Colloidal science is useful to characterize soil particles because many of them can be regarded as colloidal particles of micrometer size. For example, Brownian motion (random motion of colloidal particles) can be used to measure particle sizes.

Part A. Motions of colloidal particles (1.6 points)

We analyze the one-dimensional Brownian motion of a colloidal particle with mass \(M\). The equation of motion for its velocity \(v(t)\) reads:

\[ M\dot v=-\gamma v(t)+F(t)+F_{\mathrm{ext}}(t), \tag{1} \]

where \(\gamma\) is the friction coefficient, \(F(t)\) is a force due to random collisions with water molecules, and \(F_{\mathrm{ext}}(t)\) is an external force. In Part A, we assume \(F_{\mathrm{ext}}(t)=0\).

A.1 — 0.8pt

Consider that a water molecule collides with the particle at \(t=t_0\), giving impulse \(I_0\), and \(F(t)=0\) afterward. If \(v(t)=0\) before the collision, \(v(t)=v_0e^{-(t-t_0)/\tau}\) for \(t>t_0\). Determine \(v_0\) and \(\tau\), using \(I_0\) and necessary parameters in Eq.(1).

In the following, you may use \(\tau\) in your answers.

A.2 — 0.8pt

Actually, water molecules collide with the particle one after another. Suppose the \(i\)th collision gives the impulse \(I_i\) at time \(t_i\) and determine \(v(t)\) on condition that \(t>0\) and \(v(0)=0\). Also give the inequality specifying the range of \(t_i\) that needs to be considered for a given \(t\). In the answer sheet, it is not necessary to specify this range in the expression for \(v(t)\).

Part B. Effective equation of motion (1.8 points)

Results so far imply that particle velocities \(v(t)\) and \(v(t')\) may be regarded as uncorrelated random quantities if \(|t-t'|\gg\tau\). On this basis, we introduce a theoretical model to approximately describe the one-dimensional Brownian motion, where the velocity changes randomly at each time interval \(\delta\) \((\gg\tau)\), i.e.,

\[ v(t)=v_n\qquad(t_{n-1}<t\leq t_n), \tag{2} \]

with \(t_n=n\delta\) \((n=0,1,2,\cdots)\) and a random quantity \(v_n\). It satisfies

\[ \langle v_n\rangle=0,\qquad \langle v_nv_m\rangle= \begin{cases} C &(n=m),\\ 0 &(n\neq m), \end{cases} \tag{3} \]

with a parameter \(C\) depending on \(\delta\). Here \(\langle X\rangle\) indicates the expectation value of \(X\). That is, if you draw random numbers \(X\) infinite times, the mean will be \(\langle X\rangle\).

Now we consider the particle displacement \(\Delta x(t)=x(t)-x(0)\) for \(t=N\delta\) with an integer \(N\).

B.1 — 1.0pt

Determine \(\langle\Delta x(t)\rangle\) and \(\langle\Delta x(t)^2\rangle\) using \(C\), \(\delta\), and \(t\).

B.2 — 0.8pt

The quantity \(\langle\Delta x(t)^2\rangle\) is called the mean square displacement (MSD). It is a characteristic observable of the Brownian motion, which corresponds to the limiting case \(\delta\to0\). From this, we can show \(C\propto\delta^\alpha\) and \(\langle\Delta x(t)^2\rangle\propto t^\beta\). Determine the values of \(\alpha\) and \(\beta\).

Part C. Electrophoresis (2.7 points)

Here we discuss electrophoresis, i.e., transport of charged particles by an electric field. Suspension of colloidal particles with mass \(M\) and charge \(Q\) \((>0)\) is put in a narrow channel with a cross-section \(A\) (Fig.1(a)). We ignore the interaction between particles, effects of the wall, the fluid, the ions therein, and gravity.

Fig.1: Setting for Part C.

By applying a uniform electric field \(E\) in the \(x\)-direction, particles are transported and their concentration \(n(x)\) (particle number per unit volume) becomes non-uniform (Fig.1(b)). When \(E\) is removed, this non-uniformity gradually disappears. This is due to Brownian motion of particles. If \(n(x)\) is not uniform, the numbers of right-going and left-going particles may differ (Fig.1(c)). This generates a particle flux \(J_D(x)\), the mean number of particles flowing at \(x\) along the \(x\)-axis per unit cross-sectional area and unit time. This flux is known to satisfy

\[ J_D(x)=-D\frac{dn}{dx}(x), \tag{4} \]

where \(D\) is called the diffusion coefficient.

Now let's assume, for simplicity, that half of the particles have velocity \(+v\) and the other half have velocity \(-v\). Let \(N_+(x_0)\) be the number of particles with velocity \(+v\) that cross \(x_0\) from left to right per unit cross-sectional area and unit time. For particles with velocity \(+v\) to cross \(x_0\) in the time interval \(\delta\), they should be in the shaded region of Fig.1(c). Since \(\delta\) is small, we have \(n(x)\simeq n(x_0)+(x-x_0)\frac{dn}{dx}(x_0)\) in this region.

C.1 — 0.5pt

Express \(N_+(x_0)\) using necessary quantities from \(v\), \(\delta\), \(n(x_0)\), and \(\frac{dn}{dx}(x_0)\).

We define \(N_-(x_0)\) as the counterpart of \(N_+(x_0)\) for the velocity \(-v\). With this, we have \(J_D(x_0)=\langle N_+(x_0)-N_-(x_0)\rangle\). According to Eq.(3), we have \(\langle v^2\rangle=C\).

C.2 — 0.7pt

Determine \(J_D(x_0)\) using necessary quantities from \(C\), \(\delta\), \(n(x_0)\), and \(\frac{dn}{dx}(x_0)\). Using this and Eq.(4), express \(D\) in terms of \(C\) and \(\delta\), and \(\langle\Delta x(t)^2\rangle\) in terms of \(D\) and \(t\).

Now we discuss the effect of osmotic pressure \(\Pi\). It is given by \(\Pi=\frac{n}{N_A}RT=nkT\) with the Avogadro constant \(N_A\), the gas constant \(R\), temperature \(T\), and the Boltzmann constant \(k=\frac{R}{N_A}\). Let us consider the non-uniform concentration formed under the electric field \(E\) (Fig.1(b)). Since \(n(x)\) depends on \(x\), so does \(\Pi(x)\). Then the forces due to \(\Pi(x)\) and \(\Pi(x+\Delta x)\) must be balanced with the total force from the field \(E\) acting on the particles (Fig.2). Here we consider small \(\Delta x\), so that \(n(x)\) can be regarded as constant over this range, while \(n(x+\Delta x)-n(x)\simeq\Delta x\frac{dn}{dx}(x)\).

Fig.2: Force balance.

C.3 — 0.5pt

Express \(\frac{dn}{dx}(x)\) using \(n(x)\), \(T\), \(Q\), \(E\), and \(k\).

Let us discuss the balance of the flux now. Besides the flux \(J_D(x)\) due to the Brownian motion, there is also a flux due to the electric field, \(J_Q(x)\). It is given by

\[ J_Q(x)=n(x)u, \tag{5} \]

where \(u\) is the terminal velocity of particles driven by the field.

C.4 — 0.5pt

To determine \(u\), we use Eq.(1) with \(F_{\mathrm{ext}}(t)=QE\). Since \(v(t)\) is fluctuating, we consider \(\langle v(t)\rangle\). Assuming \(\langle v(0)\rangle=0\) and using \(\langle F(t)\rangle=0\), evaluate \(\langle v(t)\rangle\) and obtain \(u=\lim_{t\to\infty}\langle v(t)\rangle\).

C.5 — 0.5pt

The flux balance reads \(J_D(x)+J_Q(x)=0\). Express the diffusion coefficient \(D\) in terms of \(k\), \(\gamma\), and \(T\).

Part D. Mean square displacement (2.4 points)

Suppose we observed the Brownian motion of an isolated, spherical colloidal particle with radius \(a=5.0\,\mu\mathrm{m}\) in water. Figure 3 shows the histogram of displacements \(\Delta x\) measured in the \(x\)-direction at every interval \(\Delta t=60\,\mathrm{s}\). The friction coefficient is given by \(\gamma=6\pi a\eta\) with water viscosity \(\eta=8.9\times10^{-4}\,\mathrm{Pa\cdot s}\) and the temperature was \(T=25\,^\circ\mathrm{C}\).

Fig.3: Histogram of displacements.

D.1 — 1.0pt

Estimate the value of \(N_A\) without using the fact that it is the Avogadro constant, up to two significant digits from the data in Fig.3. The gas constant is \(R=8.31\,\mathrm{J/K\cdot mol}\). Do not use the value of the Boltzmann constant \(k\) given in General Instructions. As for the Avogadro constant, you might obtain a value different from that in General Instructions.

Now we extend the model in Part B to describe the motion of a particle with charge \(Q\) under an electric field \(E\). The particle velocity \(v(t)\) considered in Eq.(2) should be replaced by \(v(t)=u+v_n\) \((t_{n-1}<t\leq t_n)\) with \(v_n\) satisfying Eq. (3) and \(u\) being the terminal velocity considered in Eq.(5).

D.2 — 0.8pt

Express the MSD \(\langle\Delta x(t)^2\rangle\) in terms of \(u\), \(D\), and \(t\). Obtain approximate power laws for small \(t\) and large \(t\), as well as the characteristic time \(t_*\) where this change occurs. Draw a rough graph of MSD in a log-log plot, indicating the approximate location of \(t_*\).

Next, we consider swimming microbes (Fig.4(a)), in one dimension for simplicity (Fig.4(b)). These are spherical particles with radius \(a\). They swim at velocity either \(+u_0\) or \(-u_0\), the sign chosen randomly at every time interval \(\delta_0\) without correlation. The observed motion is a combination of displacements due to swimming and those due to the Brownian motion of a spherical particle.

Fig.4: (a) Motion of microbes. (b) Its one-dimensional version.

D.3 — 0.6pt

Figure 5 displays the MSD \(\langle\Delta x(t)^2\rangle\) of those microbes, showing different power laws for small, large, and intermidiate \(t\), as indicated by dashed lines. Obtain the power law for each time range and express it using necessary quantities from \(D\), \(u_0\), \(\delta_0\), and \(t\).

Fig.5: Mean square displacement of the microbes.

Part E. Water purification (1.5 points)

Here we discuss the purification of water including colloid-like soil particles, by adding electrolytes to coagulate them. Particles interact through van der Waals force and electrostatic force, the latter including effects of both surface charges and the surrounding layer of oppositely charged ions (such ions and their layer are called counter-ions and the electric double layer, respectively; see Fig.6(a)). As a result, the interaction potential for particle distance \(d\) (Fig.6(b)) is given by

\[ U(d)=-\frac{A}{d}+\frac{B\epsilon(kT)^2}{q^2}e^{-d/\lambda}, \tag{6} \]

where \(A\) and \(B\) are positive constants, \(\epsilon\) is the dielectric constant of water, and \(\lambda\) is the thickness of the electric double layer. Assuming that charges of ions are \(\pm q\), we have

\[ \lambda=\sqrt{\frac{\epsilon kT}{2N_Aq^2c}}, \tag{7} \]

where \(c\) is the molar concentration of ion.

Fig.6: (a) Surface charges of colloidal particles and counter-ions. (b) Definition of the distance \(d\).

E.1 — 1.5pt

Addition of sodium chloride (NaCl) to the suspension causes colloidal particles to coagulate. Determine the lowest concentration \(c\) of NaCl necessary for coagulation. It is sufficient to consider two particles without thermal fluctuations, i.e., \(F(t)=0\) in Eq.(1), and assume that the terminal velocity for the given potential force is reached instantaneously.

Official English text of the problem.

Die Kolloidwissenschaft eignet sich zur Charakterisierung von Bodenpartikeln, da viele von ihnen als kolloidale Teilchen im Mikrometerbereich betrachtet werden können. Beispielsweise lässt sich die Brownsche Bewegung (zufällige Bewegung kolloidaler Teilchen) zur Messung von Teilchengrößen nutzen.

Teil A. Bewegungen kolloidaler Teilchen (1.6 Punkte)

Wir untersuchen die eindimensionale Brownsche Bewegung eines kolloidalen Teilchens mit der Masse \(M\). Die Bewegungsgleichung für seine Geschwindigkeit \(v(t)\) lautet:

\[ M\dot v=-\gamma v(t)+F(t)+F_{\mathrm{ext}}(t), \tag{1} \]

wobei \(\gamma\) der Reibungskoeffizient, \(F(t)\) eine durch zufällige Stöße mit Wassermolekülen verursachte Kraft und \(F_{\mathrm{ext}}(t)\) eine äußere Kraft ist. In Teil A nehmen wir \(F_{\mathrm{ext}}(t)=0\) an.

A.1 — 0.8 Punkte

Ein Wassermolekül stoße zum Zeitpunkt \(t=t_0\) mit dem Teilchen zusammen und übertrage dabei den Impuls \(I_0\); anschließend gelte \(F(t)=0\). Wenn vor dem Stoß \(v(t)=0\) gilt, ist \(v(t)=v_0e^{-(t-t_0)/\tau}\) für \(t>t_0\). Bestimmen Sie \(v_0\) und \(\tau\) mithilfe von \(I_0\) und den erforderlichen Parametern aus Gl.(1).

Im Folgenden dürfen Sie \(\tau\) in Ihren Antworten verwenden.

A.2 — 0.8 Punkte

Tatsächlich stoßen Wassermoleküle nacheinander mit dem Teilchen zusammen. Nehmen Sie an, dass der \(i\)-te Stoß zum Zeitpunkt \(t_i\) den Impuls \(I_i\) überträgt, und bestimmen Sie \(v(t)\) unter den Bedingungen \(t>0\) und \(v(0)=0\). Geben Sie außerdem die Ungleichung an, die den für ein gegebenes \(t\) zu berücksichtigenden Bereich von \(t_i\) festlegt. Auf dem Antwortbogen müssen Sie diesen Bereich im Ausdruck für \(v(t)\) nicht angeben.

Teil B. Effektive Bewegungsgleichung (1.8 Punkte)

Die bisherigen Ergebnisse legen nahe, dass die Teilchengeschwindigkeiten \(v(t)\) und \(v(t')\) als unkorrelierte Zufallsgrößen betrachtet werden können, wenn \(|t-t'|\gg\tau\) gilt. Auf dieser Grundlage führen wir ein theoretisches Modell zur näherungsweisen Beschreibung der eindimensionalen Brownschen Bewegung ein, in dem sich die Geschwindigkeit nach jedem Zeitintervall \(\delta\) \((\gg\tau)\) zufällig ändert, d. h.,

\[ v(t)=v_n\qquad(t_{n-1}<t\leq t_n), \tag{2} \]

mit \(t_n=n\delta\) \((n=0,1,2,\cdots)\) und einer Zufallsgröße \(v_n\). Sie erfüllt

\[ \langle v_n\rangle=0,\qquad \langle v_nv_m\rangle= \begin{cases} C &(n=m),\\ 0 &(n\neq m), \end{cases} \tag{3} \]

mit einem von \(\delta\) abhängigen Parameter \(C\). Hier bezeichnet \(\langle X\rangle\) den Erwartungswert von \(X\). Wenn man also unendlich oft Zufallszahlen \(X\) zieht, ist deren Mittelwert \(\langle X\rangle\).

Nun betrachten wir die Verschiebung des Teilchens \(\Delta x(t)=x(t)-x(0)\) für \(t=N\delta\) mit einer ganzen Zahl \(N\).

B.1 — 1.0 Punkte

Bestimmen Sie \(\langle\Delta x(t)\rangle\) und \(\langle\Delta x(t)^2\rangle\) mithilfe von \(C\), \(\delta\) und \(t\).

B.2 — 0.8 Punkte

Die Größe \(\langle\Delta x(t)^2\rangle\) heißt mittlere quadratische Verschiebung (MSD). Sie ist eine charakteristische Messgröße der Brownschen Bewegung, die dem Grenzfall \(\delta\to0\) entspricht. Daraus lässt sich zeigen, dass \(C\propto\delta^\alpha\) und \(\langle\Delta x(t)^2\rangle\propto t^\beta\) gelten. Bestimmen Sie die Werte von \(\alpha\) und \(\beta\).

Teil C. Elektrophorese (2.7 Punkte)

Hier behandeln wir die Elektrophorese, d. h. den Transport geladener Teilchen durch ein elektrisches Feld. Eine Suspension kolloidaler Teilchen mit der Masse \(M\) und der Ladung \(Q\) \((>0)\) wird in einen engen Kanal mit der Querschnittsfläche \(A\) eingebracht (Abb.1(a)). Wir vernachlässigen die Wechselwirkung zwischen den Teilchen, die Einflüsse der Wand, der Flüssigkeit und der darin enthaltenen Ionen sowie die Schwerkraft.

Abb.1: Anordnung für Teil C.

Durch Anlegen eines homogenen elektrischen Feldes \(E\) in \(x\)-Richtung werden die Teilchen transportiert, und ihre Konzentration \(n(x)\) (Teilchenzahl pro Volumeneinheit) wird inhomogen (Abb.1(b)). Wird \(E\) abgeschaltet, verschwindet diese Inhomogenität allmählich. Dies ist auf die Brownsche Bewegung der Teilchen zurückzuführen. Wenn \(n(x)\) nicht homogen ist, können sich die Anzahlen der nach rechts und nach links bewegten Teilchen unterscheiden (Abb.1(c)). Dadurch entsteht eine Teilchenstromdichte \(J_D(x)\), die mittlere Anzahl von Teilchen, die am Ort \(x\) entlang der \(x\)-Achse pro Querschnittsfläche und Zeit strömen. Für diese Stromdichte gilt bekanntermaßen

\[ J_D(x)=-D\frac{dn}{dx}(x), \tag{4} \]

wobei \(D\) als Diffusionskoeffizient bezeichnet wird.

Nehmen wir nun der Einfachheit halber an, dass die Hälfte der Teilchen die Geschwindigkeit \(+v\) und die andere Hälfte die Geschwindigkeit \(-v\) hat. Sei \(N_+(x_0)\) die Anzahl der Teilchen mit der Geschwindigkeit \(+v\), die \(x_0\) pro Querschnittsfläche und Zeit von links nach rechts passieren. Damit Teilchen mit der Geschwindigkeit \(+v\) den Ort \(x_0\) innerhalb des Zeitintervalls \(\delta\) passieren, müssen sie sich im schraffierten Bereich von Abb.1(c) befinden. Da \(\delta\) klein ist, gilt in diesem Bereich \(n(x)\simeq n(x_0)+(x-x_0)\frac{dn}{dx}(x_0)\).

C.1 — 0.5 Punkte

Drücken Sie \(N_+(x_0)\) mithilfe der erforderlichen Größen aus \(v\), \(\delta\), \(n(x_0)\) und \(\frac{dn}{dx}(x_0)\) aus.

Wir definieren \(N_-(x_0)\) als das Gegenstück zu \(N_+(x_0)\) für die Geschwindigkeit \(-v\). Damit gilt \(J_D(x_0)=\langle N_+(x_0)-N_-(x_0)\rangle\). Gemäß Gl.(3) gilt \(\langle v^2\rangle=C\).

C.2 — 0.7 Punkte

Bestimmen Sie \(J_D(x_0)\) mithilfe der erforderlichen Größen aus \(C\), \(\delta\), \(n(x_0)\) und \(\frac{dn}{dx}(x_0)\). Drücken Sie damit und mithilfe von Gl.(4) \(D\) durch \(C\) und \(\delta\) sowie \(\langle\Delta x(t)^2\rangle\) durch \(D\) und \(t\) aus.

Nun behandeln wir den Einfluss des osmotischen Drucks \(\Pi\). Er ist gegeben durch \(\Pi=\frac{n}{N_A}RT=nkT\), mit der Avogadro-Konstante \(N_A\), der Gaskonstante \(R\), der Temperatur \(T\) und der Boltzmann-Konstante \(k=\frac{R}{N_A}\). Betrachten wir die inhomogene Konzentration, die sich unter dem elektrischen Feld \(E\) ausgebildet hat (Abb.1(b)). Da \(n(x)\) von \(x\) abhängt, gilt dies auch für \(\Pi(x)\). Dann müssen die durch \(\Pi(x)\) und \(\Pi(x+\Delta x)\) verursachten Kräfte mit der Gesamtkraft im Gleichgewicht stehen, die das Feld \(E\) auf die Teilchen ausübt (Abb.2). Hier betrachten wir ein kleines \(\Delta x\), sodass \(n(x)\) über diesen Bereich als konstant angesehen werden kann, während \(n(x+\Delta x)-n(x)\simeq\Delta x\frac{dn}{dx}(x)\) gilt.

Abb.2: Kräftegleichgewicht.

C.3 — 0.5 Punkte

Drücken Sie \(\frac{dn}{dx}(x)\) mithilfe von \(n(x)\), \(T\), \(Q\), \(E\) und \(k\) aus.

Betrachten wir nun das Gleichgewicht der Teilchenströme. Neben der Stromdichte \(J_D(x)\) aufgrund der Brownschen Bewegung gibt es auch eine Stromdichte aufgrund des elektrischen Feldes, \(J_Q(x)\). Sie ist gegeben durch

\[ J_Q(x)=n(x)u, \tag{5} \]

wobei \(u\) die Endgeschwindigkeit der vom Feld angetriebenen Teilchen ist.

C.4 — 0.5 Punkte

Zur Bestimmung von \(u\) verwenden wir Gl.(1) mit \(F_{\mathrm{ext}}(t)=QE\). Da \(v(t)\) schwankt, betrachten wir \(\langle v(t)\rangle\). Berechnen Sie unter der Annahme \(\langle v(0)\rangle=0\) und mithilfe von \(\langle F(t)\rangle=0\) den Ausdruck \(\langle v(t)\rangle\), und bestimmen Sie \(u=\lim_{t\to\infty}\langle v(t)\rangle\).

C.5 — 0.5 Punkte

Das Gleichgewicht der Teilchenströme lautet \(J_D(x)+J_Q(x)=0\). Drücken Sie den Diffusionskoeffizienten \(D\) durch \(k\), \(\gamma\) und \(T\) aus.

Teil D. Mittlere quadratische Verschiebung (2.4 Punkte)

Angenommen, wir haben die Brownsche Bewegung eines isolierten, kugelförmigen kolloidalen Teilchens mit dem Radius \(a=5.0\,\mu\mathrm{m}\) in Wasser beobachtet. Abbildung 3 zeigt das Histogramm der Verschiebungen \(\Delta x\), die in \(x\)-Richtung jeweils über ein Intervall \(\Delta t=60\,\mathrm{s}\) gemessen wurden. Der Reibungskoeffizient ist gegeben durch \(\gamma=6\pi a\eta\), mit der Viskosität des Wassers \(\eta=8.9\times10^{-4}\,\mathrm{Pa\cdot s}\), und die Temperatur betrug \(T=25\,^\circ\mathrm{C}\).

Abb.3: Histogramm der Verschiebungen.

D.1 — 1.0 Punkte

Schätzen Sie den Wert von \(N_A\) anhand der Daten in Abb.3 auf zwei signifikante Stellen, ohne die Tatsache zu nutzen, dass es sich um die Avogadro-Konstante handelt. Die Gaskonstante beträgt \(R=8.31\,\mathrm{J/K\cdot mol}\). Verwenden Sie nicht den in den allgemeinen Hinweisen angegebenen Wert der Boltzmann-Konstante \(k\). Für die Avogadro-Konstante erhalten Sie möglicherweise einen Wert, der von dem in den allgemeinen Hinweisen abweicht.

Nun erweitern wir das Modell aus Teil B, um die Bewegung eines Teilchens mit der Ladung \(Q\) in einem elektrischen Feld \(E\) zu beschreiben. Die in Gl.(2) betrachtete Teilchengeschwindigkeit \(v(t)\) ist durch \(v(t)=u+v_n\) \((t_{n-1}<t\leq t_n)\) zu ersetzen, wobei \(v_n\) Gl. (3) erfüllt und \(u\) die in Gl.(5) betrachtete Endgeschwindigkeit ist.

D.2 — 0.8 Punkte

Drücken Sie die MSD \(\langle\Delta x(t)^2\rangle\) durch \(u\), \(D\) und \(t\) aus. Bestimmen Sie näherungsweise Potenzgesetze für kleine \(t\) und große \(t\) sowie die charakteristische Zeit \(t_*\), bei der dieser Übergang auftritt. Skizzieren Sie den Verlauf der MSD in einem doppeltlogarithmischen Diagramm, und kennzeichnen Sie die ungefähre Lage von \(t_*\).

Als Nächstes betrachten wir schwimmende Mikroorganismen (Abb.4(a)), der Einfachheit halber in einer Dimension (Abb.4(b)). Es handelt sich um kugelförmige Teilchen mit dem Radius \(a\). Sie schwimmen entweder mit der Geschwindigkeit \(+u_0\) oder \(-u_0\), wobei das Vorzeichen nach jedem Zeitintervall \(\delta_0\) zufällig und ohne Korrelation gewählt wird. Die beobachtete Bewegung setzt sich aus den Verschiebungen durch das Schwimmen und denen durch die Brownsche Bewegung eines kugelförmigen Teilchens zusammen.

Abb.4: (a) Bewegung von Mikroorganismen. (b) Ihre eindimensionale Version.

D.3 — 0.6 Punkte

Abbildung 5 zeigt die MSD \(\langle\Delta x(t)^2\rangle\) dieser Mikroorganismen mit unterschiedlichen Potenzgesetzen für kleine, große und mittlere \(t\), die durch gestrichelte Linien dargestellt sind. Bestimmen Sie das Potenzgesetz für jeden Zeitbereich, und drücken Sie es mithilfe der erforderlichen Größen aus \(D\), \(u_0\), \(\delta_0\) und \(t\) aus.

Abb.5: Mittlere quadratische Verschiebung der Mikroorganismen.

Teil E. Wasserreinigung (1.5 Punkte)

Hier behandeln wir die Reinigung von Wasser, das kolloidartige Bodenpartikel enthält, durch Zugabe von Elektrolyten, die diese Teilchen koagulieren lassen. Die Teilchen wechselwirken durch die Van-der-Waals-Kraft und die elektrostatische Kraft, wobei Letztere die Einflüsse sowohl der Oberflächenladungen als auch der umgebenden Schicht entgegengesetzt geladener Ionen umfasst (solche Ionen und ihre Schicht werden als Gegenionen beziehungsweise elektrische Doppelschicht bezeichnet; siehe Abb.6(a)). Daraus ergibt sich für den Teilchenabstand \(d\) (Abb.6(b)) das Wechselwirkungspotential

\[ U(d)=-\frac{A}{d}+\frac{B\epsilon(kT)^2}{q^2}e^{-d/\lambda}, \tag{6} \]

wobei \(A\) und \(B\) positive Konstanten sind, \(\epsilon\) die Dielektrizitätskonstante des Wassers und \(\lambda\) die Dicke der elektrischen Doppelschicht ist. Unter der Annahme, dass die Ladungen der Ionen \(\pm q\) betragen, gilt

\[ \lambda=\sqrt{\frac{\epsilon kT}{2N_Aq^2c}}, \tag{7} \]

wobei \(c\) die molare Ionenkonzentration ist.

Abb.6: (a) Oberflächenladungen kolloidaler Teilchen und Gegenionen. (b) Definition des Abstands \(d\).

E.1 — 1.5 Punkte

Die Zugabe von Natriumchlorid (NaCl) zur Suspension bewirkt die Koagulation der kolloidalen Teilchen. Bestimmen Sie die niedrigste für die Koagulation erforderliche Konzentration \(c\) von NaCl. Es genügt, zwei Teilchen ohne thermische Fluktuationen zu betrachten, d. h. \(F(t)=0\) in Gl.(1), und anzunehmen, dass die Endgeschwindigkeit für die gegebene Potentialkraft augenblicklich erreicht wird.

Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt.

Kolloid bilimi, toprak parçacıklarını karakterize etmek için yararlıdır; çünkü bunların birçoğu mikrometre boyutunda kolloidal parçacıklar olarak ele alınabilir. Örneğin, parçacık boyutlarını ölçmek için Brown hareketinden (kolloidal parçacıkların rastgele hareketinden) yararlanılabilir.

Bölüm A. Kolloidal parçacıkların hareketleri (1.6 puan)

Kütlesi \(M\) olan bir kolloidal parçacığın bir boyutlu Brown hareketini inceliyoruz. Parçacığın \(v(t)\) hızı için hareket denklemi şöyledir:

\[ M\dot v=-\gamma v(t)+F(t)+F_{\mathrm{ext}}(t), \tag{1} \]

Burada \(\gamma\) sürtünme katsayısı, \(F(t)\) su molekülleriyle rastgele çarpışmalardan kaynaklanan kuvvet ve \(F_{\mathrm{ext}}(t)\) bir dış kuvvettir. Bölüm A'da \(F_{\mathrm{ext}}(t)=0\) olduğunu varsayıyoruz.

A.1 — 0.8 puan

Bir su molekülünün \(t=t_0\) anında parçacıkla çarpışarak ona \(I_0\) itmesini aktardığını ve sonrasında \(F(t)=0\) olduğunu düşünün. Çarpışmadan önce \(v(t)=0\) ise, \(t>t_0\) için \(v(t)=v_0e^{-(t-t_0)/\tau}\) olur. \(I_0\) ve Denklem (1)'deki gerekli parametreleri kullanarak \(v_0\) ve \(\tau\)'yu belirleyin.

Bundan sonraki cevaplarınızda \(\tau\)'yu kullanabilirsiniz.

A.2 — 0.8 puan

Gerçekte su molekülleri parçacıkla art arda çarpışır. \(i\). çarpışmanın \(t_i\) anında \(I_i\) itmesini aktardığını varsayın ve \(t>0\) ve \(v(0)=0\) koşulları altında \(v(t)\)'yi belirleyin. Ayrıca, verilen bir \(t\) için dikkate alınması gereken \(t_i\) aralığını belirten eşitsizliği yazın. Cevap kâğıdında, \(v(t)\) ifadesinde bu aralığı belirtmeniz gerekli değildir.

Bölüm B. Etkin hareket denklemi (1.8 puan)

Şimdiye kadarki sonuçlar, \(|t-t'|\gg\tau\) olduğunda parçacık hızları \(v(t)\) ve \(v(t')\)'nin birbiriyle korelasyonsuz rastgele nicelikler olarak ele alınabileceğini gösterir. Buna dayanarak, bir boyutlu Brown hareketini yaklaşık olarak betimlemek için hızın her \(\delta\) \((\gg\tau)\) zaman aralığında rastgele değiştiği bir kuramsal model tanımlıyoruz; yani,

\[ v(t)=v_n\qquad(t_{n-1}<t\leq t_n), \tag{2} \]

burada \(t_n=n\delta\) \((n=0,1,2,\cdots)\) ve \(v_n\) rastgele bir niceliktir. Bu nicelik,

\[ \langle v_n\rangle=0,\qquad \langle v_nv_m\rangle= \begin{cases} C &(n=m),\\ 0 &(n\neq m), \end{cases} \tag{3} \]

bağıntılarını sağlar; burada \(C\), \(\delta\)'ya bağlı bir parametredir. \(\langle X\rangle\), \(X\)'in beklenen değerini gösterir. Başka bir deyişle, sonsuz kez rastgele \(X\) sayıları seçerseniz, ortalama \(\langle X\rangle\) olacaktır.

Şimdi bir \(N\) tam sayısı için \(t=N\delta\) anındaki parçacık yer değiştirmesini, \(\Delta x(t)=x(t)-x(0)\), ele alıyoruz.

B.1 — 1.0 puan

\(C\), \(\delta\) ve \(t\)'yi kullanarak \(\langle\Delta x(t)\rangle\) ve \(\langle\Delta x(t)^2\rangle\)'yi belirleyin.

B.2 — 0.8 puan

\(\langle\Delta x(t)^2\rangle\) niceliğine ortalama kare yer değiştirme (MSD) denir. Bu nicelik, \(\delta\to0\) sınır durumuna karşılık gelen Brown hareketinin karakteristik bir gözlenebiliridir. Buradan, \(C\propto\delta^\alpha\) ve \(\langle\Delta x(t)^2\rangle\propto t^\beta\) olduğunu gösterebiliriz. \(\alpha\) ve \(\beta\)'nın değerlerini belirleyin.

Bölüm C. Elektroforez (2.7 puan)

Burada elektroforezi, yani yüklü parçacıkların bir elektrik alanla taşınmasını ele alıyoruz. Kütlesi \(M\) ve yükü \(Q\) \((>0)\) olan kolloidal parçacıkların süspansiyonu, kesit alanı \(A\) olan dar bir kanala konur (Şekil 1(a)). Parçacıklar arasındaki etkileşimi, duvarın, akışkanın ve akışkan içindeki iyonların etkilerini ve yer çekimini ihmal ediyoruz.

Şekil 1: Bölüm C için düzenek.

\(x\) yönünde düzgün bir \(E\) elektrik alanı uygulandığında parçacıklar taşınır ve \(n(x)\) derişimleri (birim hacimdeki parçacık sayısı) düzgün olmaktan çıkar (Şekil 1(b)). \(E\) kaldırıldığında bu düzensizlik yavaş yavaş kaybolur. Bunun nedeni parçacıkların Brown hareketidir. \(n(x)\) düzgün değilse, sağa ve sola giden parçacıkların sayıları farklı olabilir (Şekil 1(c)). Bu durum, \(x\) konumunda \(x\) ekseni boyunca birim kesit alanından birim zamanda geçen ortalama parçacık sayısı olan \(J_D(x)\) parçacık akısını oluşturur. Bu akının

\[ J_D(x)=-D\frac{dn}{dx}(x), \tag{4} \]

bağıntısını sağladığı bilinmektedir; burada \(D\)'ye difüzyon katsayısı denir.

Şimdi basitlik amacıyla parçacıkların yarısının \(+v\), diğer yarısının ise \(-v\) hızına sahip olduğunu varsayalım. \(N_+(x_0)\), \(x_0\)'dan soldan sağa birim kesit alanından birim zamanda geçen, hızı \(+v\) olan parçacıkların sayısı olsun. Hızı \(+v\) olan parçacıkların \(\delta\) zaman aralığında \(x_0\)'dan geçebilmesi için Şekil 1(c)'deki taralı bölgede bulunmaları gerekir. \(\delta\) küçük olduğundan bu bölgede \(n(x)\simeq n(x_0)+(x-x_0)\frac{dn}{dx}(x_0)\) olur.

C.1 — 0.5 puan

\(v\), \(\delta\), \(n(x_0)\) ve \(\frac{dn}{dx}(x_0)\) niceliklerinden gerekli olanları kullanarak \(N_+(x_0)\)'ı ifade edin.

\(N_-(x_0)\)'ı, \(N_+(x_0)\)'ın \(-v\) hızı için karşılığı olarak tanımlıyoruz. Böylece \(J_D(x_0)=\langle N_+(x_0)-N_-(x_0)\rangle\) olur. Denklem (3)'e göre \(\langle v^2\rangle=C\)'dir.

C.2 — 0.7 puan

\(C\), \(\delta\), \(n(x_0)\) ve \(\frac{dn}{dx}(x_0)\) niceliklerinden gerekli olanları kullanarak \(J_D(x_0)\)'ı belirleyin. Bu sonucu ve Denklem (4)'ü kullanarak \(D\)'yi \(C\) ve \(\delta\) cinsinden, \(\langle\Delta x(t)^2\rangle\)'yi ise \(D\) ve \(t\) cinsinden ifade edin.

Şimdi ozmotik basınç \(\Pi\)'nin etkisini ele alıyoruz. Ozmotik basınç, Avogadro sabiti \(N_A\), gaz sabiti \(R\), sıcaklık \(T\) ve Boltzmann sabiti \(k=\frac{R}{N_A}\) olmak üzere \(\Pi=\frac{n}{N_A}RT=nkT\) ile verilir. \(E\) elektrik alanı altında oluşan düzgün olmayan derişimi ele alalım (Şekil 1(b)). \(n(x)\), \(x\)'e bağlı olduğundan \(\Pi(x)\) de \(x\)'e bağlıdır. Bu durumda \(\Pi(x)\) ve \(\Pi(x+\Delta x)\)'ten kaynaklanan kuvvetler, \(E\) alanının parçacıklara uyguladığı toplam kuvvetle dengelenmelidir (Şekil 2). Burada küçük bir \(\Delta x\) ele alıyoruz; böylece \(n(x)\) bu aralıkta sabit kabul edilebilirken \(n(x+\Delta x)-n(x)\simeq\Delta x\frac{dn}{dx}(x)\) olur.

Şekil 2: Kuvvet dengesi.

C.3 — 0.5 puan

\(n(x)\), \(T\), \(Q\), \(E\) ve \(k\)'yi kullanarak \(\frac{dn}{dx}(x)\)'i ifade edin.

Şimdi akı dengesini ele alalım. Brown hareketinden kaynaklanan \(J_D(x)\) akısının yanı sıra elektrik alandan kaynaklanan \(J_Q(x)\) akısı da vardır. Bu akı,

\[ J_Q(x)=n(x)u, \tag{5} \]

ile verilir; burada \(u\), alanın etkisiyle hareket eden parçacıkların limit hızıdır.

C.4 — 0.5 puan

\(u\)'yu belirlemek için Denklem (1)'i \(F_{\mathrm{ext}}(t)=QE\) ile kullanıyoruz. \(v(t)\) dalgalandığı için \(\langle v(t)\rangle\)'yi ele alıyoruz. \(\langle v(0)\rangle=0\) varsayımı altında ve \(\langle F(t)\rangle=0\) bağıntısını kullanarak \(\langle v(t)\rangle\)'yi hesaplayın ve \(u=\lim_{t\to\infty}\langle v(t)\rangle\)'yi elde edin.

C.5 — 0.5 puan

Akı dengesi \(J_D(x)+J_Q(x)=0\) biçimindedir. Difüzyon katsayısı \(D\)'yi \(k\), \(\gamma\) ve \(T\) cinsinden ifade edin.

Bölüm D. Ortalama kare yer değiştirme (2.4 puan)

Suda, yarıçapı \(a=5.0\,\mu\mathrm{m}\) olan, diğer parçacıklardan yalıtılmış küresel bir kolloidal parçacığın Brown hareketini gözlemlediğimizi varsayalım. Şekil 3, her \(\Delta t=60\,\mathrm{s}\) aralığında \(x\) yönünde ölçülen \(\Delta x\) yer değiştirmelerinin histogramını göstermektedir. Sürtünme katsayısı, suyun viskozitesi \(\eta=8.9\times10^{-4}\,\mathrm{Pa\cdot s}\) olmak üzere \(\gamma=6\pi a\eta\) ile verilir ve sıcaklık \(T=25\,^\circ\mathrm{C}\) idi.

Şekil 3: Yer değiştirmelerin histogramı.

D.1 — 1.0 puan

\(N_A\)'nın Avogadro sabiti olduğu bilgisini kullanmadan, Şekil 3'teki verilerden değerini iki anlamlı basamakla tahmin edin. Gaz sabiti \(R=8.31\,\mathrm{J/K\cdot mol}\)'dür. Genel Yönergeler'de verilen Boltzmann sabiti \(k\)'nin değerini kullanmayın. Avogadro sabiti için Genel Yönergeler'dekinden farklı bir değer elde edebilirsiniz.

Şimdi Bölüm B'deki modeli, \(E\) elektrik alanı altında \(Q\) yüklü bir parçacığın hareketini betimlemek üzere genişletiyoruz. Denklem (2)'de ele alınan parçacık hızı \(v(t)\), \(v(t)=u+v_n\) \((t_{n-1}<t\leq t_n)\) ile değiştirilmelidir; burada \(v_n\), Denklem (3)'ü sağlar ve \(u\), Denklem (5)'te ele alınan limit hızdır.

D.2 — 0.8 puan

MSD'yi, \(\langle\Delta x(t)^2\rangle\), \(u\), \(D\) ve \(t\) cinsinden ifade edin. Küçük \(t\) ve büyük \(t\) için yaklaşık kuvvet yasalarını ve bu değişimin gerçekleştiği karakteristik \(t_*\) zamanını elde edin. MSD'nin çift logaritmik bir grafiğini kabaca çizin ve \(t_*\)'ın yaklaşık konumunu belirtin.

Ardından, basitlik amacıyla bir boyutta (Şekil 4(b)), yüzen mikroorganizmaları (Şekil 4(a)) ele alıyoruz. Bunlar yarıçapı \(a\) olan küresel parçacıklardır. Her \(\delta_0\) zaman aralığında işaretin korelasyonsuz biçimde rastgele seçildiği \(+u_0\) veya \(-u_0\) hızıyla yüzerler. Gözlenen hareket, yüzmeden kaynaklanan yer değiştirmeler ile küresel bir parçacığın Brown hareketinden kaynaklanan yer değiştirmelerin birleşimidir.

Şekil 4: (a) Mikroorganizmaların hareketi. (b) Bunun bir boyutlu biçimi.

D.3 — 0.6 puan

Şekil 5, bu mikroorganizmaların MSD'sini, \(\langle\Delta x(t)^2\rangle\), göstermektedir; kesikli çizgilerle belirtildiği gibi küçük, büyük ve ara \(t\) değerlerinde farklı kuvvet yasaları görülür. Her zaman aralığı için kuvvet yasasını elde edin ve \(D\), \(u_0\), \(\delta_0\) ve \(t\) niceliklerinden gerekli olanları kullanarak ifade edin.

Şekil 5: Mikroorganizmaların ortalama kare yer değiştirmesi.

Bölüm E. Su arıtımı (1.5 puan)

Burada, kolloid benzeri toprak parçacıkları içeren suyun, bu parçacıkların pıhtılaşmasını sağlamak üzere elektrolit eklenerek arıtılmasını ele alıyoruz. Parçacıklar van der Waals kuvveti ve elektrostatik kuvvet aracılığıyla etkileşir; elektrostatik kuvvet hem yüzey yüklerinin hem de çevreleyen zıt yüklü iyon tabakasının etkilerini içerir (bu iyonlara karşı iyonlar, oluşturdukları tabakaya ise elektriksel çift tabaka denir; bkz. Şekil 6(a)). Sonuç olarak, parçacıklar arası uzaklık \(d\) (Şekil 6(b)) için etkileşim potansiyeli

\[ U(d)=-\frac{A}{d}+\frac{B\epsilon(kT)^2}{q^2}e^{-d/\lambda}, \tag{6} \]

ile verilir; burada \(A\) ve \(B\) pozitif sabitler, \(\epsilon\) suyun dielektrik sabiti ve \(\lambda\) elektriksel çift tabakanın kalınlığıdır. İyonların yüklerinin \(\pm q\) olduğunu varsayarsak,

\[ \lambda=\sqrt{\frac{\epsilon kT}{2N_Aq^2c}}, \tag{7} \]

olur; burada \(c\), iyonun molar derişimidir.

Şekil 6: (a) Kolloidal parçacıkların yüzey yükleri ve karşı iyonlar. (b) \(d\) uzaklığının tanımı.

E.1 — 1.5 puan

Süspansiyona sodyum klorür (NaCl) eklenmesi, kolloidal parçacıkların pıhtılaşmasına neden olur. Pıhtılaşma için gerekli en düşük NaCl derişimi \(c\)'yi belirleyin. Isıl dalgalanmalar olmaksızın iki parçacığı ele almak, yani Denklem (1)'de \(F(t)=0\) almak ve verilen potansiyel kuvveti için limit hıza anında ulaşıldığını varsaymak yeterlidir.

Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir.

La ciencia de los coloides es útil para caracterizar las partículas del suelo, porque muchas de ellas pueden considerarse partículas coloidales de tamaño micrométrico. Por ejemplo, el movimiento browniano (movimiento aleatorio de las partículas coloidales) puede utilizarse para medir el tamaño de las partículas.

Parte A. Movimientos de las partículas coloidales (1.6 puntos)

Analizamos el movimiento browniano unidimensional de una partícula coloidal de masa \(M\). La ecuación de movimiento para su velocidad \(v(t)\) es:

\[ M\dot v=-\gamma v(t)+F(t)+F_{\mathrm{ext}}(t), \tag{1} \]

donde \(\gamma\) es el coeficiente de fricción, \(F(t)\) es una fuerza debida a las colisiones aleatorias con las moléculas de agua y \(F_{\mathrm{ext}}(t)\) es una fuerza externa. En la Parte A, suponemos que \(F_{\mathrm{ext}}(t)=0\).

A.1 — 0.8pt

Considere que una molécula de agua colisiona con la partícula en \(t=t_0\), transmitiéndole un impulso \(I_0\), y que \(F(t)=0\) después de la colisión. Si \(v(t)=0\) antes de la colisión, \(v(t)=v_0e^{-(t-t_0)/\tau}\) para \(t>t_0\). Determine \(v_0\) y \(\tau\), utilizando \(I_0\) y los parámetros necesarios de la Ec.(1).

En lo que sigue, puede utilizar \(\tau\) en sus respuestas.

A.2 — 0.8pt

En realidad, las moléculas de agua colisionan con la partícula una tras otra. Suponga que la colisión \(i\)-ésima transmite el impulso \(I_i\) en el instante \(t_i\) y determine \(v(t)\) bajo las condiciones \(t>0\) y \(v(0)=0\). Indique también la desigualdad que especifica el intervalo de \(t_i\) que debe considerarse para un \(t\) dado. En la hoja de respuestas, no es necesario especificar este intervalo en la expresión de \(v(t)\).

Parte B. Ecuación de movimiento efectiva (1.8 puntos)

Los resultados obtenidos hasta ahora implican que las velocidades de la partícula \(v(t)\) y \(v(t')\) pueden considerarse magnitudes aleatorias no correlacionadas si \(|t-t'|\gg\tau\). Sobre esta base, introducimos un modelo teórico para describir aproximadamente el movimiento browniano unidimensional, en el que la velocidad cambia aleatoriamente en cada intervalo de tiempo \(\delta\) \((\gg\tau)\), es decir,

\[ v(t)=v_n\qquad(t_{n-1}<t\leq t_n), \tag{2} \]

con \(t_n=n\delta\) \((n=0,1,2,\cdots)\) y una magnitud aleatoria \(v_n\). Esta satisface

\[ \langle v_n\rangle=0,\qquad \langle v_nv_m\rangle= \begin{cases} C &(n=m),\\ 0 &(n\neq m), \end{cases} \tag{3} \]

con un parámetro \(C\) que depende de \(\delta\). Aquí, \(\langle X\rangle\) indica el valor esperado de \(X\). Es decir, si se generan números aleatorios \(X\) infinitas veces, la media será \(\langle X\rangle\).

Ahora consideramos el desplazamiento de la partícula \(\Delta x(t)=x(t)-x(0)\) para \(t=N\delta\), con un entero \(N\).

B.1 — 1.0pt

Determine \(\langle\Delta x(t)\rangle\) y \(\langle\Delta x(t)^2\rangle\) utilizando \(C\), \(\delta\) y \(t\).

B.2 — 0.8pt

La magnitud \(\langle\Delta x(t)^2\rangle\) se denomina desplazamiento cuadrático medio (MSD). Es un observable característico del movimiento browniano, que corresponde al caso límite \(\delta\to0\). A partir de esto, podemos demostrar que \(C\propto\delta^\alpha\) y \(\langle\Delta x(t)^2\rangle\propto t^\beta\). Determine los valores de \(\alpha\) y \(\beta\).

Parte C. Electroforesis (2.7 puntos)

Aquí analizamos la electroforesis, es decir, el transporte de partículas cargadas por un campo eléctrico. Se coloca una suspensión de partículas coloidales de masa \(M\) y carga \(Q\) \((>0)\) en un canal estrecho de sección transversal \(A\) (Fig.1(a)). Despreciamos la interacción entre las partículas, los efectos de la pared, del fluido y de los iones que contiene, así como la gravedad.

Fig.1: Disposición para la Parte C.

Al aplicar un campo eléctrico uniforme \(E\) en la dirección \(x\), las partículas se transportan y su concentración \(n(x)\) (número de partículas por unidad de volumen) deja de ser uniforme (Fig.1(b)). Cuando se retira \(E\), esta falta de uniformidad desaparece gradualmente. Esto se debe al movimiento browniano de las partículas. Si \(n(x)\) no es uniforme, los números de partículas que se mueven hacia la derecha y hacia la izquierda pueden diferir (Fig.1(c)). Esto genera un flujo de partículas \(J_D(x)\), el número medio de partículas que fluyen en \(x\) a lo largo del eje \(x\) por unidad de área de la sección transversal y por unidad de tiempo. Se sabe que este flujo satisface

\[ J_D(x)=-D\frac{dn}{dx}(x), \tag{4} \]

donde \(D\) se denomina coeficiente de difusión.

Supongamos ahora, por simplicidad, que la mitad de las partículas tienen velocidad \(+v\) y la otra mitad tienen velocidad \(-v\). Sea \(N_+(x_0)\) el número de partículas con velocidad \(+v\) que cruzan \(x_0\) de izquierda a derecha por unidad de área de la sección transversal y por unidad de tiempo. Para que las partículas con velocidad \(+v\) crucen \(x_0\) en el intervalo de tiempo \(\delta\), deben encontrarse en la región sombreada de la Fig.1(c). Como \(\delta\) es pequeño, tenemos \(n(x)\simeq n(x_0)+(x-x_0)\frac{dn}{dx}(x_0)\) en esta región.

C.1 — 0.5pt

Exprese \(N_+(x_0)\) utilizando las magnitudes necesarias de entre \(v\), \(\delta\), \(n(x_0)\) y \(\frac{dn}{dx}(x_0)\).

Definimos \(N_-(x_0)\) como el análogo de \(N_+(x_0)\) para la velocidad \(-v\). Con ello, tenemos \(J_D(x_0)=\langle N_+(x_0)-N_-(x_0)\rangle\). Según la Ec.(3), tenemos \(\langle v^2\rangle=C\).

C.2 — 0.7pt

Determine \(J_D(x_0)\) utilizando las magnitudes necesarias de entre \(C\), \(\delta\), \(n(x_0)\) y \(\frac{dn}{dx}(x_0)\). Utilizando este resultado y la Ec.(4), exprese \(D\) en función de \(C\) y \(\delta\), y \(\langle\Delta x(t)^2\rangle\) en función de \(D\) y \(t\).

Ahora analizamos el efecto de la presión osmótica \(\Pi\). Viene dada por \(\Pi=\frac{n}{N_A}RT=nkT\), donde \(N_A\) es la constante de Avogadro, \(R\) la constante de los gases, \(T\) la temperatura y \(k=\frac{R}{N_A}\) la constante de Boltzmann. Consideremos la concentración no uniforme que se forma bajo el campo eléctrico \(E\) (Fig.1(b)). Como \(n(x)\) depende de \(x\), \(\Pi(x)\) también depende de \(x\). Entonces, las fuerzas debidas a \(\Pi(x)\) y \(\Pi(x+\Delta x)\) deben equilibrarse con la fuerza total del campo \(E\) que actúa sobre las partículas (Fig.2). Aquí consideramos un \(\Delta x\) pequeño, de modo que \(n(x)\) puede considerarse constante en este intervalo, mientras que \(n(x+\Delta x)-n(x)\simeq\Delta x\frac{dn}{dx}(x)\).

Fig.2: Equilibrio de fuerzas.

C.3 — 0.5pt

Exprese \(\frac{dn}{dx}(x)\) utilizando \(n(x)\), \(T\), \(Q\), \(E\) y \(k\).

Analicemos ahora el equilibrio de los flujos. Además del flujo \(J_D(x)\) debido al movimiento browniano, existe un flujo debido al campo eléctrico, \(J_Q(x)\). Viene dado por

\[ J_Q(x)=n(x)u, \tag{5} \]

donde \(u\) es la velocidad terminal de las partículas impulsadas por el campo.

C.4 — 0.5pt

Para determinar \(u\), utilizamos la Ec.(1) con \(F_{\mathrm{ext}}(t)=QE\). Como \(v(t)\) fluctúa, consideramos \(\langle v(t)\rangle\). Suponiendo que \(\langle v(0)\rangle=0\) y utilizando \(\langle F(t)\rangle=0\), calcule \(\langle v(t)\rangle\) y obtenga \(u=\lim_{t\to\infty}\langle v(t)\rangle\).

C.5 — 0.5pt

El equilibrio de los flujos se expresa como \(J_D(x)+J_Q(x)=0\). Exprese el coeficiente de difusión \(D\) en función de \(k\), \(\gamma\) y \(T\).

Parte D. Desplazamiento cuadrático medio (2.4 puntos)

Suponga que observamos el movimiento browniano de una partícula coloidal esférica aislada de radio \(a=5.0\,\mu\mathrm{m}\) en agua. La Figura 3 muestra el histograma de los desplazamientos \(\Delta x\) medidos en la dirección \(x\) en cada intervalo \(\Delta t=60\,\mathrm{s}\). El coeficiente de fricción viene dado por \(\gamma=6\pi a\eta\), con una viscosidad del agua \(\eta=8.9\times10^{-4}\,\mathrm{Pa\cdot s}\), y la temperatura era \(T=25\,^\circ\mathrm{C}\).

Fig.3: Histograma de los desplazamientos.

D.1 — 1.0pt

Estime el valor de \(N_A\), sin utilizar el hecho de que es la constante de Avogadro, con dos cifras significativas a partir de los datos de la Fig.3. La constante de los gases es \(R=8.31\,\mathrm{J/K\cdot mol}\). No utilice el valor de la constante de Boltzmann \(k\) dado en las Instrucciones Generales. En cuanto a la constante de Avogadro, podría obtener un valor diferente del indicado en las Instrucciones Generales.

Ahora ampliamos el modelo de la Parte B para describir el movimiento de una partícula de carga \(Q\) bajo un campo eléctrico \(E\). La velocidad de la partícula \(v(t)\) considerada en la Ec.(2) debe sustituirse por \(v(t)=u+v_n\) \((t_{n-1}<t\leq t_n)\), donde \(v_n\) satisface la Ec. (3) y \(u\) es la velocidad terminal considerada en la Ec.(5).

D.2 — 0.8pt

Exprese el MSD \(\langle\Delta x(t)^2\rangle\) en función de \(u\), \(D\) y \(t\). Obtenga leyes de potencias aproximadas para \(t\) pequeño y \(t\) grande, así como el tiempo característico \(t_*\) en el que se produce este cambio. Esboce una gráfica del MSD en escala logarítmica en ambos ejes, indicando la posición aproximada de \(t_*\).

A continuación, consideramos microorganismos nadadores (Fig.4(a)), en una dimensión por simplicidad (Fig.4(b)). Son partículas esféricas de radio \(a\). Nadan a una velocidad \(+u_0\) o \(-u_0\), cuyo signo se elige aleatoriamente en cada intervalo de tiempo \(\delta_0\), sin correlación. El movimiento observado es una combinación de los desplazamientos debidos a la natación y de los debidos al movimiento browniano de una partícula esférica.

Fig.4: (a) Movimiento de los microorganismos. (b) Su versión unidimensional.

D.3 — 0.6pt

La Figura 5 muestra el MSD \(\langle\Delta x(t)^2\rangle\) de esos microorganismos, con distintas leyes de potencias para \(t\) pequeño, grande e intermedio, indicadas mediante líneas discontinuas. Obtenga la ley de potencias para cada intervalo de tiempo y exprésela utilizando las magnitudes necesarias de entre \(D\), \(u_0\), \(\delta_0\) y \(t\).

Fig.5: Desplazamiento cuadrático medio de los microorganismos.

Parte E. Purificación del agua (1.5 puntos)

Aquí analizamos la purificación del agua que contiene partículas de suelo de tipo coloidal, mediante la adición de electrolitos para hacerlas coagular. Las partículas interactúan mediante la fuerza de van der Waals y la fuerza electrostática; esta última incluye los efectos tanto de las cargas superficiales como de la capa circundante de iones de carga opuesta (estos iones y su capa se denominan contraiones y doble capa eléctrica, respectivamente; véase la Fig.6(a)). Como resultado, el potencial de interacción para una distancia entre partículas \(d\) (Fig.6(b)) viene dado por

\[ U(d)=-\frac{A}{d}+\frac{B\epsilon(kT)^2}{q^2}e^{-d/\lambda}, \tag{6} \]

donde \(A\) y \(B\) son constantes positivas, \(\epsilon\) es la constante dieléctrica del agua y \(\lambda\) es el espesor de la doble capa eléctrica. Suponiendo que las cargas de los iones son \(\pm q\), tenemos

\[ \lambda=\sqrt{\frac{\epsilon kT}{2N_Aq^2c}}, \tag{7} \]

donde \(c\) es la concentración molar de iones.

Fig.6: (a) Cargas superficiales de las partículas coloidales y contraiones. (b) Definición de la distancia \(d\).

E.1 — 1.5pt

La adición de cloruro de sodio (NaCl) a la suspensión provoca la coagulación de las partículas coloidales. Determine la concentración mínima \(c\) de NaCl necesaria para la coagulación. Basta con considerar dos partículas sin fluctuaciones térmicas, es decir, \(F(t)=0\) en la Ec.(1), y suponer que la velocidad terminal para la fuerza debida al potencial dado se alcanza instantáneamente.

Enunciado traducido del texto oficial en inglés.

胶体科学可用于表征土壤颗粒，因为其中许多颗粒可视为微米尺度的胶体颗粒。例如，可以利用布朗运动（胶体颗粒的无规则运动）测量颗粒的大小。

部分 A. 胶体颗粒的运动（1.6 分）

我们分析质量为 \(M\) 的胶体颗粒的一维布朗运动。其速度 \(v(t)\) 的运动方程为：

\[ M\dot v=-\gamma v(t)+F(t)+F_{\mathrm{ext}}(t), \tag{1} \]

其中，\(\gamma\) 为摩擦系数，\(F(t)\) 为水分子随机碰撞产生的力，\(F_{\mathrm{ext}}(t)\) 为外力。在部分 A 中，我们假设 \(F_{\mathrm{ext}}(t)=0\)。

A.1 — 0.8分

设一个水分子在 \(t=t_0\) 时与颗粒碰撞，给予颗粒冲量 \(I_0\)，此后 \(F(t)=0\)。若碰撞前 \(v(t)=0\)，则在 \(t>t_0\) 时，\(v(t)=v_0e^{-(t-t_0)/\tau}\)。用 \(I_0\) 及式(1)中必要的参数求出 \(v_0\) 和 \(\tau\)。

在后续各题中，你可以在答案中使用 \(\tau\)。

A.2 — 0.8分

实际上，水分子接连不断地与颗粒碰撞。设第 \(i\) 次碰撞在时刻 \(t_i\) 给予颗粒冲量 \(I_i\)，在 \(t>0\) 且 \(v(0)=0\) 的条件下求出 \(v(t)\)。同时，给出对于指定的 \(t\)，所需考虑的 \(t_i\) 的范围所满足的不等式。在答题纸上，无须在 \(v(t)\) 的表达式中注明这一范围。

部分 B. 有效运动方程（1.8 分）

以上结果表明，若 \(|t-t'|\gg\tau\)，则可将颗粒速度 \(v(t)\) 和 \(v(t')\) 视为不相关的随机量。在此基础上，我们引入一个理论模型，近似描述一维布朗运动。在该模型中，速度每隔时间 \(\delta\) \((\gg\tau)\) 随机改变一次，即

\[ v(t)=v_n\qquad(t_{n-1}<t\leq t_n), \tag{2} \]

其中 \(t_n=n\delta\) \((n=0,1,2,\cdots)\)，\(v_n\) 为随机量。它满足

\[ \langle v_n\rangle=0,\qquad \langle v_nv_m\rangle= \begin{cases} C &(n=m),\\ 0 &(n\neq m), \end{cases} \tag{3} \]

其中参数 \(C\) 依赖于 \(\delta\)。这里 \(\langle X\rangle\) 表示 \(X\) 的期望值。也就是说，若无限次抽取随机数 \(X\)，其平均值将为 \(\langle X\rangle\)。

现在考虑 \(t=N\delta\) 时颗粒的位移 \(\Delta x(t)=x(t)-x(0)\)，其中 \(N\) 为整数。

B.1 — 1.0分

用 \(C\)、\(\delta\) 和 \(t\) 求出 \(\langle\Delta x(t)\rangle\) 和 \(\langle\Delta x(t)^2\rangle\)。

B.2 — 0.8分

量 \(\langle\Delta x(t)^2\rangle\) 称为均方位移（MSD）。它是布朗运动的一个特征可观测量，而布朗运动对应于 \(\delta\to0\) 的极限情形。由此可以证明 \(C\propto\delta^\alpha\) 且 \(\langle\Delta x(t)^2\rangle\propto t^\beta\)。求出 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 的值。

部分 C. 电泳（2.7 分）

这里讨论电泳，即带电颗粒在电场作用下的输运。将质量为 \(M\)、电荷量为 \(Q\) \((>0)\) 的胶体颗粒悬浮液置于横截面积为 \(A\) 的狭窄通道中（图1(a)）。忽略颗粒间的相互作用，以及壁面、流体、其中的离子和重力的影响。

图1：部分 C 的装置。

施加沿 \(x\) 方向的匀强电场 \(E\) 后，颗粒发生输运，其浓度 \(n(x)\)（单位体积内的颗粒数）变得不均匀（图1(b)）。撤去 \(E\) 后，这种不均匀性逐渐消失。这是颗粒布朗运动的结果。若 \(n(x)\) 不均匀，向右运动和向左运动的颗粒数可能不同（图1(c)）。这会产生颗粒通量 \(J_D(x)\)，即在 \(x\) 处沿 \(x\) 轴方向、单位时间内通过单位横截面积的平均颗粒数。已知该通量满足

\[ J_D(x)=-D\frac{dn}{dx}(x), \tag{4} \]

其中 \(D\) 称为扩散系数。

现在为简化讨论，假设一半颗粒的速度为 \(+v\)，另一半为 \(-v\)。令 \(N_+(x_0)\) 表示速度为 \(+v\) 的颗粒在单位时间内从左向右穿过 \(x_0\) 处单位横截面积的数量。速度为 \(+v\) 的颗粒若要在时间间隔 \(\delta\) 内穿过 \(x_0\)，就必须位于图1(c)的阴影区域内。由于 \(\delta\) 很小，在该区域内有 \(n(x)\simeq n(x_0)+(x-x_0)\frac{dn}{dx}(x_0)\)。

C.1 — 0.5分

从 \(v\)、\(\delta\)、\(n(x_0)\) 和 \(\frac{dn}{dx}(x_0)\) 中选取必要的量，表示 \(N_+(x_0)\)。

对于速度 \(-v\)，定义与 \(N_+(x_0)\) 对应的量 \(N_-(x_0)\)。于是有 \(J_D(x_0)=\langle N_+(x_0)-N_-(x_0)\rangle\)。根据式(3)，有 \(\langle v^2\rangle=C\)。

C.2 — 0.7分

从 \(C\)、\(\delta\)、\(n(x_0)\) 和 \(\frac{dn}{dx}(x_0)\) 中选取必要的量，求出 \(J_D(x_0)\)。利用该结果和式(4)，用 \(C\) 和 \(\delta\) 表示 \(D\)，并用 \(D\) 和 \(t\) 表示 \(\langle\Delta x(t)^2\rangle\)。

现在讨论渗透压 \(\Pi\) 的作用。渗透压由 \(\Pi=\frac{n}{N_A}RT=nkT\) 给出，其中 \(N_A\) 为阿伏伽德罗常数，\(R\) 为气体常数，\(T\) 为温度，\(k=\frac{R}{N_A}\) 为玻尔兹曼常数。考虑在电场 \(E\) 作用下形成的不均匀浓度分布（图1(b)）。由于 \(n(x)\) 随 \(x\) 变化，\(\Pi(x)\) 也随之变化。于是，由 \(\Pi(x)\) 和 \(\Pi(x+\Delta x)\) 产生的力必须与电场 \(E\) 作用于颗粒上的总力平衡（图2）。这里考虑很小的 \(\Delta x\)，使得在此范围内可将 \(n(x)\) 视为常量，同时 \(n(x+\Delta x)-n(x)\simeq\Delta x\frac{dn}{dx}(x)\)。

图2：力的平衡。

C.3 — 0.5分

用 \(n(x)\)、\(T\)、\(Q\)、\(E\) 和 \(k\) 表示 \(\frac{dn}{dx}(x)\)。

现在讨论通量的平衡。除了布朗运动产生的通量 \(J_D(x)\) 外，还有电场产生的通量 \(J_Q(x)\)。它由下式给出：

\[ J_Q(x)=n(x)u, \tag{5} \]

其中 \(u\) 是颗粒在电场驱动下的终端速度。

C.4 — 0.5分

为求出 \(u\)，使用式(1)，并令 \(F_{\mathrm{ext}}(t)=QE\)。由于 \(v(t)\) 存在涨落，我们考虑 \(\langle v(t)\rangle\)。假设 \(\langle v(0)\rangle=0\)，并利用 \(\langle F(t)\rangle=0\)，求出 \(\langle v(t)\rangle\)，进而得到 \(u=\lim_{t\to\infty}\langle v(t)\rangle\)。

C.5 — 0.5分

通量平衡条件为 \(J_D(x)+J_Q(x)=0\)。用 \(k\)、\(\gamma\) 和 \(T\) 表示扩散系数 \(D\)。

部分 D. 均方位移（2.4 分）

假设我们观测了水中一个孤立的球形胶体颗粒的布朗运动，其半径为 \(a=5.0\,\mu\mathrm{m}\)。图3给出了每隔 \(\Delta t=60\,\mathrm{s}\) 测量一次的 \(x\) 方向位移 \(\Delta x\) 的直方图。摩擦系数由 \(\gamma=6\pi a\eta\) 给出，其中水的黏度为 \(\eta=8.9\times10^{-4}\,\mathrm{Pa\cdot s}\)，温度为 \(T=25\,^\circ\mathrm{C}\)。

图3：位移直方图。

D.1 — 1.0分

不利用 \(N_A\) 是阿伏伽德罗常数这一事实，根据图3的数据估算 \(N_A\) 的值，保留两位有效数字。气体常数为 \(R=8.31\,\mathrm{J/K\cdot mol}\)。不要使用《总则》中给出的玻尔兹曼常数 \(k\) 的数值。对于阿伏伽德罗常数，你得到的数值可能与《总则》中给出的不同。

现在将部分 B 的模型推广到电场 \(E\) 作用下电荷量为 \(Q\) 的颗粒运动。式(2)中的颗粒速度 \(v(t)\) 应替换为 \(v(t)=u+v_n\) \((t_{n-1}<t\leq t_n)\)，其中 \(v_n\) 满足式(3)，\(u\) 为式(5)中所考虑的终端速度。

D.2 — 0.8分

用 \(u\)、\(D\) 和 \(t\) 表示均方位移 \(\langle\Delta x(t)^2\rangle\)。求出 \(t\) 很小和很大时的近似幂律，以及发生这一变化的特征时间 \(t_*\)。在双对数坐标中画出均方位移的示意图，标出 \(t_*\) 的大致位置。

接下来考虑游动的微生物（图4(a)），为简化起见，仅讨论一维情形（图4(b)）。这些微生物是半径为 \(a\) 的球形颗粒。它们以 \(+u_0\) 或 \(-u_0\) 的速度游动，每隔时间 \(\delta_0\) 随机选择一次符号，各次选择之间互不相关。观测到的运动是游动引起的位移与球形颗粒布朗运动引起的位移的叠加。

图4：(a) 微生物的运动。(b) 其一维情形。

D.3 — 0.6分

图5给出了这些微生物的均方位移 \(\langle\Delta x(t)^2\rangle\)，如虚线所示，在 \(t\) 较小、较大和处于中间范围时呈现不同的幂律。求出各时间范围内的幂律，并从 \(D\)、\(u_0\)、\(\delta_0\) 和 \(t\) 中选取必要的量加以表示。

图5：微生物的均方位移。

部分 E. 水的净化（1.5 分）

这里讨论通过加入电解质使胶体状土壤颗粒凝聚，从而净化含有这些颗粒的水。颗粒通过范德华力和静电力相互作用，后者包含表面电荷及其周围带相反电荷的离子层的影响（这些离子及其形成的层分别称为反离子和双电层；见图6(a)）。因此，当颗粒间距为 \(d\) 时（图6(b)），相互作用势能为

\[ U(d)=-\frac{A}{d}+\frac{B\epsilon(kT)^2}{q^2}e^{-d/\lambda}, \tag{6} \]

其中 \(A\) 和 \(B\) 为正常量，\(\epsilon\) 为水的介电常数，\(\lambda\) 为双电层的厚度。假设离子的电荷量为 \(\pm q\)，则有

\[ \lambda=\sqrt{\frac{\epsilon kT}{2N_Aq^2c}}, \tag{7} \]

其中 \(c\) 为离子的摩尔浓度。

图6：(a) 胶体颗粒的表面电荷和反离子。(b) 间距 \(d\) 的定义。

E.1 — 1.5分

向悬浮液中加入氯化钠（NaCl）会使胶体颗粒凝聚。求凝聚所需的 NaCl 最低浓度 \(c\)。只需考虑两个颗粒，忽略热涨落，即令式(1)中的 \(F(t)=0\)，并假设颗粒在给定势能对应的力作用下瞬间达到终端速度。

题目译自官方英文原文。

Коллоидная наука позволяет определять характеристики почвенных частиц, поскольку многие из них можно рассматривать как коллоидные частицы микрометрового размера. Например, броуновское движение (хаотическое движение коллоидных частиц) можно использовать для измерения размеров частиц.

Часть A. Движение коллоидных частиц (1.6 балла)

Рассмотрим одномерное броуновское движение коллоидной частицы массой \(M\). Уравнение движения для её скорости \(v(t)\) имеет вид:

\[ M\dot v=-\gamma v(t)+F(t)+F_{\mathrm{ext}}(t), \tag{1} \]

где \(\gamma\) — коэффициент трения, \(F(t)\) — сила, обусловленная случайными столкновениями с молекулами воды, а \(F_{\mathrm{ext}}(t)\) — внешняя сила. В части A предполагается, что \(F_{\mathrm{ext}}(t)=0\).

A.1 — 0.8 балла

Пусть молекула воды сталкивается с частицей в момент \(t=t_0\), передавая ей импульс \(I_0\), а после этого \(F(t)=0\). Если до столкновения \(v(t)=0\), то при \(t>t_0\) имеем \(v(t)=v_0e^{-(t-t_0)/\tau}\). Определите \(v_0\) и \(\tau\), используя \(I_0\) и необходимые параметры из уравнения (1).

В дальнейшем в ответах можно использовать \(\tau\).

A.2 — 0.8 балла

В действительности молекулы воды сталкиваются с частицей одна за другой. Предположите, что при \(i\)-м столкновении в момент \(t_i\) частице передаётся импульс \(I_i\), и определите \(v(t)\) при условии, что \(t>0\) и \(v(0)=0\). Также запишите неравенство, задающее диапазон значений \(t_i\), которые необходимо учитывать при данном \(t\). В листе ответов не требуется указывать этот диапазон в выражении для \(v(t)\).

Часть B. Эффективное уравнение движения (1.8 балла)

Полученные результаты показывают, что скорости частицы \(v(t)\) и \(v(t')\) можно считать некоррелированными случайными величинами, если \(|t-t'|\gg\tau\). На этой основе введём теоретическую модель для приближённого описания одномерного броуновского движения, в которой скорость случайным образом меняется через каждый интервал времени \(\delta\) \((\gg\tau)\), то есть

\[ v(t)=v_n\qquad(t_{n-1}<t\leq t_n), \tag{2} \]

где \(t_n=n\delta\) \((n=0,1,2,\cdots)\), а \(v_n\) — случайная величина. Она удовлетворяет условиям

\[ \langle v_n\rangle=0,\qquad \langle v_nv_m\rangle= \begin{cases} C &(n=m),\\ 0 &(n\neq m), \end{cases} \tag{3} \]

где параметр \(C\) зависит от \(\delta\). Здесь \(\langle X\rangle\) обозначает математическое ожидание \(X\). Иными словами, если бесконечное число раз выбирать случайные значения \(X\), их среднее будет равно \(\langle X\rangle\).

Теперь рассмотрим перемещение частицы \(\Delta x(t)=x(t)-x(0)\) при \(t=N\delta\), где \(N\) — целое число.

B.1 — 1.0 балла

Определите \(\langle\Delta x(t)\rangle\) и \(\langle\Delta x(t)^2\rangle\), используя \(C\), \(\delta\) и \(t\).

B.2 — 0.8 балла

Величина \(\langle\Delta x(t)^2\rangle\) называется средним квадратом перемещения (MSD). Это характерная наблюдаемая величина броуновского движения, которому соответствует предельный случай \(\delta\to0\). Отсюда можно показать, что \(C\propto\delta^\alpha\) и \(\langle\Delta x(t)^2\rangle\propto t^\beta\). Определите значения \(\alpha\) и \(\beta\).

Часть C. Электрофорез (2.7 балла)

Здесь мы рассмотрим электрофорез, то есть перенос заряженных частиц электрическим полем. Суспензию коллоидных частиц массой \(M\) и зарядом \(Q\) \((>0)\) помещают в узкий канал с площадью поперечного сечения \(A\) (рис. 1(a)). Пренебрежём взаимодействием между частицами, влиянием стенок, жидкости, содержащихся в ней ионов и силы тяжести.

Рис. 1: Схема установки для части C.

При приложении однородного электрического поля \(E\), направленного вдоль оси \(x\), частицы перемещаются, и их концентрация \(n(x)\) (число частиц в единице объёма) становится неоднородной (рис. 1(b)). После выключения поля \(E\) эта неоднородность постепенно исчезает. Это происходит вследствие броуновского движения частиц. Если \(n(x)\) неоднородна, число частиц, движущихся вправо и влево, может различаться (рис. 1(c)). Это создаёт поток частиц \(J_D(x)\) — среднее число частиц, проходящих в точке \(x\) вдоль оси \(x\) через единицу площади поперечного сечения за единицу времени. Известно, что этот поток удовлетворяет соотношению

\[ J_D(x)=-D\frac{dn}{dx}(x), \tag{4} \]

где \(D\) называется коэффициентом диффузии.

Теперь для простоты предположим, что половина частиц имеет скорость \(+v\), а другая половина — скорость \(-v\). Обозначим через \(N_+(x_0)\) число частиц со скоростью \(+v\), пересекающих сечение \(x_0\) слева направо за единицу времени в расчёте на единицу площади поперечного сечения. Чтобы частицы со скоростью \(+v\) пересекли \(x_0\) за интервал времени \(\delta\), они должны находиться в заштрихованной области на рис. 1(c). Поскольку \(\delta\) мало, в этой области можно записать \(n(x)\simeq n(x_0)+(x-x_0)\frac{dn}{dx}(x_0)\).

C.1 — 0.5 балла

Выразите \(N_+(x_0)\) через необходимые величины из числа \(v\), \(\delta\), \(n(x_0)\) и \(\frac{dn}{dx}(x_0)\).

Определим \(N_-(x_0)\) аналогично \(N_+(x_0)\), но для скорости \(-v\). Тогда \(J_D(x_0)=\langle N_+(x_0)-N_-(x_0)\rangle\). Согласно уравнению (3), \(\langle v^2\rangle=C\).

C.2 — 0.7 балла

Определите \(J_D(x_0)\), используя необходимые величины из числа \(C\), \(\delta\), \(n(x_0)\) и \(\frac{dn}{dx}(x_0)\). Используя полученный результат и уравнение (4), выразите \(D\) через \(C\) и \(\delta\), а \(\langle\Delta x(t)^2\rangle\) — через \(D\) и \(t\).

Теперь рассмотрим влияние осмотического давления \(\Pi\). Оно определяется соотношением \(\Pi=\frac{n}{N_A}RT=nkT\), где \(N_A\) — постоянная Авогадро, \(R\) — универсальная газовая постоянная, \(T\) — температура, а \(k=\frac{R}{N_A}\) — постоянная Больцмана. Рассмотрим неоднородную концентрацию, возникающую под действием электрического поля \(E\) (рис. 1(b)). Поскольку \(n(x)\) зависит от \(x\), от \(x\) зависит и \(\Pi(x)\). Тогда силы, обусловленные \(\Pi(x)\) и \(\Pi(x+\Delta x)\), должны уравновешиваться суммарной силой, действующей на частицы со стороны поля \(E\) (рис. 2). Здесь рассматривается малое \(\Delta x\), так что \(n(x)\) можно считать постоянной на этом участке, при этом \(n(x+\Delta x)-n(x)\simeq\Delta x\frac{dn}{dx}(x)\).

Рис. 2: Баланс сил.

C.3 — 0.5 балла

Выразите \(\frac{dn}{dx}(x)\) через \(n(x)\), \(T\), \(Q\), \(E\) и \(k\).

Теперь рассмотрим баланс потоков. Помимо потока \(J_D(x)\), обусловленного броуновским движением, существует также поток, обусловленный электрическим полем, \(J_Q(x)\). Он задаётся выражением

\[ J_Q(x)=n(x)u, \tag{5} \]

где \(u\) — установившаяся скорость частиц, движущихся под действием поля.

C.4 — 0.5 балла

Для определения \(u\) используем уравнение (1) с \(F_{\mathrm{ext}}(t)=QE\). Поскольку \(v(t)\) флуктуирует, рассмотрим \(\langle v(t)\rangle\). Полагая \(\langle v(0)\rangle=0\) и используя \(\langle F(t)\rangle=0\), найдите \(\langle v(t)\rangle\) и получите \(u=\lim_{t\to\infty}\langle v(t)\rangle\).

C.5 — 0.5 балла

Баланс потоков имеет вид \(J_D(x)+J_Q(x)=0\). Выразите коэффициент диффузии \(D\) через \(k\), \(\gamma\) и \(T\).

Часть D. Средний квадрат перемещения (2.4 балла)

Предположим, что мы наблюдали броуновское движение отдельной сферической коллоидной частицы радиусом \(a=5.0\,\mu\mathrm{m}\) в воде. На рисунке 3 показана гистограмма перемещений \(\Delta x\), измеренных вдоль оси \(x\) через каждый интервал \(\Delta t=60\,\mathrm{s}\). Коэффициент трения определяется выражением \(\gamma=6\pi a\eta\), где вязкость воды \(\eta=8.9\times10^{-4}\,\mathrm{Pa\cdot s}\), а температура составляла \(T=25\,^\circ\mathrm{C}\).

Рис. 3: Гистограмма перемещений.

D.1 — 1.0 балла

Оцените значение \(N_A\) по данным на рис. 3 с точностью до двух значащих цифр, не используя тот факт, что это постоянная Авогадро. Универсальная газовая постоянная равна \(R=8.31\,\mathrm{J/K\cdot mol}\). Не используйте значение постоянной Больцмана \(k\), приведённое в общих инструкциях. Для постоянной Авогадро у вас может получиться значение, отличающееся от указанного в общих инструкциях.

Теперь расширим модель из части B для описания движения частицы с зарядом \(Q\) в электрическом поле \(E\). Скорость частицы \(v(t)\), рассматриваемую в уравнении (2), следует заменить на \(v(t)=u+v_n\) \((t_{n-1}<t\leq t_n)\), где \(v_n\) удовлетворяет уравнению (3), а \(u\) — установившаяся скорость, рассматриваемая в уравнении (5).

D.2 — 0.8 балла

Выразите средний квадрат перемещения \(\langle\Delta x(t)^2\rangle\) через \(u\), \(D\) и \(t\). Получите приближённые степенные зависимости для малых \(t\) и больших \(t\), а также характерное время \(t_*\), при котором происходит переход между ними. Нарисуйте схематический график среднего квадрата перемещения в двойном логарифмическом масштабе, указав примерное положение \(t_*\).

Далее рассмотрим плавающие микроорганизмы (рис. 4(a)), для простоты — в одном измерении (рис. 4(b)). Это сферические частицы радиусом \(a\). Они плывут со скоростью либо \(+u_0\), либо \(-u_0\), причём знак выбирается случайным образом через каждый интервал времени \(\delta_0\) независимо от предыдущих выборов. Наблюдаемое движение представляет собой сочетание перемещений за счёт плавания и перемещений за счёт броуновского движения сферической частицы.

Рис. 4: (a) Движение микроорганизмов. (b) Его одномерный вариант.

D.3 — 0.6 балла

На рисунке 5 показан средний квадрат перемещения \(\langle\Delta x(t)^2\rangle\) этих микроорганизмов; для малых, больших и промежуточных \(t\) наблюдаются различные степенные зависимости, отмеченные штриховыми линиями. Получите степенную зависимость для каждого диапазона времени и выразите её через необходимые величины из числа \(D\), \(u_0\), \(\delta_0\) и \(t\).

Рис. 5: Средний квадрат перемещения микроорганизмов.

Часть E. Очистка воды (1.5 балла)

Здесь мы рассмотрим очистку воды, содержащей коллоидные почвенные частицы, путём добавления электролитов для их коагуляции. Частицы взаимодействуют посредством сил Ван-дер-Ваальса и электростатических сил; последние учитывают влияние как поверхностных зарядов, так и окружающего слоя противоположно заряженных ионов (такие ионы и их слой называются соответственно противоионами и двойным электрическим слоем; см. рис. 6(a)). В результате потенциальная энергия взаимодействия при расстоянии между частицами \(d\) (рис. 6(b)) задаётся выражением

\[ U(d)=-\frac{A}{d}+\frac{B\epsilon(kT)^2}{q^2}e^{-d/\lambda}, \tag{6} \]

где \(A\) и \(B\) — положительные постоянные, \(\epsilon\) — диэлектрическая проницаемость воды, а \(\lambda\) — толщина двойного электрического слоя. Если заряды ионов равны \(\pm q\), то

\[ \lambda=\sqrt{\frac{\epsilon kT}{2N_Aq^2c}}, \tag{7} \]

где \(c\) — молярная концентрация ионов.

Рис. 6: (a) Поверхностные заряды коллоидных частиц и противоионы. (b) Определение расстояния \(d\).

E.1 — 1.5 балла

Добавление хлорида натрия (NaCl) в суспензию вызывает коагуляцию коллоидных частиц. Определите наименьшую концентрацию \(c\) NaCl, необходимую для коагуляции. Достаточно рассмотреть две частицы без тепловых флуктуаций, то есть положить \(F(t)=0\) в уравнении (1), и предположить, что установившаяся скорость для данной потенциальной силы достигается мгновенно.

Условие переведено с официального английского текста.

يفيد علم الغرويات في توصيف جسيمات التربة، إذ يمكن اعتبار كثير منها جسيمات غروية ذات أحجام ميكرومترية. فعلى سبيل المثال، يمكن استخدام الحركة البراونية (الحركة العشوائية للجسيمات الغروية) لقياس أحجام الجسيمات.

الجزء A. حركات الجسيمات الغروية (1.6 نقطة)

نحلل الحركة البراونية أحادية البعد لجسيم غروي كتلته \(M\). تُكتب معادلة الحركة لسرعته \(v(t)\) على الصورة:

\[ M\dot v=-\gamma v(t)+F(t)+F_{\mathrm{ext}}(t), \tag{1} \]

حيث \(\gamma\) معامل الاحتكاك، و\(F(t)\) قوة ناتجة عن التصادمات العشوائية مع جزيئات الماء، و\(F_{\mathrm{ext}}(t)\) قوة خارجية. نفترض في الجزء A أن \(F_{\mathrm{ext}}(t)=0\).

A.1 — 0.8 نقطة

افترض أن جزيء ماء يصطدم بالجسيم عند \(t=t_0\)، فيمنحه دفعًا \(I_0\)، وأن \(F(t)=0\) بعد ذلك. إذا كانت \(v(t)=0\) قبل التصادم، فإن \(v(t)=v_0e^{-(t-t_0)/\tau}\) عندما \(t>t_0\). أوجد \(v_0\) و\(\tau\)، باستخدام \(I_0\) وما يلزم من معاملات المعادلة (1).

يمكنك فيما يلي استخدام \(\tau\) في إجاباتك.

A.2 — 0.8 نقطة

في الواقع، تتصادم جزيئات الماء مع الجسيم تباعًا. افترض أن التصادم رقم \(i\) يمنحه دفعًا \(I_i\) عند الزمن \(t_i\)، وأوجد \(v(t)\) بشرط أن \(t>0\) و\(v(0)=0\). اكتب أيضًا المتباينة التي تحدد مجال \(t_i\) الواجب أخذه في الحسبان عند قيمة معينة لـ\(t\). لا يلزم تحديد هذا المجال في تعبير \(v(t)\) في ورقة الإجابة.

الجزء B. معادلة الحركة الفعالة (1.8 نقطة)

تشير النتائج حتى الآن إلى أنه يمكن اعتبار سرعتي الجسيم \(v(t)\) و\(v(t')\) كميتين عشوائيتين غير مترابطتين إذا كان \(|t-t'|\gg\tau\). وبناءً على ذلك، نقدم نموذجًا نظريًا لوصف الحركة البراونية أحادية البعد وصفًا تقريبيًا، تتغير فيه السرعة عشوائيًا كل فترة زمنية \(\delta\) \((\gg\tau)\)، أي:

\[ v(t)=v_n\qquad(t_{n-1}<t\leq t_n), \tag{2} \]

حيث \(t_n=n\delta\) \((n=0,1,2,\cdots)\)، و\(v_n\) كمية عشوائية. وهي تحقق

\[ \langle v_n\rangle=0,\qquad \langle v_nv_m\rangle= \begin{cases} C &(n=m),\\ 0 &(n\neq m), \end{cases} \tag{3} \]

حيث المعامل \(C\) يعتمد على \(\delta\). هنا تشير \(\langle X\rangle\) إلى القيمة المتوقعة لـ\(X\). أي إنك إذا سحبت أعدادًا عشوائية \(X\) عددًا لا نهائيًا من المرات، فسيكون متوسطها \(\langle X\rangle\).

ندرس الآن إزاحة الجسيم \(\Delta x(t)=x(t)-x(0)\) عند \(t=N\delta\)، حيث \(N\) عدد صحيح.

B.1 — 1.0 نقطة

أوجد \(\langle\Delta x(t)\rangle\) و\(\langle\Delta x(t)^2\rangle\) باستخدام \(C\) و\(\delta\) و\(t\).

B.2 — 0.8 نقطة

تسمى الكمية \(\langle\Delta x(t)^2\rangle\) متوسط مربع الإزاحة (MSD). وهي كمية قابلة للرصد تميز الحركة البراونية، التي تقابل الحالة الحدية \(\delta\to0\). انطلاقًا من ذلك، يمكننا إثبات أن \(C\propto\delta^\alpha\) و\(\langle\Delta x(t)^2\rangle\propto t^\beta\). أوجد قيمتي \(\alpha\) و\(\beta\).

الجزء C. الرحلان الكهربائي (2.7 نقطة)

نناقش هنا الرحلان الكهربائي، أي نقل الجسيمات المشحونة بواسطة مجال كهربائي. يوضع معلق من جسيمات غروية كتلتها \(M\) وشحنتها \(Q\) \((>0)\) في قناة ضيقة مساحة مقطعها العرضي \(A\) (الشكل 1(a)). نهمل التفاعل بين الجسيمات، وتأثيرات الجدار والمائع والأيونات الموجودة فيه والجاذبية.

الشكل 1: ترتيب التجربة للجزء C.

بتطبيق مجال كهربائي منتظم \(E\) في اتجاه \(x\)، تنتقل الجسيمات ويصبح تركيزها \(n(x)\) (عدد الجسيمات في وحدة الحجم) غير منتظم (الشكل 1(b)). عند إزالة \(E\)، يزول عدم الانتظام هذا تدريجيًا. ويعود ذلك إلى الحركة البراونية للجسيمات. إذا لم يكن \(n(x)\) منتظمًا، فقد يختلف عدد الجسيمات المتجهة إلى اليمين عن عدد الجسيمات المتجهة إلى اليسار (الشكل 1(c)). وينشأ عن ذلك فيض جسيمات \(J_D(x)\)، وهو متوسط عدد الجسيمات المتدفقة عند \(x\) على امتداد محور \(x\) لكل وحدة مساحة مقطع عرضي ولكل وحدة زمن. ومن المعروف أن هذا الفيض يحقق

\[ J_D(x)=-D\frac{dn}{dx}(x), \tag{4} \]

حيث يسمى \(D\) معامل الانتشار.

لنفترض الآن، للتبسيط، أن نصف الجسيمات سرعتها \(+v\)، وأن النصف الآخر سرعتها \(-v\). لتكن \(N_+(x_0)\) عدد الجسيمات ذات السرعة \(+v\) التي تعبر \(x_0\) من اليسار إلى اليمين لكل وحدة مساحة مقطع عرضي ولكل وحدة زمن. ولكي تعبر الجسيمات ذات السرعة \(+v\) الموضع \(x_0\) خلال الفترة الزمنية \(\delta\)، يجب أن تكون في المنطقة المظللة من الشكل 1(c). وبما أن \(\delta\) صغيرة، فإن \(n(x)\simeq n(x_0)+(x-x_0)\frac{dn}{dx}(x_0)\) في هذه المنطقة.

C.1 — 0.5 نقطة

عبّر عن \(N_+(x_0)\) باستخدام ما يلزم من الكميات \(v\) و\(\delta\) و\(n(x_0)\) و\(\frac{dn}{dx}(x_0)\).

نعرّف \(N_-(x_0)\) بوصفها نظيرة \(N_+(x_0)\) للسرعة \(-v\). وبذلك يكون \(J_D(x_0)=\langle N_+(x_0)-N_-(x_0)\rangle\). وفقًا للمعادلة (3)، لدينا \(\langle v^2\rangle=C\).

C.2 — 0.7 نقطة

أوجد \(J_D(x_0)\) باستخدام ما يلزم من الكميات \(C\) و\(\delta\) و\(n(x_0)\) و\(\frac{dn}{dx}(x_0)\). باستخدام هذه النتيجة والمعادلة (4)، عبّر عن \(D\) بدلالة \(C\) و\(\delta\)، وعن \(\langle\Delta x(t)^2\rangle\) بدلالة \(D\) و\(t\).

نناقش الآن تأثير الضغط الأسموزي \(\Pi\). يُعطى هذا الضغط بالعلاقة \(\Pi=\frac{n}{N_A}RT=nkT\)، حيث \(N_A\) ثابت أفوغادرو، و\(R\) ثابت الغازات، و\(T\) درجة الحرارة، و\(k=\frac{R}{N_A}\) ثابت بولتزمان. لندرس التركيز غير المنتظم المتكون تحت تأثير المجال الكهربائي \(E\) (الشكل 1(b)). بما أن \(n(x)\) يعتمد على \(x\)، فإن \(\Pi(x)\) يعتمد عليه أيضًا. عندئذ يجب أن تتوازن القوتان الناشئتان عن \(\Pi(x)\) و\(\Pi(x+\Delta x)\) مع القوة الكلية التي يؤثر بها المجال \(E\) في الجسيمات (الشكل 2). نعتبر هنا أن \(\Delta x\) صغيرة، بحيث يمكن عدّ \(n(x)\) ثابتًا على هذا المجال، بينما \(n(x+\Delta x)-n(x)\simeq\Delta x\frac{dn}{dx}(x)\).

الشكل 2: توازن القوى.

C.3 — 0.5 نقطة

عبّر عن \(\frac{dn}{dx}(x)\) باستخدام \(n(x)\) و\(T\) و\(Q\) و\(E\) و\(k\).

لنناقش الآن توازن الفيض. إلى جانب الفيض \(J_D(x)\) الناتج عن الحركة البراونية، يوجد أيضًا فيض ناتج عن المجال الكهربائي، هو \(J_Q(x)\). ويُعطى بالعلاقة

\[ J_Q(x)=n(x)u, \tag{5} \]

حيث \(u\) السرعة الحدية للجسيمات المدفوعة بالمجال.

C.4 — 0.5 نقطة

لتحديد \(u\)، نستخدم المعادلة (1) مع \(F_{\mathrm{ext}}(t)=QE\). بما أن \(v(t)\) تتقلب، فإننا ندرس \(\langle v(t)\rangle\). بافتراض \(\langle v(0)\rangle=0\) وباستخدام \(\langle F(t)\rangle=0\)، احسب \(\langle v(t)\rangle\) وأوجد \(u=\lim_{t\to\infty}\langle v(t)\rangle\).

C.5 — 0.5 نقطة

يُكتب توازن الفيض على الصورة \(J_D(x)+J_Q(x)=0\). عبّر عن معامل الانتشار \(D\) بدلالة \(k\) و\(\gamma\) و\(T\).

الجزء D. متوسط مربع الإزاحة (2.4 نقطة)

افترض أننا رصدنا الحركة البراونية لجسيم غروي كروي معزول نصف قطره \(a=5.0\,\mu\mathrm{m}\) في الماء. يبين الشكل 3 المدرج التكراري للإزاحات \(\Delta x\) المقيسة في اتجاه \(x\) كل فترة زمنية \(\Delta t=60\,\mathrm{s}\). يُعطى معامل الاحتكاك بالعلاقة \(\gamma=6\pi a\eta\)، حيث لزوجة الماء \(\eta=8.9\times10^{-4}\,\mathrm{Pa\cdot s}\)، وكانت درجة الحرارة \(T=25\,^\circ\mathrm{C}\).

الشكل 3: المدرج التكراري للإزاحات.

D.1 — 1.0 نقطة

قدّر قيمة \(N_A\) برقمين معنويين من بيانات الشكل 3، دون الاستعانة بكونه ثابت أفوغادرو. ثابت الغازات هو \(R=8.31\,\mathrm{J/K\cdot mol}\). لا تستخدم قيمة ثابت بولتزمان \(k\) الواردة في التعليمات العامة. أما ثابت أفوغادرو، فقد تحصل له على قيمة تختلف عن القيمة الواردة في التعليمات العامة.

نوسّع الآن النموذج الوارد في الجزء B لوصف حركة جسيم شحنته \(Q\) تحت تأثير مجال كهربائي \(E\). ينبغي استبدال سرعة الجسيم \(v(t)\) الواردة في المعادلة (2) بالتعبير \(v(t)=u+v_n\) \((t_{n-1}<t\leq t_n)\)، حيث تحقق \(v_n\) المعادلة (3)، و\(u\) هي السرعة الحدية الواردة في المعادلة (5).

D.2 — 0.8 نقطة

عبّر عن متوسط مربع الإزاحة \(\langle\Delta x(t)^2\rangle\) بدلالة \(u\) و\(D\) و\(t\). أوجد قوانين القوة التقريبية عند قيم \(t\) الصغيرة والكبيرة، وكذلك الزمن المميز \(t_*\) الذي يحدث عنده هذا التغير. ارسم مخططًا تقريبيًا لمتوسط مربع الإزاحة بمقياس لوغاريتمي على كلا المحورين، موضحًا الموضع التقريبي لـ\(t_*\).

ندرس بعد ذلك ميكروبات تسبح (الشكل 4(a))، في بعد واحد للتبسيط (الشكل 4(b)). وهي جسيمات كروية نصف قطرها \(a\). تسبح بسرعة إما \(+u_0\) أو \(-u_0\)، وتُختار الإشارة عشوائيًا كل فترة زمنية \(\delta_0\) دون ترابط. الحركة المرصودة هي مزيج من الإزاحات الناتجة عن السباحة وتلك الناتجة عن الحركة البراونية لجسيم كروي.

الشكل 4: (a) حركة الميكروبات. (b) صورتها أحادية البعد.

D.3 — 0.6 نقطة

يعرض الشكل 5 متوسط مربع الإزاحة \(\langle\Delta x(t)^2\rangle\) لتلك الميكروبات، ويُظهر قوانين قوة مختلفة عند قيم \(t\) الصغيرة والكبيرة والمتوسطة، كما تبين الخطوط المتقطعة. أوجد قانون القوة لكل مجال زمني، وعبّر عنه باستخدام ما يلزم من الكميات \(D\) و\(u_0\) و\(\delta_0\) و\(t\).

الشكل 5: متوسط مربع إزاحة الميكروبات.

الجزء E. تنقية الماء (1.5 نقطة)

نناقش هنا تنقية الماء المحتوي على جسيمات تربة شبيهة بالغرويات، بإضافة إلكتروليتات لتخثيرها. تتفاعل الجسيمات من خلال قوة فان دير فالس والقوة الكهروستاتيكية، وتشمل الأخيرة تأثيرات كل من الشحنات السطحية والطبقة المحيطة من الأيونات ذات الشحنة المعاكسة (تسمى هذه الأيونات وطبقتها بالأيونات المضادة والطبقة الكهربائية المزدوجة، على الترتيب؛ انظر الشكل 6(a)). ونتيجة لذلك، تُعطى طاقة وضع التفاعل عند المسافة \(d\) بين الجسيمات (الشكل 6(b)) بالعلاقة

\[ U(d)=-\frac{A}{d}+\frac{B\epsilon(kT)^2}{q^2}e^{-d/\lambda}, \tag{6} \]

حيث \(A\) و\(B\) ثابتان موجبان، و\(\epsilon\) ثابت العزل الكهربائي للماء، و\(\lambda\) سمك الطبقة الكهربائية المزدوجة. بافتراض أن شحنات الأيونات هي \(\pm q\)، لدينا

\[ \lambda=\sqrt{\frac{\epsilon kT}{2N_Aq^2c}}, \tag{7} \]

حيث \(c\) التركيز المولي للأيون.

الشكل 6: (a) الشحنات السطحية للجسيمات الغروية والأيونات المضادة. (b) تعريف المسافة \(d\).

E.1 — 1.5 نقطة

تؤدي إضافة كلوريد الصوديوم (NaCl) إلى المعلق إلى تخثر الجسيمات الغروية. أوجد أقل تركيز \(c\) من NaCl يلزم للتخثر. يكفي النظر في جسيمين دون تقلبات حرارية، أي \(F(t)=0\) في المعادلة (1)، وافتراض بلوغ السرعة الحدية الموافقة للقوة المشتقة من طاقة الوضع المعطاة بصورة آنية.

نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي.