IPhO 1968 · Theory problem 2
Mixing two quantities of toluene at different temperatures
There are \(300\ \mathrm{cm}^3\) toluene of \(0^\circ\mathrm{C}\) temperature in a glass and \(110\ \mathrm{cm}^3\) toluene of \(100^\circ\mathrm{C}\) temperature in another glass. (The sum of the volumes is \(410\ \mathrm{cm}^3\).) Find the final volume after the two liquids are mixed. The coefficient of volume expansion of toluene \(\beta=0.001({}^\circ\mathrm{C})^{-1}\). Neglect the loss of heat.
Official English text of the problem.
Answers
- Problem 2: The final volume is \(\boxed{410\ \mathrm{cm}^3}\).
Solution
Use the standard linear thermal-expansion law for a fixed mass, \[ V(t)=V(0)(1+\beta t), \] where \(t\) is measured relative to \(0^\circ\mathrm{C}\). Assume that toluene’s specific heat capacity is constant and that the heat capacities of the glasses are negligible.
First, determine the mass ratio, since heat exchange depends on mass. The hot portion’s volume at \(0^\circ\mathrm{C}\) would be \[ V_{\mathrm h}(0) =\frac{110\ \mathrm{cm}^3} {1+(0.001\ {}^\circ\mathrm{C}^{-1})(100^\circ\mathrm{C})} =100\ \mathrm{cm}^3. \] At the same temperature both portions have the same density, so \[ \frac{m_{\mathrm c}}{m_{\mathrm h}} =\frac{300}{100}=3. \]
Conservation of energy requires the heat gained by the cold portion to equal the heat lost by the hot portion: \[ m_{\mathrm c}c(t_{\mathrm f}-0^\circ\mathrm{C}) =m_{\mathrm h}c(100^\circ\mathrm{C}-t_{\mathrm f}). \] Cancelling the common specific heat \(c\) and using the mass ratio gives \[ 3t_{\mathrm f}=100^\circ\mathrm{C}-t_{\mathrm f}, \qquad t_{\mathrm f}=25^\circ\mathrm{C}. \]
The combined liquid would occupy \(300+100=400\ \mathrm{cm}^3\) at \(0^\circ\mathrm{C}\). Hence its volume at the final temperature is \[ V_{\mathrm f} =(400\ \mathrm{cm}^3) \left[1+(0.001\ {}^\circ\mathrm{C}^{-1})(25^\circ\mathrm{C})\right] =\boxed{410\ \mathrm{cm}^3}. \]
Equivalently, the cold portion expands to \(307.5\ \mathrm{cm}^3\), while the hot portion contracts to \(102.5\ \mathrm{cm}^3\). Their volume changes cancel within the linear-expansion model.
The solution was checked against the official solution.
IPhO 1968 · Theorieaufgabe 2
Mischen zweier Mengen Toluol mit unterschiedlichen Temperaturen
In einem Glas befinden sich \(300\ \mathrm{cm}^3\) Toluol mit einer Temperatur von \(0^\circ\mathrm{C}\), in einem anderen Glas \(110\ \mathrm{cm}^3\) Toluol mit einer Temperatur von \(100^\circ\mathrm{C}\). (Die Summe der Volumina beträgt \(410\ \mathrm{cm}^3\).) Bestimmen Sie das Endvolumen nach dem Mischen der beiden Flüssigkeiten. Der Volumenausdehnungskoeffizient von Toluol beträgt \(\beta=0.001({}^\circ\mathrm{C})^{-1}\). Vernachlässigen Sie den Wärmeverlust.
Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt.
Antworten
- Aufgabe 2: Das Endvolumen beträgt \(\boxed{410\ \mathrm{cm}^3}\).
Lösung
Wir verwenden das übliche lineare Gesetz der thermischen Ausdehnung für eine feste Masse, \[ V(t)=V(0)(1+\beta t), \] wobei \(t\) relativ zu \(0^\circ\mathrm{C}\) gemessen wird. Wir nehmen an, dass die spezifische Wärmekapazität von Toluol konstant ist und die Wärmekapazitäten der Gläser vernachlässigbar sind.
Zunächst bestimmen wir das Massenverhältnis, da der Wärmeaustausch von der Masse abhängt. Das Volumen der heißen Teilmenge bei \(0^\circ\mathrm{C}\) wäre \[ V_{\mathrm h}(0) =\frac{110\ \mathrm{cm}^3} {1+(0.001\ {}^\circ\mathrm{C}^{-1})(100^\circ\mathrm{C})} =100\ \mathrm{cm}^3. \] Bei gleicher Temperatur haben beide Teilmengen dieselbe Dichte, daher gilt \[ \frac{m_{\mathrm c}}{m_{\mathrm h}} =\frac{300}{100}=3. \]
Nach dem Energieerhaltungssatz muss die von der kalten Teilmenge aufgenommene Wärme gleich der von der heißen Teilmenge abgegebenen Wärme sein: \[ m_{\mathrm c}c(t_{\mathrm f}-0^\circ\mathrm{C}) =m_{\mathrm h}c(100^\circ\mathrm{C}-t_{\mathrm f}). \] Durch Kürzen der gemeinsamen spezifischen Wärmekapazität \(c\) und Einsetzen des Massenverhältnisses ergibt sich \[ 3t_{\mathrm f}=100^\circ\mathrm{C}-t_{\mathrm f}, \qquad t_{\mathrm f}=25^\circ\mathrm{C}. \]
Die gesamte Flüssigkeit würde bei \(0^\circ\mathrm{C}\) ein Volumen von \(300+100=400\ \mathrm{cm}^3\) einnehmen. Daher beträgt ihr Volumen bei der Endtemperatur \[ V_{\mathrm f} =(400\ \mathrm{cm}^3) \left[1+(0.001\ {}^\circ\mathrm{C}^{-1})(25^\circ\mathrm{C})\right] =\boxed{410\ \mathrm{cm}^3}. \]
Gleichwertig lässt sich feststellen, dass sich die kalte Teilmenge auf \(307.5\ \mathrm{cm}^3\) ausdehnt, während sich die heiße Teilmenge auf \(102.5\ \mathrm{cm}^3\) zusammenzieht. Ihre Volumenänderungen heben sich im Rahmen des linearen Ausdehnungsmodells gegenseitig auf.
Die Lösung wurde mit der offiziellen Lösung abgeglichen.
IPhO 1968 · Teori sorusu 2
Farklı sıcaklıklardaki iki miktar toluenin karıştırılması
Bir bardakta \(0^\circ\mathrm{C}\) sıcaklıkta \(300\ \mathrm{cm}^3\) toluen ve başka bir bardakta \(100^\circ\mathrm{C}\) sıcaklıkta \(110\ \mathrm{cm}^3\) toluen bulunmaktadır. (Hacimlerin toplamı \(410\ \mathrm{cm}^3\) olur.) İki sıvı karıştırıldıktan sonraki son hacmi bulunuz. Toluenin hacimsel genleşme katsayısı \(\beta=0.001({}^\circ\mathrm{C})^{-1}\) değerindedir. Isı kaybını ihmal ediniz.
Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir.
Cevaplar
- Soru 2: Son hacim \(\boxed{410\ \mathrm{cm}^3}\) olur.
Çözüm
Sabit bir kütle için standart doğrusal ısıl genleşme yasasını kullanalım: \[ V(t)=V(0)(1+\beta t), \] burada \(t\), \(0^\circ\mathrm{C}\) referans alınarak ölçülür. Toluenin özgül ısı kapasitesinin sabit olduğunu ve bardakların ısı kapasitelerinin ihmal edilebilir olduğunu varsayalım.
Önce kütle oranını belirleyelim, çünkü ısı alışverişi kütleye bağlıdır. Sıcak kısmın \(0^\circ\mathrm{C}\) sıcaklıktaki hacmi şöyle olurdu: \[ V_{\mathrm h}(0) =\frac{110\ \mathrm{cm}^3} {1+(0.001\ {}^\circ\mathrm{C}^{-1})(100^\circ\mathrm{C})} =100\ \mathrm{cm}^3. \] Aynı sıcaklıkta her iki kısmın yoğunluğu aynı olduğundan \[ \frac{m_{\mathrm c}}{m_{\mathrm h}} =\frac{300}{100}=3. \]
Enerjinin korunumu, soğuk kısmın aldığı ısının sıcak kısmın verdiği ısıya eşit olmasını gerektirir: \[ m_{\mathrm c}c(t_{\mathrm f}-0^\circ\mathrm{C}) =m_{\mathrm h}c(100^\circ\mathrm{C}-t_{\mathrm f}). \] Ortak özgül ısı \(c\) sadeleştirilip kütle oranı kullanıldığında \[ 3t_{\mathrm f}=100^\circ\mathrm{C}-t_{\mathrm f}, \qquad t_{\mathrm f}=25^\circ\mathrm{C}. \]
Birleştirilmiş sıvı, \(0^\circ\mathrm{C}\) sıcaklıkta \(300+100=400\ \mathrm{cm}^3\) hacim kaplardı. Dolayısıyla son sıcaklıktaki hacmi \[ V_{\mathrm f} =(400\ \mathrm{cm}^3) \left[1+(0.001\ {}^\circ\mathrm{C}^{-1})(25^\circ\mathrm{C})\right] =\boxed{410\ \mathrm{cm}^3}. \]
Eşdeğer biçimde, soğuk kısım genleşerek \(307.5\ \mathrm{cm}^3\) hacme ulaşırken sıcak kısım büzülerek \(102.5\ \mathrm{cm}^3\) hacme iner. Doğrusal genleşme modeli çerçevesinde hacim değişimleri birbirini götürür.
Çözüm, resmi çözümle karşılaştırılarak kontrol edildi.
IPhO 1968 · Problema teórico 2
Mezcla de dos cantidades de tolueno a diferentes temperaturas
En un vaso hay \(300\ \mathrm{cm}^3\) de tolueno a una temperatura de \(0^\circ\mathrm{C}\) y en otro vaso hay \(110\ \mathrm{cm}^3\) de tolueno a una temperatura de \(100^\circ\mathrm{C}\). (La suma de los volúmenes es \(410\ \mathrm{cm}^3\).) Determine el volumen final después de mezclar los dos líquidos. El coeficiente de dilatación volumétrica del tolueno es \(\beta=0.001({}^\circ\mathrm{C})^{-1}\). Desprecie las pérdidas de calor.
Enunciado traducido del texto oficial en inglés.
Respuestas
- Problema 2: El volumen final es \(\boxed{410\ \mathrm{cm}^3}\).
Solución
Utilizamos la ley lineal habitual de dilatación térmica para una masa fija, \[ V(t)=V(0)(1+\beta t), \] donde \(t\) se mide con respecto a \(0^\circ\mathrm{C}\). Suponemos que el calor específico del tolueno es constante y que las capacidades caloríficas de los vasos son despreciables.
Primero, determinamos la relación de masas, ya que el intercambio de calor depende de la masa. El volumen de la porción caliente a \(0^\circ\mathrm{C}\) sería \[ V_{\mathrm h}(0) =\frac{110\ \mathrm{cm}^3} {1+(0.001\ {}^\circ\mathrm{C}^{-1})(100^\circ\mathrm{C})} =100\ \mathrm{cm}^3. \] A la misma temperatura, ambas porciones tienen la misma densidad, por lo que \[ \frac{m_{\mathrm c}}{m_{\mathrm h}} =\frac{300}{100}=3. \]
La conservación de la energía exige que el calor absorbido por la porción fría sea igual al calor cedido por la porción caliente: \[ m_{\mathrm c}c(t_{\mathrm f}-0^\circ\mathrm{C}) =m_{\mathrm h}c(100^\circ\mathrm{C}-t_{\mathrm f}). \] Al cancelar el calor específico común \(c\) y utilizar la relación de masas, obtenemos \[ 3t_{\mathrm f}=100^\circ\mathrm{C}-t_{\mathrm f}, \qquad t_{\mathrm f}=25^\circ\mathrm{C}. \]
El líquido mezclado ocuparía \(300+100=400\ \mathrm{cm}^3\) a \(0^\circ\mathrm{C}\). Por tanto, su volumen a la temperatura final es \[ V_{\mathrm f} =(400\ \mathrm{cm}^3) \left[1+(0.001\ {}^\circ\mathrm{C}^{-1})(25^\circ\mathrm{C})\right] =\boxed{410\ \mathrm{cm}^3}. \]
De manera equivalente, la porción fría se dilata hasta alcanzar \(307.5\ \mathrm{cm}^3\), mientras que la porción caliente se contrae hasta alcanzar \(102.5\ \mathrm{cm}^3\). Sus cambios de volumen se compensan dentro del modelo lineal de dilatación.
La solución se comprobó con la solución oficial.
IPhO 1968 · 理论题 2
混合两份温度不同的甲苯
一个玻璃杯中装有温度为 \(0^\circ\mathrm{C}\) 的甲苯 \(300\ \mathrm{cm}^3\)，另一个玻璃杯中装有温度为 \(100^\circ\mathrm{C}\) 的甲苯 \(110\ \mathrm{cm}^3\)。（两者的体积之和为 \(410\ \mathrm{cm}^3\)。）求两份液体混合后的最终体积。甲苯的体积膨胀系数为 \(\beta=0.001({}^\circ\mathrm{C})^{-1}\)。忽略热量损失。
题目译自官方英文原文。
答案
- 题目 2: 最终体积为 \(\boxed{410\ \mathrm{cm}^3}\)。
解答
对于质量一定的物质，采用标准的线性热膨胀定律， \[ V(t)=V(0)(1+\beta t), \] 其中，\(t\) 是以 \(0^\circ\mathrm{C}\) 为基准测量的温度。假设甲苯的比热容为常量，且玻璃杯的热容可以忽略。
首先确定质量比，因为热交换量取决于质量。热甲苯在 \(0^\circ\mathrm{C}\) 时的体积应为 \[ V_{\mathrm h}(0) =\frac{110\ \mathrm{cm}^3} {1+(0.001\ {}^\circ\mathrm{C}^{-1})(100^\circ\mathrm{C})} =100\ \mathrm{cm}^3. \] 在相同温度下，两份甲苯的密度相同，因此 \[ \frac{m_{\mathrm c}}{m_{\mathrm h}} =\frac{300}{100}=3. \]
根据能量守恒，冷甲苯吸收的热量必须等于热甲苯放出的热量： \[ m_{\mathrm c}c(t_{\mathrm f}-0^\circ\mathrm{C}) =m_{\mathrm h}c(100^\circ\mathrm{C}-t_{\mathrm f}). \] 约去两边相同的比热容 \(c\)，并代入质量比，得 \[ 3t_{\mathrm f}=100^\circ\mathrm{C}-t_{\mathrm f}, \qquad t_{\mathrm f}=25^\circ\mathrm{C}. \]
混合后的液体在 \(0^\circ\mathrm{C}\) 时的体积应为 \(300+100=400\ \mathrm{cm}^3\)。因此，其在最终温度下的体积为 \[ V_{\mathrm f} =(400\ \mathrm{cm}^3) \left[1+(0.001\ {}^\circ\mathrm{C}^{-1})(25^\circ\mathrm{C})\right] =\boxed{410\ \mathrm{cm}^3}. \]
等价地，冷甲苯膨胀至 \(307.5\ \mathrm{cm}^3\)，而热甲苯收缩至 \(102.5\ \mathrm{cm}^3\)。在线性膨胀模型中，两者的体积变化相互抵消。
解答已与官方解答核对。
IPhO 1968 · Теоретическая задача 2
Смешивание двух порций толуола при разных температурах
В одном стакане находится \(300\ \mathrm{cm}^3\) толуола при температуре \(0^\circ\mathrm{C}\), а в другом — \(110\ \mathrm{cm}^3\) толуола при температуре \(100^\circ\mathrm{C}\). (Сумма объёмов составляет \(410\ \mathrm{cm}^3\).) Найдите конечный объём после смешивания двух жидкостей. Коэффициент объёмного расширения толуола \(\beta=0.001({}^\circ\mathrm{C})^{-1}\). Потерями теплоты пренебречь.
Условие переведено с официального английского текста.
Ответы
- Задача 2: Конечный объём равен \(\boxed{410\ \mathrm{cm}^3}\).
Решение
Воспользуемся стандартным линейным законом теплового расширения для неизменной массы: \[ V(t)=V(0)(1+\beta t), \] где \(t\) отсчитывается от \(0^\circ\mathrm{C}\). Будем считать, что удельная теплоёмкость толуола постоянна, а теплоёмкостями стаканов можно пренебречь.
Сначала определим отношение масс, поскольку теплообмен зависит от массы. Объём горячей порции при \(0^\circ\mathrm{C}\) составил бы \[ V_{\mathrm h}(0) =\frac{110\ \mathrm{cm}^3} {1+(0.001\ {}^\circ\mathrm{C}^{-1})(100^\circ\mathrm{C})} =100\ \mathrm{cm}^3. \] При одинаковой температуре обе порции имеют одинаковую плотность, поэтому \[ \frac{m_{\mathrm c}}{m_{\mathrm h}} =\frac{300}{100}=3. \]
Согласно закону сохранения энергии, количество теплоты, полученное холодной порцией, должно равняться количеству теплоты, отданному горячей порцией: \[ m_{\mathrm c}c(t_{\mathrm f}-0^\circ\mathrm{C}) =m_{\mathrm h}c(100^\circ\mathrm{C}-t_{\mathrm f}). \] Сокращая общий множитель — удельную теплоёмкость \(c\) — и используя отношение масс, получаем \[ 3t_{\mathrm f}=100^\circ\mathrm{C}-t_{\mathrm f}, \qquad t_{\mathrm f}=25^\circ\mathrm{C}. \]
Вся жидкость занимала бы объём \(300+100=400\ \mathrm{cm}^3\) при \(0^\circ\mathrm{C}\). Следовательно, её объём при конечной температуре равен \[ V_{\mathrm f} =(400\ \mathrm{cm}^3) \left[1+(0.001\ {}^\circ\mathrm{C}^{-1})(25^\circ\mathrm{C})\right] =\boxed{410\ \mathrm{cm}^3}. \]
Тот же результат можно получить иначе: холодная порция расширяется до \(307.5\ \mathrm{cm}^3\), а горячая сжимается до \(102.5\ \mathrm{cm}^3\). В рамках линейной модели расширения изменения их объёмов взаимно компенсируются.
Решение проверено по официальному решению.
IPhO 1968 · مسألة نظرية 2
مزج كميتين من التولوين عند درجتي حرارة مختلفتين
توجد في كأس كمية من التولوين حجمها \(300\ \mathrm{cm}^3\) ودرجة حرارتها \(0^\circ\mathrm{C}\)، وفي كأس أخرى كمية من التولوين حجمها \(110\ \mathrm{cm}^3\) ودرجة حرارتها \(100^\circ\mathrm{C}\). (مجموع الحجمين هو \(410\ \mathrm{cm}^3\).) أوجد الحجم النهائي بعد مزج السائلين. معامل التمدد الحجمي للتولوين هو \(\beta=0.001({}^\circ\mathrm{C})^{-1}\). أهمل فقدان الحرارة.
نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي.
الإجابات
- المسألة 2: الحجم النهائي هو \(\boxed{410\ \mathrm{cm}^3}\).
الحل
نستخدم قانون التمدد الحراري الخطي المعتاد لكتلة ثابتة، \[ V(t)=V(0)(1+\beta t), \] حيث تُقاس \(t\) بالنسبة إلى \(0^\circ\mathrm{C}\). نفترض أن السعة الحرارية النوعية للتولوين ثابتة، وأن السعات الحرارية للكأسين مهملة.
أولًا، نحدد نسبة الكتلتين، لأن التبادل الحراري يعتمد على الكتلة. سيكون حجم الكمية الساخنة عند \(0^\circ\mathrm{C}\) مساويًا لـ \[ V_{\mathrm h}(0) =\frac{110\ \mathrm{cm}^3} {1+(0.001\ {}^\circ\mathrm{C}^{-1})(100^\circ\mathrm{C})} =100\ \mathrm{cm}^3. \] عند درجة الحرارة نفسها، تكون كثافة الكميتين متساوية، ومن ثم \[ \frac{m_{\mathrm c}}{m_{\mathrm h}} =\frac{300}{100}=3. \]
يقتضي حفظ الطاقة أن تساوي الحرارة التي تكتسبها الكمية الباردة الحرارة التي تفقدها الكمية الساخنة: \[ m_{\mathrm c}c(t_{\mathrm f}-0^\circ\mathrm{C}) =m_{\mathrm h}c(100^\circ\mathrm{C}-t_{\mathrm f}). \] باختزال السعة الحرارية النوعية المشتركة \(c\) واستخدام نسبة الكتلتين، نحصل على \[ 3t_{\mathrm f}=100^\circ\mathrm{C}-t_{\mathrm f}, \qquad t_{\mathrm f}=25^\circ\mathrm{C}. \]
سيشغل السائل الناتج عن المزج حجمًا مقداره \(300+100=400\ \mathrm{cm}^3\) عند \(0^\circ\mathrm{C}\). لذلك يكون حجمه عند درجة الحرارة النهائية \[ V_{\mathrm f} =(400\ \mathrm{cm}^3) \left[1+(0.001\ {}^\circ\mathrm{C}^{-1})(25^\circ\mathrm{C})\right] =\boxed{410\ \mathrm{cm}^3}. \]
وبصورة مكافئة، تتمدد الكمية الباردة ليصبح حجمها \(307.5\ \mathrm{cm}^3\)، بينما تنكمش الكمية الساخنة ليصبح حجمها \(102.5\ \mathrm{cm}^3\). يلغي التغيران في حجميهما أحدهما الآخر ضمن نموذج التمدد الخطي.
تمت مراجعة الحل بمقارنته بالحل الرسمي.