IPhO 1976 · Theory problem 3
Measuring an air bubble inside a glass sphere
Somewhere in a glass sphere there is an air bubble. Describe methods how to determine the diameter of the bubble without damaging the sphere.
Official English text of the problem.
Answers
Problem 3. Three possible nondestructive methods are:
- Weighing: Measure the sphere’s outer diameter \(D\) and mass \(m\). If the glass density is \(\rho_g\), neglecting the mass of air, \[ \boxed{d=\left(D^3-\frac{6m}{\pi\rho_g}\right)^{1/3}}. \]
- Optical immersion: Immerse the sphere in a liquid with the same refractive index as the glass. Measure the bubble’s transverse outline with calibrated optics. If its image diameter is \(L\) and the transverse magnification is \(M\), \[ \boxed{d=\frac{L}{M}}. \]
- Radiography: Use a parallel X-ray beam and measure the bubble’s projected diameter. With a calibrated image scale, this gives its actual diameter directly.
No numerical data are supplied.
Solution
We assume that the glass is homogeneous and that the bubble is spherical, as is implicit in asking for its diameter. Write the outer radius as \(R=D/2\) and the bubble radius as \(r=d/2\). The bubble need not be at the centre of the glass sphere.
Weighing
Measure \(D\) with calipers and \(m\) with a balance. The glass density must be known independently, for example from a separate specimen of the same glass.
The outer volume and bubble volume are \[ V=\frac{\pi D^3}{6}, \qquad v=\frac{\pi d^3}{6}. \] If the density of the air inside the bubble is \(\rho_a\), conservation of mass gives \[ m=\rho_g(V-v)+\rho_a v =\rho_gV-(\rho_g-\rho_a)v. \] Consequently, \[ \boxed{ d=\left[ \frac{\rho_gD^3-6m/\pi}{\rho_g-\rho_a} \right]^{1/3} }. \] Ordinarily \(\rho_a\ll\rho_g\), giving \[ \boxed{d=\left(D^3-\frac{6m}{\pi\rho_g}\right)^{1/3}}. \]
The result is independent of the bubble’s position. For a small bubble, this method requires precise measurements: the missing mass is only approximately the fraction \((d/D)^3\) of the mass of a solid glass sphere.
Optical measurement in an index-matching liquid
Place the sphere in a transparent tank containing a liquid whose refractive index equals that of the glass. Use monochromatic light if necessary so that dispersion does not prevent accurate matching.
At the outer surface, Snell’s law becomes \[ n_g\sin i=n_\ell\sin t. \] Since \(n_\ell=n_g\), we have \(t=i\): the outer spherical boundary no longer bends the rays. The bubble remains visible because the air and glass have different refractive indices.
View through a flat tank window, perpendicular to the viewing direction. Use parallel viewing rays—for example, a telecentric imaging system—or a travelling microscope whose axis remains perpendicular to the window.
The limiting rays defining the bubble’s outline are tangent to the bubble. Approached from outside the outline, these rays remain entirely in the glass and matching liquid, so they are not refracted by the air cavity. The perpendicular projection of a sphere is a circle of its true diameter, regardless of its depth.
Thus, if a travelling microscope records the two opposite edges at transverse positions \(x_L\) and \(x_R\), \[ \boxed{d=|x_R-x_L|}. \] Alternatively, a calibrated image with transverse magnification \(M\) gives \[ \boxed{d=L/M}. \]
X-ray transmission
Illuminate the sphere with a sufficiently penetrating, approximately parallel X-ray beam and record its transmitted intensity. Neglect ray bending and scattering. Air attenuates the beam much less than glass, so the bubble produces a region of enhanced transmission.
For a ray at transverse distance \(s\) from the projected bubble centre, the length of glass replaced by air is \[ \ell_b(s)= \begin{cases} 2\sqrt{r^2-s^2},&s<r,\\ 0,&s\ge r. \end{cases} \] If \(\mu_g\) and \(\mu_a\) are the linear attenuation coefficients, the Beer–Lambert law gives \[ \frac{I}{I_{\mathrm{solid}}} =\exp\!\left[(\mu_g-\mu_a)\ell_b(s)\right], \] where \(I_{\mathrm{solid}}\) is the transmission through an otherwise identical solid glass sphere.
The enhanced-transmission region therefore ends at \(s=r\), giving a circular projection of diameter \(d\). With parallel rays, the bubble’s position along the beam does not affect its projected size. If the recorded outer-sphere and bubble diameters are \(L_s\) and \(L_b\), respectively, \[ \boxed{d=D\frac{L_b}{L_s}}. \]
The solution was checked against the official solution.
IPhO 1976 · Theorieaufgabe 3
Vermessung einer Luftblase im Inneren einer Glaskugel
Irgendwo in einer Glaskugel befindet sich eine Luftblase. Beschreiben Sie Methoden, mit denen sich der Durchmesser der Blase bestimmen lässt, ohne die Kugel zu beschädigen.
Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt.
Antworten
Aufgabe 3. Drei mögliche zerstörungsfreie Methoden sind:
- Wägung: Man misst den Außendurchmesser \(D\) und die Masse \(m\) der Kugel. Ist die Dichte des Glases \(\rho_g\), so gilt unter Vernachlässigung der Masse der Luft: \[ \boxed{d=\left(D^3-\frac{6m}{\pi\rho_g}\right)^{1/3}}. \]
- Optische Immersion: Man taucht die Kugel in eine Flüssigkeit mit demselben Brechungsindex wie das Glas. Mit einer kalibrierten Optik misst man den Umriss der Blase quer zur Beobachtungsrichtung. Sind ihr Bilddurchmesser \(L\) und der transversale Abbildungsmaßstab \(M\), so gilt \[ \boxed{d=\frac{L}{M}}. \]
- Radiographie: Man verwendet ein paralleles Röntgenstrahlenbündel und misst den Durchmesser der Projektion der Blase. Bei kalibriertem Bildmaßstab ergibt sich daraus unmittelbar ihr tatsächlicher Durchmesser.
Es sind keine Zahlenwerte angegeben.
Lösung
Wir nehmen an, dass das Glas homogen und die Blase kugelförmig ist, wie es die Frage nach ihrem Durchmesser implizit voraussetzt. Wir bezeichnen den Außenradius mit \(R=D/2\) und den Radius der Blase mit \(r=d/2\). Die Blase muss sich nicht im Mittelpunkt der Glaskugel befinden.
Wägung
Man misst \(D\) mit einem Messschieber und \(m\) mit einer Waage. Die Dichte des Glases muss unabhängig davon bekannt sein, beispielsweise aus einer separaten Probe desselben Glases.
Das Außenvolumen und das Volumen der Blase sind \[ V=\frac{\pi D^3}{6}, \qquad v=\frac{\pi d^3}{6}. \] Ist die Dichte der Luft im Inneren der Blase \(\rho_a\), so ergibt sich aus der Massenerhaltung \[ m=\rho_g(V-v)+\rho_a v =\rho_gV-(\rho_g-\rho_a)v. \] Folglich gilt \[ \boxed{ d=\left[ \frac{\rho_gD^3-6m/\pi}{\rho_g-\rho_a} \right]^{1/3} }. \] Gewöhnlich gilt \(\rho_a\ll\rho_g\), sodass sich ergibt: \[ \boxed{d=\left(D^3-\frac{6m}{\pi\rho_g}\right)^{1/3}}. \]
Das Ergebnis ist unabhängig von der Lage der Blase. Bei einer kleinen Blase erfordert diese Methode präzise Messungen: Die fehlende Masse beträgt nur ungefähr den Bruchteil \((d/D)^3\) der Masse einer massiven Glaskugel.
Optische Messung in einer Flüssigkeit mit angepasstem Brechungsindex
Man legt die Kugel in einen durchsichtigen Behälter mit einer Flüssigkeit, deren Brechungsindex dem des Glases entspricht. Falls erforderlich, verwendet man monochromatisches Licht, damit die Dispersion eine genaue Anpassung nicht verhindert.
An der Außenfläche lautet das Snelliussche Brechungsgesetz \[ n_g\sin i=n_\ell\sin t. \] Da \(n_\ell=n_g\), gilt \(t=i\): Die äußere kugelförmige Grenzfläche lenkt die Strahlen nicht mehr ab. Die Blase bleibt sichtbar, weil Luft und Glas unterschiedliche Brechungsindizes besitzen.
Man beobachtet durch ein ebenes Fenster des Behälters, das senkrecht zur Beobachtungsrichtung steht. Dabei verwendet man parallele Beobachtungsstrahlen – beispielsweise ein telezentrisches Abbildungssystem – oder ein verschiebbares Messmikroskop, dessen Achse stets senkrecht zum Fenster bleibt.
Die Grenzstrahlen, die den Umriss der Blase bestimmen, berühren die Blase tangential. Nähert man sich ihnen von außerhalb des Umrisses, so verlaufen diese Strahlen vollständig im Glas und in der Flüssigkeit mit angepasstem Brechungsindex und werden daher am luftgefüllten Hohlraum nicht gebrochen. Die senkrechte Projektion einer Kugel ist unabhängig von ihrer Tiefe ein Kreis mit ihrem tatsächlichen Durchmesser.
Erfasst ein verschiebbares Messmikroskop die beiden gegenüberliegenden Ränder an den Querpositionen \(x_L\) und \(x_R\), so gilt daher \[ \boxed{d=|x_R-x_L|}. \] Alternativ ergibt ein kalibriertes Bild mit dem transversalen Abbildungsmaßstab \(M\) \[ \boxed{d=L/M}. \]
Röntgendurchstrahlung
Man bestrahlt die Kugel mit einem ausreichend durchdringenden, annähernd parallelen Röntgenstrahlenbündel und zeichnet die durchgelassene Intensität auf. Strahlablenkung und Streuung werden vernachlässigt. Luft schwächt das Strahlenbündel wesentlich weniger als Glas, sodass die Blase einen Bereich erhöhter Transmission erzeugt.
Für einen Strahl im Querabstand \(s\) vom projizierten Mittelpunkt der Blase beträgt die Länge des durch Luft ersetzten Glasabschnitts \[ \ell_b(s)= \begin{cases} 2\sqrt{r^2-s^2},&s<r,\\ 0,&s\ge r. \end{cases} \] Sind \(\mu_g\) und \(\mu_a\) die linearen Schwächungskoeffizienten, so liefert das Lambert-Beersche Gesetz \[ \frac{I}{I_{\mathrm{solid}}} =\exp\!\left[(\mu_g-\mu_a)\ell_b(s)\right], \] wobei \(I_{\mathrm{solid}}\) die durch eine ansonsten identische massive Glaskugel durchgelassene Intensität ist.
Der Bereich erhöhter Transmission endet daher bei \(s=r\), sodass sich eine kreisförmige Projektion mit dem Durchmesser \(d\) ergibt. Bei parallelen Strahlen beeinflusst die Lage der Blase entlang des Strahlenbündels ihre projizierte Größe nicht. Sind die aufgezeichneten Durchmesser der äußeren Kugel beziehungsweise der Blase \(L_s\) und \(L_b\), so gilt \[ \boxed{d=D\frac{L_b}{L_s}}. \]
Die Lösung wurde mit der offiziellen Lösung abgeglichen.
IPhO 1976 · Teori sorusu 3
Bir cam kürenin içindeki hava kabarcığının ölçülmesi
Bir cam kürenin bir yerinde hava kabarcığı bulunmaktadır. Küreye zarar vermeden kabarcığın çapının nasıl belirlenebileceğine ilişkin yöntemler açıklayınız.
Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir.
Cevaplar
Soru 3. Kullanılabilecek üç tahribatsız yöntem şunlardır:
- Tartma: Kürenin dış çapını \(D\) ve kütlesini \(m\) ölçün. Camın yoğunluğu \(\rho_g\) ise, havanın kütlesi ihmal edildiğinde, \[ \boxed{d=\left(D^3-\frac{6m}{\pi\rho_g}\right)^{1/3}}. \]
- Optik daldırma: Küreyi camla aynı kırılma indisine sahip bir sıvıya daldırın. Kabarcığın enine doğrultudaki dış sınırını kalibre edilmiş optik araçlarla ölçün. Görüntü çapı \(L\) ve enine büyütme \(M\) ise, \[ \boxed{d=\frac{L}{M}}. \]
- Radyografi: Paralel bir X-ışını demeti kullanın ve kabarcığın izdüşümünün çapını ölçün. Kalibre edilmiş bir görüntü ölçeğiyle bu ölçüm, kabarcığın gerçek çapını doğrudan verir.
Sayısal veri verilmemiştir.
Çözüm
Camın homojen olduğunu ve çapının sorulmasının örtük olarak gerektirdiği üzere kabarcığın küresel olduğunu varsayıyoruz. Dış yarıçapı \(R=D/2\), kabarcığın yarıçapını ise \(r=d/2\) olarak gösterelim. Kabarcığın cam kürenin merkezinde bulunması gerekmez.
Tartma
\(D\)'yi kumpasla, \(m\)'yi ise teraziyle ölçün. Camın yoğunluğu bağımsız olarak, örneğin aynı camdan alınmış ayrı bir numuneden, bilinmelidir.
Dış hacim ve kabarcığın hacmi şöyledir: \[ V=\frac{\pi D^3}{6}, \qquad v=\frac{\pi d^3}{6}. \] Kabarcığın içindeki havanın yoğunluğu \(\rho_a\) ise kütlenin korunumu şunu verir: \[ m=\rho_g(V-v)+\rho_a v =\rho_gV-(\rho_g-\rho_a)v. \] Dolayısıyla, \[ \boxed{ d=\left[ \frac{\rho_gD^3-6m/\pi}{\rho_g-\rho_a} \right]^{1/3} }. \] Genellikle \(\rho_a\ll\rho_g\) olduğundan, \[ \boxed{d=\left(D^3-\frac{6m}{\pi\rho_g}\right)^{1/3}}. \]
Sonuç, kabarcığın konumundan bağımsızdır. Küçük bir kabarcık için bu yöntem hassas ölçümler gerektirir: eksik kütle, içi dolu bir cam kürenin kütlesinin yalnızca yaklaşık \((d/D)^3\) kadarıdır.
Kırılma indisi eşleştirilmiş bir sıvıda optik ölçüm
Küreyi, kırılma indisi camınkiyle aynı olan bir sıvı içeren saydam bir kaba yerleştirin. Gerekirse, dispersiyonun indislerin hassas biçimde eşleştirilmesini engellememesi için tek renkli ışık kullanın.
Dış yüzeyde Snell yasası şu biçimi alır: \[ n_g\sin i=n_\ell\sin t. \] \(n_\ell=n_g\) olduğundan \(t=i\) olur: dıştaki küresel sınır artık ışınların yönünü değiştirmez. Hava ve camın kırılma indisleri farklı olduğu için kabarcık görünür kalır.
Kabın bakış doğrultusuna dik olan düz bir penceresinden gözlem yapın. Paralel gözlem ışınları kullanın—örneğin telesentrik bir görüntüleme sistemi—ya da ekseni pencereye dik kalacak şekilde hareket ettirilen bir ölçüm mikroskobu kullanın.
Kabarcığın dış sınırını belirleyen sınır ışınları kabarcığa teğettir. Dış sınıra dışarıdan yaklaşıldığında bu ışınlar bütünüyle camın ve indisi eşleştirilmiş sıvının içinde kalır; dolayısıyla hava boşluğu tarafından kırılmazlar. Bir kürenin dik izdüşümü, derinliğinden bağımsız olarak, gerçek çapına eşit çapta bir dairedir.
Böylece, hareketli bir ölçüm mikroskobu karşılıklı iki kenarı enine doğrultudaki \(x_L\) ve \(x_R\) konumlarında kaydederse, \[ \boxed{d=|x_R-x_L|}. \] Alternatif olarak, enine büyütmesi \(M\) olan kalibre edilmiş bir görüntü şunu verir: \[ \boxed{d=L/M}. \]
X-ışını geçirimi
Küreye, yeterli nüfuz etme gücüne sahip, yaklaşık olarak paralel bir X-ışını demeti gönderin ve geçen ışının şiddetini kaydedin. Işınların yön değiştirmesini ve saçılmayı ihmal edin. Hava, demeti cama göre çok daha az zayıflattığından kabarcık, geçirimin arttığı bir bölge oluşturur.
Kabarcık merkezinin izdüşümünden enine doğrultuda \(s\) uzaklığındaki bir ışın için, camın yerini havanın aldığı yolun uzunluğu şöyledir: \[ \ell_b(s)= \begin{cases} 2\sqrt{r^2-s^2},&s<r,\\ 0,&s\ge r. \end{cases} \] \(\mu_g\) ve \(\mu_a\) doğrusal zayıflatma katsayıları ise Beer–Lambert yasası şunu verir: \[ \frac{I}{I_{\mathrm{solid}}} =\exp\!\left[(\mu_g-\mu_a)\ell_b(s)\right], \] burada \(I_{\mathrm{solid}}\), diğer tüm özellikleri aynı olan içi dolu bir cam küreden geçen ışının şiddetidir.
Dolayısıyla geçirimin arttığı bölge \(s=r\)'de sona erer ve çapı \(d\) olan dairesel bir izdüşüm verir. Paralel ışınlar kullanıldığında, kabarcığın demet doğrultusundaki konumu izdüşümünün boyutunu etkilemez. Kaydedilen görüntüde kürenin dış çapı ve kabarcığın çapı sırasıyla \(L_s\) ve \(L_b\) ise, \[ \boxed{d=D\frac{L_b}{L_s}}. \]
Çözüm, resmi çözümle karşılaştırılarak kontrol edildi.
IPhO 1976 · Problema teórico 3
Medición de una burbuja de aire en el interior de una esfera de vidrio
En algún lugar del interior de una esfera de vidrio hay una burbuja de aire. Describa métodos para determinar el diámetro de la burbuja sin dañar la esfera.
Enunciado traducido del texto oficial en inglés.
Respuestas
Problema 3. Tres posibles métodos no destructivos son:
- Pesaje: Mida el diámetro exterior \(D\) y la masa \(m\) de la esfera. Si la densidad del vidrio es \(\rho_g\), despreciando la masa del aire, \[ \boxed{d=\left(D^3-\frac{6m}{\pi\rho_g}\right)^{1/3}}. \]
- Inmersión óptica: Sumerja la esfera en un líquido con el mismo índice de refracción que el vidrio. Mida el contorno transversal de la burbuja con un sistema óptico calibrado. Si el diámetro de su imagen es \(L\) y el aumento transversal es \(M\), \[ \boxed{d=\frac{L}{M}}. \]
- Radiografía: Utilice un haz paralelo de rayos X y mida el diámetro proyectado de la burbuja. Con una escala de imagen calibrada, se obtiene directamente su diámetro real.
No se proporcionan datos numéricos.
Solución
Suponemos que el vidrio es homogéneo y que la burbuja es esférica, como está implícito al preguntar por su diámetro. Denotemos el radio exterior por \(R=D/2\) y el radio de la burbuja por \(r=d/2\). La burbuja no tiene por qué estar en el centro de la esfera de vidrio.
Pesaje
Mida \(D\) con un calibre y \(m\) con una balanza. La densidad del vidrio debe conocerse de forma independiente, por ejemplo, a partir de una muestra separada del mismo vidrio.
El volumen exterior y el volumen de la burbuja son \[ V=\frac{\pi D^3}{6}, \qquad v=\frac{\pi d^3}{6}. \] Si la densidad del aire en el interior de la burbuja es \(\rho_a\), la conservación de la masa da \[ m=\rho_g(V-v)+\rho_a v =\rho_gV-(\rho_g-\rho_a)v. \] Por consiguiente, \[ \boxed{ d=\left[ \frac{\rho_gD^3-6m/\pi}{\rho_g-\rho_a} \right]^{1/3} }. \] Habitualmente \(\rho_a\ll\rho_g\), lo que da \[ \boxed{d=\left(D^3-\frac{6m}{\pi\rho_g}\right)^{1/3}}. \]
El resultado es independiente de la posición de la burbuja. Para una burbuja pequeña, este método requiere mediciones precisas: la masa que falta representa tan solo, aproximadamente, la fracción \((d/D)^3\) de la masa de una esfera maciza de vidrio.
Medición óptica en un líquido con el mismo índice de refracción
Coloque la esfera en un recipiente transparente que contenga un líquido cuyo índice de refracción sea igual al del vidrio. Utilice luz monocromática si es necesario para que la dispersión no impida igualar los índices con precisión.
En la superficie exterior, la ley de Snell toma la forma \[ n_g\sin i=n_\ell\sin t. \] Como \(n_\ell=n_g\), tenemos \(t=i\): la superficie esférica exterior deja de desviar los rayos. La burbuja sigue siendo visible porque el aire y el vidrio tienen índices de refracción diferentes.
Observe a través de una ventana plana del recipiente, perpendicular a la dirección de observación. Utilice rayos de observación paralelos —por ejemplo, un sistema de formación de imágenes telecéntrico— o un microscopio de desplazamiento cuyo eje permanezca perpendicular a la ventana.
Los rayos límite que definen el contorno de la burbuja son tangentes a ella. Al aproximarse a estos rayos desde el exterior del contorno, los rayos permanecen íntegramente en el vidrio y en el líquido de igual índice de refracción, por lo que no son refractados por la cavidad de aire. La proyección perpendicular de una esfera es un círculo de su diámetro real, independientemente de su profundidad.
Así, si un microscopio de desplazamiento registra los dos bordes opuestos en las posiciones transversales \(x_L\) y \(x_R\), \[ \boxed{d=|x_R-x_L|}. \] Como alternativa, una imagen calibrada con aumento transversal \(M\) da \[ \boxed{d=L/M}. \]
Transmisión de rayos X
Ilumine la esfera con un haz de rayos X suficientemente penetrante y aproximadamente paralelo, y registre su intensidad transmitida. Desprecie la desviación y la dispersión de los rayos. El aire atenúa el haz mucho menos que el vidrio, por lo que la burbuja produce una región de mayor transmisión.
Para un rayo situado a una distancia transversal \(s\) del centro proyectado de la burbuja, la longitud de vidrio sustituida por aire es \[ \ell_b(s)= \begin{cases} 2\sqrt{r^2-s^2},&s<r,\\ 0,&s\ge r. \end{cases} \] Si \(\mu_g\) y \(\mu_a\) son los coeficientes de atenuación lineal, la ley de Beer–Lambert da \[ \frac{I}{I_{\mathrm{solid}}} =\exp\!\left[(\mu_g-\mu_a)\ell_b(s)\right], \] donde \(I_{\mathrm{solid}}\) es la transmisión a través de una esfera maciza de vidrio idéntica en todo lo demás.
Por tanto, la región de mayor transmisión termina en \(s=r\), dando una proyección circular de diámetro \(d\). Con rayos paralelos, la posición de la burbuja a lo largo del haz no afecta a su tamaño proyectado. Si los diámetros registrados de la esfera exterior y de la burbuja son \(L_s\) y \(L_b\), respectivamente, \[ \boxed{d=D\frac{L_b}{L_s}}. \]
La solución se comprobó con la solución oficial.
IPhO 1976 · 理论题 3
测量玻璃球内部的气泡
一个玻璃球内部的某处有一个气泡。请说明如何在不损坏玻璃球的情况下测定气泡的直径。
题目译自官方英文原文。
答案
题目 3. 三种可行的无损测量方法如下：
- 称重法： 测量玻璃球的外径 \(D\) 和质量 \(m\)。若玻璃的密度为 \(\rho_g\)，忽略空气的质量，则 \[ \boxed{d=\left(D^3-\frac{6m}{\pi\rho_g}\right)^{1/3}}. \]
- 光学浸液法： 将玻璃球浸入折射率与玻璃相同的液体中。使用经过标定的光学仪器测量气泡的横向轮廓。若其像的直径为 \(L\)，横向放大率为 \(M\)，则 \[ \boxed{d=\frac{L}{M}}. \]
- 射线照相法： 使用平行 X 射线束，测量气泡的投影直径。利用经过标定的图像比例尺，即可直接得到气泡的实际直径。
题目未给出数值数据。
解答
我们假设玻璃是均匀的，且气泡为球形；题目要求测定气泡的直径，已隐含了后一个假设。记玻璃球的外半径为 \(R=D/2\)，气泡半径为 \(r=d/2\)。气泡不一定处于玻璃球的中心。
称重法
用卡尺测量 \(D\)，用天平测量 \(m\)。玻璃的密度必须通过独立的方法确定，例如测量同种玻璃的另一块样品。
玻璃球的外部总体积和气泡的体积分别为 \[ V=\frac{\pi D^3}{6}, \qquad v=\frac{\pi d^3}{6}. \] 若气泡内空气的密度为 \(\rho_a\)，由质量守恒可得 \[ m=\rho_g(V-v)+\rho_a v =\rho_gV-(\rho_g-\rho_a)v. \] 因此， \[ \boxed{ d=\left[ \frac{\rho_gD^3-6m/\pi}{\rho_g-\rho_a} \right]^{1/3} }. \] 通常 \(\rho_a\ll\rho_g\)，于是有 \[ \boxed{d=\left(D^3-\frac{6m}{\pi\rho_g}\right)^{1/3}}. \]
这一结果与气泡的位置无关。对于小气泡，这种方法要求精确测量：缺少的质量仅约为实心玻璃球质量的 \((d/D)^3\)。
在折射率匹配液体中的光学测量
将玻璃球放入透明槽中，槽内盛有折射率与玻璃相等的液体。必要时使用单色光，以免色散妨碍折射率的精确匹配。
在玻璃球的外表面，斯涅尔定律写为 \[ n_g\sin i=n_\ell\sin t. \] 由于 \(n_\ell=n_g\)，有 \(t=i\)：外部球形界面不再使光线偏折。由于空气和玻璃的折射率不同，气泡仍然可见。
透过槽上垂直于观察方向的平面窗口进行观察。使用平行的观察光线，例如采用远心成像系统，或者使用光轴始终垂直于窗口的读数显微镜。
界定气泡轮廓的极限光线与气泡相切。从轮廓外侧趋近这些极限光线时，光线始终完全位于玻璃和折射率匹配液体中，因此不会被空气空腔折射。球体的正投影是一个直径等于其真实直径的圆，与球体所处的深度无关。
因此，若读数显微镜记录到气泡两侧相对边缘的横向位置为 \(x_L\) 和 \(x_R\)，则 \[ \boxed{d=|x_R-x_L|}. \] 或者，利用横向放大率为 \(M\) 的经过标定的图像，可得 \[ \boxed{d=L/M}. \]
X 射线透射法
用穿透能力足够强、近似平行的 X 射线束照射玻璃球，并记录透射强度。忽略射线的偏折和散射。空气对射线束的衰减远小于玻璃，因此气泡会形成一个透射增强的区域。
对于一条与气泡投影中心的横向距离为 \(s\) 的射线，沿射线路径被空气取代的玻璃长度为 \[ \ell_b(s)= \begin{cases} 2\sqrt{r^2-s^2},&s<r,\\ 0,&s\ge r. \end{cases} \] 若 \(\mu_g\) 和 \(\mu_a\) 为线性衰减系数，则由比尔–朗伯定律可得 \[ \frac{I}{I_{\mathrm{solid}}} =\exp\!\left[(\mu_g-\mu_a)\ell_b(s)\right], \] 其中，\(I_{\mathrm{solid}}\) 是射线透过除无气泡外其余条件均相同的实心玻璃球时的透射强度。
因此，透射增强区域的边界位于 \(s=r\)，形成直径为 \(d\) 的圆形投影。对于平行射线，气泡沿射线束方向的位置不影响其投影大小。若记录到的玻璃球外轮廓直径和气泡直径分别为 \(L_s\) 和 \(L_b\)，则 \[ \boxed{d=D\frac{L_b}{L_s}}. \]
解答已与官方解答核对。
IPhO 1976 · Теоретическая задача 3
Измерение воздушного пузырька внутри стеклянного шара
В некотором месте внутри стеклянного шара находится воздушный пузырёк. Опишите способы определения диаметра пузырька без повреждения шара.
Условие переведено с официального английского текста.
Ответы
Задача 3. Три возможных неразрушающих метода:
- Взвешивание: Измерьте внешний диаметр шара \(D\) и его массу \(m\). Если плотность стекла равна \(\rho_g\), то, пренебрегая массой воздуха, получаем \[ \boxed{d=\left(D^3-\frac{6m}{\pi\rho_g}\right)^{1/3}}. \]
- Оптическая иммерсия: Погрузите шар в жидкость с таким же показателем преломления, как у стекла. Измерьте поперечный контур пузырька с помощью откалиброванной оптической системы. Если диаметр его изображения равен \(L\), а поперечное увеличение равно \(M\), то \[ \boxed{d=\frac{L}{M}}. \]
- Рентгенография: Используйте параллельный пучок рентгеновских лучей и измерьте диаметр проекции пузырька. При откалиброванном масштабе изображения это непосредственно даёт его истинный диаметр.
Числовые данные не приведены.
Решение
Предположим, что стекло однородно, а пузырёк имеет сферическую форму, что неявно подразумевается в вопросе о его диаметре. Обозначим внешний радиус через \(R=D/2\), а радиус пузырька через \(r=d/2\). Пузырёк не обязательно находится в центре стеклянного шара.
Взвешивание
Измерьте \(D\) штангенциркулем, а \(m\) — с помощью весов. Плотность стекла должна быть известна из независимых измерений, например по отдельному образцу того же стекла.
Объём, ограниченный внешней поверхностью шара, и объём пузырька равны \[ V=\frac{\pi D^3}{6}, \qquad v=\frac{\pi d^3}{6}. \] Если плотность воздуха внутри пузырька равна \(\rho_a\), то закон сохранения массы даёт \[ m=\rho_g(V-v)+\rho_a v =\rho_gV-(\rho_g-\rho_a)v. \] Следовательно, \[ \boxed{ d=\left[ \frac{\rho_gD^3-6m/\pi}{\rho_g-\rho_a} \right]^{1/3} }. \] Обычно \(\rho_a\ll\rho_g\), поэтому \[ \boxed{d=\left(D^3-\frac{6m}{\pi\rho_g}\right)^{1/3}}. \]
Результат не зависит от положения пузырька. Для маленького пузырька этот метод требует точных измерений: недостающая масса составляет лишь приблизительно долю \((d/D)^3\) от массы сплошного стеклянного шара.
Оптическое измерение в жидкости с согласованным показателем преломления
Поместите шар в прозрачную кювету с жидкостью, показатель преломления которой равен показателю преломления стекла. При необходимости используйте монохроматический свет, чтобы дисперсия не препятствовала точному согласованию показателей преломления.
На внешней поверхности закон Снеллиуса принимает вид \[ n_g\sin i=n_\ell\sin t. \] Поскольку \(n_\ell=n_g\), получаем \(t=i\): внешняя сферическая граница больше не изменяет направления лучей. Пузырёк остаётся видимым, поскольку воздух и стекло имеют разные показатели преломления.
Наблюдайте через плоское окно кюветы, перпендикулярное направлению наблюдения. Используйте параллельные лучи наблюдения — например, телецентрическую систему формирования изображения — или измерительный микроскоп с поступательным перемещением, ось которого остаётся перпендикулярной окну.
Предельные лучи, определяющие контур пузырька, касаются его поверхности. При приближении к контуру снаружи эти лучи целиком проходят в стекле и жидкости с согласованным показателем преломления, поэтому воздушная полость их не преломляет. Ортогональная проекция шара представляет собой круг с диаметром, равным истинному диаметру шара, независимо от глубины его расположения.
Таким образом, если измерительный микроскоп при перемещении регистрирует два противоположных края в поперечных положениях \(x_L\) и \(x_R\), то \[ \boxed{d=|x_R-x_L|}. \] Другой способ — использовать откалиброванное изображение с поперечным увеличением \(M\), что даёт \[ \boxed{d=L/M}. \]
Просвечивание рентгеновскими лучами
Направьте на шар приблизительно параллельный пучок рентгеновских лучей с достаточной проникающей способностью и зарегистрируйте интенсивность прошедшего излучения. Пренебрегите искривлением лучей и рассеянием. Воздух ослабляет пучок значительно меньше, чем стекло, поэтому пузырёк создаёт область повышенного пропускания.
Для луча, проходящего на поперечном расстоянии \(s\) от проекции центра пузырька, длина участка, на котором стекло заменено воздухом, равна \[ \ell_b(s)= \begin{cases} 2\sqrt{r^2-s^2},&s<r,\\ 0,&s\ge r. \end{cases} \] Если \(\mu_g\) и \(\mu_a\) — линейные коэффициенты ослабления, то закон Бугера — Ламберта — Бера даёт \[ \frac{I}{I_{\mathrm{solid}}} =\exp\!\left[(\mu_g-\mu_a)\ell_b(s)\right], \] где \(I_{\mathrm{solid}}\) — интенсивность излучения, прошедшего через сплошной стеклянный шар, во всём остальном идентичный рассматриваемому.
Следовательно, область повышенного пропускания заканчивается при \(s=r\), образуя круговую проекцию диаметра \(d\). При параллельных лучах положение пузырька вдоль пучка не влияет на размер его проекции. Если зарегистрированные диаметры изображения внешнего контура шара и изображения пузырька равны соответственно \(L_s\) и \(L_b\), то \[ \boxed{d=D\frac{L_b}{L_s}}. \]
Решение проверено по официальному решению.
IPhO 1976 · مسألة نظرية 3
قياس فقاعة هواء داخل كرة زجاجية
توجد فقاعة هواء في موضع ما داخل كرة زجاجية. صف طرائق لتحديد قطر الفقاعة دون إتلاف الكرة.
نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي.
الإجابات
المسألة 3. فيما يلي ثلاث طرائق ممكنة غير إتلافية:
- الوزن: قِس القطر الخارجي للكرة \(D\) وكتلتها \(m\). إذا كانت كثافة الزجاج \(\rho_g\)، فبإهمال كتلة الهواء، \[ \boxed{d=\left(D^3-\frac{6m}{\pi\rho_g}\right)^{1/3}}. \]
- الغمر البصري: اغمر الكرة في سائل له معامل الانكسار نفسه الذي للزجاج. قِس الحدود العرضية للفقاعة باستخدام منظومة بصرية معايرة. إذا كان قطر صورتها \(L\) والتكبير العرضي \(M\)، فإن \[ \boxed{d=\frac{L}{M}}. \]
- التصوير الشعاعي: استخدم حزمة متوازية من الأشعة السينية وقِس قطر إسقاط الفقاعة. وباستخدام مقياس معاير للصورة، يعطي ذلك قطرها الفعلي مباشرة.
لم تُعطَ أي بيانات عددية.
الحل
نفترض أن الزجاج متجانس وأن الفقاعة كروية، كما يُفهم ضمنًا من طلب تحديد قطرها. نرمز إلى نصف القطر الخارجي بـ \(R=D/2\) وإلى نصف قطر الفقاعة بـ \(r=d/2\). وليس من الضروري أن تكون الفقاعة في مركز الكرة الزجاجية.
الوزن
قِس \(D\) باستخدام القدمة و\(m\) باستخدام ميزان. ويجب أن تكون كثافة الزجاج معلومة بصورة مستقلة، مثلًا من عينة منفصلة من الزجاج نفسه.
الحجم الخارجي وحجم الفقاعة هما \[ V=\frac{\pi D^3}{6}, \qquad v=\frac{\pi d^3}{6}. \] إذا كانت كثافة الهواء داخل الفقاعة \(\rho_a\)، فإن انحفاظ الكتلة يعطي \[ m=\rho_g(V-v)+\rho_a v =\rho_gV-(\rho_g-\rho_a)v. \] ومن ثم، \[ \boxed{ d=\left[ \frac{\rho_gD^3-6m/\pi}{\rho_g-\rho_a} \right]^{1/3} }. \] عادةً ما يكون \(\rho_a\ll\rho_g\)، مما يعطي \[ \boxed{d=\left(D^3-\frac{6m}{\pi\rho_g}\right)^{1/3}}. \]
لا تعتمد النتيجة على موضع الفقاعة. وفي حالة الفقاعة الصغيرة، تتطلب هذه الطريقة قياسات دقيقة: إذ لا تمثل الكتلة الناقصة سوى جزء يساوي تقريبًا \((d/D)^3\) من كتلة كرة زجاجية مصمتة.
القياس البصري في سائل مطابق لمعامل الانكسار
ضع الكرة في حوض شفاف يحتوي على سائل يساوي معامل انكساره معامل انكسار الزجاج. استخدم ضوءًا أحادي اللون عند الحاجة حتى لا يحول التشتت اللوني دون تحقيق تطابق دقيق.
عند السطح الخارجي، يصبح قانون سنيل \[ n_g\sin i=n_\ell\sin t. \] وبما أن \(n_\ell=n_g\)، فإن \(t=i\): أي إن الحد الفاصل الكروي الخارجي لم يعد يحرف الأشعة. وتظل الفقاعة مرئية لأن معاملي انكسار الهواء والزجاج مختلفان.
انظر عبر نافذة مستوية في الحوض، عمودية على اتجاه الرؤية. استخدم أشعة رؤية متوازية — مثلًا باستخدام منظومة تصوير تلسنترية — أو مجهرًا متحركًا يظل محوره عموديًا على النافذة.
الأشعة الحدية التي تحدد محيط الفقاعة تكون مماسة لها. وعند الاقتراب من المحيط من خارجه، تبقى هذه الأشعة بكاملها في الزجاج والسائل المطابق، ولذلك لا تنكسر بفعل التجويف الهوائي. والإسقاط العمودي للكرة دائرة قطرها يساوي قطرها الحقيقي، بغض النظر عن عمقها.
وعليه، إذا سجّل مجهر متحرك الحافتين المتقابلتين عند الموضعين العرضيين \(x_L\) و\(x_R\)، فإن \[ \boxed{d=|x_R-x_L|}. \] وبدلًا من ذلك، تعطي صورة معايرة ذات تكبير عرضي \(M\) \[ \boxed{d=L/M}. \]
نفاذ الأشعة السينية
عرِّض الكرة لحزمة من الأشعة السينية ذات قدرة كافية على الاختراق ومتوازية تقريبًا، وسجّل شدتها النافذة. أهمل انحراف الأشعة وتشتتها. يُوهِّن الهواء الحزمة بدرجة أقل بكثير من الزجاج، ولذلك تُنتج الفقاعة منطقة يزداد فيها النفاذ.
بالنسبة إلى شعاع يبعد مسافة عرضية \(s\) عن مركز إسقاط الفقاعة، فإن طول الجزء الزجاجي الذي حلّ الهواء محلّه هو \[ \ell_b(s)= \begin{cases} 2\sqrt{r^2-s^2},&s<r,\\ 0,&s\ge r. \end{cases} \] إذا كان \(\mu_g\) و\(\mu_a\) معاملي التوهين الخطيين، فإن قانون بير–لامبرت يعطي \[ \frac{I}{I_{\mathrm{solid}}} =\exp\!\left[(\mu_g-\mu_a)\ell_b(s)\right], \] حيث \(I_{\mathrm{solid}}\) هي الشدة النافذة عبر كرة زجاجية مصمتة مطابقة في سائر خصائصها.
لذلك تنتهي منطقة النفاذ المعزّز عند \(s=r\)، مما يعطي إسقاطًا دائريًا قطره \(d\). ومع الأشعة المتوازية، لا يؤثر موضع الفقاعة على امتداد الحزمة في حجم إسقاطها. وإذا كان القطران المسجّلان للكرة الخارجية والفقاعة هما \(L_s\) و\(L_b\)، على الترتيب، فإن \[ \boxed{d=D\frac{L_b}{L_s}}. \]
تمت مراجعة الحل بمقارنته بالحل الرسمي.