Introduction

Gaseous products of burning are released into the atmosphere of temperature \(T_{Air}\) through a high chimney of cross-section \(A\) and height \(h\) (see Fig. 1). The solid matter is burned in the furnace which is at temperature \(T_{Smoke}\). The volume of gases produced per unit time in the furnace is \(B\).

Assume that:

• the velocity of the gases in the furnace is negligibly small
• the density of the gases (smoke) does not differ from that of the air at the same temperature and pressure; while in furnace, the gases can be treated as ideal
• the pressure of the air changes with height in accordance with the hydrostatic law; the change of the density of the air with height is negligible
• the flow of gases fulfills the Bernoulli equation which states that the following quantity is conserved in all points of the flow:

\[ \frac{1}{2}\rho v^2(z)+\rho gz+p(z)=const, \]

where \(\rho\) is the density of the gas, \(v(z)\) is its velocity, \(p(z)\) is pressure, and \(z\) is the height - the change of the density of the gas is negligible throughout the chimney

Fig 1. Sketch of a chimney of height \(h\) with a furnace at temperature \(T_{Smoke}\).

Task 1

a) What is the minimal height of the chimney needed in order that the chimney functions efficiently, so that it can release all of the produced gas into the atmosphere? Express your result in terms of \(B\), \(A\), \(T_{Air}\), \(g=9.81\,\mathrm{m/s^2}\), \(\Delta T=T_{Smoke}-T_{Air}\). Important: in all subsequent tasks assume that this minimal height is the height of the chimney. (3.5 points)

b) Assume that two chimneys are built to serve exactly the same purpose. Their cross sections are identical, but are designed to work in different parts of the world: one in cold regions, designed to work at an average atmospheric temperature of \(-30\,^\circ\mathrm{C}\) and the other in warm regions, designed to work at an average atmospheric temperature of \(30\,^\circ\mathrm{C}\). The temperature of the furnace is \(400\,^\circ\mathrm{C}\). It was calculated that the height of the chimney designed to work in cold regions is \(100\,\mathrm{m}\). How high is the other chimney? (0.5 points)

c) How does the velocity of the gases vary along the height of the chimney? Make a sketch/diagram assuming that the chimney cross-section does not change along the height. Indicate the point where the gases enter the chimney. (0.6 points)

d) How does the pressure of the gases vary along the height of the chimney? (0.5 points)

Solar power plant

The flow of gases in a chimney can be used to construct a particular kind of solar power plant (solar chimney). The idea is illustrated in Fig. 2. The Sun heats the air underneath the collector of area \(S\) with an open periphery to allow the undisturbed inflow of air (see Fig. 2). As the heated air rises through the chimney (thin solid arrows), new cold air enters the collector from its surrounding (thick dotted arrows) enabling a continuous flow of air through the power plant. The flow of air through the chimney powers a turbine, resulting in the production of electrical energy. The energy of solar radiation per unit time per unit of horizontal area of the collector is \(G\). Assume that all that energy can be used to heat the air in the collector (the mass heat capacity of the air is \(c\), and one can neglect its dependence on the air temperature). We define the efficiency of the solar chimney as the ratio of the kinetic energy of the gas flow and the solar energy absorbed in heating of the air prior to its entry into the chimney.

Fig 2. Sketch of a solar power plant.

Task 2

a) What is the efficiency of the solar chimney power plant? (2.0 points)

b) Make a diagram showing how the efficiency of the chimney changes with its height. (0.4 points)

Manzanares prototype

The prototype chimney built in Manzanares, Spain, had a height of \(195\,\mathrm{m}\), and a radius \(5\,\mathrm{m}\). The collector is circular with diameter of \(244\,\mathrm{m}\). The specific heat of the air under typical operational conditions of the prototype solar chimney is \(1012\,\mathrm{J/kg\,K}\), the density of the hot air is about \(0.9\,\mathrm{kg/m^3}\), and the typical temperature of the atmosphere \(T_{Air}=295\,\mathrm{K}\). In Manzanares, the solar power per unit of horizontal surface is typically \(150\,\mathrm{W/m^2}\) during a sunny day.

Task 3

a) What is the efficiency of the prototype power plant? Write down the numerical estimate. (0.3 points)

b) How much power could be produced in the prototype power plant? (0.4 points)

c) How much energy could the power plant produce during a typical sunny day? (0.3 points)

Task 4

a) How large is the rise in the air temperature as it enters the chimney (warm air) from the surrounding (cold air)? Write the general formula and evaluate it for the prototype chimney. (1.0 points)

b) What is the mass flow rate of air through the system? (0.5 points)

Official English text of the problem.

Einleitung

Gasförmige Verbrennungsprodukte werden durch einen hohen Schornstein mit der Querschnittsfläche \(A\) und der Höhe \(h\) in die Atmosphäre mit der Temperatur \(T_{Air}\) abgeführt (siehe Abb. 1). Der Feststoff wird in einer Feuerung verbrannt, deren Temperatur \(T_{Smoke}\) beträgt. Das pro Zeiteinheit in der Feuerung erzeugte Gasvolumen ist \(B\).

Nehmen Sie an, dass:

• die Geschwindigkeit der Gase in der Feuerung vernachlässigbar klein ist
• die Dichte der Gase (Rauchgase) sich nicht von derjenigen der Luft bei gleicher Temperatur und gleichem Druck unterscheidet; in der Feuerung können die Gase als ideal betrachtet werden
• sich der Luftdruck mit der Höhe gemäß dem hydrostatischen Gesetz ändert; die Änderung der Luftdichte mit der Höhe ist vernachlässigbar
• die Gasströmung die Bernoulli-Gleichung erfüllt, die besagt, dass die folgende Größe an allen Punkten der Strömung erhalten bleibt:

\[ \frac{1}{2}\rho v^2(z)+\rho gz+p(z)=const, \]

wobei \(\rho\) die Dichte des Gases, \(v(z)\) seine Geschwindigkeit, \(p(z)\) der Druck und \(z\) die Höhe ist - die Änderung der Gasdichte im gesamten Schornstein vernachlässigbar ist

Abb. 1. Skizze eines Schornsteins der Höhe \(h\) mit einer Feuerung bei der Temperatur \(T_{Smoke}\).

Aufgabe 1

a) Welche Mindesthöhe muss der Schornstein haben, damit er wirksam funktioniert und das gesamte erzeugte Gas in die Atmosphäre abführen kann? Drücken Sie Ihr Ergebnis durch \(B\), \(A\), \(T_{Air}\), \(g=9.81\,\mathrm{m/s^2}\), \(\Delta T=T_{Smoke}-T_{Air}\) aus. Wichtig: Nehmen Sie in allen folgenden Aufgaben an, dass diese Mindesthöhe die Höhe des Schornsteins ist. (3.5 Punkte)

b) Nehmen Sie an, dass zwei Schornsteine gebaut werden, die genau denselben Zweck erfüllen sollen. Ihre Querschnittsflächen sind identisch, sie sind jedoch für den Betrieb in verschiedenen Teilen der Welt ausgelegt: einer in kalten Regionen für eine mittlere atmosphärische Temperatur von \(-30\,^\circ\mathrm{C}\) und der andere in warmen Regionen für eine mittlere atmosphärische Temperatur von \(30\,^\circ\mathrm{C}\). Die Temperatur der Feuerung beträgt \(400\,^\circ\mathrm{C}\). Für den Schornstein, der für kalte Regionen ausgelegt ist, wurde eine Höhe von \(100\,\mathrm{m}\) berechnet. Wie hoch ist der andere Schornstein? (0.5 Punkte)

c) Wie ändert sich die Geschwindigkeit der Gase mit der Höhe im Schornstein? Erstellen Sie eine Skizze/ein Diagramm unter der Annahme, dass sich die Querschnittsfläche des Schornsteins mit der Höhe nicht ändert. Kennzeichnen Sie die Stelle, an der die Gase in den Schornstein eintreten. (0.6 Punkte)

d) Wie ändert sich der Druck der Gase mit der Höhe im Schornstein? (0.5 Punkte)

Solarkraftwerk

Die Gasströmung in einem Schornstein kann zum Bau einer besonderen Art von Solarkraftwerk genutzt werden (Aufwindkraftwerk). Die Idee ist in Abb. 2 dargestellt. Die Sonne erwärmt die Luft unter einem Kollektor der Fläche \(S\), dessen Rand offen ist, um ein ungehindertes Einströmen der Luft zu ermöglichen (siehe Abb. 2). Während die erwärmte Luft durch den Schornstein aufsteigt (dünne durchgezogene Pfeile), strömt neue kalte Luft aus der Umgebung in den Kollektor ein (dicke gepunktete Pfeile), wodurch eine kontinuierliche Luftströmung durch das Kraftwerk ermöglicht wird. Die Luftströmung durch den Schornstein treibt eine Turbine an, wodurch elektrische Energie erzeugt wird. Die Energie der Sonnenstrahlung pro Zeiteinheit und pro Einheit der horizontalen Kollektorfläche ist \(G\). Nehmen Sie an, dass diese gesamte Energie zur Erwärmung der Luft im Kollektor genutzt werden kann (die spezifische Wärmekapazität der Luft ist \(c\), und ihre Abhängigkeit von der Lufttemperatur kann vernachlässigt werden). Wir definieren den Wirkungsgrad des Aufwindkraftwerks als das Verhältnis der kinetischen Energie der Gasströmung zur Sonnenenergie, die bei der Erwärmung der Luft vor ihrem Eintritt in den Schornstein absorbiert wird.

Abb. 2. Skizze eines Solarkraftwerks.

Aufgabe 2

a) Wie groß ist der Wirkungsgrad des Aufwindkraftwerks? (2.0 Punkte)

b) Erstellen Sie ein Diagramm, das zeigt, wie sich der Wirkungsgrad des Schornsteins mit seiner Höhe ändert. (0.4 Punkte)

Prototyp in Manzanares

Der in Manzanares, Spanien, errichtete Prototyp eines Schornsteins hatte eine Höhe von \(195\,\mathrm{m}\) und einen Radius von \(5\,\mathrm{m}\). Der Kollektor ist kreisförmig und hat einen Durchmesser von \(244\,\mathrm{m}\). Die spezifische Wärmekapazität der Luft unter typischen Betriebsbedingungen des Prototyps beträgt \(1012\,\mathrm{J/kg\,K}\), die Dichte der warmen Luft beträgt etwa \(0.9\,\mathrm{kg/m^3}\), und die typische Temperatur der Atmosphäre ist \(T_{Air}=295\,\mathrm{K}\). In Manzanares beträgt die Sonnenstrahlungsleistung pro Einheit der horizontalen Fläche an einem sonnigen Tag typischerweise \(150\,\mathrm{W/m^2}\).

Aufgabe 3

a) Wie groß ist der Wirkungsgrad des Prototyp-Kraftwerks? Geben Sie eine numerische Abschätzung an. (0.3 Punkte)

b) Welche Leistung könnte das Prototyp-Kraftwerk erzeugen? (0.4 Punkte)

c) Wie viel Energie könnte das Kraftwerk an einem typischen sonnigen Tag erzeugen? (0.3 Punkte)

Aufgabe 4

a) Wie groß ist die Temperaturerhöhung der Luft beim Eintritt aus der Umgebung (kalte Luft) in den Schornstein (warme Luft)? Geben Sie die allgemeine Formel an und werten Sie sie für den Prototyp-Schornstein aus. (1.0 Punkte)

b) Wie groß ist der Luftmassenstrom durch das System? (0.5 Punkte)

Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt.

Giriş

Yanma sonucu oluşan gazlar, kesit alanı \(A\) ve yüksekliği \(h\) olan yüksek bir bacadan, sıcaklığı \(T_{Air}\) olan atmosfere salınmaktadır (bkz. Şekil 1). Katı madde, sıcaklığı \(T_{Smoke}\) olan ocakta yakılmaktadır. Ocakta birim zamanda üretilen gazların hacmi \(B\)'dir.

Şunları varsayın:

• ocaktaki gazların hızı ihmal edilebilecek kadar küçüktür
• gazların (dumanın) yoğunluğu, aynı sıcaklık ve basınçtaki havanın yoğunluğundan farklı değildir; gazlar ocaktayken ideal gaz olarak ele alınabilir
• havanın basıncı, hidrostatik yasasına uygun olarak yükseklikle değişir; havanın yoğunluğunun yükseklikle değişimi ihmal edilebilir
• gaz akışı, aşağıdaki büyüklüğün akışın tüm noktalarında korunduğunu ifade eden Bernoulli denklemini sağlar:

\[ \frac{1}{2}\rho v^2(z)+\rho gz+p(z)=const, \]

burada \(\rho\) gazın yoğunluğu, \(v(z)\) hızı, \(p(z)\) basıncı ve \(z\) yüksekliğidir - gazın yoğunluğundaki değişim baca boyunca ihmal edilebilir

Şekil 1. Sıcaklığı \(T_{Smoke}\) olan bir ocağa bağlı, yüksekliği \(h\) olan bacanın şeması.

Görev 1

a) Bacanın etkin biçimde çalışarak üretilen gazın tamamını atmosfere salabilmesi için gereken en küçük baca yüksekliği nedir? Sonucunuzu \(B\), \(A\), \(T_{Air}\), \(g=9.81\,\mathrm{m/s^2}\), \(\Delta T=T_{Smoke}-T_{Air}\) cinsinden ifade edin. Önemli: sonraki tüm görevlerde baca yüksekliğinin bu en küçük yükseklik olduğunu varsayın. (3.5 puan)

b) Tam olarak aynı amaca hizmet etmek üzere iki baca inşa edildiğini varsayın. Kesit alanları aynıdır, ancak dünyanın farklı bölgelerinde çalışacak biçimde tasarlanmışlardır: biri soğuk bölgelerde, ortalama atmosfer sıcaklığı \(-30\,^\circ\mathrm{C}\) iken çalışacak şekilde; diğeri ise sıcak bölgelerde, ortalama atmosfer sıcaklığı \(30\,^\circ\mathrm{C}\) iken çalışacak şekilde tasarlanmıştır. Ocağın sıcaklığı \(400\,^\circ\mathrm{C}\)'dir. Soğuk bölgelerde çalışmak üzere tasarlanan bacanın yüksekliği \(100\,\mathrm{m}\) olarak hesaplanmıştır. Diğer bacanın yüksekliği ne kadardır? (0.5 puan)

c) Gazların hızı baca yüksekliği boyunca nasıl değişir? Baca kesitinin yükseklik boyunca değişmediğini varsayarak bir çizim/grafik hazırlayın. Gazların bacaya girdiği noktayı belirtin. (0.6 puan)

d) Gazların basıncı baca yüksekliği boyunca nasıl değişir? (0.5 puan)

Güneş enerjisi santrali

Bir bacadaki gaz akışı, özel bir tür güneş enerjisi santrali (güneş bacası) yapmak için kullanılabilir. Bu fikir Şekil 2'de gösterilmiştir. Güneş, havanın engellenmeden içeri akmasına olanak vermek için çevresi açık bırakılmış, alanı \(S\) olan kolektörün altındaki havayı ısıtır (bkz. Şekil 2). Isınan hava bacadan yükselirken (ince düz çizgili oklar), çevreden kolektöre yeni soğuk hava girer (kalın noktalı oklar) ve böylece santral boyunca sürekli bir hava akışı sağlanır. Bacadan geçen hava akışı bir türbini çalıştırarak elektrik enerjisi üretilmesini sağlar. Kolektörün birim yatay alanına birim zamanda gelen güneş ışınımı enerjisi \(G\)'dir. Bu enerjinin tamamının kolektördeki havayı ısıtmak için kullanılabildiğini varsayın (havanın özgül ısı kapasitesi \(c\)'dir ve bunun hava sıcaklığına bağımlılığı ihmal edilebilir). Güneş bacasının verimini, gaz akışının kinetik enerjisinin, hava bacaya girmeden önce onu ısıtmak için soğurulan güneş enerjisine oranı olarak tanımlıyoruz.

Şekil 2. Bir güneş enerjisi santralinin şeması.

Görev 2

a) Güneş bacası santralinin verimi nedir? (2.0 puan)

b) Bacanın veriminin yüksekliğiyle nasıl değiştiğini gösteren bir grafik çizin. (0.4 puan)

Manzanares prototipi

İspanya'nın Manzanares kentinde inşa edilen prototip bacanın yüksekliği \(195\,\mathrm{m}\), yarıçapı ise \(5\,\mathrm{m}\) idi. Kolektör, çapı \(244\,\mathrm{m}\) olan dairesel bir yapıdır. Prototip güneş bacasının tipik çalışma koşullarında havanın özgül ısısı \(1012\,\mathrm{J/kg\,K}\), sıcak havanın yoğunluğu yaklaşık \(0.9\,\mathrm{kg/m^3}\) ve atmosferin tipik sıcaklığı \(T_{Air}=295\,\mathrm{K}\)'dir. Manzanares'te güneşli bir günde birim yatay yüzeye gelen güneş enerjisi gücü tipik olarak \(150\,\mathrm{W/m^2}\)'dir.

Görev 3

a) Prototip santralin verimi nedir? Sayısal tahmini yazın. (0.3 puan)

b) Prototip santralde ne kadar güç üretilebilir? (0.4 puan)

c) Santral, tipik bir güneşli gün boyunca ne kadar enerji üretebilir? (0.3 puan)

Görev 4

a) Hava çevreden (soğuk hava) bacaya (sıcak hava) girerken sıcaklığı ne kadar artar? Genel formülü yazın ve prototip baca için değerini hesaplayın. (1.0 puan)

b) Sistemden geçen havanın kütlesel debisi nedir? (0.5 puan)

Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir.

Introducción

Los productos gaseosos de la combustión se liberan a la atmósfera, cuya temperatura es \(T_{Air}\), a través de una chimenea alta de sección transversal \(A\) y altura \(h\) (véase la Fig. 1). La materia sólida se quema en el horno, que se encuentra a una temperatura \(T_{Smoke}\). El volumen de gases producido por unidad de tiempo en el horno es \(B\).

Suponga que:

• la velocidad de los gases en el horno es despreciable
• la densidad de los gases (humo) no difiere de la del aire a la misma temperatura y presión; mientras están en el horno, los gases pueden tratarse como ideales
• la presión del aire varía con la altura de acuerdo con la ley de la hidrostática; la variación de la densidad del aire con la altura es despreciable
• el flujo de gases satisface la ecuación de Bernoulli, que establece que la siguiente magnitud se conserva en todos los puntos del flujo:

\[ \frac{1}{2}\rho v^2(z)+\rho gz+p(z)=const, \]

donde \(\rho\) es la densidad del gas, \(v(z)\) es su velocidad, \(p(z)\) es la presión y \(z\) es la altura - la variación de la densidad del gas es despreciable a lo largo de toda la chimenea

Fig. 1. Esquema de una chimenea de altura \(h\) con un horno a temperatura \(T_{Smoke}\).

Tarea 1

a) ¿Cuál es la altura mínima necesaria para que la chimenea funcione eficazmente y pueda liberar a la atmósfera todo el gas producido? Exprese el resultado en función de \(B\), \(A\), \(T_{Air}\), \(g=9.81\,\mathrm{m/s^2}\), \(\Delta T=T_{Smoke}-T_{Air}\). Importante: en todas las tareas siguientes, suponga que esta altura mínima es la altura de la chimenea. (3.5 puntos)

b) Suponga que se construyen dos chimeneas para cumplir exactamente la misma función. Sus secciones transversales son idénticas, pero están diseñadas para funcionar en distintas partes del mundo: una en regiones frías, diseñada para funcionar a una temperatura atmosférica media de \(-30\,^\circ\mathrm{C}\), y la otra en regiones cálidas, diseñada para funcionar a una temperatura atmosférica media de \(30\,^\circ\mathrm{C}\). La temperatura del horno es \(400\,^\circ\mathrm{C}\). Se calculó que la altura de la chimenea diseñada para funcionar en regiones frías es \(100\,\mathrm{m}\). ¿Qué altura tiene la otra chimenea? (0.5 puntos)

c) ¿Cómo varía la velocidad de los gases con la altura en la chimenea? Haga un esquema o diagrama suponiendo que la sección transversal de la chimenea no cambia con la altura. Indique el punto por el que los gases entran en la chimenea. (0.6 puntos)

d) ¿Cómo varía la presión de los gases con la altura en la chimenea? (0.5 puntos)

Central de energía solar

El flujo de gases en una chimenea puede utilizarse para construir un tipo particular de central de energía solar (chimenea solar). La idea se ilustra en la Fig. 2. El Sol calienta el aire bajo el colector de área \(S\), cuya periferia está abierta para permitir la entrada de aire sin obstáculos (véase la Fig. 2). A medida que el aire calentado asciende por la chimenea (flechas finas de trazo continuo), entra aire frío nuevo en el colector desde el entorno (flechas gruesas de puntos), lo que permite un flujo continuo de aire a través de la central. El flujo de aire por la chimenea acciona una turbina y produce energía eléctrica. La energía de la radiación solar por unidad de tiempo y por unidad de área horizontal del colector es \(G\). Suponga que toda esa energía puede utilizarse para calentar el aire del colector (la capacidad calorífica específica del aire es \(c\), y puede despreciarse su dependencia de la temperatura del aire). Definimos el rendimiento de la chimenea solar como el cociente entre la energía cinética del flujo de gas y la energía solar absorbida al calentar el aire antes de su entrada en la chimenea.

Fig. 2. Esquema de una central de energía solar.

Tarea 2

a) ¿Cuál es el rendimiento de la central de chimenea solar? (2.0 puntos)

b) Haga un diagrama que muestre cómo varía el rendimiento de la chimenea con su altura. (0.4 puntos)

Prototipo de Manzanares

La chimenea prototipo construida en Manzanares, España, tenía una altura de \(195\,\mathrm{m}\) y un radio de \(5\,\mathrm{m}\). El colector es circular, con un diámetro de \(244\,\mathrm{m}\). El calor específico del aire en las condiciones de funcionamiento habituales de la chimenea solar prototipo es \(1012\,\mathrm{J/kg\,K}\), la densidad del aire caliente es aproximadamente \(0.9\,\mathrm{kg/m^3}\) y la temperatura habitual de la atmósfera es \(T_{Air}=295\,\mathrm{K}\). En Manzanares, la potencia solar por unidad de superficie horizontal suele ser de \(150\,\mathrm{W/m^2}\) durante un día soleado.

Tarea 3

a) ¿Cuál es el rendimiento de la central prototipo? Escriba la estimación numérica. (0.3 puntos)

b) ¿Qué potencia podría producir la central prototipo? (0.4 puntos)

c) ¿Cuánta energía podría producir la central durante un día soleado típico? (0.3 puntos)

Tarea 4

a) ¿Cuál es el aumento de temperatura del aire al entrar en la chimenea (aire caliente) desde el entorno (aire frío)? Escriba la fórmula general y evalúela para la chimenea prototipo. (1.0 puntos)

b) ¿Cuál es el caudal másico de aire a través del sistema? (0.5 puntos)

Enunciado traducido del texto oficial en inglés.

引言

燃烧产生的气体通过横截面积为 \(A\)、高度为 \(h\) 的高烟囱排入温度为 \(T_{Air}\) 的大气中（见图 1）。固体物质在温度为 \(T_{Smoke}\) 的炉膛内燃烧。炉膛内单位时间产生的气体体积为 \(B\)。

假设：

• 炉膛内气体的速度小到可以忽略不计
• 气体（烟气）的密度与相同温度和压强下空气的密度相同；在炉膛内，气体可视为理想气体
• 空气压强随高度的变化遵循流体静力学规律；空气密度随高度的变化可以忽略不计
• 气体流动满足伯努利方程，即流动中各点的下列量保持不变：

\[ \frac{1}{2}\rho v^2(z)+\rho gz+p(z)=const, \]

其中，\(\rho\) 为气体密度，\(v(z)\) 为气体速度，\(p(z)\) 为压强，\(z\) 为高度 - 整个烟囱内气体密度的变化可以忽略不计

图 1. 高度为 \(h\)、炉膛温度为 \(T_{Smoke}\) 的烟囱示意图。

任务 1

a) 为使烟囱有效工作，将产生的全部气体排入大气，烟囱所需的最小高度是多少？用 \(B\)、\(A\)、\(T_{Air}\)、\(g=9.81\,\mathrm{m/s^2}\)、\(\Delta T=T_{Smoke}-T_{Air}\) 表示结果。重要提示：在以下所有任务中，均假设烟囱的高度等于这一最小高度。 （3.5 分）

b) 假设建造两座用途完全相同的烟囱。它们的横截面积相同，但设计用于世界上不同的地区：一座用于寒冷地区，设计工作环境的平均大气温度为 \(-30\,^\circ\mathrm{C}\)；另一座用于温暖地区，设计工作环境的平均大气温度为 \(30\,^\circ\mathrm{C}\)。炉膛温度为 \(400\,^\circ\mathrm{C}\)。经计算，用于寒冷地区的烟囱高度为 \(100\,\mathrm{m}\)。另一座烟囱的高度是多少？ （0.5 分）

c) 气体速度沿烟囱高度如何变化？假设烟囱横截面积不随高度变化，画出示意图或曲线图。标出气体进入烟囱的位置。（0.6 分）

d) 气体压强沿烟囱高度如何变化？ （0.5 分）

太阳能发电站

烟囱内的气流可用于建造一种特殊的太阳能发电站（太阳能烟囱）。其原理如图 2 所示。太阳加热面积为 \(S\) 的集热器下方的空气，集热器周边敞开，使空气能够不受阻碍地流入（见图 2）。受热空气沿烟囱上升（细实线箭头），周围的新鲜冷空气便进入集热器（粗虚线箭头），从而使空气持续流过发电站。流经烟囱的气流驱动涡轮机，进而产生电能。集热器单位水平面积上单位时间接收的太阳辐射能为 \(G\)。假设这些能量全部用于加热集热器内的空气（空气的比热容为 \(c\)，其随空气温度的变化可以忽略）。我们将太阳能烟囱的效率定义为气流动能与空气进入烟囱前受热所吸收的太阳能之比。

图 2. 太阳能发电站示意图。

任务 2

a) 太阳能烟囱发电站的效率是多少？ （2.0 分）

b) 画图表示烟囱效率随其高度的变化。（0.4 分）

曼萨纳雷斯原型装置

在西班牙曼萨纳雷斯建造的原型烟囱高 \(195\,\mathrm{m}\)，半径为 \(5\,\mathrm{m}\)。集热器为圆形，直径为 \(244\,\mathrm{m}\)。在该太阳能烟囱原型装置的典型运行条件下，空气的比热容为 \(1012\,\mathrm{J/kg\,K}\)，热空气密度约为 \(0.9\,\mathrm{kg/m^3}\)，典型大气温度为 \(T_{Air}=295\,\mathrm{K}\)。在曼萨纳雷斯，晴天单位水平面积上的太阳辐射功率通常为 \(150\,\mathrm{W/m^2}\)。

任务 3

a) 原型发电站的效率是多少？写出数值估计。（0.3 分）

b) 原型发电站能够产生多大的功率？ （0.4 分）

c) 在一个典型的晴天，发电站能够产生多少能量？ （0.3 分）

任务 4

a) 空气从周围环境（冷空气）进入烟囱（暖空气）时，温度升高多少？写出一般公式，并计算原型烟囱的数值。（1.0 分）

b) 流经该系统的空气质量流量是多少？ （0.5 分）

题目译自官方英文原文。

Введение

Газообразные продукты сгорания выбрасываются в атмосферу с температурой \(T_{Air}\) через высокую дымовую трубу с площадью поперечного сечения \(A\) и высотой \(h\) (см. рис. 1). Твёрдое вещество сжигается в топке, температура которой равна \(T_{Smoke}\). Объём газов, образующихся в топке за единицу времени, равен \(B\).

Предположите, что:

• скорость газов в топке пренебрежимо мала
• плотность газов (дыма) не отличается от плотности воздуха при тех же температуре и давлении; в топке газы можно считать идеальными
• давление воздуха изменяется с высотой в соответствии с законом гидростатики; изменением плотности воздуха с высотой можно пренебречь
• течение газов подчиняется уравнению Бернулли, согласно которому следующая величина одинакова во всех точках потока:

\[ \frac{1}{2}\rho v^2(z)+\rho gz+p(z)=const, \]

где \(\rho\) — плотность газа, \(v(z)\) — его скорость, \(p(z)\) — давление, а \(z\) — высота - изменением плотности газа по всей длине трубы можно пренебречь

Рис. 1. Схема дымовой трубы высотой \(h\) с топкой, температура которой равна \(T_{Smoke}\).

Задание 1

a) Какова минимальная высота трубы, необходимая для её эффективной работы, то есть для отвода в атмосферу всего образующегося газа? Выразите результат через \(B\), \(A\), \(T_{Air}\), \(g=9.81\,\mathrm{m/s^2}\), \(\Delta T=T_{Smoke}-T_{Air}\). Важно: во всех последующих заданиях считайте, что высота трубы равна этой минимальной высоте. (3.5 балла)

b) Предположим, что построены две трубы совершенно одинакового назначения. Площади их поперечных сечений одинаковы, но трубы предназначены для работы в разных частях света: одна — в холодных регионах при средней температуре атмосферы \(-30\,^\circ\mathrm{C}\), а другая — в тёплых регионах при средней температуре атмосферы \(30\,^\circ\mathrm{C}\). Температура топки равна \(400\,^\circ\mathrm{C}\). Согласно расчётам, высота трубы, предназначенной для работы в холодных регионах, составляет \(100\,\mathrm{m}\). Какова высота другой трубы? (0.5 балла)

c) Как изменяется скорость газов по высоте трубы? Постройте схематический график, считая, что площадь поперечного сечения трубы не изменяется с высотой. Отметьте точку, в которой газы входят в трубу. (0.6 балла)

d) Как изменяется давление газов по высоте трубы? (0.5 балла)

Солнечная электростанция

Поток газов в трубе можно использовать для создания особого типа солнечной электростанции (солнечной трубы). Идея показана на рис. 2. Солнце нагревает воздух под коллектором площадью \(S\), открытым по периметру для беспрепятственного притока воздуха (см. рис. 2). По мере того как нагретый воздух поднимается по трубе (тонкие сплошные стрелки), в коллектор из окружающей среды поступает новый холодный воздух (толстые пунктирные стрелки), обеспечивая непрерывный поток воздуха через электростанцию. Поток воздуха в трубе приводит в движение турбину, в результате чего вырабатывается электрическая энергия. Энергия солнечного излучения, поступающая за единицу времени на единицу горизонтальной площади коллектора, равна \(G\). Предположите, что вся эта энергия может быть использована для нагрева воздуха в коллекторе (удельная теплоёмкость воздуха равна \(c\), а её зависимостью от температуры воздуха можно пренебречь). Определим КПД солнечной трубы как отношение кинетической энергии потока газа к солнечной энергии, поглощённой при нагреве воздуха перед его поступлением в трубу.

Рис. 2. Схема солнечной электростанции.

Задание 2

a) Каков КПД солнечной электростанции с вытяжной трубой? (2.0 балла)

b) Постройте график зависимости КПД трубы от её высоты. (0.4 балла)

Прототип в Мансанаресе

Прототип трубы, построенный в Мансанаресе, Испания, имел высоту \(195\,\mathrm{m}\) и радиус \(5\,\mathrm{m}\). Коллектор имеет форму круга диаметром \(244\,\mathrm{m}\). Удельная теплоёмкость воздуха при типичных условиях работы прототипа солнечной трубы составляет \(1012\,\mathrm{J/kg\,K}\), плотность горячего воздуха — около \(0.9\,\mathrm{kg/m^3}\), а типичная температура атмосферы — \(T_{Air}=295\,\mathrm{K}\). В Мансанаресе мощность солнечного излучения на единицу горизонтальной поверхности в солнечный день обычно составляет \(150\,\mathrm{W/m^2}\).

Задание 3

a) Каков КПД прототипа электростанции? Приведите численную оценку. (0.3 балла)

b) Какую мощность мог бы вырабатывать прототип электростанции? (0.4 балла)

c) Сколько энергии могла бы выработать электростанция за типичный солнечный день? (0.3 балла)

Задание 4

a) На сколько повышается температура воздуха, поступающего из окружающей среды (холодный воздух) в трубу (тёплый воздух)? Запишите общую формулу и вычислите результат для прототипа трубы. (1.0 балла)

b) Каков массовый расход воздуха через систему? (0.5 балла)

Условие переведено с официального английского текста.

مقدمة

تُطلَق نواتج الاحتراق الغازية إلى الغلاف الجوي ذي درجة الحرارة \(T_{Air}\) عبر مدخنة عالية مساحة مقطعها العرضي \(A\) وارتفاعها \(h\) (انظر الشكل 1). تُحرَق المادة الصلبة في الفرن الذي تبلغ درجة حرارته \(T_{Smoke}\). وحجم الغازات المتولدة في الفرن في وحدة الزمن هو \(B\).

افترض ما يلي:

• سرعة الغازات في الفرن صغيرة إلى حد يمكن إهمالها
• لا تختلف كثافة الغازات (الدخان) عن كثافة الهواء عند درجة الحرارة والضغط نفسيهما؛ ويمكن معاملة الغازات في الفرن على أنها غازات مثالية
• يتغير ضغط الهواء مع الارتفاع وفقًا لقانون التوازن الهيدروستاتيكي؛ ويمكن إهمال تغير كثافة الهواء مع الارتفاع
• يحقق جريان الغازات معادلة برنولي، التي تنص على أن الكمية التالية ثابتة في جميع نقاط الجريان:

\[ \frac{1}{2}\rho v^2(z)+\rho gz+p(z)=const, \]

حيث \(\rho\) هي كثافة الغاز، و\(v(z)\) سرعته، و\(p(z)\) ضغطه، و\(z\) الارتفاع - يمكن إهمال تغير كثافة الغاز على امتداد المدخنة

الشكل 1. رسم تخطيطي لمدخنة ارتفاعها \(h\) مزودة بفرن درجة حرارته \(T_{Smoke}\).

المهمة 1

a) ما الارتفاع الأدنى اللازم للمدخنة كي تعمل بكفاءة، بحيث تتمكن من إطلاق جميع الغازات المتولدة إلى الغلاف الجوي؟ عبّر عن نتيجتك بدلالة \(B\)، و\(A\)، و\(T_{Air}\)، و\(g=9.81\,\mathrm{m/s^2}\) و\(\Delta T=T_{Smoke}-T_{Air}\). مهم: افترض في جميع المهام اللاحقة أن ارتفاع المدخنة يساوي هذا الارتفاع الأدنى. (3.5 درجات)

b) افترض بناء مدخنتين تؤديان الغرض نفسه تمامًا. مساحتا مقطعيهما العرضيين متساويتان، ولكنهما مصممتان للعمل في منطقتين مختلفتين من العالم: إحداهما في المناطق الباردة، ومصممة للعمل عند متوسط درجة حرارة للغلاف الجوي مقداره \(-30\,^\circ\mathrm{C}\)، والأخرى في المناطق الدافئة، ومصممة للعمل عند متوسط درجة حرارة للغلاف الجوي مقداره \(30\,^\circ\mathrm{C}\). درجة حرارة الفرن هي \(400\,^\circ\mathrm{C}\). وقد حُسب أن ارتفاع المدخنة المصممة للعمل في المناطق الباردة هو \(100\,\mathrm{m}\). فما ارتفاع المدخنة الأخرى؟ (0.5 درجة)

c) كيف تتغير سرعة الغازات على امتداد ارتفاع المدخنة؟ ارسم رسمًا تخطيطيًا/بيانيًا بافتراض أن مساحة المقطع العرضي للمدخنة لا تتغير مع الارتفاع. حدّد النقطة التي تدخل عندها الغازات إلى المدخنة. (0.6 درجة)

d) كيف يتغير ضغط الغازات على امتداد ارتفاع المدخنة؟ (0.5 درجة)

محطة لتوليد الطاقة الشمسية

يمكن استخدام جريان الغازات في المدخنة لإنشاء نوع خاص من محطات توليد الطاقة الشمسية (المدخنة الشمسية). يوضح الشكل 2 الفكرة. تسخّن الشمس الهواء أسفل المجمّع ذي المساحة \(S\)، الذي تكون حوافه مفتوحة للسماح بدخول الهواء دون عوائق (انظر الشكل 2). ومع صعود الهواء المسخّن عبر المدخنة (الأسهم الرفيعة المتصلة)، يدخل هواء بارد جديد إلى المجمّع من محيطه (الأسهم السميكة المنقّطة)، مما يتيح جريانًا مستمرًا للهواء عبر محطة توليد الطاقة. يدير جريان الهواء عبر المدخنة توربينًا، فتُنتَج الطاقة الكهربائية. طاقة الإشعاع الشمسي في وحدة الزمن لكل وحدة مساحة أفقية من المجمّع هي \(G\). افترض أن هذه الطاقة كلها يمكن استخدامها لتسخين الهواء في المجمّع (السعة الحرارية النوعية للهواء هي \(c\)، ويمكن إهمال اعتمادها على درجة حرارة الهواء). نعرّف كفاءة المدخنة الشمسية بأنها نسبة الطاقة الحركية لجريان الغاز إلى الطاقة الشمسية الممتصة في تسخين الهواء قبل دخوله إلى المدخنة.

الشكل 2. رسم تخطيطي لمحطة لتوليد الطاقة الشمسية.

المهمة 2

a) ما كفاءة محطة توليد الطاقة بالمدخنة الشمسية؟ (2.0 درجتان)

b) ارسم مخططًا يوضح كيف تتغير كفاءة المدخنة مع ارتفاعها. (0.4 درجة)

النموذج الأولي في مانثاناريس

بلغ ارتفاع المدخنة النموذجية التي بُنيت في مانثاناريس بإسبانيا \(195\,\mathrm{m}\)، ونصف قطرها \(5\,\mathrm{m}\). المجمّع دائري وقطره \(244\,\mathrm{m}\). تبلغ السعة الحرارية النوعية للهواء في ظروف التشغيل المعتادة للمدخنة الشمسية النموذجية \(1012\,\mathrm{J/kg\,K}\)، وتبلغ كثافة الهواء الساخن نحو \(0.9\,\mathrm{kg/m^3}\)، ودرجة الحرارة المعتادة للغلاف الجوي هي \(T_{Air}=295\,\mathrm{K}\). في مانثاناريس، تبلغ القدرة الشمسية لكل وحدة مساحة أفقية عادةً \(150\,\mathrm{W/m^2}\) خلال يوم مشمس.

المهمة 3

a) ما كفاءة محطة توليد الطاقة النموذجية؟ اكتب التقدير العددي. (0.3 درجة)

b) ما مقدار القدرة التي يمكن إنتاجها في محطة توليد الطاقة النموذجية؟ (0.4 درجة)

c) ما مقدار الطاقة التي يمكن أن تنتجها المحطة خلال يوم مشمس معتاد؟ (0.3 درجة)

المهمة 4

a) ما مقدار ارتفاع درجة حرارة الهواء عند دخوله المدخنة (هواء دافئ) من الوسط المحيط (هواء بارد)؟ اكتب الصيغة العامة واحسب قيمتها للمدخنة النموذجية. (1.0 درجة)

b) ما معدل التدفق الكتلي للهواء عبر المنظومة؟ (0.5 درجة)

نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي.