Strong permanent magnets are made from NdFeB alloy which obeys a very wide hysteresis loop so that the magnetization \(J\) can be assumed to be constant over a wide range of applications; in what follows, we assume that \(J\equiv 1.5\,\mathrm{T}/\mu_0\), where \(\mu_0=4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{N/A^2}\), and the magnetization of all the permanent magnets is homogeneous. Magnetization is defined as the volume density of the magnetic dipole moment of the matter.

Hint 1. The following equality might be useful:

\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4}=\frac{\pi^4}{90}. \]

Hint 2. The magnetic field created by a spherical magnet is identical to that of a point dipole. The magnetic fields created by magnets of other shapes become equivalent to a point dipole fields only at distances much larger than their diameter.

Hint 3. Electric and magnetic fields of electric and magnetic point dipoles as functions of coordinates and of the corresponding dipole moment are similar, i.e. one can be obtained from the other by multiplying it by a constant factor.

Hint 4. The induced field due to a boundary condition can always be replaced by some configuration of field sources outside the given boundaries.

Part A. Interaction of magnets (4.5 points)

When the distance to a magnet is much larger than its size, the magnetic field created by it can be approximated with the magnetic field of its dipole moment \(\vec m\),

\[ \vec B=\frac{\mu_0}{4\pi r^3}(2\vec m_{\parallel}-\vec m_{\perp}). \]

Here \(r=|\vec r|\), and we have decomposed the dipole moment into components parallel and perpendicular to the radius vector \(\vec r\) drawn from the dipole to the observation point, \(\vec m=\vec m_{\perp}+\vec m_{\parallel}\).

A.1 — 0.6pt

Find the magnitude of the interaction force between two coaxially placed cylindrical magnets of diameter \(d=20\,\mathrm{mm}\) and thickness \(h=2\,\mathrm{mm}\), magnetized parallel to their axis, if the distance between the centres of the magnets is \(L=20\,\mathrm{cm}\). You may assume that \(L\gg d,h\).

A.2 — 0.4pt

At distances much larger than \(\frac h2\), the field created by the magnet from task A.1 is the same as that created by a circular current \(I\). Find \(I\).

A.3 — 1.0pt

Find the interaction force between the magnets for the setup of task A.1 if instead \(L=5\,\mathrm{mm}\). You may assume that \(d\gg L\gg h\).

A.4 — 1.0pt

Identical spherical magnets of diameter \(\delta=5\,\mathrm{mm}\), bound together by magnetic attraction, form a chain. What is the maximal length \(l\) for such a chain which does not break under its own weight when hanging beneath the topmost magnet? The density of NdFeB magnets \(\rho=7500\,\mathrm{kg/m^3}\).

A.5 — 1.5pt

Consider the chain from part A.4. Obtain an expression for the magnitude of the magnetic \(B\)-field at such a point \(P\) which is at distance \(r\) from one of the chain's endpoint \(O\), and the angle between the chain and the line \(OP\) is \(\theta\) (cf. figure below), assuming that \(l\gg r\) and \(r\sin\theta\gg\delta\)

Part B. Interaction with ferromagnets (3.5 points)

Now we assume that in addition to the permanent magnets we have also plates made from a ferromagnetic material, similar to what is used in transformer cores. In the situations we're concerned with, it can be considered to have a constant but very large relative permeability \(\mu_r\sim10^5\).

Hint 5. Large permeability means that magnetic field lines near the outside surface of an object made of the material are nearly perpendicular to the surface. This is similar to the behavior of electric field lines near the outside surface of a conductor.

B.1 — 1.0pt

A spherical magnet from part A.4 is at a distance \(s=\delta\) from a thick infinite ferromagnetic plate (see the answer sheet). The magnetization of the sphere is oriented perpendicular to the plate. Sketch the field lines in the cross-section shown in the answer sheet. In that figure, three points (denoted as 1, 2, and 3) are marked; you need to show field lines passing through each of these points in their full length, i.e. as much as fits into the figure.

B.2 — 1.0pt

Now the spherical magnet is brought into direct contact with the plate. Which direction is taken by the magnetization vector of the spherical magnet at a stable equilibrium and what is the normal force between the plate and the magnet? Mark the correct direction(s) with a tick in the corresponding box in the answer sheet. Incorrect ticks will reduce your score.

B.3 — 1.5pt

Now a magnet from part A.1 is placed between two thick circular ferromagnetic plates of diameter \(D=2d\) so that the flat faces of the magnet are pressed against the plates and all three discs are coaxial. Find the magnetic force \(F\) acting on each plate. Hint: You may neglect the magnetic field both outside the ferromagnetic plates and outside the gap between them.

Part C. (Anti)ferromagnetic order (2 points)

The magnetic properties of materials are due to the magnetic dipole moments of electrons and atomic nuclei. If the dipole moments orient themselves parallel to each other, the field created by them is magnified — these are ferromagnetic materials. On the other hand, if for each dipole moment there is another antiparallel dipole moment nearby, the fields cancel out — these are anti-ferromagnetic materials.

In what follows, we consider a very large number of spherical magnets of part A.4, arranged at the nodes of a two-dimensional lattice; see real photos of stable equilibrium configurations below. Assume that all the magnetization vectors lie in the plane of the figure. Consider in your calculations only nearest-neighbour interactions (on the figure of C.1, each magnet has four nearest neighbours, and on the figure of C.2 — six).

C.1 — 0.8pt

Show the magnetization directions of the magnets in the figure below. You are not required to prove that the configuration you suggested is the only possibility. You still need to justify that the configuration you suggested is indeed stable. Find the energy needed to pull one magnet out of this lattice from somewhere in the middle of the lattice, assuming the other magnets are kept stationary. Does this configuration correspond to the order of ferromagnetic or antiferromagnetic materials?

C.2 — 1.2pt

Answer the same questions as in task C.1 for the configuration shown in the figure below.

Physical Constants

Below is the list of physical constants you might use in your solution in addition to the quantities given in the problem text.

Official English text of the problem.

Starke Permanentmagnete werden aus einer NdFeB-Legierung hergestellt, die eine sehr breite Hystereseschleife aufweist, sodass die Magnetisierung \(J\) in einem weiten Anwendungsbereich als konstant angenommen werden kann; im Folgenden nehmen wir \(J\equiv 1.5\,\mathrm{T}/\mu_0\) an, wobei \(\mu_0=4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{N/A^2}\), und die Magnetisierung aller Permanentmagnete ist homogen. Die Magnetisierung ist als Volumendichte des magnetischen Dipolmoments der Materie definiert.

Hinweis 1. Die folgende Gleichung könnte hilfreich sein:

\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4}=\frac{\pi^4}{90}. \]

Hinweis 2. Das von einem kugelförmigen Magneten erzeugte Magnetfeld ist identisch mit dem eines Punktdipols. Die von Magneten anderer Formen erzeugten Magnetfelder entsprechen erst in Abständen, die viel größer als ihr Durchmesser sind, dem Feld eines Punktdipols.

Hinweis 3. Die elektrischen und magnetischen Felder elektrischer bzw. magnetischer Punktdipole sind als Funktionen der Koordinaten und des jeweiligen Dipolmoments ähnlich, d. h., das eine lässt sich durch Multiplikation mit einem konstanten Faktor aus dem anderen erhalten.

Hinweis 4. Das durch eine Randbedingung induzierte Feld kann stets durch eine geeignete Anordnung von Feldquellen außerhalb der vorgegebenen Grenzen ersetzt werden.

Teil A. Wechselwirkung zwischen Magneten (4.5 Punkte)

Wenn der Abstand zu einem Magneten viel größer als seine Größe ist, kann das von ihm erzeugte Magnetfeld durch das Magnetfeld seines Dipolmoments \(\vec m\) angenähert werden,

\[ \vec B=\frac{\mu_0}{4\pi r^3}(2\vec m_{\parallel}-\vec m_{\perp}). \]

Hierbei ist \(r=|\vec r|\), und wir haben das Dipolmoment in Komponenten parallel und senkrecht zum Ortsvektor \(\vec r\) zerlegt, der vom Dipol zum Beobachtungspunkt zeigt, \(\vec m=\vec m_{\perp}+\vec m_{\parallel}\).

A.1 — 0.6 Punkte

Bestimmen Sie den Betrag der Wechselwirkungskraft zwischen zwei koaxial angeordneten zylindrischen Magneten mit dem Durchmesser \(d=20\,\mathrm{mm}\) und der Dicke \(h=2\,\mathrm{mm}\), die parallel zu ihrer Achse magnetisiert sind, wenn der Abstand zwischen den Mittelpunkten der Magnete \(L=20\,\mathrm{cm}\) beträgt. Sie dürfen \(L\gg d,h\) annehmen.

A.2 — 0.4 Punkte

In Abständen, die viel größer als \(\frac h2\) sind, ist das vom Magneten aus Aufgabe A.1 erzeugte Feld dasselbe wie das eines Kreisstroms \(I\). Bestimmen Sie \(I\).

A.3 — 1.0 Punkte

Bestimmen Sie die Wechselwirkungskraft zwischen den Magneten für die Anordnung aus Aufgabe A.1, wenn stattdessen \(L=5\,\mathrm{mm}\) gilt. Sie dürfen \(d\gg L\gg h\) annehmen.

A.4 — 1.0 Punkte

Identische kugelförmige Magnete mit dem Durchmesser \(\delta=5\,\mathrm{mm}\), die durch magnetische Anziehung zusammengehalten werden, bilden eine Kette. Wie groß ist die maximale Länge \(l\) einer solchen Kette, die unter ihrem eigenen Gewicht nicht reißt, wenn sie am obersten Magneten hängt? Die Dichte der NdFeB-Magnete beträgt \(\rho=7500\,\mathrm{kg/m^3}\).

A.5 — 1.5 Punkte

Betrachten Sie die Kette aus Teil A.4. Leiten Sie einen Ausdruck für den Betrag des magnetischen \(B\)-Feldes an einem Punkt \(P\) her, der sich im Abstand \(r\) von einem der Endpunkte \(O\) der Kette befindet, wobei der Winkel zwischen der Kette und der Geraden \(OP\) gleich \(\theta\) ist (siehe Abbildung unten). Nehmen Sie dabei \(l\gg r\) und \(r\sin\theta\gg\delta\) an.

Teil B. Wechselwirkung mit Ferromagneten (3.5 Punkte)

Wir nehmen nun an, dass uns neben den Permanentmagneten auch Platten aus einem ferromagnetischen Material zur Verfügung stehen, ähnlich dem Material, das in Transformatorkernen verwendet wird. In den hier betrachteten Situationen kann seine relative Permeabilität als konstant, aber sehr groß angenommen werden, \(\mu_r\sim10^5\).

Hinweis 5. Eine große Permeabilität bedeutet, dass magnetische Feldlinien nahe der äußeren Oberfläche eines Körpers aus diesem Material nahezu senkrecht zur Oberfläche verlaufen. Dies ähnelt dem Verhalten elektrischer Feldlinien nahe der äußeren Oberfläche eines Leiters.

B.1 — 1.0 Punkte

Ein kugelförmiger Magnet aus Teil A.4 befindet sich im Abstand \(s=\delta\) von einer dicken, unendlich ausgedehnten ferromagnetischen Platte (siehe Antwortbogen). Die Magnetisierung der Kugel ist senkrecht zur Platte ausgerichtet. Skizzieren Sie die Feldlinien in dem auf dem Antwortbogen dargestellten Querschnitt. In dieser Abbildung sind drei Punkte (mit 1, 2 und 3 bezeichnet) markiert; Sie sollen die Feldlinien durch jeden dieser Punkte über ihre gesamte Länge darstellen, d. h. so weit, wie es in die Abbildung passt.

B.2 — 1.0 Punkte

Nun wird der kugelförmige Magnet in direkten Kontakt mit der Platte gebracht. Welche Richtung nimmt der Magnetisierungsvektor des kugelförmigen Magneten im stabilen Gleichgewicht ein, und wie groß ist die Normalkraft zwischen der Platte und dem Magneten? Markieren Sie die richtige(n) Richtung(en) mit einem Häkchen im entsprechenden Kästchen auf dem Antwortbogen. Falsch gesetzte Häkchen führen zu Punktabzug.

B.3 — 1.5 Punkte

Nun wird ein Magnet aus Teil A.1 zwischen zwei dicke kreisförmige ferromagnetische Platten mit dem Durchmesser \(D=2d\) gelegt, sodass die ebenen Stirnflächen des Magneten an die Platten gedrückt werden und alle drei Scheiben koaxial sind. Bestimmen Sie die auf jede Platte wirkende magnetische Kraft \(F\). Hinweis: Sie dürfen das Magnetfeld sowohl außerhalb der ferromagnetischen Platten als auch außerhalb des Spalts zwischen ihnen vernachlässigen.

Teil C. (Anti)ferromagnetische Ordnung (2 Punkte)

Die magnetischen Eigenschaften von Materialien beruhen auf den magnetischen Dipolmomenten der Elektronen und Atomkerne. Richten sich die Dipolmomente parallel zueinander aus, wird das von ihnen erzeugte Feld verstärkt — dies sind ferromagnetische Materialien. Gibt es hingegen zu jedem Dipolmoment ein weiteres, antiparalleles Dipolmoment in der Nähe, heben sich die Felder auf — dies sind antiferromagnetische Materialien.

Im Folgenden betrachten wir eine sehr große Anzahl kugelförmiger Magnete aus Teil A.4, die an den Gitterpunkten eines zweidimensionalen Gitters angeordnet sind; siehe die untenstehenden realen Fotos stabiler Gleichgewichtsanordnungen. Nehmen Sie an, dass alle Magnetisierungsvektoren in der Zeichenebene liegen. Berücksichtigen Sie in Ihren Berechnungen nur die Wechselwirkungen zwischen nächsten Nachbarn (in der Abbildung zu C.1 hat jeder Magnet vier nächste Nachbarn, in der Abbildung zu C.2 sechs).

C.1 — 0.8 Punkte

Zeichnen Sie die Magnetisierungsrichtungen der Magnete in die untenstehende Abbildung ein. Sie müssen nicht beweisen, dass die von Ihnen vorgeschlagene Anordnung die einzig mögliche ist. Sie müssen jedoch begründen, dass die von Ihnen vorgeschlagene Anordnung tatsächlich stabil ist. Bestimmen Sie die Energie, die benötigt wird, um einen Magneten aus dem Inneren dieses Gitters herauszuziehen, wobei die anderen Magnete festgehalten werden. Entspricht diese Anordnung der Ordnung ferromagnetischer oder antiferromagnetischer Materialien?

C.2 — 1.2 Punkte

Beantworten Sie für die in der untenstehenden Abbildung gezeigte Anordnung dieselben Fragen wie in Aufgabe C.1.

Physikalische Konstanten

Nachfolgend finden Sie eine Liste physikalischer Konstanten, die Sie zusätzlich zu den in der Aufgabenstellung angegebenen Größen für Ihre Lösung verwenden können.

Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt.

Güçlü kalıcı mıknatıslar, çok geniş bir histerezis döngüsüne sahip olan NdFeB alaşımından yapılır; bu nedenle mıknatıslanma \(J\), geniş bir uygulama aralığında sabit kabul edilebilir. Aşağıda \(J\equiv 1.5\,\mathrm{T}/\mu_0\) olduğunu varsayacağız; burada \(\mu_0=4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{N/A^2}\) olup tüm kalıcı mıknatısların mıknatıslanması homojendir. Mıknatıslanma, maddenin birim hacim başına manyetik dipol momenti olarak tanımlanır.

İpucu 1. Aşağıdaki eşitlik yararlı olabilir:

\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4}=\frac{\pi^4}{90}. \]

İpucu 2. Küresel bir mıknatısın oluşturduğu manyetik alan, bir noktasal dipolün alanıyla aynıdır. Başka şekillerdeki mıknatısların oluşturduğu manyetik alanlar, ancak çaplarından çok daha büyük uzaklıklarda bir noktasal dipolün alanına eşdeğer hâle gelir.

İpucu 3. Elektriksel ve manyetik noktasal dipollerin elektrik ve manyetik alanları, koordinatların ve ilgili dipol momentinin fonksiyonları olarak birbirine benzer; yani biri, diğeri sabit bir çarpanla çarpılarak elde edilebilir.

İpucu 4. Bir sınır koşulu nedeniyle indüklenen alanın yerine her zaman, verilen sınırların dışında yer alan uygun bir alan kaynakları düzeninin oluşturduğu alan konulabilir.

Kısım A. Mıknatısların etkileşimi (4.5 puan)

Bir mıknatısa olan uzaklık, mıknatısın boyutundan çok daha büyük olduğunda, oluşturduğu manyetik alan yaklaşık olarak dipol momenti \(\vec m\)'nin manyetik alanıyla ifade edilebilir:

\[ \vec B=\frac{\mu_0}{4\pi r^3}(2\vec m_{\parallel}-\vec m_{\perp}). \]

Burada \(r=|\vec r|\) olup dipol momentini, dipolden gözlem noktasına çizilen \(\vec r\) konum vektörüne paralel ve dik bileşenlerine ayırdık: \(\vec m=\vec m_{\perp}+\vec m_{\parallel}\).

A.1 — 0.6 puan

Çapları \(d=20\,\mathrm{mm}\) ve kalınlıkları \(h=2\,\mathrm{mm}\) olan, eksenleri doğrultusunda mıknatıslanmış iki silindirik mıknatıs eş eksenli olarak yerleştirilmiştir. Mıknatısların merkezleri arasındaki uzaklık \(L=20\,\mathrm{cm}\) ise aralarındaki etkileşim kuvvetinin büyüklüğünü bulunuz. \(L\gg d,h\) olduğunu varsayabilirsiniz.

A.2 — 0.4 puan

\(\frac h2\)'den çok daha büyük uzaklıklarda, A.1 sorusundaki mıknatısın oluşturduğu alan, dairesel bir \(I\) akımının oluşturduğu alanla aynıdır. \(I\)'yı bulunuz.

A.3 — 1.0 puan

A.1 sorusundaki düzenekte uzaklık bunun yerine \(L=5\,\mathrm{mm}\) olduğunda mıknatıslar arasındaki etkileşim kuvvetini bulunuz. \(d\gg L\gg h\) olduğunu varsayabilirsiniz.

A.4 — 1.0 puan

Çapları \(\delta=5\,\mathrm{mm}\) olan özdeş küresel mıknatıslar, manyetik çekimle birbirine bağlanarak bir zincir oluşturur. En üstteki mıknatıstan aşağıya doğru asıldığında kendi ağırlığı altında kopmayan böyle bir zincirin en büyük \(l\) uzunluğu nedir? NdFeB mıknatısların yoğunluğu \(\rho=7500\,\mathrm{kg/m^3}\)'tür.

A.5 — 1.5 puan

A.4 kısmındaki zinciri ele alınız. Zincirin uç noktalarından biri olan \(O\)'ya uzaklığı \(r\) olan ve \(OP\) doğrusu ile zincir arasındaki açının \(\theta\) olduğu bir \(P\) noktasında (aşağıdaki şekle bakınız) manyetik \(B\) alanının büyüklüğü için bir ifade elde ediniz. \(l\gg r\) ve \(r\sin\theta\gg\delta\) olduğunu varsayınız.

Kısım B. Ferromıknatıslarla etkileşim (3.5 puan)

Şimdi kalıcı mıknatıslara ek olarak, transformatör çekirdeklerinde kullanılanlara benzer bir ferromanyetik malzemeden yapılmış levhalarımızın da olduğunu varsayıyoruz. Ele aldığımız durumlarda bu malzemenin sabit fakat çok büyük bir bağıl manyetik geçirgenliğe, \(\mu_r\sim10^5\), sahip olduğu kabul edilebilir.

İpucu 5. Büyük geçirgenlik, bu malzemeden yapılmış bir cismin dış yüzeyine yakın manyetik alan çizgilerinin yüzeye neredeyse dik olması anlamına gelir. Bu, bir iletkenin dış yüzeyine yakın elektrik alan çizgilerinin davranışına benzer.

B.1 — 1.0 puan

A.4 kısmındaki küresel mıknatıslardan biri, kalın ve sonsuz bir ferromanyetik levhadan \(s=\delta\) uzaklıktadır (cevap kâğıdına bakınız). Kürenin mıknatıslanması levhaya dik doğrultudadır. Cevap kâğıdında gösterilen kesitte alan çizgilerini kabaca çiziniz. Bu şekilde üç nokta (1, 2 ve 3 olarak belirtilmiş) işaretlenmiştir; bu noktaların her birinden geçen alan çizgilerini tüm uzunlukları boyunca, yani şekle sığdıkları kadarıyla göstermeniz gerekir.

B.2 — 1.0 puan

Şimdi küresel mıknatıs levhayla doğrudan temas ettiriliyor. Kararlı dengede küresel mıknatısın mıknatıslanma vektörü hangi yöne yönelir ve levha ile mıknatıs arasındaki normal kuvvet nedir? Cevap kâğıdındaki ilgili kutucuğa bir onay işareti koyarak doğru yönü veya yönleri belirtiniz. Yanlış işaretlemeler puanınızı düşürecektir.

B.3 — 1.5 puan

Şimdi A.1 kısmındaki mıknatıslardan biri, çapları \(D=2d\) olan iki kalın dairesel ferromanyetik levhanın arasına, mıknatısın düz yüzleri levhalara bastırılmış ve üç disk de eş eksenli olacak şekilde yerleştiriliyor. Her bir levhaya etki eden manyetik \(F\) kuvvetini bulunuz. İpucu: Hem ferromanyetik levhaların dışında hem de aralarındaki boşluğun dışında manyetik alanı ihmal edebilirsiniz.

Kısım C. (Anti)ferromanyetik düzen (2 puan)

Malzemelerin manyetik özellikleri, elektronların ve atom çekirdeklerinin manyetik dipol momentlerinden kaynaklanır. Dipol momentleri birbirlerine paralel yönelirse oluşturdukları alan güçlenir; bunlar ferromanyetik malzemelerdir. Öte yandan, her dipol momentinin yakınında ona antiparalel başka bir dipol momenti varsa alanlar birbirini yok eder; bunlar antiferromanyetik malzemelerdir.

Aşağıda, A.4 kısmındaki küresel mıknatıslardan çok sayıda alıp iki boyutlu bir örgünün düğüm noktalarına yerleştirdiğimiz bir düzeni ele alıyoruz; kararlı denge düzenlerinin gerçek fotoğrafları için aşağıya bakınız. Tüm mıknatıslanma vektörlerinin şeklin düzleminde olduğunu varsayınız. Hesaplamalarınızda yalnızca en yakın komşular arasındaki etkileşimleri dikkate alınız (C.1'in şeklinde her mıknatısın dört, C.2'nin şeklinde ise altı en yakın komşusu vardır).

C.1 — 0.8 puan

Aşağıdaki şekilde mıknatısların mıknatıslanma yönlerini gösteriniz. Önerdiğiniz düzenin tek olasılık olduğunu kanıtlamanız gerekmiyor. Ancak önerdiğiniz düzenin gerçekten kararlı olduğunu gerekçelendirmeniz gerekiyor. Diğer mıknatısların sabit tutulduğunu varsayarak, örgünün ortalarında bir yerde bulunan bir mıknatısı bu örgüden çekip çıkarmak için gereken enerjiyi bulunuz. Bu düzen, ferromanyetik malzemelerin düzenine mi yoksa antiferromanyetik malzemelerin düzenine mi karşılık gelir?

C.2 — 1.2 puan

Aşağıdaki şekilde gösterilen düzen için C.1 sorusundaki soruları cevaplayınız.

Fiziksel Sabitler

Aşağıda, soru metninde verilen niceliklere ek olarak çözümünüzde kullanabileceğiniz fiziksel sabitler listelenmiştir.

Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir.

Los imanes permanentes potentes se fabrican con una aleación de NdFeB que presenta un ciclo de histéresis muy ancho, de modo que la magnetización \(J\) puede considerarse constante en una amplia variedad de aplicaciones; en lo que sigue, suponemos que \(J\equiv 1.5\,\mathrm{T}/\mu_0\), donde \(\mu_0=4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{N/A^2}\), y que la magnetización de todos los imanes permanentes es homogénea. La magnetización se define como la densidad volumétrica del momento dipolar magnético de la materia.

Indicación 1. La siguiente igualdad puede resultar útil:

\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4}=\frac{\pi^4}{90}. \]

Indicación 2. El campo magnético creado por un imán esférico es idéntico al de un dipolo puntual. Los campos magnéticos creados por imanes de otras formas solo se vuelven equivalentes a los de un dipolo puntual a distancias mucho mayores que su diámetro.

Indicación 3. Los campos eléctrico y magnético de dipolos puntuales eléctricos y magnéticos, como funciones de las coordenadas y del momento dipolar correspondiente, son semejantes; es decir, uno puede obtenerse a partir del otro multiplicándolo por un factor constante.

Indicación 4. El campo inducido debido a una condición de contorno siempre puede sustituirse por alguna configuración de fuentes de campo situadas fuera de los límites dados.

Parte A. Interacción entre imanes (4.5 puntos)

Cuando la distancia a un imán es mucho mayor que su tamaño, el campo magnético que crea puede aproximarse mediante el campo magnético de su momento dipolar \(\vec m\),

\[ \vec B=\frac{\mu_0}{4\pi r^3}(2\vec m_{\parallel}-\vec m_{\perp}). \]

Aquí \(r=|\vec r|\), y hemos descompuesto el momento dipolar en sus componentes paralela y perpendicular al vector de posición \(\vec r\) trazado desde el dipolo hasta el punto de observación, \(\vec m=\vec m_{\perp}+\vec m_{\parallel}\).

A.1 — 0.6pt

Halle el módulo de la fuerza de interacción entre dos imanes cilíndricos colocados coaxialmente, de diámetro \(d=20\,\mathrm{mm}\) y espesor \(h=2\,\mathrm{mm}\), magnetizados paralelamente a su eje, si la distancia entre los centros de los imanes es \(L=20\,\mathrm{cm}\). Puede suponer que \(L\gg d,h\).

A.2 — 0.4pt

A distancias mucho mayores que \(\frac h2\), el campo creado por el imán del apartado A.1 es el mismo que el creado por una corriente circular \(I\). Halle \(I\).

A.3 — 1.0pt

Halle la fuerza de interacción entre los imanes para la disposición del apartado A.1 si, en cambio, \(L=5\,\mathrm{mm}\). Puede suponer que \(d\gg L\gg h\).

A.4 — 1.0pt

Unos imanes esféricos idénticos de diámetro \(\delta=5\,\mathrm{mm}\), unidos por atracción magnética, forman una cadena. ¿Cuál es la longitud máxima \(l\) de una cadena de este tipo que no se rompe bajo su propio peso cuando cuelga del imán situado en el extremo superior? La densidad de los imanes de NdFeB es \(\rho=7500\,\mathrm{kg/m^3}\).

A.5 — 1.5pt

Considere la cadena del apartado A.4. Obtenga una expresión para el módulo del campo magnético \(B\) en un punto \(P\) situado a una distancia \(r\) de uno de los extremos \(O\) de la cadena, siendo \(\theta\) el ángulo entre la cadena y la recta \(OP\) (véase la figura siguiente), suponiendo que \(l\gg r\) y \(r\sin\theta\gg\delta\)

Parte B. Interacción con materiales ferromagnéticos (3.5 puntos)

Ahora suponemos que, además de los imanes permanentes, disponemos de placas de un material ferromagnético similar al que se utiliza en los núcleos de los transformadores. En las situaciones que nos interesan, puede considerarse que tiene una permeabilidad relativa constante pero muy grande, \(\mu_r\sim10^5\).

Indicación 5. Una permeabilidad grande implica que las líneas de campo magnético cerca de la superficie exterior de un objeto fabricado con ese material son casi perpendiculares a la superficie. Esto es similar al comportamiento de las líneas de campo eléctrico cerca de la superficie exterior de un conductor.

B.1 — 1.0pt

Un imán esférico del apartado A.4 se encuentra a una distancia \(s=\delta\) de una placa ferromagnética gruesa e infinita (véase la hoja de respuestas). La magnetización de la esfera está orientada perpendicularmente a la placa. Dibuje esquemáticamente las líneas de campo en la sección transversal mostrada en la hoja de respuestas. En esa figura se señalan tres puntos (indicados como 1, 2 y 3); debe mostrar las líneas de campo que pasan por cada uno de esos puntos en toda su longitud, es decir, hasta donde quepan en la figura.

B.2 — 1.0pt

Ahora se pone el imán esférico en contacto directo con la placa. ¿Qué dirección adopta el vector de magnetización del imán esférico en un equilibrio estable y cuál es la fuerza normal entre la placa y el imán? Marque la dirección o las direcciones correctas con una marca de verificación en la casilla correspondiente de la hoja de respuestas. Las marcas incorrectas reducirán su puntuación.

B.3 — 1.5pt

Ahora se coloca un imán del apartado A.1 entre dos placas ferromagnéticas circulares gruesas de diámetro \(D=2d\), de modo que las caras planas del imán quedan presionadas contra las placas y los tres discos son coaxiales. Halle la fuerza magnética \(F\) que actúa sobre cada placa. Indicación: Puede despreciar el campo magnético tanto fuera de las placas ferromagnéticas como fuera del espacio entre ellas.

Parte C. Orden (anti)ferromagnético (2 puntos)

Las propiedades magnéticas de los materiales se deben a los momentos dipolares magnéticos de los electrones y los núcleos atómicos. Si los momentos dipolares se orientan paralelamente entre sí, el campo que crean se intensifica: estos son los materiales ferromagnéticos. Por otro lado, si para cada momento dipolar hay otro momento dipolar antiparalelo cerca, los campos se cancelan: estos son los materiales antiferromagnéticos.

En lo que sigue, consideramos un número muy grande de imanes esféricos del apartado A.4, dispuestos en los nodos de una red bidimensional; véanse a continuación fotografías reales de configuraciones de equilibrio estable. Suponga que todos los vectores de magnetización se encuentran en el plano de la figura. Considere en sus cálculos únicamente las interacciones entre vecinos más próximos (en la figura de C.1, cada imán tiene cuatro vecinos más próximos, y en la figura de C.2, seis).

C.1 — 0.8pt

Indique las direcciones de magnetización de los imanes en la figura siguiente. No es necesario demostrar que la configuración que propone es la única posibilidad. Sin embargo, debe justificar que la configuración propuesta es realmente estable. Halle la energía necesaria para extraer un imán de algún lugar de la zona central de esta red, suponiendo que los demás imanes se mantienen inmóviles. ¿Corresponde esta configuración al orden de los materiales ferromagnéticos o al de los antiferromagnéticos?

C.2 — 1.2pt

Responda a las mismas preguntas que en el apartado C.1 para la configuración mostrada en la figura siguiente.

Constantes físicas

A continuación se presenta la lista de constantes físicas que puede utilizar en su solución, además de las magnitudes dadas en el enunciado del problema.

Enunciado traducido del texto oficial en inglés.

强永磁体由 NdFeB 合金制成，这种合金具有很宽的磁滞回线，因此在广泛的应用条件下，可以认为其磁化强度 \(J\) 保持不变；下文中，我们假设 \(J\equiv 1.5\,\mathrm{T}/\mu_0\)，其中 \(\mu_0=4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{N/A^2}\)，并且所有永磁体都均匀磁化。磁化强度定义为物质的磁偶极矩的体积密度。

提示 1。 下列等式可能有用：

\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4}=\frac{\pi^4}{90}. \]

提示 2。 球形磁体产生的磁场与点偶极子产生的磁场相同。其他形状的磁体产生的磁场，只有在距离远大于其直径时才等效于点偶极子的磁场。

提示 3。 电点偶极子产生的电场与磁点偶极子产生的磁场，作为坐标和相应偶极矩的函数，具有相似的形式，即其中一个场乘以一个常数因子即可得到另一个场。

提示 4。 由边界条件引起的感应场，总可以用给定边界之外的某种场源配置来替代。

部分 A. 磁体间的相互作用（4.5 分）

当到磁体的距离远大于磁体的尺寸时，它产生的磁场可以近似为其偶极矩 \(\vec m\) 产生的磁场，

\[ \vec B=\frac{\mu_0}{4\pi r^3}(2\vec m_{\parallel}-\vec m_{\perp}). \]

这里 \(r=|\vec r|\)，我们将偶极矩分解为平行和垂直于位矢 \(\vec r\) 的分量，即 \(\vec m=\vec m_{\perp}+\vec m_{\parallel}\)，其中位矢从偶极子指向观测点。

A.1 — 0.6 分

两个同轴放置的圆柱形磁体，直径为 \(d=20\,\mathrm{mm}\)，厚度为 \(h=2\,\mathrm{mm}\)，磁化方向平行于轴线。若两磁体中心之间的距离为 \(L=20\,\mathrm{cm}\)，求它们之间相互作用力的大小。可以假设 \(L\gg d,h\)。

A.2 — 0.4 分

在远大于 \(\frac h2\) 的距离处，A.1 中磁体产生的磁场与环形电流 \(I\) 产生的磁场相同。求 \(I\)。

A.3 — 1.0 分

对于 A.1 中的装置，若改为 \(L=5\,\mathrm{mm}\)，求磁体之间的相互作用力。可以假设 \(d\gg L\gg h\)。

A.4 — 1.0 分

直径为 \(\delta=5\,\mathrm{mm}\) 的相同球形磁体，由磁吸引力连接成一条链。当这条链悬挂在最上方的磁体下方时，不因自身重量而断开的最大长度 \(l\) 是多少？NdFeB 磁体的密度为 \(\rho=7500\,\mathrm{kg/m^3}\)。

A.5 — 1.5 分

考虑 A.4 部分中的磁体链。点 \(P\) 到链的一个端点 \(O\) 的距离为 \(r\)，链与直线 \(OP\) 的夹角为 \(\theta\)（见下图）。假设 \(l\gg r\) 且 \(r\sin\theta\gg\delta\)，求该点的磁感应强度 \(B\) 大小的表达式。

部分 B. 与铁磁体的相互作用（3.5 分）

现在假设，除了永磁体之外，我们还有一些由铁磁材料制成的板，其材料类似于变压器铁芯所用的材料。在我们所考虑的情形中，可以认为这种材料具有恒定且很大的相对磁导率 \(\mu_r\sim10^5\)。

提示 5。 磁导率很大意味着，在由这种材料制成的物体的外表面附近，磁感线几乎垂直于表面。这与导体外表面附近电场线的行为相似。

B.1 — 1.0 分

A.4 部分中的一个球形磁体与一块无限大厚铁磁板的距离为 \(s=\delta\)（见答题纸）。球体的磁化方向垂直于板。在答题纸所示的截面内画出磁感线的示意图。图中标出了三个点（分别标记为 1、2 和 3）；你需要画出通过这三个点的各条磁感线的完整路径，即尽可能画出图中容得下的全部部分。

B.2 — 1.0 分

现在使球形磁体与板直接接触。在稳定平衡时，球形磁体的磁化强度矢量沿什么方向？板与磁体之间的法向力是多少？在答题纸上相应的方框中打勾，标出正确的方向。勾选错误会扣分。

B.3 — 1.5 分

现在将 A.1 部分中的一个磁体放在两块直径为 \(D=2d\) 的圆形厚铁磁板之间，使磁体的两个平面端面紧贴两块板，且三个圆盘同轴。求作用在每块板上的磁力 \(F\)。提示： 可以忽略铁磁板外部以及两板间隙外部的磁场。

部分 C. （反）铁磁有序（2 分）

材料的磁性源于电子和原子核的磁偶极矩。如果这些偶极矩彼此平行排列，它们产生的磁场就会增强——这样的材料是铁磁材料。另一方面，如果每个偶极矩附近都有另一个与之反平行的偶极矩，磁场就会相互抵消——这样的材料是反铁磁材料。

下文中，我们考虑大量 A.4 部分中的球形磁体，将它们排列在二维晶格的格点上；稳定平衡构型的实物照片见下图。假设所有磁化强度矢量都位于图面内。计算时只考虑最近邻相互作用（在 C.1 的图中，每个磁体有四个最近邻；在 C.2 的图中则有六个）。

C.1 — 0.8 分

在下图中标出各磁体的磁化方向。无需证明你提出的构型是唯一可能的构型，但仍需说明它确实是稳定的。假设其他磁体保持不动，求从晶格中部某处将一个磁体拉出晶格所需的能量。这种构型对应于铁磁材料还是反铁磁材料的有序排列？

C.2 — 1.2 分

对于下图所示的构型，回答与 C.1 相同的问题。

物理常量

以下列出了解题时除题目给出的量之外还可能用到的物理常量。

题目译自官方英文原文。

Сильные постоянные магниты изготавливают из сплава NdFeB, обладающего очень широкой петлёй гистерезиса, поэтому в широком диапазоне условий применения намагниченность \(J\) можно считать постоянной; далее мы полагаем, что \(J\equiv 1.5\,\mathrm{T}/\mu_0\), где \(\mu_0=4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{N/A^2}\), а намагниченность всех постоянных магнитов однородна. Намагниченность определяется как объёмная плотность магнитного дипольного момента вещества.

Подсказка 1. Может оказаться полезным следующее равенство:

\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4}=\frac{\pi^4}{90}. \]

Подсказка 2. Магнитное поле, создаваемое шарообразным магнитом, совпадает с полем точечного диполя. Магнитные поля, создаваемые магнитами другой формы, становятся эквивалентными полям точечных диполей лишь на расстояниях, значительно превышающих их диаметр.

Подсказка 3. Электрическое и магнитное поля точечных электрического и магнитного диполей имеют одинаковую зависимость от координат и соответствующего дипольного момента, то есть одно из них можно получить из другого умножением на постоянный коэффициент.

Подсказка 4. Индуцированное поле, обусловленное граничным условием, всегда можно заменить полем некоторой конфигурации источников, расположенных за заданными границами.

Часть A. Взаимодействие магнитов (4.5 балла)

Когда расстояние до магнита значительно превышает его размеры, создаваемое им магнитное поле можно приближённо заменить магнитным полем его дипольного момента \(\vec m\),

\[ \vec B=\frac{\mu_0}{4\pi r^3}(2\vec m_{\parallel}-\vec m_{\perp}). \]

Здесь \(r=|\vec r|\), а дипольный момент разложен на составляющие, параллельную и перпендикулярную радиус-вектору \(\vec r\), проведённому от диполя к точке наблюдения: \(\vec m=\vec m_{\perp}+\vec m_{\parallel}\).

A.1 — 0.6 балла

Найдите модуль силы взаимодействия между двумя соосно расположенными цилиндрическими магнитами диаметром \(d=20\,\mathrm{mm}\) и толщиной \(h=2\,\mathrm{mm}\), намагниченными параллельно своей оси, если расстояние между центрами магнитов равно \(L=20\,\mathrm{cm}\). Можно считать, что \(L\gg d,h\).

A.2 — 0.4 балла

На расстояниях, значительно превышающих \(\frac h2\), поле, создаваемое магнитом из задания A.1, совпадает с полем кругового тока \(I\). Найдите \(I\).

A.3 — 1.0 балла

Найдите силу взаимодействия между магнитами в установке из задания A.1, если теперь \(L=5\,\mathrm{mm}\). Можно считать, что \(d\gg L\gg h\).

A.4 — 1.0 балла

Одинаковые шарообразные магниты диаметром \(\delta=5\,\mathrm{mm}\), соединённые магнитным притяжением, образуют цепочку. Какова максимальная длина \(l\) такой цепочки, при которой она не разрывается под собственным весом, если подвесить её за самый верхний магнит? Плотность магнитов из NdFeB равна \(\rho=7500\,\mathrm{kg/m^3}\).

A.5 — 1.5 балла

Рассмотрите цепочку из части A.4. Получите выражение для модуля магнитной индукции \(B\) в точке \(P\), находящейся на расстоянии \(r\) от одного из концов цепочки \(O\), если угол между цепочкой и прямой \(OP\) равен \(\theta\) (см. рисунок ниже), считая, что \(l\gg r\) и \(r\sin\theta\gg\delta\)

Часть B. Взаимодействие с ферромагнетиками (3.5 балла)

Теперь предположим, что помимо постоянных магнитов у нас имеются пластины из ферромагнитного материала, подобного тому, который используется в сердечниках трансформаторов. В рассматриваемых условиях его относительную магнитную проницаемость можно считать постоянной и очень большой: \(\mu_r\sim10^5\).

Подсказка 5. Большая магнитная проницаемость означает, что линии магнитного поля вблизи внешней поверхности тела из этого материала почти перпендикулярны поверхности. Это похоже на поведение линий электрического поля вблизи внешней поверхности проводника.

B.1 — 1.0 балла

Шарообразный магнит из части A.4 находится на расстоянии \(s=\delta\) от толстой бесконечной ферромагнитной пластины (см. бланк ответов). Намагниченность шара направлена перпендикулярно пластине. Нарисуйте линии поля в сечении, показанном в бланке ответов. На этом рисунке отмечены три точки (обозначенные 1, 2 и 3); необходимо изобразить проходящие через каждую из них линии поля на всём их протяжении, то есть настолько, насколько позволяет рисунок.

B.2 — 1.0 балла

Теперь шарообразный магнит приводят в непосредственное соприкосновение с пластиной. Как направлен вектор намагниченности шарообразного магнита в положении устойчивого равновесия и какова нормальная сила между пластиной и магнитом? Отметьте правильное направление (направления) галочкой в соответствующей клетке бланка ответов. Неверно поставленные галочки приведут к снижению оценки.

B.3 — 1.5 балла

Теперь магнит из части A.1 помещают между двумя толстыми круглыми ферромагнитными пластинами диаметром \(D=2d\) так, что плоские грани магнита прижаты к пластинам, а все три диска соосны. Найдите магнитную силу \(F\), действующую на каждую пластину. Подсказка: Можно пренебречь магнитным полем как вне ферромагнитных пластин, так и вне зазора между ними.

Часть C. (Анти)ферромагнитный порядок (2 балла)

Магнитные свойства материалов обусловлены магнитными дипольными моментами электронов и атомных ядер. Если дипольные моменты ориентируются параллельно друг другу, создаваемое ими поле усиливается — такие материалы являются ферромагнитными. Если же вблизи каждого дипольного момента имеется другой, антипараллельный ему дипольный момент, поля компенсируются — такие материалы являются антиферромагнитными.

Далее мы рассматриваем очень большое число шарообразных магнитов из части A.4, расположенных в узлах двумерной решётки; ниже приведены реальные фотографии конфигураций устойчивого равновесия. Считайте, что все векторы намагниченности лежат в плоскости рисунка. В расчётах учитывайте только взаимодействия ближайших соседей (на рисунке к C.1 у каждого магнита четыре ближайших соседа, а на рисунке к C.2 — шесть).

C.1 — 0.8 балла

Покажите направления намагниченности магнитов на рисунке ниже. Доказывать, что предложенная вами конфигурация является единственно возможной, не требуется. Однако необходимо обосновать, что предложенная конфигурация действительно устойчива. Найдите энергию, необходимую для удаления одного магнита из этой решётки из некоторой точки в её середине, считая, что остальные магниты остаются неподвижными. Соответствует ли эта конфигурация порядку в ферромагнитных или антиферромагнитных материалах?

C.2 — 1.2 балла

Ответьте на те же вопросы, что и в задании C.1, для конфигурации, показанной на рисунке ниже.

Физические постоянные

Ниже приведён список физических постоянных, которые могут понадобиться при решении в дополнение к величинам, данным в условии задачи.

Условие переведено с официального английского текста.

تُصنع المغانط الدائمة القوية من سبيكة NdFeB التي تتميز بحلقة تخلف مغناطيسي عريضة جدًا، بحيث يمكن افتراض ثبات المغنطة \(J\) في نطاق واسع من التطبيقات؛ وفيما يلي، نفترض أن \(J\equiv 1.5\,\mathrm{T}/\mu_0\)، حيث \(\mu_0=4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{N/A^2}\)، وأن مغنطة جميع المغانط الدائمة متجانسة. تُعرَّف المغنطة بأنها الكثافة الحجمية لعزم ثنائي القطب المغناطيسي للمادة.

تلميح 1. قد تكون المساواة الآتية مفيدة:

\[ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4}=\frac{\pi^4}{90}. \]

تلميح 2. المجال المغناطيسي الذي يولّده مغناطيس كروي مطابق لمجال ثنائي قطب نقطي. أما المجالات المغناطيسية التي تولّدها مغانط ذات أشكال أخرى فلا تصبح مكافئة لمجالات ثنائيات أقطاب نقطية إلا عند مسافات أكبر بكثير من أقطارها.

تلميح 3. تتشابه المجالات الكهربائية والمغناطيسية لثنائيات الأقطاب الكهربائية والمغناطيسية النقطية، بوصفها دوال في الإحداثيات وفي عزم ثنائي القطب الموافق؛ أي إنه يمكن الحصول على أحدها من الآخر بضربه في عامل ثابت.

تلميح 4. يمكن دائمًا الاستعاضة عن المجال المستحث الناجم عن شرط حدّي بترتيب ما لمصادر المجال خارج الحدود المعطاة.

الجزء A. التآثر بين المغانط (4.5 نقاط)

عندما تكون المسافة إلى مغناطيس أكبر بكثير من حجمه، يمكن تقريب المجال المغناطيسي الذي يولّده بالمجال المغناطيسي لعزم ثنائي القطب الخاص به \(\vec m\)،

\[ \vec B=\frac{\mu_0}{4\pi r^3}(2\vec m_{\parallel}-\vec m_{\perp}). \]

هنا \(r=|\vec r|\)، وقد حلّلنا عزم ثنائي القطب إلى مركبتين موازية وعمودية على متجه الموضع \(\vec r\) المرسوم من ثنائي القطب إلى نقطة الرصد، \(\vec m=\vec m_{\perp}+\vec m_{\parallel}\).

A.1 — 0.6 نقطة

أوجد مقدار قوة التآثر بين مغناطيسين أسطوانيين موضوعين على محور مشترك، قطر كل منهما \(d=20\,\mathrm{mm}\) وسمكه \(h=2\,\mathrm{mm}\)، ومغنطتهما موازية لمحورهما، إذا كانت المسافة بين مركزي المغناطيسين \(L=20\,\mathrm{cm}\). يمكنك افتراض أن \(L\gg d,h\).

A.2 — 0.4 نقطة

عند مسافات أكبر بكثير من \(\frac h2\)، يكون المجال الذي يولّده المغناطيس في المهمة A.1 مماثلًا للمجال الذي يولّده تيار دائري \(I\). أوجد \(I\).

A.3 — 1.0 نقطة

أوجد قوة التآثر بين المغناطيسين في ترتيب المهمة A.1 إذا كانت المسافة بدلًا من ذلك \(L=5\,\mathrm{mm}\). يمكنك افتراض أن \(d\gg L\gg h\).

A.4 — 1.0 نقطة

تشكّل مغانط كروية متماثلة، قطر كل منها \(\delta=5\,\mathrm{mm}\)، سلسلةً تتماسك بفعل التجاذب المغناطيسي. ما الطول الأقصى \(l\) لمثل هذه السلسلة بحيث لا تنقطع تحت تأثير وزنها عند تعليقها من المغناطيس الأعلى؟ كثافة مغانط NdFeB هي \(\rho=7500\,\mathrm{kg/m^3}\).

A.5 — 1.5 نقطة

اعتبر السلسلة في الجزء A.4. استنتج تعبيرًا لمقدار المجال المغناطيسي \(B\) عند نقطة \(P\) تبعد مسافة \(r\) عن أحد طرفي السلسلة \(O\)، وتكون الزاوية بين السلسلة والمستقيم \(OP\) هي \(\theta\) (انظر الشكل أدناه)، بافتراض أن \(l\gg r\) و\(r\sin\theta\gg\delta\)

الجزء B. التآثر مع المواد الحديدية المغناطيسية (3.5 نقاط)

نفترض الآن أن لدينا، بالإضافة إلى المغانط الدائمة، صفائح مصنوعة من مادة حديدية مغناطيسية شبيهة بما يُستخدم في قلوب المحولات. وفي الحالات التي تعنينا، يمكن اعتبار نفاذيتها النسبية ثابتة وكبيرة جدًا، \(\mu_r\sim10^5\).

تلميح 5. تعني النفاذية الكبيرة أن خطوط المجال المغناطيسي قرب السطح الخارجي لجسم مصنوع من هذه المادة تكون شبه عمودية على السطح. وهذا يشبه سلوك خطوط المجال الكهربائي قرب السطح الخارجي لموصل.

B.1 — 1.0 نقطة

يوجد مغناطيس كروي من الجزء A.4 على مسافة \(s=\delta\) من صفيحة حديدية مغناطيسية سميكة لا نهائية الامتداد (انظر ورقة الإجابة). تتجه مغنطة الكرة عموديًا على الصفيحة. ارسم خطوط المجال في المقطع الموضح في ورقة الإجابة. عُلّمت في ذلك الشكل ثلاث نقاط (مشار إليها بالأرقام 1 و2 و3)؛ وعليك إظهار خطوط المجال المارة بكل من هذه النقاط على امتدادها الكامل، أي بالقدر الذي يتسع له الشكل.

B.2 — 1.0 نقطة

يُجلب المغناطيس الكروي الآن إلى تماس مباشر مع الصفيحة. ما الاتجاه الذي يتخذه متجه مغنطة المغناطيس الكروي في حالة اتزان مستقر، وما القوة العمودية بين الصفيحة والمغناطيس؟ ضع علامة صح للاتجاه الصحيح أو الاتجاهات الصحيحة في المربع الموافق في ورقة الإجابة. ستؤدي العلامات غير الصحيحة إلى خفض درجتك.

B.3 — 1.5 نقطة

يوضع الآن مغناطيس من الجزء A.1 بين صفيحتين دائريتين سميكتين من مادة حديدية مغناطيسية، قطر كل منهما \(D=2d\)، بحيث يضغط وجها المغناطيس المستويان على الصفيحتين، وتكون الأقراص الثلاثة جميعها متحدة المحور. أوجد القوة المغناطيسية \(F\) المؤثرة في كل صفيحة. تلميح: يمكنك إهمال المجال المغناطيسي سواء خارج الصفيحتين الحديديتين المغناطيسيتين أو خارج الفجوة بينهما.

الجزء C. الترتيب الحديدي المغناطيسي والمضاد له (نقطتان)

تعود الخواص المغناطيسية للمواد إلى عزوم ثنائيات الأقطاب المغناطيسية للإلكترونات والنوى الذرية. إذا اتجهت عزوم ثنائيات الأقطاب متوازيةً بعضها مع بعض، تعاظم المجال الذي تولّده؛ وهذه هي المواد الحديدية المغناطيسية. أما إذا وُجد قرب كل عزم ثنائي قطب عزم آخر موازٍ له ومعاكس في الاتجاه، فإن المجالات تتلاشى؛ وهذه هي المواد المضادة للحديدية المغناطيسية.

فيما يلي، نعتبر عددًا كبيرًا جدًا من المغانط الكروية الواردة في الجزء A.4، مرتبةً عند عقد شبكة ثنائية الأبعاد؛ انظر الصور الفوتوغرافية الحقيقية لترتيبات الاتزان المستقر أدناه. افترض أن جميع متجهات المغنطة تقع في مستوى الشكل. اقتصر في حساباتك على التآثرات مع أقرب الجيران (في شكل C.1، لكل مغناطيس أربعة جيران أقرب، وفي شكل C.2 ستة).

C.1 — 0.8 نقطة

بيّن اتجاهات مغنطة المغانط في الشكل أدناه. لا يُطلب منك إثبات أن الترتيب الذي اقترحته هو الإمكانية الوحيدة. ومع ذلك، عليك تبرير أن الترتيب المقترح مستقر بالفعل. أوجد الطاقة اللازمة لانتزاع مغناطيس واحد من هذه الشبكة من موضع ما في وسطها، بافتراض إبقاء المغانط الأخرى ثابتة. هل يوافق هذا الترتيب ترتيب المواد الحديدية المغناطيسية أم المواد المضادة للحديدية المغناطيسية؟

C.2 — 1.2 نقطة

أجب عن الأسئلة نفسها الواردة في المهمة C.1 للترتيب الموضح في الشكل أدناه.

الثوابت الفيزيائية

فيما يلي قائمة بالثوابت الفيزيائية التي قد تستخدمها في الحل، بالإضافة إلى الكميات المعطاة في نص المسألة.

نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي.