IPhO 2012 · Theory problem 3

Protostar formation

Download PDFIPhO 2012

Problem T3. Protostar formation (9 points)

Let us model the formation of a star as follows. A spherical cloud of sparse interstellar gas, initially at rest, starts to collapse due to its own gravity. The initial radius of the ball is \(r_0\) and the mass is \(m\). The temperature of the surroundings (much sparser than the gas) and the initial temperature of the gas is uniformly \(T_0\). The gas may be assumed to be ideal. The average molar mass of the gas is \(\mu\) and its adiabatic index is \(\gamma>\frac{4}{3}\). Assume that \(G\frac{m\mu}{r_0}\gg RT_0\), where \(R\) is the gas constant and \(G\) is the gravitational constant.

i. (0.8 pts) During much of the collapse, the gas is so transparent that any heat generated is immediately radiated away, i.e. the ball stays in thermodynamic equilibrium with its surroundings. What is the number of times, \(n\), by which the pressure increases when the radius is halved to \(r_1=0.5r_0\)? Assume that the gas density remains uniform.

ii. (1 pt) Estimate the time \(t_2\) needed for the radius to shrink from \(r_0\) to \(r_2=0.95r_0\). Neglect the change of the gravity field at the position of a falling gas particle.

iii. (2.5 pts) Assuming that the pressure remains negligible, find the time \(t_{r\to0}\) needed for the ball to collapse from \(r_0\) down to a much smaller radius, using Kepler’s Laws.

iv. (1.7 pts) At some radius \(r_3\ll r_0\), the gas becomes dense enough to be opaque to the heat radiation. Calculate the amount of heat \(Q\) radiated away during the collapse from the radius \(r_0\) down to \(r_3\).

v. (1 pt) For radii smaller than \(r_3\) you may neglect heat loss due to radiation. Determine how the temperature \(T\) of the ball depends on its radius for \(r<r_3\).

vi. (2 pts) Eventually we cannot neglect the effect of the pressure on the dynamics of the gas and the collapse stops at \(r=r_4\) (with \(r_4\ll r_3\)). However, the radiation loss can still be neglected and the temperature is not yet high enough to ignite nuclear fusion. The pressure of such a protostar is not uniform anymore, but rough estimates with inaccurate numerical prefactors can still be done. Estimate the final radius \(r_4\) and the respective temperature \(T_4\).

Official English text of the problem.

Answers

i. \[ \boxed{n=8.} \]
ii. \[ \boxed{t_2\simeq\sqrt{\frac{0.10\,r_0^3}{Gm}} \simeq0.32\sqrt{\frac{r_0^3}{Gm}}.} \]
iii. \[ \boxed{t_{r\to0}=\frac{\pi}{2\sqrt2}\sqrt{\frac{r_0^3}{Gm}} \simeq1.11\sqrt{\frac{r_0^3}{Gm}}.} \]
iv. \[ \boxed{Q=\frac{3mRT_0}{\mu}\ln\!\left(\frac{r_0}{r_3}\right).} \]
v. \[ \boxed{T(r)=T_0\left(\frac{r_3}{r}\right)^{3(\gamma-1)}.} \]
vi. Suppressing numerical factors in the energy balance, the estimates are \[ \boxed{ r_4\sim r_3 \left(\frac{RT_0r_3}{Gm\mu}\right)^{1/(3\gamma-4)} } \] and \[ \boxed{ T_4\sim T_0 \left(\frac{Gm\mu}{RT_0r_3}\right)^{3(\gamma-1)/(3\gamma-4)}. } \] An expression retaining the heat-capacity factor and an approximate gravitational structure factor is derived below.

Solution

Let the amount of gas be \(N=m/\mu\) moles. Its volume and ideal-gas pressure are \[ V=\frac{4\pi r^3}{3}, \qquad pV=NRT. \] The given inequality means that the initial gravitational energy scale greatly exceeds the thermal energy scale, justifying neglect of pressure during the early collapse.

i. Pressure increase during isothermal contraction

Thermodynamic equilibrium with the surroundings keeps the temperature at \(T_0\). Thus \[ p=\frac{NRT_0}{V}\propto r^{-3}. \] Consequently, \[ n=\frac{p_1}{p_0} =\left(\frac{r_0}{r_1}\right)^3 =\left(\frac{1}{0.5}\right)^3 =\boxed{8}. \]

ii. Time for the first five per cent decrease in radius

By the shell theorem, a particle at the surface initially experiences the inward gravitational acceleration \[ g_0=\frac{Gm}{r_0^2}. \] Keeping this acceleration constant, as instructed, and using the initial condition of rest, \[ r_0-r_2=\frac12g_0t_2^2. \] Since \(r_0-r_2=0.05r_0\), \[ \boxed{ t_2\simeq\sqrt{\frac{2(0.05r_0)}{Gm/r_0^2}} =\sqrt{\frac{0.10r_0^3}{Gm}}. } \]

iii. Collapse time from Kepler’s laws

A surface particle moves under the gravitational field of the enclosed mass \(m\): \[ \ddot r=-\frac{Gm}{r^2}. \]

Regard its radial fall as the limit of a very eccentric bound Kepler orbit. The apocentre is \(r_0\), while the pericentre tends to zero, so the semimajor axis tends to \[ a=\frac{r_0}{2}. \] Kepler’s third law gives the orbital period \[ P=2\pi\sqrt{\frac{a^3}{Gm}}. \] The journey from apocentre to pericentre takes half a period. Therefore, \[ \boxed{ t_{r\to0}=\frac{P}{2} =\pi\sqrt{\frac{(r_0/2)^3}{Gm}} =\frac{\pi}{2\sqrt2}\sqrt{\frac{r_0^3}{Gm}}. } \]

For an initially uniform cloud, this is also the collapse time of every interior shell. Indeed, a shell initially at radius \(s_0\) encloses \[ M(s_0)=m\left(\frac{s_0}{r_0}\right)^3, \] so its collapse time is \[ \frac{\pi}{2\sqrt2}\sqrt{\frac{s_0^3}{GM(s_0)}} =\frac{\pi}{2\sqrt2}\sqrt{\frac{r_0^3}{Gm}}, \] independent of \(s_0\). This supports the uniform, homologous collapse approximation.

iv. Heat radiated during the transparent stage

The internal energy of an ideal gas depends only on temperature. Since \(T=T_0\), its internal energy remains constant.

Taking \(\delta Q_{\rm out}>0\) for heat leaving the gas, the thermal first law is \[ dU=-p\,dV-\delta Q_{\rm out}. \] Thus, with \(dU=0\), \[ \delta Q_{\rm out}=-p\,dV =-NRT_0\frac{dV}{V}. \] Integrating from \(V_0\) to \(V_3\), \[ Q=NRT_0\ln\!\left(\frac{V_0}{V_3}\right). \] Since \(V\propto r^3\), \[ \boxed{ Q=\frac{3mRT_0}{\mu} \ln\!\left(\frac{r_0}{r_3}\right). } \]

The decrease in gravitational potential energy is not all radiated away: during this rapid collapse, most becomes coherent inward kinetic energy. The radiated heat calculated here is the compression work that would otherwise increase the gas’s internal energy.

v. Temperature during the opaque stage

Once radiation losses become negligible, the compression is adiabatic within the model. For an ideal gas, \[ pV^\gamma=\text{constant}. \] Combining this with \(pV=NRT\) gives \[ TV^{\gamma-1}=\text{constant}. \] At the beginning of this stage, \(r=r_3\) and \(T=T_0\). Hence \[ T(r)V(r)^{\gamma-1} =T_0V_3^{\gamma-1}, \] and therefore \[ \boxed{ T(r)=T_0\left(\frac{V_3}{V(r)}\right)^{\gamma-1} =T_0\left(\frac{r_3}{r}\right)^{3(\gamma-1)}. } \]

vi. Radius and temperature at the arrest of collapse

The molar heat capacity is \[ C_V=\frac{R}{\gamma-1}, \] so the internal energy is \[ U=\frac{mRT}{\mu(\gamma-1)}. \]

Write the final gravitational potential energy as \[ W_4=-\alpha\frac{Gm^2}{r_4}, \] where \(\alpha\) is a dimensionless structure factor of order unity. A uniform sphere has \(\alpha=3/5\); the actual nonuniform protostar need not have precisely this value.

At the arrest of the bulk contraction, its bulk kinetic energy is approximately zero. Conservation of energy gives \[ U_4+W_4=U_0+W_0-Q. \] The right-hand side is small compared with \(Gm^2/r_4\). The initial gravitational energy is smaller by a factor of order \(r_4/r_0\). The radiated energy is already small compared with \(Gm^2/r_3\), since \[ \frac{Q}{Gm^2/r_3} = 3\frac{RT_0r_0}{Gm\mu} \frac{r_3}{r_0} \ln\!\left(\frac{r_0}{r_3}\right) \ll1. \] Thus, to the requested accuracy, \[ U_4\simeq |W_4|, \] or \[ \frac{mRT_4}{\mu(\gamma-1)} \simeq\alpha\frac{Gm^2}{r_4}. \] Equivalently, \[ T_4\simeq \frac{\alpha(\gamma-1)Gm\mu}{Rr_4}. \]

Combining this with the adiabatic temperature law, \[ T_0\left(\frac{r_3}{r_4}\right)^{3(\gamma-1)} \simeq \frac{\alpha(\gamma-1)Gm\mu}{Rr_4}, \] yields \[ \left(\frac{r_3}{r_4}\right)^{3\gamma-4} \simeq \frac{\alpha(\gamma-1)Gm\mu}{RT_0r_3}. \] Therefore, retaining these factors, \[ \boxed{ r_4\simeq r_3 \left[ \frac{RT_0r_3}{\alpha(\gamma-1)Gm\mu} \right]^{1/(3\gamma-4)} } \] and \[ \boxed{ T_4\simeq T_0 \left[ \frac{\alpha(\gamma-1)Gm\mu}{RT_0r_3} \right]^{3(\gamma-1)/(3\gamma-4)}. } \] Taking \(\alpha=3/5\) supplies one concrete rough estimate; suppressing the numerical factors gives the scaling expressions in Answers.

Finally, \[ U\propto r^{-3(\gamma-1)}, \qquad |W|\propto r^{-1}. \] Because \(\gamma>4/3\), the internal energy grows faster during contraction than the magnitude of the gravitational energy. This allows the collapse to be arrested. Also, \[ \frac{Gm\mu}{RT_0r_3}\gg1, \] so the estimates give \(r_4\ll r_3\) and \(T_4\gg T_0\), consistently with the assumptions.

The solution was checked against the official solution.

IPhO 2012 · Theorieaufgabe 3

Entstehung eines Protosterns

PDF herunterladenIPhO 2012

Aufgabe T3. Entstehung eines Protosterns (9 Punkte)

Wir modellieren die Entstehung eines Sterns wie folgt. Eine kugelförmige Wolke aus dünnem interstellarem Gas, die sich zunächst in Ruhe befindet, beginnt unter ihrer eigenen Gravitation zu kollabieren. Der Anfangsradius der Kugel ist \(r_0\), ihre Masse ist \(m\). Die Temperatur der Umgebung (die eine wesentlich geringere Dichte als das Gas hat) und die Anfangstemperatur des Gases betragen überall \(T_0\). Das Gas kann als ideal angenommen werden. Die mittlere molare Masse des Gases ist \(\mu\), und sein Adiabatenexponent ist \(\gamma>\frac{4}{3}\). Es gelte \(G\frac{m\mu}{r_0}\gg RT_0\), wobei \(R\) die Gaskonstante und \(G\) die Gravitationskonstante ist.

i. (0.8 Punkte) Während eines Großteils des Kollapses ist das Gas so transparent, dass jegliche erzeugte Wärme sofort abgestrahlt wird, d. h., die Kugel bleibt im thermodynamischen Gleichgewicht mit ihrer Umgebung. Um welchen Faktor \(n\) steigt der Druck, wenn der Radius auf \(r_1=0.5r_0\) halbiert wird? Nehmen Sie an, dass die Gasdichte räumlich gleichmäßig bleibt.

ii. (1 Punkt) Schätzen Sie die Zeit \(t_2\) ab, die benötigt wird, damit der Radius von \(r_0\) auf \(r_2=0.95r_0\) schrumpft. Vernachlässigen Sie die Änderung des Gravitationsfeldes am Ort eines fallenden Gasteilchens.

iii. (2.5 Punkte) Bestimmen Sie unter der Annahme, dass der Druck vernachlässigbar bleibt, mithilfe der Keplerschen Gesetze die Zeit \(t_{r\to0}\), die die Kugel benötigt, um von \(r_0\) auf einen wesentlich kleineren Radius zu kollabieren.

iv. (1.7 Punkte) Bei einem Radius \(r_3\ll r_0\) wird das Gas so dicht, dass es für Wärmestrahlung undurchlässig wird. Berechnen Sie die Wärmemenge \(Q\), die während des Kollapses vom Radius \(r_0\) auf \(r_3\) abgestrahlt wird.

v. (1 Punkt) Für Radien kleiner als \(r_3\) dürfen Sie den Wärmeverlust durch Strahlung vernachlässigen. Bestimmen Sie, wie die Temperatur \(T\) der Kugel für \(r<r_3\) von ihrem Radius abhängt.

vi. (2 Punkte) Schließlich können wir den Einfluss des Drucks auf die Dynamik des Gases nicht mehr vernachlässigen, und der Kollaps kommt bei \(r=r_4\) (mit \(r_4\ll r_3\)) zum Stillstand. Die Strahlungsverluste können jedoch weiterhin vernachlässigt werden, und die Temperatur ist noch nicht hoch genug, um die Kernfusion zu zünden. Der Druck eines solchen Protosterns ist nicht mehr räumlich gleichmäßig, doch grobe Abschätzungen mit ungenauen numerischen Vorfaktoren sind weiterhin möglich. Schätzen Sie den Endradius \(r_4\) und die zugehörige Temperatur \(T_4\) ab.

Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt.

Antworten

i. \[ \boxed{n=8.} \]
ii. \[ \boxed{t_2\simeq\sqrt{\frac{0.10\,r_0^3}{Gm}} \simeq0.32\sqrt{\frac{r_0^3}{Gm}}.} \]
iii. \[ \boxed{t_{r\to0}=\frac{\pi}{2\sqrt2}\sqrt{\frac{r_0^3}{Gm}} \simeq1.11\sqrt{\frac{r_0^3}{Gm}}.} \]
iv. \[ \boxed{Q=\frac{3mRT_0}{\mu}\ln\!\left(\frac{r_0}{r_3}\right).} \]
v. \[ \boxed{T(r)=T_0\left(\frac{r_3}{r}\right)^{3(\gamma-1)}.} \]
vi. Unter Weglassung numerischer Faktoren in der Energiebilanz ergeben sich die Abschätzungen \[ \boxed{ r_4\sim r_3 \left(\frac{RT_0r_3}{Gm\mu}\right)^{1/(3\gamma-4)} } \] und \[ \boxed{ T_4\sim T_0 \left(\frac{Gm\mu}{RT_0r_3}\right)^{3(\gamma-1)/(3\gamma-4)}. } \] Ein Ausdruck, der den Wärmekapazitätsfaktor und einen näherungsweisen Strukturfaktor für die Gravitationsenergie beibehält, wird im Folgenden hergeleitet.

Lösung

Die Stoffmenge des Gases sei \(N=m/\mu\) Mol. Sein Volumen und sein Druck gemäß der idealen Gasgleichung sind \[ V=\frac{4\pi r^3}{3}, \qquad pV=NRT. \] Die gegebene Ungleichung bedeutet, dass die anfängliche Gravitationsenergieskala die thermische Energieskala bei Weitem übersteigt. Dies rechtfertigt die Vernachlässigung des Drucks während der frühen Phase des Kollapses.

i. Druckanstieg bei isothermer Kontraktion

Das thermodynamische Gleichgewicht mit der Umgebung hält die Temperatur auf \(T_0\). Somit gilt \[ p=\frac{NRT_0}{V}\propto r^{-3}. \] Folglich ist \[ n=\frac{p_1}{p_0} =\left(\frac{r_0}{r_1}\right)^3 =\left(\frac{1}{0.5}\right)^3 =\boxed{8}. \]

ii. Zeit für die erste Abnahme des Radius um fünf Prozent

Nach dem Newtonschen Schalentheorem erfährt ein Teilchen an der Oberfläche anfänglich die nach innen gerichtete Gravitationsbeschleunigung \[ g_0=\frac{Gm}{r_0^2}. \] Wenn diese Beschleunigung wie vorgegeben konstant gehalten wird und berücksichtigt wird, dass sich das Teilchen anfangs in Ruhe befindet, gilt \[ r_0-r_2=\frac12g_0t_2^2. \] Da \(r_0-r_2=0.05r_0\), folgt \[ \boxed{ t_2\simeq\sqrt{\frac{2(0.05r_0)}{Gm/r_0^2}} =\sqrt{\frac{0.10r_0^3}{Gm}}. } \]

iii. Kollapszeit aus den Keplerschen Gesetzen

Ein Teilchen an der Oberfläche bewegt sich im Gravitationsfeld der eingeschlossenen Masse \(m\): \[ \ddot r=-\frac{Gm}{r^2}. \]

Wir betrachten seinen radialen Fall als Grenzfall einer stark exzentrischen gebundenen Keplerbahn. Das Apozentrum liegt bei \(r_0\), während das Perizentrum gegen null strebt, sodass die große Halbachse gegen \[ a=\frac{r_0}{2} \] strebt. Das dritte Keplersche Gesetz liefert die Umlaufzeit \[ P=2\pi\sqrt{\frac{a^3}{Gm}}. \] Die Bewegung vom Apozentrum zum Perizentrum dauert eine halbe Umlaufzeit. Daher gilt \[ \boxed{ t_{r\to0}=\frac{P}{2} =\pi\sqrt{\frac{(r_0/2)^3}{Gm}} =\frac{\pi}{2\sqrt2}\sqrt{\frac{r_0^3}{Gm}}. } \]

Für eine anfangs homogene Wolke ist dies auch die Kollapszeit jeder inneren Schale. Tatsächlich schließt eine Schale, die sich anfangs beim Radius \(s_0\) befindet, die Masse \[ M(s_0)=m\left(\frac{s_0}{r_0}\right)^3, \] ein, sodass ihre Kollapszeit \[ \frac{\pi}{2\sqrt2}\sqrt{\frac{s_0^3}{GM(s_0)}} =\frac{\pi}{2\sqrt2}\sqrt{\frac{r_0^3}{Gm}}, \] unabhängig von \(s_0\) ist. Dies stützt die Näherung eines homogenen, homologen Kollapses.

iv. Während der transparenten Phase abgestrahlte Wärme

Die innere Energie eines idealen Gases hängt nur von der Temperatur ab. Da \(T=T_0\) gilt, bleibt seine innere Energie konstant.

Wird \(\delta Q_{\rm out}>0\) für Wärme gewählt, die das Gas verlässt, lautet der erste Hauptsatz der Thermodynamik \[ dU=-p\,dV-\delta Q_{\rm out}. \] Mit \(dU=0\) folgt somit \[ \delta Q_{\rm out}=-p\,dV =-NRT_0\frac{dV}{V}. \] Integration von \(V_0\) bis \(V_3\) ergibt \[ Q=NRT_0\ln\!\left(\frac{V_0}{V_3}\right). \] Da \(V\propto r^3\), gilt \[ \boxed{ Q=\frac{3mRT_0}{\mu} \ln\!\left(\frac{r_0}{r_3}\right). } \]

Die Abnahme der gravitativen potenziellen Energie wird nicht vollständig abgestrahlt: Während dieses schnellen Kollapses wird der größte Teil in kinetische Energie einer kohärenten, nach innen gerichteten Bewegung umgewandelt. Die hier berechnete abgestrahlte Wärme entspricht der Kompressionsarbeit, die andernfalls die innere Energie des Gases erhöhen würde.

v. Temperatur während der undurchlässigen Phase

Sobald die Strahlungsverluste vernachlässigbar werden, verläuft die Kompression innerhalb des Modells adiabatisch. Für ein ideales Gas gilt \[ pV^\gamma=\text{konstant}. \] Zusammen mit \(pV=NRT\) ergibt dies \[ TV^{\gamma-1}=\text{konstant}. \] Zu Beginn dieser Phase gelten \(r=r_3\) und \(T=T_0\). Daher ist \[ T(r)V(r)^{\gamma-1} =T_0V_3^{\gamma-1}, \] und somit \[ \boxed{ T(r)=T_0\left(\frac{V_3}{V(r)}\right)^{\gamma-1} =T_0\left(\frac{r_3}{r}\right)^{3(\gamma-1)}. } \]

vi. Radius und Temperatur beim Stillstand des Kollapses

Die molare Wärmekapazität beträgt \[ C_V=\frac{R}{\gamma-1}, \] sodass die innere Energie \[ U=\frac{mRT}{\mu(\gamma-1)} \] beträgt.

Wir schreiben die gravitative potenzielle Energie im Endzustand als \[ W_4=-\alpha\frac{Gm^2}{r_4}, \] wobei \(\alpha\) ein dimensionsloser Strukturfaktor von der Größenordnung eins ist. Für eine homogene Kugel gilt \(\alpha=3/5\); der tatsächliche inhomogene Protostern muss nicht genau diesen Wert aufweisen.

Wenn die makroskopische Kontraktion zum Stillstand kommt, ist die kinetische Energie dieser makroskopischen Bewegung näherungsweise null. Aus der Energieerhaltung folgt \[ U_4+W_4=U_0+W_0-Q. \] Die rechte Seite ist klein gegenüber \(Gm^2/r_4\). Die anfängliche Gravitationsenergie ist um einen Faktor von der Größenordnung \(r_4/r_0\) kleiner. Die abgestrahlte Energie ist bereits klein gegenüber \(Gm^2/r_3\), denn \[ \frac{Q}{Gm^2/r_3} = 3\frac{RT_0r_0}{Gm\mu} \frac{r_3}{r_0} \ln\!\left(\frac{r_0}{r_3}\right) \ll1. \] Somit gilt mit der geforderten Genauigkeit \[ U_4\simeq |W_4|, \] oder \[ \frac{mRT_4}{\mu(\gamma-1)} \simeq\alpha\frac{Gm^2}{r_4}. \] Gleichwertig dazu ist \[ T_4\simeq \frac{\alpha(\gamma-1)Gm\mu}{Rr_4}. \]

Die Kombination mit dem adiabatischen Temperaturgesetz, \[ T_0\left(\frac{r_3}{r_4}\right)^{3(\gamma-1)} \simeq \frac{\alpha(\gamma-1)Gm\mu}{Rr_4}, \] ergibt \[ \left(\frac{r_3}{r_4}\right)^{3\gamma-4} \simeq \frac{\alpha(\gamma-1)Gm\mu}{RT_0r_3}. \] Unter Beibehaltung dieser Faktoren folgt daher \[ \boxed{ r_4\simeq r_3 \left[ \frac{RT_0r_3}{\alpha(\gamma-1)Gm\mu} \right]^{1/(3\gamma-4)} } \] und \[ \boxed{ T_4\simeq T_0 \left[ \frac{\alpha(\gamma-1)Gm\mu}{RT_0r_3} \right]^{3(\gamma-1)/(3\gamma-4)}. } \] Mit \(\alpha=3/5\) erhält man eine konkrete grobe Abschätzung; durch Weglassen der numerischen Faktoren ergeben sich die Skalierungsausdrücke unter Antworten.

Schließlich gilt \[ U\propto r^{-3(\gamma-1)}, \qquad |W|\propto r^{-1}. \] Da \(\gamma>4/3\), wächst die innere Energie während der Kontraktion schneller als der Betrag der Gravitationsenergie. Dadurch kann der Kollaps zum Stillstand kommen. Außerdem gilt \[ \frac{Gm\mu}{RT_0r_3}\gg1, \] sodass die Abschätzungen \(r_4\ll r_3\) und \(T_4\gg T_0\) ergeben, im Einklang mit den Annahmen.

Die Lösung wurde mit der offiziellen Lösung abgeglichen.

IPhO 2012 · Teori sorusu 3

Önyıldız oluşumu

PDF indirIPhO 2012

Soru T3. Önyıldız oluşumu (9 puan)

Bir yıldızın oluşumunu aşağıdaki gibi modelleyelim. Başlangıçta durgun olan, seyrek yıldızlararası gazdan oluşan küresel bir bulut, kendi kütleçekiminin etkisiyle çökmeye başlar. Kürenin başlangıç yarıçapı \(r_0\), kütlesi ise \(m\)'dir. Çevrenin (gazdan çok daha seyrek olan ortamın) sıcaklığı ve gazın başlangıç sıcaklığı her yerde \(T_0\)'dır. Gazın ideal olduğu kabul edilebilir. Gazın ortalama molar kütlesi \(\mu\), adyabatik indisi ise \(\gamma>\frac{4}{3}\)'tür. \(G\frac{m\mu}{r_0}\gg RT_0\) olduğunu varsayın; burada \(R\) gaz sabiti, \(G\) ise kütleçekim sabitidir.

i. (0.8 puan) Çökmenin büyük bir bölümünde gaz o kadar saydamdır ki üretilen her türlü ısı hemen ışınımla dışarı verilir; yani küre, çevresiyle termodinamik dengede kalır. Yarıçap yarıya inerek \(r_1=0.5r_0\) olduğunda basınç kaç katına çıkar? Bu kat sayısını \(n\) ile gösterin. Gaz yoğunluğunun her yerde aynı kaldığını varsayın.

ii. (1 puan) Yarıçapın \(r_0\)'dan \(r_2=0.95r_0\)'a küçülmesi için gereken \(t_2\) süresini tahmin edin. Düşen bir gaz parçacığının bulunduğu konumdaki kütleçekim alanının değişimini ihmal edin.

iii. (2.5 puan) Basıncın ihmal edilebilir düzeyde kaldığını varsayarak, Kepler yasalarını kullanıp kürenin \(r_0\)'dan çok daha küçük bir yarıçapa kadar çökmesi için gereken \(t_{r\to0}\) süresini bulun.

iv. (1.7 puan) \(r_3\ll r_0\) olan bir yarıçapta gaz, ısıl ışınıma karşı opak hâle gelecek kadar yoğunlaşır. Yarıçap \(r_0\)'dan \(r_3\)'e inerken gerçekleşen çökme sırasında ışınımla dışarı verilen \(Q\) ısı miktarını hesaplayın.

v. (1 puan) \(r_3\)'ten küçük yarıçaplarda ışınımla ısı kaybını ihmal edebilirsiniz. \(r<r_3\) için kürenin \(T\) sıcaklığının yarıçapına nasıl bağlı olduğunu belirleyin.

vi. (2 puan) Sonunda basıncın gazın dinamiği üzerindeki etkisi ihmal edilemez hâle gelir ve çökme \(r=r_4\)'te durur (\(r_4\ll r_3\) olmak üzere). Ancak ışınım kaybı hâlâ ihmal edilebilir ve sıcaklık henüz nükleer füzyonu başlatacak kadar yüksek değildir. Böyle bir önyıldızın basıncı artık her yerde aynı değildir, fakat sayısal ön çarpanları kesin olmayan kaba tahminler yine de yapılabilir. Son yarıçap \(r_4\)'ü ve buna karşılık gelen \(T_4\) sıcaklığını tahmin edin.

Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir.

Cevaplar

i. \[ \boxed{n=8.} \]
ii. \[ \boxed{t_2\simeq\sqrt{\frac{0.10\,r_0^3}{Gm}} \simeq0.32\sqrt{\frac{r_0^3}{Gm}}.} \]
iii. \[ \boxed{t_{r\to0}=\frac{\pi}{2\sqrt2}\sqrt{\frac{r_0^3}{Gm}} \simeq1.11\sqrt{\frac{r_0^3}{Gm}}.} \]
iv. \[ \boxed{Q=\frac{3mRT_0}{\mu}\ln\!\left(\frac{r_0}{r_3}\right).} \]
v. \[ \boxed{T(r)=T_0\left(\frac{r_3}{r}\right)^{3(\gamma-1)}.} \]
vi. Enerji dengesindeki sayısal çarpanlar göz ardı edildiğinde tahminler \[ \boxed{ r_4\sim r_3 \left(\frac{RT_0r_3}{Gm\mu}\right)^{1/(3\gamma-4)} } \] ve \[ \boxed{ T_4\sim T_0 \left(\frac{Gm\mu}{RT_0r_3}\right)^{3(\gamma-1)/(3\gamma-4)}. } \] şeklindedir. Isı kapasitesi çarpanını ve kütleçekim enerjisine ilişkin yaklaşık bir yapı çarpanını koruyan bir ifade aşağıda türetilmiştir.

Çözüm

Gaz miktarı \(N=m/\mu\) mol olsun. Hacmi ve ideal gaz basıncı \[ V=\frac{4\pi r^3}{3}, \qquad pV=NRT. \] ile verilir. Verilen eşitsizlik, başlangıçtaki kütleçekim enerjisi ölçeğinin ısıl enerji ölçeğinden çok daha büyük olduğunu ifade eder; bu da çökmenin ilk evresinde basıncın ihmal edilmesini haklı kılar.

i. İzotermal büzülme sırasında basınç artışı

Çevreyle termodinamik denge, sıcaklığı \(T_0\)'da tutar. Dolayısıyla \[ p=\frac{NRT_0}{V}\propto r^{-3}. \] Bunun sonucunda, \[ n=\frac{p_1}{p_0} =\left(\frac{r_0}{r_1}\right)^3 =\left(\frac{1}{0.5}\right)^3 =\boxed{8}. \]

ii. Yarıçaptaki ilk yüzde beşlik azalma için geçen süre

Küresel kabuk teoremine göre, yüzeydeki bir parçacık başlangıçta içe doğru \[ g_0=\frac{Gm}{r_0^2}. \] kütleçekim ivmesine maruz kalır. İstendiği gibi bu ivmeyi sabit tutup başlangıçtaki durgunluk koşulunu kullanırsak, \[ r_0-r_2=\frac12g_0t_2^2. \] \(r_0-r_2=0.05r_0\) olduğundan, \[ \boxed{ t_2\simeq\sqrt{\frac{2(0.05r_0)}{Gm/r_0^2}} =\sqrt{\frac{0.10r_0^3}{Gm}}. } \]

iii. Kepler yasalarından çökme süresi

Yüzeydeki bir parçacık, içinde kalan \(m\) kütlesinin kütleçekim alanında hareket eder: \[ \ddot r=-\frac{Gm}{r^2}. \]

Parçacığın radyal düşüşünü, dışmerkezliği çok yüksek olan bağlı bir Kepler yörüngesinin limit durumu olarak ele alalım. Enöte uzaklığı \(r_0\) iken enberi uzaklığı sıfıra yaklaşır; dolayısıyla yarı büyük eksen \[ a=\frac{r_0}{2}. \] değerine yaklaşır. Kepler'in üçüncü yasası, yörünge periyodunu \[ P=2\pi\sqrt{\frac{a^3}{Gm}}. \] olarak verir. Enöteden enberiye yolculuk yarım periyot sürer. Bu nedenle, \[ \boxed{ t_{r\to0}=\frac{P}{2} =\pi\sqrt{\frac{(r_0/2)^3}{Gm}} =\frac{\pi}{2\sqrt2}\sqrt{\frac{r_0^3}{Gm}}. } \]

Başlangıçta yoğunluğu her yerde aynı olan bir bulut için bu, aynı zamanda içerideki her kabuğun çökme süresidir. Gerçekten de başlangıçta \(s_0\) yarıçapında bulunan bir kabuğun içinde kalan kütle \[ M(s_0)=m\left(\frac{s_0}{r_0}\right)^3, \] olduğundan, çökme süresi \[ \frac{\pi}{2\sqrt2}\sqrt{\frac{s_0^3}{GM(s_0)}} =\frac{\pi}{2\sqrt2}\sqrt{\frac{r_0^3}{Gm}}, \] olup \(s_0\)'dan bağımsızdır. Bu, yoğunluğun her yerde aynı kaldığı homolog çökme yaklaşımını destekler.

iv. Saydam evrede ışınımla dışarı verilen ısı

İdeal bir gazın iç enerjisi yalnızca sıcaklığa bağlıdır. \(T=T_0\) olduğundan iç enerjisi sabit kalır.

Gazdan dışarı çıkan ısı için \(\delta Q_{\rm out}>0\) alındığında, termodinamiğin birinci yasası \[ dU=-p\,dV-\delta Q_{\rm out}. \] şeklindedir. Dolayısıyla \(dU=0\) için, \[ \delta Q_{\rm out}=-p\,dV =-NRT_0\frac{dV}{V}. \] \(V_0\)'dan \(V_3\)'e integral alındığında, \[ Q=NRT_0\ln\!\left(\frac{V_0}{V_3}\right). \] \(V\propto r^3\) olduğundan, \[ \boxed{ Q=\frac{3mRT_0}{\mu} \ln\!\left(\frac{r_0}{r_3}\right). } \]

Kütleçekim potansiyel enerjisindeki azalmanın tamamı ışınımla dışarı verilmez: bu hızlı çökme sırasında büyük bölümü, gazın bir bütün olarak içe doğru hareketinin kinetik enerjisine dönüşür. Burada hesaplanan ışınımla dışarı verilen ısı, aksi takdirde gazın iç enerjisini artıracak olan sıkıştırma işidir.

v. Opak evrede sıcaklık

Işınım kayıpları ihmal edilebilir hâle geldiğinde, model kapsamında sıkışma adyabatiktir. İdeal bir gaz için, \[ pV^\gamma=\text{sabit}. \] Bu bağıntı \(pV=NRT\) ile birleştirilirse \[ TV^{\gamma-1}=\text{sabit}. \] elde edilir. Bu evrenin başlangıcında \(r=r_3\) ve \(T=T_0\)'dır. Dolayısıyla \[ T(r)V(r)^{\gamma-1} =T_0V_3^{\gamma-1}, \] ve buradan \[ \boxed{ T(r)=T_0\left(\frac{V_3}{V(r)}\right)^{\gamma-1} =T_0\left(\frac{r_3}{r}\right)^{3(\gamma-1)}. } \]

vi. Çökmenin durduğu andaki yarıçap ve sıcaklık

Molar ısı kapasitesi \[ C_V=\frac{R}{\gamma-1}, \] olduğundan, iç enerji \[ U=\frac{mRT}{\mu(\gamma-1)}. \] ile verilir.

Son kütleçekim potansiyel enerjisini \[ W_4=-\alpha\frac{Gm^2}{r_4}, \] şeklinde yazalım; burada \(\alpha\), bir mertebesinde boyutsuz bir yapı çarpanıdır. Yoğunluğu her yerde aynı olan bir küre için \(\alpha=3/5\)'tir; yoğunluğu her yerde aynı olmayan gerçek önyıldız için bu değerin tam olarak geçerli olması gerekmez.

Gazın bütünsel büzülmesinin durduğu anda, bütünsel hareketinin kinetik enerjisi yaklaşık sıfırdır. Enerjinin korunumu \[ U_4+W_4=U_0+W_0-Q. \] bağıntısını verir. Sağ taraf, \(Gm^2/r_4\) ile karşılaştırıldığında küçüktür. Başlangıçtaki kütleçekim enerjisinin bu ölçeğe oranı \(r_4/r_0\) mertebesindedir. Işınımla dışarı verilen enerji, \(Gm^2/r_3\) ile karşılaştırıldığında bile küçüktür; çünkü \[ \frac{Q}{Gm^2/r_3} = 3\frac{RT_0r_0}{Gm\mu} \frac{r_3}{r_0} \ln\!\left(\frac{r_0}{r_3}\right) \ll1. \] Dolayısıyla istenen doğruluk düzeyinde, \[ U_4\simeq |W_4|, \] ya da \[ \frac{mRT_4}{\mu(\gamma-1)} \simeq\alpha\frac{Gm^2}{r_4}. \] Eşdeğer biçimde, \[ T_4\simeq \frac{\alpha(\gamma-1)Gm\mu}{Rr_4}. \]

Bu bağıntı adyabatik sıcaklık yasasıyla birleştirildiğinde, \[ T_0\left(\frac{r_3}{r_4}\right)^{3(\gamma-1)} \simeq \frac{\alpha(\gamma-1)Gm\mu}{Rr_4}, \] buradan \[ \left(\frac{r_3}{r_4}\right)^{3\gamma-4} \simeq \frac{\alpha(\gamma-1)Gm\mu}{RT_0r_3}. \] elde edilir. Bu nedenle, bu çarpanlar korunduğunda, \[ \boxed{ r_4\simeq r_3 \left[ \frac{RT_0r_3}{\alpha(\gamma-1)Gm\mu} \right]^{1/(3\gamma-4)} } \] ve \[ \boxed{ T_4\simeq T_0 \left[ \frac{\alpha(\gamma-1)Gm\mu}{RT_0r_3} \right]^{3(\gamma-1)/(3\gamma-4)}. } \] \(\alpha=3/5\) alınması somut bir kaba tahmin sağlar; sayısal çarpanların göz ardı edilmesi ise Cevaplar bölümündeki ölçekleme ifadelerini verir.

Son olarak, \[ U\propto r^{-3(\gamma-1)}, \qquad |W|\propto r^{-1}. \] \(\gamma>4/3\) olduğundan, büzülme sırasında iç enerji, kütleçekim enerjisinin büyüklüğünden daha hızlı artar. Bu, çökmenin durmasını mümkün kılar. Ayrıca, \[ \frac{Gm\mu}{RT_0r_3}\gg1, \] olduğundan tahminler, varsayımlarla tutarlı biçimde \(r_4\ll r_3\) ve \(T_4\gg T_0\) verir.

Çözüm, resmi çözümle karşılaştırılarak kontrol edildi.

IPhO 2012 · Problema teórico 3

Formación de una protoestrella

Descargar PDFIPhO 2012

Problema T3. Formación de una protoestrella (9 puntos)

Modelemos la formación de una estrella del siguiente modo. Una nube esférica de gas interestelar tenue, inicialmente en reposo, comienza a colapsar debido a su propia gravedad. El radio inicial de la esfera es \(r_0\) y su masa es \(m\). La temperatura del entorno (mucho más tenue que el gas) y la temperatura inicial del gas son uniformemente iguales a \(T_0\). Puede suponerse que el gas es ideal. La masa molar media del gas es \(\mu\) y su índice adiabático es \(\gamma>\frac{4}{3}\). Suponga que \(G\frac{m\mu}{r_0}\gg RT_0\), donde \(R\) es la constante de los gases y \(G\) es la constante de gravitación universal.

i. (0.8 puntos) Durante gran parte del colapso, el gas es tan transparente que cualquier calor generado se emite inmediatamente por radiación, es decir, la esfera permanece en equilibrio termodinámico con su entorno. ¿Por qué factor \(n\) aumenta la presión cuando el radio se reduce a la mitad, hasta \(r_1=0.5r_0\)? Suponga que la densidad del gas permanece uniforme.

ii. (1 punto) Estime el tiempo \(t_2\) necesario para que el radio disminuya de \(r_0\) a \(r_2=0.95r_0\). Desprecie la variación del campo gravitatorio en la posición de una partícula de gas en caída.

iii. (2.5 puntos) Suponiendo que la presión sigue siendo despreciable, halle el tiempo \(t_{r\to0}\) necesario para que la esfera colapse desde \(r_0\) hasta un radio mucho menor, utilizando las leyes de Kepler.

iv. (1.7 puntos) Al alcanzar cierto radio \(r_3\ll r_0\), el gas se vuelve lo suficientemente denso como para ser opaco a la radiación térmica. Calcule la cantidad de calor \(Q\) emitida por radiación durante el colapso desde el radio \(r_0\) hasta \(r_3\).

v. (1 punto) Para radios menores que \(r_3\), puede despreciar la pérdida de calor por radiación. Determine cómo depende la temperatura \(T\) de la esfera de su radio para \(r<r_3\).

vi. (2 puntos) Finalmente, ya no podemos despreciar el efecto de la presión sobre la dinámica del gas y el colapso se detiene en \(r=r_4\) (con \(r_4\ll r_3\)). Sin embargo, la pérdida por radiación sigue siendo despreciable y la temperatura aún no es lo suficientemente alta como para iniciar la fusión nuclear. La presión de esta protoestrella ya no es uniforme, pero todavía pueden hacerse estimaciones aproximadas con prefactores numéricos poco precisos. Estime el radio final \(r_4\) y la temperatura correspondiente \(T_4\).

Enunciado traducido del texto oficial en inglés.

Respuestas

i. \[ \boxed{n=8.} \]
ii. \[ \boxed{t_2\simeq\sqrt{\frac{0.10\,r_0^3}{Gm}} \simeq0.32\sqrt{\frac{r_0^3}{Gm}}.} \]
iii. \[ \boxed{t_{r\to0}=\frac{\pi}{2\sqrt2}\sqrt{\frac{r_0^3}{Gm}} \simeq1.11\sqrt{\frac{r_0^3}{Gm}}.} \]
iv. \[ \boxed{Q=\frac{3mRT_0}{\mu}\ln\!\left(\frac{r_0}{r_3}\right).} \]
v. \[ \boxed{T(r)=T_0\left(\frac{r_3}{r}\right)^{3(\gamma-1)}.} \]
vi. Omitiendo los factores numéricos en el balance de energía, las estimaciones son \[ \boxed{ r_4\sim r_3 \left(\frac{RT_0r_3}{Gm\mu}\right)^{1/(3\gamma-4)} } \] y \[ \boxed{ T_4\sim T_0 \left(\frac{Gm\mu}{RT_0r_3}\right)^{3(\gamma-1)/(3\gamma-4)}. } \] Más adelante se deduce una expresión que conserva el factor de capacidad calorífica y un factor aproximado de estructura gravitatoria.

Solución

Sea \(N=m/\mu\) la cantidad de gas en moles. Su volumen y su presión de gas ideal son \[ V=\frac{4\pi r^3}{3}, \qquad pV=NRT. \] La desigualdad dada significa que la escala inicial de energía gravitatoria supera ampliamente la escala de energía térmica, lo que justifica despreciar la presión durante la fase inicial del colapso.

i. Aumento de presión durante la contracción isotérmica

El equilibrio termodinámico con el entorno mantiene la temperatura en \(T_0\). Así, \[ p=\frac{NRT_0}{V}\propto r^{-3}. \] Por consiguiente, \[ n=\frac{p_1}{p_0} =\left(\frac{r_0}{r_1}\right)^3 =\left(\frac{1}{0.5}\right)^3 =\boxed{8}. \]

ii. Tiempo necesario para la primera disminución del cinco por ciento del radio

Por el teorema de las capas esféricas, una partícula en la superficie experimenta inicialmente una aceleración gravitatoria dirigida hacia el centro, \[ g_0=\frac{Gm}{r_0^2}. \] Manteniendo constante esta aceleración, como se indica, y utilizando la condición inicial de reposo, \[ r_0-r_2=\frac12g_0t_2^2. \] Como \(r_0-r_2=0.05r_0\), \[ \boxed{ t_2\simeq\sqrt{\frac{2(0.05r_0)}{Gm/r_0^2}} =\sqrt{\frac{0.10r_0^3}{Gm}}. } \]

iii. Tiempo de colapso a partir de las leyes de Kepler

Una partícula de la superficie se mueve bajo la acción del campo gravitatorio de la masa encerrada \(m\): \[ \ddot r=-\frac{Gm}{r^2}. \]

Consideremos su caída radial como el límite de una órbita kepleriana ligada muy excéntrica. El apocentro es \(r_0\), mientras que el pericentro tiende a cero, por lo que el semieje mayor tiende a \[ a=\frac{r_0}{2}. \] La tercera ley de Kepler da el período orbital \[ P=2\pi\sqrt{\frac{a^3}{Gm}}. \] El recorrido del apocentro al pericentro dura medio período. Por tanto, \[ \boxed{ t_{r\to0}=\frac{P}{2} =\pi\sqrt{\frac{(r_0/2)^3}{Gm}} =\frac{\pi}{2\sqrt2}\sqrt{\frac{r_0^3}{Gm}}. } \]

Para una nube inicialmente uniforme, este es también el tiempo de colapso de cada capa interior. En efecto, una capa situada inicialmente en el radio \(s_0\) encierra \[ M(s_0)=m\left(\frac{s_0}{r_0}\right)^3, \] de modo que su tiempo de colapso es \[ \frac{\pi}{2\sqrt2}\sqrt{\frac{s_0^3}{GM(s_0)}} =\frac{\pi}{2\sqrt2}\sqrt{\frac{r_0^3}{Gm}}, \] independientemente de \(s_0\). Esto respalda la aproximación de un colapso uniforme y homólogo.

iv. Calor emitido por radiación durante la etapa transparente

La energía interna de un gas ideal depende únicamente de la temperatura. Como \(T=T_0\), su energía interna permanece constante.

Tomando \(\delta Q_{\rm out}>0\) para el calor que sale del gas, el primer principio de la termodinámica se escribe \[ dU=-p\,dV-\delta Q_{\rm out}. \] Así, con \(dU=0\), \[ \delta Q_{\rm out}=-p\,dV =-NRT_0\frac{dV}{V}. \] Integrando desde \(V_0\) hasta \(V_3\), \[ Q=NRT_0\ln\!\left(\frac{V_0}{V_3}\right). \] Como \(V\propto r^3\), \[ \boxed{ Q=\frac{3mRT_0}{\mu} \ln\!\left(\frac{r_0}{r_3}\right). } \]

La disminución de la energía potencial gravitatoria no se emite íntegramente por radiación: durante este rápido colapso, la mayor parte se convierte en energía cinética de movimiento coherente hacia el centro. El calor emitido por radiación que se calcula aquí es el trabajo de compresión que, de otro modo, aumentaría la energía interna del gas.

v. Temperatura durante la etapa opaca

Una vez que las pérdidas por radiación se vuelven despreciables, la compresión es adiabática dentro del modelo. Para un gas ideal, \[ pV^\gamma=\text{constante}. \] Combinando esto con \(pV=NRT\), se obtiene \[ TV^{\gamma-1}=\text{constante}. \] Al comienzo de esta etapa, \(r=r_3\) y \(T=T_0\). Por ello, \[ T(r)V(r)^{\gamma-1} =T_0V_3^{\gamma-1}, \] y, por tanto, \[ \boxed{ T(r)=T_0\left(\frac{V_3}{V(r)}\right)^{\gamma-1} =T_0\left(\frac{r_3}{r}\right)^{3(\gamma-1)}. } \]

vi. Radio y temperatura al detenerse el colapso

La capacidad calorífica molar es \[ C_V=\frac{R}{\gamma-1}, \] de modo que la energía interna es \[ U=\frac{mRT}{\mu(\gamma-1)}. \]

Escribamos la energía potencial gravitatoria final como \[ W_4=-\alpha\frac{Gm^2}{r_4}, \] donde \(\alpha\) es un factor de estructura adimensional de orden unidad. Una esfera uniforme tiene \(\alpha=3/5\); la protoestrella real, no uniforme, no tiene por qué presentar precisamente este valor.

Cuando se detiene la contracción global, la energía cinética de su movimiento global es aproximadamente cero. La conservación de la energía da \[ U_4+W_4=U_0+W_0-Q. \] El miembro derecho es pequeño en comparación con \(Gm^2/r_4\). La energía gravitatoria inicial es menor por un factor de orden \(r_4/r_0\). La energía emitida por radiación ya es pequeña en comparación con \(Gm^2/r_3\), puesto que \[ \frac{Q}{Gm^2/r_3} = 3\frac{RT_0r_0}{Gm\mu} \frac{r_3}{r_0} \ln\!\left(\frac{r_0}{r_3}\right) \ll1. \] Así, con la precisión solicitada, \[ U_4\simeq |W_4|, \] o bien \[ \frac{mRT_4}{\mu(\gamma-1)} \simeq\alpha\frac{Gm^2}{r_4}. \] De forma equivalente, \[ T_4\simeq \frac{\alpha(\gamma-1)Gm\mu}{Rr_4}. \]

Combinando esto con la ley adiabática de la temperatura, \[ T_0\left(\frac{r_3}{r_4}\right)^{3(\gamma-1)} \simeq \frac{\alpha(\gamma-1)Gm\mu}{Rr_4}, \] se obtiene \[ \left(\frac{r_3}{r_4}\right)^{3\gamma-4} \simeq \frac{\alpha(\gamma-1)Gm\mu}{RT_0r_3}. \] Por tanto, conservando estos factores, \[ \boxed{ r_4\simeq r_3 \left[ \frac{RT_0r_3}{\alpha(\gamma-1)Gm\mu} \right]^{1/(3\gamma-4)} } \] y \[ \boxed{ T_4\simeq T_0 \left[ \frac{\alpha(\gamma-1)Gm\mu}{RT_0r_3} \right]^{3(\gamma-1)/(3\gamma-4)}. } \] Tomar \(\alpha=3/5\) proporciona una estimación aproximada concreta; omitir los factores numéricos da las expresiones de escala de Respuestas.

Finalmente, \[ U\propto r^{-3(\gamma-1)}, \qquad |W|\propto r^{-1}. \] Como \(\gamma>4/3\), la energía interna crece durante la contracción más rápidamente que el valor absoluto de la energía gravitatoria. Esto permite que el colapso se detenga. Además, \[ \frac{Gm\mu}{RT_0r_3}\gg1, \] por lo que las estimaciones dan \(r_4\ll r_3\) y \(T_4\gg T_0\), de acuerdo con las hipótesis.

La solución se comprobó con la solución oficial.

IPhO 2012 · 理论题 3

原恒星的形成

下载 PDFIPhO 2012

题目 T3. 原恒星的形成（9 分）

我们用如下模型描述恒星的形成。一个起初静止的稀薄星际气体球形云团，在自身引力作用下开始坍缩。气体球的初始半径为 \(r_0\)，质量为 \(m\)。周围环境（比云团中的气体稀薄得多）的温度和气体的初始温度均为 \(T_0\)，且处处均匀。可将气体视为理想气体。气体的平均摩尔质量为 \(\mu\)，绝热指数为 \(\gamma>\frac{4}{3}\)。假设 \(G\frac{m\mu}{r_0}\gg RT_0\)，其中 \(R\) 为气体常量，\(G\) 为引力常量。

i.（0.8 分） 在坍缩过程的大部分时间内，气体的透明度很高，产生的任何热量都会立即辐射出去，即气体球始终与周围环境保持热力学平衡。当半径减小到原来的一半，即 \(r_1=0.5r_0\) 时，压强变为原来的多少倍 \(n\)？假设气体密度始终均匀。

ii.（1 分） 估算半径从 \(r_0\) 缩小到 \(r_2=0.95r_0\) 所需的时间 \(t_2\)。忽略下落气体粒子所在位置处引力场的变化。

iii.（2.5 分） 假设压强始终可以忽略，利用开普勒定律求气体球从 \(r_0\) 坍缩到远小于该值的半径所需的时间 \(t_{r\to0}\)。

iv.（1.7 分） 当半径达到某个值 \(r_3\ll r_0\) 时，气体变得足够致密，以致热辐射无法透过。计算从半径 \(r_0\) 坍缩到 \(r_3\) 的过程中辐射出去的热量 \(Q\)。

v.（1 分） 当半径小于 \(r_3\) 时，可以忽略辐射造成的热量损失。确定在 \(r<r_3\) 时气体球的温度 \(T\) 与半径的关系。

vi.（2 分） 最终，压强对气体运动的影响不能再忽略，坍缩在 \(r=r_4\) 处停止（其中 \(r_4\ll r_3\)）。不过，辐射损失仍可忽略，温度也尚未高到足以引发核聚变。这样的原恒星内部压强已不再均匀，但仍可进行数值前因子不甚精确的粗略估算。估算最终半径 \(r_4\) 及相应的温度 \(T_4\)。

题目译自官方英文原文。

答案

i. \[ \boxed{n=8.} \]
ii. \[ \boxed{t_2\simeq\sqrt{\frac{0.10\,r_0^3}{Gm}} \simeq0.32\sqrt{\frac{r_0^3}{Gm}}.} \]
iii. \[ \boxed{t_{r\to0}=\frac{\pi}{2\sqrt2}\sqrt{\frac{r_0^3}{Gm}} \simeq1.11\sqrt{\frac{r_0^3}{Gm}}.} \]
iv. \[ \boxed{Q=\frac{3mRT_0}{\mu}\ln\!\left(\frac{r_0}{r_3}\right).} \]
v. \[ \boxed{T(r)=T_0\left(\frac{r_3}{r}\right)^{3(\gamma-1)}.} \]
vi. 在能量平衡中略去数值因子，可得估算结果 \[ \boxed{ r_4\sim r_3 \left(\frac{RT_0r_3}{Gm\mu}\right)^{1/(3\gamma-4)} } \] 以及 \[ \boxed{ T_4\sim T_0 \left(\frac{Gm\mu}{RT_0r_3}\right)^{3(\gamma-1)/(3\gamma-4)}. } \] 下文将推导保留热容因子和近似引力结构因子的表达式。

解答

设气体的物质的量为 \(N=m/\mu\) 摩尔。其体积和理想气体压强满足 \[ V=\frac{4\pi r^3}{3}, \qquad pV=NRT. \] 题给不等式表明，初始引力能的量级远大于热能的量级，因此在坍缩初期可以忽略压强。

i. 等温收缩过程中的压强增大

与周围环境保持热力学平衡使温度维持在 \(T_0\)。因此 \[ p=\frac{NRT_0}{V}\propto r^{-3}. \] 于是， \[ n=\frac{p_1}{p_0} =\left(\frac{r_0}{r_1}\right)^3 =\left(\frac{1}{0.5}\right)^3 =\boxed{8}. \]

ii. 半径最初减小百分之五所需的时间

由球壳定理，表面处的粒子最初受到的向内引力加速度为 \[ g_0=\frac{Gm}{r_0^2}. \] 按题目要求将此加速度视为常量，并利用初始静止条件，得 \[ r_0-r_2=\frac12g_0t_2^2. \] 由于 \(r_0-r_2=0.05r_0\)， \[ \boxed{ t_2\simeq\sqrt{\frac{2(0.05r_0)}{Gm/r_0^2}} =\sqrt{\frac{0.10r_0^3}{Gm}}. } \]

iii. 由开普勒定律求坍缩时间

表面处的粒子在其内部所包围质量 \(m\) 产生的引力场中运动： \[ \ddot r=-\frac{Gm}{r^2}. \]

将其径向下落看作偏心率极高的束缚开普勒轨道的极限情形。远心点距离为 \(r_0\)，而近心点距离趋于零，因此半长轴趋于 \[ a=\frac{r_0}{2}. \] 由开普勒第三定律，轨道周期为 \[ P=2\pi\sqrt{\frac{a^3}{Gm}}. \] 从远心点运动到近心点需要半个周期。因此， \[ \boxed{ t_{r\to0}=\frac{P}{2} =\pi\sqrt{\frac{(r_0/2)^3}{Gm}} =\frac{\pi}{2\sqrt2}\sqrt{\frac{r_0^3}{Gm}}. } \]

对于初始密度均匀的云团，这也是内部每个球壳的坍缩时间。事实上，初始半径为 \(s_0\) 的球壳所包围的质量为 \[ M(s_0)=m\left(\frac{s_0}{r_0}\right)^3, \] 所以其坍缩时间为 \[ \frac{\pi}{2\sqrt2}\sqrt{\frac{s_0^3}{GM(s_0)}} =\frac{\pi}{2\sqrt2}\sqrt{\frac{r_0^3}{Gm}}, \] 与 \(s_0\) 无关。这支持了密度均匀的同源坍缩近似。

iv. 透明阶段辐射出去的热量

理想气体的内能只取决于温度。由于 \(T=T_0\)，其内能保持不变。

取 \(\delta Q_{\rm out}>0\) 表示气体向外放出的热量，则热力学第一定律为 \[ dU=-p\,dV-\delta Q_{\rm out}. \] 因此，由 \(dU=0\)，得 \[ \delta Q_{\rm out}=-p\,dV =-NRT_0\frac{dV}{V}. \] 从 \(V_0\) 积分至 \(V_3\)，得 \[ Q=NRT_0\ln\!\left(\frac{V_0}{V_3}\right). \] 由于 \(V\propto r^3\)， \[ \boxed{ Q=\frac{3mRT_0}{\mu} \ln\!\left(\frac{r_0}{r_3}\right). } \]

减少的引力势能并非全部辐射出去：在这一快速坍缩过程中，大部分引力势能转化为整体向内运动的动能。这里计算的辐射热量对应于压缩功，若没有辐射，这部分功就会使气体内能增加。

v. 不透明阶段的温度

一旦辐射损失可以忽略，在本模型中压缩过程就是绝热的。对于理想气体， \[ pV^\gamma=\text{常量}. \] 将其与 \(pV=NRT\) 联立，得 \[ TV^{\gamma-1}=\text{常量}. \] 在这一阶段开始时，\(r=r_3\) 且 \(T=T_0\)。因此 \[ T(r)V(r)^{\gamma-1} =T_0V_3^{\gamma-1}, \] 从而 \[ \boxed{ T(r)=T_0\left(\frac{V_3}{V(r)}\right)^{\gamma-1} =T_0\left(\frac{r_3}{r}\right)^{3(\gamma-1)}. } \]

vi. 坍缩停止时的半径和温度

摩尔定容热容为 \[ C_V=\frac{R}{\gamma-1}, \] 所以内能为 \[ U=\frac{mRT}{\mu(\gamma-1)}. \]

将最终的引力势能写成 \[ W_4=-\alpha\frac{Gm^2}{r_4}, \] 其中 \(\alpha\) 是量级为一的无量纲结构因子。对于均匀球体，\(\alpha=3/5\)；实际的非均匀原恒星不一定恰好取这一数值。

当整体收缩停止时，整体运动的动能近似为零。由能量守恒，得 \[ U_4+W_4=U_0+W_0-Q. \] 右端与 \(Gm^2/r_4\) 相比很小。初始引力能与之相比的比值量级为 \(r_4/r_0\)。辐射能量相对于 \(Gm^2/r_3\) 就已经很小，因为 \[ \frac{Q}{Gm^2/r_3} = 3\frac{RT_0r_0}{Gm\mu} \frac{r_3}{r_0} \ln\!\left(\frac{r_0}{r_3}\right) \ll1. \] 因此，在题目要求的精度下， \[ U_4\simeq |W_4|, \] 即 \[ \frac{mRT_4}{\mu(\gamma-1)} \simeq\alpha\frac{Gm^2}{r_4}. \] 等价地， \[ T_4\simeq \frac{\alpha(\gamma-1)Gm\mu}{Rr_4}. \]

将其与绝热温度关系联立， \[ T_0\left(\frac{r_3}{r_4}\right)^{3(\gamma-1)} \simeq \frac{\alpha(\gamma-1)Gm\mu}{Rr_4}, \] 得 \[ \left(\frac{r_3}{r_4}\right)^{3\gamma-4} \simeq \frac{\alpha(\gamma-1)Gm\mu}{RT_0r_3}. \] 因此，保留这些因子，可得 \[ \boxed{ r_4\simeq r_3 \left[ \frac{RT_0r_3}{\alpha(\gamma-1)Gm\mu} \right]^{1/(3\gamma-4)} } \] 以及 \[ \boxed{ T_4\simeq T_0 \left[ \frac{\alpha(\gamma-1)Gm\mu}{RT_0r_3} \right]^{3(\gamma-1)/(3\gamma-4)}. } \] 取 \(\alpha=3/5\) 就给出一种具体的粗略估算；略去数值因子则得到答案中的标度关系式。

最后， \[ U\propto r^{-3(\gamma-1)}, \qquad |W|\propto r^{-1}. \] 由于 \(\gamma>4/3\)，收缩过程中内能的增长速度快于引力能绝对值的增长速度。这使坍缩能够停止。此外， \[ \frac{Gm\mu}{RT_0r_3}\gg1, \] 因此，估算结果满足 \(r_4\ll r_3\) 和 \(T_4\gg T_0\)，与假设一致。

解答已与官方解答核对。

IPhO 2012 · Теоретическая задача 3

Образование протозвезды

Скачать PDFIPhO 2012

Задача T3. Образование протозвезды (9 баллов)

Рассмотрим следующую модель образования звезды. Сферическое облако разреженного межзвёздного газа, первоначально находящееся в покое, начинает сжиматься под действием собственной гравитации. Начальный радиус шара равен \(r_0\), а его масса — \(m\). Температура окружающей среды (гораздо более разреженной, чем газ) и начальная температура газа всюду равны \(T_0\). Газ можно считать идеальным. Средняя молярная масса газа равна \(\mu\), а его показатель адиабаты — \(\gamma>\frac{4}{3}\). Считайте, что \(G\frac{m\mu}{r_0}\gg RT_0\), где \(R\) — универсальная газовая постоянная, а \(G\) — гравитационная постоянная.

i. (0.8 балла) На протяжении большей части сжатия газ настолько прозрачен, что всё выделяющееся тепло немедленно излучается, то есть шар остаётся в термодинамическом равновесии с окружающей средой. Во сколько раз, \(n\), увеличивается давление, когда радиус уменьшается вдвое до \(r_1=0.5r_0\)? Считайте, что плотность газа остаётся однородной.

ii. (1 балл) Оцените время \(t_2\), необходимое для уменьшения радиуса от \(r_0\) до \(r_2=0.95r_0\). Пренебрегите изменением гравитационного поля в точке нахождения падающей частицы газа.

iii. (2.5 балла) Считая, что давлением по-прежнему можно пренебречь, найдите с помощью законов Кеплера время \(t_{r\to0}\), необходимое для сжатия шара от \(r_0\) до гораздо меньшего радиуса.

iv. (1.7 балла) При некотором радиусе \(r_3\ll r_0\) газ становится достаточно плотным, чтобы быть непрозрачным для теплового излучения. Вычислите количество теплоты \(Q\), излучённое при сжатии от радиуса \(r_0\) до \(r_3\).

v. (1 балл) При радиусах меньше \(r_3\) можно пренебречь потерями тепла за счёт излучения. Определите зависимость температуры \(T\) шара от его радиуса при \(r<r_3\).

vi. (2 балла) В конце концов влиянием давления на динамику газа уже нельзя пренебрегать, и сжатие останавливается при \(r=r_4\) (причём \(r_4\ll r_3\)). Однако потерями энергии на излучение по-прежнему можно пренебречь, а температура ещё недостаточно высока для начала термоядерного синтеза. Давление в такой протозвезде уже не является однородным, но всё ещё можно получить грубые оценки с неточными численными коэффициентами. Оцените конечный радиус \(r_4\) и соответствующую температуру \(T_4\).

Условие переведено с официального английского текста.

Ответы

i. \[ \boxed{n=8.} \]
ii. \[ \boxed{t_2\simeq\sqrt{\frac{0.10\,r_0^3}{Gm}} \simeq0.32\sqrt{\frac{r_0^3}{Gm}}.} \]
iii. \[ \boxed{t_{r\to0}=\frac{\pi}{2\sqrt2}\sqrt{\frac{r_0^3}{Gm}} \simeq1.11\sqrt{\frac{r_0^3}{Gm}}.} \]
iv. \[ \boxed{Q=\frac{3mRT_0}{\mu}\ln\!\left(\frac{r_0}{r_3}\right).} \]
v. \[ \boxed{T(r)=T_0\left(\frac{r_3}{r}\right)^{3(\gamma-1)}.} \]
vi. Если опустить численные коэффициенты в балансе энергии, получаются оценки \[ \boxed{ r_4\sim r_3 \left(\frac{RT_0r_3}{Gm\mu}\right)^{1/(3\gamma-4)} } \] и \[ \boxed{ T_4\sim T_0 \left(\frac{Gm\mu}{RT_0r_3}\right)^{3(\gamma-1)/(3\gamma-4)}. } \] Ниже выведено выражение, сохраняющее множитель, связанный с теплоёмкостью, и приближённый коэффициент, учитывающий влияние структуры на гравитационную энергию.

Решение

Пусть количество вещества газа равно \(N=m/\mu\) молей. Его объём и давление идеального газа определяются соотношениями \[ V=\frac{4\pi r^3}{3}, \qquad pV=NRT. \] Заданное неравенство означает, что характерная начальная гравитационная энергия значительно превосходит характерную тепловую энергию, что позволяет пренебречь давлением на ранней стадии сжатия.

i. Увеличение давления при изотермическом сжатии

Термодинамическое равновесие с окружающей средой поддерживает температуру равной \(T_0\). Поэтому \[ p=\frac{NRT_0}{V}\propto r^{-3}. \] Следовательно, \[ n=\frac{p_1}{p_0} =\left(\frac{r_0}{r_1}\right)^3 =\left(\frac{1}{0.5}\right)^3 =\boxed{8}. \]

ii. Время уменьшения радиуса на первые пять процентов

Согласно теореме о гравитационном поле сферической оболочки, частица на поверхности в начальный момент имеет направленное к центру гравитационное ускорение \[ g_0=\frac{Gm}{r_0^2}. \] Считая это ускорение постоянным, как указано в условии, и учитывая, что в начальный момент частица покоится, получаем \[ r_0-r_2=\frac12g_0t_2^2. \] Поскольку \(r_0-r_2=0.05r_0\), \[ \boxed{ t_2\simeq\sqrt{\frac{2(0.05r_0)}{Gm/r_0^2}} =\sqrt{\frac{0.10r_0^3}{Gm}}. } \]

iii. Время коллапса из законов Кеплера

Частица на поверхности движется в гравитационном поле заключённой внутри массы \(m\): \[ \ddot r=-\frac{Gm}{r^2}. \]

Рассмотрим её радиальное падение как предельный случай движения по замкнутой кеплеровской орбите с очень большим эксцентриситетом. Расстояние в апоцентре равно \(r_0\), а расстояние в перицентре стремится к нулю, поэтому большая полуось стремится к \[ a=\frac{r_0}{2}. \] Третий закон Кеплера даёт период обращения \[ P=2\pi\sqrt{\frac{a^3}{Gm}}. \] Движение от апоцентра до перицентра занимает половину периода. Следовательно, \[ \boxed{ t_{r\to0}=\frac{P}{2} =\pi\sqrt{\frac{(r_0/2)^3}{Gm}} =\frac{\pi}{2\sqrt2}\sqrt{\frac{r_0^3}{Gm}}. } \]

Для первоначально однородного облака это также время коллапса каждого внутреннего сферического слоя. Действительно, слой, первоначально находящийся на радиусе \(s_0\), охватывает массу \[ M(s_0)=m\left(\frac{s_0}{r_0}\right)^3, \] поэтому время его коллапса равно \[ \frac{\pi}{2\sqrt2}\sqrt{\frac{s_0^3}{GM(s_0)}} =\frac{\pi}{2\sqrt2}\sqrt{\frac{r_0^3}{Gm}}, \] независимо от \(s_0\). Это обосновывает приближение гомологичного коллапса с сохранением однородности.

iv. Теплота, излучённая на прозрачной стадии

Внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры. Поскольку \(T=T_0\), его внутренняя энергия остаётся постоянной.

Принимая \(\delta Q_{\rm out}>0\) для теплоты, покидающей газ, запишем первое начало термодинамики: \[ dU=-p\,dV-\delta Q_{\rm out}. \] Таким образом, при \(dU=0\), \[ \delta Q_{\rm out}=-p\,dV =-NRT_0\frac{dV}{V}. \] Интегрируя от \(V_0\) до \(V_3\), получаем \[ Q=NRT_0\ln\!\left(\frac{V_0}{V_3}\right). \] Поскольку \(V\propto r^3\), \[ \boxed{ Q=\frac{3mRT_0}{\mu} \ln\!\left(\frac{r_0}{r_3}\right). } \]

Убыль гравитационной потенциальной энергии не целиком уходит в излучение: при этом быстром сжатии большая её часть превращается в кинетическую энергию упорядоченного движения к центру. Вычисленная здесь излучённая теплота равна работе сжатия, которая в противном случае увеличила бы внутреннюю энергию газа.

v. Температура на непрозрачной стадии

Когда потерями энергии на излучение можно пренебречь, сжатие в рамках модели становится адиабатическим. Для идеального газа \[ pV^\gamma=\text{постоянная}. \] Объединяя это соотношение с \(pV=NRT\), получаем \[ TV^{\gamma-1}=\text{постоянная}. \] В начале этой стадии \(r=r_3\) и \(T=T_0\). Следовательно, \[ T(r)V(r)^{\gamma-1} =T_0V_3^{\gamma-1}, \] и поэтому \[ \boxed{ T(r)=T_0\left(\frac{V_3}{V(r)}\right)^{\gamma-1} =T_0\left(\frac{r_3}{r}\right)^{3(\gamma-1)}. } \]

vi. Радиус и температура при остановке коллапса

Молярная теплоёмкость равна \[ C_V=\frac{R}{\gamma-1}, \] поэтому внутренняя энергия равна \[ U=\frac{mRT}{\mu(\gamma-1)}. \]

Запишем конечную гравитационную потенциальную энергию в виде \[ W_4=-\alpha\frac{Gm^2}{r_4}, \] где \(\alpha\) — безразмерный коэффициент порядка единицы, зависящий от структуры. Для однородного шара \(\alpha=3/5\); для реальной неоднородной протозвезды этот коэффициент не обязательно имеет именно такое значение.

В момент остановки сжатия кинетическая энергия макроскопического движения вещества приблизительно равна нулю. Закон сохранения энергии даёт \[ U_4+W_4=U_0+W_0-Q. \] Правая часть мала по сравнению с \(Gm^2/r_4\). Отношение начальной гравитационной энергии к этой величине по порядку величины равно \(r_4/r_0\). Излучённая энергия мала уже по сравнению с \(Gm^2/r_3\), поскольку \[ \frac{Q}{Gm^2/r_3} = 3\frac{RT_0r_0}{Gm\mu} \frac{r_3}{r_0} \ln\!\left(\frac{r_0}{r_3}\right) \ll1. \] Таким образом, с требуемой точностью \[ U_4\simeq |W_4|, \] или \[ \frac{mRT_4}{\mu(\gamma-1)} \simeq\alpha\frac{Gm^2}{r_4}. \] Эквивалентно, \[ T_4\simeq \frac{\alpha(\gamma-1)Gm\mu}{Rr_4}. \]

Объединяя это с адиабатическим законом изменения температуры, \[ T_0\left(\frac{r_3}{r_4}\right)^{3(\gamma-1)} \simeq \frac{\alpha(\gamma-1)Gm\mu}{Rr_4}, \] получаем \[ \left(\frac{r_3}{r_4}\right)^{3\gamma-4} \simeq \frac{\alpha(\gamma-1)Gm\mu}{RT_0r_3}. \] Следовательно, сохраняя эти множители, \[ \boxed{ r_4\simeq r_3 \left[ \frac{RT_0r_3}{\alpha(\gamma-1)Gm\mu} \right]^{1/(3\gamma-4)} } \] и \[ \boxed{ T_4\simeq T_0 \left[ \frac{\alpha(\gamma-1)Gm\mu}{RT_0r_3} \right]^{3(\gamma-1)/(3\gamma-4)}. } \] Приняв \(\alpha=3/5\), получаем одну конкретную грубую оценку; если опустить численные коэффициенты, получаются зависимости, приведённые в разделе Ответы.

Наконец, \[ U\propto r^{-3(\gamma-1)}, \qquad |W|\propto r^{-1}. \] Поскольку \(\gamma>4/3\), при сжатии внутренняя энергия растёт быстрее, чем модуль гравитационной энергии. Благодаря этому коллапс может остановиться. Кроме того, \[ \frac{Gm\mu}{RT_0r_3}\gg1, \] поэтому оценки дают \(r_4\ll r_3\) и \(T_4\gg T_0\), в согласии с предположениями.

Решение проверено по официальному решению.

IPhO 2012 · مسألة نظرية 3

تشكّل نجم أولي

تنزيل PDFIPhO 2012

المسألة T3. تشكّل نجم أولي (9 نقاط)

لننمذج تشكّل نجم على النحو الآتي. تبدأ سحابة كروية من الغاز بين النجمي المتخلخل، ساكنة في البداية، بالانهيار تحت تأثير جاذبيتها الذاتية. نصف قطر الكرة الابتدائي هو \(r_0\) وكتلتها \(m\). درجة حرارة الوسط المحيط (وهو أشد تخلخلًا بكثير من الغاز) ودرجة حرارة الغاز الابتدائية متساويتان ومنتظمتان، وقيمتهما \(T_0\). يمكن افتراض أن الغاز مثالي. متوسط الكتلة المولية للغاز هو \(\mu\)، ومعامله الأديباتي هو \(\gamma>\frac{4}{3}\). افترض أن \(G\frac{m\mu}{r_0}\gg RT_0\)، حيث \(R\) ثابت الغازات و\(G\) ثابت الجذب العام.

i. (0.8 نقطة) خلال معظم الانهيار، يكون الغاز شفافًا إلى حد أن أي حرارة تتولد تُشعّ فورًا، أي إن الكرة تبقى في اتزان ديناميكي حراري مع الوسط المحيط بها. ما عدد المرات، \(n\)، التي يزداد بها الضغط عندما ينخفض نصف القطر إلى النصف، أي إلى \(r_1=0.5r_0\)؟ افترض أن كثافة الغاز تبقى منتظمة.

ii. (1 نقطة) قدّر الزمن \(t_2\) اللازم لتقلّص نصف القطر من \(r_0\) إلى \(r_2=0.95r_0\). أهمل تغيّر مجال الجاذبية عند موضع جسيم غاز ساقط.

iii. (2.5 نقطة) بافتراض أن الضغط يبقى مهملًا، أوجد الزمن \(t_{r\to0}\) اللازم لانهيار الكرة من \(r_0\) إلى نصف قطر أصغر بكثير، باستخدام قوانين كبلر.

iv. (1.7 نقطة) عند نصف قطر معيّن \(r_3\ll r_0\)، يصبح الغاز كثيفًا بما يكفي ليكون معتمًا للإشعاع الحراري. احسب كمية الحرارة \(Q\) المنبعثة بالإشعاع أثناء الانهيار من نصف القطر \(r_0\) إلى \(r_3\).

v. (1 نقطة) عند أنصاف أقطار أصغر من \(r_3\)، يمكنك إهمال فقدان الحرارة بالإشعاع. حدّد كيف تعتمد درجة حرارة الكرة \(T\) على نصف قطرها عندما \(r<r_3\).

vi. (2 نقطة) في نهاية المطاف، لا يعود بإمكاننا إهمال تأثير الضغط في ديناميكا الغاز، ويتوقف الانهيار عند \(r=r_4\) (حيث \(r_4\ll r_3\)). ومع ذلك، يظل بالإمكان إهمال الفقد بالإشعاع، ولا تكون درجة الحرارة قد بلغت بعد حدًا يكفي لبدء الاندماج النووي. لم يعد ضغط هذا النجم الأولي منتظمًا، لكن لا يزال بالإمكان إجراء تقديرات تقريبية بمعاملات عددية غير دقيقة. قدّر نصف القطر النهائي \(r_4\) ودرجة الحرارة المقابلة \(T_4\).

نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي.

الإجابات

i. \[ \boxed{n=8.} \]
ii. \[ \boxed{t_2\simeq\sqrt{\frac{0.10\,r_0^3}{Gm}} \simeq0.32\sqrt{\frac{r_0^3}{Gm}}.} \]
iii. \[ \boxed{t_{r\to0}=\frac{\pi}{2\sqrt2}\sqrt{\frac{r_0^3}{Gm}} \simeq1.11\sqrt{\frac{r_0^3}{Gm}}.} \]
iv. \[ \boxed{Q=\frac{3mRT_0}{\mu}\ln\!\left(\frac{r_0}{r_3}\right).} \]
v. \[ \boxed{T(r)=T_0\left(\frac{r_3}{r}\right)^{3(\gamma-1)}.} \]
vi. بإغفال العوامل العددية في موازنة الطاقة، تكون التقديرات \[ \boxed{ r_4\sim r_3 \left(\frac{RT_0r_3}{Gm\mu}\right)^{1/(3\gamma-4)} } \] و \[ \boxed{ T_4\sim T_0 \left(\frac{Gm\mu}{RT_0r_3}\right)^{3(\gamma-1)/(3\gamma-4)}. } \] يُشتق أدناه تعبير يُبقي على عامل السعة الحرارية وعلى عامل بنية تقريبي لطاقة وضع الجاذبية.

الحل

لتكن كمية الغاز \(N=m/\mu\) مولًا. حجمه وضغطه وفق قانون الغاز المثالي هما \[ V=\frac{4\pi r^3}{3}, \qquad pV=NRT. \] تعني المتباينة المعطاة أن المقدار المميّز لطاقة الجاذبية الابتدائية يفوق بكثير المقدار المميّز للطاقة الحرارية، مما يبرّر إهمال الضغط خلال المرحلة المبكرة من الانهيار.

i. زيادة الضغط أثناء التقلّص المتساوي الحرارة

يحافظ الاتزان الديناميكي الحراري مع الوسط المحيط على درجة الحرارة عند \(T_0\). ومن ثم \[ p=\frac{NRT_0}{V}\propto r^{-3}. \] وبالتالي، \[ n=\frac{p_1}{p_0} =\left(\frac{r_0}{r_1}\right)^3 =\left(\frac{1}{0.5}\right)^3 =\boxed{8}. \]

ii. الزمن اللازم لانخفاض نصف القطر بنسبة خمسة في المئة في البداية

وفقًا لمبرهنة القشرة الكروية، يخضع جسيم عند السطح في البداية لتسارع الجاذبية المتجه نحو الداخل \[ g_0=\frac{Gm}{r_0^2}. \] بإبقاء هذا التسارع ثابتًا، كما هو مطلوب، واستخدام شرط السكون الابتدائي، \[ r_0-r_2=\frac12g_0t_2^2. \] وبما أن \(r_0-r_2=0.05r_0\)، \[ \boxed{ t_2\simeq\sqrt{\frac{2(0.05r_0)}{Gm/r_0^2}} =\sqrt{\frac{0.10r_0^3}{Gm}}. } \]

iii. زمن الانهيار من قوانين كبلر

يتحرك جسيم عند السطح تحت تأثير مجال الجاذبية الناشئ عن الكتلة المحصورة داخله \(m\): \[ \ddot r=-\frac{Gm}{r^2}. \]

لنعتبر سقوطه الشعاعي الحالة الحدّية لمدار كبلري مقيّد ذي اختلاف مركزي كبير جدًا. يقع الأوج عند \(r_0\)، بينما يؤول الحضيض إلى الصفر، ولذلك يؤول نصف المحور الأكبر إلى \[ a=\frac{r_0}{2}. \] يعطي قانون كبلر الثالث الزمن الدوري المداري \[ P=2\pi\sqrt{\frac{a^3}{Gm}}. \] تستغرق الرحلة من الأوج إلى الحضيض نصف دورة. لذلك، \[ \boxed{ t_{r\to0}=\frac{P}{2} =\pi\sqrt{\frac{(r_0/2)^3}{Gm}} =\frac{\pi}{2\sqrt2}\sqrt{\frac{r_0^3}{Gm}}. } \]

بالنسبة إلى سحابة منتظمة في البداية، يكون هذا أيضًا زمن انهيار كل قشرة داخلية. فالقشرة التي يقع نصف قطرها في البداية عند \(s_0\) تحصر بالفعل كتلة مقدارها \[ M(s_0)=m\left(\frac{s_0}{r_0}\right)^3, \] ومن ثم يكون زمن انهيارها \[ \frac{\pi}{2\sqrt2}\sqrt{\frac{s_0^3}{GM(s_0)}} =\frac{\pi}{2\sqrt2}\sqrt{\frac{r_0^3}{Gm}}, \] وهو مستقل عن \(s_0\). وهذا يدعم تقريب الانهيار المنتظم المتشابه ذاتيًا.

iv. الحرارة المنبعثة بالإشعاع خلال مرحلة الشفافية

تعتمد الطاقة الداخلية للغاز المثالي على درجة الحرارة وحدها. وبما أن \(T=T_0\)، فإن طاقته الداخلية تبقى ثابتة.

باتخاذ \(\delta Q_{\rm out}>0\) للحرارة الخارجة من الغاز، يكون القانون الأول للديناميكا الحرارية \[ dU=-p\,dV-\delta Q_{\rm out}. \] ومن ثم، مع \(dU=0\)، \[ \delta Q_{\rm out}=-p\,dV =-NRT_0\frac{dV}{V}. \] بالتكامل من \(V_0\) إلى \(V_3\)، \[ Q=NRT_0\ln\!\left(\frac{V_0}{V_3}\right). \] وبما أن \(V\propto r^3\)، \[ \boxed{ Q=\frac{3mRT_0}{\mu} \ln\!\left(\frac{r_0}{r_3}\right). } \]

إن النقص في طاقة وضع الجاذبية لا ينبعث كله بالإشعاع: فخلال هذا الانهيار السريع، يتحول معظمه إلى طاقة حركية لحركة جماعية نحو الداخل. والحرارة المنبعثة بالإشعاع المحسوبة هنا هي شغل الانضغاط الذي كان سيزيد الطاقة الداخلية للغاز لولا فقدانه بالإشعاع.

v. درجة الحرارة خلال مرحلة العتامة

بمجرد أن تصبح فواقد الإشعاع مهملة، يكون الانضغاط أديباتيًا ضمن هذا النموذج. بالنسبة إلى الغاز المثالي، \[ pV^\gamma=\text{ثابت}. \] بدمج هذه العلاقة مع \(pV=NRT\) نحصل على \[ TV^{\gamma-1}=\text{ثابت}. \] في بداية هذه المرحلة، يكون \(r=r_3\) و\(T=T_0\). ومن ثم \[ T(r)V(r)^{\gamma-1} =T_0V_3^{\gamma-1}, \] وبالتالي \[ \boxed{ T(r)=T_0\left(\frac{V_3}{V(r)}\right)^{\gamma-1} =T_0\left(\frac{r_3}{r}\right)^{3(\gamma-1)}. } \]

vi. نصف القطر ودرجة الحرارة عند توقف الانهيار

السعة الحرارية المولية هي \[ C_V=\frac{R}{\gamma-1}, \] ومن ثم تكون الطاقة الداخلية \[ U=\frac{mRT}{\mu(\gamma-1)}. \]

لنكتب طاقة وضع الجاذبية النهائية على الصورة \[ W_4=-\alpha\frac{Gm^2}{r_4}, \] حيث \(\alpha\) عامل بنية عديم الأبعاد من رتبة الواحد. بالنسبة إلى كرة منتظمة، يكون \(\alpha=3/5\)؛ ولا يلزم أن تكون له هذه القيمة بالضبط في النجم الأولي الفعلي غير المنتظم.

عند توقف التقلّص الكلي، تكون الطاقة الحركية للحركة الكلية صفرًا تقريبًا. ويعطي انحفاظ الطاقة \[ U_4+W_4=U_0+W_0-Q. \] الطرف الأيمن صغير بالمقارنة مع \(Gm^2/r_4\). فطاقة الجاذبية الابتدائية أصغر بعامل من رتبة \(r_4/r_0\). والطاقة المنبعثة بالإشعاع صغيرة أصلًا بالمقارنة مع \(Gm^2/r_3\)، إذ إن \[ \frac{Q}{Gm^2/r_3} = 3\frac{RT_0r_0}{Gm\mu} \frac{r_3}{r_0} \ln\!\left(\frac{r_0}{r_3}\right) \ll1. \] ومن ثم، ضمن الدقة المطلوبة، \[ U_4\simeq |W_4|, \] أو \[ \frac{mRT_4}{\mu(\gamma-1)} \simeq\alpha\frac{Gm^2}{r_4}. \] وبصورة مكافئة، \[ T_4\simeq \frac{\alpha(\gamma-1)Gm\mu}{Rr_4}. \]

بدمج هذه العلاقة مع قانون درجة الحرارة الأديباتي، \[ T_0\left(\frac{r_3}{r_4}\right)^{3(\gamma-1)} \simeq \frac{\alpha(\gamma-1)Gm\mu}{Rr_4}, \] نحصل على \[ \left(\frac{r_3}{r_4}\right)^{3\gamma-4} \simeq \frac{\alpha(\gamma-1)Gm\mu}{RT_0r_3}. \] لذلك، مع الإبقاء على هذه العوامل، \[ \boxed{ r_4\simeq r_3 \left[ \frac{RT_0r_3}{\alpha(\gamma-1)Gm\mu} \right]^{1/(3\gamma-4)} } \] و \[ \boxed{ T_4\simeq T_0 \left[ \frac{\alpha(\gamma-1)Gm\mu}{RT_0r_3} \right]^{3(\gamma-1)/(3\gamma-4)}. } \] يوفّر أخذ \(\alpha=3/5\) تقديرًا تقريبيًا محددًا؛ ويعطي إغفال العوامل العددية علاقات التناسب الواردة في الإجابات.

وأخيرًا، \[ U\propto r^{-3(\gamma-1)}, \qquad |W|\propto r^{-1}. \] بما أن \(\gamma>4/3\)، فإن الطاقة الداخلية تزداد أثناء التقلّص أسرع من مقدار طاقة الجاذبية. وهذا يتيح توقف الانهيار. كذلك، \[ \frac{Gm\mu}{RT_0r_3}\gg1, \] ومن ثم تعطي التقديرات \(r_4\ll r_3\) و\(T_4\gg T_0\)، بما يتسق مع الافتراضات.

تمت مراجعة الحل بمقارنته بالحل الرسمي.