The stars are spheres of hot gas. Most of them shine because they are fusing hydrogen into helium in their central parts. In this problem we use concepts of both classical and quantum mechanics, as well as of electrostatics and thermodynamics, to understand why stars have to be big enough to achieve this fusion process and also derive what would be the mass and radius of the smallest star that can fuse hydrogen.

Figure 1. Our Sun, as most stars, shines as a result of thermonuclear fusion of hydrogen into helium in its central parts.

1. A classical estimate of the temperature at the center of the stars.

Assume that the gas that forms the star is pure ionized hydrogen (electrons and protons in equal amounts), and that it behaves like an ideal gas. From the classical point of view, to fuse two protons, they need to get as close as \(10^{-15}\ \mathrm{m}\) for the short range strong nuclear force, which is attractive, to become dominant. However, to bring them together they have to overcome first the repulsive action of Coulomb’s force. Assume classically that the two protons (taken to be point sources) are moving in an antiparallel way, each with velocity \(v_{rms}\), the root-mean-square (rms) velocity of the protons, in a one-dimensional frontal collision.

2. Finding that the previous temperature estimate is wrong.

To check if the previous temperature estimate is reasonable, one needs an independent way of estimating the central temperature of a star. The structure of the stars is very complicated, but we can gain significant understanding making some assumptions. Stars are in equilibrium, that is, they do not expand or contract because the inward force of gravity is balanced by the outward force of pressure (see Figure 2). For a slab of gas the equation of hydrostatic equilibrium at a given distance \(r\) from the center of the star, is given by

\[ \frac{\Delta P}{\Delta r}=-\frac{GM_r\rho_r}{r^2}, \]

where \(P\) is the pressure of the gas, \(G\) the gravitational constant, \(M_r\) the mass of the star within a sphere of radius \(r\), and \(\rho_r\) is the density of the gas in the slab.

Figure 2. The stars are in hydrostatic equilibrium, with the pressure difference balancing gravity.

An order of magnitude estimate of the central temperature of the star can be obtained with values of the parameters at the center and at the surface of the star, making the following approximations:

\[ \Delta P\approx P_o-P_c, \]

where \(P_c\) and \(P_o\) are the pressures at the center and surface of the star, respectively. Since \(P_c\gg P_o\), we can assume that

\[ \Delta P\approx-P_c. \]

Within the same approximation, we can write

\[ \Delta r\approx R, \]

where \(R\) is the total radius of the star, and

\[ M_r\approx M_R=M, \]

with \(M\) the total mass of the star.

The density may be approximated by its value at the center,

\[ \rho_r\approx\rho_c. \]

You can assume that the pressure is that of an ideal gas.

We can use now the following prediction of this model as a criterion for its validity:

3. A quantum mechanical estimate of the temperature at the center of the stars

The large discrepancy found in (2d) suggests that the classical estimate for \(T_c\) obtained in (1a) is not correct. The solution to this discrepancy is found when we consider quantum mechanical effects, that tell us that the protons behave as waves and that a single proton is smeared on a size of the order of \(\lambda_p\), the de Broglie wavelength. This implies that if \(d_c\), the distance of closest approach of the protons is of the order of \(\lambda_p\), the protons in a quantum mechanical sense overlap and can fuse.

Indeed, stars in the so-called main sequence (fusing hydrogen) approximately do follow this ratio for a large range of masses.

4. The mass/radius ratio of the stars.

The previous agreement suggests that the quantum mechanical approach for estimating the temperature at the center of the Sun is correct.

5. The mass and radius of the smallest star.

The result found in (4a) suggests that there could be stars of any mass as long as such a relationship is fulfilled; however, this is not true.

The gas inside normal stars fusing hydrogen is known to behave approximately as an ideal gas. This means that \(d_e\), the typical separation between electrons is on the average larger that \(\lambda_e\), their typical de Broglie wavelength. If closer, the electrons would be in a so-called degenerate state and the stars would behave differently. Note the distinction in the ways we treat protons and electrons inside the star. For protons, their de Broglie waves should overlap closely as they collide in order to fuse, whereas for electrons their de Broglie waves should not overlap in order to remain as an ideal gas.

The density in the stars increases with decreasing radius. Nevertheless, for this order-of-magnitude estimate assume they are of uniform density. You may further use that \(m_p\gg m_e\).

6. Fusing helium nuclei in older stars.

As stars get older they will have fused most of the hydrogen in their cores into helium (He), so they are forced to start fusing helium into heavier elements in order to continue shining. A helium nucleus has two protons and two neutrons, so it has twice the charge and approximately four times the mass of a proton. We saw before that \(d_c=\dfrac{\lambda_p}{2^{1/2}}\) is the condition for the protons to fuse.

Official English text of the problem.

Sterne sind Kugeln aus heißem Gas. Die meisten von ihnen leuchten, weil in ihrem Inneren Wasserstoff zu Helium fusioniert. In dieser Aufgabe verwenden wir Konzepte sowohl der klassischen Mechanik als auch der Quantenmechanik sowie der Elektrostatik und Thermodynamik, um zu verstehen, warum Sterne groß genug sein müssen, damit dieser Fusionsprozess stattfinden kann. Außerdem leiten wir die Masse und den Radius des kleinsten Sterns her, der Wasserstoff fusionieren kann.

Abbildung 1. Unsere Sonne leuchtet wie die meisten Sterne infolge der thermonuklearen Fusion von Wasserstoff zu Helium in ihrem Inneren.

1. Eine klassische Abschätzung der Temperatur im Zentrum von Sternen.

Nehmen Sie an, dass das Gas, aus dem der Stern besteht, reiner ionisierter Wasserstoff ist (Elektronen und Protonen in gleicher Anzahl) und sich wie ein ideales Gas verhält. Aus klassischer Sicht müssen sich zwei Protonen auf \(10^{-15}\ \mathrm{m}\) annähern, um zu fusionieren, damit die kurzreichweitige, anziehende starke Kernkraft überwiegt. Um einander so nahe zu kommen, müssen sie jedoch zunächst die abstoßende Wirkung der Coulomb-Kraft überwinden. Nehmen Sie im klassischen Modell an, dass sich die beiden Protonen (als punktförmige Quellen betrachtet) bei einem eindimensionalen Frontalstoß antiparallel bewegen, jeweils mit der Geschwindigkeit \(v_{rms}\), der quadratisch gemittelten Geschwindigkeit (rms-Geschwindigkeit) der Protonen.

2. Feststellung, dass die vorherige Temperaturabschätzung falsch ist.

Um zu prüfen, ob die vorherige Temperaturabschätzung plausibel ist, benötigt man eine unabhängige Methode zur Abschätzung der Zentraltemperatur eines Sterns. Der Aufbau von Sternen ist sehr kompliziert, doch mit einigen Annahmen können wir wesentliche Erkenntnisse gewinnen. Sterne befinden sich im Gleichgewicht, das heißt, sie dehnen sich weder aus noch ziehen sie sich zusammen, weil die nach innen gerichtete Gravitationskraft durch die nach außen gerichtete Druckkraft ausgeglichen wird (siehe Abbildung 2). Für eine Gasschicht in einem gegebenen Abstand \(r\) vom Zentrum des Sterns lautet die Gleichung des hydrostatischen Gleichgewichts

\[ \frac{\Delta P}{\Delta r}=-\frac{GM_r\rho_r}{r^2}, \]

wobei \(P\) der Gasdruck, \(G\) die Gravitationskonstante, \(M_r\) die Masse des Sterns innerhalb einer Kugel mit dem Radius \(r\) und \(\rho_r\) die Dichte des Gases in der Schicht ist.

Abbildung 2. Sterne befinden sich im hydrostatischen Gleichgewicht, wobei die Druckdifferenz die Gravitation ausgleicht.

Eine Abschätzung der Größenordnung der Zentraltemperatur des Sterns lässt sich mit den Werten der Parameter im Zentrum und an der Oberfläche des Sterns unter Verwendung der folgenden Näherungen erhalten:

\[ \Delta P\approx P_o-P_c, \]

wobei \(P_c\) und \(P_o\) die Drücke im Zentrum beziehungsweise an der Oberfläche des Sterns sind. Da \(P_c\gg P_o\), können wir annehmen, dass

\[ \Delta P\approx-P_c. \]

Im Rahmen derselben Näherung können wir schreiben

\[ \Delta r\approx R, \]

wobei \(R\) der Gesamtradius des Sterns ist, und

\[ M_r\approx M_R=M, \]

wobei \(M\) die Gesamtmasse des Sterns ist.

Die Dichte kann durch ihren Wert im Zentrum angenähert werden,

\[ \rho_r\approx\rho_c. \]

Sie können annehmen, dass der Druck dem eines idealen Gases entspricht.

Wir können nun die folgende Vorhersage dieses Modells als Kriterium für seine Gültigkeit verwenden:

3. Eine quantenmechanische Abschätzung der Temperatur im Zentrum von Sternen

Die in (2d) festgestellte große Abweichung legt nahe, dass die in (1a) erhaltene klassische Abschätzung für \(T_c\) nicht richtig ist. Diese Abweichung lässt sich aufklären, wenn wir quantenmechanische Effekte berücksichtigen. Diese besagen, dass sich Protonen wie Wellen verhalten und dass ein einzelnes Proton über einen Bereich von der Größenordnung seiner De-Broglie-Wellenlänge \(\lambda_p\) verteilt ist. Das bedeutet: Wenn \(d_c\), der kleinste Abstand der Protonen, von der Größenordnung \(\lambda_p\) ist, überlappen sich die Protonen im quantenmechanischen Sinne und können fusionieren.

Tatsächlich weisen Sterne der sogenannten Hauptreihe (in denen Wasserstoff fusioniert) über einen großen Massenbereich näherungsweise dieses Verhältnis auf.

4. Das Verhältnis von Masse zu Radius bei Sternen.

Die zuvor gefundene Übereinstimmung legt nahe, dass der quantenmechanische Ansatz zur Abschätzung der Temperatur im Zentrum der Sonne richtig ist.

5. Die Masse und der Radius des kleinsten Sterns.

Das in (4a) gefundene Ergebnis legt nahe, dass es Sterne beliebiger Masse geben könnte, solange diese Beziehung erfüllt ist; dies ist jedoch nicht der Fall.

Es ist bekannt, dass sich das Gas im Inneren normaler Sterne, in denen Wasserstoff fusioniert, näherungsweise wie ein ideales Gas verhält. Das bedeutet, dass \(d_e\), der typische Abstand zwischen Elektronen, im Mittel größer ist als \(\lambda_e\), ihre typische De-Broglie-Wellenlänge. Bei kleineren Abständen befänden sich die Elektronen in einem sogenannten entarteten Zustand, und die Sterne würden sich anders verhalten. Beachten Sie den Unterschied in der Behandlung von Protonen und Elektronen im Inneren des Sterns. Bei Protonen müssen sich ihre De-Broglie-Wellen beim Zusammenstoß stark überlappen, damit sie fusionieren können, während sich bei Elektronen ihre De-Broglie-Wellen nicht überlappen dürfen, damit sie weiterhin ein ideales Gas bilden.

Die Dichte in den Sternen nimmt mit abnehmendem Radius zu. Nehmen Sie für diese Abschätzung der Größenordnung dennoch an, dass die Sterne eine gleichmäßige Dichte haben. Sie dürfen außerdem verwenden, dass \(m_p\gg m_e\).

6. Fusion von Heliumkernen in älteren Sternen.

Wenn Sterne älter werden, haben sie den größten Teil des Wasserstoffs in ihren Kernen zu Helium (He) fusioniert. Sie müssen daher beginnen, Helium zu schwereren Elementen zu fusionieren, um weiterhin zu leuchten. Ein Heliumkern hat zwei Protonen und zwei Neutronen, also die doppelte Ladung und ungefähr die vierfache Masse eines Protons. Wir haben zuvor gesehen, dass \(d_c=\dfrac{\lambda_p}{2^{1/2}}\) die Bedingung für die Fusion von Protonen ist.

Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt.

Yıldızlar sıcak gaz küreleridir. Çoğu, merkez bölgelerinde hidrojeni helyuma dönüştüren füzyon tepkimeleri sayesinde parlar. Bu soruda, yıldızların bu füzyon sürecini gerçekleştirebilmek için neden yeterince büyük olmaları gerektiğini anlamak ve hidrojen füzyonu gerçekleştirebilen en küçük yıldızın kütlesini ve yarıçapını türetmek için klasik mekanik ve kuantum mekaniğinin yanı sıra elektrostatik ve termodinamik kavramlarını kullanacağız.

Şekil 1. Güneşimiz, çoğu yıldız gibi, merkez bölgelerinde hidrojenin helyuma dönüştüğü termonükleer füzyon sonucunda parlar.

1. Yıldızların merkezindeki sıcaklığın klasik bir tahmini.

Yıldızı oluşturan gazın saf iyonlaşmış hidrojen olduğunu (eşit sayıda elektron ve proton içerdiğini) ve ideal gaz gibi davrandığını varsayın. Klasik bakış açısına göre, iki protonun füzyona girmesi için, kısa menzilli ve çekici olan güçlü nükleer kuvvetin baskın hâle geleceği \(10^{-15}\ \mathrm{m}\) uzaklığına kadar birbirlerine yaklaşmaları gerekir. Ancak birbirlerine yaklaşabilmek için önce Coulomb kuvvetinin itici etkisini yenmeleri gerekir. Klasik olarak, iki protonun (noktasal kaynaklar olarak kabul edilerek), bir boyutlu kafa kafaya çarpışmada, her biri protonların karekök ortalama kare (rms) hızı olan \(v_{rms}\) hızıyla birbirine zıt yönlerde hareket ettiğini varsayın.

2. Önceki sıcaklık tahmininin yanlış olduğunun belirlenmesi.

Önceki sıcaklık tahmininin makul olup olmadığını kontrol etmek için bir yıldızın merkez sıcaklığını tahmin etmenin bağımsız bir yoluna ihtiyaç vardır. Yıldızların yapısı çok karmaşıktır, ancak bazı varsayımlar yaparak bu yapıyı önemli ölçüde anlayabiliriz. Yıldızlar dengededir; yani içeriye doğru olan kütleçekim kuvveti dışarıya doğru olan basınç kuvvetiyle dengelendiği için genişlemez veya büzülmezler (bkz. Şekil 2). Yıldızın merkezinden belirli bir \(r\) uzaklığındaki bir gaz tabakası için hidrostatik denge denklemi

\[ \frac{\Delta P}{\Delta r}=-\frac{GM_r\rho_r}{r^2}, \]

şeklindedir; burada \(P\) gazın basıncı, \(G\) kütleçekim sabiti, \(M_r\) yıldızın \(r\) yarıçaplı bir küre içinde kalan kütlesi ve \(\rho_r\) tabakadaki gazın yoğunluğudur.

Şekil 2. Yıldızlar, basınç farkının kütleçekimini dengelediği hidrostatik denge durumundadır.

Yıldızın merkezindeki ve yüzeyindeki parametre değerleri kullanılarak, aşağıdaki yaklaşımlarla yıldızın merkez sıcaklığı için bir büyüklük mertebesi tahmini elde edilebilir:

\[ \Delta P\approx P_o-P_c, \]

burada \(P_c\) ve \(P_o\), sırasıyla yıldızın merkezindeki ve yüzeyindeki basınçlardır. \(P_c\gg P_o\) olduğundan,

\[ \Delta P\approx-P_c. \]

olduğunu varsayabiliriz. Aynı yaklaşım çerçevesinde,

\[ \Delta r\approx R, \]

yazabiliriz; burada \(R\) yıldızın toplam yarıçapıdır. Ayrıca,

\[ M_r\approx M_R=M, \]

olup \(M\) yıldızın toplam kütlesidir.

Yoğunluk, merkezdeki değeriyle yaklaşık olarak ifade edilebilir:

\[ \rho_r\approx\rho_c. \]

Basıncın ideal gaz basıncı olduğunu varsayabilirsiniz.

Şimdi bu modelin aşağıdaki öngörüsünü, geçerliliğinin bir ölçütü olarak kullanabiliriz:

3. Yıldızların merkezindeki sıcaklığın kuantum mekaniksel bir tahmini

(2d)'de bulunan büyük uyuşmazlık, (1a)'da \(T_c\) için elde edilen klasik tahminin doğru olmadığını düşündürmektedir. Bu uyuşmazlığın çözümü, protonların dalga gibi davrandığını ve tek bir protonun de Broglie dalga boyu \(\lambda_p\) mertebesinde bir boyuta yayıldığını söyleyen kuantum mekaniksel etkiler dikkate alındığında bulunur. Bu, protonların birbirlerine en fazla yaklaştıkları uzaklık olan \(d_c\), \(\lambda_p\) mertebesindeyse, protonların kuantum mekaniksel anlamda örtüştüğü ve füzyona girebileceği anlamına gelir.

Gerçekten de, ana kol olarak adlandırılan evredeki (hidrojen füzyonu gerçekleştiren) yıldızlar, geniş bir kütle aralığında yaklaşık olarak bu orana uyar.

4. Yıldızların kütle/yarıçap oranı.

Önceki uyum, Güneş'in merkezindeki sıcaklığı tahmin etmek için kullanılan kuantum mekaniksel yaklaşımın doğru olduğunu düşündürmektedir.

5. En küçük yıldızın kütlesi ve yarıçapı.

(4a)'da bulunan sonuç, bu ilişki sağlandığı sürece herhangi bir kütlede yıldızların bulunabileceğini düşündürmektedir; ancak bu doğru değildir.

Hidrojen füzyonu gerçekleştiren normal yıldızların içindeki gazın yaklaşık olarak ideal gaz gibi davrandığı bilinmektedir. Bu, elektronlar arasındaki tipik uzaklık olan \(d_e\)'nin, ortalama olarak elektronların tipik de Broglie dalga boyu \(\lambda_e\)'den büyük olduğu anlamına gelir. Daha yakın olsalardı, elektronlar dejenere olarak adlandırılan bir durumda olur ve yıldızlar farklı davranırdı. Yıldızın içindeki protonları ve elektronları ele alış biçimlerimiz arasındaki ayrıma dikkat edin. Protonların füzyona girebilmesi için çarpışırken de Broglie dalgalarının güçlü biçimde örtüşmesi gerekirken, elektronların ideal gaz olarak kalabilmesi için de Broglie dalgalarının örtüşmemesi gerekir.

Yıldızlarda yarıçap azaldıkça yoğunluk artar. Bununla birlikte, bu büyüklük mertebesi tahmini için yıldızların düzgün yoğunluklu olduğunu varsayın. Ayrıca \(m_p\gg m_e\) olduğunu kullanabilirsiniz.

6. Yaşlı yıldızlarda helyum çekirdeklerinin füzyonu.

Yıldızlar yaşlandıkça çekirdeklerindeki hidrojenin çoğunu füzyon yoluyla helyuma (He) dönüştürmüş olurlar; dolayısıyla parlamaya devam etmek için helyumu daha ağır elementlere dönüştüren füzyon tepkimelerini başlatmak zorunda kalırlar. Bir helyum çekirdeği iki proton ve iki nötron içerir; bu nedenle yükü protonunkinin iki katı, kütlesi ise yaklaşık dört katıdır. Daha önce protonların füzyona girmesi için gereken koşulun \(d_c=\dfrac{\lambda_p}{2^{1/2}}\) olduğunu gördük.

Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir.

Las estrellas son esferas de gas caliente. La mayoría de ellas brillan porque en sus regiones centrales fusionan hidrógeno para formar helio. En este problema utilizamos conceptos tanto de mecánica clásica como de mecánica cuántica, así como de electrostática y termodinámica, para comprender por qué las estrellas deben ser lo suficientemente grandes para que se produzca este proceso de fusión y deducir también cuáles serían la masa y el radio de la estrella más pequeña capaz de fusionar hidrógeno.

Figura 1. Nuestro Sol, como la mayoría de las estrellas, brilla como resultado de la fusión termonuclear de hidrógeno en helio en sus regiones centrales.

1. Una estimación clásica de la temperatura en el centro de las estrellas.

Suponga que el gas que forma la estrella es hidrógeno ionizado puro (electrones y protones en igual número) y que se comporta como un gas ideal. Desde el punto de vista clásico, para que dos protones se fusionen deben acercarse hasta una distancia de \(10^{-15}\ \mathrm{m}\), de modo que la fuerza nuclear fuerte, que es atractiva y de corto alcance, llegue a ser dominante. Sin embargo, para acercarse deben vencer primero la acción repulsiva de la fuerza de Coulomb. Suponga, en el marco clásico, que los dos protones (considerados fuentes puntuales) se mueven en sentidos opuestos, cada uno con velocidad \(v_{rms}\), la velocidad cuadrática media (rms) de los protones, en una colisión frontal unidimensional.

2. Comprobación de que la estimación anterior de la temperatura es incorrecta.

Para comprobar si la estimación anterior de la temperatura es razonable, se necesita un método independiente para estimar la temperatura central de una estrella. La estructura de las estrellas es muy complicada, pero podemos comprender sus aspectos fundamentales si hacemos algunas suposiciones. Las estrellas están en equilibrio, es decir, no se expanden ni se contraen porque la fuerza de gravedad dirigida hacia el interior está compensada por la fuerza debida a la presión dirigida hacia el exterior (véase la Figura 2). Para una capa de gas, la ecuación de equilibrio hidrostático a una distancia dada \(r\) del centro de la estrella viene dada por

\[ \frac{\Delta P}{\Delta r}=-\frac{GM_r\rho_r}{r^2}, \]

donde \(P\) es la presión del gas, \(G\) la constante de gravitación, \(M_r\) la masa de la estrella contenida en una esfera de radio \(r\), y \(\rho_r\) es la densidad del gas en la capa.

Figura 2. Las estrellas están en equilibrio hidrostático: la diferencia de presión compensa la gravedad.

Se puede obtener una estimación del orden de magnitud de la temperatura central de la estrella a partir de los valores de los parámetros en el centro y en la superficie de la estrella, haciendo las siguientes aproximaciones:

\[ \Delta P\approx P_o-P_c, \]

donde \(P_c\) y \(P_o\) son las presiones en el centro y en la superficie de la estrella, respectivamente. Como \(P_c\gg P_o\), podemos suponer que

\[ \Delta P\approx-P_c. \]

Dentro de la misma aproximación, podemos escribir

\[ \Delta r\approx R, \]

donde \(R\) es el radio total de la estrella, y

\[ M_r\approx M_R=M, \]

siendo \(M\) la masa total de la estrella.

La densidad puede aproximarse por su valor en el centro,

\[ \rho_r\approx\rho_c. \]

Puede suponer que la presión es la de un gas ideal.

Ahora podemos utilizar la siguiente predicción de este modelo como criterio de su validez:

3. Una estimación cuántica de la temperatura en el centro de las estrellas

La gran discrepancia encontrada en (2d) sugiere que la estimación clásica de \(T_c\) obtenida en (1a) no es correcta. Esta discrepancia se resuelve al considerar los efectos cuánticos, que nos indican que los protones se comportan como ondas y que un solo protón se encuentra extendido sobre una región de tamaño del orden de \(\lambda_p\), la longitud de onda de de Broglie. Esto implica que, si \(d_c\), la distancia de máxima aproximación de los protones, es del orden de \(\lambda_p\), los protones se solapan en el sentido cuántico y pueden fusionarse.

En efecto, las estrellas de la llamada secuencia principal (que fusionan hidrógeno) satisfacen aproximadamente este cociente en un amplio intervalo de masas.

4. El cociente masa/radio de las estrellas.

La concordancia anterior sugiere que el enfoque cuántico para estimar la temperatura en el centro del Sol es correcto.

5. La masa y el radio de la estrella más pequeña.

El resultado obtenido en (4a) sugiere que podría haber estrellas de cualquier masa siempre que se cumpla dicha relación; sin embargo, esto no es cierto.

Se sabe que el gas del interior de las estrellas normales que fusionan hidrógeno se comporta aproximadamente como un gas ideal. Esto significa que \(d_e\), la separación entre electrones típica, es, en promedio, mayor que \(\lambda_e\), su longitud de onda de de Broglie típica. Si estuvieran más cerca, los electrones se encontrarían en un estado denominado degenerado y las estrellas se comportarían de manera diferente. Observe la diferencia entre las formas en que tratamos a los protones y a los electrones dentro de la estrella. En el caso de los protones, sus ondas de de Broglie deben solaparse estrechamente al colisionar para que se fusionen, mientras que, en el caso de los electrones, sus ondas de de Broglie no deben solaparse para que sigan comportándose como un gas ideal.

La densidad de las estrellas aumenta al disminuir el radio. No obstante, para esta estimación del orden de magnitud suponga que tienen densidad uniforme. También puede utilizar que \(m_p\gg m_e\).

6. Fusión de núcleos de helio en estrellas más viejas.

A medida que las estrellas envejecen, habrán fusionado la mayor parte del hidrógeno de sus núcleos para formar helio (He), por lo que se ven obligadas a comenzar a fusionar helio para formar elementos más pesados y así seguir brillando. Un núcleo de helio tiene dos protones y dos neutrones, de modo que tiene el doble de carga y aproximadamente cuatro veces la masa de un protón. Antes vimos que \(d_c=\dfrac{\lambda_p}{2^{1/2}}\) es la condición para que los protones se fusionen.

Enunciado traducido del texto oficial en inglés.

恒星是由炽热气体组成的球体。大多数恒星之所以发光，是因为其中心区域正在将氢聚变为氦。在本题中，我们将运用经典力学、量子力学、静电学和热力学的概念，理解为什么恒星必须足够大才能实现这一聚变过程，并推导出能够发生氢聚变的最小恒星的质量和半径。

图 1. 我们的太阳与大多数恒星一样，由于其中心区域发生氢聚变为氦的热核聚变而发光。

1. 恒星中心温度的经典估算。

假设构成恒星的气体是纯电离氢（电子和质子的数量相等），并且可视为理想气体。从经典观点来看，要使两个质子发生聚变，它们必须靠近到 \(10^{-15}\ \mathrm{m}\) 的距离，使短程的、具有吸引作用的强核力占据主导地位。然而，要使它们靠近，首先必须克服库仑力的排斥作用。在经典框架下，假设两个质子（视为点源）沿相反方向运动，各自的速率均为质子的均方根（rms）速率 \(v_{rms}\)，并发生一维正碰。

2. 发现上述温度估算有误。

要检验上述温度估算是否合理，需要用一种独立的方法来估算恒星的中心温度。恒星的结构十分复杂，但通过作出一些假设，我们仍能获得相当深入的理解。恒星处于平衡状态，即既不膨胀也不收缩，因为向内的引力与向外的压力作用相平衡（见图 2）。对于距离恒星中心 \(r\) 处的一薄层气体，流体静力平衡方程为

\[ \frac{\Delta P}{\Delta r}=-\frac{GM_r\rho_r}{r^2}, \]

其中，\(P\) 是气体压强，\(G\) 是万有引力常量，\(M_r\) 是恒星内半径为 \(r\) 的球体所包含的质量，\(\rho_r\) 是该薄层中的气体密度。

图 2. 恒星处于流体静力平衡状态，压强差产生的力与引力相平衡。

利用恒星中心和表面处的参数值，并作出以下近似，可以对恒星的中心温度进行数量级估算：

\[ \Delta P\approx P_o-P_c, \]

其中，\(P_c\) 和 \(P_o\) 分别为恒星中心和表面的压强。由于 \(P_c\gg P_o\)，可以假设

\[ \Delta P\approx-P_c. \]

在同样的近似下，可以写出

\[ \Delta r\approx R, \]

其中，\(R\) 是恒星的总半径，并且

\[ M_r\approx M_R=M, \]

其中，\(M\) 是恒星的总质量。

密度可以用其中心处的值来近似，

\[ \rho_r\approx\rho_c. \]

可以假设气体压强满足理想气体状态方程。

现在可以用该模型的以下预言作为判断其有效性的标准：

3. 恒星中心温度的量子力学估算

(2d) 中发现的巨大差异表明，(1a) 中用经典方法估算的 \(T_c\) 并不正确。考虑量子力学效应便能解释这一差异：质子具有波动性，单个质子弥散在尺度约为其德布罗意波长 \(\lambda_p\) 的区域内。这意味着，如果质子的最近接近距离 \(d_c\) 与 \(\lambda_p\) 的数量级相同，那么质子就在量子力学意义上发生重叠，从而能够发生聚变。

事实上，所谓的主序星（正在进行氢聚变的恒星）在很大的质量范围内确实近似遵循这一比值关系。

4. 恒星的质量与半径之比。

上述结果的吻合表明，用量子力学方法估算太阳中心温度是正确的。

5. 最小恒星的质量和半径。

(4a) 中的结果似乎表明，只要满足这一关系，恒星就可以具有任意质量；然而，事实并非如此。

已知正在进行氢聚变的正常恒星内部的气体可近似视为理想气体。这意味着，电子间的典型间距 \(d_e\) 平均而言大于电子的典型德布罗意波长 \(\lambda_e\)。如果电子靠得更近，它们就会处于所谓的简并态，恒星的性质也会有所不同。注意，我们对恒星内部质子和电子的处理方式有所区别。对于质子，为了发生聚变，它们的德布罗意波在碰撞时应充分重叠；而对于电子，为了保持理想气体的性质，它们的德布罗意波则不应重叠。

恒星内部的密度随径向距离减小而增大。不过，在本题的数量级估算中，假设恒星密度均匀。还可以使用 \(m_p\gg m_e\) 这一条件。

6. 年老恒星中的氦核聚变。

随着恒星逐渐衰老，其核心中的大部分氢已经聚变为氦（He），因此，为了继续发光，它们不得不开始将氦聚变为更重的元素。氦核含有两个质子和两个中子，因此其电荷量为质子的两倍，质量约为质子的四倍。前面已经看到，\(d_c=\dfrac{\lambda_p}{2^{1/2}}\) 是质子发生聚变的条件。

题目译自官方英文原文。

Звёзды представляют собой шары горячего газа. Большинство из них светятся благодаря превращению водорода в гелий в реакциях термоядерного синтеза, протекающих в их центральных областях. В этой задаче мы используем понятия классической и квантовой механики, а также электростатики и термодинамики, чтобы понять, почему для осуществления этого процесса синтеза звёзды должны быть достаточно большими, а также определить массу и радиус наименьшей звезды, в которой возможен синтез гелия из водорода.

Рисунок 1. Наше Солнце, как и большинство звёзд, светится в результате термоядерного синтеза гелия из водорода в его центральных областях.

1. Классическая оценка температуры в центре звёзд.

Предположим, что газ, из которого состоит звезда, представляет собой чистый ионизованный водород (электроны и протоны в равных количествах) и ведёт себя как идеальный газ. С классической точки зрения для слияния двух протонов они должны сблизиться до расстояния \(10^{-15}\ \mathrm{m}\), на котором короткодействующая сила сильного ядерного взаимодействия, являющаяся силой притяжения, становится преобладающей. Однако для сближения им сначала необходимо преодолеть отталкивание, обусловленное кулоновской силой. В рамках классического описания предположим, что два протона (считаемые точечными источниками поля) движутся в противоположных направлениях, каждый со скоростью \(v_{rms}\), равной среднеквадратичной скорости протонов, и испытывают одномерное лобовое столкновение.

2. Выяснение ошибочности предыдущей оценки температуры.

Чтобы проверить, насколько разумна предыдущая оценка температуры, необходим независимый способ оценки температуры в центре звезды. Строение звёзд очень сложно, однако, приняв некоторые предположения, мы можем существенно продвинуться в его понимании. Звёзды находятся в равновесии, то есть не расширяются и не сжимаются, поскольку направленная внутрь сила тяжести уравновешивается направленной наружу силой давления (см. рисунок 2). Для слоя газа уравнение гидростатического равновесия на заданном расстоянии \(r\) от центра звезды имеет вид

\[ \frac{\Delta P}{\Delta r}=-\frac{GM_r\rho_r}{r^2}, \]

где \(P\) — давление газа, \(G\) — гравитационная постоянная, \(M_r\) — масса вещества звезды внутри сферы радиуса \(r\), а \(\rho_r\) — плотность газа в слое.

Рисунок 2. Звёзды находятся в гидростатическом равновесии: разность давлений уравновешивает силу тяжести.

Оценку порядка величины температуры в центре звезды можно получить по значениям параметров в центре и на поверхности звезды, используя следующие приближения:

\[ \Delta P\approx P_o-P_c, \]

где \(P_c\) и \(P_o\) — давления в центре и на поверхности звезды соответственно. Поскольку \(P_c\gg P_o\), можно считать, что

\[ \Delta P\approx-P_c. \]

В том же приближении можно записать

\[ \Delta r\approx R, \]

где \(R\) — полный радиус звезды, и

\[ M_r\approx M_R=M, \]

где \(M\) — полная масса звезды.

Плотность можно приближённо считать равной её значению в центре:

\[ \rho_r\approx\rho_c. \]

Можно считать, что давление определяется уравнением состояния идеального газа.

Теперь в качестве критерия применимости этой модели можно использовать следующее её предсказание:

3. Квантово-механическая оценка температуры в центре звёзд

Большое расхождение, обнаруженное в (2d), указывает на то, что классическая оценка \(T_c\), полученная в (1a), неверна. Это расхождение устраняется при учёте квантово-механических эффектов, согласно которым протоны ведут себя как волны, а отдельный протон размыт в области размером порядка \(\lambda_p\), длины волны де Бройля. Это означает, что если расстояние наибольшего сближения протонов \(d_c\) имеет порядок \(\lambda_p\), то протоны в квантово-механическом смысле перекрываются и могут слиться.

Действительно, звёзды так называемой главной последовательности (в которых происходит синтез гелия из водорода) приближённо удовлетворяют этому соотношению в широком диапазоне масс.

4. Отношение массы звезды к её радиусу.

Полученное согласие указывает на то, что квантово-механический подход к оценке температуры в центре Солнца является правильным.

5. Масса и радиус наименьшей звезды.

Результат, полученный в (4a), позволяет предположить, что при выполнении этого соотношения могли бы существовать звёзды любой массы; однако это не так.

Известно, что газ внутри обычных звёзд, в которых происходит синтез гелия из водорода, ведёт себя приближённо как идеальный газ. Это означает, что \(d_e\), характерное расстояние между электронами, в среднем больше \(\lambda_e\), их характерной длины волны де Бройля. При меньших расстояниях электроны находились бы в так называемом вырожденном состоянии, и звёзды вели бы себя иначе. Обратите внимание на различие в описании протонов и электронов внутри звезды. Для слияния протонов их волны де Бройля должны существенно перекрываться при столкновении, тогда как для сохранения свойств идеального газа волны де Бройля электронов не должны перекрываться.

Плотность внутри звёзд увеличивается с уменьшением расстояния до центра. Тем не менее для данной оценки порядка величины считайте, что плотность звёзд однородна. Можно также использовать условие \(m_p\gg m_e\).

6. Слияние ядер гелия в стареющих звёздах.

По мере старения звёзд большая часть водорода в их ядрах превращается в гелий (He), поэтому, чтобы продолжать светиться, они вынуждены начать синтез более тяжёлых элементов из гелия. Ядро гелия содержит два протона и два нейтрона, поэтому его заряд вдвое больше, а масса примерно вчетверо больше, чем у протона. Ранее мы выяснили, что условием слияния протонов является \(d_c=\dfrac{\lambda_p}{2^{1/2}}\).

Условие переведено с официального английского текста.

النجوم كرات من الغاز الساخن. ويضيء معظمها بسبب اندماج الهيدروجين وتحوله إلى هيليوم في أجزائها المركزية. نستخدم في هذه المسألة مفاهيم من الميكانيكا الكلاسيكية وميكانيكا الكم، وكذلك من الكهروستاتيكا والديناميكا الحرارية، لفهم سبب ضرورة أن تكون النجوم كبيرة بما يكفي لتحقيق عملية الاندماج هذه، ولاشتقاق كتلة أصغر نجم يمكنه دمج الهيدروجين ونصف قطره.

الشكل 1. تضيء شمسنا، شأنها شأن معظم النجوم، نتيجة الاندماج النووي الحراري للهيدروجين وتحوله إلى هيليوم في أجزائها المركزية.

1. تقدير كلاسيكي لدرجة الحرارة في مركز النجوم.

افترض أن الغاز الذي يتكون منه النجم هو هيدروجين مؤين نقي (إلكترونات وبروتونات بأعداد متساوية)، وأنه يسلك سلوك الغاز المثالي. من وجهة النظر الكلاسيكية، لكي يندمج بروتونان، يجب أن يقترب أحدهما من الآخر إلى مسافة \(10^{-15}\ \mathrm{m}\) حتى تصبح القوة النووية الشديدة، وهي قوة تجاذب قصيرة المدى، هي السائدة. ولكن لجعلهما يقتربان، يجب عليهما أولًا التغلب على التأثير التنافري لقوة كولوم. افترض، وفقًا للميكانيكا الكلاسيكية، أن البروتونين (اللذين يُعدّان مصدرين نقطيين) يتحركان في اتجاهين متعاكسين، كل منهما بسرعة \(v_{rms}\)، وهي الجذر التربيعي لمتوسط مربع سرعة البروتونات (rms)، في تصادم رأسي أحادي البعد.

2. اكتشاف أن التقدير السابق لدرجة الحرارة غير صحيح.

للتحقق من معقولية التقدير السابق لدرجة الحرارة، نحتاج إلى طريقة مستقلة لتقدير درجة الحرارة المركزية للنجم. إن بنية النجوم معقدة جدًا، ولكن يمكننا التوصل إلى فهم مهم لها بوضع بعض الافتراضات. النجوم في حالة اتزان، أي إنها لا تتمدد ولا تنكمش لأن قوة الجاذبية المتجهة إلى الداخل تتوازن مع قوة الضغط المتجهة إلى الخارج (انظر الشكل 2). بالنسبة إلى شريحة من الغاز، تُعطى معادلة الاتزان الهيدروستاتيكي عند مسافة معينة \(r\) من مركز النجم بالعلاقة

\[ \frac{\Delta P}{\Delta r}=-\frac{GM_r\rho_r}{r^2}, \]

حيث \(P\) ضغط الغاز، و\(G\) ثابت الجذب العام، و\(M_r\) كتلة النجم داخل كرة نصف قطرها \(r\)، و\(\rho_r\) كثافة الغاز في الشريحة.

الشكل 2. تكون النجوم في حالة اتزان هيدروستاتيكي، إذ يوازن فرق الضغط الجاذبية.

يمكن الحصول على تقدير لرتبة مقدار درجة الحرارة المركزية للنجم باستخدام قيم المعلمات عند مركز النجم وعند سطحه، بإجراء التقريبات الآتية:

\[ \Delta P\approx P_o-P_c, \]

حيث \(P_c\) و\(P_o\) هما الضغطان عند مركز النجم وسطحه، على الترتيب. وبما أن \(P_c\gg P_o\)، يمكننا افتراض أن

\[ \Delta P\approx-P_c. \]

وفي إطار التقريب نفسه، يمكننا كتابة

\[ \Delta r\approx R, \]

حيث \(R\) نصف القطر الكلي للنجم، وكذلك

\[ M_r\approx M_R=M, \]

حيث \(M\) الكتلة الكلية للنجم.

ويمكن تقريب الكثافة بقيمتها عند المركز،

\[ \rho_r\approx\rho_c. \]

يمكنك افتراض أن الضغط هو ضغط غاز مثالي.

يمكننا الآن استخدام التنبؤ الآتي لهذا النموذج معيارًا لصلاحيته:

3. تقدير لدرجة الحرارة في مركز النجوم باستخدام ميكانيكا الكم

يشير التباين الكبير الذي ظهر في (2d) إلى أن التقدير الكلاسيكي لـ\(T_c\) الذي حصلنا عليه في (1a) غير صحيح. ويُحل هذا التباين عند أخذ التأثيرات الكمومية في الحسبان؛ فهي تخبرنا بأن البروتونات تسلك سلوك الموجات، وأن البروتون الواحد يكون منتشرًا على امتداد من رتبة \(\lambda_p\)، وهو طول موجة دي برولي. ويعني ذلك أنه إذا كانت \(d_c\)، وهي مسافة أقرب اقتراب بين البروتونين، من رتبة \(\lambda_p\)، فإن البروتونين يتداخلان بالمعنى الكمومي ويمكنهما الاندماج.

وبالفعل، تتبع النجوم الواقعة فيما يُسمّى النسق الأساسي (التي تدمج الهيدروجين) هذه النسبة تقريبًا عبر نطاق واسع من الكتل.

4. نسبة الكتلة إلى نصف القطر للنجوم.

يشير التوافق السابق إلى صحة المقاربة الكمومية لتقدير درجة الحرارة في مركز الشمس.

5. كتلة أصغر نجم ونصف قطره.

تشير النتيجة التي توصلنا إليها في (4a) إلى إمكانية وجود نجوم بأي كتلة ما دامت هذه العلاقة متحققة؛ إلا أن ذلك غير صحيح.

من المعروف أن الغاز داخل النجوم العادية التي تدمج الهيدروجين يسلك تقريبًا سلوك الغاز المثالي. ويعني ذلك أن \(d_e\)، وهي المسافة الفاصلة النموذجية بين الإلكترونات، أكبر في المتوسط من \(\lambda_e\)، وهو طول موجة دي برولي النموذجي لها. ولو كانت الإلكترونات أقرب من ذلك، لكانت في حالة تُسمّى حالة الانحلال، ولسلكت النجوم سلوكًا مختلفًا. لاحظ الفرق بين طريقتي تعاملنا مع البروتونات والإلكترونات داخل النجم. فبالنسبة إلى البروتونات، ينبغي أن تتداخل موجات دي برولي الخاصة بها تداخلًا وثيقًا عند تصادمها لكي تندمج، أما بالنسبة إلى الإلكترونات فينبغي ألا تتداخل موجات دي برولي الخاصة بها لكي تبقى في حالة غاز مثالي.

تزداد الكثافة في النجوم مع تناقص نصف القطر. ومع ذلك، افترض لأغراض هذا التقدير لرتبة المقدار أن كثافتها منتظمة. ويمكنك أيضًا استخدام أن \(m_p\gg m_e\).

6. اندماج أنوية الهيليوم في النجوم المتقدمة في العمر.

مع تقدم النجوم في العمر، تكون قد دمجت معظم الهيدروجين في لبّها وحولته إلى هيليوم (He)، فتضطر إلى البدء بدمج الهيليوم لتكوين عناصر أثقل كي تستمر في الإضاءة. تحتوي نواة الهيليوم على بروتونين ونيوترونين، لذا فإن شحنتها تساوي ضعفي شحنة البروتون، وكتلتها تساوي تقريبًا أربعة أمثال كتلته. رأينا سابقًا أن \(d_c=\dfrac{\lambda_p}{2^{1/2}}\) هو شرط اندماج البروتونات.

نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي.