Solution

A.1

The approximately parallel conducting faces forming the slot have area \(hl\) and separation \(d\). Neglecting fringing, their capacitance is

\[ C\simeq\frac{\varepsilon_0hl}{d}. \]

Using the dimensions in Figure 1,

\[ C=\frac{(8.85\times10^{-12})(17.5\times10^{-3})(6\times10^{-3})} {1\times10^{-3}} =9.29\times10^{-13}\,\mathrm F. \]

Let \(I\) be the total current circulating around the cylindrical cavity. Its uniform distribution over height \(h\) gives an effective surface current density \(I/h\). An ideal infinite solenoid with this surface current would produce \(\mu_0I/h\). Applying the specified correction,

\[ B\simeq0.6\frac{\mu_0 I}{h}. \]

Approximating the flux through the cavity by \(B\pi R^2\),

\[ L=\frac{\Phi}{I} \simeq0.6\frac{\mu_0\pi R^2}{h} =6.63\times10^{-9}\,\mathrm H. \]

Thus

\[ f_{\mathrm{est}}=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} =\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{d}{0.6\mu_0\varepsilon_0\pi R^2l}} \simeq2.03\times10^9\,\mathrm{Hz}. \]

The height cancels because \(C\propto h\) and \(L\propto h^{-1}\). The estimate is approximate because the resonator is represented by idealized lumped capacitance and inductance.

A.2

The electron obeys the Lorentz-force equation,

\[ m\frac{\mathrm d\vec u}{\mathrm dt} =-e(\vec E+\vec u\times\vec B). \]

For the stated fields, its components are

\[ \dot u_x=-\omega_cu_y,\qquad \dot u_y=\omega_c\left(u_x+\frac{E_0}{B_0}\right), \qquad \omega_c=\frac{eB_0}{m}. \]

Define \(v_D=E_0/B_0\). A constant velocity \(-v_D\hat x\) makes the electric and magnetic forces cancel. More generally,

\[ \vec u_D=\frac{\vec E\times\vec B}{B_0^2} =-v_D\hat x. \]

In the frame translating with this velocity, the remaining velocity rotates uniformly. For \(u_y(0)=0\),

\[ u_x=-v_D+A\cos(\omega_ct),\qquad u_y=A\sin(\omega_ct), \]

where \(A=u_x(0)+v_D\). The oscillatory terms average to zero, so both initial conditions give the same drift.

Taking \(x(0)=y(0)=0\), integration gives

\[ x=-v_Dt+\frac{A}{\omega_c}\sin(\omega_ct), \qquad y=\frac{A}{\omega_c}[1-\cos(\omega_ct)]. \]

For case 1, \(A=4v_D\); for case 2, \(A=-2v_D\). This gives the parametric trajectories stated in the answers.

For a precise sketch, use \(\ell=v_D/\omega_c\). The following points describe the first cyclotron period:

Repeat this curve translated by \(-2\pi\ell\) in \(x\) to obtain the second period.

In case 1, the electron initially moves right and bends upward; the entire curve lies in \(0\le y\le8\ell\). In case 2, it initially moves left and bends downward; the curve lies in \(-4\ell\le y\le0\). Both end at \((-4\pi\ell,0)\) after the specified interval. Their gyration is counterclockwise, and neither trajectory has cusps because its velocity never vanishes.

A.3

In the approximately inertial local drift frame, the electric force is approximately cancelled by the magnetic force associated with the frame velocity. The remaining motion is approximately circular:

\[ \frac{mv_\perp^2}{r}=ev_\perp B_0, \qquad r=\frac{mv_\perp}{eB_0}. \]

Using the full kinetic-energy bound as an upper estimate for the gyration energy,

\[ v_\perp\lesssim\sqrt{\frac{2K_{\max}}m}. \]

Here

\[ K_{\max}=800(1.6\times10^{-19}) =1.28\times10^{-16}\,\mathrm J, \]

so

\[ v_{\max}\simeq1.68\times10^7\,\mathrm{m\,s^{-1}}, \]

and

\[ r_{\max}\simeq \frac{\sqrt{2mK_{\max}}}{eB_0} = \frac{\sqrt{2(9.1\times10^{-31})(1.28\times10^{-16})}} {(1.6\times10^{-19})(0.3)} =3.18\times10^{-4}\,\mathrm m. \]

Thus \(r_{\max}\simeq0.32\,\mathrm{mm}\), much smaller than the \(15\,\mathrm{mm}\) gap. This supports treating the gyration as a small motion superposed on the drift of its centre.

A.4

Let \(\hat r\) point radially outward and \(\hat\phi\) counterclockwise. With the magnetic field pointing out of the page,

\[ \vec E=E_r\hat r+E_\phi\hat\phi \]

gives

\[ \vec u_D=\frac{\vec E\times\vec B}{B_0^2} =\frac{E_\phi}{B_0}\hat r-\frac{E_r}{B_0}\hat\phi. \]

Therefore:

• \(E_\phi>0\) produces drift toward the anode.
• \(E_\phi<0\) produces drift toward the cathode.
• \(E_\phi=0\) produces drift perpendicular to the radius.

The static electric field is radial, so it contributes only azimuthal drift. The radial classification is determined entirely by the tangential component of the plotted alternating field.

My reading of the local tangents gives:

These classifications concern the radial component; the electrons also have azimuthal drift. The tangents are read from a schematic figure, so these classifications carry some reading uncertainty.

A.5

At a common distance \(\rho\) from the cathode centre,

\[ \dot\phi=\frac{u_\phi}{\rho} =-\frac{E_r}{B_0\rho}. \]

The static field is radially inward and gives all six electrons the same counterclockwise angular velocity at that radius. Thus only differences in the radial component of the alternating field affect their instantaneous angular separations.

For A, B and C, Figure 3 shows the radial alternating-field component changing from outward at A, through approximately zero at B, to inward at C. Consequently,

\[ \dot\phi_A<\dot\phi_B<\dot\phi_C. \]

Their positions are ordered \(\phi_A>\phi_B>\phi_C\). The electron behind therefore moves faster than the one ahead, so all three separations decrease:

\[ \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\phi_A-\phi_B)<0,\quad \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\phi_A-\phi_C)<0,\quad \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\phi_B-\phi_C)<0. \]

For D, E and F, the radial alternating-field component changes in the opposite way: inward at D, approximately zero at E, and outward at F. Hence

\[ \dot\phi_D>\dot\phi_E>\dot\phi_F. \]

Since \(\phi_D>\phi_E>\phi_F\), all three separations increase.

A.6

Adjacent resonators have opposite oscillation phases. Thus, at a given instant, alternate angular regions focus electrons while the intervening regions spread them apart. Eight resonators therefore produce four spokes.

The drawing should contain three additional copies of S, obtained by rotations of \(90^\circ\), \(180^\circ\), and \(270^\circ\) about the cathode centre. Their shapes should have the same sense of curvature.

The static field points inward. Its drift is

\[ (-\hat r)\times\hat z=+\hat\phi, \]

so the spokes rotate counterclockwise.

After half an oscillation period, the resonator polarities reverse. A spoke must advance to the next resonator position, an angle \(2\pi/8=\pi/4\). Therefore

\[ \omega_s=\frac{\pi/4}{T/2} =\frac{\pi}{2T} =\frac{2\pi f}{4}. \]

Using \(f=2.45\times10^9\,\mathrm{Hz}\),

\[ \boxed{\omega_s=3.85\times10^9\,\mathrm{rad\,s^{-1}}.} \]

Equivalently, the spokes make \(6.125\times10^8\) revolutions per second.

A.7

Under the prescribed approximation, the field magnitude at the midpoint of the gap is

\[ E_{\mathrm{mid}}\simeq\frac{V_0}{b-a}. \]

The midpoint radius is

\[ \rho_{\mathrm{mid}}=\frac{a+b}{2}. \]

The electron drift there must have the tangential speed of the spoke:

\[ \frac{E_{\mathrm{mid}}}{B_0} \simeq\omega_s\rho_{\mathrm{mid}}. \]

Consequently,

\[ \frac{V_0}{B_0(b-a)} \simeq\omega_s\frac{a+b}{2}, \]

which yields

\[ \boxed{ V_0\simeq\frac{B_0\omega_s}{2}(b^2-a^2) =\frac{\pi fB_0}{4}(b^2-a^2). } \]

With the given \(B_0\) and \(f\), this can also be written

\[ V_0\simeq (5.77\times10^8\,\mathrm{V\,m^{-2}})(b^2-a^2), \]

with \(a\) and \(b\) measured in metres.

B.1

The forces on the two charges form a couple. The torque is

\[ \vec\tau=\vec p\times\vec E. \]

Thus, for \(\theta\) defined as the angle between the dipole and the instantaneous field,

\[ \boxed{\tau=p_0|E|\sin\theta.} \]

The torque tends to reduce this angle. Its signed component conjugate to \(\theta\) is therefore \(-p_0|E|\sin\theta\), giving the mechanical power

\[ \boxed{H_i=-p_0|E|\sin\theta\,\dot\theta.} \]

In particular, an aligning dipole has \(\dot\theta<0\), so the field delivers positive power.

The result can be derived without an angular convention. If \(\vec r_+\) and \(\vec r_-\) are the charge positions,

\[ H_i=q\vec E\cdot\dot{\vec r}_+ -q\vec E\cdot\dot{\vec r}_- =\vec E\cdot\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \big[q(\vec r_+-\vec r_-)\big]. \]

Hence

\[ \boxed{H_i=\vec E\cdot\dot{\vec p}.} \]

If instead \(\theta\) is measured from the fixed positive \(x\) axis and \(E(t)\) is a signed component, this becomes

\[ H_i=E(t)\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(p_0\cos\theta) =-p_0E(t)\sin\theta\,\dot\theta. \]

There is no \(\dot E\) term in the mechanical power delivered to the dipole.

B.2

Summing the single-dipole power over unit volume gives

\[ H(t)=\vec E(t)\cdot\frac{\mathrm d\vec P}{\mathrm dt}. \]

The given polarization has derivative

\[ \frac{\mathrm d\vec P}{\mathrm dt} =\beta\varepsilon_0E_0\omega \cos(\omega t-\delta)\hat x. \]

Therefore

\[ H(t)=\beta\varepsilon_0\omega E_0^2 \sin(\omega t)\cos(\omega t-\delta). \]

Using

\[ \cos(\omega t-\delta) =\cos(\omega t)\cos\delta+\sin(\omega t)\sin\delta, \]

and the period averages

\[ \langle\sin(\omega t)\cos(\omega t)\rangle=0, \qquad \langle\sin^2(\omega t)\rangle=\frac12, \]

we obtain

\[ \boxed{\langle H\rangle =\frac12\beta\varepsilon_0\omega E_0^2\sin\delta.} \]

For a positive phase lag, the mean absorbed power is positive.

B.3

Let \(\mathcal E(z)\) denote the local electric-field amplitude. The average electric energy density is

\[ \langle u_E\rangle =\frac12\varepsilon_r\varepsilon_0\langle E^2\rangle =\frac14\varepsilon_r\varepsilon_0\mathcal E^2. \]

The average magnetic energy density is equal to this, so

\[ \langle u\rangle =\frac12\varepsilon_r\varepsilon_0\mathcal E^2. \]

Using the propagation speed \(c/n\) in the problem's dielectric-wave model,

\[ I(z)=\frac cn\langle u\rangle =\frac12nc\varepsilon_0\mathcal E^2(z), \]

where \(n^2=\varepsilon_r\).

Conservation of energy for a thin layer of thickness \(\mathrm dz\) gives

\[ -\frac{\mathrm dI}{\mathrm dz}=\langle H\rangle. \]

Substituting the result of B.2 and eliminating \(\mathcal E^2\),

\[ -\frac{\mathrm dI}{\mathrm dz} =\frac12\beta\varepsilon_0\omega\mathcal E^2\sin\delta =\frac{\beta\omega\sin\delta}{nc}I. \]

For a homogeneous medium at fixed temperature, the coefficient is constant. Integration gives

\[ \boxed{ I(z)=I(0)\exp\!\left[-\frac{\beta\omega\sin\delta}{nc}z\right]. } \]

The attenuation coefficient for power is therefore

\[ \alpha=\frac{\beta\omega\sin\delta}{nc}. \]

B.4

Equation (2) gives an electric-field amplitude proportional to

\[ e^{-\frac12nk_0z\tan\delta}. \]

Since intensity is proportional to the square of this amplitude,

\[ I(z)=I(0)e^{-nk_0z\tan\delta}. \]

Comparison with B.3, using \(k_0=\omega/c\), gives

\[ \frac{\beta\omega\sin\delta}{nc} =\frac{n\omega}{c}\tan\delta. \]

Thus

\[ \beta\sin\delta=n^2\tan\delta. \]

Within the requested approximation \(\tan\delta\simeq\sin\delta\),

\[ \boxed{\beta\simeq n^2=\varepsilon_r.} \]

This result follows within the dielectric and small-loss approximations specified in the problem.

B.5

Using the supplied relation \(\tan\delta=\varepsilon_\ell/\varepsilon_r\), the power attenuation coefficient is

\[ \alpha=nk_0\tan\delta =\frac{\omega}{c} \frac{\varepsilon_\ell}{\sqrt{\varepsilon_r}}. \]

At uniform temperature, the local absorbed power per unit volume is proportional to the local intensity:

\[ \langle H(z)\rangle=\alpha I(z). \]

It therefore has the same exponential dependence,

\[ \frac{\langle H(z)\rangle}{\langle H(0)\rangle} =e^{-\alpha z}. \]

1. Half-power depth at \(20^\circ\mathrm C\).

The condition \(e^{-\alpha z_{1/2}}=1/2\) gives

\[ z_{1/2}=\frac{\ln2}{\alpha} =\frac{c\sqrt{\varepsilon_r}\ln2}{\omega\varepsilon_\ell}. \]

At the marked frequency, the solid curves for \(20^\circ\mathrm C\) give approximately

\[ \varepsilon_r\simeq78,\qquad \varepsilon_\ell\simeq10. \]

Consequently,

\[ z_{1/2}\simeq \frac{(3.0\times10^8)\sqrt{78}\ln2} {(2\pi)(2.45\times10^9)(10)} =1.19\times10^{-2}\,\mathrm m. \]

Thus the graph supports a half-power depth of approximately

\[ \boxed{z_{1/2}\simeq1.2\,\mathrm{cm}.} \]

This is the half-power depth; the field-amplitude decay has an exponent smaller by a factor of two.

2. Pure water as temperature increases.

At fixed frequency,

\[ z_{1/2}\propto\frac{\sqrt{\varepsilon_r}}{\varepsilon_\ell}. \]

The solid blue curves show a substantial decrease of \(\varepsilon_\ell\) with temperature. The decrease of \(\sqrt{\varepsilon_r}\) is much smaller in relative terms. Therefore the ratio increases:

\[ \boxed{\text{The penetration depth in pure water increases with temperature.}} \]

3. Soup as temperature increases.

At the same frequency, the dashed blue curves show increasing dielectric loss with increasing temperature, while the dashed red curves show decreasing \(\varepsilon_r\). Both changes reduce \(\sqrt{\varepsilon_r}/\varepsilon_\ell\). Therefore

\[ \boxed{\text{The penetration depth in soup decreases with temperature.}} \]

The solution was checked against the official solution.

Lösung

A.1

Die näherungsweise parallelen leitenden Flächen, die den Spalt bilden, haben die Fläche \(hl\) und den Abstand \(d\). Unter Vernachlässigung der Randfelder beträgt ihre Kapazität

\[ C\simeq\frac{\varepsilon_0hl}{d}. \]

Mit den Abmessungen aus Abbildung 1 ergibt sich

\[ C=\frac{(8.85\times10^{-12})(17.5\times10^{-3})(6\times10^{-3})} {1\times10^{-3}} =9.29\times10^{-13}\,\mathrm F. \]

Sei \(I\) der gesamte Strom, der um den zylindrischen Hohlraum fließt. Seine gleichmäßige Verteilung über die Höhe \(h\) ergibt eine effektive Flächenstromdichte \(I/h\). Eine ideale unendlich lange Spule mit diesem Oberflächenstrom würde \(\mu_0I/h\) erzeugen. Unter Anwendung der angegebenen Korrektur gilt

\[ B\simeq0.6\frac{\mu_0 I}{h}. \]

Nähert man den Fluss durch den Hohlraum durch \(B\pi R^2\) an, so erhält man

\[ L=\frac{\Phi}{I} \simeq0.6\frac{\mu_0\pi R^2}{h} =6.63\times10^{-9}\,\mathrm H. \]

Damit folgt

\[ f_{\mathrm{est}}=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} =\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{d}{0.6\mu_0\varepsilon_0\pi R^2l}} \simeq2.03\times10^9\,\mathrm{Hz}. \]

Die Höhe kürzt sich heraus, da \(C\propto h\) und \(L\propto h^{-1}\) gelten. Die Abschätzung ist nur näherungsweise gültig, da der Resonator durch idealisierte konzentrierte Kapazität und Induktivität beschrieben wird.

A.2

Für das Elektron gilt die Bewegungsgleichung mit der Lorentzkraft,

\[ m\frac{\mathrm d\vec u}{\mathrm dt} =-e(\vec E+\vec u\times\vec B). \]

Für die angegebenen Felder lauten ihre Komponenten

\[ \dot u_x=-\omega_cu_y,\qquad \dot u_y=\omega_c\left(u_x+\frac{E_0}{B_0}\right), \qquad \omega_c=\frac{eB_0}{m}. \]

Definieren wir \(v_D=E_0/B_0\). Bei einer konstanten Geschwindigkeit \(-v_D\hat x\) heben sich die elektrische und die magnetische Kraft auf. Allgemeiner gilt

\[ \vec u_D=\frac{\vec E\times\vec B}{B_0^2} =-v_D\hat x. \]

Im Bezugssystem, das sich mit dieser Geschwindigkeit translatorisch bewegt, rotiert der verbleibende Geschwindigkeitsvektor gleichförmig. Für \(u_y(0)=0\) gilt

\[ u_x=-v_D+A\cos(\omega_ct),\qquad u_y=A\sin(\omega_ct), \]

wobei \(A=u_x(0)+v_D\). Die schwingenden Terme haben den Mittelwert null, sodass beide Anfangsbedingungen dieselbe Drift ergeben.

Mit \(x(0)=y(0)=0\) liefert die Integration

\[ x=-v_Dt+\frac{A}{\omega_c}\sin(\omega_ct), \qquad y=\frac{A}{\omega_c}[1-\cos(\omega_ct)]. \]

Für Fall 1 gilt \(A=4v_D\); für Fall 2 gilt \(A=-2v_D\). Daraus ergeben sich die in den Antworten angegebenen parametrischen Bahnen.

Verwenden Sie für eine genaue Skizze \(\ell=v_D/\omega_c\). Die folgenden Punkte beschreiben die erste Zyklotronperiode:

Wiederholen Sie diese Kurve um \(-2\pi\ell\) in \(x\)-Richtung verschoben, um die zweite Periode zu erhalten.

In Fall 1 bewegt sich das Elektron zunächst nach rechts und wird nach oben abgelenkt; die gesamte Kurve liegt in \(0\le y\le8\ell\). In Fall 2 bewegt es sich zunächst nach links und wird nach unten abgelenkt; die Kurve liegt in \(-4\ell\le y\le0\). Beide enden nach dem angegebenen Intervall bei \((-4\pi\ell,0)\). Ihre Gyration erfolgt gegen den Uhrzeigersinn, und keine der beiden Bahnen besitzt Spitzen, da ihre Geschwindigkeit niemals verschwindet.

A.3

Im lokalen Driftbezugssystem, das näherungsweise ein Inertialsystem ist, wird die elektrische Kraft durch die mit der Geschwindigkeit des Bezugssystems verbundene magnetische Kraft näherungsweise aufgehoben. Die verbleibende Bewegung ist näherungsweise kreisförmig:

\[ \frac{mv_\perp^2}{r}=ev_\perp B_0, \qquad r=\frac{mv_\perp}{eB_0}. \]

Verwendet man die gesamte obere Schranke der kinetischen Energie als obere Abschätzung für die Gyrationsenergie, so gilt

\[ v_\perp\lesssim\sqrt{\frac{2K_{\max}}m}. \]

Hier ist

\[ K_{\max}=800(1.6\times10^{-19}) =1.28\times10^{-16}\,\mathrm J, \]

also

\[ v_{\max}\simeq1.68\times10^7\,\mathrm{m\,s^{-1}}, \]

und

\[ r_{\max}\simeq \frac{\sqrt{2mK_{\max}}}{eB_0} = \frac{\sqrt{2(9.1\times10^{-31})(1.28\times10^{-16})}} {(1.6\times10^{-19})(0.3)} =3.18\times10^{-4}\,\mathrm m. \]

Somit ist \(r_{\max}\simeq0.32\,\mathrm{mm}\), also viel kleiner als die Spaltbreite von \(15\,\mathrm{mm}\). Dies rechtfertigt es, die Gyration als kleine Bewegung zu behandeln, die der Drift ihres Mittelpunkts überlagert ist.

A.4

Sei \(\hat r\) radial nach außen und \(\hat\phi\) gegen den Uhrzeigersinn gerichtet. Für ein aus der Zeichenebene herausgerichtetes Magnetfeld ergibt

\[ \vec E=E_r\hat r+E_\phi\hat\phi \]

die Driftgeschwindigkeit

\[ \vec u_D=\frac{\vec E\times\vec B}{B_0^2} =\frac{E_\phi}{B_0}\hat r-\frac{E_r}{B_0}\hat\phi. \]

Daraus folgt:

• \(E_\phi>0\) bewirkt eine Drift zur Anode.
• \(E_\phi<0\) bewirkt eine Drift zur Kathode.
• \(E_\phi=0\) bewirkt eine Drift senkrecht zum Radius.

Das statische elektrische Feld ist radial und trägt daher nur zur azimutalen Drift bei. Die Einordnung der radialen Drift wird vollständig durch die tangentiale Komponente des eingezeichneten Wechselfelds bestimmt.

Meine Ablesung der lokalen Tangenten ergibt:

Diese Einordnungen beziehen sich auf die radiale Komponente; die Elektronen weisen außerdem eine azimutale Drift auf. Die Tangenten werden aus einer schematischen Abbildung abgelesen; diese Einordnungen sind daher mit einer gewissen Ableseunsicherheit behaftet.

A.5

Bei einem gemeinsamen Abstand \(\rho\) vom Kathodenmittelpunkt gilt

\[ \dot\phi=\frac{u_\phi}{\rho} =-\frac{E_r}{B_0\rho}. \]

Das statische Feld ist radial nach innen gerichtet und verleiht allen sechs Elektronen bei diesem Radius dieselbe Winkelgeschwindigkeit gegen den Uhrzeigersinn. Daher beeinflussen nur Unterschiede in der radialen Komponente des Wechselfelds ihre momentanen Winkelabstände.

Für A, B und C zeigt Abbildung 3, dass sich die radiale Komponente des Wechselfelds von einer nach außen gerichteten Komponente bei A über einen Wert von ungefähr null bei B zu einer nach innen gerichteten Komponente bei C ändert. Folglich gilt

\[ \dot\phi_A<\dot\phi_B<\dot\phi_C. \]

Ihre Positionen sind gemäß \(\phi_A>\phi_B>\phi_C\) angeordnet. Das jeweils hintere Elektron bewegt sich daher schneller als das vordere, sodass alle drei Abstände abnehmen:

\[ \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\phi_A-\phi_B)<0,\quad \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\phi_A-\phi_C)<0,\quad \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\phi_B-\phi_C)<0. \]

Für D, E und F ändert sich die radiale Komponente des Wechselfelds in umgekehrter Weise: bei D nach innen gerichtet, bei E ungefähr null und bei F nach außen gerichtet. Daher gilt

\[ \dot\phi_D>\dot\phi_E>\dot\phi_F. \]

Da \(\phi_D>\phi_E>\phi_F\) gilt, nehmen alle drei Abstände zu.

A.6

Benachbarte Resonatoren schwingen gegenphasig. Daher fokussieren zu einem bestimmten Zeitpunkt abwechselnde Winkelbereiche die Elektronen, während die dazwischenliegenden Bereiche sie auseinandertreiben. Acht Resonatoren erzeugen somit vier Speichen.

Die Zeichnung sollte drei zusätzliche Kopien von S enthalten, die durch Drehungen um \(90^\circ\), \(180^\circ\) und \(270^\circ\) um den Kathodenmittelpunkt entstehen. Ihre Formen sollten denselben Krümmungssinn aufweisen.

Das statische Feld zeigt nach innen. Die zugehörige Drift ist

\[ (-\hat r)\times\hat z=+\hat\phi, \]

also rotieren die Speichen gegen den Uhrzeigersinn.

Nach einer halben Schwingungsperiode kehren sich die Polaritäten der Resonatoren um. Eine Speiche muss sich bis zur Position des nächsten Resonators weiterbewegen, also um den Winkel \(2\pi/8=\pi/4\). Daher gilt

\[ \omega_s=\frac{\pi/4}{T/2} =\frac{\pi}{2T} =\frac{2\pi f}{4}. \]

Mit \(f=2.45\times10^9\,\mathrm{Hz}\) folgt

\[ \boxed{\omega_s=3.85\times10^9\,\mathrm{rad\,s^{-1}}.} \]

Gleichbedeutend damit führen die Speichen \(6.125\times10^8\) Umdrehungen pro Sekunde aus.

A.7

Unter der vorgegebenen Näherung beträgt der Feldbetrag in der Mitte des Spalts

\[ E_{\mathrm{mid}}\simeq\frac{V_0}{b-a}. \]

Der Radius in der Mitte des Spalts ist

\[ \rho_{\mathrm{mid}}=\frac{a+b}{2}. \]

Die Drift der Elektronen muss dort dieselbe Tangentialgeschwindigkeit wie die Speiche haben:

\[ \frac{E_{\mathrm{mid}}}{B_0} \simeq\omega_s\rho_{\mathrm{mid}}. \]

Folglich gilt

\[ \frac{V_0}{B_0(b-a)} \simeq\omega_s\frac{a+b}{2}, \]

woraus sich ergibt:

\[ \boxed{ V_0\simeq\frac{B_0\omega_s}{2}(b^2-a^2) =\frac{\pi fB_0}{4}(b^2-a^2). } \]

Mit den gegebenen Werten von \(B_0\) und \(f\) lässt sich dies auch schreiben als

\[ V_0\simeq (5.77\times10^8\,\mathrm{V\,m^{-2}})(b^2-a^2), \]

wobei \(a\) und \(b\) in Metern gemessen werden.

B.1

Die Kräfte auf die beiden Ladungen bilden ein Kräftepaar. Das Drehmoment lautet

\[ \vec\tau=\vec p\times\vec E. \]

Wenn \(\theta\) als Winkel zwischen dem Dipol und dem momentanen Feld definiert ist, gilt somit

\[ \boxed{\tau=p_0|E|\sin\theta.} \]

Das Drehmoment wirkt darauf hin, diesen Winkel zu verkleinern. Seine vorzeichenbehaftete, zu \(\theta\) konjugierte Komponente ist daher \(-p_0|E|\sin\theta\), woraus sich die mechanische Leistung ergibt:

\[ \boxed{H_i=-p_0|E|\sin\theta\,\dot\theta.} \]

Insbesondere gilt für einen Dipol, der sich am Feld ausrichtet, \(\dot\theta<0\), sodass das Feld eine positive Leistung überträgt.

Das Ergebnis lässt sich ohne eine Winkelkonvention herleiten. Sind \(\vec r_+\) und \(\vec r_-\) die Positionen der Ladungen, so gilt

\[ H_i=q\vec E\cdot\dot{\vec r}_+ -q\vec E\cdot\dot{\vec r}_- =\vec E\cdot\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \big[q(\vec r_+-\vec r_-)\big]. \]

Daher gilt

\[ \boxed{H_i=\vec E\cdot\dot{\vec p}.} \]

Wird \(\theta\) stattdessen von der festen positiven \(x\)-Achse aus gemessen und ist \(E(t)\) eine vorzeichenbehaftete Komponente, so wird daraus

\[ H_i=E(t)\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(p_0\cos\theta) =-p_0E(t)\sin\theta\,\dot\theta. \]

In der auf den Dipol übertragenen mechanischen Leistung tritt kein Term mit \(\dot E\) auf.

B.2

Die Summation der Leistung der einzelnen Dipole über eine Volumeneinheit ergibt

\[ H(t)=\vec E(t)\cdot\frac{\mathrm d\vec P}{\mathrm dt}. \]

Die Ableitung der gegebenen Polarisation lautet

\[ \frac{\mathrm d\vec P}{\mathrm dt} =\beta\varepsilon_0E_0\omega \cos(\omega t-\delta)\hat x. \]

Daher gilt

\[ H(t)=\beta\varepsilon_0\omega E_0^2 \sin(\omega t)\cos(\omega t-\delta). \]

Mit

\[ \cos(\omega t-\delta) =\cos(\omega t)\cos\delta+\sin(\omega t)\sin\delta, \]

und den Mittelwerten über eine Periode

\[ \langle\sin(\omega t)\cos(\omega t)\rangle=0, \qquad \langle\sin^2(\omega t)\rangle=\frac12, \]

erhalten wir

\[ \boxed{\langle H\rangle =\frac12\beta\varepsilon_0\omega E_0^2\sin\delta.} \]

Bei einer positiven Phasenverzögerung ist die mittlere absorbierte Leistung positiv.

B.3

Sei \(\mathcal E(z)\) die lokale Amplitude des elektrischen Felds. Die mittlere elektrische Energiedichte beträgt

\[ \langle u_E\rangle =\frac12\varepsilon_r\varepsilon_0\langle E^2\rangle =\frac14\varepsilon_r\varepsilon_0\mathcal E^2. \]

Die mittlere magnetische Energiedichte ist ebenso groß, also gilt

\[ \langle u\rangle =\frac12\varepsilon_r\varepsilon_0\mathcal E^2. \]

Mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit \(c/n\) im Modell der Aufgabe für Wellen in einem Dielektrikum folgt

\[ I(z)=\frac cn\langle u\rangle =\frac12nc\varepsilon_0\mathcal E^2(z), \]

wobei \(n^2=\varepsilon_r\) gilt.

Die Energieerhaltung für eine dünne Schicht der Dicke \(\mathrm dz\) ergibt

\[ -\frac{\mathrm dI}{\mathrm dz}=\langle H\rangle. \]

Setzt man das Ergebnis aus B.2 ein und eliminiert \(\mathcal E^2\), so erhält man

\[ -\frac{\mathrm dI}{\mathrm dz} =\frac12\beta\varepsilon_0\omega\mathcal E^2\sin\delta =\frac{\beta\omega\sin\delta}{nc}I. \]

Für ein homogenes Medium bei fester Temperatur ist der Koeffizient konstant. Die Integration ergibt

\[ \boxed{ I(z)=I(0)\exp\!\left[-\frac{\beta\omega\sin\delta}{nc}z\right]. } \]

Der Abschwächungskoeffizient für die Leistung beträgt daher

\[ \alpha=\frac{\beta\omega\sin\delta}{nc}. \]

B.4

Gleichung (2) liefert eine Amplitude des elektrischen Felds, die proportional ist zu

\[ e^{-\frac12nk_0z\tan\delta}. \]

Da die Intensität proportional zum Quadrat dieser Amplitude ist, gilt

\[ I(z)=I(0)e^{-nk_0z\tan\delta}. \]

Der Vergleich mit B.3 unter Verwendung von \(k_0=\omega/c\) ergibt

\[ \frac{\beta\omega\sin\delta}{nc} =\frac{n\omega}{c}\tan\delta. \]

Somit gilt

\[ \beta\sin\delta=n^2\tan\delta. \]

Im Rahmen der geforderten Näherung \(\tan\delta\simeq\sin\delta\) folgt

\[ \boxed{\beta\simeq n^2=\varepsilon_r.} \]

Dieses Ergebnis gilt im Rahmen der in der Aufgabe vorgegebenen Näherungen für das Dielektrikum und für kleine Verluste.

B.5

Mit der angegebenen Beziehung \(\tan\delta=\varepsilon_\ell/\varepsilon_r\) lautet der Abschwächungskoeffizient für die Leistung

\[ \alpha=nk_0\tan\delta =\frac{\omega}{c} \frac{\varepsilon_\ell}{\sqrt{\varepsilon_r}}. \]

Bei einheitlicher Temperatur ist die lokal absorbierte Leistung pro Volumeneinheit proportional zur lokalen Intensität:

\[ \langle H(z)\rangle=\alpha I(z). \]

Sie weist daher dieselbe exponentielle Abhängigkeit auf,

\[ \frac{\langle H(z)\rangle}{\langle H(0)\rangle} =e^{-\alpha z}. \]

1. Halbwertstiefe der Leistung bei \(20^\circ\mathrm C\).

Die Bedingung \(e^{-\alpha z_{1/2}}=1/2\) ergibt

\[ z_{1/2}=\frac{\ln2}{\alpha} =\frac{c\sqrt{\varepsilon_r}\ln2}{\omega\varepsilon_\ell}. \]

Bei der markierten Frequenz liefern die durchgezogenen Kurven für \(20^\circ\mathrm C\) näherungsweise

\[ \varepsilon_r\simeq78,\qquad \varepsilon_\ell\simeq10. \]

Folglich gilt

\[ z_{1/2}\simeq \frac{(3.0\times10^8)\sqrt{78}\ln2} {(2\pi)(2.45\times10^9)(10)} =1.19\times10^{-2}\,\mathrm m. \]

Damit ergibt sich aus dem Diagramm eine Halbwertstiefe der Leistung von ungefähr

\[ \boxed{z_{1/2}\simeq1.2\,\mathrm{cm}.} \]

Dies ist die Halbwertstiefe der Leistung; der Exponent für die Abnahme der Feldamplitude ist um einen Faktor zwei kleiner.

2. Reines Wasser bei steigender Temperatur.

Bei fester Frequenz gilt

\[ z_{1/2}\propto\frac{\sqrt{\varepsilon_r}}{\varepsilon_\ell}. \]

Die durchgezogenen blauen Kurven zeigen eine deutliche Abnahme von \(\varepsilon_\ell\) mit der Temperatur. Die relative Abnahme von \(\sqrt{\varepsilon_r}\) ist wesentlich geringer. Daher nimmt das Verhältnis zu:

\[ \boxed{\text{Die Eindringtiefe in reinem Wasser nimmt mit der Temperatur zu.}} \]

3. Suppe bei steigender Temperatur.

Bei derselben Frequenz zeigen die gestrichelten blauen Kurven zunehmende dielektrische Verluste bei steigender Temperatur, während die gestrichelten roten Kurven eine Abnahme von \(\varepsilon_r\) zeigen. Beide Änderungen verringern \(\sqrt{\varepsilon_r}/\varepsilon_\ell\). Daher gilt

\[ \boxed{\text{Die Eindringtiefe in Suppe nimmt mit der Temperatur ab.}} \]

Die Lösung wurde mit der offiziellen Lösung abgeglichen.

Çözüm

A.1

Yarığı oluşturan, yaklaşık olarak paralel iletken yüzeylerin alanı \(hl\), aralarındaki uzaklık ise \(d\)'dir. Kenar etkileri ihmal edildiğinde sığaları

\[ C\simeq\frac{\varepsilon_0hl}{d}. \]

Şekil 1'deki boyutlar kullanılırsa,

\[ C=\frac{(8.85\times10^{-12})(17.5\times10^{-3})(6\times10^{-3})} {1\times10^{-3}} =9.29\times10^{-13}\,\mathrm F. \]

Silindirik oyuğun çevresinde dolaşan toplam akım \(I\) olsun. Bu akımın \(h\) yüksekliği boyunca düzgün dağılımı, \(I/h\) etkin yüzey akım yoğunluğunu verir. Bu yüzey akımına sahip ideal bir sonsuz solenoid, \(\mu_0I/h\) büyüklüğünde alan üretirdi. Belirtilen düzeltme uygulandığında,

\[ B\simeq0.6\frac{\mu_0 I}{h}. \]

Oyuktan geçen akı \(B\pi R^2\) ile yaklaşık olarak ifade edilirse,

\[ L=\frac{\Phi}{I} \simeq0.6\frac{\mu_0\pi R^2}{h} =6.63\times10^{-9}\,\mathrm H. \]

Böylece

\[ f_{\mathrm{est}}=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} =\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{d}{0.6\mu_0\varepsilon_0\pi R^2l}} \simeq2.03\times10^9\,\mathrm{Hz}. \]

\(C\propto h\) ve \(L\propto h^{-1}\) olduğundan yükseklik sadeleşir. Rezonatör, idealleştirilmiş toplu sığa ve indüktans elemanlarıyla temsil edildiği için bu tahmin yaklaşık bir değerdir.

A.2

Elektron, Lorentz kuvveti denklemine uyar:

\[ m\frac{\mathrm d\vec u}{\mathrm dt} =-e(\vec E+\vec u\times\vec B). \]

Verilen alanlar için bu denklemin bileşenleri

\[ \dot u_x=-\omega_cu_y,\qquad \dot u_y=\omega_c\left(u_x+\frac{E_0}{B_0}\right), \qquad \omega_c=\frac{eB_0}{m}. \]

\(v_D=E_0/B_0\) tanımını yapalım. Sabit \(-v_D\hat x\) hızı, elektriksel ve manyetik kuvvetlerin birbirini dengelemesini sağlar. Daha genel olarak,

\[ \vec u_D=\frac{\vec E\times\vec B}{B_0^2} =-v_D\hat x. \]

Bu hızla ötelenen referans sisteminde, geriye kalan hız vektörü düzgün olarak döner. \(u_y(0)=0\) için,

\[ u_x=-v_D+A\cos(\omega_ct),\qquad u_y=A\sin(\omega_ct), \]

burada \(A=u_x(0)+v_D\)'dir. Salınımlı terimlerin ortalaması sıfırdır; dolayısıyla her iki başlangıç koşulu da aynı sürüklenmeyi verir.

\(x(0)=y(0)=0\) alınarak integral alındığında

\[ x=-v_Dt+\frac{A}{\omega_c}\sin(\omega_ct), \qquad y=\frac{A}{\omega_c}[1-\cos(\omega_ct)]. \]

1. durum için \(A=4v_D\); 2. durum için \(A=-2v_D\)'dir. Buradan cevaplarda belirtilen parametrik yörüngeler elde edilir.

Hassas bir çizim için \(\ell=v_D/\omega_c\) kullanın. Aşağıdaki noktalar ilk siklotron periyodunu betimler:

İkinci periyodu elde etmek için bu eğriyi \(x\) yönünde \(-2\pi\ell\) kadar öteleyerek tekrarlayın.

1. durumda elektron başlangıçta sağa hareket eder ve yukarı doğru kıvrılır; eğrinin tamamı \(0\le y\le8\ell\) aralığında kalır. 2. durumda başlangıçta sola hareket eder ve aşağı doğru kıvrılır; eğri \(-4\ell\le y\le0\) aralığında kalır. Belirtilen zaman aralığının sonunda her ikisi de \((-4\pi\ell,0)\) noktasına ulaşır. Dolanmaları saat yönünün tersinedir ve hızları hiçbir zaman sıfır olmadığı için yörüngelerin hiçbirinde sivri dönüş noktası yoktur.

A.3

Yaklaşık olarak eylemsiz olan yerel sürüklenme referans sisteminde, elektriksel kuvvet, referans sisteminin hızına karşılık gelen manyetik kuvvet tarafından yaklaşık olarak dengelenir. Geriye kalan hareket yaklaşık olarak daireseldir:

\[ \frac{mv_\perp^2}{r}=ev_\perp B_0, \qquad r=\frac{mv_\perp}{eB_0}. \]

Kinetik enerji sınırının tamamını dolanma enerjisi için bir üst tahmin olarak kullanırsak,

\[ v_\perp\lesssim\sqrt{\frac{2K_{\max}}m}. \]

Burada

\[ K_{\max}=800(1.6\times10^{-19}) =1.28\times10^{-16}\,\mathrm J, \]

dolayısıyla

\[ v_{\max}\simeq1.68\times10^7\,\mathrm{m\,s^{-1}}, \]

ve

\[ r_{\max}\simeq \frac{\sqrt{2mK_{\max}}}{eB_0} = \frac{\sqrt{2(9.1\times10^{-31})(1.28\times10^{-16})}} {(1.6\times10^{-19})(0.3)} =3.18\times10^{-4}\,\mathrm m. \]

Böylece \(r_{\max}\simeq0.32\,\mathrm{mm}\) bulunur; bu, \(15\,\mathrm{mm}\)'lik aralıktan çok daha küçüktür. Bu sonuç, dolanmanın, merkezinin sürüklenmesine eklenen küçük bir hareket olarak ele alınmasını destekler.

A.4

\(\hat r\) radyal olarak dışarıya, \(\hat\phi\) ise saat yönünün tersine yönelsin. Manyetik alan sayfa düzleminden dışarıya yönelmişken,

\[ \vec E=E_r\hat r+E_\phi\hat\phi \]

alanı

\[ \vec u_D=\frac{\vec E\times\vec B}{B_0^2} =\frac{E_\phi}{B_0}\hat r-\frac{E_r}{B_0}\hat\phi. \]

sonucunu verir. Dolayısıyla:

• \(E_\phi>0\), anoda doğru sürüklenme oluşturur.
• \(E_\phi<0\), katoda doğru sürüklenme oluşturur.
• \(E_\phi=0\), yarıçapa dik sürüklenme oluşturur.

Statik elektrik alan radyaldir; bu nedenle yalnızca azimutal sürüklenmeye katkıda bulunur. Radyal sınıflandırma bütünüyle, çizilmiş olan alternatif alanın teğetsel bileşeni tarafından belirlenir.

Yerel teğetleri okuyuşuma göre:

Bu sınıflandırmalar radyal bileşenle ilgilidir; elektronların azimutal sürüklenmesi de vardır. Teğetler şematik bir şekilden okunduğu için bu sınıflandırmalar bir miktar okuma belirsizliği taşır.

A.5

Katot merkezinden aynı \(\rho\) uzaklığında,

\[ \dot\phi=\frac{u_\phi}{\rho} =-\frac{E_r}{B_0\rho}. \]

Statik alan radyal olarak içeriye yönelir ve bu yarıçapta altı elektronun tümüne saat yönünün tersine aynı açısal hızı kazandırır. Dolayısıyla anlık açısal ayrımlarını yalnızca alternatif alanın radyal bileşenindeki farklılıklar etkiler.

A, B ve C için Şekil 3, alternatif alanın radyal bileşeninin A'da dışarıya doğru olmaktan, B'de yaklaşık sıfır üzerinden geçerek C'de içeriye doğru olacak biçimde değiştiğini gösterir. Sonuç olarak,

\[ \dot\phi_A<\dot\phi_B<\dot\phi_C. \]

Konumları \(\phi_A>\phi_B>\phi_C\) biçiminde sıralanmıştır. Dolayısıyla arkadaki elektron öndekinden daha hızlı hareket eder ve üç açısal ayrımın tümü azalır:

\[ \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\phi_A-\phi_B)<0,\quad \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\phi_A-\phi_C)<0,\quad \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\phi_B-\phi_C)<0. \]

D, E ve F için alternatif alanın radyal bileşeni ters biçimde değişir: D'de içeriye doğru, E'de yaklaşık sıfır ve F'de dışarıya doğrudur. Bu nedenle

\[ \dot\phi_D>\dot\phi_E>\dot\phi_F. \]

\(\phi_D>\phi_E>\phi_F\) olduğundan üç açısal ayrımın tümü artar.

A.6

Komşu rezonatörlerin salınım fazları zıttır. Dolayısıyla belirli bir anda, birer atlayarak sıralanan açısal bölgeler elektronları odaklarken aradaki bölgeler onları birbirinden uzaklaştırır. Bu nedenle sekiz rezonatör dört kol oluşturur.

Çizimde, S'nin katot merkezi etrafında \(90^\circ\), \(180^\circ\) ve \(270^\circ\) döndürülmesiyle elde edilen üç ek kopyası bulunmalıdır. Bunların biçimleri aynı kıvrılma yönüne sahip olmalıdır.

Statik alan içeriye yönelir. Oluşturduğu sürüklenme

\[ (-\hat r)\times\hat z=+\hat\phi, \]

olduğundan kollar saat yönünün tersine döner.

Yarım salınım periyodu sonra rezonatörlerin kutupları tersine döner. Bir kol, bir sonraki rezonatörün konumuna, yani \(2\pi/8=\pi/4\) açısı kadar ilerlemelidir. Dolayısıyla

\[ \omega_s=\frac{\pi/4}{T/2} =\frac{\pi}{2T} =\frac{2\pi f}{4}. \]

\(f=2.45\times10^9\,\mathrm{Hz}\) kullanılarak,

\[ \boxed{\omega_s=3.85\times10^9\,\mathrm{rad\,s^{-1}}.} \]

Eşdeğer olarak, kollar saniyede \(6.125\times10^8\) tur atar.

A.7

Belirtilen yaklaşım altında, aralığın orta noktasındaki alan büyüklüğü

\[ E_{\mathrm{mid}}\simeq\frac{V_0}{b-a}. \]

Orta noktanın yarıçapı

\[ \rho_{\mathrm{mid}}=\frac{a+b}{2}. \]

Buradaki elektron sürüklenmesi, kolun teğetsel hızına sahip olmalıdır:

\[ \frac{E_{\mathrm{mid}}}{B_0} \simeq\omega_s\rho_{\mathrm{mid}}. \]

Sonuç olarak,

\[ \frac{V_0}{B_0(b-a)} \simeq\omega_s\frac{a+b}{2}, \]

buradan

\[ \boxed{ V_0\simeq\frac{B_0\omega_s}{2}(b^2-a^2) =\frac{\pi fB_0}{4}(b^2-a^2). } \]

elde edilir. Verilen \(B_0\) ve \(f\) değerleriyle bu ifade ayrıca

\[ V_0\simeq (5.77\times10^8\,\mathrm{V\,m^{-2}})(b^2-a^2), \]

şeklinde yazılabilir; burada \(a\) ve \(b\) metre cinsinden ölçülür.

B.1

İki yüke etki eden kuvvetler bir kuvvet çifti oluşturur. Tork

\[ \vec\tau=\vec p\times\vec E. \]

Böylece, \(\theta\) dipol ile anlık alan arasındaki açı olarak tanımlandığında,

\[ \boxed{\tau=p_0|E|\sin\theta.} \]

Tork bu açıyı azaltma eğilimindedir. Bu nedenle \(\theta\)'ya eşlenik işaretli bileşeni \(-p_0|E|\sin\theta\)'dır ve mekanik güç

\[ \boxed{H_i=-p_0|E|\sin\theta\,\dot\theta.} \]

olarak elde edilir. Özellikle, alanla hizalanmakta olan bir dipol için \(\dot\theta<0\)'dır; dolayısıyla alan pozitif güç aktarır.

Bu sonuç, açıya ilişkin bir uzlaşım seçilmeden de türetilebilir. Yüklerin konumları \(\vec r_+\) ve \(\vec r_-\) ise,

\[ H_i=q\vec E\cdot\dot{\vec r}_+ -q\vec E\cdot\dot{\vec r}_- =\vec E\cdot\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \big[q(\vec r_+-\vec r_-)\big]. \]

Dolayısıyla

\[ \boxed{H_i=\vec E\cdot\dot{\vec p}.} \]

Bunun yerine \(\theta\) sabit pozitif \(x\) ekseninden ölçülür ve \(E(t)\) işaretli bir bileşen olarak alınırsa, bu ifade

\[ H_i=E(t)\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(p_0\cos\theta) =-p_0E(t)\sin\theta\,\dot\theta. \]

hâline gelir. Dipole aktarılan mekanik güçte \(\dot E\) terimi yoktur.

B.2

Tek dipole aktarılan gücü birim hacim üzerinden toplamak

\[ H(t)=\vec E(t)\cdot\frac{\mathrm d\vec P}{\mathrm dt}. \]

sonucunu verir. Verilen kutuplanmanın türevi

\[ \frac{\mathrm d\vec P}{\mathrm dt} =\beta\varepsilon_0E_0\omega \cos(\omega t-\delta)\hat x. \]

Dolayısıyla

\[ H(t)=\beta\varepsilon_0\omega E_0^2 \sin(\omega t)\cos(\omega t-\delta). \]

Şu özdeşliği

\[ \cos(\omega t-\delta) =\cos(\omega t)\cos\delta+\sin(\omega t)\sin\delta, \]

ve periyot ortalamalarını

\[ \langle\sin(\omega t)\cos(\omega t)\rangle=0, \qquad \langle\sin^2(\omega t)\rangle=\frac12, \]

kullanarak

\[ \boxed{\langle H\rangle =\frac12\beta\varepsilon_0\omega E_0^2\sin\delta.} \]

elde ederiz. Pozitif bir faz gecikmesi için soğurulan ortalama güç pozitiftir.

B.3

Yerel elektrik alan genliğini \(\mathcal E(z)\) ile gösterelim. Ortalama elektriksel enerji yoğunluğu

\[ \langle u_E\rangle =\frac12\varepsilon_r\varepsilon_0\langle E^2\rangle =\frac14\varepsilon_r\varepsilon_0\mathcal E^2. \]

Ortalama manyetik enerji yoğunluğu buna eşittir; dolayısıyla

\[ \langle u\rangle =\frac12\varepsilon_r\varepsilon_0\mathcal E^2. \]

Sorudaki dielektrik dalga modelinde yayılma hızı \(c/n\) kullanılarak,

\[ I(z)=\frac cn\langle u\rangle =\frac12nc\varepsilon_0\mathcal E^2(z), \]

burada \(n^2=\varepsilon_r\)'dir.

Kalınlığı \(\mathrm dz\) olan ince bir tabaka için enerjinin korunumu

\[ -\frac{\mathrm dI}{\mathrm dz}=\langle H\rangle. \]

sonucunu verir. B.2'nin sonucu yerine konulup \(\mathcal E^2\) elenirse,

\[ -\frac{\mathrm dI}{\mathrm dz} =\frac12\beta\varepsilon_0\omega\mathcal E^2\sin\delta =\frac{\beta\omega\sin\delta}{nc}I. \]

Sabit sıcaklıktaki homojen bir ortam için katsayı sabittir. İntegral alınarak

\[ \boxed{ I(z)=I(0)\exp\!\left[-\frac{\beta\omega\sin\delta}{nc}z\right]. } \]

elde edilir. Dolayısıyla güç için zayıflama katsayısı

\[ \alpha=\frac{\beta\omega\sin\delta}{nc}. \]

B.4

Denklem (2), elektrik alan genliğinin

\[ e^{-\frac12nk_0z\tan\delta}. \]

ile orantılı olduğunu verir. Şiddet bu genliğin karesiyle orantılı olduğundan,

\[ I(z)=I(0)e^{-nk_0z\tan\delta}. \]

\(k_0=\omega/c\) kullanılarak B.3 ile karşılaştırıldığında,

\[ \frac{\beta\omega\sin\delta}{nc} =\frac{n\omega}{c}\tan\delta. \]

Böylece

\[ \beta\sin\delta=n^2\tan\delta. \]

İstenen \(\tan\delta\simeq\sin\delta\) yaklaşımı altında,

\[ \boxed{\beta\simeq n^2=\varepsilon_r.} \]

Bu sonuç, soruda belirtilen dielektrik ve küçük kayıp yaklaşımları çerçevesinde elde edilir.

B.5

Verilen \(\tan\delta=\varepsilon_\ell/\varepsilon_r\) bağıntısı kullanıldığında, güç zayıflama katsayısı

\[ \alpha=nk_0\tan\delta =\frac{\omega}{c} \frac{\varepsilon_\ell}{\sqrt{\varepsilon_r}}. \]

Sıcaklık her yerde aynı olduğunda, birim hacim başına yerel soğurulan güç, yerel şiddetle orantılıdır:

\[ \langle H(z)\rangle=\alpha I(z). \]

Dolayısıyla aynı üstel bağımlılığa sahiptir:

\[ \frac{\langle H(z)\rangle}{\langle H(0)\rangle} =e^{-\alpha z}. \]

1. \(20^\circ\mathrm C\)'de yarı güç derinliği.

\(e^{-\alpha z_{1/2}}=1/2\) koşulu

\[ z_{1/2}=\frac{\ln2}{\alpha} =\frac{c\sqrt{\varepsilon_r}\ln2}{\omega\varepsilon_\ell}. \]

sonucunu verir. İşaretlenen frekansta, \(20^\circ\mathrm C\) için sürekli eğriler yaklaşık olarak

\[ \varepsilon_r\simeq78,\qquad \varepsilon_\ell\simeq10. \]

değerlerini verir. Sonuç olarak,

\[ z_{1/2}\simeq \frac{(3.0\times10^8)\sqrt{78}\ln2} {(2\pi)(2.45\times10^9)(10)} =1.19\times10^{-2}\,\mathrm m. \]

Böylece grafik, yaklaşık olarak şu yarı güç derinliğini destekler:

\[ \boxed{z_{1/2}\simeq1.2\,\mathrm{cm}.} \]

Bu, yarı güç derinliğidir; alan genliğinin azalmasındaki üs bunun yarısı kadardır.

2. Sıcaklık artarken saf su.

Sabit frekansta,

\[ z_{1/2}\propto\frac{\sqrt{\varepsilon_r}}{\varepsilon_\ell}. \]

Sürekli mavi eğriler, \(\varepsilon_\ell\)'nin sıcaklıkla önemli ölçüde azaldığını gösterir. \(\sqrt{\varepsilon_r}\)'deki azalma oransal olarak çok daha küçüktür. Dolayısıyla oran artar:

\[ \boxed{\text{Saf suda nüfuz etme derinliği sıcaklıkla artar.}} \]

3. Sıcaklık artarken çorba.

Aynı frekansta, kesikli mavi eğriler sıcaklık arttıkça dielektrik kaybının arttığını, kesikli kırmızı eğriler ise \(\varepsilon_r\)'nin azaldığını gösterir. Her iki değişim de \(\sqrt{\varepsilon_r}/\varepsilon_\ell\) oranını azaltır. Dolayısıyla

\[ \boxed{\text{Çorbada nüfuz etme derinliği sıcaklıkla azalır.}} \]

Çözüm, resmi çözümle karşılaştırılarak kontrol edildi.

Solución

A.1

Las caras conductoras aproximadamente paralelas que forman la ranura tienen un área \(hl\) y una separación \(d\). Despreciando los efectos de borde, su capacitancia es

\[ C\simeq\frac{\varepsilon_0hl}{d}. \]

Utilizando las dimensiones de la Figura 1,

\[ C=\frac{(8.85\times10^{-12})(17.5\times10^{-3})(6\times10^{-3})} {1\times10^{-3}} =9.29\times10^{-13}\,\mathrm F. \]

Sea \(I\) la corriente total que circula alrededor de la cavidad cilíndrica. Su distribución uniforme a lo largo de la altura \(h\) da una densidad superficial de corriente efectiva \(I/h\). Un solenoide ideal infinito con esta corriente superficial produciría \(\mu_0I/h\). Aplicando la corrección especificada,

\[ B\simeq0.6\frac{\mu_0 I}{h}. \]

Aproximando el flujo a través de la cavidad por \(B\pi R^2\),

\[ L=\frac{\Phi}{I} \simeq0.6\frac{\mu_0\pi R^2}{h} =6.63\times10^{-9}\,\mathrm H. \]

Por tanto,

\[ f_{\mathrm{est}}=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} =\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{d}{0.6\mu_0\varepsilon_0\pi R^2l}} \simeq2.03\times10^9\,\mathrm{Hz}. \]

La altura se cancela porque \(C\propto h\) y \(L\propto h^{-1}\). La estimación es aproximada porque el resonador se representa mediante una capacitancia y una inductancia concentradas e idealizadas.

A.2

El electrón obedece la ecuación de la fuerza de Lorentz,

\[ m\frac{\mathrm d\vec u}{\mathrm dt} =-e(\vec E+\vec u\times\vec B). \]

Para los campos indicados, sus componentes son

\[ \dot u_x=-\omega_cu_y,\qquad \dot u_y=\omega_c\left(u_x+\frac{E_0}{B_0}\right), \qquad \omega_c=\frac{eB_0}{m}. \]

Definamos \(v_D=E_0/B_0\). Una velocidad constante \(-v_D\hat x\) hace que las fuerzas eléctrica y magnética se cancelen. De forma más general,

\[ \vec u_D=\frac{\vec E\times\vec B}{B_0^2} =-v_D\hat x. \]

En el sistema de referencia que se traslada con esta velocidad, la velocidad restante gira uniformemente. Para \(u_y(0)=0\),

\[ u_x=-v_D+A\cos(\omega_ct),\qquad u_y=A\sin(\omega_ct), \]

donde \(A=u_x(0)+v_D\). Los términos oscilatorios tienen promedio nulo, por lo que ambas condiciones iniciales dan la misma deriva.

Tomando \(x(0)=y(0)=0\), la integración da

\[ x=-v_Dt+\frac{A}{\omega_c}\sin(\omega_ct), \qquad y=\frac{A}{\omega_c}[1-\cos(\omega_ct)]. \]

Para el caso 1, \(A=4v_D\); para el caso 2, \(A=-2v_D\). Esto da las trayectorias paramétricas indicadas en las respuestas.

Para un dibujo preciso, utilice \(\ell=v_D/\omega_c\). Los siguientes puntos describen el primer período ciclotrónico:

Repita esta curva trasladada \(-2\pi\ell\) en \(x\) para obtener el segundo período.

En el caso 1, el electrón se mueve inicialmente hacia la derecha y se curva hacia arriba; toda la curva se encuentra en \(0\le y\le8\ell\). En el caso 2, se mueve inicialmente hacia la izquierda y se curva hacia abajo; la curva se encuentra en \(-4\ell\le y\le0\). Ambos terminan en \((-4\pi\ell,0)\) tras el intervalo especificado. Su movimiento de giro es antihorario, y ninguna de las trayectorias tiene cúspides porque su velocidad nunca se anula.

A.3

En el sistema de referencia local de deriva, aproximadamente inercial, la fuerza eléctrica queda aproximadamente cancelada por la fuerza magnética asociada a la velocidad del sistema de referencia. El movimiento restante es aproximadamente circular:

\[ \frac{mv_\perp^2}{r}=ev_\perp B_0, \qquad r=\frac{mv_\perp}{eB_0}. \]

Utilizando la cota total de energía cinética como estimación superior de la energía de giro,

\[ v_\perp\lesssim\sqrt{\frac{2K_{\max}}m}. \]

Aquí,

\[ K_{\max}=800(1.6\times10^{-19}) =1.28\times10^{-16}\,\mathrm J, \]

por lo que

\[ v_{\max}\simeq1.68\times10^7\,\mathrm{m\,s^{-1}}, \]

y

\[ r_{\max}\simeq \frac{\sqrt{2mK_{\max}}}{eB_0} = \frac{\sqrt{2(9.1\times10^{-31})(1.28\times10^{-16})}} {(1.6\times10^{-19})(0.3)} =3.18\times10^{-4}\,\mathrm m. \]

Por tanto, \(r_{\max}\simeq0.32\,\mathrm{mm}\), mucho menor que la separación de \(15\,\mathrm{mm}\). Esto justifica tratar el giro como un pequeño movimiento superpuesto a la deriva de su centro.

A.4

Sea \(\hat r\) el vector unitario radial hacia fuera y \(\hat\phi\) el vector unitario azimutal en sentido antihorario. Con el campo magnético dirigido hacia fuera de la página,

\[ \vec E=E_r\hat r+E_\phi\hat\phi \]

da

\[ \vec u_D=\frac{\vec E\times\vec B}{B_0^2} =\frac{E_\phi}{B_0}\hat r-\frac{E_r}{B_0}\hat\phi. \]

Por tanto:

• \(E_\phi>0\) produce una deriva hacia el ánodo.
• \(E_\phi<0\) produce una deriva hacia el cátodo.
• \(E_\phi=0\) produce una deriva perpendicular al radio.

El campo eléctrico estático es radial, por lo que solo contribuye a la deriva azimutal. La clasificación radial queda determinada por completo por la componente tangencial del campo alterno representado.

Mi interpretación de las tangentes locales da:

Estas clasificaciones se refieren a la componente radial; los electrones también tienen deriva azimutal. Las tangentes se leen en un esquema, por lo que estas clasificaciones conllevan cierta incertidumbre de lectura.

A.5

A una distancia común \(\rho\) del centro del cátodo,

\[ \dot\phi=\frac{u_\phi}{\rho} =-\frac{E_r}{B_0\rho}. \]

El campo estático es radial hacia dentro y proporciona a los seis electrones la misma velocidad angular antihoraria a ese radio. Por tanto, solo las diferencias en la componente radial del campo alterno afectan a sus separaciones angulares instantáneas.

Para A, B y C, la Figura 3 muestra que la componente radial del campo alterno cambia de dirigida hacia fuera en A, pasando por aproximadamente cero en B, a dirigida hacia dentro en C. En consecuencia,

\[ \dot\phi_A<\dot\phi_B<\dot\phi_C. \]

Sus posiciones están ordenadas como \(\phi_A>\phi_B>\phi_C\). Por tanto, el electrón que va detrás se mueve más deprisa que el que va delante, de modo que las tres separaciones disminuyen:

\[ \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\phi_A-\phi_B)<0,\quad \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\phi_A-\phi_C)<0,\quad \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\phi_B-\phi_C)<0. \]

Para D, E y F, la componente radial del campo alterno cambia de manera opuesta: hacia dentro en D, aproximadamente cero en E y hacia fuera en F. Así,

\[ \dot\phi_D>\dot\phi_E>\dot\phi_F. \]

Como \(\phi_D>\phi_E>\phi_F\), las tres separaciones aumentan.

A.6

Los resonadores adyacentes tienen fases de oscilación opuestas. Por tanto, en un instante dado, regiones angulares alternas concentran los electrones, mientras que las regiones intermedias los dispersan. Así, ocho resonadores producen cuatro haces radiales.

El dibujo debe contener tres copias adicionales de S, obtenidas mediante rotaciones de \(90^\circ\), \(180^\circ\) y \(270^\circ\) alrededor del centro del cátodo. Sus formas deben tener el mismo sentido de curvatura.

El campo estático apunta hacia dentro. Su deriva es

\[ (-\hat r)\times\hat z=+\hat\phi, \]

por lo que los haces giran en sentido antihorario.

