When two protons collide with a very high energy at the Large Hadron Collider (LHC), several particles may be produced as a result of that collision, such as electrons, muons, neutrinos, quarks, and their respective anti-particles. Most of these particles can be detected by the particle detector surrounding the collision point. For example, quarks undergo a process called hadronisation in which they become a shower of subatomic particles, called "jet". In addition, the high magnetic field present in the detectors allows even very energetic charged particles to curve enough for their momentum to be determined. The ATLAS detector uses a superconducting solenoid system that produces a constant and uniform 2.00 Tesla magnetic field in the inner part of the detector, surrounding the collision point. Charged particles with momenta below a certain value will be curved so strongly that they will loop repeatedly in the field and most likely not be measured. Due to its nature, the neutrino is not detected at all, as it escapes through the detector without interacting.

Data: Electron rest mass, \(m=9.11\times10^{-31}\ \mathrm{kg}\); Elementary charge, \(e=1.60\times10^{-19}\ \mathrm{C}\);

Speed of light, \(c=3.00\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}\); Vacuum permittivity, \(\epsilon_0=8.85\times10^{-12}\ \mathrm{F\,m^{-1}}\)

Part A. ATLAS Detector physics (4.0 points)

A.1 — 0.5pt

Derive an expression for the cyclotron radius, \(r\), of the circular trajectory of an electron acted upon by a magnetic force perpendicular to its velocity, and express that radius as a function of its kinetic energy, \(K\); charge modulus, \(e\); mass, \(m\); and magnetic field, \(B\). Assume that the electron is a non-relativistic classical particle.

Electrons produced inside the ATLAS detector must be treated relativistically. However, the formula for the cyclotron radius also holds for relativistic motion when the relativistic momentum is considered.

A.2 — 0.5pt

Calculate the minimum value of the momentum of an electron that allows it to escape the inner part of the detector in the radial direction. The inner part of the detector has a cylindrical shape with a radius of 1.1 meters, and the electron is produced in the collision point exactly in the center of the cylinder. Express your answer in MeV/\(c\).

When accelerated perpendicularly to the velocity, relativistic particles of charge \(e\) and rest mass \(m\) emitt electromagnetic radiation, called synchrotron radiation. The emitted power is given by

\[ P=\frac{e^2a^2\gamma^4}{6\pi\epsilon_0c^3} \]

where \(a\) is the acceleration and \(\gamma=[1-(v/c)^2]^{-1/2}\).

A.3 — 1.0pt

A particle is called ultrarelativistic when its speed is very close to the speed of light. For an ultrarelativistic particle the emitted power can be expressed as:

\[ P=\xi\frac{e^4}{\epsilon_0m^kc^n}E^2B^2, \]

where \(\xi\) is a real number, \(n\), \(k\) are integers, \(E\) is the energy of the charged particle and \(B\) is the magnetic field. Find \(\xi\), \(n\) and \(k\).

A.4 — 1.0pt

In the ultrarelativistic limit, the energy of the electron as a function of time is:

\[ E(t)=\frac{E_0}{1+\alpha E_0t}, \]

where \(E_0\) is the initial energy of the electron. Find \(\alpha\) as a function of \(e\), \(c\), \(B\), \(\epsilon_0\) and \(m\).

A.5 — 0.5pt

Consider an electron produced at the collision point along the radial direction with an energy of 100 GeV. Estimate the amount of energy that is lost due to synchrotron radiation until the electron escapes the inner part of the detector? Express your answer in MeV.

A.6 — 0.5pt

Find an expression for the cyclotron frequency of the electron as a function of time in the ultrarelativistic limit.

Part B. Finding the neutrino (6.0 points)

The collision between the two protons shown in Figure 1 leads to the production of a top quark (\(t\)) and an anti-top quark (\(\bar t\)), the heaviest elementary particles ever detected. The top quark decays into a \(W^+\) boson and a bottom quark (\(b\)), while the anti-top quark decays into a \(W^-\) boson and an anti-bottom quark (\(\bar b\)). In the case depicted in Figure 1, the \(W^+\) boson decays into a anti-muon (\(\mu^+\)) and a neutrino (\(\nu\)), and the \(W^-\) boson decays into a quark and an anti-quark. The task of this problem is to reconstruct the full momentum of the neutrino using the momenta of some detected particles. For simplicity, all particles and jets in this problem will be considered massless, except for the top quark and \(W^\pm\) bosons.

The momenta of the top quark decay products can be determined from the experiment (see Table), except for the neutrino momentum component along the (\(z\)-axis). The total linear momentum of the final state particles caught by the detector is only zero on the transverse plane (\(xy\) plane), and not along the collision line (\(z\)-axis). As such, one can find the transverse momentum of the neutrino from the missing momentum in the transverse plane.

On June 4, 2015, the ATLAS experiment at the LHC recorded a proton-proton collision at 00:21:24 GMT+1 like the one represented in Figure 1.

Figure 1. Schematic representation of the ATLAS detector coordinate system (left) and proton-proton collision (right).

The linear momenta of the three final-state particles coming from the top quark decay, including the neutrino, is presented below for each component.

B.1 — 1.5pt

Find an equation which relates the square of the \(W^+\) boson mass, \(m_{\mathrm W}^2\), with the neutrino and anti-muon momentum components presented in the table above. Express your answer in terms of the neutrino and anti-muon transverse momentum,

\[ \vec p_{\mathrm T}^{(\nu)} =p_x^{(\nu)}\hat\imath+p_y^{(\nu)}\hat\jmath \quad\text{and}\quad \vec p_{\mathrm T}^{(\mu)} =p_x^{(\mu)}\hat\imath+p_y^{(\mu)}\hat\jmath, \]

and their \(z\)-axis momentum components, \(p_z^{(\mu)}\) and \(p_z^{(\nu)}\).

B.2 — 1.5pt

Assuming a \(W^+\) boson mass of \(m_{\mathrm W}=80.4\ \mathrm{GeV}/c^2\) calculate the two possible solutions for the neutrino momentum along the \(z\)-axis, \(p_z^{(\nu)}\). Express your answer in GeV/c.

B.3 — 1.0pt

Calculate the top quark mass for each one of the two previous solutions. Express your answer in GeV/\(c^2\).

[If you did not obtain the two solutions in B.2, use \(p_z^{(\nu)}=70\ \mathrm{GeV}/c\) and \(p_z^{(\nu)}=-180\ \mathrm{GeV}/c\).]

The normalised number of collision events for the measurement of the top quark mass (as determined from the experiment), has two components: the so-called "signal" (corresponding to the decay of top quarks) and "background" (corresponding to events from other processes that do not include top quarks). Experimental data include both processes, see Fig. 2.

Figure 2. Top quark mass distribution as determined from the experiment, i.e. the normalised number of events plotted against the top quark mass. The dots correspond to the data. The dashed line corresponds to the "signal" and the shade to the "background".

B.4 — 1.0pt

According to the top quark mass distribution, which one of the two previous solutions is more likely to be the right one? Estimate the probability for the most likely solution.

B.5 — 1.0pt

Calculate the distance traveled by the top quark before decaying, using the most likely solution. Assume the top quark has a mean lifetime at rest of \(5\times10^{-25}\ \mathrm{s}\).

Official English text of the problem.

Wenn am Large Hadron Collider (LHC) zwei Protonen mit sehr hoher Energie kollidieren, können bei dieser Kollision verschiedene Teilchen entstehen, etwa Elektronen, Myonen, Neutrinos, Quarks und ihre jeweiligen Antiteilchen. Die meisten dieser Teilchen können mit dem Teilchendetektor nachgewiesen werden, der den Kollisionspunkt umgibt. Beispielsweise durchlaufen Quarks einen Prozess namens Hadronisierung, bei dem sie sich in einen Schauer subatomarer Teilchen verwandeln, der als „Jet“ bezeichnet wird. Außerdem bewirkt das starke Magnetfeld in den Detektoren, dass die Bahnen selbst sehr energiereicher geladener Teilchen ausreichend gekrümmt werden, um ihren Impuls bestimmen zu können. Der ATLAS-Detektor verwendet ein supraleitendes Solenoidsystem, das im inneren Teil des Detektors um den Kollisionspunkt ein zeitlich konstantes und homogenes Magnetfeld von 2.00 Tesla erzeugt. Die Bahnen geladener Teilchen mit Impulsen unterhalb eines bestimmten Wertes werden so stark gekrümmt, dass die Teilchen das Feld wiederholt auf geschlossenen Bahnen durchlaufen und höchstwahrscheinlich nicht gemessen werden. Das Neutrino wird aufgrund seiner Eigenschaften überhaupt nicht nachgewiesen, da es den Detektor ohne Wechselwirkung durchquert und entkommt.

Gegebene Daten: Ruhemasse des Elektrons, \(m=9.11\times10^{-31}\ \mathrm{kg}\); Elementarladung, \(e=1.60\times10^{-19}\ \mathrm{C}\);

Lichtgeschwindigkeit, \(c=3.00\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}\); elektrische Feldkonstante, \(\epsilon_0=8.85\times10^{-12}\ \mathrm{F\,m^{-1}}\)

Teil A. Physik des ATLAS-Detektors (4.0 Punkte)

A.1 — 0.5 Punkte

Leiten Sie einen Ausdruck für den Zyklotronradius \(r\) der Kreisbahn eines Elektrons her, auf das eine magnetische Kraft senkrecht zu seiner Geschwindigkeit wirkt, und drücken Sie diesen Radius als Funktion seiner kinetischen Energie \(K\), seines Ladungsbetrags \(e\), seiner Masse \(m\) und des Magnetfelds \(B\) aus. Nehmen Sie an, dass das Elektron ein nichtrelativistisches klassisches Teilchen ist.

Elektronen, die im ATLAS-Detektor entstehen, müssen relativistisch behandelt werden. Die Formel für den Zyklotronradius gilt jedoch auch für relativistische Bewegungen, wenn der relativistische Impuls verwendet wird.

A.2 — 0.5 Punkte

Berechnen Sie den Mindestwert des Impulses eines Elektrons, bei dem es den inneren Teil des Detektors in radialer Richtung verlassen kann. Der innere Teil des Detektors hat die Form eines Zylinders mit einem Radius von 1.1 Metern, und das Elektron entsteht am Kollisionspunkt genau im Zentrum des Zylinders. Geben Sie Ihre Antwort in MeV/\(c\) an.

Werden relativistische Teilchen mit der Ladung \(e\) und der Ruhemasse \(m\) senkrecht zu ihrer Geschwindigkeit beschleunigt, so emittieren sie elektromagnetische Strahlung, die als Synchrotronstrahlung bezeichnet wird. Die abgestrahlte Leistung ist gegeben durch

\[ P=\frac{e^2a^2\gamma^4}{6\pi\epsilon_0c^3} \]

wobei \(a\) die Beschleunigung ist und \(\gamma=[1-(v/c)^2]^{-1/2}\) gilt.

A.3 — 1.0 Punkte

Ein Teilchen wird als ultrarelativistisch bezeichnet, wenn seine Geschwindigkeit sehr nahe an der Lichtgeschwindigkeit liegt. Für ein ultrarelativistisches Teilchen lässt sich die abgestrahlte Leistung folgendermaßen ausdrücken:

\[ P=\xi\frac{e^4}{\epsilon_0m^kc^n}E^2B^2, \]

wobei \(\xi\) eine reelle Zahl ist, \(n\) und \(k\) ganze Zahlen sind, \(E\) die Energie des geladenen Teilchens und \(B\) das Magnetfeld ist. Bestimmen Sie \(\xi\), \(n\) und \(k\).

A.4 — 1.0 Punkte

Im ultrarelativistischen Grenzfall ist die Energie des Elektrons als Funktion der Zeit gegeben durch:

\[ E(t)=\frac{E_0}{1+\alpha E_0t}, \]

wobei \(E_0\) die Anfangsenergie des Elektrons ist. Bestimmen Sie \(\alpha\) als Funktion von \(e\), \(c\), \(B\), \(\epsilon_0\) und \(m\).

A.5 — 0.5 Punkte

Betrachten Sie ein Elektron, das am Kollisionspunkt mit einer Energie von 100 GeV in radialer Richtung erzeugt wird. Schätzen Sie die Energie ab, die durch Synchrotronstrahlung verloren geht, bis das Elektron den inneren Teil des Detektors verlässt. Geben Sie Ihre Antwort in MeV an.

A.6 — 0.5 Punkte

Bestimmen Sie im ultrarelativistischen Grenzfall einen Ausdruck für die Zyklotronfrequenz des Elektrons als Funktion der Zeit.

Teil B. Das Neutrino finden (6.0 Punkte)

Die in Abbildung 1 dargestellte Kollision zweier Protonen führt zur Erzeugung eines Top-Quarks (\(t\)) und eines Anti-Top-Quarks (\(\bar t\)), der schwersten jemals nachgewiesenen Elementarteilchen. Das Top-Quark zerfällt in ein \(W^+\)-Boson und ein Bottom-Quark (\(b\)), während das Anti-Top-Quark in ein \(W^-\)-Boson und ein Anti-Bottom-Quark (\(\bar b\)) zerfällt. Im in Abbildung 1 dargestellten Fall zerfällt das \(W^+\)-Boson in ein Antimyon (\(\mu^+\)) und ein Neutrino (\(\nu\)), und das \(W^-\)-Boson zerfällt in ein Quark und ein Antiquark. Ziel dieser Aufgabe ist es, den vollständigen Impuls des Neutrinos mithilfe der Impulse einiger nachgewiesener Teilchen zu rekonstruieren. Der Einfachheit halber werden alle Teilchen und Jets in dieser Aufgabe als masselos betrachtet, mit Ausnahme des Top-Quarks und der \(W^\pm\)-Bosonen.

Die Impulse der Zerfallsprodukte des Top-Quarks können experimentell bestimmt werden (siehe Tabelle), mit Ausnahme der Impulskomponente des Neutrinos entlang der \(z\)-Achse. Der Gesamtimpuls der vom Detektor erfassten Teilchen im Endzustand ist nur in der Transversalebene (\(xy\)-Ebene) null, nicht aber entlang der Kollisionsachse (\(z\)-Achse). Daher lässt sich der Transversalimpuls des Neutrinos aus dem fehlenden Impuls in der Transversalebene bestimmen.

Am 4. Juni 2015 zeichnete das ATLAS-Experiment am LHC um 00:21:24 GMT+1 eine Proton-Proton-Kollision auf, wie sie in Abbildung 1 dargestellt ist.

Abbildung 1. Schematische Darstellung des Koordinatensystems des ATLAS-Detektors (links) und der Proton-Proton-Kollision (rechts).

Die Impulse der drei Teilchen im Endzustand, die aus dem Zerfall des Top-Quarks hervorgehen, einschließlich des Neutrinos, sind nachfolgend für jede Komponente angegeben.

B.1 — 1.5 Punkte

Bestimmen Sie eine Gleichung, die das Quadrat der Masse des \(W^+\)-Bosons, \(m_{\mathrm W}^2\), mit den in der obigen Tabelle angegebenen Impulskomponenten des Neutrinos und des Antimyons verknüpft. Drücken Sie Ihre Antwort durch die Transversalimpulse des Neutrinos und des Antimyons,

\[ \vec p_{\mathrm T}^{(\nu)} =p_x^{(\nu)}\hat\imath+p_y^{(\nu)}\hat\jmath \quad\text{und}\quad \vec p_{\mathrm T}^{(\mu)} =p_x^{(\mu)}\hat\imath+p_y^{(\mu)}\hat\jmath, \]

und ihre Impulskomponenten entlang der \(z\)-Achse, \(p_z^{(\mu)}\) und \(p_z^{(\nu)}\), aus.

B.2 — 1.5 Punkte

Berechnen Sie unter der Annahme einer Masse des \(W^+\)-Bosons von \(m_{\mathrm W}=80.4\ \mathrm{GeV}/c^2\) die beiden möglichen Lösungen für den Impuls des Neutrinos entlang der \(z\)-Achse, \(p_z^{(\nu)}\). Geben Sie Ihre Antwort in GeV/c an.

B.3 — 1.0 Punkte

Berechnen Sie die Masse des Top-Quarks für jede der beiden vorherigen Lösungen. Geben Sie Ihre Antwort in GeV/\(c^2\) an.

[Falls Sie in B.2 die beiden Lösungen nicht erhalten haben, verwenden Sie \(p_z^{(\nu)}=70\ \mathrm{GeV}/c\) und \(p_z^{(\nu)}=-180\ \mathrm{GeV}/c\).]

Die normierte Anzahl der Kollisionsereignisse zur Messung der Masse des Top-Quarks (wie sie experimentell bestimmt wird) hat zwei Komponenten: das sogenannte „Signal“ (das dem Zerfall von Top-Quarks entspricht) und den „Untergrund“ (der Ereignissen aus anderen Prozessen entspricht, an denen keine Top-Quarks beteiligt sind). Die experimentellen Daten enthalten beide Prozesse, siehe Abb. 2.

Abbildung 2. Experimentell bestimmte Massenverteilung des Top-Quarks, d. h. die normierte Anzahl der Ereignisse, aufgetragen gegen die Masse des Top-Quarks. Die Punkte entsprechen den Daten. Die gestrichelte Linie entspricht dem „Signal“ und die schattierte Fläche dem „Untergrund“.

B.4 — 1.0 Punkte

Welche der beiden vorherigen Lösungen ist gemäß der Massenverteilung des Top-Quarks mit größerer Wahrscheinlichkeit die richtige? Schätzen Sie die Wahrscheinlichkeit für die wahrscheinlichere Lösung ab.

B.5 — 1.0 Punkte

Berechnen Sie anhand der wahrscheinlicheren Lösung die Strecke, die das Top-Quark vor seinem Zerfall zurücklegt. Nehmen Sie für das Top-Quark eine mittlere Lebensdauer in Ruhe von \(5\times10^{-25}\ \mathrm{s}\) an.

Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt.

Büyük Hadron Çarpıştırıcısı'nda (LHC) iki proton çok yüksek bir enerjiyle çarpıştığında, bu çarpışma sonucunda elektronlar, müonlar, nötrinolar, kuarklar ve bunların karşı parçacıkları gibi çeşitli parçacıklar üretilebilir. Bu parçacıkların çoğu, çarpışma noktasını çevreleyen parçacık dedektörü tarafından algılanabilir. Örneğin kuarklar, hadronlaşma adı verilen bir süreç geçirerek “jet” olarak adlandırılan bir atomaltı parçacık sağanağına dönüşür. Ayrıca dedektörlerde bulunan yüksek manyetik alan, çok yüksek enerjili yüklü parçacıkların bile momentumlarının belirlenmesine yetecek kadar sapmasını sağlar. ATLAS dedektörü, dedektörün çarpışma noktasını çevreleyen iç kısmında sabit ve düzgün bir 2.00 Tesla manyetik alan üreten süperiletken bir solenoid sistemi kullanır. Momentumları belirli bir değerin altında olan yüklü parçacıkların yörüngeleri o kadar güçlü biçimde bükülür ki bu parçacıklar alan içinde tekrar tekrar dolanır ve büyük olasılıkla ölçülemez. Nötrino ise doğası gereği dedektörle etkileşmeden içinden geçip kaçtığı için hiç algılanmaz.

Veriler: Elektronun durgun kütlesi, \(m=9.11\times10^{-31}\ \mathrm{kg}\); Temel yük, \(e=1.60\times10^{-19}\ \mathrm{C}\);

Işık hızı, \(c=3.00\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}\); Boşluğun elektriksel geçirgenliği, \(\epsilon_0=8.85\times10^{-12}\ \mathrm{F\,m^{-1}}\)

Bölüm A. ATLAS dedektörünün fiziği (4.0 puan)

A.1 — 0.5 puan

Hızına dik bir manyetik kuvvetin etkisindeki bir elektronun dairesel yörüngesinin siklotron yarıçapı \(r\) için bir ifade türetin ve bu yarıçapı kinetik enerjisi \(K\), yükünün büyüklüğü \(e\), kütlesi \(m\) ve manyetik alan \(B\) cinsinden ifade edin. Elektronun göreli olmayan klasik bir parçacık olduğunu varsayın.

ATLAS dedektörü içinde üretilen elektronlar göreli olarak ele alınmalıdır. Bununla birlikte, göreli momentum kullanıldığında siklotron yarıçapı formülü göreli hareket için de geçerlidir.

A.2 — 0.5 puan

Bir elektronun dedektörün iç kısmından radyal yönde çıkmasını sağlayan en küçük momentum değerini hesaplayın. Dedektörün iç kısmı, yarıçapı 1.1 metre olan silindir biçimindedir ve elektron, silindirin tam merkezindeki çarpışma noktasında üretilir. Cevabınızı MeV/\(c\) cinsinden ifade edin.

Yükü \(e\) ve durgun kütlesi \(m\) olan göreli parçacıklar, hızlarına dik yönde ivmelendirildiklerinde sinkrotron ışınımı adı verilen elektromanyetik ışınım yayar. Yayılan güç şu şekilde verilir:

\[ P=\frac{e^2a^2\gamma^4}{6\pi\epsilon_0c^3} \]

Burada \(a\) ivmedir ve \(\gamma=[1-(v/c)^2]^{-1/2}\).

A.3 — 1.0 puan

Hızı ışık hızına çok yakın olan bir parçacığa aşırı göreli parçacık denir. Aşırı göreli bir parçacığın yaydığı güç şu şekilde ifade edilebilir:

\[ P=\xi\frac{e^4}{\epsilon_0m^kc^n}E^2B^2, \]

Burada \(\xi\) bir gerçek sayı, \(n\), \(k\) tam sayılar, \(E\) yüklü parçacığın enerjisi ve \(B\) manyetik alandır. \(\xi\), \(n\) ve \(k\) değerlerini bulun.

A.4 — 1.0 puan

Aşırı göreli limitte elektronun enerjisinin zamana bağlılığı şöyledir:

\[ E(t)=\frac{E_0}{1+\alpha E_0t}, \]

Burada \(E_0\), elektronun başlangıç enerjisidir. \(\alpha\)'yı \(e\), \(c\), \(B\), \(\epsilon_0\) ve \(m\) cinsinden bulun.

A.5 — 0.5 puan

Çarpışma noktasında radyal yönde 100 GeV enerjiyle üretilen bir elektronu ele alın. Elektron dedektörün iç kısmından çıkana kadar sinkrotron ışınımı nedeniyle kaybettiği enerji miktarını tahmin edin. Cevabınızı MeV cinsinden ifade edin.

A.6 — 0.5 puan

Aşırı göreli limitte elektronun siklotron frekansının zamana bağlı ifadesini bulun.

Bölüm B. Nötrinoyu bulmak (6.0 puan)

Şekil 1'de gösterilen iki protonun çarpışması, şimdiye kadar algılanmış en ağır temel parçacıklar olan bir üst kuarkın (\(t\)) ve bir karşı üst kuarkın (\(\bar t\)) üretilmesine yol açar. Üst kuark bir \(W^+\) bozonuna ve bir alt kuarka (\(b\)) bozunurken, karşı üst kuark bir \(W^-\) bozonuna ve bir karşı alt kuarka (\(\bar b\)) bozunur. Şekil 1'de gösterilen durumda \(W^+\) bozonu bir karşı müona (\(\mu^+\)) ve bir nötrinoya (\(\nu\)), \(W^-\) bozonu ise bir kuarka ve bir karşı kuarka bozunur. Bu sorudaki görev, algılanan bazı parçacıkların momentumlarını kullanarak nötrinonun momentumunu tüm bileşenleriyle yeniden belirlemektir. Basitlik açısından, bu sorudaki tüm parçacıklar ve jetler, üst kuark ve \(W^\pm\) bozonları dışında kütlesiz kabul edilecektir.

Üst kuarkın bozunma ürünlerinin momentumları, nötrinonun (\(z\) ekseni) doğrultusundaki momentum bileşeni dışında deneyden belirlenebilir (tabloya bakınız). Dedektörün yakaladığı son durum parçacıklarının toplam doğrusal momentumu yalnızca enine düzlemde (\(xy\) düzlemi) sıfırdır; çarpışma doğrultusunda (\(z\) ekseni) sıfır değildir. Dolayısıyla nötrinonun enine momentumu, enine düzlemdeki eksik momentumdan bulunabilir.

4 Haziran 2015 tarihinde LHC'deki ATLAS deneyi, GMT+1 saat dilimine göre 00:21:24'te Şekil 1'de gösterilene benzer bir proton-proton çarpışması kaydetti.

Şekil 1. ATLAS dedektörünün koordinat sisteminin (solda) ve proton-proton çarpışmasının (sağda) şematik gösterimi.

Üst kuarkın bozunmasından gelen, nötrino dâhil üç son durum parçacığının doğrusal momentumları aşağıda her bir bileşen için verilmiştir.

B.1 — 1.5 puan

\(W^+\) bozonunun kütlesinin karesini, \(m_{\mathrm W}^2\), yukarıdaki tabloda verilen nötrino ve karşı müon momentum bileşenleriyle ilişkilendiren bir denklem bulun. Cevabınızı nötrino ve karşı müonun enine momentumları

\[ \vec p_{\mathrm T}^{(\nu)} =p_x^{(\nu)}\hat\imath+p_y^{(\nu)}\hat\jmath \quad\text{ve}\quad \vec p_{\mathrm T}^{(\mu)} =p_x^{(\mu)}\hat\imath+p_y^{(\mu)}\hat\jmath, \]

ve \(z\) ekseni doğrultusundaki momentum bileşenleri \(p_z^{(\mu)}\) ve \(p_z^{(\nu)}\) cinsinden ifade edin.

B.2 — 1.5 puan

\(W^+\) bozonunun kütlesini \(m_{\mathrm W}=80.4\ \mathrm{GeV}/c^2\) kabul ederek nötrinonun \(z\) ekseni doğrultusundaki momentumu \(p_z^{(\nu)}\) için iki olası çözümü hesaplayın. Cevabınızı GeV/c cinsinden ifade edin.

B.3 — 1.0 puan

Önceki iki çözümün her biri için üst kuarkın kütlesini hesaplayın. Cevabınızı GeV/\(c^2\) cinsinden ifade edin.

[B.2'de iki çözümü elde edemediyseniz \(p_z^{(\nu)}=70\ \mathrm{GeV}/c\) ve \(p_z^{(\nu)}=-180\ \mathrm{GeV}/c\) değerlerini kullanın.]

Üst kuarkın kütlesinin ölçümüne ilişkin normalize edilmiş çarpışma olayı sayısı (deneyden belirlendiği şekliyle) iki bileşenden oluşur: “sinyal” (üst kuarkların bozunmasına karşılık gelir) ve “arka plan” (üst kuark içermeyen diğer süreçlerden kaynaklanan olaylara karşılık gelir). Deneysel veriler her iki süreci de içerir; Şekil 2'ye bakınız.

Şekil 2. Deneyden belirlenen üst kuark kütle dağılımı, yani üst kuark kütlesine karşı çizilen normalize edilmiş olay sayısı. Noktalar verilere karşılık gelir. Kesikli çizgi “sinyale”, gölgeli bölge ise “arka plana” karşılık gelir.

B.4 — 1.0 puan

Üst kuark kütle dağılımına göre önceki iki çözümden hangisinin doğru olma olasılığı daha yüksektir? Daha olası çözümün olasılığını tahmin edin.

B.5 — 1.0 puan

Daha olası çözümü kullanarak üst kuarkın bozunmadan önce aldığı yolu hesaplayın. Üst kuarkın durgun hâldeki ortalama ömrünün \(5\times10^{-25}\ \mathrm{s}\) olduğunu varsayın.

Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir.

Cuando dos protones colisionan con una energía muy elevada en el Gran Colisionador de Hadrones (LHC), pueden producirse varias partículas como resultado de esa colisión, tales como electrones, muones, neutrinos, quarks y sus respectivas antipartículas. La mayoría de estas partículas pueden detectarse mediante el detector de partículas que rodea el punto de colisión. Por ejemplo, los quarks experimentan un proceso llamado hadronización, en el que se convierten en una cascada de partículas subatómicas denominada «jet». Además, el intenso campo magnético presente en los detectores permite que incluso las trayectorias de partículas cargadas muy energéticas se curven lo suficiente para determinar su cantidad de movimiento. El detector ATLAS utiliza un sistema de solenoides superconductores que produce un campo magnético constante y uniforme de 2.00 teslas en la parte interior del detector, alrededor del punto de colisión. Las trayectorias de las partículas cargadas con cantidades de movimiento inferiores a cierto valor se curvarán tanto que estas darán vueltas repetidamente en el campo y, muy probablemente, no serán medidas. Debido a su naturaleza, el neutrino no se detecta en absoluto, pues escapa atravesando el detector sin interaccionar.

Datos: masa en reposo del electrón, \(m=9.11\times10^{-31}\ \mathrm{kg}\); carga elemental, \(e=1.60\times10^{-19}\ \mathrm{C}\);

Velocidad de la luz, \(c=3.00\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}\); permitividad del vacío, \(\epsilon_0=8.85\times10^{-12}\ \mathrm{F\,m^{-1}}\)

Parte A. Física del detector ATLAS (4.0 puntos)

A.1 — 0.5pt

Deduzca una expresión para el radio ciclotrón, \(r\), de la trayectoria circular de un electrón sometido a una fuerza magnética perpendicular a su velocidad, y exprese dicho radio en función de su energía cinética, \(K\); el módulo de su carga, \(e\); su masa, \(m\); y el campo magnético, \(B\). Suponga que el electrón es una partícula clásica no relativista.

Los electrones producidos en el interior del detector ATLAS deben tratarse relativísticamente. Sin embargo, la fórmula del radio ciclotrón también es válida para el movimiento relativista cuando se considera la cantidad de movimiento relativista.

A.2 — 0.5pt

Calcule el valor mínimo de la cantidad de movimiento de un electrón que le permita escapar de la parte interior del detector en la dirección radial. La parte interior del detector tiene forma cilíndrica, con un radio de 1.1 metros, y el electrón se produce en el punto de colisión, exactamente en el centro del cilindro. Exprese su respuesta en MeV/\(c\).

Cuando se aceleran perpendicularmente a su velocidad, las partículas relativistas de carga \(e\) y masa en reposo \(m\) emiten radiación electromagnética, llamada radiación sincrotrón. La potencia emitida viene dada por

\[ P=\frac{e^2a^2\gamma^4}{6\pi\epsilon_0c^3} \]

donde \(a\) es la aceleración y \(\gamma=[1-(v/c)^2]^{-1/2}\).

A.3 — 1.0pt

Una partícula se denomina ultrarrelativista cuando su rapidez es muy próxima a la velocidad de la luz. Para una partícula ultrarrelativista, la potencia emitida puede expresarse como:

\[ P=\xi\frac{e^4}{\epsilon_0m^kc^n}E^2B^2, \]

donde \(\xi\) es un número real, \(n\), \(k\) son enteros, \(E\) es la energía de la partícula cargada y \(B\) es el campo magnético. Halle \(\xi\), \(n\) y \(k\).

A.4 — 1.0pt

En el límite ultrarrelativista, la energía del electrón en función del tiempo es:

\[ E(t)=\frac{E_0}{1+\alpha E_0t}, \]

donde \(E_0\) es la energía inicial del electrón. Halle \(\alpha\) en función de \(e\), \(c\), \(B\), \(\epsilon_0\) y \(m\).

A.5 — 0.5pt

Considere un electrón producido en el punto de colisión en la dirección radial con una energía de 100 GeV. Estime la cantidad de energía que pierde por radiación sincrotrón hasta que escapa de la parte interior del detector. Exprese su respuesta en MeV.

A.6 — 0.5pt

Halle una expresión para la frecuencia ciclotrón del electrón en función del tiempo en el límite ultrarrelativista.

Parte B. En busca del neutrino (6.0 puntos)

La colisión entre los dos protones mostrada en la Figura 1 da lugar a la producción de un quark top (\(t\)) y un antiquark top (\(\bar t\)), las partículas elementales más pesadas jamás detectadas. El quark top se desintegra en un bosón \(W^+\) y un quark bottom (\(b\)), mientras que el antiquark top se desintegra en un bosón \(W^-\) y un antiquark bottom (\(\bar b\)). En el caso representado en la Figura 1, el bosón \(W^+\) se desintegra en un antimuón (\(\mu^+\)) y un neutrino (\(\nu\)), y el bosón \(W^-\) se desintegra en un quark y un antiquark. El objetivo de este problema es reconstruir la cantidad de movimiento completa del neutrino utilizando las cantidades de movimiento de algunas partículas detectadas. Para simplificar, todas las partículas y los jets de este problema se considerarán sin masa, excepto el quark top y los bosones \(W^\pm\).

Las cantidades de movimiento de los productos de desintegración del quark top pueden determinarse a partir del experimento (véase la tabla), excepto la componente de la cantidad de movimiento del neutrino a lo largo del eje \(z\). La cantidad de movimiento total de las partículas del estado final captadas por el detector solo es cero en el plano transversal (plano \(xy\)), y no a lo largo de la línea de colisión (eje \(z\)). Por tanto, se puede hallar la cantidad de movimiento transversal del neutrino a partir de la cantidad de movimiento faltante en el plano transversal.

El 4 de junio de 2015, el experimento ATLAS del LHC registró, a las 00:21:24 GMT+1, una colisión protón-protón como la representada en la Figura 1.

Figura 1. Representación esquemática del sistema de coordenadas del detector ATLAS (izquierda) y de la colisión protón-protón (derecha).

A continuación se presentan las componentes de las cantidades de movimiento de las tres partículas del estado final procedentes de la desintegración del quark top, incluido el neutrino.

B.1 — 1.5pt

Halle una ecuación que relacione el cuadrado de la masa del bosón \(W^+\), \(m_{\mathrm W}^2\), con las componentes de las cantidades de movimiento del neutrino y del antimuón presentadas en la tabla anterior. Exprese su respuesta en términos de las cantidades de movimiento transversales del neutrino y del antimuón,

\[ \vec p_{\mathrm T}^{(\nu)} =p_x^{(\nu)}\hat\imath+p_y^{(\nu)}\hat\jmath \quad\text{y}\quad \vec p_{\mathrm T}^{(\mu)} =p_x^{(\mu)}\hat\imath+p_y^{(\mu)}\hat\jmath, \]

y de sus componentes de la cantidad de movimiento en el eje \(z\), \(p_z^{(\mu)}\) y \(p_z^{(\nu)}\).

B.2 — 1.5pt

Suponiendo una masa del bosón \(W^+\) de \(m_{\mathrm W}=80.4\ \mathrm{GeV}/c^2\), calcule las dos soluciones posibles para la cantidad de movimiento del neutrino a lo largo del eje \(z\), \(p_z^{(\nu)}\). Exprese su respuesta en GeV/c.

B.3 — 1.0pt

Calcule la masa del quark top para cada una de las dos soluciones anteriores. Exprese su respuesta en GeV/\(c^2\).

[Si no ha obtenido las dos soluciones en B.2, utilice \(p_z^{(\nu)}=70\ \mathrm{GeV}/c\) y \(p_z^{(\nu)}=-180\ \mathrm{GeV}/c\).]

El número normalizado de sucesos de colisión para la medida de la masa del quark top (determinado a partir del experimento) tiene dos componentes: la denominada «señal» (correspondiente a la desintegración de quarks top) y el «fondo» (correspondiente a sucesos de otros procesos que no incluyen quarks top). Los datos experimentales incluyen ambos procesos; véase la Fig. 2.

Figura 2. Distribución de la masa del quark top determinada a partir del experimento, es decir, el número normalizado de sucesos representado en función de la masa del quark top. Los puntos corresponden a los datos. La línea discontinua corresponde a la «señal» y la zona sombreada al «fondo».

B.4 — 1.0pt

Según la distribución de la masa del quark top, ¿cuál de las dos soluciones anteriores es más probable que sea la correcta? Estime la probabilidad de la solución más probable.

B.5 — 1.0pt

Calcule la distancia recorrida por el quark top antes de desintegrarse, utilizando la solución más probable. Suponga que el quark top tiene una vida media en reposo de \(5\times10^{-25}\ \mathrm{s}\).

Enunciado traducido del texto oficial en inglés.

当两个质子在大型强子对撞机（LHC）中以极高的能量碰撞时，碰撞可能产生多种粒子，例如电子、μ子、中微子、夸克及其各自的反粒子。这些粒子中的大多数都能被环绕碰撞点的粒子探测器探测到。例如，夸克会经历一个称为强子化的过程，在这一过程中，它们转变成一簇亚原子粒子，称为“喷注”。此外，探测器中的强磁场能使即使能量很高的带电粒子也发生足够大的偏转，从而测定其动量。ATLAS 探测器采用超导螺线管系统，在探测器内部环绕碰撞点的区域产生恒定、均匀的 2.00 特斯拉磁场。动量低于某一数值的带电粒子会发生很强的偏转，以至于在磁场中反复绕圈，因此很可能无法被测量。由于中微子自身的性质，它会穿过探测器而不发生相互作用，因此完全无法被探测到。

已知数据：电子静止质量，\(m=9.11\times10^{-31}\ \mathrm{kg}\)；元电荷，\(e=1.60\times10^{-19}\ \mathrm{C}\)；

光速，\(c=3.00\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)；真空介电常数，\(\epsilon_0=8.85\times10^{-12}\ \mathrm{F\,m^{-1}}\)

部分 A. ATLAS 探测器的物理原理（4.0 分）

A.1 — 0.5分

电子受到垂直于其速度方向的磁力作用而做圆周运动。推导其圆形轨迹的回旋半径 \(r\) 的表达式，并将该半径表示为其动能 \(K\)、电荷量的绝对值 \(e\)、质量 \(m\) 和磁场 \(B\) 的函数。假设电子是非相对论性的经典粒子。

ATLAS 探测器内部产生的电子必须用相对论处理。不过，只要采用相对论动量，回旋半径公式同样适用于相对论运动。

A.2 — 0.5分

计算使电子能够沿径向逃出探测器内部区域所需的最小动量。探测器内部区域呈圆柱形，半径为 1.1 米，电子在恰好位于圆柱中心的碰撞点产生。用 MeV/\(c\) 表示答案。

当电荷量为 \(e\)、静止质量为 \(m\) 的相对论性粒子沿垂直于速度的方向加速时，会发出称为同步辐射的电磁辐射。辐射功率为

\[ P=\frac{e^2a^2\gamma^4}{6\pi\epsilon_0c^3} \]

其中 \(a\) 为加速度，\(\gamma=[1-(v/c)^2]^{-1/2}\)。

A.3 — 1.0分

当粒子的速率非常接近光速时，称其为超相对论性粒子。对于超相对论性粒子，辐射功率可表示为：

\[ P=\xi\frac{e^4}{\epsilon_0m^kc^n}E^2B^2, \]

其中 \(\xi\) 为实数，\(n\)、\(k\) 为整数，\(E\) 为带电粒子的能量，\(B\) 为磁场。求 \(\xi\)、\(n\) 和 \(k\)。

A.4 — 1.0分

在超相对论极限下，电子能量随时间的变化为：

\[ E(t)=\frac{E_0}{1+\alpha E_0t}, \]

其中 \(E_0\) 为电子的初始能量。求 \(\alpha\) 关于 \(e\)、\(c\)、\(B\)、\(\epsilon_0\) 和 \(m\) 的表达式。

A.5 — 0.5分

考虑一个在碰撞点沿径向产生、能量为 100 GeV 的电子。估算该电子逃出探测器内部区域之前因同步辐射而损失的能量。用 MeV 表示答案。

A.6 — 0.5分

求超相对论极限下电子的回旋频率随时间变化的表达式。

部分 B. 寻找中微子（6.0 分）

图 1 所示的两个质子的碰撞产生了一个顶夸克（\(t\)）和一个反顶夸克（\(\bar t\)），它们是迄今探测到的最重的基本粒子。顶夸克衰变为一个 \(W^+\) 玻色子和一个底夸克（\(b\)），而反顶夸克衰变为一个 \(W^-\) 玻色子和一个反底夸克（\(\bar b\)）。在图 1 所示的情形中，\(W^+\) 玻色子衰变为一个反μ子（\(\mu^+\)）和一个中微子（\(\nu\)），而 \(W^-\) 玻色子衰变为一个夸克和一个反夸克。本题的任务是利用部分已探测粒子的动量，重建中微子的完整动量。为简单起见，本题中除顶夸克和 \(W^\pm\) 玻色子外，所有粒子和喷注均视为无质量。

除中微子沿（\(z\) 轴）的动量分量外，顶夸克衰变产物的动量均可由实验确定（见表）。探测器捕获的末态粒子的总线动量仅在横向平面（\(xy\) 平面）内为零，而沿碰撞轴线（\(z\) 轴）方向并不为零。因此，可以由横向平面内的缺失动量求出中微子的横向动量。

2015 年 6 月 4 日，LHC 的 ATLAS 实验在 GMT+1 时间 00:21:24 记录到一次如图 1 所示的质子—质子碰撞。

图 1. ATLAS 探测器坐标系（左）和质子—质子碰撞（右）的示意图。

顶夸克衰变产生的三个末态粒子（包括中微子）的线动量各分量列于下表。

B.1 — 1.5分

求一个方程，将 \(W^+\) 玻色子质量的平方 \(m_{\mathrm W}^2\) 与上表中中微子和反μ子的动量分量联系起来。用中微子和反μ子的横向动量

\[ \vec p_{\mathrm T}^{(\nu)} =p_x^{(\nu)}\hat\imath+p_y^{(\nu)}\hat\jmath \quad\text{和}\quad \vec p_{\mathrm T}^{(\mu)} =p_x^{(\mu)}\hat\imath+p_y^{(\mu)}\hat\jmath, \]

以及它们沿 \(z\) 轴的动量分量 \(p_z^{(\mu)}\) 和 \(p_z^{(\nu)}\) 表示答案。

B.2 — 1.5分

假设 \(W^+\) 玻色子的质量为 \(m_{\mathrm W}=80.4\ \mathrm{GeV}/c^2\)，计算中微子沿 \(z\) 轴的动量 \(p_z^{(\nu)}\) 的两个可能解。用 GeV/c 表示答案。

B.3 — 1.0分

分别计算上述两个解对应的顶夸克质量。用 GeV/\(c^2\) 表示答案。

[如果你未能在 B.2 中求出这两个解，请使用 \(p_z^{(\nu)}=70\ \mathrm{GeV}/c\) 和 \(p_z^{(\nu)}=-180\ \mathrm{GeV}/c\)。]

用于测量顶夸克质量的碰撞事件的归一化数目（由实验确定）包含两个部分：所谓的“信号”（对应于顶夸克的衰变）和“本底”（对应于其他不包含顶夸克的过程所产生的事件）。实验数据包含这两种过程，见图 2。

图 2. 由实验确定的顶夸克质量分布，即归一化事件数随顶夸克质量的变化。圆点对应于数据。虚线对应于“信号”，阴影对应于“本底”。

B.4 — 1.0分

根据顶夸克质量分布，上述两个解中哪一个更可能是正确的？估算最可能的解所对应的概率。

B.5 — 1.0分

利用最可能的解，计算顶夸克在衰变之前运动的距离。假设顶夸克在静止时的平均寿命为 \(5\times10^{-25}\ \mathrm{s}\)。

题目译自官方英文原文。

При столкновении двух протонов с очень высокой энергией на Большом адронном коллайдере (LHC) могут образовываться различные частицы, например электроны, мюоны, нейтрино, кварки и соответствующие им античастицы. Большинство этих частиц можно зарегистрировать с помощью детектора частиц, окружающего точку столкновения. Например, кварки претерпевают процесс, называемый адронизацией, в ходе которого они превращаются в ливень субатомных частиц, называемый «струёй». Кроме того, сильное магнитное поле в детекторах позволяет достаточно сильно искривлять траектории даже очень энергичных заряженных частиц, чтобы можно было определить их импульс. В детекторе ATLAS используется система сверхпроводящих соленоидов, создающая постоянное однородное магнитное поле величиной 2.00 тесла во внутренней части детектора, окружающей точку столкновения. Траектории заряженных частиц с импульсами ниже некоторого значения искривляются настолько сильно, что частицы совершают многократные обороты в магнитном поле и, скорее всего, не будут зарегистрированы. В силу своих свойств нейтрино вообще не регистрируется, поскольку проходит сквозь детектор, не взаимодействуя с ним.

Данные: масса покоя электрона, \(m=9.11\times10^{-31}\ \mathrm{kg}\); элементарный заряд, \(e=1.60\times10^{-19}\ \mathrm{C}\);

скорость света, \(c=3.00\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}\); электрическая постоянная, \(\epsilon_0=8.85\times10^{-12}\ \mathrm{F\,m^{-1}}\)

Часть A. Физика детектора ATLAS (4.0 балла)

A.1 — 0.5 балла

Выведите выражение для циклотронного радиуса \(r\) круговой траектории электрона, на который действует магнитная сила, перпендикулярная его скорости, и выразите этот радиус через его кинетическую энергию \(K\), модуль заряда \(e\), массу \(m\) и магнитное поле \(B\). Считайте электрон нерелятивистской классической частицей.

Электроны, рождающиеся внутри детектора ATLAS, необходимо рассматривать релятивистски. Однако формула для циклотронного радиуса справедлива и для релятивистского движения, если использовать релятивистский импульс.

A.2 — 0.5 балла

Вычислите минимальное значение импульса электрона, при котором он может покинуть внутреннюю часть детектора в радиальном направлении. Внутренняя часть детектора имеет форму цилиндра радиусом 1.1 метра, а электрон рождается в точке столкновения точно в центре цилиндра. Выразите ответ в МэВ/\(c\).

При ускорении, перпендикулярном скорости, релятивистские частицы с зарядом \(e\) и массой покоя \(m\) испускают электромагнитное излучение, называемое синхротронным. Мощность излучения задаётся выражением

\[ P=\frac{e^2a^2\gamma^4}{6\pi\epsilon_0c^3} \]

где \(a\) — ускорение, а \(\gamma=[1-(v/c)^2]^{-1/2}\).

A.3 — 1.0 балла

Частица называется ультрарелятивистской, если её скорость очень близка к скорости света. Для ультрарелятивистской частицы мощность излучения можно выразить следующим образом:

\[ P=\xi\frac{e^4}{\epsilon_0m^kc^n}E^2B^2, \]

где \(\xi\) — действительное число, \(n\), \(k\) — целые числа, \(E\) — энергия заряженной частицы, а \(B\) — магнитное поле. Найдите \(\xi\), \(n\) и \(k\).

A.4 — 1.0 балла

В ультрарелятивистском пределе энергия электрона зависит от времени следующим образом:

\[ E(t)=\frac{E_0}{1+\alpha E_0t}, \]

где \(E_0\) — начальная энергия электрона. Найдите \(\alpha\) как функцию \(e\), \(c\), \(B\), \(\epsilon_0\) и \(m\).

A.5 — 0.5 балла

Рассмотрите электрон, родившийся в точке столкновения и движущийся в радиальном направлении с энергией 100 ГэВ. Оцените энергию, потерянную вследствие синхротронного излучения к моменту выхода электрона из внутренней части детектора. Выразите ответ в МэВ.

A.6 — 0.5 балла

Найдите выражение для циклотронной частоты электрона как функции времени в ультрарелятивистском пределе.

Часть B. Поиск нейтрино (6.0 балла)

Столкновение двух протонов, показанное на рисунке 1, приводит к рождению топ-кварка (\(t\)) и анти-топ-кварка (\(\bar t\)) — самых тяжёлых из когда-либо зарегистрированных элементарных частиц. Топ-кварк распадается на бозон \(W^+\) и боттом-кварк (\(b\)), а анти-топ-кварк — на бозон \(W^-\) и анти-боттом-кварк (\(\bar b\)). В случае, изображённом на рисунке 1, бозон \(W^+\) распадается на антимюон (\(\mu^+\)) и нейтрино (\(\nu\)), а бозон \(W^-\) — на кварк и антикварк. Цель этой задачи — восстановить полный импульс нейтрино по импульсам некоторых зарегистрированных частиц. Для простоты все частицы и струи в этой задаче считаются безмассовыми, за исключением топ-кварка и бозонов \(W^\pm\).

Импульсы продуктов распада топ-кварка можно определить экспериментально (см. таблицу), за исключением компоненты импульса нейтрино вдоль оси \(z\). Полный импульс частиц конечного состояния, зарегистрированных детектором, равен нулю только в поперечной плоскости (плоскости \(xy\)), но не вдоль линии столкновения (оси \(z\)). Таким образом, поперечный импульс нейтрино можно найти по недостающему импульсу в поперечной плоскости.

4 июня 2015 года в эксперименте ATLAS на LHC в 00:21:24 GMT+1 было зарегистрировано протон-протонное столкновение, подобное изображённому на рисунке 1.

Рисунок 1. Схематическое изображение системы координат детектора ATLAS (слева) и протон-протонного столкновения (справа).

Ниже приведены компоненты импульсов трёх частиц конечного состояния, образовавшихся при распаде топ-кварка, включая нейтрино.

B.1 — 1.5 балла

Найдите уравнение, связывающее квадрат массы бозона \(W^+\), \(m_{\mathrm W}^2\), с компонентами импульсов нейтрино и антимюона, приведёнными в таблице выше. Выразите ответ через поперечные импульсы нейтрино и антимюона,

\[ \vec p_{\mathrm T}^{(\nu)} =p_x^{(\nu)}\hat\imath+p_y^{(\nu)}\hat\jmath \quad\text{и}\quad \vec p_{\mathrm T}^{(\mu)} =p_x^{(\mu)}\hat\imath+p_y^{(\mu)}\hat\jmath, \]

и компоненты их импульсов вдоль оси \(z\), \(p_z^{(\mu)}\) и \(p_z^{(\nu)}\).

B.2 — 1.5 балла

Считая массу бозона \(W^+\) равной \(m_{\mathrm W}=80.4\ \mathrm{GeV}/c^2\), вычислите два возможных значения импульса нейтрино вдоль оси \(z\), \(p_z^{(\nu)}\). Выразите ответ в ГэВ/c.

B.3 — 1.0 балла

Вычислите массу топ-кварка для каждого из двух полученных выше решений. Выразите ответ в ГэВ/\(c^2\).

[Если вы не получили два решения в B.2, используйте \(p_z^{(\nu)}=70\ \mathrm{GeV}/c\) и \(p_z^{(\nu)}=-180\ \mathrm{GeV}/c\).]

Нормированное число событий столкновения, используемых для измерения массы топ-кварка (определённое экспериментально), имеет две составляющие: так называемый «сигнал» (соответствующий распадам топ-кварков) и «фон» (соответствующий событиям других процессов, в которых топ-кварки не участвуют). Экспериментальные данные включают оба процесса, см. рис. 2.

Рисунок 2. Экспериментально определённое распределение массы топ-кварка, то есть нормированное число событий в зависимости от массы топ-кварка. Точки соответствуют данным. Штриховая линия соответствует «сигналу», а затенённая область — «фону».

B.4 — 1.0 балла

Судя по распределению массы топ-кварка, какое из двух полученных выше решений с большей вероятностью является правильным? Оцените вероятность для наиболее вероятного решения.

B.5 — 1.0 балла

Вычислите расстояние, пройденное топ-кварком до распада, используя наиболее вероятное решение. Считайте, что среднее время жизни топ-кварка в покое равно \(5\times10^{-25}\ \mathrm{s}\).

Условие переведено с официального английского текста.

عندما يتصادم بروتونان بطاقة عالية جدًا في مصادم الهادرونات الكبير (LHC)، قد ينتج عن هذا التصادم عدد من الجسيمات، مثل الإلكترونات والميونات والنيوترينوات والكواركات والجسيمات المضادة المناظرة لها. ويمكن رصد معظم هذه الجسيمات بواسطة كاشف الجسيمات المحيط بنقطة التصادم. فعلى سبيل المثال، تخضع الكواركات لعملية تسمى التهدرن، تتحول فيها إلى وابل من الجسيمات دون الذرية يسمى «نفاثة». إضافة إلى ذلك، يسمح المجال المغناطيسي الشديد الموجود في الكواشف بانحناء مسارات الجسيمات المشحونة، حتى ذات الطاقات العالية جدًا، بمقدار يكفي لتحديد زخمها. ويستخدم كاشف ATLAS منظومة ملفات لولبية فائقة التوصيل تولّد مجالًا مغناطيسيًا ثابتًا ومنتظمًا مقداره 2.00 تسلا في الجزء الداخلي من الكاشف، المحيط بنقطة التصادم. أما الجسيمات المشحونة التي يقل زخمها عن قيمة معينة، فتنحني مساراتها بشدة بحيث تدور مرارًا داخل المجال، وعلى الأرجح لا تُقاس. وبحكم طبيعة النيوترينو، لا يُرصد إطلاقًا، إذ ينفذ عبر الكاشف دون أن يتفاعل.

المعطيات: كتلة سكون الإلكترون، \(m=9.11\times10^{-31}\ \mathrm{kg}\)؛ الشحنة الأولية، \(e=1.60\times10^{-19}\ \mathrm{C}\)؛

سرعة الضوء، \(c=3.00\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)؛ سماحية الفراغ، \(\epsilon_0=8.85\times10^{-12}\ \mathrm{F\,m^{-1}}\)

الجزء A. فيزياء كاشف ATLAS (4.0 نقاط)

A.1 — 0.5 نقطة

اشتق تعبيرًا لنصف قطر السيكلوترون، \(r\)، للمسار الدائري لإلكترون تؤثر فيه قوة مغناطيسية عمودية على سرعته، وعبّر عن نصف القطر هذا بدلالة طاقته الحركية، \(K\)؛ ومقدار شحنته، \(e\)؛ وكتلته، \(m\)؛ والمجال المغناطيسي، \(B\). افترض أن الإلكترون جسيم كلاسيكي غير نسبي.

يجب التعامل مع الإلكترونات الناتجة داخل كاشف ATLAS وفقًا للنظرية النسبية. ومع ذلك، فإن صيغة نصف قطر السيكلوترون تصح أيضًا للحركة النسبية عند استخدام الزخم النسبي.

A.2 — 0.5 نقطة

احسب القيمة الدنيا لزخم إلكترون التي تتيح له الخروج من الجزء الداخلي للكاشف في الاتجاه الشعاعي. يتخذ الجزء الداخلي للكاشف شكل أسطوانة نصف قطرها 1.1 متر، وينتج الإلكترون عند نقطة التصادم الواقعة تمامًا في مركز الأسطوانة. عبّر عن إجابتك بوحدة MeV/\(c\).

عندما تتسارع جسيمات نسبية ذات شحنة \(e\) وكتلة سكون \(m\) في اتجاه عمودي على سرعتها، فإنها تبعث إشعاعًا كهرومغناطيسيًا يسمى إشعاع السنكروترون. وتُعطى القدرة المنبعثة بالعلاقة

\[ P=\frac{e^2a^2\gamma^4}{6\pi\epsilon_0c^3} \]

حيث \(a\) هو التسارع و\(\gamma=[1-(v/c)^2]^{-1/2}\).

A.3 — 1.0 نقطة

يسمى الجسيم فائق النسبية عندما تكون سرعته قريبة جدًا من سرعة الضوء. ويمكن التعبير عن القدرة المنبعثة من جسيم فائق النسبية كما يلي:

\[ P=\xi\frac{e^4}{\epsilon_0m^kc^n}E^2B^2, \]

حيث \(\xi\) عدد حقيقي، و\(n\)، \(k\) عددان صحيحان، و\(E\) طاقة الجسيم المشحون، و\(B\) المجال المغناطيسي. أوجد \(\xi\) و\(n\) و\(k\).

A.4 — 1.0 نقطة

في الحد فائق النسبية، تكون طاقة الإلكترون بدلالة الزمن:

\[ E(t)=\frac{E_0}{1+\alpha E_0t}, \]

حيث \(E_0\) هي الطاقة الابتدائية للإلكترون. أوجد \(\alpha\) بدلالة \(e\) و\(c\) و\(B\) و\(\epsilon_0\) و\(m\).

A.5 — 0.5 نقطة

اعتبر إلكترونًا ينتج عند نقطة التصادم ويتحرك في الاتجاه الشعاعي بطاقة مقدارها 100 GeV. قدّر مقدار الطاقة التي يفقدها بسبب إشعاع السنكروترون حتى يخرج من الجزء الداخلي للكاشف. عبّر عن إجابتك بوحدة MeV.

A.6 — 0.5 نقطة

أوجد تعبيرًا لتردد السيكلوترون للإلكترون بدلالة الزمن في الحد فائق النسبية.

الجزء B. العثور على النيوترينو (6.0 نقاط)

يؤدي التصادم بين البروتونين الموضح في الشكل 1 إلى إنتاج كوارك قمي (\(t\)) وكوارك قمي مضاد (\(\bar t\))، وهما أثقل الجسيمات الأولية التي رُصدت على الإطلاق. يضمحل الكوارك القمي إلى بوزون \(W^+\) وكوارك قعري (\(b\))، بينما يضمحل الكوارك القمي المضاد إلى بوزون \(W^-\) وكوارك قعري مضاد (\(\bar b\)). وفي الحالة المبينة في الشكل 1، يضمحل البوزون \(W^+\) إلى ميون مضاد (\(\mu^+\)) ونيوترينو (\(\nu\))، ويضمحل البوزون \(W^-\) إلى كوارك وكوارك مضاد. والمطلوب في هذه المسألة هو إعادة بناء الزخم الكامل للنيوترينو باستخدام زخوم بعض الجسيمات المرصودة. للتبسيط، ستُعد جميع الجسيمات والنفاثات في هذه المسألة عديمة الكتلة، باستثناء الكوارك القمي وبوزونات \(W^\pm\).

يمكن تحديد زخوم نواتج اضمحلال الكوارك القمي من التجربة (انظر الجدول)، باستثناء مركبة زخم النيوترينو على امتداد المحور (\(z\)). ولا ينعدم الزخم الخطي الكلي لجسيمات الحالة النهائية التي يرصدها الكاشف إلا في المستوى المستعرض (المستوى \(xy\))، ولا ينعدم على امتداد خط التصادم (المحور \(z\)). لذلك، يمكن إيجاد الزخم المستعرض للنيوترينو من الزخم المفقود في المستوى المستعرض.

في 4 يونيو 2015، سجلت تجربة ATLAS في LHC تصادمًا بين بروتونين عند الساعة 00:21:24 بتوقيت GMT+1 مماثلًا للتصادم الممثل في الشكل 1.

الشكل 1. تمثيل تخطيطي لنظام إحداثيات كاشف ATLAS (يسارًا) ولتصادم بروتونين (يمينًا).

تُعرض أدناه مركبات الزخوم الخطية لجسيمات الحالة النهائية الثلاثة الناتجة عن اضمحلال الكوارك القمي، بما فيها النيوترينو.

B.1 — 1.5 نقطة

أوجد معادلة تربط مربع كتلة البوزون \(W^+\)، أي \(m_{\mathrm W}^2\)، بمركبات زخمي النيوترينو والميون المضاد الواردة في الجدول أعلاه. عبّر عن إجابتك بدلالة الزخمين المستعرضين للنيوترينو والميون المضاد،

\[ \vec p_{\mathrm T}^{(\nu)} =p_x^{(\nu)}\hat\imath+p_y^{(\nu)}\hat\jmath \quad\text{و}\quad \vec p_{\mathrm T}^{(\mu)} =p_x^{(\mu)}\hat\imath+p_y^{(\mu)}\hat\jmath, \]

ومركبتي زخميهما على المحور \(z\)، أي \(p_z^{(\mu)}\) و\(p_z^{(\nu)}\).

B.2 — 1.5 نقطة

بافتراض أن كتلة البوزون \(W^+\) هي \(m_{\mathrm W}=80.4\ \mathrm{GeV}/c^2\)، احسب الحلين الممكنين لزخم النيوترينو على امتداد المحور \(z\)، أي \(p_z^{(\nu)}\). عبّر عن إجابتك بوحدة GeV/c.

B.3 — 1.0 نقطة

احسب كتلة الكوارك القمي لكل من الحلين السابقين. عبّر عن إجابتك بوحدة GeV/\(c^2\).

[إذا لم تحصل على الحلين في B.2، فاستخدم \(p_z^{(\nu)}=70\ \mathrm{GeV}/c\) و\(p_z^{(\nu)}=-180\ \mathrm{GeV}/c\).]

يتألف العدد المُطبَّع لأحداث التصادم المستخدمة في قياس كتلة الكوارك القمي (كما تحدده التجربة) من مكونين: ما يسمى «الإشارة» (المقابلة لاضمحلال الكواركات القمية) و«الخلفية» (المقابلة لأحداث ناتجة عن عمليات أخرى لا تتضمن كواركات قمية). وتشمل البيانات التجريبية كلا النوعين من العمليات، انظر الشكل 2.

الشكل 2. توزيع كتلة الكوارك القمي كما تحدده التجربة، أي العدد المُطبَّع للأحداث مرسومًا بدلالة كتلة الكوارك القمي. تمثل النقاط البيانات. ويمثل الخط المتقطع «الإشارة»، وتمثل المنطقة المظللة «الخلفية».

B.4 — 1.0 نقطة

وفقًا لتوزيع كتلة الكوارك القمي، أي الحلين السابقين أرجح أن يكون صحيحًا؟ قدّر احتمال الحل الأرجح.

B.5 — 1.0 نقطة

احسب المسافة التي يقطعها الكوارك القمي قبل اضمحلاله، باستخدام الحل الأرجح. افترض أن متوسط عمر الكوارك القمي في حالة السكون هو \(5\times10^{-25}\ \mathrm{s}\).

نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي.