Solution

2 — Model of the motion and oscillation period

Let the container have width \(b\), and let the water density be \(\rho\). Measure \(x\) horizontally from the middle of the container. Write the surface height above the bottom as

\[ H(x,t)=h+\eta(x,t),\qquad \eta(x,t)=\frac{2q(t)x}{L}, \qquad -\frac L2\leq x\leq\frac L2. \]

Thus the depths at the left and right ends are \(h-q\) and \(h+q\), respectively. Initially \(q=\xi\).

We neglect viscosity, damping and surface tension. For a long, shallow container, vertical accelerations can initially be neglected and the pressure approximated as hydrostatic. Small amplitude, \(|q|\ll h\), allows a linear oscillation model.

The total mass is

\[ M=\rho bLh, \]

since the volume above the mean surface equals the missing volume below it. The horizontal coordinate \(X\) of the centre of mass is

\[ \begin{aligned} X &=\frac{\rho b}{M} \int_{-L/2}^{L/2}xH(x,t)\,dx\\ &=\frac{1}{Lh}\frac{2q}{L} \int_{-L/2}^{L/2}x^2\,dx\\ &=\boxed{\frac{Lq}{6h}}. \end{aligned} \]

The hydrostatic force exerted by an end wall on water of depth \(H\) has magnitude

\[ b\int_0^H \rho g(H-z)\,dz =\frac12\rho gbH^2. \]

Consequently, the net horizontal force on the water is

\[ \begin{aligned} F_x &=\frac12\rho gb\left[(h-q)^2-(h+q)^2\right]\\ &=-2\rho gbhq. \end{aligned} \]

The force is restoring: when the water is higher on the right, it acts towards the left. Newton’s second law gives

\[ M\ddot X=F_x, \]

or

\[ \rho bLh\frac{L}{6h}\ddot q=-2\rho gbhq. \]

Therefore,

\[ \boxed{\ddot q+\frac{12gh}{L^2}q=0}. \]

This is simple harmonic motion, with

\[ \omega_0=\frac{\sqrt{12gh}}{L}, \qquad \boxed{T_0=\frac{2\pi}{\omega_0} =\frac{\pi L}{\sqrt{3gh}}}. \]

If the illustrated configuration is released from rest,

\[ q(t)=\xi\cos(\omega_0t), \qquad \eta(x,t)=\frac{2\xi x}{L}\cos(\omega_0t). \]

The two ends therefore oscillate in opposite phase. The period is independent of the small amplitude, the width and the density.

An energy estimate accounting for the flow speed

The planar surface is an approximation to the actual motion. We can assess the effect of resolving the internal flow by constructing an energy model.

Assume that the horizontal velocity \(u(x,t)\) is approximately uniform over the depth. Conservation of volume, linearized about the depth \(h\), requires

\[ \frac{\partial\eta}{\partial t} +h\frac{\partial u}{\partial x}=0. \]

Using \(\eta=2qx/L\) and imposing zero horizontal flow through both end walls gives

\[ \boxed{ u(x,t)=\frac{\dot q}{Lh} \left(\frac{L^2}{4}-x^2\right). } \]

The horizontal speed is greatest at the middle and vanishes at the walls. In the shallow-water approximation, the kinetic energy of vertical motion is small compared with that of horizontal motion. Thus

\[ \begin{aligned} K &=\frac12\rho bh \int_{-L/2}^{L/2}u^2\,dx\\ &=\boxed{\frac{\rho bL^3}{60h}\dot q^{\,2}}. \end{aligned} \]

The increase in gravitational potential energy above that of a horizontal surface is

\[ \begin{aligned} U &=\frac{\rho gb}{2} \int_{-L/2}^{L/2}\left[(h+\eta)^2-h^2\right]dx\\ &=\frac{\rho gb}{2}\int_{-L/2}^{L/2}\eta^2\,dx\\ &=\boxed{\frac{\rho gbL}{6}q^2}, \end{aligned} \]

where the term proportional to \(\int\eta\,dx\) vanishes by volume conservation.

Conserving \(K+U\) now gives

\[ \ddot q+\frac{10gh}{L^2}q=0, \]

and hence

\[ \boxed{ T_1=\frac{2\pi L}{\sqrt{10gh}} =\sqrt{\frac65}\,T_0. } \]

This estimate is about \(9.5\%\) longer than the simple centre-of-mass result.

The differing coefficients reflect the approximate descriptions of the motion: the first model uses hydrostatic end forces, while the second uses the energy of a volume-conserving trial flow. The actual free surface generally departs from a plane, so neither coefficient should be regarded as an exact hydrodynamic result.

2 — Comparison with the measurements and quality of the model

Using \(g=9.81\ \mathrm{m\,s^{-2}}\), the predicted periods are:

For \(L=479\ \mathrm{mm}\):

For \(L=143\ \mathrm{mm}\):

For a quantitative comparison, define the relative discrepancy as

\[ \varepsilon= \frac{T_{\mathrm{model}}-T_{\mathrm{measured}}} {T_{\mathrm{measured}}}. \]

The simple model gives periods systematically below the observations: by \(10.0\)–\(15.2\%\) in the longer container and \(8.6\)–\(20.0\%\) in the shorter one. The energy estimate reduces the maximum absolute discrepancies to \(7.1\%\) and \(12.4\%\).

The approximate scaling can also be checked through the dimensionless quantity

\[ C=\frac{T\sqrt{gh}}{L}. \]

The experimental values range from approximately \(2.02\) to \(2.14\) in the longer container and \(1.98\) to \(2.27\) in the shorter one. These are reasonably close to a common constant. The two model predictions are

\[ C_0=\frac{\pi}{\sqrt3}\simeq1.814, \qquad C_1=\frac{2\pi}{\sqrt{10}}\simeq1.987. \]

Thus the models provide a useful description of the scale and parameter dependence, and resolving the flow speed improves agreement with these data.

Their validity nevertheless has limits. The ratios \(h/L\) range from \(0.063\) to \(0.30\) in the longer container and from \(0.22\) to \(0.87\) in the shorter one. In particular, the deepest measurements in the shorter container fall outside a reliable shallow-water approximation. Vertical motion and departures from the assumed planar surface then matter. No experimental uncertainties are supplied, so the table establishes numerical agreement rather than a statistical validation.

2 — Time scale of the lake measurements

For lake Vättern,

\[ L=1.23\times10^5\ \mathrm m, \qquad h=50\ \mathrm m, \]

giving

\[ \sqrt{gh}\simeq22.1\ \mathrm{m\,s^{-1}}. \]

The simple model predicts

\[ T_0= \frac{\pi(1.23\times10^5)} {\sqrt{3(9.81)(50)}} \simeq1.01\times10^4\ \mathrm s =\boxed{2.8\ \mathrm h}. \]

The energy estimate gives

\[ T_1= \frac{2\pi(1.23\times10^5)} {\sqrt{10(9.81)(50)}} \simeq1.10\times10^4\ \mathrm s =\boxed{3.1\ \mathrm h}. \]

Accordingly, successive peaks in either trace are separated by approximately three hours.

In the reproduced graph, a complete oscillation occupies approximately \(1.5\) horizontal tick intervals. Therefore,

\[ \text{time per tick interval} \approx\frac{3\ \mathrm h}{1.5} \approx\boxed{2\ \mathrm h}. \]

There are roughly twelve oscillations across the record, corresponding to approximately \(36\ \mathrm h\), or a day and a half. The two traces are approximately in opposite phase, as expected for oscillations at opposite ends of the lake.

The solution was checked against the official solution.

Lösung

2 — Modell der Bewegung und Schwingungsdauer

Der Behälter habe die Breite \(b\), und die Dichte des Wassers sei \(\rho\). Die horizontale Koordinate \(x\) wird von der Mitte des Behälters aus gemessen. Wir schreiben die Höhe der Wasseroberfläche über dem Boden als

\[ H(x,t)=h+\eta(x,t),\qquad \eta(x,t)=\frac{2q(t)x}{L}, \qquad -\frac L2\leq x\leq\frac L2. \]

Damit betragen die Wassertiefen am linken und rechten Ende \(h-q\) beziehungsweise \(h+q\). Zu Beginn gilt \(q=\xi\).

Wir vernachlässigen Viskosität, Dämpfung und Oberflächenspannung. Für einen langen, flachen Behälter können vertikale Beschleunigungen zunächst vernachlässigt und der Druck als näherungsweise hydrostatisch angenommen werden. Die kleine Amplitude, \(|q|\ll h\), ermöglicht ein lineares Schwingungsmodell.

Die Gesamtmasse beträgt

\[ M=\rho bLh, \]

da das Volumen oberhalb der mittleren Wasseroberfläche gleich dem darunter fehlenden Volumen ist. Die horizontale Koordinate \(X\) des Schwerpunkts lautet

\[ \begin{aligned} X &=\frac{\rho b}{M} \int_{-L/2}^{L/2}xH(x,t)\,dx\\ &=\frac{1}{Lh}\frac{2q}{L} \int_{-L/2}^{L/2}x^2\,dx\\ &=\boxed{\frac{Lq}{6h}}. \end{aligned} \]

Die hydrostatische Kraft, die eine Stirnwand auf Wasser der Tiefe \(H\) ausübt, hat den Betrag

\[ b\int_0^H \rho g(H-z)\,dz =\frac12\rho gbH^2. \]

Folglich ist die resultierende horizontale Kraft auf das Wasser

\[ \begin{aligned} F_x &=\frac12\rho gb\left[(h-q)^2-(h+q)^2\right]\\ &=-2\rho gbhq. \end{aligned} \]

Die Kraft ist rücktreibend: Wenn das Wasser rechts höher steht, wirkt sie nach links. Das zweite Newtonsche Gesetz ergibt

\[ M\ddot X=F_x, \]

oder

\[ \rho bLh\frac{L}{6h}\ddot q=-2\rho gbhq. \]

Somit gilt

\[ \boxed{\ddot q+\frac{12gh}{L^2}q=0}. \]

Dies ist eine harmonische Schwingung mit

\[ \omega_0=\frac{\sqrt{12gh}}{L}, \qquad \boxed{T_0=\frac{2\pi}{\omega_0} =\frac{\pi L}{\sqrt{3gh}}}. \]

Wird das Wasser aus der dargestellten Anordnung ohne Anfangsgeschwindigkeit freigegeben, so gilt

\[ q(t)=\xi\cos(\omega_0t), \qquad \eta(x,t)=\frac{2\xi x}{L}\cos(\omega_0t). \]

Die beiden Enden schwingen daher gegenphasig. Die Schwingungsdauer ist unabhängig von der kleinen Amplitude, der Breite und der Dichte.

Eine Energieabschätzung unter Berücksichtigung der Strömungsgeschwindigkeit

Die ebene Oberfläche ist eine Näherung für die tatsächliche Bewegung. Wir können den Einfluss einer genaueren Beschreibung der inneren Strömung abschätzen, indem wir ein Energiemodell aufstellen.

Wir nehmen an, dass die horizontale Geschwindigkeit \(u(x,t)\) über die Tiefe näherungsweise konstant ist. Die um die Tiefe \(h\) linearisierte Volumenerhaltung verlangt

\[ \frac{\partial\eta}{\partial t} +h\frac{\partial u}{\partial x}=0. \]

Mit \(\eta=2qx/L\) und der Bedingung, dass durch beide Stirnwände keine horizontale Strömung erfolgt, ergibt sich

\[ \boxed{ u(x,t)=\frac{\dot q}{Lh} \left(\frac{L^2}{4}-x^2\right). } \]

Die horizontale Geschwindigkeit ist in der Mitte am größten und verschwindet an den Wänden. In der Flachwassernäherung ist die kinetische Energie der vertikalen Bewegung klein gegenüber derjenigen der horizontalen Bewegung. Daher gilt

\[ \begin{aligned} K &=\frac12\rho bh \int_{-L/2}^{L/2}u^2\,dx\\ &=\boxed{\frac{\rho bL^3}{60h}\dot q^{\,2}}. \end{aligned} \]

Die Zunahme der potenziellen Energie im Schwerefeld gegenüber derjenigen bei horizontaler Wasseroberfläche beträgt

\[ \begin{aligned} U &=\frac{\rho gb}{2} \int_{-L/2}^{L/2}\left[(h+\eta)^2-h^2\right]dx\\ &=\frac{\rho gb}{2}\int_{-L/2}^{L/2}\eta^2\,dx\\ &=\boxed{\frac{\rho gbL}{6}q^2}, \end{aligned} \]

wobei der zu \(\int\eta\,dx\) proportionale Term aufgrund der Volumenerhaltung verschwindet.

Aus der Erhaltung von \(K+U\) folgt nun

\[ \ddot q+\frac{10gh}{L^2}q=0, \]

und damit

\[ \boxed{ T_1=\frac{2\pi L}{\sqrt{10gh}} =\sqrt{\frac65}\,T_0. } \]

Diese Abschätzung ergibt eine um etwa \(9.5\%\) längere Schwingungsdauer als das einfache Schwerpunktmodell.

Die unterschiedlichen Koeffizienten spiegeln die näherungsweisen Beschreibungen der Bewegung wider: Das erste Modell verwendet hydrostatische Kräfte an den Stirnwänden, während das zweite die Energie eines volumenerhaltenden Strömungsansatzes verwendet. Die tatsächliche freie Oberfläche weicht im Allgemeinen von einer Ebene ab, sodass keiner der beiden Koeffizienten als exaktes hydrodynamisches Ergebnis angesehen werden sollte.

2 — Vergleich mit den Messungen und Güte des Modells

Mit \(g=9.81\ \mathrm{m\,s^{-2}}\) ergeben sich die folgenden vorhergesagten Schwingungsdauern:

Für \(L=479\ \mathrm{mm}\):

Für \(L=143\ \mathrm{mm}\):

Für einen quantitativen Vergleich definieren wir die relative Abweichung als

\[ \varepsilon= \frac{T_{\mathrm{model}}-T_{\mathrm{measured}}} {T_{\mathrm{measured}}}. \]

Das einfache Modell liefert Schwingungsdauern, die systematisch unter den beobachteten Werten liegen: im längeren Behälter um \(10.0\)–\(15.2\%\) und im kürzeren um \(8.6\)–\(20.0\%\). Die Energieabschätzung verringert die maximalen absoluten Abweichungen auf \(7.1\%\) und \(12.4\%\).

Das näherungsweise Skalierungsverhalten lässt sich auch anhand der folgenden dimensionslosen Größe überprüfen:

\[ C=\frac{T\sqrt{gh}}{L}. \]

Die experimentellen Werte liegen im längeren Behälter ungefähr zwischen \(2.02\) und \(2.14\) und im kürzeren zwischen \(1.98\) und \(2.27\). Sie liegen damit recht nahe an einer gemeinsamen Konstante. Die beiden Modellvorhersagen lauten

\[ C_0=\frac{\pi}{\sqrt3}\simeq1.814, \qquad C_1=\frac{2\pi}{\sqrt{10}}\simeq1.987. \]

Die Modelle liefern somit eine nützliche Beschreibung der Größenordnung und der Parameterabhängigkeit, und eine genauere Berücksichtigung der Strömungsgeschwindigkeit verbessert die Übereinstimmung mit diesen Daten.

Ihre Gültigkeit ist dennoch begrenzt. Die Verhältnisse \(h/L\) reichen im längeren Behälter von \(0.063\) bis \(0.30\) und im kürzeren von \(0.22\) bis \(0.87\). Insbesondere liegen die Messungen bei den größten Tiefen im kürzeren Behälter außerhalb des Bereichs, in dem die Flachwassernäherung zuverlässig ist. Vertikale Bewegungen und Abweichungen von der angenommenen ebenen Oberfläche spielen dann eine Rolle. Es sind keine experimentellen Unsicherheiten angegeben, sodass die Tabelle eine numerische Übereinstimmung, jedoch keine statistische Validierung belegt.

2 — Zeitskala der Messungen am See

Für den Vätternsee gilt

\[ L=1.23\times10^5\ \mathrm m, \qquad h=50\ \mathrm m, \]

Damit ergibt sich

\[ \sqrt{gh}\simeq22.1\ \mathrm{m\,s^{-1}}. \]

Das einfache Modell sagt voraus:

\[ T_0= \frac{\pi(1.23\times10^5)} {\sqrt{3(9.81)(50)}} \simeq1.01\times10^4\ \mathrm s =\boxed{2.8\ \mathrm h}. \]

Die Energieabschätzung liefert

\[ T_1= \frac{2\pi(1.23\times10^5)} {\sqrt{10(9.81)(50)}} \simeq1.10\times10^4\ \mathrm s =\boxed{3.1\ \mathrm h}. \]

Dementsprechend liegen aufeinanderfolgende Maxima jeder der beiden Kurven ungefähr drei Stunden auseinander.

Im wiedergegebenen Diagramm erstreckt sich eine vollständige Schwingung über ungefähr \(1.5\) horizontale Teilstrichabstände. Daher gilt

\[ \text{Zeit pro Teilstrichabstand} \approx\frac{3\ \mathrm h}{1.5} \approx\boxed{2\ \mathrm h}. \]

Die Aufzeichnung umfasst etwa zwölf Schwingungen, was ungefähr \(36\ \mathrm h\) oder eineinhalb Tagen entspricht. Die beiden Kurven sind annähernd gegenphasig, wie es für Schwingungen an gegenüberliegenden Enden des Sees zu erwarten ist.

Die Lösung wurde mit der offiziellen Lösung abgeglichen.

Çözüm

2 — Hareket modeli ve salınım periyodu

Kabın genişliği \(b\), suyun yoğunluğu ise \(\rho\) olsun. \(x\) koordinatını kabın ortasından başlayarak yatay doğrultuda ölçelim. Yüzeyin tabandan yüksekliğini şöyle yazalım:

\[ H(x,t)=h+\eta(x,t),\qquad \eta(x,t)=\frac{2q(t)x}{L}, \qquad -\frac L2\leq x\leq\frac L2. \]

Böylece sol ve sağ uçlardaki derinlikler sırasıyla \(h-q\) ve \(h+q\) olur. Başlangıçta \(q=\xi\)'dir.

Viskoziteyi, sönümü ve yüzey gerilimini ihmal ediyoruz. Uzun ve sığ bir kap için ilk yaklaşımda düşey ivmeler ihmal edilebilir ve basınç hidrostatik olarak alınabilir. Küçük genlik, \(|q|\ll h\), doğrusal bir salınım modeli kurmaya olanak tanır.

Toplam kütle

\[ M=\rho bLh, \]

olur; çünkü ortalama yüzeyin üzerindeki hacim, bu yüzeyin altında eksilen hacme eşittir. Kütle merkezinin yatay koordinatı \(X\) şöyledir:

\[ \begin{aligned} X &=\frac{\rho b}{M} \int_{-L/2}^{L/2}xH(x,t)\,dx\\ &=\frac{1}{Lh}\frac{2q}{L} \int_{-L/2}^{L/2}x^2\,dx\\ &=\boxed{\frac{Lq}{6h}}. \end{aligned} \]

Bir uç duvarın derinliği \(H\) olan suya uyguladığı hidrostatik kuvvetin büyüklüğü

\[ b\int_0^H \rho g(H-z)\,dz =\frac12\rho gbH^2. \]

olur. Dolayısıyla suya etki eden net yatay kuvvet

\[ \begin{aligned} F_x &=\frac12\rho gb\left[(h-q)^2-(h+q)^2\right]\\ &=-2\rho gbhq. \end{aligned} \]

olur. Bu kuvvet geri çağırıcıdır: su sağ tarafta daha yüksek olduğunda kuvvet sola doğru etki eder. Newton'un ikinci yasası

\[ M\ddot X=F_x, \]

ya da

\[ \rho bLh\frac{L}{6h}\ddot q=-2\rho gbhq. \]

bağıntısını verir. Dolayısıyla,

\[ \boxed{\ddot q+\frac{12gh}{L^2}q=0}. \]

Bu, açısal frekansı ve periyodu

\[ \omega_0=\frac{\sqrt{12gh}}{L}, \qquad \boxed{T_0=\frac{2\pi}{\omega_0} =\frac{\pi L}{\sqrt{3gh}}}. \]

olan basit harmonik harekettir.

Şekilde gösterilen durumdan ilk hızsız olarak serbest bırakılırsa,

\[ q(t)=\xi\cos(\omega_0t), \qquad \eta(x,t)=\frac{2\xi x}{L}\cos(\omega_0t). \]

Dolayısıyla iki uç zıt fazda salınır. Periyot, küçük genliğin değerinden, genişlikten ve yoğunluktan bağımsızdır.

Akış süratini hesaba katan bir enerji tahmini

Düzlemsel yüzey, gerçek harekete ilişkin bir yaklaşımdır. Bir enerji modeli kurarak iç akışın ayrıntılarını hesaba katmanın etkisini değerlendirebiliriz.

Yatay hız \(u(x,t)\)'nin derinlik boyunca yaklaşık olarak sabit olduğunu varsayalım. \(h\) derinliği etrafında doğrusallaştırılan hacim korunumu,

\[ \frac{\partial\eta}{\partial t} +h\frac{\partial u}{\partial x}=0. \]

koşulunu gerektirir.

\(\eta=2qx/L\) bağıntısı kullanılıp her iki uç duvardan geçen yatay akışın sıfır olması koşulu uygulandığında

\[ \boxed{ u(x,t)=\frac{\dot q}{Lh} \left(\frac{L^2}{4}-x^2\right). } \]

elde edilir.

Yatay sürat ortada en büyüktür ve duvarlarda sıfır olur. Sığ su yaklaşımında düşey hareketin kinetik enerjisi, yatay hareketinkine göre küçüktür. Dolayısıyla

\[ \begin{aligned} K &=\frac12\rho bh \int_{-L/2}^{L/2}u^2\,dx\\ &=\boxed{\frac{\rho bL^3}{60h}\dot q^{\,2}}. \end{aligned} \]

Yerçekimi potansiyel enerjisinin, yüzeyin yatay olduğu durumdakine göre artışı

\[ \begin{aligned} U &=\frac{\rho gb}{2} \int_{-L/2}^{L/2}\left[(h+\eta)^2-h^2\right]dx\\ &=\frac{\rho gb}{2}\int_{-L/2}^{L/2}\eta^2\,dx\\ &=\boxed{\frac{\rho gbL}{6}q^2}, \end{aligned} \]

olur; burada \(\int\eta\,dx\) ile orantılı terim, hacim korunumundan dolayı sıfırdır.

Şimdi \(K+U\)'nun korunumu

\[ \ddot q+\frac{10gh}{L^2}q=0, \]

ve dolayısıyla

\[ \boxed{ T_1=\frac{2\pi L}{\sqrt{10gh}} =\sqrt{\frac65}\,T_0. } \]

sonucunu verir.

Bu tahmin, basit kütle merkezi sonucundan yaklaşık \(9.5\%\) daha uzundur.

Katsayıların farklı olması, hareketin yaklaşık betimlemelerini yansıtır: ilk model uçlardaki hidrostatik kuvvetleri kullanırken, ikincisi hacmi koruyan bir deneme akışının enerjisini kullanır. Gerçek serbest yüzey genellikle düzlemsellikten sapar; bu nedenle katsayıların hiçbiri kesin bir hidrodinamik sonuç olarak görülmemelidir.

2 — Ölçümlerle karşılaştırma ve modelin niteliği

\(g=9.81\ \mathrm{m\,s^{-2}}\) kullanıldığında, öngörülen periyotlar şöyledir:

\(L=479\ \mathrm{mm}\) için:

\(L=143\ \mathrm{mm}\) için:

Nicel bir karşılaştırma için bağıl sapmayı şöyle tanımlayalım:

\[ \varepsilon= \frac{T_{\mathrm{model}}-T_{\mathrm{measured}}} {T_{\mathrm{measured}}}. \]

Basit model, gözlemlerden sistematik olarak daha düşük periyotlar verir: uzun kapta \(10.0\)–\(15.2\%\), kısa kapta ise \(8.6\)–\(20.0\%\) oranında. Enerji tahmini, en büyük mutlak sapmaları \(7.1\%\) ve \(12.4\%\)'e indirir.

Yaklaşık ölçekleme ilişkisi, boyutsuz

\[ C=\frac{T\sqrt{gh}}{L}. \]

niceliği aracılığıyla da kontrol edilebilir.

Deneysel değerler uzun kapta yaklaşık \(2.02\) ile \(2.14\), kısa kapta ise \(1.98\) ile \(2.27\) arasında değişir. Bunlar ortak bir sabite makul ölçüde yakındır. İki modelin öngörüleri şöyledir:

\[ C_0=\frac{\pi}{\sqrt3}\simeq1.814, \qquad C_1=\frac{2\pi}{\sqrt{10}}\simeq1.987. \]

Dolayısıyla modeller, büyüklük ölçeğini ve parametrelere bağımlılığı yararlı biçimde betimler; akış süratinin ayrıntılarını hesaba katmak da bu verilerle uyumu iyileştirir.

Bununla birlikte geçerliliklerinin sınırları vardır. \(h/L\) oranları uzun kapta \(0.063\) ile \(0.30\), kısa kapta ise \(0.22\) ile \(0.87\) arasında değişir. Özellikle kısa kaptaki en derin suyla yapılan ölçümler, sığ su yaklaşımının güvenilir olduğu aralığın dışında kalır. Bu durumda düşey hareket ve varsayılan düzlemsel yüzeyden sapmalar önem kazanır. Deneysel belirsizlikler verilmediğinden tablo, istatistiksel bir doğrulama değil, sayısal uyum ortaya koyar.

2 — Göl ölçümlerinin zaman ölçeği

Vättern Gölü için,

\[ L=1.23\times10^5\ \mathrm m, \qquad h=50\ \mathrm m, \]

olduğundan

\[ \sqrt{gh}\simeq22.1\ \mathrm{m\,s^{-1}}. \]

elde edilir.

Basit modelin öngörüsü şöyledir:

\[ T_0= \frac{\pi(1.23\times10^5)} {\sqrt{3(9.81)(50)}} \simeq1.01\times10^4\ \mathrm s =\boxed{2.8\ \mathrm h}. \]

Enerji tahmini ise şu sonucu verir:

\[ T_1= \frac{2\pi(1.23\times10^5)} {\sqrt{10(9.81)(50)}} \simeq1.10\times10^4\ \mathrm s =\boxed{3.1\ \mathrm h}. \]

Buna göre, her iki eğriden herhangi birindeki ardışık tepeler arasında yaklaşık üç saat vardır.

Verilen grafikte tam bir salınım, yatay eksendeki yaklaşık \(1.5\) işaret aralığını kaplar. Dolayısıyla,

\[ \text{işaret aralığı başına süre} \approx\frac{3\ \mathrm h}{1.5} \approx\boxed{2\ \mathrm h}. \]

Kayıt boyunca yaklaşık on iki salınım vardır; bu da yaklaşık \(36\ \mathrm h\), yani bir buçuk güne karşılık gelir. Gölün karşı uçlarındaki salınımlar için beklendiği gibi, iki eğri yaklaşık olarak zıt fazdadır.

Çözüm, resmi çözümle karşılaştırılarak kontrol edildi.

Solución

2 — Modelo del movimiento y período de oscilación

Sea \(b\) la anchura del recipiente y \(\rho\) la densidad del agua. Medimos \(x\) horizontalmente desde el centro del recipiente. Escribimos la altura de la superficie sobre el fondo como

\[ H(x,t)=h+\eta(x,t),\qquad \eta(x,t)=\frac{2q(t)x}{L}, \qquad -\frac L2\leq x\leq\frac L2. \]

Así, las profundidades en los extremos izquierdo y derecho son \(h-q\) y \(h+q\), respectivamente. Inicialmente, \(q=\xi\).

Despreciamos la viscosidad, el amortiguamiento y la tensión superficial. Para un recipiente largo y poco profundo, se pueden despreciar inicialmente las aceleraciones verticales y aproximar la presión por la hidrostática. Una amplitud pequeña, \(|q|\ll h\), permite utilizar un modelo de oscilación lineal.

La masa total es

\[ M=\rho bLh, \]

ya que el volumen por encima de la superficie media es igual al volumen que falta por debajo de ella. La coordenada horizontal \(X\) del centro de masas es

\[ \begin{aligned} X &=\frac{\rho b}{M} \int_{-L/2}^{L/2}xH(x,t)\,dx\\ &=\frac{1}{Lh}\frac{2q}{L} \int_{-L/2}^{L/2}x^2\,dx\\ &=\boxed{\frac{Lq}{6h}}. \end{aligned} \]

La fuerza hidrostática que ejerce una pared de un extremo sobre el agua de profundidad \(H\) tiene un módulo

\[ b\int_0^H \rho g(H-z)\,dz =\frac12\rho gbH^2. \]

Por consiguiente, la fuerza horizontal neta sobre el agua es

\[ \begin{aligned} F_x &=\frac12\rho gb\left[(h-q)^2-(h+q)^2\right]\\ &=-2\rho gbhq. \end{aligned} \]

La fuerza es restauradora: cuando el agua está más alta a la derecha, actúa hacia la izquierda. La segunda ley de Newton da

\[ M\ddot X=F_x, \]

o bien

\[ \rho bLh\frac{L}{6h}\ddot q=-2\rho gbhq. \]

Por tanto,

\[ \boxed{\ddot q+\frac{12gh}{L^2}q=0}. \]

Este es un movimiento armónico simple, con

\[ \omega_0=\frac{\sqrt{12gh}}{L}, \qquad \boxed{T_0=\frac{2\pi}{\omega_0} =\frac{\pi L}{\sqrt{3gh}}}. \]

Si se deja evolucionar desde el reposo la configuración ilustrada,

\[ q(t)=\xi\cos(\omega_0t), \qquad \eta(x,t)=\frac{2\xi x}{L}\cos(\omega_0t). \]

Por tanto, los dos extremos oscilan en oposición de fase. El período es independiente de la pequeña amplitud, de la anchura y de la densidad.

Una estimación energética que tiene en cuenta la velocidad del flujo

La superficie plana es una aproximación al movimiento real. Podemos evaluar el efecto de describir el flujo interno construyendo un modelo energético.

Supongamos que la velocidad horizontal \(u(x,t)\) es aproximadamente uniforme a lo largo de la profundidad. La conservación del volumen, linealizada en torno a la profundidad \(h\), exige

\[ \frac{\partial\eta}{\partial t} +h\frac{\partial u}{\partial x}=0. \]

Utilizando \(\eta=2qx/L\) e imponiendo un flujo horizontal nulo a través de ambas paredes de los extremos, se obtiene

\[ \boxed{ u(x,t)=\frac{\dot q}{Lh} \left(\frac{L^2}{4}-x^2\right). } \]

La rapidez horizontal es máxima en el centro y se anula en las paredes. En la aproximación de aguas someras, la energía cinética del movimiento vertical es pequeña en comparación con la del movimiento horizontal. Así,

\[ \begin{aligned} K &=\frac12\rho bh \int_{-L/2}^{L/2}u^2\,dx\\ &=\boxed{\frac{\rho bL^3}{60h}\dot q^{\,2}}. \end{aligned} \]

El aumento de la energía potencial gravitatoria respecto a la de una superficie horizontal es

\[ \begin{aligned} U &=\frac{\rho gb}{2} \int_{-L/2}^{L/2}\left[(h+\eta)^2-h^2\right]dx\\ &=\frac{\rho gb}{2}\int_{-L/2}^{L/2}\eta^2\,dx\\ &=\boxed{\frac{\rho gbL}{6}q^2}, \end{aligned} \]

donde el término proporcional a \(\int\eta\,dx\) se anula por la conservación del volumen.

La conservación de \(K+U\) da ahora

\[ \ddot q+\frac{10gh}{L^2}q=0, \]

y, por tanto,

\[ \boxed{ T_1=\frac{2\pi L}{\sqrt{10gh}} =\sqrt{\frac65}\,T_0. } \]

Esta estimación es aproximadamente un \(9.5\%\) mayor que el resultado del modelo sencillo del centro de masas.

Los distintos coeficientes reflejan las descripciones aproximadas del movimiento: el primer modelo utiliza las fuerzas hidrostáticas en los extremos, mientras que el segundo utiliza la energía de un flujo de prueba que conserva el volumen. La superficie libre real generalmente se aparta de un plano, por lo que ninguno de los coeficientes debe considerarse un resultado hidrodinámico exacto.

2 — Comparación con las mediciones y calidad del modelo

Utilizando \(g=9.81\ \mathrm{m\,s^{-2}}\), los períodos previstos son:

Para \(L=479\ \mathrm{mm}\):

Para \(L=143\ \mathrm{mm}\):

Para realizar una comparación cuantitativa, definimos la discrepancia relativa como

\[ \varepsilon= \frac{T_{\mathrm{model}}-T_{\mathrm{measured}}} {T_{\mathrm{measured}}}. \]

El modelo sencillo da períodos sistemáticamente inferiores a los observados: entre un \(10.0\)–\(15.2\%\) en el recipiente más largo y entre un \(8.6\)–\(20.0\%\) en el más corto. La estimación energética reduce las discrepancias absolutas máximas al \(7.1\%\) y al \(12.4\%\).

La ley de escala aproximada también se puede comprobar mediante la magnitud adimensional

\[ C=\frac{T\sqrt{gh}}{L}. \]

Los valores experimentales varían aproximadamente entre \(2.02\) y \(2.14\) en el recipiente más largo, y entre \(1.98\) y \(2.27\) en el más corto. Estos valores son razonablemente próximos a una constante común. Las predicciones de los dos modelos son

\[ C_0=\frac{\pi}{\sqrt3}\simeq1.814, \qquad C_1=\frac{2\pi}{\sqrt{10}}\simeq1.987. \]

Por tanto, los modelos proporcionan una descripción útil de la escala y de la dependencia respecto a los parámetros, y describir la velocidad del flujo mejora la concordancia con estos datos.

No obstante, su validez tiene límites. Las razones \(h/L\) varían entre \(0.063\) y \(0.30\) en el recipiente más largo, y entre \(0.22\) y \(0.87\) en el más corto. En particular, las mediciones con mayor profundidad en el recipiente más corto quedan fuera del ámbito de validez de la aproximación de aguas someras. En ese caso, el movimiento vertical y las desviaciones respecto a la superficie plana supuesta son importantes. No se proporcionan incertidumbres experimentales, por lo que la tabla establece una concordancia numérica, más que una validación estadística.

2 — Escala temporal de las mediciones en el lago

Para el lago Vättern,

\[ L=1.23\times10^5\ \mathrm m, \qquad h=50\ \mathrm m, \]

lo que da

\[ \sqrt{gh}\simeq22.1\ \mathrm{m\,s^{-1}}. \]

El modelo sencillo predice

\[ T_0= \frac{\pi(1.23\times10^5)} {\sqrt{3(9.81)(50)}} \simeq1.01\times10^4\ \mathrm s =\boxed{2.8\ \mathrm h}. \]

La estimación energética da

\[ T_1= \frac{2\pi(1.23\times10^5)} {\sqrt{10(9.81)(50)}} \simeq1.10\times10^4\ \mathrm s =\boxed{3.1\ \mathrm h}. \]

En consecuencia, los máximos sucesivos de cualquiera de las dos curvas están separados por aproximadamente tres horas.

En el gráfico reproducido, una oscilación completa ocupa aproximadamente \(1.5\) intervalos entre marcas del eje horizontal. Por tanto,

\[ \text{tiempo por intervalo entre marcas} \approx\frac{3\ \mathrm h}{1.5} \approx\boxed{2\ \mathrm h}. \]

El registro abarca aproximadamente doce oscilaciones, que corresponden a unas \(36\ \mathrm h\), o un día y medio. Las dos curvas están aproximadamente en oposición de fase, como cabe esperar de las oscilaciones en extremos opuestos del lago.

La solución se comprobó con la solución oficial.

解答

2 — 运动模型与振荡周期

设容器宽度为 \(b\)，水的密度为 \(\rho\)。以容器中点为原点，沿水平方向取坐标 \(x\)。将水面距容器底部的高度写为

\[ H(x,t)=h+\eta(x,t),\qquad \eta(x,t)=\frac{2q(t)x}{L}, \qquad -\frac L2\leq x\leq\frac L2. \]

因此，左、右两端的水深分别为 \(h-q\) 和 \(h+q\)。初始时 \(q=\xi\)。

忽略黏性、阻尼和表面张力。对于长而浅的容器，首先可以忽略竖直加速度，并将压强近似视为静水压强。小振幅条件 \(|q|\ll h\) 使我们能够采用线性振荡模型。

水的总质量为

\[ M=\rho bLh, \]

因为平均水面以上的水体积等于其下方缺少的水体积。质心的水平坐标 \(X\) 为

\[ \begin{aligned} X &=\frac{\rho b}{M} \int_{-L/2}^{L/2}xH(x,t)\,dx\\ &=\frac{1}{Lh}\frac{2q}{L} \int_{-L/2}^{L/2}x^2\,dx\\ &=\boxed{\frac{Lq}{6h}}. \end{aligned} \]

端壁对深度为 \(H\) 的水施加的静水压力大小为

\[ b\int_0^H \rho g(H-z)\,dz =\frac12\rho gbH^2. \]

因此，水所受的水平合力为

\[ \begin{aligned} F_x &=\frac12\rho gb\left[(h-q)^2-(h+q)^2\right]\\ &=-2\rho gbhq. \end{aligned} \]

该力为回复力：当右侧水面较高时，力指向左侧。由牛顿第二定律得

\[ M\ddot X=F_x, \]

即

\[ \rho bLh\frac{L}{6h}\ddot q=-2\rho gbhq. \]

因此，

\[ \boxed{\ddot q+\frac{12gh}{L^2}q=0}. \]

这是简谐运动，其角频率和周期为

\[ \omega_0=\frac{\sqrt{12gh}}{L}, \qquad \boxed{T_0=\frac{2\pi}{\omega_0} =\frac{\pi L}{\sqrt{3gh}}}. \]

若水从图示状态由静止释放，则

\[ q(t)=\xi\cos(\omega_0t), \qquad \eta(x,t)=\frac{2\xi x}{L}\cos(\omega_0t). \]

因此，两端以相反的相位振荡。周期与小振幅的大小、容器宽度及水的密度无关。

考虑流速的能量估计

平面水面只是对实际运动的一种近似。我们可以构建能量模型，评估计入内部流动分布的影响。

假设水平速度 \(u(x,t)\) 沿水深方向近似均匀。将体积守恒关系在水深 \(h\) 附近线性化，要求

\[ \frac{\partial\eta}{\partial t} +h\frac{\partial u}{\partial x}=0. \]

利用 \(\eta=2qx/L\)，并施加两端壁处水平均无水流穿过的条件，得到

\[ \boxed{ u(x,t)=\frac{\dot q}{Lh} \left(\frac{L^2}{4}-x^2\right). } \]

水平流速在中部最大，在端壁处为零。在浅水近似下，竖直运动的动能远小于水平运动的动能。因此

\[ \begin{aligned} K &=\frac12\rho bh \int_{-L/2}^{L/2}u^2\,dx\\ &=\boxed{\frac{\rho bL^3}{60h}\dot q^{\,2}}. \end{aligned} \]

相对于水面水平时，重力势能的增加量为

\[ \begin{aligned} U &=\frac{\rho gb}{2} \int_{-L/2}^{L/2}\left[(h+\eta)^2-h^2\right]dx\\ &=\frac{\rho gb}{2}\int_{-L/2}^{L/2}\eta^2\,dx\\ &=\boxed{\frac{\rho gbL}{6}q^2}, \end{aligned} \]

其中，与 \(\int\eta\,dx\) 成正比的项由体积守恒而为零。

由 \(K+U\) 守恒，现在得到

\[ \ddot q+\frac{10gh}{L^2}q=0, \]

从而

\[ \boxed{ T_1=\frac{2\pi L}{\sqrt{10gh}} =\sqrt{\frac65}\,T_0. } \]

这一估计比简单质心模型的结果约长 \(9.5\%\)。

系数的差异反映了两种模型对运动的近似描述不同：第一个模型使用端壁处的静水压力，第二个模型则使用满足体积守恒的试探流场的能量。实际自由液面通常会偏离平面，因此这两个系数都不应被视为精确的流体动力学结果。

2 — 与测量结果的比较及模型评价

取 \(g=9.81\ \mathrm{m\,s^{-2}}\)，预测周期如下：

对于 \(L=479\ \mathrm{mm}\)：

对于 \(L=143\ \mathrm{mm}\)：

为进行定量比较，将相对偏差定义为

\[ \varepsilon= \frac{T_{\mathrm{model}}-T_{\mathrm{measured}}} {T_{\mathrm{measured}}}. \]

简单模型给出的周期系统性地低于观测值：在较长的容器中低 \(10.0\)–\(15.2\%\)，在较短的容器中低 \(8.6\)–\(20.0\%\)。能量估计将偏差绝对值的最大值分别降至 \(7.1\%\) 和 \(12.4\%\)。

也可以通过无量纲量来检验近似的标度关系：

\[ C=\frac{T\sqrt{gh}}{L}. \]

较长容器中的实验值约在 \(2.02\) 至 \(2.14\) 之间，较短容器中的实验值约在 \(1.98\) 至 \(2.27\) 之间。这些值与同一个常数相当接近。两个模型的预测值为

\[ C_0=\frac{\pi}{\sqrt3}\simeq1.814, \qquad C_1=\frac{2\pi}{\sqrt{10}}\simeq1.987. \]

因此，这些模型有效地描述了周期的量级及其对参数的依赖关系，而计入流速分布后，与这些数据的符合程度有所改善。

不过，它们的适用性仍有限制。较长容器中的比值 \(h/L\) 从 \(0.063\) 到 \(0.30\)，较短容器中则从 \(0.22\) 到 \(0.87\)。尤其是较短容器中水深最大的那些测量条件，已经超出了浅水近似的可靠适用范围。此时，竖直运动以及水面对所假定平面的偏离就变得重要。题目未给出实验不确定度，因此表格说明的是数值上的符合程度，而非统计意义上的验证。

2 — 湖泊测量结果的时间尺度

对于韦特恩湖，

\[ L=1.23\times10^5\ \mathrm m, \qquad h=50\ \mathrm m, \]

由此得到

\[ \sqrt{gh}\simeq22.1\ \mathrm{m\,s^{-1}}. \]

简单模型预测

\[ T_0= \frac{\pi(1.23\times10^5)} {\sqrt{3(9.81)(50)}} \simeq1.01\times10^4\ \mathrm s =\boxed{2.8\ \mathrm h}. \]

能量估计给出

\[ T_1= \frac{2\pi(1.23\times10^5)} {\sqrt{10(9.81)(50)}} \simeq1.10\times10^4\ \mathrm s =\boxed{3.1\ \mathrm h}. \]

因此，任一曲线中相邻峰值之间的时间间隔约为三小时。

在所给图中，一次完整振荡约占横轴的 \(1.5\) 个刻度间隔。因此，

\[ \text{每个刻度间隔对应的时间} \approx\frac{3\ \mathrm h}{1.5} \approx\boxed{2\ \mathrm h}. \]

整段记录中约有十二次振荡，对应约 \(36\ \mathrm h\)，即一天半。两条曲线的相位近似相反，这与湖泊两端振荡的预期相符。

解答已与官方解答核对。

Решение

2 — Модель движения и период колебаний

Пусть ширина сосуда равна \(b\), а плотность воды — \(\rho\). Будем отсчитывать горизонтальную координату \(x\) от середины сосуда. Запишем высоту поверхности над дном в виде

\[ H(x,t)=h+\eta(x,t),\qquad \eta(x,t)=\frac{2q(t)x}{L}, \qquad -\frac L2\leq x\leq\frac L2. \]

Таким образом, глубины у левого и правого торцов равны соответственно \(h-q\) и \(h+q\). В начальный момент \(q=\xi\).

Пренебрежём вязкостью, затуханием и поверхностным натяжением. Для длинного неглубокого сосуда в первом приближении можно пренебречь вертикальными ускорениями и считать давление гидростатическим. Малая амплитуда, \(|q|\ll h\), позволяет использовать линейную модель колебаний.

Полная масса равна

\[ M=\rho bLh, \]

поскольку объём воды над средним уровнем поверхности равен недостающему объёму под ним. Горизонтальная координата \(X\) центра масс равна

\[ \begin{aligned} X &=\frac{\rho b}{M} \int_{-L/2}^{L/2}xH(x,t)\,dx\\ &=\frac{1}{Lh}\frac{2q}{L} \int_{-L/2}^{L/2}x^2\,dx\\ &=\boxed{\frac{Lq}{6h}}. \end{aligned} \]

Гидростатическая сила, с которой торцевая стенка действует на воду при глубине \(H\), имеет модуль

\[ b\int_0^H \rho g(H-z)\,dz =\frac12\rho gbH^2. \]

Следовательно, результирующая горизонтальная сила, действующая на воду, равна

\[ \begin{aligned} F_x &=\frac12\rho gb\left[(h-q)^2-(h+q)^2\right]\\ &=-2\rho gbhq. \end{aligned} \]

Эта сила является возвращающей: когда уровень воды справа выше, она направлена влево. По второму закону Ньютона

\[ M\ddot X=F_x, \]

или

\[ \rho bLh\frac{L}{6h}\ddot q=-2\rho gbhq. \]

Поэтому

\[ \boxed{\ddot q+\frac{12gh}{L^2}q=0}. \]

Это уравнение гармонических колебаний, для которых

\[ \omega_0=\frac{\sqrt{12gh}}{L}, \qquad \boxed{T_0=\frac{2\pi}{\omega_0} =\frac{\pi L}{\sqrt{3gh}}}. \]

Если воду отпустить из состояния покоя в показанной на рисунке конфигурации, то

\[ q(t)=\xi\cos(\omega_0t), \qquad \eta(x,t)=\frac{2\xi x}{L}\cos(\omega_0t). \]

Таким образом, уровни воды у двух торцов колеблются в противофазе. Период не зависит от малой амплитуды, ширины сосуда и плотности воды.

Энергетическая оценка с учётом скорости течения

Предположение о плоской поверхности является приближённым описанием реального движения. Построив энергетическую модель, можно оценить, как влияет учёт распределения скоростей внутри жидкости.

Предположим, что горизонтальная скорость \(u(x,t)\) приблизительно одинакова по всей глубине. Закон сохранения объёма, линеаризованный относительно глубины \(h\), требует выполнения условия

\[ \frac{\partial\eta}{\partial t} +h\frac{\partial u}{\partial x}=0. \]

Используя \(\eta=2qx/L\) и налагая условие отсутствия горизонтального потока через обе торцевые стенки, получаем

\[ \boxed{ u(x,t)=\frac{\dot q}{Lh} \left(\frac{L^2}{4}-x^2\right). } \]

Горизонтальная скорость максимальна в середине сосуда и обращается в нуль у стенок. В приближении мелкой воды кинетическая энергия вертикального движения мала по сравнению с кинетической энергией горизонтального движения. Поэтому

\[ \begin{aligned} K &=\frac12\rho bh \int_{-L/2}^{L/2}u^2\,dx\\ &=\boxed{\frac{\rho bL^3}{60h}\dot q^{\,2}}. \end{aligned} \]

Приращение потенциальной энергии в поле тяжести относительно состояния с горизонтальной поверхностью равно

\[ \begin{aligned} U &=\frac{\rho gb}{2} \int_{-L/2}^{L/2}\left[(h+\eta)^2-h^2\right]dx\\ &=\frac{\rho gb}{2}\int_{-L/2}^{L/2}\eta^2\,dx\\ &=\boxed{\frac{\rho gbL}{6}q^2}, \end{aligned} \]

где член, пропорциональный \(\int\eta\,dx\), обращается в нуль вследствие сохранения объёма.

Теперь из сохранения \(K+U\) получаем

\[ \ddot q+\frac{10gh}{L^2}q=0, \]

и, следовательно,

\[ \boxed{ T_1=\frac{2\pi L}{\sqrt{10gh}} =\sqrt{\frac65}\,T_0. } \]

Эта оценка периода примерно на \(9.5\%\) больше результата простой модели, основанной на движении центра масс.

Различие коэффициентов отражает приближённый характер описания движения: первая модель использует гидростатические силы со стороны торцевых стенок, а вторая — энергию пробного поля скоростей течения, удовлетворяющего закону сохранения объёма. В действительности свободная поверхность, вообще говоря, отклоняется от плоскости, поэтому ни один из коэффициентов не следует считать точным результатом гидродинамики.

2 — Сравнение с измерениями и качество модели

При \(g=9.81\ \mathrm{m\,s^{-2}}\) предсказанные периоды равны:

Для \(L=479\ \mathrm{mm}\):

Для \(L=143\ \mathrm{mm}\):

Для количественного сравнения определим относительное расхождение как

\[ \varepsilon= \frac{T_{\mathrm{model}}-T_{\mathrm{measured}}} {T_{\mathrm{measured}}}. \]

Простая модель даёт периоды, систематически меньшие наблюдаемых: на \(10.0\)–\(15.2\%\) в более длинном сосуде и на \(8.6\)–\(20.0\%\) в более коротком. Энергетическая оценка уменьшает максимальные абсолютные значения расхождений до \(7.1\%\) и \(12.4\%\).

Приближённую зависимость можно также проверить с помощью безразмерной величины

\[ C=\frac{T\sqrt{gh}}{L}. \]

Экспериментальные значения лежат приблизительно в диапазоне от \(2.02\) до \(2.14\) для более длинного сосуда и от \(1.98\) до \(2.27\) для более короткого. Эти значения достаточно близки к общей постоянной. Две модели предсказывают

\[ C_0=\frac{\pi}{\sqrt3}\simeq1.814, \qquad C_1=\frac{2\pi}{\sqrt{10}}\simeq1.987. \]

Таким образом, модели позволяют достаточно хорошо описать характерную величину периода и его зависимость от параметров, а учёт распределения скорости течения улучшает согласие с этими данными.

Тем не менее их применимость ограниченна. Отношения \(h/L\) лежат в диапазоне от \(0.063\) до \(0.30\) для более длинного сосуда и от \(0.22\) до \(0.87\) для более короткого. В частности, измерения при наибольших глубинах в более коротком сосуде выходят за пределы надёжной применимости приближения мелкой воды. В этих условиях становятся существенными вертикальное движение и отклонения поверхности от предполагаемой плоскости. Экспериментальные погрешности не указаны, поэтому таблица устанавливает численное согласие, но не обеспечивает статистической проверки модели.

2 — Масштаб времени озёрных измерений

Для озера Веттерн

\[ L=1.23\times10^5\ \mathrm m, \qquad h=50\ \mathrm m, \]

откуда

\[ \sqrt{gh}\simeq22.1\ \mathrm{m\,s^{-1}}. \]

Простая модель предсказывает

\[ T_0= \frac{\pi(1.23\times10^5)} {\sqrt{3(9.81)(50)}} \simeq1.01\times10^4\ \mathrm s =\boxed{2.8\ \mathrm h}. \]

Энергетическая оценка даёт

\[ T_1= \frac{2\pi(1.23\times10^5)} {\sqrt{10(9.81)(50)}} \simeq1.10\times10^4\ \mathrm s =\boxed{3.1\ \mathrm h}. \]

Следовательно, последовательные максимумы каждой из кривых разделены промежутком времени приблизительно в три часа.

На приведённом графике одно полное колебание занимает приблизительно \(1.5\) интервала между делениями горизонтальной оси. Поэтому

\[ \text{время на один интервал между делениями} \approx\frac{3\ \mathrm h}{1.5} \approx\boxed{2\ \mathrm h}. \]

На всей записи укладывается примерно двенадцать колебаний, что соответствует приблизительно \(36\ \mathrm h\), или полутора суткам. Две кривые находятся приблизительно в противофазе, как и следует ожидать для колебаний у противоположных концов озера.

Решение проверено по официальному решению.

الحل

2 — نموذج الحركة ودور التذبذب

ليكن عرض الوعاء \(b\)، وكثافة الماء \(\rho\). نقيس \(x\) أفقيًا من منتصف الوعاء. ونكتب ارتفاع السطح عن القاع على الصورة

\[ H(x,t)=h+\eta(x,t),\qquad \eta(x,t)=\frac{2q(t)x}{L}, \qquad -\frac L2\leq x\leq\frac L2. \]

إذن عمقا الماء عند الطرفين الأيسر والأيمن هما \(h-q\) و\(h+q\)، على الترتيب. وفي البداية يكون \(q=\xi\).

نهمل اللزوجة والتخميد والتوتر السطحي. وفي وعاء طويل قليل العمق، يمكن في البداية إهمال التسارعات الرأسية وتقريب الضغط بضغط هيدروستاتيكي. وتتيح السعة الصغيرة، \(|q|\ll h\)، استخدام نموذج خطي للتذبذب.

الكتلة الكلية هي

\[ M=\rho bLh, \]

لأن الحجم الواقع فوق السطح المتوسط يساوي الحجم الناقص تحته. والإحداثي الأفقي \(X\) لمركز الكتلة هو

\[ \begin{aligned} X &=\frac{\rho b}{M} \int_{-L/2}^{L/2}xH(x,t)\,dx\\ &=\frac{1}{Lh}\frac{2q}{L} \int_{-L/2}^{L/2}x^2\,dx\\ &=\boxed{\frac{Lq}{6h}}. \end{aligned} \]

مقدار القوة الهيدروستاتيكية التي يؤثر بها جدار طرفي في ماء عمقه \(H\) هو

\[ b\int_0^H \rho g(H-z)\,dz =\frac12\rho gbH^2. \]

وبالتالي، فإن محصلة القوى الأفقية المؤثرة في الماء هي

\[ \begin{aligned} F_x &=\frac12\rho gb\left[(h-q)^2-(h+q)^2\right]\\ &=-2\rho gbhq. \end{aligned} \]

هذه قوة إرجاع: فعندما يرتفع الماء أكثر على اليمين، تؤثر نحو اليسار. ويعطي قانون نيوتن الثاني

\[ M\ddot X=F_x, \]

أي

\[ \rho bLh\frac{L}{6h}\ddot q=-2\rho gbhq. \]

ومن ثم،

\[ \boxed{\ddot q+\frac{12gh}{L^2}q=0}. \]

هذه حركة توافقية بسيطة، حيث

\[ \omega_0=\frac{\sqrt{12gh}}{L}, \qquad \boxed{T_0=\frac{2\pi}{\omega_0} =\frac{\pi L}{\sqrt{3gh}}}. \]

إذا تُرك الماء ليتحرك من السكون انطلاقًا من الوضع المبين، فإن

\[ q(t)=\xi\cos(\omega_0t), \qquad \eta(x,t)=\frac{2\xi x}{L}\cos(\omega_0t). \]

إذن يتذبذب الطرفان بطورين متعاكسين. ولا يعتمد الدور على السعة الصغيرة أو العرض أو الكثافة.

تقدير قائم على الطاقة يأخذ سرعة الجريان في الحسبان

يمثل السطح المستوي تقريبًا للحركة الفعلية. ويمكننا تقييم أثر وصف الجريان الداخلي تفصيليًا ببناء نموذج قائم على الطاقة.

نفترض أن السرعة الأفقية \(u(x,t)\) منتظمة تقريبًا على امتداد العمق. ويتطلب انحفاظ الحجم، بعد تقريب معادلته خطيًا حول العمق \(h\)، أن يكون

\[ \frac{\partial\eta}{\partial t} +h\frac{\partial u}{\partial x}=0. \]

باستخدام \(\eta=2qx/L\) وفرض انعدام الجريان الأفقي عبر كلا الجدارين الطرفيين، نحصل على

\[ \boxed{ u(x,t)=\frac{\dot q}{Lh} \left(\frac{L^2}{4}-x^2\right). } \]

تكون السرعة الأفقية أعظمية عند المنتصف، وتنعدم عند الجدارين. وفي تقريب المياه الضحلة، تكون الطاقة الحركية للحركة الرأسية صغيرة مقارنة بالطاقة الحركية للحركة الأفقية. ومن ثم

\[ \begin{aligned} K &=\frac12\rho bh \int_{-L/2}^{L/2}u^2\,dx\\ &=\boxed{\frac{\rho bL^3}{60h}\dot q^{\,2}}. \end{aligned} \]

الزيادة في طاقة الوضع الثقالية مقارنة بحالة السطح الأفقي هي

\[ \begin{aligned} U &=\frac{\rho gb}{2} \int_{-L/2}^{L/2}\left[(h+\eta)^2-h^2\right]dx\\ &=\frac{\rho gb}{2}\int_{-L/2}^{L/2}\eta^2\,dx\\ &=\boxed{\frac{\rho gbL}{6}q^2}, \end{aligned} \]

حيث ينعدم الحد المتناسب مع \(\int\eta\,dx\) بفعل انحفاظ الحجم.

يعطي انحفاظ \(K+U\) الآن

\[ \ddot q+\frac{10gh}{L^2}q=0, \]

وبالتالي

\[ \boxed{ T_1=\frac{2\pi L}{\sqrt{10gh}} =\sqrt{\frac65}\,T_0. } \]

هذا التقدير أطول بنحو \(9.5\%\) من نتيجة نموذج مركز الكتلة البسيط.

يعكس اختلاف المعاملين الطبيعة التقريبية لوصف الحركة: يستخدم النموذج الأول القوى الهيدروستاتيكية عند الطرفين، بينما يستخدم الثاني طاقة جريان مفترض يحافظ على الحجم. وينحرف السطح الحر الفعلي عمومًا عن المستوى، لذا لا ينبغي اعتبار أي من المعاملين نتيجة هيدروديناميكية دقيقة.

2 — المقارنة مع القياسات وجودة النموذج

باستخدام \(g=9.81\ \mathrm{m\,s^{-2}}\)، تكون الأدوار المتوقعة كما يلي:

عند \(L=479\ \mathrm{mm}\):

عند \(L=143\ \mathrm{mm}\):

لإجراء مقارنة كمية، نعرّف الفرق النسبي على النحو الآتي

\[ \varepsilon= \frac{T_{\mathrm{model}}-T_{\mathrm{measured}}} {T_{\mathrm{measured}}}. \]

يعطي النموذج البسيط أدوارًا أقل من القيم المرصودة بصورة منتظمة: بنسبة \(10.0\)–\(15.2\%\) في الوعاء الأطول، وبنسبة \(8.6\)–\(20.0\%\) في الوعاء الأقصر. ويخفض تقدير الطاقة القيم العظمى المطلقة للفروق النسبية إلى \(7.1\%\) و\(12.4\%\).

يمكن أيضًا التحقق من علاقة التناسب التقريبية باستخدام الكمية اللابعدية

\[ C=\frac{T\sqrt{gh}}{L}. \]

تتراوح القيم التجريبية تقريبًا بين \(2.02\) و\(2.14\) في الوعاء الأطول، وبين \(1.98\) و\(2.27\) في الوعاء الأقصر. وهذه القيم قريبة بدرجة معقولة من ثابت مشترك. وتنبؤا النموذجين هما

\[ C_0=\frac{\pi}{\sqrt3}\simeq1.814, \qquad C_1=\frac{2\pi}{\sqrt{10}}\simeq1.987. \]

وهكذا يقدم النموذجان وصفًا مفيدًا للمقدار وللاعتماد على المعلمات، كما أن وصف سرعة الجريان تفصيليًا يحسن التوافق مع هذه البيانات.

ومع ذلك، فإن لصلاحيتهما حدودًا. تتراوح النسب \(h/L\) بين \(0.063\) و\(0.30\) في الوعاء الأطول، وبين \(0.22\) و\(0.87\) في الوعاء الأقصر. وعلى وجه الخصوص، تقع القياسات عند أكبر الأعماق في الوعاء الأقصر خارج نطاق موثوقية تقريب المياه الضحلة. وعندئذ تصبح الحركة الرأسية والانحرافات عن السطح المستوي المفترض ذات أهمية. ولم تُعطَ قيم لعدم اليقين التجريبي، لذا يثبت الجدول توافقًا عدديًا ولا يمثل تحققًا إحصائيًا من صحة النموذج.

2 — مقياس الزمن لقياسات البحيرة

لبحيرة فاترن،

\[ L=1.23\times10^5\ \mathrm m, \qquad h=50\ \mathrm m, \]

مما يعطي

\[ \sqrt{gh}\simeq22.1\ \mathrm{m\,s^{-1}}. \]

يتنبأ النموذج البسيط بأن

\[ T_0= \frac{\pi(1.23\times10^5)} {\sqrt{3(9.81)(50)}} \simeq1.01\times10^4\ \mathrm s =\boxed{2.8\ \mathrm h}. \]

ويعطي تقدير الطاقة

\[ T_1= \frac{2\pi(1.23\times10^5)} {\sqrt{10(9.81)(50)}} \simeq1.10\times10^4\ \mathrm s =\boxed{3.1\ \mathrm h}. \]

وعليه، تفصل بين القمم المتتالية في أي من المنحنيين نحو ثلاث ساعات.

في الرسم البياني المعروض، يشغل التذبذب الكامل نحو \(1.5\) فاصل بين علامات التدريج الأفقية. ولذلك،

\[ \text{الزمن لكل فاصل تدريج} \approx\frac{3\ \mathrm h}{1.5} \approx\boxed{2\ \mathrm h}. \]

يوجد نحو اثني عشر تذبذبًا على امتداد التسجيل، وهو ما يقابل نحو \(36\ \mathrm h\)، أي يومًا ونصفًا. والمنحنيان متعاكسان في الطور تقريبًا، كما هو متوقع للتذبذبات عند طرفي البحيرة المتقابلين.

تمت مراجعة الحل بمقارنته بالحل الرسمي.