A hollow sphere of radius \(R = 0.5\ \mathrm{m}\) rotates about a vertical axis through its centre with an angular velocity of \(\omega = 5\ \mathrm{s}^{-1}\). Inside the sphere a small block is moving together with the sphere at the height of \(R/2\) (Fig. 6). (\(g = 10\ \mathrm{m/s^2}\).)

a) What should be at least the coefficient of friction to fulfill this condition?

b) Find the minimal coefficient of friction also for the case of \(\omega = 8\ \mathrm{s}^{-1}\).

c) Investigate the problem of stability in both cases,

α) for a small change of the position of the block,

β) for a small change of the angular velocity of the sphere.

Figure 6

Official English text of the problem.

The walls of a cylinder of base \(1\,\mathrm{dm}^2\), the piston and the inner dividing wall are perfect heat insulators (Fig. 10). The valve in the dividing wall opens if the pressure on the right side is greater than on the left side. Initially there is \(12\,\mathrm{g}\) helium in the left side and \(2\,\mathrm{g}\) helium in the right side. The lengths of both sides are \(11.2\,\mathrm{dm}\) each and the temperature is \(0^\circ\mathrm{C}\). Outside we have a pressure of \(100\,\mathrm{kPa}\).

The specific heat at constant volume is \(c_v=3.15\,\mathrm{J/gK}\), at constant pressure it is \(c_p=5.25\,\mathrm{J/gK}\). The piston is pushed slowly towards the dividing wall. When the valve opens we stop then continue pushing slowly until the wall is reached. Find the work done on the piston by us.

Figure 10

Official English text of the problem.

Somewhere in a glass sphere there is an air bubble. Describe methods how to determine the diameter of the bubble without damaging the sphere.

Official English text of the problem.

Eine Hohlkugel mit dem Radius \(R = 0.5\ \mathrm{m}\) rotiert mit einer Winkelgeschwindigkeit von \(\omega = 5\ \mathrm{s}^{-1}\) um eine vertikale Achse durch ihren Mittelpunkt. Im Inneren der Kugel bewegt sich ein kleiner Körper in der Höhe \(R/2\) zusammen mit der Kugel (Abb. 6). (\(g = 10\ \mathrm{m/s^2}\).)

a) Wie groß muss der Reibungskoeffizient mindestens sein, damit diese Bedingung erfüllt ist?

b) Bestimmen Sie den minimalen Reibungskoeffizienten auch für den Fall \(\omega = 8\ \mathrm{s}^{-1}\).

c) Untersuchen Sie die Stabilität in beiden Fällen,

α) bei einer kleinen Änderung der Position des Körpers,

β) bei einer kleinen Änderung der Winkelgeschwindigkeit der Kugel.

Abbildung 6

Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt.

Die Wände eines Zylinders mit einer Grundfläche von \(1\,\mathrm{dm}^2\), der Kolben und die innere Trennwand sind vollkommen wärmeisolierend (Abb. 10). Das Ventil in der Trennwand öffnet sich, wenn der Druck auf der rechten Seite größer ist als auf der linken Seite. Anfangs befinden sich auf der linken Seite \(12\,\mathrm{g}\) Helium und auf der rechten Seite \(2\,\mathrm{g}\) Helium. Beide Kammern sind jeweils \(11.2\,\mathrm{dm}\) lang, und die Temperatur beträgt \(0^\circ\mathrm{C}\). Außen herrscht ein Druck von \(100\,\mathrm{kPa}\).

Die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen beträgt \(c_v=3.15\,\mathrm{J/gK}\), bei konstantem Druck beträgt sie \(c_p=5.25\,\mathrm{J/gK}\). Der Kolben wird langsam in Richtung der Trennwand geschoben. Wenn sich das Ventil öffnet, halten wir an und schieben anschließend langsam weiter, bis die Trennwand erreicht ist. Bestimmen Sie die von uns am Kolben verrichtete Arbeit.

Abbildung 10

Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt.

Irgendwo in einer Glaskugel befindet sich eine Luftblase. Beschreiben Sie Methoden, mit denen sich der Durchmesser der Blase bestimmen lässt, ohne die Kugel zu beschädigen.

Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt.

Yarıçapı \(R = 0.5\ \mathrm{m}\) olan içi boş bir küre, merkezinden geçen düşey bir eksen etrafında \(\omega = 5\ \mathrm{s}^{-1}\) açısal hızıyla dönmektedir. Kürenin içindeki küçük bir blok, \(R/2\) yüksekliğinde küreyle birlikte hareket etmektedir (Şekil 6). (\(g = 10\ \mathrm{m/s^2}\).)

a) Bu koşulun sağlanması için sürtünme katsayısı en az ne olmalıdır?

b) \(\omega = 8\ \mathrm{s}^{-1}\) durumu için de en küçük sürtünme katsayısını bulunuz.

c) Her iki durumda da kararlılığı,

α) bloğun konumundaki küçük bir değişim için,

β) kürenin açısal hızındaki küçük bir değişim için inceleyiniz.

Şekil 6

Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir.

Taban alanı \(1\,\mathrm{dm}^2\) olan bir silindirin duvarları, pistonu ve iç bölme duvarı kusursuz ısı yalıtkanlarıdır (Şekil 10). Bölme duvarındaki valf, sağ taraftaki basınç sol taraftakinden büyük olduğunda açılır. Başlangıçta sol tarafta \(12\,\mathrm{g}\), sağ tarafta ise \(2\,\mathrm{g}\) helyum vardır. Her iki tarafın uzunluğu da \(11.2\,\mathrm{dm}\), sıcaklık ise \(0^\circ\mathrm{C}\)'dir. Dışarıdaki basınç \(100\,\mathrm{kPa}\)'dır.

Sabit hacimde özgül ısı \(c_v=3.15\,\mathrm{J/gK}\), sabit basınçta özgül ısı ise \(c_p=5.25\,\mathrm{J/gK}\)'dir. Piston, bölme duvarına doğru yavaşça itilir. Valf açıldığında durur, ardından duvara ulaşılıncaya kadar yavaşça itmeye devam ederiz. Piston üzerinde yaptığımız işi bulunuz.

Şekil 10

Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir.

Bir cam kürenin bir yerinde hava kabarcığı bulunmaktadır. Küreye zarar vermeden kabarcığın çapının nasıl belirlenebileceğine ilişkin yöntemler açıklayınız.

Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir.

Una esfera hueca de radio \(R = 0.5\ \mathrm{m}\) gira alrededor de un eje vertical que pasa por su centro con una velocidad angular de \(\omega = 5\ \mathrm{s}^{-1}\). En el interior de la esfera, un bloque pequeño se mueve junto con ella a una altura de \(R/2\) (Fig. 6). (\(g = 10\ \mathrm{m/s^2}\).)

a) ¿Cuál debe ser el coeficiente de rozamiento mínimo para que se cumpla esta condición?

b) Halle también el coeficiente de rozamiento mínimo para el caso de \(\omega = 8\ \mathrm{s}^{-1}\).

c) Estudie la estabilidad en ambos casos,

α) ante un pequeño cambio de la posición del bloque,

β) ante un pequeño cambio de la velocidad angular de la esfera.

Figura 6

Enunciado traducido del texto oficial en inglés.

Las paredes de un cilindro de base \(1\,\mathrm{dm}^2\), el pistón y el tabique interior son aislantes térmicos perfectos (Fig. 10). La válvula del tabique se abre si la presión del lado derecho es mayor que la del lado izquierdo. Inicialmente hay \(12\,\mathrm{g}\) de helio en el lado izquierdo y \(2\,\mathrm{g}\) de helio en el lado derecho. Las longitudes de ambos lados son de \(11.2\,\mathrm{dm}\) cada una y la temperatura es de \(0^\circ\mathrm{C}\). En el exterior, la presión es de \(100\,\mathrm{kPa}\).

El calor específico a volumen constante es \(c_v=3.15\,\mathrm{J/gK}\), y a presión constante es \(c_p=5.25\,\mathrm{J/gK}\). Se empuja lentamente el pistón hacia el tabique. Cuando se abre la válvula, nos detenemos y luego seguimos empujando lentamente hasta alcanzar el tabique. Determine el trabajo que realizamos sobre el pistón.

Figura 10

Enunciado traducido del texto oficial en inglés.

En algún lugar del interior de una esfera de vidrio hay una burbuja de aire. Describa métodos para determinar el diámetro de la burbuja sin dañar la esfera.

Enunciado traducido del texto oficial en inglés.

一个半径为 \(R = 0.5\ \mathrm{m}\) 的空心球绕通过球心的竖直轴以角速度 \(\omega = 5\ \mathrm{s}^{-1}\) 旋转。球内有一个小物块，在距球底 \(R/2\) 的高度处随球一起运动（图 6）。（\(g = 10\ \mathrm{m/s^2}\)。）

a) 要满足这一条件，摩擦系数至少应为多少？

b) 对于 \(\omega = 8\ \mathrm{s}^{-1}\) 的情况，也求出最小摩擦系数。

c) 研究这两种情况下的稳定性问题，

α) 当物块的位置发生微小变化时，

β) 当球的角速度发生微小变化时。

图 6

题目译自官方英文原文。

一个底面积为 \(1\,\mathrm{dm}^2\) 的气缸，其缸壁、活塞和内部隔板均完全绝热（图 10）。当隔板右侧的压强大于左侧的压强时，隔板上的阀门便会打开。初始时，左侧有 \(12\,\mathrm{g}\) 氦气，右侧有 \(2\,\mathrm{g}\) 氦气。两侧的长度均为 \(11.2\,\mathrm{dm}\)，温度为 \(0^\circ\mathrm{C}\)。外界压强为 \(100\,\mathrm{kPa}\)。

定容比热容为 \(c_v=3.15\,\mathrm{J/gK}\)，定压比热容为 \(c_p=5.25\,\mathrm{J/gK}\)。将活塞缓慢推向隔板。当阀门打开时，我们停止推动，然后继续缓慢推动，直至活塞到达隔板。求我们对活塞所做的功。

图 10

题目译自官方英文原文。

一个玻璃球内部的某处有一个气泡。请说明如何在不损坏玻璃球的情况下测定气泡的直径。

题目译自官方英文原文。

Полая сфера радиусом \(R = 0.5\ \mathrm{m}\) вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через её центр, с угловой скоростью \(\omega = 5\ \mathrm{s}^{-1}\). Внутри сферы небольшой брусок движется вместе со сферой на высоте \(R/2\) (рис. 6). (\(g = 10\ \mathrm{m/s^2}\).)

a) Каков должен быть минимальный коэффициент трения, чтобы это условие выполнялось?

b) Найдите минимальный коэффициент трения также для случая \(\omega = 8\ \mathrm{s}^{-1}\).

c) Исследуйте устойчивость в обоих случаях,

α) при малом изменении положения бруска,

β) при малом изменении угловой скорости сферы.

Рисунок 6

Условие переведено с официального английского текста.

Стенки цилиндра с площадью основания \(1\,\mathrm{dm}^2\), поршень и внутренняя перегородка являются идеальными теплоизоляторами (рис. 10). Клапан в перегородке открывается, если давление справа больше давления слева. Первоначально в левой части находится \(12\,\mathrm{g}\) гелия, а в правой — \(2\,\mathrm{g}\) гелия. Длина каждой из двух частей составляет \(11.2\,\mathrm{dm}\), а температура равна \(0^\circ\mathrm{C}\). Внешнее давление составляет \(100\,\mathrm{kPa}\).

Удельная теплоёмкость при постоянном объёме равна \(c_v=3.15\,\mathrm{J/gK}\), а при постоянном давлении — \(c_p=5.25\,\mathrm{J/gK}\). Мы медленно перемещаем поршень к перегородке. Когда клапан открывается, мы останавливаемся, а затем продолжаем медленно перемещать поршень до соприкосновения с перегородкой. Найдите работу, совершённую нами над поршнем.

Рисунок 10

Условие переведено с официального английского текста.

В некотором месте внутри стеклянного шара находится воздушный пузырёк. Опишите способы определения диаметра пузырька без повреждения шара.

Условие переведено с официального английского текста.

تدور كرة مجوفة نصف قطرها \(R = 0.5\ \mathrm{m}\) حول محور رأسي يمر بمركزها بسرعة زاوية مقدارها \(\omega = 5\ \mathrm{s}^{-1}\). ويتحرك داخل الكرة جسم صغير مع الكرة عند ارتفاع \(R/2\) (الشكل 6). (\(g = 10\ \mathrm{m/s^2}\).)

a) ما أقل قيمة يجب أن يكون عليها معامل الاحتكاك لتحقيق هذا الشرط؟

b) أوجد أيضًا أقل قيمة لمعامل الاحتكاك في حالة \(\omega = 8\ \mathrm{s}^{-1}\).

c) ادرس مسألة الاستقرار في كلتا الحالتين،

α) عند حدوث تغير صغير في موضع الجسم،

β) عند حدوث تغير صغير في السرعة الزاوية للكرة.

الشكل 6

نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي.

جدران أسطوانة مساحة قاعدتها \(1\,\mathrm{dm}^2\)، ومكبسها، وحاجزها الداخلي الفاصل، كلها عوازل حرارية مثالية (الشكل 10). ينفتح الصمام الموجود في الحاجز الفاصل إذا كان الضغط في الجانب الأيمن أكبر منه في الجانب الأيسر. يوجد في البداية \(12\,\mathrm{g}\) من الهيليوم في الجانب الأيسر و\(2\,\mathrm{g}\) من الهيليوم في الجانب الأيمن. يبلغ طول كل من الجانبين \(11.2\,\mathrm{dm}\)، ودرجة الحرارة هي \(0^\circ\mathrm{C}\). أما الضغط الخارجي فيبلغ \(100\,\mathrm{kPa}\).

السعة الحرارية النوعية عند ثبوت الحجم هي \(c_v=3.15\,\mathrm{J/gK}\)، وعند ثبوت الضغط هي \(c_p=5.25\,\mathrm{J/gK}\). يُدفع المكبس ببطء نحو الحاجز الفاصل. عندما ينفتح الصمام نتوقف، ثم نواصل الدفع ببطء حتى يصل المكبس إلى الحاجز. أوجد الشغل الذي نبذله على المكبس.

الشكل 10

نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي.

توجد فقاعة هواء في موضع ما داخل كرة زجاجية. صف طرائق لتحديد قطر الفقاعة دون إتلاف الكرة.

نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي.