Solution

A.1

Let \(H\) be the height of the oil column above the lower edges of the plates. At those edges, the oil and water pressures must agree. With atmospheric pressure subtracted,

\[ \rho_{\mathrm{oil}}gH=\rho_0gh, \qquad H=\frac{\rho_0}{\rho_{\mathrm{oil}}}h. \]

A fluid column of height \(a\) and density \(\rho\) exerts a horizontal force

\[ w\int_0^a \rho g(a-u)\,du=\frac12\rho gwa^2 \]

on a vertical plate, where \(u\) measures height above the column’s bottom.

The oil pushes the right plate towards \(+x\); the water pushes it towards \(-x\). Atmospheric pressure cancels between the two sides. Including the oil above the exterior water level gives

\[ F_x=\frac{gw}{2} \left(\rho_{\mathrm{oil}}H^2-\rho_0h^2\right). \]

Substituting \(H\),

\[ \boxed{F_x= \frac{\rho_0gwh^2}{2} \left(\frac{\rho_0}{\rho_{\mathrm{oil}}}-1\right)>0.} \]

Thus the plate is pushed outwards.

A.2

Define the dimensionless temperature difference

\[ q=\frac{T_1-T}{T_1-T_0}. \]

Isotropic expansion changes all three linear dimensions by the same factor. Consequently,

\[ \frac{V(T)}{V(T_1)}=(1-k_lq)^3. \]

Mass is conserved, and the reference density at \(T_1\) is \(\rho_1\), so

\[ \rho(T)=\rho_1(1-k_lq)^{-3}. \]

Using the given expansion and neglecting terms of order \(k_l^2\),

\[ \rho(T)\approx\rho_1(1+3k_lq). \]

Comparison with equation (2) gives

\[ \boxed{k=3k_l.} \]

A.3

Use the downward-pointing \(z\)-axis of Fig. 2. Far from the ridge, the crust extends from \(z=h\) to \(z=h+D\). Its temperature is

\[ T(z)=T_0+(T_1-T_0)\frac{z-h}{D}, \]

and therefore its density is

\[ \rho(z)\approx \rho_1\left[1+k\left(1-\frac{z-h}{D}\right)\right]. \]

Its mean density is

\[ \overline{\rho} =\frac1D\int_h^{h+D}\rho(z)\,dz =\rho_1\left(1+\frac{k}{2}\right). \]

Let \(p_O\) be the common fluid pressure at the ridge crest, where the crust has zero thickness. Hydrostatic equilibrium gives the pressures immediately above and below the distant crust:

\[ p_{\mathrm{top}}=p_O+\rho_0gh, \]

\[ p_{\mathrm{bottom}}=p_O+\rho_1g(h+D). \]

Vertical force balance on a distant horizontal column of crust requires

\[ p_{\mathrm{bottom}}-p_{\mathrm{top}} =\overline{\rho}\,gD. \]

Thus

\[ \rho_1(h+D)-\rho_0h =\rho_1D\left(1+\frac{k}{2}\right). \]

After cancelling the common term \(\rho_1D\),

\[ (\rho_1-\rho_0)h=\frac12\rho_1kD, \]

so

\[ \boxed{D=\frac{2(\rho_1-\rho_0)h}{\rho_1k}.} \]

A.4

We calculate the pressure forces on the actual water–crust and mantle–crust interfaces.

Write the upper and lower crust surfaces as \(z=z_t(x)\) and \(z=z_b(x)\). Their endpoint values are

\[ z_t(0)=z_b(0)=0, \qquad z_t(\infty)=h, \qquad z_b(\infty)=h+D. \]

The fluid pressure fields are

\[ p_w(z)=p_O+\rho_0gz, \qquad p_m(z)=p_O+\rho_1gz. \]

For an interface element of horizontal length \(dx\) and width \(L\), the horizontal component of pressure force contains the surface slope. The upper fluid pushes towards negative \(x\), while the lower fluid pushes towards positive \(x\):

\[ dF_x =L\left[ p_m(z_b)\frac{dz_b}{dx} -p_w(z_t)\frac{dz_t}{dx} \right]dx. \]

The factors from the inclined surface area and the unit normal cancel, so this expression does not require an additional small-slope approximation. Integrating,

\[ \begin{aligned} F_x &=L\int_0^{h+D}(p_O+\rho_1gz)\,dz -L\int_0^h(p_O+\rho_0gz)\,dz\\ &=p_OLD+\frac{gL}{2} \left[\rho_1(h+D)^2-\rho_0h^2\right]. \end{aligned} \]

Equivalently,

\[ F_x= \frac12\rho_1gLD^2 +(p_O+\rho_1gh)LD +\frac12(\rho_1-\rho_0)gLh^2. \]

From A.3, \(D\propto k^{-1}\) at fixed \(h\). With the background pressure fixed, these three contributions are respectively of orders \(k^{-2}\), \(k^{-1}\), and \(k^0\). Hence the leading term is

\[ F_x\simeq\frac12\rho_1gLD^2. \]

Substituting the expression for \(D\),

\[ \boxed{ F_x\simeq \frac{2gLh^2(\rho_1-\rho_0)^2}{\rho_1k^2}. } \]

It points along \(+x\), away from the ridge. This is the total force exerted by the fluids; no lithostatic force on an artificial cut through the distant crust has been subtracted.

A.5

To leading order in \(k\), the crust has volumetric heat capacity \(\rho_1c\), giving thermal diffusivity

\[ \chi=\frac{\kappa}{\rho_1c}. \]

Far from the ridge, the relevant distance over which heat must diffuse is \(D\). The heat equation,

\[ \frac{\partial T}{\partial t} =\chi\frac{\partial^2T}{\partial z^2}, \]

therefore gives the scale estimate

\[ \frac{\Delta T}{\tau}\sim \chi\frac{\Delta T}{D^2}. \]

The temperature difference cancels, as required:

\[ \boxed{\tau\sim\frac{D^2}{\chi} =\frac{\rho_1cD^2}{\kappa}.} \]

Using A.3,

\[ \boxed{ \tau\sim \frac{4c(\rho_1-\rho_0)^2h^2} {\kappa\rho_1k^2}. } \]

Dimensional analysis does not determine a numerical prefactor. The surface temperature difference approaches zero asymptotically rather than vanishing at a finite time.

B.1

In a medium whose wave speed depends only on depth, Snell’s law preserves the horizontal slowness:

\[ \frac{\sin\theta(z)}{v(z)} =\frac{\sin\theta_0}{v_0}, \]

where \(\theta(z)\) is the local angle with the vertical. Since

\[ v(z)=v_0\frac{z+z_0}{z_0}, \]

we obtain

\[ \sin\theta(z) =\frac{z+z_0}{z_0}\sin\theta_0. \]

Define

\[ R=\frac{z_0}{\sin\theta_0}. \]

On the descending part of the ray,

\[ \frac{dx}{dz}=\tan\theta =\frac{z+z_0}{\sqrt{R^2-(z+z_0)^2}}. \]

Integration with \(x=0\) at \(z=0\) gives

\[ x=\sqrt{R^2-z_0^2} -\sqrt{R^2-(z+z_0)^2}. \]

Thus the trajectory belongs to the circle

\[ (x-x_c)^2+(z+z_0)^2=R^2, \]

whose centre has coordinates

\[ x_c=\sqrt{R^2-z_0^2}=z_0\cot\theta_0, \qquad z_c=-z_0. \]

The ray turns at the deepest point of this circle and returns symmetrically to the surface. Its two intersections with \(z=0\) are \(x=0\) and \(x=2x_c\). Therefore

\[ \boxed{x_1(\theta_0)=2z_0\cot\theta_0,} \]

and

\[ \boxed{A=2z_0,\qquad b=1.} \]

The surface speed \(v_0\) affects travel times but cancels from the ray geometry.

B.2

The downward half-plane spans an angular range \(\pi\). Uniform emission therefore assigns energy per unit source length

\[ dE=\frac{E}{\pi}\,d\theta \]

to an angular interval \(d\theta\).

For rays returning at \(x>0\),

\[ x=2z_0\cot\theta, \qquad \left|\frac{dx}{d\theta}\right| =2z_0\csc^2\theta. \]

Energy conservation between the emitted angular interval and its receiving surface strip gives

\[ \varepsilon(x)\,dx =\frac{E}{\pi}|d\theta|. \]

Hence

\[ \varepsilon(x) =\frac{E}{2\pi z_0}\sin^2\theta. \]

Using

\[ \cot\theta=\frac{x}{2z_0}, \qquad \sin^2\theta=\frac{1}{1+x^2/(4z_0^2)}, \]

we find

\[ \boxed{\varepsilon(x) =\frac{2Ez_0}{\pi(x^2+4z_0^2)}.} \]

Left-going emission gives the same expression for \(x<0\). Its normalization is

\[ \int_{-\infty}^{\infty}\varepsilon(x)\,dx =\frac{E}{\pi} \left[\arctan\frac{x}{2z_0}\right]_{-\infty}^{\infty} =E. \]

For the requested sketch: the curve is smooth and symmetric about \(x=0\), with a single maximum \(E/(2\pi z_0)\). At \(x=\pm2z_0\) its height is \(E/(4\pi z_0)\), so its full width at half maximum is \(4z_0\). It remains positive at every finite \(x\), and its tails satisfy

\[ \varepsilon(x)\sim\frac{2Ez_0}{\pi x^2} \qquad (|x|\gg z_0). \]

Since \(E\) is energy per unit source length, \(\varepsilon\) has units of energy per unit area.

B.3

At a specular surface reflection, the vertical component of the ray velocity reverses while its horizontal component is preserved. Each ray therefore repeats the same arc, translated horizontally. Its surface encounters occur at

\[ x_n(\theta)=n\ell(\theta), \qquad \ell(\theta)=2z_0\cot\theta, \qquad n=1,2,\ldots. \]

Let

\[ \theta_\pm=\theta_0\pm\frac{\delta\theta_0}{2}. \]

For a band lying entirely within \(0<\theta<\pi/2\), the shortest and longest distances between successive surface encounters are

\[ \ell_{\min}=2z_0\cot\theta_+, \qquad \ell_{\max}=2z_0\cot\theta_-. \]

Because the beam fills the angular interval, the surface interval reached at the \(n\)-th encounter is

\[ I_n=[n\ell_{\min},\,n\ell_{\max}]. \]

A gap exists between \(I_n\) and \(I_{n+1}\) precisely when

\[ n\ell_{\max}<(n+1)\ell_{\min}, \]

or

\[ n(\ell_{\max}-\ell_{\min})<\ell_{\min}. \]

Put \(\Delta\ell=\ell_{\max}-\ell_{\min}\). Once \(n\Delta\ell\ge\ell_{\min}\), adjacent intervals overlap, and they continue to overlap for every larger \(n\). Consequently, the exact outer boundary of the last gap is

\[ \boxed{ x_{\max} =\ell_{\min} \left\lceil\frac{\ell_{\min}}{\Delta\ell}\right\rceil. } \]

The ceiling accounts for the integer number of surface encounters. The boundary itself is reached; unreached points approach it from below.

For the requested narrow-band approximation,

\[ \ell_0=2z_0\cot\theta_0, \]

and

\[ \Delta\ell \simeq \left|\frac{d\ell}{d\theta}\right|_{\theta_0} \delta\theta_0 = 2z_0\csc^2\theta_0\,\delta\theta_0. \]

At fixed \(\theta_0\), a sufficiently narrow band requires many reflections before the intervals overlap. To leading order, the integer rounding can then be neglected:

\[ x_{\max}\simeq\frac{\ell_0^2}{\Delta\ell}. \]

Therefore

\[ \boxed{ x_{\max}\simeq \frac{(2z_0\cot\theta_0)^2} {2z_0\csc^2\theta_0\,\delta\theta_0} = \frac{2z_0\cos^2\theta_0}{\delta\theta_0}. } \]

The solution was checked against the official solution.

Lösung

A.1

Sei \(H\) die Höhe der Ölsäule über den Unterkanten der Platten. An diesen Kanten müssen die Drücke von Öl und Wasser übereinstimmen. Nach Abzug des Atmosphärendrucks gilt

\[ \rho_{\mathrm{oil}}gH=\rho_0gh, \qquad H=\frac{\rho_0}{\rho_{\mathrm{oil}}}h. \]

Eine Flüssigkeitssäule der Höhe \(a\) und der Dichte \(\rho\) übt auf eine senkrechte Platte die horizontale Kraft

\[ w\int_0^a \rho g(a-u)\,du=\frac12\rho gwa^2 \]

aus, wobei \(u\) die Höhe über dem unteren Ende der Säule angibt.

Das Öl drückt die rechte Platte in Richtung \(+x\); das Wasser drückt sie in Richtung \(-x\). Die Beiträge des Atmosphärendrucks auf beiden Seiten heben sich auf. Unter Einbeziehung des Öls oberhalb des äußeren Wasserspiegels ergibt sich

\[ F_x=\frac{gw}{2} \left(\rho_{\mathrm{oil}}H^2-\rho_0h^2\right). \]

Einsetzen von \(H\) ergibt

\[ \boxed{F_x= \frac{\rho_0gwh^2}{2} \left(\frac{\rho_0}{\rho_{\mathrm{oil}}}-1\right)>0.} \]

Die Platte wird also nach außen gedrückt.

A.2

Wir definieren die dimensionslose Temperaturdifferenz

\[ q=\frac{T_1-T}{T_1-T_0}. \]

Bei isotroper Ausdehnung ändern sich alle drei linearen Abmessungen um denselben Faktor. Folglich gilt

\[ \frac{V(T)}{V(T_1)}=(1-k_lq)^3. \]

Die Masse bleibt erhalten, und die Referenzdichte bei \(T_1\) ist \(\rho_1\), also gilt

\[ \rho(T)=\rho_1(1-k_lq)^{-3}. \]

Mit der angegebenen Näherungsentwicklung und unter Vernachlässigung von Termen der Ordnung \(k_l^2\) folgt

\[ \rho(T)\approx\rho_1(1+3k_lq). \]

Der Vergleich mit Gleichung (2) ergibt

\[ \boxed{k=3k_l.} \]

A.3

Wir verwenden die nach unten gerichtete \(z\)-Achse aus Abb. 2. Weit vom Rücken entfernt erstreckt sich die Kruste von \(z=h\) bis \(z=h+D\). Ihre Temperatur ist

\[ T(z)=T_0+(T_1-T_0)\frac{z-h}{D}, \]

und damit ist ihre Dichte

\[ \rho(z)\approx \rho_1\left[1+k\left(1-\frac{z-h}{D}\right)\right]. \]

Ihre mittlere Dichte ist

\[ \overline{\rho} =\frac1D\int_h^{h+D}\rho(z)\,dz =\rho_1\left(1+\frac{k}{2}\right). \]

Sei \(p_O\) der gemeinsame Fluiddruck am Scheitel des Rückens, wo die Kruste die Dicke null hat. Aus dem hydrostatischen Gleichgewicht ergeben sich die Drücke unmittelbar oberhalb und unterhalb der weit entfernten Kruste:

\[ p_{\mathrm{top}}=p_O+\rho_0gh, \]

\[ p_{\mathrm{bottom}}=p_O+\rho_1g(h+D). \]

Das vertikale Kräftegleichgewicht an einer Säule der weit entfernten, horizontal liegenden Kruste erfordert

\[ p_{\mathrm{bottom}}-p_{\mathrm{top}} =\overline{\rho}\,gD. \]

Somit gilt

\[ \rho_1(h+D)-\rho_0h =\rho_1D\left(1+\frac{k}{2}\right). \]

Nach Kürzen des gemeinsamen Terms \(\rho_1D\) erhält man

\[ (\rho_1-\rho_0)h=\frac12\rho_1kD, \]

also

\[ \boxed{D=\frac{2(\rho_1-\rho_0)h}{\rho_1k}.} \]

A.4

Wir berechnen die Druckkräfte an den tatsächlichen Grenzflächen zwischen Wasser und Kruste sowie zwischen Mantel und Kruste.

Wir beschreiben die Ober- und Unterseite der Kruste durch \(z=z_t(x)\) und \(z=z_b(x)\). Ihre Werte an den Endpunkten sind

\[ z_t(0)=z_b(0)=0, \qquad z_t(\infty)=h, \qquad z_b(\infty)=h+D. \]

Die Druckfelder der Fluide lauten

\[ p_w(z)=p_O+\rho_0gz, \qquad p_m(z)=p_O+\rho_1gz. \]

Für ein Grenzflächenelement mit horizontaler Länge \(dx\) und Breite \(L\) enthält die horizontale Komponente der Druckkraft die Steigung der Oberfläche. Das obere Fluid drückt in negative \(x\)-Richtung, das untere dagegen in positive \(x\)-Richtung:

\[ dF_x =L\left[ p_m(z_b)\frac{dz_b}{dx} -p_w(z_t)\frac{dz_t}{dx} \right]dx. \]

Die Faktoren, die sich aus der geneigten Fläche und dem Einheitsnormalenvektor ergeben, heben sich auf, sodass dieser Ausdruck keine zusätzliche Näherung für kleine Steigungen erfordert. Durch Integration folgt

\[ \begin{aligned} F_x &=L\int_0^{h+D}(p_O+\rho_1gz)\,dz -L\int_0^h(p_O+\rho_0gz)\,dz\\ &=p_OLD+\frac{gL}{2} \left[\rho_1(h+D)^2-\rho_0h^2\right]. \end{aligned} \]

Gleichwertig dazu ist

\[ F_x= \frac12\rho_1gLD^2 +(p_O+\rho_1gh)LD +\frac12(\rho_1-\rho_0)gLh^2. \]

Aus A.3 folgt bei festem \(h\), dass \(D\propto k^{-1}\) gilt. Bei festem Hintergrunddruck sind diese drei Beiträge von den Ordnungen \(k^{-2}\), \(k^{-1}\) beziehungsweise \(k^0\). Der führende Term ist daher

\[ F_x\simeq\frac12\rho_1gLD^2. \]

Einsetzen des Ausdrucks für \(D\) ergibt

\[ \boxed{ F_x\simeq \frac{2gLh^2(\rho_1-\rho_0)^2}{\rho_1k^2}. } \]

Die Kraft zeigt entlang \(+x\), vom Rücken weg. Dies ist die gesamte von den Fluiden ausgeübte Kraft; es wurde keine lithostatische Kraft an einer künstlichen Schnittfläche durch die weit entfernte Kruste abgezogen.

A.5

In führender Ordnung in \(k\) besitzt die Kruste die volumetrische Wärmekapazität \(\rho_1c\). Daraus ergibt sich die Temperaturleitfähigkeit

\[ \chi=\frac{\kappa}{\rho_1c}. \]

Weit vom Rücken entfernt beträgt die maßgebliche Strecke, über die Wärme diffundieren muss, \(D\). Die Wärmeleitungsgleichung

\[ \frac{\partial T}{\partial t} =\chi\frac{\partial^2T}{\partial z^2}, \]

liefert daher die Größenordnungsabschätzung

\[ \frac{\Delta T}{\tau}\sim \chi\frac{\Delta T}{D^2}. \]

Die Temperaturdifferenz kürzt sich wie gefordert heraus:

\[ \boxed{\tau\sim\frac{D^2}{\chi} =\frac{\rho_1cD^2}{\kappa}.} \]

Mit A.3 folgt

\[ \boxed{ \tau\sim \frac{4c(\rho_1-\rho_0)^2h^2} {\kappa\rho_1k^2}. } \]

Eine Dimensionsanalyse bestimmt keinen numerischen Vorfaktor. Die Temperaturdifferenz zwischen den Oberflächen nähert sich asymptotisch null an, statt nach einer endlichen Zeit zu verschwinden.

B.1

In einem Medium, dessen Wellengeschwindigkeit nur von der Tiefe abhängt, bleibt nach dem Snelliusschen Brechungsgesetz die horizontale Langsamkeit erhalten:

\[ \frac{\sin\theta(z)}{v(z)} =\frac{\sin\theta_0}{v_0}, \]

wobei \(\theta(z)\) der lokale Winkel zur Vertikalen ist. Da

\[ v(z)=v_0\frac{z+z_0}{z_0}, \]

erhalten wir

\[ \sin\theta(z) =\frac{z+z_0}{z_0}\sin\theta_0. \]

Wir definieren

\[ R=\frac{z_0}{\sin\theta_0}. \]

Auf dem absteigenden Abschnitt des Strahls gilt

\[ \frac{dx}{dz}=\tan\theta =\frac{z+z_0}{\sqrt{R^2-(z+z_0)^2}}. \]

Integration mit \(x=0\) bei \(z=0\) ergibt

\[ x=\sqrt{R^2-z_0^2} -\sqrt{R^2-(z+z_0)^2}. \]

Die Bahn liegt somit auf dem Kreis

\[ (x-x_c)^2+(z+z_0)^2=R^2, \]

dessen Mittelpunkt folgende Koordinaten hat:

\[ x_c=\sqrt{R^2-z_0^2}=z_0\cot\theta_0, \qquad z_c=-z_0. \]

Der Strahl kehrt am tiefsten Punkt dieses Kreises um und kehrt symmetrisch zur Oberfläche zurück. Seine beiden Schnittpunkte mit \(z=0\) liegen bei \(x=0\) und \(x=2x_c\). Daher gilt

\[ \boxed{x_1(\theta_0)=2z_0\cot\theta_0,} \]

und

\[ \boxed{A=2z_0,\qquad b=1.} \]

Die Geschwindigkeit \(v_0\) an der Oberfläche beeinflusst die Laufzeiten, kürzt sich jedoch bei der Bestimmung der Strahlgeometrie heraus.

B.2

Die nach unten gerichtete Halbebene umfasst einen Winkelbereich von \(\pi\). Bei gleichmäßiger Emission entfällt daher die Energie pro Längeneinheit der Quelle

\[ dE=\frac{E}{\pi}\,d\theta \]

auf ein Winkelintervall \(d\theta\).

Für Strahlen, die bei \(x>0\) zurückkehren, gilt

\[ x=2z_0\cot\theta, \qquad \left|\frac{dx}{d\theta}\right| =2z_0\csc^2\theta. \]

Die Energieerhaltung zwischen dem ausgesandten Winkelintervall und dem zugehörigen empfangenden Oberflächenstreifen ergibt

\[ \varepsilon(x)\,dx =\frac{E}{\pi}|d\theta|. \]

Somit gilt

\[ \varepsilon(x) =\frac{E}{2\pi z_0}\sin^2\theta. \]

Mit

\[ \cot\theta=\frac{x}{2z_0}, \qquad \sin^2\theta=\frac{1}{1+x^2/(4z_0^2)}, \]

erhalten wir

\[ \boxed{\varepsilon(x) =\frac{2Ez_0}{\pi(x^2+4z_0^2)}.} \]

Für die nach links gerichtete Emission ergibt sich derselbe Ausdruck für \(x<0\). Die Normierung lautet

\[ \int_{-\infty}^{\infty}\varepsilon(x)\,dx =\frac{E}{\pi} \left[\arctan\frac{x}{2z_0}\right]_{-\infty}^{\infty} =E. \]

Zur geforderten Skizze: Die Kurve ist glatt und symmetrisch bezüglich \(x=0\) und besitzt ein einziges Maximum \(E/(2\pi z_0)\). Bei \(x=\pm2z_0\) beträgt ihre Höhe \(E/(4\pi z_0)\), sodass ihre volle Halbwertsbreite \(4z_0\) beträgt. Sie bleibt für jedes endliche \(x\) positiv, und ihre Ausläufer erfüllen

\[ \varepsilon(x)\sim\frac{2Ez_0}{\pi x^2} \qquad (|x|\gg z_0). \]

Da \(E\) die Energie pro Längeneinheit der Quelle ist, hat \(\varepsilon\) die Einheit Energie pro Flächeneinheit.

B.3

Bei einer spiegelnden Reflexion an der Oberfläche kehrt sich die vertikale Komponente der Strahlgeschwindigkeit um, während ihre horizontale Komponente erhalten bleibt. Jeder Strahl durchläuft daher wiederholt denselben, jeweils horizontal verschobenen Kreisbogen. Er trifft an den Stellen

\[ x_n(\theta)=n\ell(\theta), \qquad \ell(\theta)=2z_0\cot\theta, \qquad n=1,2,\ldots. \]

auf die Oberfläche.

Sei

\[ \theta_\pm=\theta_0\pm\frac{\delta\theta_0}{2}. \]

Für ein Winkelband, das vollständig innerhalb von \(0<\theta<\pi/2\) liegt, sind der kürzeste und der längste Abstand zwischen aufeinanderfolgenden Auftreffpunkten an der Oberfläche

\[ \ell_{\min}=2z_0\cot\theta_+, \qquad \ell_{\max}=2z_0\cot\theta_-. \]

Da das Strahlenbündel das Winkelintervall ausfüllt, ist das beim \(n\)-ten Auftreffen erreichte Oberflächenintervall

\[ I_n=[n\ell_{\min},\,n\ell_{\max}]. \]

Zwischen \(I_n\) und \(I_{n+1}\) besteht genau dann eine Lücke, wenn

\[ n\ell_{\max}<(n+1)\ell_{\min}, \]

oder

\[ n(\ell_{\max}-\ell_{\min})<\ell_{\min}. \]

Setzen wir \(\Delta\ell=\ell_{\max}-\ell_{\min}\). Sobald \(n\Delta\ell\ge\ell_{\min}\) gilt, überlappen sich benachbarte Intervalle, und dies gilt auch für jedes größere \(n\). Folglich ist die exakte äußere Grenze der letzten Lücke

\[ \boxed{ x_{\max} =\ell_{\min} \left\lceil\frac{\ell_{\min}}{\Delta\ell}\right\rceil. } \]

Die Aufrundungsfunktion berücksichtigt die ganzzahlige Anzahl der Auftreffvorgänge an der Oberfläche. Die Grenze selbst wird erreicht; nicht erreichte Punkte nähern sich ihr von unten an.

Für die geforderte Näherung eines schmalen Winkelbands gilt

\[ \ell_0=2z_0\cot\theta_0, \]

und

\[ \Delta\ell \simeq \left|\frac{d\ell}{d\theta}\right|_{\theta_0} \delta\theta_0 = 2z_0\csc^2\theta_0\,\delta\theta_0. \]

Bei festem \(\theta_0\) sind für ein hinreichend schmales Winkelband viele Reflexionen erforderlich, bevor sich die Intervalle überlappen. In führender Ordnung kann die ganzzahlige Rundung dann vernachlässigt werden:

\[ x_{\max}\simeq\frac{\ell_0^2}{\Delta\ell}. \]

Daher gilt

\[ \boxed{ x_{\max}\simeq \frac{(2z_0\cot\theta_0)^2} {2z_0\csc^2\theta_0\,\delta\theta_0} = \frac{2z_0\cos^2\theta_0}{\delta\theta_0}. } \]

Die Lösung wurde mit der offiziellen Lösung abgeglichen.

Çözüm

A.1

Yağ sütununun levhaların alt kenarlarından itibaren yüksekliği \(H\) olsun. Bu kenarlarda yağ ve su basınçları eşit olmalıdır. Atmosfer basıncı çıkarıldığında,

\[ \rho_{\mathrm{oil}}gH=\rho_0gh, \qquad H=\frac{\rho_0}{\rho_{\mathrm{oil}}}h. \]

Yüksekliği \(a\) ve yoğunluğu \(\rho\) olan bir akışkan sütunu, düşey bir levhaya

\[ w\int_0^a \rho g(a-u)\,du=\frac12\rho gwa^2 \]

yatay kuvvetini uygular; burada \(u\), sütunun tabanından itibaren yüksekliği ölçer.

Yağ, sağ levhayı \(+x\) yönüne; su ise \(-x\) yönüne iter. Atmosfer basıncının iki taraftaki etkileri birbirini götürür. Dışarıdaki su seviyesinin üzerindeki yağ da hesaba katıldığında

\[ F_x=\frac{gw}{2} \left(\rho_{\mathrm{oil}}H^2-\rho_0h^2\right). \]

\(H\) yerine ifadesini koyarsak,

\[ \boxed{F_x= \frac{\rho_0gwh^2}{2} \left(\frac{\rho_0}{\rho_{\mathrm{oil}}}-1\right)>0.} \]

Dolayısıyla levha dışarıya doğru itilir.

A.2

Boyutsuz sıcaklık farkını şöyle tanımlayalım:

\[ q=\frac{T_1-T}{T_1-T_0}. \]

İzotropik genleşme, üç doğrusal boyutun tümünü aynı çarpanla değiştirir. Dolayısıyla,

\[ \frac{V(T)}{V(T_1)}=(1-k_lq)^3. \]

Kütle korunur ve \(T_1\)'deki referans yoğunluk \(\rho_1\)'dir; bu nedenle

\[ \rho(T)=\rho_1(1-k_lq)^{-3}. \]

Verilen açılımı kullanıp \(k_l^2\) mertebesindeki terimleri ihmal edersek,

\[ \rho(T)\approx\rho_1(1+3k_lq). \]

Denklem (2) ile karşılaştırma sonucunda

\[ \boxed{k=3k_l.} \]

A.3

Şekil 2'deki aşağıya yönelmiş \(z\) eksenini kullanalım. Sırttan uzakta yer kabuğu \(z=h\)'den \(z=h+D\)'ye kadar uzanır. Sıcaklığı

\[ T(z)=T_0+(T_1-T_0)\frac{z-h}{D}, \]

ve dolayısıyla yoğunluğu

\[ \rho(z)\approx \rho_1\left[1+k\left(1-\frac{z-h}{D}\right)\right]. \]

Ortalama yoğunluğu ise

\[ \overline{\rho} =\frac1D\int_h^{h+D}\rho(z)\,dz =\rho_1\left(1+\frac{k}{2}\right). \]

Yer kabuğunun kalınlığının sıfır olduğu sırt tepesindeki ortak akışkan basıncı \(p_O\) olsun. Hidrostatik denge, uzaktaki yer kabuğunun hemen üstündeki ve altındaki basınçları verir:

\[ p_{\mathrm{top}}=p_O+\rho_0gh, \]

\[ p_{\mathrm{bottom}}=p_O+\rho_1g(h+D). \]

Uzaktaki yatay yer kabuğundan alınan bir sütun üzerinde düşey kuvvet dengesi şu koşulu gerektirir:

\[ p_{\mathrm{bottom}}-p_{\mathrm{top}} =\overline{\rho}\,gD. \]

Böylece

\[ \rho_1(h+D)-\rho_0h =\rho_1D\left(1+\frac{k}{2}\right). \]

Ortak \(\rho_1D\) terimi sadeleştirildikten sonra,

\[ (\rho_1-\rho_0)h=\frac12\rho_1kD, \]

dolayısıyla

\[ \boxed{D=\frac{2(\rho_1-\rho_0)h}{\rho_1k}.} \]

A.4

Gerçek su–yer kabuğu ve manto–yer kabuğu ara yüzeylerindeki basınç kuvvetlerini hesaplayalım.

Yer kabuğunun üst ve alt yüzeylerini \(z=z_t(x)\) ve \(z=z_b(x)\) olarak yazalım. Uç noktalardaki değerleri şöyledir:

\[ z_t(0)=z_b(0)=0, \qquad z_t(\infty)=h, \qquad z_b(\infty)=h+D. \]

Akışkanların basınç alanları

\[ p_w(z)=p_O+\rho_0gz, \qquad p_m(z)=p_O+\rho_1gz. \]

Yatay uzunluğu \(dx\) ve genişliği \(L\) olan bir ara yüzey elemanı için basınç kuvvetinin yatay bileşeni, yüzeyin eğimini içerir. Üstteki akışkan negatif \(x\) yönüne, alttaki akışkan ise pozitif \(x\) yönüne iter:

\[ dF_x =L\left[ p_m(z_b)\frac{dz_b}{dx} -p_w(z_t)\frac{dz_t}{dx} \right]dx. \]

Eğimli yüzey alanından ve birim normalden gelen çarpanlar birbirini götürür; dolayısıyla bu ifade ek bir küçük eğim yaklaşımı gerektirmez. İntegral alındığında,

\[ \begin{aligned} F_x &=L\int_0^{h+D}(p_O+\rho_1gz)\,dz -L\int_0^h(p_O+\rho_0gz)\,dz\\ &=p_OLD+\frac{gL}{2} \left[\rho_1(h+D)^2-\rho_0h^2\right]. \end{aligned} \]

Eşdeğer olarak,

\[ F_x= \frac12\rho_1gLD^2 +(p_O+\rho_1gh)LD +\frac12(\rho_1-\rho_0)gLh^2. \]

A.3'e göre, sabit \(h\) için \(D\propto k^{-1}\)'dir. Arka plan basıncı sabit tutulduğunda bu üç katkı sırasıyla \(k^{-2}\), \(k^{-1}\) ve \(k^0\) mertebesindedir. Dolayısıyla başat terim

\[ F_x\simeq\frac12\rho_1gLD^2. \]

\(D\) yerine ifadesini koyarsak,

\[ \boxed{ F_x\simeq \frac{2gLh^2(\rho_1-\rho_0)^2}{\rho_1k^2}. } \]

Kuvvet sırttan uzağa, \(+x\) yönüne doğrudur. Bu, akışkanların uyguladığı toplam kuvvettir; uzaktaki yer kabuğundan geçen yapay bir kesit üzerindeki herhangi bir litostatik kuvvet çıkarılmamıştır.

A.5

\(k\)'ya göre başat mertebede yer kabuğunun hacimsel ısı kapasitesi \(\rho_1c\)'dir; bu da ısıl yayınım katsayısını verir:

\[ \chi=\frac{\kappa}{\rho_1c}. \]

Sırttan uzakta, ısının yayılması gereken ilgili uzaklık \(D\)'dir. Bu nedenle ısı denklemi,

\[ \frac{\partial T}{\partial t} =\chi\frac{\partial^2T}{\partial z^2}, \]

şu ölçek tahminini verir:

\[ \frac{\Delta T}{\tau}\sim \chi\frac{\Delta T}{D^2}. \]

Gerektiği gibi sıcaklık farkı sadeleşir:

\[ \boxed{\tau\sim\frac{D^2}{\chi} =\frac{\rho_1cD^2}{\kappa}.} \]

A.3 kullanıldığında,

\[ \boxed{ \tau\sim \frac{4c(\rho_1-\rho_0)^2h^2} {\kappa\rho_1k^2}. } \]

Boyut analizi sayısal bir ön çarpan belirlemez. Yüzey sıcaklıkları arasındaki fark, sonlu bir zamanda sıfır olmak yerine asimptotik olarak sıfıra yaklaşır.

B.1

Dalga hızının yalnızca derinliğe bağlı olduğu bir ortamda Snell yasası, yatay yavaşlık bileşenini korur:

\[ \frac{\sin\theta(z)}{v(z)} =\frac{\sin\theta_0}{v_0}, \]

burada \(\theta(z)\), düşeyle yapılan yerel açıdır.

\[ v(z)=v_0\frac{z+z_0}{z_0}, \]

olduğundan,

\[ \sin\theta(z) =\frac{z+z_0}{z_0}\sin\theta_0. \]

Şunu tanımlayalım:

\[ R=\frac{z_0}{\sin\theta_0}. \]

Işının aşağıya ilerleyen kısmında,

\[ \frac{dx}{dz}=\tan\theta =\frac{z+z_0}{\sqrt{R^2-(z+z_0)^2}}. \]

\(z=0\)'da \(x=0\) koşuluyla integral alındığında

\[ x=\sqrt{R^2-z_0^2} -\sqrt{R^2-(z+z_0)^2}. \]

Dolayısıyla yörünge,

\[ (x-x_c)^2+(z+z_0)^2=R^2, \]

çemberi üzerinde yer alır; bu çemberin merkezinin koordinatları

\[ x_c=\sqrt{R^2-z_0^2}=z_0\cot\theta_0, \qquad z_c=-z_0. \]

Işın bu çemberin en derin noktasında yön değiştirir ve simetrik olarak yüzeye döner. \(z=0\) ile iki kesişimi \(x=0\) ve \(x=2x_c\)'dir. Bu nedenle

\[ \boxed{x_1(\theta_0)=2z_0\cot\theta_0,} \]

ve

\[ \boxed{A=2z_0,\qquad b=1.} \]

Yüzeydeki hız \(v_0\), ilerleme sürelerini etkiler; ancak ışın geometrisini belirleyen ifadelerde sadeleşir.

B.2

Aşağıya doğru olan yarı düzlem, \(\pi\) büyüklüğünde bir açı aralığını kapsar. Dolayısıyla düzgün yayılım, kaynağın birim uzunluğu başına

\[ dE=\frac{E}{\pi}\,d\theta \]

enerjisini \(d\theta\) açısal aralığına atar.

\(x>0\)'da geri dönen ışınlar için,

\[ x=2z_0\cot\theta, \qquad \left|\frac{dx}{d\theta}\right| =2z_0\csc^2\theta. \]

Yayılımın gerçekleştiği açı aralığı ile bu enerjiyi alan yüzey şeridi arasındaki enerji korunumu şu bağıntıyı verir:

\[ \varepsilon(x)\,dx =\frac{E}{\pi}|d\theta|. \]

Böylece

\[ \varepsilon(x) =\frac{E}{2\pi z_0}\sin^2\theta. \]

Şu bağıntıları kullanarak

\[ \cot\theta=\frac{x}{2z_0}, \qquad \sin^2\theta=\frac{1}{1+x^2/(4z_0^2)}, \]

şunu buluruz:

\[ \boxed{\varepsilon(x) =\frac{2Ez_0}{\pi(x^2+4z_0^2)}.} \]

Sola doğru yayılım, \(x<0\) için aynı ifadeyi verir. Normalizasyonu şöyledir:

\[ \int_{-\infty}^{\infty}\varepsilon(x)\,dx =\frac{E}{\pi} \left[\arctan\frac{x}{2z_0}\right]_{-\infty}^{\infty} =E. \]

İstenen kaba çizim için: eğri düzgündür ve \(x=0\)'a göre simetriktir; tek maksimum değeri \(E/(2\pi z_0)\)'dır. \(x=\pm2z_0\)'da yüksekliği \(E/(4\pi z_0)\) olduğundan, yarı maksimumdaki tam genişliği \(4z_0\)'dır. Her sonlu \(x\) için pozitif kalır ve kuyrukları şu bağıntıyı sağlar:

\[ \varepsilon(x)\sim\frac{2Ez_0}{\pi x^2} \qquad (|x|\gg z_0). \]

\(E\), kaynağın birim uzunluğu başına enerji olduğundan, \(\varepsilon\)'un birimi birim alan başına enerjidir.

B.3

Yüzeydeki düzgün yansımada, ışın hızının düşey bileşeni yön değiştirirken yatay bileşeni korunur. Dolayısıyla her ışın, yatay olarak ötelenmiş aynı yayı tekrarlar. Yüzeyle karşılaşmaları şu konumlarda gerçekleşir:

\[ x_n(\theta)=n\ell(\theta), \qquad \ell(\theta)=2z_0\cot\theta, \qquad n=1,2,\ldots. \]

Şöyle tanımlayalım:

\[ \theta_\pm=\theta_0\pm\frac{\delta\theta_0}{2}. \]

Tamamı \(0<\theta<\pi/2\) içinde kalan bir bant için, yüzeyle ardışık karşılaşmalar arasındaki en kısa ve en uzun uzaklıklar

\[ \ell_{\min}=2z_0\cot\theta_+, \qquad \ell_{\max}=2z_0\cot\theta_-. \]

Demet açı aralığını doldurduğundan, \(n\). karşılaşmada ulaşılan yüzey aralığı

\[ I_n=[n\ell_{\min},\,n\ell_{\max}]. \]

\(I_n\) ile \(I_{n+1}\) arasında bir boşluk bulunması için gerekli ve yeterli koşul

\[ n\ell_{\max}<(n+1)\ell_{\min}, \]

veya

\[ n(\ell_{\max}-\ell_{\min})<\ell_{\min}. \]

\(\Delta\ell=\ell_{\max}-\ell_{\min}\) olarak tanımlayalım. \(n\Delta\ell\ge\ell_{\min}\) olduğunda komşu aralıklar örtüşür ve daha büyük her \(n\) için örtüşmeye devam eder. Sonuç olarak son boşluğun kesin dış sınırı

\[ \boxed{ x_{\max} =\ell_{\min} \left\lceil\frac{\ell_{\min}}{\Delta\ell}\right\rceil. } \]

Tavan fonksiyonu, yüzeyle karşılaşma sayısının tam sayı olmasını hesaba katar. Sınırın kendisine ulaşılır; ulaşılmayan noktalar bu sınıra daha küçük uzaklıklardan yaklaşır.

İstenen dar bant yaklaşımı için,

\[ \ell_0=2z_0\cot\theta_0, \]

ve

\[ \Delta\ell \simeq \left|\frac{d\ell}{d\theta}\right|_{\theta_0} \delta\theta_0 = 2z_0\csc^2\theta_0\,\delta\theta_0. \]

Sabit \(\theta_0\) için yeterince dar bir bantta, aralıklar örtüşmeden önce çok sayıda yansıma gerekir. Bu durumda başat mertebede tam sayıya yuvarlama ihmal edilebilir:

\[ x_{\max}\simeq\frac{\ell_0^2}{\Delta\ell}. \]

Dolayısıyla

\[ \boxed{ x_{\max}\simeq \frac{(2z_0\cot\theta_0)^2} {2z_0\csc^2\theta_0\,\delta\theta_0} = \frac{2z_0\cos^2\theta_0}{\delta\theta_0}. } \]

Çözüm, resmi çözümle karşılaştırılarak kontrol edildi.

Solución

A.1

Sea \(H\) la altura de la columna de aceite sobre los bordes inferiores de las placas. En esos bordes, las presiones del aceite y del agua deben coincidir. Restando la presión atmosférica,

\[ \rho_{\mathrm{oil}}gH=\rho_0gh, \qquad H=\frac{\rho_0}{\rho_{\mathrm{oil}}}h. \]

Una columna de fluido de altura \(a\) y densidad \(\rho\) ejerce una fuerza horizontal

\[ w\int_0^a \rho g(a-u)\,du=\frac12\rho gwa^2 \]

sobre una placa vertical, donde \(u\) mide la altura sobre la base de la columna.

El aceite empuja la placa derecha hacia \(+x\); el agua la empuja hacia \(-x\). La presión atmosférica se cancela entre ambos lados. Al incluir el aceite situado por encima del nivel exterior del agua, se obtiene

\[ F_x=\frac{gw}{2} \left(\rho_{\mathrm{oil}}H^2-\rho_0h^2\right). \]

Sustituyendo \(H\),

\[ \boxed{F_x= \frac{\rho_0gwh^2}{2} \left(\frac{\rho_0}{\rho_{\mathrm{oil}}}-1\right)>0.} \]

Por tanto, la placa es empujada hacia fuera.

A.2

Definimos la diferencia de temperatura adimensional

\[ q=\frac{T_1-T}{T_1-T_0}. \]

La dilatación isótropa modifica las tres dimensiones lineales por el mismo factor. En consecuencia,

\[ \frac{V(T)}{V(T_1)}=(1-k_lq)^3. \]

La masa se conserva y la densidad de referencia a \(T_1\) es \(\rho_1\), de modo que

\[ \rho(T)=\rho_1(1-k_lq)^{-3}. \]

Utilizando el desarrollo dado y despreciando los términos de orden \(k_l^2\),

\[ \rho(T)\approx\rho_1(1+3k_lq). \]

La comparación con la ecuación (2) da

\[ \boxed{k=3k_l.} \]

A.3

Utilizamos el eje \(z\) de la Fig. 2, que apunta hacia abajo. Lejos de la dorsal, la corteza se extiende desde \(z=h\) hasta \(z=h+D\). Su temperatura es

\[ T(z)=T_0+(T_1-T_0)\frac{z-h}{D}, \]

y, por tanto, su densidad es

\[ \rho(z)\approx \rho_1\left[1+k\left(1-\frac{z-h}{D}\right)\right]. \]

Su densidad media es

\[ \overline{\rho} =\frac1D\int_h^{h+D}\rho(z)\,dz =\rho_1\left(1+\frac{k}{2}\right). \]

Sea \(p_O\) la presión común de los fluidos en la cima de la dorsal, donde la corteza tiene espesor nulo. El equilibrio hidrostático da las presiones inmediatamente por encima y por debajo de la corteza lejana:

\[ p_{\mathrm{top}}=p_O+\rho_0gh, \]

\[ p_{\mathrm{bottom}}=p_O+\rho_1g(h+D). \]

El equilibrio de fuerzas verticales sobre una columna de corteza horizontal alejada exige

\[ p_{\mathrm{bottom}}-p_{\mathrm{top}} =\overline{\rho}\,gD. \]

Así,

\[ \rho_1(h+D)-\rho_0h =\rho_1D\left(1+\frac{k}{2}\right). \]

Tras cancelar el término común \(\rho_1D\),

\[ (\rho_1-\rho_0)h=\frac12\rho_1kD, \]

de modo que

\[ \boxed{D=\frac{2(\rho_1-\rho_0)h}{\rho_1k}.} \]

A.4

Calculamos las fuerzas de presión sobre las interfaces reales agua–corteza y manto–corteza.

Escribimos las superficies superior e inferior de la corteza como \(z=z_t(x)\) y \(z=z_b(x)\). Sus valores en los extremos son

\[ z_t(0)=z_b(0)=0, \qquad z_t(\infty)=h, \qquad z_b(\infty)=h+D. \]

Los campos de presión de los fluidos son

\[ p_w(z)=p_O+\rho_0gz, \qquad p_m(z)=p_O+\rho_1gz. \]

Para un elemento de interfaz de longitud horizontal \(dx\) y anchura \(L\), la componente horizontal de la fuerza de presión contiene la pendiente de la superficie. El fluido superior empuja hacia los valores negativos de \(x\), mientras que el fluido inferior empuja hacia los valores positivos de \(x\):

\[ dF_x =L\left[ p_m(z_b)\frac{dz_b}{dx} -p_w(z_t)\frac{dz_t}{dx} \right]dx. \]

Los factores procedentes del área de la superficie inclinada y del vector normal unitario se cancelan, por lo que esta expresión no requiere una aproximación adicional de pendiente pequeña. Integrando,

\[ \begin{aligned} F_x &=L\int_0^{h+D}(p_O+\rho_1gz)\,dz -L\int_0^h(p_O+\rho_0gz)\,dz\\ &=p_OLD+\frac{gL}{2} \left[\rho_1(h+D)^2-\rho_0h^2\right]. \end{aligned} \]

Equivalentemente,

\[ F_x= \frac12\rho_1gLD^2 +(p_O+\rho_1gh)LD +\frac12(\rho_1-\rho_0)gLh^2. \]

Según A.3, \(D\propto k^{-1}\) para \(h\) fijo. Con la presión de fondo fija, estas tres contribuciones son, respectivamente, de órdenes \(k^{-2}\), \(k^{-1}\) y \(k^0\). Por tanto, el término dominante es

\[ F_x\simeq\frac12\rho_1gLD^2. \]

Sustituyendo la expresión de \(D\),

\[ \boxed{ F_x\simeq \frac{2gLh^2(\rho_1-\rho_0)^2}{\rho_1k^2}. } \]

Apunta a lo largo de \(+x\), alejándose de la dorsal. Esta es la fuerza total ejercida por los fluidos; no se ha restado ninguna fuerza litostática sobre un corte artificial a través de la corteza lejana.

A.5

Al orden dominante en \(k\), la corteza tiene una capacidad calorífica volumétrica \(\rho_1c\), lo que da la difusividad térmica

\[ \chi=\frac{\kappa}{\rho_1c}. \]

Lejos de la dorsal, la distancia relevante a lo largo de la cual debe difundirse el calor es \(D\). La ecuación del calor,

\[ \frac{\partial T}{\partial t} =\chi\frac{\partial^2T}{\partial z^2}, \]

da, por tanto, la estimación de escala

\[ \frac{\Delta T}{\tau}\sim \chi\frac{\Delta T}{D^2}. \]

La diferencia de temperatura se cancela, como se requiere:

\[ \boxed{\tau\sim\frac{D^2}{\chi} =\frac{\rho_1cD^2}{\kappa}.} \]

Utilizando A.3,

\[ \boxed{ \tau\sim \frac{4c(\rho_1-\rho_0)^2h^2} {\kappa\rho_1k^2}. } \]

El análisis dimensional no determina un prefactor numérico. La diferencia de temperatura entre las superficies se aproxima a cero asintóticamente, en lugar de anularse en un tiempo finito.

B.1

En un medio cuya velocidad de onda depende únicamente de la profundidad, la ley de Snell conserva la lentitud horizontal:

\[ \frac{\sin\theta(z)}{v(z)} =\frac{\sin\theta_0}{v_0}, \]

donde \(\theta(z)\) es el ángulo local con la vertical. Puesto que

\[ v(z)=v_0\frac{z+z_0}{z_0}, \]

obtenemos

\[ \sin\theta(z) =\frac{z+z_0}{z_0}\sin\theta_0. \]

Definimos

\[ R=\frac{z_0}{\sin\theta_0}. \]

En la parte descendente del rayo,

\[ \frac{dx}{dz}=\tan\theta =\frac{z+z_0}{\sqrt{R^2-(z+z_0)^2}}. \]

La integración con \(x=0\) en \(z=0\) da

\[ x=\sqrt{R^2-z_0^2} -\sqrt{R^2-(z+z_0)^2}. \]

Así, la trayectoria pertenece a la circunferencia

\[ (x-x_c)^2+(z+z_0)^2=R^2, \]

cuyo centro tiene las coordenadas

\[ x_c=\sqrt{R^2-z_0^2}=z_0\cot\theta_0, \qquad z_c=-z_0. \]

El rayo cambia de sentido vertical en el punto más profundo de esta circunferencia y regresa simétricamente a la superficie. Sus dos intersecciones con \(z=0\) son \(x=0\) y \(x=2x_c\). Por tanto,

\[ \boxed{x_1(\theta_0)=2z_0\cot\theta_0,} \]

y

\[ \boxed{A=2z_0,\qquad b=1.} \]

La velocidad en la superficie \(v_0\) afecta a los tiempos de recorrido, pero se cancela en la geometría del rayo.

B.2

El semiplano inferior abarca un intervalo angular \(\pi\). Por tanto, la emisión uniforme asigna una energía por unidad de longitud de la fuente

\[ dE=\frac{E}{\pi}\,d\theta \]

a un intervalo angular \(d\theta\).

Para los rayos que regresan en \(x>0\),

\[ x=2z_0\cot\theta, \qquad \left|\frac{dx}{d\theta}\right| =2z_0\csc^2\theta. \]

La conservación de la energía entre el intervalo angular emitido y la franja de superficie que lo recibe da

\[ \varepsilon(x)\,dx =\frac{E}{\pi}|d\theta|. \]

Por tanto,

\[ \varepsilon(x) =\frac{E}{2\pi z_0}\sin^2\theta. \]

Utilizando

\[ \cot\theta=\frac{x}{2z_0}, \qquad \sin^2\theta=\frac{1}{1+x^2/(4z_0^2)}, \]

obtenemos

\[ \boxed{\varepsilon(x) =\frac{2Ez_0}{\pi(x^2+4z_0^2)}.} \]

La emisión hacia la izquierda da la misma expresión para \(x<0\). Su normalización es

\[ \int_{-\infty}^{\infty}\varepsilon(x)\,dx =\frac{E}{\pi} \left[\arctan\frac{x}{2z_0}\right]_{-\infty}^{\infty} =E. \]

Para el esbozo solicitado: la curva es suave y simétrica respecto a \(x=0\), con un único máximo \(E/(2\pi z_0)\). En \(x=\pm2z_0\), su altura es \(E/(4\pi z_0)\), por lo que su anchura total a media altura es \(4z_0\). Se mantiene positiva para todo \(x\) finito, y sus colas satisfacen

\[ \varepsilon(x)\sim\frac{2Ez_0}{\pi x^2} \qquad (|x|\gg z_0). \]

Como \(E\) es la energía por unidad de longitud de la fuente, \(\varepsilon\) tiene unidades de energía por unidad de área.

B.3

En una reflexión especular en la superficie, la componente vertical de la velocidad del rayo invierte su sentido, mientras que su componente horizontal se conserva. Por tanto, cada rayo repite el mismo arco, trasladado horizontalmente. Sus encuentros con la superficie se producen en

\[ x_n(\theta)=n\ell(\theta), \qquad \ell(\theta)=2z_0\cot\theta, \qquad n=1,2,\ldots. \]

Sea

\[ \theta_\pm=\theta_0\pm\frac{\delta\theta_0}{2}. \]

Para una banda situada completamente dentro de \(0<\theta<\pi/2\), las distancias mínima y máxima entre encuentros sucesivos con la superficie son

\[ \ell_{\min}=2z_0\cot\theta_+, \qquad \ell_{\max}=2z_0\cot\theta_-. \]

Como el haz ocupa todo el intervalo angular, el intervalo de la superficie alcanzado en el encuentro número \(n\) es

\[ I_n=[n\ell_{\min},\,n\ell_{\max}]. \]

Existe un hueco entre \(I_n\) e \(I_{n+1}\) precisamente cuando

\[ n\ell_{\max}<(n+1)\ell_{\min}, \]

o bien

\[ n(\ell_{\max}-\ell_{\min})<\ell_{\min}. \]

Definimos \(\Delta\ell=\ell_{\max}-\ell_{\min}\). Una vez que \(n\Delta\ell\ge\ell_{\min}\), los intervalos adyacentes se solapan y siguen solapándose para todo \(n\) mayor. En consecuencia, el límite exterior exacto del último hueco es

\[ \boxed{ x_{\max} =\ell_{\min} \left\lceil\frac{\ell_{\min}}{\Delta\ell}\right\rceil. } \]

La función techo tiene en cuenta el número entero de encuentros con la superficie. El propio límite sí se alcanza; los puntos no alcanzados se aproximan a él por debajo.

Para la aproximación de banda estrecha solicitada,

\[ \ell_0=2z_0\cot\theta_0, \]

y

\[ \Delta\ell \simeq \left|\frac{d\ell}{d\theta}\right|_{\theta_0} \delta\theta_0 = 2z_0\csc^2\theta_0\,\delta\theta_0. \]

Para \(\theta_0\) fijo, una banda suficientemente estrecha requiere muchas reflexiones antes de que los intervalos se solapen. Al orden dominante, puede entonces despreciarse el redondeo a un entero:

\[ x_{\max}\simeq\frac{\ell_0^2}{\Delta\ell}. \]

Por tanto,

\[ \boxed{ x_{\max}\simeq \frac{(2z_0\cot\theta_0)^2} {2z_0\csc^2\theta_0\,\delta\theta_0} = \frac{2z_0\cos^2\theta_0}{\delta\theta_0}. } \]

La solución se comprobó con la solución oficial.

解答

A.1

设 \(H\) 为油柱在板下边缘以上的高度。在这些边缘处，油和水的压强必须相等。减去大气压后，

\[ \rho_{\mathrm{oil}}gH=\rho_0gh, \qquad H=\frac{\rho_0}{\rho_{\mathrm{oil}}}h. \]

高度为 \(a\)、密度为 \(\rho\) 的流体柱对竖直板施加的水平力为

\[ w\int_0^a \rho g(a-u)\,du=\frac12\rho gwa^2 \]

其中 \(u\) 表示距流体柱底部的高度。

油将右侧板推向 \(+x\) 方向；水将其推向 \(-x\) 方向。两侧的大气压作用相互抵消。计入外侧水面以上的油，可得

\[ F_x=\frac{gw}{2} \left(\rho_{\mathrm{oil}}H^2-\rho_0h^2\right). \]

代入 \(H\)，

\[ \boxed{F_x= \frac{\rho_0gwh^2}{2} \left(\frac{\rho_0}{\rho_{\mathrm{oil}}}-1\right)>0.} \]

因此，板被向外推。

A.2

定义无量纲温差

\[ q=\frac{T_1-T}{T_1-T_0}. \]

各向同性膨胀使三个方向的线度均按相同的比例变化。因此，

\[ \frac{V(T)}{V(T_1)}=(1-k_lq)^3. \]

质量守恒，且 \(T_1\) 时的参考密度为 \(\rho_1\)，故

\[ \rho(T)=\rho_1(1-k_lq)^{-3}. \]

利用题给的展开式并忽略 \(k_l^2\) 阶的项，

\[ \rho(T)\approx\rho_1(1+3k_lq). \]

与式 (2) 比较可得

\[ \boxed{k=3k_l.} \]

A.3

采用图 2 中指向下方的 \(z\) 轴。远离洋中脊处，地壳从 \(z=h\) 延伸至 \(z=h+D\)。其温度为

\[ T(z)=T_0+(T_1-T_0)\frac{z-h}{D}, \]

因此，其密度为

\[ \rho(z)\approx \rho_1\left[1+k\left(1-\frac{z-h}{D}\right)\right]. \]

其平均密度为

\[ \overline{\rho} =\frac1D\int_h^{h+D}\rho(z)\,dz =\rho_1\left(1+\frac{k}{2}\right). \]

设 \(p_O\) 为洋中脊顶部两种流体共同的压强，该处地壳厚度为零。由流体静力平衡可得，远处地壳紧邻上、下表面的压强分别为：

\[ p_{\mathrm{top}}=p_O+\rho_0gh, \]

\[ p_{\mathrm{bottom}}=p_O+\rho_1g(h+D). \]

远处水平地壳中的一个柱状单元在竖直方向上的受力平衡要求

\[ p_{\mathrm{bottom}}-p_{\mathrm{top}} =\overline{\rho}\,gD. \]

因此

\[ \rho_1(h+D)-\rho_0h =\rho_1D\left(1+\frac{k}{2}\right). \]

消去两边共有的项 \(\rho_1D\) 后，

\[ (\rho_1-\rho_0)h=\frac12\rho_1kD, \]

所以

\[ \boxed{D=\frac{2(\rho_1-\rho_0)h}{\rho_1k}.} \]

A.4

我们计算实际的水—地壳界面和地幔—地壳界面上的压力。

将地壳的上、下表面分别写为 \(z=z_t(x)\) 和 \(z=z_b(x)\)。它们的端点值为

\[ z_t(0)=z_b(0)=0, \qquad z_t(\infty)=h, \qquad z_b(\infty)=h+D. \]

流体的压强场为

\[ p_w(z)=p_O+\rho_0gz, \qquad p_m(z)=p_O+\rho_1gz. \]

对于水平长度为 \(dx\)、宽度为 \(L\) 的界面微元，压力的水平分量包含表面斜率。上方流体向 \(x\) 负方向推，下方流体则向 \(x\) 正方向推：

\[ dF_x =L\left[ p_m(z_b)\frac{dz_b}{dx} -p_w(z_t)\frac{dz_t}{dx} \right]dx. \]

倾斜表面积与单位法向量所引入的因子相互抵消，因此该表达式不需要额外采用小斜率近似。积分得

\[ \begin{aligned} F_x &=L\int_0^{h+D}(p_O+\rho_1gz)\,dz -L\int_0^h(p_O+\rho_0gz)\,dz\\ &=p_OLD+\frac{gL}{2} \left[\rho_1(h+D)^2-\rho_0h^2\right]. \end{aligned} \]

等价地，

\[ F_x= \frac12\rho_1gLD^2 +(p_O+\rho_1gh)LD +\frac12(\rho_1-\rho_0)gLh^2. \]

由 A.3 可知，在 \(h\) 固定时，\(D\propto k^{-1}\)。在背景压强固定的情况下，这三项贡献分别为 \(k^{-2}\)、\(k^{-1}\) 和 \(k^0\) 阶。因此，主导项为

\[ F_x\simeq\frac12\rho_1gLD^2. \]

代入 \(D\) 的表达式，

\[ \boxed{ F_x\simeq \frac{2gLh^2(\rho_1-\rho_0)^2}{\rho_1k^2}. } \]

其方向沿 \(+x\)，背离洋中脊。这是流体施加的总力；并未减去远处地壳内人为截面上的岩静压力。

A.5

保留关于 \(k\) 的主导阶，地壳的体积热容为 \(\rho_1c\)，相应的热扩散率为

\[ \chi=\frac{\kappa}{\rho_1c}. \]

远离洋中脊处，热量必须扩散经过的相关距离为 \(D\)。因此，热传导方程

\[ \frac{\partial T}{\partial t} =\chi\frac{\partial^2T}{\partial z^2}, \]

给出尺度估算

\[ \frac{\Delta T}{\tau}\sim \chi\frac{\Delta T}{D^2}. \]

温差如题目要求那样被消去：

\[ \boxed{\tau\sim\frac{D^2}{\chi} =\frac{\rho_1cD^2}{\kappa}.} \]

利用 A.3，

\[ \boxed{ \tau\sim \frac{4c(\rho_1-\rho_0)^2h^2} {\kappa\rho_1k^2}. } \]

量纲分析无法确定数值系数。表面温差是渐近趋于零的，而非在有限时间内消失。

B.1

在波速仅依赖于深度的介质中，斯涅尔定律使水平慢度保持不变：

\[ \frac{\sin\theta(z)}{v(z)} =\frac{\sin\theta_0}{v_0}, \]

其中 \(\theta(z)\) 是射线在该处与竖直方向的夹角。由于

\[ v(z)=v_0\frac{z+z_0}{z_0}, \]

可得

\[ \sin\theta(z) =\frac{z+z_0}{z_0}\sin\theta_0. \]

定义

\[ R=\frac{z_0}{\sin\theta_0}. \]

在射线向下传播的部分，

\[ \frac{dx}{dz}=\tan\theta =\frac{z+z_0}{\sqrt{R^2-(z+z_0)^2}}. \]

积分并使用 \(z=0\) 时 \(x=0\) 的条件，得

\[ x=\sqrt{R^2-z_0^2} -\sqrt{R^2-(z+z_0)^2}. \]

因此，轨迹位于圆

\[ (x-x_c)^2+(z+z_0)^2=R^2, \]

上，其圆心坐标为

\[ x_c=\sqrt{R^2-z_0^2}=z_0\cot\theta_0, \qquad z_c=-z_0. \]

射线在这个圆的最深处转向，并对称地返回地表。它与 \(z=0\) 的两个交点为 \(x=0\) 和 \(x=2x_c\)。因此

\[ \boxed{x_1(\theta_0)=2z_0\cot\theta_0,} \]

且

\[ \boxed{A=2z_0,\qquad b=1.} \]

地表波速 \(v_0\) 影响传播时间，但在射线的几何关系中被消去。

B.2

向下的半平面对应的角度范围为 \(\pi\)。因此，均匀发射将按波源单位长度计的能量

\[ dE=\frac{E}{\pi}\,d\theta \]

分配给角度区间 \(d\theta\)。

对于返回到 \(x>0\) 处的射线，

\[ x=2z_0\cot\theta, \qquad \left|\frac{dx}{d\theta}\right| =2z_0\csc^2\theta. \]

发射角区间与接收它的地表条带之间的能量守恒给出

\[ \varepsilon(x)\,dx =\frac{E}{\pi}|d\theta|. \]

因此

\[ \varepsilon(x) =\frac{E}{2\pi z_0}\sin^2\theta. \]

利用

\[ \cot\theta=\frac{x}{2z_0}, \qquad \sin^2\theta=\frac{1}{1+x^2/(4z_0^2)}, \]

可得

\[ \boxed{\varepsilon(x) =\frac{2Ez_0}{\pi(x^2+4z_0^2)}.} \]

向左发射的波对 \(x<0\) 给出相同的表达式。其归一化关系为

\[ \int_{-\infty}^{\infty}\varepsilon(x)\,dx =\frac{E}{\pi} \left[\arctan\frac{x}{2z_0}\right]_{-\infty}^{\infty} =E. \]

题目所要求的示意图具有如下特征：曲线光滑且关于 \(x=0\) 对称，只有一个最大值 \(E/(2\pi z_0)\)。在 \(x=\pm2z_0\) 处，其高度为 \(E/(4\pi z_0)\)，因此半高全宽为 \(4z_0\)。它在任意有限的 \(x\) 处均为正，其尾部满足

\[ \varepsilon(x)\sim\frac{2Ez_0}{\pi x^2} \qquad (|x|\gg z_0). \]

由于 \(E\) 是按波源单位长度计的能量，\(\varepsilon\) 的单位是单位面积的能量。

B.3

在地表发生镜面反射时，射线速度的竖直分量反向，而水平分量保持不变。因此，每条射线都会重复相同的圆弧，只是沿水平方向平移。它与地表相遇的位置为

\[ x_n(\theta)=n\ell(\theta), \qquad \ell(\theta)=2z_0\cot\theta, \qquad n=1,2,\ldots. \]

令

\[ \theta_\pm=\theta_0\pm\frac{\delta\theta_0}{2}. \]

对于完全位于 \(0<\theta<\pi/2\) 内的角带，相邻两次与地表相遇之间的最短和最长距离为

\[ \ell_{\min}=2z_0\cot\theta_+, \qquad \ell_{\max}=2z_0\cot\theta_-. \]

由于波束充满整个角度区间，第 \(n\) 次与地表相遇时所到达的地表区间为

\[ I_n=[n\ell_{\min},\,n\ell_{\max}]. \]

\(I_n\) 和 \(I_{n+1}\) 之间存在空隙，当且仅当

\[ n\ell_{\max}<(n+1)\ell_{\min}, \]

即

\[ n(\ell_{\max}-\ell_{\min})<\ell_{\min}. \]

令 \(\Delta\ell=\ell_{\max}-\ell_{\min}\)。一旦 \(n\Delta\ell\ge\ell_{\min}\)，相邻区间便会重叠，并且对于每个更大的 \(n\) 都会继续重叠。因此，最后一个空隙的精确外边界为

\[ \boxed{ x_{\max} =\ell_{\min} \left\lceil\frac{\ell_{\min}}{\Delta\ell}\right\rceil. } \]

向上取整体现了与地表相遇的次数必须为整数。边界本身可以被信号到达；未被信号到达的点从较小坐标一侧趋近该边界。

对于题目要求的窄角带近似，

\[ \ell_0=2z_0\cot\theta_0, \]

且

\[ \Delta\ell \simeq \left|\frac{d\ell}{d\theta}\right|_{\theta_0} \delta\theta_0 = 2z_0\csc^2\theta_0\,\delta\theta_0. \]

在 \(\theta_0\) 固定时，足够窄的角带需要经过多次反射，区间才会发生重叠。因此，在主导阶可以忽略整数取整的影响：

\[ x_{\max}\simeq\frac{\ell_0^2}{\Delta\ell}. \]

因此

\[ \boxed{ x_{\max}\simeq \frac{(2z_0\cot\theta_0)^2} {2z_0\csc^2\theta_0\,\delta\theta_0} = \frac{2z_0\cos^2\theta_0}{\delta\theta_0}. } \]

解答已与官方解答核对。

Решение

A.1

Пусть \(H\) — высота столба масла над нижними краями пластин. На уровне этих краёв давления масла и воды должны совпадать. После вычитания атмосферного давления получаем

\[ \rho_{\mathrm{oil}}gH=\rho_0gh, \qquad H=\frac{\rho_0}{\rho_{\mathrm{oil}}}h. \]

Столб жидкости высотой \(a\) и плотностью \(\rho\) действует на вертикальную пластину с горизонтальной силой

\[ w\int_0^a \rho g(a-u)\,du=\frac12\rho gwa^2 \]

где \(u\) — высота над нижним основанием столба.

Масло толкает правую пластину в направлении \(+x\), а вода — в направлении \(-x\). Действие атмосферного давления с двух сторон взаимно компенсируется. Учитывая масло выше внешнего уровня воды, получаем

\[ F_x=\frac{gw}{2} \left(\rho_{\mathrm{oil}}H^2-\rho_0h^2\right). \]

Подставляя \(H\), находим

\[ \boxed{F_x= \frac{\rho_0gwh^2}{2} \left(\frac{\rho_0}{\rho_{\mathrm{oil}}}-1\right)>0.} \]

Таким образом, пластина выталкивается наружу.

A.2

Введём безразмерную разность температур

\[ q=\frac{T_1-T}{T_1-T_0}. \]

При изотропном расширении все три линейных размера изменяются в одинаковое число раз. Следовательно,

\[ \frac{V(T)}{V(T_1)}=(1-k_lq)^3. \]

Масса сохраняется, а исходная плотность при \(T_1\) равна \(\rho_1\), поэтому

\[ \rho(T)=\rho_1(1-k_lq)^{-3}. \]

Используя приведённое разложение и пренебрегая членами порядка \(k_l^2\), получаем

\[ \rho(T)\approx\rho_1(1+3k_lq). \]

Сравнение с уравнением (2) даёт

\[ \boxed{k=3k_l.} \]

A.3

Воспользуемся направленной вниз осью \(z\) на рис. 2. Вдали от хребта кора простирается от \(z=h\) до \(z=h+D\). Её температура равна

\[ T(z)=T_0+(T_1-T_0)\frac{z-h}{D}, \]

и, следовательно, её плотность равна

\[ \rho(z)\approx \rho_1\left[1+k\left(1-\frac{z-h}{D}\right)\right]. \]

Её средняя плотность составляет

\[ \overline{\rho} =\frac1D\int_h^{h+D}\rho(z)\,dz =\rho_1\left(1+\frac{k}{2}\right). \]

Пусть \(p_O\) — общее давление жидкостей на вершине хребта, где толщина коры равна нулю. Из условия гидростатического равновесия получаем давления непосредственно над и под корой вдали от хребта:

\[ p_{\mathrm{top}}=p_O+\rho_0gh, \]

\[ p_{\mathrm{bottom}}=p_O+\rho_1g(h+D). \]

Для равновесия вертикальных сил, действующих на столб коры в её удалённом горизонтальном участке, необходимо

\[ p_{\mathrm{bottom}}-p_{\mathrm{top}} =\overline{\rho}\,gD. \]

Таким образом,

\[ \rho_1(h+D)-\rho_0h =\rho_1D\left(1+\frac{k}{2}\right). \]

После сокращения общего слагаемого \(\rho_1D\) получаем

\[ (\rho_1-\rho_0)h=\frac12\rho_1kD, \]

откуда

\[ \boxed{D=\frac{2(\rho_1-\rho_0)h}{\rho_1k}.} \]

A.4

Вычислим силы давления на действительных границах раздела вода–кора и мантия–кора.

Запишем верхнюю и нижнюю поверхности коры в виде \(z=z_t(x)\) и \(z=z_b(x)\). Их значения на концах равны

\[ z_t(0)=z_b(0)=0, \qquad z_t(\infty)=h, \qquad z_b(\infty)=h+D. \]

Поля давления жидкостей имеют вид

\[ p_w(z)=p_O+\rho_0gz, \qquad p_m(z)=p_O+\rho_1gz. \]

Для элемента границы раздела с горизонтальной длиной \(dx\) и шириной \(L\) горизонтальная компонента силы давления содержит наклон поверхности. Верхняя жидкость толкает в направлении отрицательных \(x\), а нижняя — в направлении положительных \(x\):

\[ dF_x =L\left[ p_m(z_b)\frac{dz_b}{dx} -p_w(z_t)\frac{dz_t}{dx} \right]dx. \]

Множители, связанные с площадью наклонной поверхности и единичной нормалью, сокращаются, поэтому это выражение не требует дополнительного приближения малого наклона. Интегрируя, получаем

\[ \begin{aligned} F_x &=L\int_0^{h+D}(p_O+\rho_1gz)\,dz -L\int_0^h(p_O+\rho_0gz)\,dz\\ &=p_OLD+\frac{gL}{2} \left[\rho_1(h+D)^2-\rho_0h^2\right]. \end{aligned} \]

Это можно также записать в виде

\[ F_x= \frac12\rho_1gLD^2 +(p_O+\rho_1gh)LD +\frac12(\rho_1-\rho_0)gLh^2. \]

Согласно A.3, при фиксированном \(h\) имеем \(D\propto k^{-1}\). При фиксированном фоновом давлении эти три вклада имеют соответственно порядки \(k^{-2}\), \(k^{-1}\) и \(k^0\). Следовательно, главный член равен

\[ F_x\simeq\frac12\rho_1gLD^2. \]

Подставляя выражение для \(D\), получаем

\[ \boxed{ F_x\simeq \frac{2gLh^2(\rho_1-\rho_0)^2}{\rho_1k^2}. } \]

Сила направлена вдоль \(+x\), от хребта. Это полная сила, действующая со стороны жидкостей; литостатическая сила на искусственном разрезе через удалённый участок коры не вычиталась.

A.5

В главном порядке по \(k\) объёмная теплоёмкость коры равна \(\rho_1c\), что даёт коэффициент температуропроводности

\[ \chi=\frac{\kappa}{\rho_1c}. \]

Вдали от хребта характерное расстояние, на которое должна распространиться теплота, равно \(D\). Поэтому уравнение теплопроводности

\[ \frac{\partial T}{\partial t} =\chi\frac{\partial^2T}{\partial z^2}, \]

даёт оценку характерных масштабов

\[ \frac{\Delta T}{\tau}\sim \chi\frac{\Delta T}{D^2}. \]

Разность температур сокращается, как и требуется:

\[ \boxed{\tau\sim\frac{D^2}{\chi} =\frac{\rho_1cD^2}{\kappa}.} \]

Используя A.3, получаем

\[ \boxed{ \tau\sim \frac{4c(\rho_1-\rho_0)^2h^2} {\kappa\rho_1k^2}. } \]

Анализ размерностей не определяет численный множитель. Разность температур поверхностей асимптотически стремится к нулю, а не обращается в нуль за конечное время.

B.1

В среде, где скорость волн зависит только от глубины, согласно закону Снеллиуса сохраняется горизонтальная компонента вектора медленности:

\[ \frac{\sin\theta(z)}{v(z)} =\frac{\sin\theta_0}{v_0}, \]

где \(\theta(z)\) — локальный угол с вертикалью. Поскольку

\[ v(z)=v_0\frac{z+z_0}{z_0}, \]

получаем

\[ \sin\theta(z) =\frac{z+z_0}{z_0}\sin\theta_0. \]

Введём обозначение

\[ R=\frac{z_0}{\sin\theta_0}. \]

На нисходящем участке луча

\[ \frac{dx}{dz}=\tan\theta =\frac{z+z_0}{\sqrt{R^2-(z+z_0)^2}}. \]

Интегрирование с условием \(x=0\) при \(z=0\) даёт

\[ x=\sqrt{R^2-z_0^2} -\sqrt{R^2-(z+z_0)^2}. \]

Таким образом, траектория лежит на окружности

\[ (x-x_c)^2+(z+z_0)^2=R^2, \]

центр которой имеет координаты

\[ x_c=\sqrt{R^2-z_0^2}=z_0\cot\theta_0, \qquad z_c=-z_0. \]

Луч поворачивает в самой глубокой точке этой окружности и симметрично возвращается к поверхности. Две точки его пересечения с \(z=0\) соответствуют \(x=0\) и \(x=2x_c\). Поэтому

\[ \boxed{x_1(\theta_0)=2z_0\cot\theta_0,} \]

и

\[ \boxed{A=2z_0,\qquad b=1.} \]

Скорость на поверхности \(v_0\) влияет на время распространения, но сокращается в выражениях, определяющих геометрию луча.

B.2

Нижняя полуплоскость охватывает угловой диапазон \(\pi\). Поэтому при равномерном излучении энергия на единицу длины источника, равная

\[ dE=\frac{E}{\pi}\,d\theta \]

приходится на угловой интервал \(d\theta\).

Для лучей, возвращающихся при \(x>0\),

\[ x=2z_0\cot\theta, \qquad \left|\frac{dx}{d\theta}\right| =2z_0\csc^2\theta. \]

Закон сохранения энергии для излучаемого углового интервала и принимающей его полоски поверхности даёт

\[ \varepsilon(x)\,dx =\frac{E}{\pi}|d\theta|. \]

Следовательно,

\[ \varepsilon(x) =\frac{E}{2\pi z_0}\sin^2\theta. \]

Используя

\[ \cot\theta=\frac{x}{2z_0}, \qquad \sin^2\theta=\frac{1}{1+x^2/(4z_0^2)}, \]

находим

\[ \boxed{\varepsilon(x) =\frac{2Ez_0}{\pi(x^2+4z_0^2)}.} \]

Излучение, направленное влево, даёт то же выражение при \(x<0\). Его нормировка имеет вид

\[ \int_{-\infty}^{\infty}\varepsilon(x)\,dx =\frac{E}{\pi} \left[\arctan\frac{x}{2z_0}\right]_{-\infty}^{\infty} =E. \]

Для построения требуемого эскиза: кривая гладкая и симметричная относительно \(x=0\), с единственным максимумом \(E/(2\pi z_0)\). При \(x=\pm2z_0\) её высота равна \(E/(4\pi z_0)\), поэтому её полная ширина на половине высоты составляет \(4z_0\). Она остаётся положительной при любом конечном \(x\), а её хвосты удовлетворяют соотношению

\[ \varepsilon(x)\sim\frac{2Ez_0}{\pi x^2} \qquad (|x|\gg z_0). \]

Поскольку \(E\) — энергия на единицу длины источника, \(\varepsilon\) имеет размерность энергии на единицу площади.

B.3

При зеркальном отражении от поверхности вертикальная компонента скорости луча меняет знак, а горизонтальная сохраняется. Поэтому каждый луч повторяет ту же дугу, сдвинутую по горизонтали. Он достигает поверхности в точках

\[ x_n(\theta)=n\ell(\theta), \qquad \ell(\theta)=2z_0\cot\theta, \qquad n=1,2,\ldots. \]

Пусть

\[ \theta_\pm=\theta_0\pm\frac{\delta\theta_0}{2}. \]

Для углового диапазона, целиком лежащего внутри \(0<\theta<\pi/2\), наименьшее и наибольшее расстояния между последовательными выходами на поверхность равны

\[ \ell_{\min}=2z_0\cot\theta_+, \qquad \ell_{\max}=2z_0\cot\theta_-. \]

Поскольку пучок заполняет весь угловой интервал, при \(n\)-м выходе на поверхность он достигает интервала

\[ I_n=[n\ell_{\min},\,n\ell_{\max}]. \]

Промежуток между \(I_n\) и \(I_{n+1}\) существует тогда и только тогда, когда

\[ n\ell_{\max}<(n+1)\ell_{\min}, \]

или

\[ n(\ell_{\max}-\ell_{\min})<\ell_{\min}. \]

Положим \(\Delta\ell=\ell_{\max}-\ell_{\min}\). Как только \(n\Delta\ell\ge\ell_{\min}\), соседние интервалы перекрываются и продолжают перекрываться при всех бо́льших \(n\). Следовательно, точная внешняя граница последнего промежутка равна

\[ \boxed{ x_{\max} =\ell_{\min} \left\lceil\frac{\ell_{\min}}{\Delta\ell}\right\rceil. } \]

Округление вверх учитывает целое число выходов на поверхность. Сама граница достигается; недостигаемые точки приближаются к ней со стороны меньших координат.

В требуемом приближении узкого углового диапазона

\[ \ell_0=2z_0\cot\theta_0, \]

и

\[ \Delta\ell \simeq \left|\frac{d\ell}{d\theta}\right|_{\theta_0} \delta\theta_0 = 2z_0\csc^2\theta_0\,\delta\theta_0. \]

При фиксированном \(\theta_0\) для достаточно узкого углового диапазона требуется много отражений, прежде чем интервалы начнут перекрываться. Тогда в главном порядке округлением до целого можно пренебречь:

\[ x_{\max}\simeq\frac{\ell_0^2}{\Delta\ell}. \]

Поэтому

\[ \boxed{ x_{\max}\simeq \frac{(2z_0\cot\theta_0)^2} {2z_0\csc^2\theta_0\,\delta\theta_0} = \frac{2z_0\cos^2\theta_0}{\delta\theta_0}. } \]

Решение проверено по официальному решению.

الحل

A.1

لتكن \(H\) ارتفاع عمود الزيت فوق الحافتين السفليتين للوحين. يجب أن يتساوى ضغطا الزيت والماء عند هاتين الحافتين. وبعد طرح الضغط الجوي،

\[ \rho_{\mathrm{oil}}gH=\rho_0gh, \qquad H=\frac{\rho_0}{\rho_{\mathrm{oil}}}h. \]

يؤثر عمود مائع ارتفاعه \(a\) وكثافته \(\rho\) بقوة أفقية

\[ w\int_0^a \rho g(a-u)\,du=\frac12\rho gwa^2 \]

في لوح رأسي، حيث يقيس \(u\) الارتفاع فوق قاع العمود.

يدفع الزيت اللوح الأيمن نحو \(+x\)، ويدفعه الماء نحو \(-x\). يُلغى تأثير الضغط الجوي بين الجانبين. وباحتساب الزيت الموجود فوق مستوى الماء الخارجي نحصل على

\[ F_x=\frac{gw}{2} \left(\rho_{\mathrm{oil}}H^2-\rho_0h^2\right). \]

بالتعويض عن \(H\)،

\[ \boxed{F_x= \frac{\rho_0gwh^2}{2} \left(\frac{\rho_0}{\rho_{\mathrm{oil}}}-1\right)>0.} \]

إذن يُدفع اللوح نحو الخارج.

A.2

نعرّف فرق درجة الحرارة اللابعدي

\[ q=\frac{T_1-T}{T_1-T_0}. \]

يغيّر التمدد المتساوي الخواص الأبعاد الخطية الثلاثة جميعها بالعامل نفسه. وبالتالي،

\[ \frac{V(T)}{V(T_1)}=(1-k_lq)^3. \]

تُحفظ الكتلة، والكثافة المرجعية عند \(T_1\) هي \(\rho_1\)، لذا

\[ \rho(T)=\rho_1(1-k_lq)^{-3}. \]

باستخدام التوسع المعطى وإهمال الحدود من الرتبة \(k_l^2\)،

\[ \rho(T)\approx\rho_1(1+3k_lq). \]

تعطي المقارنة مع المعادلة (2)

\[ \boxed{k=3k_l.} \]

A.3

نستخدم المحور \(z\) المتجه إلى الأسفل في الشكل 2. بعيدًا عن الحيد، تمتد القشرة من \(z=h\) إلى \(z=h+D\). ودرجة حرارتها هي

\[ T(z)=T_0+(T_1-T_0)\frac{z-h}{D}, \]

ولذلك تكون كثافتها

\[ \rho(z)\approx \rho_1\left[1+k\left(1-\frac{z-h}{D}\right)\right]. \]

ومتوسط كثافتها هو

\[ \overline{\rho} =\frac1D\int_h^{h+D}\rho(z)\,dz =\rho_1\left(1+\frac{k}{2}\right). \]

ليكن \(p_O\) ضغط المائع المشترك عند قمة الحيد، حيث يكون سمك القشرة صفرًا. يعطي الاتزان الهيدروستاتيكي الضغطين مباشرة فوق القشرة البعيدة وتحتها:

\[ p_{\mathrm{top}}=p_O+\rho_0gh, \]

\[ p_{\mathrm{bottom}}=p_O+\rho_1g(h+D). \]

يتطلب اتزان القوى الرأسية على عمود من القشرة في المنطقة البعيدة التي تكون فيها القشرة أفقيةً أن يكون

\[ p_{\mathrm{bottom}}-p_{\mathrm{top}} =\overline{\rho}\,gD. \]

ومن ثم

\[ \rho_1(h+D)-\rho_0h =\rho_1D\left(1+\frac{k}{2}\right). \]

بعد حذف الحد المشترك \(\rho_1D\)،

\[ (\rho_1-\rho_0)h=\frac12\rho_1kD, \]

وعليه

\[ \boxed{D=\frac{2(\rho_1-\rho_0)h}{\rho_1k}.} \]

A.4

نحسب قوى الضغط على السطحين الفاصلين الفعليين بين الماء والقشرة وبين الوشاح والقشرة.

نكتب سطحي القشرة العلوي والسفلي على الصورة \(z=z_t(x)\) و\(z=z_b(x)\). وقيمهما عند الطرفين هي

\[ z_t(0)=z_b(0)=0, \qquad z_t(\infty)=h, \qquad z_b(\infty)=h+D. \]

حقلا ضغط المائعين هما

\[ p_w(z)=p_O+\rho_0gz, \qquad p_m(z)=p_O+\rho_1gz. \]

لعنصر من السطح الفاصل طوله الأفقي \(dx\) وعرضه \(L\)، تتضمن المركبة الأفقية لقوة الضغط ميل السطح. يدفع المائع العلوي في اتجاه \(x\) السالب، بينما يدفع المائع السفلي في اتجاه \(x\) الموجب:

\[ dF_x =L\left[ p_m(z_b)\frac{dz_b}{dx} -p_w(z_t)\frac{dz_t}{dx} \right]dx. \]

تُختزل العوامل الناشئة عن مساحة السطح المائل ومتجه الوحدة العمودي عليه، لذا لا يتطلب هذا التعبير تقريبًا إضافيًا لصغر الميل. وبالتكامل،

\[ \begin{aligned} F_x &=L\int_0^{h+D}(p_O+\rho_1gz)\,dz -L\int_0^h(p_O+\rho_0gz)\,dz\\ &=p_OLD+\frac{gL}{2} \left[\rho_1(h+D)^2-\rho_0h^2\right]. \end{aligned} \]

وبصورة مكافئة،

\[ F_x= \frac12\rho_1gLD^2 +(p_O+\rho_1gh)LD +\frac12(\rho_1-\rho_0)gLh^2. \]

من A.3، نجد أن \(D\propto k^{-1}\) عند ثبات \(h\). ومع ثبات الضغط الخلفي، تكون هذه المساهمات الثلاث من الرتب \(k^{-2}\) و\(k^{-1}\) و\(k^0\) على الترتيب. ومن ثم يكون الحد السائد

\[ F_x\simeq\frac12\rho_1gLD^2. \]

بالتعويض عن \(D\) بتعبيره،

\[ \boxed{ F_x\simeq \frac{2gLh^2(\rho_1-\rho_0)^2}{\rho_1k^2}. } \]

تتجه هذه القوة على امتداد \(+x\)، مبتعدةً عن الحيد. وهي القوة الكلية التي تؤثر بها الموائع؛ ولم تُطرح منها أي قوة ضغط صخري على مقطع افتراضي عبر القشرة البعيدة.

A.5

إلى الرتبة السائدة في \(k\)، تكون السعة الحرارية الحجمية للقشرة \(\rho_1c\)، مما يعطي الانتشارية الحرارية

\[ \chi=\frac{\kappa}{\rho_1c}. \]

بعيدًا عن الحيد، تكون المسافة ذات الصلة التي يجب أن تنتشر الحرارة عبرها هي \(D\). لذلك تعطي معادلة الحرارة،

\[ \frac{\partial T}{\partial t} =\chi\frac{\partial^2T}{\partial z^2}, \]

التقدير التالي للمقياس المميز

\[ \frac{\Delta T}{\tau}\sim \chi\frac{\Delta T}{D^2}. \]

يُختزل فرق درجة الحرارة، كما هو مطلوب:

\[ \boxed{\tau\sim\frac{D^2}{\chi} =\frac{\rho_1cD^2}{\kappa}.} \]

باستخدام A.3،

\[ \boxed{ \tau\sim \frac{4c(\rho_1-\rho_0)^2h^2} {\kappa\rho_1k^2}. } \]

لا يحدد تحليل الأبعاد معاملًا عدديًا. ويقترب الفرق بين درجتي حرارة السطحين من الصفر تقاربيًا، بدلًا من أن ينعدم عند زمن منتهٍ.

B.1

في وسط تعتمد فيه سرعة الموجة على العمق فقط، يحافظ قانون سنيل على ثبات البطء الأفقي:

\[ \frac{\sin\theta(z)}{v(z)} =\frac{\sin\theta_0}{v_0}, \]

حيث \(\theta(z)\) هي الزاوية المحلية مع الاتجاه الرأسي. وبما أن

\[ v(z)=v_0\frac{z+z_0}{z_0}, \]

نحصل على

\[ \sin\theta(z) =\frac{z+z_0}{z_0}\sin\theta_0. \]

نعرّف

\[ R=\frac{z_0}{\sin\theta_0}. \]

على الجزء الهابط من الشعاع،

\[ \frac{dx}{dz}=\tan\theta =\frac{z+z_0}{\sqrt{R^2-(z+z_0)^2}}. \]

يعطي التكامل، مع الشرط \(x=0\) عند \(z=0\)،

\[ x=\sqrt{R^2-z_0^2} -\sqrt{R^2-(z+z_0)^2}. \]

إذن يقع المسار على الدائرة

\[ (x-x_c)^2+(z+z_0)^2=R^2, \]

التي إحداثيا مركزها هما

\[ x_c=\sqrt{R^2-z_0^2}=z_0\cot\theta_0, \qquad z_c=-z_0. \]

ينعطف الشعاع عند أعمق نقطة من هذه الدائرة ويعود إلى السطح بصورة متناظرة. ونقطتا تقاطعه مع \(z=0\) هما \(x=0\) و\(x=2x_c\). لذلك

\[ \boxed{x_1(\theta_0)=2z_0\cot\theta_0,} \]

و

\[ \boxed{A=2z_0,\qquad b=1.} \]

تؤثر السرعة السطحية \(v_0\) في أزمنة الانتقال، لكنها تُختزل من العلاقات الهندسية لمسار الشعاع.

B.2

يمتد نصف المستوى السفلي على مجال زاوي مقداره \(\pi\). لذلك يخصص الانبعاث المنتظم طاقة لكل وحدة طول من المصدر مقدارها

\[ dE=\frac{E}{\pi}\,d\theta \]

لفترة زاوية \(d\theta\).

للأشعة العائدة عند \(x>0\)،

\[ x=2z_0\cot\theta, \qquad \left|\frac{dx}{d\theta}\right| =2z_0\csc^2\theta. \]

يعطي حفظ الطاقة بين الفترة الزاوية المنبعثة والشريط السطحي المستقبل لها

\[ \varepsilon(x)\,dx =\frac{E}{\pi}|d\theta|. \]

ومن ثم

\[ \varepsilon(x) =\frac{E}{2\pi z_0}\sin^2\theta. \]

باستخدام

\[ \cot\theta=\frac{x}{2z_0}, \qquad \sin^2\theta=\frac{1}{1+x^2/(4z_0^2)}, \]

نجد

\[ \boxed{\varepsilon(x) =\frac{2Ez_0}{\pi(x^2+4z_0^2)}.} \]

يعطي الانبعاث المتجه إلى اليسار التعبير نفسه عند \(x<0\). وشرط التطبيع هو

\[ \int_{-\infty}^{\infty}\varepsilon(x)\,dx =\frac{E}{\pi} \left[\arctan\frac{x}{2z_0}\right]_{-\infty}^{\infty} =E. \]

للرسم التقريبي المطلوب: المنحنى أملس ومتناظر حول \(x=0\)، وله قيمة عظمى واحدة هي \(E/(2\pi z_0)\). عند \(x=\pm2z_0\) يكون ارتفاعه \(E/(4\pi z_0)\)، لذا فإن عرضه الكامل عند نصف القيمة العظمى هو \(4z_0\). ويبقى موجبًا عند كل قيمة منتهية لـ \(x\)، ويحقق طرفاه

\[ \varepsilon(x)\sim\frac{2Ez_0}{\pi x^2} \qquad (|x|\gg z_0). \]

بما أن \(E\) طاقة لكل وحدة طول من المصدر، فإن وحدات \(\varepsilon\) هي طاقة لكل وحدة مساحة.

B.3

عند انعكاس مرآوي على السطح، تنعكس المركبة الرأسية لسرعة الشعاع، بينما تبقى مركبته الأفقية محفوظة. لذلك يكرر كل شعاع القوس نفسه مزاحًا أفقيًا. وتقع نقاط لقائه بالسطح عند

\[ x_n(\theta)=n\ell(\theta), \qquad \ell(\theta)=2z_0\cot\theta, \qquad n=1,2,\ldots. \]

لتكن

\[ \theta_\pm=\theta_0\pm\frac{\delta\theta_0}{2}. \]

لنطاق يقع بكامله ضمن \(0<\theta<\pi/2\)، تكون أقصر وأطول مسافتين بين لقاءين متتاليين بالسطح هما

\[ \ell_{\min}=2z_0\cot\theta_+, \qquad \ell_{\max}=2z_0\cot\theta_-. \]

لأن الحزمة تملأ الفترة الزاوية، فإن الفترة السطحية التي تصل إليها عند اللقاء رقم \(n\) هي

\[ I_n=[n\ell_{\min},\,n\ell_{\max}]. \]

توجد فجوة بين \(I_n\) و\(I_{n+1}\) إذا وفقط إذا

\[ n\ell_{\max}<(n+1)\ell_{\min}, \]

أو

\[ n(\ell_{\max}-\ell_{\min})<\ell_{\min}. \]

نضع \(\Delta\ell=\ell_{\max}-\ell_{\min}\). ما إن يتحقق \(n\Delta\ell\ge\ell_{\min}\)، حتى تتداخل الفترات المتجاورة، وتستمر في التداخل لكل قيمة أكبر لـ \(n\). وبناءً عليه، فإن الحد الخارجي الدقيق لآخر فجوة هو

\[ \boxed{ x_{\max} =\ell_{\min} \left\lceil\frac{\ell_{\min}}{\Delta\ell}\right\rceil. } \]

تأخذ دالة السقف في الحسبان أن عدد مرات اللقاء بالسطح عدد صحيح. وتصل الإشارة إلى الحد نفسه؛ أما النقاط التي لا تصل إليها فتقترب منه من جهة القيم الأصغر.

لتقريب النطاق الضيق المطلوب،

\[ \ell_0=2z_0\cot\theta_0, \]

و

\[ \Delta\ell \simeq \left|\frac{d\ell}{d\theta}\right|_{\theta_0} \delta\theta_0 = 2z_0\csc^2\theta_0\,\delta\theta_0. \]

عند ثبات \(\theta_0\)، يتطلب النطاق الضيق بما يكفي انعكاسات كثيرة قبل أن تتداخل الفترات. وعندئذ يمكن، إلى الرتبة السائدة، إهمال التقريب إلى عدد صحيح:

\[ x_{\max}\simeq\frac{\ell_0^2}{\Delta\ell}. \]

لذلك

\[ \boxed{ x_{\max}\simeq \frac{(2z_0\cot\theta_0)^2} {2z_0\csc^2\theta_0\,\delta\theta_0} = \frac{2z_0\cos^2\theta_0}{\delta\theta_0}. } \]

تمت مراجعة الحل بمقارنته بالحل الرسمي.