Tras medio período de oscilación, las polaridades de los resonadores se invierten. Un haz debe avanzar hasta la posición del siguiente resonador, un ángulo \(2\pi/8=\pi/4\). Por tanto,

\[ \omega_s=\frac{\pi/4}{T/2} =\frac{\pi}{2T} =\frac{2\pi f}{4}. \]

Utilizando \(f=2.45\times10^9\,\mathrm{Hz}\),

\[ \boxed{\omega_s=3.85\times10^9\,\mathrm{rad\,s^{-1}}.} \]

Equivalentemente, los haces realizan \(6.125\times10^8\) revoluciones por segundo.

A.7

Bajo la aproximación indicada, la magnitud del campo en el punto medio del espacio entre los electrodos es

\[ E_{\mathrm{mid}}\simeq\frac{V_0}{b-a}. \]

El radio del punto medio es

\[ \rho_{\mathrm{mid}}=\frac{a+b}{2}. \]

La deriva de los electrones allí debe tener la rapidez tangencial del haz:

\[ \frac{E_{\mathrm{mid}}}{B_0} \simeq\omega_s\rho_{\mathrm{mid}}. \]

En consecuencia,

\[ \frac{V_0}{B_0(b-a)} \simeq\omega_s\frac{a+b}{2}, \]

lo que da

\[ \boxed{ V_0\simeq\frac{B_0\omega_s}{2}(b^2-a^2) =\frac{\pi fB_0}{4}(b^2-a^2). } \]

Con los valores dados de \(B_0\) y \(f\), esto también puede escribirse como

\[ V_0\simeq (5.77\times10^8\,\mathrm{V\,m^{-2}})(b^2-a^2), \]

con \(a\) y \(b\) medidos en metros.

B.1

Las fuerzas sobre las dos cargas forman un par. El momento de fuerzas es

\[ \vec\tau=\vec p\times\vec E. \]

Así, si \(\theta\) se define como el ángulo entre el dipolo y el campo instantáneo,

\[ \boxed{\tau=p_0|E|\sin\theta.} \]

El momento de fuerzas tiende a reducir este ángulo. Su componente con signo conjugada a \(\theta\) es, por tanto, \(-p_0|E|\sin\theta\), lo que da la potencia mecánica

\[ \boxed{H_i=-p_0|E|\sin\theta\,\dot\theta.} \]

En particular, un dipolo que se está alineando tiene \(\dot\theta<0\), por lo que el campo entrega una potencia positiva.

El resultado puede deducirse sin adoptar una convención angular. Si \(\vec r_+\) y \(\vec r_-\) son las posiciones de las cargas,

\[ H_i=q\vec E\cdot\dot{\vec r}_+ -q\vec E\cdot\dot{\vec r}_- =\vec E\cdot\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \big[q(\vec r_+-\vec r_-)\big]. \]

Por tanto,

\[ \boxed{H_i=\vec E\cdot\dot{\vec p}.} \]

Si, en cambio, \(\theta\) se mide desde el semieje positivo fijo \(x\) y \(E(t)\) es una componente con signo, esto se convierte en

\[ H_i=E(t)\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(p_0\cos\theta) =-p_0E(t)\sin\theta\,\dot\theta. \]

No hay ningún término \(\dot E\) en la potencia mecánica entregada al dipolo.

B.2

Sumando la potencia de cada dipolo en una unidad de volumen se obtiene

\[ H(t)=\vec E(t)\cdot\frac{\mathrm d\vec P}{\mathrm dt}. \]

La polarización dada tiene como derivada

\[ \frac{\mathrm d\vec P}{\mathrm dt} =\beta\varepsilon_0E_0\omega \cos(\omega t-\delta)\hat x. \]

Por tanto,

\[ H(t)=\beta\varepsilon_0\omega E_0^2 \sin(\omega t)\cos(\omega t-\delta). \]

Utilizando

\[ \cos(\omega t-\delta) =\cos(\omega t)\cos\delta+\sin(\omega t)\sin\delta, \]

y los promedios a lo largo de un período

\[ \langle\sin(\omega t)\cos(\omega t)\rangle=0, \qquad \langle\sin^2(\omega t)\rangle=\frac12, \]

obtenemos

\[ \boxed{\langle H\rangle =\frac12\beta\varepsilon_0\omega E_0^2\sin\delta.} \]

Para un retraso de fase positivo, la potencia media absorbida es positiva.

B.3

Sea \(\mathcal E(z)\) la amplitud local del campo eléctrico. La densidad media de energía eléctrica es

\[ \langle u_E\rangle =\frac12\varepsilon_r\varepsilon_0\langle E^2\rangle =\frac14\varepsilon_r\varepsilon_0\mathcal E^2. \]

La densidad media de energía magnética es igual a esta, por lo que

\[ \langle u\rangle =\frac12\varepsilon_r\varepsilon_0\mathcal E^2. \]

Utilizando la velocidad de propagación \(c/n\) en el modelo de ondas en un dieléctrico del problema,

\[ I(z)=\frac cn\langle u\rangle =\frac12nc\varepsilon_0\mathcal E^2(z), \]

donde \(n^2=\varepsilon_r\).

La conservación de la energía para una capa delgada de espesor \(\mathrm dz\) da

\[ -\frac{\mathrm dI}{\mathrm dz}=\langle H\rangle. \]

Sustituyendo el resultado de B.2 y eliminando \(\mathcal E^2\),

\[ -\frac{\mathrm dI}{\mathrm dz} =\frac12\beta\varepsilon_0\omega\mathcal E^2\sin\delta =\frac{\beta\omega\sin\delta}{nc}I. \]

Para un medio homogéneo a temperatura fija, el coeficiente es constante. La integración da

\[ \boxed{ I(z)=I(0)\exp\!\left[-\frac{\beta\omega\sin\delta}{nc}z\right]. } \]

El coeficiente de atenuación de la potencia es, por tanto,

\[ \alpha=\frac{\beta\omega\sin\delta}{nc}. \]

B.4

La ecuación (2) da una amplitud del campo eléctrico proporcional a

\[ e^{-\frac12nk_0z\tan\delta}. \]

Como la intensidad es proporcional al cuadrado de esta amplitud,

\[ I(z)=I(0)e^{-nk_0z\tan\delta}. \]

La comparación con B.3, utilizando \(k_0=\omega/c\), da

\[ \frac{\beta\omega\sin\delta}{nc} =\frac{n\omega}{c}\tan\delta. \]

Así,

\[ \beta\sin\delta=n^2\tan\delta. \]

Dentro de la aproximación solicitada \(\tan\delta\simeq\sin\delta\),

\[ \boxed{\beta\simeq n^2=\varepsilon_r.} \]

Este resultado se obtiene dentro de las aproximaciones de dieléctrico y de pérdidas pequeñas especificadas en el problema.

B.5

Utilizando la relación proporcionada \(\tan\delta=\varepsilon_\ell/\varepsilon_r\), el coeficiente de atenuación de la potencia es

\[ \alpha=nk_0\tan\delta =\frac{\omega}{c} \frac{\varepsilon_\ell}{\sqrt{\varepsilon_r}}. \]

A temperatura uniforme, la potencia local absorbida por unidad de volumen es proporcional a la intensidad local:

\[ \langle H(z)\rangle=\alpha I(z). \]

Por tanto, tiene la misma dependencia exponencial,

\[ \frac{\langle H(z)\rangle}{\langle H(0)\rangle} =e^{-\alpha z}. \]

1. Profundidad de reducción de la potencia a la mitad a \(20^\circ\mathrm C\).

La condición \(e^{-\alpha z_{1/2}}=1/2\) da

\[ z_{1/2}=\frac{\ln2}{\alpha} =\frac{c\sqrt{\varepsilon_r}\ln2}{\omega\varepsilon_\ell}. \]

A la frecuencia señalada, las curvas continuas para \(20^\circ\mathrm C\) dan aproximadamente

\[ \varepsilon_r\simeq78,\qquad \varepsilon_\ell\simeq10. \]

En consecuencia,

\[ z_{1/2}\simeq \frac{(3.0\times10^8)\sqrt{78}\ln2} {(2\pi)(2.45\times10^9)(10)} =1.19\times10^{-2}\,\mathrm m. \]

Por tanto, la gráfica indica una profundidad de reducción de la potencia a la mitad de aproximadamente

\[ \boxed{z_{1/2}\simeq1.2\,\mathrm{cm}.} \]

Esta es la profundidad de reducción de la potencia a la mitad; el decaimiento de la amplitud del campo tiene un exponente menor en un factor de dos.

2. Agua pura al aumentar la temperatura.

A frecuencia fija,

\[ z_{1/2}\propto\frac{\sqrt{\varepsilon_r}}{\varepsilon_\ell}. \]

Las curvas azules continuas muestran una disminución considerable de \(\varepsilon_\ell\) con la temperatura. La disminución de \(\sqrt{\varepsilon_r}\) es mucho menor en términos relativos. Por tanto, el cociente aumenta:

\[ \boxed{\text{La profundidad de penetración en el agua pura aumenta con la temperatura.}} \]

3. Sopa al aumentar la temperatura.

A la misma frecuencia, las curvas azules discontinuas muestran que las pérdidas dieléctricas aumentan al aumentar la temperatura, mientras que las curvas rojas discontinuas muestran una disminución de \(\varepsilon_r\). Ambos cambios reducen \(\sqrt{\varepsilon_r}/\varepsilon_\ell\). Por tanto,

\[ \boxed{\text{La profundidad de penetración en la sopa disminuye con la temperatura.}} \]

La solución se comprobó con la solución oficial.

解答

A.1

构成狭缝的两个近似平行导电面的面积为 \(hl\)，间距为 \(d\)。忽略边缘效应，其电容为

\[ C\simeq\frac{\varepsilon_0hl}{d}. \]

使用图 1 中的尺寸，

\[ C=\frac{(8.85\times10^{-12})(17.5\times10^{-3})(6\times10^{-3})} {1\times10^{-3}} =9.29\times10^{-13}\,\mathrm F. \]

设 \(I\) 为绕圆柱形空腔流动的总电流。电流沿高度 \(h\) 均匀分布，因此等效面电流密度为 \(I/h\)。具有这一面电流的理想无限长螺线管会产生 \(\mu_0I/h\) 的磁场。应用题目指定的修正，

\[ B\simeq0.6\frac{\mu_0 I}{h}. \]

将穿过空腔的磁通量近似为 \(B\pi R^2\)，则

\[ L=\frac{\Phi}{I} \simeq0.6\frac{\mu_0\pi R^2}{h} =6.63\times10^{-9}\,\mathrm H. \]

因此

\[ f_{\mathrm{est}}=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} =\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{d}{0.6\mu_0\varepsilon_0\pi R^2l}} \simeq2.03\times10^9\,\mathrm{Hz}. \]

由于 \(C\propto h\) 且 \(L\propto h^{-1}\)，高度被约去。这个估算是近似的，因为我们用理想化的集总电容和电感来表示谐振腔。

A.2

电子遵循洛伦兹力方程，

\[ m\frac{\mathrm d\vec u}{\mathrm dt} =-e(\vec E+\vec u\times\vec B). \]

对于题目给定的场，其分量形式为

\[ \dot u_x=-\omega_cu_y,\qquad \dot u_y=\omega_c\left(u_x+\frac{E_0}{B_0}\right), \qquad \omega_c=\frac{eB_0}{m}. \]

定义 \(v_D=E_0/B_0\)。恒定速度 \(-v_D\hat x\) 使电场力与磁场力相互抵消。更一般地，

\[ \vec u_D=\frac{\vec E\times\vec B}{B_0^2} =-v_D\hat x. \]

在以此速度平移的参考系中，剩余的速度矢量匀速转动。对于 \(u_y(0)=0\)，

\[ u_x=-v_D+A\cos(\omega_ct),\qquad u_y=A\sin(\omega_ct), \]

其中 \(A=u_x(0)+v_D\)。振荡项的平均值为零，因此两种初始条件给出相同的漂移速度。

取 \(x(0)=y(0)=0\)，积分得到

\[ x=-v_Dt+\frac{A}{\omega_c}\sin(\omega_ct), \qquad y=\frac{A}{\omega_c}[1-\cos(\omega_ct)]. \]

对于情况 1，\(A=4v_D\)；对于情况 2，\(A=-2v_D\)。由此得到答案中给出的轨迹参数方程。

为了准确作图，使用 \(\ell=v_D/\omega_c\)。下列各点描述了第一个回旋周期：

将这条曲线沿 \(x\) 方向平移 \(-2\pi\ell\) 后重复，即得到第二个周期的轨迹。

在情况 1 中，电子最初向右运动并向上弯曲；整条曲线位于 \(0\le y\le8\ell\) 内。在情况 2 中，电子最初向左运动并向下弯曲；曲线位于 \(-4\ell\le y\le0\) 内。在指定时间间隔结束后，两者都到达 \((-4\pi\ell,0)\)。它们的回旋方向均为逆时针，且由于速度始终不为零，两条轨迹都没有尖点。

A.3

在近似惯性的局部漂移参考系中，电场力近似被与参考系速度相对应的磁场力抵消。剩余运动近似为圆周运动：

\[ \frac{mv_\perp^2}{r}=ev_\perp B_0, \qquad r=\frac{mv_\perp}{eB_0}. \]

将全部动能的上限用作回旋运动能量的上限估计，

\[ v_\perp\lesssim\sqrt{\frac{2K_{\max}}m}. \]

这里

\[ K_{\max}=800(1.6\times10^{-19}) =1.28\times10^{-16}\,\mathrm J, \]

因此

\[ v_{\max}\simeq1.68\times10^7\,\mathrm{m\,s^{-1}}, \]

并且

\[ r_{\max}\simeq \frac{\sqrt{2mK_{\max}}}{eB_0} = \frac{\sqrt{2(9.1\times10^{-31})(1.28\times10^{-16})}} {(1.6\times10^{-19})(0.3)} =3.18\times10^{-4}\,\mathrm m. \]

所以 \(r_{\max}\simeq0.32\,\mathrm{mm}\)，远小于 \(15\,\mathrm{mm}\) 的间隙。这支持将回旋视为叠加在其中心漂移之上的小尺度运动。

A.4

令 \(\hat r\) 沿径向向外，\(\hat\phi\) 沿逆时针方向。当磁场垂直纸面向外时，

\[ \vec E=E_r\hat r+E_\phi\hat\phi \]

给出

\[ \vec u_D=\frac{\vec E\times\vec B}{B_0^2} =\frac{E_\phi}{B_0}\hat r-\frac{E_r}{B_0}\hat\phi. \]

因此：

• \(E_\phi>0\) 产生朝向阳极的漂移。
• \(E_\phi<0\) 产生朝向阴极的漂移。
• \(E_\phi=0\) 产生垂直于半径的漂移。

静电场沿径向，因此仅对方位角方向的漂移有贡献。径向漂移的分类完全由图示交变电场的切向分量决定。

我对局部切线方向的判读结果如下：

这些分类针对的是径向分量；电子也有方位角方向的漂移。切线方向是从示意图中读取的，因此这些分类存在一定的判读不确定性。

A.5

在距阴极中心相同的距离 \(\rho\) 处，

\[ \dot\phi=\frac{u_\phi}{\rho} =-\frac{E_r}{B_0\rho}. \]

静电场沿径向向内，使六个电子在该半径处具有相同的逆时针角速度。因此，只有交变电场径向分量的差异才会影响它们的瞬时角间距。

对于 A、B 和 C，图 3 显示交变电场的径向分量从 A 处向外，经 B 处近似为零，变为 C 处向内。因此，

\[ \dot\phi_A<\dot\phi_B<\dot\phi_C. \]

它们的位置满足 \(\phi_A>\phi_B>\phi_C\)。因此，后方电子比前方电子运动得更快，三个角间距都减小：

\[ \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\phi_A-\phi_B)<0,\quad \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\phi_A-\phi_C)<0,\quad \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\phi_B-\phi_C)<0. \]

对于 D、E 和 F，交变电场径向分量的变化方式相反：D 处向内，E 处近似为零，F 处向外。因此

\[ \dot\phi_D>\dot\phi_E>\dot\phi_F. \]

由于 \(\phi_D>\phi_E>\phi_F\)，三个角间距都增大。

A.6

相邻谐振腔的振荡相位相反。因此，在给定时刻，相隔的角向区域使电子聚焦，而其间的区域使电子分散。所以八个谐振腔产生四条辐条。

图中应补画三条与 S 相同的辐条，它们由 S 绕阴极中心分别旋转 \(90^\circ\)、\(180^\circ\) 和 \(270^\circ\) 得到。它们的形状应具有相同的弯曲方向。

静电场指向内侧。它产生的漂移方向为

\[ (-\hat r)\times\hat z=+\hat\phi, \]

因此辐条沿逆时针方向旋转。

经过半个振荡周期后，谐振腔的极性反转。一条辐条必须前进至下一个谐振腔的位置，即转过角度 \(2\pi/8=\pi/4\)。因此

\[ \omega_s=\frac{\pi/4}{T/2} =\frac{\pi}{2T} =\frac{2\pi f}{4}. \]

使用 \(f=2.45\times10^9\,\mathrm{Hz}\)，

\[ \boxed{\omega_s=3.85\times10^9\,\mathrm{rad\,s^{-1}}.} \]

等价地，辐条每秒旋转 \(6.125\times10^8\) 圈。

A.7

在题目指定的近似下，间隙中点处的电场大小为

\[ E_{\mathrm{mid}}\simeq\frac{V_0}{b-a}. \]

中点处的半径为

\[ \rho_{\mathrm{mid}}=\frac{a+b}{2}. \]

该处电子的漂移速度必须等于辐条的切向速度：

\[ \frac{E_{\mathrm{mid}}}{B_0} \simeq\omega_s\rho_{\mathrm{mid}}. \]

因此，

\[ \frac{V_0}{B_0(b-a)} \simeq\omega_s\frac{a+b}{2}, \]

由此得到

\[ \boxed{ V_0\simeq\frac{B_0\omega_s}{2}(b^2-a^2) =\frac{\pi fB_0}{4}(b^2-a^2). } \]

代入给定的 \(B_0\) 和 \(f\)，也可写为

\[ V_0\simeq (5.77\times10^8\,\mathrm{V\,m^{-2}})(b^2-a^2), \]

其中 \(a\) 和 \(b\) 以米为单位。

B.1

两个电荷所受的力构成力偶。力矩为

\[ \vec\tau=\vec p\times\vec E. \]

因此，将 \(\theta\) 定义为偶极矩与瞬时电场之间的夹角时，

\[ \boxed{\tau=p_0|E|\sin\theta.} \]

力矩使该夹角趋于减小。因此，与 \(\theta\) 共轭的带符号力矩分量为 \(-p_0|E|\sin\theta\)，从而得到机械功率

\[ \boxed{H_i=-p_0|E|\sin\theta\,\dot\theta.} \]

特别地，趋向与电场对齐的偶极子满足 \(\dot\theta<0\)，因此电场传递的功率为正。

无需约定角度的定义也能推导出这一结果。若 \(\vec r_+\) 和 \(\vec r_-\) 为两个电荷的位置，则

\[ H_i=q\vec E\cdot\dot{\vec r}_+ -q\vec E\cdot\dot{\vec r}_- =\vec E\cdot\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \big[q(\vec r_+-\vec r_-)\big]. \]

因此

\[ \boxed{H_i=\vec E\cdot\dot{\vec p}.} \]

如果改为从固定的 \(x\) 轴正方向量取 \(\theta\)，并令 \(E(t)\) 表示带符号的分量，则上式变为

\[ H_i=E(t)\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(p_0\cos\theta) =-p_0E(t)\sin\theta\,\dot\theta. \]

传递给偶极子的机械功率中没有 \(\dot E\) 项。

B.2

将单位体积内各个偶极子的功率相加，得到

\[ H(t)=\vec E(t)\cdot\frac{\mathrm d\vec P}{\mathrm dt}. \]

给定极化强度的导数为

\[ \frac{\mathrm d\vec P}{\mathrm dt} =\beta\varepsilon_0E_0\omega \cos(\omega t-\delta)\hat x. \]

因此

\[ H(t)=\beta\varepsilon_0\omega E_0^2 \sin(\omega t)\cos(\omega t-\delta). \]

利用

\[ \cos(\omega t-\delta) =\cos(\omega t)\cos\delta+\sin(\omega t)\sin\delta, \]

以及周期平均值

\[ \langle\sin(\omega t)\cos(\omega t)\rangle=0, \qquad \langle\sin^2(\omega t)\rangle=\frac12, \]

得到

\[ \boxed{\langle H\rangle =\frac12\beta\varepsilon_0\omega E_0^2\sin\delta.} \]

当相位滞后为正时，平均吸收功率为正。

B.3

用 \(\mathcal E(z)\) 表示局部电场振幅。平均电场能量密度为

\[ \langle u_E\rangle =\frac12\varepsilon_r\varepsilon_0\langle E^2\rangle =\frac14\varepsilon_r\varepsilon_0\mathcal E^2. \]

平均磁场能量密度与其相等，因此

\[ \langle u\rangle =\frac12\varepsilon_r\varepsilon_0\mathcal E^2. \]

采用题目中电介质波动模型的传播速度 \(c/n\)，

\[ I(z)=\frac cn\langle u\rangle =\frac12nc\varepsilon_0\mathcal E^2(z), \]

其中 \(n^2=\varepsilon_r\)。

对厚度为 \(\mathrm dz\) 的薄层应用能量守恒，得到

\[ -\frac{\mathrm dI}{\mathrm dz}=\langle H\rangle. \]

代入 B.2 的结果并消去 \(\mathcal E^2\)，

\[ -\frac{\mathrm dI}{\mathrm dz} =\frac12\beta\varepsilon_0\omega\mathcal E^2\sin\delta =\frac{\beta\omega\sin\delta}{nc}I. \]

对于温度固定的均匀介质，该系数为常数。积分得到

\[ \boxed{ I(z)=I(0)\exp\!\left[-\frac{\beta\omega\sin\delta}{nc}z\right]. } \]

因此，功率的衰减系数为

\[ \alpha=\frac{\beta\omega\sin\delta}{nc}. \]

B.4

式 (2) 给出的电场振幅正比于

\[ e^{-\frac12nk_0z\tan\delta}. \]

由于强度正比于该振幅的平方，

\[ I(z)=I(0)e^{-nk_0z\tan\delta}. \]

与 B.3 比较，并使用 \(k_0=\omega/c\)，得到

\[ \frac{\beta\omega\sin\delta}{nc} =\frac{n\omega}{c}\tan\delta. \]

因此

\[ \beta\sin\delta=n^2\tan\delta. \]

在所要求的近似 \(\tan\delta\simeq\sin\delta\) 下，

\[ \boxed{\beta\simeq n^2=\varepsilon_r.} \]

这一结果是在题目指定的电介质近似和小损耗近似下得到的。

B.5

利用给定关系 \(\tan\delta=\varepsilon_\ell/\varepsilon_r\)，功率衰减系数为

\[ \alpha=nk_0\tan\delta =\frac{\omega}{c} \frac{\varepsilon_\ell}{\sqrt{\varepsilon_r}}. \]

在温度均匀时，单位体积内的局部吸收功率正比于局部强度：

\[ \langle H(z)\rangle=\alpha I(z). \]

因此，它具有相同的指数变化关系，

\[ \frac{\langle H(z)\rangle}{\langle H(0)\rangle} =e^{-\alpha z}. \]

1. \(20^\circ\mathrm C\) 时的半功率深度。

由条件 \(e^{-\alpha z_{1/2}}=1/2\) 得到

\[ z_{1/2}=\frac{\ln2}{\alpha} =\frac{c\sqrt{\varepsilon_r}\ln2}{\omega\varepsilon_\ell}. \]

在标出的频率处，从 \(20^\circ\mathrm C\) 对应的实线读出的近似值为

\[ \varepsilon_r\simeq78,\qquad \varepsilon_\ell\simeq10. \]

因此，

\[ z_{1/2}\simeq \frac{(3.0\times10^8)\sqrt{78}\ln2} {(2\pi)(2.45\times10^9)(10)} =1.19\times10^{-2}\,\mathrm m. \]

因此，根据图像得到的半功率深度约为

\[ \boxed{z_{1/2}\simeq1.2\,\mathrm{cm}.} \]

这是半功率深度；电场振幅衰减的指数只有功率衰减指数的一半。

2. 温度升高时的纯水。

在频率固定时，

\[ z_{1/2}\propto\frac{\sqrt{\varepsilon_r}}{\varepsilon_\ell}. \]

蓝色实线表明，\(\varepsilon_\ell\) 随温度升高而显著减小。相比之下，\(\sqrt{\varepsilon_r}\) 的相对减小幅度小得多。因此，这一比值增大：

\[ \boxed{\text{纯水中的穿透深度随温度升高而增大。}} \]

3. 温度升高时的汤。

在相同频率下，蓝色虚线表明介电损耗随温度升高而增大，而红色虚线表明 \(\varepsilon_r\) 减小。这两种变化都会使 \(\sqrt{\varepsilon_r}/\varepsilon_\ell\) 减小。因此

\[ \boxed{\text{汤中的穿透深度随温度升高而减小。}} \]

解答已与官方解答核对。

Решение

A.1

Приблизительно параллельные проводящие грани, образующие щель, имеют площадь \(hl\) и находятся на расстоянии \(d\) друг от друга. Пренебрегая краевыми эффектами, их ёмкость можно записать как

\[ C\simeq\frac{\varepsilon_0hl}{d}. \]

Используя размеры на рисунке 1, получаем

\[ C=\frac{(8.85\times10^{-12})(17.5\times10^{-3})(6\times10^{-3})} {1\times10^{-3}} =9.29\times10^{-13}\,\mathrm F. \]

Пусть \(I\) — полный ток, циркулирующий вокруг цилиндрической полости. Его равномерное распределение по высоте \(h\) даёт эффективную поверхностную плотность тока \(I/h\). Идеальный бесконечный соленоид с таким поверхностным током создавал бы поле \(\mu_0I/h\). Вводя указанную поправку, получаем

\[ B\simeq0.6\frac{\mu_0 I}{h}. \]

Приближённо выражая поток через полость как \(B\pi R^2\), получаем

\[ L=\frac{\Phi}{I} \simeq0.6\frac{\mu_0\pi R^2}{h} =6.63\times10^{-9}\,\mathrm H. \]

Таким образом,

\[ f_{\mathrm{est}}=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} =\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{d}{0.6\mu_0\varepsilon_0\pi R^2l}} \simeq2.03\times10^9\,\mathrm{Hz}. \]

Высота сокращается, поскольку \(C\propto h\) и \(L\propto h^{-1}\). Оценка приближённая, так как резонатор представлен идеализированными сосредоточенными ёмкостью и индуктивностью.

A.2

Движение электрона описывается уравнением с силой Лоренца:

\[ m\frac{\mathrm d\vec u}{\mathrm dt} =-e(\vec E+\vec u\times\vec B). \]

Для заданных полей его проекции имеют вид

\[ \dot u_x=-\omega_cu_y,\qquad \dot u_y=\omega_c\left(u_x+\frac{E_0}{B_0}\right), \qquad \omega_c=\frac{eB_0}{m}. \]

Обозначим \(v_D=E_0/B_0\). При постоянной скорости \(-v_D\hat x\) электрическая и магнитная силы взаимно компенсируются. В более общем виде

\[ \vec u_D=\frac{\vec E\times\vec B}{B_0^2} =-v_D\hat x. \]

В системе отсчёта, поступательно движущейся с этой скоростью, оставшаяся составляющая скорости равномерно вращается. При \(u_y(0)=0\)

\[ u_x=-v_D+A\cos(\omega_ct),\qquad u_y=A\sin(\omega_ct), \]

где \(A=u_x(0)+v_D\). Средние значения колебательных слагаемых равны нулю, поэтому оба начальных условия дают один и тот же дрейф.

Полагая \(x(0)=y(0)=0\), после интегрирования получаем

\[ x=-v_Dt+\frac{A}{\omega_c}\sin(\omega_ct), \qquad y=\frac{A}{\omega_c}[1-\cos(\omega_ct)]. \]

В случае 1 \(A=4v_D\); в случае 2 \(A=-2v_D\). Это даёт параметрические уравнения траекторий, приведённые в ответах.

Для точного построения используйте \(\ell=v_D/\omega_c\). Следующие точки описывают первый циклотронный период:

Чтобы получить второй период, повторите эту кривую, сдвинув её на \(-2\pi\ell\) по оси \(x\).

В случае 1 электрон первоначально движется вправо, а затем отклоняется вверх; вся кривая лежит в области \(0\le y\le8\ell\). В случае 2 он первоначально движется влево, а затем отклоняется вниз; кривая лежит в области \(-4\ell\le y\le0\). По окончании указанного промежутка обе траектории заканчиваются в точке \((-4\pi\ell,0)\). Вращение происходит против часовой стрелки, и ни одна из траекторий не имеет точек возврата, поскольку скорость нигде не обращается в нуль.

A.3

В приближённо инерциальной локальной системе дрейфа электрическая сила приблизительно компенсируется магнитной силой, связанной со скоростью этой системы отсчёта. Оставшееся движение приблизительно круговое:

\[ \frac{mv_\perp^2}{r}=ev_\perp B_0, \qquad r=\frac{mv_\perp}{eB_0}. \]

Используя ограничение на полную кинетическую энергию как верхнюю оценку энергии вращения, получаем

\[ v_\perp\lesssim\sqrt{\frac{2K_{\max}}m}. \]

Здесь

\[ K_{\max}=800(1.6\times10^{-19}) =1.28\times10^{-16}\,\mathrm J, \]

так что

\[ v_{\max}\simeq1.68\times10^7\,\mathrm{m\,s^{-1}}, \]

и

\[ r_{\max}\simeq \frac{\sqrt{2mK_{\max}}}{eB_0} = \frac{\sqrt{2(9.1\times10^{-31})(1.28\times10^{-16})}} {(1.6\times10^{-19})(0.3)} =3.18\times10^{-4}\,\mathrm m. \]

Таким образом, \(r_{\max}\simeq0.32\,\mathrm{mm}\), что намного меньше зазора \(15\,\mathrm{mm}\). Это обосновывает представление вращения как малого движения, наложенного на дрейф его центра.

A.4

Пусть \(\hat r\) направлен радиально наружу, а \(\hat\phi\) — против часовой стрелки. При магнитном поле, направленном из плоскости страницы к читателю,

\[ \vec E=E_r\hat r+E_\phi\hat\phi \]

даёт

\[ \vec u_D=\frac{\vec E\times\vec B}{B_0^2} =\frac{E_\phi}{B_0}\hat r-\frac{E_r}{B_0}\hat\phi. \]

Следовательно:

• \(E_\phi>0\) вызывает дрейф к аноду.
• \(E_\phi<0\) вызывает дрейф к катоду.
• \(E_\phi=0\) вызывает дрейф перпендикулярно радиусу.

Постоянное электрическое поле радиально, поэтому оно вносит вклад только в азимутальный дрейф. Радиальное направление дрейфа полностью определяется тангенциальной составляющей изображённого переменного поля.

Моё прочтение направлений локальных касательных даёт:

Эта классификация относится к радиальной составляющей; электроны также испытывают азимутальный дрейф. Касательные определяются по схематическому рисунку, поэтому эта классификация содержит некоторую неопределённость прочтения.

A.5

На одинаковом расстоянии \(\rho\) от центра катода

\[ \dot\phi=\frac{u_\phi}{\rho} =-\frac{E_r}{B_0\rho}. \]

Постоянное поле направлено радиально внутрь и сообщает всем шести электронам на этом радиусе одинаковую угловую скорость против часовой стрелки. Поэтому на мгновенное изменение угловых расстояний между ними влияют только различия радиальной составляющей переменного поля.

Для A, B и C на рисунке 3 радиальная составляющая переменного поля меняется от направленной наружу в A через приблизительно нулевую в B до направленной внутрь в C. Следовательно,

\[ \dot\phi_A<\dot\phi_B<\dot\phi_C. \]

Их положения упорядочены как \(\phi_A>\phi_B>\phi_C\). Поэтому электрон, находящийся позади, движется быстрее находящегося впереди, и все три угловых расстояния уменьшаются:

\[ \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\phi_A-\phi_B)<0,\quad \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\phi_A-\phi_C)<0,\quad \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\phi_B-\phi_C)<0. \]

Для D, E и F радиальная составляющая переменного поля меняется противоположным образом: она направлена внутрь в D, приблизительно равна нулю в E и направлена наружу в F. Поэтому

\[ \dot\phi_D>\dot\phi_E>\dot\phi_F. \]

Поскольку \(\phi_D>\phi_E>\phi_F\), все три угловых расстояния увеличиваются.

A.6

Соседние резонаторы колеблются в противофазе. Поэтому в данный момент времени в чередующихся угловых областях электроны фокусируются, а в промежутках между ними — расходятся. Таким образом, восемь резонаторов создают четыре спицы.

На рисунок следует добавить три копии S, полученные поворотами на \(90^\circ\), \(180^\circ\) и \(270^\circ\) вокруг центра катода. Их изгиб должен быть направлен в ту же сторону.

Постоянное поле направлено внутрь. Создаваемый им дрейф имеет направление

\[ (-\hat r)\times\hat z=+\hat\phi, \]

поэтому спицы вращаются против часовой стрелки.

Через половину периода колебаний полярности резонаторов меняются на противоположные. Спица должна переместиться к положению следующего резонатора, то есть на угол \(2\pi/8=\pi/4\). Следовательно,

\[ \omega_s=\frac{\pi/4}{T/2} =\frac{\pi}{2T} =\frac{2\pi f}{4}. \]

Используя \(f=2.45\times10^9\,\mathrm{Hz}\), получаем

\[ \boxed{\omega_s=3.85\times10^9\,\mathrm{rad\,s^{-1}}.} \]

Иными словами, спицы совершают \(6.125\times10^8\) оборотов в секунду.

A.7

В рамках предписанного приближения модуль поля в середине зазора равен

\[ E_{\mathrm{mid}}\simeq\frac{V_0}{b-a}. \]

Радиус середины зазора равен

\[ \rho_{\mathrm{mid}}=\frac{a+b}{2}. \]

Скорость дрейфа электронов там должна совпадать с тангенциальной скоростью спицы:

\[ \frac{E_{\mathrm{mid}}}{B_0} \simeq\omega_s\rho_{\mathrm{mid}}. \]

Следовательно,

\[ \frac{V_0}{B_0(b-a)} \simeq\omega_s\frac{a+b}{2}, \]

откуда

\[ \boxed{ V_0\simeq\frac{B_0\omega_s}{2}(b^2-a^2) =\frac{\pi fB_0}{4}(b^2-a^2). } \]

При заданных \(B_0\) и \(f\) это также можно записать в виде

\[ V_0\simeq (5.77\times10^8\,\mathrm{V\,m^{-2}})(b^2-a^2), \]

где \(a\) и \(b\) выражены в метрах.

B.1

Силы, действующие на два заряда, образуют пару. Момент сил равен

\[ \vec\tau=\vec p\times\vec E. \]

Таким образом, если \(\theta\) определён как угол между диполем и мгновенным направлением поля,

\[ \boxed{\tau=p_0|E|\sin\theta.} \]

Момент сил стремится уменьшить этот угол. Поэтому его знаковая компонента, сопряжённая с \(\theta\), равна \(-p_0|E|\sin\theta\), что даёт механическую мощность

\[ \boxed{H_i=-p_0|E|\sin\theta\,\dot\theta.} \]

В частности, для диполя, поворачивающегося по направлению поля, \(\dot\theta<0\), поэтому передаваемая полем мощность положительна.

Результат можно вывести независимо от соглашения об отсчёте угла. Если \(\vec r_+\) и \(\vec r_-\) — положения зарядов, то

\[ H_i=q\vec E\cdot\dot{\vec r}_+ -q\vec E\cdot\dot{\vec r}_- =\vec E\cdot\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \big[q(\vec r_+-\vec r_-)\big]. \]

Следовательно,

\[ \boxed{H_i=\vec E\cdot\dot{\vec p}.} \]

Если же \(\theta\) отсчитывается от фиксированного положительного направления оси \(x\), а \(E(t)\) — проекция поля с учётом знака, это выражение принимает вид

\[ H_i=E(t)\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(p_0\cos\theta) =-p_0E(t)\sin\theta\,\dot\theta. \]

В механической мощности, передаваемой диполю, нет слагаемого с \(\dot E\).

B.2

Суммирование мощности для отдельных диполей в единице объёма даёт

\[ H(t)=\vec E(t)\cdot\frac{\mathrm d\vec P}{\mathrm dt}. \]

Производная заданной поляризации равна

\[ \frac{\mathrm d\vec P}{\mathrm dt} =\beta\varepsilon_0E_0\omega \cos(\omega t-\delta)\hat x. \]

Поэтому

\[ H(t)=\beta\varepsilon_0\omega E_0^2 \sin(\omega t)\cos(\omega t-\delta). \]

Используя

\[ \cos(\omega t-\delta) =\cos(\omega t)\cos\delta+\sin(\omega t)\sin\delta, \]

и средние за период значения

\[ \langle\sin(\omega t)\cos(\omega t)\rangle=0, \qquad \langle\sin^2(\omega t)\rangle=\frac12, \]

получаем

\[ \boxed{\langle H\rangle =\frac12\beta\varepsilon_0\omega E_0^2\sin\delta.} \]

При положительном отставании по фазе средняя поглощаемая мощность положительна.

B.3

Обозначим локальную амплитуду электрического поля через \(\mathcal E(z)\). Средняя плотность энергии электрического поля равна

\[ \langle u_E\rangle =\frac12\varepsilon_r\varepsilon_0\langle E^2\rangle =\frac14\varepsilon_r\varepsilon_0\mathcal E^2. \]

Средняя плотность энергии магнитного поля равна этой величине, поэтому

\[ \langle u\rangle =\frac12\varepsilon_r\varepsilon_0\mathcal E^2. \]

Используя скорость распространения \(c/n\) в принятой в задаче модели волны в диэлектрике, получаем

\[ I(z)=\frac cn\langle u\rangle =\frac12nc\varepsilon_0\mathcal E^2(z), \]

где \(n^2=\varepsilon_r\).

Закон сохранения энергии для тонкого слоя толщины \(\mathrm dz\) даёт

\[ -\frac{\mathrm dI}{\mathrm dz}=\langle H\rangle. \]

Подставляя результат B.2 и исключая \(\mathcal E^2\), получаем

\[ -\frac{\mathrm dI}{\mathrm dz} =\frac12\beta\varepsilon_0\omega\mathcal E^2\sin\delta =\frac{\beta\omega\sin\delta}{nc}I. \]

Для однородной среды при фиксированной температуре коэффициент постоянен. Интегрирование даёт

\[ \boxed{ I(z)=I(0)\exp\!\left[-\frac{\beta\omega\sin\delta}{nc}z\right]. } \]

Следовательно, коэффициент ослабления по мощности равен

\[ \alpha=\frac{\beta\omega\sin\delta}{nc}. \]

B.4

Согласно уравнению (2), амплитуда электрического поля пропорциональна

\[ e^{-\frac12nk_0z\tan\delta}. \]

Поскольку интенсивность пропорциональна квадрату этой амплитуды,

\[ I(z)=I(0)e^{-nk_0z\tan\delta}. \]

Сравнение с B.3 с учётом \(k_0=\omega/c\) даёт

\[ \frac{\beta\omega\sin\delta}{nc} =\frac{n\omega}{c}\tan\delta. \]

Таким образом,

\[ \beta\sin\delta=n^2\tan\delta. \]

В рамках требуемого приближения \(\tan\delta\simeq\sin\delta\)

\[ \boxed{\beta\simeq n^2=\varepsilon_r.} \]

Этот результат следует в рамках указанных в задаче приближений для диэлектрика и малых потерь.

B.5

Используя данное соотношение \(\tan\delta=\varepsilon_\ell/\varepsilon_r\), получаем коэффициент ослабления по мощности:

\[ \alpha=nk_0\tan\delta =\frac{\omega}{c} \frac{\varepsilon_\ell}{\sqrt{\varepsilon_r}}. \]

При однородной температуре локальная мощность, поглощаемая единицей объёма, пропорциональна локальной интенсивности:

\[ \langle H(z)\rangle=\alpha I(z). \]

Поэтому она имеет ту же экспоненциальную зависимость:

\[ \frac{\langle H(z)\rangle}{\langle H(0)\rangle} =e^{-\alpha z}. \]

1. Глубина половинного ослабления мощности при \(20^\circ\mathrm C\).

Условие \(e^{-\alpha z_{1/2}}=1/2\) даёт

\[ z_{1/2}=\frac{\ln2}{\alpha} =\frac{c\sqrt{\varepsilon_r}\ln2}{\omega\varepsilon_\ell}. \]

На отмеченной частоте сплошные кривые для \(20^\circ\mathrm C\) дают приблизительно

\[ \varepsilon_r\simeq78,\qquad \varepsilon_\ell\simeq10. \]

Следовательно,

\[ z_{1/2}\simeq \frac{(3.0\times10^8)\sqrt{78}\ln2} {(2\pi)(2.45\times10^9)(10)} =1.19\times10^{-2}\,\mathrm m. \]

Таким образом, график даёт глубину половинного ослабления мощности приблизительно

\[ \boxed{z_{1/2}\simeq1.2\,\mathrm{cm}.} \]

Это глубина половинного ослабления мощности; показатель экспоненты при затухании амплитуды поля вдвое меньше.

2. Чистая вода при повышении температуры.

При фиксированной частоте

\[ z_{1/2}\propto\frac{\sqrt{\varepsilon_r}}{\varepsilon_\ell}. \]

Сплошные синие кривые показывают значительное уменьшение \(\varepsilon_\ell\) с повышением температуры. Относительное уменьшение \(\sqrt{\varepsilon_r}\) гораздо меньше. Поэтому отношение увеличивается:

\[ \boxed{\text{Глубина проникновения в чистую воду увеличивается с повышением температуры.}} \]

3. Суп при повышении температуры.

На той же частоте штриховые синие кривые показывают рост диэлектрических потерь с повышением температуры, а штриховые красные кривые — уменьшение \(\varepsilon_r\). Оба изменения уменьшают \(\sqrt{\varepsilon_r}/\varepsilon_\ell\). Следовательно,

\[ \boxed{\text{Глубина проникновения в суп уменьшается с повышением температуры.}} \]

Решение проверено по официальному решению.

الحل

A.1

للوجهين الموصلين المتوازيين تقريبًا اللذين يشكّلان الشق مساحة \(hl\)، وتفصل بينهما مسافة \(d\). بإهمال تأثير الحواف، تكون سعتهما الكهربائية

\[ C\simeq\frac{\varepsilon_0hl}{d}. \]

باستخدام الأبعاد في الشكل 1،

\[ C=\frac{(8.85\times10^{-12})(17.5\times10^{-3})(6\times10^{-3})} {1\times10^{-3}} =9.29\times10^{-13}\,\mathrm F. \]

ليكن \(I\) التيار الكلي الذي يسري حول التجويف الأسطواني. يعطي توزيعه المنتظم على الارتفاع \(h\) كثافة تيار سطحي فعالة \(I/h\). ويولِّد ملف لولبي مثالي لانهائي الطول بهذا التيار السطحي مجالًا مقداره \(\mu_0I/h\). بتطبيق التصحيح المحدَّد،

\[ B\simeq0.6\frac{\mu_0 I}{h}. \]

بتقريب التدفق عبر التجويف إلى \(B\pi R^2\)،

\[ L=\frac{\Phi}{I} \simeq0.6\frac{\mu_0\pi R^2}{h} =6.63\times10^{-9}\,\mathrm H. \]

إذن

\[ f_{\mathrm{est}}=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} =\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{d}{0.6\mu_0\varepsilon_0\pi R^2l}} \simeq2.03\times10^9\,\mathrm{Hz}. \]

يُختزَل الارتفاع لأن \(C\propto h\) و\(L\propto h^{-1}\). وهذا التقدير تقريبي لأن الرنان يُمثَّل بسعة كهربائية وحث ذاتي مركَّزين ومثاليين.

A.2

يخضع الإلكترون لمعادلة قوة لورنتز،

\[ m\frac{\mathrm d\vec u}{\mathrm dt} =-e(\vec E+\vec u\times\vec B). \]

بالنسبة إلى المجالين المعطيين، تكون مركّباتها

\[ \dot u_x=-\omega_cu_y,\qquad \dot u_y=\omega_c\left(u_x+\frac{E_0}{B_0}\right), \qquad \omega_c=\frac{eB_0}{m}. \]

عرِّف \(v_D=E_0/B_0\). تجعل السرعة الثابتة \(-v_D\hat x\) القوتين الكهربائية والمغناطيسية تتلاشيان. وبصورة أعم،

\[ \vec u_D=\frac{\vec E\times\vec B}{B_0^2} =-v_D\hat x. \]

في الإطار المتحرك حركة انتقالية بهذه السرعة، يدور متجه السرعة المتبقية بانتظام. عندما يكون \(u_y(0)=0\)،

\[ u_x=-v_D+A\cos(\omega_ct),\qquad u_y=A\sin(\omega_ct), \]

حيث \(A=u_x(0)+v_D\). متوسط الحدود المتذبذبة يساوي صفرًا، ولذلك يعطي كلا الشرطين الابتدائيين الانجراف نفسه.

بأخذ \(x(0)=y(0)=0\)، يعطي التكامل

\[ x=-v_Dt+\frac{A}{\omega_c}\sin(\omega_ct), \qquad y=\frac{A}{\omega_c}[1-\cos(\omega_ct)]. \]

في الحالة 1، \(A=4v_D\)؛ وفي الحالة 2، \(A=-2v_D\). وهذا يعطي التمثيلين البارامتريين للمسارين الواردين في الإجابات.

لرسم دقيق، استخدم \(\ell=v_D/\omega_c\). تصف النقاط الآتية الدورة السيكلوترونية الأولى:

كرِّر هذا المنحنى بعد إزاحته بمقدار \(-2\pi\ell\) في الاتجاه \(x\) للحصول على الدورة الثانية.

في الحالة 1، يتحرك الإلكترون في البداية إلى اليمين وينحني نحو الأعلى؛ ويقع المنحنى بأكمله في المجال \(0\le y\le8\ell\). وفي الحالة 2، يتحرك في البداية إلى اليسار وينحني نحو الأسفل؛ ويقع المنحنى في المجال \(-4\ell\le y\le0\). ينتهي كلاهما عند \((-4\pi\ell,0)\) بعد الفترة المحدَّدة. ويكون دورانهما عكس اتجاه عقارب الساعة، ولا يحتوي أيٌّ من المسارين على نقاط مدببة لأن سرعته لا تنعدم أبدًا.

A.3

في إطار الانجراف المحلي القصوري تقريبًا، تتلاشى القوة الكهربائية تقريبًا مع القوة المغناطيسية المرتبطة بسرعة الإطار. وتكون الحركة المتبقية دائرية تقريبًا:

\[ \frac{mv_\perp^2}{r}=ev_\perp B_0, \qquad r=\frac{mv_\perp}{eB_0}. \]

باستخدام الحد الأعلى للطاقة الحركية بأكمله تقديرًا أعلى لطاقة الدوران،

\[ v_\perp\lesssim\sqrt{\frac{2K_{\max}}m}. \]

هنا

\[ K_{\max}=800(1.6\times10^{-19}) =1.28\times10^{-16}\,\mathrm J, \]

ومن ثم

\[ v_{\max}\simeq1.68\times10^7\,\mathrm{m\,s^{-1}}, \]

و

\[ r_{\max}\simeq \frac{\sqrt{2mK_{\max}}}{eB_0} = \frac{\sqrt{2(9.1\times10^{-31})(1.28\times10^{-16})}} {(1.6\times10^{-19})(0.3)} =3.18\times10^{-4}\,\mathrm m. \]

إذن \(r_{\max}\simeq0.32\,\mathrm{mm}\)، وهو أصغر بكثير من عرض الفجوة البالغ \(15\,\mathrm{mm}\). وهذا يدعم معاملة الدوران بوصفه حركة صغيرة متراكبة مع انجراف مركزه.

A.4

ليكن \(\hat r\) متجهًا شعاعيًا نحو الخارج، و\(\hat\phi\) متجهًا عكس اتجاه عقارب الساعة. عندما يتجه المجال المغناطيسي إلى خارج الصفحة، فإن

\[ \vec E=E_r\hat r+E_\phi\hat\phi \]

يعطي

\[ \vec u_D=\frac{\vec E\times\vec B}{B_0^2} =\frac{E_\phi}{B_0}\hat r-\frac{E_r}{B_0}\hat\phi. \]

وعليه:

• تؤدي \(E_\phi>0\) إلى انجراف نحو المصعد.
• تؤدي \(E_\phi<0\) إلى انجراف نحو المهبط.
• تؤدي \(E_\phi=0\) إلى انجراف عمودي على نصف القطر.

المجال الكهربائي الثابت شعاعي، ولذلك لا يسهم إلا في انجراف سمتي. وتتحدد فئة الانجراف الشعاعي بالكامل بالمركّبة المماسية للمجال المتناوب المرسوم.

تعطي قراءتي للمماسات المحلية ما يأتي:

تتعلق هذه التصنيفات بالمركّبة الشعاعية؛ وللإلكترونات انجراف سمتي أيضًا. وتُقرأ المماسات من رسم تخطيطي، ولذلك تنطوي هذه التصنيفات على قدر من عدم اليقين في القراءة.

A.5

عند مسافة مشتركة \(\rho\) من مركز المهبط،

\[ \dot\phi=\frac{u_\phi}{\rho} =-\frac{E_r}{B_0\rho}. \]

يتجه المجال الثابت شعاعيًا نحو الداخل، ويمنح الإلكترونات الستة جميعها السرعة الزاوية نفسها عكس اتجاه عقارب الساعة عند نصف القطر ذاك. ولذلك لا تؤثر في فروق الزوايا اللحظية بينها إلا الاختلافات في المركّبة الشعاعية للمجال المتناوب.

بالنسبة إلى A وB وC، يبيّن الشكل 3 أن المركّبة الشعاعية للمجال المتناوب تتغير من الاتجاه نحو الخارج عند A، مرورًا بقيمة تساوي صفرًا تقريبًا عند B، إلى الاتجاه نحو الداخل عند C. وبناءً على ذلك،

\[ \dot\phi_A<\dot\phi_B<\dot\phi_C. \]

مواضعها مرتَّبة وفق \(\phi_A>\phi_B>\phi_C\). لذلك يتحرك الإلكترون المتأخر أسرع من الإلكترون المتقدم، فتتناقص فروق الزوايا الثلاثة جميعها:

\[ \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\phi_A-\phi_B)<0,\quad \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\phi_A-\phi_C)<0,\quad \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\phi_B-\phi_C)<0. \]

أما بالنسبة إلى D وE وF، فتتغير المركّبة الشعاعية للمجال المتناوب على النحو المعاكس: نحو الداخل عند D، وصفر تقريبًا عند E، ونحو الخارج عند F. ومن ثم

\[ \dot\phi_D>\dot\phi_E>\dot\phi_F. \]

وبما أن \(\phi_D>\phi_E>\phi_F\)، فإن فروق الزوايا الثلاثة جميعها تتزايد.

A.6

للرنانات المتجاورة أطوار تذبذب متعاكسة. لذلك، عند لحظة معيّنة، تركّز المناطق الزاوية المتناوبة الإلكترونات، بينما تفرّقها المناطق الواقعة بينها. وهكذا تولّد الرنانات الثمانية أربعة أذرع شعاعية.

ينبغي أن يحتوي الرسم على ثلاث نسخ إضافية من S، نحصل عليها بتدويرات مقدارها \(90^\circ\) و\(180^\circ\) و\(270^\circ\) حول مركز المهبط. ويجب أن يكون لأشكالها اتجاه الانحناء نفسه.

يتجه المجال الثابت نحو الداخل. ويكون انجرافه وفق

\[ (-\hat r)\times\hat z=+\hat\phi, \]

فتدور الأذرع عكس اتجاه عقارب الساعة.

بعد نصف دورة تذبذب، تنعكس قطبيات الرنانات. يجب أن يتقدم الذراع إلى موضع الرنان التالي، بزاوية \(2\pi/8=\pi/4\). لذلك

\[ \omega_s=\frac{\pi/4}{T/2} =\frac{\pi}{2T} =\frac{2\pi f}{4}. \]

باستخدام \(f=2.45\times10^9\,\mathrm{Hz}\)،

\[ \boxed{\omega_s=3.85\times10^9\,\mathrm{rad\,s^{-1}}.} \]

وبصورة مكافئة، تتمّ الأذرع \(6.125\times10^8\) دورة في الثانية.

A.7

وفق التقريب المفروض، يكون مقدار المجال عند منتصف الفجوة

\[ E_{\mathrm{mid}}\simeq\frac{V_0}{b-a}. \]

نصف قطر نقطة المنتصف هو

\[ \rho_{\mathrm{mid}}=\frac{a+b}{2}. \]

يجب أن تكون سرعة انجراف الإلكترون هناك مساوية للسرعة المماسية للذراع:

\[ \frac{E_{\mathrm{mid}}}{B_0} \simeq\omega_s\rho_{\mathrm{mid}}. \]

وبناءً على ذلك،

\[ \frac{V_0}{B_0(b-a)} \simeq\omega_s\frac{a+b}{2}, \]

مما يعطي

\[ \boxed{ V_0\simeq\frac{B_0\omega_s}{2}(b^2-a^2) =\frac{\pi fB_0}{4}(b^2-a^2). } \]

باستخدام القيمتين المعطاتين لـ \(B_0\) و\(f\)، يمكن كتابة ذلك أيضًا على الصورة

\[ V_0\simeq (5.77\times10^8\,\mathrm{V\,m^{-2}})(b^2-a^2), \]

حيث يُقاس \(a\) و\(b\) بالأمتار.

B.1

تشكّل القوتان المؤثرتان في الشحنتين ازدواجًا. وعزم القوة هو

\[ \vec\tau=\vec p\times\vec E. \]

إذن، عندما تُعرَّف \(\theta\) بأنها الزاوية بين ثنائي القطب والمجال اللحظي،

\[ \boxed{\tau=p_0|E|\sin\theta.} \]

يميل عزم القوة إلى تقليل هذه الزاوية. لذلك تكون مركّبته ذات الإشارة والمقترنة بالزاوية \(\theta\) هي \(-p_0|E|\sin\theta\)، مما يعطي القدرة الميكانيكية

\[ \boxed{H_i=-p_0|E|\sin\theta\,\dot\theta.} \]

وعلى وجه الخصوص، فإن ثنائي القطب الذي يتجه إلى الاصطفاف مع المجال يحقق \(\dot\theta<0\)، ولذلك ينقل المجال إليه قدرة موجبة.

يمكن اشتقاق النتيجة دون اعتماد اصطلاح للزاوية. إذا كان \(\vec r_+\) و\(\vec r_-\) موضعي الشحنتين،

\[ H_i=q\vec E\cdot\dot{\vec r}_+ -q\vec E\cdot\dot{\vec r}_- =\vec E\cdot\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \big[q(\vec r_+-\vec r_-)\big]. \]

ومن ثم

\[ \boxed{H_i=\vec E\cdot\dot{\vec p}.} \]

أما إذا قِيست \(\theta\) من المحور \(x\) الموجب الثابت وكان \(E(t)\) مركّبة ذات إشارة، فتصبح هذه العلاقة

\[ H_i=E(t)\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(p_0\cos\theta) =-p_0E(t)\sin\theta\,\dot\theta. \]

لا يوجد حدٌّ يتضمن \(\dot E\) في القدرة الميكانيكية المنقولة إلى ثنائي القطب.

B.2

بجمع قدرة ثنائي القطب الواحد على وحدة الحجم، نحصل على

\[ H(t)=\vec E(t)\cdot\frac{\mathrm d\vec P}{\mathrm dt}. \]

مشتقة الاستقطاب المعطى هي

\[ \frac{\mathrm d\vec P}{\mathrm dt} =\beta\varepsilon_0E_0\omega \cos(\omega t-\delta)\hat x. \]

لذلك

\[ H(t)=\beta\varepsilon_0\omega E_0^2 \sin(\omega t)\cos(\omega t-\delta). \]

باستخدام

\[ \cos(\omega t-\delta) =\cos(\omega t)\cos\delta+\sin(\omega t)\sin\delta, \]

والمتوسطين على مدى دورة

\[ \langle\sin(\omega t)\cos(\omega t)\rangle=0, \qquad \langle\sin^2(\omega t)\rangle=\frac12, \]

نحصل على

\[ \boxed{\langle H\rangle =\frac12\beta\varepsilon_0\omega E_0^2\sin\delta.} \]

عندما يكون التأخر في الطور موجبًا، يكون متوسط القدرة الممتصة موجبًا.

B.3

لنرمز إلى سعة المجال الكهربائي المحلية بالرمز \(\mathcal E(z)\). متوسط كثافة الطاقة الكهربائية هو

\[ \langle u_E\rangle =\frac12\varepsilon_r\varepsilon_0\langle E^2\rangle =\frac14\varepsilon_r\varepsilon_0\mathcal E^2. \]

متوسط كثافة الطاقة المغناطيسية يساوي هذه القيمة، ومن ثم

\[ \langle u\rangle =\frac12\varepsilon_r\varepsilon_0\mathcal E^2. \]

باستخدام سرعة الانتشار \(c/n\) في نموذج الموجة في العازل المعتمد في المسألة،

\[ I(z)=\frac cn\langle u\rangle =\frac12nc\varepsilon_0\mathcal E^2(z), \]

حيث \(n^2=\varepsilon_r\).

يعطي انحفاظ الطاقة في طبقة رقيقة سمكها \(\mathrm dz\)

\[ -\frac{\mathrm dI}{\mathrm dz}=\langle H\rangle. \]

بالتعويض بنتيجة B.2 وحذف \(\mathcal E^2\)،

\[ -\frac{\mathrm dI}{\mathrm dz} =\frac12\beta\varepsilon_0\omega\mathcal E^2\sin\delta =\frac{\beta\omega\sin\delta}{nc}I. \]

في وسط متجانس عند درجة حرارة ثابتة، يكون المعامل ثابتًا. يعطي التكامل

\[ \boxed{ I(z)=I(0)\exp\!\left[-\frac{\beta\omega\sin\delta}{nc}z\right]. } \]

ومن ثم فإن معامل توهين القدرة هو

\[ \alpha=\frac{\beta\omega\sin\delta}{nc}. \]

B.4

تعطي المعادلة (2) سعة للمجال الكهربائي تتناسب مع

\[ e^{-\frac12nk_0z\tan\delta}. \]

بما أن الشدة تتناسب مع مربع هذه السعة،

\[ I(z)=I(0)e^{-nk_0z\tan\delta}. \]

بالمقارنة مع B.3، واستخدام \(k_0=\omega/c\)، نحصل على

\[ \frac{\beta\omega\sin\delta}{nc} =\frac{n\omega}{c}\tan\delta. \]

إذن

\[ \beta\sin\delta=n^2\tan\delta. \]

ضمن التقريب المطلوب \(\tan\delta\simeq\sin\delta\)،

\[ \boxed{\beta\simeq n^2=\varepsilon_r.} \]

تنتج هذه النتيجة ضمن تقريبي العازل والفقد الصغير المحدَّدين في المسألة.

B.5

باستخدام العلاقة المعطاة \(\tan\delta=\varepsilon_\ell/\varepsilon_r\)، يكون معامل توهين القدرة

\[ \alpha=nk_0\tan\delta =\frac{\omega}{c} \frac{\varepsilon_\ell}{\sqrt{\varepsilon_r}}. \]

عند درجة حرارة موحّدة، تتناسب القدرة الممتصة محليًا لكل وحدة حجم مع الشدة المحلية:

\[ \langle H(z)\rangle=\alpha I(z). \]

ولذلك يكون لها الاعتماد الأُسّي نفسه،

\[ \frac{\langle H(z)\rangle}{\langle H(0)\rangle} =e^{-\alpha z}. \]

1. عمق نصف القدرة عند \(20^\circ\mathrm C\).

يعطي الشرط \(e^{-\alpha z_{1/2}}=1/2\)

\[ z_{1/2}=\frac{\ln2}{\alpha} =\frac{c\sqrt{\varepsilon_r}\ln2}{\omega\varepsilon_\ell}. \]

عند التردد المحدَّد، تعطي المنحنيات المتصلة الخاصة بدرجة حرارة \(20^\circ\mathrm C\) تقريبًا

\[ \varepsilon_r\simeq78,\qquad \varepsilon_\ell\simeq10. \]

وبناءً على ذلك،

\[ z_{1/2}\simeq \frac{(3.0\times10^8)\sqrt{78}\ln2} {(2\pi)(2.45\times10^9)(10)} =1.19\times10^{-2}\,\mathrm m. \]

إذن يؤيد الرسم البياني عمقًا لنصف القدرة يقارب

\[ \boxed{z_{1/2}\simeq1.2\,\mathrm{cm}.} \]

هذا هو عمق نصف القدرة؛ أما تناقص سعة المجال فأُسّه أصغر بعامل مقداره اثنان.

2. الماء النقي مع ارتفاع درجة الحرارة.

عند تردد ثابت،

\[ z_{1/2}\propto\frac{\sqrt{\varepsilon_r}}{\varepsilon_\ell}. \]

تبيّن المنحنيات الزرقاء المتصلة انخفاضًا كبيرًا في \(\varepsilon_\ell\) مع ارتفاع درجة الحرارة. أما انخفاض \(\sqrt{\varepsilon_r}\) فأصغر بكثير من حيث النسبة. ولذلك تزداد النسبة:

\[ \boxed{\text{يزداد عمق الاختراق في الماء النقي مع ارتفاع درجة الحرارة.}} \]

3. الحساء مع ارتفاع درجة الحرارة.

عند التردد نفسه، تبيّن المنحنيات الزرقاء المتقطعة ازدياد الفقد العازل مع ارتفاع درجة الحرارة، بينما تبيّن المنحنيات الحمراء المتقطعة انخفاض \(\varepsilon_r\). ويقلّل كلا التغيرين من \(\sqrt{\varepsilon_r}/\varepsilon_\ell\). لذلك

\[ \boxed{\text{ينقص عمق الاختراق في الحساء مع ارتفاع درجة الحرارة.}} \]

تمت مراجعة الحل بمقارنته بالحل الرسمي.