Solution

We retain first-order perturbations when finding the oscillating thermodynamic quantities. Work and transported heat have their first nonzero cycle averages at second order in the wave amplitude. Thermal coupling is weak, so unperturbed wave amplitudes can be used in expressions already proportional to that coupling.

A.1

The sealed, rigid ends require zero longitudinal displacement:

\[ u(0,t)=u(L,t)=0. \]

The first condition is already satisfied. The second gives

\[ \sin(kL)=0 \quad\Longrightarrow\quad kL=n\pi,\qquad n=1,2,\ldots. \]

The choice \(n=0\) gives no wave. Thus

\[ \lambda_n=\frac{2\pi}{k}=\frac{2L}{n}. \]

The longest wavelength corresponds to \(n=1\):

\[ \boxed{\lambda_{\max}=2L,\qquad k=\frac{\pi}{L}.} \]

A.2

The parcel’s two boundaries move to

\[ x+u(x,t),\qquad x+\Delta x+u(x+\Delta x,t). \]

Consequently,

\[ V(x,t) =S\left[\Delta x+u(x+\Delta x,t)-u(x,t)\right]. \]

For \(k\Delta x\ll1\),

\[ V(x,t)\simeq S\Delta x\left(1+\frac{\partial u}{\partial x}\right) =V_0\left[1+ak\cos(kx)\cos(\omega t)\right]. \]

Therefore,

\[ \boxed{V_1(x)=V_0ak\cos(kx).} \]

A.3

The pressure forces on the parcel give, to first order,

\[ F_x=S[p(x,t)-p(x+\Delta x,t)] \simeq-S\Delta x\,\frac{\partial p}{\partial x}. \]

The parcel’s mass is \(\rho_0S\Delta x\). Newton’s second law therefore becomes

\[ \rho_0\frac{\partial^2u}{\partial t^2} =-\frac{\partial p}{\partial x}. \]

Substituting the given oscillations,

\[ -\rho_0a\omega^2\sin(kx)\cos(\omega t) =p_1'(x)\cos(\omega t), \]

so

\[ p_1'(x)=-\rho_0a\omega^2\sin(kx). \]

Integration yields

\[ p_1(x)=\frac{\rho_0a\omega^2}{k}\cos(kx)+C. \]

There is no spatially uniform acoustic compression: the total volume change is proportional to

\[ \int_0^L\frac{\partial u}{\partial x}\,dx=u(L,t)-u(0,t)=0. \]

The linear adiabatic pressure–compression relation, made explicit in A.4, then requires the spatially averaged pressure perturbation to vanish. Since \(\int_0^L\cos(kx)\,dx=0\), this fixes \(C=0\). Hence

\[ \boxed{p_1(x)=\frac{\rho_0a\omega^2}{k}\cos(kx).} \]

A.4

Linearizing \(pV^\gamma=p_0V_0^\gamma\),

\[ \frac{\delta p}{p_0} +\gamma\frac{\delta V}{V_0}=0. \]

Using \(\delta p=-p_1\cos(\omega t)\) and \(\delta V=V_1\cos(\omega t)\),

\[ p_1=\gamma p_0\frac{V_1}{V_0} =\gamma p_0ak\cos(kx). \]

Comparison with A.3 gives

\[ \frac{\rho_0a\omega^2}{k} =\gamma p_0ak, \]

and therefore

\[ \boxed{c=\frac{\omega}{k} =\sqrt{\frac{\gamma p_0}{\rho_0}}.} \]

A.5

For a fixed amount of ideal gas,

\[ pV=nRT. \]

Its linearized form is

\[ \frac{\delta T}{T_0} =\frac{\delta p}{p_0}+\frac{\delta V}{V_0}. \]

Using the adiabatic relation from A.4,

\[ \frac{\delta T}{T_0} =-(\gamma-1)\frac{\delta V}{V_0} =-(\gamma-1)ak\cos(kx)\cos(\omega t). \]

Comparing with the specified temperature oscillation,

\[ \boxed{T_1(x)=(\gamma-1)T_0ak\cos(kx).} \]

A.6

Consider a parcel in the left half of the tube, where \(\cos(kx)>0\).

When it is displaced to the right, it expands and cools. It consequently absorbs heat from the tube at a relatively rightward position. When displaced to the left, it is compressed and heated, so it releases heat to the tube at a relatively leftward position. Repetition transfers heat toward the left end.

In the right half, \(\cos(kx)<0\), so the correspondence reverses: a parcel absorbs heat when displaced toward the center and releases heat when displaced toward the right end.

Thus the acoustic motion pumps heat away from the central region toward both ends:

\[ \boxed{ A:\ \text{temperature increases},\qquad B:\ \text{temperature decreases},\qquad C:\ \text{temperature increases}.} \]

Although the parcel whose equilibrium position is exactly at the center has zero first-order temperature oscillation, neighboring parcels move through the central region and remove heat. The mean thermal effect is second order in amplitude; it is not determined by the first-order temperature at a single equilibrium position.

B.1

At the stack center,

\[ kx_0=\frac{\pi}{L}\frac{L}{4}=\frac{\pi}{4}, \]

so the parcel displacement is

\[ u(x_0,t)=\frac{a}{\sqrt2}\cos(\omega t). \]

Its instantaneous position is \(x_0+u(x_0,t)\). Substitution into the plate temperature profile gives

\[ T_{\mathrm{env}}(t) =T_0-\frac{\tau}{\ell}u(x_0,t) =T_0-\frac{a\tau}{\sqrt2\,\ell}\cos(\omega t). \]

Therefore,

\[ \boxed{T_{\mathrm{st}}=\frac{a\tau}{\sqrt2\,\ell}.} \]

B.2

The adiabatic gas-temperature amplitude at the stack center is

\[ T_1(x_0)=\frac{(\gamma-1)T_0ak}{\sqrt2}. \]

At the leftward extreme of the parcel’s motion, the gas temperature is \(T_0+T_1\), while the neighboring stack temperature is \(T_0+T_{\mathrm{st}}\). To absorb heat there, the parcel must satisfy

\[ T_{\mathrm{st}}>T_1. \]

At the rightward extreme this same condition makes the stack colder than the gas, so the parcel releases heat there. Thus it conveys heat from hot to cold precisely when

\[ \frac{a\tau}{\sqrt2\,\ell} > \frac{(\gamma-1)T_0ak}{\sqrt2}. \]

The critical temperature difference is therefore

\[ \boxed{\tau_{\mathrm{cr}}=(\gamma-1)T_0k\ell.} \]

At equality, the gas and neighboring stack have matching temperature oscillations, so the leading thermal exchange vanishes. Below this threshold, the heat transport reverses.

B.3

Take \(dQ>0\) for heat entering the parcel and \(p\,dV>0\) for work done by the gas. The first law is

\[ dQ=dU+p\,dV. \]

For the ideal gas,

\[ U=nc_vT =\frac{nRT}{\gamma-1} =\frac{pV}{\gamma-1}. \]

Hence

\[ dQ =\frac{V\,dp+p\,dV}{\gamma-1}+p\,dV =\frac{V\,dp+\gamma p\,dV}{\gamma-1}. \]

To first order, the coefficients multiplying the small rates can be replaced by equilibrium values:

\[ \boxed{\frac{dQ}{dt}\simeq \frac{V_0\,dp/dt+\gamma p_0\,dV/dt}{\gamma-1}.} \]

B.4

From B.1 and B.2,

\[ T_{\mathrm{st}}-T_1 =\frac{a}{\sqrt2\,\ell}(\tau-\tau_{\mathrm{cr}}). \]

For brevity, define

\[ \Delta T\equiv \frac{a(\tau-\tau_{\mathrm{cr}})}{\sqrt2\,\ell}. \]

The prescribed heat input is then

\[ \dot Q=-\beta V_0\Delta T\cos(\omega t). \]

Differentiating the pressure and volume expressions,

\[ \dot p=\omega p_a\cos(\omega t)+\omega p_b\sin(\omega t), \]

\[ \dot V=\omega V_a\cos(\omega t)-\omega V_b\sin(\omega t). \]

Substitution into B.3 gives

\[ \dot Q= \frac{\omega}{\gamma-1} \left[ (V_0p_a+\gamma p_0V_a)\cos(\omega t) +(V_0p_b-\gamma p_0V_b)\sin(\omega t) \right]. \]

Matching the sine coefficients,

\[ V_0p_b-\gamma p_0V_b=0, \]

so

\[ \boxed{V_b=\frac{V_0p_b}{\gamma p_0}.} \]

Matching the cosine coefficients,

\[ \frac{\omega}{\gamma-1} (V_0p_a+\gamma p_0V_a) =-\beta V_0\Delta T. \]

Thus

\[ \boxed{ V_a=-\frac{V_0}{\gamma p_0} \left[ p_a+\frac{(\gamma-1)\beta a(\tau-\tau_{\mathrm{cr}})} {\sqrt2\,\omega\ell} \right].} \]

The term proportional to \(\beta\) supplies the volume component needed for nonzero cycle work.

B.5

The work done by a parcel over one cycle is

\[ W_{\mathrm{parcel}}=\oint p\,dV. \]

Writing \(\theta=\omega t\), the constant-pressure contribution integrates to zero, leaving

\[ W_{\mathrm{parcel}} =\int_0^{2\pi} (p_a\sin\theta-p_b\cos\theta) (V_a\cos\theta-V_b\sin\theta)\,d\theta. \]

Using

\[ \int_0^{2\pi}\sin\theta\cos\theta\,d\theta=0, \qquad \int_0^{2\pi}\sin^2\theta\,d\theta =\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta=\pi, \]

we obtain

\[ W_{\mathrm{parcel}}=-\pi(p_aV_b+p_bV_a). \]

The terms containing \(p_ap_b\) cancel upon substituting B.4:

\[ W_{\mathrm{parcel}} =\frac{\pi(\gamma-1)\beta V_0p_b}{\gamma p_0\omega}\Delta T. \]

Therefore the work per unit equilibrium volume is

\[ w=\frac{W_{\mathrm{parcel}}}{V_0} =\frac{\pi(\gamma-1)\beta p_b}{\gamma p_0\omega} \frac{a(\tau-\tau_{\mathrm{cr}})}{\sqrt2\,\ell}. \]

Since this is already first order in thermal coupling, use the unperturbed pressure coefficient:

\[ p_b\simeq p_1(x_0) =\gamma p_0ak\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) =\frac{\gamma p_0ak}{\sqrt2}. \]

Hence

\[ \boxed{ w\simeq \frac{\pi(\gamma-1)\beta a^2k}{2\omega\ell} (\tau-\tau_{\mathrm{cr}}).} \]

The stack is short, so this work density is approximately uniform over its gas volume \(S\ell\). Thus

\[ W_{\mathrm{tot}}\simeq wS\ell, \]

giving

\[ \boxed{ W_{\mathrm{tot}}\simeq \frac{\pi(\gamma-1)\beta a^2kS}{2\omega} (\tau-\tau_{\mathrm{cr}}).} \]

The work is positive in the engine regime \(\tau>\tau_{\mathrm{cr}}\).

B.6

Let \(q(t)\) denote the heat acquired from the stack per unit equilibrium gas volume, measured relative to an arbitrary constant. To the retained order,

\[ \dot q=\frac{\dot Q}{V_0} =-\beta\Delta T\cos(\omega t). \]

Integrating,

\[ q(t)=-\frac{\beta\Delta T}{\omega}\sin(\omega t)+q_*. \]

The parcel velocity at the stack center is

\[ v(t)=\dot u(x_0,t) =-\frac{a\omega}{\sqrt2}\sin(\omega t). \]

With \(q\) expressed per unit volume, the convective heat flux per unit area is

\[ j(t)=q(t)v(t). \]

The arbitrary constant contributes no net transport because the velocity averages to zero. The purely adiabatic contribution also gives zero cycle average: it is proportional to \(\cos(\omega t)\), whereas velocity is proportional to \(\sin(\omega t)\). The net heat transported through the cross section is therefore

\[ \begin{aligned} Q_{\mathrm{tot}} &=S\int_0^{2\pi/\omega}q(t)v(t)\,dt\\ &=\frac{S\beta a\Delta T}{\sqrt2} \int_0^{2\pi/\omega}\sin^2(\omega t)\,dt\\ &=\frac{\pi S\beta a\Delta T}{\sqrt2\,\omega}. \end{aligned} \]

Substituting \(\Delta T\),

\[ \boxed{ Q_{\mathrm{tot}}\simeq \frac{\pi\beta a^2S}{2\omega\ell} (\tau-\tau_{\mathrm{cr}}).} \]

The sign is positive for left-to-right transport when \(\tau>\tau_{\mathrm{cr}}\).

B.7

To the accuracy retained for the short stack and small temperature difference, the heat drawn from the hot reservoir is approximately the heat transported across the stack center:

\[ Q_H\simeq Q_{\mathrm{tot}}. \]

Their difference is of order the acoustic work. Since the efficiency itself is small, accounting for that difference would change the efficiency only at higher order.

Using B.5 and B.6,

\[ \eta=\frac{W_{\mathrm{tot}}}{Q_H} \simeq\frac{W_{\mathrm{tot}}}{Q_{\mathrm{tot}}} =(\gamma-1)k\ell =\frac{\tau_{\mathrm{cr}}}{T_0}. \]

Meanwhile,

\[ \eta_c =1-\frac{T_0-\tau/2}{T_0+\tau/2} =\frac{\tau}{T_0+\tau/2} \simeq\frac{\tau}{T_0}, \]

because \(\tau\ll T_0\). Therefore,

\[ \boxed{\eta\simeq\frac{\tau_{\mathrm{cr}}}{\tau}\eta_c.} \]

For engine operation, \(\tau>\tau_{\mathrm{cr}}\), so the efficiency is below the Carnot efficiency. As the threshold is approached from above, the efficiency approaches the Carnot value at this order, while both work output and heat transport vanish. At the threshold itself their ratio does not define a finite-output engine efficiency.

The solution was checked against the official solution.

Lösung

Bei der Bestimmung der schwingenden thermodynamischen Größen berücksichtigen wir Störungen erster Ordnung. Die ersten von null verschiedenen Zyklusmittelwerte der Arbeit und der transportierten Wärme treten in zweiter Ordnung in der Wellenamplitude auf. Die thermische Kopplung ist schwach, sodass in Ausdrücken, die bereits proportional zu dieser Kopplung sind, die ungestörten Wellenamplituden verwendet werden können.

A.1

An den verschlossenen, starren Enden muss die longitudinale Auslenkung null sein:

\[ u(0,t)=u(L,t)=0. \]

Die erste Bedingung ist bereits erfüllt. Die zweite ergibt

\[ \sin(kL)=0 \quad\Longrightarrow\quad kL=n\pi,\qquad n=1,2,\ldots. \]

Die Wahl \(n=0\) liefert keine Welle. Somit gilt

\[ \lambda_n=\frac{2\pi}{k}=\frac{2L}{n}. \]

Die größte Wellenlänge entspricht \(n=1\):

\[ \boxed{\lambda_{\max}=2L,\qquad k=\frac{\pi}{L}.} \]

A.2

Die beiden Grenzen des Pakets bewegen sich nach

\[ x+u(x,t),\qquad x+\Delta x+u(x+\Delta x,t). \]

Folglich gilt

\[ V(x,t) =S\left[\Delta x+u(x+\Delta x,t)-u(x,t)\right]. \]

Für \(k\Delta x\ll1\) gilt

\[ V(x,t)\simeq S\Delta x\left(1+\frac{\partial u}{\partial x}\right) =V_0\left[1+ak\cos(kx)\cos(\omega t)\right]. \]

Daher ist

\[ \boxed{V_1(x)=V_0ak\cos(kx).} \]

A.3

Die Druckkräfte auf das Paket ergeben in erster Ordnung

\[ F_x=S[p(x,t)-p(x+\Delta x,t)] \simeq-S\Delta x\,\frac{\partial p}{\partial x}. \]

Die Masse des Pakets beträgt \(\rho_0S\Delta x\). Das zweite Newtonsche Gesetz lautet daher

\[ \rho_0\frac{\partial^2u}{\partial t^2} =-\frac{\partial p}{\partial x}. \]

Einsetzen der gegebenen Schwingungen liefert

\[ -\rho_0a\omega^2\sin(kx)\cos(\omega t) =p_1'(x)\cos(\omega t), \]

also

\[ p_1'(x)=-\rho_0a\omega^2\sin(kx). \]

Integration ergibt

\[ p_1(x)=\frac{\rho_0a\omega^2}{k}\cos(kx)+C. \]

Es gibt keine räumlich gleichförmige akustische Kompression: Die gesamte Volumenänderung ist proportional zu

\[ \int_0^L\frac{\partial u}{\partial x}\,dx=u(L,t)-u(0,t)=0. \]

Die lineare adiabatische Beziehung zwischen Druck und Kompression, die in A.4 explizit angegeben wird, verlangt dann, dass die räumlich gemittelte Druckstörung verschwindet. Da \(\int_0^L\cos(kx)\,dx=0\), folgt daraus \(C=0\). Somit ist

\[ \boxed{p_1(x)=\frac{\rho_0a\omega^2}{k}\cos(kx).} \]

A.4

Die Linearisierung von \(pV^\gamma=p_0V_0^\gamma\) ergibt

\[ \frac{\delta p}{p_0} +\gamma\frac{\delta V}{V_0}=0. \]

Mit \(\delta p=-p_1\cos(\omega t)\) und \(\delta V=V_1\cos(\omega t)\) folgt

\[ p_1=\gamma p_0\frac{V_1}{V_0} =\gamma p_0ak\cos(kx). \]

Der Vergleich mit A.3 liefert

\[ \frac{\rho_0a\omega^2}{k} =\gamma p_0ak, \]

und somit

\[ \boxed{c=\frac{\omega}{k} =\sqrt{\frac{\gamma p_0}{\rho_0}}.} \]

A.5

Für eine feste Stoffmenge eines idealen Gases gilt

\[ pV=nRT. \]

Die linearisierte Form lautet

\[ \frac{\delta T}{T_0} =\frac{\delta p}{p_0}+\frac{\delta V}{V_0}. \]

Mit der adiabatischen Beziehung aus A.4 folgt

\[ \frac{\delta T}{T_0} =-(\gamma-1)\frac{\delta V}{V_0} =-(\gamma-1)ak\cos(kx)\cos(\omega t). \]

Der Vergleich mit der angegebenen Temperaturschwingung ergibt

\[ \boxed{T_1(x)=(\gamma-1)T_0ak\cos(kx).} \]

A.6

Betrachten Sie ein Paket in der linken Rohrhälfte, wo \(\cos(kx)>0\) gilt.

Wird es nach rechts ausgelenkt, expandiert es und kühlt ab. Es nimmt daher an einer relativ weit rechts liegenden Position Wärme vom Rohr auf. Wird es nach links ausgelenkt, wird es komprimiert und erwärmt, sodass es an einer relativ weit links liegenden Position Wärme an das Rohr abgibt. Durch Wiederholung wird Wärme zum linken Ende transportiert.

In der rechten Hälfte gilt \(\cos(kx)<0\), sodass sich die Zuordnung umkehrt: Ein Paket nimmt Wärme auf, wenn es zur Mitte hin ausgelenkt ist, und gibt Wärme ab, wenn es zum rechten Ende hin ausgelenkt ist.

Somit pumpt die akustische Bewegung Wärme aus dem mittleren Bereich zu beiden Enden:

\[ \boxed{ A:\ \text{Temperatur steigt},\qquad B:\ \text{Temperatur sinkt},\qquad C:\ \text{Temperatur steigt}.} \]

Obwohl das Paket, dessen Gleichgewichtslage genau in der Mitte liegt, in erster Ordnung keine Temperaturschwingung aufweist, bewegen sich benachbarte Pakete durch den mittleren Bereich und entziehen ihm Wärme. Der mittlere thermische Effekt ist von zweiter Ordnung in der Amplitude; er wird nicht durch die Temperatur erster Ordnung an einer einzelnen Gleichgewichtslage bestimmt.

B.1

In der Mitte des Stapels gilt

\[ kx_0=\frac{\pi}{L}\frac{L}{4}=\frac{\pi}{4}, \]

sodass die Auslenkung des Pakets

\[ u(x_0,t)=\frac{a}{\sqrt2}\cos(\omega t). \]

beträgt. Seine momentane Position ist \(x_0+u(x_0,t)\). Einsetzen in das Temperaturprofil der Platten ergibt

\[ T_{\mathrm{env}}(t) =T_0-\frac{\tau}{\ell}u(x_0,t) =T_0-\frac{a\tau}{\sqrt2\,\ell}\cos(\omega t). \]

Daher gilt

\[ \boxed{T_{\mathrm{st}}=\frac{a\tau}{\sqrt2\,\ell}.} \]

B.2

Die Amplitude der adiabatischen Gastemperaturschwingung in der Mitte des Stapels beträgt

\[ T_1(x_0)=\frac{(\gamma-1)T_0ak}{\sqrt2}. \]

Am linken Umkehrpunkt der Paketbewegung beträgt die Gastemperatur \(T_0+T_1\), während die Temperatur des benachbarten Stapelabschnitts \(T_0+T_{\mathrm{st}}\) beträgt. Damit das Paket dort Wärme aufnimmt, muss gelten

\[ T_{\mathrm{st}}>T_1. \]

Am rechten Umkehrpunkt bewirkt dieselbe Bedingung, dass der Stapel kälter als das Gas ist, sodass das Paket dort Wärme abgibt. Es transportiert daher genau dann Wärme von heiß nach kalt, wenn

\[ \frac{a\tau}{\sqrt2\,\ell} > \frac{(\gamma-1)T_0ak}{\sqrt2}. \]

Die kritische Temperaturdifferenz ist somit

\[ \boxed{\tau_{\mathrm{cr}}=(\gamma-1)T_0k\ell.} \]

Bei Gleichheit stimmen die Temperaturschwingungen des Gases und des benachbarten Stapelabschnitts überein, sodass der Wärmeaustausch in führender Ordnung verschwindet. Unterhalb dieser Schwelle kehrt sich die Richtung des Wärmetransports um.

B.3

Wir wählen \(dQ>0\) für Wärme, die dem Paket zugeführt wird, und \(p\,dV>0\) für vom Gas verrichtete Arbeit. Der erste Hauptsatz lautet

\[ dQ=dU+p\,dV. \]

Für das ideale Gas gilt

\[ U=nc_vT =\frac{nRT}{\gamma-1} =\frac{pV}{\gamma-1}. \]

Daraus folgt

\[ dQ =\frac{V\,dp+p\,dV}{\gamma-1}+p\,dV =\frac{V\,dp+\gamma p\,dV}{\gamma-1}. \]

In erster Ordnung können die Koeffizienten vor den kleinen Änderungsraten durch die Gleichgewichtswerte ersetzt werden:

\[ \boxed{\frac{dQ}{dt}\simeq \frac{V_0\,dp/dt+\gamma p_0\,dV/dt}{\gamma-1}.} \]

B.4

Aus B.1 und B.2 folgt

\[ T_{\mathrm{st}}-T_1 =\frac{a}{\sqrt2\,\ell}(\tau-\tau_{\mathrm{cr}}). \]

Zur Abkürzung definieren wir

\[ \Delta T\equiv \frac{a(\tau-\tau_{\mathrm{cr}})}{\sqrt2\,\ell}. \]

Die vorgegebene Wärmezufuhr pro Zeit lautet dann

\[ \dot Q=-\beta V_0\Delta T\cos(\omega t). \]

Ableiten der Ausdrücke für Druck und Volumen ergibt

\[ \dot p=\omega p_a\cos(\omega t)+\omega p_b\sin(\omega t), \]

\[ \dot V=\omega V_a\cos(\omega t)-\omega V_b\sin(\omega t). \]

Einsetzen in B.3 liefert

\[ \dot Q= \frac{\omega}{\gamma-1} \left[ (V_0p_a+\gamma p_0V_a)\cos(\omega t) +(V_0p_b-\gamma p_0V_b)\sin(\omega t) \right]. \]

Der Vergleich der Sinuskoeffizienten ergibt

\[ V_0p_b-\gamma p_0V_b=0, \]

also

\[ \boxed{V_b=\frac{V_0p_b}{\gamma p_0}.} \]

Der Vergleich der Kosinuskoeffizienten ergibt

\[ \frac{\omega}{\gamma-1} (V_0p_a+\gamma p_0V_a) =-\beta V_0\Delta T. \]

Somit gilt

\[ \boxed{ V_a=-\frac{V_0}{\gamma p_0} \left[ p_a+\frac{(\gamma-1)\beta a(\tau-\tau_{\mathrm{cr}})} {\sqrt2\,\omega\ell} \right].} \]

Der zu \(\beta\) proportionale Term liefert den Volumenanteil, der für eine von null verschiedene Arbeit pro Zyklus erforderlich ist.

B.5

Die von einem Paket während eines Zyklus verrichtete Arbeit beträgt

\[ W_{\mathrm{parcel}}=\oint p\,dV. \]

Mit \(\theta=\omega t\) integriert sich der Beitrag des konstanten Drucks zu null, und es bleibt

\[ W_{\mathrm{parcel}} =\int_0^{2\pi} (p_a\sin\theta-p_b\cos\theta) (V_a\cos\theta-V_b\sin\theta)\,d\theta. \]

Mit

\[ \int_0^{2\pi}\sin\theta\cos\theta\,d\theta=0, \qquad \int_0^{2\pi}\sin^2\theta\,d\theta =\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta=\pi, \]

erhalten wir

\[ W_{\mathrm{parcel}}=-\pi(p_aV_b+p_bV_a). \]

Beim Einsetzen von B.4 heben sich die Terme mit \(p_ap_b\) auf:

\[ W_{\mathrm{parcel}} =\frac{\pi(\gamma-1)\beta V_0p_b}{\gamma p_0\omega}\Delta T. \]

Die Arbeit pro Einheit des Gleichgewichtsvolumens beträgt daher

\[ w=\frac{W_{\mathrm{parcel}}}{V_0} =\frac{\pi(\gamma-1)\beta p_b}{\gamma p_0\omega} \frac{a(\tau-\tau_{\mathrm{cr}})}{\sqrt2\,\ell}. \]

Da dieser Ausdruck bereits von erster Ordnung in der thermischen Kopplung ist, verwenden wir den ungestörten Druckkoeffizienten:

\[ p_b\simeq p_1(x_0) =\gamma p_0ak\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) =\frac{\gamma p_0ak}{\sqrt2}. \]

Daraus folgt

\[ \boxed{ w\simeq \frac{\pi(\gamma-1)\beta a^2k}{2\omega\ell} (\tau-\tau_{\mathrm{cr}}).} \]

Der Stapel ist kurz, sodass diese Arbeitsdichte über sein Gasvolumen \(S\ell\) näherungsweise räumlich einheitlich ist. Somit gilt

\[ W_{\mathrm{tot}}\simeq wS\ell, \]

woraus sich

\[ \boxed{ W_{\mathrm{tot}}\simeq \frac{\pi(\gamma-1)\beta a^2kS}{2\omega} (\tau-\tau_{\mathrm{cr}}).} \]

ergibt. Die Arbeit ist im Wärmekraftmaschinenbetrieb \(\tau>\tau_{\mathrm{cr}}\) positiv.

B.6

Sei \(q(t)\) die vom Stapel aufgenommene Wärme pro Einheit des Gleichgewichtsvolumens des Gases, bezogen auf eine beliebige Konstante. In der berücksichtigten Ordnung gilt

\[ \dot q=\frac{\dot Q}{V_0} =-\beta\Delta T\cos(\omega t). \]

Integration ergibt

\[ q(t)=-\frac{\beta\Delta T}{\omega}\sin(\omega t)+q_*. \]

Die Geschwindigkeit des Pakets in der Mitte des Stapels beträgt

\[ v(t)=\dot u(x_0,t) =-\frac{a\omega}{\sqrt2}\sin(\omega t). \]

Da \(q\) auf eine Volumeneinheit bezogen ist, lautet die konvektive Wärmestromdichte pro Flächeneinheit

\[ j(t)=q(t)v(t). \]

Die beliebige Konstante trägt nicht zum Nettotransport bei, da der Mittelwert der Geschwindigkeit null ist. Auch der rein adiabatische Beitrag hat einen verschwindenden Zyklusmittelwert: Er ist proportional zu \(\cos(\omega t)\), während die Geschwindigkeit proportional zu \(\sin(\omega t)\) ist. Die netto durch den Querschnitt transportierte Wärme beträgt daher

\[ \begin{aligned} Q_{\mathrm{tot}} &=S\int_0^{2\pi/\omega}q(t)v(t)\,dt\\ &=\frac{S\beta a\Delta T}{\sqrt2} \int_0^{2\pi/\omega}\sin^2(\omega t)\,dt\\ &=\frac{\pi S\beta a\Delta T}{\sqrt2\,\omega}. \end{aligned} \]

Einsetzen von \(\Delta T\) ergibt

\[ \boxed{ Q_{\mathrm{tot}}\simeq \frac{\pi\beta a^2S}{2\omega\ell} (\tau-\tau_{\mathrm{cr}}).} \]

Für \(\tau>\tau_{\mathrm{cr}}\) ist das Vorzeichen positiv, entsprechend einem Transport von links nach rechts.

B.7

Innerhalb der berücksichtigten Genauigkeit für den kurzen Stapel und die kleine Temperaturdifferenz ist die dem heißen Reservoir entnommene Wärme näherungsweise gleich der durch die Mitte des Stapels transportierten Wärme:

\[ Q_H\simeq Q_{\mathrm{tot}}. \]

Ihre Differenz ist von der Größenordnung der akustischen Arbeit. Da der Wirkungsgrad selbst klein ist, würde die Berücksichtigung dieser Differenz den Wirkungsgrad nur in höherer Ordnung verändern.

Mit B.5 und B.6 folgt

\[ \eta=\frac{W_{\mathrm{tot}}}{Q_H} \simeq\frac{W_{\mathrm{tot}}}{Q_{\mathrm{tot}}} =(\gamma-1)k\ell =\frac{\tau_{\mathrm{cr}}}{T_0}. \]

Zugleich gilt

\[ \eta_c =1-\frac{T_0-\tau/2}{T_0+\tau/2} =\frac{\tau}{T_0+\tau/2} \simeq\frac{\tau}{T_0}, \]

weil \(\tau\ll T_0\). Daher ist

\[ \boxed{\eta\simeq\frac{\tau_{\mathrm{cr}}}{\tau}\eta_c.} \]

Für den Wärmekraftmaschinenbetrieb gilt \(\tau>\tau_{\mathrm{cr}}\), sodass der Wirkungsgrad unter dem Carnot-Wirkungsgrad liegt. Nähert man sich der Schwelle von oben, nähert sich der Wirkungsgrad in dieser Ordnung dem Carnot-Wert, während sowohl die abgegebene Arbeit als auch der Wärmetransport verschwinden. An der Schwelle selbst definiert ihr Verhältnis keinen Wirkungsgrad einer Wärmekraftmaschine mit endlicher Leistungsabgabe.

Die Lösung wurde mit der offiziellen Lösung abgeglichen.

Çözüm

Salınan termodinamik nicelikleri bulurken birinci mertebeden pertürbasyonları koruyoruz. İşin ve taşınan ısının çevrim ortalamaları, dalga genliğine göre ilk kez ikinci mertebede sıfırdan farklı olur. Isıl bağlaşım zayıf olduğundan, zaten bu bağlaşımla orantılı olan ifadelerde pertürbe edilmemiş dalga genlikleri kullanılabilir.

A.1

Kapalı, rijit uçlar boyuna yer değiştirmenin sıfır olmasını gerektirir:

\[ u(0,t)=u(L,t)=0. \]

İlk koşul zaten sağlanmaktadır. İkinci koşul

\[ \sin(kL)=0 \quad\Longrightarrow\quad kL=n\pi,\qquad n=1,2,\ldots. \]

sonucunu verir. \(n=0\) seçimi bir dalga vermez. Dolayısıyla

\[ \lambda_n=\frac{2\pi}{k}=\frac{2L}{n}. \]

En uzun dalga boyu \(n=1\)'e karşılık gelir:

\[ \boxed{\lambda_{\max}=2L,\qquad k=\frac{\pi}{L}.} \]

A.2

Paketin iki sınırı

\[ x+u(x,t),\qquad x+\Delta x+u(x+\Delta x,t). \]

konumlarına hareket eder. Bunun sonucunda

\[ V(x,t) =S\left[\Delta x+u(x+\Delta x,t)-u(x,t)\right]. \]

\(k\Delta x\ll1\) için,

\[ V(x,t)\simeq S\Delta x\left(1+\frac{\partial u}{\partial x}\right) =V_0\left[1+ak\cos(kx)\cos(\omega t)\right]. \]

Böylece,

\[ \boxed{V_1(x)=V_0ak\cos(kx).} \]

A.3

Pakete etki eden basınç kuvvetleri, birinci mertebede,

\[ F_x=S[p(x,t)-p(x+\Delta x,t)] \simeq-S\Delta x\,\frac{\partial p}{\partial x}. \]

sonucunu verir. Paketin kütlesi \(\rho_0S\Delta x\)'tir. Dolayısıyla Newton'ın ikinci yasası

\[ \rho_0\frac{\partial^2u}{\partial t^2} =-\frac{\partial p}{\partial x}. \]

biçimini alır. Verilen salınım ifadelerini yerine koyarsak,

\[ -\rho_0a\omega^2\sin(kx)\cos(\omega t) =p_1'(x)\cos(\omega t), \]

dolayısıyla

\[ p_1'(x)=-\rho_0a\omega^2\sin(kx). \]

İntegral alındığında

\[ p_1(x)=\frac{\rho_0a\omega^2}{k}\cos(kx)+C. \]

elde edilir. Uzayda düzgün bir akustik sıkışma yoktur: toplam hacim değişimi

\[ \int_0^L\frac{\partial u}{\partial x}\,dx=u(L,t)-u(0,t)=0. \]

ile orantılıdır. A.4'te açıkça yazılan doğrusal adyabatik basınç–sıkışma bağıntısı, bu durumda basınç pertürbasyonunun uzaysal ortalamasının sıfır olmasını gerektirir. \(\int_0^L\cos(kx)\,dx=0\) olduğundan, bu koşul \(C=0\) değerini belirler. Böylece

\[ \boxed{p_1(x)=\frac{\rho_0a\omega^2}{k}\cos(kx).} \]

A.4

\(pV^\gamma=p_0V_0^\gamma\) bağıntısını doğrusallaştırırsak,

\[ \frac{\delta p}{p_0} +\gamma\frac{\delta V}{V_0}=0. \]

\(\delta p=-p_1\cos(\omega t)\) ve \(\delta V=V_1\cos(\omega t)\) kullanılarak,

\[ p_1=\gamma p_0\frac{V_1}{V_0} =\gamma p_0ak\cos(kx). \]

A.3 ile karşılaştırıldığında

\[ \frac{\rho_0a\omega^2}{k} =\gamma p_0ak, \]

ve dolayısıyla

\[ \boxed{c=\frac{\omega}{k} =\sqrt{\frac{\gamma p_0}{\rho_0}}.} \]

elde edilir.

A.5

Sabit miktarda ideal gaz için,

\[ pV=nRT. \]

Bunun doğrusallaştırılmış biçimi

\[ \frac{\delta T}{T_0} =\frac{\delta p}{p_0}+\frac{\delta V}{V_0}. \]

şeklindedir. A.4'teki adyabatik bağıntıyı kullanarak,

\[ \frac{\delta T}{T_0} =-(\gamma-1)\frac{\delta V}{V_0} =-(\gamma-1)ak\cos(kx)\cos(\omega t). \]

Belirtilen sıcaklık salınımıyla karşılaştırırsak,

\[ \boxed{T_1(x)=(\gamma-1)T_0ak\cos(kx).} \]

A.6

Borunun \(\cos(kx)>0\) olan sol yarısındaki bir paketi ele alın.

Sağa yer değiştirdiğinde genleşir ve soğur. Bu nedenle görece daha sağdaki bir konumda borudan ısı alır. Sola yer değiştirdiğinde ise sıkışır ve ısınır; dolayısıyla görece daha soldaki bir konumda boruya ısı verir. Bu sürecin tekrarlanması, ısıyı sol uca doğru aktarır.

Sağ yarıda \(\cos(kx)<0\) olduğundan ilişki tersine döner: bir paket merkeze doğru yer değiştirdiğinde ısı alır, sağ uca doğru yer değiştirdiğinde ise ısı verir.

Böylece akustik hareket, merkez bölgeden her iki uca doğru ısı pompalar:

\[ \boxed{ A:\ \text{sıcaklık artar},\qquad B:\ \text{sıcaklık azalır},\qquad C:\ \text{sıcaklık artar}.} \]

Denge konumu tam merkezde olan paketin birinci mertebeden sıcaklık salınımı sıfır olsa da, komşu paketler merkez bölgeden geçerek ısıyı uzaklaştırır. Ortalama ısıl etki, genliğe göre ikinci mertebedendir; tek bir denge konumundaki birinci mertebeden sıcaklıkla belirlenmez.

B.1

İstifin merkezinde,

\[ kx_0=\frac{\pi}{L}\frac{L}{4}=\frac{\pi}{4}, \]

dolayısıyla paketin yer değiştirmesi

\[ u(x_0,t)=\frac{a}{\sqrt2}\cos(\omega t). \]

olur. Anlık konumu \(x_0+u(x_0,t)\)'dir. Bunu levhanın sıcaklık profiline yerleştirirsek

\[ T_{\mathrm{env}}(t) =T_0-\frac{\tau}{\ell}u(x_0,t) =T_0-\frac{a\tau}{\sqrt2\,\ell}\cos(\omega t). \]

elde edilir. Dolayısıyla,

\[ \boxed{T_{\mathrm{st}}=\frac{a\tau}{\sqrt2\,\ell}.} \]

B.2

İstifin merkezindeki adyabatik gaz sıcaklığı genliği

\[ T_1(x_0)=\frac{(\gamma-1)T_0ak}{\sqrt2}. \]

şeklindedir. Paketin hareketinin en sol noktasında gazın sıcaklığı \(T_0+T_1\), komşu istif bölümünün sıcaklığı ise \(T_0+T_{\mathrm{st}}\)'dir. Paketin burada ısı alabilmesi için

\[ T_{\mathrm{st}}>T_1. \]

koşulu sağlanmalıdır. En sağ noktada aynı koşul, istifin gazdan daha soğuk olmasını sağlar; dolayısıyla paket burada ısı verir. Böylece paket, tam olarak

\[ \frac{a\tau}{\sqrt2\,\ell} > \frac{(\gamma-1)T_0ak}{\sqrt2}. \]

olduğunda sıcaktan soğuğa ısı taşır. Dolayısıyla kritik sıcaklık farkı

\[ \boxed{\tau_{\mathrm{cr}}=(\gamma-1)T_0k\ell.} \]

olur. Eşitlik durumunda gazın ve komşu istif bölümünün sıcaklık salınımları örtüşür; bu nedenle en düşük mertebedeki ısı alışverişi sıfır olur. Bu eşiğin altında ısı taşınımının yönü tersine döner.

B.3

Pakete giren ısı için \(dQ>0\), gazın yaptığı iş için \(p\,dV>0\) alalım. Birinci yasa

\[ dQ=dU+p\,dV. \]

şeklindedir. İdeal gaz için,

\[ U=nc_vT =\frac{nRT}{\gamma-1} =\frac{pV}{\gamma-1}. \]

Böylece

\[ dQ =\frac{V\,dp+p\,dV}{\gamma-1}+p\,dV =\frac{V\,dp+\gamma p\,dV}{\gamma-1}. \]

Birinci mertebede, küçük değişim hızlarını çarpan katsayıların yerine denge değerleri konabilir:

\[ \boxed{\frac{dQ}{dt}\simeq \frac{V_0\,dp/dt+\gamma p_0\,dV/dt}{\gamma-1}.} \]

B.4

B.1 ve B.2'den,

\[ T_{\mathrm{st}}-T_1 =\frac{a}{\sqrt2\,\ell}(\tau-\tau_{\mathrm{cr}}). \]

Kısalık için,

\[ \Delta T\equiv \frac{a(\tau-\tau_{\mathrm{cr}})}{\sqrt2\,\ell}. \]

tanımını yapalım. Bu durumda verilen ısı girişi

\[ \dot Q=-\beta V_0\Delta T\cos(\omega t). \]

olur. Basınç ve hacim ifadelerinin türevlerini alırsak,

\[ \dot p=\omega p_a\cos(\omega t)+\omega p_b\sin(\omega t), \]

\[ \dot V=\omega V_a\cos(\omega t)-\omega V_b\sin(\omega t). \]

B.3'te yerine koyarak

\[ \dot Q= \frac{\omega}{\gamma-1} \left[ (V_0p_a+\gamma p_0V_a)\cos(\omega t) +(V_0p_b-\gamma p_0V_b)\sin(\omega t) \right]. \]

elde ederiz. Sinüs katsayılarını eşitleyince,

\[ V_0p_b-\gamma p_0V_b=0, \]

dolayısıyla

\[ \boxed{V_b=\frac{V_0p_b}{\gamma p_0}.} \]

Kosinüs katsayılarını eşitleyince,

\[ \frac{\omega}{\gamma-1} (V_0p_a+\gamma p_0V_a) =-\beta V_0\Delta T. \]

Böylece

\[ \boxed{ V_a=-\frac{V_0}{\gamma p_0} \left[ p_a+\frac{(\gamma-1)\beta a(\tau-\tau_{\mathrm{cr}})} {\sqrt2\,\omega\ell} \right].} \]

\(\beta\) ile orantılı terim, sıfırdan farklı çevrim işi için gereken hacim bileşenini sağlar.

B.5

Bir paketin bir çevrim boyunca yaptığı iş

\[ W_{\mathrm{parcel}}=\oint p\,dV. \]

şeklindedir. \(\theta=\omega t\) yazıldığında, sabit basıncın katkısının integrali sıfır olur ve geriye

\[ W_{\mathrm{parcel}} =\int_0^{2\pi} (p_a\sin\theta-p_b\cos\theta) (V_a\cos\theta-V_b\sin\theta)\,d\theta. \]

kalır.

\[ \int_0^{2\pi}\sin\theta\cos\theta\,d\theta=0, \qquad \int_0^{2\pi}\sin^2\theta\,d\theta =\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta=\pi, \]

bağıntılarını kullanarak

\[ W_{\mathrm{parcel}}=-\pi(p_aV_b+p_bV_a). \]

elde ederiz. B.4'teki ifadeler yerine konduğunda, \(p_ap_b\) içeren terimler birbirini götürür:

\[ W_{\mathrm{parcel}} =\frac{\pi(\gamma-1)\beta V_0p_b}{\gamma p_0\omega}\Delta T. \]

Dolayısıyla birim denge hacmi başına iş

\[ w=\frac{W_{\mathrm{parcel}}}{V_0} =\frac{\pi(\gamma-1)\beta p_b}{\gamma p_0\omega} \frac{a(\tau-\tau_{\mathrm{cr}})}{\sqrt2\,\ell}. \]

olur. Bu ifade ısıl bağlaşıma göre zaten birinci mertebeden olduğundan, pertürbe edilmemiş basınç katsayısını kullanırız:

\[ p_b\simeq p_1(x_0) =\gamma p_0ak\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) =\frac{\gamma p_0ak}{\sqrt2}. \]

Böylece

\[ \boxed{ w\simeq \frac{\pi(\gamma-1)\beta a^2k}{2\omega\ell} (\tau-\tau_{\mathrm{cr}}).} \]

İstif kısa olduğundan, bu iş yoğunluğu istifin \(S\ell\) gaz hacmi boyunca yaklaşık olarak düzgündür. Dolayısıyla

\[ W_{\mathrm{tot}}\simeq wS\ell, \]

ve buradan

\[ \boxed{ W_{\mathrm{tot}}\simeq \frac{\pi(\gamma-1)\beta a^2kS}{2\omega} (\tau-\tau_{\mathrm{cr}}).} \]

elde edilir. \(\tau>\tau_{\mathrm{cr}}\) olan motor çalışma rejiminde iş pozitiftir.

B.6

\(q(t)\), birim denge gaz hacmi başına istiften alınan ve keyfî bir sabite göre ölçülen ısıyı göstersin. Koruduğumuz mertebede,

\[ \dot q=\frac{\dot Q}{V_0} =-\beta\Delta T\cos(\omega t). \]

İntegral alırsak,

\[ q(t)=-\frac{\beta\Delta T}{\omega}\sin(\omega t)+q_*. \]

İstifin merkezindeki paket hızı

\[ v(t)=\dot u(x_0,t) =-\frac{a\omega}{\sqrt2}\sin(\omega t). \]

şeklindedir. \(q\) birim hacim başına ifade edildiğinde, birim alan başına taşınımla ısı akısı

\[ j(t)=q(t)v(t). \]

olur. Hızın ortalaması sıfır olduğundan, keyfî sabit net taşınıma katkı yapmaz. Tamamen adyabatik katkının çevrim ortalaması da sıfırdır: bu katkı \(\cos(\omega t)\) ile orantılıyken hız \(\sin(\omega t)\) ile orantılıdır. Dolayısıyla kesitten taşınan net ısı

\[ \begin{aligned} Q_{\mathrm{tot}} &=S\int_0^{2\pi/\omega}q(t)v(t)\,dt\\ &=\frac{S\beta a\Delta T}{\sqrt2} \int_0^{2\pi/\omega}\sin^2(\omega t)\,dt\\ &=\frac{\pi S\beta a\Delta T}{\sqrt2\,\omega}. \end{aligned} \]

olur. \(\Delta T\)'yi yerine koyarsak,

\[ \boxed{ Q_{\mathrm{tot}}\simeq \frac{\pi\beta a^2S}{2\omega\ell} (\tau-\tau_{\mathrm{cr}}).} \]

\(\tau>\tau_{\mathrm{cr}}\) olduğunda, soldan sağa taşınım için işaret pozitiftir.

B.7

Kısa istif ve küçük sıcaklık farkı için koruduğumuz doğruluk düzeyinde, sıcak depodan alınan ısı yaklaşık olarak istifin merkezinden taşınan ısıya eşittir:

\[ Q_H\simeq Q_{\mathrm{tot}}. \]

Aralarındaki fark, akustik iş mertebesindedir. Verimin kendisi küçük olduğundan, bu farkı hesaba katmak verimi yalnızca daha yüksek mertebede değiştirir.

B.5 ve B.6'yı kullanarak,

\[ \eta=\frac{W_{\mathrm{tot}}}{Q_H} \simeq\frac{W_{\mathrm{tot}}}{Q_{\mathrm{tot}}} =(\gamma-1)k\ell =\frac{\tau_{\mathrm{cr}}}{T_0}. \]

Öte yandan,

\[ \eta_c =1-\frac{T_0-\tau/2}{T_0+\tau/2} =\frac{\tau}{T_0+\tau/2} \simeq\frac{\tau}{T_0}, \]

çünkü \(\tau\ll T_0\). Dolayısıyla,

\[ \boxed{\eta\simeq\frac{\tau_{\mathrm{cr}}}{\tau}\eta_c.} \]

Motor olarak çalışma için \(\tau>\tau_{\mathrm{cr}}\) olduğundan verim, Carnot veriminin altındadır. Eşiğe yukarıdan yaklaşıldıkça verim, bu mertebede Carnot değerine yaklaşırken hem üretilen iş hem de taşınan ısı sıfıra gider. Tam eşikte bu iki niceliğin oranı, sonlu iş çıktısı olan bir motor verimi tanımlamaz.

Çözüm, resmi çözümle karşılaştırılarak kontrol edildi.

Solución

Conservamos las perturbaciones de primer orden al determinar las magnitudes termodinámicas oscilantes. Los primeros promedios no nulos por ciclo del trabajo y del calor transportado aparecen a segundo orden en la amplitud de la onda. El acoplamiento térmico es débil, por lo que pueden utilizarse las amplitudes de la onda sin perturbar en las expresiones que ya son proporcionales a dicho acoplamiento.

A.1

Los extremos rígidos y cerrados herméticamente exigen que el desplazamiento longitudinal sea nulo:

\[ u(0,t)=u(L,t)=0. \]

La primera condición ya se cumple. La segunda da

\[ \sin(kL)=0 \quad\Longrightarrow\quad kL=n\pi,\qquad n=1,2,\ldots. \]

La elección \(n=0\) no produce ninguna onda. Por tanto,

\[ \lambda_n=\frac{2\pi}{k}=\frac{2L}{n}. \]

La mayor longitud de onda corresponde a \(n=1\):

\[ \boxed{\lambda_{\max}=2L,\qquad k=\frac{\pi}{L}.} \]

A.2

Los dos límites de la porción se desplazan hasta

\[ x+u(x,t),\qquad x+\Delta x+u(x+\Delta x,t). \]

En consecuencia,

\[ V(x,t) =S\left[\Delta x+u(x+\Delta x,t)-u(x,t)\right]. \]

Para \(k\Delta x\ll1\),

\[ V(x,t)\simeq S\Delta x\left(1+\frac{\partial u}{\partial x}\right) =V_0\left[1+ak\cos(kx)\cos(\omega t)\right]. \]

Por tanto,

\[ \boxed{V_1(x)=V_0ak\cos(kx).} \]

A.3

Las fuerzas de presión sobre la porción dan, a primer orden,

\[ F_x=S[p(x,t)-p(x+\Delta x,t)] \simeq-S\Delta x\,\frac{\partial p}{\partial x}. \]

La masa de la porción es \(\rho_0S\Delta x\). Por tanto, la segunda ley de Newton se convierte en

\[ \rho_0\frac{\partial^2u}{\partial t^2} =-\frac{\partial p}{\partial x}. \]

Sustituyendo las oscilaciones dadas,

\[ -\rho_0a\omega^2\sin(kx)\cos(\omega t) =p_1'(x)\cos(\omega t), \]

de modo que

\[ p_1'(x)=-\rho_0a\omega^2\sin(kx). \]

La integración da

\[ p_1(x)=\frac{\rho_0a\omega^2}{k}\cos(kx)+C. \]

No hay compresión acústica espacialmente uniforme: el cambio total de volumen es proporcional a

\[ \int_0^L\frac{\partial u}{\partial x}\,dx=u(L,t)-u(0,t)=0. \]

La relación adiabática lineal entre presión y compresión, que se explicita en A.4, exige entonces que el promedio espacial de la perturbación de presión sea nulo. Como \(\int_0^L\cos(kx)\,dx=0\), esto fija \(C=0\). Por consiguiente,

\[ \boxed{p_1(x)=\frac{\rho_0a\omega^2}{k}\cos(kx).} \]

A.4

Linealizando \(pV^\gamma=p_0V_0^\gamma\),

\[ \frac{\delta p}{p_0} +\gamma\frac{\delta V}{V_0}=0. \]

Utilizando \(\delta p=-p_1\cos(\omega t)\) y \(\delta V=V_1\cos(\omega t)\),

\[ p_1=\gamma p_0\frac{V_1}{V_0} =\gamma p_0ak\cos(kx). \]

La comparación con A.3 da

\[ \frac{\rho_0a\omega^2}{k} =\gamma p_0ak, \]

y, por tanto,

\[ \boxed{c=\frac{\omega}{k} =\sqrt{\frac{\gamma p_0}{\rho_0}}.} \]

A.5

Para una cantidad fija de gas ideal,

\[ pV=nRT. \]

Su forma linealizada es

\[ \frac{\delta T}{T_0} =\frac{\delta p}{p_0}+\frac{\delta V}{V_0}. \]

Utilizando la relación adiabática de A.4,

\[ \frac{\delta T}{T_0} =-(\gamma-1)\frac{\delta V}{V_0} =-(\gamma-1)ak\cos(kx)\cos(\omega t). \]

Comparando con la oscilación de temperatura especificada,

\[ \boxed{T_1(x)=(\gamma-1)T_0ak\cos(kx).} \]

A.6

Consideremos una porción en la mitad izquierda del tubo, donde \(\cos(kx)>0\).

Cuando se desplaza hacia la derecha, se expande y se enfría. En consecuencia, absorbe calor del tubo en una posición relativamente más a la derecha. Cuando se desplaza hacia la izquierda, se comprime y se calienta, por lo que cede calor al tubo en una posición relativamente más a la izquierda. La repetición de este proceso transfiere calor hacia el extremo izquierdo.

En la mitad derecha, \(\cos(kx)<0\), por lo que la correspondencia se invierte: una porción absorbe calor cuando se desplaza hacia el centro y cede calor cuando se desplaza hacia el extremo derecho.

Así, el movimiento acústico bombea calor desde la región central hacia ambos extremos:

\[ \boxed{ A:\ \text{la temperatura aumenta},\qquad B:\ \text{la temperatura disminuye},\qquad C:\ \text{la temperatura aumenta}.} \]

Aunque la porción cuya posición de equilibrio está exactamente en el centro tiene una oscilación de temperatura de primer orden nula, las porciones vecinas atraviesan la región central y extraen calor. El efecto térmico medio es de segundo orden en la amplitud; no está determinado por la temperatura de primer orden en una única posición de equilibrio.

B.1

En el centro del apilamiento,

\[ kx_0=\frac{\pi}{L}\frac{L}{4}=\frac{\pi}{4}, \]

por lo que el desplazamiento de la porción es

\[ u(x_0,t)=\frac{a}{\sqrt2}\cos(\omega t). \]

Su posición instantánea es \(x_0+u(x_0,t)\). Sustituyendo en el perfil de temperatura de las placas se obtiene

\[ T_{\mathrm{env}}(t) =T_0-\frac{\tau}{\ell}u(x_0,t) =T_0-\frac{a\tau}{\sqrt2\,\ell}\cos(\omega t). \]

Por tanto,

\[ \boxed{T_{\mathrm{st}}=\frac{a\tau}{\sqrt2\,\ell}.} \]

B.2

La amplitud adiabática de la temperatura del gas en el centro del apilamiento es

\[ T_1(x_0)=\frac{(\gamma-1)T_0ak}{\sqrt2}. \]

En el extremo izquierdo del movimiento de la porción, la temperatura del gas es \(T_0+T_1\), mientras que la temperatura de la parte vecina del apilamiento es \(T_0+T_{\mathrm{st}}\). Para absorber calor allí, la porción debe satisfacer

\[ T_{\mathrm{st}}>T_1. \]

En el extremo derecho, esta misma condición hace que el apilamiento esté más frío que el gas, de modo que la porción cede calor allí. Así, transporta calor del foco caliente al frío precisamente cuando

\[ \frac{a\tau}{\sqrt2\,\ell} > \frac{(\gamma-1)T_0ak}{\sqrt2}. \]

La diferencia de temperatura crítica es, por tanto,

\[ \boxed{\tau_{\mathrm{cr}}=(\gamma-1)T_0k\ell.} \]

Cuando se cumple la igualdad, las oscilaciones de temperatura del gas y de la parte vecina del apilamiento coinciden, por lo que el intercambio térmico al orden dominante se anula. Por debajo de este umbral, el transporte de calor se invierte.

B.3

Tomemos \(dQ>0\) para el calor que entra en la porción y \(p\,dV>0\) para el trabajo realizado por el gas. El primer principio es

\[ dQ=dU+p\,dV. \]

Para el gas ideal,

\[ U=nc_vT =\frac{nRT}{\gamma-1} =\frac{pV}{\gamma-1}. \]

Por consiguiente,

\[ dQ =\frac{V\,dp+p\,dV}{\gamma-1}+p\,dV =\frac{V\,dp+\gamma p\,dV}{\gamma-1}. \]

A primer orden, los coeficientes que multiplican las pequeñas tasas de variación pueden sustituirse por los valores de equilibrio:

\[ \boxed{\frac{dQ}{dt}\simeq \frac{V_0\,dp/dt+\gamma p_0\,dV/dt}{\gamma-1}.} \]

B.4

De B.1 y B.2,

\[ T_{\mathrm{st}}-T_1 =\frac{a}{\sqrt2\,\ell}(\tau-\tau_{\mathrm{cr}}). \]

Para abreviar, definimos

\[ \Delta T\equiv \frac{a(\tau-\tau_{\mathrm{cr}})}{\sqrt2\,\ell}. \]

El aporte de calor prescrito es entonces

\[ \dot Q=-\beta V_0\Delta T\cos(\omega t). \]

Derivando las expresiones de la presión y del volumen,

\[ \dot p=\omega p_a\cos(\omega t)+\omega p_b\sin(\omega t), \]

\[ \dot V=\omega V_a\cos(\omega t)-\omega V_b\sin(\omega t). \]

La sustitución en B.3 da

\[ \dot Q= \frac{\omega}{\gamma-1} \left[ (V_0p_a+\gamma p_0V_a)\cos(\omega t) +(V_0p_b-\gamma p_0V_b)\sin(\omega t) \right]. \]

Igualando los coeficientes del seno,

\[ V_0p_b-\gamma p_0V_b=0, \]

de modo que

\[ \boxed{V_b=\frac{V_0p_b}{\gamma p_0}.} \]

Igualando los coeficientes del coseno,

\[ \frac{\omega}{\gamma-1} (V_0p_a+\gamma p_0V_a) =-\beta V_0\Delta T. \]

Así,

\[ \boxed{ V_a=-\frac{V_0}{\gamma p_0} \left[ p_a+\frac{(\gamma-1)\beta a(\tau-\tau_{\mathrm{cr}})} {\sqrt2\,\omega\ell} \right].} \]

El término proporcional a \(\beta\) aporta la componente del volumen necesaria para que el trabajo por ciclo sea no nulo.

B.5

El trabajo realizado por una porción durante un ciclo es

\[ W_{\mathrm{parcel}}=\oint p\,dV. \]

Escribiendo \(\theta=\omega t\), la contribución de la presión constante se anula al integrar, y queda

\[ W_{\mathrm{parcel}} =\int_0^{2\pi} (p_a\sin\theta-p_b\cos\theta) (V_a\cos\theta-V_b\sin\theta)\,d\theta. \]

Utilizando

\[ \int_0^{2\pi}\sin\theta\cos\theta\,d\theta=0, \qquad \int_0^{2\pi}\sin^2\theta\,d\theta =\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta=\pi, \]

obtenemos

\[ W_{\mathrm{parcel}}=-\pi(p_aV_b+p_bV_a). \]

Los términos que contienen \(p_ap_b\) se cancelan al sustituir B.4:

\[ W_{\mathrm{parcel}} =\frac{\pi(\gamma-1)\beta V_0p_b}{\gamma p_0\omega}\Delta T. \]

Por tanto, el trabajo por unidad de volumen de equilibrio es

\[ w=\frac{W_{\mathrm{parcel}}}{V_0} =\frac{\pi(\gamma-1)\beta p_b}{\gamma p_0\omega} \frac{a(\tau-\tau_{\mathrm{cr}})}{\sqrt2\,\ell}. \]

Como esta expresión ya es de primer orden en el acoplamiento térmico, utilizamos el coeficiente de presión sin perturbar:

\[ p_b\simeq p_1(x_0) =\gamma p_0ak\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) =\frac{\gamma p_0ak}{\sqrt2}. \]

Por consiguiente,

\[ \boxed{ w\simeq \frac{\pi(\gamma-1)\beta a^2k}{2\omega\ell} (\tau-\tau_{\mathrm{cr}}).} \]

El apilamiento es corto, por lo que esta densidad de trabajo es aproximadamente uniforme en su volumen de gas \(S\ell\). Así,

\[ W_{\mathrm{tot}}\simeq wS\ell, \]

lo que da

\[ \boxed{ W_{\mathrm{tot}}\simeq \frac{\pi(\gamma-1)\beta a^2kS}{2\omega} (\tau-\tau_{\mathrm{cr}}).} \]

El trabajo es positivo en el régimen de funcionamiento como motor \(\tau>\tau_{\mathrm{cr}}\).

B.6

Sea \(q(t)\) el calor adquirido del apilamiento por unidad de volumen de equilibrio del gas, medido respecto de una constante arbitraria. Al orden conservado,

\[ \dot q=\frac{\dot Q}{V_0} =-\beta\Delta T\cos(\omega t). \]

Integrando,

\[ q(t)=-\frac{\beta\Delta T}{\omega}\sin(\omega t)+q_*. \]

La velocidad de la porción en el centro del apilamiento es

\[ v(t)=\dot u(x_0,t) =-\frac{a\omega}{\sqrt2}\sin(\omega t). \]

Con \(q\) expresado por unidad de volumen, el flujo de calor por convección por unidad de área es

\[ j(t)=q(t)v(t). \]

La constante arbitraria no contribuye al transporte neto porque el promedio de la velocidad es nulo. La contribución puramente adiabática también tiene un promedio por ciclo nulo: es proporcional a \(\cos(\omega t)\), mientras que la velocidad es proporcional a \(\sin(\omega t)\). El calor neto transportado a través de la sección transversal es, por tanto,

\[ \begin{aligned} Q_{\mathrm{tot}} &=S\int_0^{2\pi/\omega}q(t)v(t)\,dt\\ &=\frac{S\beta a\Delta T}{\sqrt2} \int_0^{2\pi/\omega}\sin^2(\omega t)\,dt\\ &=\frac{\pi S\beta a\Delta T}{\sqrt2\,\omega}. \end{aligned} \]

Sustituyendo \(\Delta T\),

\[ \boxed{ Q_{\mathrm{tot}}\simeq \frac{\pi\beta a^2S}{2\omega\ell} (\tau-\tau_{\mathrm{cr}}).} \]

El signo es positivo para el transporte de izquierda a derecha cuando \(\tau>\tau_{\mathrm{cr}}\).

B.7

Con la precisión adoptada para el apilamiento corto y la pequeña diferencia de temperatura, el calor extraído del foco caliente es aproximadamente el calor transportado a través del centro del apilamiento:

\[ Q_H\simeq Q_{\mathrm{tot}}. \]

La diferencia entre ambos es del orden del trabajo acústico. Como el propio rendimiento es pequeño, tener en cuenta esa diferencia solo modificaría el rendimiento a un orden superior.

Utilizando B.5 y B.6,

\[ \eta=\frac{W_{\mathrm{tot}}}{Q_H} \simeq\frac{W_{\mathrm{tot}}}{Q_{\mathrm{tot}}} =(\gamma-1)k\ell =\frac{\tau_{\mathrm{cr}}}{T_0}. \]

Por otra parte,

\[ \eta_c =1-\frac{T_0-\tau/2}{T_0+\tau/2} =\frac{\tau}{T_0+\tau/2} \simeq\frac{\tau}{T_0}, \]

porque \(\tau\ll T_0\). Por tanto,

\[ \boxed{\eta\simeq\frac{\tau_{\mathrm{cr}}}{\tau}\eta_c.} \]

Para el funcionamiento como motor, \(\tau>\tau_{\mathrm{cr}}\), de modo que el rendimiento es inferior al rendimiento de Carnot. Al acercarse al umbral desde valores superiores, el rendimiento se aproxima al valor de Carnot a este orden, mientras que tanto el trabajo producido como el calor transportado se anulan. En el propio umbral, su cociente no define un rendimiento de motor con producción de trabajo finita.

La solución se comprobó con la solución oficial.

解答

求振荡的热力学量时，我们保留一阶扰动。功和输送热量的周期平均值在波振幅的二阶才首次出现非零项。热耦合很弱，因此在已经正比于该耦合强度的表达式中，可以使用未受扰动的波振幅。

A.1

密封的刚性端面要求纵向位移为零：

\[ u(0,t)=u(L,t)=0. \]

第一个条件已经满足。第二个条件给出

\[ \sin(kL)=0 \quad\Longrightarrow\quad kL=n\pi,\qquad n=1,2,\ldots. \]

取 \(n=0\) 时不存在波。因此

\[ \lambda_n=\frac{2\pi}{k}=\frac{2L}{n}. \]

最长波长对应于 \(n=1\)：

\[ \boxed{\lambda_{\max}=2L,\qquad k=\frac{\pi}{L}.} \]

A.2

微团的两个边界移动到

\[ x+u(x,t),\qquad x+\Delta x+u(x+\Delta x,t). \]

因此，

\[ V(x,t) =S\left[\Delta x+u(x+\Delta x,t)-u(x,t)\right]. \]

当 \(k\Delta x\ll1\) 时，

\[ V(x,t)\simeq S\Delta x\left(1+\frac{\partial u}{\partial x}\right) =V_0\left[1+ak\cos(kx)\cos(\omega t)\right]. \]

所以，

\[ \boxed{V_1(x)=V_0ak\cos(kx).} \]

A.3

在一阶近似下，微团所受压力的合力为

\[ F_x=S[p(x,t)-p(x+\Delta x,t)] \simeq-S\Delta x\,\frac{\partial p}{\partial x}. \]

微团的质量为 \(\rho_0S\Delta x\)。因此，牛顿第二定律变为

\[ \rho_0\frac{\partial^2u}{\partial t^2} =-\frac{\partial p}{\partial x}. \]

代入给定的振荡形式，

\[ -\rho_0a\omega^2\sin(kx)\cos(\omega t) =p_1'(x)\cos(\omega t), \]

于是

\[ p_1'(x)=-\rho_0a\omega^2\sin(kx). \]

积分得

\[ p_1(x)=\frac{\rho_0a\omega^2}{k}\cos(kx)+C. \]

不存在空间上均匀的声致压缩：总体积变化正比于

\[ \int_0^L\frac{\partial u}{\partial x}\,dx=u(L,t)-u(0,t)=0. \]

A.4 中将明确写出的线性绝热压强与压缩量关系，因而要求压强扰动的空间平均值为零。由于 \(\int_0^L\cos(kx)\,dx=0\)，可确定 \(C=0\)。因此

\[ \boxed{p_1(x)=\frac{\rho_0a\omega^2}{k}\cos(kx).} \]

A.4

将 \(pV^\gamma=p_0V_0^\gamma\) 线性化，

\[ \frac{\delta p}{p_0} +\gamma\frac{\delta V}{V_0}=0. \]

利用 \(\delta p=-p_1\cos(\omega t)\) 和 \(\delta V=V_1\cos(\omega t)\)，

\[ p_1=\gamma p_0\frac{V_1}{V_0} =\gamma p_0ak\cos(kx). \]

与 A.3 比较得

\[ \frac{\rho_0a\omega^2}{k} =\gamma p_0ak, \]

因此

\[ \boxed{c=\frac{\omega}{k} =\sqrt{\frac{\gamma p_0}{\rho_0}}.} \]

A.5

对于一定量的理想气体，

\[ pV=nRT. \]

其线性化形式为

\[ \frac{\delta T}{T_0} =\frac{\delta p}{p_0}+\frac{\delta V}{V_0}. \]

利用 A.4 中的绝热关系，

\[ \frac{\delta T}{T_0} =-(\gamma-1)\frac{\delta V}{V_0} =-(\gamma-1)ak\cos(kx)\cos(\omega t). \]

与给定的温度振荡形式比较，

\[ \boxed{T_1(x)=(\gamma-1)T_0ak\cos(kx).} \]

A.6

考虑管左半部的一个微团，此处 \(\cos(kx)>0\)。

当微团向右偏移时，它膨胀并冷却。因此，它在相对偏右的位置从管壁吸热。当微团向左偏移时，它受到压缩并升温，因而在相对偏左的位置向管壁放热。这一过程反复进行，将热量输送至左端。

在管的右半部，\(\cos(kx)<0\)，因此上述对应关系反转：微团向中央偏移时吸热，向右端偏移时放热。

因此，声学运动将热量从中央区域泵送至两端：

\[ \boxed{ A:\ \text{温度升高},\qquad B:\ \text{温度降低},\qquad C:\ \text{温度升高}.} \]

虽然平衡位置恰在中央的微团的一阶温度振荡为零，但邻近微团会经过中央区域并带走热量。平均热效应是振幅的二阶效应；它并非由某一个平衡位置处的一阶温度决定。

B.1

在板叠中心，

\[ kx_0=\frac{\pi}{L}\frac{L}{4}=\frac{\pi}{4}, \]

因此微团的位移为

\[ u(x_0,t)=\frac{a}{\sqrt2}\cos(\omega t). \]

它的瞬时位置为 \(x_0+u(x_0,t)\)。将其代入板的温度分布得

\[ T_{\mathrm{env}}(t) =T_0-\frac{\tau}{\ell}u(x_0,t) =T_0-\frac{a\tau}{\sqrt2\,\ell}\cos(\omega t). \]

因此，

\[ \boxed{T_{\mathrm{st}}=\frac{a\tau}{\sqrt2\,\ell}.} \]

B.2

板叠中心处气体的绝热温度振幅为

\[ T_1(x_0)=\frac{(\gamma-1)T_0ak}{\sqrt2}. \]

当微团运动至最左端时，气体温度为 \(T_0+T_1\)，而相邻板叠的温度为 \(T_0+T_{\mathrm{st}}\)。若要在此处吸热，微团必须满足

\[ T_{\mathrm{st}}>T_1. \]

在最右端，同一条件使板叠的温度低于气体温度，因此微团在此处放热。所以，微团将热量从高温端输送到低温端的条件恰为

\[ \frac{a\tau}{\sqrt2\,\ell} > \frac{(\gamma-1)T_0ak}{\sqrt2}. \]

因此，临界温差为

\[ \boxed{\tau_{\mathrm{cr}}=(\gamma-1)T_0k\ell.} \]

等号成立时，气体与相邻板叠的温度振荡相同，因此最低阶的热交换为零。低于此阈值时，热输送方向反转。

B.3

规定流入微团的热量为正，即 \(dQ>0\)，气体对外做功为正，即 \(p\,dV>0\)。热力学第一定律为

\[ dQ=dU+p\,dV. \]

对于理想气体，

\[ U=nc_vT =\frac{nRT}{\gamma-1} =\frac{pV}{\gamma-1}. \]

因此

\[ dQ =\frac{V\,dp+p\,dV}{\gamma-1}+p\,dV =\frac{V\,dp+\gamma p\,dV}{\gamma-1}. \]

在一阶近似下，与微小变化率相乘的系数可以用平衡值代替：

\[ \boxed{\frac{dQ}{dt}\simeq \frac{V_0\,dp/dt+\gamma p_0\,dV/dt}{\gamma-1}.} \]

B.4

由 B.1 和 B.2，

\[ T_{\mathrm{st}}-T_1 =\frac{a}{\sqrt2\,\ell}(\tau-\tau_{\mathrm{cr}}). \]

为简便起见，定义

\[ \Delta T\equiv \frac{a(\tau-\tau_{\mathrm{cr}})}{\sqrt2\,\ell}. \]

于是，给定的输入热流率为

\[ \dot Q=-\beta V_0\Delta T\cos(\omega t). \]

对压强和体积表达式求导，

\[ \dot p=\omega p_a\cos(\omega t)+\omega p_b\sin(\omega t), \]

\[ \dot V=\omega V_a\cos(\omega t)-\omega V_b\sin(\omega t). \]

代入 B.3 得

\[ \dot Q= \frac{\omega}{\gamma-1} \left[ (V_0p_a+\gamma p_0V_a)\cos(\omega t) +(V_0p_b-\gamma p_0V_b)\sin(\omega t) \right]. \]

比较正弦项的系数，

\[ V_0p_b-\gamma p_0V_b=0, \]

因此

\[ \boxed{V_b=\frac{V_0p_b}{\gamma p_0}.} \]

比较余弦项的系数，

\[ \frac{\omega}{\gamma-1} (V_0p_a+\gamma p_0V_a) =-\beta V_0\Delta T. \]

于是

\[ \boxed{ V_a=-\frac{V_0}{\gamma p_0} \left[ p_a+\frac{(\gamma-1)\beta a(\tau-\tau_{\mathrm{cr}})} {\sqrt2\,\omega\ell} \right].} \]

正比于 \(\beta\) 的项提供了使周期净功非零所需的体积振荡分量。

B.5

微团在一个周期内所做的功为

\[ W_{\mathrm{parcel}}=\oint p\,dV. \]

令 \(\theta=\omega t\)，恒定压强项的积分为零，剩下

\[ W_{\mathrm{parcel}} =\int_0^{2\pi} (p_a\sin\theta-p_b\cos\theta) (V_a\cos\theta-V_b\sin\theta)\,d\theta. \]

利用

\[ \int_0^{2\pi}\sin\theta\cos\theta\,d\theta=0, \qquad \int_0^{2\pi}\sin^2\theta\,d\theta =\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta=\pi, \]

得到

\[ W_{\mathrm{parcel}}=-\pi(p_aV_b+p_bV_a). \]

代入 B.4 后，含 \(p_ap_b\) 的项相互抵消：

\[ W_{\mathrm{parcel}} =\frac{\pi(\gamma-1)\beta V_0p_b}{\gamma p_0\omega}\Delta T. \]

因此，单位平衡体积所做的功为

\[ w=\frac{W_{\mathrm{parcel}}}{V_0} =\frac{\pi(\gamma-1)\beta p_b}{\gamma p_0\omega} \frac{a(\tau-\tau_{\mathrm{cr}})}{\sqrt2\,\ell}. \]

由于此式已经是热耦合的一阶量，使用未受扰动的压强系数：

\[ p_b\simeq p_1(x_0) =\gamma p_0ak\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) =\frac{\gamma p_0ak}{\sqrt2}. \]

因此

\[ \boxed{ w\simeq \frac{\pi(\gamma-1)\beta a^2k}{2\omega\ell} (\tau-\tau_{\mathrm{cr}}).} \]

板叠很短，因此这一功密度在其气体体积 \(S\ell\) 内近似均匀。所以

\[ W_{\mathrm{tot}}\simeq wS\ell, \]

得到

\[ \boxed{ W_{\mathrm{tot}}\simeq \frac{\pi(\gamma-1)\beta a^2kS}{2\omega} (\tau-\tau_{\mathrm{cr}}).} \]

在发动机工作区间 \(\tau>\tau_{\mathrm{cr}}\) 内，功为正。

B.6

令 \(q(t)\) 表示单位平衡气体体积从板叠获得的热量，以任意常量为参考零点。在所保留的近似阶数下，

\[ \dot q=\frac{\dot Q}{V_0} =-\beta\Delta T\cos(\omega t). \]

积分得

\[ q(t)=-\frac{\beta\Delta T}{\omega}\sin(\omega t)+q_*. \]

板叠中心处微团的速度为

\[ v(t)=\dot u(x_0,t) =-\frac{a\omega}{\sqrt2}\sin(\omega t). \]

由于 \(q\) 以单位体积计，单位面积的对流热流为

\[ j(t)=q(t)v(t). \]

任意常量不产生净输送，因为速度的平均值为零。纯绝热部分的周期平均贡献也为零：它正比于 \(\cos(\omega t)\)，而速度正比于 \(\sin(\omega t)\)。因此，通过横截面输送的净热量为

\[ \begin{aligned} Q_{\mathrm{tot}} &=S\int_0^{2\pi/\omega}q(t)v(t)\,dt\\ &=\frac{S\beta a\Delta T}{\sqrt2} \int_0^{2\pi/\omega}\sin^2(\omega t)\,dt\\ &=\frac{\pi S\beta a\Delta T}{\sqrt2\,\omega}. \end{aligned} \]

代入 \(\Delta T\)，

\[ \boxed{ Q_{\mathrm{tot}}\simeq \frac{\pi\beta a^2S}{2\omega\ell} (\tau-\tau_{\mathrm{cr}}).} \]

当 \(\tau>\tau_{\mathrm{cr}}\) 时，符号为正，表示热量从左向右输送。

B.7

在短板叠和小温差所对应的近似精度下，从高温热源吸收的热量近似等于通过板叠中心输送的热量：

\[ Q_H\simeq Q_{\mathrm{tot}}. \]

两者之差与声功同阶。由于效率本身很小，计入这一差异只会对效率产生更高阶的修正。

利用 B.5 和 B.6，

\[ \eta=\frac{W_{\mathrm{tot}}}{Q_H} \simeq\frac{W_{\mathrm{tot}}}{Q_{\mathrm{tot}}} =(\gamma-1)k\ell =\frac{\tau_{\mathrm{cr}}}{T_0}. \]

另一方面，

\[ \eta_c =1-\frac{T_0-\tau/2}{T_0+\tau/2} =\frac{\tau}{T_0+\tau/2} \simeq\frac{\tau}{T_0}, \]

因为 \(\tau\ll T_0\)。因此，

\[ \boxed{\eta\simeq\frac{\tau_{\mathrm{cr}}}{\tau}\eta_c.} \]

发动机运行时，\(\tau>\tau_{\mathrm{cr}}\)，因此效率低于卡诺效率。当温差从上方趋近阈值时，在这一近似阶数下，效率趋近卡诺效率，而输出功和热输送量均趋于零。在阈值处，两者之比并不能定义具有有限输出功的发动机效率。

解答已与官方解答核对。

Решение

При определении колеблющихся термодинамических величин сохраняем возмущения первого порядка. Первые ненулевые средние за цикл значения работы и переносимой теплоты имеют второй порядок по амплитуде волны. Тепловое взаимодействие слабое, поэтому в выражениях, уже пропорциональных его интенсивности, можно использовать невозмущённые амплитуды волны.

A.1

На герметично закрытых жёстких концах продольное смещение должно быть равно нулю:

\[ u(0,t)=u(L,t)=0. \]

Первое условие уже выполнено. Второе даёт

\[ \sin(kL)=0 \quad\Longrightarrow\quad kL=n\pi,\qquad n=1,2,\ldots. \]

При выборе \(n=0\) волна отсутствует. Следовательно,

\[ \lambda_n=\frac{2\pi}{k}=\frac{2L}{n}. \]

Наибольшая длина волны соответствует \(n=1\):

\[ \boxed{\lambda_{\max}=2L,\qquad k=\frac{\pi}{L}.} \]

A.2

Две границы слоя перемещаются в положения

\[ x+u(x,t),\qquad x+\Delta x+u(x+\Delta x,t). \]

Следовательно,

\[ V(x,t) =S\left[\Delta x+u(x+\Delta x,t)-u(x,t)\right]. \]

При \(k\Delta x\ll1\)

\[ V(x,t)\simeq S\Delta x\left(1+\frac{\partial u}{\partial x}\right) =V_0\left[1+ak\cos(kx)\cos(\omega t)\right]. \]

Поэтому

\[ \boxed{V_1(x)=V_0ak\cos(kx).} \]

A.3

Силы давления, действующие на слой, в первом порядке дают

\[ F_x=S[p(x,t)-p(x+\Delta x,t)] \simeq-S\Delta x\,\frac{\partial p}{\partial x}. \]

Масса слоя равна \(\rho_0S\Delta x\). Поэтому второй закон Ньютона принимает вид

\[ \rho_0\frac{\partial^2u}{\partial t^2} =-\frac{\partial p}{\partial x}. \]

Подставляя заданные выражения для колебаний, получаем

\[ -\rho_0a\omega^2\sin(kx)\cos(\omega t) =p_1'(x)\cos(\omega t), \]

откуда

\[ p_1'(x)=-\rho_0a\omega^2\sin(kx). \]

Интегрирование даёт

\[ p_1(x)=\frac{\rho_0a\omega^2}{k}\cos(kx)+C. \]

Пространственно однородное акустическое сжатие отсутствует: полное изменение объёма пропорционально

\[ \int_0^L\frac{\partial u}{\partial x}\,dx=u(L,t)-u(0,t)=0. \]

Тогда линейная адиабатическая связь между давлением и сжатием, явно записанная в A.4, требует, чтобы усреднённое по пространству возмущение давления было равно нулю. Поскольку \(\int_0^L\cos(kx)\,dx=0\), это определяет \(C=0\). Таким образом,

\[ \boxed{p_1(x)=\frac{\rho_0a\omega^2}{k}\cos(kx).} \]

A.4

Линеаризуя \(pV^\gamma=p_0V_0^\gamma\), получаем

\[ \frac{\delta p}{p_0} +\gamma\frac{\delta V}{V_0}=0. \]

Используя \(\delta p=-p_1\cos(\omega t)\) и \(\delta V=V_1\cos(\omega t)\), получаем

\[ p_1=\gamma p_0\frac{V_1}{V_0} =\gamma p_0ak\cos(kx). \]

Сравнение с A.3 даёт

\[ \frac{\rho_0a\omega^2}{k} =\gamma p_0ak, \]

и, следовательно,

\[ \boxed{c=\frac{\omega}{k} =\sqrt{\frac{\gamma p_0}{\rho_0}}.} \]

A.5

Для неизменного количества идеального газа

\[ pV=nRT. \]

Линеаризованная форма этого уравнения имеет вид

\[ \frac{\delta T}{T_0} =\frac{\delta p}{p_0}+\frac{\delta V}{V_0}. \]

Используя адиабатическое соотношение из A.4, получаем

\[ \frac{\delta T}{T_0} =-(\gamma-1)\frac{\delta V}{V_0} =-(\gamma-1)ak\cos(kx)\cos(\omega t). \]

Сравнивая с заданным выражением для колебаний температуры, находим

\[ \boxed{T_1(x)=(\gamma-1)T_0ak\cos(kx).} \]

A.6

Рассмотрим слой газа в левой половине трубы, где \(\cos(kx)>0\).

При смещении вправо он расширяется и охлаждается. Поэтому он поглощает теплоту от трубы в положении, смещённом вправо. При смещении влево он сжимается и нагревается, поэтому отдаёт теплоту трубе в положении, смещённом влево. Повторение этого процесса переносит теплоту к левому концу.

В правой половине \(\cos(kx)<0\), поэтому соответствие меняется на противоположное: слой поглощает теплоту при смещении к центру и отдаёт её при смещении к правому концу.

Таким образом, акустическое движение перекачивает теплоту из центральной области к обоим концам:

\[ \boxed{ A:\ \text{температура повышается},\qquad B:\ \text{температура понижается},\qquad C:\ \text{температура повышается}.} \]

Хотя у слоя, положение равновесия которого находится точно в центре, колебания температуры первого порядка отсутствуют, соседние слои проходят через центральную область и отводят из неё теплоту. Средний тепловой эффект имеет второй порядок по амплитуде; он не определяется температурой первого порядка в одной точке равновесия.

B.1

В центре пакета

\[ kx_0=\frac{\pi}{L}\frac{L}{4}=\frac{\pi}{4}, \]

поэтому смещение слоя равно

\[ u(x_0,t)=\frac{a}{\sqrt2}\cos(\omega t). \]

Его мгновенное положение равно \(x_0+u(x_0,t)\). Подстановка в профиль температуры пластин даёт

\[ T_{\mathrm{env}}(t) =T_0-\frac{\tau}{\ell}u(x_0,t) =T_0-\frac{a\tau}{\sqrt2\,\ell}\cos(\omega t). \]

Следовательно,

\[ \boxed{T_{\mathrm{st}}=\frac{a\tau}{\sqrt2\,\ell}.} \]

B.2

Амплитуда адиабатических колебаний температуры газа в центре пакета равна

\[ T_1(x_0)=\frac{(\gamma-1)T_0ak}{\sqrt2}. \]

В крайнем левом положении слоя температура газа равна \(T_0+T_1\), а температура соседнего участка пакета равна \(T_0+T_{\mathrm{st}}\). Чтобы слой поглощал там теплоту, должно выполняться условие

\[ T_{\mathrm{st}}>T_1. \]

В крайнем правом положении это же условие означает, что пакет холоднее газа, поэтому слой отдаёт там теплоту. Таким образом, он переносит теплоту от горячего резервуара к холодному именно при условии

\[ \frac{a\tau}{\sqrt2\,\ell} > \frac{(\gamma-1)T_0ak}{\sqrt2}. \]

Следовательно, критическая разность температур равна

\[ \boxed{\tau_{\mathrm{cr}}=(\gamma-1)T_0k\ell.} \]

При равенстве колебания температуры газа и соседнего участка пакета совпадают, поэтому теплообмен в главном порядке отсутствует. Ниже этого порога направление переноса теплоты меняется на противоположное.

B.3

Примем \(dQ>0\) для теплоты, поступающей в слой, и \(p\,dV>0\) для работы, совершаемой газом. Первое начало термодинамики имеет вид

\[ dQ=dU+p\,dV. \]

Для идеального газа

\[ U=nc_vT =\frac{nRT}{\gamma-1} =\frac{pV}{\gamma-1}. \]

Отсюда

\[ dQ =\frac{V\,dp+p\,dV}{\gamma-1}+p\,dV =\frac{V\,dp+\gamma p\,dV}{\gamma-1}. \]

В первом порядке коэффициенты при малых скоростях изменения можно заменить равновесными значениями:

\[ \boxed{\frac{dQ}{dt}\simeq \frac{V_0\,dp/dt+\gamma p_0\,dV/dt}{\gamma-1}.} \]

B.4

Из B.1 и B.2

\[ T_{\mathrm{st}}-T_1 =\frac{a}{\sqrt2\,\ell}(\tau-\tau_{\mathrm{cr}}). \]

Для краткости введём обозначение

\[ \Delta T\equiv \frac{a(\tau-\tau_{\mathrm{cr}})}{\sqrt2\,\ell}. \]

Тогда заданный поток поступающей теплоты равен

\[ \dot Q=-\beta V_0\Delta T\cos(\omega t). \]

Дифференцируя выражения для давления и объёма, получаем

\[ \dot p=\omega p_a\cos(\omega t)+\omega p_b\sin(\omega t), \]

\[ \dot V=\omega V_a\cos(\omega t)-\omega V_b\sin(\omega t). \]

Подстановка в B.3 даёт

\[ \dot Q= \frac{\omega}{\gamma-1} \left[ (V_0p_a+\gamma p_0V_a)\cos(\omega t) +(V_0p_b-\gamma p_0V_b)\sin(\omega t) \right]. \]

Приравнивая коэффициенты при синусе, получаем

\[ V_0p_b-\gamma p_0V_b=0, \]

откуда

\[ \boxed{V_b=\frac{V_0p_b}{\gamma p_0}.} \]

Приравнивая коэффициенты при косинусе, получаем

\[ \frac{\omega}{\gamma-1} (V_0p_a+\gamma p_0V_a) =-\beta V_0\Delta T. \]

Таким образом,

\[ \boxed{ V_a=-\frac{V_0}{\gamma p_0} \left[ p_a+\frac{(\gamma-1)\beta a(\tau-\tau_{\mathrm{cr}})} {\sqrt2\,\omega\ell} \right].} \]

Член, пропорциональный \(\beta\), создаёт составляющую колебаний объёма, необходимую для ненулевой работы за цикл.

B.5

Работа, совершаемая слоем за один цикл, равна

\[ W_{\mathrm{parcel}}=\oint p\,dV. \]

Введём \(\theta=\omega t\). Вклад постоянного давления при интегрировании обращается в нуль, и остаётся

\[ W_{\mathrm{parcel}} =\int_0^{2\pi} (p_a\sin\theta-p_b\cos\theta) (V_a\cos\theta-V_b\sin\theta)\,d\theta. \]

Используя

\[ \int_0^{2\pi}\sin\theta\cos\theta\,d\theta=0, \qquad \int_0^{2\pi}\sin^2\theta\,d\theta =\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta=\pi, \]

получаем

\[ W_{\mathrm{parcel}}=-\pi(p_aV_b+p_bV_a). \]

После подстановки B.4 члены, содержащие \(p_ap_b\), сокращаются:

\[ W_{\mathrm{parcel}} =\frac{\pi(\gamma-1)\beta V_0p_b}{\gamma p_0\omega}\Delta T. \]

Поэтому работа на единицу равновесного объёма равна

\[ w=\frac{W_{\mathrm{parcel}}}{V_0} =\frac{\pi(\gamma-1)\beta p_b}{\gamma p_0\omega} \frac{a(\tau-\tau_{\mathrm{cr}})}{\sqrt2\,\ell}. \]

Поскольку это выражение уже имеет первый порядок по интенсивности теплового взаимодействия, используем невозмущённый коэффициент давления:

\[ p_b\simeq p_1(x_0) =\gamma p_0ak\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) =\frac{\gamma p_0ak}{\sqrt2}. \]

Следовательно,

\[ \boxed{ w\simeq \frac{\pi(\gamma-1)\beta a^2k}{2\omega\ell} (\tau-\tau_{\mathrm{cr}}).} \]

Пакет короткий, поэтому эта объёмная плотность работы приблизительно одинакова во всём занимаемом газом объёме пакета \(S\ell\). Таким образом,

\[ W_{\mathrm{tot}}\simeq wS\ell, \]

откуда

\[ \boxed{ W_{\mathrm{tot}}\simeq \frac{\pi(\gamma-1)\beta a^2kS}{2\omega} (\tau-\tau_{\mathrm{cr}}).} \]

Работа положительна в режиме двигателя \(\tau>\tau_{\mathrm{cr}}\).

B.6

Пусть \(q(t)\) обозначает теплоту, полученную от пакета на единицу равновесного объёма газа, отсчитываемую от произвольной постоянной. В сохраняемом порядке

\[ \dot q=\frac{\dot Q}{V_0} =-\beta\Delta T\cos(\omega t). \]

Интегрируя, получаем

\[ q(t)=-\frac{\beta\Delta T}{\omega}\sin(\omega t)+q_*. \]

Скорость слоя в центре пакета равна

\[ v(t)=\dot u(x_0,t) =-\frac{a\omega}{\sqrt2}\sin(\omega t). \]

Поскольку \(q\) выражено на единицу объёма, конвективный поток теплоты на единицу площади равен

\[ j(t)=q(t)v(t). \]

Произвольная постоянная не даёт вклада в результирующий перенос, поскольку средняя скорость равна нулю. Чисто адиабатический вклад также имеет нулевое среднее за цикл: он пропорционален \(\cos(\omega t)\), тогда как скорость пропорциональна \(\sin(\omega t)\). Поэтому результирующее количество теплоты, перенесённое через поперечное сечение, равно

\[ \begin{aligned} Q_{\mathrm{tot}} &=S\int_0^{2\pi/\omega}q(t)v(t)\,dt\\ &=\frac{S\beta a\Delta T}{\sqrt2} \int_0^{2\pi/\omega}\sin^2(\omega t)\,dt\\ &=\frac{\pi S\beta a\Delta T}{\sqrt2\,\omega}. \end{aligned} \]

Подставляя \(\Delta T\), получаем

\[ \boxed{ Q_{\mathrm{tot}}\simeq \frac{\pi\beta a^2S}{2\omega\ell} (\tau-\tau_{\mathrm{cr}}).} \]

При \(\tau>\tau_{\mathrm{cr}}\) знак положителен, что соответствует переносу слева направо.

B.7

С точностью принятого приближения короткого пакета и малой разности температур теплота, полученная от горячего резервуара, приблизительно равна теплоте, перенесённой через центр пакета:

\[ Q_H\simeq Q_{\mathrm{tot}}. \]

Их разность имеет порядок акустической работы. Поскольку сам КПД мал, учёт этой разности изменил бы КПД лишь в более высоком порядке.

Используя B.5 и B.6, получаем

\[ \eta=\frac{W_{\mathrm{tot}}}{Q_H} \simeq\frac{W_{\mathrm{tot}}}{Q_{\mathrm{tot}}} =(\gamma-1)k\ell =\frac{\tau_{\mathrm{cr}}}{T_0}. \]

В то же время

\[ \eta_c =1-\frac{T_0-\tau/2}{T_0+\tau/2} =\frac{\tau}{T_0+\tau/2} \simeq\frac{\tau}{T_0}, \]

поскольку \(\tau\ll T_0\). Поэтому

\[ \boxed{\eta\simeq\frac{\tau_{\mathrm{cr}}}{\tau}\eta_c.} \]

Для работы в режиме двигателя требуется \(\tau>\tau_{\mathrm{cr}}\), поэтому КПД ниже КПД Карно. При приближении к порогу сверху КПД в данном порядке приближения стремится к значению Карно, тогда как и совершаемая работа, и перенос теплоты стремятся к нулю. На самом пороге их отношение не определяет КПД двигателя с ненулевой отдаваемой мощностью.

Решение проверено по официальному решению.

الحل

نحتفظ بالاضطرابات من الرتبة الأولى عند إيجاد الكميات الديناميكية الحرارية المتذبذبة. أما الشغل والحرارة المنقولة، فأول متوسطاتهما غير الصفرية على دورة تكون من الرتبة الثانية في سعة الموجة. والاقتران الحراري ضعيف، لذا يمكن استخدام سعات الموجة غير المضطربة في التعابير التي تتناسب أصلًا مع ذلك الاقتران.

A.1

يشترط الطرفان الصلبان المحكمان انعدام الإزاحة الطولية:

\[ u(0,t)=u(L,t)=0. \]

الشرط الأول متحقق بالفعل. أما الثاني فيعطي

\[ \sin(kL)=0 \quad\Longrightarrow\quad kL=n\pi,\qquad n=1,2,\ldots. \]

الاختيار \(n=0\) لا يعطي موجة. ومن ثم

\[ \lambda_n=\frac{2\pi}{k}=\frac{2L}{n}. \]

يقابل أكبر طول موجي القيمة \(n=1\):

\[ \boxed{\lambda_{\max}=2L,\qquad k=\frac{\pi}{L}.} \]

A.2

ينتقل حدّا الشريحة إلى

\[ x+u(x,t),\qquad x+\Delta x+u(x+\Delta x,t). \]

وبناءً على ذلك،

\[ V(x,t) =S\left[\Delta x+u(x+\Delta x,t)-u(x,t)\right]. \]

عندما \(k\Delta x\ll1\)،

\[ V(x,t)\simeq S\Delta x\left(1+\frac{\partial u}{\partial x}\right) =V_0\left[1+ak\cos(kx)\cos(\omega t)\right]. \]

إذن،

\[ \boxed{V_1(x)=V_0ak\cos(kx).} \]

A.3

تعطي قوى الضغط المؤثرة في الشريحة، إلى الرتبة الأولى،

\[ F_x=S[p(x,t)-p(x+\Delta x,t)] \simeq-S\Delta x\,\frac{\partial p}{\partial x}. \]

كتلة الشريحة هي \(\rho_0S\Delta x\). ولذلك يصبح قانون نيوتن الثاني

\[ \rho_0\frac{\partial^2u}{\partial t^2} =-\frac{\partial p}{\partial x}. \]

بالتعويض بالتذبذبات المعطاة،

\[ -\rho_0a\omega^2\sin(kx)\cos(\omega t) =p_1'(x)\cos(\omega t), \]

ومن ثم

\[ p_1'(x)=-\rho_0a\omega^2\sin(kx). \]

يعطي التكامل

\[ p_1(x)=\frac{\rho_0a\omega^2}{k}\cos(kx)+C. \]

لا يوجد انضغاط صوتي منتظم مكانيًا: فتغير الحجم الكلي يتناسب مع

\[ \int_0^L\frac{\partial u}{\partial x}\,dx=u(L,t)-u(0,t)=0. \]

وعليه، فإن العلاقة الكظومية الخطية بين الضغط والانضغاط، التي تُبيَّن صراحةً في A.4، تقتضي انعدام المتوسط المكاني لاضطراب الضغط. وبما أن \(\int_0^L\cos(kx)\,dx=0\)، فإن هذا يحدد \(C=0\). ومن ثم

\[ \boxed{p_1(x)=\frac{\rho_0a\omega^2}{k}\cos(kx).} \]

A.4

بأخذ التقريب الخطي للعلاقة \(pV^\gamma=p_0V_0^\gamma\)،

\[ \frac{\delta p}{p_0} +\gamma\frac{\delta V}{V_0}=0. \]

باستخدام \(\delta p=-p_1\cos(\omega t)\) و \(\delta V=V_1\cos(\omega t)\)،

\[ p_1=\gamma p_0\frac{V_1}{V_0} =\gamma p_0ak\cos(kx). \]

تعطي المقارنة مع A.3

\[ \frac{\rho_0a\omega^2}{k} =\gamma p_0ak, \]

وبالتالي

\[ \boxed{c=\frac{\omega}{k} =\sqrt{\frac{\gamma p_0}{\rho_0}}.} \]

A.5

لكمية ثابتة من الغاز المثالي،

\[ pV=nRT. \]

الصورة الخطية لهذه العلاقة هي

\[ \frac{\delta T}{T_0} =\frac{\delta p}{p_0}+\frac{\delta V}{V_0}. \]

باستخدام العلاقة الكظومية من A.4،

\[ \frac{\delta T}{T_0} =-(\gamma-1)\frac{\delta V}{V_0} =-(\gamma-1)ak\cos(kx)\cos(\omega t). \]

بالمقارنة مع تذبذب درجة الحرارة المحدد،

\[ \boxed{T_1(x)=(\gamma-1)T_0ak\cos(kx).} \]

A.6

اعتبر شريحة في النصف الأيسر من الأنبوب، حيث \(\cos(kx)>0\).

عندما تُزاح نحو اليمين، تتمدد وتبرد. ولذلك تمتص الحرارة من الأنبوب عند موضع يقع نسبيًا إلى اليمين. وعندما تُزاح نحو اليسار، تنضغط وتسخن، فتطلق الحرارة إلى الأنبوب عند موضع يقع نسبيًا إلى اليسار. وينقل تكرار هذه العملية الحرارة نحو الطرف الأيسر.

في النصف الأيمن، \(\cos(kx)<0\)، فتنعكس العلاقة: تمتص الشريحة الحرارة عندما تُزاح نحو المركز، وتطلق الحرارة عندما تُزاح نحو الطرف الأيمن.

وهكذا تضخ الحركة الصوتية الحرارة بعيدًا عن المنطقة المركزية نحو كلا الطرفين:

\[ \boxed{ A:\ \text{ترتفع درجة الحرارة},\qquad B:\ \text{تنخفض درجة الحرارة},\qquad C:\ \text{ترتفع درجة الحرارة}.} \]

على الرغم من أن الشريحة التي يقع موضع اتزانها عند المركز تمامًا ليس لها تذبذب في درجة الحرارة من الرتبة الأولى، فإن الشرائح المجاورة تتحرك عبر المنطقة المركزية وتسحب منها الحرارة. والأثر الحراري المتوسط من الرتبة الثانية في السعة؛ ولا تحدده درجة الحرارة من الرتبة الأولى عند موضع اتزان واحد.

B.1

عند مركز الحزمة،

\[ kx_0=\frac{\pi}{L}\frac{L}{4}=\frac{\pi}{4}, \]

فتكون إزاحة الشريحة

\[ u(x_0,t)=\frac{a}{\sqrt2}\cos(\omega t). \]

موضعها اللحظي هو \(x_0+u(x_0,t)\). وبالتعويض في توزيع درجة حرارة الصفائح نحصل على

\[ T_{\mathrm{env}}(t) =T_0-\frac{\tau}{\ell}u(x_0,t) =T_0-\frac{a\tau}{\sqrt2\,\ell}\cos(\omega t). \]

إذن،

\[ \boxed{T_{\mathrm{st}}=\frac{a\tau}{\sqrt2\,\ell}.} \]

B.2

سعة تذبذب درجة حرارة الغاز الكظومي عند مركز الحزمة هي

\[ T_1(x_0)=\frac{(\gamma-1)T_0ak}{\sqrt2}. \]

عند أقصى موضع يسارًا في حركة الشريحة، تكون درجة حرارة الغاز \(T_0+T_1\)، بينما تكون درجة حرارة الحزمة المجاورة \(T_0+T_{\mathrm{st}}\). ولكي تمتص الشريحة الحرارة هناك، يجب أن يتحقق

\[ T_{\mathrm{st}}>T_1. \]

وعند أقصى موضع يمينًا، يجعل الشرط نفسه الحزمة أبرد من الغاز، فتطلق الشريحة الحرارة هناك. ومن ثم فإنها تنقل الحرارة من الساخن إلى البارد تحديدًا عندما

\[ \frac{a\tau}{\sqrt2\,\ell} > \frac{(\gamma-1)T_0ak}{\sqrt2}. \]

ولذلك يكون فرق درجة الحرارة الحرج

\[ \boxed{\tau_{\mathrm{cr}}=(\gamma-1)T_0k\ell.} \]

عند المساواة، تتطابق تذبذبات درجة حرارة الغاز والحزمة المجاورة، فينعدم التبادل الحراري من الرتبة الرائدة. ودون هذه العتبة، ينعكس اتجاه انتقال الحرارة.

B.3

نأخذ \(dQ>0\) للحرارة الداخلة إلى الشريحة، و\(p\,dV>0\) للشغل الذي يبذله الغاز. القانون الأول هو

\[ dQ=dU+p\,dV. \]

للغاز المثالي،

\[ U=nc_vT =\frac{nRT}{\gamma-1} =\frac{pV}{\gamma-1}. \]

ومن ثم

\[ dQ =\frac{V\,dp+p\,dV}{\gamma-1}+p\,dV =\frac{V\,dp+\gamma p\,dV}{\gamma-1}. \]

إلى الرتبة الأولى، يمكن استبدال المعاملات المضروبة في المعدلات الصغيرة بقيم الاتزان:

\[ \boxed{\frac{dQ}{dt}\simeq \frac{V_0\,dp/dt+\gamma p_0\,dV/dt}{\gamma-1}.} \]

B.4

من B.1 وB.2،

\[ T_{\mathrm{st}}-T_1 =\frac{a}{\sqrt2\,\ell}(\tau-\tau_{\mathrm{cr}}). \]

للاختصار، نعرّف

\[ \Delta T\equiv \frac{a(\tau-\tau_{\mathrm{cr}})}{\sqrt2\,\ell}. \]

وعندئذ يكون معدل دخول الحرارة المعطى

\[ \dot Q=-\beta V_0\Delta T\cos(\omega t). \]

باشتقاق تعبيري الضغط والحجم،

\[ \dot p=\omega p_a\cos(\omega t)+\omega p_b\sin(\omega t), \]

\[ \dot V=\omega V_a\cos(\omega t)-\omega V_b\sin(\omega t). \]

يعطي التعويض في B.3

\[ \dot Q= \frac{\omega}{\gamma-1} \left[ (V_0p_a+\gamma p_0V_a)\cos(\omega t) +(V_0p_b-\gamma p_0V_b)\sin(\omega t) \right]. \]

بمساواة معاملي الجيب،

\[ V_0p_b-\gamma p_0V_b=0, \]

ومن ثم

\[ \boxed{V_b=\frac{V_0p_b}{\gamma p_0}.} \]

بمساواة معاملي جيب التمام،

\[ \frac{\omega}{\gamma-1} (V_0p_a+\gamma p_0V_a) =-\beta V_0\Delta T. \]

إذن

\[ \boxed{ V_a=-\frac{V_0}{\gamma p_0} \left[ p_a+\frac{(\gamma-1)\beta a(\tau-\tau_{\mathrm{cr}})} {\sqrt2\,\omega\ell} \right].} \]

يوفر الحد المتناسب مع \(\beta\) مركبة الحجم اللازمة للحصول على شغل غير صفري خلال دورة.

B.5

الشغل الذي تبذله شريحة خلال دورة واحدة هو

\[ W_{\mathrm{parcel}}=\oint p\,dV. \]

بكتابة \(\theta=\omega t\)، يكون تكامل مساهمة الضغط الثابت صفرًا، ويتبقى

\[ W_{\mathrm{parcel}} =\int_0^{2\pi} (p_a\sin\theta-p_b\cos\theta) (V_a\cos\theta-V_b\sin\theta)\,d\theta. \]

باستخدام

\[ \int_0^{2\pi}\sin\theta\cos\theta\,d\theta=0, \qquad \int_0^{2\pi}\sin^2\theta\,d\theta =\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta=\pi, \]

نحصل على

\[ W_{\mathrm{parcel}}=-\pi(p_aV_b+p_bV_a). \]

تُلغى الحدود التي تحتوي على \(p_ap_b\) عند التعويض من B.4:

\[ W_{\mathrm{parcel}} =\frac{\pi(\gamma-1)\beta V_0p_b}{\gamma p_0\omega}\Delta T. \]

إذن، الشغل لكل وحدة من حجم الاتزان هو

\[ w=\frac{W_{\mathrm{parcel}}}{V_0} =\frac{\pi(\gamma-1)\beta p_b}{\gamma p_0\omega} \frac{a(\tau-\tau_{\mathrm{cr}})}{\sqrt2\,\ell}. \]

بما أن هذا التعبير من الرتبة الأولى أصلًا في الاقتران الحراري، نستخدم معامل الضغط غير المضطرب:

\[ p_b\simeq p_1(x_0) =\gamma p_0ak\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) =\frac{\gamma p_0ak}{\sqrt2}. \]

ومن ثم

\[ \boxed{ w\simeq \frac{\pi(\gamma-1)\beta a^2k}{2\omega\ell} (\tau-\tau_{\mathrm{cr}}).} \]

الحزمة قصيرة، لذا تكون كثافة الشغل هذه منتظمة تقريبًا على حجم الغاز فيها \(S\ell\). ومن ثم

\[ W_{\mathrm{tot}}\simeq wS\ell, \]

فنحصل على

\[ \boxed{ W_{\mathrm{tot}}\simeq \frac{\pi(\gamma-1)\beta a^2kS}{2\omega} (\tau-\tau_{\mathrm{cr}}).} \]

يكون الشغل موجبًا في نظام التشغيل كمحرك \(\tau>\tau_{\mathrm{cr}}\).

B.6

ليرمز \(q(t)\) إلى الحرارة المكتسبة من الحزمة لكل وحدة من حجم الغاز عند الاتزان، مقاسةً بالنسبة إلى ثابت اعتباطي. إلى الرتبة المحتفظ بها،

\[ \dot q=\frac{\dot Q}{V_0} =-\beta\Delta T\cos(\omega t). \]

بالتكامل،

\[ q(t)=-\frac{\beta\Delta T}{\omega}\sin(\omega t)+q_*. \]

سرعة الشريحة عند مركز الحزمة هي

\[ v(t)=\dot u(x_0,t) =-\frac{a\omega}{\sqrt2}\sin(\omega t). \]

مع التعبير عن \(q\) لكل وحدة حجم، يكون التدفق الحراري بالحمل لكل وحدة مساحة

\[ j(t)=q(t)v(t). \]

لا يسهم الثابت الاعتباطي في أي انتقال صافٍ لأن متوسط السرعة يساوي صفرًا. وتعطي المساهمة الكظومية البحتة أيضًا متوسطًا صفريًا على دورة: فهي تتناسب مع \(\cos(\omega t)\)، بينما تتناسب السرعة مع \(\sin(\omega t)\). ولذلك تكون الحرارة الصافية المنقولة عبر المقطع العرضي

\[ \begin{aligned} Q_{\mathrm{tot}} &=S\int_0^{2\pi/\omega}q(t)v(t)\,dt\\ &=\frac{S\beta a\Delta T}{\sqrt2} \int_0^{2\pi/\omega}\sin^2(\omega t)\,dt\\ &=\frac{\pi S\beta a\Delta T}{\sqrt2\,\omega}. \end{aligned} \]

بالتعويض عن \(\Delta T\)،

\[ \boxed{ Q_{\mathrm{tot}}\simeq \frac{\pi\beta a^2S}{2\omega\ell} (\tau-\tau_{\mathrm{cr}}).} \]

تكون الإشارة موجبة للانتقال من اليسار إلى اليمين عندما \(\tau>\tau_{\mathrm{cr}}\).

B.7

ضمن الدقة المعتمدة للحزمة القصيرة وفرق درجة الحرارة الصغير، تساوي الحرارة المسحوبة من المستودع الساخن تقريبًا الحرارة المنقولة عبر مركز الحزمة:

\[ Q_H\simeq Q_{\mathrm{tot}}. \]

الفرق بينهما من رتبة الشغل الصوتي. وبما أن الكفاءة نفسها صغيرة، فإن أخذ هذا الفرق في الحسبان لن يغير الكفاءة إلا في رتبة أعلى.

باستخدام B.5 وB.6،

\[ \eta=\frac{W_{\mathrm{tot}}}{Q_H} \simeq\frac{W_{\mathrm{tot}}}{Q_{\mathrm{tot}}} =(\gamma-1)k\ell =\frac{\tau_{\mathrm{cr}}}{T_0}. \]

وفي الوقت نفسه،

\[ \eta_c =1-\frac{T_0-\tau/2}{T_0+\tau/2} =\frac{\tau}{T_0+\tau/2} \simeq\frac{\tau}{T_0}, \]

لأن \(\tau\ll T_0\). ولذلك،

\[ \boxed{\eta\simeq\frac{\tau_{\mathrm{cr}}}{\tau}\eta_c.} \]

للتشغيل كمحرك، \(\tau>\tau_{\mathrm{cr}}\)، فتكون الكفاءة أقل من كفاءة كارنو. وعند الاقتراب من العتبة من الأعلى، تقترب الكفاءة من قيمة كارنو عند هذه الرتبة، بينما ينعدم كل من الشغل الناتج وانتقال الحرارة. وعند العتبة نفسها، لا تُعرِّف نسبتهما كفاءة محرك ذي خرج غير صفري.

تمت مراجعة الحل بمقارنته بالحل الرسمي.