Warning: Excessive alcohol consumption is harmful to health and drinking alcohol below legal age is prohibited.

Champagne is a French sparkling wine. Fermentation of sugars produces carbon dioxide (\(\mathrm{CO}_2\)) in the bottle. The molar concentration of \(\mathrm{CO}_2\) in the liquid phase \(c_\ell\) and the partial pressure \(P_{\mathrm{CO}_2}\) in the gas phase are related by \(c_\ell=k_{\mathrm H}P_{\mathrm{CO}_2}\), known as Henry's law and where \(k_{\mathrm H}\) is called Henry's constant.

Data

• Surface tension of champagne \(\sigma=47\times10^{-3}\,\mathrm{J\cdot m^{-2}}\)
• Density of the liquid \(\rho_\ell=1.0\times10^3\,\mathrm{kg\cdot m^{-3}}\)
• Henry's constant at \(T_0=20^\circ\mathrm C\), \(k_{\mathrm H}(20^\circ\mathrm C)=3.3\times10^{-4}\,\mathrm{mol\cdot m^{-3}\cdot Pa^{-1}}\)
• Henry's constant at \(T_0=6^\circ\mathrm C\), \(k_{\mathrm H}(6^\circ\mathrm C)=5.4\times10^{-4}\,\mathrm{mol\cdot m^{-3}\cdot Pa^{-1}}\)
• Atmospheric pressure \(P_0=1\,\mathrm{bar}=1.0\times10^5\,\mathrm{Pa}\)
• Gases are ideal with an adiabatic coefficient \(\gamma=1.3\)

Fig. 1. A glass filled with champagne.

Part A. Nucleation, growth and rise of bubbles

Immediately after opening a bottle of champagne at temperature \(T_0=20^\circ\mathrm C\), we fill a glass. The pressure in the liquid is \(P_0\) and its temperature stays constant at \(T_0\). The concentration \(c_\ell\) of dissolved \(\mathrm{CO}_2\) exceeds the equilibrium concentration and we study the nucleation of a \(\mathrm{CO}_2\) bubble. We note \(a\) its radius and \(P_{\mathrm b}\) its inner pressure.

A.1 — 0.2pt

Express the pressure \(P_{\mathrm b}\) in terms of \(P_0\), \(a\) and \(\sigma\).

In the liquid, the concentration of dissolved \(\mathrm{CO}_2\) depends on the distance to the bubble. At long distance we recover the value \(c_\ell\) and we note \(c_{\mathrm b}\) the concentration close to the bubble surface. According to Henry's law, \(c_{\mathrm b}=k_{\mathrm H}P_{\mathrm b}\). We furthermore assume in all the problem that bubbles contain only \(\mathrm{CO}_2\).

Since \(c_\ell\ne c_{\mathrm b}\), \(\mathrm{CO}_2\) molecules diffuse from areas of high to low concentration. We assume also that any molecule from the liquid phase reaching the bubble surface is transferred to the vapour.

A.2 — 0.5pt

Express the critical radius \(a_{\mathrm c}\) above which a bubble is expected to grow in terms of \(P_0,\sigma,c_\ell\) and \(c_0\) where \(c_0=k_{\mathrm H}P_0\). Calculate numerically \(a_{\mathrm c}\) for \(c_\ell=4c_0\).

In practice, bubbles mainly grow from pre-existing gas cavities. Consider then a bubble with initial radius \(a_0\approx40\,\mu\mathrm m\). The number of moles of \(\mathrm{CO}_2\) transferred at the bubble's surface per unit area and time is noted \(j\). Two models are possible for \(j\).

• model (1) \(j=\dfrac{D}{a}(c_\ell-c_{\mathrm b})\) where \(D\) is the diffusion coefficient of \(\mathrm{CO}_2\) in the liquid.
• model (2) \(j=K(c_\ell-c_{\mathrm b})\) where \(K\) is a constant here.

Experimentally, the bubble radius \(a(t)\) is found to depend on time as shown in Fig. 2. Here \(c_\ell\approx4c_0\), and since bubbles are large enough to be visible, the excess pressure due to surface tension can be neglected and \(P_{\mathrm b}\approx P_0\).

A.3 — 1.2pt

Express the number of \(\mathrm{CO}_2\) moles in the bubble \(n_{\mathrm c}\) in terms of \(a,P_0,T_0\) and ideal gas constant \(R\). Find \(a(t)\) for both models. Indicate which model explains the experimental results in Fig. 2. Depending on your answer, calculate numerically \(K\) or \(D\).

Fig. 2. Time evolution of \(\mathrm{CO}_2\) bubble radius in a glass of champagne (adapted from [1]).

Eventually bubbles detach from the bottom of the glass and continue to grow while rising. Fig. 3. shows a train of bubbles. The bubbles of the train have the same initial radius and are emitted at a constant frequency \(f_{\mathrm b}=20\,\mathrm{Hz}\).

Fig. 3. A train of bubbles. The photo is rotated horizontally for the page layout (adapted from [1]).

For the range of velocities studied here, the drag force \(F\) on a bubble of radius \(a\) moving at velocity \(v\) in a liquid of dynamic viscosity \(\eta\) is given by Stokes' law \(F=6\pi\eta av\). Measurements show that at any moment in time, the bubble can be assumed to be travelling at its terminal velocity.

A.4 — 0.8pt

Give the expression of the main forces exerted on a vertically rising bubble. Obtain the expression of \(v(a)\). Give a numerical estimate of \(\eta\) using \(\rho_\ell\), \(g_0\) and quantities measured on Fig. 3.

The quasi-stationary growth of bubbles with rate \(q_a=\dfrac{\mathrm da}{\mathrm dt}\) still applies during bubble rise.

A.5 — 0.5pt

Express the radius \(a_{H_\ell}\) of a bubble reaching the free surface in terms of height travelled \(H_\ell\), growth rate \(q_a=\dfrac{\mathrm da}{\mathrm dt}\), and any constants you may need. Assume \(a_{H_\ell}\gg a_0\) and \(q_a\) constant, and give the numerical value of \(a_{H_\ell}\) with \(H_\ell=10\,\mathrm{cm}\) and \(q_a\) corresponding to Fig. 2.

There are \(N_{\mathrm b}\) nucleation sites of bubbles. Assume that the bubbles are nucleated at a constant frequency \(f_{\mathrm b}\) at the bottom of a glass of champagne (height \(H_\ell\) for a volume \(V_\ell\)), with \(a_0\) still negligible. Neglect diffusion of \(\mathrm{CO}_2\) at the free surface.

A.6 — 1.1pt

Write the differential equation for \(c_\ell(t)\). Obtain from this equation the characteristic time \(\tau\) for the decay of the concentration of dissolved \(\mathrm{CO}_2\) in the liquid.

Part B. Acoustic emission of a bursting bubble

Small bubbles are nearly spherical as they reach the free surface. Once the liquid film separating the bubble from the air thins out sufficiently, a circular hole of radius \(r\) forms in the film and, driven by surface tension, opens very quickly (Fig. 4. left). The hole opens at constant speed \(v_{\mathrm f}\) (Fig. 4. right). The film outside the rim remains still, with constant thickness \(h\).

Fig. 4. (Left) \((\alpha)\) Bubble at the surface: (1) liquid, (2) air at pressure \(P_0\) and (3), \(\mathrm{CO}_2\) at pressure \(P_{\mathrm b}\), \((\beta)\) and \((\gamma)\) retraction of the liquid film, where the rim is in dark blue, \((\delta)\) bubble collapse. (Right) Retraction of the liquid film at time \(t\). Top: sketch of the pierced film seen from above. Bottom: cross-section of the rim and the retracting film. During \(\mathrm dt\) the rim accumulates nearby liquid (dotted).

Due to dissipative processes, only half of the difference of the surface energy between \(t\) and \(t+\mathrm dt\) of the rim and the accumulated liquid is transformed into kinetic energy. We further assume that the variation of the surface of the rim is negligible compared to that of the film.

B.1 — 1.1pt

Express \(v_{\mathrm f}\) in terms of \(\rho_\ell,\sigma\) and \(h\).

Fig. 5. (Left) a Helmholtz resonator. (Right) a bubble as an oscillator.

When the film bursts, it releases internal pressure and emits a sound. We model this acoustic emission by a Helmholtz resonator: a cavity open to the atmosphere at \(P_0\) through a bottleneck aperture of area \(S\) (Fig. 5. left). In the neck, a mass \(m_{\mathrm p}\) makes small amplitude position oscillations due to the pressure forces it experiences as the gas in the cavity expands or compresses adiabatically. The gravity force on \(m_{\mathrm p}\) is negligible compared to pressure forces. Let \(V_0\) be the volume of gas under the mass \(m_{\mathrm p}\) for \(P=P_0\) as \(z=0\).

B.2 — 1.1pt

Express the frequency of oscillation \(f_0\) of \(m_{\mathrm p}\). Hint: for \(\varepsilon\ll1\), \((1+\varepsilon)^\alpha\approx1+\alpha\varepsilon\).

The Helmholtz model may be used for a bubble of radius \(a\). \(V_0\) is the volume of the closed bubble. From litterature, the mass of the equivalent of the piston is \(m_{\mathrm p}=8\rho_{\mathrm g}r^3/3\) where \(r\) is the radius of the circular aperture and \(\rho_{\mathrm g}=1.8\,\mathrm{kg\cdot m^{-3}}\) is the density of the gas (Fig. 5. right). During the bursting process, \(r\) goes from \(0\) to \(r_{\mathrm c}\), given by \[ r_{\mathrm c}=\frac{2}{\sqrt3}a^2\sqrt{\frac{\rho_\ell g_0}{\sigma}}. \] At the same time, the frequency of emitted sound increases until a maximum value of \(40\,\mathrm{kHz}\) and the bursting time is \(t_{\mathrm b}=3\times10^{-2}\,\mathrm{ms}\).

B.3 — 1.1pt

Find the radius \(a\) and the thickness \(h\) of the champagne film separating the bubble from the atmosphere.

Part C. Popping champagne

In a bottle, the total quantity of \(\mathrm{CO}_2\) is \(n_{\mathrm T}=0.2\,\mathrm{mol}\), either dissolved in the volume \(V_{\mathrm L}=750\,\mathrm{mL}\) of liquid champagne, or as a gas in the volume \(V_{\mathrm G}=25\,\mathrm{mL}\) under the cork (Fig. 6. left). \(V_{\mathrm G}\) contains only \(\mathrm{CO}_2\). The equilibrium between both \(\mathrm{CO}_2\) phases follows Henry's Law. We suppose that the fast gaseous \(\mathrm{CO}_2\) expansion when the bottle is opened, is adiabatic and reversible. Ambient temperature \(T_0\) and pressure \(P_0=1\,\mathrm{bar}\) are constant.

Fig. 6. Left: traditional bottleneck: (1) surrounding air, (2) cork stopper, (3) headspace, (4) liquid champagne. Right: Two phenomena observed while opening the bottle at two different temperatures (adapted from [2]).

C.1 — 0.4pt

Give the numerical value of the pressure \(P_{\mathrm i}\) of gaseous \(\mathrm{CO}_2\) in the bottle for \(T_0=6^\circ\mathrm C\) and \(T_0=20^\circ\mathrm C\).

Another step of champagne production (not described here) leads to the following values of \(P_{\mathrm i}\) that we will use for the next questions: \(P_{\mathrm i}=4.69\,\mathrm{bar}\) at \(T_0=6^\circ\mathrm C\) and \(P_{\mathrm i}=7.45\,\mathrm{bar}\) at \(T_0=20^\circ\mathrm C\).

During bottle opening, two different phenomena can be observed, depending on \(T_0\) (Fig. 6. right).

• either a blue fog appears, due to the formation of solid \(\mathrm{CO}_2\) crystals (but water condensation is inhibited);
• or a grey-white fog appears, due to water vapor condensation in the air surrounding the bottleneck. In this latter case, there is no formation of \(\mathrm{CO}_2\) solid crystals.

The saturated vapor pressure \(P_{\mathrm{sat}}^{\mathrm{CO}_2}\) for the \(\mathrm{CO}_2\) solid/gas transition follows: \[ \log_{10}\left(\frac{P_{\mathrm{sat}}^{\mathrm{CO}_2}}{P_0}\right) =A-\frac{B}{T+C} \] with \(T\) in \(\mathrm K\), \(A=6.81\), \(B=1.30\times10^3\,\mathrm K\) and \(C=-3.49\,\mathrm K\).

C.2 — 0.7pt

Give the numerical value \(T_{\mathrm f}\) of the \(\mathrm{CO}_2\) gas at the end of the expansion, after opening a bottle, if \(T_0=6^\circ\mathrm C\) and if \(T_0=20^\circ\mathrm C\), if no phase transition occured.

Choose which statements are true (several statements possible):

1. At \(T_0=6^\circ\mathrm C\) a grey-white fog appears while opening the bottle.
2. At \(T_0=6^\circ\mathrm C\) a blue fog appears while opening the bottle.
3. At \(T_0=20^\circ\mathrm C\) a grey-white fog appears while opening the bottle.
4. At \(T_0=20^\circ\mathrm C\) a blue fog appears while opening the bottle.

During bottle opening, the cork stopper pops out. We now determine the maximum height \(H_{\mathrm c}\) it reaches. Assume that the friction force \(F\) due to the bottleneck on the cork stopper is \(F=\alpha A\) where \(A\) is the area of contact and \(\alpha\) is a constant to determine. Initially, the pressure force slightly overcomes the friction force. The cork's mass is \(m=10\,\mathrm g\), its diameter \(d=1.8\,\mathrm{cm}\) and the length of the cylindrical part initially stuck in the bottleneck is \(\ell_0=2.5\,\mathrm{cm}\). Once the cork has left the bottleneck, you can neglect the net pressure force.

C.3 — 1.3pt

Give the numerical value of \(H_{\mathrm c}\) if the external temperature is \(T_0=6^\circ\mathrm C\).

[1] Liger-Belair et al, Am. J. Enol. Vitic., Vol. 50, No. 3 (1999).

[2] Liger-Belair et al., Sc. Reports 7, 10938 (2017).

General Data Sheet

Official English text of the problem.

Warnung: Übermäßiger Alkoholkonsum ist gesundheitsschädlich, und der Konsum von Alkohol unterhalb des gesetzlichen Mindestalters ist verboten.

Champagner ist ein französischer Schaumwein. Durch die Vergärung von Zucker entsteht Kohlendioxid (\(\mathrm{CO}_2\)) in der Flasche. Die Stoffmengenkonzentration von \(\mathrm{CO}_2\) in der flüssigen Phase \(c_\ell\) und der Partialdruck \(P_{\mathrm{CO}_2}\) in der Gasphase hängen über \(c_\ell=k_{\mathrm H}P_{\mathrm{CO}_2}\) zusammen. Dieser Zusammenhang ist als Henry-Gesetz bekannt; \(k_{\mathrm H}\) wird als Henry-Konstante bezeichnet.

Daten

• Oberflächenspannung von Champagner \(\sigma=47\times10^{-3}\,\mathrm{J\cdot m^{-2}}\)
• Dichte der Flüssigkeit \(\rho_\ell=1.0\times10^3\,\mathrm{kg\cdot m^{-3}}\)
• Henry-Konstante bei \(T_0=20^\circ\mathrm C\), \(k_{\mathrm H}(20^\circ\mathrm C)=3.3\times10^{-4}\,\mathrm{mol\cdot m^{-3}\cdot Pa^{-1}}\)
• Henry-Konstante bei \(T_0=6^\circ\mathrm C\), \(k_{\mathrm H}(6^\circ\mathrm C)=5.4\times10^{-4}\,\mathrm{mol\cdot m^{-3}\cdot Pa^{-1}}\)
• Atmosphärendruck \(P_0=1\,\mathrm{bar}=1.0\times10^5\,\mathrm{Pa}\)
• Die Gase sind ideal und haben einen Adiabatenexponenten \(\gamma=1.3\)

Abb. 1. Ein mit Champagner gefülltes Glas.

Teil A. Keimbildung, Wachstum und Aufstieg von Blasen

Unmittelbar nach dem Öffnen einer Champagnerflasche bei der Temperatur \(T_0=20^\circ\mathrm C\) füllen wir ein Glas. Der Druck in der Flüssigkeit beträgt \(P_0\), und ihre Temperatur bleibt konstant bei \(T_0\). Die Konzentration \(c_\ell\) des gelösten \(\mathrm{CO}_2\) übersteigt die Gleichgewichtskonzentration, und wir untersuchen die Keimbildung einer \(\mathrm{CO}_2\)-Blase. Ihren Radius bezeichnen wir mit \(a\) und ihren Innendruck mit \(P_{\mathrm b}\).

A.1 — 0.2 Punkte

Drücken Sie den Druck \(P_{\mathrm b}\) durch \(P_0\), \(a\) und \(\sigma\) aus.

In der Flüssigkeit hängt die Konzentration des gelösten \(\mathrm{CO}_2\) vom Abstand zur Blase ab. In großer Entfernung nimmt sie wieder den Wert \(c_\ell\) an; die Konzentration nahe der Blasenoberfläche bezeichnen wir mit \(c_{\mathrm b}\). Nach dem Henry-Gesetz gilt \(c_{\mathrm b}=k_{\mathrm H}P_{\mathrm b}\). Außerdem nehmen wir in der gesamten Aufgabe an, dass die Blasen ausschließlich \(\mathrm{CO}_2\) enthalten.

Da \(c_\ell\ne c_{\mathrm b}\), diffundieren \(\mathrm{CO}_2\)-Moleküle aus Bereichen hoher in Bereiche niedriger Konzentration. Wir nehmen zudem an, dass jedes Molekül aus der flüssigen Phase, das die Blasenoberfläche erreicht, in die Dampfphase übergeht.

A.2 — 0.5 Punkte

Drücken Sie den kritischen Radius \(a_{\mathrm c}\), oberhalb dessen eine Blase voraussichtlich wächst, durch \(P_0,\sigma,c_\ell\) und \(c_0\) aus, wobei \(c_0=k_{\mathrm H}P_0\) ist. Berechnen Sie den Zahlenwert von \(a_{\mathrm c}\) für \(c_\ell=4c_0\).

In der Praxis wachsen Blasen hauptsächlich aus bereits vorhandenen gasgefüllten Hohlräumen. Betrachten Sie daher eine Blase mit dem Anfangsradius \(a_0\approx40\,\mu\mathrm m\). Die Stoffmenge an \(\mathrm{CO}_2\), die pro Flächen- und Zeiteinheit an der Blasenoberfläche übertragen wird, wird mit \(j\) bezeichnet. Für \(j\) kommen zwei Modelle infrage.

• Modell (1) \(j=\dfrac{D}{a}(c_\ell-c_{\mathrm b})\), wobei \(D\) der Diffusionskoeffizient von \(\mathrm{CO}_2\) in der Flüssigkeit ist.
• Modell (2) \(j=K(c_\ell-c_{\mathrm b})\), wobei \(K\) hier eine Konstante ist.

Experimentell ergibt sich für den Blasenradius \(a(t)\) die in Abb. 2 dargestellte Zeitabhängigkeit. Hier gilt \(c_\ell\approx4c_0\), und da die Blasen groß genug sind, um sichtbar zu sein, kann der durch die Oberflächenspannung verursachte Überdruck vernachlässigt werden; somit gilt \(P_{\mathrm b}\approx P_0\).

A.3 — 1.2 Punkte

Drücken Sie die Stoffmenge \(n_{\mathrm c}\) des \(\mathrm{CO}_2\) in der Blase durch \(a,P_0,T_0\) und die universelle Gaskonstante \(R\) aus. Bestimmen Sie \(a(t)\) für beide Modelle. Geben Sie an, welches Modell die experimentellen Ergebnisse in Abb. 2 erklärt. Berechnen Sie je nach Ihrer Antwort den Zahlenwert von \(K\) oder \(D\).

Abb. 2. Zeitliche Entwicklung des Radius einer \(\mathrm{CO}_2\)-Blase in einem Glas Champagner (nach [1]).

Schließlich lösen sich die Blasen vom Glasboden und wachsen während ihres Aufstiegs weiter. Abb. 3. zeigt eine Blasenkette. Die Blasen dieser Kette haben denselben Anfangsradius und werden mit einer konstanten Frequenz \(f_{\mathrm b}=20\,\mathrm{Hz}\) freigesetzt.

Abb. 3. Eine Blasenkette. Für das Seitenlayout wurde das Foto in die Horizontale gedreht (nach [1]).

Im hier untersuchten Geschwindigkeitsbereich ist die Widerstandskraft \(F\) auf eine Blase mit dem Radius \(a\), die sich mit der Geschwindigkeit \(v\) in einer Flüssigkeit mit der dynamischen Viskosität \(\eta\) bewegt, durch das Stokes-Gesetz \(F=6\pi\eta av\) gegeben. Messungen zeigen, dass zu jedem Zeitpunkt angenommen werden kann, dass sich die Blase mit ihrer Endgeschwindigkeit bewegt.

A.4 — 0.8 Punkte

Geben Sie die Ausdrücke für die wesentlichen Kräfte an, die auf eine senkrecht aufsteigende Blase wirken. Leiten Sie den Ausdruck für \(v(a)\) her. Schätzen Sie den Zahlenwert von \(\eta\) mithilfe von \(\rho_\ell\), \(g_0\) und Größen ab, die Sie aus Abb. 3 abmessen.

Das quasistationäre Blasenwachstum mit der Rate \(q_a=\dfrac{\mathrm da}{\mathrm dt}\) gilt auch während des Blasenaufstiegs.

A.5 — 0.5 Punkte

Drücken Sie den Radius \(a_{H_\ell}\) einer Blase beim Erreichen der freien Oberfläche durch die zurückgelegte Höhe \(H_\ell\), die Wachstumsrate \(q_a=\dfrac{\mathrm da}{\mathrm dt}\) und gegebenenfalls benötigte Konstanten aus. Nehmen Sie \(a_{H_\ell}\gg a_0\) und ein konstantes \(q_a\) an und geben Sie den Zahlenwert von \(a_{H_\ell}\) für \(H_\ell=10\,\mathrm{cm}\) und das zu Abb. 2 gehörige \(q_a\) an.

Es gibt \(N_{\mathrm b}\) Keimbildungsstellen für Blasen. Nehmen Sie an, dass die Blasen mit einer konstanten Frequenz \(f_{\mathrm b}\) am Boden eines Champagnerglases entstehen (Höhe \(H_\ell\) bei einem Volumen \(V_\ell\)), wobei \(a_0\) weiterhin vernachlässigbar ist. Vernachlässigen Sie die Diffusion von \(\mathrm{CO}_2\) an der freien Oberfläche.

A.6 — 1.1 Punkte

Stellen Sie die Differentialgleichung für \(c_\ell(t)\) auf. Bestimmen Sie aus dieser Gleichung die charakteristische Zeit \(\tau\) für die Abnahme der Konzentration des gelösten \(\mathrm{CO}_2\) in der Flüssigkeit.

Teil B. Schallemission einer platzenden Blase

Kleine Blasen sind beim Erreichen der freien Oberfläche nahezu kugelförmig. Sobald der Flüssigkeitsfilm, der die Blase von der Luft trennt, ausreichend dünn geworden ist, bildet sich im Film ein kreisförmiges Loch mit dem Radius \(r\), das sich, angetrieben durch die Oberflächenspannung, sehr schnell öffnet (Abb. 4. links). Das Loch öffnet sich mit konstanter Geschwindigkeit \(v_{\mathrm f}\) (Abb. 4. rechts). Der Film außerhalb des Randwulstes bleibt in Ruhe und hat eine konstante Dicke \(h\).

Abb. 4. (Links) \((\alpha)\) Blase an der Oberfläche: (1) Flüssigkeit, (2) Luft beim Druck \(P_0\) und (3) \(\mathrm{CO}_2\) beim Druck \(P_{\mathrm b}\), \((\beta)\) und \((\gamma)\) Zurückziehen des Flüssigkeitsfilms, wobei der Randwulst dunkelblau dargestellt ist, \((\delta)\) Kollaps der Blase. (Rechts) Zurückziehen des Flüssigkeitsfilms zum Zeitpunkt \(t\). Oben: Skizze des durchlöcherten Films in der Draufsicht. Unten: Querschnitt durch den Randwulst und den sich zurückziehenden Film. Während \(\mathrm dt\) nimmt der Randwulst benachbarte Flüssigkeit auf (gepunktet).

Aufgrund dissipativer Prozesse wird nur die Hälfte der Differenz der Oberflächenenergie des Randwulstes und der aufgenommenen Flüssigkeit zwischen \(t\) und \(t+\mathrm dt\) in kinetische Energie umgewandelt. Wir nehmen außerdem an, dass die Änderung der Oberfläche des Randwulstes gegenüber derjenigen des Films vernachlässigbar ist.

B.1 — 1.1 Punkte

Drücken Sie \(v_{\mathrm f}\) durch \(\rho_\ell,\sigma\) und \(h\) aus.

Abb. 5. (Links) Ein Helmholtz-Resonator. (Rechts) Eine Blase als Oszillator.

Wenn der Film platzt, baut sich der Innendruck ab und es wird Schall emittiert. Wir modellieren diese Schallemission durch einen Helmholtz-Resonator: einen Hohlraum, der über eine enge Halsöffnung mit der Querschnittsfläche \(S\) mit der Atmosphäre beim Druck \(P_0\) verbunden ist (Abb. 5. links). Im Hals führt eine Masse \(m_{\mathrm p}\) aufgrund der auf sie wirkenden Druckkräfte Schwingungen kleiner Amplitude aus, während sich das Gas im Hohlraum adiabatisch ausdehnt oder zusammengezogen wird. Die Gewichtskraft auf \(m_{\mathrm p}\) ist gegenüber den Druckkräften vernachlässigbar. Sei \(V_0\) das Volumen des Gases unterhalb der Masse \(m_{\mathrm p}\) für \(P=P_0\) bei \(z=0\).

B.2 — 1.1 Punkte

Geben Sie einen Ausdruck für die Schwingungsfrequenz \(f_0\) von \(m_{\mathrm p}\) an. Hinweis: Für \(\varepsilon\ll1\) gilt \((1+\varepsilon)^\alpha\approx1+\alpha\varepsilon\).

Das Helmholtz-Modell lässt sich auf eine Blase mit dem Radius \(a\) anwenden. \(V_0\) ist das Volumen der geschlossenen Blase. Laut Literatur beträgt die Masse des äquivalenten Kolbens \(m_{\mathrm p}=8\rho_{\mathrm g}r^3/3\), wobei \(r\) der Radius der kreisförmigen Öffnung und \(\rho_{\mathrm g}=1.8\,\mathrm{kg\cdot m^{-3}}\) die Dichte des Gases ist (Abb. 5. rechts). Während des Platzens wächst \(r\) von \(0\) auf \(r_{\mathrm c}\), gegeben durch \[ r_{\mathrm c}=\frac{2}{\sqrt3}a^2\sqrt{\frac{\rho_\ell g_0}{\sigma}}. \] Gleichzeitig steigt die Frequenz des emittierten Schalls bis zu einem Maximalwert von \(40\,\mathrm{kHz}\), und die Dauer des Platzens beträgt \(t_{\mathrm b}=3\times10^{-2}\,\mathrm{ms}\).

B.3 — 1.1 Punkte

Bestimmen Sie den Radius \(a\) und die Dicke \(h\) des Champagnerfilms, der die Blase von der Atmosphäre trennt.

Teil C. Die Champagnerkorken knallen lassen

In einer Flasche beträgt die gesamte Stoffmenge an \(\mathrm{CO}_2\) \(n_{\mathrm T}=0.2\,\mathrm{mol}\). Es liegt entweder gelöst im Volumen \(V_{\mathrm L}=750\,\mathrm{mL}\) des flüssigen Champagners oder als Gas im Volumen \(V_{\mathrm G}=25\,\mathrm{mL}\) unter dem Korken vor (Abb. 6. links). \(V_{\mathrm G}\) enthält ausschließlich \(\mathrm{CO}_2\). Das Gleichgewicht zwischen den beiden \(\mathrm{CO}_2\)-Phasen folgt dem Henry-Gesetz. Wir nehmen an, dass die schnelle Expansion des gasförmigen \(\mathrm{CO}_2\) beim Öffnen der Flasche adiabatisch und reversibel verläuft. Die Umgebungstemperatur \(T_0\) und der Umgebungsdruck \(P_0=1\,\mathrm{bar}\) sind konstant.

Abb. 6. Links: herkömmlicher Flaschenhals: (1) Umgebungsluft, (2) Korken, (3) Kopfraum, (4) flüssiger Champagner. Rechts: Zwei Phänomene, die beim Öffnen der Flasche bei zwei verschiedenen Temperaturen beobachtet werden (nach [2]).

C.1 — 0.4 Punkte

Geben Sie den Zahlenwert des Drucks \(P_{\mathrm i}\) des gasförmigen \(\mathrm{CO}_2\) in der Flasche für \(T_0=6^\circ\mathrm C\) und \(T_0=20^\circ\mathrm C\) an.

Ein weiterer Schritt der Champagnerherstellung (hier nicht beschrieben) führt zu den folgenden Werten von \(P_{\mathrm i}\), die wir für die nächsten Fragen verwenden: \(P_{\mathrm i}=4.69\,\mathrm{bar}\) bei \(T_0=6^\circ\mathrm C\) und \(P_{\mathrm i}=7.45\,\mathrm{bar}\) bei \(T_0=20^\circ\mathrm C\).

Beim Öffnen der Flasche können abhängig von \(T_0\) zwei verschiedene Phänomene beobachtet werden (Abb. 6. rechts).

• Entweder erscheint ein blauer Nebel aufgrund der Bildung fester \(\mathrm{CO}_2\)-Kristalle (wobei die Kondensation von Wasser unterdrückt wird);
• oder es erscheint ein grauweißer Nebel aufgrund der Kondensation von Wasserdampf in der Luft um den Flaschenhals. In diesem letzteren Fall bilden sich keine festen \(\mathrm{CO}_2\)-Kristalle.

Für den Sättigungsdampfdruck \(P_{\mathrm{sat}}^{\mathrm{CO}_2}\) des Feststoff-Gas-Übergangs von \(\mathrm{CO}_2\) gilt: \[ \log_{10}\left(\frac{P_{\mathrm{sat}}^{\mathrm{CO}_2}}{P_0}\right) =A-\frac{B}{T+C} \] mit \(T\) in \(\mathrm K\), \(A=6.81\), \(B=1.30\times10^3\,\mathrm K\) und \(C=-3.49\,\mathrm K\).

C.2 — 0.7 Punkte

Geben Sie den Zahlenwert der Temperatur \(T_{\mathrm f}\) des \(\mathrm{CO}_2\)-Gases am Ende der Expansion nach dem Öffnen einer Flasche für \(T_0=6^\circ\mathrm C\) und für \(T_0=20^\circ\mathrm C\) an, falls kein Phasenübergang stattgefunden hätte.

Wählen Sie die zutreffenden Aussagen aus (mehrere Aussagen sind möglich):

1. Bei \(T_0=6^\circ\mathrm C\) erscheint beim Öffnen der Flasche ein grauweißer Nebel.
2. Bei \(T_0=6^\circ\mathrm C\) erscheint beim Öffnen der Flasche ein blauer Nebel.
3. Bei \(T_0=20^\circ\mathrm C\) erscheint beim Öffnen der Flasche ein grauweißer Nebel.
4. Bei \(T_0=20^\circ\mathrm C\) erscheint beim Öffnen der Flasche ein blauer Nebel.

Beim Öffnen der Flasche wird der Korken herausgeschleudert. Wir bestimmen nun die maximale Höhe \(H_{\mathrm c}\), die er erreicht. Nehmen Sie an, dass die vom Flaschenhals auf den Korken ausgeübte Reibungskraft \(F\) durch \(F=\alpha A\) gegeben ist, wobei \(A\) die Kontaktfläche und \(\alpha\) eine zu bestimmende Konstante ist. Anfangs übersteigt die Druckkraft die Reibungskraft geringfügig. Die Masse des Korkens beträgt \(m=10\,\mathrm g\), sein Durchmesser \(d=1.8\,\mathrm{cm}\) und die Länge des zylindrischen Teils, der anfangs im Flaschenhals steckt, \(\ell_0=2.5\,\mathrm{cm}\). Sobald der Korken den Flaschenhals verlassen hat, können Sie die resultierende Druckkraft vernachlässigen.

C.3 — 1.3 Punkte

Geben Sie den Zahlenwert von \(H_{\mathrm c}\) an, wenn die Außentemperatur \(T_0=6^\circ\mathrm C\) beträgt.

[1] Liger-Belair et al, Am. J. Enol. Vitic., Vol. 50, No. 3 (1999).

[2] Liger-Belair et al., Sc. Reports 7, 10938 (2017).

Allgemeines Datenblatt

Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt.

Uyarı: Aşırı alkol tüketimi sağlığa zararlıdır ve yasal yaş sınırının altında alkol tüketmek yasaktır.

Şampanya, bir Fransız köpüklü şarabıdır. Şekerlerin fermantasyonu şişede karbondioksit (\(\mathrm{CO}_2\)) üretir. Sıvı fazdaki \(\mathrm{CO}_2\)'nin molar derişimi \(c_\ell\) ile gaz fazındaki kısmi basıncı \(P_{\mathrm{CO}_2}\) arasında, Henry yasası olarak bilinen \(c_\ell=k_{\mathrm H}P_{\mathrm{CO}_2}\) bağıntısı vardır; burada \(k_{\mathrm H}\), Henry sabiti olarak adlandırılır.

Veriler

• Şampanyanın yüzey gerilimi \(\sigma=47\times10^{-3}\,\mathrm{J\cdot m^{-2}}\)
• Sıvının yoğunluğu \(\rho_\ell=1.0\times10^3\,\mathrm{kg\cdot m^{-3}}\)
• \(T_0=20^\circ\mathrm C\) sıcaklığında Henry sabiti, \(k_{\mathrm H}(20^\circ\mathrm C)=3.3\times10^{-4}\,\mathrm{mol\cdot m^{-3}\cdot Pa^{-1}}\)
• \(T_0=6^\circ\mathrm C\) sıcaklığında Henry sabiti, \(k_{\mathrm H}(6^\circ\mathrm C)=5.4\times10^{-4}\,\mathrm{mol\cdot m^{-3}\cdot Pa^{-1}}\)
• Atmosfer basıncı \(P_0=1\,\mathrm{bar}=1.0\times10^5\,\mathrm{Pa}\)
• Gazlar idealdir ve adyabatik katsayıları \(\gamma=1.3\)'tür.

Şekil 1. Şampanya dolu bir kadeh.

Bölüm A. Kabarcıkların çekirdeklenmesi, büyümesi ve yükselmesi

\(T_0=20^\circ\mathrm C\) sıcaklığındaki bir şampanya şişesini açtıktan hemen sonra bir kadehi dolduruyoruz. Sıvının basıncı \(P_0\)'dır ve sıcaklığı \(T_0\)'da sabit kalır. Çözünmüş \(\mathrm{CO}_2\)'nin \(c_\ell\) derişimi denge derişimini aşmaktadır ve bir \(\mathrm{CO}_2\) kabarcığının çekirdeklenmesini inceliyoruz. Kabarcığın yarıçapını \(a\), iç basıncını ise \(P_{\mathrm b}\) ile gösteriyoruz.

A.1 — 0.2 puan

\(P_{\mathrm b}\) basıncını \(P_0\), \(a\) ve \(\sigma\) cinsinden ifade ediniz.

Sıvı içinde çözünmüş \(\mathrm{CO}_2\)'nin derişimi, kabarcığa olan uzaklığa bağlıdır. Uzak mesafelerde yeniden \(c_\ell\) değerine ulaşılır; kabarcık yüzeyinin yakınındaki derişimi \(c_{\mathrm b}\) ile gösteriyoruz. Henry yasasına göre \(c_{\mathrm b}=k_{\mathrm H}P_{\mathrm b}\)'dir. Ayrıca sorunun tamamında kabarcıkların yalnızca \(\mathrm{CO}_2\) içerdiğini varsayıyoruz.

\(c_\ell\ne c_{\mathrm b}\) olduğundan, \(\mathrm{CO}_2\) molekülleri yüksek derişimli bölgelerden düşük derişimli bölgelere difüzyonla geçer. Ayrıca sıvı fazdan kabarcık yüzeyine ulaşan her molekülün buhar fazına geçtiğini varsayıyoruz.

A.2 — 0.5 puan

Üzerinde bir kabarcığın büyümesinin beklendiği kritik yarıçap \(a_{\mathrm c}\)'yi \(P_0,\sigma,c_\ell\) ve \(c_0\) cinsinden ifade ediniz; burada \(c_0=k_{\mathrm H}P_0\)'dır. \(c_\ell=4c_0\) için \(a_{\mathrm c}\)'yi sayısal olarak hesaplayınız.

Pratikte kabarcıklar çoğunlukla önceden var olan gaz boşluklarından büyür. Bu nedenle başlangıç yarıçapı \(a_0\approx40\,\mu\mathrm m\) olan bir kabarcık ele alınız. Kabarcık yüzeyinde birim alan ve birim zamanda aktarılan \(\mathrm{CO}_2\)'nin mol sayısı \(j\) ile gösterilir. \(j\) için iki model mümkündür.

• model (1) \(j=\dfrac{D}{a}(c_\ell-c_{\mathrm b})\); burada \(D\), \(\mathrm{CO}_2\)'nin sıvı içindeki difüzyon katsayısıdır.
• model (2) \(j=K(c_\ell-c_{\mathrm b})\); burada \(K\) bir sabittir.

Deneysel olarak kabarcık yarıçapının \(a(t)\), zamana Şekil 2'de gösterildiği gibi bağlı olduğu bulunmuştur. Burada \(c_\ell\approx4c_0\)'dır ve kabarcıklar görülebilecek kadar büyük olduğundan, yüzey geriliminin yol açtığı ek basınç ihmal edilebilir ve \(P_{\mathrm b}\approx P_0\) alınabilir.

A.3 — 1.2 puan

Kabarcıktaki \(\mathrm{CO}_2\)'nin mol sayısı \(n_{\mathrm c}\)'yi \(a,P_0,T_0\) ve ideal gaz sabiti \(R\) cinsinden ifade ediniz. Her iki model için \(a(t)\)'yi bulunuz. Şekil 2'deki deneysel sonuçları hangi modelin açıkladığını belirtiniz. Cevabınıza bağlı olarak \(K\) veya \(D\)'yi sayısal olarak hesaplayınız.

Şekil 2. Bir kadeh şampanyadaki \(\mathrm{CO}_2\) kabarcığının yarıçapının zamanla değişimi ([1]'den uyarlanmıştır).

Sonunda kabarcıklar kadehin tabanından ayrılır ve yükselirken büyümeye devam eder. Şekil 3, bir kabarcık dizisini göstermektedir. Dizideki kabarcıklar aynı başlangıç yarıçapına sahiptir ve sabit \(f_{\mathrm b}=20\,\mathrm{Hz}\) frekansıyla salınırlar.

Şekil 3. Bir kabarcık dizisi. Fotoğraf, sayfa düzeni için yatay olacak şekilde döndürülmüştür ([1]'den uyarlanmıştır).

Burada incelenen hız aralığında, dinamik viskozitesi \(\eta\) olan bir sıvıda \(v\) hızıyla hareket eden \(a\) yarıçaplı bir kabarcığa etki eden sürükleme kuvveti \(F\), Stokes yasası \(F=6\pi\eta av\) ile verilir. Ölçümler, kabarcığın her an limit hızıyla hareket ettiğinin varsayılabileceğini göstermektedir.

A.4 — 0.8 puan

Düşey olarak yükselen bir kabarcığa etki eden başlıca kuvvetlerin ifadelerini veriniz. \(v(a)\) ifadesini elde ediniz. \(\rho_\ell\), \(g_0\) ve Şekil 3 üzerinden ölçülen büyüklükleri kullanarak \(\eta\) için sayısal bir tahminde bulununuz.

Kabarcıkların \(q_a=\dfrac{\mathrm da}{\mathrm dt}\) hızıyla yarı durağan büyümesi, kabarcıkların yükselmesi sırasında da geçerlidir.

A.5 — 0.5 puan

Serbest yüzeye ulaşan bir kabarcığın yarıçapı \(a_{H_\ell}\)'yi, katettiği yükseklik \(H_\ell\), büyüme hızı \(q_a=\dfrac{\mathrm da}{\mathrm dt}\) ve gerek duyduğunuz sabitler cinsinden ifade ediniz. \(a_{H_\ell}\gg a_0\) olduğunu ve \(q_a\)'nın sabit kaldığını varsayınız; \(H_\ell=10\,\mathrm{cm}\) ve Şekil 2'ye karşılık gelen \(q_a\) için \(a_{H_\ell}\)'nin sayısal değerini veriniz.

Kabarcıkların çekirdeklendiği \(N_{\mathrm b}\) adet yer vardır. Kabarcıkların, bir şampanya kadehinin (\(V_\ell\) hacmi için yüksekliği \(H_\ell\)) tabanında sabit \(f_{\mathrm b}\) frekansıyla çekirdeklendiğini ve \(a_0\)'ın hâlâ ihmal edilebilir olduğunu varsayınız. Serbest yüzeyde \(\mathrm{CO}_2\) difüzyonunu ihmal ediniz.

A.6 — 1.1 puan

\(c_\ell(t)\) için diferansiyel denklemi yazınız. Bu denklemden, sıvıda çözünmüş \(\mathrm{CO}_2\) derişiminin azalmasının karakteristik süresi \(\tau\)'yu elde ediniz.

Bölüm B. Patlayan bir kabarcığın ses yayması

Küçük kabarcıklar serbest yüzeye ulaştıklarında neredeyse küreseldir. Kabarcığı havadan ayıran sıvı film yeterince inceldiğinde, filmde \(r\) yarıçaplı dairesel bir delik oluşur ve yüzey geriliminin etkisiyle çok hızlı bir şekilde açılır (Şekil 4, sol). Delik sabit \(v_{\mathrm f}\) hızıyla açılır (Şekil 4, sağ). Kenar halkasının dışındaki film, sabit \(h\) kalınlığında ve hareketsiz kalır.

Şekil 4. (Sol) \((\alpha)\) Yüzeydeki kabarcık: (1) sıvı, (2) \(P_0\) basıncındaki hava ve (3) \(P_{\mathrm b}\) basıncındaki \(\mathrm{CO}_2\); \((\beta)\) ve \((\gamma)\) sıvı filmin geri çekilmesi, kenar halkası koyu maviyle gösterilmiştir; \((\delta)\) kabarcığın çökmesi. (Sağ) \(t\) anında sıvı filmin geri çekilmesi. Üst: delinmiş filmin üstten görünümünün çizimi. Alt: kenar halkasının ve geri çekilen filmin kesiti. \(\mathrm dt\) süresince kenar halkası yakınındaki sıvıyı toplar (noktalı çizgi).

Enerji kaybına yol açan süreçler nedeniyle, kenar halkası ve toplanan sıvının \(t\) ile \(t+\mathrm dt\) anları arasındaki yüzey enerjisi farkının yalnızca yarısı kinetik enerjiye dönüşür. Ayrıca kenar halkasının yüzey alanındaki değişimin, filminkine göre ihmal edilebilir olduğunu varsayıyoruz.

B.1 — 1.1 puan

\(v_{\mathrm f}\)'yi \(\rho_\ell,\sigma\) ve \(h\) cinsinden ifade ediniz.

Şekil 5. (Sol) Bir Helmholtz rezonatörü. (Sağ) Bir osilatör olarak kabarcık.

Film patladığında iç basıncı serbest bırakır ve bir ses yayar. Bu ses yayımını bir Helmholtz rezonatörüyle modelliyoruz: \(S\) alanlı dar bir boyun açıklığı üzerinden \(P_0\) basıncındaki atmosfere açılan bir boşluk (Şekil 5, sol). Boyunda bulunan \(m_{\mathrm p}\) kütlesi, boşluktaki gaz adyabatik olarak genleşirken veya sıkışırken maruz kaldığı basınç kuvvetleri nedeniyle küçük genlikli konum salınımları yapar. \(m_{\mathrm p}\)'ye etki eden yer çekimi kuvveti, basınç kuvvetlerine göre ihmal edilebilir. \(z=0\) iken \(P=P_0\) için \(m_{\mathrm p}\) kütlesinin altındaki gazın hacmi \(V_0\) olsun.

B.2 — 1.1 puan

\(m_{\mathrm p}\)'nin salınım frekansı \(f_0\)'ı ifade ediniz. İpucu: \(\varepsilon\ll1\) için \((1+\varepsilon)^\alpha\approx1+\alpha\varepsilon\).

Helmholtz modeli, \(a\) yarıçaplı bir kabarcık için kullanılabilir. \(V_0\), kapalı kabarcığın hacmidir. Literatüre göre eşdeğer pistonun kütlesi \(m_{\mathrm p}=8\rho_{\mathrm g}r^3/3\)'tür; burada \(r\), dairesel açıklığın yarıçapı ve \(\rho_{\mathrm g}=1.8\,\mathrm{kg\cdot m^{-3}}\) gazın yoğunluğudur (Şekil 5, sağ). Patlama sürecinde \(r\), \(0\)'dan aşağıda verilen \(r_{\mathrm c}\) değerine kadar değişir: \[ r_{\mathrm c}=\frac{2}{\sqrt3}a^2\sqrt{\frac{\rho_\ell g_0}{\sigma}}. \] Aynı zamanda yayılan sesin frekansı en büyük değeri olan \(40\,\mathrm{kHz}\)'e kadar artar ve patlama süresi \(t_{\mathrm b}=3\times10^{-2}\,\mathrm{ms}\)'dir.

B.3 — 1.1 puan

Kabarcığın yarıçapı \(a\)'yı ve kabarcığı atmosferden ayıran şampanya filminin kalınlığı \(h\)'yi bulunuz.

Bölüm C. Şampanya şişesinin açılması

Bir şişedeki toplam \(\mathrm{CO}_2\) miktarı \(n_{\mathrm T}=0.2\,\mathrm{mol}\)'dür; bu miktar ya \(V_{\mathrm L}=750\,\mathrm{mL}\) hacmindeki sıvı şampanyada çözünmüş hâlde ya da mantarın altındaki \(V_{\mathrm G}=25\,\mathrm{mL}\) hacminde gaz hâlinde bulunur (Şekil 6, sol). \(V_{\mathrm G}\) yalnızca \(\mathrm{CO}_2\) içerir. İki \(\mathrm{CO}_2\) fazı arasındaki denge Henry yasasına uyar. Şişe açıldığında gaz hâlindeki \(\mathrm{CO}_2\)'nin hızlı genleşmesinin adyabatik ve tersinir olduğunu varsayıyoruz. Ortam sıcaklığı \(T_0\) ve basıncı \(P_0=1\,\mathrm{bar}\) sabittir.

Şekil 6. Sol: geleneksel şişe boynu: (1) çevredeki hava, (2) mantar tıpa, (3) üst boşluk, (4) sıvı şampanya. Sağ: Şişe iki farklı sıcaklıkta açılırken gözlenen iki olay ([2]'den uyarlanmıştır).

C.1 — 0.4 puan

\(T_0=6^\circ\mathrm C\) ve \(T_0=20^\circ\mathrm C\) için şişedeki gaz hâlindeki \(\mathrm{CO}_2\)'nin basıncı \(P_{\mathrm i}\)'nin sayısal değerini veriniz.

Şampanya üretiminin başka bir aşaması (burada açıklanmamıştır), sonraki sorularda kullanacağımız şu \(P_{\mathrm i}\) değerlerine yol açar: \(T_0=6^\circ\mathrm C\) için \(P_{\mathrm i}=4.69\,\mathrm{bar}\) ve \(T_0=20^\circ\mathrm C\) için \(P_{\mathrm i}=7.45\,\mathrm{bar}\).

Şişe açılırken \(T_0\)'a bağlı olarak iki farklı olay gözlenebilir (Şekil 6, sağ).

• ya katı \(\mathrm{CO}_2\) kristallerinin oluşması nedeniyle mavi bir sis ortaya çıkar (ancak suyun yoğuşması engellenir);
• ya da şişe boynunu çevreleyen havadaki su buharının yoğuşması nedeniyle gri-beyaz bir sis ortaya çıkar. Bu ikinci durumda katı \(\mathrm{CO}_2\) kristalleri oluşmaz.

\(\mathrm{CO}_2\)'nin katı/gaz geçişi için doymuş buhar basıncı \(P_{\mathrm{sat}}^{\mathrm{CO}_2}\) şu bağıntıya uyar: \[ \log_{10}\left(\frac{P_{\mathrm{sat}}^{\mathrm{CO}_2}}{P_0}\right) =A-\frac{B}{T+C} \] burada \(T\), \(\mathrm K\) cinsindendir; \(A=6.81\), \(B=1.30\times10^3\,\mathrm K\) ve \(C=-3.49\,\mathrm K\)'dir.

C.2 — 0.7 puan

Hiçbir faz geçişi gerçekleşmediği durumda, \(T_0=6^\circ\mathrm C\) ve \(T_0=20^\circ\mathrm C\) için şişe açıldıktan sonra genleşmenin sonunda \(\mathrm{CO}_2\) gazının sıcaklığı \(T_{\mathrm f}\)'nin sayısal değerini veriniz.

Doğru olan ifadeleri seçiniz (birden fazla ifade doğru olabilir):

1. \(T_0=6^\circ\mathrm C\) iken şişe açılırken gri-beyaz bir sis ortaya çıkar.
2. \(T_0=6^\circ\mathrm C\) iken şişe açılırken mavi bir sis ortaya çıkar.
3. \(T_0=20^\circ\mathrm C\) iken şişe açılırken gri-beyaz bir sis ortaya çıkar.
4. \(T_0=20^\circ\mathrm C\) iken şişe açılırken mavi bir sis ortaya çıkar.

Şişe açılırken mantar tıpa dışarı fırlar. Şimdi ulaştığı en büyük yükseklik \(H_{\mathrm c}\)'yi belirleyeceğiz. Şişe boynunun mantar tıpaya uyguladığı sürtünme kuvveti \(F\)'nin \(F=\alpha A\) olduğunu varsayınız; burada \(A\) temas alanı, \(\alpha\) ise belirlenecek bir sabittir. Başlangıçta basınç kuvveti sürtünme kuvvetini az miktarda aşar. Mantarın kütlesi \(m=10\,\mathrm g\), çapı \(d=1.8\,\mathrm{cm}\) ve başlangıçta şişe boynuna sıkışmış olan silindirik kısmının uzunluğu \(\ell_0=2.5\,\mathrm{cm}\)'dir. Mantar şişe boynundan çıktıktan sonra net basınç kuvvetini ihmal edebilirsiniz.

C.3 — 1.3 puan

Dış ortam sıcaklığı \(T_0=6^\circ\mathrm C\) ise \(H_{\mathrm c}\)'nin sayısal değerini veriniz.

[1] Liger-Belair ve diğerleri, Am. J. Enol. Vitic., Cilt 50, Sayı 3 (1999).

[2] Liger-Belair ve diğerleri, Sc. Reports 7, 10938 (2017).

Genel Veri Tablosu

Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir.

Advertencia: El consumo excesivo de alcohol es perjudicial para la salud y está prohibido consumir alcohol antes de alcanzar la edad legal.

El champán es un vino espumoso francés. La fermentación de los azúcares produce dióxido de carbono (\(\mathrm{CO}_2\)) en la botella. La concentración molar de \(\mathrm{CO}_2\) en la fase líquida \(c_\ell\) y la presión parcial \(P_{\mathrm{CO}_2}\) en la fase gaseosa están relacionadas mediante \(c_\ell=k_{\mathrm H}P_{\mathrm{CO}_2}\), relación conocida como ley de Henry, donde \(k_{\mathrm H}\) se denomina constante de Henry.

Datos

• Tensión superficial del champán \(\sigma=47\times10^{-3}\,\mathrm{J\cdot m^{-2}}\)
• Densidad del líquido \(\rho_\ell=1.0\times10^3\,\mathrm{kg\cdot m^{-3}}\)
• Constante de Henry a \(T_0=20^\circ\mathrm C\), \(k_{\mathrm H}(20^\circ\mathrm C)=3.3\times10^{-4}\,\mathrm{mol\cdot m^{-3}\cdot Pa^{-1}}\)
• Constante de Henry a \(T_0=6^\circ\mathrm C\), \(k_{\mathrm H}(6^\circ\mathrm C)=5.4\times10^{-4}\,\mathrm{mol\cdot m^{-3}\cdot Pa^{-1}}\)
• Presión atmosférica \(P_0=1\,\mathrm{bar}=1.0\times10^5\,\mathrm{Pa}\)
• Los gases son ideales, con un coeficiente adiabático \(\gamma=1.3\)

Fig. 1. Una copa llena de champán.

Parte A. Nucleación, crecimiento y ascenso de las burbujas

Inmediatamente después de abrir una botella de champán a una temperatura \(T_0=20^\circ\mathrm C\), llenamos una copa. La presión en el líquido es \(P_0\) y su temperatura se mantiene constante en \(T_0\). La concentración \(c_\ell\) de \(\mathrm{CO}_2\) disuelto supera la concentración de equilibrio y estudiamos la nucleación de una burbuja de \(\mathrm{CO}_2\). Denotamos por \(a\) su radio y por \(P_{\mathrm b}\) su presión interna.

A.1 — 0.2pt

Exprese la presión \(P_{\mathrm b}\) en función de \(P_0\), \(a\) y \(\sigma\).

En el líquido, la concentración de \(\mathrm{CO}_2\) disuelto depende de la distancia a la burbuja. A gran distancia se recupera el valor \(c_\ell\), y denotamos por \(c_{\mathrm b}\) la concentración cerca de la superficie de la burbuja. Según la ley de Henry, \(c_{\mathrm b}=k_{\mathrm H}P_{\mathrm b}\). Además, suponemos en todo el problema que las burbujas contienen únicamente \(\mathrm{CO}_2\).

Como \(c_\ell\ne c_{\mathrm b}\), las moléculas de \(\mathrm{CO}_2\) se difunden desde las zonas de mayor concentración hacia las de menor concentración. Suponemos también que toda molécula de la fase líquida que alcanza la superficie de la burbuja pasa al vapor.

A.2 — 0.5pt

Exprese el radio crítico \(a_{\mathrm c}\), por encima del cual se espera que una burbuja crezca, en función de \(P_0,\sigma,c_\ell\) y \(c_0\), donde \(c_0=k_{\mathrm H}P_0\). Calcule numéricamente \(a_{\mathrm c}\) para \(c_\ell=4c_0\).

En la práctica, las burbujas crecen principalmente a partir de cavidades gaseosas preexistentes. Consideremos entonces una burbuja de radio inicial \(a_0\approx40\,\mu\mathrm m\). El número de moles de \(\mathrm{CO}_2\) transferidos a través de la superficie de la burbuja por unidad de área y de tiempo se denota por \(j\). Se proponen dos modelos para \(j\).

• modelo (1) \(j=\dfrac{D}{a}(c_\ell-c_{\mathrm b})\), donde \(D\) es el coeficiente de difusión del \(\mathrm{CO}_2\) en el líquido.
• modelo (2) \(j=K(c_\ell-c_{\mathrm b})\), donde \(K\) es una constante en este caso.

Experimentalmente, se observa que el radio de la burbuja \(a(t)\) depende del tiempo como se muestra en la Fig. 2. Aquí \(c_\ell\approx4c_0\) y, puesto que las burbujas son lo suficientemente grandes como para ser visibles, puede despreciarse el exceso de presión debido a la tensión superficial y \(P_{\mathrm b}\approx P_0\).

A.3 — 1.2pt

Exprese el número de moles de \(\mathrm{CO}_2\) en la burbuja \(n_{\mathrm c}\) en función de \(a,P_0,T_0\) y de la constante de los gases ideales \(R\). Halle \(a(t)\) para ambos modelos. Indique qué modelo explica los resultados experimentales de la Fig. 2. Según su respuesta, calcule numéricamente \(K\) o \(D\).

Fig. 2. Evolución temporal del radio de una burbuja de \(\mathrm{CO}_2\) en una copa de champán (adaptado de [1]).

Finalmente, las burbujas se desprenden del fondo de la copa y siguen creciendo mientras ascienden. La Fig. 3. muestra un tren de burbujas. Las burbujas del tren tienen el mismo radio inicial y se emiten con una frecuencia constante \(f_{\mathrm b}=20\,\mathrm{Hz}\).

Fig. 3. Un tren de burbujas. La fotografía se ha girado hasta quedar horizontal para adaptarla a la maquetación de la página (adaptado de [1]).

Para el intervalo de velocidades estudiado aquí, la fuerza de resistencia \(F\) sobre una burbuja de radio \(a\) que se mueve con velocidad \(v\) en un líquido de viscosidad dinámica \(\eta\) viene dada por la ley de Stokes \(F=6\pi\eta av\). Las mediciones muestran que, en cualquier instante, puede suponerse que la burbuja se desplaza a su velocidad límite.

A.4 — 0.8pt

Dé la expresión de las principales fuerzas que actúan sobre una burbuja que asciende verticalmente. Obtenga la expresión de \(v(a)\). Dé una estimación numérica de \(\eta\) utilizando \(\rho_\ell\), \(g_0\) y magnitudes medidas en la Fig. 3.

El crecimiento cuasiestacionario de las burbujas con una tasa \(q_a=\dfrac{\mathrm da}{\mathrm dt}\) sigue siendo válido durante su ascenso.

A.5 — 0.5pt

Exprese el radio \(a_{H_\ell}\) de una burbuja que alcanza la superficie libre en función de la altura recorrida \(H_\ell\), de la tasa de crecimiento \(q_a=\dfrac{\mathrm da}{\mathrm dt}\) y de las constantes que necesite. Suponga que \(a_{H_\ell}\gg a_0\) y que \(q_a\) es constante, y dé el valor numérico de \(a_{H_\ell}\) para \(H_\ell=10\,\mathrm{cm}\) y el valor de \(q_a\) correspondiente a la Fig. 2.

Hay \(N_{\mathrm b}\) sitios de nucleación de burbujas. Suponga que las burbujas se nuclean con una frecuencia constante \(f_{\mathrm b}\) en el fondo de una copa de champán (de altura \(H_\ell\) para un volumen \(V_\ell\)), y que \(a_0\) sigue siendo despreciable. Desprecie la difusión de \(\mathrm{CO}_2\) en la superficie libre.

A.6 — 1.1pt

Escriba la ecuación diferencial para \(c_\ell(t)\). Obtenga a partir de esta ecuación el tiempo característico \(\tau\) de disminución de la concentración de \(\mathrm{CO}_2\) disuelto en el líquido.

Parte B. Emisión acústica de una burbuja al estallar

Las burbujas pequeñas son casi esféricas cuando alcanzan la superficie libre. Una vez que la película líquida que separa la burbuja del aire se adelgaza lo suficiente, se forma en ella un orificio circular de radio \(r\) que, impulsado por la tensión superficial, se abre muy rápidamente (Fig. 4., izquierda). El orificio se abre a una velocidad constante \(v_{\mathrm f}\) (Fig. 4., derecha). La película situada fuera del borde permanece en reposo, con un espesor constante \(h\).

Fig. 4. (Izquierda) \((\alpha)\) Burbuja en la superficie: (1) líquido, (2) aire a presión \(P_0\) y (3), \(\mathrm{CO}_2\) a presión \(P_{\mathrm b}\), \((\beta)\) y \((\gamma)\) retracción de la película líquida, cuyo borde se muestra en azul oscuro, \((\delta)\) colapso de la burbuja. (Derecha) Retracción de la película líquida en el instante \(t\). Arriba: esquema de la película perforada vista desde arriba. Abajo: sección transversal del borde y de la película en retracción. Durante \(\mathrm dt\), el borde acumula el líquido próximo (punteado).

Debido a los procesos disipativos, solo la mitad de la diferencia de energía superficial entre \(t\) y \(t+\mathrm dt\) del borde y del líquido acumulado se transforma en energía cinética. Suponemos además que la variación de la superficie del borde es despreciable frente a la de la película.

B.1 — 1.1pt

Exprese \(v_{\mathrm f}\) en función de \(\rho_\ell,\sigma\) y \(h\).

Fig. 5. (Izquierda) Un resonador de Helmholtz. (Derecha) Una burbuja como oscilador.

Cuando la película se rompe, libera la presión interna y emite un sonido. Modelizamos esta emisión acústica mediante un resonador de Helmholtz: una cavidad abierta a la atmósfera a \(P_0\) a través de una abertura de área \(S\) en un cuello estrecho (Fig. 5., izquierda). En el cuello, una masa \(m_{\mathrm p}\) realiza oscilaciones de posición de pequeña amplitud debido a las fuerzas de presión que experimenta cuando el gas de la cavidad se expande o se comprime adiabáticamente. La fuerza gravitatoria sobre \(m_{\mathrm p}\) es despreciable frente a las fuerzas de presión. Sea \(V_0\) el volumen de gas bajo la masa \(m_{\mathrm p}\) para \(P=P_0\) cuando \(z=0\).

B.2 — 1.1pt

Exprese la frecuencia de oscilación \(f_0\) de \(m_{\mathrm p}\). Indicación: para \(\varepsilon\ll1\), \((1+\varepsilon)^\alpha\approx1+\alpha\varepsilon\).

El modelo de Helmholtz puede utilizarse para una burbuja de radio \(a\). \(V_0\) es el volumen de la burbuja cerrada. Según la bibliografía, la masa del equivalente del pistón es \(m_{\mathrm p}=8\rho_{\mathrm g}r^3/3\), donde \(r\) es el radio de la abertura circular y \(\rho_{\mathrm g}=1.8\,\mathrm{kg\cdot m^{-3}}\) es la densidad del gas (Fig. 5., derecha). Durante el estallido, \(r\) pasa de \(0\) a \(r_{\mathrm c}\), dado por \[ r_{\mathrm c}=\frac{2}{\sqrt3}a^2\sqrt{\frac{\rho_\ell g_0}{\sigma}}. \] Al mismo tiempo, la frecuencia del sonido emitido aumenta hasta un valor máximo de \(40\,\mathrm{kHz}\), y el tiempo de estallido es \(t_{\mathrm b}=3\times10^{-2}\,\mathrm{ms}\).

B.3 — 1.1pt

Halle el radio \(a\) y el espesor \(h\) de la película de champán que separa la burbuja de la atmósfera.

Parte C. El descorche del champán

En una botella, la cantidad total de \(\mathrm{CO}_2\) es \(n_{\mathrm T}=0.2\,\mathrm{mol}\), ya sea disuelto en el volumen \(V_{\mathrm L}=750\,\mathrm{mL}\) de champán líquido o en forma de gas en el volumen \(V_{\mathrm G}=25\,\mathrm{mL}\) bajo el corcho (Fig. 6., izquierda). \(V_{\mathrm G}\) contiene únicamente \(\mathrm{CO}_2\). El equilibrio entre ambas fases del \(\mathrm{CO}_2\) obedece a la ley de Henry. Suponemos que la rápida expansión del \(\mathrm{CO}_2\) gaseoso al abrir la botella es adiabática y reversible. La temperatura ambiente \(T_0\) y la presión \(P_0=1\,\mathrm{bar}\) son constantes.

Fig. 6. Izquierda: cuello de botella tradicional: (1) aire circundante, (2) tapón de corcho, (3) espacio de cabeza, (4) champán líquido. Derecha: dos fenómenos observados al abrir la botella a dos temperaturas distintas (adaptado de [2]).

C.1 — 0.4pt

Dé el valor numérico de la presión \(P_{\mathrm i}\) del \(\mathrm{CO}_2\) gaseoso en la botella para \(T_0=6^\circ\mathrm C\) y \(T_0=20^\circ\mathrm C\).

Otra etapa de la producción de champán (no descrita aquí) conduce a los siguientes valores de \(P_{\mathrm i}\), que utilizaremos en las preguntas siguientes: \(P_{\mathrm i}=4.69\,\mathrm{bar}\) a \(T_0=6^\circ\mathrm C\) y \(P_{\mathrm i}=7.45\,\mathrm{bar}\) a \(T_0=20^\circ\mathrm C\).

Durante la apertura de la botella pueden observarse dos fenómenos distintos, según \(T_0\) (Fig. 6., derecha).

• o bien aparece una niebla azul, debida a la formación de cristales de \(\mathrm{CO}_2\) sólido (pero se inhibe la condensación del agua);
• o bien aparece una niebla blanca grisácea, debida a la condensación del vapor de agua en el aire que rodea el cuello de la botella. En este último caso, no se forman cristales de \(\mathrm{CO}_2\) sólido.

La presión de vapor de saturación \(P_{\mathrm{sat}}^{\mathrm{CO}_2}\) para la transición sólido/gas del \(\mathrm{CO}_2\) obedece a: \[ \log_{10}\left(\frac{P_{\mathrm{sat}}^{\mathrm{CO}_2}}{P_0}\right) =A-\frac{B}{T+C} \] con \(T\) en \(\mathrm K\), \(A=6.81\), \(B=1.30\times10^3\,\mathrm K\) y \(C=-3.49\,\mathrm K\).

C.2 — 0.7pt

Dé el valor numérico de la temperatura \(T_{\mathrm f}\) del gas \(\mathrm{CO}_2\) al final de la expansión, tras abrir una botella, para \(T_0=6^\circ\mathrm C\) y para \(T_0=20^\circ\mathrm C\), si no se produjera ninguna transición de fase.

Seleccione las afirmaciones verdaderas (puede haber varias):

1. A \(T_0=6^\circ\mathrm C\) aparece una niebla blanca grisácea al abrir la botella.
2. A \(T_0=6^\circ\mathrm C\) aparece una niebla azul al abrir la botella.
3. A \(T_0=20^\circ\mathrm C\) aparece una niebla blanca grisácea al abrir la botella.
4. A \(T_0=20^\circ\mathrm C\) aparece una niebla azul al abrir la botella.

Durante la apertura de la botella, el tapón de corcho sale disparado. Determinaremos ahora la altura máxima \(H_{\mathrm c}\) que alcanza. Suponga que la fuerza de rozamiento \(F\) que ejerce el cuello de la botella sobre el tapón de corcho es \(F=\alpha A\), donde \(A\) es el área de contacto y \(\alpha\) es una constante que debe determinarse. Inicialmente, la fuerza de presión supera ligeramente la fuerza de rozamiento. La masa del corcho es \(m=10\,\mathrm g\), su diámetro es \(d=1.8\,\mathrm{cm}\) y la longitud de la parte cilíndrica inicialmente encajada en el cuello de la botella es \(\ell_0=2.5\,\mathrm{cm}\). Una vez que el corcho ha salido del cuello de la botella, puede despreciarse la fuerza neta de presión.

C.3 — 1.3pt

Dé el valor numérico de \(H_{\mathrm c}\) si la temperatura exterior es \(T_0=6^\circ\mathrm C\).

[1] Liger-Belair et al, Am. J. Enol. Vitic., Vol. 50, n.º 3 (1999).

[2] Liger-Belair et al., Sc. Reports 7, 10938 (2017).

Hoja de datos generales

Enunciado traducido del texto oficial en inglés.

警告： 过量饮酒有害健康，未达到法定饮酒年龄者禁止饮酒。

香槟是一种法国起泡葡萄酒。糖的发酵在瓶中产生二氧化碳（\(\mathrm{CO}_2\)）。液相中 \(\mathrm{CO}_2\) 的摩尔浓度 \(c_\ell\) 与气相中的分压 \(P_{\mathrm{CO}_2}\) 满足关系 \(c_\ell=k_{\mathrm H}P_{\mathrm{CO}_2}\)，这称为亨利定律，其中 \(k_{\mathrm H}\) 称为亨利常数。

数据

• 香槟的表面张力 \(\sigma=47\times10^{-3}\,\mathrm{J\cdot m^{-2}}\)
• 液体密度 \(\rho_\ell=1.0\times10^3\,\mathrm{kg\cdot m^{-3}}\)
• \(T_0=20^\circ\mathrm C\) 时的亨利常数，\(k_{\mathrm H}(20^\circ\mathrm C)=3.3\times10^{-4}\,\mathrm{mol\cdot m^{-3}\cdot Pa^{-1}}\)
• \(T_0=6^\circ\mathrm C\) 时的亨利常数，\(k_{\mathrm H}(6^\circ\mathrm C)=5.4\times10^{-4}\,\mathrm{mol\cdot m^{-3}\cdot Pa^{-1}}\)
• 大气压 \(P_0=1\,\mathrm{bar}=1.0\times10^5\,\mathrm{Pa}\)
• 气体均为理想气体，绝热指数为 \(\gamma=1.3\)

图 1. 一杯香槟。

部分 A. 气泡的成核、生长和上升

打开一瓶温度为 \(T_0=20^\circ\mathrm C\) 的香槟后，立即将其倒入杯中。液体中的压强为 \(P_0\)，温度保持为 \(T_0\) 不变。溶解的 \(\mathrm{CO}_2\) 的浓度 \(c_\ell\) 超过平衡浓度，我们研究一个 \(\mathrm{CO}_2\) 气泡的成核过程。记其半径为 \(a\)，内部压强为 \(P_{\mathrm b}\)。

A.1 — 0.2 分

用 \(P_0\)、\(a\) 和 \(\sigma\) 表示压强 \(P_{\mathrm b}\)。

在液体中，溶解的 \(\mathrm{CO}_2\) 的浓度随到气泡的距离而变化。在远离气泡处，浓度恢复为 \(c_\ell\)，记气泡表面附近的浓度为 \(c_{\mathrm b}\)。根据亨利定律，\(c_{\mathrm b}=k_{\mathrm H}P_{\mathrm b}\)。此外，在整道题中均假设气泡只含有 \(\mathrm{CO}_2\)。

由于 \(c_\ell\ne c_{\mathrm b}\)，\(\mathrm{CO}_2\) 分子从高浓度区域向低浓度区域扩散。我们还假设，液相中任何到达气泡表面的分子都会转移到气相中。

A.2 — 0.5 分

用 \(P_0,\sigma,c_\ell\) 和 \(c_0\) 表示临界半径 \(a_{\mathrm c}\)，半径超过该值的气泡预期会生长，其中 \(c_0=k_{\mathrm H}P_0\)。计算 \(c_\ell=4c_0\) 时 \(a_{\mathrm c}\) 的数值。

实际上，气泡主要从预先存在的气穴生长而来。因此，考虑一个初始半径为 \(a_0\approx40\,\mu\mathrm m\) 的气泡。记单位时间、单位面积内通过气泡表面转移的 \(\mathrm{CO}_2\) 的物质的量为 \(j\)。对于 \(j\)，有两种可能的模型。

• 模型 (1) \(j=\dfrac{D}{a}(c_\ell-c_{\mathrm b})\)，其中 \(D\) 是 \(\mathrm{CO}_2\) 在液体中的扩散系数。
• 模型 (2) \(j=K(c_\ell-c_{\mathrm b})\)，其中 \(K\) 在此为常数。

实验发现，气泡半径 \(a(t)\) 随时间的变化如图 2 所示。这里 \(c_\ell\approx4c_0\)，且由于气泡足够大，已经肉眼可见，表面张力引起的附加压强可以忽略，因而 \(P_{\mathrm b}\approx P_0\)。

A.3 — 1.2 分

用 \(a,P_0,T_0\) 和理想气体常数 \(R\) 表示气泡中 \(\mathrm{CO}_2\) 的物质的量 \(n_{\mathrm c}\)。分别求出两种模型下的 \(a(t)\)。指出哪种模型能够解释图 2 中的实验结果。根据你的回答，计算 \(K\) 或 \(D\) 的数值。

图 2. 一杯香槟中 \(\mathrm{CO}_2\) 气泡半径随时间的变化（改编自 [1]）。

最终，气泡脱离杯底，并在上升过程中继续生长。图 3 展示了一列气泡。这列气泡具有相同的初始半径，并以恒定频率 \(f_{\mathrm b}=20\,\mathrm{Hz}\) 产生。

图 3. 一列气泡。为适应页面布局，照片已旋转至水平方向（改编自 [1]）。

在此处研究的速度范围内，半径为 \(a\) 的气泡以速度 \(v\) 在动力黏度为 \(\eta\) 的液体中运动时，所受的阻力 \(F\) 由斯托克斯定律 \(F=6\pi\eta av\) 给出。测量表明，在任意时刻，都可以认为气泡以其终端速度运动。

A.4 — 0.8 分

写出竖直上升的气泡所受主要力的表达式。求出 \(v(a)\) 的表达式。利用 \(\rho_\ell\)、\(g_0\) 以及从图 3 中测得的量，估算 \(\eta\) 的数值。

气泡以速率 \(q_a=\dfrac{\mathrm da}{\mathrm dt}\) 准稳态生长的规律在上升过程中仍然适用。

A.5 — 0.5 分

用上升高度 \(H_\ell\)、生长速率 \(q_a=\dfrac{\mathrm da}{\mathrm dt}\) 以及所需的任何常数，表示气泡到达自由液面时的半径 \(a_{H_\ell}\)。假设 \(a_{H_\ell}\gg a_0\) 且 \(q_a\) 为常数，给出 \(H_\ell=10\,\mathrm{cm}\)、\(q_a\) 取图 2 所对应值时 \(a_{H_\ell}\) 的数值。

气泡的成核位点共有 \(N_{\mathrm b}\) 个。假设气泡以恒定频率 \(f_{\mathrm b}\) 在一杯香槟的杯底成核（液体高度为 \(H_\ell\)，体积为 \(V_\ell\)），且 \(a_0\) 仍可忽略。忽略 \(\mathrm{CO}_2\) 在自由液面处的扩散。

A.6 — 1.1 分

写出 \(c_\ell(t)\) 的微分方程。由此方程求出液体中溶解的 \(\mathrm{CO}_2\) 浓度衰减的特征时间 \(\tau\)。

部分 B. 气泡破裂时的声发射

小气泡到达自由液面时近似为球形。当隔开气泡与空气的液膜变得足够薄时，液膜上形成一个半径为 \(r\) 的圆孔，并在表面张力驱动下迅速扩大（图 4 左）。圆孔以恒定速率 \(v_{\mathrm f}\) 扩大（图 4 右）。孔缘外侧的液膜保持静止，厚度 \(h\) 恒定。

图 4. （左）\((\alpha)\) 液面处的气泡：(1) 液体，(2) 压强为 \(P_0\) 的空气，(3) 压强为 \(P_{\mathrm b}\) 的 \(\mathrm{CO}_2\)；\((\beta)\) 和 \((\gamma)\) 液膜回缩，其中孔缘用深蓝色表示；\((\delta)\) 气泡塌陷。（右）\(t\) 时刻液膜的回缩。上：从上方观察已穿孔液膜的示意图。下：孔缘及回缩液膜的截面。在 \(\mathrm dt\) 内，孔缘收集附近的液体（虚线所示）。

由于耗散过程，孔缘及被收集液体在 \(t\) 与 \(t+\mathrm dt\) 之间的表面能之差仅有一半转化为动能。我们进一步假设，与液膜表面积的变化相比，孔缘表面积的变化可以忽略。

B.1 — 1.1 分

用 \(\rho_\ell,\sigma\) 和 \(h\) 表示 \(v_{\mathrm f}\)。

图 5. （左）亥姆霍兹共振器。（右）作为振子的气泡。

液膜破裂时，气泡释放内部压力并发出声音。我们用亥姆霍兹共振器来模拟这一声发射过程：一个空腔通过截面积为 \(S\) 的颈部开口与压强为 \(P_0\) 的大气相通（图 5 左）。颈部中有一个质量为 \(m_{\mathrm p}\) 的物体，空腔内的气体绝热膨胀或压缩时产生的压力使其做小振幅的位移振荡。与压力相比，作用在 \(m_{\mathrm p}\) 上的重力可以忽略。设 \(z=0\)、\(P=P_0\) 时，质量为 \(m_{\mathrm p}\) 的物体下方气体的体积为 \(V_0\)。

B.2 — 1.1 分

写出 \(m_{\mathrm p}\) 的振动频率 \(f_0\) 的表达式。提示：当 \(\varepsilon\ll1\) 时，\((1+\varepsilon)^\alpha\approx1+\alpha\varepsilon\)。

亥姆霍兹模型可用于半径为 \(a\) 的气泡。\(V_0\) 为封闭气泡的体积。根据文献，等效活塞的质量为 \(m_{\mathrm p}=8\rho_{\mathrm g}r^3/3\)，其中 \(r\) 为圆形开口的半径，\(\rho_{\mathrm g}=1.8\,\mathrm{kg\cdot m^{-3}}\) 为气体密度（图 5 右）。在破裂过程中，\(r\) 从 \(0\) 增大到 \(r_{\mathrm c}\)，其中 \[ r_{\mathrm c}=\frac{2}{\sqrt3}a^2\sqrt{\frac{\rho_\ell g_0}{\sigma}}. \] 与此同时，发出的声音的频率不断增大，直至最大值 \(40\,\mathrm{kHz}\)，破裂时间为 \(t_{\mathrm b}=3\times10^{-2}\,\mathrm{ms}\)。

B.3 — 1.1 分

求气泡半径 \(a\) 以及将气泡与大气隔开的香槟液膜厚度 \(h\)。

部分 C. 开启香槟

一瓶香槟中，\(\mathrm{CO}_2\) 的总物质的量为 \(n_{\mathrm T}=0.2\,\mathrm{mol}\)，其中一部分溶解在体积为 \(V_{\mathrm L}=750\,\mathrm{mL}\) 的香槟液体中，另一部分以气体形式存在于瓶塞下方体积为 \(V_{\mathrm G}=25\,\mathrm{mL}\) 的空间内（图 6 左）。\(V_{\mathrm G}\) 中只含有 \(\mathrm{CO}_2\)。\(\mathrm{CO}_2\) 两相之间的平衡遵循亨利定律。假设开瓶时气态 \(\mathrm{CO}_2\) 的快速膨胀是绝热可逆的。环境温度 \(T_0\) 和压强 \(P_0=1\,\mathrm{bar}\) 保持不变。

图 6. 左：传统瓶颈：(1) 周围空气，(2) 软木塞，(3) 顶部气相空间，(4) 香槟液体。右：在两种不同温度下开瓶时观察到的两种现象（改编自 [2]）。

C.1 — 0.4 分

给出 \(T_0=6^\circ\mathrm C\) 和 \(T_0=20^\circ\mathrm C\) 时瓶内气态 \(\mathrm{CO}_2\) 压强 \(P_{\mathrm i}\) 的数值。

香槟生产中的另一个步骤（此处未作描述）使 \(P_{\mathrm i}\) 取下列数值，后续问题中将使用这些数值：在 \(T_0=6^\circ\mathrm C\) 时，\(P_{\mathrm i}=4.69\,\mathrm{bar}\)；在 \(T_0=20^\circ\mathrm C\) 时，\(P_{\mathrm i}=7.45\,\mathrm{bar}\)。

开瓶时，根据 \(T_0\) 的不同，可以观察到两种不同的现象（图 6 右）。

• 或者出现蓝色雾，这是由于形成了固态 \(\mathrm{CO}_2\) 晶体（但水的凝结受到抑制）；
• 或者出现灰白色雾，这是由于瓶颈周围空气中的水蒸气凝结。在后一种情况下，不形成 \(\mathrm{CO}_2\) 固体晶体。

\(\mathrm{CO}_2\) 固气相变的饱和蒸气压 \(P_{\mathrm{sat}}^{\mathrm{CO}_2}\) 满足： \[ \log_{10}\left(\frac{P_{\mathrm{sat}}^{\mathrm{CO}_2}}{P_0}\right) =A-\frac{B}{T+C} \] 其中 \(T\) 的单位为 \(\mathrm K\)，\(A=6.81\)、\(B=1.30\times10^3\,\mathrm K\)、\(C=-3.49\,\mathrm K\)。

C.2 — 0.7 分

假设没有发生相变，分别给出 \(T_0=6^\circ\mathrm C\) 和 \(T_0=20^\circ\mathrm C\) 时，开瓶后膨胀结束时 \(\mathrm{CO}_2\) 气体温度 \(T_{\mathrm f}\) 的数值。

选出正确的陈述（可多选）：

1. 在 \(T_0=6^\circ\mathrm C\) 时，开瓶会出现灰白色雾。
2. 在 \(T_0=6^\circ\mathrm C\) 时，开瓶会出现蓝色雾。
3. 在 \(T_0=20^\circ\mathrm C\) 时，开瓶会出现灰白色雾。
4. 在 \(T_0=20^\circ\mathrm C\) 时，开瓶会出现蓝色雾。

开瓶时，软木塞弹出。现在确定它所能达到的最大高度 \(H_{\mathrm c}\)。假设瓶颈对软木塞的摩擦力 \(F\) 为 \(F=\alpha A\)，其中 \(A\) 为接触面积，\(\alpha\) 为待定常数。初始时，压力略大于摩擦力。软木塞的质量为 \(m=10\,\mathrm g\)，直径为 \(d=1.8\,\mathrm{cm}\)，最初嵌在瓶颈中的圆柱部分长度为 \(\ell_0=2.5\,\mathrm{cm}\)。软木塞离开瓶颈后，可以忽略压力的合力。

C.3 — 1.3 分

给出外界温度为 \(T_0=6^\circ\mathrm C\) 时 \(H_{\mathrm c}\) 的数值。

[1] Liger-Belair 等，Am. J. Enol. Vitic.，第 50 卷，第 3 期（1999）。

[2] Liger-Belair 等，Sc. Reports 7，10938（2017）。

通用数据表

题目译自官方英文原文。

Предупреждение: Чрезмерное употребление алкоголя вредит здоровью, а употребление алкоголя лицами, не достигшими установленного законом возраста, запрещено.

Шампанское — французское игристое вино. При брожении сахаров в бутылке образуется углекислый газ (\(\mathrm{CO}_2\)). Молярная концентрация \(\mathrm{CO}_2\) в жидкой фазе \(c_\ell\) и парциальное давление \(P_{\mathrm{CO}_2}\) в газовой фазе связаны соотношением \(c_\ell=k_{\mathrm H}P_{\mathrm{CO}_2}\), известным как закон Генри, где \(k_{\mathrm H}\) называется постоянной Генри.

Данные

• Поверхностное натяжение шампанского \(\sigma=47\times10^{-3}\,\mathrm{J\cdot m^{-2}}\)
• Плотность жидкости \(\rho_\ell=1.0\times10^3\,\mathrm{kg\cdot m^{-3}}\)
• Постоянная Генри при \(T_0=20^\circ\mathrm C\), \(k_{\mathrm H}(20^\circ\mathrm C)=3.3\times10^{-4}\,\mathrm{mol\cdot m^{-3}\cdot Pa^{-1}}\)
• Постоянная Генри при \(T_0=6^\circ\mathrm C\), \(k_{\mathrm H}(6^\circ\mathrm C)=5.4\times10^{-4}\,\mathrm{mol\cdot m^{-3}\cdot Pa^{-1}}\)
• Атмосферное давление \(P_0=1\,\mathrm{bar}=1.0\times10^5\,\mathrm{Pa}\)
• Газы идеальны, показатель адиабаты \(\gamma=1.3\)

Рис. 1. Бокал, наполненный шампанским.

Часть A. Зарождение, рост и всплытие пузырьков

Сразу после открывания бутылки шампанского при температуре \(T_0=20^\circ\mathrm C\) наполним бокал. Давление в жидкости равно \(P_0\), а её температура остаётся постоянной и равной \(T_0\). Концентрация \(c_\ell\) растворённого \(\mathrm{CO}_2\) превышает равновесную концентрацию; исследуем зарождение пузырька \(\mathrm{CO}_2\). Обозначим его радиус через \(a\), а давление внутри него — через \(P_{\mathrm b}\).

A.1 — 0.2 балла

Выразите давление \(P_{\mathrm b}\) через \(P_0\), \(a\) и \(\sigma\).

Концентрация растворённого \(\mathrm{CO}_2\) в жидкости зависит от расстояния до пузырька. На большом расстоянии она принимает значение \(c_\ell\); концентрацию вблизи поверхности пузырька обозначим через \(c_{\mathrm b}\). Согласно закону Генри, \(c_{\mathrm b}=k_{\mathrm H}P_{\mathrm b}\). Кроме того, во всей задаче будем считать, что пузырьки содержат только \(\mathrm{CO}_2\).

Поскольку \(c_\ell\ne c_{\mathrm b}\), молекулы \(\mathrm{CO}_2\) диффундируют из областей с высокой концентрацией в области с низкой концентрацией. Также будем считать, что любая молекула из жидкой фазы, достигшая поверхности пузырька, переходит в пар.

A.2 — 0.5 балла

Выразите критический радиус \(a_{\mathrm c}\), при превышении которого пузырёк должен расти, через \(P_0,\sigma,c_\ell\) и \(c_0\), где \(c_0=k_{\mathrm H}P_0\). Вычислите численное значение \(a_{\mathrm c}\) при \(c_\ell=4c_0\).

На практике пузырьки растут преимущественно из уже существующих газовых полостей. Рассмотрим поэтому пузырёк с начальным радиусом \(a_0\approx40\,\mu\mathrm m\). Число молей \(\mathrm{CO}_2\), переносимых через единицу площади поверхности пузырька за единицу времени, обозначим через \(j\). Для \(j\) возможны две модели.

• модель (1) \(j=\dfrac{D}{a}(c_\ell-c_{\mathrm b})\), где \(D\) — коэффициент диффузии \(\mathrm{CO}_2\) в жидкости.
• модель (2) \(j=K(c_\ell-c_{\mathrm b})\), где \(K\) здесь является постоянной.

Экспериментально установлено, что радиус пузырька \(a(t)\) зависит от времени так, как показано на рис. 2. Здесь \(c_\ell\approx4c_0\), и, поскольку пузырьки достаточно велики, чтобы быть видимыми, избыточным давлением, обусловленным поверхностным натяжением, можно пренебречь: \(P_{\mathrm b}\approx P_0\).

A.3 — 1.2 балла

Выразите число молей \(\mathrm{CO}_2\) в пузырьке \(n_{\mathrm c}\) через \(a,P_0,T_0\) и универсальную газовую постоянную \(R\). Найдите \(a(t)\) для обеих моделей. Укажите, какая модель объясняет экспериментальные результаты на рис. 2. В зависимости от ответа вычислите численное значение \(K\) или \(D\).

Рис. 2. Зависимость радиуса пузырька \(\mathrm{CO}_2\) в бокале шампанского от времени (адаптировано из [1]).

В конце концов пузырьки отрываются от дна бокала и продолжают расти при всплытии. На рис. 3 показана цепочка пузырьков. Пузырьки в цепочке имеют одинаковый начальный радиус и образуются с постоянной частотой \(f_{\mathrm b}=20\,\mathrm{Hz}\).

Рис. 3. Цепочка пузырьков. Для размещения на странице фотография повёрнута в горизонтальное положение (адаптировано из [1]).

В рассматриваемом диапазоне скоростей сила сопротивления \(F\), действующая на пузырёк радиуса \(a\), движущийся со скоростью \(v\) в жидкости с динамической вязкостью \(\eta\), определяется законом Стокса \(F=6\pi\eta av\). Измерения показывают, что в любой момент времени можно считать, что пузырёк движется с установившейся скоростью.

A.4 — 0.8 балла

Запишите выражения для основных сил, действующих на вертикально всплывающий пузырёк. Получите выражение для \(v(a)\). Дайте численную оценку \(\eta\), используя \(\rho_\ell\), \(g_0\) и величины, измеренные по рис. 3.

При всплытии пузырьков по-прежнему применимо квазистационарное описание их роста со скоростью \(q_a=\dfrac{\mathrm da}{\mathrm dt}\).

A.5 — 0.5 балла

Выразите радиус \(a_{H_\ell}\) пузырька, достигающего свободной поверхности, через высоту подъёма \(H_\ell\), скорость роста \(q_a=\dfrac{\mathrm da}{\mathrm dt}\) и любые необходимые постоянные. Считая, что \(a_{H_\ell}\gg a_0\) и \(q_a\) постоянна, найдите численное значение \(a_{H_\ell}\) при \(H_\ell=10\,\mathrm{cm}\) и \(q_a\), соответствующей рис. 2.

Имеется \(N_{\mathrm b}\) центров зарождения пузырьков. Предположим, что пузырьки зарождаются с постоянной частотой \(f_{\mathrm b}\) на дне бокала шампанского (высота жидкости \(H_\ell\), её объём \(V_\ell\)), причём \(a_0\) по-прежнему пренебрежимо мал. Пренебрегите диффузией \(\mathrm{CO}_2\) через свободную поверхность.

A.6 — 1.1 балла

Запишите дифференциальное уравнение для \(c_\ell(t)\). Получите из этого уравнения характерное время \(\tau\) убывания концентрации растворённого \(\mathrm{CO}_2\) в жидкости.

Часть B. Акустическое излучение лопающегося пузырька

Малые пузырьки при достижении свободной поверхности имеют почти сферическую форму. Когда жидкая плёнка, отделяющая пузырёк от воздуха, становится достаточно тонкой, в ней образуется круглое отверстие радиуса \(r\), которое под действием поверхностного натяжения очень быстро расширяется (рис. 4, слева). Отверстие расширяется с постоянной скоростью \(v_{\mathrm f}\) (рис. 4, справа). Плёнка за пределами ободка остаётся неподвижной и имеет постоянную толщину \(h\).

Рис. 4. (Слева) \((\alpha)\) Пузырёк на поверхности: (1) жидкость, (2) воздух при давлении \(P_0\) и (3) \(\mathrm{CO}_2\) при давлении \(P_{\mathrm b}\); \((\beta)\) и \((\gamma)\) стягивание жидкой плёнки, ободок показан тёмно-синим цветом; \((\delta)\) схлопывание пузырька. (Справа) Стягивание жидкой плёнки в момент времени \(t\). Вверху: схема плёнки с отверстием, вид сверху. Внизу: поперечное сечение ободка и стягивающейся плёнки. За время \(\mathrm dt\) ободок захватывает прилегающую жидкость (показана пунктиром).

Из-за диссипативных процессов лишь половина разности поверхностных энергий ободка и захватываемой жидкости в моменты \(t\) и \(t+\mathrm dt\) превращается в кинетическую энергию. Кроме того, будем считать, что изменением площади поверхности ободка можно пренебречь по сравнению с изменением площади поверхности плёнки.

B.1 — 1.1 балла

Выразите \(v_{\mathrm f}\) через \(\rho_\ell,\sigma\) и \(h\).

Рис. 5. (Слева) Резонатор Гельмгольца. (Справа) Пузырёк как осциллятор.

При разрыве плёнки избыточное внутреннее давление сбрасывается и излучается звук. Будем моделировать это акустическое излучение резонатором Гельмгольца: полостью, сообщающейся с атмосферой при давлении \(P_0\) через отверстие горлышка площадью \(S\) (рис. 5, слева). В горлышке тело массой \(m_{\mathrm p}\) совершает колебания положения с малой амплитудой под действием сил давления, возникающих при адиабатическом расширении или сжатии газа в полости. Сила тяжести, действующая на \(m_{\mathrm p}\), пренебрежимо мала по сравнению с силами давления. Пусть \(V_0\) — объём газа под телом массой \(m_{\mathrm p}\) при \(P=P_0\) и \(z=0\).

B.2 — 1.1 балла

Выразите частоту колебаний \(f_0\) тела массой \(m_{\mathrm p}\). Подсказка: при \(\varepsilon\ll1\) справедливо \((1+\varepsilon)^\alpha\approx1+\alpha\varepsilon\).

Модель Гельмгольца можно применить к пузырьку радиуса \(a\). \(V_0\) — объём замкнутого пузырька. Согласно литературным данным, масса эквивалентного поршня равна \(m_{\mathrm p}=8\rho_{\mathrm g}r^3/3\), где \(r\) — радиус круглого отверстия, а \(\rho_{\mathrm g}=1.8\,\mathrm{kg\cdot m^{-3}}\) — плотность газа (рис. 5, справа). В процессе разрыва \(r\) изменяется от \(0\) до \(r_{\mathrm c}\), определяемого выражением \[ r_{\mathrm c}=\frac{2}{\sqrt3}a^2\sqrt{\frac{\rho_\ell g_0}{\sigma}}. \] При этом частота излучаемого звука возрастает до максимального значения \(40\,\mathrm{kHz}\), а время разрыва составляет \(t_{\mathrm b}=3\times10^{-2}\,\mathrm{ms}\).

B.3 — 1.1 балла

Найдите радиус \(a\) и толщину \(h\) плёнки шампанского, отделяющей пузырёк от атмосферы.

Часть C. Откупоривание шампанского

В бутылке общее количество \(\mathrm{CO}_2\) равно \(n_{\mathrm T}=0.2\,\mathrm{mol}\); он находится либо в растворённом виде в объёме \(V_{\mathrm L}=750\,\mathrm{mL}\) жидкого шампанского, либо в газообразном виде в объёме \(V_{\mathrm G}=25\,\mathrm{mL}\) под пробкой (рис. 6, слева). Объём \(V_{\mathrm G}\) содержит только \(\mathrm{CO}_2\). Равновесие между обеими фазами \(\mathrm{CO}_2\) подчиняется закону Генри. Будем считать, что быстрое расширение газообразного \(\mathrm{CO}_2\) при открывании бутылки адиабатическое и обратимое. Температура окружающей среды \(T_0\) и давление \(P_0=1\,\mathrm{bar}\) постоянны.

Рис. 6. Слева: обычное горлышко бутылки: (1) окружающий воздух, (2) пробка, (3) газовое пространство под пробкой, (4) жидкое шампанское. Справа: два явления, наблюдаемые при открывании бутылки при двух различных температурах (адаптировано из [2]).

C.1 — 0.4 балла

Найдите численное значение давления \(P_{\mathrm i}\) газообразного \(\mathrm{CO}_2\) в бутылке при \(T_0=6^\circ\mathrm C\) и \(T_0=20^\circ\mathrm C\).

Другой этап производства шампанского (здесь не описанный) приводит к следующим значениям \(P_{\mathrm i}\), которые мы будем использовать в последующих вопросах: \(P_{\mathrm i}=4.69\,\mathrm{bar}\) при \(T_0=6^\circ\mathrm C\) и \(P_{\mathrm i}=7.45\,\mathrm{bar}\) при \(T_0=20^\circ\mathrm C\).

При открывании бутылки в зависимости от \(T_0\) можно наблюдать два различных явления (рис. 6, справа).

• либо появляется голубой туман, обусловленный образованием кристаллов твёрдого \(\mathrm{CO}_2\) (при этом конденсация воды подавлена);
• либо появляется серо-белый туман, обусловленный конденсацией водяного пара в воздухе, окружающем горлышко бутылки. В этом случае кристаллы твёрдого \(\mathrm{CO}_2\) не образуются.

Давление насыщенного пара \(P_{\mathrm{sat}}^{\mathrm{CO}_2}\) для перехода \(\mathrm{CO}_2\) между твёрдой и газообразной фазами подчиняется соотношению: \[ \log_{10}\left(\frac{P_{\mathrm{sat}}^{\mathrm{CO}_2}}{P_0}\right) =A-\frac{B}{T+C} \] где \(T\) выражена в \(\mathrm K\), \(A=6.81\), \(B=1.30\times10^3\,\mathrm K\) и \(C=-3.49\,\mathrm K\).

C.2 — 0.7 балла

Найдите численное значение температуры \(T_{\mathrm f}\) газообразного \(\mathrm{CO}_2\) в конце расширения после открывания бутылки при \(T_0=6^\circ\mathrm C\) и при \(T_0=20^\circ\mathrm C\), если фазового перехода не произошло.

Выберите верные утверждения (верных утверждений может быть несколько):

1. При \(T_0=6^\circ\mathrm C\) во время открывания бутылки появляется серо-белый туман.
2. При \(T_0=6^\circ\mathrm C\) во время открывания бутылки появляется голубой туман.
3. При \(T_0=20^\circ\mathrm C\) во время открывания бутылки появляется серо-белый туман.
4. При \(T_0=20^\circ\mathrm C\) во время открывания бутылки появляется голубой туман.

При открывании бутылки пробка вылетает. Теперь определим максимальную высоту \(H_{\mathrm c}\), которой она достигает. Будем считать, что сила трения \(F\), действующая на пробку со стороны горлышка бутылки, равна \(F=\alpha A\), где \(A\) — площадь контакта, а \(\alpha\) — постоянная, которую требуется определить. Вначале сила давления немного превышает силу трения. Масса пробки \(m=10\,\mathrm g\), её диаметр \(d=1.8\,\mathrm{cm}\), а длина цилиндрической части, первоначально находящейся в горлышке, равна \(\ell_0=2.5\,\mathrm{cm}\). После того как пробка покинет горлышко, равнодействующей сил давления можно пренебречь.

C.3 — 1.3 балла

Найдите численное значение \(H_{\mathrm c}\), если температура окружающей среды \(T_0=6^\circ\mathrm C\).

[1] Liger-Belair и др., Am. J. Enol. Vitic., том 50, № 3 (1999).

[2] Liger-Belair и др., Sc. Reports 7, 10938 (2017).

Таблица физических постоянных

Условие переведено с официального английского текста.

تحذير: الإفراط في استهلاك الكحول مضر بالصحة، ويُحظر شرب الكحول دون السن القانونية.

الشمبانيا نبيذ فرنسي فوّار. ينتج عن تخمّر السكريات ثاني أكسيد الكربون (\(\mathrm{CO}_2\)) داخل الزجاجة. يرتبط التركيز المولي لغاز \(\mathrm{CO}_2\) في الطور السائل \(c_\ell\) بضغطه الجزئي \(P_{\mathrm{CO}_2}\) في الطور الغازي بالعلاقة \(c_\ell=k_{\mathrm H}P_{\mathrm{CO}_2}\)، المعروفة بقانون هنري، حيث يُسمّى \(k_{\mathrm H}\) ثابت هنري.

المعطيات

• التوتر السطحي للشمبانيا \(\sigma=47\times10^{-3}\,\mathrm{J\cdot m^{-2}}\)
• كثافة السائل \(\rho_\ell=1.0\times10^3\,\mathrm{kg\cdot m^{-3}}\)
• ثابت هنري عند \(T_0=20^\circ\mathrm C\)، \(k_{\mathrm H}(20^\circ\mathrm C)=3.3\times10^{-4}\,\mathrm{mol\cdot m^{-3}\cdot Pa^{-1}}\)
• ثابت هنري عند \(T_0=6^\circ\mathrm C\)، \(k_{\mathrm H}(6^\circ\mathrm C)=5.4\times10^{-4}\,\mathrm{mol\cdot m^{-3}\cdot Pa^{-1}}\)
• الضغط الجوي \(P_0=1\,\mathrm{bar}=1.0\times10^5\,\mathrm{Pa}\)
• الغازات مثالية، ومعاملها الأديباتي \(\gamma=1.3\)

الشكل 1. كأس مملوءة بالشمبانيا.

الجزء A. تنوّي الفقاعات ونموّها وصعودها

نملأ كأسًا مباشرة بعد فتح زجاجة شمبانيا عند درجة الحرارة \(T_0=20^\circ\mathrm C\). يبلغ الضغط في السائل \(P_0\)، وتبقى درجة حرارته ثابتة عند \(T_0\). يتجاوز تركيز \(\mathrm{CO}_2\) المذاب، \(c_\ell\)، تركيز الاتزان، وندرس تنوّي فقاعة من \(\mathrm{CO}_2\). نرمز إلى نصف قطرها بالرمز \(a\)، وإلى ضغطها الداخلي بالرمز \(P_{\mathrm b}\).

A.1 — 0.2 نقطة

عبّر عن الضغط \(P_{\mathrm b}\) بدلالة \(P_0\) و\(a\) و\(\sigma\).

يعتمد تركيز \(\mathrm{CO}_2\) المذاب في السائل على المسافة من الفقاعة. وعلى مسافة بعيدة، يستعيد التركيز القيمة \(c_\ell\)، ونرمز بالرمز \(c_{\mathrm b}\) إلى التركيز بالقرب من سطح الفقاعة. وفقًا لقانون هنري، \(c_{\mathrm b}=k_{\mathrm H}P_{\mathrm b}\). ونفترض كذلك، في جميع أجزاء المسألة، أن الفقاعات لا تحتوي إلا على \(\mathrm{CO}_2\).

بما أن \(c_\ell\ne c_{\mathrm b}\)، تنتشر جزيئات \(\mathrm{CO}_2\) من المناطق ذات التركيز المرتفع إلى المناطق ذات التركيز المنخفض. ونفترض أيضًا أن أي جزيء من الطور السائل يصل إلى سطح الفقاعة ينتقل إلى البخار.

A.2 — 0.5 نقطة

عبّر عن نصف القطر الحرج \(a_{\mathrm c}\)، الذي يُتوقع أن تنمو الفقاعة إذا تجاوز نصف قطرها قيمته، بدلالة \(P_0,\sigma,c_\ell\) و\(c_0\)، حيث \(c_0=k_{\mathrm H}P_0\). احسب عدديًا \(a_{\mathrm c}\) عندما \(c_\ell=4c_0\).

عمليًا، تنمو الفقاعات أساسًا انطلاقًا من تجاويف غازية موجودة مسبقًا. لذا، لنعتبر فقاعة نصف قطرها الابتدائي \(a_0\approx40\,\mu\mathrm m\). نرمز بالرمز \(j\) إلى عدد مولات \(\mathrm{CO}_2\) المنتقلة عبر سطح الفقاعة لكل وحدة مساحة ووحدة زمن. يمكن اعتماد نموذجين لوصف \(j\).

• النموذج (1) \(j=\dfrac{D}{a}(c_\ell-c_{\mathrm b})\)، حيث \(D\) هو معامل انتشار \(\mathrm{CO}_2\) في السائل.
• النموذج (2) \(j=K(c_\ell-c_{\mathrm b})\)، حيث \(K\) ثابت هنا.

تُظهر التجربة أن نصف قطر الفقاعة \(a(t)\) يعتمد على الزمن كما هو موضح في الشكل 2. هنا \(c_\ell\approx4c_0\)، وبما أن الفقاعات كبيرة بما يكفي لتكون مرئية، يمكن إهمال الضغط الزائد الناجم عن التوتر السطحي، ويكون \(P_{\mathrm b}\approx P_0\).

A.3 — 1.2 نقطة

عبّر عن عدد مولات \(\mathrm{CO}_2\) داخل الفقاعة، \(n_{\mathrm c}\)، بدلالة \(a,P_0,T_0\) وثابت الغاز المثالي \(R\). أوجد \(a(t)\) لكلا النموذجين. حدّد النموذج الذي يفسّر النتائج التجريبية في الشكل 2. وبناءً على إجابتك، احسب عدديًا \(K\) أو \(D\).

الشكل 2. التطور الزمني لنصف قطر فقاعة \(\mathrm{CO}_2\) في كأس شمبانيا (مقتبس بتصرّف من [1]).

تنفصل الفقاعات في نهاية المطاف عن قاع الكأس، وتواصل النمو أثناء صعودها. يُظهر الشكل 3. قطارًا من الفقاعات. لفقاعات القطار نصف القطر الابتدائي نفسه، وتنبعث بتردد ثابت \(f_{\mathrm b}=20\,\mathrm{Hz}\).

الشكل 3. قطار من الفقاعات. أُديرت الصورة إلى الوضع الأفقي لتناسب تنسيق الصفحة (مقتبس بتصرّف من [1]).

في مجال السرعات المدروس هنا، تُعطى قوة مقاومة المائع \(F\) المؤثرة في فقاعة نصف قطرها \(a\)، تتحرك بسرعة \(v\) في سائل لزوجته الديناميكية \(\eta\)، بقانون ستوكس \(F=6\pi\eta av\). تُظهر القياسات أنه يمكن افتراض أن الفقاعة تتحرك بسرعتها الحدّية في كل لحظة.

A.4 — 0.8 نقطة

أعطِ تعبيرات القوى الرئيسية المؤثرة في فقاعة تصعد رأسيًا. استنتج تعبير \(v(a)\). أعطِ تقديرًا عدديًا للزوجة \(\eta\) باستخدام \(\rho_\ell\) و\(g_0\) وكميات مقيسة من الشكل 3.

يظل وصف النمو شبه المستقر للفقاعات بمعدل \(q_a=\dfrac{\mathrm da}{\mathrm dt}\) ساريًا أثناء صعودها.

A.5 — 0.5 نقطة

عبّر عن نصف قطر فقاعة تصل إلى السطح الحر، \(a_{H_\ell}\)، بدلالة الارتفاع المقطوع \(H_\ell\)، ومعدل النمو \(q_a=\dfrac{\mathrm da}{\mathrm dt}\)، وأي ثوابت قد تحتاج إليها. افترض أن \(a_{H_\ell}\gg a_0\) وأن \(q_a\) ثابت، وأعطِ القيمة العددية لـ\(a_{H_\ell}\) عند \(H_\ell=10\,\mathrm{cm}\)، وباستخدام \(q_a\) الموافق لـالشكل 2.

يوجد \(N_{\mathrm b}\) من مواقع تنوّي الفقاعات. افترض أن الفقاعات تتنوّى بتردد ثابت \(f_{\mathrm b}\) عند قاع كأس شمبانيا (ارتفاع السائل فيها \(H_\ell\) وحجمه \(V_\ell\))، مع استمرار إهمال \(a_0\). أهمل انتشار \(\mathrm{CO}_2\) عبر السطح الحر.

A.6 — 1.1 نقطة

اكتب المعادلة التفاضلية التي تحققها \(c_\ell(t)\). استنتج من هذه المعادلة الزمن المميّز \(\tau\) لتناقص تركيز \(\mathrm{CO}_2\) المذاب في السائل.

الجزء B. الانبعاث الصوتي لفقاعة تنفجر

تكون الفقاعات الصغيرة شبه كروية عند وصولها إلى السطح الحر. وما إن يرقّ الغشاء السائل الفاصل بين الفقاعة والهواء بما يكفي، حتى تتشكل فيه فتحة دائرية نصف قطرها \(r\)، وتتسع بسرعة كبيرة بفعل التوتر السطحي (الشكل 4. يسارًا). تتسع الفتحة بسرعة ثابتة \(v_{\mathrm f}\) (الشكل 4. يمينًا). ويظل الغشاء خارج الحافة ساكنًا، بسماكة ثابتة \(h\).

الشكل 4. (يسارًا) \((\alpha)\) فقاعة عند السطح: (1) السائل، و(2) الهواء عند الضغط \(P_0\)، و(3) \(\mathrm{CO}_2\) عند الضغط \(P_{\mathrm b}\)؛ \((\beta)\) و\((\gamma)\) تراجع الغشاء السائل، حيث تظهر الحافة باللون الأزرق الداكن؛ \((\delta)\) انهيار الفقاعة. (يمينًا) تراجع الغشاء السائل عند الزمن \(t\). في الأعلى: رسم تخطيطي للغشاء المثقوب كما يُرى من أعلى. في الأسفل: مقطع عرضي للحافة والغشاء المتراجع. خلال \(\mathrm dt\)، تضم الحافة إليها السائل المجاور (المنقّط).

بسبب العمليات التبدّدية، لا يتحول إلى طاقة حركية إلا نصف الفرق بين طاقتي السطح عند \(t\) و\(t+\mathrm dt\) للحافة والسائل المتراكم. ونفترض كذلك أن تغيّر مساحة سطح الحافة مهمل مقارنة بتغيّر مساحة سطح الغشاء.

B.1 — 1.1 نقطة

عبّر عن \(v_{\mathrm f}\) بدلالة \(\rho_\ell,\sigma\) و\(h\).

الشكل 5. (يسارًا) مرنان هلمهولتز. (يمينًا) فقاعة بوصفها مهتزًا.

عندما ينفجر الغشاء، يتحرر الضغط الداخلي وينبعث صوت. نمثّل هذا الانبعاث الصوتي بمرنان هلمهولتز: تجويف مفتوح على الجو عند الضغط \(P_0\) عبر فتحة عنق مساحتها \(S\) (الشكل 5. يسارًا). في العنق، تتذبذب كتلة \(m_{\mathrm p}\) حول موضعها بسعة صغيرة بفعل قوى الضغط المؤثرة فيها، عندما يتمدد الغاز داخل التجويف أو ينضغط أديباتيًا. قوة الثقل المؤثرة في \(m_{\mathrm p}\) مهملة مقارنة بقوى الضغط. ليكن \(V_0\) حجم الغاز أسفل الكتلة \(m_{\mathrm p}\) عند \(P=P_0\)، حين يكون \(z=0\).

B.2 — 1.1 نقطة

عبّر عن تردد تذبذب \(m_{\mathrm p}\)، وهو \(f_0\). تلميح: عندما \(\varepsilon\ll1\)، فإن \((1+\varepsilon)^\alpha\approx1+\alpha\varepsilon\).

يمكن استخدام نموذج هلمهولتز لفقاعة نصف قطرها \(a\). ويكون \(V_0\) حجم الفقاعة المغلقة. وفقًا للمراجع العلمية، تبلغ كتلة المكبس المكافئ \(m_{\mathrm p}=8\rho_{\mathrm g}r^3/3\)، حيث \(r\) نصف قطر الفتحة الدائرية، و\(\rho_{\mathrm g}=1.8\,\mathrm{kg\cdot m^{-3}}\) كثافة الغاز (الشكل 5. يمينًا). أثناء عملية الانفجار، يتغير \(r\) من \(0\) إلى \(r_{\mathrm c}\)، المعطى بالعلاقة \[ r_{\mathrm c}=\frac{2}{\sqrt3}a^2\sqrt{\frac{\rho_\ell g_0}{\sigma}}. \] وفي الوقت نفسه، يزداد تردد الصوت المنبعث حتى قيمة عظمى تبلغ \(40\,\mathrm{kHz}\)، وتبلغ مدة الانفجار \(t_{\mathrm b}=3\times10^{-2}\,\mathrm{ms}\).

B.3 — 1.1 نقطة

أوجد نصف القطر \(a\) وسماكة غشاء الشمبانيا \(h\) الفاصل بين الفقاعة والجو.

الجزء C. فرقعة الشمبانيا

تبلغ الكمية الكلية من \(\mathrm{CO}_2\) في زجاجة \(n_{\mathrm T}=0.2\,\mathrm{mol}\)، وهي إما مذابة في حجم \(V_{\mathrm L}=750\,\mathrm{mL}\) من الشمبانيا السائلة، أو غازية في الحجم \(V_{\mathrm G}=25\,\mathrm{mL}\) أسفل السدادة الفلينية (الشكل 6. يسارًا). لا يحتوي \(V_{\mathrm G}\) إلا على \(\mathrm{CO}_2\). يخضع الاتزان بين طوري \(\mathrm{CO}_2\) لقانون هنري. نفترض أن التمدد السريع لغاز \(\mathrm{CO}_2\) عند فتح الزجاجة أديباتي وعكوس. وتبقى درجة حرارة الوسط المحيط \(T_0\) وضغطه \(P_0=1\,\mathrm{bar}\) ثابتين.

الشكل 6. يسارًا: عنق زجاجة تقليدي: (1) الهواء المحيط، (2) السدادة الفلينية، (3) الحيّز الغازي العلوي، (4) الشمبانيا السائلة. يمينًا: ظاهرتان تُلاحظان عند فتح الزجاجة عند درجتي حرارة مختلفتين (مقتبس بتصرّف من [2]).

C.1 — 0.4 نقطة

أعطِ القيمة العددية لضغط \(\mathrm{CO}_2\) الغازي في الزجاجة، \(P_{\mathrm i}\)، عند \(T_0=6^\circ\mathrm C\) وعند \(T_0=20^\circ\mathrm C\).

تؤدي خطوة أخرى من إنتاج الشمبانيا (غير موصوفة هنا) إلى القيم الآتية لـ\(P_{\mathrm i}\)، التي سنستخدمها في الأسئلة التالية: \(P_{\mathrm i}=4.69\,\mathrm{bar}\) عند \(T_0=6^\circ\mathrm C\)، و\(P_{\mathrm i}=7.45\,\mathrm{bar}\) عند \(T_0=20^\circ\mathrm C\).

عند فتح الزجاجة، يمكن ملاحظة ظاهرتين مختلفتين تبعًا لـ\(T_0\) (الشكل 6. يمينًا).

• إما أن يظهر ضباب أزرق، بسبب تشكّل بلورات \(\mathrm{CO}_2\) الصلبة (مع تثبيط تكاثف الماء)؛
• أو أن يظهر ضباب أبيض مائل إلى الرمادي، بسبب تكاثف بخار الماء في الهواء المحيط بعنق الزجاجة. وفي هذه الحالة الأخيرة، لا تتشكل بلورات \(\mathrm{CO}_2\) الصلبة.

يتبع ضغط البخار المشبع \(P_{\mathrm{sat}}^{\mathrm{CO}_2}\) لانتقال \(\mathrm{CO}_2\) بين الطورين الصلب والغازي العلاقة: \[ \log_{10}\left(\frac{P_{\mathrm{sat}}^{\mathrm{CO}_2}}{P_0}\right) =A-\frac{B}{T+C} \] حيث \(T\) بوحدة \(\mathrm K\)، و\(A=6.81\)، و\(B=1.30\times10^3\,\mathrm K\)، و\(C=-3.49\,\mathrm K\).

C.2 — 0.7 نقطة

أعطِ القيمة العددية لدرجة حرارة غاز \(\mathrm{CO}_2\)، \(T_{\mathrm f}\)، في نهاية التمدد بعد فتح الزجاجة، عند \(T_0=6^\circ\mathrm C\) وعند \(T_0=20^\circ\mathrm C\)، إذا لم يحدث أي انتقال طوري.

اختر العبارات الصحيحة (قد تكون عدة عبارات صحيحة):

1. عند \(T_0=6^\circ\mathrm C\)، يظهر ضباب أبيض مائل إلى الرمادي أثناء فتح الزجاجة.
2. عند \(T_0=6^\circ\mathrm C\)، يظهر ضباب أزرق أثناء فتح الزجاجة.
3. عند \(T_0=20^\circ\mathrm C\)، يظهر ضباب أبيض مائل إلى الرمادي أثناء فتح الزجاجة.
4. عند \(T_0=20^\circ\mathrm C\)، يظهر ضباب أزرق أثناء فتح الزجاجة.

أثناء فتح الزجاجة، تندفع السدادة الفلينية إلى الخارج. نحدّد الآن أقصى ارتفاع \(H_{\mathrm c}\) تصل إليه. افترض أن قوة الاحتكاك \(F\) التي يؤثر بها عنق الزجاجة في السدادة الفلينية هي \(F=\alpha A\)، حيث \(A\) مساحة التلامس، و\(\alpha\) ثابت يجب تحديده. في البداية، تتجاوز قوة الضغط قوة الاحتكاك بقليل. تبلغ كتلة السدادة \(m=10\,\mathrm g\)، وقطرها \(d=1.8\,\mathrm{cm}\)، وطول الجزء الأسطواني المنحشر ابتداءً في عنق الزجاجة \(\ell_0=2.5\,\mathrm{cm}\). ما إن تغادر السدادة عنق الزجاجة، يمكن إهمال محصلة قوى الضغط.

C.3 — 1.3 نقطة

أعطِ القيمة العددية لـ\(H_{\mathrm c}\) إذا كانت درجة الحرارة الخارجية \(T_0=6^\circ\mathrm C\).

[1] Liger-Belair وآخرون، Am. J. Enol. Vitic.، المجلد 50، العدد 3 (1999).

[2] Liger-Belair وآخرون، Sc. Reports 7، 10938 (2017).

جدول المعطيات العامة

نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي.