In 1765, British clockmaker James Cox invented a clock whose only source of energy is the fluctuations in atmospheric pressure. Cox's clock used two vessels containing mercury. Changes in atmospheric pressure caused mercury to move between the vessels, and the two vessels to move relative to each other. This movement acted as an energy source for the actual clock.

We propose an analysis of this device. Throughout, we assume that

• the Earth's gravitational field \(\vec g=-g\vec u_z\) is uniform with \(g=9.8\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\) and \(\vec u_z\) a unit vector;
• all liquids are incompressible and their density is denoted \(\rho\);
• no surface tension effects will be considered;
• the variations of atmospheric pressure with altitude are neglected;
• the surrounding temperature \(T_a\) is uniform and all transformations are isothermal.

Fig. 1. Artistic view of Cox's clock \({}^{1}\)

Part A - Pulling on a submerged tube

We first consider a bath of water that occupies the semi-infinite space \(z\leq0\). The air above it is at a pressure \(P_a=P_0\). A cylindrical vertical tube of length \(H=1\,\mathrm m\), cross-sectional area \(S=10\,\mathrm{cm^2}\) and mass \(m=0.5\,\mathrm{kg}\) is dipped into the bath. The bottom end of the tube is open, and the top end of the tube is closed. We denote \(h\) the altitude of the top of the tube and \(z_\ell\) that of the water inside the tube. The thickness of the tube walls is neglected.

Fig. 2. Sketch of the tube in different configurations

We start from the situation where the tube in Fig. 2 contains no gas and its top is at the bath level: in other words, \(h=0\) and \(z_\ell=0\) (case a). The tube is then slowly lifted until its bottom end reaches the bath level. The pulling force exerted on the tube is denoted \(\vec F=F\vec u_z\).

A.1 — 0.2pt

For the configuration shown in Fig. 2 (case b), express the pressure \(P_w\) in the water at the top of the tube. Also express the force \(\vec F\) necessary to maintain the tube at this position. Expressions must be written in terms of \(P_0,\rho,m,S,h,g\) and \(\vec u_z\).

Three experiments are performed. In each, the tube is lifted from the initial state shown in Fig. 2(a) under the conditions specified in Table 1.

Table 1. Experimental conditions and numerical values of physical quantities for each experiment

(\(P_{\mathrm{sat}}\) designates the saturated vapour pressure of the pure fluid)

In each case, we study the evolution of the force \(F\) that must be applied in order to maintain the tube in equilibrium at an altitude \(h\), the external pressure being fixed at \(P_a=P_0=1.000\times10^5\,\mathrm{Pa}\). Two different behaviours are possible

A.2 — 0.8pt

For each experiment, complete the table in the answer sheet to indicate the expected behaviour and the numerical values for \(F_{\max}\) and for \(h^\star\) (when pertinent), where \(F_{\max}\) and \(h^\star\) are defined in the figures illustrating the two behaviours.

When we replace the water with liquid mercury (whose properties are given below), behaviour B is observed.

A.3 — 0.3pt

Express the relative error, denoted \(\varepsilon\), committed when we evaluate the maximal force \(F_{\max}\) neglecting \(P_{\mathrm{sat}}\) compared to \(P_0\). Give the numerical value of \(\varepsilon\).

Part B - Two-part barometric tube

From now on, we work with mercury (density \(\rho=13.5\times10^3\,\mathrm{kg\cdot m^{-3}}\)) at the ambient temperature \(T_a=20^\circ\mathrm C\) and we take \(P_{\mathrm{sat}}=0\).

Let us consider a tube with a reservoir on top, modeled as two superposed cylinders of different dimensions, as shown in Fig. 3.

• the bottom part (still called the tube) has cross-sectional area \(S_t\) and height \(H_t=80\,\mathrm{cm}\);
• the top part (called the bulb) has cross-sectional area \(S_b>S_t\) and height \(H_b=20\,\mathrm{cm}\).

This two-part tube is dipped into a semi-infinite liquid bath.

Fig. 3. Sketch of the two-part barometric tube

As in Part A, the system is prepared such that the tube contains no air. We identify the vertical position of the tube by the altitude \(h_t\) of the junction between the tube and the bulb. The height of the column of mercury is again denoted \(z_\ell\). The force \(\vec F\) that must be exerted to maintain the tube in equilibrium in the configuration shown in Fig. 3 can now be written as

\[ \vec F=(m_{\mathrm{tb}}+m_{\mathrm{add}})g\vec u_z \tag{1} \]

where \(m_{\mathrm{tb}}\) is the total mass of the two-part tube (when empty of mercury).

B.1 — 0.3pt

On the answer sheet, color the area corresponding to the volume of liquid mercury that is responsible for the term \(m_{\mathrm{add}}\) appearing in equation (1).

The mass \(m_{\mathrm{add}}\) depends both on the height \(h_t\) and the atmospheric pressure \(P_a\). For the next question, assume that the atmospheric pressure is fixed at \(P_a=P_0=1.000\times10^5\,\mathrm{Pa}\). Starting from the situation where the system is completely submerged, the tube is slowly lifted until its base is flush with the liquid bath.

B.2 — 1.4pt

Sketch the evolution of the mass \(m_{\mathrm{add}}\) as a function of \(h_t\) for \(h_t\in[-H_b,H_t]\). On the graph, provide the expression for the slopes of the different segments, as well as the \(h_t\) analytical value of any angular points, in terms of \(P_0,\rho,g,S_b,S_t,H_b\) and \(H_t\).

As the system is lifted while \(P_a=P_0=10^5\,\mathrm{Pa}\), we stop when the free surface of the liquid is in the middle of the bulb. The value of \(h_t\) is fixed and then we observe variations in the mass \(m_{\mathrm{add}}\) due to variations in the atmospheric pressure described by

\[ P_a(t)=P_0+P_1(t) \tag{2} \]

where \(P_0\) designates the average value and \(P_1\) is a perturbative term. We model \(P_1\) by a periodic triangular function of amplitude \(A=5\times10^2\,\mathrm{Pa}\) and period \(\tau_1\) of 1 week.

Fig. 4. Simplified model of the perturbative term \(P_1(t)\)

B.3 — 0.3pt

Given that \(S_t=5\,\mathrm{cm^2}\) and \(S_b=200\,\mathrm{cm^2}\), express the amplitude \(\Delta m_{\mathrm{add}}\) of the variations of the mass \(m_{\mathrm{add}}\) over time, then give its numerical value. Assume that the liquid surface always stays in the bulb.

Part C - Cox's timepiece

The real mechanism developed by Cox is complex (Fig. 5). We study a simplified version, depicted in Fig. 6, and described below

• a cylindrical bottom cistern containing a mercury bath;
• a two-part barometric tube identical to that studied in part B, which is still completely emptied of any air, is dipped into the bath;
• the cistern and the two-part tube are each suspended by a cable. Both cables (assumed to be inextensible and of negligible mass) pass through a system of ideal pullies and finish attached to either side of the same mass \(M\), which can slide on a horizontal surface;
• the total volume of liquid mercury contained in the system is \(V_\ell=5\,\mathrm L\).

The height, cross-section and masses of each part are given in Table 2. The position of mass \(M\) is referenced by the coordinate \(x\) of its center of mass. We consider solid friction between the horizontal support and the mass \(M\), without distinction between static and dynamic coefficients; the magnitude of this force when sliding occurs is denoted \(F_s\).

Two stops limit the displacement of the mass \(M\) such that \(-X\leq x\leq X\) (with \(X>0\)). Assume that the value of \(X\) guarantees that

• the bottom of the two-part tube never touches the bottom of the cistern nor comes out of the liquid bath;
• the altitude \(z_\ell\) of the mercury column is always in the upper bulb.

Fig. 5. Real Cox's timepiece \({}^{2}\) (without mercury)

Fig. 6. Sketch of the system modeling the timepiece

Table 2. Dimensions and notations for the model system

The system evolves in contact with the atmosphere, whose pressure fluctuates as in Fig. 4 (still with amplitude \(A=5\times10^2\,\mathrm{Pa}\) and period \(\tau_1=1\) week). At the start \(t=0\), the mass \(M\) is at rest at \(x=0\) and the tensions exerted by the two cables on either side of the mass \(M\) are in balance while \(P_1(0)=0\). We define

\[ \xi= \frac{S_b+S_c-S_t}{S_bS_c}\frac{F_s}{A} \simeq \frac{S_b+S_c}{S_bS_c}\frac{F_s}{A} \tag{3} \]

where the last expression uses that \(S_t\ll S_b,S_c\) (which we will assume is valid until the end of the problem).

C.1 — 1pt

Determine the threshold \(\xi^\star\) such that \(M\) remains indefinitely at rest when \(\xi>\xi^\star\).

For the next question only, suppose that the mass \(M\) is temporarily blocked at \(x=X\).

C.2 — 1pt

Give an expression for the total tension force \(\vec T=T\vec u_x\) acting on the mass \(M\) due to the tension in two cables at this position, when \(P_1=0\), in terms of \(\rho,g,X\) and pertinent cross-sections.

When \(\xi<\xi^\star\), starting again from \(x=0\) and \(P_1=0\), two different behaviours can be observed for \(t\geq0\). To distinguish them, we need to introduce another parameter

\[ \lambda= \frac{2(S_b-S_t)}{S_b}\frac{\rho gX}{A} \simeq \frac{2\rho gX}{A} \tag{4} \]

C.3 — 2pt

Complete the table in the answer sheet to indicate the condition under which each regime is obtained. Conditions must be expressed as inequalities on \(\xi\) and/or \(\lambda\). In addition, sketch the variations of \(x(t)/X\) for \(t\in[0,3\tau_1]\) that are consistent with the variations of \(P_1(t)/A\) already present. Specification of remarkable points coordinates is not required.

In the real Cox's timepiece, energy provided by the mechanism is stored using a system of ratchets and used to raise a counterweight, like in a traditional clock. In the simplified model studied here, the energy recovered by the clock corresponds to the energy dissipated by the friction force exerted by the horizontal surface on the mass \(M\). From now on, we assume that the system is dimensioned such that to work in the regime that allows the clock to recuperate energy. We also assume that the permanent regime is established. We denote \(W\) the energy dissipated by the solid friction force during a period \(\tau_1\), which can be expressed only in terms of \(F_s\) and \(X\).

All else equal, \(F_s\) and \(X\) can be adjusted to maximize the energy \(W\); we denote \(F_s^\star\) and \(X^\star\) their respective values in the optimal situation.

C.4 — 1pt

Considering \(S_b\simeq S_c\) and \(S_t\ll S_b\), determine the expressions for \(F_s^\star\) and \(X^\star\) as functions of \(\rho,g,S_c\) and \(A\). Express the corresponding maximum energy \(W^\star\), then calculate its numerical value with \(A=5\times10^2\,\mathrm{Pa}\).

We denote \(W_{\mathrm{pr}}^\star\) the work of atmospheric pressure forces received by the system in the optimal situation during a period \(\tau_1\).

C.5 — 1.7pt

Express \(W_{\mathrm{pr}}^\star\), then calculate the ratio \(W^\star/W_{\mathrm{pr}}^\star\). It could be useful to represent the evolution of the system in a \((P,V)\) diagram, where \(V\) is the system's volume.

Credits:

[1]: Bruno Vacaro;
[2]: Victoria and Albert Museum, London.

Official English text of the problem.

Im Jahr 1765 erfand der britische Uhrmacher James Cox eine Uhr, deren einzige Energiequelle die Schwankungen des Luftdrucks sind. Cox' Uhr verwendete zwei Gefäße mit Quecksilber. Änderungen des Luftdrucks bewirkten, dass Quecksilber zwischen den Gefäßen strömte und sich die beiden Gefäße relativ zueinander bewegten. Diese Bewegung diente als Energiequelle für das eigentliche Uhrwerk.

Wir untersuchen diese Vorrichtung. Dabei nehmen wir durchgehend an, dass

• das Schwerefeld der Erde \(\vec g=-g\vec u_z\) homogen ist, mit \(g=9.8\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\) und dem Einheitsvektor \(\vec u_z\);
• alle Flüssigkeiten inkompressibel sind und ihre Dichte mit \(\rho\) bezeichnet wird;
• keine Effekte der Oberflächenspannung berücksichtigt werden;
• die Höhenabhängigkeit des Luftdrucks vernachlässigt wird;
• die Umgebungstemperatur \(T_a\) räumlich konstant ist und alle Zustandsänderungen isotherm verlaufen.

Abb. 1. Künstlerische Darstellung von Cox' Uhr \({}^{1}\)

Teil A - Ziehen an einem eingetauchten Rohr

Wir betrachten zunächst ein Wasserbad, das den Halbraum \(z\leq0\) einnimmt. Die Luft darüber steht unter dem Druck \(P_a=P_0\). Ein senkrechtes zylindrisches Rohr der Länge \(H=1\,\mathrm m\), der Querschnittsfläche \(S=10\,\mathrm{cm^2}\) und der Masse \(m=0.5\,\mathrm{kg}\) wird in das Bad eingetaucht. Das untere Ende des Rohrs ist offen, das obere Ende geschlossen. Mit \(h\) bezeichnen wir die Höhe des oberen Rohrendes und mit \(z_\ell\) die Höhe des Wassers im Rohr. Die Wanddicke des Rohrs wird vernachlässigt.

Abb. 2. Skizze des Rohrs in verschiedenen Anordnungen

Wir gehen von der Situation aus, in der das Rohr in Abb. 2 kein Gas enthält und sein oberes Ende auf Höhe der Badoberfläche liegt: Mit anderen Worten gilt \(h=0\) und \(z_\ell=0\) (Fall a). Anschließend wird das Rohr langsam angehoben, bis sein unteres Ende die Badoberfläche erreicht. Die auf das Rohr ausgeübte Zugkraft wird mit \(\vec F=F\vec u_z\) bezeichnet.

A.1 — 0.2 Punkte

Geben Sie für die in Abb. 2 gezeigte Anordnung (Fall b) den Druck \(P_w\) im Wasser am oberen Rohrende an. Geben Sie außerdem die Kraft \(\vec F\) an, die erforderlich ist, um das Rohr in dieser Position zu halten. Die Ausdrücke sind in Abhängigkeit von \(P_0,\rho,m,S,h,g\) und \(\vec u_z\) anzugeben.

Es werden drei Versuche durchgeführt. In jedem Versuch wird das Rohr ausgehend vom Anfangszustand in Abb. 2(a) unter den in Tabelle 1 angegebenen Bedingungen angehoben.

Tabelle 1. Versuchsbedingungen und Zahlenwerte der physikalischen Größen für die einzelnen Versuche

(\(P_{\mathrm{sat}}\) bezeichnet den Sättigungsdampfdruck des reinen Fluids)

In jedem Fall untersuchen wir den Verlauf der Kraft \(F\), die aufgebracht werden muss, um das Rohr in einer Höhe \(h\) im Gleichgewicht zu halten, wobei der Außendruck auf \(P_a=P_0=1.000\times10^5\,\mathrm{Pa}\) festgelegt ist. Zwei unterschiedliche Verhaltensweisen sind möglich

A.2 — 0.8 Punkte

Vervollständigen Sie für jeden Versuch die Tabelle auf dem Antwortblatt, indem Sie das erwartete Verhalten und die Zahlenwerte für \(F_{\max}\) und für \(h^\star\) (sofern zutreffend) angeben. Dabei sind \(F_{\max}\) und \(h^\star\) in den Abbildungen definiert, welche die beiden Verhaltensweisen veranschaulichen.

Wenn wir das Wasser durch flüssiges Quecksilber ersetzen (dessen Eigenschaften unten angegeben sind), wird Verhalten B beobachtet.

A.3 — 0.3 Punkte

Geben Sie den relativen Fehler \(\varepsilon\) an, der entsteht, wenn wir bei der Berechnung der maximalen Kraft \(F_{\max}\) den Druck \(P_{\mathrm{sat}}\) gegenüber \(P_0\) vernachlässigen. Geben Sie den Zahlenwert von \(\varepsilon\) an.

Teil B - Zweiteiliges Barometerrohr

Von nun an arbeiten wir mit Quecksilber (Dichte \(\rho=13.5\times10^3\,\mathrm{kg\cdot m^{-3}}\)) bei der Umgebungstemperatur \(T_a=20^\circ\mathrm C\) und setzen \(P_{\mathrm{sat}}=0\).

Wir betrachten ein Rohr mit einem Vorratsgefäß am oberen Ende, das als zwei übereinander angeordnete Zylinder unterschiedlicher Abmessungen modelliert wird, wie in Abb. 3 gezeigt.

• Der untere Teil (weiterhin als Rohr bezeichnet) hat die Querschnittsfläche \(S_t\) und die Höhe \(H_t=80\,\mathrm{cm}\);
• der obere Teil (als Erweiterung bezeichnet) hat die Querschnittsfläche \(S_b>S_t\) und die Höhe \(H_b=20\,\mathrm{cm}\).

Dieses zweiteilige Rohr wird in ein Flüssigkeitsbad eingetaucht, das einen Halbraum einnimmt.

Abb. 3. Skizze des zweiteiligen Barometerrohrs

Wie in Teil A wird das System so vorbereitet, dass das Rohr keine Luft enthält. Wir kennzeichnen die vertikale Position des Rohrs durch die Höhe \(h_t\) des Übergangs zwischen dem Rohr und der Erweiterung. Die Höhe der Quecksilbersäule wird wiederum mit \(z_\ell\) bezeichnet. Die Kraft \(\vec F\), die aufgebracht werden muss, um das Rohr in der in Abb. 3 gezeigten Anordnung im Gleichgewicht zu halten, lässt sich nun schreiben als

\[ \vec F=(m_{\mathrm{tb}}+m_{\mathrm{add}})g\vec u_z \tag{1} \]

wobei \(m_{\mathrm{tb}}\) die Gesamtmasse des zweiteiligen Rohrs (ohne Quecksilber) ist.

B.1 — 0.3 Punkte

Markieren Sie auf dem Antwortblatt die Fläche farbig, die dem Volumen des flüssigen Quecksilbers entspricht, das für den Term \(m_{\mathrm{add}}\) in Gleichung (1) verantwortlich ist.

Die Masse \(m_{\mathrm{add}}\) hängt sowohl von der Höhe \(h_t\) als auch vom Luftdruck \(P_a\) ab. Nehmen Sie für die nächste Frage an, dass der Luftdruck auf \(P_a=P_0=1.000\times10^5\,\mathrm{Pa}\) festgelegt ist. Ausgehend von einem vollständig eingetauchten System wird das Rohr langsam angehoben, bis sein unteres Ende bündig mit der Oberfläche des Flüssigkeitsbads liegt.

B.2 — 1.4 Punkte

Skizzieren Sie den Verlauf der Masse \(m_{\mathrm{add}}\) als Funktion von \(h_t\) für \(h_t\in[-H_b,H_t]\). Geben Sie im Diagramm die Ausdrücke für die Steigungen der einzelnen Abschnitte sowie die analytischen Werte von \(h_t\) an allen Knickpunkten in Abhängigkeit von \(P_0,\rho,g,S_b,S_t,H_b\) und \(H_t\) an.

Beim Anheben des Systems unter \(P_a=P_0=10^5\,\mathrm{Pa}\) halten wir an, sobald sich die freie Flüssigkeitsoberfläche in der Mitte der Erweiterung befindet. Der Wert von \(h_t\) wird festgehalten. Anschließend beobachten wir Änderungen der Masse \(m_{\mathrm{add}}\) infolge von Luftdruckschwankungen, die beschrieben werden durch

\[ P_a(t)=P_0+P_1(t) \tag{2} \]

wobei \(P_0\) den Mittelwert bezeichnet und \(P_1\) einen Störterm darstellt. Wir modellieren \(P_1\) durch eine periodische Dreiecksfunktion mit der Amplitude \(A=5\times10^2\,\mathrm{Pa}\) und der Periode \(\tau_1\) von 1 Woche.

Abb. 4. Vereinfachtes Modell des Störterms \(P_1(t)\)

B.3 — 0.3 Punkte

Geben Sie für \(S_t=5\,\mathrm{cm^2}\) und \(S_b=200\,\mathrm{cm^2}\) einen Ausdruck für die Amplitude \(\Delta m_{\mathrm{add}}\) der zeitlichen Schwankungen der Masse \(m_{\mathrm{add}}\) an und berechnen Sie anschließend ihren Zahlenwert. Nehmen Sie an, dass die Flüssigkeitsoberfläche stets in der Erweiterung bleibt.

Teil C - Cox' Uhr

Der von Cox entwickelte tatsächliche Mechanismus ist komplex (Abb. 5). Wir untersuchen eine vereinfachte Version, die in Abb. 6 dargestellt und nachfolgend beschrieben ist

• ein zylindrischer unterer Behälter mit einem Quecksilberbad;
• ein zweiteiliges Barometerrohr, das mit dem in Teil B untersuchten identisch und weiterhin vollständig luftleer ist, wird in das Bad eingetaucht;
• der Behälter und das zweiteilige Rohr hängen jeweils an einem Seil. Beide Seile (als undehnbar und von vernachlässigbarer Masse angenommen) laufen über ein System idealer Rollen und sind mit ihren Enden an gegenüberliegenden Seiten derselben Masse \(M\) befestigt, die auf einer horizontalen Fläche gleiten kann;
• das gesamte im System enthaltene Volumen an flüssigem Quecksilber beträgt \(V_\ell=5\,\mathrm L\).

Die Höhen, Querschnittsflächen und Massen der einzelnen Teile sind in Tabelle 2 angegeben. Die Position der Masse \(M\) wird durch die Koordinate \(x\) ihres Schwerpunkts beschrieben. Wir berücksichtigen Festkörperreibung zwischen der horizontalen Unterlage und der Masse \(M\), ohne zwischen Haft- und Gleitreibungskoeffizienten zu unterscheiden; der Betrag dieser Kraft beim Gleiten wird mit \(F_s\) bezeichnet.

Zwei Anschläge begrenzen die Verschiebung der Masse \(M\), sodass \(-X\leq x\leq X\) (mit \(X>0\)) gilt. Nehmen Sie an, dass der Wert von \(X\) gewährleistet, dass

• das untere Ende des zweiteiligen Rohrs weder den Boden des Behälters berührt noch aus dem Flüssigkeitsbad austritt;
• die Höhe \(z_\ell\) der Quecksilbersäule stets innerhalb der oberen Erweiterung liegt.

Abb. 5. Tatsächliche Uhr von Cox \({}^{2}\) (ohne Quecksilber)

Abb. 6. Skizze des Systems zur Modellierung der Uhr

Tabelle 2. Abmessungen und Bezeichnungen des Modellsystems

Das System entwickelt sich im Kontakt mit der Atmosphäre, deren Druck wie in Abb. 4 schwankt (weiterhin mit der Amplitude \(A=5\times10^2\,\mathrm{Pa}\) und der Periode \(\tau_1=1\) Woche). Zu Beginn, bei \(t=0\), ruht die Masse \(M\) bei \(x=0\), und die von den beiden Seilen auf gegenüberliegenden Seiten der Masse \(M\) ausgeübten Zugkräfte gleichen sich aus, während \(P_1(0)=0\) gilt. Wir definieren

\[ \xi= \frac{S_b+S_c-S_t}{S_bS_c}\frac{F_s}{A} \simeq \frac{S_b+S_c}{S_bS_c}\frac{F_s}{A} \tag{3} \]

wobei im letzten Ausdruck \(S_t\ll S_b,S_c\) verwendet wird (was wir bis zum Ende der Aufgabe als gültig annehmen).

C.1 — 1 Punkt

Bestimmen Sie den Schwellenwert \(\xi^\star\), sodass \(M\) für \(\xi>\xi^\star\) unbegrenzt in Ruhe bleibt.

Nehmen Sie nur für die nächste Frage an, dass die Masse \(M\) vorübergehend bei \(x=X\) blockiert ist.

C.2 — 1 Punkt

Geben Sie für \(P_1=0\) einen Ausdruck für die resultierende Seilkraft \(\vec T=T\vec u_x\) an, die in dieser Position aufgrund der Zugkräfte in den beiden Seilen auf die Masse \(M\) wirkt, in Abhängigkeit von \(\rho,g,X\) und den relevanten Querschnittsflächen.

Für \(\xi<\xi^\star\) können, erneut ausgehend von \(x=0\) und \(P_1=0\), für \(t\geq0\) zwei unterschiedliche Verhaltensweisen beobachtet werden. Um sie zu unterscheiden, müssen wir einen weiteren Parameter einführen

\[ \lambda= \frac{2(S_b-S_t)}{S_b}\frac{\rho gX}{A} \simeq \frac{2\rho gX}{A} \tag{4} \]

C.3 — 2 Punkte

Vervollständigen Sie die Tabelle auf dem Antwortblatt, indem Sie die Bedingung angeben, unter der das jeweilige Regime auftritt. Die Bedingungen sind als Ungleichungen für \(\xi\) und/oder \(\lambda\) auszudrücken. Skizzieren Sie außerdem die Verläufe von \(x(t)/X\) für \(t\in[0,3\tau_1]\), die mit dem bereits eingezeichneten Verlauf von \(P_1(t)/A\) übereinstimmen. Die Koordinaten besonderer Punkte müssen nicht angegeben werden.

In der tatsächlichen Uhr von Cox wird die vom Mechanismus bereitgestellte Energie mithilfe eines Systems von Sperrklinken gespeichert und wie bei einer herkömmlichen Uhr zum Anheben eines Gegengewichts genutzt. Im hier untersuchten vereinfachten Modell entspricht die von der Uhr gewonnene Energie der Energie, die durch die von der horizontalen Fläche auf die Masse \(M\) ausgeübte Reibungskraft dissipiert wird. Von nun an nehmen wir an, dass das System so dimensioniert ist, dass es in dem Regime arbeitet, in dem die Uhr Energie gewinnen kann. Außerdem nehmen wir an, dass der eingeschwungene Zustand erreicht ist. Wir bezeichnen mit \(W\) die während einer Periode \(\tau_1\) durch die Festkörperreibung dissipierte Energie, die allein durch \(F_s\) und \(X\) ausgedrückt werden kann.

Bei ansonsten gleichen Bedingungen können \(F_s\) und \(X\) so eingestellt werden, dass die Energie \(W\) maximal wird; ihre jeweiligen Werte im optimalen Fall bezeichnen wir mit \(F_s^\star\) und \(X^\star\).

C.4 — 1 Punkt

Bestimmen Sie unter den Annahmen \(S_b\simeq S_c\) und \(S_t\ll S_b\) die Ausdrücke für \(F_s^\star\) und \(X^\star\) als Funktionen von \(\rho,g,S_c\) und \(A\). Geben Sie die entsprechende maximale Energie \(W^\star\) an und berechnen Sie anschließend ihren Zahlenwert für \(A=5\times10^2\,\mathrm{Pa}\).

Mit \(W_{\mathrm{pr}}^\star\) bezeichnen wir die Arbeit der Luftdruckkräfte, die dem System im optimalen Fall während einer Periode \(\tau_1\) zugeführt wird.

C.5 — 1.7 Punkte

Geben Sie \(W_{\mathrm{pr}}^\star\) an und berechnen Sie anschließend das Verhältnis \(W^\star/W_{\mathrm{pr}}^\star\). Es kann hilfreich sein, den Verlauf des Systems in einem \((P,V)\)-Diagramm darzustellen, wobei \(V\) das Volumen des Systems ist.

Bildnachweise:

[1]: Bruno Vacaro;
[2]: Victoria and Albert Museum, London.

Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt.

1765 yılında İngiliz saat ustası James Cox, tek enerji kaynağı atmosfer basıncındaki dalgalanmalar olan bir saat icat etti. Cox'un saatinde cıva içeren iki kap kullanılıyordu. Atmosfer basıncındaki değişimler, cıvanın kaplar arasında hareket etmesine ve iki kabın birbirine göre yer değiştirmesine neden oluyordu. Bu hareket, saatin kendisi için bir enerji kaynağı görevi görüyordu.

Bu düzeneğin bir analizini yapmayı öneriyoruz. Problem boyunca şu varsayımları kullanacağız:

• Dünya'nın yer çekimi alanı \(\vec g=-g\vec u_z\) düzgündür; burada \(g=9.8\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\) ve \(\vec u_z\) birim vektördür;
• tüm sıvılar sıkıştırılamazdır ve yoğunlukları \(\rho\) ile gösterilir;
• yüzey gerilimi etkileri dikkate alınmayacaktır;
• atmosfer basıncının yükseklikle değişimi ihmal edilir;
• çevre sıcaklığı \(T_a\) düzgündür ve tüm dönüşümler izotermaldir.

Şekil 1. Cox'un saatinin sanatsal bir tasviri \({}^{1}\)

Bölüm A - Sıvıya batırılmış bir boruyu çekmek

Önce \(z\leq0\) yarı sonsuz uzayını kaplayan bir su banyosunu ele alalım. Üzerindeki havanın basıncı \(P_a=P_0\)'dır. Uzunluğu \(H=1\,\mathrm m\), kesit alanı \(S=10\,\mathrm{cm^2}\) ve kütlesi \(m=0.5\,\mathrm{kg}\) olan düşey, silindirik bir boru banyoya daldırılır. Borunun alt ucu açık, üst ucu kapalıdır. Borunun üst ucunun yüksekliğini \(h\), borunun içindeki suyun yüksekliğini ise \(z_\ell\) ile gösteriyoruz. Boru duvarlarının kalınlığı ihmal edilir.

Şekil 2. Borunun farklı durumlarının şematik gösterimi

Şekil 2'deki borunun hiç gaz içermediği ve üst ucunun banyo seviyesinde olduğu durumdan başlıyoruz: başka bir deyişle, \(h=0\) ve \(z_\ell=0\) (a durumu). Ardından boru, alt ucu banyo seviyesine ulaşıncaya kadar yavaşça kaldırılır. Boruya uygulanan çekme kuvveti \(\vec F=F\vec u_z\) ile gösterilir.

A.1 — 0.2 puan

Şekil 2'de gösterilen durum (b durumu) için, borunun üst ucundaki suyun basıncı \(P_w\)'yi ifade ediniz. Ayrıca boruyu bu konumda tutmak için gerekli \(\vec F\) kuvvetini ifade ediniz. İfadeler \(P_0,\rho,m,S,h,g\) ve \(\vec u_z\) cinsinden yazılmalıdır.

Üç deney yapılır. Her birinde boru, Tablo 1'de belirtilen koşullar altında, Şekil 2(a)'da gösterilen başlangıç durumundan itibaren kaldırılır.

Tablo 1. Her deney için deney koşulları ve fiziksel niceliklerin sayısal değerleri

(\(P_{\mathrm{sat}}\), saf akışkanın doymuş buhar basıncını gösterir)

Her durumda, dış basınç \(P_a=P_0=1.000\times10^5\,\mathrm{Pa}\) değerinde sabit tutulurken, boruyu \(h\) yüksekliğinde dengede tutmak için uygulanması gereken \(F\) kuvvetinin değişimini inceliyoruz. İki farklı davranış mümkündür

A.2 — 0.8 puan

Her deney için cevap kâğıdındaki tabloyu doldurarak beklenen davranışı ve \(F_{\max}\) ile (uygun olduğunda) \(h^\star\)'ın sayısal değerlerini belirtiniz; burada \(F_{\max}\) ve \(h^\star\), iki davranışı gösteren şekillerde tanımlanmıştır.

Suyun yerine (özellikleri aşağıda verilen) sıvı cıva koyduğumuzda B davranışı gözlenir.

A.3 — 0.3 puan

\(P_{\mathrm{sat}}\)'ı \(P_0\)'a kıyasla ihmal ederek en büyük kuvvet \(F_{\max}\)'ı hesaplarken yapılan ve \(\varepsilon\) ile gösterilen bağıl hatayı ifade ediniz. \(\varepsilon\)'un sayısal değerini veriniz.

Bölüm B - İki parçalı barometre borusu

Bundan sonra, \(T_a=20^\circ\mathrm C\) ortam sıcaklığındaki cıva (yoğunluğu \(\rho=13.5\times10^3\,\mathrm{kg\cdot m^{-3}}\)) ile çalışıyoruz ve \(P_{\mathrm{sat}}=0\) alıyoruz.

Üst kısmında bir hazne bulunan ve Şekil 3'te gösterildiği gibi, farklı boyutlarda üst üste yerleştirilmiş iki silindir olarak modellenen bir boruyu ele alalım.

• alt kısmın (yine boru olarak adlandırılır) kesit alanı \(S_t\), yüksekliği \(H_t=80\,\mathrm{cm}\)'dir;
• üst kısmın (hazne olarak adlandırılır) kesit alanı \(S_b>S_t\), yüksekliği \(H_b=20\,\mathrm{cm}\)'dir.

Bu iki parçalı boru, yarı sonsuz bir sıvı banyosuna daldırılır.

Şekil 3. İki parçalı barometre borusunun şematik gösterimi

Bölüm A'da olduğu gibi, sistem borunun içinde hiç hava bulunmayacak şekilde hazırlanır. Borunun düşey konumunu, boru ile haznenin birleşim yerinin \(h_t\) yüksekliğiyle belirtiyoruz. Cıva sütununun yüksekliği yine \(z_\ell\) ile gösterilir. Boruyu Şekil 3'te gösterilen durumda dengede tutmak için uygulanması gereken \(\vec F\) kuvveti artık şöyle yazılabilir:

\[ \vec F=(m_{\mathrm{tb}}+m_{\mathrm{add}})g\vec u_z \tag{1} \]

Burada \(m_{\mathrm{tb}}\), iki parçalı borunun (içinde cıva yokken) toplam kütlesidir.

B.1 — 0.3 puan

Cevap kâğıdında, (1) denkleminde yer alan \(m_{\mathrm{add}}\) terimine karşılık gelen sıvı cıva hacminin bulunduğu bölgeyi boyayınız.

\(m_{\mathrm{add}}\) kütlesi hem \(h_t\) yüksekliğine hem de \(P_a\) atmosfer basıncına bağlıdır. Sonraki soru için atmosfer basıncının \(P_a=P_0=1.000\times10^5\,\mathrm{Pa}\) değerinde sabit olduğunu varsayınız. Sistemin tamamen sıvıya batırılmış olduğu durumdan başlanarak boru, tabanı sıvı banyosuyla aynı seviyeye gelinceye kadar yavaşça kaldırılır.

B.2 — 1.4 puan

\(h_t\in[-H_b,H_t]\) için \(m_{\mathrm{add}}\) kütlesinin \(h_t\)'ye bağlı değişiminin grafiğini çiziniz. Grafikte, farklı doğru parçalarının eğimlerinin ifadelerini ve tüm köşe noktalarının \(h_t\) koordinatlarının analitik değerlerini \(P_0,\rho,g,S_b,S_t,H_b\) ve \(H_t\) cinsinden veriniz.

Sistem \(P_a=P_0=10^5\,\mathrm{Pa}\) iken kaldırılırken, sıvının serbest yüzeyi haznenin ortasına geldiğinde duruyoruz. \(h_t\) değeri sabit tutulur ve ardından atmosfer basıncının

\[ P_a(t)=P_0+P_1(t) \tag{2} \]

ile tanımlanan değişimlerinden kaynaklanan \(m_{\mathrm{add}}\) kütlesindeki değişimler gözlenir. Burada \(P_0\) ortalama değeri, \(P_1\) ise bir pertürbasyon terimini gösterir. \(P_1\)'i, genliği \(A=5\times10^2\,\mathrm{Pa}\) ve periyodu \(\tau_1\) 1 hafta olan periyodik bir üçgen fonksiyonla modelliyoruz.

Şekil 4. \(P_1(t)\) pertürbasyon teriminin basitleştirilmiş modeli

B.3 — 0.3 puan

\(S_t=5\,\mathrm{cm^2}\) ve \(S_b=200\,\mathrm{cm^2}\) verildiğine göre, \(m_{\mathrm{add}}\) kütlesinin zaman içindeki değişimlerinin genliği \(\Delta m_{\mathrm{add}}\)'i ifade ediniz, ardından sayısal değerini veriniz. Sıvı yüzeyinin daima haznenin içinde kaldığını varsayınız.

Bölüm C - Cox'un saati

Cox'un geliştirdiği gerçek mekanizma karmaşıktır (Şekil 5). Şekil 6'da gösterilen ve aşağıda açıklanan basitleştirilmiş bir modeli inceliyoruz:

• cıva banyosu içeren silindirik bir alt kap;
• Bölüm B'de incelenenle özdeş ve içindeki hava yine tamamen boşaltılmış olan iki parçalı bir barometre borusu banyoya daldırılmıştır;
• kap ve iki parçalı boru, ayrı ayrı birer kabloyla asılmıştır. Her iki kablo da (uzamaz ve kütleleri ihmal edilebilir kabul edilir) ideal makaralardan oluşan bir sistemden geçer ve uçları yatay bir yüzey üzerinde kayabilen aynı \(M\) kütlesinin iki yanına bağlanır;
• sistemde bulunan toplam sıvı cıva hacmi \(V_\ell=5\,\mathrm L\)'dir.

Her parçanın yüksekliği, kesit alanı ve kütlesi Tablo 2'de verilmiştir. \(M\) kütlesinin konumu, kütle merkezinin \(x\) koordinatıyla belirtilir. Yatay destek ile \(M\) kütlesi arasındaki kuru sürtünmeyi, statik ve kinetik sürtünme katsayıları arasında ayrım yapmadan ele alıyoruz; kayma sırasında bu kuvvetin büyüklüğü \(F_s\) ile gösterilir.

İki durdurucu, \(M\) kütlesinin yer değiştirmesini \(-X\leq x\leq X\) olacak şekilde sınırlar (\(X>0\)). \(X\) değerinin şu koşulları sağladığını varsayınız:

• iki parçalı borunun alt ucu hiçbir zaman kabın tabanına değmez ve sıvı banyosunun dışına çıkmaz;
• cıva sütununun \(z_\ell\) yüksekliği daima üst haznenin içindedir.

Şekil 5. Gerçek Cox saati \({}^{2}\) (cıva olmadan)

Şekil 6. Saati modelleyen sistemin şematik gösterimi

Tablo 2. Model sistemin boyutları ve kullanılan gösterimler

Sistem, basıncı Şekil 4'teki gibi dalgalanan atmosferle temas hâlinde değişim geçirir (genlik yine \(A=5\times10^2\,\mathrm{Pa}\), periyot ise \(\tau_1=1\) haftadır). Başlangıçta, \(t=0\) anında, \(M\) kütlesi \(x=0\) konumunda durmaktadır ve \(P_1(0)=0\) iken iki kablonun \(M\) kütlesinin iki yanına uyguladığı gerilme kuvvetleri dengededir. Şu tanımı yapıyoruz:

\[ \xi= \frac{S_b+S_c-S_t}{S_bS_c}\frac{F_s}{A} \simeq \frac{S_b+S_c}{S_bS_c}\frac{F_s}{A} \tag{3} \]

Burada son ifadede \(S_t\ll S_b,S_c\) olduğu kullanılmıştır (bu varsayımın problemin sonuna kadar geçerli olduğunu kabul edeceğiz).

C.1 — 1 puan

\(\xi>\xi^\star\) olduğunda \(M\)'nin süresiz olarak hareketsiz kalmasını sağlayan \(\xi^\star\) eşik değerini belirleyiniz.

Yalnızca sonraki soru için, \(M\) kütlesinin geçici olarak \(x=X\) konumunda sabitlendiğini varsayınız.

C.2 — 1 puan

Bu konumda, \(P_1=0\) iken iki kablonun gerilmesinden dolayı \(M\) kütlesine etki eden toplam gerilme kuvveti \(\vec T=T\vec u_x\) için \(\rho,g,X\) ve ilgili kesit alanları cinsinden bir ifade veriniz.

\(\xi<\xi^\star\) olduğunda, yine \(x=0\) ve \(P_1=0\) durumundan başlanırsa \(t\geq0\) için iki farklı davranış gözlenebilir. Bunları ayırt etmek için başka bir parametre tanımlamamız gerekir:

\[ \lambda= \frac{2(S_b-S_t)}{S_b}\frac{\rho gX}{A} \simeq \frac{2\rho gX}{A} \tag{4} \]

C.3 — 2 puan

Cevap kâğıdındaki tabloyu doldurarak her rejimin hangi koşul altında ortaya çıktığını belirtiniz. Koşullar, \(\xi\) ve/veya \(\lambda\) için eşitsizlikler olarak ifade edilmelidir. Ayrıca \(t\in[0,3\tau_1]\) için \(x(t)/X\)'in değişimini, önceden verilmiş olan \(P_1(t)/A\) değişimleriyle uyumlu olacak şekilde çiziniz. Önemli noktaların koordinatlarının belirtilmesi gerekli değildir.

Gerçek Cox saatinde, mekanizmanın sağladığı enerji bir mandal sistemi kullanılarak depolanır ve geleneksel bir saatte olduğu gibi bir karşı ağırlığı kaldırmak için kullanılır. Burada incelenen basitleştirilmiş modelde, saatin elde ettiği enerji, yatay yüzeyin \(M\) kütlesine uyguladığı sürtünme kuvvetiyle harcanan enerjiye karşılık gelir. Bundan sonra, sistemin saatin enerji elde etmesini sağlayan rejimde çalışacak şekilde boyutlandırıldığını varsayıyoruz. Ayrıca kalıcı rejimin oluştuğunu da varsayıyoruz. Bir \(\tau_1\) periyodu boyunca kuru sürtünme kuvvetiyle harcanan enerjiyi \(W\) ile gösteriyoruz; bu enerji yalnızca \(F_s\) ve \(X\) cinsinden ifade edilebilir.

Diğer her şey aynı kalmak üzere, \(W\) enerjisini en büyük yapmak için \(F_s\) ve \(X\) ayarlanabilir; optimum durumdaki değerlerini sırasıyla \(F_s^\star\) ve \(X^\star\) ile gösteriyoruz.

C.4 — 1 puan

\(S_b\simeq S_c\) ve \(S_t\ll S_b\) olduğunu dikkate alarak, \(F_s^\star\) ve \(X^\star\) ifadelerini \(\rho,g,S_c\) ve \(A\)'nın fonksiyonları olarak belirleyiniz. Buna karşılık gelen en büyük enerji \(W^\star\)'ı ifade ediniz, ardından \(A=5\times10^2\,\mathrm{Pa}\) için sayısal değerini hesaplayınız.

Optimum durumda, bir \(\tau_1\) periyodu boyunca atmosfer basıncı kuvvetlerinin sistem üzerinde yaptığı işi \(W_{\mathrm{pr}}^\star\) ile gösteriyoruz.

C.5 — 1.7 puan

\(W_{\mathrm{pr}}^\star\)'ı ifade ediniz, ardından \(W^\star/W_{\mathrm{pr}}^\star\) oranını hesaplayınız. Sistemin değişimini, \(V\)'nin sistemin hacmi olduğu bir \((P,V)\) diyagramında göstermek yararlı olabilir.

Görsel kaynakları:

[1]: Bruno Vacaro;
[2]: Victoria and Albert Museum, Londra.

Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir.

En 1765, el relojero británico James Cox inventó un reloj cuya única fuente de energía son las fluctuaciones de la presión atmosférica. El reloj de Cox utilizaba dos recipientes que contenían mercurio. Los cambios de presión atmosférica hacían que el mercurio se desplazara entre los recipientes y que estos se movieran uno respecto al otro. Este movimiento servía como fuente de energía para el reloj propiamente dicho.

Proponemos un análisis de este dispositivo. En todo el problema, suponemos que

• el campo gravitatorio terrestre \(\vec g=-g\vec u_z\) es uniforme, con \(g=9.8\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\) y \(\vec u_z\) un vector unitario;
• todos los líquidos son incompresibles y su densidad se denota por \(\rho\);
• no se considerarán los efectos de la tensión superficial;
• se desprecian las variaciones de la presión atmosférica con la altitud;
• la temperatura del entorno \(T_a\) es uniforme y todas las transformaciones son isotérmicas.

Fig. 1. Representación artística del reloj de Cox \({}^{1}\)

Parte A - Tracción sobre un tubo sumergido

Consideramos primero un baño de agua que ocupa el semiespacio \(z\leq0\). El aire situado encima está a una presión \(P_a=P_0\). Se introduce en el baño un tubo cilíndrico vertical de longitud \(H=1\,\mathrm m\), área de sección transversal \(S=10\,\mathrm{cm^2}\) y masa \(m=0.5\,\mathrm{kg}\). El extremo inferior del tubo está abierto y el superior está cerrado. Denotamos por \(h\) la altitud de la parte superior del tubo y por \(z_\ell\) la del agua dentro del tubo. Se desprecia el espesor de las paredes del tubo.

Fig. 2. Esquema del tubo en distintas configuraciones

Partimos de la situación en la que el tubo de la Fig. 2 no contiene gas y su parte superior se encuentra al nivel del baño: es decir, \(h=0\) y \(z_\ell=0\) (caso a). A continuación, se eleva lentamente el tubo hasta que su extremo inferior alcanza el nivel del baño. La fuerza de tracción ejercida sobre el tubo se denota por \(\vec F=F\vec u_z\).

A.1 — 0.2pt

Para la configuración mostrada en la Fig. 2 (caso b), exprese la presión \(P_w\) en el agua en la parte superior del tubo. Exprese también la fuerza \(\vec F\) necesaria para mantener el tubo en esta posición. Las expresiones deben escribirse en función de \(P_0,\rho,m,S,h,g\) y \(\vec u_z\).

Se realizan tres experimentos. En cada uno, se eleva el tubo desde el estado inicial mostrado en la Fig. 2(a), en las condiciones especificadas en la Tabla 1.

Tabla 1. Condiciones experimentales y valores numéricos de las magnitudes físicas para cada experimento

(\(P_{\mathrm{sat}}\) designa la presión de vapor saturado del fluido puro)

En cada caso, estudiamos la evolución de la fuerza \(F\) que debe aplicarse para mantener el tubo en equilibrio a una altitud \(h\), con la presión exterior fijada en \(P_a=P_0=1.000\times10^5\,\mathrm{Pa}\). Son posibles dos comportamientos diferentes

A.2 — 0.8pt

Para cada experimento, complete la tabla de la hoja de respuestas indicando el comportamiento esperado y los valores numéricos de \(F_{\max}\) y de \(h^\star\) (cuando corresponda), donde \(F_{\max}\) y \(h^\star\) se definen en las figuras que ilustran los dos comportamientos.

Cuando sustituimos el agua por mercurio líquido (cuyas propiedades se indican a continuación), se observa el comportamiento B.

A.3 — 0.3pt

Exprese el error relativo, denotado por \(\varepsilon\), que se comete al evaluar la fuerza máxima \(F_{\max}\) despreciando \(P_{\mathrm{sat}}\) frente a \(P_0\). Dé el valor numérico de \(\varepsilon\).

Parte B - Tubo barométrico de dos partes

A partir de ahora, trabajamos con mercurio (densidad \(\rho=13.5\times10^3\,\mathrm{kg\cdot m^{-3}}\)) a la temperatura ambiente \(T_a=20^\circ\mathrm C\) y tomamos \(P_{\mathrm{sat}}=0\).

Consideremos un tubo con un depósito en su parte superior, modelado como dos cilindros superpuestos de dimensiones diferentes, como se muestra en la Fig. 3.

• la parte inferior (que seguimos llamando tubo) tiene un área de sección transversal \(S_t\) y una altura \(H_t=80\,\mathrm{cm}\);
• la parte superior (llamada bulbo) tiene un área de sección transversal \(S_b>S_t\) y una altura \(H_b=20\,\mathrm{cm}\).

Este tubo de dos partes se introduce en un baño líquido semiinfinito.

Fig. 3. Esquema del tubo barométrico de dos partes

Como en la Parte A, el sistema se prepara de modo que el tubo no contenga aire. Identificamos la posición vertical del tubo mediante la altitud \(h_t\) de la unión entre el tubo y el bulbo. La altura de la columna de mercurio se denota de nuevo por \(z_\ell\). La fuerza \(\vec F\) que debe ejercerse para mantener el tubo en equilibrio en la configuración mostrada en la Fig. 3 puede escribirse ahora como

\[ \vec F=(m_{\mathrm{tb}}+m_{\mathrm{add}})g\vec u_z \tag{1} \]

donde \(m_{\mathrm{tb}}\) es la masa total del tubo de dos partes (cuando no contiene mercurio).

B.1 — 0.3pt

En la hoja de respuestas, coloree la zona correspondiente al volumen de mercurio líquido responsable del término \(m_{\mathrm{add}}\) que aparece en la ecuación (1).

La masa \(m_{\mathrm{add}}\) depende tanto de la altura \(h_t\) como de la presión atmosférica \(P_a\). Para la siguiente pregunta, suponga que la presión atmosférica está fijada en \(P_a=P_0=1.000\times10^5\,\mathrm{Pa}\). Partiendo de la situación en la que el sistema está completamente sumergido, se eleva lentamente el tubo hasta que su base queda al nivel de la superficie del baño líquido.

B.2 — 1.4pt

Esboce la evolución de la masa \(m_{\mathrm{add}}\) en función de \(h_t\) para \(h_t\in[-H_b,H_t]\). En la gráfica, indique la expresión de las pendientes de los distintos segmentos, así como el valor analítico de \(h_t\) de todos los puntos angulosos, en función de \(P_0,\rho,g,S_b,S_t,H_b\) y \(H_t\).

Mientras se eleva el sistema con \(P_a=P_0=10^5\,\mathrm{Pa}\), nos detenemos cuando la superficie libre del líquido se encuentra en el centro del bulbo. Se fija el valor de \(h_t\) y, a continuación, observamos variaciones de la masa \(m_{\mathrm{add}}\) debidas a variaciones de la presión atmosférica descritas por

\[ P_a(t)=P_0+P_1(t) \tag{2} \]

donde \(P_0\) designa el valor medio y \(P_1\) es un término perturbativo. Modelamos \(P_1\) mediante una función triangular periódica de amplitud \(A=5\times10^2\,\mathrm{Pa}\) y período \(\tau_1\) de 1 semana.

Fig. 4. Modelo simplificado del término perturbativo \(P_1(t)\)

B.3 — 0.3pt

Dado que \(S_t=5\,\mathrm{cm^2}\) y \(S_b=200\,\mathrm{cm^2}\), exprese la amplitud \(\Delta m_{\mathrm{add}}\) de las variaciones de la masa \(m_{\mathrm{add}}\) a lo largo del tiempo y dé su valor numérico. Suponga que la superficie del líquido permanece siempre en el bulbo.

Parte C - El reloj de Cox

El mecanismo real desarrollado por Cox es complejo (Fig. 5). Estudiamos una versión simplificada, representada en la Fig. 6 y descrita a continuación

• una cubeta inferior cilíndrica que contiene un baño de mercurio;
• un tubo barométrico de dos partes idéntico al estudiado en la parte B, del que se ha extraído por completo todo el aire, se introduce en el baño;
• la cubeta y el tubo de dos partes están suspendidos, cada uno, de un cable. Ambos cables (supuestos inextensibles y de masa despreciable) pasan por un sistema de poleas ideales y sus extremos se unen a lados opuestos de una misma masa \(M\), que puede deslizarse sobre una superficie horizontal;
• el volumen total de mercurio líquido contenido en el sistema es \(V_\ell=5\,\mathrm L\).

La altura, la sección transversal y las masas de cada parte se indican en la Tabla 2. La posición de la masa \(M\) se determina mediante la coordenada \(x\) de su centro de masas. Consideramos rozamiento seco entre el soporte horizontal y la masa \(M\), sin distinguir entre los coeficientes estático y dinámico; el módulo de esta fuerza cuando se produce deslizamiento se denota por \(F_s\).

Dos topes limitan el desplazamiento de la masa \(M\) de modo que \(-X\leq x\leq X\) (con \(X>0\)). Suponga que el valor de \(X\) garantiza que

• el extremo inferior del tubo de dos partes nunca toca el fondo de la cubeta ni sale del baño líquido;
• la altitud \(z_\ell\) de la columna de mercurio se encuentra siempre en el bulbo superior.

Fig. 5. Reloj real de Cox \({}^{2}\) (sin mercurio)

Fig. 6. Esquema del sistema que modela el reloj

Tabla 2. Dimensiones y notación del sistema modelo

El sistema evoluciona en contacto con la atmósfera, cuya presión fluctúa como en la Fig. 4 (también con amplitud \(A=5\times10^2\,\mathrm{Pa}\) y período \(\tau_1=1\) semana). Al inicio, \(t=0\), la masa \(M\) está en reposo en \(x=0\) y las tensiones ejercidas por los dos cables a ambos lados de la masa \(M\) se equilibran, mientras que \(P_1(0)=0\). Definimos

\[ \xi= \frac{S_b+S_c-S_t}{S_bS_c}\frac{F_s}{A} \simeq \frac{S_b+S_c}{S_bS_c}\frac{F_s}{A} \tag{3} \]

donde la última expresión utiliza que \(S_t\ll S_b,S_c\) (lo cual supondremos válido hasta el final del problema).

C.1 — 1pt

Determine el umbral \(\xi^\star\) tal que \(M\) permanece indefinidamente en reposo cuando \(\xi>\xi^\star\).

Solo para la siguiente pregunta, suponga que la masa \(M\) está bloqueada temporalmente en \(x=X\).

C.2 — 1pt

Dé una expresión de la fuerza de tensión total \(\vec T=T\vec u_x\) que actúa sobre la masa \(M\) debida a la tensión de los dos cables en esta posición, cuando \(P_1=0\), en función de \(\rho,g,X\) y de las secciones transversales pertinentes.

Cuando \(\xi<\xi^\star\), partiendo de nuevo de \(x=0\) y \(P_1=0\), pueden observarse dos comportamientos diferentes para \(t\geq0\). Para distinguirlos, debemos introducir otro parámetro

\[ \lambda= \frac{2(S_b-S_t)}{S_b}\frac{\rho gX}{A} \simeq \frac{2\rho gX}{A} \tag{4} \]

C.3 — 2pt

Complete la tabla de la hoja de respuestas indicando la condición en la que se obtiene cada régimen. Las condiciones deben expresarse como desigualdades para \(\xi\) y/o \(\lambda\). Además, esboce las variaciones de \(x(t)/X\) para \(t\in[0,3\tau_1]\) que sean coherentes con las variaciones de \(P_1(t)/A\) ya representadas. No es necesario especificar las coordenadas de los puntos notables.

En el reloj real de Cox, la energía proporcionada por el mecanismo se almacena mediante un sistema de trinquetes y se utiliza para elevar un contrapeso, como en un reloj tradicional. En el modelo simplificado que estudiamos aquí, la energía recuperada por el reloj corresponde a la energía disipada por la fuerza de rozamiento que ejerce la superficie horizontal sobre la masa \(M\). A partir de ahora, suponemos que el sistema está dimensionado para funcionar en el régimen que permite al reloj recuperar energía. Suponemos también que se ha establecido el régimen permanente. Denotamos por \(W\) la energía disipada por la fuerza de rozamiento seco durante un período \(\tau_1\), que puede expresarse únicamente en función de \(F_s\) y \(X\).

Manteniendo todo lo demás constante, \(F_s\) y \(X\) pueden ajustarse para maximizar la energía \(W\); denotamos por \(F_s^\star\) y \(X^\star\) sus respectivos valores en la situación óptima.

C.4 — 1pt

Considerando \(S_b\simeq S_c\) y \(S_t\ll S_b\), determine las expresiones de \(F_s^\star\) y \(X^\star\) en función de \(\rho,g,S_c\) y \(A\). Exprese la energía máxima correspondiente \(W^\star\) y calcule su valor numérico con \(A=5\times10^2\,\mathrm{Pa}\).

Denotamos por \(W_{\mathrm{pr}}^\star\) el trabajo de las fuerzas de presión atmosférica recibido por el sistema en la situación óptima durante un período \(\tau_1\).

C.5 — 1.7pt

Exprese \(W_{\mathrm{pr}}^\star\) y calcule el cociente \(W^\star/W_{\mathrm{pr}}^\star\). Puede resultar útil representar la evolución del sistema en un diagrama \((P,V)\), donde \(V\) es el volumen del sistema.

Créditos:

[1]: Bruno Vacaro;
[2]: Victoria and Albert Museum, Londres.

Enunciado traducido del texto oficial en inglés.

1765 年，英国钟表匠詹姆斯·考克斯发明了一种仅以大气压波动为能源的时钟。考克斯的时钟使用两个装有汞的容器。大气压的变化使汞在两个容器之间流动，并使两个容器发生相对运动。这种运动为时钟本身提供能量。

我们将对这一装置进行分析。在整个问题中，假设

• 地球重力场 \(\vec g=-g\vec u_z\) 是均匀的，其中 \(g=9.8\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\)，\(\vec u_z\) 为单位矢量；
• 所有液体均不可压缩，其密度记为 \(\rho\)；
• 不考虑表面张力效应；
• 忽略大气压随高度的变化；
• 周围环境温度 \(T_a\) 均匀，所有过程均为等温过程。

图 1. 考克斯时钟的艺术示意图 \({}^{1}\)

部分 A - 拉起浸没的管子

首先考虑占据半无限空间 \(z\leq0\) 的水浴。其上方空气的压强为 \(P_a=P_0\)。将一根长度为 \(H=1\,\mathrm m\)、横截面积为 \(S=10\,\mathrm{cm^2}\)、质量为 \(m=0.5\,\mathrm{kg}\) 的竖直圆柱形管浸入水浴。管子下端开口，上端封闭。管子顶端的高度记为 \(h\)，管内水面的高度记为 \(z_\ell\)。忽略管壁厚度。

图 2. 管子在不同状态下的示意图

初始时，图 2 中的管子内没有气体，且管子顶端与水浴液面齐平：换言之，\(h=0\) 且 \(z_\ell=0\)（情形 a）。随后缓慢提起管子，直到其下端到达水浴液面。施加在管子上的拉力记为 \(\vec F=F\vec u_z\)。

A.1 — 0.2 分

对于图 2（情形 b）所示的状态，写出管子顶端处水的压强 \(P_w\) 的表达式。再写出使管子保持在该位置所需的力 \(\vec F\) 的表达式。表达式须用 \(P_0,\rho,m,S,h,g\) 和 \(\vec u_z\) 表示。

进行三次实验。每次实验均在表 1 指定的条件下，从图 2(a) 所示的初始状态开始提起管子。

表 1. 各次实验的实验条件及物理量数值

（\(P_{\mathrm{sat}}\) 表示纯流体的饱和蒸气压）

在每种情况下，研究为使管子在高度 \(h\) 处保持平衡而必须施加的力 \(F\) 的变化，外界压强固定为 \(P_a=P_0=1.000\times10^5\,\mathrm{Pa}\)。可能出现两种不同的变化情况

A.2 — 0.8 分

对于每次实验，填写答题纸上的表格，指出预期出现的变化情况，并给出 \(F_{\max}\) 和 \(h^\star\)（适用时）的数值，其中 \(F_{\max}\) 和 \(h^\star\) 的定义见展示这两种变化情况的图。

当用液态汞（其性质如下表所示）替代水时，观察到变化情况 B。

A.3 — 0.3 分

在计算最大力 \(F_{\max}\) 时，若相对于 \(P_0\) 忽略 \(P_{\mathrm{sat}}\)，写出由此产生的相对误差 \(\varepsilon\) 的表达式。给出 \(\varepsilon\) 的数值。

部分 B - 两段式气压管

从现在起，使用环境温度 \(T_a=20^\circ\mathrm C\) 下的汞（密度 \(\rho=13.5\times10^3\,\mathrm{kg\cdot m^{-3}}\)），并取 \(P_{\mathrm{sat}}=0\)。

考虑一根顶部带有储液室的管子，将其建模为上下叠置的两个尺寸不同的圆柱体，如图 3 所示。

• 下部（仍称为管子）的横截面积为 \(S_t\)，高度为 \(H_t=80\,\mathrm{cm}\)；
• 上部（称为膨大部）的横截面积为 \(S_b>S_t\)，高度为 \(H_b=20\,\mathrm{cm}\)。

将这根两段式管浸入半无限的液浴中。

图 3. 两段式气压管示意图

与部分 A 一样，制备系统，使管内不含空气。用管子与膨大部连接处的高度 \(h_t\) 表示管子的竖直位置。汞柱的高度仍记为 \(z_\ell\)。为使管子在图 3 所示状态下保持平衡而必须施加的力 \(\vec F\)，现在可以写成

\[ \vec F=(m_{\mathrm{tb}}+m_{\mathrm{add}})g\vec u_z \tag{1} \]

其中 \(m_{\mathrm{tb}}\) 是两段式管（未装汞时）的总质量。

B.1 — 0.3 分

在答题纸上，将与方程 (1) 中 \(m_{\mathrm{add}}\) 项对应的液态汞所占区域涂色。

质量 \(m_{\mathrm{add}}\) 同时取决于高度 \(h_t\) 和大气压 \(P_a\)。在下一问中，假设大气压固定为 \(P_a=P_0=1.000\times10^5\,\mathrm{Pa}\)。从系统完全浸没的状态开始，缓慢提起管子，直到其底端与液浴液面齐平。

B.2 — 1.4 分

在 \(h_t\in[-H_b,H_t]\) 范围内，画出质量 \(m_{\mathrm{add}}\) 随 \(h_t\) 变化的示意图。在图上给出各线段斜率的表达式，以及所有折点的 \(h_t\) 解析值，用 \(P_0,\rho,g,S_b,S_t,H_b\) 和 \(H_t\) 表示。

在 \(P_a=P_0=10^5\,\mathrm{Pa}\) 时提起系统，当液体自由表面位于膨大部中部时停止。固定 \(h_t\) 的值，然后观察大气压变化引起的质量 \(m_{\mathrm{add}}\) 的变化，其中大气压的变化描述为

\[ P_a(t)=P_0+P_1(t) \tag{2} \]

其中 \(P_0\) 表示平均值，\(P_1\) 为扰动项。将 \(P_1\) 建模为振幅为 \(A=5\times10^2\,\mathrm{Pa}\)、周期 \(\tau_1\) 为 1 周的周期性三角波函数。

图 4. 扰动项 \(P_1(t)\) 的简化模型

B.3 — 0.3 分

已知 \(S_t=5\,\mathrm{cm^2}\) 且 \(S_b=200\,\mathrm{cm^2}\)，写出质量 \(m_{\mathrm{add}}\) 随时间变化的振幅 \(\Delta m_{\mathrm{add}}\) 的表达式，并给出其数值。假设液面始终位于膨大部内。

部分 C - 考克斯的时钟

考克斯设计的实际机构很复杂（图 5）。我们研究图 6 所示的简化版本，其构成如下

• 下方一个圆柱形储液槽，内装汞浴；
• 一根与部分 B 中所研究的相同的两段式气压管，管内仍完全排尽空气，浸入汞浴中；
• 储液槽和两段式管各由一根绳索悬挂。两根绳索（假设不可伸长且质量可忽略）均穿过一个理想滑轮系统，末端分别连接在同一质量为 \(M\) 的物块两侧，物块可在水平面上滑动；
• 系统内液态汞的总体积为 \(V_\ell=5\,\mathrm L\)。

各部分的高度、横截面积和质量见表 2。质量为 \(M\) 的物块的位置由其质心坐标 \(x\) 表示。考虑水平支承面与物块 \(M\) 之间的干摩擦，不区分静摩擦系数和动摩擦系数；滑动时该摩擦力的大小记为 \(F_s\)。

两个限位挡块限制物块 \(M\) 的位移，使其满足 \(-X\leq x\leq X\)（其中 \(X>0\)）。假设 \(X\) 的取值保证

• 两段式管的底端既不会接触储液槽底部，也不会露出液浴；
• 汞柱液面的高度 \(z_\ell\) 始终位于上方的膨大部内。

图 5. 实际的考克斯时钟 \({}^{2}\)（未装汞）

图 6. 时钟模型系统示意图

表 2. 模型系统的尺寸与符号

系统在与大气接触的条件下演化，大气压如图 4 所示波动（振幅仍为 \(A=5\times10^2\,\mathrm{Pa}\)，周期 \(\tau_1=1\) 周）。初始时刻 \(t=0\)，物块 \(M\) 静止于 \(x=0\)，两根绳索在物块 \(M\) 两侧施加的张力平衡，此时 \(P_1(0)=0\)。定义

\[ \xi= \frac{S_b+S_c-S_t}{S_bS_c}\frac{F_s}{A} \simeq \frac{S_b+S_c}{S_bS_c}\frac{F_s}{A} \tag{3} \]

其中最后一个表达式利用了 \(S_t\ll S_b,S_c\)（在本题余下部分均假设此条件成立）。

C.1 — 1 分

求阈值 \(\xi^\star\)，使得当 \(\xi>\xi^\star\) 时，\(M\) 始终保持静止。

仅在下一问中，假设物块 \(M\) 暂时被固定在 \(x=X\) 处。

C.2 — 1 分

当 \(P_1=0\) 时，写出物块 \(M\) 在该位置受到的两根绳索张力的合力 \(\vec T=T\vec u_x\) 的表达式，用 \(\rho,g,X\) 和相关横截面积表示。

当 \(\xi<\xi^\star\) 时，再次从 \(x=0\) 且 \(P_1=0\) 出发，对于 \(t\geq0\) 可以观察到两种不同的运动状态。为区分这两种状态，需要引入另一个参数

\[ \lambda= \frac{2(S_b-S_t)}{S_b}\frac{\rho gX}{A} \simeq \frac{2\rho gX}{A} \tag{4} \]

C.3 — 2 分

填写答题纸上的表格，指出出现每种运动状态的条件。条件须表示为关于 \(\xi\) 和/或 \(\lambda\) 的不等式。此外，根据已给出的 \(P_1(t)/A\) 的变化，在 \(t\in[0,3\tau_1]\) 范围内画出相应的 \(x(t)/X\) 变化示意图。不要求标明特殊点的坐标。

在实际的考克斯时钟中，机构提供的能量通过棘轮系统储存起来，并像传统时钟那样用于提升重锤。在这里研究的简化模型中，时钟回收的能量对应于水平面施加在物块 \(M\) 上的摩擦力所耗散的能量。从现在起，假设系统的尺寸参数使其工作在能够让时钟回收能量的运动状态下。同时假设系统已进入稳定运行状态。用 \(W\) 表示干摩擦力在一个周期 \(\tau_1\) 内耗散的能量，它可以仅用 \(F_s\) 和 \(X\) 表示。

在其他条件相同的情况下，可以调节 \(F_s\) 和 \(X\)，使能量 \(W\) 最大；将最优情况下二者的值分别记为 \(F_s^\star\) 和 \(X^\star\)。

C.4 — 1 分

考虑 \(S_b\simeq S_c\) 且 \(S_t\ll S_b\)，求 \(F_s^\star\) 和 \(X^\star\) 关于 \(\rho,g,S_c\) 和 \(A\) 的表达式。写出相应的最大能量 \(W^\star\)，然后取 \(A=5\times10^2\,\mathrm{Pa}\) 计算其数值。

用 \(W_{\mathrm{pr}}^\star\) 表示在最优情况下，大气压力在一个周期 \(\tau_1\) 内对系统所做的功。

C.5 — 1.7 分

写出 \(W_{\mathrm{pr}}^\star\) 的表达式，然后计算比值 \(W^\star/W_{\mathrm{pr}}^\star\)。在 \((P,V)\) 图上表示系统的演化过程可能有所帮助，其中 \(V\) 为系统体积。

图片来源：

[1]: Bruno Vacaro;
[2]: 伦敦维多利亚与艾伯特博物馆。

题目译自官方英文原文。

В 1765 году британский часовщик Джеймс Кокс изобрёл часы, единственным источником энергии для которых служат колебания атмосферного давления. В часах Кокса использовались два сосуда с ртутью. Изменения атмосферного давления заставляли ртуть перетекать между сосудами, а сами сосуды — перемещаться друг относительно друга. Это движение служило источником энергии для часового механизма.

Предлагаем проанализировать это устройство. На протяжении всей задачи будем считать, что

• поле тяжести Земли \(\vec g=-g\vec u_z\) однородно, причём \(g=9.8\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\), а \(\vec u_z\) — единичный вектор;
• все жидкости несжимаемы, а их плотность обозначается \(\rho\);
• эффекты поверхностного натяжения не учитываются;
• изменением атмосферного давления с высотой можно пренебречь;
• температура окружающей среды \(T_a\) всюду одинакова, а все процессы изотермические.

Рис. 1. Художественное изображение часов Кокса \({}^{1}\)

Часть A - Вытягивание погружённой трубки

Сначала рассмотрим резервуар с водой, занимающей полубесконечное пространство \(z\leq0\). Давление воздуха над водой равно \(P_a=P_0\). В воду погружена вертикальная цилиндрическая трубка длиной \(H=1\,\mathrm m\), площадью поперечного сечения \(S=10\,\mathrm{cm^2}\) и массой \(m=0.5\,\mathrm{kg}\). Нижний конец трубки открыт, а верхний закрыт. Обозначим через \(h\) высоту верхнего конца трубки, а через \(z_\ell\) — уровень воды внутри трубки. Толщиной стенок трубки пренебрегаем.

Рис. 2. Схематическое изображение трубки в различных состояниях

Начнём с ситуации, когда трубка на рис. 2 не содержит газа, а её верхний конец находится на уровне поверхности воды в резервуаре: иными словами, \(h=0\) и \(z_\ell=0\) (случай a). Затем трубку медленно поднимают до тех пор, пока её нижний конец не достигнет уровня поверхности воды в резервуаре. Силу, с которой тянут трубку, обозначим \(\vec F=F\vec u_z\).

A.1 — 0.2 балла

Для конфигурации, показанной на рис. 2 (случай b), выразите давление \(P_w\) в воде у верхнего конца трубки. Также выразите силу \(\vec F\), необходимую для удержания трубки в этом положении. Выражения должны быть записаны через \(P_0,\rho,m,S,h,g\) и \(\vec u_z\).

Проводят три опыта. В каждом из них трубку поднимают из начального состояния, показанного на рис. 2(a), при условиях, указанных в таблице 1.

Таблица 1. Условия проведения опытов и численные значения физических величин для каждого опыта

(\(P_{\mathrm{sat}}\) обозначает давление насыщенного пара чистой жидкости)

В каждом случае исследуется изменение силы \(F\), которую необходимо приложить для удержания трубки в равновесии на высоте \(h\), при постоянном внешнем давлении \(P_a=P_0=1.000\times10^5\,\mathrm{Pa}\). Возможны два различных типа поведения

A.2 — 0.8 балла

Для каждого опыта заполните таблицу в бланке ответов, указав ожидаемый тип поведения и численные значения \(F_{\max}\) и \(h^\star\) (когда это применимо), где \(F_{\max}\) и \(h^\star\) определены на рисунках, иллюстрирующих два типа поведения.

Если заменить воду жидкой ртутью (свойства которой приведены ниже), наблюдается поведение B.

A.3 — 0.3 балла

Выразите относительную погрешность, обозначаемую \(\varepsilon\), возникающую при вычислении максимальной силы \(F_{\max}\), если пренебречь \(P_{\mathrm{sat}}\) по сравнению с \(P_0\). Приведите численное значение \(\varepsilon\).

Часть B - Барометрическая трубка из двух частей

Далее будем работать с ртутью (плотность \(\rho=13.5\times10^3\,\mathrm{kg\cdot m^{-3}}\)) при температуре окружающей среды \(T_a=20^\circ\mathrm C\) и считать \(P_{\mathrm{sat}}=0\).

Рассмотрим трубку с расширением в верхней части, которую моделируем двумя цилиндрами разных размеров, расположенными один над другим, как показано на рис. 3.

• нижняя часть (по-прежнему называемая трубкой) имеет площадь поперечного сечения \(S_t\) и высоту \(H_t=80\,\mathrm{cm}\);
• верхняя часть (называемая колбой) имеет площадь поперечного сечения \(S_b>S_t\) и высоту \(H_b=20\,\mathrm{cm}\).

Эта двухчастная трубка погружена в полубесконечный резервуар с жидкостью.

Рис. 3. Схема барометрической трубки из двух частей

Как и в части A, систему подготавливают так, чтобы в трубке не было воздуха. Вертикальное положение трубки зададим высотой \(h_t\) границы между трубкой и колбой. Высоту столба ртути вновь обозначим \(z_\ell\). Силу \(\vec F\), которую необходимо приложить для удержания трубки в равновесии в конфигурации, показанной на рис. 3, теперь можно записать в виде

\[ \vec F=(m_{\mathrm{tb}}+m_{\mathrm{add}})g\vec u_z \tag{1} \]

где \(m_{\mathrm{tb}}\) — полная масса двухчастной трубки (без ртути).

B.1 — 0.3 балла

В бланке ответов закрасьте область, соответствующую объёму жидкой ртути, который обусловливает слагаемое \(m_{\mathrm{add}}\) в уравнении (1).

Масса \(m_{\mathrm{add}}\) зависит как от высоты \(h_t\), так и от атмосферного давления \(P_a\). В следующем вопросе считайте, что атмосферное давление постоянно и равно \(P_a=P_0=1.000\times10^5\,\mathrm{Pa}\). Начиная с полностью погружённого состояния системы, трубку медленно поднимают до тех пор, пока её основание не окажется вровень с поверхностью жидкости в резервуаре.

B.2 — 1.4 балла

Изобразите качественный график зависимости массы \(m_{\mathrm{add}}\) от \(h_t\) при \(h_t\in[-H_b,H_t]\). Укажите на графике выражения для угловых коэффициентов различных участков, а также аналитические значения \(h_t\) всех точек излома через \(P_0,\rho,g,S_b,S_t,H_b\) и \(H_t\).

При подъёме системы при \(P_a=P_0=10^5\,\mathrm{Pa}\) остановимся, когда свободная поверхность жидкости окажется посередине колбы. Значение \(h_t\) фиксируется, после чего наблюдают изменения массы \(m_{\mathrm{add}}\), вызванные изменениями атмосферного давления, описываемыми выражением

\[ P_a(t)=P_0+P_1(t) \tag{2} \]

где \(P_0\) обозначает среднее значение, а \(P_1\) — малое возмущение. Моделируем \(P_1\) периодической треугольной функцией с амплитудой \(A=5\times10^2\,\mathrm{Pa}\) и периодом \(\tau_1\), равным 1 неделе.

Рис. 4. Упрощённая модель возмущения \(P_1(t)\)

B.3 — 0.3 балла

При \(S_t=5\,\mathrm{cm^2}\) и \(S_b=200\,\mathrm{cm^2}\) выразите амплитуду \(\Delta m_{\mathrm{add}}\) изменений массы \(m_{\mathrm{add}}\) со временем, затем приведите её численное значение. Считайте, что поверхность жидкости всегда остаётся внутри колбы.

Часть C - Часы Кокса

Реальный механизм, разработанный Коксом, сложен (рис. 5). Мы исследуем упрощённую версию, изображённую на рис. 6 и описанную ниже

• нижний цилиндрический резервуар содержит ртуть;
• в ртуть погружена двухчастная барометрическая трубка, идентичная рассмотренной в части B, из которой по-прежнему полностью удалён воздух;
• резервуар и двухчастная трубка подвешены каждый на своём тросе. Оба троса (которые считаются нерастяжимыми и имеют пренебрежимо малую массу) проходят через систему идеальных блоков и прикреплены к противоположным сторонам одного и того же груза массой \(M\), способного скользить по горизонтальной поверхности;
• общий объём жидкой ртути в системе равен \(V_\ell=5\,\mathrm L\).

Высота, площадь поперечного сечения и масса каждой части приведены в таблице 2. Положение груза \(M\) задаётся координатой \(x\) его центра масс. Учитывается сухое трение между горизонтальной опорой и грузом \(M\), причём коэффициенты трения покоя и скольжения считаются одинаковыми; модуль этой силы при скольжении обозначим \(F_s\).

Два упора ограничивают перемещение груза \(M\) так, что \(-X\leq x\leq X\) (где \(X>0\)). Считайте, что значение \(X\) гарантирует выполнение следующих условий:

• нижний конец двухчастной трубки никогда не касается дна резервуара и не выходит из жидкости;
• уровень \(z_\ell\) столба ртути всегда находится внутри верхней колбы.

Рис. 5. Настоящие часы Кокса \({}^{2}\) (без ртути)

Рис. 6. Схема системы, моделирующей часы

Таблица 2. Размеры и обозначения для модельной системы

Система взаимодействует с атмосферой, давление которой колеблется, как на рис. 4 (по-прежнему с амплитудой \(A=5\times10^2\,\mathrm{Pa}\) и периодом \(\tau_1=1\) неделя). В начальный момент \(t=0\) груз \(M\) покоится при \(x=0\), а силы натяжения двух тросов, действующие на груз \(M\) с противоположных сторон, уравновешивают друг друга при \(P_1(0)=0\). Введём

\[ \xi= \frac{S_b+S_c-S_t}{S_bS_c}\frac{F_s}{A} \simeq \frac{S_b+S_c}{S_bS_c}\frac{F_s}{A} \tag{3} \]

где в последнем выражении использовано условие \(S_t\ll S_b,S_c\) (которое будем считать выполненным до конца задачи).

C.1 — 1 балл

Определите пороговое значение \(\xi^\star\), такое, что при \(\xi>\xi^\star\) груз \(M\) остаётся в покое неограниченно долго.

Только в следующем вопросе предположим, что груз \(M\) временно зафиксирован при \(x=X\).

C.2 — 1 балл

Запишите выражение для суммарной силы натяжения \(\vec T=T\vec u_x\), действующей на груз \(M\) со стороны двух тросов в этом положении при \(P_1=0\), через \(\rho,g,X\) и соответствующие площади поперечных сечений.

При \(\xi<\xi^\star\), если вновь начать с \(x=0\) и \(P_1=0\), при \(t\geq0\) могут наблюдаться два различных типа поведения. Чтобы различить их, необходимо ввести ещё один параметр

\[ \lambda= \frac{2(S_b-S_t)}{S_b}\frac{\rho gX}{A} \simeq \frac{2\rho gX}{A} \tag{4} \]

C.3 — 2 балла

Заполните таблицу в бланке ответов, указав условие реализации каждого режима. Условия должны быть выражены в виде неравенств для \(\xi\) и/или \(\lambda\). Кроме того, изобразите качественные графики зависимости \(x(t)/X\) для \(t\in[0,3\tau_1]\), согласующиеся с уже изображёнными изменениями \(P_1(t)/A\). Указывать координаты характерных точек не требуется.

В настоящих часах Кокса энергия, вырабатываемая механизмом, запасается с помощью системы храповых механизмов и используется для подъёма противовеса, как в обычных часах. В рассматриваемой упрощённой модели энергия, получаемая часами, соответствует энергии, рассеиваемой силой трения, действующей на груз \(M\) со стороны горизонтальной поверхности. Далее будем считать, что параметры системы выбраны так, чтобы она работала в режиме, позволяющем часам получать энергию. Также будем считать, что установившийся режим уже достигнут. Обозначим через \(W\) энергию, рассеиваемую силой сухого трения за период \(\tau_1\); её можно выразить только через \(F_s\) и \(X\).

При прочих равных \(F_s\) и \(X\) можно изменять так, чтобы максимизировать энергию \(W\); обозначим их значения в оптимальном случае через \(F_s^\star\) и \(X^\star\) соответственно.

C.4 — 1 балл

Считая \(S_b\simeq S_c\) и \(S_t\ll S_b\), определите выражения для \(F_s^\star\) и \(X^\star\) как функций \(\rho,g,S_c\) и \(A\). Выразите соответствующую максимальную энергию \(W^\star\), затем вычислите её численное значение при \(A=5\times10^2\,\mathrm{Pa}\).

Обозначим через \(W_{\mathrm{pr}}^\star\) работу сил атмосферного давления, полученную системой в оптимальном случае за период \(\tau_1\).

C.5 — 1.7 балла

Выразите \(W_{\mathrm{pr}}^\star\), затем вычислите отношение \(W^\star/W_{\mathrm{pr}}^\star\). Может оказаться полезным изобразить эволюцию системы на диаграмме \((P,V)\), где \(V\) — объём системы.

Источники изображений:

[1]: Бруно Вакаро;
[2]: Музей Виктории и Альберта, Лондон.

Условие переведено с официального английского текста.

في عام 1765، اخترع صانع الساعات البريطاني جيمس كوكس ساعةً مصدر طاقتها الوحيد هو تقلبات الضغط الجوي. استخدمت ساعة كوكس وعاءين يحتويان على الزئبق. وكانت تغيرات الضغط الجوي تتسبب في انتقال الزئبق بين الوعاءين، وفي حركة الوعاءين أحدهما بالنسبة إلى الآخر. وقد مثّلت هذه الحركة مصدرًا للطاقة اللازمة لتشغيل الساعة نفسها.

نقترح تحليل هذا الجهاز. ونفترض في جميع ما يلي أن

• مجال الجاذبية الأرضية \(\vec g=-g\vec u_z\) منتظم، حيث \(g=9.8\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\) و\(\vec u_z\) متجه وحدة؛
• جميع السوائل غير قابلة للانضغاط، ويُرمز إلى كثافتها بـ\(\rho\)؛
• لن تؤخذ تأثيرات التوتر السطحي في الحسبان؛
• تُهمل تغيرات الضغط الجوي مع الارتفاع؛
• درجة حرارة الوسط المحيط \(T_a\) منتظمة، وجميع التحولات متساوية الحرارة.

الشكل 1. تصور فني لساعة كوكس \({}^{1}\)

الجزء A - سحب أنبوب مغمور

ننظر أولًا في حوض ماء يشغل الحيز نصف اللانهائي \(z\leq0\). ويكون الهواء فوقه عند ضغط \(P_a=P_0\). يُغمر في الحوض أنبوب أسطواني رأسي طوله \(H=1\,\mathrm m\)، ومساحة مقطعه \(S=10\,\mathrm{cm^2}\)، وكتلته \(m=0.5\,\mathrm{kg}\). الطرف السفلي للأنبوب مفتوح، وطرفه العلوي مغلق. نرمز بـ\(h\) إلى منسوب قمة الأنبوب، وبـ\(z_\ell\) إلى منسوب الماء داخل الأنبوب. ويُهمل سمك جدران الأنبوب.

الشكل 2. رسم تخطيطي للأنبوب في أوضاع مختلفة

نبدأ من الحالة التي لا يحتوي فيها الأنبوب في الشكل 2 على أي غاز، وتكون قمته عند مستوى سطح الحوض: أي إن \(h=0\) و\(z_\ell=0\) (الحالة a). ثم يُرفع الأنبوب ببطء حتى يصل طرفه السفلي إلى مستوى سطح الحوض. ويُرمز إلى قوة السحب المؤثرة في الأنبوب بـ\(\vec F=F\vec u_z\).

A.1 — 0.2 نقطة

للوضع المبين في الشكل 2 (الحالة b)، عبّر عن الضغط \(P_w\) في الماء عند قمة الأنبوب. وعبّر أيضًا عن القوة \(\vec F\) اللازمة لإبقاء الأنبوب في هذا الموضع. يجب كتابة التعابير بدلالة \(P_0,\rho,m,S,h,g\) و\(\vec u_z\).

تُجرى ثلاث تجارب. وفي كل منها، يُرفع الأنبوب من الحالة الابتدائية المبينة في الشكل 2(a)، وفق الشروط المحددة في الجدول 1.

الجدول 1. الشروط التجريبية والقيم العددية للكميات الفيزيائية في كل تجربة

(يشير \(P_{\mathrm{sat}}\) إلى ضغط البخار المشبع للمائع النقي)

في كل حالة، ندرس تغير القوة \(F\) التي يجب تطبيقها لإبقاء الأنبوب في حالة اتزان عند منسوب \(h\)، مع تثبيت الضغط الخارجي عند \(P_a=P_0=1.000\times10^5\,\mathrm{Pa}\). ويمكن أن يظهر سلوكان مختلفان

A.2 — 0.8 نقطة

لكل تجربة، أكمل الجدول في ورقة الإجابة لتبيين السلوك المتوقع والقيم العددية لكل من \(F_{\max}\) و\(h^\star\) (عندما يكون ذلك ذا صلة)، حيث يُعرَّف \(F_{\max}\) و\(h^\star\) في الشكلين اللذين يوضحان السلوكين.

عندما نستبدل الماء بالزئبق السائل (الذي ترد خواصه أدناه)، يُلاحظ السلوك B.

A.3 — 0.3 نقطة

عبّر عن الخطأ النسبي، الذي يُرمز إليه بـ\(\varepsilon\)، المرتكب عند حساب القوة العظمى \(F_{\max}\) بإهمال \(P_{\mathrm{sat}}\) مقارنةً بـ\(P_0\). أعطِ القيمة العددية لـ\(\varepsilon\).

الجزء B - أنبوب بارومتري ذو جزأين

من الآن فصاعدًا، نستخدم الزئبق (كثافته \(\rho=13.5\times10^3\,\mathrm{kg\cdot m^{-3}}\)) عند درجة حرارة الوسط المحيط \(T_a=20^\circ\mathrm C\)، ونأخذ \(P_{\mathrm{sat}}=0\).

لننظر في أنبوب يعلوه خزان، نمثله بأسطوانتين موضوعتين إحداهما فوق الأخرى ولهما أبعاد مختلفة، كما هو مبين في الشكل 3.

• الجزء السفلي (الذي سنظل نسميه الأنبوب) مساحة مقطعه \(S_t\) وارتفاعه \(H_t=80\,\mathrm{cm}\)؛
• الجزء العلوي (المسمى الانتفاخ) مساحة مقطعه \(S_b>S_t\) وارتفاعه \(H_b=20\,\mathrm{cm}\).

يُغمر هذا الأنبوب ذو الجزأين في حوض سائل نصف لانهائي.

الشكل 3. رسم تخطيطي للأنبوب البارومتري ذي الجزأين

كما في الجزء A، يُحضَّر النظام بحيث لا يحتوي الأنبوب على أي هواء. ونحدد الموضع الرأسي للأنبوب بمنسوب \(h_t\) لنقطة اتصال الأنبوب بالانتفاخ. ونرمز مجددًا إلى ارتفاع عمود الزئبق بـ\(z_\ell\). ويمكن الآن كتابة القوة \(\vec F\) التي يجب بذلها لإبقاء الأنبوب في حالة اتزان في الوضع المبين في الشكل 3 على الصورة

\[ \vec F=(m_{\mathrm{tb}}+m_{\mathrm{add}})g\vec u_z \tag{1} \]

حيث \(m_{\mathrm{tb}}\) هي الكتلة الكلية للأنبوب ذي الجزأين (عندما يكون خاليًا من الزئبق).

B.1 — 0.3 نقطة

لوّن في ورقة الإجابة المنطقة التي تقابل حجم الزئبق السائل المسؤول عن الحد \(m_{\mathrm{add}}\) الوارد في المعادلة (1).

تعتمد الكتلة \(m_{\mathrm{add}}\) على كل من الارتفاع \(h_t\) والضغط الجوي \(P_a\). في السؤال التالي، افترض أن الضغط الجوي ثابت عند \(P_a=P_0=1.000\times10^5\,\mathrm{Pa}\). انطلاقًا من الحالة التي يكون فيها النظام مغمورًا بالكامل، يُرفع الأنبوب ببطء حتى تصبح قاعدته بمحاذاة سطح حوض السائل.

B.2 — 1.4 نقطة

ارسم رسمًا تخطيطيًا لتغير الكتلة \(m_{\mathrm{add}}\) بدلالة \(h_t\)، من أجل \(h_t\in[-H_b,H_t]\). بيّن على الرسم تعابير ميول القطع المختلفة، وكذلك القيمة التحليلية لـ\(h_t\) عند كل نقطة زاوية، بدلالة \(P_0,\rho,g,S_b,S_t,H_b\) و\(H_t\).

أثناء رفع النظام مع بقاء \(P_a=P_0=10^5\,\mathrm{Pa}\)، نتوقف عندما يكون السطح الحر للسائل في منتصف الانتفاخ. نثبت قيمة \(h_t\)، ثم نلاحظ تغيرات الكتلة \(m_{\mathrm{add}}\) الناتجة عن تغيرات الضغط الجوي الموصوفة بالعلاقة

\[ P_a(t)=P_0+P_1(t) \tag{2} \]

حيث يشير \(P_0\) إلى القيمة المتوسطة، و\(P_1\) حد اضطرابي. نمثل \(P_1\) بدالة مثلثية دورية سعتها \(A=5\times10^2\,\mathrm{Pa}\) ودورها \(\tau_1\) أسبوع واحد.

الشكل 4. نموذج مبسط للحد الاضطرابي \(P_1(t)\)

B.3 — 0.3 نقطة

علمًا بأن \(S_t=5\,\mathrm{cm^2}\) و\(S_b=200\,\mathrm{cm^2}\)، عبّر عن سعة \(\Delta m_{\mathrm{add}}\) تغيرات الكتلة \(m_{\mathrm{add}}\) مع الزمن، ثم أعطِ قيمتها العددية. افترض أن سطح السائل يبقى دائمًا داخل الانتفاخ.

الجزء C - ساعة كوكس

الآلية الفعلية التي طوّرها كوكس معقدة (الشكل 5). ندرس نسخة مبسطة، مبينة في الشكل 6 وموصوفة أدناه

• حوض سفلي أسطواني يحتوي على حمام من الزئبق؛
• أنبوب بارومتري ذو جزأين مماثل لذلك المدروس في الجزء B، ما يزال مفرغًا تمامًا من أي هواء، ومغمور في الحمام؛
• يُعلَّق كل من الحوض والأنبوب ذي الجزأين بكبل. يمر الكبلان (المفترض أنهما غير قابلين للاستطالة وكتلتهما مهملة) عبر منظومة بكرات مثالية، وينتهيان مثبتين على جانبي الكتلة نفسها \(M\)، التي يمكنها الانزلاق على سطح أفقي؛
• الحجم الكلي للزئبق السائل الموجود في النظام هو \(V_\ell=5\,\mathrm L\).

ترد ارتفاعات الأجزاء ومساحات مقاطعها وكتلها في الجدول 2. يُحدد موضع الكتلة \(M\) بالإحداثي \(x\) لمركز كتلتها. نأخذ في الحسبان الاحتكاك الجاف بين المسند الأفقي والكتلة \(M\)، دون تمييز بين معاملي الاحتكاك السكوني والحركي؛ ويُرمز إلى مقدار هذه القوة عند حدوث الانزلاق بـ\(F_s\).

يحدّ مصدّان من إزاحة الكتلة \(M\) بحيث \(-X\leq x\leq X\) (مع \(X>0\)). افترض أن قيمة \(X\) تضمن أن

• قاع الأنبوب ذي الجزأين لا يلامس قاع الحوض أبدًا، ولا يخرج من حمام السائل؛
• منسوب \(z_\ell\) عمود الزئبق يقع دائمًا داخل الانتفاخ العلوي.

الشكل 5. ساعة كوكس الفعلية \({}^{2}\) (من دون زئبق)

الشكل 6. رسم تخطيطي للنظام الذي يمثل الساعة

الجدول 2. أبعاد النظام النموذجي ورموزه

يتطور النظام وهو على تماس مع الغلاف الجوي، الذي يتقلب ضغطه كما في الشكل 4 (مع بقاء السعة \(A=5\times10^2\,\mathrm{Pa}\) والدور \(\tau_1=1\) أسبوع). في البداية \(t=0\)، تكون الكتلة \(M\) ساكنة عند \(x=0\)، وتكون قوتا الشد اللتان يبذلهما الكبلان على جانبي الكتلة \(M\) متوازنتين، مع \(P_1(0)=0\). نعرّف

\[ \xi= \frac{S_b+S_c-S_t}{S_bS_c}\frac{F_s}{A} \simeq \frac{S_b+S_c}{S_bS_c}\frac{F_s}{A} \tag{3} \]

حيث يستخدم التعبير الأخير العلاقة \(S_t\ll S_b,S_c\) (التي سنفترض صحتها حتى نهاية المسألة).

C.1 — 1 نقطة

حدد العتبة \(\xi^\star\) التي تبقى الكتلة \(M\) عند تجاوزها ساكنة إلى أجل غير مسمى، أي عندما \(\xi>\xi^\star\).

للسؤال التالي فقط، افترض أن الكتلة \(M\) مثبتة مؤقتًا عند \(x=X\).

C.2 — 1 نقطة

أعطِ تعبيرًا لقوة الشد الكلية \(\vec T=T\vec u_x\) المؤثرة في الكتلة \(M\) بفعل شد الكبلين عند هذا الموضع، عندما \(P_1=0\)، بدلالة \(\rho,g,X\) ومساحات المقاطع ذات الصلة.

عندما \(\xi<\xi^\star\)، وبالبدء مجددًا من \(x=0\) و\(P_1=0\)، يمكن ملاحظة سلوكين مختلفين من أجل \(t\geq0\). وللتمييز بينهما، نحتاج إلى إدخال معامل آخر

\[ \lambda= \frac{2(S_b-S_t)}{S_b}\frac{\rho gX}{A} \simeq \frac{2\rho gX}{A} \tag{4} \]

C.3 — 2 نقطة

أكمل الجدول في ورقة الإجابة لتبيين الشرط الذي يتحقق في ظله كل نمط. يجب التعبير عن الشروط بمتباينات تتعلق بـ\(\xi\) و/أو \(\lambda\). وارسم أيضًا رسمًا تخطيطيًا لتغيرات \(x(t)/X\) من أجل \(t\in[0,3\tau_1]\)، بحيث تتوافق مع تغيرات \(P_1(t)/A\) المبينة مسبقًا. لا يلزم تحديد إحداثيات النقاط المميزة.

في ساعة كوكس الفعلية، تُخزَّن الطاقة التي توفرها الآلية باستخدام منظومة مسننات ذات سقّاطات، وتُستخدم لرفع ثقل موازن، كما في الساعة التقليدية. وفي النموذج المبسط المدروس هنا، تقابل الطاقة التي تستخلصها الساعة الطاقة المبددة بفعل قوة الاحتكاك التي يبذلها السطح الأفقي على الكتلة \(M\). من الآن فصاعدًا، نفترض أن أبعاد النظام مختارة بحيث يعمل في النمط الذي يتيح للساعة استخلاص الطاقة. ونفترض أيضًا أن النظام قد بلغ الحالة الدائمة. نرمز بـ\(W\) إلى الطاقة المبددة بفعل قوة الاحتكاك الجاف خلال دور \(\tau_1\)، والتي يمكن التعبير عنها بدلالة \(F_s\) و\(X\) فقط.

مع ثبات سائر العوامل، يمكن ضبط \(F_s\) و\(X\) لتعظيم الطاقة \(W\)؛ ونرمز بـ\(F_s^\star\) و\(X^\star\) إلى قيمتيهما، على الترتيب، في الحالة المثلى.

C.4 — 1 نقطة

باعتبار \(S_b\simeq S_c\) و\(S_t\ll S_b\)، حدد تعبيري \(F_s^\star\) و\(X^\star\) بدلالة \(\rho,g,S_c\) و\(A\). عبّر عن الطاقة العظمى الموافقة \(W^\star\)، ثم احسب قيمتها العددية مع \(A=5\times10^2\,\mathrm{Pa}\).

نرمز بـ\(W_{\mathrm{pr}}^\star\) إلى شغل قوى الضغط الجوي الذي يتلقاه النظام في الحالة المثلى خلال دور \(\tau_1\).

C.5 — 1.7 نقطة

عبّر عن \(W_{\mathrm{pr}}^\star\)، ثم احسب النسبة \(W^\star/W_{\mathrm{pr}}^\star\). قد يكون من المفيد تمثيل تطور النظام في مخطط \((P,V)\)، حيث \(V\) حجم النظام.

نَسب الصور:

[1]: Bruno Vacaro;
[2]: متحف فيكتوريا وألبرت، لندن.

نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي.