Introduction

This problem deals with the physics of the Greenlandic ice sheet, the second largest glacier in the world, Fig. 3.1(a). As an idealization, Greenland is modeled as a rectangular island of width \(2L\) and length \(5L\) with the ground at sea level and completely covered by incompressible ice (constant density \(\rho_{\mathrm{ice}}\)), see Fig. 3.1(b). The height profile \(H(x)\) of the ice sheet does not depend on the \(y\)-coordinate and it increases from zero at the coasts \(x=\pm L\) to a maximum height \(H_{\mathrm m}\) along the middle north-south axis (the \(y\)-axis), known as the ice divide, see Fig. 3.1(c).

Figure 3.1 (a) A map of Greenland showing the extent of the ice sheet (white), the ice-free, coastal regions (green), and the surrounding ocean (blue). (b) The crude model of the Greenlandic ice sheet as covering a rectangular area in the \(xy\)-plane with side lengths \(2L\) and \(5L\). The ice divide, the line of maximum ice sheet height \(H_{\mathrm m}\) runs along the \(y\)-axis. (c) A vertical cut (\(xz\)-plane) through the ice sheet showing the height profile \(H(x)\) (blue line). \(H(x)\) is independent of the \(y\)-coordinate for \(0<y<5L\), while it drops abruptly to zero at \(y=0\) and \(y=5L\). The \(z\)-axis marks the position of the ice divide. For clarity, the vertical dimensions are expanded compared to the horizontal dimensions. The density \(\rho_{\mathrm{ice}}\) of ice is constant.

Two useful formulas

In this problem you can make use of the integral:

\[ \int_0^1\sqrt{1-x}\,\mathrm dx=\frac23 \]

and the approximation \((1+x)^\alpha\approx1+\alpha x\), valid for \(|\alpha x|\ll1\).

The height profile of the ice sheet

On short time scales the glacier is an incompressible hydrostatic system with fixed height profile \(H(x)\).

Consider a given vertical slab of the ice sheet in equilibrium, covering a small horizontal base area \(\Delta x\Delta y\) between \(x\) and \(x+\Delta x\), see the red dashed lines in Fig. 3.1(c). The size of \(\Delta y\) does not matter. The net horizontal force component \(\Delta F\) on the two vertical sides of the slab, arising from the difference in height on the center-side versus the coastal-side of the slab, is balanced by a friction force \(\Delta F=S_{\mathrm b}\Delta x\Delta y\) from the ground on the base area \(\Delta x\Delta y\), where \(S_{\mathrm b}=100\ \mathrm{kPa}\).

A dynamical ice sheet

On longer time scale, the ice is a viscous incompressible fluid, which by gravity flows from the center part to the coast. In this model, the ice maintains its height profile \(H(x)\) in a steady state, where accumulation of ice due to snowfall in the central region is balanced by melting at the coast. In addition to the ice sheet geometry of Fig. 3.1(b) and (c) make the following model assumptions:

1) Ice flows in the \(xz\)-plane away from the ice divide (the \(y\)-axis). 2) The accumulation rate \(c\) (m/year) in the central region is a constant. 3) Ice can only leave the glacier by melting near the coasts at \(x=\pm L\). 4) The horizontal (\(x\)-)component \(v_x(x)=\mathrm dx/\mathrm dt\) of the ice-flow velocity is independent of \(z\). 5) The vertical (\(z\)-)component \(v_z(z)=\mathrm dz/\mathrm dt\) of the ice-flow velocity is independent of \(x\).

Consider only the central region \(|x|\ll L\) close to the middle of the ice sheet, where height variations of the ice sheet are very small and can be neglected altogether, i.e. \(H(x)\approx H_{\mathrm m}\).

From the assumption of incompressibility, i.e. the constant density \(\rho_{\mathrm{ice}}\) of the ice, it follows that mass conservation implies the following restriction on the ice flow velocity components

\[ \frac{\mathrm dv_x}{\mathrm dx}+\frac{\mathrm dv_z}{\mathrm dz}=0. \]

A small ice particle with the initial surface position \((x_i,H_{\mathrm m})\) will, as time passes, flow as part of the ice sheet along a flow trajectory \(z(x)\) in the vertical \(xz\)-plane.

Age and climate indicators in the dynamical ice sheet

Based on the ice-flow velocity components \(v_x(x)\) and \(v_z(z)\), one can estimate the age \(\tau(z)\) of the ice in a specific depth \(H_{\mathrm m}-z\) from the surface of the ice sheet.

An ice core drilled in the interior of the Greenlandic ice sheet will penetrate through layers of snow from the past, and the ice core can be analyzed to reveal past climate changes. One of the best indicators is the so-called \(\delta^{18}\mathrm O\), defined as

\[ \delta^{18}\mathrm O =\frac{R_{\mathrm{ice}}-R_{\mathrm{ref}}}{R_{\mathrm{ref}}}\,1000\ \text{‰}, \]

where \(R=[{}^{18}\mathrm O]/[{}^{16}\mathrm O]\) denotes the relative abundance of the two stable isotopes \({}^{18}\mathrm O\) and \({}^{16}\mathrm O\) of oxygen. The reference \(R_{\mathrm{ref}}\) is based on the isotopic composition of the oceans around Equator.

Figure 3.2 (a) Observed relationship between \(\delta^{18}\mathrm O\) in snows versus the mean annual surface temperature \(T\). (b) Measurements of \(\delta^{18}\mathrm O\) versus depth \(H_{\mathrm m}-z\) from the surface, taken from an ice core drilled from surface to bedrock at a specific place along the Greenlandic ice divide where \(H_{\mathrm m}=3060\ \mathrm m\).

Observations from the Greenland ice sheet show that \(\delta^{18}\mathrm O\) in the snow varies approximately linearly with temperature, Fig. 3.2(a). Assuming that this has always been the case, \(\delta^{18}\mathrm O\) retrieved from an ice core at depth \(H_{\mathrm m}-z\) leads to an estimate of the temperature \(T\) near Greenland at the age \(\tau(z)\).

Measurements of \(\delta^{18}\mathrm O\) in a 3060 m long Greenlandic ice core show an abrupt change in \(\delta^{18}\mathrm O\) at a depth of 1492 m, Fig. 3.2(b), marking the end of the last ice age. The ice age began 120,000 years ago, corresponding to a depth of 3040 m, and the current interglacial age began 11,700 years ago, corresponding to a depth of 1492 m. Assume that these two periods can be described by two different accumulation rates, \(c_{\mathrm{ia}}\) (ice age) and \(c_{\mathrm{ig}}\) (interglacial age), respectively. You can assume \(H_{\mathrm m}\) to be constant throughout these 120,000 years.

Sea level rise from melting of the Greenland ice sheet

A complete melting of the Greenlandic ice sheet will cause a sea level rise in the global ocean. As a crude estimate of this sea level rise, one may simply consider a uniform rise throughout a global ocean with constant area \(A_{\mathrm O}=3.61\times10^{14}\ \mathrm{m^2}\).

The massive Greenland ice sheet exerts a gravitational pull on the surrounding ocean. If the ice sheet melts, this local high tide is lost and the sea level will drop close to Greenland, an effect which partially counteracts the sea level rise calculated above.

To estimate the magnitude of this gravitational pull on the water, the Greenlandic ice sheet is now modeled as a point mass located at the ground level and having the total mass of the Greenlandic ice sheet. Copenhagen lies at a distance of 3500 km along the Earth surface from the center of the point mass. One may consider the Earth, without the point mass, to be spherically symmetric and having a global ocean spread out over the entire surface of the Earth of area \(A_{\mathrm E}=5.10\times10^{14}\ \mathrm{m^2}\). All effects of rotation of the Earth may be neglected.

Data sheet: Table of physical parameters

Official English text of the problem.

Einleitung

Diese Aufgabe behandelt die Physik des grönländischen Eisschilds, des zweitgrößten Gletschers der Welt, Abb. 3.1(a). Als Idealisierung wird Grönland als rechteckige Insel der Breite \(2L\) und der Länge \(5L\) modelliert, deren Untergrund auf Meereshöhe liegt und vollständig von inkompressiblem Eis (konstante Dichte \(\rho_{\mathrm{ice}}\)) bedeckt ist, siehe Abb. 3.1(b). Das Höhenprofil \(H(x)\) des Eisschilds hängt nicht von der \(y\)-Koordinate ab und steigt von null an den Küsten \(x=\pm L\) bis zu einer maximalen Höhe \(H_{\mathrm m}\) entlang der mittleren Nord-Süd-Achse (der \(y\)-Achse) an, die als Eisscheide bezeichnet wird, siehe Abb. 3.1(c).

Abbildung 3.1 (a) Eine Karte Grönlands mit der Ausdehnung des Eisschilds (weiß), den eisfreien Küstenregionen (grün) und dem umgebenden Ozean (blau). (b) Das grobe Modell des grönländischen Eisschilds, der eine rechteckige Fläche in der \(xy\)-Ebene mit den Seitenlängen \(2L\) und \(5L\) bedeckt. Die Eisscheide, die Linie der maximalen Eisschildhöhe \(H_{\mathrm m}\), verläuft entlang der \(y\)-Achse. (c) Ein vertikaler Schnitt (\(xz\)-Ebene) durch den Eisschild mit dem Höhenprofil \(H(x)\) (blaue Linie). \(H(x)\) ist für \(0<y<5L\) unabhängig von der \(y\)-Koordinate, fällt jedoch bei \(y=0\) und \(y=5L\) abrupt auf null ab. Die \(z\)-Achse kennzeichnet die Lage der Eisscheide. Zur besseren Übersicht sind die vertikalen Abmessungen gegenüber den horizontalen überhöht dargestellt. Die Dichte \(\rho_{\mathrm{ice}}\) des Eises ist konstant.

Zwei nützliche Formeln

In dieser Aufgabe kann das folgende Integral verwendet werden:

\[ \int_0^1\sqrt{1-x}\,\mathrm dx=\frac23 \]

sowie die Näherung \((1+x)^\alpha\approx1+\alpha x\), die für \(|\alpha x|\ll1\) gilt.

Das Höhenprofil des Eisschilds

Auf kurzen Zeitskalen ist der Gletscher ein inkompressibles hydrostatisches System mit festem Höhenprofil \(H(x)\).

Betrachten Sie eine vertikale Scheibe des Eisschilds im Gleichgewicht, die eine kleine horizontale Grundfläche \(\Delta x\Delta y\) zwischen \(x\) und \(x+\Delta x\) bedeckt, siehe die roten gestrichelten Linien in Abb. 3.1(c). Die Größe von \(\Delta y\) spielt keine Rolle. Die resultierende horizontale Kraftkomponente \(\Delta F\) auf die beiden vertikalen Seitenflächen der Scheibe, die aus dem Höhenunterschied zwischen ihrer dem Zentrum zugewandten und ihrer der Küste zugewandten Seite entsteht, wird durch eine Reibungskraft \(\Delta F=S_{\mathrm b}\Delta x\Delta y\) ausgeglichen, die der Untergrund auf die Grundfläche \(\Delta x\Delta y\) ausübt, wobei \(S_{\mathrm b}=100\ \mathrm{kPa}\) ist.

Ein dynamischer Eisschild

Auf längeren Zeitskalen ist das Eis eine viskose inkompressible Flüssigkeit, die unter dem Einfluss der Schwerkraft vom zentralen Bereich zur Küste fließt. In diesem Modell behält das Eis sein Höhenprofil \(H(x)\) in einem stationären Zustand bei, in dem die Akkumulation von Eis durch Schneefall im zentralen Bereich durch das Abschmelzen an der Küste ausgeglichen wird. Treffen Sie zusätzlich zur Geometrie des Eisschilds aus Abb. 3.1(b) und (c) die folgenden Modellannahmen:

1) Das Eis fließt in der \(xz\)-Ebene von der Eisscheide (der \(y\)-Achse) weg. 2) Die Akkumulationsrate \(c\) (m/Jahr) im zentralen Bereich ist konstant. 3) Das Eis kann den Gletscher nur durch Abschmelzen nahe den Küsten bei \(x=\pm L\) verlassen. 4) Die horizontale (\(x\)-)Komponente \(v_x(x)=\mathrm dx/\mathrm dt\) der Fließgeschwindigkeit des Eises ist unabhängig von \(z\). 5) Die vertikale (\(z\)-)Komponente \(v_z(z)=\mathrm dz/\mathrm dt\) der Fließgeschwindigkeit des Eises ist unabhängig von \(x\).

Betrachten Sie nur den zentralen Bereich \(|x|\ll L\) nahe der Mitte des Eisschilds, in dem die Höhenänderungen des Eisschilds sehr klein sind und vollständig vernachlässigt werden können, d. h. \(H(x)\approx H_{\mathrm m}\).

Aus der Annahme der Inkompressibilität, d. h. der konstanten Dichte \(\rho_{\mathrm{ice}}\) des Eises, folgt, dass die Massenerhaltung die folgende Bedingung für die Komponenten der Fließgeschwindigkeit des Eises verlangt:

\[ \frac{\mathrm dv_x}{\mathrm dx}+\frac{\mathrm dv_z}{\mathrm dz}=0. \]

Ein kleines Eisteilchen, das sich anfangs an der Oberfläche an der Position \((x_i,H_{\mathrm m})\) befindet, bewegt sich im Laufe der Zeit als Teil des Eisschilds entlang einer Bahnkurve \(z(x)\) in der vertikalen \(xz\)-Ebene.

Alter und Klimaindikatoren im dynamischen Eisschild

Anhand der Komponenten \(v_x(x)\) und \(v_z(z)\) der Fließgeschwindigkeit des Eises lässt sich das Alter \(\tau(z)\) des Eises in einer bestimmten Tiefe \(H_{\mathrm m}-z\) unter der Oberfläche des Eisschilds abschätzen.

Eine Eiskernbohrung im Inneren des grönländischen Eisschilds durchdringt Schneeschichten aus der Vergangenheit, und der Eiskern kann untersucht werden, um vergangene Klimaveränderungen zu erschließen. Einer der besten Indikatoren ist das sogenannte \(\delta^{18}\mathrm O\), das wie folgt definiert ist:

\[ \delta^{18}\mathrm O =\frac{R_{\mathrm{ice}}-R_{\mathrm{ref}}}{R_{\mathrm{ref}}}\,1000\ \text{‰}, \]

wobei \(R=[{}^{18}\mathrm O]/[{}^{16}\mathrm O]\) das Häufigkeitsverhältnis der beiden stabilen Sauerstoffisotope \({}^{18}\mathrm O\) und \({}^{16}\mathrm O\) bezeichnet. Der Referenzwert \(R_{\mathrm{ref}}\) beruht auf der Isotopenzusammensetzung der Ozeane in der Äquatorregion.

Abbildung 3.2 (a) Beobachteter Zusammenhang zwischen \(\delta^{18}\mathrm O\) im Schnee und der mittleren jährlichen Oberflächentemperatur \(T\). (b) Messwerte von \(\delta^{18}\mathrm O\) in Abhängigkeit von der Tiefe \(H_{\mathrm m}-z\) unter der Oberfläche, gewonnen aus einem Eiskern, der an einer bestimmten Stelle entlang der grönländischen Eisscheide mit \(H_{\mathrm m}=3060\ \mathrm m\) von der Oberfläche bis zum Felsuntergrund erbohrt wurde.

Beobachtungen am grönländischen Eisschild zeigen, dass sich \(\delta^{18}\mathrm O\) im Schnee annähernd linear mit der Temperatur ändert, Abb. 3.2(a). Unter der Annahme, dass dies schon immer der Fall war, ermöglicht das aus einem Eiskern in der Tiefe \(H_{\mathrm m}-z\) bestimmte \(\delta^{18}\mathrm O\) eine Abschätzung der Temperatur \(T\) in der Nähe Grönlands vor \(\tau(z)\) Jahren.

Messungen von \(\delta^{18}\mathrm O\) in einem 3060 m langen grönländischen Eiskern zeigen in einer Tiefe von 1492 m eine abrupte Änderung von \(\delta^{18}\mathrm O\), Abb. 3.2(b), die das Ende der letzten Eiszeit markiert. Die Eiszeit begann vor 120.000 Jahren, was einer Tiefe von 3040 m entspricht, und die gegenwärtige Warmzeit begann vor 11.700 Jahren, was einer Tiefe von 1492 m entspricht. Nehmen Sie an, dass diese beiden Zeiträume durch zwei unterschiedliche Akkumulationsraten, \(c_{\mathrm{ia}}\) (Eiszeit) beziehungsweise \(c_{\mathrm{ig}}\) (Warmzeit), beschrieben werden können. Sie können annehmen, dass \(H_{\mathrm m}\) während dieser gesamten 120.000 Jahre konstant war.

Meeresspiegelanstieg durch das Abschmelzen des grönländischen Eisschilds

Ein vollständiges Abschmelzen des grönländischen Eisschilds wird einen Anstieg des Meeresspiegels im Weltmeer verursachen. Als grobe Abschätzung dieses Meeresspiegelanstiegs kann man einfach einen gleichmäßigen Anstieg im gesamten Weltmeer mit konstanter Fläche \(A_{\mathrm O}=3.61\times10^{14}\ \mathrm{m^2}\) betrachten.

Der massereiche grönländische Eisschild übt eine Gravitationsanziehung auf den umgebenden Ozean aus. Wenn der Eisschild schmilzt, entfällt diese lokale Anhebung des Meeresspiegels, und der Meeresspiegel in der Nähe Grönlands sinkt. Dieser Effekt wirkt dem oben berechneten Meeresspiegelanstieg teilweise entgegen.

Um die Größe dieser Gravitationsanziehung auf das Wasser abzuschätzen, wird der grönländische Eisschild nun als Punktmasse auf Höhe des Untergrunds modelliert, deren Masse gleich der Gesamtmasse des grönländischen Eisschilds ist. Kopenhagen liegt entlang der Erdoberfläche in einer Entfernung von 3500 km vom Zentrum der Punktmasse. Die Erde ohne die Punktmasse kann als kugelsymmetrisch betrachtet werden, mit einem globalen Ozean, der die gesamte Erdoberfläche mit der Fläche \(A_{\mathrm E}=5.10\times10^{14}\ \mathrm{m^2}\) bedeckt. Alle Auswirkungen der Erdrotation können vernachlässigt werden.

Datenblatt: Tabelle physikalischer Größen

Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt.

Giriş

Bu soru, dünyanın en büyük ikinci buzulu olan Grönland buz örtüsünün fiziğiyle ilgilidir, Şekil 3.1(a). İdealleştirilmiş bir modelde Grönland, genişliği \(2L\), uzunluğu \(5L\) olan, zemini deniz seviyesinde bulunan ve tamamı sıkıştırılamaz buzla (sabit yoğunluk \(\rho_{\mathrm{ice}}\)) kaplı dikdörtgen bir ada olarak ele alınır; bkz. Şekil 3.1(b). Buz örtüsünün yükseklik profili \(H(x)\), \(y\) koordinatına bağlı değildir ve \(x=\pm L\) kıyılarında sıfırdan başlayarak, buz bölümü çizgisi olarak bilinen ortadaki kuzey-güney ekseni (\(y\) ekseni) boyunca en büyük yüksekliği olan \(H_{\mathrm m}\)'ye ulaşır; bkz. Şekil 3.1(c).

Şekil 3.1 (a) Buz örtüsünün kapladığı alanı (beyaz), buzla kaplı olmayan kıyı bölgelerini (yeşil) ve çevresindeki okyanusu (mavi) gösteren Grönland haritası. (b) Grönland buz örtüsünün, \(xy\) düzleminde kenar uzunlukları \(2L\) ve \(5L\) olan dikdörtgen bir alanı kapladığı kaba model. Buz örtüsünün yüksekliğinin en büyük değeri \(H_{\mathrm m}\)'yi aldığı buz bölümü çizgisi, \(y\) ekseni boyunca uzanır. (c) Buz örtüsünün yükseklik profilini \(H(x)\) (mavi çizgi) gösteren düşey kesit (\(xz\) düzlemi). \(H(x)\), \(0<y<5L\) için \(y\) koordinatından bağımsızdır; \(y=0\) ve \(y=5L\)'de ise aniden sıfıra düşer. \(z\) ekseni, buz bölümü çizgisinin konumunu gösterir. Daha açık görülebilmesi için düşey boyutlar yatay boyutlara göre büyütülmüştür. Buzun yoğunluğu \(\rho_{\mathrm{ice}}\) sabittir.

İki yararlı formül

Bu soruda şu integralden yararlanabilirsiniz:

\[ \int_0^1\sqrt{1-x}\,\mathrm dx=\frac23 \]

ve \((1+x)^\alpha\approx1+\alpha x\) yaklaşımını kullanabilirsiniz; bu yaklaşım \(|\alpha x|\ll1\) için geçerlidir.

Buz örtüsünün yükseklik profili

Kısa zaman ölçeklerinde buzul, yükseklik profili \(H(x)\) sabit olan sıkıştırılamaz bir hidrostatik sistemdir.

Buz örtüsünün dengede bulunan ve \(x\) ile \(x+\Delta x\) arasında küçük bir yatay taban alanı \(\Delta x\Delta y\)'yi kaplayan düşey bir dilimini ele alınız; bkz. Şekil 3.1(c)'deki kırmızı kesikli çizgiler. \(\Delta y\)'nin büyüklüğü önemli değildir. Dilimin merkeze bakan tarafı ile kıyıya bakan tarafı arasındaki yükseklik farkından kaynaklanan, iki düşey yüzüne etkiyen net yatay kuvvet bileşeni \(\Delta F\), zeminin \(\Delta x\Delta y\) taban alanına uyguladığı \(\Delta F=S_{\mathrm b}\Delta x\Delta y\) sürtünme kuvvetiyle dengelenir; burada \(S_{\mathrm b}=100\ \mathrm{kPa}\)'dır.

Dinamik bir buz örtüsü

Daha uzun zaman ölçeklerinde buz, kütleçekimi etkisiyle orta bölgeden kıyıya doğru akan, viskoz ve sıkıştırılamaz bir akışkandır. Bu modelde buz, orta bölgede kar yağışından kaynaklanan buz birikiminin kıyıdaki erimeyle dengelendiği kararlı durumda yükseklik profilini \(H(x)\) korur. Şekil 3.1(b) ve (c)'deki buz örtüsü geometrisine ek olarak model için aşağıdaki varsayımları yapınız:

1) Buz, \(xz\) düzleminde buz bölümü çizgisinden (\(y\) ekseninden) uzaklaşacak biçimde akar. 2) Orta bölgedeki birikim hızı \(c\) (m/yıl) sabittir. 3) Buz, buzuldan yalnızca \(x=\pm L\) kıyılarının yakınında eriyerek ayrılabilir. 4) Buzun akış hızının yatay (\(x\)) bileşeni \(v_x(x)=\mathrm dx/\mathrm dt\), \(z\)'den bağımsızdır. 5) Buzun akış hızının düşey (\(z\)) bileşeni \(v_z(z)=\mathrm dz/\mathrm dt\), \(x\)'ten bağımsızdır.

Yalnızca buz örtüsünün ortasına yakın, yükseklik değişimlerinin çok küçük olduğu ve tamamen ihmal edilebildiği, yani \(H(x)\approx H_{\mathrm m}\) olan \(|x|\ll L\) merkez bölgesini ele alınız.

Sıkıştırılamazlık, yani buzun yoğunluğunun \(\rho_{\mathrm{ice}}\) sabit olması varsayımından, kütlenin korunumunun buzun akış hızı bileşenlerine şu kısıtı getirdiği sonucu çıkar:

\[ \frac{\mathrm dv_x}{\mathrm dx}+\frac{\mathrm dv_z}{\mathrm dz}=0. \]

Başlangıçta yüzeyde \((x_i,H_{\mathrm m})\) konumunda bulunan küçük bir buz parçacığı, zaman geçtikçe buz örtüsünün bir parçası olarak düşey \(xz\) düzlemindeki bir akış yörüngesi \(z(x)\) boyunca hareket eder.

Dinamik buz örtüsünde yaş ve iklim göstergeleri

Buzun akış hızı bileşenleri \(v_x(x)\) ve \(v_z(z)\) kullanılarak, buz örtüsünün yüzeyinden belirli bir \(H_{\mathrm m}-z\) derinliğindeki buzun yaşı \(\tau(z)\) tahmin edilebilir.

Grönland buz örtüsünün iç kesimlerinde sondajla alınan bir buz karotu geçmişten kalan kar katmanlarını içerir ve bu karot analiz edilerek geçmiş iklim değişiklikleri ortaya çıkarılabilir. En iyi göstergelerden biri, şu şekilde tanımlanan \(\delta^{18}\mathrm O\) değeridir:

\[ \delta^{18}\mathrm O =\frac{R_{\mathrm{ice}}-R_{\mathrm{ref}}}{R_{\mathrm{ref}}}\,1000\ \text{‰}, \]

burada \(R=[{}^{18}\mathrm O]/[{}^{16}\mathrm O]\), oksijenin iki kararlı izotopu olan \({}^{18}\mathrm O\) ve \({}^{16}\mathrm O\)'nun göreli bolluğunu belirtir. Referans değeri \(R_{\mathrm{ref}}\), Ekvator çevresindeki okyanusların izotop bileşimine dayanır.

Şekil 3.2 (a) Kardaki \(\delta^{18}\mathrm O\) ile yıllık ortalama yüzey sıcaklığı \(T\) arasında gözlenen ilişki. (b) Grönland buz bölümü çizgisi üzerinde \(H_{\mathrm m}=3060\ \mathrm m\) olan belirli bir yerde yüzeyden ana kayaya kadar sondajla alınmış bir buz karotunda, yüzeyden derinlik \(H_{\mathrm m}-z\)'ye bağlı \(\delta^{18}\mathrm O\) ölçümleri.

Grönland buz örtüsündeki gözlemler, kardaki \(\delta^{18}\mathrm O\)'nun sıcaklıkla yaklaşık olarak doğrusal değiştiğini göstermektedir, Şekil 3.2(a). Bunun her zaman böyle olduğu varsayılırsa, bir buz karotunun \(H_{\mathrm m}-z\) derinliğinden elde edilen \(\delta^{18}\mathrm O\), \(\tau(z)\) yaşına karşılık gelen dönemde Grönland yakınındaki sıcaklık \(T\)'nin tahmin edilmesini sağlar.

Grönland'dan alınan 3060 m uzunluğundaki bir buz karotunda yapılan \(\delta^{18}\mathrm O\) ölçümleri, 1492 m derinlikte \(\delta^{18}\mathrm O\)'da son buzul çağının bitişini gösteren ani bir değişim ortaya koymaktadır, Şekil 3.2(b). Buzul çağı 120,000 yıl önce başlamıştır ve bu, 3040 m derinliğe karşılık gelir; günümüzdeki buzullar arası çağ ise 11,700 yıl önce başlamıştır ve bu, 1492 m derinliğe karşılık gelir. Bu iki dönemin sırasıyla iki farklı birikim hızı, \(c_{\mathrm{ia}}\) (buzul çağı) ve \(c_{\mathrm{ig}}\) (buzullar arası çağ) ile betimlenebildiğini varsayınız. Bu 120,000 yıl boyunca \(H_{\mathrm m}\)'nin sabit kaldığını varsayabilirsiniz.

Grönland buz örtüsünün erimesinden kaynaklanan deniz seviyesi yükselmesi

Grönland buz örtüsünün tamamen erimesi, dünya okyanuslarında deniz seviyesinin yükselmesine yol açacaktır. Bu deniz seviyesi yükselmesini kabaca tahmin etmek için, alanı sabit ve \(A_{\mathrm O}=3.61\times10^{14}\ \mathrm{m^2}\) olan dünya okyanuslarının tamamında aynı miktarda bir yükselme olduğu düşünülebilir.

Grönland'ın büyük kütleli buz örtüsü, çevresindeki okyanusa kütleçekim kuvveti uygular. Buz örtüsü erirse bu yerel su kabarması ortadan kalkar ve Grönland yakınında deniz seviyesi düşer; bu etki, yukarıda hesaplanan deniz seviyesi yükselmesini kısmen dengeler.

Su üzerindeki bu kütleçekim kuvvetinin büyüklüğünü tahmin etmek için Grönland buz örtüsü şimdi zemin seviyesinde bulunan ve Grönland buz örtüsünün toplam kütlesine sahip bir noktasal kütle olarak modellenmektedir. Kopenhag, noktasal kütlenin merkezinden Dünya yüzeyi boyunca 3500 km uzaklıktadır. Noktasal kütle hariç tutulduğunda Dünya'nın küresel simetrik olduğu ve \(A_{\mathrm E}=5.10\times10^{14}\ \mathrm{m^2}\) alanlı tüm yüzeyine yayılmış bir küresel okyanusa sahip olduğu kabul edilebilir. Dünya'nın dönmesinin bütün etkileri ihmal edilebilir.

Veri sayfası: Fiziksel parametreler tablosu

Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir.

Introducción

Este problema trata sobre la física del manto de hielo de Groenlandia, el segundo glaciar más grande del mundo, Fig. 3.1(a). Como idealización, Groenlandia se modela como una isla rectangular de anchura \(2L\) y longitud \(5L\), con el suelo al nivel del mar y completamente cubierta de hielo incompresible (densidad constante \(\rho_{\mathrm{ice}}\)), véase la Fig. 3.1(b). El perfil de altura \(H(x)\) del manto de hielo no depende de la coordenada \(y\) y aumenta desde cero en las costas \(x=\pm L\) hasta una altura máxima \(H_{\mathrm m}\) a lo largo del eje central norte-sur (el eje \(y\)), conocido como la divisoria de hielo, véase la Fig. 3.1(c).

Figura 3.1 (a) Mapa de Groenlandia que muestra la extensión del manto de hielo (blanco), las regiones costeras libres de hielo (verde) y el océano circundante (azul). (b) Modelo simplificado del manto de hielo de Groenlandia que cubre un área rectangular en el plano \(xy\), con lados de longitudes \(2L\) y \(5L\). La divisoria de hielo, la línea de altura máxima del manto de hielo \(H_{\mathrm m}\), discurre a lo largo del eje \(y\). (c) Corte vertical (plano \(xz\)) del manto de hielo que muestra el perfil de altura \(H(x)\) (línea azul). \(H(x)\) es independiente de la coordenada \(y\) para \(0<y<5L\), mientras que desciende bruscamente a cero en \(y=0\) e \(y=5L\). El eje \(z\) marca la posición de la divisoria de hielo. Por claridad, las dimensiones verticales se han ampliado con respecto a las horizontales. La densidad \(\rho_{\mathrm{ice}}\) del hielo es constante.

Dos fórmulas útiles

En este problema se puede utilizar la integral:

\[ \int_0^1\sqrt{1-x}\,\mathrm dx=\frac23 \]

y la aproximación \((1+x)^\alpha\approx1+\alpha x\), válida para \(|\alpha x|\ll1\).

El perfil de altura del manto de hielo

En escalas de tiempo cortas, el glaciar es un sistema hidrostático incompresible con un perfil de altura fijo \(H(x)\).

Considere una porción vertical del manto de hielo en equilibrio, que cubre una pequeña área horizontal de base \(\Delta x\Delta y\) entre \(x\) y \(x+\Delta x\), véanse las líneas rojas discontinuas de la Fig. 3.1(c). El valor de \(\Delta y\) no importa. La componente horizontal neta de la fuerza \(\Delta F\) sobre las dos caras verticales de la porción, debida a la diferencia de altura entre la cara orientada hacia el centro y la orientada hacia la costa, se equilibra con una fuerza de rozamiento \(\Delta F=S_{\mathrm b}\Delta x\Delta y\) ejercida por el suelo sobre el área de base \(\Delta x\Delta y\), donde \(S_{\mathrm b}=100\ \mathrm{kPa}\).

Un manto de hielo dinámico

En una escala de tiempo más larga, el hielo es un fluido viscoso incompresible que fluye por gravedad desde la zona central hacia la costa. En este modelo, el hielo mantiene su perfil de altura \(H(x)\) en un estado estacionario, en el que la acumulación de hielo debida a las nevadas en la región central se equilibra con la fusión en la costa. Además de la geometría del manto de hielo de las Figs. 3.1(b) y (c), adopte las siguientes hipótesis del modelo:

1) El hielo fluye en el plano \(xz\) alejándose de la divisoria de hielo (el eje \(y\)). 2) La tasa de acumulación \(c\) (m/año) en la región central es constante. 3) El hielo solo puede salir del glaciar por fusión cerca de las costas en \(x=\pm L\). 4) La componente horizontal (\(x\)) \(v_x(x)=\mathrm dx/\mathrm dt\) de la velocidad de flujo del hielo es independiente de \(z\). 5) La componente vertical (\(z\)) \(v_z(z)=\mathrm dz/\mathrm dt\) de la velocidad de flujo del hielo es independiente de \(x\).

Considere únicamente la región central \(|x|\ll L\), próxima al centro del manto de hielo, donde las variaciones de altura del manto de hielo son muy pequeñas y pueden despreciarse por completo, es decir, \(H(x)\approx H_{\mathrm m}\).

De la hipótesis de incompresibilidad, es decir, de la densidad constante \(\rho_{\mathrm{ice}}\) del hielo, se deduce que la conservación de la masa impone la siguiente restricción a las componentes de la velocidad de flujo del hielo

\[ \frac{\mathrm dv_x}{\mathrm dx}+\frac{\mathrm dv_z}{\mathrm dz}=0. \]

Una pequeña partícula de hielo situada inicialmente en la superficie, en la posición \((x_i,H_{\mathrm m})\), se desplazará con el tiempo como parte del manto de hielo siguiendo una trayectoria de flujo \(z(x)\) en el plano vertical \(xz\).

Edad e indicadores climáticos en el manto de hielo dinámico

A partir de las componentes de la velocidad de flujo del hielo \(v_x(x)\) y \(v_z(z)\), se puede estimar la edad \(\tau(z)\) del hielo a una profundidad determinada \(H_{\mathrm m}-z\) bajo la superficie del manto de hielo.

Un testigo de hielo extraído mediante perforación en el interior del manto de hielo de Groenlandia atravesará capas de nieve del pasado, y su análisis permite revelar cambios climáticos pasados. Uno de los mejores indicadores es el denominado \(\delta^{18}\mathrm O\), definido como

\[ \delta^{18}\mathrm O =\frac{R_{\mathrm{ice}}-R_{\mathrm{ref}}}{R_{\mathrm{ref}}}\,1000\ \text{‰}, \]

donde \(R=[{}^{18}\mathrm O]/[{}^{16}\mathrm O]\) denota la abundancia relativa de los dos isótopos estables \({}^{18}\mathrm O\) y \({}^{16}\mathrm O\) del oxígeno. La referencia \(R_{\mathrm{ref}}\) se basa en la composición isotópica de los océanos alrededor del ecuador.

Figura 3.2 (a) Relación observada entre \(\delta^{18}\mathrm O\) en la nieve y la temperatura media anual de la superficie \(T\). (b) Mediciones de \(\delta^{18}\mathrm O\) en función de la profundidad \(H_{\mathrm m}-z\) bajo la superficie, obtenidas de un testigo de hielo extraído mediante perforación desde la superficie hasta el lecho rocoso en un lugar concreto de la divisoria de hielo de Groenlandia donde \(H_{\mathrm m}=3060\ \mathrm m\).

Las observaciones del manto de hielo de Groenlandia muestran que \(\delta^{18}\mathrm O\) en la nieve varía de forma aproximadamente lineal con la temperatura, Fig. 3.2(a). Suponiendo que siempre haya sido así, el valor de \(\delta^{18}\mathrm O\) obtenido de un testigo de hielo a una profundidad \(H_{\mathrm m}-z\) permite estimar la temperatura \(T\) cerca de Groenlandia en la época correspondiente a la edad \(\tau(z)\).

Las mediciones de \(\delta^{18}\mathrm O\) en un testigo de hielo de Groenlandia de 3060 m de longitud muestran un cambio brusco de \(\delta^{18}\mathrm O\) a una profundidad de 1492 m, Fig. 3.2(b), que marca el final del último período glacial. El período glacial comenzó hace 120 000 años, lo que corresponde a una profundidad de 3040 m, y el período interglacial actual comenzó hace 11 700 años, lo que corresponde a una profundidad de 1492 m. Suponga que estos dos períodos pueden describirse mediante dos tasas de acumulación diferentes, \(c_{\mathrm{ia}}\) (período glacial) y \(c_{\mathrm{ig}}\) (período interglacial), respectivamente. Puede suponer que \(H_{\mathrm m}\) se mantuvo constante durante estos 120 000 años.

Aumento del nivel del mar debido a la fusión del manto de hielo de Groenlandia

La fusión completa del manto de hielo de Groenlandia provocará un aumento del nivel del mar en el océano global. Como estimación aproximada de este aumento del nivel del mar, se puede considerar simplemente una subida uniforme en todo un océano global de área constante \(A_{\mathrm O}=3.61\times10^{14}\ \mathrm{m^2}\).

El enorme manto de hielo de Groenlandia ejerce una atracción gravitatoria sobre el océano circundante. Si el manto de hielo se funde, esta elevación local de la marea desaparece y el nivel del mar descenderá cerca de Groenlandia, un efecto que contrarresta parcialmente el aumento del nivel del mar calculado anteriormente.

Para estimar la magnitud de esta atracción gravitatoria sobre el agua, el manto de hielo de Groenlandia se modela ahora como una masa puntual situada al nivel del suelo y cuya masa es la masa total del manto de hielo de Groenlandia. Copenhague se encuentra a una distancia de 3500 km, medida a lo largo de la superficie terrestre, del centro de la masa puntual. Se puede considerar que la Tierra, sin la masa puntual, tiene simetría esférica y un océano global extendido sobre toda su superficie, de área \(A_{\mathrm E}=5.10\times10^{14}\ \mathrm{m^2}\). Se pueden despreciar todos los efectos de la rotación terrestre.

Hoja de datos: tabla de parámetros físicos

Enunciado traducido del texto oficial en inglés.

引言

本题研究格陵兰冰盖的物理性质。它是世界第二大冰川，如图 3.1(a) 所示。作为理想化处理，将格陵兰岛建模为一个宽为 \(2L\)、长为 \(5L\) 的矩形岛屿，其地面位于海平面上，并完全被不可压缩的冰（密度 \(\rho_{\mathrm{ice}}\) 为常量）覆盖，见图 3.1(b)。冰盖的高度剖面 \(H(x)\) 与 \(y\) 坐标无关，从海岸 \(x=\pm L\) 处的零高度逐渐增大，在中央南北轴线（\(y\) 轴）上达到最大高度 \(H_{\mathrm m}\)。这条轴线称为冰分水岭，见图 3.1(c)。

图 3.1 (a) 格陵兰地图，显示了冰盖的范围（白色）、无冰的沿海地区（绿色）和周围的海洋（蓝色）。(b) 格陵兰冰盖的粗略模型：冰盖覆盖 \(xy\) 平面内一个边长为 \(2L\) 和 \(5L\) 的矩形区域。冰分水岭，即冰盖高度达到最大值 \(H_{\mathrm m}\) 的连线，沿 \(y\) 轴延伸。(c) 冰盖的竖直截面（\(xz\) 平面），显示其高度剖面 \(H(x)\)（蓝线）。在 \(0<y<5L\) 范围内，\(H(x)\) 与 \(y\) 坐标无关，而在 \(y=0\) 和 \(y=5L\) 处高度突然降为零。\(z\) 轴标示冰分水岭的位置。为使图示清晰，竖直尺寸相对于水平尺寸作了放大。冰的密度 \(\rho_{\mathrm{ice}}\) 为常量。

两个有用的公式

本题中可以使用以下积分：

\[ \int_0^1\sqrt{1-x}\,\mathrm dx=\frac23 \]

以及在 \(|\alpha x|\ll1\) 时成立的近似式 \((1+x)^\alpha\approx1+\alpha x\)。

冰盖的高度剖面

在较短的时间尺度上，冰川是一个不可压缩的流体静力学系统，具有固定的高度剖面 \(H(x)\)。

考虑冰盖中处于平衡状态的一块竖直薄片，其底面为位于 \(x\) 与 \(x+\Delta x\) 之间的小水平面积 \(\Delta x\Delta y\)，见图 3.1(c) 中的红色虚线。\(\Delta y\) 的大小无关紧要。由于薄片靠近中心的一侧与靠近海岸的一侧高度不同，两个竖直侧面上的合力具有水平分量 \(\Delta F\)。地面对底面积 \(\Delta x\Delta y\) 施加的摩擦力 \(\Delta F=S_{\mathrm b}\Delta x\Delta y\) 与之平衡，其中 \(S_{\mathrm b}=100\ \mathrm{kPa}\)。

流动的冰盖

在较长的时间尺度上，冰是一种黏性不可压缩流体，在重力作用下从中央区域流向海岸。在此模型中，冰盖处于稳态，其高度剖面 \(H(x)\) 保持不变，中央区域降雪所导致的冰积累与海岸处的融化相平衡。除采用图 3.1(b) 和 (c) 中的冰盖几何形状外，还作以下模型假设：

1) 冰在 \(xz\) 平面内流动，远离冰分水岭（\(y\) 轴）。 2) 中央区域的积累速率 \(c\)（米/年）为常量。 3) 冰只能通过在 \(x=\pm L\) 处的海岸附近融化而离开冰川。 4) 冰流速度的水平（\(x\) 方向）分量 \(v_x(x)=\mathrm dx/\mathrm dt\) 与 \(z\) 无关。 5) 冰流速度的竖直（\(z\) 方向）分量 \(v_z(z)=\mathrm dz/\mathrm dt\) 与 \(x\) 无关。

只考虑靠近冰盖中部的中央区域 \(|x|\ll L\)，此处冰盖的高度变化很小，可以完全忽略，即 \(H(x)\approx H_{\mathrm m}\)。

由不可压缩假设，即冰的密度 \(\rho_{\mathrm{ice}}\) 为常量，可知质量守恒要求冰流速度分量满足以下约束：

\[ \frac{\mathrm dv_x}{\mathrm dx}+\frac{\mathrm dv_z}{\mathrm dz}=0. \]

一个初始位于表面位置 \((x_i,H_{\mathrm m})\) 的微小冰粒，随着时间推移，将作为冰盖的一部分，沿竖直 \(xz\) 平面内的流动轨迹 \(z(x)\) 运动。

流动冰盖中的冰龄与气候指标

根据冰流速度分量 \(v_x(x)\) 和 \(v_z(z)\)，可以估算距冰盖表面某一深度 \(H_{\mathrm m}-z\) 处的冰龄 \(\tau(z)\)。

在格陵兰冰盖内部钻取的冰芯会穿过过去形成的积雪层，对冰芯进行分析可以揭示过去的气候变化。其中最好的指标之一是所谓的 \(\delta^{18}\mathrm O\)，其定义为

\[ \delta^{18}\mathrm O =\frac{R_{\mathrm{ice}}-R_{\mathrm{ref}}}{R_{\mathrm{ref}}}\,1000\ \text{‰}, \]

其中，\(R=[{}^{18}\mathrm O]/[{}^{16}\mathrm O]\) 表示氧的两种稳定同位素 \({}^{18}\mathrm O\) 与 \({}^{16}\mathrm O\) 的相对丰度比。参考值 \(R_{\mathrm{ref}}\) 以赤道附近海洋的同位素组成为依据。

图 3.2 (a) 观测到的雪中 \(\delta^{18}\mathrm O\) 与年平均地表温度 \(T\) 之间的关系。(b) \(\delta^{18}\mathrm O\) 随距表面深度 \(H_{\mathrm m}-z\) 变化的测量结果，取自沿格陵兰冰分水岭某处从表面一直钻至基岩的冰芯，该处 \(H_{\mathrm m}=3060\ \mathrm m\)。

对格陵兰冰盖的观测表明，雪中的 \(\delta^{18}\mathrm O\) 随温度近似线性变化，如图 3.2(a) 所示。假设这种关系始终成立，则由冰芯深度 \(H_{\mathrm m}-z\) 处获得的 \(\delta^{18}\mathrm O\)，可以估算距今 \(\tau(z)\) 时格陵兰附近的温度 \(T\)。

对一根长 3060 米的格陵兰冰芯进行的 \(\delta^{18}\mathrm O\) 测量表明，在深度 1492 米处，\(\delta^{18}\mathrm O\) 发生突变，如图 3.2(b) 所示，标志着末次冰期的结束。该冰期开始于 120,000 年前，对应深度为 3040 米；当前的间冰期开始于 11,700 年前，对应深度为 1492 米。假设这两个时期可分别用两个不同的积累速率 \(c_{\mathrm{ia}}\)（冰期）和 \(c_{\mathrm{ig}}\)（间冰期）描述。可以假设在这 120,000 年中，\(H_{\mathrm m}\) 始终保持不变。

格陵兰冰盖融化引起的海平面上升

格陵兰冰盖完全融化将导致全球海洋的海平面上升。为粗略估算海平面上升量，可以简单地认为，面积恒为 \(A_{\mathrm O}=3.61\times10^{14}\ \mathrm{m^2}\) 的全球海洋各处均匀上升。

质量巨大的格陵兰冰盖对周围海洋施加引力。如果冰盖融化，这种局部的海面隆起将消失，格陵兰附近的海平面会下降，从而部分抵消上面计算的海平面上升。

为了估算这种对海水的引力大小，现在将格陵兰冰盖建模为一个位于地面高度的质点，其质量等于格陵兰冰盖的总质量。哥本哈根沿地球表面距该质点中心的距离为 3500 千米。可以认为，除去该质点后的地球具有球对称性，并且全球海洋覆盖整个地球表面，面积为 \(A_{\mathrm E}=5.10\times10^{14}\ \mathrm{m^2}\)。可以忽略地球自转的所有影响。

数据表：物理参数表

题目译自官方英文原文。

Введение

Эта задача посвящена физике Гренландского ледникового щита — второго по величине ледника в мире, рис. 3.1(a). В идеализированной модели Гренландия представляет собой прямоугольный остров шириной \(2L\) и длиной \(5L\), поверхность суши которого находится на уровне моря и полностью покрыта несжимаемым льдом (с постоянной плотностью \(\rho_{\mathrm{ice}}\)), см. рис. 3.1(b). Профиль высоты \(H(x)\) ледникового щита не зависит от координаты \(y\); высота увеличивается от нуля у берегов \(x=\pm L\) до максимальной высоты \(H_{\mathrm m}\) вдоль центральной оси, направленной с севера на юг (оси \(y\)), которая называется ледоразделом, см. рис. 3.1(c).

Рисунок 3.1 (a) Карта Гренландии, на которой показаны ледниковый щит (белым), свободные ото льда прибрежные области (зелёным) и окружающий океан (синим). (b) Упрощённая модель Гренландского ледникового щита, покрывающего прямоугольную область в плоскости \(xy\) со сторонами \(2L\) и \(5L\). Ледораздел — линия максимальной высоты ледникового щита \(H_{\mathrm m}\) — проходит вдоль оси \(y\). (c) Вертикальный разрез (плоскость \(xz\)) ледникового щита, показывающий профиль высоты \(H(x)\) (синяя линия). \(H(x)\) не зависит от координаты \(y\) при \(0<y<5L\), но резко падает до нуля при \(y=0\) и \(y=5L\). Ось \(z\) отмечает положение ледораздела. Для наглядности вертикальные размеры увеличены по сравнению с горизонтальными. Плотность льда \(\rho_{\mathrm{ice}}\) постоянна.

Две полезные формулы

В этой задаче можно воспользоваться интегралом:

\[ \int_0^1\sqrt{1-x}\,\mathrm dx=\frac23 \]

и приближением \((1+x)^\alpha\approx1+\alpha x\), справедливым при \(|\alpha x|\ll1\).

Профиль высоты ледникового щита

На малых временны́х масштабах ледник представляет собой несжимаемую гидростатическую систему с неизменным профилем высоты \(H(x)\).

Рассмотрим находящийся в равновесии вертикальный слой ледникового щита с малой площадью горизонтального основания \(\Delta x\Delta y\), расположенный между \(x\) и \(x+\Delta x\), см. красные штриховые линии на рис. 3.1(c). Величина \(\Delta y\) не имеет значения. Результирующая горизонтальная составляющая силы \(\Delta F\), действующей на две вертикальные грани слоя и возникающей из-за разницы высот со стороны центра и со стороны берега, уравновешивается силой трения \(\Delta F=S_{\mathrm b}\Delta x\Delta y\), действующей со стороны грунта на основание площадью \(\Delta x\Delta y\), где \(S_{\mathrm b}=100\ \mathrm{kPa}\).

Динамика ледникового щита

На больших временны́х масштабах лёд представляет собой вязкую несжимаемую жидкость, которая под действием силы тяжести течёт из центральной части к берегу. В этой модели лёд сохраняет профиль высоты \(H(x)\) в стационарном состоянии, при котором накопление льда вследствие снегопадов в центральной области уравновешивается таянием у берега. В дополнение к геометрии ледникового щита, показанной на рис. 3.1(b) и (c), примите следующие модельные предположения:

1) Лёд течёт в плоскости \(xz\) в направлении от ледораздела (оси \(y\)). 2) Скорость накопления \(c\) (м/год) в центральной области постоянна. 3) Лёд может покидать ледник только за счёт таяния вблизи берегов при \(x=\pm L\). 4) Горизонтальная (\(x\)-)составляющая \(v_x(x)=\mathrm dx/\mathrm dt\) скорости течения льда не зависит от \(z\). 5) Вертикальная (\(z\)-)составляющая \(v_z(z)=\mathrm dz/\mathrm dt\) скорости течения льда не зависит от \(x\).

Рассматривайте только центральную область \(|x|\ll L\) вблизи середины ледникового щита, где изменения его высоты очень малы и ими можно полностью пренебречь, т. е. \(H(x)\approx H_{\mathrm m}\).

Из предположения о несжимаемости, т. е. о постоянстве плотности льда \(\rho_{\mathrm{ice}}\), следует, что закон сохранения массы накладывает следующее ограничение на составляющие скорости течения льда

\[ \frac{\mathrm dv_x}{\mathrm dx}+\frac{\mathrm dv_z}{\mathrm dz}=0. \]

Малая частица льда, первоначально находившаяся на поверхности в точке \((x_i,H_{\mathrm m})\), с течением времени будет перемещаться вместе с ледниковым щитом вдоль траектории \(z(x)\) в вертикальной плоскости \(xz\).

Возраст льда и климатические индикаторы в движущемся ледниковом щите

По составляющим скорости течения льда \(v_x(x)\) и \(v_z(z)\) можно оценить возраст \(\tau(z)\) льда на определённой глубине \(H_{\mathrm m}-z\) от поверхности ледникового щита.

Ледяной керн, полученный при бурении во внутренней части Гренландского ледникового щита, проходит через слои снега, выпавшего в прошлом; анализ керна позволяет выявить прошлые изменения климата. Одним из лучших индикаторов является так называемая величина \(\delta^{18}\mathrm O\), определяемая как

\[ \delta^{18}\mathrm O =\frac{R_{\mathrm{ice}}-R_{\mathrm{ref}}}{R_{\mathrm{ref}}}\,1000\ \text{‰}, \]

где \(R=[{}^{18}\mathrm O]/[{}^{16}\mathrm O]\) обозначает отношение содержаний двух стабильных изотопов кислорода \({}^{18}\mathrm O\) и \({}^{16}\mathrm O\). Эталонное значение \(R_{\mathrm{ref}}\) основано на изотопном составе океанов вблизи экватора.

Рисунок 3.2 (a) Наблюдаемая зависимость \(\delta^{18}\mathrm O\) в снеге от среднегодовой температуры поверхности \(T\). (b) Измеренные значения \(\delta^{18}\mathrm O\) в зависимости от глубины \(H_{\mathrm m}-z\) от поверхности для ледяного керна, полученного бурением от поверхности до коренного ложа в определённой точке Гренландского ледораздела, где \(H_{\mathrm m}=3060\ \mathrm m\).

Наблюдения на Гренландском ледниковом щите показывают, что \(\delta^{18}\mathrm O\) в снеге изменяется с температурой приблизительно линейно, рис. 3.2(a). Если предположить, что так было всегда, то значение \(\delta^{18}\mathrm O\), полученное из ледяного керна на глубине \(H_{\mathrm m}-z\), позволяет оценить температуру \(T\) вблизи Гренландии \(\tau(z)\) лет назад.

Измерения \(\delta^{18}\mathrm O\) в гренландском ледяном керне длиной 3060 м показывают резкое изменение \(\delta^{18}\mathrm O\) на глубине 1492 м, рис. 3.2(b), отмечающее конец последнего ледникового периода. Ледниковый период начался 120 000 лет назад, что соответствует глубине 3040 м, а нынешний межледниковый период начался 11 700 лет назад, что соответствует глубине 1492 м. Предположите, что эти два периода можно описать двумя различными скоростями накопления: \(c_{\mathrm{ia}}\) (ледниковый период) и \(c_{\mathrm{ig}}\) (межледниковый период) соответственно. Можно считать \(H_{\mathrm m}\) постоянной на протяжении этих 120 000 лет.

Повышение уровня моря вследствие таяния Гренландского ледникового щита

Полное таяние Гренландского ледникового щита приведёт к повышению уровня Мирового океана. Для грубой оценки этого повышения можно просто рассмотреть равномерный подъём уровня Мирового океана с постоянной площадью \(A_{\mathrm O}=3.61\times10^{14}\ \mathrm{m^2}\).

Массивный Гренландский ледниковый щит гравитационно притягивает воду окружающего океана. Если ледниковый щит растает, это локальное приливное повышение исчезнет и уровень моря вблизи Гренландии понизится; данный эффект частично компенсирует рассчитанное выше повышение уровня моря.

Чтобы оценить величину этого гравитационного притяжения воды, теперь представим Гренландский ледниковый щит точечной массой, расположенной на уровне грунта и равной полной массе Гренландского ледникового щита. Копенгаген расположен на расстоянии 3500 км по поверхности Земли от центра этой точечной массы. Землю без точечной массы можно считать сферически симметричной, а Мировой океан — покрывающим всю поверхность Земли площадью \(A_{\mathrm E}=5.10\times10^{14}\ \mathrm{m^2}\). Всеми эффектами вращения Земли можно пренебречь.

Справочные данные: таблица физических параметров

Условие переведено с официального английского текста.

مقدمة

تتناول هذه المسألة فيزياء الغطاء الجليدي في غرينلاند، وهو ثاني أكبر نهر جليدي في العالم، الشكل 3.1(a). وفي نموذج مثالي، تُمثَّل غرينلاند بجزيرة مستطيلة عرضها \(2L\) وطولها \(5L\)، تقع أرضها عند مستوى سطح البحر ويغطيها بالكامل جليد غير قابل للانضغاط (ذو كثافة ثابتة \(\rho_{\mathrm{ice}}\))، انظر الشكل 3.1(b). لا يعتمد منحنى ارتفاع الغطاء الجليدي \(H(x)\) على الإحداثي \(y\)، ويزداد الارتفاع من الصفر عند الساحلين \(x=\pm L\) إلى ارتفاع أعظمي \(H_{\mathrm m}\) على امتداد المحور الأوسط الممتد من الشمال إلى الجنوب (المحور \(y\))، والمعروف باسم خط تقسيم الجليد، انظر الشكل 3.1(c).

الشكل 3.1 (a) خريطة لغرينلاند تُبيّن امتداد الغطاء الجليدي (بالأبيض)، والمناطق الساحلية الخالية من الجليد (بالأخضر)، والمحيط المحيط بها (بالأزرق). (b) النموذج التقريبي للغطاء الجليدي في غرينلاند بوصفه يغطي مساحة مستطيلة في المستوى \(xy\)، طولا ضلعيها \(2L\) و\(5L\). يمتد خط تقسيم الجليد، وهو خط الارتفاع الأعظمي للغطاء الجليدي \(H_{\mathrm m}\)، على طول المحور \(y\). (c) مقطع رأسي (المستوى \(xz\)) عبر الغطاء الجليدي يُبيّن منحنى الارتفاع \(H(x)\) (الخط الأزرق). لا يعتمد \(H(x)\) على الإحداثي \(y\) عندما \(0<y<5L\)، بينما يهبط فجأة إلى الصفر عند \(y=0\) و\(y=5L\). يحدد المحور \(z\) موضع خط تقسيم الجليد. وللتوضيح، كُبّرت الأبعاد الرأسية مقارنة بالأبعاد الأفقية. كثافة الجليد \(\rho_{\mathrm{ice}}\) ثابتة.

صيغتان مفيدتان

يمكنك في هذه المسألة الاستعانة بالتكامل:

\[ \int_0^1\sqrt{1-x}\,\mathrm dx=\frac23 \]

وبالتقريب \((1+x)^\alpha\approx1+\alpha x\)، الصالح عندما \(|\alpha x|\ll1\).

منحنى ارتفاع الغطاء الجليدي

على المقاييس الزمنية القصيرة، يكون النهر الجليدي نظامًا هيدروستاتيكيًا غير قابل للانضغاط ذا منحنى ارتفاع ثابت \(H(x)\).

اعتبر شريحة رأسية معينة من الغطاء الجليدي في حالة اتزان، تغطي مساحة قاعدة أفقية صغيرة \(\Delta x\Delta y\) بين \(x\) و\(x+\Delta x\)، انظر الخطوط الحمراء المتقطعة في الشكل 3.1(c). لا يهم مقدار \(\Delta y\). تتوازن المركبة الأفقية المحصلة للقوة \(\Delta F\) المؤثرة على الجانبين الرأسيين للشريحة، والناشئة عن اختلاف الارتفاع بين جانب الشريحة المواجه للمركز وجانبها المواجه للساحل، مع قوة احتكاك \(\Delta F=S_{\mathrm b}\Delta x\Delta y\) تؤثر بها الأرض على مساحة القاعدة \(\Delta x\Delta y\)، حيث \(S_{\mathrm b}=100\ \mathrm{kPa}\).

غطاء جليدي متحرك

على مقياس زمني أطول، يكون الجليد مائعًا لزجًا غير قابل للانضغاط، يتدفق بفعل الجاذبية من الجزء المركزي إلى الساحل. وفي هذا النموذج، يحافظ الجليد على منحنى ارتفاعه \(H(x)\) في حالة مستقرة، يتوازن فيها تراكم الجليد الناتج عن تساقط الثلوج في المنطقة المركزية مع الانصهار عند الساحل. بالإضافة إلى هندسة الغطاء الجليدي المبينة في الشكلين 3.1(b) و(c)، اعتمد الافتراضات التالية للنموذج:

1) يتدفق الجليد في المستوى \(xz\) مبتعدًا عن خط تقسيم الجليد (المحور \(y\)). 2) معدل التراكم \(c\) (متر/سنة) في المنطقة المركزية ثابت. 3) لا يمكن للجليد مغادرة النهر الجليدي إلا بالانصهار قرب الساحلين عند \(x=\pm L\). 4) المركبة الأفقية (في اتجاه \(x\)) \(v_x(x)=\mathrm dx/\mathrm dt\) لسرعة تدفق الجليد لا تعتمد على \(z\). 5) المركبة الرأسية (في اتجاه \(z\)) \(v_z(z)=\mathrm dz/\mathrm dt\) لسرعة تدفق الجليد لا تعتمد على \(x\).

اعتبر فقط المنطقة المركزية \(|x|\ll L\) القريبة من وسط الغطاء الجليدي، حيث تكون تغيرات ارتفاع الغطاء الجليدي صغيرة جدًا ويمكن إهمالها كليًا، أي \(H(x)\approx H_{\mathrm m}\).

يترتب على افتراض عدم قابلية الانضغاط، أي ثبات كثافة الجليد \(\rho_{\mathrm{ice}}\)، أن انحفاظ الكتلة يفرض القيد التالي على مركبتي سرعة تدفق الجليد

\[ \frac{\mathrm dv_x}{\mathrm dx}+\frac{\mathrm dv_z}{\mathrm dz}=0. \]

مع مرور الزمن، يتدفق جسيم جليدي صغير يقع ابتداءً عند الموضع السطحي \((x_i,H_{\mathrm m})\)، بوصفه جزءًا من الغطاء الجليدي، على طول مسار تدفق \(z(x)\) في المستوى الرأسي \(xz\).

العمر والمؤشرات المناخية في الغطاء الجليدي المتحرك

استنادًا إلى مركبتي سرعة تدفق الجليد \(v_x(x)\) و\(v_z(z)\)، يمكن تقدير عمر الجليد \(\tau(z)\) عند عمق معين \(H_{\mathrm m}-z\) تحت سطح الغطاء الجليدي.

تخترق اللُّبابة الجليدية المستخرجة بالحفر في داخل الغطاء الجليدي في غرينلاند طبقات من الثلوج تعود إلى الماضي، ويمكن تحليل هذه اللُّبابة للكشف عن التغيرات المناخية الماضية. ومن أفضل المؤشرات ما يسمى \(\delta^{18}\mathrm O\)، والمُعرَّف بالعلاقة

\[ \delta^{18}\mathrm O =\frac{R_{\mathrm{ice}}-R_{\mathrm{ref}}}{R_{\mathrm{ref}}}\,1000\ \text{‰}, \]

حيث ترمز \(R=[{}^{18}\mathrm O]/[{}^{16}\mathrm O]\) إلى الوفرة النسبية لنظيري الأكسجين المستقرين \({}^{18}\mathrm O\) و\({}^{16}\mathrm O\). وتستند القيمة المرجعية \(R_{\mathrm{ref}}\) إلى التركيب النظائري للمحيطات حول خط الاستواء.

الشكل 3.2 (a) العلاقة المرصودة بين \(\delta^{18}\mathrm O\) في الثلوج ومتوسط درجة حرارة السطح السنوي \(T\). (b) قياسات \(\delta^{18}\mathrm O\) بدلالة العمق \(H_{\mathrm m}-z\) تحت السطح، مأخوذة من لُبابة جليدية استُخرجت بالحفر من السطح حتى الصخر القاعدي في موضع معين على امتداد خط تقسيم الجليد في غرينلاند، حيث \(H_{\mathrm m}=3060\ \mathrm m\).

تُظهر أرصاد الغطاء الجليدي في غرينلاند أن \(\delta^{18}\mathrm O\) في الثلج يتغير تقريبًا بصورة خطية مع درجة الحرارة، الشكل 3.2(a). وبافتراض أن هذا كان صحيحًا دائمًا، فإن \(\delta^{18}\mathrm O\) المستخلص من لُبابة جليدية عند العمق \(H_{\mathrm m}-z\) يتيح تقدير درجة الحرارة \(T\) قرب غرينلاند عند العمر \(\tau(z)\).

تُظهر قياسات \(\delta^{18}\mathrm O\) في لُبابة جليدية من غرينلاند طولها 3060 مترًا تغيرًا مفاجئًا في \(\delta^{18}\mathrm O\) عند عمق 1492 مترًا، الشكل 3.2(b)، يشير إلى نهاية العصر الجليدي الأخير. بدأ العصر الجليدي قبل 120,000 سنة، وهو ما يقابل عمقًا قدره 3040 مترًا، وبدأت الفترة الحالية بين الجليديين قبل 11,700 سنة، وهو ما يقابل عمقًا قدره 1492 مترًا. افترض أنه يمكن وصف هاتين الفترتين بمعدلي تراكم مختلفين، هما \(c_{\mathrm{ia}}\) (العصر الجليدي) و\(c_{\mathrm{ig}}\) (الفترة بين الجليديين)، على الترتيب. يمكنك افتراض ثبات \(H_{\mathrm m}\) طوال هذه السنوات البالغ عددها 120,000 سنة.

ارتفاع مستوى سطح البحر الناتج عن انصهار الغطاء الجليدي في غرينلاند

سيؤدي الانصهار الكامل للغطاء الجليدي في غرينلاند إلى ارتفاع مستوى سطح البحر في المحيط العالمي. وكتقدير تقريبي لهذا الارتفاع، يمكن ببساطة اعتبار ارتفاع منتظم في جميع أنحاء محيط عالمي ذي مساحة ثابتة \(A_{\mathrm O}=3.61\times10^{14}\ \mathrm{m^2}\).

يمارس الغطاء الجليدي الضخم في غرينلاند جذبًا ثقاليًا على المحيط المحيط به. وإذا انصهر الغطاء الجليدي، يزول هذا المد المحلي وينخفض مستوى سطح البحر بالقرب من غرينلاند، وهو تأثير يعاكس جزئيًا ارتفاع مستوى سطح البحر المحسوب أعلاه.

لتقدير مقدار هذا الجذب الثقالي المؤثر على الماء، يُمثَّل الغطاء الجليدي في غرينلاند الآن بكتلة نقطية تقع عند مستوى الأرض وتساوي كتلتها الكتلة الكلية للغطاء الجليدي في غرينلاند. تقع كوبنهاغن على مسافة 3500 كيلومتر على امتداد سطح الأرض من مركز الكتلة النقطية. ويمكن اعتبار الأرض، دون الكتلة النقطية، متناظرة كرويًا ولها محيط عالمي منتشر على سطحها بأكمله، ذي مساحة \(A_{\mathrm E}=5.10\times10^{14}\ \mathrm{m^2}\). ويمكن إهمال جميع تأثيرات دوران الأرض.

ورقة البيانات: جدول المعلمات الفيزيائية

نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي.