Photons from the surface of the Sun and neutrinos from its core can tell us about solar temperatures and also confirm that the Sun shines because of nuclear reactions.

Throughout this problem, take the mass of the Sun to be \(M_\odot=2.00\times10^{30}\ \mathrm{kg}\), its radius, \(R_\odot=7.00\times10^8\ \mathrm{m}\), its luminosity (radiation energy emitted per unit time), \(L_\odot=3.85\times10^{26}\ \mathrm{W}\), and the Earth-Sun distance, \(d_\odot=1.50\times10^{11}\ \mathrm{m}\).

Note:

\[ \text{(i)}\quad \int xe^{ax}\,dx =\left(\frac{x}{a}-\frac{1}{a^2}\right)e^{ax} +\text{constant} \]

\[ \text{(ii)}\quad \int x^2e^{ax}\,dx =\left(\frac{x^2}{a}-\frac{2x}{a^2}+\frac{2}{a^3}\right)e^{ax} +\text{constant} \]

\[ \text{(iii)}\quad \int x^3e^{ax}\,dx =\left(\frac{x^3}{a}-\frac{3x^2}{a^2} +\frac{6x}{a^3}-\frac{6}{a^4}\right)e^{ax} +\text{constant} \]

A Radiation from the sun :

The spectrum of solar radiation can be approximated well by the Wien distribution law. Accordingly, the solar energy incident on any surface on the Earth per unit time per unit frequency interval, \(u(\nu)\), is given by

\[ u(\nu)=A\frac{R_\odot^2}{d_\odot^2}\frac{2\pi h}{c^2} \nu^3\exp(-h\nu/k_BT_s), \]

where \(\nu\) is the frequency and \(A\) is the area of the surface normal to the direction of the incident radiation.

Now, consider a solar cell which consists of a thin disc of semiconducting material of area, \(A\), placed perpendicular to the direction of the Sun’s rays.

The semiconducting material of the solar cell has a “band gap” of energy, \(E_g\). We assume the following model. Every photon of energy \(E\geq E_g\) excites an electron across the band gap. This electron contributes an energy, \(E_g\), as the useful output energy, and any extra energy is dissipated as heat (not converted to useful energy).

\(^{1}\) Amol Dighe (TIFR), Anwesh Mazumdar (HBCSE-TIFR) and Vijay A. Singh (ex-National Coordinator, Science Olympiads) were the principal authors of this problem. The contributions of the Academic Committee, Academic Development Group and the International Board are gratefully acknowledged.

In the late nineteenth century, Kelvin and Helmholtz (KH) proposed a hypothesis to explain how the Sun shines. They postulated that starting as a very large cloud of matter of mass, \(M_\odot\), and negligible density, the Sun has been shrinking continuously. The shining of the Sun would then be due to the release of gravitational potential energy through this slow contraction.

The \(\tau_{\mathrm{KH}}\) calculated above does not match the age of the solar system estimated from studies of meteorites. This shows that the energy source of the Sun cannot be purely gravitational.

B Neutrinos from the Sun :

In 1938, Hans Bethe proposed that nuclear fusion of hydrogen into helium in the core of the Sun is the source of its energy. The net nuclear reaction is:

\[ 4\,{}^{1}\mathrm{H}\longrightarrow{}^{4}\mathrm{He} +2e^++2\nu_e \]

The “electron neutrinos”, \(\nu_e\), produced in this reaction may be taken to be massless. They escape the Sun and their detection on the Earth confirms the occurrence of nuclear reactions inside the Sun. Energy carried away by the neutrinos can be neglected in this problem.

Travelling from the core of the Sun to the Earth, some of the electron neutrinos, \(\nu_e\), are converted to other types of neutrinos, \(\nu_x\). The efficiency of the detector for detecting \(\nu_x\) is 1/6 of its efficiency for detecting \(\nu_e\). If there is no neutrino conversion, we expect to detect an average of \(N_1\) neutrinos in a year. However, due to the conversion, an average of \(N_2\) neutrinos (\(\nu_e\) and \(\nu_x\) combined) are actually detected per year.

In order to detect neutrinos, large detectors filled with water are constructed. Although the interactions of neutrinos with matter are very rare, occasionally they knock out electrons from water molecules in the detector. These energetic electrons move through water at high speeds, emitting electromagnetic radiation in the process. As long as the speed of such an electron is greater than the speed of light in water (refractive index, \(n\)), this radiation, called Cherenkov radiation, is emitted in the shape of a cone.

The fusion of H into He inside the Sun takes place in several steps. Nucleus of \({}^{7}\mathrm{Be}\) (rest mass, \(m_{\mathrm{Be}}\)) is produced in one of these intermediate steps. Subsequently, it can absorb an electron, producing a \({}^{7}\mathrm{Li}\) nucleus (rest mass, \(m_{\mathrm{Li}}<m_{\mathrm{Be}}\)) and emitting a \(\nu_e\). The corresponding nuclear reaction is:

\[ {}^{7}\mathrm{Be}+e^-\longrightarrow{}^{7}\mathrm{Li}+\nu_e \]

When a Be nucleus (\(m_{\mathrm{Be}}=11.65\times10^{-27}\ \mathrm{kg}\)) is at rest and absorbs an electron also at rest, the emitted neutrino has energy \(E_\nu=1.44\times10^{-13}\ \mathrm{J}\). However, the Be nuclei are in random thermal motion due to the temperature \(T_c\) at the core of the Sun, and act as moving neutrino sources. As a result, the energy of emitted neutrinos fluctuates with a root mean square (rms) value \(\Delta E_{\mathrm{rms}}\).

Official English text of the problem.

Photonen von der Sonnenoberfläche und Neutrinos aus ihrem Kern können uns Aufschluss über die Temperaturen der Sonne geben und auch bestätigen, dass die Sonne aufgrund von Kernreaktionen leuchtet.

Nehmen Sie in dieser gesamten Aufgabe für die Masse der Sonne \(M_\odot=2.00\times10^{30}\ \mathrm{kg}\), für ihren Radius \(R_\odot=7.00\times10^8\ \mathrm{m}\), für ihre Leuchtkraft (pro Zeiteinheit abgestrahlte Energie) \(L_\odot=3.85\times10^{26}\ \mathrm{W}\) und für den Abstand zwischen Erde und Sonne \(d_\odot=1.50\times10^{11}\ \mathrm{m}\) an.

Hinweis:

\[ \text{(i)}\quad \int xe^{ax}\,dx =\left(\frac{x}{a}-\frac{1}{a^2}\right)e^{ax} +\text{Konstante} \]

\[ \text{(ii)}\quad \int x^2e^{ax}\,dx =\left(\frac{x^2}{a}-\frac{2x}{a^2}+\frac{2}{a^3}\right)e^{ax} +\text{Konstante} \]

\[ \text{(iii)}\quad \int x^3e^{ax}\,dx =\left(\frac{x^3}{a}-\frac{3x^2}{a^2} +\frac{6x}{a^3}-\frac{6}{a^4}\right)e^{ax} +\text{Konstante} \]

A Strahlung von der Sonne :

Das Spektrum der Sonnenstrahlung lässt sich gut durch das Wiensche Strahlungsgesetz annähern. Demnach ist die pro Zeiteinheit und pro Frequenzintervall auf eine beliebige Fläche auf der Erde einfallende Sonnenenergie \(u(\nu)\) gegeben durch

\[ u(\nu)=A\frac{R_\odot^2}{d_\odot^2}\frac{2\pi h}{c^2} \nu^3\exp(-h\nu/k_BT_s), \]

wobei \(\nu\) die Frequenz und \(A\) der Flächeninhalt der zur Richtung der einfallenden Strahlung senkrechten Fläche ist.

Betrachten Sie nun eine Solarzelle, die aus einer dünnen Scheibe aus Halbleitermaterial mit dem Flächeninhalt \(A\) besteht und senkrecht zur Richtung der Sonnenstrahlen angeordnet ist.

Das Halbleitermaterial der Solarzelle hat eine „Bandlücke“ mit der Energie \(E_g\). Wir nehmen folgendes Modell an. Jedes Photon mit der Energie \(E\geq E_g\) regt ein Elektron über die Bandlücke hinweg an. Dieses Elektron liefert die Energie \(E_g\) als nutzbare Ausgangsenergie; jede darüber hinausgehende Energie wird als Wärme abgegeben (und nicht in nutzbare Energie umgewandelt).

\(^{1}\) Amol Dighe (TIFR), Anwesh Mazumdar (HBCSE-TIFR) und Vijay A. Singh (ehemaliger nationaler Koordinator der Wissenschaftsolympiaden) waren die Hauptautoren dieser Aufgabe. Für die Beiträge des Akademischen Komitees, der Akademischen Entwicklungsgruppe und des Internationalen Gremiums wird herzlich gedankt.

Im späten neunzehnten Jahrhundert stellten Kelvin und Helmholtz (KH) eine Hypothese auf, um zu erklären, wie die Sonne leuchtet. Sie nahmen an, dass die Sonne ursprünglich eine sehr große Materiewolke mit der Masse \(M_\odot\) und vernachlässigbarer Dichte war und seither kontinuierlich schrumpft. Das Leuchten der Sonne wäre dann auf die Freisetzung potenzieller Gravitationsenergie durch diese langsame Kontraktion zurückzuführen.

Die oben berechnete Zeit \(\tau_{\mathrm{KH}}\) stimmt nicht mit dem aus Meteoritenuntersuchungen abgeschätzten Alter des Sonnensystems überein. Dies zeigt, dass die Energiequelle der Sonne nicht rein gravitativer Natur sein kann.

B Neutrinos von der Sonne :

Im Jahr 1938 schlug Hans Bethe vor, dass die Kernfusion von Wasserstoff zu Helium im Kern der Sonne ihre Energiequelle ist. Die Nettokernreaktion lautet:

\[ 4\,{}^{1}\mathrm{H}\longrightarrow{}^{4}\mathrm{He} +2e^++2\nu_e \]

Die bei dieser Reaktion erzeugten „Elektron-Neutrinos“ \(\nu_e\) können als masselos betrachtet werden. Sie entweichen aus der Sonne, und ihr Nachweis auf der Erde bestätigt, dass im Inneren der Sonne Kernreaktionen stattfinden. Die von den Neutrinos abgeführte Energie kann in dieser Aufgabe vernachlässigt werden.

Auf dem Weg vom Sonnenkern zur Erde wandelt sich ein Teil der Elektron-Neutrinos \(\nu_e\) in andere Neutrinoarten \(\nu_x\) um. Die Nachweiseffizienz des Detektors für \(\nu_x\) beträgt 1/6 seiner Nachweiseffizienz für \(\nu_e\). Ohne Neutrinoumwandlung erwarten wir, im Mittel \(N_1\) Neutrinos pro Jahr nachzuweisen. Aufgrund der Umwandlung werden jedoch tatsächlich im Mittel \(N_2\) Neutrinos (\(\nu_e\) und \(\nu_x\) zusammen) pro Jahr nachgewiesen.

Zum Nachweis von Neutrinos werden große, mit Wasser gefüllte Detektoren gebaut. Obwohl Wechselwirkungen von Neutrinos mit Materie sehr selten sind, schlagen sie gelegentlich Elektronen aus Wassermolekülen im Detektor heraus. Diese energiereichen Elektronen bewegen sich mit hohen Geschwindigkeiten durch das Wasser und senden dabei elektromagnetische Strahlung aus. Solange die Geschwindigkeit eines solchen Elektrons größer als die Lichtgeschwindigkeit im Wasser (Brechungsindex \(n\)) ist, wird diese als Tscherenkow-Strahlung bezeichnete Strahlung kegelförmig ausgesandt.

