Introduction

In this problem we study an efficient process of steam production that has been demonstrated to work experimentally. An aqueous solution of spherical nanometer-sized silver spheres (nanoparticles) with only about \(10^{13}\) particles per liter is illuminated by a focused light beam. A fraction of the light is absorbed by the nanoparticles, which are heated up and generate steam locally around them without heating up the entire water solution. The steam is released from the system in the form of escaping steam bubbles. Not all details of the process are well understood at present, but the core process is known to be absorption of light through the so-called collective electron oscillations of the metallic nanoparticles. The device is known as a plasmonic steam generator.

Figure 2.1 (a) A spherical charge-neutral nanoparticle of radius \(R\) placed at the center of the coordinate system. (b) A sphere with a positive homogeneous charge density \(\rho\) (red), and containing a smaller spherical charge-neutral region (0, yellow) of radius \(R_1\), with its center displaced by \(\boldsymbol{x}_{\mathrm d}=x_{\mathrm d}\boldsymbol{e}_x\). (c) The sphere with positive charge density \(\rho\) of the nanoparticle silver ions is fixed in the center of the coordinate system. The center of the spherical region with negative spherical charge density \(-\rho\) (blue) of the electron cloud is displaced by \(\boldsymbol{x}_{\mathrm p}\), where \(x_{\mathrm p}\ll R\). (d) An external homogeneous electric field \(\boldsymbol{E}_0=-E_0\boldsymbol{e}_x\). For time-dependent \(\boldsymbol{E}_0\), the electron cloud moves with velocity \(\boldsymbol{v}=\mathrm d\boldsymbol{x}_{\mathrm p}/\mathrm dt\). (e) The rectangular vessel \((h\times h\times a)\) containing the aqueous solution of nanoparticles illuminated by monochromatic light propagating along the \(z\)-axis with angular frequency \(\omega_{\mathrm p}\) and intensity \(S\).

A single spherical silver nanoparticle

Throughout this problem we consider a spherical silver nanoparticle of radius \(R=10{,}0\ \mathrm{nm}\) and with its center fixed at the origin of the coordinate system, see Fig. 2.1(a). All motions, forces and driving fields are parallel to the horizontal \(x\)-axis (with unit vector \(\boldsymbol{e}_x\)). The nanoparticle contains free (conduction) electrons moving within the whole nanoparticle volume without being bound to any silver atom. Each silver atom is a positive ion that has donated one such free electron.

The electric field in a charge-neutral region inside a charged sphere

For the rest of the problem assume that the relative dielectric permittivity of all materials is \(\varepsilon=1\). Inside a charged sphere of homogeneous charge density \(\rho\) and radius \(R\) is created a small spherical charge-neutral region of radius \(R_1\) by adding the opposite charge density \(-\rho\), with its center displaced by \(\boldsymbol{x}_{\mathrm d}=x_{\mathrm d}\boldsymbol{e}_x\) from the center of the \(R\)-sphere, see Fig. 2.1(b).

The restoring force on the displaced electron cloud

In the following, we study the collective motion of the free electrons, and therefore model them as a single negatively charged sphere of homogeneous charge density \(-\rho\) with a center position \(\boldsymbol{x}_{\mathrm p}\), which can move along the \(x\)-axis relative to the center of the positively charged sphere (silver ions) fixed at the origin of the coordinate system, see Fig. 2.1(c). Assume that an external force \(\boldsymbol{F}_{\mathrm{ext}}\) displaces the electron cloud to a new equilibrium position \(\boldsymbol{x}_{\mathrm p}=x_{\mathrm p}\boldsymbol{e}_x\) with \(\lvert x_{\mathrm p}\rvert\ll R\). Except for tiny net charges at opposite ends of the nanoparticle, most of its interior remains charge-neutral.

The spherical silver nanoparticle in an external constant electric field

A nanoparticle is placed in vacuum and influenced by an external force \(\boldsymbol{F}_{\mathrm{ext}}\) due to an applied static homogeneous electric field \(\boldsymbol{E}_0=-E_0\boldsymbol{e}_x\), which displaces the electron cloud the small distance \(\lvert x_{\mathrm p}\rvert\), where \(\lvert x_{\mathrm p}\rvert\ll R\).

The equivalent capacitance and inductance of the silver nanoparticle

For both a constant and a time-dependent field \(\boldsymbol{E}_0\), the nanoparticle can be modeled as an equivalent electric circuit. The equivalent capacitance can be found by relating the work \(W_{\mathrm{el}}\) done on the separation of charges \(\Delta Q\), to the energy of a capacitor, carrying charge \(\pm\Delta Q\). The charge separation will cause a certain equivalent voltage \(V_0\) across the equivalent capacitor.

For a time-dependent field \(\boldsymbol{E}_0\), the electron cloud moves with velocity \(\boldsymbol{v}=v\boldsymbol{e}_x\), Fig. 2.1(d). It has the kinetic energy \(W_{\mathrm{kin}}\) and forms an electric current \(I\) flowing through the fixed \(yz\)-plane. The kinetic energy of the electron cloud can be attributed to the energy of an equivalent inductor of inductance \(L\) carrying the current \(I\).

The plasmon resonance of the silver nanoparticle

From the above analysis it follows that the motion, arising from displacing the electron cloud from its equilibrium position and then releasing it, can be modeled by an ideal \(LC\)-circuit oscillating at resonance. This dynamical mode of the electron cloud is known as the plasmon resonance, which oscillates at the so-called angular plasmon frequency \(\omega_{\mathrm p}\).

The silver nanoparticle illuminated with light at the plasmon frequency

In the rest of the problem, the nanoparticle is illuminated by monochromatic light at the angular plasmon frequency \(\omega_{\mathrm p}\) with the incident intensity \(S=\frac12c\varepsilon_0E_0^2=1.00\ \mathrm{MW\,m^{-2}}\). As the wavelength is large, \(\lambda_{\mathrm p}\gg R\), the nanoparticle can be considered as being placed in a homogeneous harmonically oscillating field \(\boldsymbol{E}_0=-E_0\cos(\omega_{\mathrm p}t)\boldsymbol{e}_x\). Driven by \(\boldsymbol{E}_0\), the center \(\boldsymbol{x}_{\mathrm p}(t)\) of the electron cloud oscillates at the same frequency with velocity \(\boldsymbol{v}=\mathrm d\boldsymbol{x}_{\mathrm p}/\mathrm dt\) and constant amplitude \(x_0\). This oscillating electron motion leads to absorption of light. The energy captured by the particle is either converted into Joule heating inside the particle or re-emitted by the particle as scattered light.

Joule heating is caused by random inelastic collisions, where any given free electron once in a while hits a silver ion and loses its total kinetic energy, which is converted into vibrations of the silver ions (heat). The average time between the collisions is \(\tau\gg1/\omega_{\mathrm p}\), where for silver nanoparticle we use \(\tau=5.24\times10^{-15}\ \mathrm s\).

The incident light beam loses some time-averaged power \(P_{\mathrm{scat}}\) by scattering on the oscillating electron cloud (re-emission). \(P_{\mathrm{scat}}\) depends on the scattering source amplitude \(x_0\), charge \(Q\), angular frequency \(\omega_{\mathrm p}\) and properties of the light (the speed of light \(c\) and permittivity \(\varepsilon_0\) in vacuum). In terms of these four variables, \(P_{\mathrm{scat}}\) is given by \[ P_{\mathrm{scat}}=\frac{Q^2x_0^2\omega_{\mathrm p}^4}{12\pi\varepsilon_0c^3}. \]

The above equivalent circuit elements are combined into an \(LCR\) series circuit model of the silver nanoparticle, which is driven by a harmonically oscillating equivalent voltage \(V=V_0\cos(\omega_{\mathrm p}t)\) determined by the electric field \(\boldsymbol{E}_0\) of the incident light.

Steam generation by light

An aqueous solution of silver nanoparticles is prepared with a concentration \(n_{\mathrm{np}}=7.3\times10^{15}\ \mathrm{m^{-3}}\). It is placed inside a rectangular transparent vessel of size \(h\times h\times a=10\times10\times1.0\ \mathrm{cm^3}\) and illuminated by light at the plasmon frequency with the same intensity \(S=1.00\ \mathrm{MW\,m^{-2}}\) at normal incidence as above, see Fig. 2.1(e). The temperature of the water is \(T_{\mathrm{wa}}=20\,^\circ\mathrm C\) and we assume, in fair agreement with observations, that in steady state all Joule heating of the nanoparticle goes to the production of steam of temperature \(T_{\mathrm{st}}=110\,^\circ\mathrm C\), without raising the temperature of the water.

The thermodynamic efficiency \(\eta\) of the plasmonic steam generator is defined by the power ratio \(\eta=P_{\mathrm{st}}/P_{\mathrm{tot}}\), where \(P_{\mathrm{st}}\) is the power going into the production of steam in the entire vessel, while \(P_{\mathrm{tot}}\) is the total power of the incoming light that enters the vessel.

Most of the time any given nanoparticle is surrounded by steam instead of water, and it can thus be described as being in vacuum.

Data sheet: Table of physical parameters

Official English text of the problem.

Einleitung

In dieser Aufgabe untersuchen wir ein effizientes Verfahren zur Dampferzeugung, dessen Funktionsfähigkeit experimentell nachgewiesen wurde. Eine wässrige Lösung aus nanometergroßen Silberkugeln (Nanopartikeln) mit nur etwa \(10^{13}\) Teilchen pro Liter wird mit einem fokussierten Lichtstrahl beleuchtet. Ein Teil des Lichts wird von den Nanopartikeln absorbiert, die sich erwärmen und lokal in ihrer Umgebung Dampf erzeugen, ohne die gesamte wässrige Lösung zu erwärmen. Der Dampf verlässt das System in Form entweichender Dampfblasen. Noch sind nicht alle Einzelheiten des Verfahrens gut verstanden, doch ist bekannt, dass der zentrale Prozess die Absorption von Licht durch die sogenannten kollektiven Elektronenschwingungen der metallischen Nanopartikel ist. Die Vorrichtung wird als plasmonischer Dampferzeuger bezeichnet.

Abbildung 2.1 (a) Ein kugelförmiges, elektrisch neutrales Nanopartikel mit dem Radius \(R\) im Ursprung des Koordinatensystems. (b) Eine Kugel mit einer positiven homogenen Ladungsdichte \(\rho\) (rot), die einen kleineren kugelförmigen, elektrisch neutralen Bereich (0, gelb) mit dem Radius \(R_1\) enthält, dessen Mittelpunkt um \(\boldsymbol{x}_{\mathrm d}=x_{\mathrm d}\boldsymbol{e}_x\) verschoben ist. (c) Die Kugel mit der positiven Ladungsdichte \(\rho\) der Silberionen des Nanopartikels ist im Ursprung des Koordinatensystems fixiert. Der Mittelpunkt des kugelförmigen Bereichs mit der negativen kugelsymmetrischen Ladungsdichte \(-\rho\) (blau) der Elektronenwolke ist um \(\boldsymbol{x}_{\mathrm p}\) verschoben, wobei \(x_{\mathrm p}\ll R\) gilt. (d) Ein äußeres homogenes elektrisches Feld \(\boldsymbol{E}_0=-E_0\boldsymbol{e}_x\). Bei zeitabhängigem \(\boldsymbol{E}_0\) bewegt sich die Elektronenwolke mit der Geschwindigkeit \(\boldsymbol{v}=\mathrm d\boldsymbol{x}_{\mathrm p}/\mathrm dt\). (e) Das quaderförmige Gefäß \((h\times h\times a)\) mit der wässrigen Nanopartikellösung, die mit monochromatischem Licht der Kreisfrequenz \(\omega_{\mathrm p}\) und der Intensität \(S\) beleuchtet wird, das sich entlang der \(z\)-Achse ausbreitet.

Ein einzelnes kugelförmiges Silbernanopartikel

In dieser gesamten Aufgabe betrachten wir ein kugelförmiges Silbernanopartikel mit dem Radius \(R=10{,}0\ \mathrm{nm}\), dessen Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems fixiert ist, siehe Abb. 2.1(a). Alle Bewegungen, Kräfte und anregenden Felder sind parallel zur horizontalen \(x\)-Achse (mit dem Einheitsvektor \(\boldsymbol{e}_x\)). Das Nanopartikel enthält freie (Leitungs-)Elektronen, die sich im gesamten Volumen des Nanopartikels bewegen, ohne an ein Silberatom gebunden zu sein. Jedes Silberatom ist ein positives Ion, das ein solches freies Elektron abgegeben hat.

Das elektrische Feld in einem elektrisch neutralen Bereich innerhalb einer geladenen Kugel

Nehmen Sie für den Rest der Aufgabe an, dass die relative Permittivität aller Materialien \(\varepsilon=1\) beträgt. Innerhalb einer geladenen Kugel mit homogener Ladungsdichte \(\rho\) und Radius \(R\) wird durch Hinzufügen der entgegengesetzten Ladungsdichte \(-\rho\) ein kleiner kugelförmiger, elektrisch neutraler Bereich mit dem Radius \(R_1\) erzeugt, dessen Mittelpunkt gegenüber dem Mittelpunkt der Kugel mit Radius \(R\) um \(\boldsymbol{x}_{\mathrm d}=x_{\mathrm d}\boldsymbol{e}_x\) verschoben ist, siehe Abb. 2.1(b).

Die Rückstellkraft auf die verschobene Elektronenwolke

Im Folgenden untersuchen wir die kollektive Bewegung der freien Elektronen und modellieren sie daher als eine einzige negativ geladene Kugel mit homogener Ladungsdichte \(-\rho\) und der Mittelpunktposition \(\boldsymbol{x}_{\mathrm p}\), die sich entlang der \(x\)-Achse relativ zum Mittelpunkt der im Ursprung des Koordinatensystems fixierten positiv geladenen Kugel (Silberionen) bewegen kann, siehe Abb. 2.1(c). Nehmen Sie an, dass eine äußere Kraft \(\boldsymbol{F}_{\mathrm{ext}}\) die Elektronenwolke in eine neue Gleichgewichtslage \(\boldsymbol{x}_{\mathrm p}=x_{\mathrm p}\boldsymbol{e}_x\) mit \(\lvert x_{\mathrm p}\rvert\ll R\) verschiebt. Abgesehen von winzigen Nettoladungen an gegenüberliegenden Enden des Nanopartikels bleibt der größte Teil seines Inneren elektrisch neutral.

Das kugelförmige Silbernanopartikel in einem äußeren konstanten elektrischen Feld

Ein Nanopartikel befindet sich im Vakuum und wird durch eine äußere Kraft \(\boldsymbol{F}_{\mathrm{ext}}\) beeinflusst, die von einem angelegten statischen homogenen elektrischen Feld \(\boldsymbol{E}_0=-E_0\boldsymbol{e}_x\) herrührt. Dieses verschiebt die Elektronenwolke um die kleine Strecke \(\lvert x_{\mathrm p}\rvert\), wobei \(\lvert x_{\mathrm p}\rvert\ll R\) gilt.

Die Ersatzkapazität und Ersatzinduktivität des Silbernanopartikels

Sowohl für ein konstantes als auch für ein zeitabhängiges Feld \(\boldsymbol{E}_0\) lässt sich das Nanopartikel durch eine elektrische Ersatzschaltung modellieren. Die Ersatzkapazität lässt sich bestimmen, indem die zur Trennung der Ladungen \(\Delta Q\) verrichtete Arbeit \(W_{\mathrm{el}}\) mit der Energie eines Kondensators in Beziehung gesetzt wird, der die Ladung \(\pm\Delta Q\) trägt. Die Ladungstrennung bewirkt eine bestimmte Ersatzspannung \(V_0\) am Ersatzkondensator.

Bei einem zeitabhängigen Feld \(\boldsymbol{E}_0\) bewegt sich die Elektronenwolke mit der Geschwindigkeit \(\boldsymbol{v}=v\boldsymbol{e}_x\), Abb. 2.1(d). Sie besitzt die kinetische Energie \(W_{\mathrm{kin}}\) und erzeugt einen elektrischen Strom \(I\), der durch die ortsfeste \(yz\)-Ebene fließt. Die kinetische Energie der Elektronenwolke kann der Energie einer vom Strom \(I\) durchflossenen Ersatzspule mit der Induktivität \(L\) zugeordnet werden.

Die Plasmonenresonanz des Silbernanopartikels

Aus der obigen Analyse folgt, dass die Bewegung, die entsteht, wenn die Elektronenwolke aus ihrer Gleichgewichtslage verschoben und dann losgelassen wird, durch einen idealen \(LC\)-Schwingkreis beschrieben werden kann, der bei seiner Resonanzfrequenz schwingt. Diese dynamische Schwingungsform der Elektronenwolke wird als Plasmonenresonanz bezeichnet und schwingt mit der sogenannten Plasmonenkreisfrequenz \(\omega_{\mathrm p}\).

Das mit Licht bei der Plasmonenfrequenz beleuchtete Silbernanopartikel

Im Rest der Aufgabe wird das Nanopartikel mit monochromatischem Licht bei der Plasmonenkreisfrequenz \(\omega_{\mathrm p}\) und der einfallenden Intensität \(S=\frac12c\varepsilon_0E_0^2=1.00\ \mathrm{MW\,m^{-2}}\) beleuchtet. Da die Wellenlänge groß ist, \(\lambda_{\mathrm p}\gg R\), kann das Nanopartikel als in einem homogenen, harmonisch schwingenden Feld \(\boldsymbol{E}_0=-E_0\cos(\omega_{\mathrm p}t)\boldsymbol{e}_x\) befindlich betrachtet werden. Angetrieben durch \(\boldsymbol{E}_0\) schwingt der Mittelpunkt \(\boldsymbol{x}_{\mathrm p}(t)\) der Elektronenwolke mit derselben Frequenz, der Geschwindigkeit \(\boldsymbol{v}=\mathrm d\boldsymbol{x}_{\mathrm p}/\mathrm dt\) und der konstanten Amplitude \(x_0\). Diese schwingende Elektronenbewegung führt zur Absorption von Licht. Die vom Teilchen aufgenommene Energie wird entweder durch Joulesche Erwärmung im Teilchen in Wärme umgewandelt oder vom Teilchen als Streulicht wieder emittiert.

Die Joulesche Erwärmung wird durch zufällige unelastische Stöße verursacht, bei denen ein beliebiges freies Elektron von Zeit zu Zeit auf ein Silberion trifft und seine gesamte kinetische Energie verliert, die in Schwingungen der Silberionen (Wärme) umgewandelt wird. Die mittlere Zeit zwischen den Stößen beträgt \(\tau\gg1/\omega_{\mathrm p}\), wobei wir für das Silbernanopartikel \(\tau=5.24\times10^{-15}\ \mathrm s\) verwenden.

Der einfallende Lichtstrahl verliert durch Streuung an der schwingenden Elektronenwolke (Reemission) eine zeitlich gemittelte Leistung \(P_{\mathrm{scat}}\). \(P_{\mathrm{scat}}\) hängt von der Amplitude \(x_0\), der Ladung \(Q\) und der Kreisfrequenz \(\omega_{\mathrm p}\) der Streuquelle sowie von den Eigenschaften des Lichts (der Lichtgeschwindigkeit \(c\) und der Permittivität \(\varepsilon_0\) im Vakuum) ab. In Abhängigkeit von diesen vier Variablen ist \(P_{\mathrm{scat}}\) gegeben durch \[ P_{\mathrm{scat}}=\frac{Q^2x_0^2\omega_{\mathrm p}^4}{12\pi\varepsilon_0c^3}. \]

Die obigen Ersatzschaltungselemente werden zu einem \(LCR\)-Reihenschaltungsmodell des Silbernanopartikels zusammengefasst, das durch eine harmonisch schwingende Ersatzspannung \(V=V_0\cos(\omega_{\mathrm p}t)\) angeregt wird, die durch das elektrische Feld \(\boldsymbol{E}_0\) des einfallenden Lichts bestimmt ist.

Dampferzeugung durch Licht

Eine wässrige Lösung von Silbernanopartikeln mit einer Konzentration von \(n_{\mathrm{np}}=7.3\times10^{15}\ \mathrm{m^{-3}}\) wird hergestellt. Sie wird in ein quaderförmiges transparentes Gefäß mit den Abmessungen \(h\times h\times a=10\times10\times1.0\ \mathrm{cm^3}\) gefüllt und mit Licht bei der Plasmonenfrequenz und derselben Intensität \(S=1.00\ \mathrm{MW\,m^{-2}}\) wie oben bei senkrechtem Einfall beleuchtet, siehe Abb. 2.1(e). Die Wassertemperatur beträgt \(T_{\mathrm{wa}}=20\,^\circ\mathrm C\), und wir nehmen in recht guter Übereinstimmung mit den Beobachtungen an, dass im stationären Zustand die gesamte Joulesche Wärme des Nanopartikels zur Erzeugung von Dampf mit der Temperatur \(T_{\mathrm{st}}=110\,^\circ\mathrm C\) verwendet wird, ohne die Wassertemperatur zu erhöhen.

Der thermodynamische Wirkungsgrad \(\eta\) des plasmonischen Dampferzeugers ist durch das Leistungsverhältnis \(\eta=P_{\mathrm{st}}/P_{\mathrm{tot}}\) definiert, wobei \(P_{\mathrm{st}}\) die Leistung ist, die im gesamten Gefäß zur Dampferzeugung verwendet wird, während \(P_{\mathrm{tot}}\) die Gesamtleistung des einfallenden Lichts ist, das in das Gefäß eintritt.

Die meiste Zeit ist ein beliebiges Nanopartikel von Dampf statt von Wasser umgeben und kann daher so beschrieben werden, als befände es sich im Vakuum.

Datenblatt: Tabelle physikalischer Parameter

Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt.

Giriş

Bu soruda, çalıştığı deneysel olarak gösterilmiş verimli bir buhar üretim sürecini inceliyoruz. Litre başına yalnızca yaklaşık \(10^{13}\) parçacık içeren, nanometre boyutundaki küresel gümüş parçacıklarının (nanoparçacıkların) sulu çözeltisi, odaklanmış bir ışık demetiyle aydınlatılır. Işığın bir bölümü nanoparçacıklar tarafından soğurulur; ısınan nanoparçacıklar, sulu çözeltinin tamamını ısıtmadan, kendi çevrelerinde yerel olarak buhar üretir. Buhar, sistemden ayrılan buhar kabarcıkları biçiminde dışarı çıkar. Sürecin tüm ayrıntıları günümüzde tam olarak anlaşılmış değildir; ancak temel sürecin, metal nanoparçacıklardaki kolektif elektron salınımları olarak adlandırılan salınımlar yoluyla ışığın soğurulması olduğu bilinmektedir. Bu aygıt, plazmonik buhar üreteci olarak bilinir.

Şekil 2.1 (a) Koordinat sisteminin merkezine yerleştirilmiş, yarıçapı \(R\) olan, elektriksel olarak nötr küresel bir nanoparçacık. (b) Homojen pozitif yük yoğunluğu \(\rho\) olan (kırmızı) ve içinde yarıçapı \(R_1\) olan, merkezi \(\boldsymbol{x}_{\mathrm d}=x_{\mathrm d}\boldsymbol{e}_x\) kadar yer değiştirmiş, elektriksel olarak nötr daha küçük bir küresel bölge (0, sarı) bulunan bir küre. (c) Nanoparçacıktaki gümüş iyonlarının oluşturduğu, pozitif yük yoğunluğu \(\rho\) olan küre, koordinat sisteminin merkezinde sabittir. Elektron bulutunun oluşturduğu, negatif yük yoğunluğu \(-\rho\) olan küresel bölgenin (mavi) merkezi \(\boldsymbol{x}_{\mathrm p}\) kadar yer değiştirmiştir; burada \(x_{\mathrm p}\ll R\)'dir. (d) Homojen bir dış elektrik alan \(\boldsymbol{E}_0=-E_0\boldsymbol{e}_x\). Zamana bağlı \(\boldsymbol{E}_0\) için elektron bulutu \(\boldsymbol{v}=\mathrm d\boldsymbol{x}_{\mathrm p}/\mathrm dt\) hızıyla hareket eder. (e) Nanoparçacıkların sulu çözeltisini içeren, \(z\) ekseni boyunca yayılan, açısal frekansı \(\omega_{\mathrm p}\) ve şiddeti \(S\) olan tek renkli ışıkla aydınlatılan dikdörtgenler prizması biçimindeki kap \((h\times h\times a)\).

Tek bir küresel gümüş nanoparçacık

Bu soru boyunca, yarıçapı \(R=10{,}0\ \mathrm{nm}\) olan ve merkezi koordinat sisteminin başlangıç noktasında sabit tutulan küresel bir gümüş nanoparçacığı ele alıyoruz; bkz. Şekil 2.1(a). Tüm hareketler, kuvvetler ve sürücü alanlar, birim vektörü \(\boldsymbol{e}_x\) olan yatay \(x\) eksenine paraleldir. Nanoparçacık, herhangi bir gümüş atomuna bağlı olmaksızın nanoparçacığın tüm hacmi içinde hareket eden serbest (iletim) elektronları içerir. Her gümüş atomu, böyle bir serbest elektron vermiş olan pozitif bir iyondur.

Yüklü bir kürenin içindeki elektriksel olarak nötr bir bölgede elektrik alan

Sorunun geri kalanında, tüm malzemelerin bağıl dielektrik geçirgenliğinin \(\varepsilon=1\) olduğunu varsayınız. Homojen yük yoğunluğu \(\rho\) ve yarıçapı \(R\) olan yüklü bir kürenin içinde, ters işaretli \(-\rho\) yük yoğunluğu eklenerek yarıçapı \(R_1\) olan küçük, elektriksel olarak nötr bir küresel bölge oluşturulur. Bu bölgenin merkezi, \(R\) yarıçaplı kürenin merkezinden \(\boldsymbol{x}_{\mathrm d}=x_{\mathrm d}\boldsymbol{e}_x\) kadar ötelenmiştir; bkz. Şekil 2.1(b).

Yer değiştirmiş elektron bulutuna etki eden geri çağırıcı kuvvet

Aşağıda serbest elektronların kolektif hareketini inceliyoruz. Bu nedenle elektronları, homojen yük yoğunluğu \(-\rho\) ve merkez konumu \(\boldsymbol{x}_{\mathrm p}\) olan, negatif yüklü tek bir küre olarak modelliyoruz. Bu küre, koordinat sisteminin başlangıç noktasında sabit tutulan pozitif yüklü kürenin (gümüş iyonlarının) merkezine göre \(x\) ekseni boyunca hareket edebilir; bkz. Şekil 2.1(c). Bir dış kuvvetin, \(\boldsymbol{F}_{\mathrm{ext}}\), elektron bulutunu \(\boldsymbol{x}_{\mathrm p}=x_{\mathrm p}\boldsymbol{e}_x\) yeni denge konumuna getirdiğini ve \(\lvert x_{\mathrm p}\rvert\ll R\) olduğunu varsayınız. Nanoparçacığın karşılıklı uçlarındaki çok küçük net yükler dışında, iç kısmının büyük bölümü elektriksel olarak nötr kalır.

Sabit bir dış elektrik alan içindeki küresel gümüş nanoparçacık

Bir nanoparçacık boşluğa yerleştirilir ve uygulanan statik, homojen \(\boldsymbol{E}_0=-E_0\boldsymbol{e}_x\) elektrik alanından kaynaklanan bir \(\boldsymbol{F}_{\mathrm{ext}}\) dış kuvvetinin etkisinde kalır. Bu kuvvet, elektron bulutunu \(\lvert x_{\mathrm p}\rvert\) kadar küçük bir mesafe öteler; burada \(\lvert x_{\mathrm p}\rvert\ll R\)'dir.

Gümüş nanoparçacığın eşdeğer kapasitansı ve endüktansı

Hem sabit hem de zamana bağlı \(\boldsymbol{E}_0\) alanı için nanoparçacık, eşdeğer bir elektrik devresi olarak modellenebilir. Eşdeğer kapasitans, \(\Delta Q\) yüklerinin ayrılması için yapılan \(W_{\mathrm{el}}\) işi ile \(\pm\Delta Q\) yükü taşıyan bir kondansatörün enerjisi ilişkilendirilerek bulunabilir. Yüklerin ayrılması, eşdeğer kondansatörün uçları arasında belirli bir \(V_0\) eşdeğer gerilimine yol açar.

Zamana bağlı bir \(\boldsymbol{E}_0\) alanı için elektron bulutu \(\boldsymbol{v}=v\boldsymbol{e}_x\) hızıyla hareket eder; Şekil 2.1(d). Bulutun kinetik enerjisi \(W_{\mathrm{kin}}\)'dir ve sabit \(yz\) düzleminden geçen bir \(I\) elektrik akımı oluşturur. Elektron bulutunun kinetik enerjisi, üzerinden \(I\) akımı geçen, endüktansı \(L\) olan eşdeğer bir bobinin enerjisi olarak ele alınabilir.

Gümüş nanoparçacığın plazmon rezonansı

Yukarıdaki analizden, elektron bulutunun denge konumundan uzaklaştırılıp serbest bırakılmasıyla ortaya çıkan hareketin, rezonansta salınan ideal bir \(LC\) devresiyle modellenebileceği sonucu çıkar. Elektron bulutunun bu dinamik modu, plazmon rezonansı olarak bilinir ve açısal plazmon frekansı \(\omega_{\mathrm p}\) olarak adlandırılan frekansta salınır.

Plazmon frekansındaki ışıkla aydınlatılan gümüş nanoparçacık

Sorunun geri kalanında nanoparçacık, açısal plazmon frekansı \(\omega_{\mathrm p}\)'de, gelen ışık şiddeti \(S=\frac12c\varepsilon_0E_0^2=1.00\ \mathrm{MW\,m^{-2}}\) olan tek renkli ışıkla aydınlatılmaktadır. Dalga boyu büyük olduğundan, \(\lambda_{\mathrm p}\gg R\), nanoparçacığın homojen, harmonik olarak salınan bir \(\boldsymbol{E}_0=-E_0\cos(\omega_{\mathrm p}t)\boldsymbol{e}_x\) alanına yerleştirildiği kabul edilebilir. \(\boldsymbol{E}_0\) tarafından sürülen elektron bulutunun merkezi \(\boldsymbol{x}_{\mathrm p}(t)\), aynı frekansta, \(\boldsymbol{v}=\mathrm d\boldsymbol{x}_{\mathrm p}/\mathrm dt\) hızıyla ve sabit \(x_0\) genliğiyle salınır. Elektronların bu salınım hareketi, ışığın soğurulmasına yol açar. Parçacığın aldığı enerji ya parçacık içinde Joule ısınmasına dönüşür ya da parçacık tarafından saçılan ışık olarak yeniden yayılır.

Joule ısınması, rastgele gerçekleşen esnek olmayan çarpışmalardan kaynaklanır. Bu çarpışmalarda herhangi bir serbest elektron zaman zaman bir gümüş iyonuna çarpar ve kinetik enerjisinin tamamını kaybeder; bu enerji gümüş iyonlarının titreşimlerine (ısıya) dönüşür. Çarpışmalar arasındaki ortalama süre \(\tau\gg1/\omega_{\mathrm p}\)'dir; gümüş nanoparçacık için \(\tau=5.24\times10^{-15}\ \mathrm s\) değerini kullanıyoruz.

Gelen ışık demeti, salınan elektron bulutundan saçılma (yeniden yayılma) yoluyla zaman ortalamalı \(P_{\mathrm{scat}}\) gücünü kaybeder. \(P_{\mathrm{scat}}\), saçılma kaynağının genliği \(x_0\), yükü \(Q\), açısal frekansı \(\omega_{\mathrm p}\) ve ışığın özelliklerine (ışığın boşluktaki hızı \(c\) ve boşluğun elektriksel geçirgenliği \(\varepsilon_0\)) bağlıdır. Bu dört değişken cinsinden \(P_{\mathrm{scat}}\) şu şekilde verilir: \[ P_{\mathrm{scat}}=\frac{Q^2x_0^2\omega_{\mathrm p}^4}{12\pi\varepsilon_0c^3}. \]

Yukarıdaki eşdeğer devre elemanları, gümüş nanoparçacığın bir seri \(LCR\) devre modelinde birleştirilir. Bu devre, gelen ışığın \(\boldsymbol{E}_0\) elektrik alanının belirlediği, harmonik olarak salınan \(V=V_0\cos(\omega_{\mathrm p}t)\) eşdeğer gerilimiyle sürülür.

Işıkla buhar üretimi

Gümüş nanoparçacıkların, sayı yoğunluğu \(n_{\mathrm{np}}=7.3\times10^{15}\ \mathrm{m^{-3}}\) olan sulu bir çözeltisi hazırlanır. Çözelti, boyutları \(h\times h\times a=10\times10\times1.0\ \mathrm{cm^3}\) olan dikdörtgenler prizması biçimindeki saydam bir kaba konur ve yukarıdakiyle aynı \(S=1.00\ \mathrm{MW\,m^{-2}}\) şiddetinde, plazmon frekansındaki ışıkla dik gelişte aydınlatılır; bkz. Şekil 2.1(e). Suyun sıcaklığı \(T_{\mathrm{wa}}=20\,^\circ\mathrm C\)'dir. Gözlemlerle makul ölçüde uyumlu olarak, kararlı durumda nanoparçacıktaki Joule ısınmasının tamamının, suyun sıcaklığını artırmadan, \(T_{\mathrm{st}}=110\,^\circ\mathrm C\) sıcaklığında buhar üretimine harcandığını varsayıyoruz.

Plazmonik buhar üretecinin termodinamik verimi \(\eta\), \(\eta=P_{\mathrm{st}}/P_{\mathrm{tot}}\) güç oranıyla tanımlanır. Burada \(P_{\mathrm{st}}\), kabın tamamında buhar üretimine harcanan güç; \(P_{\mathrm{tot}}\) ise kaba giren ışığın toplam gücüdür.

Herhangi bir nanoparçacık, zamanın büyük bölümünde su yerine buharla çevrilidir; dolayısıyla boşluktaymış gibi betimlenebilir.

Veri sayfası: Fiziksel parametreler tablosu

Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir.

Introducción

En este problema estudiamos un proceso eficiente de producción de vapor cuyo funcionamiento se ha demostrado experimentalmente. Una disolución acuosa de esferas de plata de tamaño nanométrico (nanopartículas), con tan solo unas \(10^{13}\) partículas por litro, se ilumina con un haz de luz enfocado. Las nanopartículas absorben una fracción de la luz, se calientan y generan vapor localmente a su alrededor sin calentar toda la disolución acuosa. El vapor sale del sistema en forma de burbujas de vapor que escapan. Actualmente no se comprenden bien todos los detalles del proceso, pero se sabe que su mecanismo fundamental es la absorción de luz mediante las llamadas oscilaciones colectivas de los electrones de las nanopartículas metálicas. El dispositivo se conoce como generador plasmónico de vapor.

Figura 2.1 (a) Una nanopartícula esférica eléctricamente neutra de radio \(R\), situada en el centro del sistema de coordenadas. (b) Una esfera con una densidad de carga positiva homogénea \(\rho\) (rojo), que contiene una región esférica más pequeña eléctricamente neutra (0, amarillo) de radio \(R_1\), cuyo centro está desplazado en \(\boldsymbol{x}_{\mathrm d}=x_{\mathrm d}\boldsymbol{e}_x\). (c) La esfera con densidad de carga positiva \(\rho\) de los iones de plata de la nanopartícula está fija en el centro del sistema de coordenadas. El centro de la región esférica con densidad de carga esférica negativa \(-\rho\) (azul) de la nube electrónica está desplazado en \(\boldsymbol{x}_{\mathrm p}\), donde \(x_{\mathrm p}\ll R\). (d) Un campo eléctrico externo homogéneo \(\boldsymbol{E}_0=-E_0\boldsymbol{e}_x\). Para un \(\boldsymbol{E}_0\) dependiente del tiempo, la nube electrónica se mueve con velocidad \(\boldsymbol{v}=\mathrm d\boldsymbol{x}_{\mathrm p}/\mathrm dt\). (e) El recipiente rectangular \((h\times h\times a)\) que contiene la disolución acuosa de nanopartículas iluminada por luz monocromática que se propaga a lo largo del eje \(z\), con frecuencia angular \(\omega_{\mathrm p}\) e intensidad \(S\).

Una única nanopartícula esférica de plata

A lo largo de este problema consideramos una nanopartícula esférica de plata de radio \(R=10{,}0\ \mathrm{nm}\), cuyo centro está fijo en el origen del sistema de coordenadas; véase la Fig. 2.1(a). Todos los movimientos, fuerzas y campos de excitación son paralelos al eje horizontal \(x\) (con vector unitario \(\boldsymbol{e}_x\)). La nanopartícula contiene electrones libres (de conducción) que se mueven por todo su volumen sin estar ligados a ningún átomo de plata. Cada átomo de plata es un ion positivo que ha cedido uno de estos electrones libres.

El campo eléctrico en una región eléctricamente neutra dentro de una esfera cargada

Para el resto del problema, suponga que la permitividad dieléctrica relativa de todos los materiales es \(\varepsilon=1\). Dentro de una esfera cargada de densidad de carga homogénea \(\rho\) y radio \(R\), se crea una pequeña región esférica eléctricamente neutra de radio \(R_1\) añadiendo la densidad de carga opuesta \(-\rho\), con su centro desplazado en \(\boldsymbol{x}_{\mathrm d}=x_{\mathrm d}\boldsymbol{e}_x\) respecto al centro de la esfera de radio \(R\); véase la Fig. 2.1(b).

La fuerza restauradora sobre la nube electrónica desplazada

A continuación estudiamos el movimiento colectivo de los electrones libres y, por tanto, los modelamos como una única esfera cargada negativamente, de densidad de carga homogénea \(-\rho\), cuyo centro tiene la posición \(\boldsymbol{x}_{\mathrm p}\) y puede moverse a lo largo del eje \(x\) respecto al centro de la esfera cargada positivamente (iones de plata), fijo en el origen del sistema de coordenadas; véase la Fig. 2.1(c). Suponga que una fuerza externa \(\boldsymbol{F}_{\mathrm{ext}}\) desplaza la nube electrónica hasta una nueva posición de equilibrio \(\boldsymbol{x}_{\mathrm p}=x_{\mathrm p}\boldsymbol{e}_x\), con \(\lvert x_{\mathrm p}\rvert\ll R\). Salvo por pequeñas cargas netas en extremos opuestos de la nanopartícula, la mayor parte de su interior permanece eléctricamente neutra.

La nanopartícula esférica de plata en un campo eléctrico externo constante

Se coloca una nanopartícula en el vacío y se somete a una fuerza externa \(\boldsymbol{F}_{\mathrm{ext}}\) debida a un campo eléctrico estático homogéneo aplicado \(\boldsymbol{E}_0=-E_0\boldsymbol{e}_x\), que desplaza la nube electrónica una pequeña distancia \(\lvert x_{\mathrm p}\rvert\), donde \(\lvert x_{\mathrm p}\rvert\ll R\).

La capacidad y la inductancia equivalentes de la nanopartícula de plata

Tanto para un campo \(\boldsymbol{E}_0\) constante como para uno dependiente del tiempo, la nanopartícula puede modelarse mediante un circuito eléctrico equivalente. La capacidad equivalente puede hallarse relacionando el trabajo \(W_{\mathrm{el}}\) realizado para separar las cargas \(\Delta Q\) con la energía de un condensador que almacena una carga \(\pm\Delta Q\). La separación de cargas producirá una determinada tensión equivalente \(V_0\) entre los terminales del condensador equivalente.

Para un campo \(\boldsymbol{E}_0\) dependiente del tiempo, la nube electrónica se mueve con velocidad \(\boldsymbol{v}=v\boldsymbol{e}_x\), Fig. 2.1(d). Tiene una energía cinética \(W_{\mathrm{kin}}\) y origina una corriente eléctrica \(I\) que atraviesa el plano fijo \(yz\). La energía cinética de la nube electrónica puede atribuirse a la energía de una bobina equivalente de inductancia \(L\) por la que circula la corriente \(I\).

La resonancia plasmónica de la nanopartícula de plata

Del análisis anterior se deduce que el movimiento que se produce al desplazar la nube electrónica de su posición de equilibrio y soltarla después puede modelarse mediante un circuito \(LC\) ideal que oscila en resonancia. Este modo dinámico de la nube electrónica se conoce como resonancia plasmónica y oscila a la llamada frecuencia angular plasmónica \(\omega_{\mathrm p}\).

La nanopartícula de plata iluminada con luz a la frecuencia plasmónica

En el resto del problema, la nanopartícula se ilumina con luz monocromática a la frecuencia angular plasmónica \(\omega_{\mathrm p}\), con una intensidad incidente \(S=\frac12c\varepsilon_0E_0^2=1.00\ \mathrm{MW\,m^{-2}}\). Como la longitud de onda es grande, \(\lambda_{\mathrm p}\gg R\), puede considerarse que la nanopartícula se encuentra en un campo homogéneo que oscila armónicamente, \(\boldsymbol{E}_0=-E_0\cos(\omega_{\mathrm p}t)\boldsymbol{e}_x\). Bajo la acción de \(\boldsymbol{E}_0\), el centro \(\boldsymbol{x}_{\mathrm p}(t)\) de la nube electrónica oscila a la misma frecuencia, con velocidad \(\boldsymbol{v}=\mathrm d\boldsymbol{x}_{\mathrm p}/\mathrm dt\) y amplitud constante \(x_0\). Este movimiento oscilatorio de los electrones da lugar a la absorción de luz. La energía captada por la partícula se convierte en calor por efecto Joule en su interior o es reemitida por la partícula como luz dispersada.

El calentamiento por efecto Joule se debe a colisiones inelásticas aleatorias, en las que un electrón libre cualquiera choca de vez en cuando con un ion de plata y pierde toda su energía cinética, que se transforma en vibraciones de los iones de plata (calor). El tiempo medio entre colisiones es \(\tau\gg1/\omega_{\mathrm p}\), y para la nanopartícula de plata utilizamos \(\tau=5.24\times10^{-15}\ \mathrm s\).

El haz de luz incidente pierde una cierta potencia media temporal \(P_{\mathrm{scat}}\) por dispersión en la nube electrónica oscilante (reemisión). \(P_{\mathrm{scat}}\) depende de la amplitud \(x_0\) de la fuente de dispersión, de la carga \(Q\), de la frecuencia angular \(\omega_{\mathrm p}\) y de las propiedades de la luz (la velocidad de la luz \(c\) y la permitividad \(\varepsilon_0\) en el vacío). En función de estas cuatro variables, \(P_{\mathrm{scat}}\) viene dada por \[ P_{\mathrm{scat}}=\frac{Q^2x_0^2\omega_{\mathrm p}^4}{12\pi\varepsilon_0c^3}. \]

Los elementos del circuito equivalente anteriores se combinan en un modelo de circuito \(LCR\) en serie de la nanopartícula de plata, excitado por una tensión equivalente que oscila armónicamente, \(V=V_0\cos(\omega_{\mathrm p}t)\), determinada por el campo eléctrico \(\boldsymbol{E}_0\) de la luz incidente.

Generación de vapor mediante luz

Se prepara una disolución acuosa de nanopartículas de plata con una concentración \(n_{\mathrm{np}}=7.3\times10^{15}\ \mathrm{m^{-3}}\). Se introduce en un recipiente rectangular transparente de dimensiones \(h\times h\times a=10\times10\times1.0\ \mathrm{cm^3}\) y se ilumina con luz a la frecuencia plasmónica, con la misma intensidad \(S=1.00\ \mathrm{MW\,m^{-2}}\) que antes y con incidencia normal; véase la Fig. 2.1(e). La temperatura del agua es \(T_{\mathrm{wa}}=20\,^\circ\mathrm C\) y suponemos, en razonable concordancia con las observaciones, que en régimen estacionario todo el calor generado por efecto Joule en la nanopartícula se destina a producir vapor a una temperatura \(T_{\mathrm{st}}=110\,^\circ\mathrm C\), sin elevar la temperatura del agua.

El rendimiento termodinámico \(\eta\) del generador plasmónico de vapor se define mediante el cociente de potencias \(\eta=P_{\mathrm{st}}/P_{\mathrm{tot}}\), donde \(P_{\mathrm{st}}\) es la potencia destinada a producir vapor en todo el recipiente, mientras que \(P_{\mathrm{tot}}\) es la potencia total de la luz incidente que entra en él.

Durante la mayor parte del tiempo, una nanopartícula cualquiera está rodeada de vapor en lugar de agua, por lo que puede describirse como si estuviera en el vacío.

Hoja de datos: tabla de parámetros físicos

Enunciado traducido del texto oficial en inglés.

引言

本题研究一种已通过实验证实可行的高效蒸汽产生过程。用聚焦光束照射一种含有纳米尺度银球（纳米颗粒）的水溶液，每升溶液中仅含约 \(10^{13}\) 个颗粒。纳米颗粒吸收一部分光，温度升高，并在其周围局部产生蒸汽，而不使整份水溶液升温。蒸汽以逸出的蒸汽泡的形式离开系统。目前，这一过程的所有细节尚未得到充分理解，但已知其核心过程是金属纳米颗粒通过所谓的电子集体振荡吸收光。这种装置称为等离激元蒸汽发生器。

图 2.1 (a) 一个半径为 \(R\) 的电中性球形纳米颗粒，位于坐标系中心。(b) 一个具有均匀正电荷密度 \(\rho\) 的球体（红色），其内部含有一个半径为 \(R_1\) 的较小球形电中性区域（0，黄色），该区域的球心位移为 \(\boldsymbol{x}_{\mathrm d}=x_{\mathrm d}\boldsymbol{e}_x\)。(c) 纳米颗粒中银离子构成的、具有正电荷密度 \(\rho\) 的球体固定在坐标系中心。电子云构成的、具有负电荷密度 \(-\rho\) 的球形区域（蓝色）的中心位移为 \(\boldsymbol{x}_{\mathrm p}\)，其中 \(x_{\mathrm p}\ll R\)。(d) 外加匀强电场 \(\boldsymbol{E}_0=-E_0\boldsymbol{e}_x\)。当 \(\boldsymbol{E}_0\) 随时间变化时，电子云以速度 \(\boldsymbol{v}=\mathrm d\boldsymbol{x}_{\mathrm p}/\mathrm dt\) 运动。(e) 装有纳米颗粒水溶液的长方体容器 \((h\times h\times a)\)，受到沿 \(z\) 轴传播、角频率为 \(\omega_{\mathrm p}\)、光强为 \(S\) 的单色光照射。

单个球形银纳米颗粒

本题始终考虑一个半径为 \(R=10{,}0\ \mathrm{nm}\) 的球形银纳米颗粒，其球心固定在坐标系原点，见图 2.1(a)。所有运动、力和驱动场均平行于水平的 \(x\) 轴（单位矢量为 \(\boldsymbol{e}_x\)）。纳米颗粒中含有自由（传导）电子，它们可以在整个纳米颗粒的体积内运动，而不束缚于任何银原子。每个银原子都贡献了一个这样的自由电子，从而成为正离子。

带电球体内部电中性区域中的电场

在本题余下部分中，假设所有材料的相对介电常数均为 \(\varepsilon=1\)。在一个电荷密度均匀、为 \(\rho\)，半径为 \(R\) 的带电球体内部，叠加电荷密度为 \(-\rho\) 的反号电荷，形成一个半径为 \(R_1\) 的小球形电中性区域，其球心相对于半径为 \(R\) 的球体中心的位移为 \(\boldsymbol{x}_{\mathrm d}=x_{\mathrm d}\boldsymbol{e}_x\)，见图 2.1(b)。

发生位移的电子云所受的回复力

下面研究自由电子的集体运动，因此将它们建模为一个电荷密度均匀、为 \(-\rho\) 的带负电球体，其中心位置为 \(\boldsymbol{x}_{\mathrm p}\)，可沿 \(x\) 轴相对于固定在坐标系原点的带正电球体（银离子）的中心运动，见图 2.1(c)。假设外力 \(\boldsymbol{F}_{\mathrm{ext}}\) 使电子云移动到新的平衡位置 \(\boldsymbol{x}_{\mathrm p}=x_{\mathrm p}\boldsymbol{e}_x\)，其中 \(\lvert x_{\mathrm p}\rvert\ll R\)。除纳米颗粒相对两端的少量净电荷外，其内部大部分区域仍保持电中性。

外加恒定电场中的球形银纳米颗粒

将一个纳米颗粒置于真空中，施加静态匀强电场 \(\boldsymbol{E}_0=-E_0\boldsymbol{e}_x\)，使其受到外力 \(\boldsymbol{F}_{\mathrm{ext}}\)，电子云因此移动一小段距离 \(\lvert x_{\mathrm p}\rvert\)，其中 \(\lvert x_{\mathrm p}\rvert\ll R\)。

银纳米颗粒的等效电容和电感

无论电场 \(\boldsymbol{E}_0\) 恒定还是随时间变化，都可以用等效电路对纳米颗粒建模。将分离电荷 \(\Delta Q\) 所做的功 \(W_{\mathrm{el}}\) 与带有电荷 \(\pm\Delta Q\) 的电容器的能量联系起来，即可求得等效电容。电荷分离会在等效电容器两端产生一定的等效电压 \(V_0\)。

对于随时间变化的电场 \(\boldsymbol{E}_0\)，电子云以速度 \(\boldsymbol{v}=v\boldsymbol{e}_x\) 运动，见图 2.1(d)。它具有动能 \(W_{\mathrm{kin}}\)，并形成流过固定 \(yz\) 平面的电流 \(I\)。电子云的动能可视为一个电感为 \(L\)、通有电流 \(I\) 的等效电感器的能量。

银纳米颗粒的等离激元共振

由上述分析可知，将电子云移离平衡位置后释放所产生的运动，可用在谐振频率下振荡的理想 \(LC\) 电路来描述。电子云的这种动力学模式称为等离激元共振，其振荡角频率称为等离激元角频率 \(\omega_{\mathrm p}\)。

受到等离激元频率的光照射的银纳米颗粒

在本题余下部分中，用角频率为等离激元角频率 \(\omega_{\mathrm p}\)、入射光强为 \(S=\frac12c\varepsilon_0E_0^2=1.00\ \mathrm{MW\,m^{-2}}\) 的单色光照射纳米颗粒。由于波长很长，\(\lambda_{\mathrm p}\gg R\)，可认为纳米颗粒处于均匀的简谐振荡电场 \(\boldsymbol{E}_0=-E_0\cos(\omega_{\mathrm p}t)\boldsymbol{e}_x\) 中。在 \(\boldsymbol{E}_0\) 的驱动下，电子云的中心 \(\boldsymbol{x}_{\mathrm p}(t)\) 以相同频率振荡，速度为 \(\boldsymbol{v}=\mathrm d\boldsymbol{x}_{\mathrm p}/\mathrm dt\)，振幅恒为 \(x_0\)。电子的这种振荡运动导致光的吸收。颗粒吸收的能量或者在颗粒内部转化为焦耳热，或者由颗粒以散射光的形式重新发射出去。

焦耳热由随机的非弹性碰撞引起：任意一个自由电子都会不时撞击银离子，并损失其全部动能，这些动能转化为银离子的振动能（热）。两次碰撞之间的平均时间为 \(\tau\gg1/\omega_{\mathrm p}\)，对于银纳米颗粒，取 \(\tau=5.24\times10^{-15}\ \mathrm s\)。

入射光束因被振荡的电子云散射（重新发射）而损失一部分时间平均功率 \(P_{\mathrm{scat}}\)。\(P_{\mathrm{scat}}\) 取决于散射源的振幅 \(x_0\)、电荷量 \(Q\)、角频率 \(\omega_{\mathrm p}\) 以及光的性质（真空中的光速 \(c\) 和介电常数 \(\varepsilon_0\)）。用这四个变量表示，\(P_{\mathrm{scat}}\) 为 \[ P_{\mathrm{scat}}=\frac{Q^2x_0^2\omega_{\mathrm p}^4}{12\pi\varepsilon_0c^3}. \]

将上述等效电路元件组合成银纳米颗粒的 \(LCR\) 串联电路模型，由入射光的电场 \(\boldsymbol{E}_0\) 所确定的简谐振荡等效电压 \(V=V_0\cos(\omega_{\mathrm p}t)\) 驱动。

利用光产生蒸汽

配制银纳米颗粒的水溶液，颗粒数密度为 \(n_{\mathrm{np}}=7.3\times10^{15}\ \mathrm{m^{-3}}\)。将其置于尺寸为 \(h\times h\times a=10\times10\times1.0\ \mathrm{cm^3}\) 的透明长方体容器内，用频率为等离激元频率、光强与前面相同，为 \(S=1.00\ \mathrm{MW\,m^{-2}}\) 的光垂直照射，见图 2.1(e)。水温为 \(T_{\mathrm{wa}}=20\,^\circ\mathrm C\)，并假设在稳态下，纳米颗粒产生的全部焦耳热均用于生成温度为 \(T_{\mathrm{st}}=110\,^\circ\mathrm C\) 的蒸汽，而不使水温升高，这一假设与观测结果相当吻合。

等离激元蒸汽发生器的热力学效率 \(\eta\) 定义为功率之比 \(\eta=P_{\mathrm{st}}/P_{\mathrm{tot}}\)，其中 \(P_{\mathrm{st}}\) 是整个容器内用于产生蒸汽的功率，而 \(P_{\mathrm{tot}}\) 是进入容器的入射光总功率。

大部分时间里，任意一个纳米颗粒周围包裹的是蒸汽而非水，因此可将其描述为处于真空中。

数据表：物理参数表

题目译自官方英文原文。

Введение

В этой задаче мы изучим эффективный процесс получения пара, работоспособность которого была продемонстрирована экспериментально. Водный раствор сферических частиц серебра нанометрового размера (наночастиц), содержащий всего около \(10^{13}\) частиц на литр, освещается сфокусированным световым пучком. Часть света поглощается наночастицами, которые нагреваются и локально образуют вокруг себя пар без нагревания всего водного раствора. Пар выводится из системы в виде выходящих пузырьков пара. В настоящее время не все детали этого процесса хорошо изучены, однако известно, что в его основе лежит поглощение света посредством так называемых коллективных колебаний электронов металлических наночастиц. Такое устройство называется плазмонным парогенератором.

Рисунок 2.1 (a) Сферическая электронейтральная наночастица радиуса \(R\), расположенная в начале координат. (b) Шар с однородной положительной плотностью заряда \(\rho\) (красный), содержащий меньшую сферическую электронейтральную область (0, жёлтая) радиуса \(R_1\), центр которой смещён на \(\boldsymbol{x}_{\mathrm d}=x_{\mathrm d}\boldsymbol{e}_x\). (c) Шар с положительной плотностью заряда \(\rho\), образованный ионами серебра наночастицы, закреплён в начале координат. Центр сферической области электронного облака с отрицательной сферически симметричной плотностью заряда \(-\rho\) (синяя) смещён на \(\boldsymbol{x}_{\mathrm p}\), где \(x_{\mathrm p}\ll R\). (d) Внешнее однородное электрическое поле \(\boldsymbol{E}_0=-E_0\boldsymbol{e}_x\). При зависящем от времени \(\boldsymbol{E}_0\) электронное облако движется со скоростью \(\boldsymbol{v}=\mathrm d\boldsymbol{x}_{\mathrm p}/\mathrm dt\). (e) Прямоугольный сосуд \((h\times h\times a)\), содержащий водный раствор наночастиц, который освещается монохроматическим светом, распространяющимся вдоль оси \(z\), с угловой частотой \(\omega_{\mathrm p}\) и интенсивностью \(S\).

Одиночная сферическая наночастица серебра

Во всей задаче мы рассматриваем сферическую наночастицу серебра радиуса \(R=10{,}0\ \mathrm{nm}\), центр которой закреплён в начале координат, см. рис. 2.1(a). Все перемещения, силы и возбуждающие поля параллельны горизонтальной оси \(x\) (с единичным вектором \(\boldsymbol{e}_x\)). Наночастица содержит свободные электроны (электроны проводимости), которые движутся по всему её объёму, не будучи связанными с каким-либо атомом серебра. Каждый атом серебра представляет собой положительный ион, отдавший один такой свободный электрон.

Электрическое поле в электронейтральной области внутри заряженного шара

В оставшейся части задачи считайте, что относительная диэлектрическая проницаемость всех материалов равна \(\varepsilon=1\). Внутри заряженного шара с однородной плотностью заряда \(\rho\) и радиусом \(R\) путём добавления противоположной плотности заряда \(-\rho\) создана небольшая сферическая электронейтральная область радиуса \(R_1\), центр которой смещён на \(\boldsymbol{x}_{\mathrm d}=x_{\mathrm d}\boldsymbol{e}_x\) относительно центра шара радиуса \(R\), см. рис. 2.1(b).

Возвращающая сила, действующая на смещённое электронное облако

Далее мы изучаем коллективное движение свободных электронов и поэтому моделируем их единым отрицательно заряженным шаром с однородной плотностью заряда \(-\rho\) и положением центра \(\boldsymbol{x}_{\mathrm p}\), который может двигаться вдоль оси \(x\) относительно центра положительно заряженного шара (ионов серебра), закреплённого в начале координат, см. рис. 2.1(c). Предположим, что внешняя сила \(\boldsymbol{F}_{\mathrm{ext}}\) смещает электронное облако в новое положение равновесия \(\boldsymbol{x}_{\mathrm p}=x_{\mathrm p}\boldsymbol{e}_x\), причём \(\lvert x_{\mathrm p}\rvert\ll R\). За исключением малых нескомпенсированных зарядов на противоположных краях наночастицы, большая часть её внутреннего объёма остаётся электронейтральной.

Сферическая наночастица серебра во внешнем постоянном электрическом поле

Наночастица находится в вакууме и испытывает действие внешней силы \(\boldsymbol{F}_{\mathrm{ext}}\), обусловленной приложенным постоянным однородным электрическим полем \(\boldsymbol{E}_0=-E_0\boldsymbol{e}_x\), которое смещает электронное облако на малое расстояние \(\lvert x_{\mathrm p}\rvert\), где \(\lvert x_{\mathrm p}\rvert\ll R\).

Эквивалентные ёмкость и индуктивность наночастицы серебра

Как для постоянного, так и для зависящего от времени поля \(\boldsymbol{E}_0\) наночастицу можно моделировать эквивалентной электрической цепью. Эквивалентную ёмкость можно найти, сопоставив работу \(W_{\mathrm{el}}\), затраченную на разделение зарядов \(\Delta Q\), с энергией конденсатора, несущего заряды \(\pm\Delta Q\). Разделение зарядов создаёт определённое эквивалентное напряжение \(V_0\) на эквивалентном конденсаторе.

При зависящем от времени поле \(\boldsymbol{E}_0\) электронное облако движется со скоростью \(\boldsymbol{v}=v\boldsymbol{e}_x\), рис. 2.1(d). Оно обладает кинетической энергией \(W_{\mathrm{kin}}\) и создаёт электрический ток \(I\), протекающий через неподвижную плоскость \(yz\). Кинетическую энергию электронного облака можно сопоставить с энергией эквивалентной катушки индуктивности \(L\), по которой протекает ток \(I\).

Плазмонный резонанс наночастицы серебра

Из приведённого выше анализа следует, что движение, возникающее после смещения электронного облака из положения равновесия и последующего его освобождения, можно моделировать идеальным \(LC\)-контуром, совершающим колебания на резонансной частоте. Этот динамический режим электронного облака известен как плазмонный резонанс; колебания происходят на так называемой угловой плазмонной частоте \(\omega_{\mathrm p}\).

Наночастица серебра, освещённая светом на плазмонной частоте

В оставшейся части задачи наночастица освещается монохроматическим светом на угловой плазмонной частоте \(\omega_{\mathrm p}\) с интенсивностью падающего света \(S=\frac12c\varepsilon_0E_0^2=1.00\ \mathrm{MW\,m^{-2}}\). Поскольку длина волны велика, \(\lambda_{\mathrm p}\gg R\), можно считать, что наночастица находится в однородном гармонически изменяющемся поле \(\boldsymbol{E}_0=-E_0\cos(\omega_{\mathrm p}t)\boldsymbol{e}_x\). Под действием \(\boldsymbol{E}_0\) центр \(\boldsymbol{x}_{\mathrm p}(t)\) электронного облака колеблется с той же частотой, со скоростью \(\boldsymbol{v}=\mathrm d\boldsymbol{x}_{\mathrm p}/\mathrm dt\) и постоянной амплитудой \(x_0\). Это колебательное движение электронов приводит к поглощению света. Энергия, захваченная частицей, либо превращается в джоулево тепло внутри частицы, либо переизлучается частицей в виде рассеянного света.

Джоулево тепловыделение обусловлено случайными неупругими столкновениями, при которых каждый свободный электрон время от времени сталкивается с ионом серебра и теряет всю свою кинетическую энергию, которая превращается в энергию колебаний ионов серебра (тепло). Среднее время между столкновениями равно \(\tau\gg1/\omega_{\mathrm p}\); для наночастицы серебра будем использовать \(\tau=5.24\times10^{-15}\ \mathrm s\).

Падающий световой пучок теряет некоторую среднюю по времени мощность \(P_{\mathrm{scat}}\) вследствие рассеяния на колеблющемся электронном облаке (переизлучения). \(P_{\mathrm{scat}}\) зависит от амплитуды \(x_0\), заряда \(Q\) и угловой частоты \(\omega_{\mathrm p}\) источника рассеяния, а также от свойств света (скорости света \(c\) и диэлектрической проницаемости \(\varepsilon_0\) в вакууме). Через эти четыре переменные \(P_{\mathrm{scat}}\) выражается как \[ P_{\mathrm{scat}}=\frac{Q^2x_0^2\omega_{\mathrm p}^4}{12\pi\varepsilon_0c^3}. \]

Приведённые выше элементы эквивалентной цепи объединяются в последовательный \(LCR\)-контур, моделирующий наночастицу серебра, который возбуждается гармонически изменяющимся эквивалентным напряжением \(V=V_0\cos(\omega_{\mathrm p}t)\), определяемым электрическим полем \(\boldsymbol{E}_0\) падающего света.

Получение пара с помощью света

Приготовлен водный раствор наночастиц серебра с концентрацией \(n_{\mathrm{np}}=7.3\times10^{15}\ \mathrm{m^{-3}}\). Он помещён в прямоугольный прозрачный сосуд размером \(h\times h\times a=10\times10\times1.0\ \mathrm{cm^3}\) и освещается светом на плазмонной частоте с той же интенсивностью \(S=1.00\ \mathrm{MW\,m^{-2}}\), что и выше, при нормальном падении, см. рис. 2.1(e). Температура воды равна \(T_{\mathrm{wa}}=20\,^\circ\mathrm C\), и мы предполагаем, в удовлетворительном согласии с наблюдениями, что в стационарном режиме всё джоулево тепло наночастицы идёт на получение пара с температурой \(T_{\mathrm{st}}=110\,^\circ\mathrm C\), не повышая температуру воды.

Термодинамический КПД \(\eta\) плазмонного парогенератора определяется отношением мощностей \(\eta=P_{\mathrm{st}}/P_{\mathrm{tot}}\), где \(P_{\mathrm{st}}\) — мощность, идущая на получение пара во всём сосуде, а \(P_{\mathrm{tot}}\) — полная мощность падающего света, входящего в сосуд.

Большую часть времени каждая наночастица окружена паром, а не водой, поэтому её можно описывать как находящуюся в вакууме.

Справочные данные: таблица физических параметров

Условие переведено с официального английского текста.

مقدمة

ندرس في هذه المسألة عملية فعّالة لإنتاج البخار ثبت نجاحها تجريبيًا. يُضاء محلول مائي يحتوي على جسيمات فضة كروية ذات أبعاد نانومترية (جسيمات نانوية)، بتركيز لا يتجاوز نحو \(10^{13}\) جسيمًا في اللتر، بحزمة ضوئية مركّزة. تمتص الجسيمات النانوية جزءًا من الضوء، فتسخن وتولّد البخار موضعيًا حولها دون تسخين المحلول المائي بأكمله. ويغادر البخار النظام على هيئة فقاعات بخار متصاعدة. ليست جميع تفاصيل هذه العملية مفهومة جيدًا في الوقت الحاضر، لكن من المعروف أن عمليتها الأساسية هي امتصاص الضوء من خلال ما يُسمّى الاهتزازات الجماعية للإلكترونات في الجسيمات النانوية المعدنية. ويُعرف هذا الجهاز باسم مولّد البخار البلازموني.

الشكل 2.1 (a) جسيم نانوي كروي متعادل الشحنة نصف قطره \(R\)، موضوع في مركز جهاز الإحداثيات. (b) كرة ذات كثافة شحنة موجبة متجانسة \(\rho\) (بالأحمر)، تحتوي على منطقة كروية أصغر متعادلة الشحنة (0، بالأصفر) نصف قطرها \(R_1\)، ومركزها مزاح بمقدار \(\boldsymbol{x}_{\mathrm d}=x_{\mathrm d}\boldsymbol{e}_x\). (c) الكرة ذات كثافة الشحنة الموجبة \(\rho\) لأيونات الفضة في الجسيم النانوي ثابتة في مركز جهاز الإحداثيات. مركز المنطقة الكروية ذات كثافة الشحنة الكروية السالبة \(-\rho\) (بالأزرق) للسحابة الإلكترونية مزاح بمقدار \(\boldsymbol{x}_{\mathrm p}\)، حيث \(x_{\mathrm p}\ll R\). (d) مجال كهربائي خارجي متجانس \(\boldsymbol{E}_0=-E_0\boldsymbol{e}_x\). عندما يكون \(\boldsymbol{E}_0\) متغيرًا مع الزمن، تتحرك السحابة الإلكترونية بسرعة \(\boldsymbol{v}=\mathrm d\boldsymbol{x}_{\mathrm p}/\mathrm dt\). (e) الوعاء المستطيل \((h\times h\times a)\) الذي يحتوي على المحلول المائي للجسيمات النانوية، والمضاء بضوء أحادي اللون ينتشر على امتداد المحور \(z\) بتردد زاوي \(\omega_{\mathrm p}\) وشدة \(S\).

جسيم فضة نانوي كروي منفرد

نعتبر طوال هذه المسألة جسيم فضة نانويًا كرويًا نصف قطره \(R=10{,}0\ \mathrm{nm}\)، ومركزه ثابت عند مبدأ جهاز الإحداثيات، انظر الشكل 2.1(a). جميع الحركات والقوى والمجالات المحرِّكة موازية للمحور الأفقي \(x\) (ذي متجه الوحدة \(\boldsymbol{e}_x\)). يحتوي الجسيم النانوي على إلكترونات حرة (إلكترونات توصيل) تتحرك داخل كامل حجم الجسيم النانوي دون أن تكون مرتبطة بأي ذرة فضة. وكل ذرة فضة هي أيون موجب منح إلكترونًا حرًا واحدًا من هذه الإلكترونات.

المجال الكهربائي في منطقة متعادلة الشحنة داخل كرة مشحونة

افترض في بقية المسألة أن السماحية الكهربائية النسبية لجميع المواد هي \(\varepsilon=1\). تُنشأ داخل كرة مشحونة ذات كثافة شحنة متجانسة \(\rho\) ونصف قطر \(R\) منطقة كروية صغيرة متعادلة الشحنة نصف قطرها \(R_1\)، بإضافة كثافة الشحنة المعاكسة \(-\rho\)، ويكون مركزها مزاحًا بمقدار \(\boldsymbol{x}_{\mathrm d}=x_{\mathrm d}\boldsymbol{e}_x\) عن مركز الكرة ذات نصف القطر \(R\)، انظر الشكل 2.1(b).

قوة الإرجاع المؤثرة في السحابة الإلكترونية المزاحة

ندرس فيما يلي الحركة الجماعية للإلكترونات الحرة، ولذلك نمثّلها بكرة واحدة سالبة الشحنة ذات كثافة شحنة متجانسة \(-\rho\)، وموضع مركزها \(\boldsymbol{x}_{\mathrm p}\)، ويمكنها التحرك على امتداد المحور \(x\) بالنسبة إلى مركز الكرة موجبة الشحنة (أيونات الفضة) الثابت عند مبدأ جهاز الإحداثيات، انظر الشكل 2.1(c). افترض أن قوة خارجية \(\boldsymbol{F}_{\mathrm{ext}}\) تزيح السحابة الإلكترونية إلى موضع اتزان جديد \(\boldsymbol{x}_{\mathrm p}=x_{\mathrm p}\boldsymbol{e}_x\)، مع \(\lvert x_{\mathrm p}\rvert\ll R\). باستثناء شحنات صافية ضئيلة عند طرفين متقابلين من الجسيم النانوي، يبقى معظم داخله متعادل الشحنة.

جسيم الفضة النانوي الكروي في مجال كهربائي خارجي ثابت

يوضع جسيم نانوي في الفراغ، ويتأثر بقوة خارجية \(\boldsymbol{F}_{\mathrm{ext}}\) ناتجة عن تطبيق مجال كهربائي ساكن متجانس \(\boldsymbol{E}_0=-E_0\boldsymbol{e}_x\)، يزيح السحابة الإلكترونية مسافة صغيرة \(\lvert x_{\mathrm p}\rvert\)، حيث \(\lvert x_{\mathrm p}\rvert\ll R\).

السعة الكهربائية والمحاثة المكافئتان لجسيم الفضة النانوي

يمكن تمثيل الجسيم النانوي بدائرة كهربائية مكافئة، سواء أكان المجال \(\boldsymbol{E}_0\) ثابتًا أم متغيرًا مع الزمن. ويمكن إيجاد السعة المكافئة بربط الشغل \(W_{\mathrm{el}}\) المبذول لفصل الشحنات \(\Delta Q\) بطاقة مكثّف يحمل شحنة \(\pm\Delta Q\). ويؤدي فصل الشحنات إلى فرق جهد مكافئ معيّن \(V_0\) بين طرفي المكثّف المكافئ.

عندما يكون المجال \(\boldsymbol{E}_0\) متغيرًا مع الزمن، تتحرك السحابة الإلكترونية بسرعة \(\boldsymbol{v}=v\boldsymbol{e}_x\)، الشكل 2.1(d). وتكون لها طاقة حركية \(W_{\mathrm{kin}}\)، وتشكّل تيارًا كهربائيًا \(I\) يمر عبر المستوى الثابت \(yz\). ويمكن إسناد الطاقة الحركية للسحابة الإلكترونية إلى طاقة ملف مكافئ محاثته \(L\) ويمر فيه التيار \(I\).

الرنين البلازموني لجسيم الفضة النانوي

يترتب على التحليل السابق أن الحركة الناشئة عن إزاحة السحابة الإلكترونية عن موضع اتزانها ثم إطلاقها يمكن تمثيلها بدائرة مثالية من نوع \(LC\) تتذبذب عند الرنين. ويُعرف هذا النمط الديناميكي للسحابة الإلكترونية باسم الرنين البلازموني، وهو يتذبذب عند ما يُسمّى التردد البلازموني الزاوي \(\omega_{\mathrm p}\).

جسيم الفضة النانوي المضاء بضوء عند التردد البلازموني

في بقية المسألة، يُضاء الجسيم النانوي بضوء أحادي اللون عند التردد البلازموني الزاوي \(\omega_{\mathrm p}\)، وبشدة ساقطة \(S=\frac12c\varepsilon_0E_0^2=1.00\ \mathrm{MW\,m^{-2}}\). ولأن الطول الموجي كبير، \(\lambda_{\mathrm p}\gg R\)، يمكن اعتبار الجسيم النانوي موضوعًا في مجال متجانس متذبذب توافقياً \(\boldsymbol{E}_0=-E_0\cos(\omega_{\mathrm p}t)\boldsymbol{e}_x\). وبفعل المجال المحرِّك \(\boldsymbol{E}_0\)، يتذبذب مركز السحابة الإلكترونية \(\boldsymbol{x}_{\mathrm p}(t)\) بالتردد نفسه، بسرعة \(\boldsymbol{v}=\mathrm d\boldsymbol{x}_{\mathrm p}/\mathrm dt\) وسعة ثابتة \(x_0\). تؤدي هذه الحركة التذبذبية للإلكترونات إلى امتصاص الضوء. وتتحول الطاقة التي يلتقطها الجسيم إما إلى تسخين جول داخل الجسيم، أو يعيد الجسيم إصدارها على هيئة ضوء متشتت.

ينشأ تسخين جول عن تصادمات عشوائية غير مرنة، يصطدم فيها أي إلكترون حر من حين إلى آخر بأيون فضة، ويفقد كامل طاقته الحركية التي تتحول إلى اهتزازات لأيونات الفضة (حرارة). ومتوسط الزمن بين التصادمات هو \(\tau\gg1/\omega_{\mathrm p}\)، ونستخدم لجسيم الفضة النانوي القيمة \(\tau=5.24\times10^{-15}\ \mathrm s\).

تفقد الحزمة الضوئية الساقطة قدرةً متوسطها الزمني \(P_{\mathrm{scat}}\) بسبب التشتت على السحابة الإلكترونية المتذبذبة (إعادة الإصدار). تعتمد \(P_{\mathrm{scat}}\) على سعة مصدر التشتت \(x_0\)، وشحنته \(Q\)، وتردده الزاوي \(\omega_{\mathrm p}\)، وخصائص الضوء (سرعة الضوء \(c\) والسماحية \(\varepsilon_0\) في الفراغ). وبدلالة هذه المتغيرات الأربعة، تُعطى \(P_{\mathrm{scat}}\) بالعلاقة \[ P_{\mathrm{scat}}=\frac{Q^2x_0^2\omega_{\mathrm p}^4}{12\pi\varepsilon_0c^3}. \]

تُجمع عناصر الدائرة المكافئة السابقة في نموذج دائرة \(LCR\) متصلة على التوالي لجسيم الفضة النانوي، تُقاد بفرق جهد مكافئ متذبذب توافقياً \(V=V_0\cos(\omega_{\mathrm p}t)\)، يحدّده المجال الكهربائي \(\boldsymbol{E}_0\) للضوء الساقط.

توليد البخار بالضوء

يُحضّر محلول مائي لجسيمات فضة نانوية بتركيز \(n_{\mathrm{np}}=7.3\times10^{15}\ \mathrm{m^{-3}}\). ويوضع داخل وعاء مستطيل شفاف أبعاده \(h\times h\times a=10\times10\times1.0\ \mathrm{cm^3}\)، ويُضاء بضوء عند التردد البلازموني، وبالشدة نفسها \(S=1.00\ \mathrm{MW\,m^{-2}}\) عند سقوط عمودي كما سبق، انظر الشكل 2.1(e). درجة حرارة الماء هي \(T_{\mathrm{wa}}=20\,^\circ\mathrm C\)، ونفترض، بما يتفق مع المشاهدات بدرجة معقولة، أن كامل تسخين جول للجسيم النانوي يُستهلك في الحالة المستقرة في إنتاج بخار درجة حرارته \(T_{\mathrm{st}}=110\,^\circ\mathrm C\)، دون رفع درجة حرارة الماء.

تُعرَّف الكفاءة الديناميكية الحرارية \(\eta\) لمولّد البخار البلازموني بنسبة القدرتين \(\eta=P_{\mathrm{st}}/P_{\mathrm{tot}}\)، حيث \(P_{\mathrm{st}}\) هي القدرة المستهلكة في إنتاج البخار في الوعاء بأكمله، بينما \(P_{\mathrm{tot}}\) هي القدرة الكلية للضوء الساقط الذي يدخل الوعاء.

يكون أي جسيم نانوي محاطًا بالبخار بدلًا من الماء معظم الوقت، ولذلك يمكن وصفه بأنه موجود في الفراغ.

ورقة البيانات: جدول المعلمات الفيزيائية

نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي.