Introduction

A meteoroid is a small particle (typically smaller than 1 m) from a comet or an asteroid. A meteoroid that impacts the ground is called a meteorite.

On the night of 17 January 2009 many people near the Baltic Sea saw the glowing trail or fireball of a meteoroid falling through the atmosphere of the Earth. In Sweden a surveillance camera recorded a video of the event, see Fig. 1.1(a). From these pictures and eyewitness accounts it was possible to narrow down the impact area, and six weeks later a meteorite with the mass 0.025 kg was found in the vicinity of the town Maribo in southern Denmark. Measurements on the meteorite, now named Maribo, and its orbit in the sky showed interesting results. Its speed when entering the atmosphere had been exceptionally high. Its age, \(4.567\times10^9\) year, shows that it had been formed shortly after the birth of the solar system. The Maribo meteorite is possibly a part of Comet Encke.

The speed of Maribo

The fireball was moving in westerly direction, heading \(285^\circ\) relative to north, toward the location where the meteorite was subsequently found, as sketched in Fig. 1.1. The meteorite was found at a distance 195 km from the surveillance camera in the direction \(230^\circ\) relative to north.

Through the atmosphere and melting?

The friction from the air on a meteoroid moving in the higher atmosphere depends in a complicated way on the shape and velocity of the meteoroid, and on the temperature and density of the atmosphere. As a reasonable approximation the friction force \(F\) in the upper atmosphere is given by the expression \(F=k\rho_{\mathrm{atm}}Av^2\), where \(k\) is a constant, \(\rho_{\mathrm{atm}}\) the density of the atmosphere, \(A\) the projected cross-section area of the meteorite, and \(v\) its speed.

The following simplifying assumptions are made to analyze the meteoroid: The object entering the atmosphere was a sphere of mass \(m_{\mathrm M}=30\ \mathrm{kg}\), radius \(R_{\mathrm M}=0.13\ \mathrm m\), temperature \(T_0=200\ \mathrm K\), and speed \(v_{\mathrm M}=2.91\times10^4\ \mathrm{m/s}\). The density of the atmosphere is constant (its value 40 km above the surface of the Earth), \(\rho_{\mathrm{atm}}=4.1\times10^{-3}\ \mathrm{kg/m^3}\), and the friction coefficient is \(k=0.60\).

Figure 1.1 (a) Azimuth is the clockwise angular position from north in the horizontal plane, and altitude is the angular position above the horizon. A series of frames recorded by the surveillance camera in Sweden, showing the motion of Maribo as a fireball on its way down through the atmosphere. (b) The data from two frames indicating the time, the direction (azimuth) in degrees, as seen by the camera (C), and the height above the horizon (altitude) in degrees. (c) Sketch of the directions of the path (magenta arrow) of Maribo relative to north (N) and of the landing site (M) in Denmark as seen by the camera (C).

Heating of Maribo during its fall in the atmosphere

When the stony meteoroid Maribo entered the atmosphere at supersonic speed it appeared as a fireball because the surrounding air was glowing. Nevertheless, only the outermost layer of Maribo was heated. Assume that Maribo is a homogenous sphere with density \(\rho_{\mathrm{sm}}\), specific heat capacity \(c_{\mathrm{sm}}\), and thermal conductivity \(k_{\mathrm{sm}}\) (for values see the data sheet). Furthermore, when entering the atmosphere, it had the temperature \(T_0=200\ \mathrm K\). While falling through the atmosphere its surface temperature was constant \(T_{\mathrm s}=1000\ \mathrm K\) due to the air friction, thus gradually heating the interior.

After falling a time \(t\) in the atmosphere, an outer shell of Maribo of thickness \(x\) will have been heated to a temperature significantly larger than \(T_0\). This thickness can be estimated by dimensional analysis as the simple product of powers of the thermodynamic parameters: \(x\approx t^\alpha\rho_{\mathrm{sm}}^\beta c_{\mathrm{sm}}^\gamma k_{\mathrm{sm}}^\delta\).

The age of a meteorite

The chemical properties of radioactive elements may be different, so during the crystallization of the minerals in a given meteorite, some minerals will have a high content of a specific radioactive element and others a low content. This difference can be used to determine the age of a meteorite by radiometric dating of its radioactive minerals.

As a specific example, we study the isotope \({}^{87}\mathrm{Rb}\) (element no. 37), which decays into the stable isotope \({}^{87}\mathrm{Sr}\) (element no. 38) with a half-life of \(T_{\frac12}=4.9\times10^{10}\) year, relative to the stable isotope \({}^{86}\mathrm{Sr}\). At the time of crystallization the ratio \({}^{87}\mathrm{Sr}/{}^{86}\mathrm{Sr}\) was identical for all minerals, while the ratio \({}^{87}\mathrm{Rb}/{}^{86}\mathrm{Sr}\) was different. As time passes on, the amount of \({}^{87}\mathrm{Rb}\) decreases by decay, while consequently the amount of \({}^{87}\mathrm{Sr}\) increases. As a result, the ratio \({}^{87}\mathrm{Sr}/{}^{86}\mathrm{Sr}\) will be different today. In Fig. 1.2(a), the points on the horizontal line refer to the ratio \({}^{87}\mathrm{Rb}/{}^{86}\mathrm{Sr}\) in different minerals at the time, when they are crystallized.

Figure 1.2 (a) The ratio \({}^{87}\mathrm{Sr}/{}^{86}\mathrm{Sr}\) in different minerals at the time \(t=0\) of crystallization (open circles) and at present time (filled circles). (b) The isochron-line for three different mineral samples taken from a meteorite at present time.

Comet Encke, from which Maribo may originate

In its orbit around the Sun, the minimum and maximum distances between comet Encke and the Sun are \(a_{\min}=4.95\times10^{10}\ \mathrm m\) and \(a_{\max}=6.16\times10^{11}\ \mathrm m\), respectively.

Consequences of an asteroid impact on Earth

65 million years ago Earth was hit by a huge asteroid with density \(\rho_{\mathrm{ast}}=3.0\times10^3\ \mathrm{kg\,m^{-3}}\), radius \(R_{\mathrm{ast}}=5.0\ \mathrm{km}\), and final speed of \(v_{\mathrm{ast}}=2.5\times10^4\ \mathrm{m/s}\). This impact resulted in the extermination of most of the life on Earth and the formation of the enormous Chicxulub Crater. Assume that an identical asteroid would hit Earth today in a completely inelastic collision, and use the fact that the moment of inertia of Earth is 0.83 times that for a homogeneous sphere of the same mass and radius. The moment of inertia of a homogeneous sphere with mass \(M\) and radius \(R\) is \(\frac25MR^2\). Neglect changes in the orbit of the Earth.

Maximum impact speed

Consider a celestial body, gravitationally bound in the solar system, which impacts the surface of Earth with a speed \(v_{\mathrm{imp}}\). Initially the effect of the gravitational field of the Earth on the body can be neglected. Disregard the friction in the atmosphere, the effect of other celestial bodies, and the rotation of the Earth.

Data sheet: Table of physical parameters

Official English text of the problem.

Einleitung

Ein Meteoroid ist ein kleines Teilchen (typischerweise kleiner als 1 m) von einem Kometen oder einem Asteroiden. Ein Meteoroid, der auf dem Erdboden aufschlägt, wird als Meteorit bezeichnet.

In der Nacht des 17. Januar 2009 sahen viele Menschen in der Nähe der Ostsee die Leuchtspur oder den Feuerball eines Meteoroiden, der durch die Erdatmosphäre fiel. In Schweden zeichnete eine Überwachungskamera ein Video des Ereignisses auf, siehe Abb. 1.1(a). Anhand dieser Bilder und von Augenzeugenberichten konnte das Einschlaggebiet eingegrenzt werden, und sechs Wochen später wurde in der Nähe der Stadt Maribo in Süddänemark ein Meteorit mit der Masse 0.025 kg gefunden. Messungen an dem nun Maribo genannten Meteoriten und seiner Bahn am Himmel lieferten interessante Ergebnisse. Seine Geschwindigkeit beim Eintritt in die Atmosphäre war außergewöhnlich hoch gewesen. Sein Alter von \(4.567\times10^9\) Jahren zeigt, dass er kurz nach der Entstehung des Sonnensystems entstanden war. Der Meteorit Maribo ist möglicherweise ein Teil des Kometen Encke.

Die Geschwindigkeit von Maribo

Der Feuerball bewegte sich in westlicher Richtung mit einem Kurs von \(285^\circ\) gegenüber Norden auf den Ort zu, an dem der Meteorit später gefunden wurde, wie in Abb. 1.1 skizziert. Der Meteorit wurde in einer Entfernung von 195 km von der Überwachungskamera in Richtung \(230^\circ\) gegenüber Norden gefunden.

Durch die Atmosphäre und dabei schmelzen?

Die Luftreibung an einem Meteoroiden, der sich in der höheren Atmosphäre bewegt, hängt auf komplizierte Weise von seiner Form und Geschwindigkeit sowie von der Temperatur und Dichte der Atmosphäre ab. In guter Näherung ist die Reibungskraft \(F\) in der oberen Atmosphäre durch den Ausdruck \(F=k\rho_{\mathrm{atm}}Av^2\) gegeben, wobei \(k\) eine Konstante, \(\rho_{\mathrm{atm}}\) die Dichte der Atmosphäre, \(A\) die projizierte Querschnittsfläche des Meteoriten und \(v\) seine Geschwindigkeit ist.

Zur Untersuchung des Meteoroiden werden folgende vereinfachende Annahmen getroffen: Das in die Atmosphäre eintretende Objekt war eine Kugel mit der Masse \(m_{\mathrm M}=30\ \mathrm{kg}\), dem Radius \(R_{\mathrm M}=0.13\ \mathrm m\), der Temperatur \(T_0=200\ \mathrm K\) und der Geschwindigkeit \(v_{\mathrm M}=2.91\times10^4\ \mathrm{m/s}\). Die Dichte der Atmosphäre ist konstant (gleich ihrem Wert 40 km über der Erdoberfläche), \(\rho_{\mathrm{atm}}=4.1\times10^{-3}\ \mathrm{kg/m^3}\), und der Reibungskoeffizient beträgt \(k=0.60\).

Abbildung 1.1 (a) Der Azimut ist der in der Horizontalebene im Uhrzeigersinn von Norden aus gemessene Winkel, und die Höhe ist der Winkel über dem Horizont. Eine Folge von Einzelbildern der Überwachungskamera in Schweden zeigt die Bewegung von Maribo als Feuerball auf seinem Weg durch die Atmosphäre nach unten. (b) Die Daten zweier Einzelbilder geben die Zeit, die von der Kamera (C) aus gesehene Richtung (Azimut) in Grad und die Höhe über dem Horizont (Höhenwinkel) in Grad an. (c) Skizze der Richtungen der Bahn (magentafarbener Pfeil) von Maribo gegenüber Norden (N) und des Fundorts (M) in Dänemark, von der Kamera (C) aus gesehen.

Erwärmung von Maribo während seines Falls durch die Atmosphäre

Als der steinerne Meteoroid Maribo mit Überschallgeschwindigkeit in die Atmosphäre eintrat, erschien er als Feuerball, weil die umgebende Luft leuchtete. Dennoch wurde nur die äußerste Schicht von Maribo erwärmt. Nehmen Sie an, dass Maribo eine homogene Kugel mit der Dichte \(\rho_{\mathrm{sm}}\), der spezifischen Wärmekapazität \(c_{\mathrm{sm}}\) und der Wärmeleitfähigkeit \(k_{\mathrm{sm}}\) ist (Werte siehe Datenblatt). Außerdem hatte er beim Eintritt in die Atmosphäre die Temperatur \(T_0=200\ \mathrm K\). Während des Falls durch die Atmosphäre betrug seine Oberflächentemperatur aufgrund der Luftreibung konstant \(T_{\mathrm s}=1000\ \mathrm K\), wodurch sich das Innere allmählich erwärmte.

Nach einer Fallzeit \(t\) in der Atmosphäre wird eine äußere Schale von Maribo mit der Dicke \(x\) auf eine Temperatur erwärmt worden sein, die deutlich über \(T_0\) liegt. Diese Dicke lässt sich durch Dimensionsanalyse als einfaches Produkt von Potenzen der thermodynamischen Parameter abschätzen: \(x\approx t^\alpha\rho_{\mathrm{sm}}^\beta c_{\mathrm{sm}}^\gamma k_{\mathrm{sm}}^\delta\).

Das Alter eines Meteoriten

Die chemischen Eigenschaften radioaktiver Elemente können unterschiedlich sein. Daher weisen bei der Kristallisation der Minerale in einem bestimmten Meteoriten einige Minerale einen hohen Gehalt an einem bestimmten radioaktiven Element auf, andere dagegen einen niedrigen. Dieser Unterschied kann genutzt werden, um das Alter eines Meteoriten durch radiometrische Datierung seiner radioaktiven Minerale zu bestimmen.

Als konkretes Beispiel untersuchen wir das Isotop \({}^{87}\mathrm{Rb}\) (Ordnungszahl 37), das mit einer Halbwertszeit von \(T_{\frac12}=4.9\times10^{10}\) Jahren in das stabile Isotop \({}^{87}\mathrm{Sr}\) (Ordnungszahl 38) zerfällt, im Verhältnis zum stabilen Isotop \({}^{86}\mathrm{Sr}\). Zum Zeitpunkt der Kristallisation war das Verhältnis \({}^{87}\mathrm{Sr}/{}^{86}\mathrm{Sr}\) für alle Minerale gleich, während das Verhältnis \({}^{87}\mathrm{Rb}/{}^{86}\mathrm{Sr}\) unterschiedlich war. Im Laufe der Zeit nimmt die Menge an \({}^{87}\mathrm{Rb}\) durch Zerfall ab, während infolgedessen die Menge an \({}^{87}\mathrm{Sr}\) zunimmt. Daher ist das Verhältnis \({}^{87}\mathrm{Sr}/{}^{86}\mathrm{Sr}\) heute unterschiedlich. In Abb. 1.2(a) beziehen sich die Punkte auf der horizontalen Linie auf das Verhältnis \({}^{87}\mathrm{Rb}/{}^{86}\mathrm{Sr}\) in verschiedenen Mineralen zum Zeitpunkt ihrer Kristallisation.

Abbildung 1.2 (a) Das Verhältnis \({}^{87}\mathrm{Sr}/{}^{86}\mathrm{Sr}\) in verschiedenen Mineralen zum Zeitpunkt \(t=0\) der Kristallisation (offene Kreise) und zum heutigen Zeitpunkt (ausgefüllte Kreise). (b) Die Isochronengerade für drei verschiedene Mineralproben, die heute einem Meteoriten entnommen wurden.

Der Komet Encke, von dem Maribo stammen könnte

Auf seiner Bahn um die Sonne betragen der kleinste und der größte Abstand zwischen dem Kometen Encke und der Sonne \(a_{\min}=4.95\times10^{10}\ \mathrm m\) beziehungsweise \(a_{\max}=6.16\times10^{11}\ \mathrm m\).

Folgen eines Asteroideneinschlags auf der Erde

Vor 65 Millionen Jahren wurde die Erde von einem riesigen Asteroiden mit der Dichte \(\rho_{\mathrm{ast}}=3.0\times10^3\ \mathrm{kg\,m^{-3}}\), dem Radius \(R_{\mathrm{ast}}=5.0\ \mathrm{km}\) und der Endgeschwindigkeit \(v_{\mathrm{ast}}=2.5\times10^4\ \mathrm{m/s}\) getroffen. Dieser Einschlag führte zur Auslöschung des größten Teils des Lebens auf der Erde und zur Entstehung des gewaltigen Chicxulub-Kraters. Nehmen Sie an, dass ein identischer Asteroid heute in einem vollkommen unelastischen Stoß auf die Erde trifft, und nutzen Sie die Tatsache, dass das Trägheitsmoment der Erde das 0.83-Fache des Trägheitsmoments einer homogenen Kugel gleicher Masse und gleichen Radius beträgt. Das Trägheitsmoment einer homogenen Kugel mit der Masse \(M\) und dem Radius \(R\) beträgt \(\frac25MR^2\). Vernachlässigen Sie Änderungen der Erdbahn.

Maximale Einschlaggeschwindigkeit

Betrachten Sie einen Himmelskörper, der im Sonnensystem gravitativ gebunden ist und mit einer Geschwindigkeit \(v_{\mathrm{imp}}\) auf die Erdoberfläche trifft. Anfangs kann der Einfluss des Gravitationsfeldes der Erde auf den Körper vernachlässigt werden. Vernachlässigen Sie die Reibung in der Atmosphäre, den Einfluss anderer Himmelskörper und die Erdrotation.

Datenblatt: Tabelle physikalischer Größen

Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt.

Giriş

Meteoroit, bir kuyruklu yıldızdan veya asteroitten gelen küçük bir parçacıktır (genellikle 1 m'den küçüktür). Yere çarpan bir meteoroide gök taşı denir.

17 Ocak 2009 gecesi Baltık Denizi yakınlarında birçok kişi, Dünya atmosferinden geçerek düşen bir meteoroidin ışıklı izini, yani ateş topunu gördü. İsveç'te bir güvenlik kamerası olayın videosunu kaydetti; bkz. Şekil 1.1(a). Bu görüntüler ve görgü tanıklarının anlatımları sayesinde çarpma bölgesi daraltılabildi ve altı hafta sonra Danimarka'nın güneyindeki Maribo kasabası yakınlarında 0.025 kg kütleli bir gök taşı bulundu. Artık Maribo adı verilen gök taşı ve gökyüzündeki yörüngesi üzerinde yapılan ölçümler ilginç sonuçlar ortaya koydu. Atmosfere girerken sürati olağanüstü yüksekti. \(4.567\times10^9\) yıllık yaşı, Güneş sisteminin doğuşundan kısa bir süre sonra oluştuğunu göstermektedir. Maribo gök taşı, Encke Kuyruklu Yıldızı'nın bir parçası olabilir.

Maribo'nun sürati

Ateş topu, Şekil 1.1'de çizildiği gibi, kuzeye göre \(285^\circ\) doğrultusunda batıya doğru, gök taşının daha sonra bulunduğu konuma yönelerek ilerliyordu. Gök taşı, güvenlik kamerasından 195 km uzaklıkta, kuzeye göre \(230^\circ\) doğrultusunda bulundu.

Atmosferden geçiş ve erime?

Üst atmosferde hareket eden bir meteoroide havanın uyguladığı sürtünme, meteoroidin şekline ve hızına, ayrıca atmosferin sıcaklığına ve yoğunluğuna karmaşık bir biçimde bağlıdır. Makul bir yaklaşımla, üst atmosferdeki sürtünme kuvveti \(F\), \(F=k\rho_{\mathrm{atm}}Av^2\) ifadesiyle verilir; burada \(k\) bir sabit, \(\rho_{\mathrm{atm}}\) atmosferin yoğunluğu, \(A\) gök taşının izdüşüm kesit alanı ve \(v\) süratidir.

Meteoroidi incelemek için şu basitleştirici varsayımlar yapılmaktadır: Atmosfere giren cisim, kütlesi \(m_{\mathrm M}=30\ \mathrm{kg}\), yarıçapı \(R_{\mathrm M}=0.13\ \mathrm m\), sıcaklığı \(T_0=200\ \mathrm K\) ve sürati \(v_{\mathrm M}=2.91\times10^4\ \mathrm{m/s}\) olan bir küreydi. Atmosferin yoğunluğu sabittir (Dünya yüzeyinin 40 km üzerindeki değerindedir), \(\rho_{\mathrm{atm}}=4.1\times10^{-3}\ \mathrm{kg/m^3}\), ve sürtünme katsayısı \(k=0.60\)'tır.

Şekil 1.1 (a) Azimut, yatay düzlemde kuzeyden başlayarak saat yönünde ölçülen açısal konumdur; yükseklik açısı ise ufkun üzerindeki açısal konumdur. İsveç'teki güvenlik kamerasının kaydettiği bir dizi kare, Maribo'nun atmosferden aşağı inerken bir ateş topu olarak hareketini göstermektedir. (b) İki kareye ait veriler; zamanı, kameradan (C) görülen doğrultuyu (azimut) derece cinsinden ve ufkun üzerindeki yüksekliği (yükseklik açısı) derece cinsinden göstermektedir. (c) Maribo'nun izlediği yolun (macenta ok) kuzeye (N) göre doğrultusunun ve Danimarka'daki düşme yerinin (M) kameradan (C) görülen doğrultusunun şematik gösterimi.

Maribo'nun atmosferde düşerken ısınması

Taşsı meteoroit Maribo atmosfere ses üstü süratle girdiğinde, çevresindeki hava ışık yaydığı için bir ateş topu olarak görünüyordu. Buna rağmen Maribo'nun yalnızca en dış katmanı ısındı. Maribo'nun yoğunluğu \(\rho_{\mathrm{sm}}\), öz ısı kapasitesi \(c_{\mathrm{sm}}\) ve ısıl iletkenliği \(k_{\mathrm{sm}}\) olan homojen bir küre olduğunu varsayınız (değerler için veri çizelgesine bakınız). Ayrıca, atmosfere girerken sıcaklığı \(T_0=200\ \mathrm K\) idi. Atmosferden düşerken hava sürtünmesi nedeniyle yüzey sıcaklığı sabit \(T_{\mathrm s}=1000\ \mathrm K\) değerindeydi; böylece iç kısmı giderek ısınıyordu.

Atmosferde \(t\) süresi boyunca düştükten sonra, Maribo'nun \(x\) kalınlığındaki dış kabuğu \(T_0\)'dan belirgin biçimde daha yüksek bir sıcaklığa kadar ısınmış olacaktır. Bu kalınlık, boyut analiziyle termodinamik parametrelerin kuvvetlerinin basit bir çarpımı olarak tahmin edilebilir: \(x\approx t^\alpha\rho_{\mathrm{sm}}^\beta c_{\mathrm{sm}}^\gamma k_{\mathrm{sm}}^\delta\).

Bir gök taşının yaşı

Radyoaktif elementlerin kimyasal özellikleri farklı olabilir; bu nedenle belirli bir gök taşındaki mineraller kristalleşirken, bazı mineraller belirli bir radyoaktif elementi yüksek oranda, diğerleri ise düşük oranda içerir. Bu fark, gök taşının radyoaktif minerallerine radyometrik tarihleme uygulanarak yaşını belirlemek için kullanılabilir.

Somut bir örnek olarak, kararlı \({}^{86}\mathrm{Sr}\) izotopunu referans alarak, \(T_{\frac12}=4.9\times10^{10}\) yıl yarı ömürle kararlı \({}^{87}\mathrm{Sr}\) izotopuna (element no. 38) bozunan \({}^{87}\mathrm{Rb}\) izotopunu (element no. 37) inceliyoruz. Kristalleşme anında \({}^{87}\mathrm{Sr}/{}^{86}\mathrm{Sr}\) oranı tüm minerallerde aynıyken, \({}^{87}\mathrm{Rb}/{}^{86}\mathrm{Sr}\) oranı farklıydı. Zaman geçtikçe \({}^{87}\mathrm{Rb}\) miktarı bozunma nedeniyle azalırken, buna bağlı olarak \({}^{87}\mathrm{Sr}\) miktarı artar. Sonuç olarak, \({}^{87}\mathrm{Sr}/{}^{86}\mathrm{Sr}\) oranları bugün farklı olacaktır. Şekil 1.2(a)'da yatay doğru üzerindeki noktalar, farklı minerallerde kristalleştikleri andaki \({}^{87}\mathrm{Rb}/{}^{86}\mathrm{Sr}\) oranını göstermektedir.

Şekil 1.2 (a) Farklı minerallerde kristalleşme anındaki \(t=0\) (boş daireler) ve günümüzdeki (dolu daireler) \({}^{87}\mathrm{Sr}/{}^{86}\mathrm{Sr}\) oranı. (b) Günümüzde bir gök taşından alınan üç farklı mineral örneğinin izokron doğrusu.

Maribo'nun kaynağı olabilecek Encke Kuyruklu Yıldızı

Encke Kuyruklu Yıldızı'nın Güneş çevresindeki yörüngesinde, Güneş'e olan en küçük ve en büyük uzaklıkları sırasıyla \(a_{\min}=4.95\times10^{10}\ \mathrm m\) ve \(a_{\max}=6.16\times10^{11}\ \mathrm m\)'dir.

Bir asteroidin Dünya'ya çarpmasının sonuçları

65 milyon yıl önce Dünya'ya, yoğunluğu \(\rho_{\mathrm{ast}}=3.0\times10^3\ \mathrm{kg\,m^{-3}}\), yarıçapı \(R_{\mathrm{ast}}=5.0\ \mathrm{km}\) ve son sürati \(v_{\mathrm{ast}}=2.5\times10^4\ \mathrm{m/s}\) olan dev bir asteroit çarptı. Bu çarpma, Dünya'daki canlıların çoğunun yok olmasına ve devasa Chicxulub Krateri'nin oluşmasına yol açtı. Özdeş bir asteroidin bugün Dünya'ya tamamen esnek olmayan bir çarpışmayla çarptığını varsayınız ve Dünya'nın eylemsizlik momentinin, aynı kütle ve yarıçapa sahip homojen bir küreninkinin 0.83 katı olduğunu kullanınız. Kütlesi \(M\) ve yarıçapı \(R\) olan homojen bir kürenin eylemsizlik momenti \(\frac25MR^2\)'dir. Dünya'nın yörüngesindeki değişimleri ihmal ediniz.

En büyük çarpma sürati

Güneş sistemine kütle çekimiyle bağlı olan ve Dünya yüzeyine \(v_{\mathrm{imp}}\) süratiyle çarpan bir gök cismini ele alınız. Başlangıçta Dünya'nın kütle çekim alanının cisim üzerindeki etkisi ihmal edilebilir. Atmosferdeki sürtünmeyi, diğer gök cisimlerinin etkisini ve Dünya'nın dönmesini ihmal ediniz.

Veri çizelgesi: Fiziksel parametreler tablosu

Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir.

Introducción

Un meteoroide es una pequeña partícula (normalmente de menos de 1 m) procedente de un cometa o de un asteroide. Un meteoroide que impacta contra el suelo se denomina meteorito.

La noche del 17 de enero de 2009, muchas personas cerca del mar Báltico vieron la estela luminosa o bola de fuego de un meteoroide que caía a través de la atmósfera terrestre. En Suecia, una cámara de vigilancia grabó un vídeo del suceso; véase la Fig. 1.1(a). A partir de estas imágenes y de los testimonios de los testigos, fue posible delimitar la zona de impacto y, seis semanas después, se encontró un meteorito de masa 0.025 kg en las proximidades de la localidad de Maribo, en el sur de Dinamarca. Las mediciones del meteorito, ahora denominado Maribo, y de su órbita en el cielo arrojaron resultados interesantes. Su rapidez al entrar en la atmósfera había sido excepcionalmente elevada. Su edad, \(4.567\times10^9\) años, indica que se había formado poco después del nacimiento del sistema solar. Es posible que el meteorito Maribo sea un fragmento del cometa Encke.

La rapidez de Maribo

La bola de fuego se desplazaba hacia el oeste, con un rumbo de \(285^\circ\) respecto al norte, hacia el lugar donde posteriormente se encontró el meteorito, como se representa en la Fig. 1.1. El meteorito se encontró a una distancia de 195 km de la cámara de vigilancia, en la dirección de \(230^\circ\) respecto al norte.

¿Paso por la atmósfera y fusión?

El rozamiento del aire sobre un meteoroide que se desplaza por las capas altas de la atmósfera depende de forma compleja de la forma y la velocidad del meteoroide, así como de la temperatura y la densidad de la atmósfera. Como aproximación razonable, la fuerza de rozamiento \(F\) en la atmósfera superior viene dada por la expresión \(F=k\rho_{\mathrm{atm}}Av^2\), donde \(k\) es una constante, \(\rho_{\mathrm{atm}}\) es la densidad de la atmósfera, \(A\) es el área de la sección transversal proyectada del meteorito y \(v\) es su rapidez.

Para analizar el meteoroide se adoptan las siguientes hipótesis simplificadoras: el objeto que entró en la atmósfera era una esfera de masa \(m_{\mathrm M}=30\ \mathrm{kg}\), radio \(R_{\mathrm M}=0.13\ \mathrm m\), temperatura \(T_0=200\ \mathrm K\) y rapidez \(v_{\mathrm M}=2.91\times10^4\ \mathrm{m/s}\). La densidad de la atmósfera es constante (su valor a 40 km sobre la superficie terrestre), \(\rho_{\mathrm{atm}}=4.1\times10^{-3}\ \mathrm{kg/m^3}\), y el coeficiente de rozamiento es \(k=0.60\).

Figura 1.1 (a) El acimut es la posición angular medida en sentido horario desde el norte en el plano horizontal, y la altura angular es la posición angular sobre el horizonte. Secuencia de fotogramas grabados por la cámara de vigilancia en Suecia, que muestra el movimiento de Maribo como una bola de fuego durante su descenso a través de la atmósfera. (b) Datos de dos fotogramas que indican el tiempo, la dirección (acimut) en grados, vista desde la cámara (C), y la altura sobre el horizonte (altura angular) en grados. (c) Esquema de las direcciones de la trayectoria (flecha magenta) de Maribo respecto al norte (N) y del lugar de caída (M) en Dinamarca, visto desde la cámara (C).

Calentamiento de Maribo durante su caída en la atmósfera

Cuando el meteoroide rocoso Maribo entró en la atmósfera a rapidez supersónica, se observó como una bola de fuego porque el aire que lo rodeaba brillaba. Sin embargo, solo se calentó la capa más externa de Maribo. Suponga que Maribo es una esfera homogénea de densidad \(\rho_{\mathrm{sm}}\), capacidad calorífica específica \(c_{\mathrm{sm}}\) y conductividad térmica \(k_{\mathrm{sm}}\) (véanse los valores en la hoja de datos). Además, al entrar en la atmósfera tenía una temperatura \(T_0=200\ \mathrm K\). Durante su caída a través de la atmósfera, su temperatura superficial se mantuvo constante en \(T_{\mathrm s}=1000\ \mathrm K\) debido al rozamiento con el aire, calentando así gradualmente el interior.

Tras caer durante un tiempo \(t\) en la atmósfera, una capa externa de Maribo de espesor \(x\) se habrá calentado hasta una temperatura significativamente superior a \(T_0\). Este espesor puede estimarse mediante análisis dimensional como un simple producto de potencias de los parámetros termodinámicos: \(x\approx t^\alpha\rho_{\mathrm{sm}}^\beta c_{\mathrm{sm}}^\gamma k_{\mathrm{sm}}^\delta\).

La edad de un meteorito

Las propiedades químicas de los elementos radiactivos pueden ser diferentes, de modo que, durante la cristalización de los minerales de un meteorito dado, algunos minerales tendrán un contenido elevado de un determinado elemento radiactivo y otros un contenido bajo. Esta diferencia puede utilizarse para determinar la edad de un meteorito mediante la datación radiométrica de sus minerales radiactivos.

Como ejemplo concreto, estudiamos el isótopo \({}^{87}\mathrm{Rb}\) (elemento n.º 37), que se desintegra en el isótopo estable \({}^{87}\mathrm{Sr}\) (elemento n.º 38) con un período de semidesintegración de \(T_{\frac12}=4.9\times10^{10}\) años, tomando como referencia el isótopo estable \({}^{86}\mathrm{Sr}\). En el momento de la cristalización, la razón \({}^{87}\mathrm{Sr}/{}^{86}\mathrm{Sr}\) era idéntica en todos los minerales, mientras que la razón \({}^{87}\mathrm{Rb}/{}^{86}\mathrm{Sr}\) era diferente. Con el paso del tiempo, la cantidad de \({}^{87}\mathrm{Rb}\) disminuye por desintegración y, en consecuencia, aumenta la cantidad de \({}^{87}\mathrm{Sr}\). Como resultado, la razón \({}^{87}\mathrm{Sr}/{}^{86}\mathrm{Sr}\) será diferente en la actualidad. En la Fig. 1.2(a), los puntos de la línea horizontal corresponden a la razón \({}^{87}\mathrm{Rb}/{}^{86}\mathrm{Sr}\) en distintos minerales en el momento de su cristalización.

Figura 1.2 (a) La razón \({}^{87}\mathrm{Sr}/{}^{86}\mathrm{Sr}\) en distintos minerales en el instante \(t=0\) de cristalización (círculos vacíos) y en la actualidad (círculos rellenos). (b) La recta isócrona de tres muestras minerales diferentes tomadas de un meteorito en la actualidad.

El cometa Encke, del que podría proceder Maribo

En su órbita alrededor del Sol, las distancias mínima y máxima entre el cometa Encke y el Sol son \(a_{\min}=4.95\times10^{10}\ \mathrm m\) y \(a_{\max}=6.16\times10^{11}\ \mathrm m\), respectivamente.

Consecuencias del impacto de un asteroide contra la Tierra

Hace 65 millones de años, la Tierra recibió el impacto de un enorme asteroide de densidad \(\rho_{\mathrm{ast}}=3.0\times10^3\ \mathrm{kg\,m^{-3}}\), radio \(R_{\mathrm{ast}}=5.0\ \mathrm{km}\) y rapidez final \(v_{\mathrm{ast}}=2.5\times10^4\ \mathrm{m/s}\). Este impacto provocó la exterminación de la mayor parte de la vida en la Tierra y la formación del enorme cráter de Chicxulub. Suponga que un asteroide idéntico impactara hoy contra la Tierra en una colisión completamente inelástica y utilice el hecho de que el momento de inercia de la Tierra es 0.83 veces el de una esfera homogénea de la misma masa y radio. El momento de inercia de una esfera homogénea de masa \(M\) y radio \(R\) es \(\frac25MR^2\). Desprecie los cambios en la órbita de la Tierra.

Rapidez máxima de impacto

Considere un cuerpo celeste ligado gravitatoriamente al sistema solar que impacta contra la superficie terrestre con una rapidez \(v_{\mathrm{imp}}\). Inicialmente puede despreciarse el efecto del campo gravitatorio terrestre sobre el cuerpo. Desprecie el rozamiento en la atmósfera, el efecto de otros cuerpos celestes y la rotación de la Tierra.

Hoja de datos: tabla de parámetros físicos

Enunciado traducido del texto oficial en inglés.

引言

流星体是来自彗星或小行星的小颗粒（通常小于 1 m）。撞击地面的流星体称为陨石。

2009 年 1 月 17 日夜间，波罗的海附近的许多人看到了一个流星体穿过地球大气层下落时形成的发光轨迹，即火流星。在瑞典，一台监控摄像机记录下了这一事件的视频，见图 1.1(a)。根据这些图像和目击者的描述，人们得以缩小撞击区域的范围。六周后，在丹麦南部马里博镇附近发现了一块质量为 0.025 kg 的陨石。对这块如今被命名为马里博的陨石及其空中轨迹的测量得出了一些有趣的结果。它进入大气层时的速率异常高。它的年龄为 \(4.567\times10^9\) 年，表明它在太阳系诞生后不久就已形成。马里博陨石可能是恩克彗星的一部分。

马里博的速率

火流星向西运动，相对于正北方向的航向角为 \(285^\circ\)，朝向后来发现陨石的地点，如图 1.1 所示。陨石发现地点距监控摄像机 195 km，相对于正北方向的方位角为 \(230^\circ\)。

穿过大气层时会熔化吗？

流星体在高层大气中运动时所受的空气摩擦力，以复杂的方式取决于流星体的形状和速度，以及大气的温度和密度。作为合理的近似，高层大气中的摩擦力 \(F\) 可用表达式 \(F=k\rho_{\mathrm{atm}}Av^2\) 给出，其中 \(k\) 为常数，\(\rho_{\mathrm{atm}}\) 为大气密度，\(A\) 为陨石的投影截面积，\(v\) 为其速率。

为分析流星体，作如下简化假设：进入大气层的物体是一个球体，其质量为 \(m_{\mathrm M}=30\ \mathrm{kg}\)，半径为 \(R_{\mathrm M}=0.13\ \mathrm m\)，温度为 \(T_0=200\ \mathrm K\)，速率为 \(v_{\mathrm M}=2.91\times10^4\ \mathrm{m/s}\)。大气密度为常量（取地表上方 40 km 处的数值），\(\rho_{\mathrm{atm}}=4.1\times10^{-3}\ \mathrm{kg/m^3}\)，摩擦系数为 \(k=0.60\)。

图 1.1 (a) 方位角是在水平面内从正北方向起顺时针量取的角度，高度角是相对于地平线向上量取的角度。瑞典的监控摄像机记录的一系列画面，显示了马里博以火流星的形式穿过大气层下落时的运动。(b) 两帧画面的数据，给出了时间、摄像机（C）所见的方向（方位角，以度为单位），以及高出地平线的角度（高度角，以度为单位）。(c) 示意图，表示摄像机（C）所见的马里博轨迹（品红色箭头）以及丹麦着陆点（M）相对于正北方向（N）的方位。

马里博在大气层下落过程中的受热

当石质流星体马里博以超声速进入大气层时，周围空气发光，使其呈现为火流星。然而，马里博只有最外层被加热。假设马里博是一个均匀球体，密度为 \(\rho_{\mathrm{sm}}\)，比热容为 \(c_{\mathrm{sm}}\)，热导率为 \(k_{\mathrm{sm}}\)（数值见数据表）。此外，它进入大气层时的温度为 \(T_0=200\ \mathrm K\)。在穿过大气层下落的过程中，由于空气摩擦，其表面温度恒为 \(T_{\mathrm s}=1000\ \mathrm K\)，从而使内部逐渐升温。

在大气层中下落时间 \(t\) 后，马里博厚度为 \(x\) 的外壳将被加热到显著高于 \(T_0\) 的温度。可通过量纲分析，将这一厚度估算为各热力学参数幂的简单乘积：\(x\approx t^\alpha\rho_{\mathrm{sm}}^\beta c_{\mathrm{sm}}^\gamma k_{\mathrm{sm}}^\delta\)。

陨石的年龄

放射性元素的化学性质可能不同，因此，在一块陨石中的矿物结晶过程中，某些矿物中的某种放射性元素含量较高，而其他矿物中的含量较低。利用这种差异，可以通过对陨石中放射性矿物进行放射性定年，确定陨石的年龄。

作为一个具体例子，我们研究同位素 \({}^{87}\mathrm{Rb}\)（第 37 号元素），它衰变为稳定同位素 \({}^{87}\mathrm{Sr}\)（第 38 号元素），半衰期为 \(T_{\frac12}=4.9\times10^{10}\) 年，并以稳定同位素 \({}^{86}\mathrm{Sr}\) 为参照。结晶时，所有矿物中的比值 \({}^{87}\mathrm{Sr}/{}^{86}\mathrm{Sr}\) 均相同，而比值 \({}^{87}\mathrm{Rb}/{}^{86}\mathrm{Sr}\) 各不相同。随着时间推移，\({}^{87}\mathrm{Rb}\) 的数量因衰变而减少，\({}^{87}\mathrm{Sr}\) 的数量则相应增加。因此，如今各矿物中的比值 \({}^{87}\mathrm{Sr}/{}^{86}\mathrm{Sr}\) 将有所不同。在图 1.2(a) 中，水平线上的各点对应不同矿物结晶时的比值 \({}^{87}\mathrm{Rb}/{}^{86}\mathrm{Sr}\)。

图 1.2 (a) 不同矿物在结晶时刻 \(t=0\)（空心圆）及当前时刻（实心圆）的比值 \({}^{87}\mathrm{Sr}/{}^{86}\mathrm{Sr}\)。(b) 目前从一块陨石中取得的三种不同矿物样品的等时线。

马里博可能来自的恩克彗星

恩克彗星绕太阳运行时，与太阳之间的最小距离和最大距离分别为 \(a_{\min}=4.95\times10^{10}\ \mathrm m\) 和 \(a_{\max}=6.16\times10^{11}\ \mathrm m\)。

小行星撞击地球的后果

6500 万年前，一颗巨大的小行星撞击了地球，其密度为 \(\rho_{\mathrm{ast}}=3.0\times10^3\ \mathrm{kg\,m^{-3}}\)，半径为 \(R_{\mathrm{ast}}=5.0\ \mathrm{km}\)，最终速率为 \(v_{\mathrm{ast}}=2.5\times10^4\ \mathrm{m/s}\)。这次撞击导致地球上大多数生命灭绝，并形成了巨大的希克苏鲁伯陨石坑。假设今天一颗完全相同的小行星以完全非弹性碰撞的方式撞击地球，并利用以下事实：地球的转动惯量是质量和半径均与地球相同的均匀球体的转动惯量的 0.83 倍。质量为 \(M\)、半径为 \(R\) 的均匀球体的转动惯量为 \(\frac25MR^2\)。忽略地球轨道的变化。

最大撞击速率

考虑一个受引力束缚在太阳系内的天体，它以速率 \(v_{\mathrm{imp}}\) 撞击地球表面。最初，地球引力场对该天体的影响可以忽略。不考虑大气摩擦、其他天体的影响以及地球自转。

数据表：物理参数表

题目译自官方英文原文。

Введение

Метеороид — это небольшая частица (обычно размером менее 1 м), происходящая из кометы или астероида. Метеороид, достигший поверхности Земли, называется метеоритом.

В ночь на 17 января 2009 года многие люди вблизи Балтийского моря наблюдали светящийся след, или болид, метеороида, падавшего сквозь атмосферу Земли. В Швеции камера наблюдения записала это событие на видео, см. рис. 1.1(a). По этим кадрам и свидетельствам очевидцев удалось сузить область падения, и через шесть недель в окрестностях города Марибо на юге Дании был найден метеорит массой 0.025 кг. Исследования метеорита, получившего название Марибо, и его небесной орбиты дали интересные результаты. Его скорость при входе в атмосферу была исключительно высокой. Его возраст, \(4.567\times10^9\) лет, показывает, что он образовался вскоре после рождения Солнечной системы. Возможно, метеорит Марибо является частью кометы Энке.

Скорость Марибо

Болид двигался в западном направлении, с курсом \(285^\circ\) относительно севера, к месту, где впоследствии был найден метеорит, как схематически показано на рис. 1.1. Метеорит был найден на расстоянии 195 км от камеры наблюдения в направлении \(230^\circ\) относительно севера.

Полёт через атмосферу и плавление?

Сила сопротивления воздуха, действующая на метеороид, движущийся в высоких слоях атмосферы, сложным образом зависит от формы и скорости метеороида, а также от температуры и плотности атмосферы. В качестве разумного приближения сила сопротивления \(F\) в верхних слоях атмосферы задаётся выражением \(F=k\rho_{\mathrm{atm}}Av^2\), где \(k\) — постоянная, \(\rho_{\mathrm{atm}}\) — плотность атмосферы, \(A\) — площадь поперечного сечения метеорита в проекции на плоскость, перпендикулярную скорости, а \(v\) — его скорость.

Для анализа движения метеороида примем следующие упрощающие предположения. Тело, вошедшее в атмосферу, представляло собой шар массой \(m_{\mathrm M}=30\ \mathrm{kg}\), радиусом \(R_{\mathrm M}=0.13\ \mathrm m\), с температурой \(T_0=200\ \mathrm K\) и скоростью \(v_{\mathrm M}=2.91\times10^4\ \mathrm{m/s}\). Плотность атмосферы постоянна и равна её значению на высоте 40 км над поверхностью Земли: \(\rho_{\mathrm{atm}}=4.1\times10^{-3}\ \mathrm{kg/m^3}\), а коэффициент сопротивления равен \(k=0.60\).

Рисунок 1.1 (a) Азимут — это угол в горизонтальной плоскости, отсчитываемый по часовой стрелке от направления на север, а угловая высота — угол над горизонтом. Последовательность кадров, снятых камерой наблюдения в Швеции и показывающих движение Марибо в виде болида при его падении сквозь атмосферу. (b) Данные двух кадров: время, направление (азимут) в градусах при наблюдении камерой (C) и высота над горизонтом (угловая высота) в градусах. (c) Схема направлений траектории Марибо (пурпурная стрелка) относительно севера (N) и на место падения (M) в Дании при наблюдении камерой (C).

Нагрев Марибо при падении в атмосфере

Когда каменный метеороид Марибо вошёл в атмосферу со сверхзвуковой скоростью, он наблюдался как болид из-за свечения окружающего воздуха. Тем не менее нагрелся только самый внешний слой Марибо. Считайте, что Марибо — однородный шар с плотностью \(\rho_{\mathrm{sm}}\), удельной теплоёмкостью \(c_{\mathrm{sm}}\) и коэффициентом теплопроводности \(k_{\mathrm{sm}}\) (значения приведены в таблице справочных данных). Кроме того, при входе в атмосферу его температура была равна \(T_0=200\ \mathrm K\). Во время падения сквозь атмосферу из-за трения о воздух температура его поверхности оставалась постоянной и равной \(T_{\mathrm s}=1000\ \mathrm K\), вследствие чего внутренняя область постепенно нагревалась.

После падения в атмосфере в течение времени \(t\) внешний слой Марибо толщиной \(x\) нагреется до температуры, значительно превышающей \(T_0\). Эту толщину можно оценить методом анализа размерностей как простое произведение степеней термодинамических параметров: \(x\approx t^\alpha\rho_{\mathrm{sm}}^\beta c_{\mathrm{sm}}^\gamma k_{\mathrm{sm}}^\delta\).

Возраст метеорита

Химические свойства радиоактивных элементов могут различаться, поэтому при кристаллизации минералов в данном метеорите одни минералы будут иметь высокое содержание определённого радиоактивного элемента, а другие — низкое. Это различие можно использовать для определения возраста метеорита методом радиометрического датирования его радиоактивных минералов.

В качестве конкретного примера рассмотрим изотоп \({}^{87}\mathrm{Rb}\) (элемент № 37), который распадается с образованием стабильного изотопа \({}^{87}\mathrm{Sr}\) (элемент № 38) с периодом полураспада \(T_{\frac12}=4.9\times10^{10}\) лет, используя стабильный изотоп \({}^{86}\mathrm{Sr}\) в качестве эталона. В момент кристаллизации отношение \({}^{87}\mathrm{Sr}/{}^{86}\mathrm{Sr}\) было одинаковым для всех минералов, тогда как отношение \({}^{87}\mathrm{Rb}/{}^{86}\mathrm{Sr}\) различалось. С течением времени количество \({}^{87}\mathrm{Rb}\) уменьшается вследствие распада, а количество \({}^{87}\mathrm{Sr}\) соответственно увеличивается. В результате к настоящему времени отношение \({}^{87}\mathrm{Sr}/{}^{86}\mathrm{Sr}\) будет различным. На рис. 1.2(a) точки на горизонтальной прямой соответствуют отношению \({}^{87}\mathrm{Rb}/{}^{86}\mathrm{Sr}\) в различных минералах в момент их кристаллизации.

Рисунок 1.2 (a) Отношение \({}^{87}\mathrm{Sr}/{}^{86}\mathrm{Sr}\) в различных минералах в момент кристаллизации \(t=0\) (незакрашенные кружки) и в настоящее время (закрашенные кружки). (b) Изохрона для трёх различных образцов минералов, взятых из метеорита в настоящее время.

Комета Энке, от которой, возможно, происходит Марибо

При движении кометы Энке по орбите вокруг Солнца минимальное и максимальное расстояния между ней и Солнцем равны соответственно \(a_{\min}=4.95\times10^{10}\ \mathrm m\) и \(a_{\max}=6.16\times10^{11}\ \mathrm m\).

Последствия столкновения астероида с Землёй

65 миллионов лет назад с Землёй столкнулся огромный астероид плотностью \(\rho_{\mathrm{ast}}=3.0\times10^3\ \mathrm{kg\,m^{-3}}\), радиусом \(R_{\mathrm{ast}}=5.0\ \mathrm{km}\) и конечной скоростью \(v_{\mathrm{ast}}=2.5\times10^4\ \mathrm{m/s}\). Этот удар привёл к гибели большей части жизни на Земле и образованию огромного кратера Чиксулуб. Предположите, что такой же астероид столкнулся бы с Землёй сегодня, причём столкновение было бы абсолютно неупругим, и используйте тот факт, что момент инерции Земли составляет 0.83 от момента инерции однородного шара той же массы и радиуса. Момент инерции однородного шара массой \(M\) и радиусом \(R\) равен \(\frac25MR^2\). Изменениями орбиты Земли пренебрегите.

Максимальная скорость столкновения

Рассмотрим небесное тело, гравитационно связанное с Солнечной системой, которое сталкивается с поверхностью Земли со скоростью \(v_{\mathrm{imp}}\). Вначале влиянием гравитационного поля Земли на тело можно пренебречь. Не учитывайте трение в атмосфере, влияние других небесных тел и вращение Земли.

Справочные данные: таблица физических параметров

Условие переведено с официального английского текста.

مقدمة

الجُسيم النيزكي هو جسيم صغير (عادةً أصغر من 1 m) مصدره مذنّب أو كويكب. ويُسمّى الجسيم النيزكي الذي يصطدم بالأرض نيزكًا.

في ليلة 17 يناير 2009، رأى كثير من الناس بالقرب من بحر البلطيق المسار المتوهّج، أو الكرة النارية، لجسيم نيزكي يسقط عبر الغلاف الجوي للأرض. وفي السويد، سجّلت كاميرا مراقبة مقطع فيديو للحدث، انظر الشكل 1.1(a). ومن هذه الصور وروايات شهود العيان، أمكن تضييق نطاق منطقة الاصطدام، وبعد ستة أسابيع عُثر على نيزك كتلته 0.025 kg بالقرب من بلدة ماريبو في جنوب الدنمارك. وأظهرت القياسات التي أُجريت على النيزك، الذي سُمّي الآن ماريبو، وعلى مداره في السماء نتائج مثيرة للاهتمام. فقد كانت سرعته عند دخوله الغلاف الجوي عاليةً على نحو استثنائي. ويُظهر عمره، البالغ \(4.567\times10^9\) سنة، أنه تكوّن بعد نشأة المجموعة الشمسية بوقت قصير. ومن المحتمل أن يكون نيزك ماريبو جزءًا من المذنّب إنكه.

سرعة ماريبو

كانت الكرة النارية تتحرك باتجاه الغرب، بزاوية \(285^\circ\) بالنسبة إلى الشمال، نحو الموقع الذي عُثر فيه لاحقًا على النيزك، كما هو موضّح تخطيطيًا في الشكل 1.1. وقد عُثر على النيزك على مسافة 195 km من كاميرا المراقبة، في الاتجاه \(230^\circ\) بالنسبة إلى الشمال.

عبر الغلاف الجوي، وهل ينصهر؟

يعتمد احتكاك الهواء بجسيم نيزكي يتحرك في الطبقات العليا من الغلاف الجوي اعتمادًا معقّدًا على شكل الجسيم النيزكي وسرعته، وعلى درجة حرارة الغلاف الجوي وكثافته. وكتقريب معقول، تُعطى قوة الاحتكاك \(F\) في الطبقات العليا من الغلاف الجوي بالعلاقة \(F=k\rho_{\mathrm{atm}}Av^2\)، حيث \(k\) ثابت، و\(\rho_{\mathrm{atm}}\) كثافة الغلاف الجوي، و\(A\) مساحة المقطع العرضي المسقَط للنيزك، و\(v\) سرعته.

تُعتمد الافتراضات التبسيطية الآتية لتحليل الجسيم النيزكي: كان الجسم الداخل إلى الغلاف الجوي كرةً كتلتها \(m_{\mathrm M}=30\ \mathrm{kg}\)، ونصف قطرها \(R_{\mathrm M}=0.13\ \mathrm m\)، ودرجة حرارتها \(T_0=200\ \mathrm K\)، وسرعتها \(v_{\mathrm M}=2.91\times10^4\ \mathrm{m/s}\). وكثافة الغلاف الجوي ثابتة (وتساوي قيمتها على ارتفاع 40 km فوق سطح الأرض)، \(\rho_{\mathrm{atm}}=4.1\times10^{-3}\ \mathrm{kg/m^3}\)، ومعامل الاحتكاك هو \(k=0.60\).

الشكل 1.1 (a) السمت هو الموضع الزاوي المقاس في اتجاه عقارب الساعة بدءًا من الشمال في المستوى الأفقي، والارتفاع هو الموضع الزاوي فوق الأفق. سلسلة من الإطارات التي سجّلتها كاميرا المراقبة في السويد، تُظهر حركة ماريبو بوصفه كرةً نارية أثناء هبوطه عبر الغلاف الجوي. (b) بيانات من إطارين تبيّن الزمن والاتجاه (السمت) بالدرجات، كما تراه الكاميرا (C)، والارتفاع فوق الأفق (زاوية الارتفاع) بالدرجات. (c) رسم تخطيطي لاتجاه مسار ماريبو (السهم الأرجواني) بالنسبة إلى الشمال (N)، واتجاه موقع سقوطه (M) في الدنمارك كما تراه الكاميرا (C).

تسخّن ماريبو أثناء سقوطه في الغلاف الجوي

عندما دخل الجسيم النيزكي الصخري ماريبو الغلاف الجوي بسرعة تفوق سرعة الصوت، ظهر ككرة نارية لأن الهواء المحيط به كان متوهّجًا. ومع ذلك، لم تسخن إلا الطبقة الخارجية القصوى من ماريبو. افترض أن ماريبو كرة متجانسة كثافتها \(\rho_{\mathrm{sm}}\)، وسعتها الحرارية النوعية \(c_{\mathrm{sm}}\)، وموصليتها الحرارية \(k_{\mathrm{sm}}\) (للقيم، انظر ورقة البيانات). وافترض أيضًا أن درجة حرارته عند دخول الغلاف الجوي كانت \(T_0=200\ \mathrm K\). وأثناء سقوطه عبر الغلاف الجوي، كانت درجة حرارة سطحه ثابتة عند \(T_{\mathrm s}=1000\ \mathrm K\) بفعل الاحتكاك بالهواء، ممّا أدّى إلى تسخين داخله تدريجيًا.

بعد سقوط ماريبو مدةً زمنية \(t\) في الغلاف الجوي، تكون قشرة خارجية منه سُمكها \(x\) قد سُخّنت إلى درجة حرارة أعلى بكثير من \(T_0\). ويمكن تقدير هذا السُّمك بالتحليل البُعدي على صورة حاصل ضرب بسيط لقوى المعاملات الديناميكية الحرارية: \(x\approx t^\alpha\rho_{\mathrm{sm}}^\beta c_{\mathrm{sm}}^\gamma k_{\mathrm{sm}}^\delta\).

عمر النيزك

قد تختلف الخواص الكيميائية للعناصر المشعّة، لذا فإن بعض المعادن، أثناء تبلور المعادن في نيزك معيّن، تحتوي على نسبة عالية من عنصر مشعّ محدّد، بينما تحتوي معادن أخرى على نسبة منخفضة منه. ويمكن استخدام هذا الاختلاف لتحديد عمر النيزك بالتأريخ الإشعاعي لمعادنه المشعّة.

كمثال محدّد، ندرس النظير \({}^{87}\mathrm{Rb}\) (العنصر رقم 37)، الذي يضمحلّ إلى النظير المستقر \({}^{87}\mathrm{Sr}\) (العنصر رقم 38) بعمر نصف مقداره \(T_{\frac12}=4.9\times10^{10}\) سنة، وذلك بالنسبة إلى النظير المستقر \({}^{86}\mathrm{Sr}\). عند التبلور، كانت النسبة \({}^{87}\mathrm{Sr}/{}^{86}\mathrm{Sr}\) متطابقة في جميع المعادن، بينما كانت النسبة \({}^{87}\mathrm{Rb}/{}^{86}\mathrm{Sr}\) مختلفة. ومع مرور الزمن، تتناقص كمية \({}^{87}\mathrm{Rb}\) بفعل الاضمحلال، وتزداد تبعًا لذلك كمية \({}^{87}\mathrm{Sr}\). ونتيجةً لذلك، تكون النسبة \({}^{87}\mathrm{Sr}/{}^{86}\mathrm{Sr}\) مختلفة اليوم. في الشكل 1.2(a)، تشير النقاط الواقعة على الخط الأفقي إلى النسبة \({}^{87}\mathrm{Rb}/{}^{86}\mathrm{Sr}\) في معادن مختلفة عند تبلورها.

الشكل 1.2 (a) النسبة \({}^{87}\mathrm{Sr}/{}^{86}\mathrm{Sr}\) في معادن مختلفة عند زمن التبلور \(t=0\) (الدوائر الفارغة) وفي الوقت الحاضر (الدوائر المصمتة). (b) خط تساوي العمر لثلاث عينات معدنية مختلفة مأخوذة من نيزك في الوقت الحاضر.

المذنّب إنكه، الذي قد يكون مصدر ماريبو

في مدار المذنّب إنكه حول الشمس، تبلغ المسافتان الدنيا والعظمى بينه وبين الشمس \(a_{\min}=4.95\times10^{10}\ \mathrm m\) و\(a_{\max}=6.16\times10^{11}\ \mathrm m\)، على الترتيب.

عواقب اصطدام كويكب بالأرض

قبل 65 مليون سنة، اصطدم بالأرض كويكب ضخم كثافته \(\rho_{\mathrm{ast}}=3.0\times10^3\ \mathrm{kg\,m^{-3}}\)، ونصف قطره \(R_{\mathrm{ast}}=5.0\ \mathrm{km}\)، وسرعته النهائية \(v_{\mathrm{ast}}=2.5\times10^4\ \mathrm{m/s}\). وأدّى هذا الاصطدام إلى انقراض معظم أشكال الحياة على الأرض وتكوّن فوهة تشيكشولوب الهائلة. افترض أن كويكبًا مماثلًا يصطدم بالأرض اليوم اصطدامًا عديم المرونة تمامًا، واستخدم حقيقة أن عزم القصور الذاتي للأرض يساوي 0.83 من عزم القصور الذاتي لكرة متجانسة لها الكتلة ونصف القطر نفسيهما. وعزم القصور الذاتي لكرة متجانسة كتلتها \(M\) ونصف قطرها \(R\) هو \(\frac25MR^2\). أهمل التغيّرات في مدار الأرض.

أقصى سرعة اصطدام

اعتبر جسمًا سماويًا مرتبطًا بالجاذبية ضمن المجموعة الشمسية، يصطدم بسطح الأرض بسرعة \(v_{\mathrm{imp}}\). في البداية، يمكن إهمال تأثير مجال جاذبية الأرض في الجسم. أهمل الاحتكاك في الغلاف الجوي، وتأثير الأجرام السماوية الأخرى، ودوران الأرض.

ورقة البيانات: جدول المعاملات الفيزيائية

نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي.