This problem aims to study the peculiar physics of galaxies, such as their dynamics and structure. In particular, we explain how to measure the mass distribution of our galaxy from the inside. For this we will focus on hydrogen, its main constituent.

Throughout this problem we will only use \(\hbar\), defined as \(\hbar=h/2\pi\).

Part A - Introduction

Bohr model

We assume that the hydrogen atom consists of a non-relativistic electron, with mass \(m_e\), orbiting a fixed proton. Throughout this part, we assume its motion is on a circular orbit.

A.1 — 0.2pt

Determine the electron's velocity \(v\) in a circular orbit of radius \(r\).

In the Bohr model, we assume the magnitude of the electron's angular momentum \(L\) is quantized, \(L=n\hbar\) where \(n>0\) is an integer. We define \(\alpha=\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar c}\approx7.27\times10^{-3}\).

A.2 — 0.5pt

Show that the radius of each orbit is given by \(r_n=n^2r_1\), where \(r_1\) is called the Bohr radius. Express \(r_1\) in terms of \(\alpha\), \(m_e\), \(c\) and \(\hbar\) and calculate its numerical value with 3 digits. Express \(v_1\), the velocity on the orbit of radius \(r_1\), in terms of \(\alpha\) and \(c\).

A.3 — 0.5pt

Determine the electron's mechanical energy \(E_n\) on an orbit of radius \(r_n\) in terms of \(e\), \(\varepsilon_0\), \(r_1\) and \(n\). Determine \(E_1\) in the ground state in terms of \(\alpha\), \(m_e\) and \(c\). Compute its numerical value in eV.

Hydrogen fine and hyperfine structures

The rare spontaneous inversion of the electron's spin causes a photon to be emitted on average once per 10 million years per hydrogen atom. This emission serves as a hydrogen tracer in the universe and is thus fundamental in astrophysics. We will study the transition responsible for this emission in two steps.

First, consider the interaction between the electron spin and the relative motion of the electron and the proton. Working in the electron's frame of reference, the proton orbits the electron at a distance \(r_1\). This produces a magnetic field \(\vec B_1\).

A.4 — 0.5pt

Determine the magnitude \(B_1\) of \(\vec B_1\) at the position of the electron in terms of \(\mu_0\), \(e\), \(\alpha\), \(c\) and \(r_1\).

Second, the electron spin creates a magnetic moment \(\vec{\mathcal M}_s\). Its magnitude is roughly \(\mathcal M_s=\dfrac{e}{m_e}\hbar\). The fine (F) structure is related to the energy difference \(\Delta E_{\mathrm F}\) between an electron with a magnetic moment \(\vec{\mathcal M}_s\) parallel to \(\vec B_1\) and that of an electron with \(\vec{\mathcal M}_s\) anti-parallel to \(\vec B_1\). Similarly, the hyperfine (HF) structure is related to the energy difference \(\Delta E_{\mathrm{HF}}\), due to the interaction between parallel and anti-parallel magnetic moments of the electron and the proton. It is known to be approximately \(\Delta E_{\mathrm{HF}}\simeq3.72\dfrac{m_e}{m_p}\Delta E_{\mathrm F}\) where \(m_p\) is the proton mass.

A.5 — 0.5pt

Express \(\Delta E_{\mathrm F}\) as a function of \(\alpha\) and \(E_1\).

Express the wavelength \(\lambda_{\mathrm{HF}}\) of a photon emitted during a transition between the two states of the hyperfine structure and give its numerical value with two digits.

Part B - Rotation curves of galaxies

Data

• Kiloparsec: \(1\,\mathrm{kpc}=3.09\times10^{19}\,\mathrm m\)
• Solar mass : \(1\,M_\odot=1.99\times10^{30}\,\mathrm{kg}\)

We consider a spherical galaxy centered around a fixed point \(O\). At any point \(P\), let \(\rho=\rho(P)\) be the volumetric mass density and \(\varphi=\varphi(P)\) the associated gravitational potential (i.e. potential energy per unit mass). Both \(\rho\) and \(\varphi\) depend only on \(r=\|\overrightarrow{OP}\|\). The motion of a mass \(m\) located at \(P\), due to the field \(\varphi\), is restricted to a plane containing \(O\).

B.1 — 0.2pt

In the case of a circular orbit, determine the velocity \(v_c\) of an object on a circular orbit passing through \(P\) in terms of \(r\) and \(\dfrac{d\varphi}{dr}\).

Fig. 1(A) is a picture of the spiral galaxy NGC 6946 in the visible band (from the 0.8m Schulman Telescope at the Mount Lemmon Sky Center in Arizona). The little ellipses in Fig. 1(B) show experimental measurements of \(v_c\) for this galaxy. The central region (\(r<1\,\mathrm{kpc}\)) is named the bulge. In this region, the mass distribution is roughly homogeneous. The red curve is a prediction for \(v_c\) if the system were homogeneous in the bulge and keplerian (\(\varphi(r)=-\beta/r\) with \(\beta>0\)) outside it, i.e. considering that the total mass of the galaxy is concentrated in the bulge.

Fig. 1: NGC 6946 galaxy: Picture (A) and rotation curve (B).

B.2 — 0.5pt

Deduce the mass \(M_b\) of the bulge of NGC 6946 from the red rotation curve in Fig. 1(B), in solar mass units.

Comparing the keplerian model and the experimental data makes astronomers confident that part of the mass is invisible in the picture. They thus suppose that the galaxy's actual mass density is given by

\[ \rho_m(r)=\frac{C_m}{r_m^2+r^2} \tag{1} \]

where \(C_m>0\) and \(r_m>0\) are constants.

B.3 — 1.8pt

Show that the velocity profile \(v_{c,m}(r)\), corresponding to the mass density in Eq. 1, can be written \[ v_{c,m}(r)=\sqrt{k_1-\frac{k_2\cdot\arctan\!\left(\frac r{r_m}\right)}r}. \] Express \(k_1\) and \(k_2\) in terms of \(C_m\), \(r_m\) and \(G\).

(Hints: \(\displaystyle\int_0^r\frac{x^2}{a^2+x^2}\,dx=r-a\arctan(r/a)\), and: \(\arctan(x)\simeq x-x^3/3\) for \(x\ll1\).)

Simplify \(v_{c,m}(r)\) when \(r\ll r_m\) and when \(r\gg r_m\).

Show that if \(r\gg r_m\), the mass \(M_m(r)\) embedded in a sphere of radius \(r\) with the mass density given by Eq. 1 simplifies and depends only on \(C_m\) and \(r\).

Estimate the mass of the galaxy NGC 6946 actually present in the picture in Fig. 1(A).

Part C - Mass distribution in our galaxy

For a spiral galaxy, the model for Eq. 1 is modified and one usually considers the gravitational potential is given by \[ \varphi_G(r,z)=\varphi_0\ln\!\left(\frac r{r_0}\right) \exp\!\left[-\left(\frac z{z_0}\right)^2\right], \] where \(z\) is the distance to the galactic plane (defined by \(z=0\)), and \(r<r_0\) is now the axial radius and \(\varphi_0>0\) a constant to be determined. \(r_0\) and \(z_0\) are constant values.

C.1 — 0.5pt

Find the equation of motion on \(z\) for the vertical motion of a point mass \(m\) in such a potential, assuming \(r\) is constant. Show that, if \(r<r_0\) the galactic plane is a stable equilibrium state by giving the angular frequency \(\omega_0\) of small oscillations around it.

From here on, we set \(z=0\).

C.2 — 0.6pt

Identify the regime, either \(r\gg r_m\) or \(r\ll r_m\), in which the model of Eq. 1 recovers a potential of the form \(\varphi_G(r,0)\) with a suitable definition of \(\varphi_0\).

Under this condition \(v_c(r)\) no longer depends on \(r\). Express it in terms of \(\varphi_0\).

Therefore, outside the bulge the velocity modulus \(v_c\) does not depend on the distance to the galactic center. We will use this fact, as astronomers do, to measure the galaxy's mass distribution from the inside.

All galactic objects considered here for astronomical observations, such as stars or nebulae, are primarily composed of hydrogen. Outside the bulge, we assume that they rotate on circular orbits around the galactic center \(C\). \(S\) is the sun's position and \(E\) that of a given galactic object emitting in the hydrogen spectrum. In the galactic plane, we consider a line of sight \(SE\) corresponding to the orientation of an observation, on the unit vector \(\hat u_v\) (see Fig. 2).

Fig. 2: Geometry of the measurement

Let \(\ell\) be the galactic longitude, measuring the angle between \(SC\) and the \(SE\). The sun's velocity on its circular orbit of radius \(R_\odot=8.00\,\mathrm{kpc}\) is denoted \(\vec v_\odot\). A galactic object in \(E\) orbits on another circle of radius \(R\) at velocity \(\vec v_E\). Using a Doppler effect on the previously studied 21cm line, one can obtain the relative radial velocity \(v_{rE/S}\) of the emitter \(E\) with respect to the sun \(S\): it is the projection of \(\vec v_E-\vec v_\odot\) on the line of sight.

C.3 — 0.7pt

Determine \(v_{rE/S}\) in terms of \(\ell\), \(R\), \(R_\odot\) and \(v_\odot\). Then, express \(R\) in terms of \(R_\odot\), \(v_\odot\), \(\ell\) and \(v_{rE/S}\).

Using a radio telescope, we make observations in the plane of our galaxy toward a longitude \(\ell=30^\circ\). The frequency band used contains the 21cm line, whose frequency is \(f_0=1.42\,\mathrm{GHz}\). The results are reported in Fig. 3.

Fig. 3: Electromagnetic signal as a function of the frequency shift, measured in the radio frequency band at \(\ell=30^\circ\) using EU-HOU RadioAstronomy

C.4 — 0.6pt

In our galaxy, \(v_\odot=220\,\mathrm{km\cdot s^{-1}}\). Determine the values of the relative radial velocity (with 3 significant digits) and the distance from the galactic center (with 2 significant digits) of the 3 sources observed in Fig. 3. Distances should be expressed as multiples of \(R_\odot\).

C.5 — 0.6pt

On the top view of our galaxy (in the answer box), indicate the positions of the sources observed in Fig. 3.

What could be deduced from repeated measurements changing \(\ell\)?

Part D - Tully-Fisher relation and MOND theory

The flat external velocity curve of NGC 6946 in Fig. 1 is a common property of spiral galaxies, as can be seen in Fig. 4 (left). Plotting the external constant velocity value \(v_{c,\infty}\) as a function of the measured total mass \(M_{\mathrm{tot}}\) of each galaxy gives an interesting correlation called the Tully-Fischer relation, see Fig. 4 (right).

Fig. 4. Left: Rotation curves for typical spiral galaxies - Right: \(\log_{10}(M_{\mathrm{tot}})\) as a function of \(\log_{10}(v_{c,\infty})\) on linear scales. Colored dots correspond to different galaxies and different surveys. The green line is the Tully-Fischer relation which is in very good agreement with the best fit line of the data (in black).

D.1 — 0.4pt

Assuming that the radius \(R\) of a galaxy doesn't depend on its mass, show that the model of Eq. 1 (part B) gives a relation of the form \(M_{\mathrm{tot}}=\eta v_{c,\infty}^{\gamma}\) where \(\gamma\) and \(\eta\) should be specified.

Compare this expression to the Tully-Fischer relation by computing \(\gamma_{TF}\).

In the extremely low acceleration regime, of the order of \(a_0=10^{-10}\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\), the MOdified Newtonian Dynamics (MOND) theory suggests that one can modify Newton's second law using \[ \vec F=m\mu\!\left(\frac a{a_0}\right)\vec a \] where \(a=\|\vec a\|\) is the modulus of the acceleration and the \(\mu\) function is defined by \(\mu(x)=\dfrac{x}{1+x}\).

D.2 — 0.2pt

Using data for NGC 6946 in Fig. 1, estimate, within Newton's theory, the modulus of the acceleration \(a_m\) of a mass in the outer regions of NGC 6946.

D.3 — 0.8pt

Let \(m\) be a mass on a circular orbit of radius \(r\) with velocity \(v_{c,\infty}\) in the gravity field of a fixed mass \(M\).

Within the MOND theory, with \(a\ll a_0\), determine the Tully-Fischer exponent.

Using data for NGC 6946 and/or Tully-Fischer law, calculate \(a_0\) to show that MOND operates in the correct regime.

D.4 — 0.9pt

Considering relevant cases, determine \(v_c(r)\) for all values of \(r\) in the MOND theory in the case of a gravitational field due to a homogeneously distributed mass \(M\) with radius \(R_b\).

General Data Sheet

Official English text of the problem.

Diese Aufgabe untersucht die besonderen physikalischen Eigenschaften von Galaxien, etwa ihre Dynamik und Struktur. Insbesondere erläutern wir, wie sich die Massenverteilung unserer Galaxie von innen heraus messen lässt. Dazu konzentrieren wir uns auf Wasserstoff, ihren Hauptbestandteil.

In dieser gesamten Aufgabe verwenden wir ausschließlich \(\hbar\), definiert durch \(\hbar=h/2\pi\).

Teil A - Einführung

Bohrsches Atommodell

Wir nehmen an, dass das Wasserstoffatom aus einem nichtrelativistischen Elektron der Masse \(m_e\) besteht, das ein ortsfestes Proton umkreist. In diesem gesamten Teil nehmen wir an, dass es sich auf einer Kreisbahn bewegt.