Die Fusion von H zu He im Inneren der Sonne erfolgt in mehreren Schritten. In einem dieser Zwischenschritte entsteht ein \({}^{7}\mathrm{Be}\)-Kern (Ruhemasse \(m_{\mathrm{Be}}\)). Anschließend kann er ein Elektron einfangen, wobei ein \({}^{7}\mathrm{Li}\)-Kern (Ruhemasse \(m_{\mathrm{Li}}<m_{\mathrm{Be}}\)) entsteht und ein \(\nu_e\) ausgesandt wird. Die entsprechende Kernreaktion lautet:

\[ {}^{7}\mathrm{Be}+e^-\longrightarrow{}^{7}\mathrm{Li}+\nu_e \]

Wenn ein Be-Kern (\(m_{\mathrm{Be}}=11.65\times10^{-27}\ \mathrm{kg}\)) ruht und ein ebenfalls ruhendes Elektron einfängt, hat das ausgesandte Neutrino die Energie \(E_\nu=1.44\times10^{-13}\ \mathrm{J}\). Aufgrund der Temperatur \(T_c\) im Sonnenkern führen die Be-Kerne jedoch eine ungeordnete thermische Bewegung aus und wirken als bewegte Neutrinoquellen. Daher schwankt die Energie der ausgesandten Neutrinos mit einem Effektivwert (rms) der Abweichung von \(\Delta E_{\mathrm{rms}}\).

Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt.

Güneş'in yüzeyinden gelen fotonlar ve çekirdeğinden gelen nötrinolar, Güneş'in sıcaklıkları hakkında bilgi verebilir ve Güneş'in nükleer tepkimeler sayesinde parladığını da doğrulayabilir.

Bu soru boyunca Güneş'in kütlesini \(M_\odot=2.00\times10^{30}\ \mathrm{kg}\), yarıçapını \(R_\odot=7.00\times10^8\ \mathrm{m}\), ışınım gücünü (birim zamanda yayılan ışınım enerjisini) \(L_\odot=3.85\times10^{26}\ \mathrm{W}\) ve Dünya–Güneş uzaklığını \(d_\odot=1.50\times10^{11}\ \mathrm{m}\) alınız.

Not:

\[ \text{(i)}\quad \int xe^{ax}\,dx =\left(\frac{x}{a}-\frac{1}{a^2}\right)e^{ax} +\text{sabit} \]

\[ \text{(ii)}\quad \int x^2e^{ax}\,dx =\left(\frac{x^2}{a}-\frac{2x}{a^2}+\frac{2}{a^3}\right)e^{ax} +\text{sabit} \]

\[ \text{(iii)}\quad \int x^3e^{ax}\,dx =\left(\frac{x^3}{a}-\frac{3x^2}{a^2} +\frac{6x}{a^3}-\frac{6}{a^4}\right)e^{ax} +\text{sabit} \]

A Güneş'ten gelen ışınım :

Güneş ışınımının spektrumu, Wien dağılım yasasıyla iyi bir yaklaşıklıkla ifade edilebilir. Buna göre, Dünya üzerindeki herhangi bir yüzeye birim zamanda ve birim frekans aralığında gelen Güneş enerjisi, \(u(\nu)\),

\[ u(\nu)=A\frac{R_\odot^2}{d_\odot^2}\frac{2\pi h}{c^2} \nu^3\exp(-h\nu/k_BT_s), \]

ile verilir; burada \(\nu\) frekans, \(A\) ise gelen ışınımın doğrultusuna dik yüzeyin alanıdır.

Şimdi, Güneş ışınlarının doğrultusuna dik yerleştirilmiş, alanı \(A\) olan ince bir yarı iletken malzeme diskinden oluşan bir güneş pili ele alınız.

Güneş pilinin yarı iletken malzemesinin “bant aralığı” enerjisi \(E_g\)'dir. Aşağıdaki modeli varsayıyoruz. Enerjisi \(E\geq E_g\) olan her foton, bir elektronu bant aralığını aşacak şekilde uyarır. Bu elektron, yararlı çıkış enerjisine \(E_g\) kadar enerji katkısında bulunur ve fazla enerji ısı olarak dağılır (yararlı enerjiye dönüşmez).

\(^{1}\) Bu sorunun başlıca yazarları Amol Dighe (TIFR), Anwesh Mazumdar (HBCSE-TIFR) ve Vijay A. Singh'dir (Bilim Olimpiyatları eski Ulusal Koordinatörü). Akademik Komite, Akademik Geliştirme Grubu ve Uluslararası Kurulun katkıları için teşekkür ederiz.

On dokuzuncu yüzyılın sonlarında Kelvin ve Helmholtz (KH), Güneş'in nasıl parladığını açıklamak için bir hipotez öne sürdüler. Güneş'in, kütlesi \(M_\odot\) olan ve yoğunluğu ihmal edilebilen çok büyük bir madde bulutu olarak başlayıp sürekli büzüldüğünü varsaydılar. Bu durumda Güneş'in parlaması, bu yavaş büzülme sırasında kütleçekimsel potansiyel enerjinin açığa çıkmasından kaynaklanacaktı.

Yukarıda hesaplanan \(\tau_{\mathrm{KH}}\), göktaşları üzerindeki çalışmalardan tahmin edilen Güneş Sistemi'nin yaşıyla uyuşmaz. Bu, Güneş'in enerji kaynağının yalnızca kütleçekimi olamayacağını gösterir.

B Güneş'ten gelen nötrinolar :

1938'de Hans Bethe, Güneş'in enerji kaynağının, çekirdeğinde hidrojenin nükleer füzyonla helyuma dönüşmesi olduğunu öne sürdü. Net nükleer tepkime şöyledir:

\[ 4\,{}^{1}\mathrm{H}\longrightarrow{}^{4}\mathrm{He} +2e^++2\nu_e \]

Bu tepkimede üretilen “elektron nötrinoları”, \(\nu_e\), kütlesiz kabul edilebilir. Güneş'ten kaçarlar ve Dünya'da algılanmaları, Güneş'in içinde nükleer tepkimeler gerçekleştiğini doğrular. Bu soruda nötrinoların taşıyıp götürdüğü enerji ihmal edilebilir.

Güneş'in çekirdeğinden Dünya'ya yol alırken elektron nötrinolarının, \(\nu_e\), bir kısmı başka tür nötrinolara, \(\nu_x\), dönüşür. Dedektörün \(\nu_x\)'i algılama verimi, \(\nu_e\)'yi algılama veriminin 1/6'sıdır. Nötrino dönüşümü olmasaydı, bir yılda ortalama \(N_1\) nötrino algılamayı beklerdik. Ancak dönüşüm nedeniyle gerçekte yılda ortalama \(N_2\) nötrino (\(\nu_e\) ve \(\nu_x\) birlikte) algılanır.

Nötrinoları algılamak için suyla dolu büyük dedektörler inşa edilir. Nötrinoların maddeyle etkileşimleri çok seyrek olsa da zaman zaman dedektördeki su moleküllerinden elektron koparırlar. Bu yüksek enerjili elektronlar su içinde yüksek süratlerle hareket eder ve bu sırada elektromanyetik ışınım yayarlar. Böyle bir elektronun sürati, ışığın sudaki (kırılma indisi \(n\)) süratinden büyük olduğu sürece, Çerenkov ışınımı adı verilen bu ışınım bir koni biçiminde yayılır.

Güneş'in içinde H'nin füzyonla He'ye dönüşmesi birkaç adımda gerçekleşir. Bu ara adımlardan birinde bir \({}^{7}\mathrm{Be}\) çekirdeği (durgun kütlesi \(m_{\mathrm{Be}}\)) üretilir. Ardından bu çekirdek bir elektron soğurarak bir \({}^{7}\mathrm{Li}\) çekirdeği (durgun kütlesi \(m_{\mathrm{Li}}<m_{\mathrm{Be}}\)) üretebilir ve bir \(\nu_e\) yayabilir. İlgili nükleer tepkime şöyledir:

\[ {}^{7}\mathrm{Be}+e^-\longrightarrow{}^{7}\mathrm{Li}+\nu_e \]

Bir Be çekirdeği (\(m_{\mathrm{Be}}=11.65\times10^{-27}\ \mathrm{kg}\)) durgunken yine durgun olan bir elektronu soğurduğunda, yayılan nötrinonun enerjisi \(E_\nu=1.44\times10^{-13}\ \mathrm{J}\) olur. Ancak Be çekirdekleri, Güneş'in çekirdeğindeki \(T_c\) sıcaklığı nedeniyle rastgele ısıl hareket yapar ve hareketli nötrino kaynakları gibi davranır. Bunun sonucunda yayılan nötrinoların enerjisi, karekök ortalama kare (rms) değeri \(\Delta E_{\mathrm{rms}}\) olan dalgalanmalar gösterir.

Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir.

Los fotones procedentes de la superficie del Sol y los neutrinos procedentes de su núcleo pueden proporcionarnos información sobre las temperaturas solares y también confirmar que el Sol brilla gracias a las reacciones nucleares.

En todo este problema, tome la masa del Sol como \(M_\odot=2.00\times10^{30}\ \mathrm{kg}\), su radio como \(R_\odot=7.00\times10^8\ \mathrm{m}\), su luminosidad (energía emitida en forma de radiación por unidad de tiempo) como \(L_\odot=3.85\times10^{26}\ \mathrm{W}\) y la distancia Tierra-Sol como \(d_\odot=1.50\times10^{11}\ \mathrm{m}\).

Nota:

\[ \text{(i)}\quad \int xe^{ax}\,dx =\left(\frac{x}{a}-\frac{1}{a^2}\right)e^{ax} +\text{constante} \]

\[ \text{(ii)}\quad \int x^2e^{ax}\,dx =\left(\frac{x^2}{a}-\frac{2x}{a^2}+\frac{2}{a^3}\right)e^{ax} +\text{constante} \]

\[ \text{(iii)}\quad \int x^3e^{ax}\,dx =\left(\frac{x^3}{a}-\frac{3x^2}{a^2} +\frac{6x}{a^3}-\frac{6}{a^4}\right)e^{ax} +\text{constante} \]

A Radiación procedente del Sol :

El espectro de la radiación solar puede aproximarse bien mediante la ley de distribución de Wien. Según esta ley, la energía solar que incide sobre cualquier superficie de la Tierra por unidad de tiempo y por unidad de intervalo de frecuencia, \(u(\nu)\), viene dada por

\[ u(\nu)=A\frac{R_\odot^2}{d_\odot^2}\frac{2\pi h}{c^2} \nu^3\exp(-h\nu/k_BT_s), \]

donde \(\nu\) es la frecuencia y \(A\) es el área de la superficie perpendicular a la dirección de la radiación incidente.

Considere ahora una célula solar que consiste en un disco delgado de material semiconductor de área \(A\), colocado perpendicularmente a la dirección de los rayos solares.

El material semiconductor de la célula solar tiene una «banda prohibida» de energía \(E_g\). Suponemos el siguiente modelo. Cada fotón de energía \(E\geq E_g\) excita un electrón, haciéndolo atravesar la banda prohibida. Este electrón aporta una energía \(E_g\) como energía útil de salida, y cualquier energía adicional se disipa en forma de calor (no se convierte en energía útil).

\(^{1}\) Amol Dighe (TIFR), Anwesh Mazumdar (HBCSE-TIFR) y Vijay A. Singh (excoordinador nacional de las Olimpiadas de Ciencias) fueron los autores principales de este problema. Se agradecen las contribuciones del Comité Académico, el Grupo de Desarrollo Académico y la Junta Internacional.

A finales del siglo XIX, Kelvin y Helmholtz (KH) propusieron una hipótesis para explicar por qué brilla el Sol. Postularon que el Sol, que inicialmente era una nube de materia muy extensa de masa \(M_\odot\) y densidad despreciable, se ha ido contrayendo continuamente. El brillo del Sol se debería entonces a la liberación de energía potencial gravitatoria mediante esta lenta contracción.

El valor de \(\tau_{\mathrm{KH}}\) calculado anteriormente no coincide con la edad del sistema solar estimada a partir de estudios de meteoritos. Esto demuestra que la fuente de energía del Sol no puede ser puramente gravitatoria.

B Neutrinos procedentes del Sol :

En 1938, Hans Bethe propuso que la fusión nuclear del hidrógeno en helio en el núcleo del Sol es la fuente de su energía. La reacción nuclear neta es:

\[ 4\,{}^{1}\mathrm{H}\longrightarrow{}^{4}\mathrm{He} +2e^++2\nu_e \]

Los «neutrinos electrónicos», \(\nu_e\), producidos en esta reacción pueden considerarse de masa nula. Escapan del Sol y su detección en la Tierra confirma que se producen reacciones nucleares en el interior del Sol. En este problema puede despreciarse la energía que se llevan los neutrinos.

Durante su viaje desde el núcleo del Sol hasta la Tierra, algunos de los neutrinos electrónicos, \(\nu_e\), se convierten en otros tipos de neutrinos, \(\nu_x\). La eficiencia del detector para detectar \(\nu_x\) es 1/6 de su eficiencia para detectar \(\nu_e\). Si no hubiera conversión de neutrinos, esperaríamos detectar una media de \(N_1\) neutrinos en un año. Sin embargo, debido a la conversión, se detecta realmente una media de \(N_2\) neutrinos (\(\nu_e\) y \(\nu_x\) conjuntamente) al año.

Para detectar neutrinos, se construyen grandes detectores llenos de agua. Aunque las interacciones de los neutrinos con la materia son muy poco frecuentes, en ocasiones arrancan electrones de las moléculas de agua del detector. Estos electrones energéticos se desplazan por el agua a gran velocidad y emiten radiación electromagnética durante el proceso. Mientras la rapidez de uno de estos electrones sea mayor que la velocidad de la luz en el agua (índice de refracción \(n\)), esta radiación, llamada radiación de Cherenkov, se emite en forma de cono.

La fusión de H en He en el interior del Sol tiene lugar en varias etapas. En una de estas etapas intermedias se produce un núcleo de \({}^{7}\mathrm{Be}\) (masa en reposo \(m_{\mathrm{Be}}\)). Posteriormente, este puede absorber un electrón, produciendo un núcleo de \({}^{7}\mathrm{Li}\) (masa en reposo \(m_{\mathrm{Li}}<m_{\mathrm{Be}}\)) y emitiendo un \(\nu_e\). La reacción nuclear correspondiente es:

\[ {}^{7}\mathrm{Be}+e^-\longrightarrow{}^{7}\mathrm{Li}+\nu_e \]

Cuando un núcleo de Be (\(m_{\mathrm{Be}}=11.65\times10^{-27}\ \mathrm{kg}\)) está en reposo y absorbe un electrón que también está en reposo, el neutrino emitido tiene una energía \(E_\nu=1.44\times10^{-13}\ \mathrm{J}\). Sin embargo, los núcleos de Be presentan un movimiento térmico aleatorio debido a la temperatura \(T_c\) en el núcleo del Sol, y actúan como fuentes de neutrinos en movimiento. Como resultado, la energía de los neutrinos emitidos fluctúa con un valor cuadrático medio (rms) \(\Delta E_{\mathrm{rms}}\).

Enunciado traducido del texto oficial en inglés.

来自太阳表面的光子和来自太阳核心的中微子能够告诉我们太阳的温度，还能证实太阳发光是核反应的结果。

在本题中，取太阳质量为 \(M_\odot=2.00\times10^{30}\ \mathrm{kg}\)，半径为 \(R_\odot=7.00\times10^8\ \mathrm{m}\)，光度（单位时间内辐射的能量）为 \(L_\odot=3.85\times10^{26}\ \mathrm{W}\)，日地距离为 \(d_\odot=1.50\times10^{11}\ \mathrm{m}\)。

提示：

\[ \text{(i)}\quad \int xe^{ax}\,dx =\left(\frac{x}{a}-\frac{1}{a^2}\right)e^{ax} +\text{常数} \]

\[ \text{(ii)}\quad \int x^2e^{ax}\,dx =\left(\frac{x^2}{a}-\frac{2x}{a^2}+\frac{2}{a^3}\right)e^{ax} +\text{常数} \]

\[ \text{(iii)}\quad \int x^3e^{ax}\,dx =\left(\frac{x^3}{a}-\frac{3x^2}{a^2} +\frac{6x}{a^3}-\frac{6}{a^4}\right)e^{ax} +\text{常数} \]

A 太阳辐射：

太阳辐射的光谱可以用维恩分布定律很好地近似。因此，单位时间、单位频率间隔内入射到地球上任意表面的太阳能 \(u(\nu)\) 为

\[ u(\nu)=A\frac{R_\odot^2}{d_\odot^2}\frac{2\pi h}{c^2} \nu^3\exp(-h\nu/k_BT_s), \]

其中，\(\nu\) 为频率，\(A\) 为垂直于入射辐射方向的表面面积。

现在考虑一个太阳能电池，它由面积为 \(A\) 的半导体薄圆片构成，放置方向垂直于太阳光线。

太阳能电池的半导体材料具有能量宽度为 \(E_g\) 的“禁带”。我们采用以下模型：每个能量为 \(E\geq E_g\) 的光子都会激发一个电子，使其跨越禁带。这个电子贡献的有用输出能量为 \(E_g\)，多余的能量则以热的形式耗散（不转化为有用能量）。

\(^{1}\) 本题的主要命题人为 Amol Dighe（TIFR）、Anwesh Mazumdar（HBCSE-TIFR）和 Vijay A. Singh（前科学奥林匹克竞赛全国协调员）。谨向学术委员会、学术发展小组和国际委员会的贡献致谢。

十九世纪末，开尔文和亥姆霍兹（KH）提出了一个解释太阳如何发光的假说。他们假定，太阳最初是一个质量为 \(M_\odot\)、密度可忽略不计的巨大物质云，此后一直不断收缩。于是，太阳发光便可归因于这种缓慢收缩所释放的引力势能。

上面算出的 \(\tau_{\mathrm{KH}}\) 与通过陨石研究估算的太阳系年龄不符。这表明太阳的能量来源不可能仅仅是引力。

B 来自太阳的中微子：

1938 年，汉斯·贝特提出，太阳核心中氢聚变为氦的核反应是太阳的能量来源。净核反应为：

\[ 4\,{}^{1}\mathrm{H}\longrightarrow{}^{4}\mathrm{He} +2e^++2\nu_e \]

此反应产生的“电子中微子”\(\nu_e\) 可视为无质量粒子。它们逃离太阳，在地球上探测到它们便证实了太阳内部发生核反应。本题中可忽略中微子带走的能量。

从太阳核心传播到地球的过程中，一部分电子中微子 \(\nu_e\) 转化为其他类型的中微子 \(\nu_x\)。探测器对 \(\nu_x\) 的探测效率是对 \(\nu_e\) 的探测效率的 1/6。如果没有中微子转化，我们预期每年平均探测到 \(N_1\) 个中微子。然而，由于发生转化，实际每年平均探测到的中微子数为 \(N_2\)（包括 \(\nu_e\) 和 \(\nu_x\)）。

为了探测中微子，人们建造了装满水的大型探测器。虽然中微子与物质的相互作用极为罕见，但它们偶尔会从探测器内的水分子中击出电子。这些高能电子在水中高速运动，并在此过程中发射电磁辐射。只要这种电子的速度大于水中光速（水的折射率为 \(n\)），就会以锥形发射这种称为切伦科夫辐射的辐射。

太阳内部 H 聚变为 He 的过程分为若干步骤。其中一个中间步骤会产生 \({}^{7}\mathrm{Be}\) 原子核（静质量为 \(m_{\mathrm{Be}}\)）。随后，它可以吸收一个电子，生成一个 \({}^{7}\mathrm{Li}\) 原子核（静质量为 \(m_{\mathrm{Li}}<m_{\mathrm{Be}}\)），并发射一个 \(\nu_e\)。相应的核反应为：

\[ {}^{7}\mathrm{Be}+e^-\longrightarrow{}^{7}\mathrm{Li}+\nu_e \]

当一个 Be 原子核（\(m_{\mathrm{Be}}=11.65\times10^{-27}\ \mathrm{kg}\)）处于静止状态，并吸收一个同样处于静止状态的电子时，所发射中微子的能量为 \(E_\nu=1.44\times10^{-13}\ \mathrm{J}\)。然而，由于太阳核心的温度为 \(T_c\)，Be 原子核处于无规则热运动中，因而成为运动的中微子源。由此，发射出的中微子能量会发生涨落，其涨落的均方根（rms）值为 \(\Delta E_{\mathrm{rms}}\)。

题目译自官方英文原文。

Фотоны с поверхности Солнца и нейтрино из его ядра могут рассказать нам о температурах Солнца, а также подтвердить, что Солнце светит благодаря ядерным реакциям.

Во всей задаче считайте массу Солнца равной \(M_\odot=2.00\times10^{30}\ \mathrm{kg}\), его радиус — \(R_\odot=7.00\times10^8\ \mathrm{m}\), его светимость (энергию излучения, испускаемую за единицу времени) — \(L_\odot=3.85\times10^{26}\ \mathrm{W}\), а расстояние от Земли до Солнца — \(d_\odot=1.50\times10^{11}\ \mathrm{m}\).

Примечание:

\[ \text{(i)}\quad \int xe^{ax}\,dx =\left(\frac{x}{a}-\frac{1}{a^2}\right)e^{ax} +\text{постоянная} \]

\[ \text{(ii)}\quad \int x^2e^{ax}\,dx =\left(\frac{x^2}{a}-\frac{2x}{a^2}+\frac{2}{a^3}\right)e^{ax} +\text{постоянная} \]

\[ \text{(iii)}\quad \int x^3e^{ax}\,dx =\left(\frac{x^3}{a}-\frac{3x^2}{a^2} +\frac{6x}{a^3}-\frac{6}{a^4}\right)e^{ax} +\text{постоянная} \]

A Излучение Солнца :

Спектр солнечного излучения хорошо описывается законом распределения Вина. Согласно этому закону, энергия солнечного излучения, падающая на некоторую поверхность на Земле за единицу времени в единичном интервале частот, \(u(\nu)\), задаётся выражением

\[ u(\nu)=A\frac{R_\odot^2}{d_\odot^2}\frac{2\pi h}{c^2} \nu^3\exp(-h\nu/k_BT_s), \]

где \(\nu\) — частота, а \(A\) — площадь поверхности, перпендикулярной направлению падающего излучения.

Теперь рассмотрим солнечный элемент, представляющий собой тонкий диск из полупроводникового материала площадью \(A\), расположенный перпендикулярно направлению солнечных лучей.

Полупроводниковый материал солнечного элемента имеет запрещённую зону шириной \(E_g\). Примем следующую модель. Каждый фотон с энергией \(E\geq E_g\) возбуждает электрон, переводя его через запрещённую зону. Этот электрон даёт полезную выходную энергию \(E_g\), а вся избыточная энергия рассеивается в виде тепла (не преобразуется в полезную энергию).

\(^{1}\) Основными авторами этой задачи были Амол Диге (TIFR), Анвеш Мазумдар (HBCSE-TIFR) и Виджай А. Сингх (бывший национальный координатор научных олимпиад). Авторы с благодарностью отмечают вклад академического комитета, группы академического развития и международного совета.

В конце XIX века Кельвин и Гельмгольц (KH) предложили гипотезу, объясняющую, почему Солнце светит. Они предположили, что Солнце, первоначально представлявшее собой очень большое облако вещества массой \(M_\odot\) и пренебрежимо малой плотности, непрерывно сжималось. Тогда свечение Солнца было бы обусловлено высвобождением гравитационной потенциальной энергии при этом медленном сжатии.

Вычисленное выше значение \(\tau_{\mathrm{KH}}\) не соответствует возрасту Солнечной системы, оценённому по исследованиям метеоритов. Это показывает, что источник энергии Солнца не может быть исключительно гравитационным.

B Нейтрино от Солнца :

В 1938 году Ганс Бете предположил, что источником энергии Солнца является ядерный синтез гелия из водорода в его ядре. Суммарная ядерная реакция имеет вид:

\[ 4\,{}^{1}\mathrm{H}\longrightarrow{}^{4}\mathrm{He} +2e^++2\nu_e \]

«Электронные нейтрино» \(\nu_e\), образующиеся в этой реакции, можно считать безмассовыми. Они покидают Солнце, и их регистрация на Земле подтверждает протекание ядерных реакций внутри Солнца. В этой задаче энергией, уносимой нейтрино, можно пренебречь.

На пути от ядра Солнца к Земле часть электронных нейтрино \(\nu_e\) превращается в нейтрино других типов \(\nu_x\). Эффективность регистрации \(\nu_x\) детектором составляет 1/6 от его эффективности регистрации \(\nu_e\). При отсутствии превращений нейтрино мы ожидали бы регистрировать в среднем \(N_1\) нейтрино за год. Однако из-за превращений фактически за год регистрируется в среднем \(N_2\) нейтрино (суммарно \(\nu_e\) и \(\nu_x\)).

Для регистрации нейтрино сооружают большие детекторы, заполненные водой. Хотя взаимодействия нейтрино с веществом происходят крайне редко, иногда они выбивают электроны из молекул воды в детекторе. Эти электроны с высокой энергией движутся в воде с большими скоростями, испуская при этом электромагнитное излучение. Пока скорость такого электрона превышает скорость света в воде (показатель преломления \(n\)), это излучение, называемое излучением Черенкова, испускается в виде конуса.

Синтез He из H внутри Солнца происходит в несколько этапов. На одном из этих промежуточных этапов образуется ядро \({}^{7}\mathrm{Be}\) (масса покоя \(m_{\mathrm{Be}}\)). Впоследствии оно может захватить электрон, образуя ядро \({}^{7}\mathrm{Li}\) (масса покоя \(m_{\mathrm{Li}}<m_{\mathrm{Be}}\)) и испуская \(\nu_e\). Соответствующая ядерная реакция имеет вид:

\[ {}^{7}\mathrm{Be}+e^-\longrightarrow{}^{7}\mathrm{Li}+\nu_e \]

Когда покоящееся ядро Be (\(m_{\mathrm{Be}}=11.65\times10^{-27}\ \mathrm{kg}\)) захватывает также покоящийся электрон, испущенное нейтрино имеет энергию \(E_\nu=1.44\times10^{-13}\ \mathrm{J}\). Однако из-за температуры \(T_c\) в ядре Солнца ядра Be совершают хаотическое тепловое движение и служат движущимися источниками нейтрино. В результате энергия испускаемых нейтрино флуктуирует со среднеквадратичным отклонением \(\Delta E_{\mathrm{rms}}\).

Условие переведено с официального английского текста.

يمكن للفوتونات القادمة من سطح الشمس والنيوترينوات القادمة من لبّها أن تخبرنا عن درجات الحرارة الشمسية، وأن تؤكد أيضًا أن الشمس تشعّ بفعل التفاعلات النووية.

في جميع أجزاء هذه المسألة، اعتبر كتلة الشمس \(M_\odot=2.00\times10^{30}\ \mathrm{kg}\)، ونصف قطرها \(R_\odot=7.00\times10^8\ \mathrm{m}\)، وقدرتها الإشعاعية (الطاقة الإشعاعية المنبعثة في وحدة الزمن) \(L_\odot=3.85\times10^{26}\ \mathrm{W}\)، والمسافة بين الأرض والشمس \(d_\odot=1.50\times10^{11}\ \mathrm{m}\).

ملاحظة:

\[ \text{(i)}\quad \int xe^{ax}\,dx =\left(\frac{x}{a}-\frac{1}{a^2}\right)e^{ax} +\text{ثابت} \]

\[ \text{(ii)}\quad \int x^2e^{ax}\,dx =\left(\frac{x^2}{a}-\frac{2x}{a^2}+\frac{2}{a^3}\right)e^{ax} +\text{ثابت} \]

\[ \text{(iii)}\quad \int x^3e^{ax}\,dx =\left(\frac{x^3}{a}-\frac{3x^2}{a^2} +\frac{6x}{a^3}-\frac{6}{a^4}\right)e^{ax} +\text{ثابت} \]

A الإشعاع القادم من الشمس :

يمكن تقريب طيف الإشعاع الشمسي تقريبًا جيدًا بقانون توزيع فين. ووفقًا لذلك، تُعطى الطاقة الشمسية الساقطة على أي سطح على الأرض في وحدة الزمن ولكل وحدة من مجال التردد، \(u(\nu)\)، بالعلاقة

\[ u(\nu)=A\frac{R_\odot^2}{d_\odot^2}\frac{2\pi h}{c^2} \nu^3\exp(-h\nu/k_BT_s), \]

حيث \(\nu\) هو التردد، و\(A\) هي مساحة السطح العمودي على اتجاه الإشعاع الساقط.

لننظر الآن في خلية شمسية تتكون من قرص رقيق من مادة شبه موصلة، مساحته \(A\)، موضوع عموديًا على اتجاه أشعة الشمس.

للمادة شبه الموصلة في الخلية الشمسية «فجوة نطاق» طاقتها \(E_g\). نفترض النموذج الآتي: كل فوتون طاقته \(E\geq E_g\) يثير إلكترونًا عبر فجوة النطاق. ويسهم هذا الإلكترون بطاقة \(E_g\) بوصفها طاقة خرج مفيدة، وتتبدد أي طاقة زائدة على هيئة حرارة (ولا تتحول إلى طاقة مفيدة).

\(^{1}\) كان أمول ديغي (TIFR)، وأنويش مازومدار (HBCSE-TIFR)، وفيجاي أ. سينغ (المنسق الوطني السابق للأولمبيادات العلمية) المؤلفين الرئيسيين لهذه المسألة. ونتقدم بالشكر والتقدير على مساهمات اللجنة الأكاديمية، ومجموعة التطوير الأكاديمي، والمجلس الدولي.

في أواخر القرن التاسع عشر، اقترح كلفن وهلمهولتز (KH) فرضية لتفسير كيفية إشعاع الشمس. فقد افترضا أن الشمس بدأت كسحابة هائلة من المادة، كتلتها \(M_\odot\) وكثافتها مهملة، ثم أخذت تنكمش باستمرار. وعندئذ يكون إشعاع الشمس ناتجًا عن تحرر طاقة الوضع الثقالية خلال هذا الانكماش البطيء.

لا تتوافق \(\tau_{\mathrm{KH}}\) المحسوبة أعلاه مع عمر النظام الشمسي المقدّر من دراسات النيازك. وهذا يبيّن أن مصدر طاقة الشمس لا يمكن أن يكون ثقاليًا بحتًا.

B النيوترينوات القادمة من الشمس :

في عام 1938، اقترح هانس بيته أن الاندماج النووي للهيدروجين إلى الهيليوم في لبّ الشمس هو مصدر طاقتها. والتفاعل النووي الصافي هو:

\[ 4\,{}^{1}\mathrm{H}\longrightarrow{}^{4}\mathrm{He} +2e^++2\nu_e \]

يمكن اعتبار «النيوترينوات الإلكترونية» \(\nu_e\) الناتجة في هذا التفاعل عديمة الكتلة. وهي تفلت من الشمس، ويؤكد الكشف عنها على الأرض حدوث تفاعلات نووية داخل الشمس. يمكن إهمال الطاقة التي تحملها النيوترينوات بعيدًا في هذه المسألة.

أثناء انتقال بعض النيوترينوات الإلكترونية \(\nu_e\) من لبّ الشمس إلى الأرض، تتحول إلى أنواع أخرى من النيوترينوات \(\nu_x\). كفاءة الكاشف في الكشف عن \(\nu_x\) تساوي 1/6 من كفاءته في الكشف عن \(\nu_e\). إذا لم يحدث تحول للنيوترينوات، نتوقع الكشف عن متوسط قدره \(N_1\) نيوترينو في السنة. ولكن بسبب التحول، يُكشف فعليًا عن متوسط قدره \(N_2\) نيوترينو (من \(\nu_e\) و\(\nu_x\) معًا) في السنة.

للكشف عن النيوترينوات، تُنشأ كواشف كبيرة مملوءة بالماء. وعلى الرغم من ندرة تفاعلات النيوترينوات مع المادة، فإنها تقتلع أحيانًا إلكترونات من جزيئات الماء في الكاشف. تتحرك هذه الإلكترونات عالية الطاقة عبر الماء بسرعات عالية، وتصدر أثناء ذلك إشعاعًا كهرومغناطيسيًا. ما دامت سرعة أحد هذه الإلكترونات أكبر من سرعة الضوء في الماء (معامل انكساره \(n\))، ينبعث هذا الإشعاع، المسمى إشعاع تشيرينكوف، على شكل مخروط.

يحدث اندماج H إلى He داخل الشمس عبر عدة خطوات. وتنتج نواة \({}^{7}\mathrm{Be}\) (كتلتها السكونية \(m_{\mathrm{Be}}\)) في إحدى هذه الخطوات الوسيطة. ويمكنها بعد ذلك أن تمتص إلكترونًا، فتنتج نواة \({}^{7}\mathrm{Li}\) (كتلتها السكونية \(m_{\mathrm{Li}}<m_{\mathrm{Be}}\)) وتصدر \(\nu_e\). والتفاعل النووي الموافق هو:

\[ {}^{7}\mathrm{Be}+e^-\longrightarrow{}^{7}\mathrm{Li}+\nu_e \]

عندما تكون نواة Be (\(m_{\mathrm{Be}}=11.65\times10^{-27}\ \mathrm{kg}\)) ساكنة وتمتص إلكترونًا ساكنًا أيضًا، تكون طاقة النيوترينو المنبعث \(E_\nu=1.44\times10^{-13}\ \mathrm{J}\). إلا أن نوى Be تتحرك حركة حرارية عشوائية بفعل درجة الحرارة \(T_c\) في لبّ الشمس، وتعمل كمصادر نيوترينوات متحركة. ونتيجة لذلك، تتذبذب طاقة النيوترينوات المنبعثة، ويكون الجذر التربيعي لمتوسط مربع هذه التذبذبات (rms) هو \(\Delta E_{\mathrm{rms}}\).

نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي.