Consider a uniform rod of unstressed length \(\ell\) and cross-sectional area \(A\) (Figure 2a). Its length changes by \(\Delta\ell\) when equal and opposite forces of magnitude \(F\) are applied to its ends faces normally. The stress \(T\) on the end faces is defined to be \(F/A\). The fractional change in its length, i.e., \(\Delta\ell/\ell\), is called the strain \(S\) of the rod. In terms of stress and strain, Hooke’s law may be expressed as

\[ T=YS \quad\text{or}\quad \frac{F}{A}=Y\frac{\Delta\ell}{\ell}. \tag{1} \]

where \(Y\) is called the Young’s modulus of the rod material. Note that a compressive stress \(T\) corresponds to \(F<0\) and a decrease in length (i.e., \(\Delta\ell<0\)). Such a stress is thus negative in value and is related to the pressure \(p\) by \(T=-p\).

For a uniform rod of density \(\rho\), the speed of propagation of longitudinal waves (i.e., sound speed) along the rod is given by

\[ u=\sqrt{Y/\rho}. \tag{2} \]

Figure 2a

The effect of damping and dissipation can be ignored in answering the following questions.

Part A: mechanical properties

A uniform rod of semi-infinite length, extending from \(x=0\) to \(\infty\) (see Figure 2b), has a density \(\rho\). It is initially stationary and unstressed. A piston then steadily exerts a small pressure \(p\) on its left face at \(x=0\) for a very short time \(\Delta t\), causing a pressure wave to propagate with speed \(u\) to the right.

Figure 2b

Figure 2c

(a) If the piston causes the rod’s left face to move at a constant velocity \(v\) (Figure 2b), what are the strain \(S\) and pressure \(p\) at the left face during the time \(\Delta t\)? Answers must be given in terms of \(\rho\), \(u\), and \(v\) only. (1.6 points)

(b) Consider a longitudinal wave traveling along the \(x\) direction in the rod. For a cross section at \(x\) when the rod is unstressed (Figure 2c), let \(\xi(x,t)\) be its displacement at time \(t\) and assume

\[ \xi(x,t)=\xi_0\sin k(x-ut) \tag{3} \]

where \(\xi_0\) and \(k\) are constants. Determine the corresponding velocity \(v(x,t)\), strain \(S(x,t)\), and pressure \(p(x,t)\) as a function of \(x\) and \(t\). (2.4 points)

Part B: electromechanical properties (including piezoelectric effect)

Consider a quartz crystal slab of length \(b\), thickness \(h\), and width \(w\) (Figure 2d). Its length and thickness are along the \(x\)-axis and \(z\)-axis. Electrodes are formed by thin metallic coatings at its top and bottom surfaces. Electrical leads that also serve as mounting support (Figure 2e) are soldered to the electrode’s centers, which may be assumed to be stationary for longitudinal oscillations along the \(x\) direction.

Figure 2d

Figure 2e

The quartz crystal under consideration has a density \(\rho\) of \(2.65\times10^3\ \mathrm{kg/m^3}\) and Young’s modulus \(Y\) of \(7.87\times10^{10}\ \mathrm{N/m^2}\). The length \(b\) of the slab is \(1.00\ \mathrm{cm}\) and the width \(w\) and height \(h\) of the slab are such that \(h\ll w\) and \(w\ll b\). With switch \(K\) left open, we assume only longitudinal modes of standing wave oscillation in the \(x\) direction are excited in the quartz slab.

For a standing wave of frequency \(f=\omega/2\pi\), the displacement \(\xi(x,t)\) at time \(t\) of a cross section of the slab with equilibrium position \(x\) may be written as

\[ \xi(x,t)=2\xi_0g(x)\cos\omega t, \qquad (0\leq x\leq b) \tag{4a} \]

where \(\xi_0\) is a positive constant and the spatial function \(g(x)\) is of the form

\[ g(x)=B_1\sin k\left(x-\frac b2\right) +B_2\cos k\left(x-\frac b2\right). \tag{4b} \]

\(g(x)\) has the maximum value of one and \(k=\omega/u\). Keep in mind that the centers of the electrodes are stationary and the left and right faces of the slab are free and must have zero stress (or pressure).

(c) Determine the values of \(B_1\) and \(B_2\) in Eq. (4b) for a longitudinal standing wave in the quartz slab. (1.2 point)

(d) What are the two lowest frequencies at which longitudinal standing waves may be excited in the quartz slab? (1.2 point)

The piezoelectric effect is a special property of a quartz crystal. Compression or dilatation of the crystal generates an electric voltage across the crystal, and conversely, an external voltage applied across the crystal causes the crystal to expand or contract depending on the polarity of the voltage. Therefore, mechanical and electrical oscillations can be coupled and made to resonate through a quartz crystal.

To account for the piezoelectric effect, let the surface charge densities on the upper and lower electrodes be \(-\sigma\) and \(+\sigma\), respectively, when the quartz slab is under an electric field \(E\) in the \(z\) direction. Denote the slab’s strain and stress in the \(x\) direction by \(S\) and \(T\), respectively. Then the piezoelectric effect of the quartz crystal can be described by the following set of equations:

\[ S=(1/Y)T+d_pE \tag{5a} \]

\[ \sigma=d_pT+\varepsilon_TE \tag{5b} \]

where \(1/Y=1.27\times10^{-11}\ \mathrm{m^2/N}\) is the elastic compliance (i.e., inverse of Young’s modulus) at constant electric field and \(\varepsilon_T=4.06\times10^{-11}\ \mathrm{F/m}\) is the permittivity at constant stress, while \(d_p=2.25\times10^{-12}\ \mathrm{m/V}\) is the piezoelectric coefficient.

Let switch \(K\) in Fig. 2d be closed. The alternating voltage \(V(t)=V_m\cos\omega t\) now acts across the electrodes and a uniform electric field \(E(t)=V(t)/h\) in the \(z\) direction appears in the quartz slab. When a steady state is reached, a longitudinal standing wave oscillation of angular frequency \(\omega\) appears in the slab in the \(x\) direction.

With \(E\) being uniform, the wavelength \(\lambda\) and the frequency \(f\) of a longitudinal standing wave in the slab are still related by \(\lambda=u/f\) with \(u\) given by Eq. (2). But, as Eq. (5a) shows, \(T=YS\) is no longer valid, although the definitions of strain and stress remain unchanged and the end faces of the slab remain free with zero stress.

(e) Taking Eqs. (5a) and (5b) into account, the surface charge density \(\sigma\) on the lower electrode as a function of \(x\) and \(t\) is of the form,

\[ \sigma(x,t)= \left[ D_1\cos k\left(x-\frac b2\right)+D_2 \right]\frac{V(t)}h \]

where \(k=\omega/u\). Find the expressions for \(D_1\) and \(D_2\). (2.2 points)

(f) The total surface charge \(Q(t)\) on the lower electrode is related to \(V(t)\) by

\[ Q(t)= \left[ 1+\alpha^2\left(\frac{2}{kb}\tan\frac{kb}{2}-1\right) \right]C_0V(t). \tag{6} \]

Find the expression for \(C_0\) and the expression and numerical value of \(\alpha^2\). (1.4 points)

Official English text of the problem.

Betrachten Sie einen homogenen Stab mit der unbelasteten Länge \(\ell\) und der Querschnittsfläche \(A\) (Abbildung 2a). Seine Länge ändert sich um \(\Delta\ell\), wenn an seinen Stirnflächen senkrecht zu diesen gleich große, entgegengesetzt gerichtete Kräfte vom Betrag \(F\) angreifen. Die mechanische Spannung \(T\) an den Stirnflächen ist als \(F/A\) definiert. Die relative Längenänderung, also \(\Delta\ell/\ell\), wird als Dehnung \(S\) des Stabes bezeichnet. Mithilfe von Spannung und Dehnung lässt sich das Hooke’sche Gesetz schreiben als

\[ T=YS \quad\text{oder}\quad \frac{F}{A}=Y\frac{\Delta\ell}{\ell}. \tag{1} \]

Dabei wird \(Y\) als Elastizitätsmodul des Stabmaterials bezeichnet. Beachten Sie, dass eine Druckspannung \(T\) einer Kraft \(F<0\) und einer Längenabnahme (also \(\Delta\ell<0\)) entspricht. Eine solche Spannung ist somit negativ und hängt mit dem Druck \(p\) über \(T=-p\) zusammen.

Für einen homogenen Stab der Dichte \(\rho\) ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Longitudinalwellen (also die Schallgeschwindigkeit) entlang des Stabes gegeben durch

\[ u=\sqrt{Y/\rho}. \tag{2} \]

Abbildung 2a

Der Einfluss von Dämpfung und Dissipation kann bei der Beantwortung der folgenden Fragen vernachlässigt werden.

Teil A: mechanische Eigenschaften

Ein homogener, halbunendlich langer Stab, der sich von \(x=0\) bis \(\infty\) erstreckt (siehe Abbildung 2b), hat die Dichte \(\rho\). Er ruht zunächst und ist unbelastet. Ein Kolben übt dann während einer sehr kurzen Zeit \(\Delta t\) einen konstanten, kleinen Druck \(p\) auf seine linke Stirnfläche bei \(x=0\) aus, wodurch sich eine Druckwelle mit der Geschwindigkeit \(u\) nach rechts ausbreitet.

Abbildung 2b

Abbildung 2c

(a) Wenn der Kolben bewirkt, dass sich die linke Stirnfläche des Stabes mit einer konstanten Geschwindigkeit \(v\) bewegt (Abbildung 2b), wie groß sind dann die Dehnung \(S\) und der Druck \(p\) an der linken Stirnfläche während der Zeit \(\Delta t\)? Die Antworten dürfen nur durch \(\rho\), \(u\) und \(v\) ausgedrückt werden. (1.6 Punkte)

(b) Betrachten Sie eine Longitudinalwelle, die sich im Stab in \(x\)-Richtung ausbreitet. Für einen Querschnitt, der sich im unbelasteten Stab bei \(x\) befindet (Abbildung 2c), sei \(\xi(x,t)\) seine Verschiebung zum Zeitpunkt \(t\), und es gelte

\[ \xi(x,t)=\xi_0\sin k(x-ut) \tag{3} \]

Dabei sind \(\xi_0\) und \(k\) Konstanten. Bestimmen Sie die zugehörige Geschwindigkeit \(v(x,t)\), Dehnung \(S(x,t)\) und den Druck \(p(x,t)\) als Funktionen von \(x\) und \(t\). (2.4 Punkte)

Teil B: elektromechanische Eigenschaften (einschließlich des piezoelektrischen Effekts)

Betrachten Sie eine Quarzkristallplatte der Länge \(b\), der Dicke \(h\) und der Breite \(w\) (Abbildung 2d). Ihre Länge und Dicke verlaufen entlang der \(x\)- bzw. \(z\)-Achse. Dünne metallische Beschichtungen auf ihrer Ober- und Unterseite bilden Elektroden. Elektrische Zuleitungen, die zugleich als Halterung dienen (Abbildung 2e), sind an die Mittelpunkte der Elektroden gelötet; diese Mittelpunkte können bei longitudinalen Schwingungen in \(x\)-Richtung als ruhend angenommen werden.

Abbildung 2d

Abbildung 2e

Der betrachtete Quarzkristall hat eine Dichte \(\rho\) von \(2.65\times10^3\ \mathrm{kg/m^3}\) und einen Elastizitätsmodul \(Y\) von \(7.87\times10^{10}\ \mathrm{N/m^2}\). Die Länge \(b\) der Platte beträgt \(1.00\ \mathrm{cm}\), und die Breite \(w\) und Höhe \(h\) der Platte sind so gewählt, dass \(h\ll w\) und \(w\ll b\) gelten. Bei geöffnetem Schalter \(K\) nehmen wir an, dass in der Quarzplatte nur longitudinale Moden stehender Wellen in \(x\)-Richtung angeregt werden.

Für eine stehende Welle der Frequenz \(f=\omega/2\pi\) lässt sich die Verschiebung \(\xi(x,t)\) eines Querschnitts der Platte mit der Gleichgewichtslage \(x\) zum Zeitpunkt \(t\) schreiben als

\[ \xi(x,t)=2\xi_0g(x)\cos\omega t, \qquad (0\leq x\leq b) \tag{4a} \]

Dabei ist \(\xi_0\) eine positive Konstante, und die Ortsfunktion \(g(x)\) hat die Form

\[ g(x)=B_1\sin k\left(x-\frac b2\right) +B_2\cos k\left(x-\frac b2\right). \tag{4b} \]

\(g(x)\) hat den Maximalwert eins, und es gilt \(k=\omega/u\). Beachten Sie, dass die Mittelpunkte der Elektroden ruhen und die linke und rechte Stirnfläche der Platte frei sind, sodass dort die mechanische Spannung (bzw. der Druck) null sein muss.

(c) Bestimmen Sie die Werte von \(B_1\) und \(B_2\) in Gl. (4b) für eine longitudinale stehende Welle in der Quarzplatte. (1.2 Punkte)

(d) Welches sind die beiden niedrigsten Frequenzen, bei denen longitudinale stehende Wellen in der Quarzplatte angeregt werden können? (1.2 Punkte)

Der piezoelektrische Effekt ist eine besondere Eigenschaft eines Quarzkristalls. Eine Kompression oder Dehnung des Kristalls erzeugt eine elektrische Spannung am Kristall; umgekehrt bewirkt eine von außen an den Kristall angelegte Spannung je nach ihrer Polarität eine Ausdehnung oder Kontraktion des Kristalls. Daher können mechanische und elektrische Schwingungen durch einen Quarzkristall gekoppelt und in Resonanz gebracht werden.

Um den piezoelektrischen Effekt zu berücksichtigen, seien die Flächenladungsdichten auf der oberen und unteren Elektrode \(-\sigma\) bzw. \(+\sigma\), wenn die Quarzplatte einem elektrischen Feld \(E\) in \(z\)-Richtung ausgesetzt ist. Die Dehnung und die mechanische Spannung der Platte in \(x\)-Richtung seien mit \(S\) bzw. \(T\) bezeichnet. Dann lässt sich der piezoelektrische Effekt des Quarzkristalls durch das folgende Gleichungssystem beschreiben:

\[ S=(1/Y)T+d_pE \tag{5a} \]

\[ \sigma=d_pT+\varepsilon_TE \tag{5b} \]

Dabei ist \(1/Y=1.27\times10^{-11}\ \mathrm{m^2/N}\) die elastische Nachgiebigkeit (also der Kehrwert des Elastizitätsmoduls) bei konstantem elektrischem Feld, \(\varepsilon_T=4.06\times10^{-11}\ \mathrm{F/m}\) die Permittivität bei konstanter mechanischer Spannung und \(d_p=2.25\times10^{-12}\ \mathrm{m/V}\) der piezoelektrische Koeffizient.

Nun werde der Schalter \(K\) in Abb. 2d geschlossen. Die Wechselspannung \(V(t)=V_m\cos\omega t\) liegt jetzt zwischen den Elektroden an, und in der Quarzplatte entsteht ein homogenes elektrisches Feld \(E(t)=V(t)/h\) in \(z\)-Richtung. Nach Erreichen des eingeschwungenen Zustands schwingt die Platte in \(x\)-Richtung in Form einer longitudinalen stehenden Welle mit der Kreisfrequenz \(\omega\).

Da \(E\) homogen ist, hängen die Wellenlänge \(\lambda\) und die Frequenz \(f\) einer longitudinalen stehenden Welle in der Platte weiterhin über \(\lambda=u/f\) zusammen, wobei \(u\) durch Gl. (2) gegeben ist. Wie Gl. (5a) zeigt, gilt jedoch \(T=YS\) nicht mehr, obwohl die Definitionen von Dehnung und mechanischer Spannung unverändert bleiben und die Stirnflächen der Platte weiterhin frei und spannungsfrei sind.

(e) Unter Berücksichtigung der Gln. (5a) und (5b) hat die Flächenladungsdichte \(\sigma\) auf der unteren Elektrode als Funktion von \(x\) und \(t\) die Form

\[ \sigma(x,t)= \left[ D_1\cos k\left(x-\frac b2\right)+D_2 \right]\frac{V(t)}h \]

Dabei ist \(k=\omega/u\). Bestimmen Sie die Ausdrücke für \(D_1\) und \(D_2\). (2.2 Punkte)

(f) Die gesamte Oberflächenladung \(Q(t)\) auf der unteren Elektrode hängt mit \(V(t)\) über

\[ Q(t)= \left[ 1+\alpha^2\left(\frac{2}{kb}\tan\frac{kb}{2}-1\right) \right]C_0V(t) \tag{6} \]

zusammen. Bestimmen Sie den Ausdruck für \(C_0\) sowie den Ausdruck und den Zahlenwert von \(\alpha^2\). (1.4 Punkte)

Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt.

Gerilmesiz durumdaki uzunluğu \(\ell\), kesit alanı \(A\) olan düzgün bir çubuk ele alalım (Şekil 2a). Uç yüzeylerine dik olarak, büyüklükleri \(F\) olan eşit ve zıt yönlü kuvvetler uygulandığında uzunluğu \(\Delta\ell\) kadar değişir. Uç yüzeylerindeki gerilme \(T\), \(F/A\) olarak tanımlanır. Uzunluğundaki bağıl değişime, yani \(\Delta\ell/\ell\) oranına, çubuğun birim şekil değiştirmesi \(S\) denir. Hooke yasası, gerilme ve birim şekil değiştirme cinsinden şöyle ifade edilebilir:

\[ T=YS \quad\text{veya}\quad \frac{F}{A}=Y\frac{\Delta\ell}{\ell}. \tag{1} \]

Burada \(Y\), çubuk malzemesinin Young modülü olarak adlandırılır. Bir basma gerilmesi \(T\)'nin, \(F<0\) durumuna ve uzunlukta bir azalmaya (yani \(\Delta\ell<0\)) karşılık geldiğine dikkat ediniz. Dolayısıyla böyle bir gerilmenin değeri negatiftir ve basınç \(p\) ile ilişkisi \(T=-p\) şeklindedir.

Yoğunluğu \(\rho\) olan düzgün bir çubukta, boyuna dalgaların çubuk boyunca yayılma hızı (yani ses hızı) şu şekilde verilir:

\[ u=\sqrt{Y/\rho}. \tag{2} \]

Şekil 2a

Aşağıdaki soruları yanıtlarken sönüm ve enerji kaybının etkileri ihmal edilebilir.

Bölüm A: mekanik özellikler

\(x=0\)'dan \(\infty\)'a uzanan (bkz. Şekil 2b), yarı sonsuz uzunluktaki düzgün bir çubuğun yoğunluğu \(\rho\)'dur. Çubuk başlangıçta durgun ve gerilmesizdir. Ardından bir piston, \(x=0\)'daki sol yüzeye çok kısa bir \(\Delta t\) süresi boyunca sabit ve küçük bir \(p\) basıncı uygulayarak sağa doğru \(u\) hızıyla yayılan bir basınç dalgası oluşturur.

Şekil 2b

Şekil 2c

(a) Piston, çubuğun sol yüzeyinin sabit bir \(v\) hızıyla hareket etmesine neden oluyorsa (Şekil 2b), \(\Delta t\) süresi boyunca sol yüzeydeki birim şekil değiştirme \(S\) ve basınç \(p\) nedir? Yanıtlar yalnızca \(\rho\), \(u\) ve \(v\) cinsinden verilmelidir. (1.6 puan)

(b) Çubuk içinde \(x\) doğrultusunda ilerleyen bir boyuna dalga ele alalım. Çubuk gerilmesizken \(x\) konumunda bulunan bir kesitin (Şekil 2c) \(t\) anındaki yer değiştirmesi \(\xi(x,t)\) olsun ve

\[ \xi(x,t)=\xi_0\sin k(x-ut) \tag{3} \]

olduğunu varsayalım; burada \(\xi_0\) ve \(k\) sabittir. Buna karşılık gelen hız \(v(x,t)\), birim şekil değiştirme \(S(x,t)\) ve basınç \(p(x,t)\) ifadelerini \(x\) ve \(t\)'nin fonksiyonu olarak belirleyiniz. (2.4 puan)

Bölüm B: elektromekanik özellikler (piezoelektrik etki dâhil)

Uzunluğu \(b\), kalınlığı \(h\) ve genişliği \(w\) olan bir kuvars kristali levha ele alalım (Şekil 2d). Uzunluğu \(x\) ekseni, kalınlığı ise \(z\) ekseni doğrultusundadır. Üst ve alt yüzeylerindeki ince metal kaplamalar elektrotları oluşturur. Aynı zamanda levhayı taşıyan destekler olarak da işlev gören elektrik bağlantı telleri (Şekil 2e), elektrotların merkezlerine lehimlenmiştir; bu merkezlerin \(x\) doğrultusundaki boyuna salınımlar sırasında hareketsiz kaldığı varsayılabilir.

Şekil 2d

Şekil 2e

Ele alınan kuvars kristalinin yoğunluğu \(\rho\), \(2.65\times10^3\ \mathrm{kg/m^3}\) ve Young modülü \(Y\), \(7.87\times10^{10}\ \mathrm{N/m^2}\)'dir. Levhanın uzunluğu \(b\), \(1.00\ \mathrm{cm}\)'dir; genişliği \(w\) ve yüksekliği \(h\), \(h\ll w\) ve \(w\ll b\) koşullarını sağlar. \(K\) anahtarı açık bırakıldığında, kuvars levhada yalnızca \(x\) doğrultusundaki boyuna duran dalga salınım modlarının uyarıldığını varsayıyoruz.

Frekansı \(f=\omega/2\pi\) olan bir duran dalga için, levhanın denge konumu \(x\) olan bir kesitinin \(t\) anındaki yer değiştirmesi \(\xi(x,t)\) şöyle yazılabilir:

\[ \xi(x,t)=2\xi_0g(x)\cos\omega t, \qquad (0\leq x\leq b) \tag{4a} \]

Burada \(\xi_0\) pozitif bir sabittir ve konuma bağlı \(g(x)\) fonksiyonu şu biçimdedir:

\[ g(x)=B_1\sin k\left(x-\frac b2\right) +B_2\cos k\left(x-\frac b2\right). \tag{4b} \]

\(g(x)\)'in maksimum değeri birdir ve \(k=\omega/u\)'dur. Elektrotların merkezlerinin hareketsiz olduğunu, levhanın sol ve sağ yüzeylerinin serbest olduğunu ve bu yüzeylerde gerilmenin (veya basıncın) sıfır olması gerektiğini unutmayınız.

(c) Kuvars levhadaki bir boyuna duran dalga için Denklem (4b)'deki \(B_1\) ve \(B_2\) değerlerini belirleyiniz. (1.2 puan)

(d) Kuvars levhada boyuna duran dalgaların uyarılabileceği en düşük iki frekans nedir? (1.2 puan)

Piezoelektrik etki, kuvars kristalinin özel bir özelliğidir. Kristalin sıkıştırılması veya genleşmesi, kristalin iki yüzü arasında bir elektrik gerilimi oluşturur; tersine, kristalin iki yüzü arasına uygulanan dış gerilim, gerilimin kutupluluğuna bağlı olarak kristalin genleşmesine veya büzülmesine neden olur. Dolayısıyla mekanik ve elektriksel salınımlar, bir kuvars kristali aracılığıyla birbirine bağlanabilir ve rezonansa getirilebilir.

Piezoelektrik etkiyi hesaba katmak için, kuvars levha \(z\) doğrultusunda bir \(E\) elektrik alanı altındayken üst ve alt elektrotlardaki yüzey yük yoğunlukları sırasıyla \(-\sigma\) ve \(+\sigma\) olsun. Levhanın \(x\) doğrultusundaki birim şekil değiştirmesini ve gerilmesini sırasıyla \(S\) ve \(T\) ile gösterelim. Bu durumda kuvars kristalinin piezoelektrik etkisi aşağıdaki denklem takımıyla betimlenebilir:

\[ S=(1/Y)T+d_pE \tag{5a} \]

\[ \sigma=d_pT+\varepsilon_TE \tag{5b} \]

Burada \(1/Y=1.27\times10^{-11}\ \mathrm{m^2/N}\), sabit elektrik alan altındaki elastik uyumluluk (yani Young modülünün tersi); \(\varepsilon_T=4.06\times10^{-11}\ \mathrm{F/m}\), sabit gerilme altındaki elektriksel geçirgenlik; \(d_p=2.25\times10^{-12}\ \mathrm{m/V}\) ise piezoelektrik katsayısıdır.

Şekil 2d'deki \(K\) anahtarı kapatılsın. Artık elektrotlar arasına \(V(t)=V_m\cos\omega t\) alternatif gerilimi uygulanır ve kuvars levhada \(z\) doğrultusunda düzgün bir \(E(t)=V(t)/h\) elektrik alanı oluşur. Kararlı duruma ulaşıldığında, levhada \(x\) doğrultusunda açısal frekansı \(\omega\) olan bir boyuna duran dalga salınımı oluşur.

\(E\) düzgün olduğundan, levhadaki bir boyuna duran dalganın dalga boyu \(\lambda\) ile frekansı \(f\) arasındaki ilişki hâlâ \(\lambda=u/f\) biçimindedir; burada \(u\), Denklem (2) ile verilir. Ancak Denklem (5a)'nın gösterdiği gibi, birim şekil değiştirme ve gerilme tanımları değişmemesine ve levhanın uç yüzeyleri sıfır gerilmeli serbest yüzeyler olarak kalmasına rağmen, \(T=YS\) artık geçerli değildir.

(e) Denklem (5a) ve (5b) hesaba katıldığında, alt elektrottaki yüzey yük yoğunluğu \(\sigma\), \(x\) ve \(t\)'nin fonksiyonu olarak şu biçimdedir:

\[ \sigma(x,t)= \left[ D_1\cos k\left(x-\frac b2\right)+D_2 \right]\frac{V(t)}h \]

Burada \(k=\omega/u\)'dur. \(D_1\) ve \(D_2\) için ifadeleri bulunuz. (2.2 puan)

(f) Alt elektrottaki toplam yüzey yükü \(Q(t)\) ile \(V(t)\) arasındaki ilişki şöyledir:

\[ Q(t)= \left[ 1+\alpha^2\left(\frac{2}{kb}\tan\frac{kb}{2}-1\right) \right]C_0V(t). \tag{6} \]

\(C_0\) için ifadeyi ve \(\alpha^2\) için hem ifadeyi hem de sayısal değeri bulunuz. (1.4 puan)

Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir.

Considere una barra uniforme de longitud sin esfuerzo aplicado \(\ell\) y área de sección transversal \(A\) (Figura 2a). Su longitud cambia en \(\Delta\ell\) cuando se aplican a sus caras extremas fuerzas iguales y opuestas de magnitud \(F\), perpendiculares a ellas. El esfuerzo \(T\) sobre las caras extremas se define como \(F/A\). El cambio relativo de su longitud, es decir, \(\Delta\ell/\ell\), se denomina deformación unitaria \(S\) de la barra. En términos del esfuerzo y la deformación unitaria, la ley de Hooke puede expresarse como

\[ T=YS \quad\text{o}\quad \frac{F}{A}=Y\frac{\Delta\ell}{\ell}. \tag{1} \]

donde \(Y\) se denomina módulo de Young del material de la barra. Observe que un esfuerzo de compresión \(T\) corresponde a \(F<0\) y a una disminución de la longitud (es decir, \(\Delta\ell<0\)). Por tanto, dicho esfuerzo es negativo y está relacionado con la presión \(p\) mediante \(T=-p\).

Para una barra uniforme de densidad \(\rho\), la velocidad de propagación de las ondas longitudinales (es decir, la velocidad del sonido) a lo largo de la barra viene dada por

\[ u=\sqrt{Y/\rho}. \tag{2} \]

Figura 2a

Se pueden despreciar los efectos del amortiguamiento y de la disipación al responder a las siguientes preguntas.

Parte A: propiedades mecánicas

Una barra uniforme de longitud semiinfinita, que se extiende desde \(x=0\) hasta \(\infty\) (véase la Figura 2b), tiene una densidad \(\rho\). Inicialmente está en reposo y sin esfuerzo aplicado. A continuación, un pistón ejerce de manera constante una pequeña presión \(p\) sobre su cara izquierda en \(x=0\) durante un tiempo muy breve \(\Delta t\), lo que hace que una onda de presión se propague hacia la derecha con velocidad \(u\).

Figura 2b

Figura 2c

(a) Si el pistón hace que la cara izquierda de la barra se mueva con una velocidad constante \(v\) (Figura 2b), ¿cuáles son la deformación unitaria \(S\) y la presión \(p\) en la cara izquierda durante el tiempo \(\Delta t\)? Las respuestas deben expresarse únicamente en términos de \(\rho\), \(u\) y \(v\). (1.6 puntos)

(b) Considere una onda longitudinal que se propaga a lo largo de la dirección \(x\) en la barra. Para una sección transversal situada en \(x\) cuando la barra no está sometida a esfuerzo (Figura 2c), sea \(\xi(x,t)\) su desplazamiento en el instante \(t\) y suponga que

\[ \xi(x,t)=\xi_0\sin k(x-ut) \tag{3} \]

donde \(\xi_0\) y \(k\) son constantes. Determine la velocidad \(v(x,t)\), la deformación unitaria \(S(x,t)\) y la presión \(p(x,t)\) correspondientes en función de \(x\) y \(t\). (2.4 puntos)

Parte B: propiedades electromecánicas (incluido el efecto piezoeléctrico)

Considere una lámina de cristal de cuarzo de longitud \(b\), espesor \(h\) y anchura \(w\) (Figura 2d). Su longitud y su espesor se orientan a lo largo de los ejes \(x\) y \(z\), respectivamente. Los electrodos están formados por finos recubrimientos metálicos en sus superficies superior e inferior. Unos conductores eléctricos que también sirven como soportes de montaje (Figura 2e) están soldados a los centros de los electrodos, que pueden suponerse inmóviles para las oscilaciones longitudinales en la dirección \(x\).

Figura 2d

Figura 2e

El cristal de cuarzo considerado tiene una densidad \(\rho\) de \(2.65\times10^3\ \mathrm{kg/m^3}\) y un módulo de Young \(Y\) de \(7.87\times10^{10}\ \mathrm{N/m^2}\). La longitud \(b\) de la lámina es \(1.00\ \mathrm{cm}\), y su anchura \(w\) y altura \(h\) son tales que \(h\ll w\) y \(w\ll b\). Con el interruptor \(K\) abierto, suponemos que en la lámina de cuarzo solo se excitan modos longitudinales de oscilación de ondas estacionarias en la dirección \(x\).

Para una onda estacionaria de frecuencia \(f=\omega/2\pi\), el desplazamiento \(\xi(x,t)\) en el instante \(t\) de una sección transversal de la lámina cuya posición de equilibrio es \(x\) puede escribirse como

\[ \xi(x,t)=2\xi_0g(x)\cos\omega t, \qquad (0\leq x\leq b) \tag{4a} \]

donde \(\xi_0\) es una constante positiva y la función espacial \(g(x)\) tiene la forma

\[ g(x)=B_1\sin k\left(x-\frac b2\right) +B_2\cos k\left(x-\frac b2\right). \tag{4b} \]

\(g(x)\) tiene un valor máximo de uno y \(k=\omega/u\). Tenga en cuenta que los centros de los electrodos están inmóviles y que las caras izquierda y derecha de la lámina están libres y deben tener un esfuerzo (o una presión) nulo.

(c) Determine los valores de \(B_1\) y \(B_2\) en la Ec. (4b) para una onda estacionaria longitudinal en la lámina de cuarzo. (1.2 puntos)

(d) ¿Cuáles son las dos frecuencias más bajas a las que pueden excitarse ondas estacionarias longitudinales en la lámina de cuarzo? (1.2 puntos)

El efecto piezoeléctrico es una propiedad especial del cristal de cuarzo. La compresión o dilatación del cristal genera una tensión eléctrica entre sus caras y, a la inversa, una tensión externa aplicada entre las caras del cristal hace que este se expanda o se contraiga según la polaridad de la tensión. Por tanto, las oscilaciones mecánicas y eléctricas pueden acoplarse y entrar en resonancia mediante un cristal de cuarzo.

Para tener en cuenta el efecto piezoeléctrico, sean \(-\sigma\) y \(+\sigma\) las densidades superficiales de carga de los electrodos superior e inferior, respectivamente, cuando la lámina de cuarzo está sometida a un campo eléctrico \(E\) en la dirección \(z\). Denotemos por \(S\) y \(T\) la deformación unitaria y el esfuerzo de la lámina en la dirección \(x\), respectivamente. Entonces, el efecto piezoeléctrico del cristal de cuarzo puede describirse mediante el siguiente sistema de ecuaciones:

\[ S=(1/Y)T+d_pE \tag{5a} \]

\[ \sigma=d_pT+\varepsilon_TE \tag{5b} \]

donde \(1/Y=1.27\times10^{-11}\ \mathrm{m^2/N}\) es la compliancia elástica (es decir, la inversa del módulo de Young) a campo eléctrico constante y \(\varepsilon_T=4.06\times10^{-11}\ \mathrm{F/m}\) es la permitividad a esfuerzo constante, mientras que \(d_p=2.25\times10^{-12}\ \mathrm{m/V}\) es el coeficiente piezoeléctrico.

Suponga que se cierra el interruptor \(K\) de la Fig. 2d. La tensión alterna \(V(t)=V_m\cos\omega t\) actúa ahora entre los electrodos y aparece en la lámina de cuarzo un campo eléctrico uniforme \(E(t)=V(t)/h\) en la dirección \(z\). Cuando se alcanza el régimen estacionario, aparece en la lámina una oscilación de onda estacionaria longitudinal de frecuencia angular \(\omega\) en la dirección \(x\).

Como \(E\) es uniforme, la longitud de onda \(\lambda\) y la frecuencia \(f\) de una onda estacionaria longitudinal en la lámina siguen estando relacionadas mediante \(\lambda=u/f\), con \(u\) dada por la Ec. (2). Sin embargo, como muestra la Ec. (5a), \(T=YS\) ya no es válida, aunque las definiciones de deformación unitaria y esfuerzo no cambian y las caras extremas de la lámina siguen estando libres, con esfuerzo nulo.

(e) Teniendo en cuenta las Ecs. (5a) y (5b), la densidad superficial de carga \(\sigma\) en el electrodo inferior, en función de \(x\) y \(t\), tiene la forma

\[ \sigma(x,t)= \left[ D_1\cos k\left(x-\frac b2\right)+D_2 \right]\frac{V(t)}h \]

donde \(k=\omega/u\). Halle las expresiones de \(D_1\) y \(D_2\). (2.2 puntos)

(f) La carga superficial total \(Q(t)\) en el electrodo inferior está relacionada con \(V(t)\) mediante

\[ Q(t)= \left[ 1+\alpha^2\left(\frac{2}{kb}\tan\frac{kb}{2}-1\right) \right]C_0V(t). \tag{6} \]

Halle la expresión de \(C_0\) y la expresión y el valor numérico de \(\alpha^2\). (1.4 puntos)

Enunciado traducido del texto oficial en inglés.

考虑一根未受应力时长度为 \(\ell\)、横截面积为 \(A\) 的均匀杆（图 2a）。当在两端面上沿法线方向施加大小均为 \(F\)、方向相反的力时，杆的长度变化为 \(\Delta\ell\)。端面上的应力 \(T\) 定义为 \(F/A\)。长度的相对变化，即 \(\Delta\ell/\ell\)，称为杆的应变 \(S\)。用应力和应变表示，胡克定律可写为

\[ T=YS \quad\text{或}\quad \frac{F}{A}=Y\frac{\Delta\ell}{\ell}. \tag{1} \]

其中，\(Y\) 称为杆材料的杨氏模量。注意，压应力 \(T\) 对应于 \(F<0\) 和长度减小（即 \(\Delta\ell<0\)）。因此，这种应力的值为负，与压强 \(p\) 的关系为 \(T=-p\)。

对于密度为 \(\rho\) 的均匀杆，纵波沿杆传播的速度（即声速）为

\[ u=\sqrt{Y/\rho}. \tag{2} \]

图 2a

回答以下问题时，可以忽略阻尼和耗散的影响。

部分 A: 力学性质

一根从 \(x=0\) 延伸至 \(\infty\) 的半无限长均匀杆（见图 2b），密度为 \(\rho\)。初始时，杆静止且未受应力。随后，一个活塞在很短的时间 \(\Delta t\) 内，持续向杆位于 \(x=0\) 处的左端面施加一个恒定的小压强 \(p\)，使压强波以速度 \(u\) 向右传播。

图 2b

图 2c

(a) 如果活塞使杆的左端面以恒定速度 \(v\) 运动（图 2b），则在时间 \(\Delta t\) 内，左端面处的应变 \(S\) 和压强 \(p\) 是多少？答案必须仅用 \(\rho\)、\(u\) 和 \(v\) 表示。（1.6 分）

(b) 考虑沿杆的 \(x\) 方向传播的纵波。对于杆未受应力时位于 \(x\) 处的横截面（图 2c），令 \(\xi(x,t)\) 为其在时刻 \(t\) 的位移，并假设

\[ \xi(x,t)=\xi_0\sin k(x-ut) \tag{3} \]

其中，\(\xi_0\) 和 \(k\) 为常量。求相应的速度 \(v(x,t)\)、应变 \(S(x,t)\) 和压强 \(p(x,t)\) 关于 \(x\) 和 \(t\) 的函数。（2.4 分）

部分 B: 机电性质（包括压电效应）

考虑一块长为 \(b\)、厚为 \(h\)、宽为 \(w\) 的石英晶片（图 2d）。其长度和厚度方向分别沿 \(x\) 轴和 \(z\) 轴。晶片的上、下表面镀有薄金属层，形成电极。兼作安装支架的电引线（图 2e）焊接在电极的中心处；对于沿 \(x\) 方向的纵向振动，可以认为这些中心保持静止。

图 2d

图 2e

所考虑的石英晶体的密度 \(\rho\) 为 \(2.65\times10^3\ \mathrm{kg/m^3}\)，杨氏模量 \(Y\) 为 \(7.87\times10^{10}\ \mathrm{N/m^2}\)。晶片的长度 \(b\) 为 \(1.00\ \mathrm{cm}\)，宽度 \(w\) 和高度 \(h\) 满足 \(h\ll w\) 且 \(w\ll b\)。开关 \(K\) 保持断开时，假设石英晶片中仅激发沿 \(x\) 方向的纵向驻波振动模态。

对于频率为 \(f=\omega/2\pi\) 的驻波，晶片中平衡位置为 \(x\) 的横截面在时刻 \(t\) 的位移 \(\xi(x,t)\) 可写为

\[ \xi(x,t)=2\xi_0g(x)\cos\omega t, \qquad (0\leq x\leq b) \tag{4a} \]

其中，\(\xi_0\) 是正常量，空间函数 \(g(x)\) 的形式为

\[ g(x)=B_1\sin k\left(x-\frac b2\right) +B_2\cos k\left(x-\frac b2\right). \tag{4b} \]

\(g(x)\) 的最大值为一，且 \(k=\omega/u\)。请注意，电极的中心保持静止，晶片的左、右端面是自由端面，其应力（或压强）必须为零。

(c) 对于石英晶片中的纵向驻波，确定式 (4b) 中 \(B_1\) 和 \(B_2\) 的值。（1.2 分）

(d) 石英晶片中能够激发的纵向驻波的两个最低频率是多少？（1.2 分）

压电效应是石英晶体的一种特殊性质。晶体受到压缩或膨胀时，会在晶体两侧产生电压；反过来，在晶体两侧施加外电压，会使晶体膨胀或收缩，具体取决于电压的极性。因此，通过石英晶体，可以使机械振动与电振荡相互耦合并发生谐振。

为考虑压电效应，设石英晶片处于沿 \(z\) 方向的电场 \(E\) 中时，上、下电极的面电荷密度分别为 \(-\sigma\) 和 \(+\sigma\)。用 \(S\) 和 \(T\) 分别表示晶片沿 \(x\) 方向的应变和应力。于是，石英晶体的压电效应可由以下方程组描述：

\[ S=(1/Y)T+d_pE \tag{5a} \]

\[ \sigma=d_pT+\varepsilon_TE \tag{5b} \]

其中，\(1/Y=1.27\times10^{-11}\ \mathrm{m^2/N}\) 为恒定电场下的弹性柔量（即杨氏模量的倒数），\(\varepsilon_T=4.06\times10^{-11}\ \mathrm{F/m}\) 为恒定应力下的介电常数，而 \(d_p=2.25\times10^{-12}\ \mathrm{m/V}\) 为压电系数。

闭合图 2d 中的开关 \(K\)。此时，交变电压 \(V(t)=V_m\cos\omega t\) 施加在两电极之间，石英晶片中出现沿 \(z\) 方向的均匀电场 \(E(t)=V(t)/h\)。达到稳态后，晶片中沿 \(x\) 方向出现角频率为 \(\omega\) 的纵向驻波振动。

由于 \(E\) 均匀，晶片中纵向驻波的波长 \(\lambda\) 和频率 \(f\) 仍满足 \(\lambda=u/f\)，其中 \(u\) 由式 (2) 给出。但是，如式 (5a) 所示，\(T=YS\) 不再成立，尽管应变和应力的定义不变，且晶片的端面仍为应力为零的自由端面。

(e) 考虑式 (5a) 和式 (5b)，下电极的面电荷密度 \(\sigma\) 关于 \(x\) 和 \(t\) 的函数具有如下形式：

\[ \sigma(x,t)= \left[ D_1\cos k\left(x-\frac b2\right)+D_2 \right]\frac{V(t)}h \]

其中，\(k=\omega/u\)。求 \(D_1\) 和 \(D_2\) 的表达式。（2.2 分）

(f) 下电极上的总表面电荷 \(Q(t)\) 与 \(V(t)\) 的关系为

\[ Q(t)= \left[ 1+\alpha^2\left(\frac{2}{kb}\tan\frac{kb}{2}-1\right) \right]C_0V(t). \tag{6} \]

求 \(C_0\) 的表达式，以及 \(\alpha^2\) 的表达式和数值。（1.4 分）

题目译自官方英文原文。

Рассмотрим однородный стержень длиной \(\ell\) в ненапряжённом состоянии и площадью поперечного сечения \(A\) (рисунок 2a). Его длина изменяется на \(\Delta\ell\), когда к его торцам перпендикулярно им прикладывают равные по модулю и противоположно направленные силы величиной \(F\). Механическое напряжение \(T\) на торцах определяется как \(F/A\). Относительное изменение длины стержня, то есть \(\Delta\ell/\ell\), называется относительной деформацией \(S\) стержня. Через механическое напряжение и относительную деформацию закон Гука можно записать в виде

\[ T=YS \quad\text{или}\quad \frac{F}{A}=Y\frac{\Delta\ell}{\ell}. \tag{1} \]

где \(Y\) называется модулем Юнга материала стержня. Обратите внимание, что сжимающему механическому напряжению \(T\) соответствуют \(F<0\) и уменьшение длины (то есть \(\Delta\ell<0\)). Поэтому такое напряжение отрицательно и связано с давлением \(p\) соотношением \(T=-p\).

Для однородного стержня плотностью \(\rho\) скорость распространения продольных волн (то есть скорость звука) вдоль стержня определяется выражением

\[ u=\sqrt{Y/\rho}. \tag{2} \]

Рисунок 2a

При ответе на следующие вопросы влиянием затухания и диссипации можно пренебречь.

Часть A: механические свойства

Однородный полубесконечный стержень, простирающийся от \(x=0\) до \(\infty\) (см. рисунок 2b), имеет плотность \(\rho\). Первоначально он неподвижен и не напряжён. Затем поршень в течение очень короткого времени \(\Delta t\) оказывает постоянное небольшое давление \(p\) на его левый торец при \(x=0\), вызывая волну давления, распространяющуюся вправо со скоростью \(u\).

Рисунок 2b

Рисунок 2c

(a) Если под действием поршня левый торец стержня движется с постоянной скоростью \(v\) (рисунок 2b), каковы относительная деформация \(S\) и давление \(p\) у левого торца в течение времени \(\Delta t\)? Ответы должны быть выражены только через \(\rho\), \(u\) и \(v\). (1.6 балла)

(b) Рассмотрим продольную волну, распространяющуюся в стержне вдоль направления \(x\). Пусть \(\xi(x,t)\) — смещение в момент времени \(t\) поперечного сечения, которое в ненапряжённом состоянии стержня находится в точке \(x\) (рисунок 2c), и предположим, что

\[ \xi(x,t)=\xi_0\sin k(x-ut) \tag{3} \]

где \(\xi_0\) и \(k\) — постоянные. Определите соответствующие скорость \(v(x,t)\), относительную деформацию \(S(x,t)\) и давление \(p(x,t)\) как функции \(x\) и \(t\). (2.4 балла)

Часть B: электромеханические свойства (с учётом пьезоэлектрического эффекта)

Рассмотрим пластину из кристалла кварца длиной \(b\), толщиной \(h\) и шириной \(w\) (рисунок 2d). Её длина и толщина направлены вдоль осей \(x\) и \(z\) соответственно. Электродами служат тонкие металлические покрытия на верхней и нижней поверхностях пластины. Электрические выводы, которые также служат опорами для крепления (рисунок 2e), припаяны к центрам электродов; эти центры можно считать неподвижными при продольных колебаниях вдоль направления \(x\).

Рисунок 2d

Рисунок 2e

Рассматриваемый кристалл кварца имеет плотность \(\rho\), равную \(2.65\times10^3\ \mathrm{kg/m^3}\), и модуль Юнга \(Y\), равный \(7.87\times10^{10}\ \mathrm{N/m^2}\). Длина \(b\) пластины равна \(1.00\ \mathrm{cm}\), а её ширина \(w\) и высота \(h\) таковы, что \(h\ll w\) и \(w\ll b\). При разомкнутом ключе \(K\) будем считать, что в кварцевой пластине возбуждаются только продольные моды стоячих волн в направлении \(x\).

Для стоячей волны частотой \(f=\omega/2\pi\) смещение \(\xi(x,t)\) в момент времени \(t\) поперечного сечения пластины, положение равновесия которого имеет координату \(x\), можно записать в виде

\[ \xi(x,t)=2\xi_0g(x)\cos\omega t, \qquad (0\leq x\leq b) \tag{4a} \]

где \(\xi_0\) — положительная постоянная, а пространственная функция \(g(x)\) имеет вид

\[ g(x)=B_1\sin k\left(x-\frac b2\right) +B_2\cos k\left(x-\frac b2\right). \tag{4b} \]

Максимальное значение \(g(x)\) равно единице, а \(k=\omega/u\). Помните, что центры электродов неподвижны, а левый и правый торцы пластины свободны, поэтому механическое напряжение (или давление) на них должно быть равно нулю.

(c) Определите значения \(B_1\) и \(B_2\) в уравнении (4b) для продольной стоячей волны в кварцевой пластине. (1.2 балла)

(d) Каковы две наименьшие частоты, на которых в кварцевой пластине могут возбуждаться продольные стоячие волны? (1.2 балла)

Пьезоэлектрический эффект — особое свойство кристалла кварца. Сжатие или растяжение кристалла создаёт электрическое напряжение между его гранями, и, наоборот, внешнее электрическое напряжение, приложенное к кристаллу, вызывает его расширение или сжатие в зависимости от полярности напряжения. Поэтому с помощью кристалла кварца можно связать механические и электрические колебания и добиться резонанса.

Для учёта пьезоэлектрического эффекта обозначим поверхностные плотности заряда на верхнем и нижнем электродах через \(-\sigma\) и \(+\sigma\) соответственно, когда кварцевая пластина находится в электрическом поле \(E\), направленном вдоль оси \(z\). Обозначим относительную деформацию и механическое напряжение в пластине в направлении \(x\) через \(S\) и \(T\) соответственно. Тогда пьезоэлектрический эффект в кристалле кварца можно описать следующей системой уравнений:

\[ S=(1/Y)T+d_pE \tag{5a} \]

\[ \sigma=d_pT+\varepsilon_TE \tag{5b} \]

где \(1/Y=1.27\times10^{-11}\ \mathrm{m^2/N}\) — упругая податливость (то есть величина, обратная модулю Юнга) при постоянном электрическом поле, \(\varepsilon_T=4.06\times10^{-11}\ \mathrm{F/m}\) — диэлектрическая проницаемость при постоянном механическом напряжении, а \(d_p=2.25\times10^{-12}\ \mathrm{m/V}\) — пьезоэлектрический коэффициент.

Пусть ключ \(K\) на рисунке 2d замкнут. Теперь к электродам приложено переменное напряжение \(V(t)=V_m\cos\omega t\), и в кварцевой пластине возникает однородное электрическое поле \(E(t)=V(t)/h\), направленное вдоль оси \(z\). После установления стационарного режима в пластине возникает продольная стоячая волна с угловой частотой \(\omega\) в направлении \(x\).

При однородном поле \(E\) длина волны \(\lambda\) и частота \(f\) продольной стоячей волны в пластине по-прежнему связаны соотношением \(\lambda=u/f\), где \(u\) задаётся уравнением (2). Однако, как следует из уравнения (5a), соотношение \(T=YS\) уже не выполняется, хотя определения относительной деформации и механического напряжения остаются прежними, а торцы пластины остаются свободными с нулевым механическим напряжением.

(e) С учётом уравнений (5a) и (5b) поверхностная плотность заряда \(\sigma\) на нижнем электроде как функция \(x\) и \(t\) имеет вид

\[ \sigma(x,t)= \left[ D_1\cos k\left(x-\frac b2\right)+D_2 \right]\frac{V(t)}h \]

где \(k=\omega/u\). Найдите выражения для \(D_1\) и \(D_2\). (2.2 балла)

(f) Полный поверхностный заряд \(Q(t)\) на нижнем электроде связан с \(V(t)\) соотношением

\[ Q(t)= \left[ 1+\alpha^2\left(\frac{2}{kb}\tan\frac{kb}{2}-1\right) \right]C_0V(t). \tag{6} \]

Найдите выражение для \(C_0\), а также выражение и численное значение \(\alpha^2\). (1.4 балла)

Условие переведено с официального английского текста.

لنعتبر قضيبًا منتظمًا طوله في غياب الإجهاد \(\ell\) ومساحة مقطعه العرضي \(A\) (الشكل 2a). يتغير طوله بمقدار \(\Delta\ell\) عندما تؤثر على وجهي نهايتيه، عموديًا عليهما، قوتان متساويتان في المقدار \(F\) ومتعاكستان في الاتجاه. يُعرَّف الإجهاد \(T\) على وجهي النهايتين بأنه \(F/A\). ويُسمّى التغير النسبي في طوله، أي \(\Delta\ell/\ell\)، الانفعال \(S\) للقضيب. وبدلالة الإجهاد والانفعال، يمكن التعبير عن قانون هوك كما يلي:

\[ T=YS \quad\text{أو}\quad \frac{F}{A}=Y\frac{\Delta\ell}{\ell}. \tag{1} \]

حيث يُسمّى \(Y\) معامل يونغ لمادة القضيب. لاحظ أن إجهاد الضغط \(T\) يقابل \(F<0\) ونقصانًا في الطول (أي \(\Delta\ell<0\)). ومن ثم تكون قيمة هذا الإجهاد سالبة، ويرتبط بالضغط \(p\) بالعلاقة \(T=-p\).

لقضيب منتظم كثافته \(\rho\)، تُعطى سرعة انتشار الموجات الطولية (أي سرعة الصوت) على امتداد القضيب بالعلاقة

\[ u=\sqrt{Y/\rho}. \tag{2} \]

الشكل 2a

يمكن إهمال تأثير التخميد والتبدد عند الإجابة عن الأسئلة التالية.

الجزء A: الخواص الميكانيكية

قضيب منتظم نصف لانهائي الطول، يمتد من \(x=0\) إلى \(\infty\) (انظر الشكل 2b)، كثافته \(\rho\). يكون القضيب في البداية ساكنًا وغير مُجهَد. ثم يؤثر مكبس بضغط صغير ثابت \(p\) على وجهه الأيسر عند \(x=0\) لمدة قصيرة جدًا \(\Delta t\)، مما يؤدي إلى انتشار موجة ضغط بسرعة \(u\) نحو اليمين.

الشكل 2b

الشكل 2c

(a) إذا جعل المكبس الوجه الأيسر للقضيب يتحرك بسرعة ثابتة \(v\) (الشكل 2b)، فما الانفعال \(S\) والضغط \(p\) عند الوجه الأيسر خلال الفترة \(\Delta t\)؟ يجب إعطاء الإجابات بدلالة \(\rho\) و\(u\) و\(v\) فقط. (1.6 درجة)

(b) لنعتبر موجة طولية تنتشر في اتجاه \(x\) في القضيب. ولمقطع عرضي موضعه \(x\) عندما يكون القضيب غير مُجهَد (الشكل 2c)، لتكن \(\xi(x,t)\) إزاحته عند الزمن \(t\)، ولنفترض أن

\[ \xi(x,t)=\xi_0\sin k(x-ut) \tag{3} \]

حيث \(\xi_0\) و\(k\) ثابتان. أوجد السرعة \(v(x,t)\) والانفعال \(S(x,t)\) والضغط \(p(x,t)\) الموافقة، بدلالة \(x\) و\(t\). (2.4 درجة)

الجزء B: الخواص الكهروميكانيكية (بما فيها التأثير الكهرضغطي)

لنعتبر صفيحة من بلورة الكوارتز طولها \(b\) وسُمكها \(h\) وعرضها \(w\) (الشكل 2d). يمتد طولها وسُمكها في اتجاهي المحور \(x\) والمحور \(z\)، على الترتيب. وتُشكَّل أقطاب كهربائية بطبقتين معدنيتين رقيقتين على سطحيها العلوي والسفلي. وتُلحم أسلاك توصيل كهربائية، تعمل أيضًا كدعامات تثبيت (الشكل 2e)، بمركزي القطبين، ويمكن افتراض سكون هذين المركزين عند حدوث اهتزازات طولية في اتجاه \(x\).

الشكل 2d

الشكل 2e

تبلغ كثافة \(\rho\) بلورة الكوارتز المدروسة \(2.65\times10^3\ \mathrm{kg/m^3}\)، ومعامل يونغ \(Y\) لها \(7.87\times10^{10}\ \mathrm{N/m^2}\). وطول الصفيحة \(b\) هو \(1.00\ \mathrm{cm}\)، أما عرضها \(w\) وارتفاعها \(h\) فيحققان \(h\ll w\) و\(w\ll b\). مع إبقاء المفتاح \(K\) مفتوحًا، نفترض أن الأنماط الوحيدة المُثارة في صفيحة الكوارتز هي أنماط الاهتزاز الطولي بموجات واقفة في اتجاه \(x\).

لموجة واقفة ترددها \(f=\omega/2\pi\)، يمكن كتابة الإزاحة \(\xi(x,t)\) عند الزمن \(t\) لمقطع عرضي من الصفيحة موضع اتزانه \(x\) كما يلي:

\[ \xi(x,t)=2\xi_0g(x)\cos\omega t, \qquad (0\leq x\leq b) \tag{4a} \]

حيث \(\xi_0\) ثابت موجب، والدالة المكانية \(g(x)\) لها الصورة

\[ g(x)=B_1\sin k\left(x-\frac b2\right) +B_2\cos k\left(x-\frac b2\right). \tag{4b} \]

تبلغ القيمة العظمى للدالة \(g(x)\) واحدًا، و\(k=\omega/u\). تذكّر أن مركزي القطبين ساكنان، وأن الوجهين الأيسر والأيمن للصفيحة حُرّان، ولذلك يجب أن ينعدم الإجهاد (أو الضغط) عليهما.

(c) أوجد قيمتي \(B_1\) و\(B_2\) في المعادلة (4b) لموجة طولية واقفة في صفيحة الكوارتز. (1.2 درجة)

(d) ما أدنى ترددين يمكن عندهما إثارة موجات طولية واقفة في صفيحة الكوارتز؟ (1.2 درجة)

التأثير الكهرضغطي خاصية مميزة لبلورة الكوارتز. فضغط البلورة أو تمديدها يولّد فرق جهد كهربائي عبرها، وبالعكس، يؤدي تطبيق فرق جهد خارجي عبر البلورة إلى تمددها أو انكماشها تبعًا لقطبية الجهد. لذلك يمكن اقتران الاهتزازات الميكانيكية والكهربائية وإحداث الرنين بينها باستخدام بلورة كوارتز.

لأخذ التأثير الكهرضغطي في الحسبان، لتكن كثافتا الشحنة السطحية على القطبين العلوي والسفلي \(-\sigma\) و\(+\sigma\)، على الترتيب، عندما تكون صفيحة الكوارتز تحت تأثير مجال كهربائي \(E\) في اتجاه \(z\). ولنرمز إلى انفعال الصفيحة وإجهادها في اتجاه \(x\) بالرمزين \(S\) و\(T\)، على الترتيب. عندئذ يمكن وصف التأثير الكهرضغطي لبلورة الكوارتز بمجموعة المعادلات التالية:

\[ S=(1/Y)T+d_pE \tag{5a} \]

\[ \sigma=d_pT+\varepsilon_TE \tag{5b} \]

حيث \(1/Y=1.27\times10^{-11}\ \mathrm{m^2/N}\) هو المطاوعة المرنة (أي مقلوب معامل يونغ) عند ثبات المجال الكهربائي، و\(\varepsilon_T=4.06\times10^{-11}\ \mathrm{F/m}\) هي السماحية الكهربائية عند ثبات الإجهاد، بينما \(d_p=2.25\times10^{-12}\ \mathrm{m/V}\) هو معامل الكهرضغطية.

لنُغلق المفتاح \(K\) في الشكل 2d. يصبح الجهد المتناوب \(V(t)=V_m\cos\omega t\) مطبَّقًا بين القطبين، وينشأ في صفيحة الكوارتز مجال كهربائي منتظم \(E(t)=V(t)/h\) في اتجاه \(z\). وعندما تتحقق الحالة المستقرة، ينشأ في الصفيحة اهتزاز طولي على هيئة موجة واقفة بتردد زاوي \(\omega\) في اتجاه \(x\).

بما أن \(E\) منتظم، يظل الطول الموجي \(\lambda\) والتردد \(f\) لموجة طولية واقفة في الصفيحة مرتبطين بالعلاقة \(\lambda=u/f\)، حيث تُعطى \(u\) بالمعادلة (2). لكن العلاقة \(T=YS\) لم تعد صحيحة، كما تُبيّن المعادلة (5a)، مع أن تعريفي الانفعال والإجهاد لم يتغيرا، ومع أن وجهي نهايتي الصفيحة يظلان حُرّين بإجهاد معدوم.

(e) بأخذ المعادلتين (5a) و(5b) في الحسبان، تكون كثافة الشحنة السطحية \(\sigma\) على القطب السفلي، بدلالة \(x\) و\(t\)، على الصورة

\[ \sigma(x,t)= \left[ D_1\cos k\left(x-\frac b2\right)+D_2 \right]\frac{V(t)}h \]

حيث \(k=\omega/u\). أوجد عبارتي \(D_1\) و\(D_2\). (2.2 درجة)

(f) ترتبط الشحنة السطحية الكلية \(Q(t)\) على القطب السفلي بالجهد \(V(t)\) بالعلاقة

\[ Q(t)= \left[ 1+\alpha^2\left(\frac{2}{kb}\tan\frac{kb}{2}-1\right) \right]C_0V(t). \tag{6} \]

أوجد عبارة \(C_0\)، وعبارة \(\alpha^2\) وقيمتها العددية. (1.4 درجة)

نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي.