Solution

1. Current density of a point current source

In a homogeneous, isotropic, infinite medium, spherical symmetry requires the current density to be radial and to have the same magnitude everywhere on a sphere centered on the source.

Conservation of current gives \[ I_s=\oint \vec j\cdot d\vec A=4\pi r^2j(r). \] Therefore, \[ \boxed{\vec j(r)=\frac{I_s}{4\pi r^2}\hat{\mathbf r}}. \] For a positive source the current is outward; a sink carrying the same current has the opposite sign. The current density has SI units \(\mathrm{A\,m^{-2}}\).

2. Electric field at P

Place the midpoint of the prey’s two spheres at the origin. The positive sphere is at \(x=l_s/2\), the negative sphere at \(x=-l_s/2\), and P is at \((0,y)\).

Since the spheres are small compared with their separation and their distance from P, replace them by a point source \(+I_s\) and a point sink \(-I_s\). Their common distance from P is \[ R=\sqrt{y^2+\frac{l_s^2}{4}}. \]

By superposition, \[ \begin{aligned} \vec j(P) &=\frac{I_s}{4\pi R^3} \left[ \left(-\frac{l_s}{2}\hat{\mathbf x}+y\hat{\mathbf y}\right) -\left(\frac{l_s}{2}\hat{\mathbf x}+y\hat{\mathbf y}\right) \right]\\ &=-\frac{I_s l_s}{4\pi R^3}\hat{\mathbf x}. \end{aligned} \] The vertical components cancel, while the horizontal components add.

Using the local form of Ohm’s law, \(\vec E=\rho\vec j\), \[ \vec E_p =-\frac{\rho I_s l_s} {4\pi\left(y^2+l_s^2/4\right)^{3/2}}\hat{\mathbf x}. \] This expression is exact within the point-source approximation. With \(l_s\ll y\), \[ \boxed{\vec E_p\simeq-\frac{\rho I_s l_s}{4\pi y^3}\hat{\mathbf x}}. \]

Thus P lies on the equatorial line of a current dipole, whose field decreases as \(y^{-3}\).

3. Source voltage, resistance, and power

For a single point source, the radial electric field is \[ E_r(r)=\frac{\rho I_s}{4\pi r^2}. \] Taking the potential at infinity as zero, \[ \phi(r)=\int_r^\infty E_r(r')\,dr' =\frac{\rho I_s}{4\pi r}. \] A sink of current \(I_s\) produces the negative of this potential.

At either source sphere, its own contribution to the surface potential has magnitude \[ \frac{\rho I_s}{4\pi r_s}. \] The contribution from the other sphere is of order \(\rho I_s/(4\pi l_s)\), smaller by \(r_s/l_s\), and is neglected at leading order. Hence \[ \phi_+\simeq\frac{\rho I_s}{4\pi r_s}, \qquad \phi_-\simeq-\frac{\rho I_s}{4\pi r_s}. \]

The voltage difference is therefore \[ \boxed{V_s=\phi_+-\phi_-\simeq\frac{\rho I_s}{2\pi r_s}}. \]

For completeness, retaining the mutual potential of the two monopoles would give \[ V_s\simeq\frac{\rho I_s}{2\pi} \left(\frac1{r_s}-\frac1{l_s}\right), \] whose second term is negligible under the stated assumption.

The resistance seen between the source spheres follows from Ohm’s law: \[ \boxed{R_s=\frac{V_s}{I_s}\simeq\frac{\rho}{2\pi r_s}}. \]

The electrical power supplied by the prey is \[ \boxed{P_s=I_sV_s=I_s^2R_s \simeq\frac{\rho I_s^2}{2\pi r_s}}. \]

4. Seawater resistance, detector voltage, and detected power

A current through the detector enters the surrounding water at one detector sphere and leaves it at the other. The resistance of this path is obtained by applying part 3 to spheres of radius \(r_d\), separated by \(l_d\). Since \(r_d\ll l_d\), \[ \boxed{R_m\simeq\frac{\rho}{2\pi r_d}}. \] Physically, each small spherical contact contributes a spreading resistance \(\rho/(4\pi r_d)\).

The prey’s electric field is approximately uniform along the detector because \(l_d\ll y\). The right detector sphere is at higher potential, so the open-circuit voltage is \[ \begin{aligned} V &=\phi_{\mathrm{right}}-\phi_{\mathrm{left}} =-\int_{\mathrm{left}}^{\mathrm{right}}\vec E_p\cdot d\vec l\\ &\simeq |\vec E_p|\,l_d =\frac{\rho I_s l_s l_d}{4\pi y^3}. \end{aligned} \]

In the equivalent circuit of Figure II-2, Kirchhoff’s voltage law gives \[ I_d=\frac{V}{R_m+R_d}. \] Therefore, \[ \boxed{ V_d=I_dR_d =\frac{R_d}{R_m+R_d}V \simeq \frac{\rho I_s l_s l_d}{4\pi y^3} \frac{R_d}{R_d+\rho/(2\pi r_d)} }. \]

The power dissipated in the detecting element is \[ \boxed{ P_d=I_d^2R_d=\frac{V_d^2}{R_d} =\frac{V^2R_d}{(R_m+R_d)^2} }. \] In terms of the given parameters, \[ \boxed{ P_d\simeq \frac{\rho^2I_s^2l_s^2l_d^2}{16\pi^2y^6} \frac{R_d}{\left[R_d+\rho/(2\pi r_d)\right]^2} }. \]

5. Optimum detector resistance and maximum power

For the given source current and geometry, \(V\) and \(R_m\) are fixed. Differentiating the detected power with respect to \(R_d\), \[ \frac{dP_d}{dR_d} =V^2\frac{R_m-R_d}{(R_m+R_d)^3}. \] The derivative is positive for \(R_d<R_m\) and negative for \(R_d>R_m\). Thus the maximum occurs when \[ \boxed{R_{d,\mathrm{opt}}=R_m\simeq\frac{\rho}{2\pi r_d}}. \] This is the maximum-power-transfer condition.

At this resistance, \(V_d=V/2\), giving \[ P_{d,\max}=\frac{V^2}{4R_m}. \] Substitution yields \[ \begin{aligned} P_{d,\max} &\simeq \left(\frac{\rho I_s l_s l_d}{4\pi y^3}\right)^2 \frac{2\pi r_d}{4\rho}\\ &=\boxed{\frac{\rho I_s^2l_s^2l_d^2r_d}{32\pi y^6}}. \end{aligned} \]

Using the source power from part 3, this can also be written as \[ \boxed{ \frac{P_{d,\max}}{P_s} \simeq\frac{r_sr_dl_s^2l_d^2}{16y^6} }. \] The \(y^{-6}\) dependence results from squaring the dipole field, which decreases as \(y^{-3}\).

The solution was checked against the official solution.

Lösung

1. Stromdichte einer punktförmigen Stromquelle

In einem homogenen, isotropen, unendlichen Medium muss die Stromdichte aufgrund der Kugelsymmetrie radial gerichtet sein und auf einer Kugel mit der Quelle im Mittelpunkt überall denselben Betrag haben.

Aus der Stromerhaltung folgt \[ I_s=\oint \vec j\cdot d\vec A=4\pi r^2j(r). \] Daher gilt \[ \boxed{\vec j(r)=\frac{I_s}{4\pi r^2}\hat{\mathbf r}}. \] Bei einer positiven Quelle fließt der Strom nach außen; bei einer Senke mit demselben Strom ist das Vorzeichen umgekehrt. Die Stromdichte hat die SI-Einheit \(\mathrm{A\,m^{-2}}\).

2. Elektrisches Feld am Punkt P

Wir legen den Mittelpunkt zwischen den beiden Kugeln des Beutetiers in den Koordinatenursprung. Die positive Kugel befindet sich bei \(x=l_s/2\), die negative Kugel bei \(x=-l_s/2\) und P bei \((0,y)\).

Da die Kugeln im Vergleich zu ihrem gegenseitigen Abstand und ihrem Abstand von P klein sind, ersetzen wir sie durch eine Punktquelle \(+I_s\) und eine Punktsenke \(-I_s\). Ihr gemeinsamer Abstand von P ist \[ R=\sqrt{y^2+\frac{l_s^2}{4}}. \]

Nach dem Superpositionsprinzip gilt \[ \begin{aligned} \vec j(P) &=\frac{I_s}{4\pi R^3} \left[ \left(-\frac{l_s}{2}\hat{\mathbf x}+y\hat{\mathbf y}\right) -\left(\frac{l_s}{2}\hat{\mathbf x}+y\hat{\mathbf y}\right) \right]\\ &=-\frac{I_s l_s}{4\pi R^3}\hat{\mathbf x}. \end{aligned} \] Die vertikalen Komponenten heben sich auf, während sich die horizontalen Komponenten addieren.

Mit der lokalen Form des ohmschen Gesetzes, \(\vec E=\rho\vec j\), ergibt sich \[ \vec E_p =-\frac{\rho I_s l_s} {4\pi\left(y^2+l_s^2/4\right)^{3/2}}\hat{\mathbf x}. \] Dieser Ausdruck ist innerhalb der Punktquellennäherung exakt. Für \(l_s\ll y\) gilt \[ \boxed{\vec E_p\simeq-\frac{\rho I_s l_s}{4\pi y^3}\hat{\mathbf x}}. \]

P liegt somit auf der Äquatorlinie eines Stromdipols, dessen Feld wie \(y^{-3}\) abnimmt.

3. Spannung, Widerstand und Leistung der Quelle

Für eine einzelne Punktquelle ist das radiale elektrische Feld \[ E_r(r)=\frac{\rho I_s}{4\pi r^2}. \] Wählt man das Potential im Unendlichen gleich null, so gilt \[ \phi(r)=\int_r^\infty E_r(r')\,dr' =\frac{\rho I_s}{4\pi r}. \] Eine Senke mit dem Strom \(I_s\) erzeugt das Negative dieses Potentials.

An jeder der beiden Quellkugeln hat der eigene Beitrag zum Oberflächenpotential den Betrag \[ \frac{\rho I_s}{4\pi r_s}. \] Der Beitrag der jeweils anderen Kugel ist von der Größenordnung \(\rho I_s/(4\pi l_s)\), also um den Faktor \(r_s/l_s\) kleiner, und wird in führender Ordnung vernachlässigt. Somit gilt \[ \phi_+\simeq\frac{\rho I_s}{4\pi r_s}, \qquad \phi_-\simeq-\frac{\rho I_s}{4\pi r_s}. \]

Die Spannung beträgt daher \[ \boxed{V_s=\phi_+-\phi_-\simeq\frac{\rho I_s}{2\pi r_s}}. \]

Der Vollständigkeit halber würde die Berücksichtigung des gegenseitigen Potentialbeitrags der beiden Monopole \[ V_s\simeq\frac{\rho I_s}{2\pi} \left(\frac1{r_s}-\frac1{l_s}\right) \] ergeben, wobei der zweite Term unter der angegebenen Annahme vernachlässigbar ist.

Der zwischen den Quellkugeln wirksame Widerstand folgt aus dem ohmschen Gesetz: \[ \boxed{R_s=\frac{V_s}{I_s}\simeq\frac{\rho}{2\pi r_s}}. \]

Die vom Beutetier bereitgestellte elektrische Leistung ist \[ \boxed{P_s=I_sV_s=I_s^2R_s \simeq\frac{\rho I_s^2}{2\pi r_s}}. \]

4. Widerstand des Meerwassers, Detektorspannung und aufgenommene Leistung

Ein Strom durch den Detektor tritt an einer Detektorkugel in das umgebende Wasser ein und verlässt es an der anderen. Den Widerstand dieses Stromwegs erhält man, indem man Teil 3 auf Kugeln mit dem Radius \(r_d\) und dem Abstand \(l_d\) anwendet. Wegen \(r_d\ll l_d\) gilt \[ \boxed{R_m\simeq\frac{\rho}{2\pi r_d}}. \] Physikalisch trägt jeder kleine kugelförmige Kontakt einen Ausbreitungswiderstand \(\rho/(4\pi r_d)\) bei.

Das elektrische Feld des Beutetiers ist entlang des Detektors näherungsweise homogen, da \(l_d\ll y\). Die rechte Detektorkugel liegt auf höherem Potential, sodass die Leerlaufspannung \[ \begin{aligned} V &=\phi_{\mathrm{right}}-\phi_{\mathrm{left}} =-\int_{\mathrm{left}}^{\mathrm{right}}\vec E_p\cdot d\vec l\\ &\simeq |\vec E_p|\,l_d =\frac{\rho I_s l_s l_d}{4\pi y^3} \end{aligned} \] beträgt.

Im Ersatzschaltbild in Abbildung II-2 liefert die kirchhoffsche Maschenregel \[ I_d=\frac{V}{R_m+R_d}. \] Daher gilt \[ \boxed{ V_d=I_dR_d =\frac{R_d}{R_m+R_d}V \simeq \frac{\rho I_s l_s l_d}{4\pi y^3} \frac{R_d}{R_d+\rho/(2\pi r_d)} }. \]

Die im Detektorelement umgesetzte Leistung ist \[ \boxed{ P_d=I_d^2R_d=\frac{V_d^2}{R_d} =\frac{V^2R_d}{(R_m+R_d)^2} }. \] Ausgedrückt durch die gegebenen Parameter gilt \[ \boxed{ P_d\simeq \frac{\rho^2I_s^2l_s^2l_d^2}{16\pi^2y^6} \frac{R_d}{\left[R_d+\rho/(2\pi r_d)\right]^2} }. \]

5. Optimaler Detektorwiderstand und maximale Leistung

Für den gegebenen Quellstrom und die gegebene Geometrie sind \(V\) und \(R_m\) fest. Die Ableitung der vom Detektor aufgenommenen Leistung nach \(R_d\) ergibt \[ \frac{dP_d}{dR_d} =V^2\frac{R_m-R_d}{(R_m+R_d)^3}. \] Die Ableitung ist für \(R_d<R_m\) positiv und für \(R_d>R_m\) negativ. Das Maximum liegt somit bei \[ \boxed{R_{d,\mathrm{opt}}=R_m\simeq\frac{\rho}{2\pi r_d}}. \] Dies ist die Bedingung für Leistungsanpassung.

Bei diesem Widerstand gilt \(V_d=V/2\), woraus \[ P_{d,\max}=\frac{V^2}{4R_m} \] folgt. Einsetzen ergibt \[ \begin{aligned} P_{d,\max} &\simeq \left(\frac{\rho I_s l_s l_d}{4\pi y^3}\right)^2 \frac{2\pi r_d}{4\rho}\\ &=\boxed{\frac{\rho I_s^2l_s^2l_d^2r_d}{32\pi y^6}}. \end{aligned} \]

Mit der Quellleistung aus Teil 3 lässt sich dies auch schreiben als \[ \boxed{ \frac{P_{d,\max}}{P_s} \simeq\frac{r_sr_dl_s^2l_d^2}{16y^6} }. \] Die Abhängigkeit von \(y^{-6}\) ergibt sich durch Quadrieren des Dipolfeldes, das wie \(y^{-3}\) abnimmt.

Die Lösung wurde mit der offiziellen Lösung abgeglichen.

Çözüm

1. Noktasal bir akım kaynağının akım yoğunluğu

Homojen, izotrop ve sonsuz bir ortamda küresel simetri, akım yoğunluğunun radyal olmasını ve merkezi kaynakta olan bir kürenin her noktasında aynı büyüklüğe sahip olmasını gerektirir.

Akımın korunumu şu bağıntıyı verir: \[ I_s=\oint \vec j\cdot d\vec A=4\pi r^2j(r). \] Dolayısıyla, \[ \boxed{\vec j(r)=\frac{I_s}{4\pi r^2}\hat{\mathbf r}}. \] Pozitif bir kaynak için akım dışarıya doğrudur; aynı akımı yutan bir kuyunun işareti terstir. Akım yoğunluğunun SI birimi \(\mathrm{A\,m^{-2}}\)'dir.

2. P noktasındaki elektrik alanı

Avın iki küresinin orta noktasını orijine yerleştirelim. Pozitif küre \(x=l_s/2\), negatif küre \(x=-l_s/2\) konumunda, P ise \((0,y)\) noktasındadır.

Küreler, aralarındaki uzaklığa ve P'ye olan uzaklıklarına kıyasla küçük olduğundan, bunların yerine noktasal bir \(+I_s\) kaynağı ve noktasal bir \(-I_s\) kuyusu koyalım. P'ye olan ortak uzaklıkları şöyledir: \[ R=\sqrt{y^2+\frac{l_s^2}{4}}. \]

Süperpozisyon ilkesine göre, \[ \begin{aligned} \vec j(P) &=\frac{I_s}{4\pi R^3} \left[ \left(-\frac{l_s}{2}\hat{\mathbf x}+y\hat{\mathbf y}\right) -\left(\frac{l_s}{2}\hat{\mathbf x}+y\hat{\mathbf y}\right) \right]\\ &=-\frac{I_s l_s}{4\pi R^3}\hat{\mathbf x}. \end{aligned} \] Düşey bileşenler birbirini götürürken yatay bileşenler toplanır.

Ohm yasasının yerel biçimi olan \(\vec E=\rho\vec j\) kullanıldığında, \[ \vec E_p =-\frac{\rho I_s l_s} {4\pi\left(y^2+l_s^2/4\right)^{3/2}}\hat{\mathbf x}. \] Bu ifade, noktasal kaynak yaklaşımı çerçevesinde kesindir. \(l_s\ll y\) olduğunda, \[ \boxed{\vec E_p\simeq-\frac{\rho I_s l_s}{4\pi y^3}\hat{\mathbf x}}. \]

Dolayısıyla P, alanı \(y^{-3}\) ile azalan bir akım dipolünün ekvator doğrusu üzerinde bulunur.

3. Kaynak gerilimi, direnci ve gücü

Tek bir noktasal kaynak için radyal elektrik alanı şöyledir: \[ E_r(r)=\frac{\rho I_s}{4\pi r^2}. \] Sonsuzdaki potansiyel sıfır alındığında, \[ \phi(r)=\int_r^\infty E_r(r')\,dr' =\frac{\rho I_s}{4\pi r}. \] \(I_s\) akımını yutan bir kuyu, bu potansiyelin negatifini oluşturur.

Kaynak kürelerin her birinde, kürenin kendi yüzey potansiyeline katkısının büyüklüğü şöyledir: \[ \frac{\rho I_s}{4\pi r_s}. \] Diğer küreden gelen katkı \(\rho I_s/(4\pi l_s)\) mertebesindedir; bu katkının kürenin kendi katkısına oranı \(r_s/l_s\) olduğundan, baskın mertebede ihmal edilir. Böylece, \[ \phi_+\simeq\frac{\rho I_s}{4\pi r_s}, \qquad \phi_-\simeq-\frac{\rho I_s}{4\pi r_s}. \]

Bu nedenle gerilim farkı şöyledir: \[ \boxed{V_s=\phi_+-\phi_-\simeq\frac{\rho I_s}{2\pi r_s}}. \]

Tamlık açısından, iki monopolün birbirlerinin potansiyeline katkıları korunsaydı, \[ V_s\simeq\frac{\rho I_s}{2\pi} \left(\frac1{r_s}-\frac1{l_s}\right), \] elde edilirdi; buradaki ikinci terim, belirtilen varsayım altında ihmal edilebilir.

Kaynak küreler arasında görülen direnç, Ohm yasasından elde edilir: \[ \boxed{R_s=\frac{V_s}{I_s}\simeq\frac{\rho}{2\pi r_s}}. \]

Avın sağladığı elektriksel güç şöyledir: \[ \boxed{P_s=I_sV_s=I_s^2R_s \simeq\frac{\rho I_s^2}{2\pi r_s}}. \]

4. Deniz suyunun direnci, algılayıcı gerilimi ve algılanan güç

Algılayıcıdan geçen akım, çevredeki suya algılayıcı kürelerden birinde girer ve diğerinde sudan çıkar. Bu yolun direnci, 3. kısımdaki sonuç, yarıçapları \(r_d\) ve aralarındaki uzaklık \(l_d\) olan kürelere uygulanarak elde edilir. \(r_d\ll l_d\) olduğundan, \[ \boxed{R_m\simeq\frac{\rho}{2\pi r_d}}. \] Fiziksel olarak, her küçük küresel temas noktası \(\rho/(4\pi r_d)\) değerinde bir yayılma direnci katkısı yapar.

\(l_d\ll y\) olduğundan avın elektrik alanı algılayıcı boyunca yaklaşık olarak düzgündür. Sağdaki algılayıcı küre daha yüksek potansiyeldedir; dolayısıyla açık devre gerilimi şöyledir: \[ \begin{aligned} V &=\phi_{\mathrm{right}}-\phi_{\mathrm{left}} =-\int_{\mathrm{left}}^{\mathrm{right}}\vec E_p\cdot d\vec l\\ &\simeq |\vec E_p|\,l_d =\frac{\rho I_s l_s l_d}{4\pi y^3}. \end{aligned} \]

Şekil II-2'deki eşdeğer devrede Kirchhoff'un gerilim yasası şu bağıntıyı verir: \[ I_d=\frac{V}{R_m+R_d}. \] Dolayısıyla, \[ \boxed{ V_d=I_dR_d =\frac{R_d}{R_m+R_d}V \simeq \frac{\rho I_s l_s l_d}{4\pi y^3} \frac{R_d}{R_d+\rho/(2\pi r_d)} }. \]

Algılama elemanında harcanan güç şöyledir: \[ \boxed{ P_d=I_d^2R_d=\frac{V_d^2}{R_d} =\frac{V^2R_d}{(R_m+R_d)^2} }. \] Verilen parametreler cinsinden, \[ \boxed{ P_d\simeq \frac{\rho^2I_s^2l_s^2l_d^2}{16\pi^2y^6} \frac{R_d}{\left[R_d+\rho/(2\pi r_d)\right]^2} }. \]

5. En uygun algılayıcı direnci ve maksimum güç

Verilen kaynak akımı ve geometri için \(V\) ve \(R_m\) sabittir. Algılanan gücün \(R_d\)'ye göre türevi alındığında, \[ \frac{dP_d}{dR_d} =V^2\frac{R_m-R_d}{(R_m+R_d)^3}. \] Türev, \(R_d<R_m\) için pozitif, \(R_d>R_m\) için negatiftir. Dolayısıyla maksimum, \[ \boxed{R_{d,\mathrm{opt}}=R_m\simeq\frac{\rho}{2\pi r_d}} \] olduğunda elde edilir. Bu, maksimum güç aktarımı koşuludur.

Bu dirençte \(V_d=V/2\) olur ve şu sonuç elde edilir: \[ P_{d,\max}=\frac{V^2}{4R_m}. \] Yerine koyma işlemi şu sonucu verir: \[ \begin{aligned} P_{d,\max} &\simeq \left(\frac{\rho I_s l_s l_d}{4\pi y^3}\right)^2 \frac{2\pi r_d}{4\rho}\\ &=\boxed{\frac{\rho I_s^2l_s^2l_d^2r_d}{32\pi y^6}}. \end{aligned} \]

3. kısımdaki kaynak gücü kullanılarak bu sonuç şöyle de yazılabilir: \[ \boxed{ \frac{P_{d,\max}}{P_s} \simeq\frac{r_sr_dl_s^2l_d^2}{16y^6} }. \] \(y^{-6}\) bağımlılığı, \(y^{-3}\) ile azalan dipol alanının karesinin alınmasından kaynaklanır.

Çözüm, resmi çözümle karşılaştırılarak kontrol edildi.

Solución

1. Densidad de corriente de una fuente puntual de corriente

En un medio homogéneo, isótropo e infinito, la simetría esférica exige que la densidad de corriente sea radial y tenga el mismo módulo en todos los puntos de una esfera centrada en la fuente.

La conservación de la corriente da \[ I_s=\oint \vec j\cdot d\vec A=4\pi r^2j(r). \] Por tanto, \[ \boxed{\vec j(r)=\frac{I_s}{4\pi r^2}\hat{\mathbf r}}. \] Para una fuente positiva, la corriente se dirige hacia fuera; un sumidero por el que circula la misma corriente tiene el signo opuesto. La densidad de corriente tiene unidades del SI \(\mathrm{A\,m^{-2}}\).

2. Campo eléctrico en P

Situemos el punto medio entre las dos esferas de la presa en el origen. La esfera positiva se encuentra en \(x=l_s/2\), la esfera negativa en \(x=-l_s/2\) y P en \((0,y)\).

Como las esferas son pequeñas en comparación con su separación y con su distancia a P, las sustituimos por una fuente puntual \(+I_s\) y un sumidero puntual \(-I_s\). Su distancia común a P es \[ R=\sqrt{y^2+\frac{l_s^2}{4}}. \]

Por superposición, \[ \begin{aligned} \vec j(P) &=\frac{I_s}{4\pi R^3} \left[ \left(-\frac{l_s}{2}\hat{\mathbf x}+y\hat{\mathbf y}\right) -\left(\frac{l_s}{2}\hat{\mathbf x}+y\hat{\mathbf y}\right) \right]\\ &=-\frac{I_s l_s}{4\pi R^3}\hat{\mathbf x}. \end{aligned} \] Las componentes verticales se cancelan, mientras que las componentes horizontales se suman.

Utilizando la forma local de la ley de Ohm, \(\vec E=\rho\vec j\), \[ \vec E_p =-\frac{\rho I_s l_s} {4\pi\left(y^2+l_s^2/4\right)^{3/2}}\hat{\mathbf x}. \] Esta expresión es exacta dentro de la aproximación de fuentes puntuales. Con \(l_s\ll y\), \[ \boxed{\vec E_p\simeq-\frac{\rho I_s l_s}{4\pi y^3}\hat{\mathbf x}}. \]

Así, P se encuentra en la línea ecuatorial de un dipolo de corriente, cuyo campo decrece como \(y^{-3}\).

3. Diferencia de potencial, resistencia y potencia de la fuente

Para una única fuente puntual, el campo eléctrico radial es \[ E_r(r)=\frac{\rho I_s}{4\pi r^2}. \] Tomando como cero el potencial en el infinito, \[ \phi(r)=\int_r^\infty E_r(r')\,dr' =\frac{\rho I_s}{4\pi r}. \] Un sumidero de corriente \(I_s\) produce el negativo de este potencial.

En cada esfera de la fuente, su propia contribución al potencial superficial tiene un módulo de \[ \frac{\rho I_s}{4\pi r_s}. \] La contribución de la otra esfera es del orden de \(\rho I_s/(4\pi l_s)\), menor en un factor \(r_s/l_s\), y se desprecia en la aproximación de orden dominante. Por ello, \[ \phi_+\simeq\frac{\rho I_s}{4\pi r_s}, \qquad \phi_-\simeq-\frac{\rho I_s}{4\pi r_s}. \]

La diferencia de potencial es, por tanto, \[ \boxed{V_s=\phi_+-\phi_-\simeq\frac{\rho I_s}{2\pi r_s}}. \]

Para completar el análisis, si se conservara el potencial mutuo de los dos monopolos, se obtendría \[ V_s\simeq\frac{\rho I_s}{2\pi} \left(\frac1{r_s}-\frac1{l_s}\right), \] cuyo segundo término es despreciable bajo la hipótesis indicada.

La resistencia vista entre las esferas de la fuente se obtiene de la ley de Ohm: \[ \boxed{R_s=\frac{V_s}{I_s}\simeq\frac{\rho}{2\pi r_s}}. \]

La potencia eléctrica suministrada por la presa es \[ \boxed{P_s=I_sV_s=I_s^2R_s \simeq\frac{\rho I_s^2}{2\pi r_s}}. \]

4. Resistencia del agua de mar, diferencia de potencial del detector y potencia detectada

Una corriente que atraviesa el detector entra en el agua circundante por una de las esferas detectoras y sale de ella por la otra. La resistencia de este trayecto se obtiene aplicando el apartado 3 a esferas de radio \(r_d\), separadas por \(l_d\). Puesto que \(r_d\ll l_d\), \[ \boxed{R_m\simeq\frac{\rho}{2\pi r_d}}. \] Físicamente, cada pequeño contacto esférico aporta una resistencia de dispersión \(\rho/(4\pi r_d)\).

El campo eléctrico de la presa es aproximadamente uniforme a lo largo del detector porque \(l_d\ll y\). La esfera detectora de la derecha se encuentra a un potencial mayor, por lo que la diferencia de potencial en circuito abierto es \[ \begin{aligned} V &=\phi_{\mathrm{right}}-\phi_{\mathrm{left}} =-\int_{\mathrm{left}}^{\mathrm{right}}\vec E_p\cdot d\vec l\\ &\simeq |\vec E_p|\,l_d =\frac{\rho I_s l_s l_d}{4\pi y^3}. \end{aligned} \]

En el circuito equivalente de la Figura II-2, la ley de tensiones de Kirchhoff da \[ I_d=\frac{V}{R_m+R_d}. \] Por tanto, \[ \boxed{ V_d=I_dR_d =\frac{R_d}{R_m+R_d}V \simeq \frac{\rho I_s l_s l_d}{4\pi y^3} \frac{R_d}{R_d+\rho/(2\pi r_d)} }. \]

La potencia disipada en el elemento detector es \[ \boxed{ P_d=I_d^2R_d=\frac{V_d^2}{R_d} =\frac{V^2R_d}{(R_m+R_d)^2} }. \] En función de los parámetros dados, \[ \boxed{ P_d\simeq \frac{\rho^2I_s^2l_s^2l_d^2}{16\pi^2y^6} \frac{R_d}{\left[R_d+\rho/(2\pi r_d)\right]^2} }. \]

5. Resistencia óptima del detector y potencia máxima

Para la corriente de la fuente y la geometría dadas, \(V\) y \(R_m\) son constantes. Derivando la potencia detectada respecto de \(R_d\), \[ \frac{dP_d}{dR_d} =V^2\frac{R_m-R_d}{(R_m+R_d)^3}. \] La derivada es positiva para \(R_d<R_m\) y negativa para \(R_d>R_m\). Por tanto, el máximo se alcanza cuando \[ \boxed{R_{d,\mathrm{opt}}=R_m\simeq\frac{\rho}{2\pi r_d}}. \] Esta es la condición de máxima transferencia de potencia.

Con esta resistencia, \(V_d=V/2\), lo que da \[ P_{d,\max}=\frac{V^2}{4R_m}. \] La sustitución conduce a \[ \begin{aligned} P_{d,\max} &\simeq \left(\frac{\rho I_s l_s l_d}{4\pi y^3}\right)^2 \frac{2\pi r_d}{4\rho}\\ &=\boxed{\frac{\rho I_s^2l_s^2l_d^2r_d}{32\pi y^6}}. \end{aligned} \]

Utilizando la potencia de la fuente del apartado 3, esto también puede escribirse como \[ \boxed{ \frac{P_{d,\max}}{P_s} \simeq\frac{r_sr_dl_s^2l_d^2}{16y^6} }. \] La dependencia \(y^{-6}\) resulta de elevar al cuadrado el campo del dipolo, que decrece como \(y^{-3}\).

La solución se comprobó con la solución oficial.

解答

1. 点电流源的电流密度

在均匀、各向同性的无限介质中，球对称性要求电流密度沿径向，并且在以电流源为球心的球面上各处大小相同。

由电流守恒可得 \[ I_s=\oint \vec j\cdot d\vec A=4\pi r^2j(r). \] 因此， \[ \boxed{\vec j(r)=\frac{I_s}{4\pi r^2}\hat{\mathbf r}}. \] 对于正电流源，电流向外流出；吸收相同电流的电流汇则具有相反的符号。电流密度的 SI 单位为 \(\mathrm{A\,m^{-2}}\)。

2. P 点处的电场

将猎物两个球体的中点置于原点。正电势球体位于 \(x=l_s/2\)，负电势球体位于 \(x=-l_s/2\)，P 点位于 \((0,y)\)。

由于球体的大小相对于它们的间距以及它们到 P 点的距离都很小，可将其替换为点电流源 \(+I_s\) 和点电流汇 \(-I_s\)。它们到 P 点的距离相同，均为 \[ R=\sqrt{y^2+\frac{l_s^2}{4}}. \]

根据叠加原理， \[ \begin{aligned} \vec j(P) &=\frac{I_s}{4\pi R^3} \left[ \left(-\frac{l_s}{2}\hat{\mathbf x}+y\hat{\mathbf y}\right) -\left(\frac{l_s}{2}\hat{\mathbf x}+y\hat{\mathbf y}\right) \right]\\ &=-\frac{I_s l_s}{4\pi R^3}\hat{\mathbf x}. \end{aligned} \] 竖直分量相互抵消，而水平分量相加。

利用欧姆定律的微分形式 \(\vec E=\rho\vec j\)， \[ \vec E_p =-\frac{\rho I_s l_s} {4\pi\left(y^2+l_s^2/4\right)^{3/2}}\hat{\mathbf x}. \] 在点电流源近似下，该表达式是精确的。当 \(l_s\ll y\) 时， \[ \boxed{\vec E_p\simeq-\frac{\rho I_s l_s}{4\pi y^3}\hat{\mathbf x}}. \]

因此，P 点位于电流偶极子的中垂线上，该处电场按 \(y^{-3}\) 衰减。

3. 电流源的电压、电阻和功率

对于单个点电流源，径向电场为 \[ E_r(r)=\frac{\rho I_s}{4\pi r^2}. \] 取无穷远处的电势为零， \[ \phi(r)=\int_r^\infty E_r(r')\,dr' =\frac{\rho I_s}{4\pi r}. \] 电流为 \(I_s\) 的电流汇产生的电势为此电势的相反数。

在任一源球体处，其自身对表面电势的贡献大小为 \[ \frac{\rho I_s}{4\pi r_s}. \] 另一球体的贡献为 \(\rho I_s/(4\pi l_s)\) 量级，仅为自身贡献的 \(r_s/l_s\)，在主导阶近似中可忽略。因此 \[ \phi_+\simeq\frac{\rho I_s}{4\pi r_s}, \qquad \phi_-\simeq-\frac{\rho I_s}{4\pi r_s}. \]

于是电势差为 \[ \boxed{V_s=\phi_+-\phi_-\simeq\frac{\rho I_s}{2\pi r_s}}. \]

为完整起见，若保留两个单极子相互产生的电势，则有 \[ V_s\simeq\frac{\rho I_s}{2\pi} \left(\frac1{r_s}-\frac1{l_s}\right), \] 其中第二项在题设假设下可以忽略。

由欧姆定律可得两个源球体之间的等效电阻： \[ \boxed{R_s=\frac{V_s}{I_s}\simeq\frac{\rho}{2\pi r_s}}. \]

猎物提供的电功率为 \[ \boxed{P_s=I_sV_s=I_s^2R_s \simeq\frac{\rho I_s^2}{2\pi r_s}}. \]

4. 海水电阻、探测器电压和探测功率

流经探测器的电流从一个探测球体进入周围海水，并从另一个球体流出海水。将第 3 部分的结果应用于半径为 \(r_d\)、间距为 \(l_d\) 的球体，即可得到这条路径的电阻。由于 \(r_d\ll l_d\)， \[ \boxed{R_m\simeq\frac{\rho}{2\pi r_d}}. \] 从物理上看，每个小球形接触体均贡献一个扩展电阻 \(\rho/(4\pi r_d)\)。

由于 \(l_d\ll y\)，猎物产生的电场沿探测器近似均匀。右侧探测球体的电势较高，因此开路电压为 \[ \begin{aligned} V &=\phi_{\mathrm{right}}-\phi_{\mathrm{left}} =-\int_{\mathrm{left}}^{\mathrm{right}}\vec E_p\cdot d\vec l\\ &\simeq |\vec E_p|\,l_d =\frac{\rho I_s l_s l_d}{4\pi y^3}. \end{aligned} \]

在图 II-2 的等效电路中，由基尔霍夫电压定律可得 \[ I_d=\frac{V}{R_m+R_d}. \] 因此， \[ \boxed{ V_d=I_dR_d =\frac{R_d}{R_m+R_d}V \simeq \frac{\rho I_s l_s l_d}{4\pi y^3} \frac{R_d}{R_d+\rho/(2\pi r_d)} }. \]

探测元件中耗散的功率为 \[ \boxed{ P_d=I_d^2R_d=\frac{V_d^2}{R_d} =\frac{V^2R_d}{(R_m+R_d)^2} }. \] 用给定参数表示，得到 \[ \boxed{ P_d\simeq \frac{\rho^2I_s^2l_s^2l_d^2}{16\pi^2y^6} \frac{R_d}{\left[R_d+\rho/(2\pi r_d)\right]^2} }. \]

5. 最优探测器电阻和最大功率

对于给定的源电流和几何参数，\(V\) 和 \(R_m\) 均为定值。将探测功率对 \(R_d\) 求导， \[ \frac{dP_d}{dR_d} =V^2\frac{R_m-R_d}{(R_m+R_d)^3}. \] 当 \(R_d<R_m\) 时，导数为正；当 \(R_d>R_m\) 时，导数为负。因此，当 \[ \boxed{R_{d,\mathrm{opt}}=R_m\simeq\frac{\rho}{2\pi r_d}}. \] 时，功率达到最大。这就是最大功率传输条件。

在此电阻下，\(V_d=V/2\)，于是 \[ P_{d,\max}=\frac{V^2}{4R_m}. \] 代入可得 \[ \begin{aligned} P_{d,\max} &\simeq \left(\frac{\rho I_s l_s l_d}{4\pi y^3}\right)^2 \frac{2\pi r_d}{4\rho}\\ &=\boxed{\frac{\rho I_s^2l_s^2l_d^2r_d}{32\pi y^6}}. \end{aligned} \]

利用第 3 部分中的源功率，还可将其写为 \[ \boxed{ \frac{P_{d,\max}}{P_s} \simeq\frac{r_sr_dl_s^2l_d^2}{16y^6} }. \] \(y^{-6}\) 的依赖关系来自对偶极子电场取平方，因为该电场按 \(y^{-3}\) 衰减。

解答已与官方解答核对。

Решение

1. Плотность тока точечного источника тока

В однородной изотропной бесконечной среде сферическая симметрия требует, чтобы плотность тока была направлена радиально и имела одинаковый модуль во всех точках сферы с центром в источнике.

Из условия сохранения тока получаем \[ I_s=\oint \vec j\cdot d\vec A=4\pi r^2j(r). \] Следовательно, \[ \boxed{\vec j(r)=\frac{I_s}{4\pi r^2}\hat{\mathbf r}}. \] Для положительного источника ток направлен наружу; для стока с тем же током знак противоположен. Единица плотности тока в СИ — \(\mathrm{A\,m^{-2}}\).

2. Электрическое поле в точке P

Поместим середину отрезка между двумя сферами добычи в начало координат. Положительная сфера находится в точке \(x=l_s/2\), отрицательная — в точке \(x=-l_s/2\), а точка P имеет координаты \((0,y)\).

Поскольку размеры сфер малы по сравнению с расстоянием между ними и расстоянием от них до P, заменим их точечным источником \(+I_s\) и точечным стоком \(-I_s\). Их одинаковое расстояние до P равно \[ R=\sqrt{y^2+\frac{l_s^2}{4}}. \]

По принципу суперпозиции, \[ \begin{aligned} \vec j(P) &=\frac{I_s}{4\pi R^3} \left[ \left(-\frac{l_s}{2}\hat{\mathbf x}+y\hat{\mathbf y}\right) -\left(\frac{l_s}{2}\hat{\mathbf x}+y\hat{\mathbf y}\right) \right]\\ &=-\frac{I_s l_s}{4\pi R^3}\hat{\mathbf x}. \end{aligned} \] Вертикальные составляющие взаимно компенсируются, а горизонтальные складываются.

Используя закон Ома в локальной форме, \(\vec E=\rho\vec j\), получаем \[ \vec E_p =-\frac{\rho I_s l_s} {4\pi\left(y^2+l_s^2/4\right)^{3/2}}\hat{\mathbf x}. \] Это выражение является точным в приближении точечных источников. При \(l_s\ll y\) \[ \boxed{\vec E_p\simeq-\frac{\rho I_s l_s}{4\pi y^3}\hat{\mathbf x}}. \]

Таким образом, P лежит на экваториальной линии токового диполя, поле которого убывает как \(y^{-3}\).

3. Напряжение, сопротивление и мощность источника

Для одиночного точечного источника радиальная составляющая электрического поля равна \[ E_r(r)=\frac{\rho I_s}{4\pi r^2}. \] Принимая потенциал на бесконечности равным нулю, получаем \[ \phi(r)=\int_r^\infty E_r(r')\,dr' =\frac{\rho I_s}{4\pi r}. \] Сток тока \(I_s\) создаёт потенциал, противоположный по знаку.

Для каждой из сфер источника модуль её собственного вклада в потенциал на поверхности равен \[ \frac{\rho I_s}{4\pi r_s}. \] Вклад другой сферы имеет порядок \(\rho I_s/(4\pi l_s)\), составляет долю \(r_s/l_s\) от собственного вклада и в главном приближении не учитывается. Поэтому \[ \phi_+\simeq\frac{\rho I_s}{4\pi r_s}, \qquad \phi_-\simeq-\frac{\rho I_s}{4\pi r_s}. \]

Следовательно, разность потенциалов равна \[ \boxed{V_s=\phi_+-\phi_-\simeq\frac{\rho I_s}{2\pi r_s}}. \]

Для полноты отметим, что учёт взаимного вклада двух монополей в потенциал дал бы \[ V_s\simeq\frac{\rho I_s}{2\pi} \left(\frac1{r_s}-\frac1{l_s}\right), \] где вторым членом можно пренебречь при указанном предположении.

Сопротивление между сферами источника определяется из закона Ома: \[ \boxed{R_s=\frac{V_s}{I_s}\simeq\frac{\rho}{2\pi r_s}}. \]

Электрическая мощность, вырабатываемая добычей, равна \[ \boxed{P_s=I_sV_s=I_s^2R_s \simeq\frac{\rho I_s^2}{2\pi r_s}}. \]

4. Сопротивление морской воды, напряжение детектора и регистрируемая мощность

Ток, проходящий через детектор, входит в окружающую воду у одной сферы детектора и выходит из неё у другой. Сопротивление этого пути получается применением результата пункта 3 к сферам радиуса \(r_d\), разделённым расстоянием \(l_d\). Поскольку \(r_d\ll l_d\), \[ \boxed{R_m\simeq\frac{\rho}{2\pi r_d}}. \] Физически каждый малый сферический контакт вносит сопротивление растекания \(\rho/(4\pi r_d)\).

Электрическое поле добычи приблизительно однородно вдоль детектора, поскольку \(l_d\ll y\). Правая сфера детектора имеет более высокий потенциал, поэтому напряжение холостого хода равно \[ \begin{aligned} V &=\phi_{\mathrm{right}}-\phi_{\mathrm{left}} =-\int_{\mathrm{left}}^{\mathrm{right}}\vec E_p\cdot d\vec l\\ &\simeq |\vec E_p|\,l_d =\frac{\rho I_s l_s l_d}{4\pi y^3}. \end{aligned} \]

Для эквивалентной цепи на рисунке II-2 второе правило Кирхгофа даёт \[ I_d=\frac{V}{R_m+R_d}. \] Следовательно, \[ \boxed{ V_d=I_dR_d =\frac{R_d}{R_m+R_d}V \simeq \frac{\rho I_s l_s l_d}{4\pi y^3} \frac{R_d}{R_d+\rho/(2\pi r_d)} }. \]

Мощность, выделяющаяся в чувствительном элементе, равна \[ \boxed{ P_d=I_d^2R_d=\frac{V_d^2}{R_d} =\frac{V^2R_d}{(R_m+R_d)^2} }. \] Через заданные параметры она выражается следующим образом: \[ \boxed{ P_d\simeq \frac{\rho^2I_s^2l_s^2l_d^2}{16\pi^2y^6} \frac{R_d}{\left[R_d+\rho/(2\pi r_d)\right]^2} }. \]

5. Оптимальное сопротивление детектора и максимальная мощность

При заданных токе источника и геометрии величины \(V\) и \(R_m\) постоянны. Дифференцируя регистрируемую мощность по \(R_d\), получаем \[ \frac{dP_d}{dR_d} =V^2\frac{R_m-R_d}{(R_m+R_d)^3}. \] Производная положительна при \(R_d<R_m\) и отрицательна при \(R_d>R_m\). Следовательно, максимум достигается при \[ \boxed{R_{d,\mathrm{opt}}=R_m\simeq\frac{\rho}{2\pi r_d}}. \] Это условие передачи максимальной мощности.

При таком сопротивлении \(V_d=V/2\), откуда \[ P_{d,\max}=\frac{V^2}{4R_m}. \] Подстановка даёт \[ \begin{aligned} P_{d,\max} &\simeq \left(\frac{\rho I_s l_s l_d}{4\pi y^3}\right)^2 \frac{2\pi r_d}{4\rho}\\ &=\boxed{\frac{\rho I_s^2l_s^2l_d^2r_d}{32\pi y^6}}. \end{aligned} \]

Используя мощность источника из пункта 3, это можно также записать в виде \[ \boxed{ \frac{P_{d,\max}}{P_s} \simeq\frac{r_sr_dl_s^2l_d^2}{16y^6} }. \] Зависимость \(y^{-6}\) возникает в результате возведения в квадрат дипольного поля, убывающего как \(y^{-3}\).

Решение проверено по официальному решению.

الحل

1. كثافة التيار لمصدر تيار نقطي

في وسط متجانس ومتساوي الخواص ولانهائي، يقتضي التناظر الكروي أن تكون كثافة التيار شعاعية وأن يكون لها المقدار نفسه في كل موضع على كرة مركزها المصدر.

يعطي انحفاظ التيار \[ I_s=\oint \vec j\cdot d\vec A=4\pi r^2j(r). \] ومن ثم، \[ \boxed{\vec j(r)=\frac{I_s}{4\pi r^2}\hat{\mathbf r}}. \] بالنسبة إلى مصدر موجب، يتجه التيار إلى الخارج؛ أما مصرف يسحب التيار نفسه فتكون إشارته معاكسة. ووحدة كثافة التيار في النظام الدولي للوحدات هي \(\mathrm{A\,m^{-2}}\).

2. المجال الكهربائي عند P

نضع منتصف المسافة بين كرتي الفريسة عند نقطة الأصل. تقع الكرة الموجبة عند \(x=l_s/2\)، والكرة السالبة عند \(x=-l_s/2\)، وتقع P عند \((0,y)\).

بما أن الكرتين صغيرتان مقارنة بالمسافة الفاصلة بينهما وبُعدهما عن P، نستبدلهما بمصدر نقطي \(+I_s\) ومصرف نقطي \(-I_s\). وتبلغ المسافة المشتركة بين كل منهما وP \[ R=\sqrt{y^2+\frac{l_s^2}{4}}. \]

وفقًا لمبدأ التراكب، \[ \begin{aligned} \vec j(P) &=\frac{I_s}{4\pi R^3} \left[ \left(-\frac{l_s}{2}\hat{\mathbf x}+y\hat{\mathbf y}\right) -\left(\frac{l_s}{2}\hat{\mathbf x}+y\hat{\mathbf y}\right) \right]\\ &=-\frac{I_s l_s}{4\pi R^3}\hat{\mathbf x}. \end{aligned} \] تتلاشى المركبتان الرأسيّتان، بينما تتضافر المركبتان الأفقيّتان.

باستخدام الصيغة المحلية لقانون أوم، \(\vec E=\rho\vec j\)، \[ \vec E_p =-\frac{\rho I_s l_s} {4\pi\left(y^2+l_s^2/4\right)^{3/2}}\hat{\mathbf x}. \] هذا التعبير دقيق ضمن تقريب المصدر النقطي. وعندما يكون \(l_s\ll y\)، \[ \boxed{\vec E_p\simeq-\frac{\rho I_s l_s}{4\pi y^3}\hat{\mathbf x}}. \]

إذن تقع P على الخط الاستوائي لثنائي قطب تياري، يتناقص مجاله وفقًا لـ \(y^{-3}\).

3. فرق جهد المصدر ومقاومته وقدرته

بالنسبة إلى مصدر نقطي منفرد، يُعطى المجال الكهربائي الشعاعي بالعلاقة \[ E_r(r)=\frac{\rho I_s}{4\pi r^2}. \] باتخاذ الجهد عند اللانهاية مساويًا للصفر، \[ \phi(r)=\int_r^\infty E_r(r')\,dr' =\frac{\rho I_s}{4\pi r}. \] يولّد مصرف لتيار \(I_s\) جهدًا يساوي سالب هذا الجهد.

عند كل من كرتي المصدر، يكون مقدار مساهمتها الذاتية في جهد سطحها \[ \frac{\rho I_s}{4\pi r_s}. \] تكون مساهمة الكرة الأخرى من رتبة \(\rho I_s/(4\pi l_s)\)، أي إن نسبتها إلى المساهمة الذاتية هي \(r_s/l_s\)، وتُهمل في الرتبة الرائدة. ومن ثم \[ \phi_+\simeq\frac{\rho I_s}{4\pi r_s}, \qquad \phi_-\simeq-\frac{\rho I_s}{4\pi r_s}. \]

وعليه، يكون فرق الجهد \[ \boxed{V_s=\phi_+-\phi_-\simeq\frac{\rho I_s}{2\pi r_s}}. \]

واستكمالًا للعرض، فإن الاحتفاظ بالجهد المتبادل لأحاديّي القطب يعطي \[ V_s\simeq\frac{\rho I_s}{2\pi} \left(\frac1{r_s}-\frac1{l_s}\right), \] حيث يكون الحد الثاني مهملًا في ظل الافتراض المذكور.

تُستنتج المقاومة المقاسة بين كرتي المصدر من قانون أوم: \[ \boxed{R_s=\frac{V_s}{I_s}\simeq\frac{\rho}{2\pi r_s}}. \]

القدرة الكهربائية التي تزود بها الفريسة هي \[ \boxed{P_s=I_sV_s=I_s^2R_s \simeq\frac{\rho I_s^2}{2\pi r_s}}. \]

4. مقاومة ماء البحر وفرق جهد الكاشف والقدرة المكتشفة

يدخل التيار المار عبر الكاشف إلى الماء المحيط عند إحدى كرتي الكاشف ويخرج منه عند الأخرى. وتُستخرج مقاومة هذا المسار بتطبيق الجزء 3 على كرتين نصف قطر كل منهما \(r_d\)، تفصل بينهما مسافة \(l_d\). وبما أن \(r_d\ll l_d\)، \[ \boxed{R_m\simeq\frac{\rho}{2\pi r_d}}. \] من الناحية الفيزيائية، يساهم كل تماس كروي صغير بمقاومة انتشار للتيار مقدارها \(\rho/(4\pi r_d)\).

يكون المجال الكهربائي للفريسة منتظمًا تقريبًا على امتداد الكاشف لأن \(l_d\ll y\). وتكون كرة الكاشف اليمنى عند جهد أعلى، لذا يُعطى فرق الجهد في حالة الدارة المفتوحة بالعلاقة \[ \begin{aligned} V &=\phi_{\mathrm{right}}-\phi_{\mathrm{left}} =-\int_{\mathrm{left}}^{\mathrm{right}}\vec E_p\cdot d\vec l\\ &\simeq |\vec E_p|\,l_d =\frac{\rho I_s l_s l_d}{4\pi y^3}. \end{aligned} \]

في الدارة المكافئة في الشكل II-2، يعطي قانون كيرشوف للجهد \[ I_d=\frac{V}{R_m+R_d}. \] ومن ثم، \[ \boxed{ V_d=I_dR_d =\frac{R_d}{R_m+R_d}V \simeq \frac{\rho I_s l_s l_d}{4\pi y^3} \frac{R_d}{R_d+\rho/(2\pi r_d)} }. \]

القدرة المبدّدة في عنصر الكشف هي \[ \boxed{ P_d=I_d^2R_d=\frac{V_d^2}{R_d} =\frac{V^2R_d}{(R_m+R_d)^2} }. \] وبدلالة المعلمات المعطاة، \[ \boxed{ P_d\simeq \frac{\rho^2I_s^2l_s^2l_d^2}{16\pi^2y^6} \frac{R_d}{\left[R_d+\rho/(2\pi r_d)\right]^2} }. \]

5. المقاومة المثلى للكاشف والقدرة القصوى

لتيار المصدر والترتيب الهندسي المعطيين، يكون كل من \(V\) و\(R_m\) ثابتًا. وباشتقاق القدرة المكتشفة بالنسبة إلى \(R_d\)، \[ \frac{dP_d}{dR_d} =V^2\frac{R_m-R_d}{(R_m+R_d)^3}. \] تكون المشتقة موجبة عندما \(R_d<R_m\)، وسالبة عندما \(R_d>R_m\). لذا تتحقق القيمة القصوى عندما \[ \boxed{R_{d,\mathrm{opt}}=R_m\simeq\frac{\rho}{2\pi r_d}}. \] وهذا هو شرط انتقال القدرة القصوى.

عند هذه المقاومة، يكون \(V_d=V/2\)، مما يعطي \[ P_{d,\max}=\frac{V^2}{4R_m}. \] وبالتعويض نحصل على \[ \begin{aligned} P_{d,\max} &\simeq \left(\frac{\rho I_s l_s l_d}{4\pi y^3}\right)^2 \frac{2\pi r_d}{4\rho}\\ &=\boxed{\frac{\rho I_s^2l_s^2l_d^2r_d}{32\pi y^6}}. \end{aligned} \]

وباستخدام قدرة المصدر من الجزء 3، يمكن أيضًا كتابة ذلك على الصورة \[ \boxed{ \frac{P_{d,\max}}{P_s} \simeq\frac{r_sr_dl_s^2l_d^2}{16y^6} }. \] ينشأ الاعتماد على \(y^{-6}\) من تربيع مجال ثنائي القطب، الذي يتناقص وفقًا لـ \(y^{-3}\).

تمت مراجعة الحل بمقارنته بالحل الرسمي.