfernten Beobachter ist der Weg des zweiten Signals um ungefähr \(\Delta x_\parallel\) kürzer. Das Zeitintervall zwischen den Ankünften beträgt daher

\[ \Delta t_{\mathrm{obs}} =\Delta t_{\mathrm e}-\frac{\Delta x_\parallel}{c} =(1-\beta\cos\phi)\Delta t_{\mathrm e}. \]

Derselbe Ausdruck gilt auch für eine sich entfernende Quelle: Dann ist \(\cos\phi<0\), sodass das zweite Signal einen längeren Weg zurücklegt.

In der Kleinwinkelnäherung beträgt die Winkeländerung

\[ \Delta\theta\simeq\frac{\Delta x_\perp}{R}. \]

Somit gilt

\[ \boxed{ \omega=\frac{\Delta\theta}{\Delta t_{\mathrm{obs}}} =\frac{\beta c\sin\phi}{R(1-\beta\cos\phi)} } \]

und

\[ \boxed{ v'_\perp=R\omega =\frac{\beta c\sin\phi}{1-\beta\cos\phi}. } \]

Dabei ist die Verschiebung der Quelle gegenüber \(R\) vernachlässigbar, sodass \(R\) und \(\phi\) während der Beobachtungen als konstant behandelt werden können.

Bei einer sich nähernden Quelle treffen aufeinanderfolgende Signale in kürzeren Zeitabständen ein, als sie ausgesendet wurden. Die Division der transversalen Verschiebung durch dieses verkürzte Intervall kann \(v'_\perp>c\) ergeben, obwohl die tatsächliche Geschwindigkeit der Quelle weiterhin \(v=\beta c<c\) ist.

c) Bestimmung der tatsächlichen Geschwindigkeit und Richtung

Die beiden Bewegungsrichtungen bilden mit der Richtung auf den Beobachter die Winkel \(\phi\) und \(\pi-\phi\). Die Beträge ihrer transversalen Geschwindigkeiten sind gleich, während ihre radialen Komponenten entgegengesetzte Vorzeichen haben. Daher gilt

\[ \frac{R\omega_1}{c} =\frac{\beta\sin\phi}{1-\beta\cos\phi}, \qquad \frac{R\omega_2}{c} =\frac{\beta\sin\phi}{1+\beta\cos\phi}. \]

Wir setzen

\[ X=\beta\cos\phi,\qquad Y=\beta\sin\phi. \]

Dann gilt

\[ \omega_1(1-X)=\omega_2(1+X)=\frac{cY}{R}. \]

Gleichsetzen der ersten beiden Ausdrücke ergibt

\[ \boxed{ X=\beta\cos\phi =\frac{\omega_1-\omega_2}{\omega_1+\omega_2}. } \]

Einsetzen in eine der beiden Gleichungen für die Winkelgeschwindigkeit ergibt

\[ \boxed{ Y=\beta\sin\phi =\frac{2R\omega_1\omega_2}{c(\omega_1+\omega_2)}. } \]

Folglich gilt

\[ \boxed{ \beta= \frac{\sqrt{(\omega_1-\omega_2)^2+ \left(2R\omega_1\omega_2/c\right)^2}} {\omega_1+\omega_2} } \]

und ein im gesamten Bereich \(0\leq\phi\leq\pi\) gültiger Ausdruck lautet

\[ \boxed{ \phi=\arccos\!\left[ \frac{\omega_1-\omega_2} {\beta(\omega_1+\omega_2)} \right]. } \]

Für diese Beobachtungen gilt \(\omega_1>\omega_2\), sodass \(\phi\) ein spitzer Winkel ist. Außerdem gilt

\[ \tan\phi=\frac{2R\omega_1\omega_2}{c(\omega_1-\omega_2)}. \]

Mit den repräsentativen Winkelgeschwindigkeiten aus (a) erhalten wir

\[ X\simeq\frac{17.5-9.0}{17.5+9.0} \simeq0.321, \]

\[ Y\simeq0.859. \]

Somit gilt

\[ \beta\simeq\sqrt{0.321^2+0.859^2} \simeq0.917, \qquad \phi\simeq69.5^\circ. \]

Mit der durch das Diagramm gerechtfertigten Genauigkeit ergibt sich

\[ \boxed{\beta\simeq0.92,\qquad \phi\simeq70^\circ.} \]

Die tatsächliche Geschwindigkeit beträgt ungefähr \(2.8\times10^8\ \mathrm{m/s}\). Da \(\beta\cos\phi>0\) ist, nähert sich die linke Komponente dem Beobachter, während sich die rechte Komponente von ihm entfernt.

d) Bedingung und Bereich für scheinbare Überlichtgeschwindigkeit

Für eine materielle Quelle gilt \(0\leq\beta<1\). Daher ist \(1-\beta\cos\phi>0\), und die Bedingung \(v'_\perp>c\) wird zu

\[ \frac{\beta\sin\phi}{1-\beta\cos\phi}>1, \]

oder

\[ \boxed{\beta(\sin\phi+\cos\phi)>1.} \]

Für \(\phi\geq\pi/2\) ist der Nenner von \(v'_\perp/c\) mindestens eins, während der Zähler höchstens \(\beta<1\) beträgt. Eine scheinbare Bewegung mit Überlichtgeschwindigkeit ist daher für eine sich entfernende oder genau transversal bewegende Quelle unmöglich. Sie ist auch bei \(\phi=0\) unmöglich, wo die transversale Bewegung verschwindet.

Innerhalb des relevanten Intervalls \(0<\phi<\pi/2\) gilt

\[ \boxed{\beta>f(\phi),\qquad f(\phi)=\frac{1}{\sin\phi+\cos\phi}.} \]

Die vollständige physikalische Bedingung lautet somit

\[ \boxed{ 0<\phi<\frac{\pi}{2}, \qquad \frac{1}{\sin\phi+\cos\phi}<\beta<1. } \]

Für das geforderte Diagramm gelten im physikalisch relevanten Bereich die Grenzen

\[ 0\leq\beta<1,\qquad 0\leq\phi\leq\pi. \]

Tragen Sie \(\phi\) horizontal und \(\beta\) vertikal auf und zeichnen Sie die Grenzkurve im Bereich \(0\leq\phi\leq\pi/2\). Nützliche Punkte der Kurve sind:

Die Kurve ist symmetrisch bezüglich \(\phi=\pi/4\). Sie fällt von \(1\) auf ihr Minimum \(1/\sqrt2\) ab und steigt dann wieder auf \(1\) an. Schraffieren Sie den Bereich strikt oberhalb dieser Kurve und strikt unterhalb von \(\beta=1\). Auf der Grenzkurve selbst gilt \(v'_\perp=c\), daher gehört sie nicht zum schraffierten Bereich. Für \(\phi\geq\pi/2\) wird kein Bereich schraffiert.

Wegen

\[ \sin\phi+\cos\phi =\sqrt2\cos\!\left(\phi-\frac{\pi}{4}\right)\leq\sqrt2, \]

existiert ein solcher Bereich nur für

\[ \boxed{\beta>\frac{1}{\sqrt2}.} \]

Äquivalent dazu gilt für seine Winkelausdehnung bei jedem festen \(\beta>1/\sqrt2\)

\[ \left|\phi-\frac{\pi}{4}\right| < \arccos\!\left(\frac{1}{\sqrt2\,\beta}\right). \]

e) Maximale scheinbare Transversalgeschwindigkeit

Bei festem \(0<\beta<1\) differenzieren wir das Ergebnis aus (b):

\[ \frac{\mathrm d}{\mathrm d\phi} \left(\frac{v'_\perp}{c}\right) = \frac{\mathrm d}{\mathrm d\phi} \left(\frac{\beta\sin\phi}{1-\beta\cos\phi}\right) = \frac{\beta(\cos\phi-\beta)} {(1-\beta\cos\phi)^2}. \]

Die Ableitung wechselt von positiv zu negativ bei

\[ \cos\phi=\beta. \]

Da die scheinbare Transversalgeschwindigkeit sowohl bei \(\phi=0\) als auch bei \(\phi=\pi\) verschwindet, ist dieser stationäre Punkt das globale Maximum. Bei diesem Winkel gilt

\[ \sin\phi=\sqrt{1-\beta^2}, \qquad 1-\beta\cos\phi=1-\beta^2. \]

Daher ergibt sich

\[ \boxed{ (v'_\perp)_{\max} =\frac{\beta c}{\sqrt{1-\beta^2}}, \qquad \phi_{\max}=\arccos\beta. } \]

Für \(\beta\to1^{-}\) geht der Nenner gegen null, und die maximale scheinbare Geschwindigkeit wächst unbegrenzt. Für \(\beta=0\) ist die scheinbare Geschwindigkeit bei jedem Winkel null.

f) Bestimmung von \(\beta\) aus den Dopplerverschiebungen

Es sei

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}. \]

Für das erste Objekt lautet die gegebene Dopplerformel

\[ \lambda_1=\lambda_0\gamma(1-\beta\cos\phi). \]

Für das entgegengesetzt bewegte Objekt gilt \(\cos(\pi-\phi)=-\cos\phi\), woraus folgt

\[ \lambda_2=\lambda_0\gamma(1+\beta\cos\phi). \]

Durch Addition dieser Ausdrücke wird die Richtung eliminiert:

\[ \lambda_1+\lambda_2 =2\lambda_0\gamma =\frac{2\lambda_0}{\sqrt{1-\beta^2}}. \]

Somit gilt

\[ 1-\beta^2 =\frac{4\lambda_0^2}{(\lambda_1+\lambda_2)^2}, \]

und mit dem nichtnegativen Geschwindigkeitsbetrag erhalten wir

\[ \boxed{ \beta=\sqrt{1-\frac{4\lambda_0^2}{(\lambda_1+\lambda_2)^2}}, \qquad \alpha=4. } \]

Dies erklärt auch, wie die Entfernung bestimmt werden könnte. Aus den Winkelbewegungen ergibt sich

\[ X=\beta\cos\phi =\frac{\omega_1-\omega_2}{\omega_1+\omega_2}, \]

während die Wellenlängen \(\beta\) bestimmen. Daher ist \(\beta\sin\phi=\sqrt{\beta^2-X^2}\), und die in (c) hergeleitete Beziehung ergibt

\[ R= \frac{c(\omega_1+\omega_2)}{2\omega_1\omega_2} \sqrt{\beta^2-X^2}. \]

Somit bestimmen die kombinierten Winkel- und Wellenlängenmessungen \(R\), ohne dessen anfängliche Schätzung zu übernehmen.

Die Lösung wurde mit der offiziellen Lösung abgeglichen.

Çözüm

a) Açısal hareketler ve görünür enine hızlar

27 Mart tarihini \(t=0\) olarak alalım. İşaretli ölçeğin tüm uzunluğunu \(1''=1000\ \mathrm{mas}\) kabul ederek, her bileşenin kendi görüntüsündeki çarpı işaretinden açısal uzaklığını ölçelim. Kesikli izlerle belirtilen, dışarı doğru hareket eden iki bileşeni izleyelim. Merkezin her iki tarafında da açısal uzaklıkları pozitif alıyoruz.

Verilen şekilden okunan yaklaşık değerler şöyledir:

Yatay eksene \(t\)'yi, düşey eksene açısal uzaklığı yerleştirelim. Her nokta kümesi yaklaşık olarak bir doğru üzerinde yer alır; soldaki bileşenin eğimi daha büyüktür. Temsili doğrular şöyledir:

\[ \frac{\theta_1}{\mathrm{arcsec}} \simeq0.11+0.0175\,\frac{t}{\mathrm d}, \qquad \frac{\theta_2}{\mathrm{arcsec}} \simeq0.08+0.0090\,\frac{t}{\mathrm d}. \]

Dolayısıyla düşey ekseni kestikleri değerler yaklaşık olarak \(0.11''\) ve \(0.08''\)'dir; eğimleri ise

\[ \omega_1\simeq17.5\ \mathrm{mas/d}, \qquad \omega_2\simeq9.0\ \mathrm{mas/d}. \]

değerlerini verir.

Açılar son derece küçük olduğundan, \(\theta\) açısal yer değiştirmesine karşılık gelen enine yer değiştirme \(R\theta\)'dır. Dolayısıyla,

\[ v'_{i,\perp}=R\omega_i, \]

burada \(\omega_i\) saniye başına radyan cinsinden ifade edilmelidir. Gerekli dönüşümler şunlardır:

\[ R=12.5(3.09\times10^{19}) =3.8625\times10^{20}\ \mathrm m, \]

\[ 1\ \mathrm{mas} =\frac{\pi}{180\times3600\times1000}\ \mathrm{rad} =4.8481\times10^{-9}\ \mathrm{rad}, \]

ve dolayısıyla

\[ 1\ \mathrm{mas/d} =5.6113\times10^{-14}\ \mathrm{rad/s}. \]

Belirtilen uzaklıkta \(1\ \mathrm{mas/d}\),

\[ R(5.6113\times10^{-14}) =2.1674\times10^7\ \mathrm{m/s}. \]

değerine karşılık gelir.

Böylece

\[ v'_{1,\perp} \simeq17.5(2.1674\times10^7) \simeq3.8\times10^8\ \mathrm{m/s} \simeq1.3c, \]

\[ v'_{2,\perp} \simeq9.0(2.1674\times10^7) \simeq2.0\times10^8\ \mathrm{m/s} \simeq0.65c. \]

İlk değer \(c\)'yi aşmaktadır. Bu hızlar, sinyallerin Dünya'ya varışları arasındaki zaman aralığı kullanılarak elde edilir; bu aralık, sinyallerin yayımlanmaları arasındaki aralıktan farklıdır.

b) Işığın yol alma süresinin etkisi

Gözlemcinin ve merkezdeki kaynağın durgun olduğu eylemsiz referans sisteminde çalışalım. Bu sistemde iki sinyal \(\Delta t_{\mathrm e}\) zaman aralığıyla yayımlansın.

Bu aralıkta kaynak enine yönde

\[ \Delta x_\perp=v\sin\phi\,\Delta t_{\mathrm e}. \]

kadar yol alır.

Gözlemciye doğru yer değiştirmesi ise

\[ \Delta x_\parallel=v\cos\phi\,\Delta t_{\mathrm e}. \]

kadardır.

Uzaktaki bir gözlemci için ikinci sinyalin yolu yaklaşık \(\Delta x_\parallel\) kadar daha kısadır. Bu nedenle varış zamanları arasındaki aralık

\[ \Delta t_{\mathrm{obs}} =\Delta t_{\mathrm e}-\frac{\Delta x_\parallel}{c} =(1-\beta\cos\phi)\Delta t_{\mathrm e}. \]

olur.

Aynı ifade uzaklaşan bir kaynak için de geçerlidir: bu durumda \(\cos\phi<0\) olduğundan ikinci sinyal daha uzun bir yol alır.

Küçük açı yaklaşımında açısal yer değiştirme

\[ \Delta\theta\simeq\frac{\Delta x_\perp}{R}. \]

şeklindedir.

Böylece

\[ \boxed{ \omega=\frac{\Delta\theta}{\Delta t_{\mathrm{obs}}} =\frac{\beta c\sin\phi}{R(1-\beta\cos\phi)} } \]

ve

\[ \boxed{ v'_\perp=R\omega =\frac{\beta c\sin\phi}{1-\beta\cos\phi}. } \]

Burada kaynağın yer değiştirmesi \(R\)'ye kıyasla ihmal edilebilir olduğundan, gözlemler boyunca \(R\) ve \(\phi\) sabit kabul edilebilir.

Yaklaşan bir kaynak için ardışık sinyaller, yayımlanmaları arasındaki aralıktan daha kısa aralıklarla ulaşır. Enine yer değiştirmeyi bu kısalmış aralığa bölmek, kaynağın gerçek sürati \(v=\beta c<c\) olarak kalmasına rağmen \(v'_\perp>c\) sonucunu verebilir.

c) Gerçek süratin ve yönün belirlenmesi

İki hareket yönü, gözlemciye doğru olan yönle \(\phi\) ve \(\pi-\phi\) açılarını yapar. Enine hız büyüklükleri eşitken radyal bileşenleri zıt işaretlidir. Dolayısıyla,

\[ \frac{R\omega_1}{c} =\frac{\beta\sin\phi}{1-\beta\cos\phi}, \qquad \frac{R\omega_2}{c} =\frac{\beta\sin\phi}{1+\beta\cos\phi}. \]

Şu tanımları yapalım:

\[ X=\beta\cos\phi,\qquad Y=\beta\sin\phi. \]

O hâlde

\[ \omega_1(1-X)=\omega_2(1+X)=\frac{cY}{R}. \]

İlk iki ifadeyi eşitleyince

\[ \boxed{ X=\beta\cos\phi =\frac{\omega_1-\omega_2}{\omega_1+\omega_2}. } \]

elde edilir.

Bunu açısal hız denklemlerinden herhangi birinde yerine koyunca

\[ \boxed{ Y=\beta\sin\phi =\frac{2R\omega_1\omega_2}{c(\omega_1+\omega_2)}. } \]

elde edilir.

Dolayısıyla,

\[ \boxed{ \beta= \frac{\sqrt{(\omega_1-\omega_2)^2+ \left(2R\omega_1\omega_2/c\right)^2}} {\omega_1+\omega_2} } \]

ve \(0\leq\phi\leq\pi\) aralığının tamamında geçerli bir ifade

\[ \boxed{ \phi=\arccos\!\left[ \frac{\omega_1-\omega_2} {\beta(\omega_1+\omega_2)} \right]. } \]

şeklindedir.

Bu gözlemlerde \(\omega_1>\omega_2\) olduğundan \(\phi\) dar açıdır. Ayrıca şu ifadeyi de kullanabiliriz:

\[ \tan\phi=\frac{2R\omega_1\omega_2}{c(\omega_1-\omega_2)}. \]

(a) kısmındaki temsili açısal hızları kullanarak,

\[ X\simeq\frac{17.5-9.0}{17.5+9.0} \simeq0.321, \]

\[ Y\simeq0.859. \]

Böylece

\[ \beta\simeq\sqrt{0.321^2+0.859^2} \simeq0.917, \qquad \phi\simeq69.5^\circ. \]

Grafiğin izin verdiği duyarlıkla,

\[ \boxed{\beta\simeq0.92,\qquad \phi\simeq70^\circ.} \]

Gerçek sürat yaklaşık \(2.8\times10^8\ \mathrm{m/s}\)'dir. \(\beta\cos\phi>0\) olduğundan soldaki bileşen yaklaşmakta, sağdaki bileşen ise uzaklaşmaktadır.

d) Görünür hareketin ışık hızını aşma koşulu ve bölgesi

Maddesel bir kaynak için \(0\leq\beta<1\) olur. Bu nedenle \(1-\beta\cos\phi>0\)'dır ve \(v'_\perp>c\) koşulu

\[ \frac{\beta\sin\phi}{1-\beta\cos\phi}>1, \]

ya da

\[ \boxed{\beta(\sin\phi+\cos\phi)>1.} \]

biçimini alır.

\(\phi\geq\pi/2\) için \(v'_\perp/c\)'nin paydası en az bir, payı ise en fazla \(\beta<1\)'dir. Bu nedenle uzaklaşan ya da tam olarak enine hareket eden bir kaynak için ışık hızını aşan görünür hareket mümkün değildir. Enine hareketin sıfır olduğu \(\phi=0\) durumunda da bu mümkün değildir.

İlgili \(0<\phi<\pi/2\) aralığında,

\[ \boxed{\beta>f(\phi),\qquad f(\phi)=\frac{1}{\sin\phi+\cos\phi}.} \]

Böylece fiziksel koşulun tamamı

\[ \boxed{ 0<\phi<\frac{\pi}{2}, \qquad \frac{1}{\sin\phi+\cos\phi}<\beta<1. } \]

şeklindedir.

İstenen diyagramda fiziksel olarak anlamlı bölge

\[ 0\leq\beta<1,\qquad 0\leq\phi\leq\pi. \]

ile verilir.

\(\phi\)'yi yatay, \(\beta\)'yı düşey eksene yerleştirerek \(0\leq\phi\leq\pi/2\) aralığında eşik eğrisini çizelim. Çizimde yararlı olacak noktalar şunlardır:

Eğri \(\phi=\pi/4\)'e göre simetriktir. \(1\)'den minimum değeri olan \(1/\sqrt2\)'ye iner, ardından \(1\)'e yükselir. Bu eğrinin kesinlikle üstünde ve \(\beta=1\)'in kesinlikle altında kalan bölgeyi tarayalım. Eşik eğrisinin üzerinde \(v'_\perp=c\) olduğundan eğrinin kendisi taramaya dâhil edilmez. \(\phi\geq\pi/2\) bölgesinde hiçbir yer taranmaz.

Şu eşitsizlikten dolayı,

\[ \sin\phi+\cos\phi =\sqrt2\cos\!\left(\phi-\frac{\pi}{4}\right)\leq\sqrt2, \]

böyle bir bölge yalnızca

\[ \boxed{\beta>\frac{1}{\sqrt2}.} \]

olduğunda vardır.

Eş değer olarak, sabit herhangi bir \(\beta>1/\sqrt2\) için bu bölgenin açısal kapsamı

\[ \left|\phi-\frac{\pi}{4}\right| < \arccos\!\left(\frac{1}{\sqrt2\,\beta}\right). \]

ile verilir.

e) Maksimum görünür enine hız

Sabit \(0<\beta<1\) için (b) kısmındaki sonucun türevini alalım:

\[ \frac{\mathrm d}{\mathrm d\phi} \left(\frac{v'_\perp}{c}\right) = \frac{\mathrm d}{\mathrm d\phi} \left(\frac{\beta\sin\phi}{1-\beta\cos\phi}\right) = \frac{\beta(\cos\phi-\beta)} {(1-\beta\cos\phi)^2}. \]

Türev,

\[ \cos\phi=\beta. \]

olduğu noktada pozitiften negatife geçer.

Görünür enine hız hem \(\phi=0\) hem de \(\phi=\pi\) için sıfır olduğundan, bu durağan nokta mutlak maksimumdur. Bu açıda,

\[ \sin\phi=\sqrt{1-\beta^2}, \qquad 1-\beta\cos\phi=1-\beta^2. \]

Dolayısıyla,

\[ \boxed{ (v'_\perp)_{\max} =\frac{\beta c}{\sqrt{1-\beta^2}}, \qquad \phi_{\max}=\arccos\beta. } \]

\(\beta\to1^{-}\) iken payda sıfıra yaklaşır ve maksimum görünür hız sınırsız artar. \(\beta=0\) için görünür hız her açıda sıfırdır.

f) Doppler kaymalarından \(\beta\)'nın belirlenmesi

Şu tanımı yapalım:

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}. \]

Birinci cisim için verilen Doppler formülü şöyledir:

\[ \lambda_1=\lambda_0\gamma(1-\beta\cos\phi). \]

Zıt yönde hareket eden cisim için \(\cos(\pi-\phi)=-\cos\phi\) olduğundan,

\[ \lambda_2=\lambda_0\gamma(1+\beta\cos\phi). \]

Bu ifadeleri toplamak yön bağımlılığını ortadan kaldırır:

\[ \lambda_1+\lambda_2 =2\lambda_0\gamma =\frac{2\lambda_0}{\sqrt{1-\beta^2}}. \]

Böylece

\[ 1-\beta^2 =\frac{4\lambda_0^2}{(\lambda_1+\lambda_2)^2}, \]

ve süratin negatif olmadığını kullanarak,

\[ \boxed{ \beta=\sqrt{1-\frac{4\lambda_0^2}{(\lambda_1+\lambda_2)^2}}, \qquad \alpha=4. } \]

Bu sonuç, uzaklığın nasıl elde edilebileceğini de açıklar. Açısal hareketler

\[ X=\beta\cos\phi =\frac{\omega_1-\omega_2}{\omega_1+\omega_2}, \]

değerini belirlerken, dalga boyları \(\beta\)'yı belirler. Dolayısıyla \(\beta\sin\phi=\sqrt{\beta^2-X^2}\) olur ve (c) kısmında türetilen bağıntı

\[ R= \frac{c(\omega_1+\omega_2)}{2\omega_1\omega_2} \sqrt{\beta^2-X^2}. \]

sonucunu verir.

Böylece açısal ölçümler ile dalga boyu ölçümleri birlikte kullanılarak, başlangıçtaki tahmini benimsemeye gerek kalmadan \(R\) belirlenir.

Çözüm, resmi çözümle karşılaştırılarak kontrol edildi.

Solución

a) Movimientos angulares y velocidades transversales aparentes

Tomamos \(t=0\) el 27 de marzo. Medimos la distancia angular de cada componente a la cruz de su propia imagen, utilizando la longitud completa de la escala marcada como \(1''=1000\ \mathrm{mas}\). Seguimos los dos componentes que se alejan del centro, indicados por las trayectorias discontinuas. Utilizamos distancias angulares positivas a ambos lados del centro.

Las lecturas aproximadas de la figura proporcionada son:

Representamos \(t\) en el eje horizontal y la distancia angular en el vertical. Cada conjunto de puntos se sitúa aproximadamente sobre una recta; el componente de la izquierda tiene la mayor pendiente. Unas rectas representativas son

\[ \frac{\theta_1}{\mathrm{arcsec}} \simeq0.11+0.0175\,\frac{t}{\mathrm d}, \qquad \frac{\theta_2}{\mathrm{arcsec}} \simeq0.08+0.0090\,\frac{t}{\mathrm d}. \]

Así, sus ordenadas en el origen son aproximadamente \(0.11''\) y \(0.08''\), y sus pendientes dan

\[ \omega_1\simeq17.5\ \mathrm{mas/d}, \qquad \omega_2\simeq9.0\ \mathrm{mas/d}. \]

Los ángulos son extremadamente pequeños, por lo que el desplazamiento transversal correspondiente a un desplazamiento angular \(\theta\) es \(R\theta\). Por consiguiente,

\[ v'_{i,\perp}=R\omega_i, \]

donde \(\omega_i\) debe expresarse en radianes por segundo. Las conversiones necesarias son

\[ R=12.5(3.09\times10^{19}) =3.8625\times10^{20}\ \mathrm m, \]

\[ 1\ \mathrm{mas} =\frac{\pi}{180\times3600\times1000}\ \mathrm{rad} =4.8481\times10^{-9}\ \mathrm{rad}, \]

y, por tanto,

\[ 1\ \mathrm{mas/d} =5.6113\times10^{-14}\ \mathrm{rad/s}. \]

A la distancia indicada, \(1\ \mathrm{mas/d}\) corresponde a

\[ R(5.6113\times10^{-14}) =2.1674\times10^7\ \mathrm{m/s}. \]

Por tanto,

\[ v'_{1,\perp} \simeq17.5(2.1674\times10^7) \simeq3.8\times10^8\ \mathrm{m/s} \simeq1.3c, \]

\[ v'_{2,\perp} \simeq9.0(2.1674\times10^7) \simeq2.0\times10^8\ \mathrm{m/s} \simeq0.65c. \]

El primer valor supera \(c\). Estas velocidades se calculan utilizando el intervalo de tiempo entre las llegadas de las señales a la Tierra; ese intervalo difiere del intervalo entre sus emisiones.

b) Efecto del tiempo de propagación de la luz

Trabajamos en el sistema de referencia inercial en el que el observador y la fuente central están en reposo. Sean dos señales emitidas con un intervalo de tiempo \(\Delta t_{\mathrm e}\) entre ellas en este sistema.

Durante este intervalo, el emisor recorre una distancia transversal

\[ \Delta x_\perp=v\sin\phi\,\Delta t_{\mathrm e}. \]

Su desplazamiento hacia el observador es

\[ \Delta x_\parallel=v\cos\phi\,\Delta t_{\mathrm e}. \]

Para un observador lejano, el recorrido de la segunda señal es más corto en aproximadamente \(\Delta x_\parallel\). Por tanto, el intervalo entre los instantes de llegada es

\[ \Delta t_{\mathrm{obs}} =\Delta t_{\mathrm e}-\frac{\Delta x_\parallel}{c} =(1-\beta\cos\phi)\Delta t_{\mathrm e}. \]

La misma expresión es válida para una fuente que se aleja: en ese caso, \(\cos\phi<0\), por lo que la segunda señal recorre una distancia mayor.

En la aproximación de ángulos pequeños, el desplazamiento angular es

\[ \Delta\theta\simeq\frac{\Delta x_\perp}{R}. \]

Así,

\[ \boxed{ \omega=\frac{\Delta\theta}{\Delta t_{\mathrm{obs}}} =\frac{\beta c\sin\phi}{R(1-\beta\cos\phi)} } \]

y

\[ \boxed{ v'_\perp=R\omega =\frac{\beta c\sin\phi}{1-\beta\cos\phi}. } \]

Aquí, el desplazamiento de la fuente es despreciable frente a \(R\), lo que permite tratar \(R\) y \(\phi\) como constantes durante las observaciones.

Para un emisor que se acerca, las señales sucesivas llegan con un intervalo menor que el que separa sus emisiones. Dividir el desplazamiento transversal por este intervalo reducido puede dar \(v'_\perp>c\), aunque la velocidad real del emisor sigue siendo \(v=\beta c<c\).

c) Obtención de la velocidad y la dirección reales

Las dos direcciones forman ángulos \(\phi\) y \(\pi-\phi\) con la dirección hacia el observador. Los módulos de sus velocidades transversales son iguales, mientras que sus componentes radiales tienen signos opuestos. Por tanto,

\[ \frac{R\omega_1}{c} =\frac{\beta\sin\phi}{1-\beta\cos\phi}, \qquad \frac{R\omega_2}{c} =\frac{\beta\sin\phi}{1+\beta\cos\phi}. \]

Definimos

\[ X=\beta\cos\phi,\qquad Y=\beta\sin\phi. \]

Entonces

\[ \omega_1(1-X)=\omega_2(1+X)=\frac{cY}{R}. \]

Al igualar las dos primeras expresiones se obtiene

\[ \boxed{ X=\beta\cos\phi =\frac{\omega_1-\omega_2}{\omega_1+\omega_2}. } \]

Al sustituir en cualquiera de las ecuaciones de las velocidades angulares se obtiene

\[ \boxed{ Y=\beta\sin\phi =\frac{2R\omega_1\omega_2}{c(\omega_1+\omega_2)}. } \]

Por consiguiente,

\[ \boxed{ \beta= \frac{\sqrt{(\omega_1-\omega_2)^2+ \left(2R\omega_1\omega_2/c\right)^2}} {\omega_1+\omega_2} } \]

y una expresión válida en todo el intervalo \(0\leq\phi\leq\pi\) es

\[ \boxed{ \phi=\arccos\!\left[ \frac{\omega_1-\omega_2} {\beta(\omega_1+\omega_2)} \right]. } \]

En estas observaciones, \(\omega_1>\omega_2\), por lo que \(\phi\) es agudo. También podemos utilizar

\[ \tan\phi=\frac{2R\omega_1\omega_2}{c(\omega_1-\omega_2)}. \]

Utilizando las velocidades angulares representativas de (a),

\[ X\simeq\frac{17.5-9.0}{17.5+9.0} \simeq0.321, \]

\[ Y\simeq0.859. \]

Así,

\[ \beta\simeq\sqrt{0.321^2+0.859^2} \simeq0.917, \qquad \phi\simeq69.5^\circ. \]

Con la precisión que permite la gráfica,

\[ \boxed{\beta\simeq0.92,\qquad \phi\simeq70^\circ.} \]

La velocidad real es aproximadamente \(2.8\times10^8\ \mathrm{m/s}\). Como \(\beta\cos\phi>0\), el componente de la izquierda se acerca y el de la derecha se aleja.

d) Condición y región del movimiento superlumínico aparente

Para un emisor material, \(0\leq\beta<1\). Por tanto, \(1-\beta\cos\phi>0\), y la condición \(v'_\perp>c\) se convierte en

\[ \frac{\beta\sin\phi}{1-\beta\cos\phi}>1, \]

o bien

\[ \boxed{\beta(\sin\phi+\cos\phi)>1.} \]

Para \(\phi\geq\pi/2\), el denominador de \(v'_\perp/c\) es al menos uno, mientras que su numerador es como máximo \(\beta<1\). Por tanto, el movimiento superlumínico aparente es imposible para una fuente que se aleja o cuyo movimiento es exactamente transversal. También es imposible para \(\phi=0\), donde el movimiento transversal se anula.

En el intervalo pertinente \(0<\phi<\pi/2\),

\[ \boxed{\beta>f(\phi),\qquad f(\phi)=\frac{1}{\sin\phi+\cos\phi}.} \]

La condición física completa es, por tanto,

\[ \boxed{ 0<\phi<\frac{\pi}{2}, \qquad \frac{1}{\sin\phi+\cos\phi}<\beta<1. } \]

Para el diagrama solicitado, la región físicamente pertinente cumple

\[ 0\leq\beta<1,\qquad 0\leq\phi\leq\pi. \]

Con \(\phi\) en el eje horizontal y \(\beta\) en el vertical, dibujamos la curva umbral en \(0\leq\phi\leq\pi/2\). Algunos puntos útiles son:

La curva es simétrica respecto a \(\phi=\pi/4\). Desciende desde \(1\) hasta su mínimo \(1/\sqrt2\) y luego asciende hasta \(1\). Sombreamos la región situada estrictamente por encima de esta curva y estrictamente por debajo de \(\beta=1\). En la propia curva umbral se cumple \(v'_\perp=c\), por lo que queda excluida del sombreado. No se sombrea ninguna región con \(\phi\geq\pi/2\).

Como

\[ \sin\phi+\cos\phi =\sqrt2\cos\!\left(\phi-\frac{\pi}{4}\right)\leq\sqrt2, \]

esta región solo existe cuando

\[ \boxed{\beta>\frac{1}{\sqrt2}.} \]

De forma equivalente, para cualquier valor fijo \(\beta>1/\sqrt2\), su extensión angular es

\[ \left|\phi-\frac{\pi}{4}\right| < \arccos\!\left(\frac{1}{\sqrt2\,\beta}\right). \]

e) Velocidad transversal aparente máxima

Para un valor fijo \(0<\beta<1\), derivamos el resultado de (b):

\[ \frac{\mathrm d}{\mathrm d\phi} \left(\frac{v'_\perp}{c}\right) = \frac{\mathrm d}{\mathrm d\phi} \left(\frac{\beta\sin\phi}{1-\beta\cos\phi}\right) = \frac{\beta(\cos\phi-\beta)} {(1-\beta\cos\phi)^2}. \]

La derivada pasa de positiva a negativa donde

\[ \cos\phi=\beta. \]

Como la velocidad transversal aparente se anula tanto en \(\phi=0\) como en \(\phi=\pi\), este punto estacionario es el máximo global. En ese ángulo,

\[ \sin\phi=\sqrt{1-\beta^2}, \qquad 1-\beta\cos\phi=1-\beta^2. \]

Por tanto,

\[ \boxed{ (v'_\perp)_{\max} =\frac{\beta c}{\sqrt{1-\beta^2}}, \qquad \phi_{\max}=\arccos\beta. } \]

Cuando \(\beta\to1^{-}\), el denominador tiende a cero y la velocidad aparente máxima aumenta sin límite. Para \(\beta=0\), la velocidad aparente es cero en todos los ángulos.

f) Determinación de \(\beta\) a partir de los desplazamientos Doppler

Sea

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}. \]

Para el primer objeto, la fórmula Doppler dada es

\[ \lambda_1=\lambda_0\gamma(1-\beta\cos\phi). \]

Para el objeto que se mueve en sentido opuesto, \(\cos(\pi-\phi)=-\cos\phi\), lo que da

\[ \lambda_2=\lambda_0\gamma(1+\beta\cos\phi). \]

Al sumar estas expresiones se elimina la dirección:

\[ \lambda_1+\lambda_2 =2\lambda_0\gamma =\frac{2\lambda_0}{\sqrt{1-\beta^2}}. \]

Así,

\[ 1-\beta^2 =\frac{4\lambda_0^2}{(\lambda_1+\lambda_2)^2}, \]

y, tomando el módulo no negativo de la velocidad,

\[ \boxed{ \beta=\sqrt{1-\frac{4\lambda_0^2}{(\lambda_1+\lambda_2)^2}}, \qquad \alpha=4. } \]

Esto también explica cómo podría obtenerse la distancia. Los movimientos angulares determinan

\[ X=\beta\cos\phi =\frac{\omega_1-\omega_2}{\omega_1+\omega_2}, \]

mientras que las longitudes de onda determinan \(\beta\). Por tanto, \(\beta\sin\phi=\sqrt{\beta^2-X^2}\), y la relación deducida en (c) da

\[ R= \frac{c(\omega_1+\omega_2)}{2\omega_1\omega_2} \sqrt{\beta^2-X^2}. \]

Así, las mediciones combinadas de posiciones angulares y longitudes de onda determinan \(R\) sin adoptar su estimación inicial.

La solución se comprobó con la solución oficial.

解答

a) 角运动与视横向速度

取 3 月 27 日为 \(t=0\)。以图中标出的整段比例尺长度作为 \(1''=1000\ \mathrm{mas}\)，在各幅图像中测量每个分量到十字标记的角距离。沿虚线轨迹追踪两个向外运动的分量。中心两侧的角距离均取正值。

从所给图中读出的近似数值如下：

以 \(t\) 为横坐标、角距离为纵坐标作图。每组数据点都近似位于一条直线上；左侧分量对应的斜率较大。具有代表性的直线为

\[ \frac{\theta_1}{\mathrm{arcsec}} \simeq0.11+0.0175\,\frac{t}{\mathrm d}, \qquad \frac{\theta_2}{\mathrm{arcsec}} \simeq0.08+0.0090\,\frac{t}{\mathrm d}. \]

因此，它们在纵轴上的截距分别约为 \(0.11''\) 和 \(0.08''\)，由斜率可得

\[ \omega_1\simeq17.5\ \mathrm{mas/d}, \qquad \omega_2\simeq9.0\ \mathrm{mas/d}. \]

这些角度极小，因此角位移 \(\theta\) 所对应的横向位移为 \(R\theta\)。于是，

\[ v'_{i,\perp}=R\omega_i, \]

其中 \(\omega_i\) 必须以弧度每秒为单位。所需的单位换算为

\[ R=12.5(3.09\times10^{19}) =3.8625\times10^{20}\ \mathrm m, \]

\[ 1\ \mathrm{mas} =\frac{\pi}{180\times3600\times1000}\ \mathrm{rad} =4.8481\times10^{-9}\ \mathrm{rad}, \]

因而

\[ 1\ \mathrm{mas/d} =5.6113\times10^{-14}\ \mathrm{rad/s}. \]

在给定距离处，\(1\ \mathrm{mas/d}\) 对应于

\[ R(5.6113\times10^{-14}) =2.1674\times10^7\ \mathrm{m/s}. \]

所以

\[ v'_{1,\perp} \simeq17.5(2.1674\times10^7) \simeq3.8\times10^8\ \mathrm{m/s} \simeq1.3c, \]

\[ v'_{2,\perp} \simeq9.0(2.1674\times10^7) \simeq2.0\times10^8\ \mathrm{m/s} \simeq0.65c. \]

第一个数值超过了 \(c\)。计算这些速度时使用的是信号到达地球的时间间隔；这一间隔不同于信号发射的时间间隔。

b) 光传播时间的影响

在观测者和中心源均静止的惯性参考系中进行分析。设两个信号在此参考系中相隔 \(\Delta t_{\mathrm e}\) 发射。

在这一时间间隔内，辐射源移动的横向距离为

\[ \Delta x_\perp=v\sin\phi\,\Delta t_{\mathrm e}. \]

它沿朝向观测者方向的位移为

\[ \Delta x_\parallel=v\cos\phi\,\Delta t_{\mathrm e}. \]

对于远处的观测者，第二个信号的传播路程约缩短了 \(\Delta x_\parallel\)。因此，到达时间间隔为

\[ \Delta t_{\mathrm{obs}} =\Delta t_{\mathrm e}-\frac{\Delta x_\parallel}{c} =(1-\beta\cos\phi)\Delta t_{\mathrm e}. \]

同一表达式也适用于远离观测者的源：此时 \(\cos\phi<0\)，所以第二个信号传播的路程更长。

在小角近似下，角位移为

\[ \Delta\theta\simeq\frac{\Delta x_\perp}{R}. \]

因此

\[ \boxed{ \omega=\frac{\Delta\theta}{\Delta t_{\mathrm{obs}}} =\frac{\beta c\sin\phi}{R(1-\beta\cos\phi)} } \]

以及

\[ \boxed{ v'_\perp=R\omega =\frac{\beta c\sin\phi}{1-\beta\cos\phi}. } \]

这里，源的位移与 \(R\) 相比可以忽略，因此在观测期间可将 \(R\) 和 \(\phi\) 视为常量。

对于正在接近观测者的辐射源，连续信号到达的时间间隔比发射的时间间隔更短。用横向位移除以这个缩短的时间间隔，可能得到 \(v'_\perp>c\)，尽管辐射源的实际速率仍为 \(v=\beta c<c\)。

c) 求出真实速率和方向

两个运动方向与指向观测者的方向分别成 \(\phi\) 和 \(\pi-\phi\) 角。它们的横向速度大小相等，而径向分量的符号相反。因此，

\[ \frac{R\omega_1}{c} =\frac{\beta\sin\phi}{1-\beta\cos\phi}, \qquad \frac{R\omega_2}{c} =\frac{\beta\sin\phi}{1+\beta\cos\phi}. \]

令

\[ X=\beta\cos\phi,\qquad Y=\beta\sin\phi. \]

则

\[ \omega_1(1-X)=\omega_2(1+X)=\frac{cY}{R}. \]

令前两个表达式相等，得到

\[ \boxed{ X=\beta\cos\phi =\frac{\omega_1-\omega_2}{\omega_1+\omega_2}. } \]

将其代入任一角速度方程，得到

\[ \boxed{ Y=\beta\sin\phi =\frac{2R\omega_1\omega_2}{c(\omega_1+\omega_2)}. } \]

因此，

\[ \boxed{ \beta= \frac{\sqrt{(\omega_1-\omega_2)^2+ \left(2R\omega_1\omega_2/c\right)^2}} {\omega_1+\omega_2} } \]

而在整个 \(0\leq\phi\leq\pi\) 范围内适用的表达式为

\[ \boxed{ \phi=\arccos\!\left[ \frac{\omega_1-\omega_2} {\beta(\omega_1+\omega_2)} \right]. } \]

对于这些观测，\(\omega_1>\omega_2\)，因此 \(\phi\) 为锐角。我们也可以使用

\[ \tan\phi=\frac{2R\omega_1\omega_2}{c(\omega_1-\omega_2)}. \]

使用 (a) 中具有代表性的角速度值，

\[ X\simeq\frac{17.5-9.0}{17.5+9.0} \simeq0.321, \]

\[ Y\simeq0.859. \]

于是

\[ \beta\simeq\sqrt{0.321^2+0.859^2} \simeq0.917, \qquad \phi\simeq69.5^\circ. \]

按照图像所能支持的精度，

\[ \boxed{\beta\simeq0.92,\qquad \phi\simeq70^\circ.} \]

真实速率约为 \(2.8\times10^8\ \mathrm{m/s}\)。由于 \(\beta\cos\phi>0\)，左侧分量正在接近观测者，右侧分量则正在远离观测者。

d) 视超光速运动的条件和区域

对于实物辐射源，\(0\leq\beta<1\)。因此 \(1-\beta\cos\phi>0\)，条件 \(v'_\perp>c\) 变为

\[ \frac{\beta\sin\phi}{1-\beta\cos\phi}>1, \]

即

\[ \boxed{\beta(\sin\phi+\cos\phi)>1.} \]

当 \(\phi\geq\pi/2\) 时，\(v'_\perp/c\) 的分母至少为一，而分子至多为 \(\beta<1\)。因此，远离观测者或完全沿横向运动的源不可能出现视超光速运动。在 \(\phi=0\) 时，横向运动为零，也不可能出现这种现象。

在相关区间 \(0<\phi<\pi/2\) 内，

\[ \boxed{\beta>f(\phi),\qquad f(\phi)=\frac{1}{\sin\phi+\cos\phi}.} \]

因此，完整的物理条件为

\[ \boxed{ 0<\phi<\frac{\pi}{2}, \qquad \frac{1}{\sin\phi+\cos\phi}<\beta<1. } \]

对于题目要求的图，具有物理意义的区域满足

\[ 0\leq\beta<1,\qquad 0\leq\phi\leq\pi. \]

以 \(\phi\) 为横坐标、\(\beta\) 为纵坐标，在 \(0\leq\phi\leq\pi/2\) 范围内画出临界曲线。可用于作图的点如下：

曲线关于 \(\phi=\pi/4\) 对称。它从 \(1\) 下降到最小值 \(1/\sqrt2\)，然后上升到 \(1\)。将严格位于这条曲线上方且严格位于 \(\beta=1\) 下方的区域涂上阴影。在临界曲线本身上，\(v'_\perp=c\)，因此阴影不包括这条曲线。\(\phi\geq\pi/2\) 的区域不涂阴影。

由于

\[ \sin\phi+\cos\phi =\sqrt2\cos\!\left(\phi-\frac{\pi}{4}\right)\leq\sqrt2, \]

只有在下列条件成立时，这样的区域才存在：

\[ \boxed{\beta>\frac{1}{\sqrt2}.} \]

等价地，对于任意固定的 \(\beta>1/\sqrt2\)，其角度范围为

\[ \left|\phi-\frac{\pi}{4}\right| < \arccos\!\left(\frac{1}{\sqrt2\,\beta}\right). \]

e) 最大视横向速度

固定 \(0<\beta<1\)，对 (b) 的结果求导：

\[ \frac{\mathrm d}{\mathrm d\phi} \left(\frac{v'_\perp}{c}\right) = \frac{\mathrm d}{\mathrm d\phi} \left(\frac{\beta\sin\phi}{1-\beta\cos\phi}\right) = \frac{\beta(\cos\phi-\beta)} {(1-\beta\cos\phi)^2}. \]

导数在满足下式的位置由正变负：

\[ \cos\phi=\beta. \]

由于视横向速度在 \(\phi=0\) 和 \(\phi=\pi\) 处均为零，这个驻点对应全局最大值。在该角度处，

\[ \sin\phi=\sqrt{1-\beta^2}, \qquad 1-\beta\cos\phi=1-\beta^2. \]

因此，

\[ \boxed{ (v'_\perp)_{\max} =\frac{\beta c}{\sqrt{1-\beta^2}}, \qquad \phi_{\max}=\arccos\beta. } \]

当 \(\beta\to1^{-}\) 时，分母趋于零，最大视速度无限增大。对于 \(\beta=0\)，视速度在所有角度下均为零。

f) 由多普勒频移确定 \(\beta\)

令

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}. \]

对于第一个物体，给定的多普勒公式为

\[ \lambda_1=\lambda_0\gamma(1-\beta\cos\phi). \]

对于沿相反方向运动的物体，\(\cos(\pi-\phi)=-\cos\phi\)，从而

\[ \lambda_2=\lambda_0\gamma(1+\beta\cos\phi). \]

将这两个表达式相加，即可消去方向因素：

\[ \lambda_1+\lambda_2 =2\lambda_0\gamma =\frac{2\lambda_0}{\sqrt{1-\beta^2}}. \]

因此

\[ 1-\beta^2 =\frac{4\lambda_0^2}{(\lambda_1+\lambda_2)^2}, \]

取非负的速率，得到

\[ \boxed{ \beta=\sqrt{1-\frac{4\lambda_0^2}{(\lambda_1+\lambda_2)^2}}, \qquad \alpha=4. } \]

这也说明了如何求得距离。角运动可确定

\[ X=\beta\cos\phi =\frac{\omega_1-\omega_2}{\omega_1+\omega_2}, \]

而波长可确定 \(\beta\)。因此 \(\beta\sin\phi=\sqrt{\beta^2-X^2}\)，由 (c) 中推导出的关系可得

\[ R= \frac{c(\omega_1+\omega_2)}{2\omega_1\omega_2} \sqrt{\beta^2-X^2}. \]

因此，结合角运动和波长的测量即可确定 \(R\)，无需采用其初始估计值。

解答已与官方解答核对。

Решение

a) Угловое движение и кажущиеся поперечные скорости

Примем 27 марта за \(t=0\). Измерим угловое расстояние каждой компоненты от крестика на соответствующем изображении, принимая полную длину отмеченного масштабного отрезка за \(1''=1000\ \mathrm{mas}\). Проследим за двумя удаляющимися от центра компонентами, траектории которых обозначены штриховыми линиями. По обе стороны от центра будем считать угловые расстояния положительными.

Приближённые значения, считанные с данного рисунка:

Отложим \(t\) по горизонтальной оси, а угловое расстояние — по вертикальной. Точки каждого набора лежат приблизительно на прямой; у левой компоненты наклон больше. Подходящие прямые имеют вид

\[ \frac{\theta_1}{\mathrm{arcsec}} \simeq0.11+0.0175\,\frac{t}{\mathrm d}, \qquad \frac{\theta_2}{\mathrm{arcsec}} \simeq0.08+0.0090\,\frac{t}{\mathrm d}. \]

Таким образом, их ординаты при нулевом времени приблизительно равны \(0.11''\) и \(0.08''\), а угловые коэффициенты дают

\[ \omega_1\simeq17.5\ \mathrm{mas/d}, \qquad \omega_2\simeq9.0\ \mathrm{mas/d}. \]

Углы чрезвычайно малы, поэтому поперечное перемещение, соответствующее угловому смещению \(\theta\), равно \(R\theta\). Следовательно,

\[ v'_{i,\perp}=R\omega_i, \]

где \(\omega_i\) необходимо выразить в радианах в секунду. Нужные преобразования единиц:

\[ R=12.5(3.09\times10^{19}) =3.8625\times10^{20}\ \mathrm m, \]

\[ 1\ \mathrm{mas} =\frac{\pi}{180\times3600\times1000}\ \mathrm{rad} =4.8481\times10^{-9}\ \mathrm{rad}, \]

и, следовательно,

\[ 1\ \mathrm{mas/d} =5.6113\times10^{-14}\ \mathrm{rad/s}. \]

На указанном расстоянии \(1\ \mathrm{mas/d}\) соответствует

\[ R(5.6113\times10^{-14}) =2.1674\times10^7\ \mathrm{m/s}. \]

Отсюда

\[ v'_{1,\perp} \simeq17.5(2.1674\times10^7) \simeq3.8\times10^8\ \mathrm{m/s} \simeq1.3c, \]

\[ v'_{2,\perp} \simeq9.0(2.1674\times10^7) \simeq2.0\times10^8\ \mathrm{m/s} \simeq0.65c. \]

Первое значение превышает \(c\). Эти скорости вычислены с использованием интервала времени между приходами сигналов на Землю; этот интервал отличается от интервала между их испусканиями.

b) Влияние времени распространения света

Будем работать в инерциальной системе отсчёта, в которой наблюдатель и центральный источник неподвижны. Пусть в этой системе два сигнала испущены с интервалом времени \(\Delta t_{\mathrm e}\).

За этот интервал излучатель перемещается в поперечном направлении на расстояние

\[ \Delta x_\perp=v\sin\phi\,\Delta t_{\mathrm e}. \]

Его перемещение в направлении наблюдателя равно

\[ \Delta x_\parallel=v\cos\phi\,\Delta t_{\mathrm e}. \]

Для удалённого наблюдателя путь второго сигнала приблизительно на \(\Delta x_\parallel\) короче. Поэтому интервал между моментами прихода сигналов равен

\[ \Delta t_{\mathrm{obs}} =\Delta t_{\mathrm e}-\frac{\Delta x_\parallel}{c} =(1-\beta\cos\phi)\Delta t_{\mathrm e}. \]

Это же выражение применимо и к удаляющемуся источнику: в этом случае \(\cos\phi<0\), поэтому второй сигнал проходит больший путь.

В приближении малых углов угловое смещение равно

\[ \Delta\theta\simeq\frac{\Delta x_\perp}{R}. \]

Таким образом,

\[ \boxed{ \omega=\frac{\Delta\theta}{\Delta t_{\mathrm{obs}}} =\frac{\beta c\sin\phi}{R(1-\beta\cos\phi)} } \]

и

\[ \boxed{ v'_\perp=R\omega =\frac{\beta c\sin\phi}{1-\beta\cos\phi}. } \]

Здесь перемещение источника пренебрежимо мало по сравнению с \(R\), что позволяет считать \(R\) и \(\phi\) постоянными в течение наблюдений.

Для приближающегося излучателя последовательные сигналы приходят с меньшим интервалом, чем интервал между их испусканиями. Деление поперечного перемещения на этот сокращённый интервал может дать \(v'_\perp>c\), хотя истинная скорость излучателя остаётся равной \(v=\beta c<c\).

c) Определение истинной скорости и направления движения

Два направления движения образуют углы \(\phi\) и \(\pi-\phi\) с направлением на наблюдателя. Модули поперечных составляющих скоростей равны, а радиальные составляющие имеют противоположные знаки. Поэтому

\[ \frac{R\omega_1}{c} =\frac{\beta\sin\phi}{1-\beta\cos\phi}, \qquad \frac{R\omega_2}{c} =\frac{\beta\sin\phi}{1+\beta\cos\phi}. \]

Положим

\[ X=\beta\cos\phi,\qquad Y=\beta\sin\phi. \]

Тогда

\[ \omega_1(1-X)=\omega_2(1+X)=\frac{cY}{R}. \]

Приравнивая первые два выражения, получаем

\[ \boxed{ X=\beta\cos\phi =\frac{\omega_1-\omega_2}{\omega_1+\omega_2}. } \]

Подстановка в любое из уравнений для угловых скоростей даёт

\[ \boxed{ Y=\beta\sin\phi =\frac{2R\omega_1\omega_2}{c(\omega_1+\omega_2)}. } \]

Следовательно,

\[ \boxed{ \beta= \frac{\sqrt{(\omega_1-\omega_2)^2+ \left(2R\omega_1\omega_2/c\right)^2}} {\omega_1+\omega_2} } \]

а выражение, справедливое во всём интервале \(0\leq\phi\leq\pi\), имеет вид

\[ \boxed{ \phi=\arccos\!\left[ \frac{\omega_1-\omega_2} {\beta(\omega_1+\omega_2)} \right]. } \]

Для данных наблюдений \(\omega_1>\omega_2\), поэтому угол \(\phi\) острый. Можно также использовать

\[ \tan\phi=\frac{2R\omega_1\omega_2}{c(\omega_1-\omega_2)}. \]

Используя характерные значения угловых скоростей из (a), получаем

\[ X\simeq\frac{17.5-9.0}{17.5+9.0} \simeq0.321, \]

\[ Y\simeq0.859. \]

Таким образом,

\[ \beta\simeq\sqrt{0.321^2+0.859^2} \simeq0.917, \qquad \phi\simeq69.5^\circ. \]

С точностью, которую позволяет график,

\[ \boxed{\beta\simeq0.92,\qquad \phi\simeq70^\circ.} \]

Истинная скорость приблизительно равна \(2.8\times10^8\ \mathrm{m/s}\). Поскольку \(\beta\cos\phi>0\), левая компонента приближается, а правая удаляется.

d) Условие и область кажущегося сверхсветового движения

Для материального излучателя \(0\leq\beta<1\). Поэтому \(1-\beta\cos\phi>0\), и условие \(v'_\perp>c\) принимает вид

\[ \frac{\beta\sin\phi}{1-\beta\cos\phi}>1, \]

или

\[ \boxed{\beta(\sin\phi+\cos\phi)>1.} \]

При \(\phi\geq\pi/2\) знаменатель выражения для \(v'_\perp/c\) не меньше единицы, а числитель не превышает \(\beta<1\). Поэтому кажущееся сверхсветовое движение невозможно для источника, который удаляется или движется строго в поперечном направлении. Оно также невозможно при \(\phi=0\), когда поперечное движение отсутствует.

В соответствующем интервале \(0<\phi<\pi/2\)

\[ \boxed{\beta>f(\phi),\qquad f(\phi)=\frac{1}{\sin\phi+\cos\phi}.} \]

Таким образом, полное физическое условие имеет вид

\[ \boxed{ 0<\phi<\frac{\pi}{2}, \qquad \frac{1}{\sin\phi+\cos\phi}<\beta<1. } \]

На требуемой диаграмме физически допустимая область задаётся условиями

\[ 0\leq\beta<1,\qquad 0\leq\phi\leq\pi. \]

Отложив \(\phi\) по горизонтальной оси, а \(\beta\) по вертикальной, построим пороговую кривую на интервале \(0\leq\phi\leq\pi/2\). Для построения удобны следующие точки:

Кривая симметрична относительно \(\phi=\pi/4\). Она убывает от \(1\) до своего минимума \(1/\sqrt2\), а затем возрастает до \(1\). Заштрихуем область строго выше этой кривой и строго ниже \(\beta=1\). На самой пороговой кривой \(v'_\perp=c\), поэтому она не входит в заштрихованную область. При \(\phi\geq\pi/2\) заштрихованных областей нет.

Поскольку

\[ \sin\phi+\cos\phi =\sqrt2\cos\!\left(\phi-\frac{\pi}{4}\right)\leq\sqrt2, \]

такая область существует лишь при

\[ \boxed{\beta>\frac{1}{\sqrt2}.} \]

Эквивалентно, при любом фиксированном \(\beta>1/\sqrt2\) её угловые границы задаются условием

\[ \left|\phi-\frac{\pi}{4}\right| < \arccos\!\left(\frac{1}{\sqrt2\,\beta}\right). \]

e) Максимальная кажущаяся поперечная скорость

При фиксированном \(0<\beta<1\) продифференцируем результат пункта (b):

\[ \frac{\mathrm d}{\mathrm d\phi} \left(\frac{v'_\perp}{c}\right) = \frac{\mathrm d}{\mathrm d\phi} \left(\frac{\beta\sin\phi}{1-\beta\cos\phi}\right) = \frac{\beta(\cos\phi-\beta)} {(1-\beta\cos\phi)^2}. \]

Производная меняет знак с положительного на отрицательный при

\[ \cos\phi=\beta. \]

Поскольку кажущаяся поперечная скорость обращается в нуль как при \(\phi=0\), так и при \(\phi=\pi\), эта стационарная точка является точкой глобального максимума. При этом угле

\[ \sin\phi=\sqrt{1-\beta^2}, \qquad 1-\beta\cos\phi=1-\beta^2. \]

Следовательно,

\[ \boxed{ (v'_\perp)_{\max} =\frac{\beta c}{\sqrt{1-\beta^2}}, \qquad \phi_{\max}=\arccos\beta. } \]

При \(\beta\to1^{-}\) знаменатель стремится к нулю, и максимальная кажущаяся скорость неограниченно возрастает. При \(\beta=0\) кажущаяся скорость равна нулю при любом угле.

f) Определение \(\beta\) по доплеровским сдвигам

Пусть

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}. \]

Для первого объекта данная формула Доплера имеет вид

\[ \lambda_1=\lambda_0\gamma(1-\beta\cos\phi). \]

Для объекта, движущегося в противоположном направлении, \(\cos(\pi-\phi)=-\cos\phi\), откуда

\[ \lambda_2=\lambda_0\gamma(1+\beta\cos\phi). \]

Сложение этих выражений исключает зависимость от направления:

\[ \lambda_1+\lambda_2 =2\lambda_0\gamma =\frac{2\lambda_0}{\sqrt{1-\beta^2}}. \]

Таким образом,

\[ 1-\beta^2 =\frac{4\lambda_0^2}{(\lambda_1+\lambda_2)^2}, \]

и, выбирая неотрицательный модуль скорости, получаем

\[ \boxed{ \beta=\sqrt{1-\frac{4\lambda_0^2}{(\lambda_1+\lambda_2)^2}}, \qquad \alpha=4. } \]

Это также объясняет, как можно определить расстояние. Угловое движение позволяет найти

\[ X=\beta\cos\phi =\frac{\omega_1-\omega_2}{\omega_1+\omega_2}, \]

а длины волн позволяют определить \(\beta\). Поэтому \(\beta\sin\phi=\sqrt{\beta^2-X^2}\), и соотношение, полученное в (c), даёт

\[ R= \frac{c(\omega_1+\omega_2)}{2\omega_1\omega_2} \sqrt{\beta^2-X^2}. \]

Таким образом, совместные измерения углового движения и длин волн позволяют определить \(R\), не используя его первоначальную оценку.

Решение проверено по официальному решению.

الحل

a) الحركات الزاوية والسرعات العرضية الظاهرية

نأخذ \(t=0\) في 27 مارس. نقيس البعد الزاوي لكل مكوّن عن علامة التقاطع في صورته، باستخدام طول المقياس المحدد كاملًا بوصفه \(1''=1000\ \mathrm{mas}\). نتتبع المكوّنين المتحركين إلى الخارج والمشار إليهما بالمسارين المتقطعين. نستخدم أبعادًا زاوية موجبة على جانبي المركز.

القراءات التقريبية من الشكل المعطى هي:

نرسم \(t\) على المحور الأفقي والبعد الزاوي على المحور الرأسي. تقع كل مجموعة من النقاط تقريبًا على خط مستقيم؛ ويكون ميل خط المكوّن الأيسر أكبر. ومن الخطوط النموذجية

\[ \frac{\theta_1}{\mathrm{arcsec}} \simeq0.11+0.0175\,\frac{t}{\mathrm d}, \qquad \frac{\theta_2}{\mathrm{arcsec}} \simeq0.08+0.0090\,\frac{t}{\mathrm d}. \]

إذن مقطعا الخطين على المحور الرأسي يساويان تقريبًا \(0.11''\) و\(0.08''\)، ويعطي ميلاهما

\[ \omega_1\simeq17.5\ \mathrm{mas/d}, \qquad \omega_2\simeq9.0\ \mathrm{mas/d}. \]

الزوايا صغيرة للغاية، لذا فإن الإزاحة العرضية الموافقة لإزاحة زاوية \(\theta\) هي \(R\theta\). ومن ثم،

\[ v'_{i,\perp}=R\omega_i, \]

حيث يجب التعبير عن \(\omega_i\) بالراديان في الثانية. التحويلات المطلوبة هي

\[ R=12.5(3.09\times10^{19}) =3.8625\times10^{20}\ \mathrm m, \]

\[ 1\ \mathrm{mas} =\frac{\pi}{180\times3600\times1000}\ \mathrm{rad} =4.8481\times10^{-9}\ \mathrm{rad}, \]

وبالتالي

\[ 1\ \mathrm{mas/d} =5.6113\times10^{-14}\ \mathrm{rad/s}. \]

عند المسافة المذكورة، تقابل \(1\ \mathrm{mas/d}\) سرعة مقدارها

\[ R(5.6113\times10^{-14}) =2.1674\times10^7\ \mathrm{m/s}. \]

وعليه

\[ v'_{1,\perp} \simeq17.5(2.1674\times10^7) \simeq3.8\times10^8\ \mathrm{m/s} \simeq1.3c, \]

\[ v'_{2,\perp} \simeq9.0(2.1674\times10^7) \simeq2.0\times10^8\ \mathrm{m/s} \simeq0.65c. \]

تتجاوز القيمة الأولى \(c\). تُحسب هذه السرعات باستخدام الفاصل الزمني بين وصول الإشارات إلى الأرض؛ وهذا الفاصل يختلف عن الفاصل بين انبعاثاتها.

b) تأثير زمن انتقال الضوء

نعمل في الإطار العطالي الذي يكون فيه الراصد والمصدر المركزي ساكنين. لنفترض انبعاث إشارتين بفاصل زمني \(\Delta t_{\mathrm e}\) في هذا الإطار.

خلال هذا الفاصل، يتحرك المصدر مسافة عرضية

\[ \Delta x_\perp=v\sin\phi\,\Delta t_{\mathrm e}. \]

وإزاحته نحو الراصد هي

\[ \Delta x_\parallel=v\cos\phi\,\Delta t_{\mathrm e}. \]

بالنسبة إلى راصد بعيد، يكون مسار الإشارة الثانية أقصر بمقدار يقارب \(\Delta x_\parallel\). لذلك فإن الفاصل بين زمني الوصول هو

\[ \Delta t_{\mathrm{obs}} =\Delta t_{\mathrm e}-\frac{\Delta x_\parallel}{c} =(1-\beta\cos\phi)\Delta t_{\mathrm e}. \]

يشمل التعبير نفسه حالة مصدر مبتعد: عندئذ \(\cos\phi<0\)، فتقطع الإشارة الثانية مسافة أطول.

الإزاحة الزاوية، في تقريب الزوايا الصغيرة، هي

\[ \Delta\theta\simeq\frac{\Delta x_\perp}{R}. \]

إذن

\[ \boxed{ \omega=\frac{\Delta\theta}{\Delta t_{\mathrm{obs}}} =\frac{\beta c\sin\phi}{R(1-\beta\cos\phi)} } \]

و

\[ \boxed{ v'_\perp=R\omega =\frac{\beta c\sin\phi}{1-\beta\cos\phi}. } \]

هنا تكون إزاحة المصدر مهملة مقارنةً بـ \(R\)، مما يسمح باعتبار \(R\) و\(\phi\) ثابتتين خلال الرصد.

بالنسبة إلى مصدر مقترب، تصل الإشارات المتتالية بفواصل زمنية أقصر من فواصل انبعاثها. وقد تعطي قسمة الإزاحة العرضية على هذا الفاصل المختصر \(v'_\perp>c\)، مع أن السرعة الفعلية للمصدر تبقى \(v=\beta c<c\).

c) استنتاج السرعة الحقيقية والاتجاه

يصنع الاتجاهان زاويتين \(\phi\) و\(\pi-\phi\) مع الاتجاه نحو الراصد. يتساوى مقدارا مركبتي السرعة العرضيتين، بينما تكون للمركبتين الشعاعيتين إشارتان متعاكستان. لذلك،

\[ \frac{R\omega_1}{c} =\frac{\beta\sin\phi}{1-\beta\cos\phi}, \qquad \frac{R\omega_2}{c} =\frac{\beta\sin\phi}{1+\beta\cos\phi}. \]

نضع

\[ X=\beta\cos\phi,\qquad Y=\beta\sin\phi. \]

عندئذ

\[ \omega_1(1-X)=\omega_2(1+X)=\frac{cY}{R}. \]

بمساواة التعبيرين الأولين نحصل على

\[ \boxed{ X=\beta\cos\phi =\frac{\omega_1-\omega_2}{\omega_1+\omega_2}. } \]

بالتعويض في أي من معادلتي السرعة الزاوية نحصل على

\[ \boxed{ Y=\beta\sin\phi =\frac{2R\omega_1\omega_2}{c(\omega_1+\omega_2)}. } \]

ومن ثم،

\[ \boxed{ \beta= \frac{\sqrt{(\omega_1-\omega_2)^2+ \left(2R\omega_1\omega_2/c\right)^2}} {\omega_1+\omega_2} } \]

وتعبير صالح في كامل المجال \(0\leq\phi\leq\pi\) هو

\[ \boxed{ \phi=\arccos\!\left[ \frac{\omega_1-\omega_2} {\beta(\omega_1+\omega_2)} \right]. } \]

في هذه الأرصاد، \(\omega_1>\omega_2\)، لذا فإن \(\phi\) حادة. ويمكننا أيضًا استخدام

\[ \tan\phi=\frac{2R\omega_1\omega_2}{c(\omega_1-\omega_2)}. \]

باستخدام قيم السرعتين النموذجية من (a)،

\[ X\simeq\frac{17.5-9.0}{17.5+9.0} \simeq0.321, \]

\[ Y\simeq0.859. \]

إذن

\[ \beta\simeq\sqrt{0.321^2+0.859^2} \simeq0.917, \qquad \phi\simeq69.5^\circ. \]

بالدقة التي يتيحها الرسم البياني،

\[ \boxed{\beta\simeq0.92,\qquad \phi\simeq70^\circ.} \]

السرعة الحقيقية تساوي تقريبًا \(2.8\times10^8\ \mathrm{m/s}\). وبما أن \(\beta\cos\phi>0\)، فإن المكوّن الأيسر يقترب والمكوّن الأيمن يبتعد.

d) شرط الحركة الظاهرية الأسرع من الضوء ومنطقتها

بالنسبة إلى مصدر مادي، \(0\leq\beta<1\). ومن ثم \(1-\beta\cos\phi>0\)، ويصبح الشرط \(v'_\perp>c\)

\[ \frac{\beta\sin\phi}{1-\beta\cos\phi}>1, \]

أو

\[ \boxed{\beta(\sin\phi+\cos\phi)>1.} \]

عندما \(\phi\geq\pi/2\)، يكون مقام \(v'_\perp/c\) مساويًا للواحد على الأقل، بينما لا يتجاوز بسطه \(\beta<1\). لذلك تستحيل الحركة الظاهرية الأسرع من الضوء لمصدر مبتعد أو متحرك في اتجاه عرضي تمامًا. كما أنها مستحيلة عند \(\phi=0\)، حيث تنعدم الحركة العرضية.

ضمن المجال المعني \(0<\phi<\pi/2\)،

\[ \boxed{\beta>f(\phi),\qquad f(\phi)=\frac{1}{\sin\phi+\cos\phi}.} \]

إذن الشرط الفيزيائي الكامل هو

\[ \boxed{ 0<\phi<\frac{\pi}{2}, \qquad \frac{1}{\sin\phi+\cos\phi}<\beta<1. } \]

في الرسم المطلوب، تحقق المنطقة ذات المعنى الفيزيائي

\[ 0\leq\beta<1,\qquad 0\leq\phi\leq\pi. \]

مع وضع \(\phi\) على المحور الأفقي و\(\beta\) على المحور الرأسي، نرسم منحنى العتبة على المجال \(0\leq\phi\leq\pi/2\). ومن النقاط المفيدة لرسمه:

المنحنى متناظر حول \(\phi=\pi/4\). يتناقص من \(1\) إلى قيمته الصغرى \(1/\sqrt2\)، ثم يرتفع إلى \(1\). نظلل المنطقة الواقعة فوق هذا المنحنى تمامًا وتحت \(\beta=1\) تمامًا. وعلى منحنى العتبة نفسه تكون \(v'_\perp=c\)، لذا يُستثنى من التظليل. ولا تُظلَّل أي منطقة عند \(\phi\geq\pi/2\).

بما أن

\[ \sin\phi+\cos\phi =\sqrt2\cos\!\left(\phi-\frac{\pi}{4}\right)\leq\sqrt2, \]

فإن هذه المنطقة لا توجد إلا عندما

\[ \boxed{\beta>\frac{1}{\sqrt2}.} \]

وبصورة مكافئة، لأي قيمة ثابتة \(\beta>1/\sqrt2\)، يكون امتدادها الزاوي

\[ \left|\phi-\frac{\pi}{4}\right| < \arccos\!\left(\frac{1}{\sqrt2\,\beta}\right). \]

e) السرعة العرضية الظاهرية العظمى

عند تثبيت \(0<\beta<1\)، نشتق نتيجة (b):

\[ \frac{\mathrm d}{\mathrm d\phi} \left(\frac{v'_\perp}{c}\right) = \frac{\mathrm d}{\mathrm d\phi} \left(\frac{\beta\sin\phi}{1-\beta\cos\phi}\right) = \frac{\beta(\cos\phi-\beta)} {(1-\beta\cos\phi)^2}. \]

تتغير إشارة المشتقة من موجبة إلى سالبة حيث

\[ \cos\phi=\beta. \]

بما أن السرعة العرضية الظاهرية تنعدم عند كل من \(\phi=0\) و\(\phi=\pi\)، فإن هذه النقطة الساكنة تمثل القيمة العظمى المطلقة. وعند تلك الزاوية،

\[ \sin\phi=\sqrt{1-\beta^2}, \qquad 1-\beta\cos\phi=1-\beta^2. \]

لذلك،

\[ \boxed{ (v'_\perp)_{\max} =\frac{\beta c}{\sqrt{1-\beta^2}}, \qquad \phi_{\max}=\arccos\beta. } \]

عندما \(\beta\to1^{-}\)، يؤول المقام إلى الصفر وتزداد السرعة الظاهرية العظمى بلا حد. وعند \(\beta=0\)، تكون السرعة الظاهرية صفرًا عند كل زاوية.

f) تحديد \(\beta\) من انزياحي دوبلر

لتكن

\[ \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}. \]

بالنسبة إلى الجسم الأول، تكون صيغة دوبلر المعطاة

\[ \lambda_1=\lambda_0\gamma(1-\beta\cos\phi). \]

بالنسبة إلى الجسم المتحرك في الاتجاه المعاكس، \(\cos(\pi-\phi)=-\cos\phi\)، مما يعطي

\[ \lambda_2=\lambda_0\gamma(1+\beta\cos\phi). \]

بجمع هذين التعبيرين يُحذف الاعتماد على الاتجاه:

\[ \lambda_1+\lambda_2 =2\lambda_0\gamma =\frac{2\lambda_0}{\sqrt{1-\beta^2}}. \]

إذن

\[ 1-\beta^2 =\frac{4\lambda_0^2}{(\lambda_1+\lambda_2)^2}, \]

وبأخذ مقدار السرعة غير السالب،

\[ \boxed{ \beta=\sqrt{1-\frac{4\lambda_0^2}{(\lambda_1+\lambda_2)^2}}, \qquad \alpha=4. } \]

يوضح هذا أيضًا كيفية إيجاد المسافة. فالحركات الزاوية تحدد

\[ X=\beta\cos\phi =\frac{\omega_1-\omega_2}{\omega_1+\omega_2}, \]

بينما تحدد الأطوال الموجية \(\beta\). لذلك \(\beta\sin\phi=\sqrt{\beta^2-X^2}\)، وتعطي العلاقة المشتقة في (c)

\[ R= \frac{c(\omega_1+\omega_2)}{2\omega_1\omega_2} \sqrt{\beta^2-X^2}. \]

وهكذا تحدد قياسات الزوايا والأطوال الموجية مجتمعةً \(R\) دون اعتماد تقديرها الأولي.

تمت مراجعة الحل بمقارنته بالحل الرسمي.