A.1 — 0.2 Punkte

Bestimmen Sie die Geschwindigkeit \(v\) des Elektrons auf einer Kreisbahn mit Radius \(r\).

Im Bohrschen Atommodell nehmen wir an, dass der Betrag des Drehimpulses \(L\) des Elektrons quantisiert ist: \(L=n\hbar\), wobei \(n>0\) eine ganze Zahl ist. Wir definieren \(\alpha=\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar c}\approx7.27\times10^{-3}\).

A.2 — 0.5 Punkte

Zeigen Sie, dass der Radius jeder Bahn durch \(r_n=n^2r_1\) gegeben ist, wobei \(r_1\) als Bohrscher Radius bezeichnet wird. Drücken Sie \(r_1\) durch \(\alpha\), \(m_e\), \(c\) und \(\hbar\) aus und berechnen Sie seinen Zahlenwert mit 3 signifikanten Stellen. Drücken Sie \(v_1\), die Geschwindigkeit auf der Bahn mit Radius \(r_1\), durch \(\alpha\) und \(c\) aus.

A.3 — 0.5 Punkte

Bestimmen Sie die mechanische Energie \(E_n\) des Elektrons auf einer Bahn mit Radius \(r_n\) in Abhängigkeit von \(e\), \(\varepsilon_0\), \(r_1\) und \(n\). Bestimmen Sie \(E_1\) im Grundzustand in Abhängigkeit von \(\alpha\), \(m_e\) und \(c\). Berechnen Sie ihren Zahlenwert in eV.

Fein- und Hyperfeinstruktur des Wasserstoffs

Die seltene spontane Umkehr des Elektronenspins führt dazu, dass pro Wasserstoffatom im Mittel einmal in 10 Millionen Jahren ein Photon emittiert wird. Diese Emission dient als Nachweis für Wasserstoff im Universum und ist daher von grundlegender Bedeutung für die Astrophysik. Wir untersuchen den für diese Emission verantwortlichen Übergang in zwei Schritten.

Betrachten Sie zunächst die Wechselwirkung zwischen dem Elektronenspin und der Relativbewegung von Elektron und Proton. Im Bezugssystem des Elektrons umkreist das Proton das Elektron im Abstand \(r_1\). Dadurch entsteht ein Magnetfeld \(\vec B_1\).

A.4 — 0.5 Punkte

Bestimmen Sie den Betrag \(B_1\) von \(\vec B_1\) am Ort des Elektrons in Abhängigkeit von \(\mu_0\), \(e\), \(\alpha\), \(c\) und \(r_1\).

Zweitens erzeugt der Elektronenspin ein magnetisches Moment \(\vec{\mathcal M}_s\). Sein Betrag ist näherungsweise \(\mathcal M_s=\dfrac{e}{m_e}\hbar\). Die Feinstruktur (F) hängt mit der Energiedifferenz \(\Delta E_{\mathrm F}\) zwischen einem Elektron, dessen magnetisches Moment \(\vec{\mathcal M}_s\) parallel zu \(\vec B_1\) ausgerichtet ist, und einem Elektron, dessen \(\vec{\mathcal M}_s\) antiparallel zu \(\vec B_1\) ausgerichtet ist, zusammen. Analog hängt die Hyperfeinstruktur (HF) mit der Energiedifferenz \(\Delta E_{\mathrm{HF}}\) zusammen, die sich aus der Wechselwirkung bei paralleler bzw. antiparalleler Ausrichtung der magnetischen Momente von Elektron und Proton ergibt. Es ist bekannt, dass näherungsweise \(\Delta E_{\mathrm{HF}}\simeq3.72\dfrac{m_e}{m_p}\Delta E_{\mathrm F}\) gilt, wobei \(m_p\) die Protonenmasse ist.

A.5 — 0.5 Punkte

Drücken Sie \(\Delta E_{\mathrm F}\) als Funktion von \(\alpha\) und \(E_1\) aus.

Geben Sie einen Ausdruck für die Wellenlänge \(\lambda_{\mathrm{HF}}\) eines Photons an, das bei einem Übergang zwischen den beiden Zuständen der Hyperfeinstruktur emittiert wird, und geben Sie ihren Zahlenwert mit zwei signifikanten Stellen an.

Teil B - Rotationskurven von Galaxien

Daten

• Kiloparsec: \(1\,\mathrm{kpc}=3.09\times10^{19}\,\mathrm m\)
• Sonnenmasse: \(1\,M_\odot=1.99\times10^{30}\,\mathrm{kg}\)

Wir betrachten eine kugelförmige Galaxie mit einem ortsfesten Punkt \(O\) als Zentrum. An einem beliebigen Punkt \(P\) sei \(\rho=\rho(P)\) die Massendichte und \(\varphi=\varphi(P)\) das zugehörige Gravitationspotential (d. h. die potentielle Energie pro Masseneinheit). Sowohl \(\rho\) als auch \(\varphi\) hängen nur von \(r=\|\overrightarrow{OP}\|\) ab. Die Bewegung einer am Punkt \(P\) befindlichen Masse \(m\) unter dem Einfluss des Feldes \(\varphi\) ist auf eine Ebene beschränkt, die \(O\) enthält.

B.1 — 0.2 Punkte

Bestimmen Sie für eine Kreisbahn die Geschwindigkeit \(v_c\) eines Objekts auf einer durch \(P\) verlaufenden Kreisbahn in Abhängigkeit von \(r\) und \(\dfrac{d\varphi}{dr}\).

Abb. 1(A) zeigt eine Aufnahme der Spiralgalaxie NGC 6946 im sichtbaren Spektralbereich (aufgenommen mit dem 0,8-m-Schulman-Teleskop am Mount Lemmon Sky Center in Arizona). Die kleinen Ellipsen in Abb. 1(B) zeigen experimentelle Messwerte von \(v_c\) für diese Galaxie. Der zentrale Bereich (\(r<1\,\mathrm{kpc}\)) wird als Bulge bezeichnet. In diesem Bereich ist die Massenverteilung näherungsweise homogen. Die rote Kurve ist eine Vorhersage für \(v_c\) unter der Annahme, dass das System im Bulge homogen und außerhalb keplersch (\(\varphi(r)=-\beta/r\) mit \(\beta>0\)) ist, d. h., dass die gesamte Masse der Galaxie im Bulge konzentriert ist.

Abb. 1: Galaxie NGC 6946: Aufnahme (A) und Rotationskurve (B).

B.2 — 0.5 Punkte

Leiten Sie aus der roten Rotationskurve in Abb. 1(B) die Masse \(M_b\) des Bulges von NGC 6946 in Einheiten der Sonnenmasse ab.

Der Vergleich des keplerschen Modells mit den experimentellen Daten überzeugt Astronomen davon, dass ein Teil der Masse auf dem Bild unsichtbar ist. Sie nehmen daher an, dass die tatsächliche Massendichte der Galaxie durch

\[ \rho_m(r)=\frac{C_m}{r_m^2+r^2} \tag{1} \]

gegeben ist, wobei \(C_m>0\) und \(r_m>0\) Konstanten sind.

B.3 — 1.8 Punkte

Zeigen Sie, dass das zur Massendichte aus Gl. 1 gehörende Geschwindigkeitsprofil \(v_{c,m}(r)\) in der Form \[ v_{c,m}(r)=\sqrt{k_1-\frac{k_2\cdot\arctan\!\left(\frac r{r_m}\right)}r}. \] geschrieben werden kann. Drücken Sie \(k_1\) und \(k_2\) durch \(C_m\), \(r_m\) und \(G\) aus.

(Hinweise: \(\displaystyle\int_0^r\frac{x^2}{a^2+x^2}\,dx=r-a\arctan(r/a)\), und: \(\arctan(x)\simeq x-x^3/3\) für \(x\ll1\).)

Vereinfachen Sie \(v_{c,m}(r)\) für \(r\ll r_m\) und für \(r\gg r_m\).

Zeigen Sie, dass sich für \(r\gg r_m\) die Masse \(M_m(r)\), die bei der Massendichte aus Gl. 1 in einer Kugel mit Radius \(r\) enthalten ist, vereinfacht und nur von \(C_m\) und \(r\) abhängt.

Schätzen Sie die tatsächlich im Bildausschnitt von Abb. 1(A) enthaltene Masse der Galaxie NGC 6946 ab.

Teil C - Massenverteilung in unserer Galaxie

Für eine Spiralgalaxie wird das Modell aus Gl. 1 abgeändert, und man nimmt üblicherweise an, dass das Gravitationspotential durch \[ \varphi_G(r,z)=\varphi_0\ln\!\left(\frac r{r_0}\right) \exp\!\left[-\left(\frac z{z_0}\right)^2\right], \] gegeben ist, wobei \(z\) der Abstand von der galaktischen Ebene (definiert durch \(z=0\)) ist, \(r<r_0\) nun den Abstand von der Achse bezeichnet und \(\varphi_0>0\) eine zu bestimmende Konstante ist. \(r_0\) und \(z_0\) sind konstante Größen.

C.1 — 0.5 Punkte

Bestimmen Sie die Bewegungsgleichung für \(z\) für die vertikale Bewegung einer Punktmasse \(m\) in einem solchen Potential unter der Annahme, dass \(r\) konstant ist. Zeigen Sie, dass die galaktische Ebene für \(r<r_0\) eine stabile Gleichgewichtslage ist, indem Sie die Kreisfrequenz \(\omega_0\) kleiner Schwingungen um diese Ebene angeben.

Von nun an setzen wir \(z=0\).

C.2 — 0.6 Punkte

Bestimmen Sie, in welchem Bereich, \(r\gg r_m\) oder \(r\ll r_m\), das Modell aus Gl. 1 bei geeigneter Definition von \(\varphi_0\) ein Potential der Form \(\varphi_G(r,0)\) ergibt.

Unter dieser Bedingung hängt \(v_c(r)\) nicht mehr von \(r\) ab. Drücken Sie es durch \(\varphi_0\) aus.

Außerhalb des Bulges hängt der Geschwindigkeitsbetrag \(v_c\) somit nicht vom Abstand zum galaktischen Zentrum ab. Wie Astronomen werden wir diese Tatsache nutzen, um die Massenverteilung der Galaxie von innen heraus zu messen.

Alle hier für astronomische Beobachtungen betrachteten galaktischen Objekte, etwa Sterne oder Nebel, bestehen hauptsächlich aus Wasserstoff. Außerhalb des Bulges nehmen wir an, dass sie sich auf Kreisbahnen um das galaktische Zentrum \(C\) bewegen. \(S\) ist der Ort der Sonne und \(E\) derjenige eines bestimmten galaktischen Objekts, das im Wasserstoffspektrum emittiert. In der galaktischen Ebene betrachten wir eine Sichtlinie \(SE\), die der Beobachtungsrichtung entspricht und entlang des Einheitsvektors \(\hat u_v\) verläuft (siehe Abb. 2).

Abb. 2: Geometrie der Messung

Sei \(\ell\) die galaktische Länge, die den Winkel zwischen \(SC\) und \(SE\) angibt. Die Geschwindigkeit der Sonne auf ihrer Kreisbahn mit Radius \(R_\odot=8.00\,\mathrm{kpc}\) wird mit \(\vec v_\odot\) bezeichnet. Ein galaktisches Objekt in \(E\) bewegt sich auf einer anderen Kreisbahn mit Radius \(R\) und Geschwindigkeit \(\vec v_E\). Mithilfe des Dopplereffekts an der zuvor untersuchten 21-cm-Linie lässt sich die relative Radialgeschwindigkeit \(v_{rE/S}\) des Emitters \(E\) bezüglich der Sonne \(S\) bestimmen: Sie ist die Projektion von \(\vec v_E-\vec v_\odot\) auf die Sichtlinie.

C.3 — 0.7 Punkte

Bestimmen Sie \(v_{rE/S}\) in Abhängigkeit von \(\ell\), \(R\), \(R_\odot\) und \(v_\odot\). Drücken Sie anschließend \(R\) durch \(R_\odot\), \(v_\odot\), \(\ell\) und \(v_{rE/S}\) aus.

Mit einem Radioteleskop führen wir Beobachtungen in der Ebene unserer Galaxie in Richtung der galaktischen Länge \(\ell=30^\circ\) durch. Das verwendete Frequenzband enthält die 21-cm-Linie mit der Frequenz \(f_0=1.42\,\mathrm{GHz}\). Die Ergebnisse sind in Abb. 3 dargestellt.

Abb. 3: Elektromagnetisches Signal als Funktion der Frequenzverschiebung, gemessen im Radiofrequenzbereich bei \(\ell=30^\circ\) mithilfe von EU-HOU RadioAstronomy

C.4 — 0.6 Punkte

In unserer Galaxie gilt \(v_\odot=220\,\mathrm{km\cdot s^{-1}}\). Bestimmen Sie für die 3 in Abb. 3 beobachteten Quellen die relative Radialgeschwindigkeit (mit 3 signifikanten Stellen) und den Abstand vom galaktischen Zentrum (mit 2 signifikanten Stellen). Die Abstände sind als Vielfache von \(R_\odot\) anzugeben.

C.5 — 0.6 Punkte

Markieren Sie in der Draufsicht unserer Galaxie (im Antwortfeld) die Positionen der in Abb. 3 beobachteten Quellen.

Was ließe sich aus wiederholten Messungen bei unterschiedlichen Werten von \(\ell\) ableiten?

Teil D - Tully-Fisher-Beziehung und MOND-Theorie

Die flache äußere Geschwindigkeitskurve von NGC 6946 in Abb. 1 ist eine gemeinsame Eigenschaft von Spiralgalaxien, wie in Abb. 4 (links) zu sehen ist. Trägt man den äußeren konstanten Geschwindigkeitswert \(v_{c,\infty}\) als Funktion der gemessenen Gesamtmasse \(M_{\mathrm{tot}}\) jeder Galaxie auf, ergibt sich eine interessante Korrelation, die als Tully-Fischer-Beziehung bezeichnet wird, siehe Abb. 4 (rechts).

Abb. 4. Links: Rotationskurven typischer Spiralgalaxien - Rechts: \(\log_{10}(M_{\mathrm{tot}})\) als Funktion von \(\log_{10}(v_{c,\infty})\) auf linearen Skalen. Die farbigen Punkte entsprechen verschiedenen Galaxien und verschiedenen Durchmusterungen. Die grüne Linie stellt die Tully-Fischer-Beziehung dar, die sehr gut mit der Ausgleichsgeraden der Daten (schwarz) übereinstimmt.

D.1 — 0.4 Punkte

Zeigen Sie unter der Annahme, dass der Radius \(R\) einer Galaxie nicht von ihrer Masse abhängt, dass das Modell aus Gl. 1 (Teil B) eine Beziehung der Form \(M_{\mathrm{tot}}=\eta v_{c,\infty}^{\gamma}\) ergibt, wobei \(\gamma\) und \(\eta\) anzugeben sind.

Vergleichen Sie diesen Ausdruck mit der Tully-Fischer-Beziehung, indem Sie \(\gamma_{TF}\) berechnen.

Im Bereich extrem kleiner Beschleunigungen in der Größenordnung von \(a_0=10^{-10}\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\) schlägt die Theorie der modifizierten Newtonschen Dynamik (MOND) vor, das zweite Newtonsche Gesetz durch \[ \vec F=m\mu\!\left(\frac a{a_0}\right)\vec a \] zu modifizieren, wobei \(a=\|\vec a\|\) der Betrag der Beschleunigung ist und die Funktion \(\mu\) durch \(\mu(x)=\dfrac{x}{1+x}\) definiert ist.

D.2 — 0.2 Punkte

Schätzen Sie anhand der Daten für NGC 6946 in Abb. 1 im Rahmen der Newtonschen Theorie den Betrag der Beschleunigung \(a_m\) einer Masse in den äußeren Bereichen von NGC 6946 ab.

D.3 — 0.8 Punkte

Eine Masse \(m\) bewege sich mit der Geschwindigkeit \(v_{c,\infty}\) auf einer Kreisbahn mit Radius \(r\) im Gravitationsfeld einer ortsfesten Masse \(M\).

Bestimmen Sie im Rahmen der MOND-Theorie für \(a\ll a_0\) den Tully-Fischer-Exponenten.

Berechnen Sie anhand der Daten für NGC 6946 und/oder des Tully-Fischer-Gesetzes \(a_0\), um zu zeigen, dass MOND im richtigen Bereich wirksam ist.

D.4 — 0.9 Punkte

Bestimmen Sie unter Berücksichtigung der relevanten Fälle \(v_c(r)\) für alle Werte von \(r\) in der MOND-Theorie für das Gravitationsfeld einer homogen verteilten Masse \(M\) mit Radius \(R_b\).

Allgemeines Datenblatt

Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt.

Bu soru, galaksilerin dinamikleri ve yapıları gibi kendilerine özgü fiziksel özelliklerini incelemeyi amaçlamaktadır. Özellikle, galaksimizin kütle dağılımının içeriden nasıl ölçüleceğini açıklıyoruz. Bunun için galaksimizin başlıca bileşeni olan hidrojene odaklanacağız.

Bu soru boyunca yalnızca \(\hbar=h/2\pi\) olarak tanımlanan \(\hbar\) kullanacağız.

Bölüm A - Giriş

Bohr modeli

Hidrojen atomunun, sabit bir protonun çevresinde dolanan, kütlesi \(m_e\) olan göreli olmayan bir elektrondan oluştuğunu varsayıyoruz. Bu bölüm boyunca elektronun dairesel bir yörüngede hareket ettiğini varsayıyoruz.

A.1 — 0.2 puan

Elektronun, yarıçapı \(r\) olan dairesel bir yörüngedeki \(v\) hızını belirleyiniz.

Bohr modelinde, elektronun açısal momentumunun büyüklüğü \(L\)'nin kuantumlandığını, yani \(n>0\) bir tam sayı olmak üzere \(L=n\hbar\) olduğunu varsayıyoruz. \(\alpha=\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar c}\approx7.27\times10^{-3}\) tanımını yapıyoruz.

A.2 — 0.5 puan

Her bir yörüngenin yarıçapının, \(r_1\) Bohr yarıçapı olarak adlandırılmak üzere, \(r_n=n^2r_1\) ile verildiğini gösteriniz. \(r_1\)'i \(\alpha\), \(m_e\), \(c\) ve \(\hbar\) cinsinden ifade ediniz ve sayısal değerini 3 basamakla hesaplayınız. Yarıçapı \(r_1\) olan yörüngedeki hız \(v_1\)'i, \(\alpha\) ve \(c\) cinsinden ifade ediniz.

A.3 — 0.5 puan

Elektronun, yarıçapı \(r_n\) olan bir yörüngedeki mekanik enerjisi \(E_n\)'yi \(e\), \(\varepsilon_0\), \(r_1\) ve \(n\) cinsinden belirleyiniz. Temel durumdaki \(E_1\)'i \(\alpha\), \(m_e\) ve \(c\) cinsinden belirleyiniz. Sayısal değerini eV cinsinden hesaplayınız.

Hidrojenin ince ve aşırı ince yapıları

Elektron spininin nadiren gerçekleşen kendiliğinden ters dönmesi, hidrojen atomu başına ortalama 10 milyon yılda bir foton yayılmasına neden olur. Bu ışıma, evrendeki hidrojenin izini sürmeye yarar ve dolayısıyla astrofizikte temel bir öneme sahiptir. Bu ışımanın kaynağı olan geçişi iki adımda inceleyeceğiz.

İlk olarak, elektron spini ile elektron ve protonun bağıl hareketi arasındaki etkileşimi ele alalım. Elektronun referans çerçevesinde proton, elektrondan \(r_1\) uzaklıkta onun çevresinde dolanır. Bu, bir \(\vec B_1\) manyetik alanı oluşturur.

A.4 — 0.5 puan

Elektronun bulunduğu konumda \(\vec B_1\)'in büyüklüğü \(B_1\)'i \(\mu_0\), \(e\), \(\alpha\), \(c\) ve \(r_1\) cinsinden belirleyiniz.

İkinci olarak, elektron spini bir \(\vec{\mathcal M}_s\) manyetik momenti oluşturur. Bunun büyüklüğü yaklaşık olarak \(\mathcal M_s=\dfrac{e}{m_e}\hbar\)'tır. İnce (F) yapı, manyetik momenti \(\vec{\mathcal M}_s\), \(\vec B_1\)'e paralel olan bir elektron ile \(\vec{\mathcal M}_s\)'si \(\vec B_1\)'e antiparalel olan bir elektron arasındaki \(\Delta E_{\mathrm F}\) enerji farkıyla ilişkilidir. Benzer şekilde, aşırı ince (HF) yapı, elektron ve protonun paralel ve antiparalel manyetik momentleri arasındaki etkileşimden kaynaklanan \(\Delta E_{\mathrm{HF}}\) enerji farkıyla ilişkilidir. Bu farkın, \(m_p\) protonun kütlesi olmak üzere, yaklaşık olarak \(\Delta E_{\mathrm{HF}}\simeq3.72\dfrac{m_e}{m_p}\Delta E_{\mathrm F}\) olduğu bilinmektedir.

A.5 — 0.5 puan

\(\Delta E_{\mathrm F}\)'yi \(\alpha\) ve \(E_1\)'in bir fonksiyonu olarak ifade ediniz.

Aşırı ince yapının iki durumu arasındaki geçiş sırasında yayılan bir fotonun dalga boyu \(\lambda_{\mathrm{HF}}\)'yi ifade ediniz ve sayısal değerini iki basamakla veriniz.

Bölüm B - Galaksilerin dönme eğrileri

Veriler

• Kiloparsek: \(1\,\mathrm{kpc}=3.09\times10^{19}\,\mathrm m\)
• Güneş kütlesi: \(1\,M_\odot=1.99\times10^{30}\,\mathrm{kg}\)

Merkezi sabit bir \(O\) noktası olan küresel bir galaksiyi ele alıyoruz. Herhangi bir \(P\) noktasında hacimsel kütle yoğunluğu \(\rho=\rho(P)\), buna karşılık gelen kütleçekim potansiyeli (yani birim kütle başına potansiyel enerji) ise \(\varphi=\varphi(P)\) olsun. Hem \(\rho\) hem de \(\varphi\) yalnızca \(r=\|\overrightarrow{OP}\|\)'ye bağlıdır. \(P\)'de bulunan \(m\) kütlesinin \(\varphi\) alanından kaynaklanan hareketi, \(O\)'yu içeren bir düzlemle sınırlıdır.

B.1 — 0.2 puan

Dairesel bir yörünge durumunda, \(P\)'den geçen dairesel bir yörüngedeki cismin \(v_c\) hızını \(r\) ve \(\dfrac{d\varphi}{dr}\) cinsinden belirleyiniz.

Şekil 1(A), sarmal galaksi NGC 6946'nın görünür banttaki bir görüntüsüdür (Arizona'daki Mount Lemmon Sky Center'da bulunan 0.8 m'lik Schulman Teleskobu ile alınmıştır). Şekil 1(B)'deki küçük elipsler, bu galaksi için \(v_c\)'nin deneysel ölçümlerini göstermektedir. Merkezdeki bölge (\(r<1\,\mathrm{kpc}\)) şişkinlik olarak adlandırılır. Bu bölgede kütle dağılımı yaklaşık olarak homojendir. Kırmızı eğri, sistemin şişkinlikte homojen, şişkinliğin dışında ise Kepler tipi (\(\beta>0\) olmak üzere \(\varphi(r)=-\beta/r\)) olduğu, yani galaksinin toplam kütlesinin şişkinlikte toplandığı kabul edilirse \(v_c\) için elde edilen bir öngörüdür.

Şekil 1: NGC 6946 galaksisi: Görüntü (A) ve dönme eğrisi (B).

B.2 — 0.5 puan

Şekil 1(B)'deki kırmızı dönme eğrisinden NGC 6946'nın şişkinliğinin \(M_b\) kütlesini Güneş kütlesi biriminde çıkarınız.

Kepler tipi model ile deneysel verilerin karşılaştırılması, gökbilimcileri kütlenin bir kısmının görüntüde görünmez olduğuna ikna etmektedir. Bu nedenle galaksinin gerçek kütle yoğunluğunun

\[ \rho_m(r)=\frac{C_m}{r_m^2+r^2} \tag{1} \]

ile verildiğini varsayarlar; burada \(C_m>0\) ve \(r_m>0\) sabitlerdir.

B.3 — 1.8 puan

Denklem 1'deki kütle yoğunluğuna karşılık gelen \(v_{c,m}(r)\) hız profilinin \[ v_{c,m}(r)=\sqrt{k_1-\frac{k_2\cdot\arctan\!\left(\frac r{r_m}\right)}r} \] biçiminde yazılabileceğini gösteriniz. \(k_1\) ve \(k_2\)'yi \(C_m\), \(r_m\) ve \(G\) cinsinden ifade ediniz.

(İpuçları: \(\displaystyle\int_0^r\frac{x^2}{a^2+x^2}\,dx=r-a\arctan(r/a)\) ve \(x\ll1\) için \(\arctan(x)\simeq x-x^3/3\).)

\(r\ll r_m\) ve \(r\gg r_m\) durumlarında \(v_{c,m}(r)\)'yi sadeleştiriniz.

\(r\gg r_m\) ise, kütle yoğunluğu Denklem 1 ile verilen, yarıçapı \(r\) olan bir kürenin içerdiği \(M_m(r)\) kütlesinin ifadesinin sadeleştiğini ve yalnızca \(C_m\) ile \(r\)'ye bağlı olduğunu gösteriniz.

NGC 6946 galaksisinin Şekil 1(A)'daki görüntünün kapsadığı bölgede gerçekte bulunan kütlesini tahmin ediniz.

Bölüm C - Galaksimizdeki kütle dağılımı

Sarmal bir galaksi için Denklem 1'deki model değiştirilir ve genellikle kütleçekim potansiyelinin \[ \varphi_G(r,z)=\varphi_0\ln\!\left(\frac r{r_0}\right) \exp\!\left[-\left(\frac z{z_0}\right)^2\right], \] ile verildiği kabul edilir; burada \(z\), (\(z=0\) ile tanımlanan) galaksi düzlemine olan uzaklıktır, \(r<r_0\) artık eksene olan uzaklığı belirten yarıçaptır ve \(\varphi_0>0\) belirlenecek bir sabittir. \(r_0\) ve \(z_0\) sabit değerlerdir.

C.1 — 0.5 puan

\(r\)'nin sabit olduğunu varsayarak, böyle bir potansiyelde \(m\) noktasal kütlesinin düşey hareketi için \(z\)'ye ilişkin hareket denklemini bulunuz. \(r<r_0\) ise, galaksi düzlemi çevresindeki küçük salınımların \(\omega_0\) açısal frekansını vererek bu düzlemin kararlı bir denge durumu olduğunu gösteriniz.

Bundan sonra \(z=0\) alıyoruz.

C.2 — 0.6 puan

\(\varphi_0\)'ın uygun bir tanımıyla, Denklem 1'deki modelin \(\varphi_G(r,0)\) biçiminde bir potansiyel verdiği rejimin \(r\gg r_m\) mi yoksa \(r\ll r_m\) mi olduğunu belirleyiniz.

Bu koşul altında \(v_c(r)\) artık \(r\)'ye bağlı değildir. Bunu \(\varphi_0\) cinsinden ifade ediniz.

Dolayısıyla, şişkinliğin dışında hızın büyüklüğü \(v_c\), galaksi merkezine olan uzaklığa bağlı değildir. Gökbilimcilerin yaptığı gibi, bu olguyu galaksinin kütle dağılımını içeriden ölçmek için kullanacağız.

Burada astronomik gözlemler için ele alınan yıldızlar veya bulutsular gibi tüm galaktik cisimler, başlıca hidrojenden oluşur. Şişkinliğin dışında bunların galaksi merkezi \(C\) çevresinde dairesel yörüngelerde döndüklerini varsayıyoruz. \(S\), Güneş'in; \(E\) ise hidrojen tayfında ışıma yapan belirli bir galaktik cismin konumudur. Galaksi düzleminde, bir gözlemin yönüne karşılık gelen ve \(\hat u_v\) birim vektörü doğrultusundaki \(SE\) görüş hattını ele alıyoruz (bkz. Şekil 2).

Şekil 2: Ölçümün geometrisi

\(\ell\), \(SC\) ile \(SE\) arasındaki açıyı ölçen galaktik boylam olsun. Güneş'in, yarıçapı \(R_\odot=8.00\,\mathrm{kpc}\) olan dairesel yörüngesindeki hızı \(\vec v_\odot\) ile gösterilir. \(E\)'deki bir galaktik cisim, yarıçapı \(R\) olan başka bir çember üzerinde \(\vec v_E\) hızıyla dolanır. Daha önce incelenen 21 cm çizgisindeki Doppler etkisi kullanılarak, ışımayı yapan \(E\)'nin Güneş \(S\)'ye göre bağıl radyal hızı \(v_{rE/S}\) elde edilebilir: bu, \(\vec v_E-\vec v_\odot\)'nin görüş hattı üzerindeki izdüşümüdür.

C.3 — 0.7 puan

\(v_{rE/S}\)'yi \(\ell\), \(R\), \(R_\odot\) ve \(v_\odot\) cinsinden belirleyiniz. Ardından \(R\)'yi \(R_\odot\), \(v_\odot\), \(\ell\) ve \(v_{rE/S}\) cinsinden ifade ediniz.

Bir radyo teleskop kullanarak galaksimizin düzleminde \(\ell=30^\circ\) boylamına doğru gözlemler yapıyoruz. Kullanılan frekans bandı, frekansı \(f_0=1.42\,\mathrm{GHz}\) olan 21 cm çizgisini içermektedir. Sonuçlar Şekil 3'te verilmiştir.

Şekil 3: EU-HOU RadioAstronomy kullanılarak \(\ell=30^\circ\)'de radyo frekansı bandında ölçülen, frekans kaymasının fonksiyonu olarak elektromanyetik sinyal

C.4 — 0.6 puan

Galaksimizde \(v_\odot=220\,\mathrm{km\cdot s^{-1}}\)'dir. Şekil 3'te gözlenen 3 kaynağın bağıl radyal hızlarını (3 anlamlı basamakla) ve galaksi merkezine uzaklıklarını (2 anlamlı basamakla) belirleyiniz. Uzaklıklar \(R_\odot\)'in katları olarak ifade edilmelidir.

C.5 — 0.6 puan

Galaksimizin üstten görünümü üzerinde (cevap kutusunda), Şekil 3'te gözlenen kaynakların konumlarını belirtiniz.

\(\ell\) değiştirilerek tekrarlanan ölçümlerden ne çıkarılabilir?

Bölüm D - Tully-Fisher bağıntısı ve MOND kuramı

NGC 6946'nın Şekil 1'deki dış bölgelerde yatay seyreden hız eğrisi, Şekil 4'te (solda) görülebileceği gibi, sarmal galaksilerin ortak bir özelliğidir. Her galaksinin dış bölgelerindeki sabit hız değeri \(v_{c,\infty}\)'nin, ölçülen toplam kütlesi \(M_{\mathrm{tot}}\)'un bir fonksiyonu olarak grafiğe geçirilmesi, Tully-Fischer bağıntısı adı verilen ilginç bir korelasyon verir; bkz. Şekil 4 (sağ).

Şekil 4. Sol: Tipik sarmal galaksilerin dönme eğrileri - Sağ: Doğrusal ölçeklerde \(\log_{10}(v_{c,\infty})\)'nin fonksiyonu olarak \(\log_{10}(M_{\mathrm{tot}})\). Renkli noktalar farklı galaksilere ve farklı gökyüzü taramalarına karşılık gelir. Yeşil doğru, verilere en iyi uyan doğruyla (siyah) çok iyi bir uyum gösteren Tully-Fischer bağıntısıdır.

D.1 — 0.4 puan

Bir galaksinin \(R\) yarıçapının kütlesine bağlı olmadığını varsayarak, Denklem 1'deki modelin (bölüm B) \(M_{\mathrm{tot}}=\eta v_{c,\infty}^{\gamma}\) biçiminde bir bağıntı verdiğini gösteriniz; \(\gamma\) ve \(\eta\) belirlenmelidir.

\(\gamma_{TF}\)'yi hesaplayarak bu ifadeyi Tully-Fischer bağıntısıyla karşılaştırınız.

\(a_0=10^{-10}\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\) mertebesindeki son derece düşük ivme rejiminde, Değiştirilmiş Newton Dinamiği (MOND) kuramı, Newton'un ikinci yasasının \[ \vec F=m\mu\!\left(\frac a{a_0}\right)\vec a \] kullanılarak değiştirilebileceğini öne sürer; burada \(a=\|\vec a\|\) ivmenin büyüklüğüdür ve \(\mu\) fonksiyonu \(\mu(x)=\dfrac{x}{1+x}\) ile tanımlanır.

D.2 — 0.2 puan

Şekil 1'deki NGC 6946 verilerini kullanarak, Newton kuramı çerçevesinde, NGC 6946'nın dış bölgelerindeki bir kütlenin ivmesinin \(a_m\) büyüklüğünü tahmin ediniz.

D.3 — 0.8 puan

\(m\), sabit bir \(M\) kütlesinin kütleçekim alanında, yarıçapı \(r\) olan dairesel bir yörüngede \(v_{c,\infty}\) hızıyla hareket eden bir kütle olsun.

MOND kuramı çerçevesinde, \(a\ll a_0\) iken Tully-Fischer üssünü belirleyiniz.

NGC 6946 verilerini ve/veya Tully-Fischer yasasını kullanarak, MOND'un doğru rejimde işlediğini göstermek için \(a_0\)'ı hesaplayınız.

D.4 — 0.9 puan

İlgili durumları ele alarak, yarıçapı \(R_b\) olan ve homojen olarak dağılmış \(M\) kütlesinin oluşturduğu kütleçekim alanı için MOND kuramında tüm \(r\) değerlerinde \(v_c(r)\)'yi belirleyiniz.

Genel Veri Tablosu

Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir.

Este problema tiene como objetivo estudiar la peculiar física de las galaxias, como su dinámica y estructura. En particular, explicamos cómo medir la distribución de masa de nuestra galaxia desde su interior. Para ello nos centraremos en el hidrógeno, su principal constituyente.

A lo largo de este problema utilizaremos únicamente \(\hbar\), definida como \(\hbar=h/2\pi\).

Parte A - Introducción

Modelo de Bohr

Suponemos que el átomo de hidrógeno consta de un electrón no relativista, de masa \(m_e\), que orbita alrededor de un protón fijo. A lo largo de esta parte, suponemos que su movimiento describe una órbita circular.

A.1 — 0.2pt

Determine la velocidad \(v\) del electrón en una órbita circular de radio \(r\).

En el modelo de Bohr, suponemos que el módulo del momento angular \(L\) del electrón está cuantizado, \(L=n\hbar\), donde \(n>0\) es un entero. Definimos \(\alpha=\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar c}\approx7.27\times10^{-3}\).

A.2 — 0.5pt

Demuestre que el radio de cada órbita viene dado por \(r_n=n^2r_1\), donde \(r_1\) se denomina radio de Bohr. Exprese \(r_1\) en función de \(\alpha\), \(m_e\), \(c\) y \(\hbar\) y calcule su valor numérico con 3 cifras. Exprese \(v_1\), la velocidad en la órbita de radio \(r_1\), en función de \(\alpha\) y \(c\).

A.3 — 0.5pt

Determine la energía mecánica \(E_n\) del electrón en una órbita de radio \(r_n\) en función de \(e\), \(\varepsilon_0\), \(r_1\) y \(n\). Determine \(E_1\) en el estado fundamental en función de \(\alpha\), \(m_e\) y \(c\). Calcule su valor numérico en eV.

Estructuras fina e hiperfina del hidrógeno

La infrecuente inversión espontánea del espín del electrón provoca la emisión de un fotón, en promedio, una vez cada 10 millones de años por átomo de hidrógeno. Esta emisión sirve como trazador del hidrógeno en el universo y, por tanto, es fundamental en astrofísica. Estudiaremos en dos pasos la transición responsable de esta emisión.

En primer lugar, considere la interacción entre el espín del electrón y el movimiento relativo del electrón y el protón. En el sistema de referencia del electrón, el protón orbita alrededor del electrón a una distancia \(r_1\). Esto produce un campo magnético \(\vec B_1\).

A.4 — 0.5pt

Determine el módulo \(B_1\) de \(\vec B_1\) en la posición del electrón en función de \(\mu_0\), \(e\), \(\alpha\), \(c\) y \(r_1\).

En segundo lugar, el espín del electrón crea un momento magnético \(\vec{\mathcal M}_s\). Su módulo es aproximadamente \(\mathcal M_s=\dfrac{e}{m_e}\hbar\). La estructura fina (F) está relacionada con la diferencia de energía \(\Delta E_{\mathrm F}\) entre un electrón con un momento magnético \(\vec{\mathcal M}_s\) paralelo a \(\vec B_1\) y un electrón con \(\vec{\mathcal M}_s\) antiparalelo a \(\vec B_1\). De manera similar, la estructura hiperfina (HF) está relacionada con la diferencia de energía \(\Delta E_{\mathrm{HF}}\), debida a la interacción entre los momentos magnéticos paralelos y antiparalelos del electrón y del protón. Se sabe que es aproximadamente \(\Delta E_{\mathrm{HF}}\simeq3.72\dfrac{m_e}{m_p}\Delta E_{\mathrm F}\), donde \(m_p\) es la masa del protón.

A.5 — 0.5pt

Exprese \(\Delta E_{\mathrm F}\) en función de \(\alpha\) y \(E_1\).

Exprese la longitud de onda \(\lambda_{\mathrm{HF}}\) de un fotón emitido durante una transición entre los dos estados de la estructura hiperfina y dé su valor numérico con dos cifras.

Parte B - Curvas de rotación de galaxias

Datos

• Kilopársec: \(1\,\mathrm{kpc}=3.09\times10^{19}\,\mathrm m\)
• Masa solar: \(1\,M_\odot=1.99\times10^{30}\,\mathrm{kg}\)

Consideramos una galaxia esférica centrada en un punto fijo \(O\). En cualquier punto \(P\), sean \(\rho=\rho(P)\) la densidad volumétrica de masa y \(\varphi=\varphi(P)\) el potencial gravitatorio asociado (es decir, la energía potencial por unidad de masa). Tanto \(\rho\) como \(\varphi\) dependen únicamente de \(r=\|\overrightarrow{OP}\|\). El movimiento de una masa \(m\) situada en \(P\), debido al campo \(\varphi\), está restringido a un plano que contiene a \(O\).

B.1 — 0.2pt

En el caso de una órbita circular, determine la velocidad \(v_c\) de un objeto en una órbita circular que pasa por \(P\) en función de \(r\) y \(\dfrac{d\varphi}{dr}\).

La Fig. 1(A) es una imagen de la galaxia espiral NGC 6946 en la banda visible (obtenida con el telescopio Schulman de 0.8 m del Mount Lemmon Sky Center, en Arizona). Las pequeñas elipses de la Fig. 1(B) muestran medidas experimentales de \(v_c\) para esta galaxia. La región central (\(r<1\,\mathrm{kpc}\)) se denomina bulbo. En esta región, la distribución de masa es aproximadamente homogénea. La curva roja es una predicción de \(v_c\) si el sistema fuera homogéneo en el bulbo y kepleriano (\(\varphi(r)=-\beta/r\), con \(\beta>0\)) fuera de él, es decir, considerando que la masa total de la galaxia está concentrada en el bulbo.

Fig. 1: Galaxia NGC 6946: imagen (A) y curva de rotación (B).

B.2 — 0.5pt

Deduzca la masa \(M_b\) del bulbo de NGC 6946 a partir de la curva de rotación roja de la Fig. 1(B), en unidades de masa solar.

La comparación del modelo kepleriano con los datos experimentales lleva a los astrónomos a concluir que parte de la masa es invisible en la imagen. Por ello, suponen que la densidad de masa real de la galaxia viene dada por

\[ \rho_m(r)=\frac{C_m}{r_m^2+r^2} \tag{1} \]

donde \(C_m>0\) y \(r_m>0\) son constantes.

B.3 — 1.8pt

Demuestre que el perfil de velocidades \(v_{c,m}(r)\), correspondiente a la densidad de masa de la Ec. 1, puede escribirse como \[ v_{c,m}(r)=\sqrt{k_1-\frac{k_2\cdot\arctan\!\left(\frac r{r_m}\right)}r}. \] Exprese \(k_1\) y \(k_2\) en función de \(C_m\), \(r_m\) y \(G\).

(Pistas: \(\displaystyle\int_0^r\frac{x^2}{a^2+x^2}\,dx=r-a\arctan(r/a)\), y: \(\arctan(x)\simeq x-x^3/3\) para \(x\ll1\).)

Simplifique \(v_{c,m}(r)\) cuando \(r\ll r_m\) y cuando \(r\gg r_m\).

Demuestre que, si \(r\gg r_m\), la masa \(M_m(r)\) contenida en una esfera de radio \(r\) con la densidad de masa dada por la Ec. 1 se simplifica y depende únicamente de \(C_m\) y \(r\).

Estime la masa de la galaxia NGC 6946 que está realmente presente en la imagen de la Fig. 1(A).

Parte C - Distribución de masa en nuestra galaxia

Para una galaxia espiral, el modelo de la Ec. 1 se modifica y habitualmente se considera que el potencial gravitatorio viene dado por \[ \varphi_G(r,z)=\varphi_0\ln\!\left(\frac r{r_0}\right) \exp\!\left[-\left(\frac z{z_0}\right)^2\right], \] donde \(z\) es la distancia al plano galáctico (definido por \(z=0\)), y \(r<r_0\) es ahora el radio respecto al eje y \(\varphi_0>0\) una constante que debe determinarse. \(r_0\) y \(z_0\) son valores constantes.

C.1 — 0.5pt

Halle la ecuación de movimiento para \(z\) correspondiente al movimiento vertical de una masa puntual \(m\) en este potencial, suponiendo que \(r\) es constante. Demuestre que, si \(r<r_0\), el plano galáctico es un estado de equilibrio estable, dando la frecuencia angular \(\omega_0\) de las pequeñas oscilaciones a su alrededor.

A partir de aquí, fijamos \(z=0\).

C.2 — 0.6pt

Identifique el régimen, ya sea \(r\gg r_m\) o \(r\ll r_m\), en el que el modelo de la Ec. 1 recupera un potencial de la forma \(\varphi_G(r,0)\) con una definición adecuada de \(\varphi_0\).

En esta condición, \(v_c(r)\) deja de depender de \(r\). Exprésela en función de \(\varphi_0\).

Por tanto, fuera del bulbo, el módulo de la velocidad \(v_c\) no depende de la distancia al centro galáctico. Utilizaremos este hecho, como hacen los astrónomos, para medir la distribución de masa de la galaxia desde su interior.

Todos los objetos galácticos considerados aquí para las observaciones astronómicas, como estrellas o nebulosas, están compuestos principalmente de hidrógeno. Fuera del bulbo, suponemos que giran en órbitas circulares alrededor del centro galáctico \(C\). \(S\) es la posición del Sol y \(E\) la de un objeto galáctico dado que emite en el espectro del hidrógeno. En el plano galáctico, consideramos una línea de visión \(SE\) correspondiente a la orientación de una observación, en la dirección del vector unitario \(\hat u_v\) (véase la Fig. 2).

Fig. 2: Geometría de la medida

Sea \(\ell\) la longitud galáctica, que mide el ángulo entre \(SC\) y \(SE\). La velocidad del Sol en su órbita circular de radio \(R_\odot=8.00\,\mathrm{kpc}\) se denota por \(\vec v_\odot\). Un objeto galáctico en \(E\) orbita en otra circunferencia de radio \(R\) con velocidad \(\vec v_E\). Mediante el efecto Doppler en la línea de 21 cm estudiada anteriormente, se puede obtener la velocidad radial relativa \(v_{rE/S}\) del emisor \(E\) respecto al Sol \(S\): es la proyección de \(\vec v_E-\vec v_\odot\) sobre la línea de visión.

C.3 — 0.7pt

Determine \(v_{rE/S}\) en función de \(\ell\), \(R\), \(R_\odot\) y \(v_\odot\). A continuación, exprese \(R\) en función de \(R_\odot\), \(v_\odot\), \(\ell\) y \(v_{rE/S}\).

Con un radiotelescopio, realizamos observaciones en el plano de nuestra galaxia hacia una longitud \(\ell=30^\circ\). La banda de frecuencias utilizada contiene la línea de 21 cm, cuya frecuencia es \(f_0=1.42\,\mathrm{GHz}\). Los resultados se presentan en la Fig. 3.

Fig. 3: Señal electromagnética en función del desplazamiento de frecuencia, medida en la banda de radiofrecuencias a \(\ell=30^\circ\) utilizando EU-HOU RadioAstronomy

C.4 — 0.6pt

En nuestra galaxia, \(v_\odot=220\,\mathrm{km\cdot s^{-1}}\). Determine los valores de la velocidad radial relativa (con 3 cifras significativas) y de la distancia al centro galáctico (con 2 cifras significativas) de las 3 fuentes observadas en la Fig. 3. Las distancias deben expresarse como múltiplos de \(R_\odot\).

C.5 — 0.6pt

En la vista superior de nuestra galaxia (en el recuadro de respuesta), indique las posiciones de las fuentes observadas en la Fig. 3.

¿Qué podría deducirse al repetir las medidas variando \(\ell\)?

Parte D - Relación de Tully-Fisher y teoría MOND

La curva plana de velocidad en las regiones externas de NGC 6946 en la Fig. 1 es una propiedad común de las galaxias espirales, como puede verse en la Fig. 4 (izquierda). Al representar el valor constante de la velocidad externa \(v_{c,\infty}\) en función de la masa total medida \(M_{\mathrm{tot}}\) de cada galaxia, se obtiene una interesante correlación denominada relación de Tully-Fischer; véase la Fig. 4 (derecha).

Fig. 4. Izquierda: curvas de rotación de galaxias espirales típicas. Derecha: \(\log_{10}(M_{\mathrm{tot}})\) en función de \(\log_{10}(v_{c,\infty})\) en escalas lineales. Los puntos de colores corresponden a distintas galaxias y a distintos sondeos. La línea verde es la relación de Tully-Fischer, que concuerda muy bien con la recta de mejor ajuste a los datos (en negro).

D.1 — 0.4pt

Suponiendo que el radio \(R\) de una galaxia no depende de su masa, demuestre que el modelo de la Ec. 1 (parte B) da una relación de la forma \(M_{\mathrm{tot}}=\eta v_{c,\infty}^{\gamma}\), donde deben especificarse \(\gamma\) y \(\eta\).

Compare esta expresión con la relación de Tully-Fischer calculando \(\gamma_{TF}\).

En el régimen de aceleraciones extremadamente bajas, del orden de \(a_0=10^{-10}\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\), la teoría de la dinámica newtoniana modificada (MOND) propone modificar la segunda ley de Newton mediante \[ \vec F=m\mu\!\left(\frac a{a_0}\right)\vec a \] donde \(a=\|\vec a\|\) es el módulo de la aceleración y la función \(\mu\) se define como \(\mu(x)=\dfrac{x}{1+x}\).

D.2 — 0.2pt

Utilizando los datos de NGC 6946 de la Fig. 1, estime, en el marco de la teoría de Newton, el módulo de la aceleración \(a_m\) de una masa en las regiones externas de NGC 6946.

D.3 — 0.8pt

Sea \(m\) una masa en una órbita circular de radio \(r\) con velocidad \(v_{c,\infty}\) en el campo gravitatorio de una masa fija \(M\).

En el marco de la teoría MOND, con \(a\ll a_0\), determine el exponente de Tully-Fischer.

Utilizando los datos de NGC 6946 y/o la ley de Tully-Fischer, calcule \(a_0\) para demostrar que MOND opera en el régimen correcto.

D.4 — 0.9pt

Considerando los casos pertinentes, determine \(v_c(r)\) para todos los valores de \(r\) en la teoría MOND en el caso de un campo gravitatorio debido a una masa \(M\) distribuida homogéneamente con radio \(R_b\).

Hoja de datos generales

Enunciado traducido del texto oficial en inglés.

本题旨在研究星系独特的物理性质，例如其动力学和结构。具体而言，我们将说明如何从银河系内部测量其质量分布。为此，我们将着重研究银河系的主要组成成分——氢。

本题始终只使用 \(\hbar\)，其定义为 \(\hbar=h/2\pi\)。

部分 A - 引言

玻尔模型

我们假设氢原子由一个质量为 \(m_e\) 的非相对论性电子绕一个固定的质子运动而构成。在本部分中，我们始终假设电子沿圆形轨道运动。

A.1 — 0.2 分

求电子在半径为 \(r\) 的圆形轨道上的速率 \(v\)。

在玻尔模型中，我们假设电子角动量 \(L\) 的大小是量子化的，即 \(L=n\hbar\)，其中 \(n>0\) 为整数。定义 \(\alpha=\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar c}\approx7.27\times10^{-3}\)。

A.2 — 0.5 分

证明各轨道的半径为 \(r_n=n^2r_1\)，其中 \(r_1\) 称为玻尔半径。用 \(\alpha\)、\(m_e\)、\(c\) 和 \(\hbar\) 表示 \(r_1\)，并计算其数值，保留 3 位有效数字。用 \(\alpha\) 和 \(c\) 表示半径为 \(r_1\) 的轨道上的速率 \(v_1\)。

A.3 — 0.5 分

用 \(e\)、\(\varepsilon_0\)、\(r_1\) 和 \(n\) 表示电子在半径为 \(r_n\) 的轨道上的机械能 \(E_n\)。用 \(\alpha\)、\(m_e\) 和 \(c\) 表示基态能量 \(E_1\)。计算其数值，以 eV 为单位。

氢的精细结构和超精细结构

电子自旋罕见的自发翻转会导致光子发射，平均每个氢原子每 1000 万年发生一次。这种辐射可用于示踪宇宙中的氢，因此在天体物理学中具有根本性的重要意义。我们将分两步研究产生这种辐射的跃迁。

首先，考虑电子自旋与电子和质子相对运动之间的相互作用。在电子参考系中，质子在距电子 \(r_1\) 处绕电子运动。这会产生磁场 \(\vec B_1\)。

A.4 — 0.5 分

用 \(\mu_0\)、\(e\)、\(\alpha\)、\(c\) 和 \(r_1\) 表示电子所在位置处 \(\vec B_1\) 的大小 \(B_1\)。

其次，电子自旋产生磁矩 \(\vec{\mathcal M}_s\)。其大小约为 \(\mathcal M_s=\dfrac{e}{m_e}\hbar\)。精细（F）结构与电子磁矩 \(\vec{\mathcal M}_s\) 平行于 \(\vec B_1\) 和反平行于 \(\vec B_1\) 时的能量差 \(\Delta E_{\mathrm F}\) 有关。类似地，超精细（HF）结构与能量差 \(\Delta E_{\mathrm{HF}}\) 有关，这一能量差源于电子和质子的磁矩在平行与反平行两种取向下的相互作用。已知其近似为 \(\Delta E_{\mathrm{HF}}\simeq3.72\dfrac{m_e}{m_p}\Delta E_{\mathrm F}\)，其中 \(m_p\) 为质子质量。

A.5 — 0.5 分

将 \(\Delta E_{\mathrm F}\) 表示为 \(\alpha\) 和 \(E_1\) 的函数。

写出超精细结构的两个状态之间发生跃迁时所发射光子的波长 \(\lambda_{\mathrm{HF}}\)，并给出其数值，保留两位有效数字。

部分 B - 星系的旋转曲线

数据

• 千秒差距：\(1\,\mathrm{kpc}=3.09\times10^{19}\,\mathrm m\)
• 太阳质量：\(1\,M_\odot=1.99\times10^{30}\,\mathrm{kg}\)

考虑一个以固定点 \(O\) 为中心的球对称星系。在任意点 \(P\) 处，设 \(\rho=\rho(P)\) 为体积质量密度，\(\varphi=\varphi(P)\) 为相应的引力势（即单位质量的势能）。\(\rho\) 和 \(\varphi\) 都仅依赖于 \(r=\|\overrightarrow{OP}\|\)。位于 \(P\) 处、质量为 \(m\) 的物体在势场 \(\varphi\) 中的运动局限于一个包含 \(O\) 的平面内。

B.1 — 0.2 分

对于圆形轨道，用 \(r\) 和 \(\dfrac{d\varphi}{dr}\) 表示沿经过 \(P\) 点的圆形轨道运动的物体的速率 \(v_c\)。

图 1(A) 是旋涡星系 NGC 6946 的可见光图像（由亚利桑那州莱蒙山天空中心的 0.8m 舒尔曼望远镜拍摄）。图 1(B) 中的小椭圆表示该星系 \(v_c\) 的实验测量结果。中心区域（\(r<1\,\mathrm{kpc}\)）称为核球。在这一区域内，质量分布近似均匀。红色曲线表示假设系统在核球内均匀分布、在核球外遵循开普勒模型（\(\varphi(r)=-\beta/r\)，其中 \(\beta>0\)）时对 \(v_c\) 的预测，即认为星系的全部质量都集中在核球中。

图 1：NGC 6946 星系：图像 (A) 和旋转曲线 (B)。

B.2 — 0.5 分

根据图 1(B) 中的红色旋转曲线，推算 NGC 6946 核球的质量 \(M_b\)，以太阳质量为单位。

对比开普勒模型和实验数据，使天文学家确信有一部分质量在图像中不可见。因此，他们假设星系的实际质量密度为

\[ \rho_m(r)=\frac{C_m}{r_m^2+r^2} \tag{1} \]

其中 \(C_m>0\) 和 \(r_m>0\) 为常量。

B.3 — 1.8 分

证明，与式 1 中的质量密度对应的速率分布 \(v_{c,m}(r)\) 可写为 \[ v_{c,m}(r)=\sqrt{k_1-\frac{k_2\cdot\arctan\!\left(\frac r{r_m}\right)}r}. \] 用 \(C_m\)、\(r_m\) 和 \(G\) 表示 \(k_1\) 和 \(k_2\)。

（提示：\(\displaystyle\int_0^r\frac{x^2}{a^2+x^2}\,dx=r-a\arctan(r/a)\)，以及：当 \(x\ll1\) 时，\(\arctan(x)\simeq x-x^3/3\)。）

分别在 \(r\ll r_m\) 和 \(r\gg r_m\) 时化简 \(v_{c,m}(r)\)。

证明，当 \(r\gg r_m\) 时，质量密度由式 1 给出的半径为 \(r\) 的球内所包含的质量 \(M_m(r)\) 可化简为仅依赖于 \(C_m\) 和 \(r\) 的表达式。

估算图 1(A) 所示范围内 NGC 6946 星系实际包含的质量。

部分 C - 银河系中的质量分布

对于旋涡星系，需要修正式 1 所对应的模型，通常认为引力势为 \[ \varphi_G(r,z)=\varphi_0\ln\!\left(\frac r{r_0}\right) \exp\!\left[-\left(\frac z{z_0}\right)^2\right], \] 其中 \(z\) 为到银道面（定义为 \(z=0\)）的距离，\(r<r_0\) 现在表示到对称轴的径向距离，\(\varphi_0>0\) 为待确定的常量。\(r_0\) 和 \(z_0\) 为常量。

C.1 — 0.5 分

假设 \(r\) 保持不变，求质量为 \(m\) 的质点在此势场中沿竖直方向运动时关于 \(z\) 的运动方程。给出质点在银道面附近小振动的角频率 \(\omega_0\)，从而证明当 \(r<r_0\) 时，银道面对应稳定平衡状态。

从此处起，令 \(z=0\)。

C.2 — 0.6 分

判断在 \(r\gg r_m\) 和 \(r\ll r_m\) 这两种情形中的哪一种下，通过适当定义 \(\varphi_0\)，式 1 的模型可得到形式为 \(\varphi_G(r,0)\) 的势。

在此条件下，\(v_c(r)\) 不再依赖于 \(r\)。用 \(\varphi_0\) 表示它。

因此，在核球以外，速率 \(v_c\) 与到银心的距离无关。我们将像天文学家那样，利用这一事实从银河系内部测量其质量分布。

这里用于天文观测的所有银河系天体，例如恒星或星云，都主要由氢构成。在核球以外，我们假设它们沿圆形轨道绕银心 \(C\) 运动。\(S\) 为太阳的位置，\(E\) 为某个发射氢光谱辐射的银河系天体的位置。在银道面内，考虑一条与观测方向对应的视线 \(SE\)，其方向沿单位矢量 \(\hat u_v\)（见图 2）。

图 2：测量的几何关系

设 \(\ell\) 为银经，即 \(SC\) 与 \(SE\) 之间的夹角。太阳在半径为 \(R_\odot=8.00\,\mathrm{kpc}\) 的圆形轨道上的速度记为 \(\vec v_\odot\)。位于 \(E\) 的银河系天体以速度 \(\vec v_E\) 沿另一个半径为 \(R\) 的圆形轨道运动。利用前面研究的 21cm 谱线的多普勒效应，可以获得辐射源 \(E\) 相对于太阳 \(S\) 的相对径向速度 \(v_{rE/S}\)：它是 \(\vec v_E-\vec v_\odot\) 在视线方向上的投影。

C.3 — 0.7 分

用 \(\ell\)、\(R\)、\(R_\odot\) 和 \(v_\odot\) 表示 \(v_{rE/S}\)。然后，用 \(R_\odot\)、\(v_\odot\)、\(\ell\) 和 \(v_{rE/S}\) 表示 \(R\)。

使用射电望远镜，在银道面内朝银经 \(\ell=30^\circ\) 的方向进行观测。所用频段包含 21cm 谱线，其频率为 \(f_0=1.42\,\mathrm{GHz}\)。结果如图 3 所示。

图 3：使用 EU-HOU RadioAstronomy 在 \(\ell=30^\circ\) 方向的射电频段测得的电磁信号随频移的变化

C.4 — 0.6 分

在银河系中，\(v_\odot=220\,\mathrm{km\cdot s^{-1}}\)。求图 3 中观测到的 3 个辐射源的相对径向速度（保留 3 位有效数字）和到银心的距离（保留 2 位有效数字）。距离应表示为 \(R_\odot\) 的倍数。

C.5 — 0.6 分

在银河系俯视图（答题框内）上标出图 3 中观测到的辐射源的位置。

改变 \(\ell\) 并重复测量，可以推断出什么？

部分 D - 塔利–费舍尔关系与 MOND 理论

图 1 中 NGC 6946 的外部速度曲线呈平坦形态，这是旋涡星系的共同性质，如图 4（左）所示。将各星系外部的恒定速率值 \(v_{c,\infty}\) 作为测得的总质量 \(M_{\mathrm{tot}}\) 的函数作图，可得到一个有趣的相关关系，称为塔利–费舍尔关系，见图 4（右）。

图 4。左：典型旋涡星系的旋转曲线；右：在线性坐标轴上绘制的 \(\log_{10}(M_{\mathrm{tot}})\) 随 \(\log_{10}(v_{c,\infty})\) 的变化。彩色点对应不同的星系和不同的巡天观测。绿色直线表示塔利–费舍尔关系，与数据的最佳拟合直线（黑色）非常吻合。

D.1 — 0.4 分

假设星系半径 \(R\) 与其质量无关，证明式 1 的模型（部分 B）给出形如 \(M_{\mathrm{tot}}=\eta v_{c,\infty}^{\gamma}\) 的关系，并确定 \(\gamma\) 和 \(\eta\)。

通过计算 \(\gamma_{TF}\)，将此表达式与塔利–费舍尔关系进行比较。

在加速度极低、量级为 \(a_0=10^{-10}\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\) 的情形下，修正牛顿动力学（MOND）理论提出，可以将牛顿第二定律修正为 \[ \vec F=m\mu\!\left(\frac a{a_0}\right)\vec a \] 其中 \(a=\|\vec a\|\) 为加速度的大小，函数 \(\mu\) 定义为 \(\mu(x)=\dfrac{x}{1+x}\)。

D.2 — 0.2 分

利用图 1 中 NGC 6946 的数据，在牛顿理论框架内估算 NGC 6946 外部区域中一个物体的加速度大小 \(a_m\)。

D.3 — 0.8 分

设质量为 \(m\) 的物体在一个固定质量 \(M\) 的引力场中，以速率 \(v_{c,\infty}\) 沿半径为 \(r\) 的圆形轨道运动。

在 MOND 理论中，当 \(a\ll a_0\) 时，求塔利–费舍尔关系的指数。

利用 NGC 6946 的数据和/或塔利–费舍尔定律，计算 \(a_0\)，以说明 MOND 适用于恰当的加速度范围。

D.4 — 0.9 分

考虑相关的不同情形，在 MOND 理论中，求由半径为 \(R_b\)、总质量为 \(M\) 的均匀质量分布产生的引力场中，对所有 \(r\) 值均适用的 \(v_c(r)\)。

通用数据表

题目译自官方英文原文。

Цель этой задачи — изучить особенности физики галактик, в частности их динамику и структуру. Мы выясним, как можно измерить распределение массы нашей Галактики, находясь внутри неё. Для этого мы сосредоточимся на водороде — её основном компоненте.

Во всей задаче мы будем использовать только \(\hbar\), определяемую как \(\hbar=h/2\pi\).

Часть A - Введение

Модель Бора

Будем считать, что атом водорода состоит из нерелятивистского электрона массой \(m_e\), обращающегося вокруг неподвижного протона. Во всей этой части будем предполагать, что электрон движется по круговой орбите.

A.1 — 0.2 балла

Определите скорость электрона \(v\) на круговой орбите радиуса \(r\).

В модели Бора предполагается, что модуль момента импульса электрона \(L\) квантован: \(L=n\hbar\), где \(n>0\) — целое число. Введём \(\alpha=\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar c}\approx7.27\times10^{-3}\).

A.2 — 0.5 балла

Покажите, что радиус каждой орбиты задаётся выражением \(r_n=n^2r_1\), где \(r_1\) называется боровским радиусом. Выразите \(r_1\) через \(\alpha\), \(m_e\), \(c\) и \(\hbar\) и вычислите его численное значение с 3 значащими цифрами. Выразите \(v_1\), скорость на орбите радиуса \(r_1\), через \(\alpha\) и \(c\).

A.3 — 0.5 балла

Определите механическую энергию электрона \(E_n\) на орбите радиуса \(r_n\) через \(e\), \(\varepsilon_0\), \(r_1\) и \(n\). Определите \(E_1\) в основном состоянии через \(\alpha\), \(m_e\) и \(c\). Вычислите её численное значение в эВ.

Тонкая и сверхтонкая структура водорода

Редкое спонтанное изменение направления спина электрона приводит к испусканию фотона, которое происходит в среднем один раз в 10 миллионов лет на атом водорода. Это излучение служит индикатором водорода во Вселенной и потому имеет фундаментальное значение в астрофизике. Мы изучим переход, ответственный за это излучение, в два этапа.

Сначала рассмотрим взаимодействие спина электрона с относительным движением электрона и протона. В системе отсчёта электрона протон обращается вокруг него на расстоянии \(r_1\). При этом возникает магнитное поле \(\vec B_1\).

A.4 — 0.5 балла

Определите модуль \(B_1\) поля \(\vec B_1\) в точке нахождения электрона через \(\mu_0\), \(e\), \(\alpha\), \(c\) и \(r_1\).

Далее, спин электрона создаёт магнитный момент \(\vec{\mathcal M}_s\). Его модуль приближённо равен \(\mathcal M_s=\dfrac{e}{m_e}\hbar\). Тонкая (F) структура связана с разностью энергий \(\Delta E_{\mathrm F}\) электрона с магнитным моментом \(\vec{\mathcal M}_s\), параллельным \(\vec B_1\), и электрона с \(\vec{\mathcal M}_s\), антипараллельным \(\vec B_1\). Аналогично, сверхтонкая (HF) структура связана с разностью энергий \(\Delta E_{\mathrm{HF}}\), обусловленной взаимодействием параллельных и антипараллельных магнитных моментов электрона и протона. Известно, что приближённо \(\Delta E_{\mathrm{HF}}\simeq3.72\dfrac{m_e}{m_p}\Delta E_{\mathrm F}\), где \(m_p\) — масса протона.

A.5 — 0.5 балла

Выразите \(\Delta E_{\mathrm F}\) как функцию \(\alpha\) и \(E_1\).

Выразите длину волны \(\lambda_{\mathrm{HF}}\) фотона, испускаемого при переходе между двумя состояниями сверхтонкой структуры, и приведите её численное значение с двумя значащими цифрами.

Часть B - Кривые вращения галактик

Данные

• Килопарсек: \(1\,\mathrm{kpc}=3.09\times10^{19}\,\mathrm m\)
• Масса Солнца: \(1\,M_\odot=1.99\times10^{30}\,\mathrm{kg}\)

Рассмотрим сферическую галактику с центром в неподвижной точке \(O\). В произвольной точке \(P\) обозначим через \(\rho=\rho(P)\) объёмную плотность массы, а через \(\varphi=\varphi(P)\) — соответствующий гравитационный потенциал (то есть потенциальную энергию на единицу массы). И \(\rho\), и \(\varphi\) зависят только от \(r=\|\overrightarrow{OP}\|\). Движение тела массой \(m\), находящегося в \(P\), под действием поля \(\varphi\) происходит в плоскости, содержащей \(O\).

B.1 — 0.2 балла

Для круговой орбиты определите скорость \(v_c\) объекта на круговой орбите, проходящей через \(P\), через \(r\) и \(\dfrac{d\varphi}{dr}\).

На рис. 1(A) показано изображение спиральной галактики NGC 6946 в видимом диапазоне (полученное с помощью 0.8-метрового телескопа Шульмана в обсерватории Маунт-Леммон в Аризоне). Маленькие эллипсы на рис. 1(B) показывают экспериментальные измерения \(v_c\) для этой галактики. Центральная область (\(r<1\,\mathrm{kpc}\)) называется балджем. В этой области распределение массы приблизительно однородно. Красная кривая показывает предсказание для \(v_c\), если система однородна в балдже, а за его пределами является кеплеровской (\(\varphi(r)=-\beta/r\) при \(\beta>0\)), то есть если считать, что вся масса галактики сосредоточена в балдже.

Рис. 1: Галактика NGC 6946: изображение (A) и кривая вращения (B).

B.2 — 0.5 балла

Определите массу \(M_b\) балджа NGC 6946 по красной кривой вращения на рис. 1(B) в единицах массы Солнца.

Сравнение кеплеровской модели с экспериментальными данными убеждает астрономов в том, что часть массы не видна на изображении. Поэтому они предполагают, что фактическая плотность массы галактики задаётся выражением

\[ \rho_m(r)=\frac{C_m}{r_m^2+r^2} \tag{1} \]

где \(C_m>0\) и \(r_m>0\) — постоянные.

B.3 — 1.8 балла

Покажите, что профиль скорости \(v_{c,m}(r)\), соответствующий плотности массы из уравнения 1, можно записать в виде \[ v_{c,m}(r)=\sqrt{k_1-\frac{k_2\cdot\arctan\!\left(\frac r{r_m}\right)}r}. \] Выразите \(k_1\) и \(k_2\) через \(C_m\), \(r_m\) и \(G\).

(Подсказки: \(\displaystyle\int_0^r\frac{x^2}{a^2+x^2}\,dx=r-a\arctan(r/a)\), а также: \(\arctan(x)\simeq x-x^3/3\) при \(x\ll1\).)

Упростите \(v_{c,m}(r)\) при \(r\ll r_m\) и при \(r\gg r_m\).

Покажите, что при \(r\gg r_m\) выражение для массы \(M_m(r)\), заключённой в сфере радиуса \(r\) с плотностью массы, задаваемой уравнением 1, упрощается и зависит только от \(C_m\) и \(r\).

Оцените массу галактики NGC 6946, фактически заключённую в области, показанной на рис. 1(A).

Часть C - Распределение массы в нашей Галактике

Для спиральной галактики модель, описываемую уравнением 1, модифицируют и обычно считают, что гравитационный потенциал задаётся выражением \[ \varphi_G(r,z)=\varphi_0\ln\!\left(\frac r{r_0}\right) \exp\!\left[-\left(\frac z{z_0}\right)^2\right], \] где \(z\) — расстояние до галактической плоскости (определяемой условием \(z=0\)), \(r<r_0\) теперь обозначает расстояние до оси, а \(\varphi_0>0\) — постоянная, которую нужно определить. Величины \(r_0\) и \(z_0\) постоянны.

C.1 — 0.5 балла

Найдите уравнение движения по координате \(z\) для вертикального движения материальной точки массой \(m\) в таком потенциале, предполагая, что \(r\) постоянно. Покажите, что при \(r<r_0\) галактическая плоскость является положением устойчивого равновесия, и найдите угловую частоту \(\omega_0\) малых колебаний около неё.

Далее полагаем \(z=0\).

C.2 — 0.6 балла

Определите режим, \(r\gg r_m\) или \(r\ll r_m\), в котором модель уравнения 1 даёт потенциал вида \(\varphi_G(r,0)\) при подходящем определении \(\varphi_0\).

При этом условии \(v_c(r)\) больше не зависит от \(r\). Выразите её через \(\varphi_0\).

Таким образом, вне балджа модуль скорости \(v_c\) не зависит от расстояния до галактического центра. Мы воспользуемся этим фактом, как это делают астрономы, чтобы измерить распределение массы Галактики изнутри.

Все галактические объекты, рассматриваемые здесь в астрономических наблюдениях, такие как звёзды или туманности, состоят преимущественно из водорода. Предположим, что вне балджа они обращаются по круговым орбитам вокруг галактического центра \(C\). Точка \(S\) обозначает положение Солнца, а \(E\) — положение некоторого галактического объекта, излучающего в спектре водорода. В галактической плоскости рассмотрим луч зрения \(SE\), соответствующий направлению наблюдения, вдоль единичного вектора \(\hat u_v\) (см. рис. 2).

Рис. 2: Геометрия измерения

Пусть \(\ell\) — галактическая долгота, равная углу между \(SC\) и \(SE\). Скорость Солнца на его круговой орбите радиуса \(R_\odot=8.00\,\mathrm{kpc}\) обозначим \(\vec v_\odot\). Галактический объект в \(E\) обращается по другой окружности радиуса \(R\) со скоростью \(\vec v_E\). Используя эффект Доплера для рассмотренной ранее линии 21 см, можно получить относительную лучевую скорость \(v_{rE/S}\) излучателя \(E\) относительно Солнца \(S\): это проекция \(\vec v_E-\vec v_\odot\) на луч зрения.

C.3 — 0.7 балла

Определите \(v_{rE/S}\) через \(\ell\), \(R\), \(R_\odot\) и \(v_\odot\). Затем выразите \(R\) через \(R_\odot\), \(v_\odot\), \(\ell\) и \(v_{rE/S}\).

С помощью радиотелескопа проведём наблюдения в плоскости нашей Галактики в направлении с долготой \(\ell=30^\circ\). Используемый частотный диапазон содержит линию 21 см, частота которой равна \(f_0=1.42\,\mathrm{GHz}\). Результаты представлены на рис. 3.

Рис. 3: Электромагнитный сигнал в зависимости от сдвига частоты, измеренный в радиочастотном диапазоне при \(\ell=30^\circ\) с помощью EU-HOU RadioAstronomy

C.4 — 0.6 балла

В нашей Галактике \(v_\odot=220\,\mathrm{km\cdot s^{-1}}\). Определите значения относительной лучевой скорости (с 3 значащими цифрами) и расстояния от галактического центра (с 2 значащими цифрами) для 3 источников, наблюдаемых на рис. 3. Расстояния следует выразить в единицах \(R_\odot\).

C.5 — 0.6 балла

На виде нашей Галактики сверху (в поле для ответа) укажите положения источников, наблюдаемых на рис. 3.

Что можно было бы установить, повторяя измерения при различных \(\ell\)?

Часть D - Соотношение Талли — Фишера и теория MOND

Плоский внешний участок кривой вращения NGC 6946 на рис. 1 — общее свойство спиральных галактик, как видно на рис. 4 (слева). Если построить зависимость постоянной скорости во внешней области \(v_{c,\infty}\) от измеренной полной массы \(M_{\mathrm{tot}}\) каждой галактики, обнаруживается интересная корреляция, называемая соотношением Талли — Фишера, см. рис. 4 (справа).

Рис. 4. Слева: кривые вращения типичных спиральных галактик. Справа: \(\log_{10}(M_{\mathrm{tot}})\) в зависимости от \(\log_{10}(v_{c,\infty})\) в линейных масштабах. Цветные точки соответствуют различным галактикам и различным обзорам. Зелёная линия — соотношение Талли — Фишера, очень хорошо согласующееся с линией наилучшей аппроксимации данных (чёрной).

D.1 — 0.4 балла

Предполагая, что радиус \(R\) галактики не зависит от её массы, покажите, что модель уравнения 1 (часть B) даёт соотношение вида \(M_{\mathrm{tot}}=\eta v_{c,\infty}^{\gamma}\), и определите \(\gamma\) и \(\eta\).

Сравните это выражение с соотношением Талли — Фишера, вычислив \(\gamma_{TF}\).

В режиме чрезвычайно малых ускорений, порядка \(a_0=10^{-10}\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\), теория модифицированной ньютоновской динамики (MOND) предлагает изменить второй закон Ньютона следующим образом: \[ \vec F=m\mu\!\left(\frac a{a_0}\right)\vec a \] где \(a=\|\vec a\|\) — модуль ускорения, а функция \(\mu\) определяется как \(\mu(x)=\dfrac{x}{1+x}\).

D.2 — 0.2 балла

Используя данные для NGC 6946 на рис. 1, оцените в рамках теории Ньютона модуль ускорения \(a_m\) тела во внешних областях NGC 6946.

D.3 — 0.8 балла

Пусть тело массой \(m\) движется по круговой орбите радиуса \(r\) со скоростью \(v_{c,\infty}\) в гравитационном поле неподвижной массы \(M\).

В рамках теории MOND при \(a\ll a_0\) определите показатель степени в соотношении Талли — Фишера.

Используя данные для NGC 6946 и/или закон Талли — Фишера, вычислите \(a_0\), чтобы показать, что MOND применяется в соответствующем режиме.

D.4 — 0.9 балла

Рассмотрев соответствующие случаи, определите \(v_c(r)\) для всех значений \(r\) в теории MOND для гравитационного поля, создаваемого однородно распределённой массой \(M\) радиуса \(R_b\).

Общие справочные данные

Условие переведено с официального английского текста.

تهدف هذه المسألة إلى دراسة الخصائص الفيزيائية المميزة للمجرات، مثل ديناميكيتها وبنيتها. وعلى وجه الخصوص، نوضح كيفية قياس توزيع الكتلة في مجرتنا من داخلها. ولهذا سنركز على الهيدروجين، وهو مكوّنها الرئيسي.

سنستخدم في هذه المسألة كلها \(\hbar\) فقط، وهو معرّف بالعلاقة \(\hbar=h/2\pi\).

الجزء A - مقدمة

نموذج بور

نفترض أن ذرة الهيدروجين تتكون من إلكترون غير نسبي، كتلته \(m_e\)، يدور حول بروتون ثابت. ونفترض طوال هذا الجزء أن حركته تجري في مدار دائري.

A.1 — 0.2 نقطة

حدّد سرعة الإلكترون \(v\) في مدار دائري نصف قطره \(r\).

في نموذج بور، نفترض أن مقدار الزخم الزاوي للإلكترون \(L\) مكمّم، بحيث \(L=n\hbar\)، حيث \(n>0\) عدد صحيح. ونعرّف \(\alpha=\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar c}\approx7.27\times10^{-3}\).

A.2 — 0.5 نقطة

بيّن أن نصف قطر كل مدار يُعطى بالعلاقة \(r_n=n^2r_1\)، حيث يُسمّى \(r_1\) نصف قطر بور. عبّر عن \(r_1\) بدلالة \(\alpha\) و\(m_e\) و\(c\) و\(\hbar\)، واحسب قيمته العددية بثلاثة أرقام معنوية. عبّر عن \(v_1\)، وهي السرعة في المدار ذي نصف القطر \(r_1\)، بدلالة \(\alpha\) و\(c\).

A.3 — 0.5 نقطة

حدّد الطاقة الميكانيكية للإلكترون \(E_n\) في مدار نصف قطره \(r_n\) بدلالة \(e\) و\(\varepsilon_0\) و\(r_1\) و\(n\). حدّد \(E_1\) في الحالة القاعية بدلالة \(\alpha\) و\(m_e\) و\(c\). احسب قيمتها العددية بوحدة eV.

البنيتان الدقيقة وفائقة الدقة للهيدروجين

يؤدي الانقلاب التلقائي النادر للفّ المغزلي للإلكترون إلى انبعاث فوتون، بمعدل مرة واحدة كل 10 ملايين سنة لكل ذرة هيدروجين. ويُستخدم هذا الانبعاث لتتبّع الهيدروجين في الكون، ولذلك فهو أساسي في الفيزياء الفلكية. سندرس الانتقال المسؤول عن هذا الانبعاث على خطوتين.

أولًا، لننظر في التآثر بين اللفّ المغزلي للإلكترون والحركة النسبية للإلكترون والبروتون. في الإطار المرجعي للإلكترون، يدور البروتون حول الإلكترون على مسافة \(r_1\). وينشأ عن ذلك مجال مغناطيسي \(\vec B_1\).

A.4 — 0.5 نقطة

حدّد مقدار المجال \(\vec B_1\)، أي \(B_1\)، عند موضع الإلكترون، بدلالة \(\mu_0\) و\(e\) و\(\alpha\) و\(c\) و\(r_1\).

ثانيًا، يولّد اللفّ المغزلي للإلكترون عزمًا مغناطيسيًا \(\vec{\mathcal M}_s\). ويبلغ مقداره تقريبًا \(\mathcal M_s=\dfrac{e}{m_e}\hbar\). ترتبط البنية الدقيقة (F) بفرق الطاقة \(\Delta E_{\mathrm F}\) بين إلكترون عزمه المغناطيسي \(\vec{\mathcal M}_s\) موازٍ للمجال \(\vec B_1\)، وإلكترون عزمه \(\vec{\mathcal M}_s\) معاكس لاتجاه \(\vec B_1\). وبالمثل، ترتبط البنية فائقة الدقة (HF) بفرق الطاقة \(\Delta E_{\mathrm{HF}}\)، الناتج عن التآثر بين العزمين المغناطيسيين للإلكترون والبروتون في حالتي توازيهما وتعاكس اتجاهيهما. ومن المعلوم أنه يُعطى تقريبًا بالعلاقة \(\Delta E_{\mathrm{HF}}\simeq3.72\dfrac{m_e}{m_p}\Delta E_{\mathrm F}\)، حيث \(m_p\) كتلة البروتون.

A.5 — 0.5 نقطة

عبّر عن \(\Delta E_{\mathrm F}\) بدلالة \(\alpha\) و\(E_1\).

أوجد تعبيرًا للطول الموجي \(\lambda_{\mathrm{HF}}\) لفوتون ينبعث أثناء انتقال بين حالتي البنية فائقة الدقة، وأعطِ قيمته العددية برقمين معنويين.

الجزء B - منحنيات دوران المجرات

المعطيات

• الكيلوفرسخ الفلكي: \(1\,\mathrm{kpc}=3.09\times10^{19}\,\mathrm m\)
• الكتلة الشمسية: \(1\,M_\odot=1.99\times10^{30}\,\mathrm{kg}\)

نعتبر مجرة كروية مركزها نقطة ثابتة \(O\). عند أي نقطة \(P\)، لتكن \(\rho=\rho(P)\) كثافة الكتلة الحجمية، و\(\varphi=\varphi(P)\) جهد الجاذبية المرتبط بها (أي طاقة الوضع لكل وحدة كتلة). يعتمد كلٌّ من \(\rho\) و\(\varphi\) على \(r=\|\overrightarrow{OP}\|\) فقط. وتقتصر حركة كتلة \(m\) تقع عند \(P\)، بفعل المجال \(\varphi\)، على مستوى يحتوي على \(O\).

B.1 — 0.2 نقطة

في حالة المدار الدائري، حدّد سرعة جسم \(v_c\) في مدار دائري يمرّ بالنقطة \(P\)، بدلالة \(r\) و\(\dfrac{d\varphi}{dr}\).

الشكل 1(A) صورة للمجرة الحلزونية NGC 6946 في النطاق المرئي (التُقطت بتلسكوب شولمان ذي القطر 0.8m في مركز ماونت ليمون لرصد السماء في أريزونا). وتمثّل الأشكال البيضاوية الصغيرة في الشكل 1(B) القياسات التجريبية للسرعة \(v_c\) في هذه المجرة. تُسمّى المنطقة المركزية (\(r<1\,\mathrm{kpc}\)) الانتفاخ المركزي. وفي هذه المنطقة، يكون توزيع الكتلة متجانسًا تقريبًا. يمثّل المنحنى الأحمر تنبؤًا بالسرعة \(v_c\) إذا كان النظام متجانسًا في الانتفاخ المركزي وكبلريًا (\(\varphi(r)=-\beta/r\) مع \(\beta>0\)) خارجه، أي بافتراض أن الكتلة الكلية للمجرة متركزة في الانتفاخ المركزي.

الشكل 1: المجرة NGC 6946: الصورة (A) ومنحنى الدوران (B).

B.2 — 0.5 نقطة

استنتج كتلة الانتفاخ المركزي \(M_b\) للمجرة NGC 6946 من منحنى الدوران الأحمر في الشكل 1(B)، بوحدات الكتلة الشمسية.

إن مقارنة النموذج الكبلري بالبيانات التجريبية تجعل الفلكيين واثقين من أن جزءًا من الكتلة غير مرئي في الصورة. لذا يفترضون أن كثافة الكتلة الفعلية للمجرة تُعطى بالعلاقة

\[ \rho_m(r)=\frac{C_m}{r_m^2+r^2} \tag{1} \]

حيث \(C_m>0\) و\(r_m>0\) ثابتان.

B.3 — 1.8 نقطة

بيّن أن توزيع السرعة \(v_{c,m}(r)\)، الموافق لكثافة الكتلة في المعادلة 1، يمكن كتابته على الصورة \[ v_{c,m}(r)=\sqrt{k_1-\frac{k_2\cdot\arctan\!\left(\frac r{r_m}\right)}r}. \] عبّر عن \(k_1\) و\(k_2\) بدلالة \(C_m\) و\(r_m\) و\(G\).

(تلميحان: \(\displaystyle\int_0^r\frac{x^2}{a^2+x^2}\,dx=r-a\arctan(r/a)\)، وكذلك: \(\arctan(x)\simeq x-x^3/3\) عندما \(x\ll1\).)

بسّط \(v_{c,m}(r)\) عندما \(r\ll r_m\) وعندما \(r\gg r_m\).

بيّن أنه إذا كان \(r\gg r_m\)، فإن الكتلة \(M_m(r)\) المحتواة داخل كرة نصف قطرها \(r\)، ذات كثافة الكتلة المعطاة بالمعادلة 1، تأخذ صورة مبسطة لا تعتمد إلا على \(C_m\) و\(r\).

قدّر كتلة المجرة NGC 6946 الموجودة فعليًا ضمن الصورة في الشكل 1(A).

الجزء C - توزيع الكتلة في مجرتنا

في حالة المجرة الحلزونية، يُعدَّل نموذج المعادلة 1، ويُفترض عادةً أن جهد الجاذبية يُعطى بالعلاقة \[ \varphi_G(r,z)=\varphi_0\ln\!\left(\frac r{r_0}\right) \exp\!\left[-\left(\frac z{z_0}\right)^2\right], \] حيث \(z\) هو البعد عن المستوى المجري (المعرّف بالعلاقة \(z=0\))، وأصبح \(r<r_0\) الآن نصف القطر المحوري، و\(\varphi_0>0\) ثابت مطلوب تحديده. أما \(r_0\) و\(z_0\) فقيمتان ثابتتان.

C.1 — 0.5 نقطة

أوجد معادلة الحركة بالنسبة إلى \(z\) للحركة الرأسية لكتلة نقطية \(m\) في هذا الجهد، بافتراض ثبات \(r\). بيّن أنه إذا كان \(r<r_0\)، فإن المستوى المجري يمثّل حالة اتزان مستقر، وذلك بإعطاء التردد الزاوي \(\omega_0\) للاهتزازات الصغيرة حوله.

من الآن فصاعدًا، نضع \(z=0\).

C.2 — 0.6 نقطة

حدّد النظام، إما \(r\gg r_m\) أو \(r\ll r_m\)، الذي يستعيد فيه نموذج المعادلة 1 جهدًا من الشكل \(\varphi_G(r,0)\)، مع تعريف مناسب للثابت \(\varphi_0\).

في ظل هذا الشرط، لا تعود \(v_c(r)\) معتمدة على \(r\). عبّر عنها بدلالة \(\varphi_0\).

إذن، خارج الانتفاخ المركزي، لا يعتمد مقدار السرعة \(v_c\) على البعد عن مركز المجرة. وسنستخدم هذه الحقيقة، كما يفعل الفلكيون، لقياس توزيع الكتلة في المجرة من داخلها.

تتكون جميع الأجرام المجرية التي نعتبرها هنا لأغراض الرصد الفلكي، مثل النجوم أو السدم، أساسًا من الهيدروجين. ونفترض أنها تدور خارج الانتفاخ المركزي في مدارات دائرية حول مركز المجرة \(C\). تمثّل \(S\) موضع الشمس، وتمثّل \(E\) موضع جرم مجري معيّن يصدر إشعاعًا في طيف الهيدروجين. في المستوى المجري، نعتبر خط نظر \(SE\) يوافق اتجاه الرصد، على متجه الوحدة \(\hat u_v\) (انظر الشكل 2).

الشكل 2: هندسة القياس

ليكن \(\ell\) خط الطول المجري، الذي يقيس الزاوية بين \(SC\) و\(SE\). نرمز لسرعة الشمس في مدارها الدائري ذي نصف القطر \(R_\odot=8.00\,\mathrm{kpc}\) بالرمز \(\vec v_\odot\). ويدور جرم مجري عند \(E\) على دائرة أخرى نصف قطرها \(R\) بسرعة \(\vec v_E\). باستخدام تأثير دوبلر على خط 21cm الذي درسناه سابقًا، يمكن الحصول على السرعة الشعاعية النسبية \(v_{rE/S}\) للمصدر \(E\) بالنسبة إلى الشمس \(S\): وهي إسقاط \(\vec v_E-\vec v_\odot\) على خط النظر.

C.3 — 0.7 نقطة

حدّد \(v_{rE/S}\) بدلالة \(\ell\) و\(R\) و\(R_\odot\) و\(v_\odot\). ثم عبّر عن \(R\) بدلالة \(R_\odot\) و\(v_\odot\) و\(\ell\) و\(v_{rE/S}\).

باستخدام تلسكوب راديوي، نجري أرصادًا في مستوى مجرتنا باتجاه خط الطول \(\ell=30^\circ\). يحتوي نطاق التردد المستخدم على خط 21cm، الذي يبلغ تردده \(f_0=1.42\,\mathrm{GHz}\). وتُعرض النتائج في الشكل 3.

الشكل 3: الإشارة الكهرومغناطيسية بدلالة انزياح التردد، مقيسة في نطاق الترددات الراديوية عند \(\ell=30^\circ\) باستخدام EU-HOU RadioAstronomy

C.4 — 0.6 نقطة

في مجرتنا، \(v_\odot=220\,\mathrm{km\cdot s^{-1}}\). حدّد قيم السرعة الشعاعية النسبية (بثلاثة أرقام معنوية) والبعد عن مركز المجرة (برقمين معنويين) للمصادر الثلاثة المرصودة في الشكل 3. ينبغي التعبير عن المسافات بمضاعفات \(R_\odot\).

C.5 — 0.6 نقطة

على المنظر العلوي لمجرتنا (في مربع الإجابة)، حدّد مواضع المصادر المرصودة في الشكل 3.

ما الذي يمكن استنتاجه من تكرار القياسات مع تغيير \(\ell\)؟

الجزء D - علاقة تولي–فيشر ونظرية MOND

يُعدّ استواء منحنى السرعة في المناطق الخارجية للمجرة NGC 6946 في الشكل 1 خاصية شائعة للمجرات الحلزونية، كما يُرى في الشكل 4 (يسارًا). إن رسم قيمة السرعة الخارجية الثابتة \(v_{c,\infty}\) بدلالة الكتلة الكلية المقيسة \(M_{\mathrm{tot}}\) لكل مجرة يكشف عن ارتباط مثير للاهتمام يُسمّى علاقة تولي–فيشر، انظر الشكل 4 (يمينًا).

الشكل 4. يسارًا: منحنيات دوران لمجرات حلزونية نموذجية - يمينًا: \(\log_{10}(M_{\mathrm{tot}})\) بدلالة \(\log_{10}(v_{c,\infty})\) على مقياسين خطيين. تقابل النقاط الملونة مجرات مختلفة ومسوحًا مختلفة. ويمثّل الخط الأخضر علاقة تولي–فيشر، وهي تتفق اتفاقًا جيدًا جدًا مع خط أفضل ملاءمة للبيانات (بالأسود).

D.1 — 0.4 نقطة

بافتراض أن نصف قطر المجرة \(R\) لا يعتمد على كتلتها، بيّن أن نموذج المعادلة 1 (الجزء B) يعطي علاقة من الشكل \(M_{\mathrm{tot}}=\eta v_{c,\infty}^{\gamma}\)، حيث ينبغي تحديد \(\gamma\) و\(\eta\).

قارن هذا التعبير بعلاقة تولي–فيشر بحساب \(\gamma_{TF}\).

في نظام التسارع المنخفض للغاية، من رتبة \(a_0=10^{-10}\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\)، تقترح نظرية الديناميكا النيوتونية المعدّلة (MOND) إمكانية تعديل قانون نيوتن الثاني باستخدام \[ \vec F=m\mu\!\left(\frac a{a_0}\right)\vec a \] حيث \(a=\|\vec a\|\) هو مقدار التسارع، والدالة \(\mu\) معرّفة بالعلاقة \(\mu(x)=\dfrac{x}{1+x}\).

D.2 — 0.2 نقطة

باستخدام بيانات المجرة NGC 6946 في الشكل 1، قدّر، ضمن نظرية نيوتن، مقدار التسارع \(a_m\) لكتلة في المناطق الخارجية للمجرة NGC 6946.

D.3 — 0.8 نقطة

لتكن \(m\) كتلة تتحرك في مدار دائري نصف قطره \(r\) بسرعة \(v_{c,\infty}\) في مجال جاذبية كتلة ثابتة \(M\).

ضمن نظرية MOND، مع \(a\ll a_0\)، حدّد أسّ علاقة تولي–فيشر.

باستخدام بيانات المجرة NGC 6946 و/أو قانون تولي–فيشر، احسب \(a_0\) لتبيّن أن MOND تعمل في النظام الصحيح.

D.4 — 0.9 نقطة

بالنظر في الحالات ذات الصلة، حدّد \(v_c(r)\) لجميع قيم \(r\) في نظرية MOND، في حالة مجال جاذبية ناشئ عن كتلة \(M\) موزعة توزيعًا متجانسًا ضمن نصف قطر \(R_b\).

ورقة المعطيات العامة

نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي.