In physics, whenever we have an equality relation, both sides of the equation should be of the same type i.e. they must have the same dimensions. For example you cannot have a situation where the quantity on the right-hand side of the equation represents a length and the quantity on the left-hand side represents a time interval. Using this fact, sometimes one can nearly deduce the form of a physical relation without solving the problem analytically. For example if we were asked to find the time it takes for an object to fall from a height of \(h\) under the influence of a constant gravitational acceleration \(g\), we could argue that one only needs to build a quantity representing a time interval, using the quantities \(g\) and \(h\) and the only possible way of doing this is \(T=a(h/g)^{1/2}\). Notice that this solution includes an as yet undetermined coefficient \(a\) which is dimensionless and thus cannot be determined, using this method. This coefficient can be a number such as \(1\), \(1/2\), \(\sqrt{3}\), \(\pi\), or any other real number. This method of deducing physical relations is called dimensional analysis. In dimensional analysis the dimensionless coefficients are not important and we do not need to write them. Fortunately in most physical problems these coefficients are of the order of 1 and eliminating them does not change the order of magnitude of the physical quantities. Therefore, by applying the dimensional analysis to the above problem, one obtains \(T=(h/g)^{1/2}\).

Generally, the dimensions of a physical quantity are written in terms of the dimensions of four fundamental quantities: \(M\) (mass), \(L\) (length), \(T\) (time), and \(K\) (temperature). The dimensions of an arbitrary quantity, \(x\) is denoted by \([x]\). As an example, to express the dimensions of velocity \(v\), kinetic energy \(E_k\), and heat capacity \(C_V\) we write: \([v]=LT^{-1}\), \([E_k]=ML^2T^{-2}\), \([C_V]=ML^2T^{-2}K^{-1}\).

1 Fundamental Constants and Dimensional Analysis

The Stefan-Boltzmann law states that the black body emissive power which is the total energy radiated per unit surface area of a black body in unit time is equal to \(\sigma\theta^4\) where \(\sigma\) is the Stefan-Boltzmann's constant and \(\theta\) is the absolute temperature of the black body.

The Stefan-Boltzmann's constant is not a fundamental constant and one can write it in terms of fundamental constants i.e. one can write \(\sigma=ah^\alpha c^\beta G^\gamma k_B^\delta\). In this relation \(a\) is a dimensionless parameter of the order of 1. As mentioned before, the exact value of \(a\) is not significant from our viewpoint, so we will set it equal to 1.

2 Physics of Black Holes

In this part of the problem, we would like to find out some properties of black holes using dimensional analysis. According to a certain theorem in physics known as the no hair theorem, all the characteristics of the black hole which we are considering in this problem depend only on the mass of the black hole. One characteristic of a black hole is the area of its event horizon. Roughly speaking, the event horizon is the boundary of the black hole. Inside this boundary, the gravity is so strong that even light cannot emerge from the region enclosed by the boundary.

We would like to find a relation between the mass of a black hole, \(m\), and the area of its event horizon, \(A\). This area depends on the mass of the black hole, the speed of light, and the universal constant of gravitation. As in 1.3 we shall write \(A=G^\alpha c^\beta m^\gamma\).

From the result of 2.1 it becomes clear that the area of the event horizon of a black hole increases with its mass. From a classical point of view, nothing comes out of a black hole and therefore in all physical processes the area of the event horizon can only increase. In analogy with the second law of thermodynamics, Bekenstein proposed to assign entropy, \(S\), to a black hole, proportional to the area of its event horizon i.e. \(S=\eta A\). This conjecture has been made more plausible using other arguments.

Do not use dimensional analysis for the rest of problem, but you may use the results you have obtained in previous sections.

3 Hawking Radiation

With a semi-quantum mechanical approach, Hawking argued that contrary to the classical point of view, black holes emit radiation similar to the radiation of a black body at a temperature which is called the Hawking temperature.

From the viewpoint of thermodynamics, black holes exhibit certain exotic behaviors. For example the heat capacity of a black hole is negative.

4 Black Holes and the Cosmic Background Radiation

Consider a black hole exposed to the cosmic background radiation. The cosmic background radiation is a black body radiation with a temperature \(\theta_B\) which fills the entire universe. An object with a total area \(A\) will thus receive an energy equal to \(\sigma\theta_B^4\times A\) per unit time. A black hole, therefore, loses energy through Hawking radiation and gains energy from the cosmic background radiation.

Official English text of the problem.

In der Physik müssen bei einer Gleichheitsbeziehung beide Seiten der Gleichung von derselben Art sein, d. h., sie müssen dieselben Dimensionen haben. Beispielsweise kann die Größe auf der rechten Seite einer Gleichung nicht eine Länge darstellen, während die Größe auf der linken Seite ein Zeitintervall darstellt. Mithilfe dieser Tatsache lässt sich manchmal die Form eines physikalischen Zusammenhangs nahezu herleiten, ohne das Problem analytisch zu lösen. Wenn wir beispielsweise die Zeit bestimmen sollten, die ein Körper benötigt, um unter dem Einfluss einer konstanten Fallbeschleunigung \(g\) aus einer Höhe \(h\) zu fallen, könnten wir argumentieren, dass wir lediglich aus den Größen \(g\) und \(h\) eine Größe bilden müssen, die ein Zeitintervall darstellt, und dass dies nur in der Form \(T=a(h/g)^{1/2}\) möglich ist. Beachten Sie, dass diese Lösung einen noch unbestimmten Koeffizienten \(a\) enthält, der dimensionslos ist und daher mit dieser Methode nicht bestimmt werden kann. Dieser Koeffizient kann eine Zahl wie \(1\), \(1/2\), \(\sqrt{3}\), \(\pi\) oder jede andere reelle Zahl sein. Diese Methode zur Herleitung physikalischer Zusammenhänge heißt Dimensionsanalyse. Bei der Dimensionsanalyse sind die dimensionslosen Koeffizienten nicht von Bedeutung und müssen nicht angeschrieben werden. Glücklicherweise sind diese Koeffizienten bei den meisten physikalischen Problemen von der Größenordnung 1, und ihr Weglassen verändert die Größenordnung der physikalischen Größen nicht. Wendet man die Dimensionsanalyse auf das obige Problem an, erhält man daher \(T=(h/g)^{1/2}\).

Im Allgemeinen werden die Dimensionen einer physikalischen Größe durch die Dimensionen von vier Grundgrößen ausgedrückt: \(M\) (Masse), \(L\) (Länge), \(T\) (Zeit) und \(K\) (Temperatur). Die Dimension einer beliebigen Größe \(x\) wird mit \([x]\) bezeichnet. Um beispielsweise die Dimensionen der Geschwindigkeit \(v\), der kinetischen Energie \(E_k\) und der Wärmekapazität \(C_V\) auszudrücken, schreiben wir: \([v]=LT^{-1}\), \([E_k]=ML^2T^{-2}\), \([C_V]=ML^2T^{-2}K^{-1}\).

1 Fundamentalkonstanten und Dimensionsanalyse

Das Stefan-Boltzmann-Gesetz besagt, dass die spezifische Ausstrahlung eines schwarzen Körpers, also die gesamte Energie, die pro Flächeneinheit seiner Oberfläche und pro Zeiteinheit abgestrahlt wird, gleich \(\sigma\theta^4\) ist, wobei \(\sigma\) die Stefan-Boltzmann-Konstante und \(\theta\) die absolute Temperatur des schwarzen Körpers ist.

Die Stefan-Boltzmann-Konstante ist keine Fundamentalkonstante und lässt sich durch Fundamentalkonstanten ausdrücken, d. h., man kann \(\sigma=ah^\alpha c^\beta G^\gamma k_B^\delta\) schreiben. In dieser Beziehung ist \(a\) ein dimensionsloser Parameter von der Größenordnung 1. Wie bereits erwähnt, ist der genaue Wert von \(a\) für unsere Betrachtung nicht von Bedeutung, daher setzen wir ihn gleich 1.

2 Physik Schwarzer Löcher

In diesem Teil der Aufgabe möchten wir mithilfe der Dimensionsanalyse einige Eigenschaften Schwarzer Löcher bestimmen. Nach einem bestimmten physikalischen Theorem, das als No-Hair-Theorem bekannt ist, hängen alle Eigenschaften des Schwarzen Lochs, das wir in dieser Aufgabe betrachten, ausschließlich von seiner Masse ab. Eine Eigenschaft eines Schwarzen Lochs ist die Fläche seines Ereignishorizonts. Anschaulich gesprochen ist der Ereignishorizont die Grenze des Schwarzen Lochs. Innerhalb dieser Grenze ist die Gravitation so stark, dass nicht einmal Licht aus dem von ihr umschlossenen Gebiet entweichen kann.

Wir möchten einen Zusammenhang zwischen der Masse eines Schwarzen Lochs \(m\) und der Fläche seines Ereignishorizonts \(A\) finden. Diese Fläche hängt von der Masse des Schwarzen Lochs, der Lichtgeschwindigkeit und der universellen Gravitationskonstante ab. Wie in 1.3 schreiben wir \(A=G^\alpha c^\beta m^\gamma\).

Aus dem Ergebnis von 2.1 wird deutlich, dass die Fläche des Ereignishorizonts eines Schwarzen Lochs mit seiner Masse zunimmt. Aus klassischer Sicht kann nichts aus einem Schwarzen Loch entweichen, und daher kann die Fläche des Ereignishorizonts bei allen physikalischen Vorgängen nur zunehmen. In Analogie zum zweiten Hauptsatz der Thermodynamik schlug Bekenstein vor, einem Schwarzen Loch eine Entropie \(S\) zuzuordnen, die proportional zur Fläche seines Ereignishorizonts ist, d. h. \(S=\eta A\). Diese Vermutung wurde durch weitere Argumente plausibler gemacht.

Verwenden Sie für den Rest der Aufgabe keine Dimensionsanalyse; Sie dürfen jedoch die Ergebnisse aus den vorhergehenden Abschnitten verwenden.

3 Hawking-Strahlung

Mit einem halbquantenmechanischen Ansatz begründete Hawking, dass Schwarze Löcher entgegen der klassischen Sichtweise Strahlung aussenden, die der Strahlung eines schwarzen Körpers bei einer Temperatur ähnelt, die als Hawking-Temperatur bezeichnet wird.

Aus thermodynamischer Sicht zeigen Schwarze Löcher einige exotische Verhaltensweisen. Beispielsweise ist die Wärmekapazität eines Schwarzen Lochs negativ.

4 Schwarze Löcher und die kosmische Hintergrundstrahlung

Betrachten Sie ein Schwarzes Loch, das der kosmischen Hintergrundstrahlung ausgesetzt ist. Die kosmische Hintergrundstrahlung ist eine Schwarzkörperstrahlung mit einer Temperatur \(\theta_B\), die das gesamte Universum erfüllt. Ein Körper mit einer Gesamtoberfläche \(A\) empfängt daher pro Zeiteinheit eine Energie von \(\sigma\theta_B^4\times A\). Ein Schwarzes Loch verliert somit Energie durch Hawking-Strahlung und gewinnt Energie aus der kosmischen Hintergrundstrahlung.

Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt.

Fizikte bir eşitlik bağıntısı söz konusu olduğunda, denklemin her iki tarafı aynı türden olmalı, yani aynı boyutlara sahip olmalıdır. Örneğin, denklemin sağ tarafındaki niceliğin bir uzunluğu, sol tarafındaki niceliğin ise bir zaman aralığını temsil ettiği bir durum olamaz. Bu olgudan yararlanarak, bazen problemi analitik olarak çözmeden bir fiziksel bağıntının biçimini neredeyse tamamen çıkarabiliriz. Örneğin, sabit bir yer çekimi ivmesi \(g\) etkisinde bir cismin \(h\) yüksekliğinden düşmesi için geçen süreyi bulmamız istenseydi, yalnızca \(g\) ve \(h\) niceliklerini kullanarak bir zaman aralığını temsil eden bir nicelik oluşturmamız gerektiğini ve bunu yapmanın tek olası yolunun \(T=a(h/g)^{1/2}\) olduğunu ileri sürebilirdik. Bu çözümün, henüz belirlenmemiş, boyutsuz bir \(a\) katsayısı içerdiğine ve dolayısıyla bu katsayının bu yöntemle belirlenemeyeceğine dikkat edin. Bu katsayı \(1\), \(1/2\), \(\sqrt{3}\), \(\pi\) gibi bir sayı ya da herhangi bir başka gerçek sayı olabilir. Fiziksel bağıntıları çıkarmaya yarayan bu yönteme boyut analizi denir. Boyut analizinde boyutsuz katsayılar önemli değildir ve bunları yazmamız gerekmez. Neyse ki çoğu fizik probleminde bu katsayılar 1 mertebesindedir ve bunların çıkarılması fiziksel niceliklerin büyüklük mertebesini değiştirmez. Dolayısıyla, yukarıdaki probleme boyut analizi uygulandığında \(T=(h/g)^{1/2}\) elde edilir.

Genellikle bir fiziksel niceliğin boyutları, dört temel niceliğin boyutları cinsinden yazılır: \(M\) (kütle), \(L\) (uzunluk), \(T\) (zaman) ve \(K\) (sıcaklık). Herhangi bir \(x\) niceliğinin boyutları \([x]\) ile gösterilir. Örneğin, \(v\) hızının, \(E_k\) kinetik enerjisinin ve \(C_V\) ısı kapasitesinin boyutlarını ifade etmek için şöyle yazarız: \([v]=LT^{-1}\), \([E_k]=ML^2T^{-2}\), \([C_V]=ML^2T^{-2}K^{-1}\).

1 Temel Sabitler ve Boyut Analizi

Stefan-Boltzmann yasasına göre, bir kara cismin birim yüzey alanından birim zamanda yayılan toplam enerji olan kara cismin ışıma gücü yoğunluğu, \(\sigma\) Stefan-Boltzmann sabiti ve \(\theta\) kara cismin mutlak sıcaklığı olmak üzere \(\sigma\theta^4\)'e eşittir.

Stefan-Boltzmann sabiti temel bir sabit değildir ve temel sabitler cinsinden yazılabilir; yani \(\sigma=ah^\alpha c^\beta G^\gamma k_B^\delta\) yazılabilir. Bu bağıntıda \(a\), 1 mertebesinde boyutsuz bir parametredir. Daha önce belirtildiği gibi, \(a\)'nın tam değeri bizim açımızdan önemli değildir; bu nedenle onu 1'e eşit alacağız.

2 Kara Delik Fiziği

Sorunun bu bölümünde, boyut analizini kullanarak kara deliklerin bazı özelliklerini bulmak istiyoruz. Fizikte saçsızlık teoremi olarak bilinen bir teoreme göre, bu soruda ele aldığımız kara deliğin bütün özellikleri yalnızca kara deliğin kütlesine bağlıdır. Bir kara deliğin özelliklerinden biri, olay ufkunun alanıdır. Kabaca söylemek gerekirse, olay ufku kara deliğin sınırıdır. Bu sınırın içinde kütle çekimi o kadar güçlüdür ki ışık bile sınırın çevrelediği bölgeden dışarı çıkamaz.

Bir kara deliğin kütlesi \(m\) ile olay ufkunun alanı \(A\) arasında bir bağıntı bulmak istiyoruz. Bu alan kara deliğin kütlesine, ışık hızına ve evrensel kütle çekim sabitine bağlıdır. 1.3'te olduğu gibi \(A=G^\alpha c^\beta m^\gamma\) yazacağız.

2.1'in sonucundan, bir kara deliğin olay ufkunun alanının kütlesiyle birlikte arttığı anlaşılır. Klasik bakış açısına göre, bir kara delikten hiçbir şey çıkmaz ve dolayısıyla bütün fiziksel süreçlerde olay ufkunun alanı yalnızca artabilir. Termodinamiğin ikinci yasasıyla benzerlik kuran Bekenstein, kara deliğe olay ufkunun alanıyla orantılı bir \(S\) entropisi atamayı, yani \(S=\eta A\) bağıntısını önerdi. Başka argümanlar da bu varsayımı daha makul hâle getirmiştir.

Sorunun geri kalanında boyut analizi kullanmayın; ancak önceki bölümlerde elde ettiğiniz sonuçları kullanabilirsiniz.

3 Hawking Işıması

Hawking, yarı kuantum mekanik bir yaklaşımla, klasik bakış açısının aksine kara deliklerin, Hawking sıcaklığı adı verilen bir sıcaklıktaki kara cismin ışımasına benzer bir ışıma yaptığını ileri sürdü.

Termodinamik açıdan kara delikler bazı sıra dışı davranışlar sergiler. Örneğin, bir kara deliğin ısı kapasitesi negatiftir.

4 Kara Delikler ve Kozmik Arka Plan Işıması

Kozmik arka plan ışımasına maruz kalan bir kara delik düşünün. Kozmik arka plan ışıması, tüm evreni dolduran, \(\theta_B\) sıcaklığındaki bir kara cisim ışımasıdır. Dolayısıyla toplam alanı \(A\) olan bir cisim, birim zamanda \(\sigma\theta_B^4\times A\)'ya eşit bir enerji alır. Bu nedenle bir kara delik, Hawking ışıması yoluyla enerji kaybederken kozmik arka plan ışımasından enerji kazanır.

Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir.

En física, siempre que tenemos una relación de igualdad, ambos miembros de la ecuación deben ser del mismo tipo, es decir, deben tener las mismas dimensiones. Por ejemplo, no puede darse una situación en la que la magnitud del miembro derecho de la ecuación represente una longitud y la del miembro izquierdo represente un intervalo de tiempo. A partir de este hecho, a veces se puede deducir casi por completo la forma de una relación física sin resolver el problema analíticamente. Por ejemplo, si se nos pidiera hallar el tiempo que tarda un objeto en caer desde una altura de \(h\) bajo la influencia de una aceleración gravitatoria constante \(g\), podríamos argumentar que solo hace falta construir una magnitud que represente un intervalo de tiempo a partir de las magnitudes \(g\) y \(h\), y que la única forma posible de hacerlo es \(T=a(h/g)^{1/2}\). Obsérvese que esta solución incluye un coeficiente \(a\), aún indeterminado, que es adimensional y, por tanto, no puede determinarse mediante este método. Este coeficiente puede ser un número como \(1\), \(1/2\), \(\sqrt{3}\), \(\pi\) o cualquier otro número real. Este método para deducir relaciones físicas se denomina análisis dimensional. En el análisis dimensional, los coeficientes adimensionales no son importantes y no es necesario escribirlos. Afortunadamente, en la mayoría de los problemas físicos estos coeficientes son del orden de 1 y su eliminación no modifica el orden de magnitud de las magnitudes físicas. Por tanto, al aplicar el análisis dimensional al problema anterior, se obtiene \(T=(h/g)^{1/2}\).

En general, las dimensiones de una magnitud física se escriben en función de las dimensiones de cuatro magnitudes fundamentales: \(M\) (masa), \(L\) (longitud), \(T\) (tiempo) y \(K\) (temperatura). Las dimensiones de una magnitud arbitraria \(x\) se denotan por \([x]\). Por ejemplo, para expresar las dimensiones de la velocidad \(v\), la energía cinética \(E_k\) y la capacidad calorífica \(C_V\), escribimos: \([v]=LT^{-1}\), \([E_k]=ML^2T^{-2}\), \([C_V]=ML^2T^{-2}K^{-1}\).

1 Constantes fundamentales y análisis dimensional

La ley de Stefan-Boltzmann establece que el poder emisivo de un cuerpo negro, que es la energía total radiada por unidad de superficie de un cuerpo negro y por unidad de tiempo, es igual a \(\sigma\theta^4\), donde \(\sigma\) es la constante de Stefan-Boltzmann y \(\theta\) es la temperatura absoluta del cuerpo negro.

La constante de Stefan-Boltzmann no es una constante fundamental y puede escribirse en función de las constantes fundamentales, es decir, puede escribirse \(\sigma=ah^\alpha c^\beta G^\gamma k_B^\delta\). En esta relación, \(a\) es un parámetro adimensional del orden de 1. Como se ha mencionado antes, el valor exacto de \(a\) no es significativo desde nuestro punto de vista, por lo que lo tomaremos igual a 1.

2 Física de los agujeros negros

En esta parte del problema, queremos averiguar algunas propiedades de los agujeros negros mediante el análisis dimensional. Según un teorema de la física conocido como el teorema de ausencia de pelo, todas las características del agujero negro que estamos considerando en este problema dependen únicamente de su masa. Una característica de un agujero negro es el área de su horizonte de sucesos. A grandes rasgos, el horizonte de sucesos es la frontera del agujero negro. Dentro de esta frontera, la gravedad es tan intensa que ni siquiera la luz puede salir de la región delimitada por ella.

Queremos hallar una relación entre la masa de un agujero negro, \(m\), y el área de su horizonte de sucesos, \(A\). Esta área depende de la masa del agujero negro, de la velocidad de la luz y de la constante de gravitación universal. Como en 1.3, escribiremos \(A=G^\alpha c^\beta m^\gamma\).

Del resultado de 2.1 se desprende que el área del horizonte de sucesos de un agujero negro aumenta con su masa. Desde un punto de vista clásico, nada sale de un agujero negro y, por tanto, en todos los procesos físicos el área del horizonte de sucesos solo puede aumentar. Por analogía con el segundo principio de la termodinámica, Bekenstein propuso asignar a un agujero negro una entropía, \(S\), proporcional al área de su horizonte de sucesos, es decir, \(S=\eta A\). Otros argumentos han reforzado la plausibilidad de esta conjetura.

No utilice el análisis dimensional en el resto del problema, aunque puede utilizar los resultados obtenidos en los apartados anteriores.

3 Radiación de Hawking

Mediante un enfoque semicuántico, Hawking argumentó que, contrariamente al punto de vista clásico, los agujeros negros emiten una radiación similar a la de un cuerpo negro a una temperatura denominada temperatura de Hawking.

Desde el punto de vista de la termodinámica, los agujeros negros presentan ciertos comportamientos exóticos. Por ejemplo, la capacidad calorífica de un agujero negro es negativa.

4 Los agujeros negros y la radiación cósmica de fondo

Considere un agujero negro expuesto a la radiación cósmica de fondo. La radiación cósmica de fondo es una radiación de cuerpo negro con una temperatura \(\theta_B\) que llena todo el universo. Por tanto, un objeto con un área total \(A\) recibirá una energía igual a \(\sigma\theta_B^4\times A\) por unidad de tiempo. Así pues, un agujero negro pierde energía mediante la radiación de Hawking y gana energía de la radiación cósmica de fondo.

Enunciado traducido del texto oficial en inglés.

在物理学中，只要有等式关系，等式两边的量就应当属于同一类型，即它们必须具有相同的量纲。例如，不可能出现等式右边的量表示长度，而左边的量表示时间间隔的情况。利用这一事实，有时无需解析求解问题，就几乎能够推导出物理关系的形式。例如，若要求一个物体在恒定重力加速度 \(g\) 的作用下从高度 \(h\) 下落所需的时间，我们可以这样推理：只需用 \(g\) 和 \(h\) 构造一个表示时间间隔的量，而唯一可能的形式是 \(T=a(h/g)^{1/2}\)。注意，这一结果包含一个尚未确定的系数 \(a\)，它是无量纲的，因此无法用这种方法确定。这个系数可以是 \(1\)、\(1/2\)、\(\sqrt{3}\)、\(\pi\) 这样的数，也可以是任何其他实数。这种推导物理关系的方法称为量纲分析。在量纲分析中，无量纲系数并不重要，我们无需将其写出。幸运的是，在大多数物理问题中，这些系数的数量级为 1，略去它们不会改变物理量的数量级。因此，对上述问题进行量纲分析，可得 \(T=(h/g)^{1/2}\)。

通常，物理量的量纲用四个基本量的量纲表示：\(M\)（质量）、\(L\)（长度）、\(T\)（时间）和 \(K\)（温度）。任意量 \(x\) 的量纲记作 \([x]\)。例如，速度 \(v\)、动能 \(E_k\) 和热容 \(C_V\) 的量纲分别写为：\([v]=LT^{-1}\)、\([E_k]=ML^2T^{-2}\)、\([C_V]=ML^2T^{-2}K^{-1}\)。

1 基本常数与量纲分析

斯特藩–玻尔兹曼定律指出，黑体的辐射出射度，即黑体单位表面积在单位时间内辐射的总能量，等于 \(\sigma\theta^4\)，其中 \(\sigma\) 为斯特藩–玻尔兹曼常数，\(\theta\) 为黑体的绝对温度。

斯特藩–玻尔兹曼常数并非基本常数，可以用基本常数表示，即可写成 \(\sigma=ah^\alpha c^\beta G^\gamma k_B^\delta\)。在此关系式中，\(a\) 是一个数量级为 1 的无量纲参数。如前所述，从我们的角度看，\(a\) 的精确值并不重要，因此将其取为 1。

2 黑洞物理

在本题的这一部分，我们希望用量纲分析研究黑洞的一些性质。根据物理学中称为无毛定理的一个定理，本题所考虑的黑洞的所有特征都仅取决于黑洞的质量。黑洞的一个特征是其事件视界的面积。粗略地说，事件视界就是黑洞的边界。在这一边界内部，引力强大到连光都无法从边界包围的区域中逸出。

我们希望找出黑洞质量 \(m\) 与其事件视界面积 \(A\) 之间的关系。该面积取决于黑洞的质量、光速以及万有引力常数。与 1.3 中一样，我们写出 \(A=G^\alpha c^\beta m^\gamma\)。

由 2.1 的结果可知，黑洞的事件视界面积随其质量的增加而增大。从经典物理的观点来看，没有任何东西能够从黑洞中逸出，因此在所有物理过程中，事件视界的面积只能增大。类比热力学第二定律，贝肯斯坦提出，可以赋予黑洞一个熵 \(S\)，它与黑洞的事件视界面积成正比，即 \(S=\eta A\)。其他一些论证进一步支持了这一猜想。

在本题余下的部分中，不要使用量纲分析，但可以使用前面各部分中已经得到的结果。

3 霍金辐射

霍金采用半量子力学的方法论证指出，与经典物理的观点相反，黑洞会发出类似于黑体辐射的辐射，其对应的温度称为霍金温度。

从热力学的角度来看，黑洞表现出某些奇特的性质。例如，黑洞的热容为负。

4 黑洞与宇宙背景辐射

考虑一个处于宇宙背景辐射中的黑洞。宇宙背景辐射是充满整个宇宙、温度为 \(\theta_B\) 的黑体辐射。因此，总面积为 \(A\) 的物体在单位时间内接收到的能量等于 \(\sigma\theta_B^4\times A\)。所以，黑洞一方面通过霍金辐射损失能量，另一方面从宇宙背景辐射中获得能量。

题目译自官方英文原文。

В физике всякий раз, когда записывается равенство, обе части уравнения должны быть величинами одного рода, то есть иметь одинаковые размерности. Например, недопустима ситуация, когда величина в правой части уравнения представляет собой длину, а величина в левой части — промежуток времени. Используя этот факт, иногда можно практически установить вид физической зависимости, не решая задачу аналитически. Например, если бы нам предложили найти время падения тела с высоты \(h\) при постоянном ускорении свободного падения \(g\), мы могли бы рассуждать так: достаточно составить величину, представляющую собой промежуток времени, из величин \(g\) и \(h\), и единственный возможный способ сделать это — записать \(T=a(h/g)^{1/2}\). Заметим, что это решение содержит пока не определённый коэффициент \(a\), который является безразмерным и потому не может быть определён этим методом. Этот коэффициент может быть числом, например \(1\), \(1/2\), \(\sqrt{3}\), \(\pi\), или любым другим действительным числом. Такой метод установления физических зависимостей называется анализом размерностей. При анализе размерностей безразмерные коэффициенты несущественны, и их можно не записывать. К счастью, в большинстве физических задач эти коэффициенты имеют порядок 1, и их исключение не меняет порядка величины физических величин. Поэтому, применяя анализ размерностей к приведённой выше задаче, получаем \(T=(h/g)^{1/2}\).

Обычно размерности физической величины выражают через размерности четырёх основных величин: \(M\) (масса), \(L\) (длина), \(T\) (время) и \(K\) (температура). Размерность произвольной величины \(x\) обозначается \([x]\). Например, для размерностей скорости \(v\), кинетической энергии \(E_k\) и теплоёмкости \(C_V\) записывают: \([v]=LT^{-1}\), \([E_k]=ML^2T^{-2}\), \([C_V]=ML^2T^{-2}K^{-1}\).

1 Фундаментальные постоянные и анализ размерностей

Закон Стефана — Больцмана утверждает, что энергетическая светимость абсолютно чёрного тела, то есть полная энергия, излучаемая единицей площади поверхности абсолютно чёрного тела за единицу времени, равна \(\sigma\theta^4\), где \(\sigma\) — постоянная Стефана — Больцмана, а \(\theta\) — абсолютная температура абсолютно чёрного тела.

Постоянная Стефана — Больцмана не является фундаментальной постоянной, и её можно выразить через фундаментальные постоянные, то есть записать \(\sigma=ah^\alpha c^\beta G^\gamma k_B^\delta\). В этом соотношении \(a\) — безразмерный параметр порядка 1. Как отмечалось выше, точное значение \(a\) для нас несущественно, поэтому положим его равным 1.

2 Физика чёрных дыр

В этой части задачи мы хотим установить некоторые свойства чёрных дыр с помощью анализа размерностей. Согласно одной из физических теорем, известной как теорема об отсутствии волос, все характеристики чёрной дыры, рассматриваемой в этой задаче, зависят только от её массы. Одной из характеристик чёрной дыры является площадь её горизонта событий. Грубо говоря, горизонт событий — это граница чёрной дыры. Внутри этой границы гравитация настолько сильна, что даже свет не может выйти из ограниченной ею области.

Мы хотим найти связь между массой чёрной дыры \(m\) и площадью её горизонта событий \(A\). Эта площадь зависит от массы чёрной дыры, скорости света и гравитационной постоянной. Как и в 1.3, запишем \(A=G^\alpha c^\beta m^\gamma\).

Из результата 2.1 следует, что площадь горизонта событий чёрной дыры растёт с увеличением её массы. С классической точки зрения из чёрной дыры ничто не выходит, поэтому во всех физических процессах площадь горизонта событий может только увеличиваться. По аналогии со вторым началом термодинамики Бекенштейн предложил приписать чёрной дыре энтропию \(S\), пропорциональную площади её горизонта событий, то есть \(S=\eta A\). Дополнительные аргументы сделали эту гипотезу более правдоподобной.

В оставшейся части задачи не используйте анализ размерностей, однако можете пользоваться результатами, полученными в предыдущих частях.

3 Излучение Хокинга

Используя полуквантовый подход, Хокинг показал, что, вопреки классической точке зрения, чёрные дыры испускают излучение, подобное излучению абсолютно чёрного тела при температуре, которую называют температурой Хокинга.

С точки зрения термодинамики чёрные дыры обладают некоторыми необычными свойствами. Например, теплоёмкость чёрной дыры отрицательна.

4 Чёрные дыры и реликтовое излучение

Рассмотрим чёрную дыру, на которую падает реликтовое излучение. Реликтовое излучение представляет собой излучение абсолютно чёрного тела с температурой \(\theta_B\), заполняющее всю Вселенную. Поэтому объект с полной площадью поверхности \(A\) получает за единицу времени энергию, равную \(\sigma\theta_B^4\times A\). Таким образом, чёрная дыра теряет энергию вследствие излучения Хокинга и получает энергию от реликтового излучения.

Условие переведено с официального английского текста.

في الفيزياء، كلما كانت لدينا علاقة مساواة، وجب أن يكون طرفا المعادلة من النوع نفسه، أي أن تكون لهما الأبعاد نفسها. فعلى سبيل المثال، لا يمكن أن تمثل الكمية في الطرف الأيمن من المعادلة طولًا، بينما تمثل الكمية في الطرف الأيسر فترة زمنية. وباستخدام هذه الحقيقة، يمكن أحيانًا استنتاج شكل علاقة فيزيائية تقريبًا دون حل المسألة تحليليًا. فمثلًا، إذا طُلب منا إيجاد الزمن الذي يستغرقه جسم للسقوط من ارتفاع \(h\) تحت تأثير تسارع جاذبية ثابت \(g\)، أمكننا أن نستدل بأن كل ما نحتاج إليه هو بناء كمية تمثل فترة زمنية باستخدام الكميتين \(g\) و\(h\)، وأن الطريقة الوحيدة الممكنة لذلك هي \(T=a(h/g)^{1/2}\). لاحظ أن هذا الحل يتضمن معاملًا \(a\) لم تُحدَّد قيمته بعد، وهو عديم الأبعاد، ولذلك لا يمكن تحديده باستخدام هذه الطريقة. وقد يكون هذا المعامل عددًا مثل \(1\)، أو \(1/2\)، أو \(\sqrt{3}\)، أو \(\pi\)، أو أي عدد حقيقي آخر. وتُسمّى هذه الطريقة لاستنتاج العلاقات الفيزيائية التحليل البُعدي. وفي التحليل البُعدي، لا تكون المعاملات العديمة الأبعاد مهمة، ولا نحتاج إلى كتابتها. ولحسن الحظ، تكون هذه المعاملات في معظم المسائل الفيزيائية من رتبة 1، ولا يؤدي حذفها إلى تغيير رتبة مقدار الكميات الفيزيائية. ولذلك، بتطبيق التحليل البُعدي على المسألة السابقة، نحصل على \(T=(h/g)^{1/2}\).

تُكتب أبعاد الكمية الفيزيائية عمومًا بدلالة أبعاد أربع كميات أساسية: \(M\) (الكتلة)، و\(L\) (الطول)، و\(T\) (الزمن)، و\(K\) (درجة الحرارة). ويُرمز إلى أبعاد كمية اعتباطية \(x\) بالرمز \([x]\). فعلى سبيل المثال، للتعبير عن أبعاد السرعة \(v\)، والطاقة الحركية \(E_k\)، والسعة الحرارية \(C_V\)، نكتب: \([v]=LT^{-1}\)، \([E_k]=ML^2T^{-2}\)، \([C_V]=ML^2T^{-2}K^{-1}\).

1 الثوابت الأساسية والتحليل البُعدي

ينص قانون ستيفان–بولتزمان على أن القدرة الإشعاعية للجسم الأسود، وهي مجموع الطاقة التي يشعّها الجسم الأسود لكل وحدة مساحة من سطحه في وحدة الزمن، تساوي \(\sigma\theta^4\)، حيث \(\sigma\) هو ثابت ستيفان–بولتزمان و\(\theta\) هي درجة الحرارة المطلقة للجسم الأسود.

ثابت ستيفان–بولتزمان ليس ثابتًا أساسيًا، ويمكن كتابته بدلالة الثوابت الأساسية، أي يمكن كتابة \(\sigma=ah^\alpha c^\beta G^\gamma k_B^\delta\). وفي هذه العلاقة، \(a\) معلمة عديمة الأبعاد من رتبة 1. وكما ذُكر سابقًا، فإن القيمة الدقيقة لـ\(a\) ليست ذات أهمية من وجهة نظرنا، ولذلك سنجعلها مساوية لـ1.

2 فيزياء الثقوب السوداء

في هذا الجزء من المسألة، نريد التعرّف إلى بعض خصائص الثقوب السوداء باستخدام التحليل البُعدي. وفقًا لمبرهنة في الفيزياء تُعرف باسم مبرهنة انعدام الشعر، تعتمد جميع خصائص الثقب الأسود الذي ندرسه في هذه المسألة على كتلة الثقب الأسود وحدها. ومن خصائص الثقب الأسود مساحة أفق الحدث الخاص به. وبصورة تقريبية، يمثّل أفق الحدث حدود الثقب الأسود. وداخل هذه الحدود، تكون الجاذبية شديدة إلى حدّ لا يستطيع معه حتى الضوء الخروج من المنطقة التي تحيط بها هذه الحدود.

نريد إيجاد علاقة بين كتلة الثقب الأسود \(m\) ومساحة أفق الحدث الخاص به \(A\). وتعتمد هذه المساحة على كتلة الثقب الأسود وسرعة الضوء وثابت الجذب العام. وكما في 1.3، سنكتب \(A=G^\alpha c^\beta m^\gamma\).

يتضح من نتيجة 2.1 أن مساحة أفق الحدث للثقب الأسود تزداد بزيادة كتلته. ومن وجهة النظر الكلاسيكية، لا يخرج شيء من الثقب الأسود، ولذلك لا يمكن لمساحة أفق الحدث في جميع العمليات الفيزيائية إلا أن تزداد. وبالقياس إلى القانون الثاني للديناميكا الحرارية، اقترح بيكنشتاين إسناد إنتروبيا \(S\) إلى الثقب الأسود تتناسب مع مساحة أفق الحدث الخاص به، أي \(S=\eta A\). وقد اكتسب هذا التخمين مزيدًا من الوجاهة بالاستناد إلى حجج أخرى.

لا تستخدم التحليل البُعدي في بقية المسألة، ولكن يمكنك استخدام النتائج التي حصلت عليها في الأقسام السابقة.

3 إشعاع هوكينغ

استدل هوكينغ، باستخدام مقاربة شبه كمومية، على أن الثقوب السوداء، خلافًا لوجهة النظر الكلاسيكية، تصدر إشعاعًا شبيهًا بإشعاع جسم أسود عند درجة حرارة تُسمّى درجة حرارة هوكينغ.

من وجهة نظر الديناميكا الحرارية، تُظهر الثقوب السوداء بعض السلوكيات غير المألوفة. فمثلًا، تكون السعة الحرارية للثقب الأسود سالبة.

4 الثقوب السوداء وإشعاع الخلفية الكونية

اعتبر ثقبًا أسود معرّضًا لإشعاع الخلفية الكونية. إن إشعاع الخلفية الكونية هو إشعاع جسم أسود بدرجة حرارة \(\theta_B\)، يملأ الكون بأسره. ومن ثم، فإن جسمًا مساحته الكلية \(A\) يستقبل طاقة تساوي \(\sigma\theta_B^4\times A\) في وحدة الزمن. ولذلك يفقد الثقب الأسود طاقة عن طريق إشعاع هوكينغ، ويكتسب طاقة من إشعاع الخلفية الكونية.

نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي.