Solution

A(a)

The amplitude envelope is

\[ A(t)=ae^{-\mu t}. \]

A reduction by \(20\%\) means that the amplitude after \(50\ \mathrm{s}\) is \(0.80\) times its previous value:

\[ \frac{A(t+50)}{A(t)}=e^{-50\mu}=0.80. \]

Therefore,

\[ \boxed{\mu=-\frac{\ln(0.80)}{50} =4.46\times10^{-3}\ \mathrm{s^{-1}}}. \]

A(b)

Treat the rod as a uniform elastic continuum, and take the observed oscillation to be its fundamental longitudinal mode.

Let \(u(x,t)\) be the longitudinal displacement and \(S\) the cross-sectional area. The longitudinal force is \(ES\,\partial u/\partial x\). Newton’s second law for a short element gives

\[ \rho S\,dx\,\frac{\partial^2u}{\partial t^2} =ES\,dx\,\frac{\partial^2u}{\partial x^2}. \]

Thus longitudinal waves travel at

\[ v=\sqrt{\frac{E}{\rho}}. \]

The fixed end has zero displacement, while the free end has zero longitudinal stress:

\[ u(0,t)=0, \qquad \left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{x=l}=0. \]

For a mode with spatial dependence \(\sin(kx)\), the free-end condition requires

\[ \cos(kl)=0. \]

For the fundamental mode, \(kl=\pi/2\), so the rod is one quarter of a wavelength long. Hence

\[ \omega_0=vk=\frac{\pi}{2l}\sqrt{\frac{E}{\rho}}. \]

Numerically,

\[ v=\sqrt{\frac{7.1\times10^{10}}{2700}} =5.128\times10^3\ \mathrm{m\,s^{-1}}, \]

and, for \(l=1\ \mathrm{m}\),

\[ \omega_0=\frac{\pi}{2}(5.128\times10^3) =8.055\times10^3\ \mathrm{rad\,s^{-1}}. \]

For linear damping, the observed angular frequency is \(\omega=\sqrt{\omega_0^2-\mu^2}\). Since \(\mu\ll\omega_0\), this correction is negligible:

\[ \boxed{\omega\simeq8.06\times10^3\ \mathrm{rad\,s^{-1}}}. \]

The corresponding frequency is

\[ f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{v}{4l} \simeq1.282\times10^3\ \mathrm{Hz}. \]

A(c)

For rods made of the same material and oscillating in the same fundamental mode,

\[ f(l)=\frac{v}{4l}. \]

Consequently, their beat frequency is

\[ f_{\mathrm b}=|f_1-f_2| =\frac{v}{4}\left|\frac1{l_1}-\frac1{l_2}\right|. \]

For a small length difference \(\delta l=|l_1-l_2|\), with both lengths approximately \(l\),

\[ f_{\mathrm b}\simeq\frac{v}{4l^2}\delta l =\frac{f}{l}\delta l. \]

Therefore,

\[ \delta l\simeq\frac{l f_{\mathrm b}}{f} =\frac{(1)(0.005)}{1281.998}\ \mathrm{m}, \]

giving

\[ \boxed{\delta l\simeq3.90\times10^{-6}\ \mathrm{m}}. \]

The ratio \(\delta l/l\simeq3.9\times10^{-6}\) confirms the validity of the small-difference approximation.

A(d)

Use linear elasticity and a quasi-static gravitational perturbation. Let \(x\) run from the fixed end, \(x=0\), to the free end, \(x=l\), and let \(\Delta g\) denote the signed component of the field change along this direction.

The material beyond a cross-section at \(x\) has mass

\[ m(x)=\rho S(l-x). \]

The additional axial force transmitted through that section is therefore

\[ \Delta F(x)=\rho S(l-x)\Delta g. \]

By Young’s modulus, the change in local strain is

\[ \Delta\epsilon(x)=\frac{\Delta F(x)}{ES} =\frac{\rho(l-x)\Delta g}{E}. \]

Integrating the extension of all elements,

\[ \Delta l =\int_0^l\Delta\epsilon(x)\,dx =\frac{\rho\Delta g}{E}\int_0^l(l-x)\,dx. \]

Thus

\[ \boxed{\Delta l=\frac{\rho l^2\Delta g}{2E}}. \]

A field change directed towards the fixed end gives compression, represented by a negative \(\Delta g\).

A(e)

A displacement \(\Delta l\) of a reflecting end changes the round-trip optical path by \(2\Delta l\). Taking the field change along one rod, with the other acting as the longitudinal reference,

\[ |\Delta D|=2|\Delta l|. \]

A change of optical path by one wavelength moves the interference condition through one fringe. The stated sensitivity therefore corresponds to

\[ |\Delta D|_{\min}=10^{-4}\lambda =10^{-4}(656\times10^{-9}) =6.56\times10^{-11}\ \mathrm{m}. \]

The minimum detectable rod-end displacement is consequently

\[ |\Delta l|_{\min}=3.28\times10^{-11}\ \mathrm{m}. \]

Using A(d),

\[ 2|\Delta l|=\frac{\rho l^2|\Delta g|}{E}. \]

At the detection threshold,

\[ l_{\min} =\sqrt{\frac{E\,10^{-4}\lambda}{\rho|\Delta g|}}. \]

Substitution gives

\[ l_{\min} =\sqrt{ \frac{(7.1\times10^{10})(10^{-4})(656\times10^{-9})} {(2700)(10^{-19})} }, \]

so

\[ \boxed{l_{\min}\simeq1.31\times10^8\ \mathrm{m}}. \]

More generally, if both rods respond, \(\Delta g\) in this expression is replaced by the difference between their signed axial field changes.

A(f)

In the classical harmonic approximation, an atomic displacement \(x\) has elastic potential energy \(\tfrac12\kappa x^2\). Equipartition gives

\[ \frac12\kappa\langle x^2\rangle=\frac12 k_{\mathrm B}T. \]

For unchanged effective stiffness \(\kappa\), the characteristic vibration amplitude therefore scales as

\[ A\propto\sqrt{T}. \]

Since \(100\ \mathrm{mK}=0.100\ \mathrm{K}\),

\[ \frac{A_{\mathrm{cold}}}{A_{\mathrm{warm}}} =\sqrt{\frac{0.100}{300}} =\frac1{\sqrt{3000}} =0.0183. \]

Thus the amplitude is reduced by a factor

\[ \boxed{\frac{A_{\mathrm{warm}}}{A_{\mathrm{cold}}} =\sqrt{3000}\simeq54.8}. \]

This estimate uses classical thermal vibrations and neglects quantum zero-point motion.

A(g)

Let

\[ T_i=4.2\ \mathrm{K},\qquad T_f=0.100\ \mathrm{K},\qquad s_i=0.072\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}. \]

The specified heat-capacity law is

\[ s(T)=s_i\left(\frac{T}{T_i}\right)^3. \]

The heat that must be removed from the sphere is

\[ Q=m\int_{T_f}^{T_i}s(T)\,dT =\frac{ms_i}{T_i^3}\int_{T_f}^{T_i}T^3\,dT. \]

Therefore,

\[ Q=\frac{ms_i}{4T_i^3}(T_i^4-T_f^4) =\frac{ms_iT_i}{4} \left[1-\left(\frac{T_f}{T_i}\right)^4\right]. \]

Numerically,

\[ Q= \frac{(1168)(0.072)(4.2)}4 \left[1-\left(\frac{0.100}{4.2}\right)^4\right] \simeq88.3\ \mathrm{J}. \]

At average cooling power \(P=1.00\times10^{-3}\ \mathrm{W}\),

\[ t=\frac QP =\frac{88.3}{10^{-3}}\ \mathrm{s}. \]

Hence

\[ \boxed{t\simeq8.83\times10^4\ \mathrm{s} \simeq24.5\ \mathrm{h}}. \]

B(a)

Let the emitted frequency be \(\nu_R\). Following the prescribed Newtonian model, assign the photon an energy-equivalent gravitational mass

\[ m_\gamma=\frac{h\nu_R}{c^2}. \]

The work required to move this mass from the solar surface to infinity is

\[ W=\int_R^\infty\frac{GMm_\gamma}{r^2}\,dr =\frac{GMm_\gamma}{R}. \]

Conservation of energy gives

\[ h\nu_\infty=h\nu_R-\frac{GMm_\gamma}{R}. \]

Substituting \(m_\gamma=h\nu_R/c^2\),

\[ h\nu_\infty =h\nu_R\left(1-\frac{GM}{Rc^2}\right), \]

and therefore

\[ \boxed{\nu_\infty\simeq \nu_R\left(1-\frac{GM}{Rc^2}\right)}. \]

This is a first-order weak-field result. Using the emitted energy to calculate \(m_\gamma\) introduces only higher-order corrections. For the Sun,

\[ \frac{GM}{Rc^2}=2.12\times10^{-6}\ll1, \]

so the approximation is well justified.

B(b)

Define

\[ \epsilon=\frac{GM}{rc^2}, \qquad q=1-\epsilon. \]

The frequency reduction by \(q\) corresponds to an increase in the clock period by \(1/q\). According to the length-contraction rule supplied in the question, the associated length scale decreases by \(q\).

Thus, in the problem’s comparison with distant coordinates, the effective speed scales as

\[ \frac{c'_r}{c}\simeq\frac{q}{1/q}=q^2. \]

It follows that

\[ n_r=\frac{c}{c'_r} \simeq\frac1{(1-\epsilon)^2}. \]

Expanding to first order,

\[ (1-\epsilon)^{-2}=1+2\epsilon+O(\epsilon^2). \]

Therefore,

\[ \boxed{n_r\simeq1+\frac{2GM}{rc^2}}, \qquad \boxed{\alpha=2}. \]

Here \(c'_r\) is the effective coordinate speed used in the question’s refractive-index model. A local measurement using proper lengths and times still gives the vacuum speed \(c\).

B(c)

Take the incoming light ray to travel approximately along the \(x\)-direction, with impact parameter \(b\). Along its unperturbed path,

\[ y=b,\qquad r=\sqrt{x^2+b^2}. \]

The refractive index is

\[ n(x,y)=1+\frac{\alpha GM}{c^2\sqrt{x^2+y^2}}. \]

Snell’s law for a continuously varying refractive index gives the ray equation

\[ \frac{d}{ds}(n\hat{\boldsymbol t})=\boldsymbol\nabla n, \]

where \(\hat{\boldsymbol t}\) is the ray’s unit tangent. For a small deflection, \(ds\simeq dx\) and \(n\simeq1\), so its transverse component becomes

\[ \frac{d\theta}{dx}\simeq\frac{\partial n}{\partial y}. \]

Differentiation gives

\[ \frac{\partial n}{\partial y} =-\frac{\alpha GM\,y} {c^2(x^2+y^2)^{3/2}}. \]

To first order, this may be evaluated along the straight path \(y=b\):

\[ \Delta\theta =-\frac{\alpha GMb}{c^2} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{(x^2+b^2)^{3/2}}. \]

Using the supplied integral,

\[ \Delta\theta =-\frac{\alpha GMb}{c^2}\frac2{b^2} =-\frac{2\alpha GM}{bc^2}. \]

The negative sign indicates bending towards the Sun. For a ray grazing its edge, \(b\simeq R\), and \(\alpha=2\), giving the deflection magnitude

\[ \theta=\frac{4GM}{Rc^2}. \]

Numerically,

\[ \theta= \frac{4(6.67\times10^{-11})(1.99\times10^{30})} {(6.95\times10^8)(3.00\times10^8)^2}. \]

Thus

\[ \boxed{\theta=8.49\times10^{-6}\ \mathrm{rad} \quad\text{towards the Sun}}. \]

This is approximately \(1.75\) arcseconds.

The solution was checked against the official solution.

Lösung

A(a)

Die Amplitudenhüllkurve ist

\[ A(t)=ae^{-\mu t}. \]

Eine Verringerung um \(20\%\) bedeutet, dass die Amplitude nach \(50\ \mathrm{s}\) das \(0.80\)-Fache ihres vorherigen Werts beträgt:

\[ \frac{A(t+50)}{A(t)}=e^{-50\mu}=0.80. \]

Daher gilt

\[ \boxed{\mu=-\frac{\ln(0.80)}{50} =4.46\times10^{-3}\ \mathrm{s^{-1}}}. \]

A(b)

Wir behandeln den Stab als homogenes elastisches Kontinuum und nehmen an, dass die beobachtete Schwingung seine longitudinale Grundschwingung ist.

Es seien \(u(x,t)\) die longitudinale Auslenkung und \(S\) die Querschnittsfläche. Die Längskraft ist \(ES\,\partial u/\partial x\). Das zweite Newtonsche Gesetz liefert für ein kurzes Stabelement

\[ \rho S\,dx\,\frac{\partial^2u}{\partial t^2} =ES\,dx\,\frac{\partial^2u}{\partial x^2}. \]

Somit breiten sich Longitudinalwellen mit folgender Geschwindigkeit aus:

\[ v=\sqrt{\frac{E}{\rho}}. \]

Am eingespannten Ende verschwindet die Auslenkung, während am freien Ende die Längsspannung verschwindet:

\[ u(0,t)=0, \qquad \left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{x=l}=0. \]

Für eine Schwingungsmode mit der Ortsabhängigkeit \(\sin(kx)\) verlangt die Randbedingung am freien Ende

\[ \cos(kl)=0. \]

Für die Grundschwingung gilt \(kl=\pi/2\), sodass die Stablänge einem Viertel der Wellenlänge entspricht. Folglich ist

\[ \omega_0=vk=\frac{\pi}{2l}\sqrt{\frac{E}{\rho}}. \]

Numerisch ergibt sich

\[ v=\sqrt{\frac{7.1\times10^{10}}{2700}} =5.128\times10^3\ \mathrm{m\,s^{-1}}, \]

und für \(l=1\ \mathrm{m}\) gilt

\[ \omega_0=\frac{\pi}{2}(5.128\times10^3) =8.055\times10^3\ \mathrm{rad\,s^{-1}}. \]

Bei linearer Dämpfung beträgt die beobachtete Kreisfrequenz \(\omega=\sqrt{\omega_0^2-\mu^2}\). Da \(\mu\ll\omega_0\), ist diese Korrektur vernachlässigbar:

\[ \boxed{\omega\simeq8.06\times10^3\ \mathrm{rad\,s^{-1}}}. \]

Die zugehörige Frequenz ist

\[ f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{v}{4l} \simeq1.282\times10^3\ \mathrm{Hz}. \]

A(c)

Für Stäbe aus demselben Material, die in derselben Grundschwingungsmode schwingen, gilt

\[ f(l)=\frac{v}{4l}. \]

Ihre Schwebungsfrequenz beträgt daher

\[ f_{\mathrm b}=|f_1-f_2| =\frac{v}{4}\left|\frac1{l_1}-\frac1{l_2}\right|. \]

Für einen kleinen Längenunterschied \(\delta l=|l_1-l_2|\), wobei beide Längen näherungsweise \(l\) betragen, gilt

\[ f_{\mathrm b}\simeq\frac{v}{4l^2}\delta l =\frac{f}{l}\delta l. \]

Daher ist

\[ \delta l\simeq\frac{l f_{\mathrm b}}{f} =\frac{(1)(0.005)}{1281.998}\ \mathrm{m}, \]

woraus folgt:

\[ \boxed{\delta l\simeq3.90\times10^{-6}\ \mathrm{m}}. \]

Das Verhältnis \(\delta l/l\simeq3.9\times10^{-6}\) bestätigt die Gültigkeit der Näherung für kleine Längenunterschiede.

A(d)

Wir verwenden die lineare Elastizitätstheorie und nehmen eine quasistatische gravitative Störung an. Die Koordinate \(x\) verlaufe vom eingespannten Ende bei \(x=0\) zum freien Ende bei \(x=l\), und \(\Delta g\) bezeichne die vorzeichenbehaftete Komponente der Feldänderung entlang dieser Richtung.

Das Material jenseits eines Querschnitts bei \(x\) hat die Masse

\[ m(x)=\rho S(l-x). \]

Die zusätzliche Axialkraft, die durch diesen Querschnitt übertragen wird, ist daher

\[ \Delta F(x)=\rho S(l-x)\Delta g. \]

Aus der Definition des Elastizitätsmoduls ergibt sich für die Änderung der lokalen Dehnung

\[ \Delta\epsilon(x)=\frac{\Delta F(x)}{ES} =\frac{\rho(l-x)\Delta g}{E}. \]

Durch Integration der Verlängerungen aller Elemente erhalten wir

\[ \Delta l =\int_0^l\Delta\epsilon(x)\,dx =\frac{\rho\Delta g}{E}\int_0^l(l-x)\,dx. \]

Somit gilt

\[ \boxed{\Delta l=\frac{\rho l^2\Delta g}{2E}}. \]

Eine zum eingespannten Ende gerichtete Feldänderung führt zu einer Stauchung, die durch ein negatives \(\Delta g\) beschrieben wird.

A(e)

Eine Verschiebung \(\Delta l\) eines reflektierenden Endes ändert den optischen Weg für Hin- und Rückweg um \(2\Delta l\). Nehmen wir an, dass die Feldänderung entlang eines Stabes erfolgt, während der andere als longitudinale Referenz dient, so gilt

\[ |\Delta D|=2|\Delta l|. \]

Eine Änderung des optischen Weges um eine Wellenlänge verschiebt die Interferenzbedingung um einen Streifen. Die angegebene Empfindlichkeit entspricht daher

\[ |\Delta D|_{\min}=10^{-4}\lambda =10^{-4}(656\times10^{-9}) =6.56\times10^{-11}\ \mathrm{m}. \]

Die kleinste nachweisbare Verschiebung des Stabendes beträgt folglich

\[ |\Delta l|_{\min}=3.28\times10^{-11}\ \mathrm{m}. \]

Mit A(d) ergibt sich

\[ 2|\Delta l|=\frac{\rho l^2|\Delta g|}{E}. \]

An der Nachweisgrenze gilt

\[ l_{\min} =\sqrt{\frac{E\,10^{-4}\lambda}{\rho|\Delta g|}}. \]

Einsetzen ergibt

\[ l_{\min} =\sqrt{ \frac{(7.1\times10^{10})(10^{-4})(656\times10^{-9})} {(2700)(10^{-19})} }, \]

also

\[ \boxed{l_{\min}\simeq1.31\times10^8\ \mathrm{m}}. \]

Allgemeiner wird, wenn beide Stäbe reagieren, \(\Delta g\) in diesem Ausdruck durch die Differenz ihrer vorzeichenbehafteten axialen Feldänderungen ersetzt.

A(f)

In der klassischen harmonischen Näherung besitzt eine atomare Auslenkung \(x\) die elastische potenzielle Energie \(\tfrac12\kappa x^2\). Der Gleichverteilungssatz liefert

\[ \frac12\kappa\langle x^2\rangle=\frac12 k_{\mathrm B}T. \]

Bei unveränderter effektiver Steifigkeit \(\kappa\) skaliert die charakteristische Schwingungsamplitude daher gemäß

\[ A\propto\sqrt{T}. \]

Da \(100\ \mathrm{mK}=0.100\ \mathrm{K}\), gilt

\[ \frac{A_{\mathrm{cold}}}{A_{\mathrm{warm}}} =\sqrt{\frac{0.100}{300}} =\frac1{\sqrt{3000}} =0.0183. \]

Die Amplitude wird somit um folgenden Faktor verringert:

\[ \boxed{\frac{A_{\mathrm{warm}}}{A_{\mathrm{cold}}} =\sqrt{3000}\simeq54.8}. \]

Diese Abschätzung verwendet klassische thermische Schwingungen und vernachlässigt die quantenmechanische Nullpunktsbewegung.

A(g)

Es seien

\[ T_i=4.2\ \mathrm{K},\qquad T_f=0.100\ \mathrm{K},\qquad s_i=0.072\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}. \]

Das angegebene Gesetz für die Wärmekapazität lautet

\[ s(T)=s_i\left(\frac{T}{T_i}\right)^3. \]

Die Wärme, die der Kugel entzogen werden muss, beträgt

\[ Q=m\int_{T_f}^{T_i}s(T)\,dT =\frac{ms_i}{T_i^3}\int_{T_f}^{T_i}T^3\,dT. \]

Daher gilt

\[ Q=\frac{ms_i}{4T_i^3}(T_i^4-T_f^4) =\frac{ms_iT_i}{4} \left[1-\left(\frac{T_f}{T_i}\right)^4\right]. \]

Numerisch ergibt sich

\[ Q= \frac{(1168)(0.072)(4.2)}4 \left[1-\left(\frac{0.100}{4.2}\right)^4\right] \simeq88.3\ \mathrm{J}. \]

Bei einer mittleren Kühlleistung von \(P=1.00\times10^{-3}\ \mathrm{W}\) gilt

\[ t=\frac QP =\frac{88.3}{10^{-3}}\ \mathrm{s}. \]

Folglich ist

\[ \boxed{t\simeq8.83\times10^4\ \mathrm{s} \simeq24.5\ \mathrm{h}}. \]

B(a)

Die emittierte Frequenz sei \(\nu_R\). Entsprechend dem vorgegebenen Newtonschen Modell ordnen wir dem Photon eine seiner Energie äquivalente schwere Masse zu:

\[ m_\gamma=\frac{h\nu_R}{c^2}. \]

Die Arbeit, die erforderlich ist, um diese Masse von der Sonnenoberfläche ins Unendliche zu bewegen, beträgt

\[ W=\int_R^\infty\frac{GMm_\gamma}{r^2}\,dr =\frac{GMm_\gamma}{R}. \]

Aus der Energieerhaltung folgt

\[ h\nu_\infty=h\nu_R-\frac{GMm_\gamma}{R}. \]

Einsetzen von \(m_\gamma=h\nu_R/c^2\) ergibt

\[ h\nu_\infty =h\nu_R\left(1-\frac{GM}{Rc^2}\right), \]

und daher

\[ \boxed{\nu_\infty\simeq \nu_R\left(1-\frac{GM}{Rc^2}\right)}. \]

Dies ist ein Ergebnis erster Ordnung in der Schwachfeldnäherung. Die Verwendung der emittierten Energie zur Berechnung von \(m_\gamma\) führt nur zu Korrekturen höherer Ordnung. Für die Sonne gilt

\[ \frac{GM}{Rc^2}=2.12\times10^{-6}\ll1, \]

sodass die Näherung gut gerechtfertigt ist.

B(b)

Wir definieren

\[ \epsilon=\frac{GM}{rc^2}, \qquad q=1-\epsilon. \]

Die Verringerung der Frequenz um den Faktor \(q\) entspricht einer Verlängerung der Taktperiode der Uhr um den Faktor \(1/q\). Nach der in der Aufgabe angegebenen Regel zur Längenkontraktion nimmt der zugehörige Längenmaßstab um den Faktor \(q\) ab.

Damit skaliert die effektive Geschwindigkeit beim in der Aufgabe vorgenommenen Vergleich mit weit entfernten Koordinaten gemäß

\[ \frac{c'_r}{c}\simeq\frac{q}{1/q}=q^2. \]

Daraus folgt

\[ n_r=\frac{c}{c'_r} \simeq\frac1{(1-\epsilon)^2}. \]

Die Entwicklung bis zur ersten Ordnung ergibt

\[ (1-\epsilon)^{-2}=1+2\epsilon+O(\epsilon^2). \]

Daher ist

\[ \boxed{n_r\simeq1+\frac{2GM}{rc^2}}, \qquad \boxed{\alpha=2}. \]

Hier ist \(c'_r\) die effektive Koordinatengeschwindigkeit, die im Brechungsindexmodell der Aufgabe verwendet wird. Eine lokale Messung mit Eigenlängen und Eigenzeiten ergibt weiterhin die Vakuumlichtgeschwindigkeit \(c\).

B(c)

Der einfallende Lichtstrahl breite sich näherungsweise entlang der \(x\)-Richtung mit dem Stoßparameter \(b\) aus. Entlang seiner ungestörten Bahn gilt

\[ y=b,\qquad r=\sqrt{x^2+b^2}. \]

Der Brechungsindex ist

\[ n(x,y)=1+\frac{\alpha GM}{c^2\sqrt{x^2+y^2}}. \]

Das Snelliussche Brechungsgesetz liefert für einen kontinuierlich veränderlichen Brechungsindex die Strahlgleichung

\[ \frac{d}{ds}(n\hat{\boldsymbol t})=\boldsymbol\nabla n, \]

wobei \(\hat{\boldsymbol t}\) der Einheitstangentenvektor des Strahls ist. Für eine kleine Ablenkung gelten \(ds\simeq dx\) und \(n\simeq1\), sodass sich für die transversale Komponente der Gleichung ergibt:

\[ \frac{d\theta}{dx}\simeq\frac{\partial n}{\partial y}. \]

Differenzieren ergibt

\[ \frac{\partial n}{\partial y} =-\frac{\alpha GM\,y} {c^2(x^2+y^2)^{3/2}}. \]

In erster Ordnung kann dies entlang der geraden Bahn \(y=b\) ausgewertet werden:

\[ \Delta\theta =-\frac{\alpha GMb}{c^2} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{(x^2+b^2)^{3/2}}. \]

Mit dem angegebenen Integral folgt

\[ \Delta\theta =-\frac{\alpha GMb}{c^2}\frac2{b^2} =-\frac{2\alpha GM}{bc^2}. \]

Das negative Vorzeichen zeigt an, dass die Ablenkung zur Sonne hin erfolgt. Für einen Strahl, der den Sonnenrand streift, gilt \(b\simeq R\), und mit \(\alpha=2\) ergibt sich der Betrag der Ablenkung zu

\[ \theta=\frac{4GM}{Rc^2}. \]

Numerisch ergibt sich

\[ \theta= \frac{4(6.67\times10^{-11})(1.99\times10^{30})} {(6.95\times10^8)(3.00\times10^8)^2}. \]

Somit ist

\[ \boxed{\theta=8.49\times10^{-6}\ \mathrm{rad} \quad\text{zur Sonne hin}}. \]

Dies entspricht ungefähr \(1.75\) Bogensekunden.

Die Lösung wurde mit der offiziellen Lösung abgeglichen.

Çözüm

A(a)

Genlik zarfı

\[ A(t)=ae^{-\mu t}. \]

şeklindedir. \(20\%\)'lik bir azalma, \(50\ \mathrm{s}\) sonraki genliğin önceki değerinin \(0.80\) katı olması anlamına gelir:

\[ \frac{A(t+50)}{A(t)}=e^{-50\mu}=0.80. \]

Dolayısıyla,

\[ \boxed{\mu=-\frac{\ln(0.80)}{50} =4.46\times10^{-3}\ \mathrm{s^{-1}}}. \]

A(b)

Çubuğu düzgün bir elastik sürekli ortam olarak ele alalım ve gözlenen salınımın temel boyuna mod olduğunu kabul edelim.

\(u(x,t)\) boyuna yer değiştirme, \(S\) ise kesit alanı olsun. Boyuna kuvvet \(ES\,\partial u/\partial x\)'tir. Kısa bir elemana Newton'un ikinci yasası uygulandığında

\[ \rho S\,dx\,\frac{\partial^2u}{\partial t^2} =ES\,dx\,\frac{\partial^2u}{\partial x^2}. \]

elde edilir. Böylece boyuna dalgalar

\[ v=\sqrt{\frac{E}{\rho}}. \]

hızıyla yayılır. Sabit uçta yer değiştirme sıfır, serbest uçta ise boyuna gerilme sıfırdır:

\[ u(0,t)=0, \qquad \left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{x=l}=0. \]

Uzaysal bağımlılığı \(\sin(kx)\) olan bir mod için serbest uç koşulu

\[ \cos(kl)=0. \]

olmasını gerektirir. Temel mod için \(kl=\pi/2\)'dir; dolayısıyla çubuğun uzunluğu dalga boyunun dörtte biridir. Buradan

\[ \omega_0=vk=\frac{\pi}{2l}\sqrt{\frac{E}{\rho}}. \]

Sayısal olarak,

\[ v=\sqrt{\frac{7.1\times10^{10}}{2700}} =5.128\times10^3\ \mathrm{m\,s^{-1}}, \]

ve \(l=1\ \mathrm{m}\) için,

\[ \omega_0=\frac{\pi}{2}(5.128\times10^3) =8.055\times10^3\ \mathrm{rad\,s^{-1}}. \]

Doğrusal sönüm durumunda gözlenen açısal frekans \(\omega=\sqrt{\omega_0^2-\mu^2}\)'dir. \(\mu\ll\omega_0\) olduğundan bu düzeltme ihmal edilebilir:

\[ \boxed{\omega\simeq8.06\times10^3\ \mathrm{rad\,s^{-1}}}. \]

Buna karşılık gelen frekans

\[ f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{v}{4l} \simeq1.282\times10^3\ \mathrm{Hz}. \]

şeklindedir.

A(c)

Aynı malzemeden yapılmış ve aynı temel modda salınan çubuklar için,

\[ f(l)=\frac{v}{4l}. \]

Dolayısıyla vurum frekansları

\[ f_{\mathrm b}=|f_1-f_2| =\frac{v}{4}\left|\frac1{l_1}-\frac1{l_2}\right|. \]

şeklindedir. Her iki uzunluğun da yaklaşık \(l\) olduğu küçük bir \(\delta l=|l_1-l_2|\) uzunluk farkı için,

\[ f_{\mathrm b}\simeq\frac{v}{4l^2}\delta l =\frac{f}{l}\delta l. \]

Dolayısıyla,

\[ \delta l\simeq\frac{l f_{\mathrm b}}{f} =\frac{(1)(0.005)}{1281.998}\ \mathrm{m}, \]

buradan

\[ \boxed{\delta l\simeq3.90\times10^{-6}\ \mathrm{m}}. \]

elde edilir. \(\delta l/l\simeq3.9\times10^{-6}\) oranı, küçük fark yaklaşımının geçerliliğini doğrular.

A(d)

Doğrusal elastikliği ve yarı statik bir kütleçekim pertürbasyonunu kullanalım. \(x\), sabit uçtan, \(x=0\), serbest uca, \(x=l\), doğru artsın ve \(\Delta g\), alan değişiminin bu yöndeki işaretli bileşenini göstersin.

\(x\) konumundaki bir kesitin ötesinde kalan malzemenin kütlesi

\[ m(x)=\rho S(l-x). \]

şeklindedir. Dolayısıyla bu kesitten iletilen ek eksenel kuvvet

\[ \Delta F(x)=\rho S(l-x)\Delta g. \]

olur. Young modülü bağıntısına göre yerel birim uzamadaki değişim

\[ \Delta\epsilon(x)=\frac{\Delta F(x)}{ES} =\frac{\rho(l-x)\Delta g}{E}. \]

şeklindedir. Tüm elemanların uzamaları integre edilirse,

\[ \Delta l =\int_0^l\Delta\epsilon(x)\,dx =\frac{\rho\Delta g}{E}\int_0^l(l-x)\,dx. \]

Böylece

\[ \boxed{\Delta l=\frac{\rho l^2\Delta g}{2E}}. \]

Sabit uca doğru yönelen bir alan değişimi, negatif bir \(\Delta g\) ile temsil edilen sıkışmaya yol açar.

A(e)

Yansıtıcı bir ucun \(\Delta l\) kadar yer değiştirmesi, gidiş-dönüş optik yolunu \(2\Delta l\) kadar değiştirir. Alan değişimi bir çubuk boyunca alınır ve diğer çubuk boyuna referans olarak kullanılırsa,

\[ |\Delta D|=2|\Delta l|. \]

Optik yolun bir dalga boyu kadar değişmesi, girişim koşulunu bir saçak kadar kaydırır. Dolayısıyla belirtilen duyarlılık

\[ |\Delta D|_{\min}=10^{-4}\lambda =10^{-4}(656\times10^{-9}) =6.56\times10^{-11}\ \mathrm{m}. \]

değerine karşılık gelir. Bu nedenle saptanabilen en küçük çubuk ucu yer değiştirmesi

\[ |\Delta l|_{\min}=3.28\times10^{-11}\ \mathrm{m}. \]

olur. A(d) kullanılarak,

\[ 2|\Delta l|=\frac{\rho l^2|\Delta g|}{E}. \]

Saptama eşiğinde,

\[ l_{\min} =\sqrt{\frac{E\,10^{-4}\lambda}{\rho|\Delta g|}}. \]

Değerler yerine konursa

\[ l_{\min} =\sqrt{ \frac{(7.1\times10^{10})(10^{-4})(656\times10^{-9})} {(2700)(10^{-19})} }, \]

dolayısıyla

\[ \boxed{l_{\min}\simeq1.31\times10^8\ \mathrm{m}}. \]

Daha genel olarak, her iki çubuk da tepki veriyorsa bu ifadede \(\Delta g\) yerine çubukların işaretli eksenel alan değişimleri arasındaki fark konur.

A(f)

Klasik harmonik yaklaşımda, bir atomun \(x\) yer değiştirmesine karşılık gelen elastik potansiyel enerji \(\tfrac12\kappa x^2\)'dir. Enerjinin eşbölüşümü ilkesi

\[ \frac12\kappa\langle x^2\rangle=\frac12 k_{\mathrm B}T. \]

bağıntısını verir. Etkin yay sabiti \(\kappa\) değişmediğinde, karakteristik titreşim genliği bu nedenle

\[ A\propto\sqrt{T}. \]

şeklinde ölçeklenir. \(100\ \mathrm{mK}=0.100\ \mathrm{K}\) olduğundan,

\[ \frac{A_{\mathrm{cold}}}{A_{\mathrm{warm}}} =\sqrt{\frac{0.100}{300}} =\frac1{\sqrt{3000}} =0.0183. \]

Böylece genlik

\[ \boxed{\frac{A_{\mathrm{warm}}}{A_{\mathrm{cold}}} =\sqrt{3000}\simeq54.8}. \]

kat azalır. Bu tahmin, klasik ısıl titreşimleri kullanır ve kuantum sıfır noktası hareketini ihmal eder.

A(g)

Şöyle tanımlayalım:

\[ T_i=4.2\ \mathrm{K},\qquad T_f=0.100\ \mathrm{K},\qquad s_i=0.072\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}. \]

Belirtilen ısı kapasitesi yasası

\[ s(T)=s_i\left(\frac{T}{T_i}\right)^3. \]

şeklindedir. Küreden uzaklaştırılması gereken ısı

\[ Q=m\int_{T_f}^{T_i}s(T)\,dT =\frac{ms_i}{T_i^3}\int_{T_f}^{T_i}T^3\,dT. \]

olur. Dolayısıyla,

\[ Q=\frac{ms_i}{4T_i^3}(T_i^4-T_f^4) =\frac{ms_iT_i}{4} \left[1-\left(\frac{T_f}{T_i}\right)^4\right]. \]

Sayısal olarak,

\[ Q= \frac{(1168)(0.072)(4.2)}4 \left[1-\left(\frac{0.100}{4.2}\right)^4\right] \simeq88.3\ \mathrm{J}. \]

Ortalama soğutma gücü \(P=1.00\times10^{-3}\ \mathrm{W}\) olduğunda,

\[ t=\frac QP =\frac{88.3}{10^{-3}}\ \mathrm{s}. \]

Buradan

\[ \boxed{t\simeq8.83\times10^4\ \mathrm{s} \simeq24.5\ \mathrm{h}}. \]

B(a)

Yayılan fotonun frekansı \(\nu_R\) olsun. Verilen Newton modelini izleyerek fotona, enerjisine eşdeğer bir kütleçekim kütlesi atayalım:

\[ m_\gamma=\frac{h\nu_R}{c^2}. \]

Bu kütleyi Güneş yüzeyinden sonsuza taşımak için gereken iş

\[ W=\int_R^\infty\frac{GMm_\gamma}{r^2}\,dr =\frac{GMm_\gamma}{R}. \]

olur. Enerjinin korunumu

\[ h\nu_\infty=h\nu_R-\frac{GMm_\gamma}{R}. \]

bağıntısını verir. \(m_\gamma=h\nu_R/c^2\) yerine konursa,

\[ h\nu_\infty =h\nu_R\left(1-\frac{GM}{Rc^2}\right), \]

ve dolayısıyla

\[ \boxed{\nu_\infty\simeq \nu_R\left(1-\frac{GM}{Rc^2}\right)}. \]

Bu, zayıf alan için birinci mertebeden bir sonuçtur. \(m_\gamma\)'yı hesaplamak için yayım anındaki enerjinin kullanılması yalnızca daha yüksek mertebeden düzeltmeler getirir. Güneş için,

\[ \frac{GM}{Rc^2}=2.12\times10^{-6}\ll1, \]

olduğundan yaklaşım oldukça geçerlidir.

B(b)

Şöyle tanımlayalım:

\[ \epsilon=\frac{GM}{rc^2}, \qquad q=1-\epsilon. \]

Frekansın \(q\) çarpanıyla azalması, saatin periyodunun \(1/q\) çarpanıyla artmasına karşılık gelir. Soruda verilen uzunluk kısalması kuralına göre, buna eşlik eden uzunluk ölçeği \(q\) çarpanıyla azalır.

Böylece, soruda uzak koordinatlarla yapılan karşılaştırmada etkin hız

\[ \frac{c'_r}{c}\simeq\frac{q}{1/q}=q^2. \]

şeklinde ölçeklenir. Buradan

\[ n_r=\frac{c}{c'_r} \simeq\frac1{(1-\epsilon)^2}. \]

Birinci mertebeye kadar açılım yapılırsa,

\[ (1-\epsilon)^{-2}=1+2\epsilon+O(\epsilon^2). \]

Dolayısıyla,

\[ \boxed{n_r\simeq1+\frac{2GM}{rc^2}}, \qquad \boxed{\alpha=2}. \]

Burada \(c'_r\), sorunun kırılma indisi modelinde kullanılan etkin koordinat hızıdır. Öz uzunluklar ve öz zamanlar kullanılarak yapılan yerel bir ölçüm yine boşluktaki ışık hızı \(c\)'yi verir.

B(c)

Gelen ışık ışınının, \(b\) çarpma parametresiyle yaklaşık olarak \(x\) doğrultusunda ilerlediğini kabul edelim. Pertürbe olmamış yolu boyunca,

\[ y=b,\qquad r=\sqrt{x^2+b^2}. \]

Kırılma indisi

\[ n(x,y)=1+\frac{\alpha GM}{c^2\sqrt{x^2+y^2}}. \]

şeklindedir. Sürekli değişen bir kırılma indisi için Snell yasası, ışın denklemini verir:

\[ \frac{d}{ds}(n\hat{\boldsymbol t})=\boldsymbol\nabla n, \]

burada \(\hat{\boldsymbol t}\), ışının birim teğet vektörüdür. Küçük bir sapma için \(ds\simeq dx\) ve \(n\simeq1\) olduğundan, denklemin enine bileşeni

\[ \frac{d\theta}{dx}\simeq\frac{\partial n}{\partial y}. \]

halini alır. Türev alınırsa

\[ \frac{\partial n}{\partial y} =-\frac{\alpha GM\,y} {c^2(x^2+y^2)^{3/2}}. \]

Birinci mertebede bu ifade, \(y=b\) doğrusal yolu boyunca hesaplanabilir:

\[ \Delta\theta =-\frac{\alpha GMb}{c^2} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{(x^2+b^2)^{3/2}}. \]

Verilen integral kullanılarak,

\[ \Delta\theta =-\frac{\alpha GMb}{c^2}\frac2{b^2} =-\frac{2\alpha GM}{bc^2}. \]

Negatif işaret, Güneş'e doğru bükülmeyi gösterir. Güneş'in kenarına teğet geçen bir ışın için \(b\simeq R\) ve \(\alpha=2\) olduğundan, sapmanın büyüklüğü

\[ \theta=\frac{4GM}{Rc^2}. \]

olur. Sayısal olarak,

\[ \theta= \frac{4(6.67\times10^{-11})(1.99\times10^{30})} {(6.95\times10^8)(3.00\times10^8)^2}. \]

Böylece

\[ \boxed{\theta=8.49\times10^{-6}\ \mathrm{rad} \quad\text{Güneş'e doğru}}. \]

Bu, yaklaşık \(1.75\) yay saniyesidir.

Çözüm, resmi çözümle karşılaştırılarak kontrol edildi.

Solución

A(a)

La envolvente de la amplitud es

\[ A(t)=ae^{-\mu t}. \]

Una reducción del \(20\%\) significa que la amplitud después de \(50\ \mathrm{s}\) es \(0.80\) veces su valor anterior:

\[ \frac{A(t+50)}{A(t)}=e^{-50\mu}=0.80. \]

Por tanto,

\[ \boxed{\mu=-\frac{\ln(0.80)}{50} =4.46\times10^{-3}\ \mathrm{s^{-1}}}. \]

A(b)

Trate la barra como un medio continuo elástico uniforme y considere que la oscilación observada corresponde a su modo longitudinal fundamental.

Sean \(u(x,t)\) el desplazamiento longitudinal y \(S\) el área de la sección transversal. La fuerza longitudinal es \(ES\,\partial u/\partial x\). La segunda ley de Newton aplicada a un elemento corto da

\[ \rho S\,dx\,\frac{\partial^2u}{\partial t^2} =ES\,dx\,\frac{\partial^2u}{\partial x^2}. \]

Así, las ondas longitudinales se propagan a

\[ v=\sqrt{\frac{E}{\rho}}. \]

El extremo fijo tiene desplazamiento nulo, mientras que el extremo libre tiene esfuerzo longitudinal nulo:

\[ u(0,t)=0, \qquad \left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{x=l}=0. \]

Para un modo con dependencia espacial \(\sin(kx)\), la condición en el extremo libre exige

\[ \cos(kl)=0. \]

Para el modo fundamental, \(kl=\pi/2\), por lo que la longitud de la barra es un cuarto de la longitud de onda. Por consiguiente,

\[ \omega_0=vk=\frac{\pi}{2l}\sqrt{\frac{E}{\rho}}. \]

Numéricamente,

\[ v=\sqrt{\frac{7.1\times10^{10}}{2700}} =5.128\times10^3\ \mathrm{m\,s^{-1}}, \]

y, para \(l=1\ \mathrm{m}\),

\[ \omega_0=\frac{\pi}{2}(5.128\times10^3) =8.055\times10^3\ \mathrm{rad\,s^{-1}}. \]

Para un amortiguamiento lineal, la frecuencia angular observada es \(\omega=\sqrt{\omega_0^2-\mu^2}\). Puesto que \(\mu\ll\omega_0\), esta corrección es despreciable:

\[ \boxed{\omega\simeq8.06\times10^3\ \mathrm{rad\,s^{-1}}}. \]

La frecuencia correspondiente es

\[ f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{v}{4l} \simeq1.282\times10^3\ \mathrm{Hz}. \]

A(c)

Para barras del mismo material que oscilan en el mismo modo fundamental,

\[ f(l)=\frac{v}{4l}. \]

En consecuencia, su frecuencia de batido es

\[ f_{\mathrm b}=|f_1-f_2| =\frac{v}{4}\left|\frac1{l_1}-\frac1{l_2}\right|. \]

Para una pequeña diferencia de longitud \(\delta l=|l_1-l_2|\), con ambas longitudes aproximadamente iguales a \(l\),

\[ f_{\mathrm b}\simeq\frac{v}{4l^2}\delta l =\frac{f}{l}\delta l. \]

Por tanto,

\[ \delta l\simeq\frac{l f_{\mathrm b}}{f} =\frac{(1)(0.005)}{1281.998}\ \mathrm{m}, \]

lo que da

\[ \boxed{\delta l\simeq3.90\times10^{-6}\ \mathrm{m}}. \]

El cociente \(\delta l/l\simeq3.9\times10^{-6}\) confirma la validez de la aproximación de pequeña diferencia.

A(d)

Utilice la elasticidad lineal y una perturbación gravitatoria cuasiestática. Sea \(x\) la coordenada que va desde el extremo fijo, \(x=0\), hasta el extremo libre, \(x=l\), y sea \(\Delta g\) la componente con signo de la variación del campo a lo largo de esta dirección.

El material situado más allá de una sección transversal en \(x\) tiene una masa

\[ m(x)=\rho S(l-x). \]

Por tanto, la fuerza axial adicional transmitida a través de esa sección es

\[ \Delta F(x)=\rho S(l-x)\Delta g. \]

Por la definición del módulo de Young, la variación de la deformación unitaria local es

\[ \Delta\epsilon(x)=\frac{\Delta F(x)}{ES} =\frac{\rho(l-x)\Delta g}{E}. \]

Integrando el alargamiento de todos los elementos,

\[ \Delta l =\int_0^l\Delta\epsilon(x)\,dx =\frac{\rho\Delta g}{E}\int_0^l(l-x)\,dx. \]

Así,

\[ \boxed{\Delta l=\frac{\rho l^2\Delta g}{2E}}. \]

Una variación del campo dirigida hacia el extremo fijo produce una compresión, representada por un \(\Delta g\) negativo.

A(e)

Un desplazamiento \(\Delta l\) de un extremo reflector modifica el camino óptico de ida y vuelta en \(2\Delta l\). Tomando la variación del campo a lo largo de una barra, mientras la otra actúa como referencia longitudinal,

\[ |\Delta D|=2|\Delta l|. \]

Una variación del camino óptico de una longitud de onda desplaza la condición de interferencia en una franja. Por tanto, la sensibilidad indicada corresponde a

\[ |\Delta D|_{\min}=10^{-4}\lambda =10^{-4}(656\times10^{-9}) =6.56\times10^{-11}\ \mathrm{m}. \]

En consecuencia, el desplazamiento mínimo detectable del extremo de la barra es

\[ |\Delta l|_{\min}=3.28\times10^{-11}\ \mathrm{m}. \]

Utilizando A(d),

\[ 2|\Delta l|=\frac{\rho l^2|\Delta g|}{E}. \]

En el umbral de detección,

\[ l_{\min} =\sqrt{\frac{E\,10^{-4}\lambda}{\rho|\Delta g|}}. \]

La sustitución da

\[ l_{\min} =\sqrt{ \frac{(7.1\times10^{10})(10^{-4})(656\times10^{-9})} {(2700)(10^{-19})} }, \]

por lo que

\[ \boxed{l_{\min}\simeq1.31\times10^8\ \mathrm{m}}. \]

En general, si ambas barras responden, \(\Delta g\) en esta expresión se sustituye por la diferencia entre las variaciones con signo de sus componentes axiales del campo.

A(f)

En la aproximación armónica clásica, un desplazamiento atómico \(x\) tiene una energía potencial elástica \(\tfrac12\kappa x^2\). La equipartición da

\[ \frac12\kappa\langle x^2\rangle=\frac12 k_{\mathrm B}T. \]

Si la rigidez efectiva \(\kappa\) permanece constante, la amplitud característica de vibración es, por tanto, proporcional a

\[ A\propto\sqrt{T}. \]

Puesto que \(100\ \mathrm{mK}=0.100\ \mathrm{K}\),

\[ \frac{A_{\mathrm{cold}}}{A_{\mathrm{warm}}} =\sqrt{\frac{0.100}{300}} =\frac1{\sqrt{3000}} =0.0183. \]

Así, la amplitud se reduce en un factor

\[ \boxed{\frac{A_{\mathrm{warm}}}{A_{\mathrm{cold}}} =\sqrt{3000}\simeq54.8}. \]

Esta estimación utiliza vibraciones térmicas clásicas y desprecia el movimiento cuántico de punto cero.

A(g)

Sean

\[ T_i=4.2\ \mathrm{K},\qquad T_f=0.100\ \mathrm{K},\qquad s_i=0.072\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}. \]

La ley especificada para la capacidad calorífica es

\[ s(T)=s_i\left(\frac{T}{T_i}\right)^3. \]

El calor que debe extraerse de la esfera es

\[ Q=m\int_{T_f}^{T_i}s(T)\,dT =\frac{ms_i}{T_i^3}\int_{T_f}^{T_i}T^3\,dT. \]

Por tanto,

\[ Q=\frac{ms_i}{4T_i^3}(T_i^4-T_f^4) =\frac{ms_iT_i}{4} \left[1-\left(\frac{T_f}{T_i}\right)^4\right]. \]

Numéricamente,

\[ Q= \frac{(1168)(0.072)(4.2)}4 \left[1-\left(\frac{0.100}{4.2}\right)^4\right] \simeq88.3\ \mathrm{J}. \]

Con una potencia media de refrigeración \(P=1.00\times10^{-3}\ \mathrm{W}\),

\[ t=\frac QP =\frac{88.3}{10^{-3}}\ \mathrm{s}. \]

Por consiguiente,

\[ \boxed{t\simeq8.83\times10^4\ \mathrm{s} \simeq24.5\ \mathrm{h}}. \]

B(a)

Sea \(\nu_R\) la frecuencia emitida. Siguiendo el modelo newtoniano prescrito, asigne al fotón una masa gravitatoria equivalente a su energía

\[ m_\gamma=\frac{h\nu_R}{c^2}. \]

El trabajo necesario para trasladar esta masa desde la superficie solar hasta el infinito es

\[ W=\int_R^\infty\frac{GMm_\gamma}{r^2}\,dr =\frac{GMm_\gamma}{R}. \]

La conservación de la energía da

\[ h\nu_\infty=h\nu_R-\frac{GMm_\gamma}{R}. \]

Sustituyendo \(m_\gamma=h\nu_R/c^2\),

\[ h\nu_\infty =h\nu_R\left(1-\frac{GM}{Rc^2}\right), \]

y, por tanto,

\[ \boxed{\nu_\infty\simeq \nu_R\left(1-\frac{GM}{Rc^2}\right)}. \]

Este es un resultado de primer orden en la aproximación de campo débil. Utilizar la energía emitida para calcular \(m_\gamma\) introduce únicamente correcciones de orden superior. Para el Sol,

\[ \frac{GM}{Rc^2}=2.12\times10^{-6}\ll1, \]

por lo que la aproximación está bien justificada.

B(b)

Defina

\[ \epsilon=\frac{GM}{rc^2}, \qquad q=1-\epsilon. \]

La reducción de la frecuencia por el factor \(q\) corresponde a un aumento del período del reloj por el factor \(1/q\). Según la regla de contracción de longitudes proporcionada en el enunciado, la escala de longitud asociada disminuye por el factor \(q\).

Así, en la comparación del problema con coordenadas lejanas, la velocidad efectiva varía según

\[ \frac{c'_r}{c}\simeq\frac{q}{1/q}=q^2. \]

De ello se deduce que

\[ n_r=\frac{c}{c'_r} \simeq\frac1{(1-\epsilon)^2}. \]

Desarrollando hasta primer orden,

\[ (1-\epsilon)^{-2}=1+2\epsilon+O(\epsilon^2). \]

Por tanto,

\[ \boxed{n_r\simeq1+\frac{2GM}{rc^2}}, \qquad \boxed{\alpha=2}. \]

Aquí \(c'_r\) es la velocidad coordenada efectiva utilizada en el modelo de índice de refracción del enunciado. Una medición local con longitudes y tiempos propios sigue dando la velocidad en el vacío \(c\).

B(c)

Considere que el rayo de luz incidente se propaga aproximadamente en la dirección \(x\), con un parámetro de impacto \(b\). A lo largo de su trayectoria no perturbada,

\[ y=b,\qquad r=\sqrt{x^2+b^2}. \]

El índice de refracción es

\[ n(x,y)=1+\frac{\alpha GM}{c^2\sqrt{x^2+y^2}}. \]

La ley de Snell para un índice de refracción que varía continuamente da la ecuación del rayo

\[ \frac{d}{ds}(n\hat{\boldsymbol t})=\boldsymbol\nabla n, \]

donde \(\hat{\boldsymbol t}\) es el vector tangente unitario del rayo. Para una desviación pequeña, \(ds\simeq dx\) y \(n\simeq1\), por lo que su componente transversal se convierte en

\[ \frac{d\theta}{dx}\simeq\frac{\partial n}{\partial y}. \]

La derivación da

\[ \frac{\partial n}{\partial y} =-\frac{\alpha GM\,y} {c^2(x^2+y^2)^{3/2}}. \]

A primer orden, esto puede evaluarse a lo largo de la trayectoria rectilínea \(y=b\):

\[ \Delta\theta =-\frac{\alpha GMb}{c^2} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{(x^2+b^2)^{3/2}}. \]

Utilizando la integral proporcionada,

\[ \Delta\theta =-\frac{\alpha GMb}{c^2}\frac2{b^2} =-\frac{2\alpha GM}{bc^2}. \]

El signo negativo indica una desviación hacia el Sol. Para un rayo que pasa rozando su borde, \(b\simeq R\), y \(\alpha=2\), lo que da la magnitud de la desviación

\[ \theta=\frac{4GM}{Rc^2}. \]

Numéricamente,

\[ \theta= \frac{4(6.67\times10^{-11})(1.99\times10^{30})} {(6.95\times10^8)(3.00\times10^8)^2}. \]

Así,

\[ \boxed{\theta=8.49\times10^{-6}\ \mathrm{rad} \quad\text{hacia el Sol}}. \]

Esto equivale aproximadamente a \(1.75\) segundos de arco.

La solución se comprobó con la solución oficial.

解答

A(a)

振幅包络为

\[ A(t)=ae^{-\mu t}. \]

振幅减小 \(20\%\) 意味着经过 \(50\ \mathrm{s}\) 后，振幅为此前的 \(0.80\) 倍：

\[ \frac{A(t+50)}{A(t)}=e^{-50\mu}=0.80. \]

因此，

\[ \boxed{\mu=-\frac{\ln(0.80)}{50} =4.46\times10^{-3}\ \mathrm{s^{-1}}}. \]

A(b)

将杆视为均匀的弹性连续介质，并认为观测到的振动是其纵向振动的基模。

设 \(u(x,t)\) 为纵向位移，\(S\) 为横截面积。纵向力为 \(ES\,\partial u/\partial x\)。对一个短微元应用牛顿第二定律，得

\[ \rho S\,dx\,\frac{\partial^2u}{\partial t^2} =ES\,dx\,\frac{\partial^2u}{\partial x^2}. \]

因此，纵波的传播速度为

\[ v=\sqrt{\frac{E}{\rho}}. \]

固定端的位移为零，而自由端的纵向应力为零：

\[ u(0,t)=0, \qquad \left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{x=l}=0. \]

对于空间依赖关系为 \(\sin(kx)\) 的振动模式，自由端条件要求

\[ \cos(kl)=0. \]

对于基模，\(kl=\pi/2\)，所以杆长等于四分之一波长。因此

\[ \omega_0=vk=\frac{\pi}{2l}\sqrt{\frac{E}{\rho}}. \]

代入数值，得

\[ v=\sqrt{\frac{7.1\times10^{10}}{2700}} =5.128\times10^3\ \mathrm{m\,s^{-1}}, \]

且对于 \(l=1\ \mathrm{m}\)，

\[ \omega_0=\frac{\pi}{2}(5.128\times10^3) =8.055\times10^3\ \mathrm{rad\,s^{-1}}. \]

在线性阻尼情况下，观测到的角频率为 \(\omega=\sqrt{\omega_0^2-\mu^2}\)。由于 \(\mu\ll\omega_0\)，这一修正可以忽略：

\[ \boxed{\omega\simeq8.06\times10^3\ \mathrm{rad\,s^{-1}}}. \]

对应的频率为

\[ f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{v}{4l} \simeq1.282\times10^3\ \mathrm{Hz}. \]

A(c)

对于由相同材料制成、以相同基模振动的杆，

\[ f(l)=\frac{v}{4l}. \]

因此，它们的拍频为

\[ f_{\mathrm b}=|f_1-f_2| =\frac{v}{4}\left|\frac1{l_1}-\frac1{l_2}\right|. \]

当长度差 \(\delta l=|l_1-l_2|\) 很小，且两根杆的长度均近似为 \(l\) 时，

\[ f_{\mathrm b}\simeq\frac{v}{4l^2}\delta l =\frac{f}{l}\delta l. \]

因此，

\[ \delta l\simeq\frac{l f_{\mathrm b}}{f} =\frac{(1)(0.005)}{1281.998}\ \mathrm{m}, \]

得到

\[ \boxed{\delta l\simeq3.90\times10^{-6}\ \mathrm{m}}. \]

比值 \(\delta l/l\simeq3.9\times10^{-6}\) 证实了小差值近似的有效性。

A(d)

采用线性弹性理论，并将引力扰动视为准静态扰动。令 \(x\) 从固定端 \(x=0\) 延伸至自由端 \(x=l\)，以 \(\Delta g\) 表示场强变化沿此方向的带符号分量。

位于 \(x\) 处的横截面以外、朝向自由端一侧的材料质量为

\[ m(x)=\rho S(l-x). \]

因此，通过该截面传递的附加轴向力为

\[ \Delta F(x)=\rho S(l-x)\Delta g. \]

由杨氏模量的定义，局部应变的变化为

\[ \Delta\epsilon(x)=\frac{\Delta F(x)}{ES} =\frac{\rho(l-x)\Delta g}{E}. \]

对所有微元的伸长量积分，

\[ \Delta l =\int_0^l\Delta\epsilon(x)\,dx =\frac{\rho\Delta g}{E}\int_0^l(l-x)\,dx. \]

于是

\[ \boxed{\Delta l=\frac{\rho l^2\Delta g}{2E}}. \]

指向固定端的场强变化会使杆受压，对应于负的 \(\Delta g\)。

A(e)

反射端发生位移 \(\Delta l\) 时，往返光程改变 \(2\Delta l\)。取场强变化沿其中一根杆的方向，另一根杆作为纵向参考，则

\[ |\Delta D|=2|\Delta l|. \]

光程改变一个波长，就会使干涉条件移动一个条纹。因此，题给灵敏度对应于

\[ |\Delta D|_{\min}=10^{-4}\lambda =10^{-4}(656\times10^{-9}) =6.56\times10^{-11}\ \mathrm{m}. \]

因此，可探测到的最小杆端位移为

\[ |\Delta l|_{\min}=3.28\times10^{-11}\ \mathrm{m}. \]

利用 A(d) 的结果，

\[ 2|\Delta l|=\frac{\rho l^2|\Delta g|}{E}. \]

在探测阈值处，

\[ l_{\min} =\sqrt{\frac{E\,10^{-4}\lambda}{\rho|\Delta g|}}. \]

代入得

\[ l_{\min} =\sqrt{ \frac{(7.1\times10^{10})(10^{-4})(656\times10^{-9})} {(2700)(10^{-19})} }, \]

所以

\[ \boxed{l_{\min}\simeq1.31\times10^8\ \mathrm{m}}. \]

更一般地，若两根杆都产生响应，则此表达式中的 \(\Delta g\) 应替换为两根杆各自带符号的轴向场强变化之差。

A(f)

在经典谐振近似下，原子位移为 \(x\) 时的弹性势能为 \(\tfrac12\kappa x^2\)。由能量均分定理，

\[ \frac12\kappa\langle x^2\rangle=\frac12 k_{\mathrm B}T. \]

当有效劲度系数 \(\kappa\) 不变时，特征振幅因此满足

\[ A\propto\sqrt{T}. \]

由于 \(100\ \mathrm{mK}=0.100\ \mathrm{K}\)，

\[ \frac{A_{\mathrm{cold}}}{A_{\mathrm{warm}}} =\sqrt{\frac{0.100}{300}} =\frac1{\sqrt{3000}} =0.0183. \]

因此，振幅减小的倍数为

\[ \boxed{\frac{A_{\mathrm{warm}}}{A_{\mathrm{cold}}} =\sqrt{3000}\simeq54.8}. \]

这一估算采用经典热振动模型，并忽略量子零点运动。

A(g)

令

\[ T_i=4.2\ \mathrm{K},\qquad T_f=0.100\ \mathrm{K},\qquad s_i=0.072\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}. \]

题给的比热容规律为

\[ s(T)=s_i\left(\frac{T}{T_i}\right)^3. \]

必须从球中移走的热量为

\[ Q=m\int_{T_f}^{T_i}s(T)\,dT =\frac{ms_i}{T_i^3}\int_{T_f}^{T_i}T^3\,dT. \]

因此，

\[ Q=\frac{ms_i}{4T_i^3}(T_i^4-T_f^4) =\frac{ms_iT_i}{4} \left[1-\left(\frac{T_f}{T_i}\right)^4\right]. \]

代入数值，得

\[ Q= \frac{(1168)(0.072)(4.2)}4 \left[1-\left(\frac{0.100}{4.2}\right)^4\right] \simeq88.3\ \mathrm{J}. \]

在平均制冷功率为 \(P=1.00\times10^{-3}\ \mathrm{W}\) 时，

\[ t=\frac QP =\frac{88.3}{10^{-3}}\ \mathrm{s}. \]

因此

\[ \boxed{t\simeq8.83\times10^4\ \mathrm{s} \simeq24.5\ \mathrm{h}}. \]

B(a)

设发射频率为 \(\nu_R\)。按照题目指定的牛顿模型，赋予光子一个与其能量等效的引力质量

\[ m_\gamma=\frac{h\nu_R}{c^2}. \]

将这一质量从太阳表面移至无穷远处所需的功为

\[ W=\int_R^\infty\frac{GMm_\gamma}{r^2}\,dr =\frac{GMm_\gamma}{R}. \]

由能量守恒，

\[ h\nu_\infty=h\nu_R-\frac{GMm_\gamma}{R}. \]

代入 \(m_\gamma=h\nu_R/c^2\)，

\[ h\nu_\infty =h\nu_R\left(1-\frac{GM}{Rc^2}\right), \]

因此

\[ \boxed{\nu_\infty\simeq \nu_R\left(1-\frac{GM}{Rc^2}\right)}. \]

这是弱场条件下的一阶结果。用发射时的能量计算 \(m_\gamma\) 只会引入更高阶的修正。对于太阳，

\[ \frac{GM}{Rc^2}=2.12\times10^{-6}\ll1, \]

所以这一近似完全合理。

B(b)

定义

\[ \epsilon=\frac{GM}{rc^2}, \qquad q=1-\epsilon. \]

频率减小为原来的 \(q\) 倍，对应于时钟周期增大为原来的 \(1/q\) 倍。根据题目给出的长度收缩规则，相应的长度尺度减小为原来的 \(q\) 倍。

因此，在题目与远处坐标进行的比较中，有效速度满足

\[ \frac{c'_r}{c}\simeq\frac{q}{1/q}=q^2. \]

由此可得

\[ n_r=\frac{c}{c'_r} \simeq\frac1{(1-\epsilon)^2}. \]

展开至一阶，

\[ (1-\epsilon)^{-2}=1+2\epsilon+O(\epsilon^2). \]

因此，

\[ \boxed{n_r\simeq1+\frac{2GM}{rc^2}}, \qquad \boxed{\alpha=2}. \]

这里，\(c'_r\) 是题目折射率模型中使用的有效坐标速度。使用固有长度和固有时间进行局部测量，得到的仍是真空光速 \(c\)。

B(c)

取入射光线近似沿 \(x\) 方向传播，碰撞参数为 \(b\)。沿其未受扰动的路径，

\[ y=b,\qquad r=\sqrt{x^2+b^2}. \]

折射率为

\[ n(x,y)=1+\frac{\alpha GM}{c^2\sqrt{x^2+y^2}}. \]

对于连续变化的折射率，由斯涅尔定律可得光线方程

\[ \frac{d}{ds}(n\hat{\boldsymbol t})=\boldsymbol\nabla n, \]

其中 \(\hat{\boldsymbol t}\) 是光线的单位切向量。当偏折很小时，\(ds\simeq dx\) 且 \(n\simeq1\)，因此其横向分量变为

\[ \frac{d\theta}{dx}\simeq\frac{\partial n}{\partial y}. \]

求导得

\[ \frac{\partial n}{\partial y} =-\frac{\alpha GM\,y} {c^2(x^2+y^2)^{3/2}}. \]

在一阶近似下，可沿直线路径 \(y=b\) 计算此式：

\[ \Delta\theta =-\frac{\alpha GMb}{c^2} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{(x^2+b^2)^{3/2}}. \]

利用题给积分，

\[ \Delta\theta =-\frac{\alpha GMb}{c^2}\frac2{b^2} =-\frac{2\alpha GM}{bc^2}. \]

负号表示光线朝太阳方向弯曲。对于掠过太阳边缘的光线，\(b\simeq R\)，且 \(\alpha=2\)，由此得到偏折角的大小

\[ \theta=\frac{4GM}{Rc^2}. \]

代入数值，得

\[ \theta= \frac{4(6.67\times10^{-11})(1.99\times10^{30})} {(6.95\times10^8)(3.00\times10^8)^2}. \]

于是

\[ \boxed{\theta=8.49\times10^{-6}\ \mathrm{rad} \quad\text{朝向太阳}}. \]

这约为 \(1.75\) 角秒。

解答已与官方解答核对。

Решение

A(a)

Огибающая амплитуды имеет вид

\[ A(t)=ae^{-\mu t}. \]

Уменьшение на \(20\%\) означает, что через \(50\ \mathrm{s}\) амплитуда составляет \(0.80\) от своего предыдущего значения:

\[ \frac{A(t+50)}{A(t)}=e^{-50\mu}=0.80. \]

Следовательно,

\[ \boxed{\mu=-\frac{\ln(0.80)}{50} =4.46\times10^{-3}\ \mathrm{s^{-1}}}. \]

A(b)

Будем рассматривать стержень как однородную упругую сплошную среду и считать, что наблюдаемые колебания соответствуют его основной продольной моде.

Пусть \(u(x,t)\) — продольное смещение, а \(S\) — площадь поперечного сечения. Продольная сила равна \(ES\,\partial u/\partial x\). Второй закон Ньютона для малого элемента даёт

\[ \rho S\,dx\,\frac{\partial^2u}{\partial t^2} =ES\,dx\,\frac{\partial^2u}{\partial x^2}. \]

Таким образом, продольные волны распространяются со скоростью

\[ v=\sqrt{\frac{E}{\rho}}. \]

На закреплённом конце смещение равно нулю, а на свободном конце равно нулю продольное напряжение:

\[ u(0,t)=0, \qquad \left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{x=l}=0. \]

Для моды с пространственной зависимостью \(\sin(kx)\) условие на свободном конце требует

\[ \cos(kl)=0. \]

Для основной моды \(kl=\pi/2\), поэтому длина стержня равна четверти длины волны. Отсюда

\[ \omega_0=vk=\frac{\pi}{2l}\sqrt{\frac{E}{\rho}}. \]

Численно

\[ v=\sqrt{\frac{7.1\times10^{10}}{2700}} =5.128\times10^3\ \mathrm{m\,s^{-1}}, \]

а при \(l=1\ \mathrm{m}\)

\[ \omega_0=\frac{\pi}{2}(5.128\times10^3) =8.055\times10^3\ \mathrm{rad\,s^{-1}}. \]

При линейном затухании наблюдаемая угловая частота равна \(\omega=\sqrt{\omega_0^2-\mu^2}\). Поскольку \(\mu\ll\omega_0\), этой поправкой можно пренебречь:

\[ \boxed{\omega\simeq8.06\times10^3\ \mathrm{rad\,s^{-1}}}. \]

Соответствующая частота равна

\[ f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{v}{4l} \simeq1.282\times10^3\ \mathrm{Hz}. \]

A(c)

Для стержней из одного и того же материала, колеблющихся в одной и той же основной моде,

\[ f(l)=\frac{v}{4l}. \]

Следовательно, частота их биений равна

\[ f_{\mathrm b}=|f_1-f_2| =\frac{v}{4}\left|\frac1{l_1}-\frac1{l_2}\right|. \]

При малой разности длин \(\delta l=|l_1-l_2|\), когда обе длины приблизительно равны \(l\),

\[ f_{\mathrm b}\simeq\frac{v}{4l^2}\delta l =\frac{f}{l}\delta l. \]

Следовательно,

\[ \delta l\simeq\frac{l f_{\mathrm b}}{f} =\frac{(1)(0.005)}{1281.998}\ \mathrm{m}, \]

откуда

\[ \boxed{\delta l\simeq3.90\times10^{-6}\ \mathrm{m}}. \]

Отношение \(\delta l/l\simeq3.9\times10^{-6}\) подтверждает применимость приближения малой разности длин.

A(d)

Воспользуемся линейной теорией упругости и рассмотрим квазистатическое возмущение гравитационного поля. Пусть координата \(x\) отсчитывается от закреплённого конца, \(x=0\), к свободному концу, \(x=l\), а \(\Delta g\) обозначает проекцию изменения поля на это направление с учётом знака.

Часть стержня за поперечным сечением с координатой \(x\) имеет массу

\[ m(x)=\rho S(l-x). \]

Поэтому дополнительная продольная сила, передаваемая через это сечение, равна

\[ \Delta F(x)=\rho S(l-x)\Delta g. \]

Согласно определению модуля Юнга, изменение локальной относительной деформации равно

\[ \Delta\epsilon(x)=\frac{\Delta F(x)}{ES} =\frac{\rho(l-x)\Delta g}{E}. \]

Интегрируя удлинения всех элементов, получаем

\[ \Delta l =\int_0^l\Delta\epsilon(x)\,dx =\frac{\rho\Delta g}{E}\int_0^l(l-x)\,dx. \]

Таким образом,

\[ \boxed{\Delta l=\frac{\rho l^2\Delta g}{2E}}. \]

Изменение поля, направленное к закреплённому концу, вызывает сжатие и описывается отрицательным значением \(\Delta g\).

A(e)

Смещение отражающего торца на \(\Delta l\) изменяет оптическую длину пути света туда и обратно на \(2\Delta l\). Полагая, что изменение поля направлено вдоль одного стержня, а другой служит опорой для сравнения продольных изменений, получаем

\[ |\Delta D|=2|\Delta l|. \]

Изменение оптической длины пути на одну длину волны соответствует сдвигу интерференционной картины на одну полосу. Поэтому указанной чувствительности соответствует

\[ |\Delta D|_{\min}=10^{-4}\lambda =10^{-4}(656\times10^{-9}) =6.56\times10^{-11}\ \mathrm{m}. \]

Следовательно, минимальное обнаруживаемое смещение конца стержня равно

\[ |\Delta l|_{\min}=3.28\times10^{-11}\ \mathrm{m}. \]

Используя A(d), получаем

\[ 2|\Delta l|=\frac{\rho l^2|\Delta g|}{E}. \]

На пороге обнаружения

\[ l_{\min} =\sqrt{\frac{E\,10^{-4}\lambda}{\rho|\Delta g|}}. \]

Подстановка даёт

\[ l_{\min} =\sqrt{ \frac{(7.1\times10^{10})(10^{-4})(656\times10^{-9})} {(2700)(10^{-19})} }, \]

так что

\[ \boxed{l_{\min}\simeq1.31\times10^8\ \mathrm{m}}. \]

В более общем случае, когда реагируют оба стержня, \(\Delta g\) в этом выражении заменяется разностью проекций изменений поля на их оси с учётом знаков.

A(f)

В классическом гармоническом приближении смещению атома \(x\) соответствует потенциальная энергия упругой деформации \(\tfrac12\kappa x^2\). Теорема о равнораспределении энергии даёт

\[ \frac12\kappa\langle x^2\rangle=\frac12 k_{\mathrm B}T. \]

Поэтому при неизменной эффективной жёсткости \(\kappa\) характерная амплитуда колебаний изменяется по закону

\[ A\propto\sqrt{T}. \]

Поскольку \(100\ \mathrm{mK}=0.100\ \mathrm{K}\),

\[ \frac{A_{\mathrm{cold}}}{A_{\mathrm{warm}}} =\sqrt{\frac{0.100}{300}} =\frac1{\sqrt{3000}} =0.0183. \]

Таким образом, коэффициент уменьшения амплитуды равен

\[ \boxed{\frac{A_{\mathrm{warm}}}{A_{\mathrm{cold}}} =\sqrt{3000}\simeq54.8}. \]

Эта оценка основана на классическом описании тепловых колебаний и не учитывает квантовые нулевые колебания.

A(g)

Пусть

\[ T_i=4.2\ \mathrm{K},\qquad T_f=0.100\ \mathrm{K},\qquad s_i=0.072\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}. \]

Заданный закон изменения теплоёмкости имеет вид

\[ s(T)=s_i\left(\frac{T}{T_i}\right)^3. \]

Количество теплоты, которое необходимо отвести от шара, равно

\[ Q=m\int_{T_f}^{T_i}s(T)\,dT =\frac{ms_i}{T_i^3}\int_{T_f}^{T_i}T^3\,dT. \]

Следовательно,

\[ Q=\frac{ms_i}{4T_i^3}(T_i^4-T_f^4) =\frac{ms_iT_i}{4} \left[1-\left(\frac{T_f}{T_i}\right)^4\right]. \]

Численно

\[ Q= \frac{(1168)(0.072)(4.2)}4 \left[1-\left(\frac{0.100}{4.2}\right)^4\right] \simeq88.3\ \mathrm{J}. \]

При средней мощности охлаждения \(P=1.00\times10^{-3}\ \mathrm{W}\)

\[ t=\frac QP =\frac{88.3}{10^{-3}}\ \mathrm{s}. \]

Отсюда

\[ \boxed{t\simeq8.83\times10^4\ \mathrm{s} \simeq24.5\ \mathrm{h}}. \]

B(a)

Пусть частота испущенного фотона равна \(\nu_R\). Следуя заданной ньютоновской модели, припишем фотону гравитационную массу, эквивалентную его энергии:

\[ m_\gamma=\frac{h\nu_R}{c^2}. \]

Работа, необходимая для перемещения этой массы с поверхности Солнца на бесконечность, равна

\[ W=\int_R^\infty\frac{GMm_\gamma}{r^2}\,dr =\frac{GMm_\gamma}{R}. \]

Закон сохранения энергии даёт

\[ h\nu_\infty=h\nu_R-\frac{GMm_\gamma}{R}. \]

Подставляя \(m_\gamma=h\nu_R/c^2\), получаем

\[ h\nu_\infty =h\nu_R\left(1-\frac{GM}{Rc^2}\right), \]

и, следовательно,

\[ \boxed{\nu_\infty\simeq \nu_R\left(1-\frac{GM}{Rc^2}\right)}. \]

Этот результат получен в первом порядке приближения слабого поля. Использование энергии фотона при испускании для вычисления \(m_\gamma\) вносит лишь поправки более высокого порядка. Для Солнца

\[ \frac{GM}{Rc^2}=2.12\times10^{-6}\ll1, \]

поэтому это приближение вполне оправданно.

B(b)

Введём обозначения

\[ \epsilon=\frac{GM}{rc^2}, \qquad q=1-\epsilon. \]

Уменьшению частоты с коэффициентом \(q\) соответствует увеличение периода часов в \(1/q\) раз. Согласно приведённому в условии правилу сокращения длины, соответствующий масштаб длины уменьшается с коэффициентом \(q\).

Таким образом, при принятом в задаче сравнении с удалёнными координатами эффективная скорость изменяется по закону

\[ \frac{c'_r}{c}\simeq\frac{q}{1/q}=q^2. \]

Отсюда следует, что

\[ n_r=\frac{c}{c'_r} \simeq\frac1{(1-\epsilon)^2}. \]

Разлагая до первого порядка, получаем

\[ (1-\epsilon)^{-2}=1+2\epsilon+O(\epsilon^2). \]

Следовательно,

\[ \boxed{n_r\simeq1+\frac{2GM}{rc^2}}, \qquad \boxed{\alpha=2}. \]

Здесь \(c'_r\) — эффективная координатная скорость, используемая в заданной в условии модели показателя преломления. Локальное измерение с использованием собственных длин и времён по-прежнему даёт скорость света в вакууме \(c\).

B(c)

Пусть падающий световой луч распространяется приблизительно вдоль направления \(x\) с прицельным параметром \(b\). Вдоль его невозмущённой траектории

\[ y=b,\qquad r=\sqrt{x^2+b^2}. \]

Показатель преломления равен

\[ n(x,y)=1+\frac{\alpha GM}{c^2\sqrt{x^2+y^2}}. \]

Закон Снеллиуса для непрерывно изменяющегося показателя преломления даёт уравнение луча

\[ \frac{d}{ds}(n\hat{\boldsymbol t})=\boldsymbol\nabla n, \]

где \(\hat{\boldsymbol t}\) — единичный вектор касательной к лучу. При малом отклонении \(ds\simeq dx\) и \(n\simeq1\), поэтому поперечная компонента этого уравнения принимает вид

\[ \frac{d\theta}{dx}\simeq\frac{\partial n}{\partial y}. \]

Дифференцирование даёт

\[ \frac{\partial n}{\partial y} =-\frac{\alpha GM\,y} {c^2(x^2+y^2)^{3/2}}. \]

В первом порядке это выражение можно вычислять вдоль прямолинейной траектории \(y=b\):

\[ \Delta\theta =-\frac{\alpha GMb}{c^2} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{(x^2+b^2)^{3/2}}. \]

Используя приведённый в условии интеграл, получаем

\[ \Delta\theta =-\frac{\alpha GMb}{c^2}\frac2{b^2} =-\frac{2\alpha GM}{bc^2}. \]

Отрицательный знак указывает на отклонение в сторону Солнца. Для луча, проходящего у самого его края, \(b\simeq R\), а \(\alpha=2\), поэтому модуль угла отклонения равен

\[ \theta=\frac{4GM}{Rc^2}. \]

Численно

\[ \theta= \frac{4(6.67\times10^{-11})(1.99\times10^{30})} {(6.95\times10^8)(3.00\times10^8)^2}. \]

Таким образом,

\[ \boxed{\theta=8.49\times10^{-6}\ \mathrm{rad} \quad\text{в сторону Солнца}}. \]

Это составляет приблизительно \(1.75\) угловой секунды.

Решение проверено по официальному решению.

الحل

A(a)

غلاف سعة الاهتزاز هو

\[ A(t)=ae^{-\mu t}. \]

يعني الانخفاض بنسبة \(20\%\) أن السعة بعد \(50\ \mathrm{s}\) تساوي \(0.80\) من قيمتها السابقة:

\[ \frac{A(t+50)}{A(t)}=e^{-50\mu}=0.80. \]

إذًا،

\[ \boxed{\mu=-\frac{\ln(0.80)}{50} =4.46\times10^{-3}\ \mathrm{s^{-1}}}. \]

A(b)

نُمثّل القضيب بوسط متصل مرن منتظم، ونعدّ الاهتزاز المرصود نمطه الطولي الأساسي.

لتكن \(u(x,t)\) الإزاحة الطولية و\(S\) مساحة المقطع العرضي. القوة الطولية هي \(ES\,\partial u/\partial x\). ويعطي قانون نيوتن الثاني لعنصر قصير

\[ \rho S\,dx\,\frac{\partial^2u}{\partial t^2} =ES\,dx\,\frac{\partial^2u}{\partial x^2}. \]

ومن ثم تنتقل الموجات الطولية بسرعة

\[ v=\sqrt{\frac{E}{\rho}}. \]

تكون الإزاحة عند الطرف المثبّت صفرًا، بينما يكون الإجهاد الطولي عند الطرف الحر صفرًا:

\[ u(0,t)=0, \qquad \left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{x=l}=0. \]

لنمط ذي اعتماد مكاني على الصورة \(\sin(kx)\)، يقتضي شرط الطرف الحر أن

\[ \cos(kl)=0. \]

في النمط الأساسي، \(kl=\pi/2\)، ولذلك يساوي طول القضيب ربع طول موجي. ومن ثم

\[ \omega_0=vk=\frac{\pi}{2l}\sqrt{\frac{E}{\rho}}. \]

عدديًا،

\[ v=\sqrt{\frac{7.1\times10^{10}}{2700}} =5.128\times10^3\ \mathrm{m\,s^{-1}}, \]

وعندما يكون \(l=1\ \mathrm{m}\)،

\[ \omega_0=\frac{\pi}{2}(5.128\times10^3) =8.055\times10^3\ \mathrm{rad\,s^{-1}}. \]

في حالة التخميد الخطي، يكون التردد الزاوي المرصود \(\omega=\sqrt{\omega_0^2-\mu^2}\). وبما أن \(\mu\ll\omega_0\)، فإن هذا التصحيح مهمل:

\[ \boxed{\omega\simeq8.06\times10^3\ \mathrm{rad\,s^{-1}}}. \]

والتردد المقابل هو

\[ f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{v}{4l} \simeq1.282\times10^3\ \mathrm{Hz}. \]

A(c)

لقضيبين مصنوعين من المادة نفسها ويهتزان في النمط الأساسي نفسه،

\[ f(l)=\frac{v}{4l}. \]

وعليه، فإن تردد الخفقان بينهما هو

\[ f_{\mathrm b}=|f_1-f_2| =\frac{v}{4}\left|\frac1{l_1}-\frac1{l_2}\right|. \]

إذا كان الفرق بين الطولين صغيرًا، \(\delta l=|l_1-l_2|\)، وكان كلا الطولين يساوي تقريبًا \(l\)، فإن

\[ f_{\mathrm b}\simeq\frac{v}{4l^2}\delta l =\frac{f}{l}\delta l. \]

إذًا،

\[ \delta l\simeq\frac{l f_{\mathrm b}}{f} =\frac{(1)(0.005)}{1281.998}\ \mathrm{m}, \]

فنحصل على

\[ \boxed{\delta l\simeq3.90\times10^{-6}\ \mathrm{m}}. \]

تؤكد النسبة \(\delta l/l\simeq3.9\times10^{-6}\) صلاحية تقريب الفرق الصغير.

A(d)

نستخدم المرونة الخطية واضطرابًا شبه ساكن في مجال الجاذبية. ليكن \(x\) ممتدًا من الطرف المثبّت، \(x=0\)، إلى الطرف الحر، \(x=l\)، ولتدلّ \(\Delta g\) على المركبة ذات الإشارة لتغير المجال على امتداد هذا الاتجاه.

كتلة المادة الواقعة بعد مقطع عرضي عند \(x\) هي

\[ m(x)=\rho S(l-x). \]

لذلك تكون القوة المحورية الإضافية المنقولة عبر ذلك المقطع

\[ \Delta F(x)=\rho S(l-x)\Delta g. \]

وفقًا لتعريف معامل يونغ، يكون التغير في الانفعال الموضعي

\[ \Delta\epsilon(x)=\frac{\Delta F(x)}{ES} =\frac{\rho(l-x)\Delta g}{E}. \]

وبتكامل استطالة جميع العناصر،

\[ \Delta l =\int_0^l\Delta\epsilon(x)\,dx =\frac{\rho\Delta g}{E}\int_0^l(l-x)\,dx. \]

إذًا

\[ \boxed{\Delta l=\frac{\rho l^2\Delta g}{2E}}. \]

يؤدي تغير المجال باتجاه الطرف المثبّت إلى انضغاط، وتمثّله قيمة سالبة لـ\(\Delta g\).

A(e)

تؤدي إزاحة \(\Delta l\) لطرف عاكس إلى تغير المسار البصري ذهابًا وإيابًا بمقدار \(2\Delta l\). وبأخذ تغير المجال على امتداد أحد القضيبين، مع استخدام الآخر مرجعًا طوليًا،

\[ |\Delta D|=2|\Delta l|. \]

يؤدي تغير المسار البصري بمقدار طول موجي واحد إلى انتقال شرط التداخل بمقدار هدب واحد. ولذلك تقابل الحساسية المذكورة

\[ |\Delta D|_{\min}=10^{-4}\lambda =10^{-4}(656\times10^{-9}) =6.56\times10^{-11}\ \mathrm{m}. \]

وعليه، فإن أصغر إزاحة يمكن كشفها لطرف القضيب هي

\[ |\Delta l|_{\min}=3.28\times10^{-11}\ \mathrm{m}. \]

باستخدام A(d)،

\[ 2|\Delta l|=\frac{\rho l^2|\Delta g|}{E}. \]

عند عتبة الكشف،

\[ l_{\min} =\sqrt{\frac{E\,10^{-4}\lambda}{\rho|\Delta g|}}. \]

يعطي التعويض

\[ l_{\min} =\sqrt{ \frac{(7.1\times10^{10})(10^{-4})(656\times10^{-9})} {(2700)(10^{-19})} }, \]

ومن ثم

\[ \boxed{l_{\min}\simeq1.31\times10^8\ \mathrm{m}}. \]

وبصورة أعم، إذا استجاب القضيبان معًا، تُستبدل \(\Delta g\) في هذا التعبير بالفرق بين تغيري المجال المحوريين ذوي الإشارة على امتدادهما.

A(f)

في التقريب التوافقي الكلاسيكي، تقابل الإزاحة الذرية \(x\) طاقة وضع مرونية \(\tfrac12\kappa x^2\). ويعطي مبدأ التوزيع المتساوي للطاقة

\[ \frac12\kappa\langle x^2\rangle=\frac12 k_{\mathrm B}T. \]

وعند ثبات الصلابة الفعّالة \(\kappa\)، تتناسب سعة الاهتزاز المميّزة وفقًا للعلاقة

\[ A\propto\sqrt{T}. \]

بما أن \(100\ \mathrm{mK}=0.100\ \mathrm{K}\)، فإن

\[ \frac{A_{\mathrm{cold}}}{A_{\mathrm{warm}}} =\sqrt{\frac{0.100}{300}} =\frac1{\sqrt{3000}} =0.0183. \]

إذًا تنخفض السعة بعامل

\[ \boxed{\frac{A_{\mathrm{warm}}}{A_{\mathrm{cold}}} =\sqrt{3000}\simeq54.8}. \]

يستخدم هذا التقدير الاهتزازات الحرارية الكلاسيكية ويهمل حركة نقطة الصفر الكمومية.

A(g)

لتكن

\[ T_i=4.2\ \mathrm{K},\qquad T_f=0.100\ \mathrm{K},\qquad s_i=0.072\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}. \]

قانون السعة الحرارية المعطى هو

\[ s(T)=s_i\left(\frac{T}{T_i}\right)^3. \]

كمية الحرارة التي يجب سحبها من الكرة هي

\[ Q=m\int_{T_f}^{T_i}s(T)\,dT =\frac{ms_i}{T_i^3}\int_{T_f}^{T_i}T^3\,dT. \]

إذًا،

\[ Q=\frac{ms_i}{4T_i^3}(T_i^4-T_f^4) =\frac{ms_iT_i}{4} \left[1-\left(\frac{T_f}{T_i}\right)^4\right]. \]

عدديًا،

\[ Q= \frac{(1168)(0.072)(4.2)}4 \left[1-\left(\frac{0.100}{4.2}\right)^4\right] \simeq88.3\ \mathrm{J}. \]

عند قدرة تبريد متوسطة \(P=1.00\times10^{-3}\ \mathrm{W}\)،

\[ t=\frac QP =\frac{88.3}{10^{-3}}\ \mathrm{s}. \]

ومن ثم

\[ \boxed{t\simeq8.83\times10^4\ \mathrm{s} \simeq24.5\ \mathrm{h}}. \]

B(a)

ليكن التردد عند الانبعاث \(\nu_R\). وفقًا للنموذج النيوتني المحدد، ننسب إلى الفوتون كتلة ثقالية مكافئة لطاقته

\[ m_\gamma=\frac{h\nu_R}{c^2}. \]

الشغل اللازم لنقل هذه الكتلة من سطح الشمس إلى اللانهاية هو

\[ W=\int_R^\infty\frac{GMm_\gamma}{r^2}\,dr =\frac{GMm_\gamma}{R}. \]

يعطي حفظ الطاقة

\[ h\nu_\infty=h\nu_R-\frac{GMm_\gamma}{R}. \]

بالتعويض بـ\(m_\gamma=h\nu_R/c^2\)،

\[ h\nu_\infty =h\nu_R\left(1-\frac{GM}{Rc^2}\right), \]

وبالتالي

\[ \boxed{\nu_\infty\simeq \nu_R\left(1-\frac{GM}{Rc^2}\right)}. \]

هذه نتيجة من الرتبة الأولى في تقريب المجال الضعيف. ولا يؤدي استخدام طاقة الانبعاث لحساب \(m_\gamma\) إلا إلى تصحيحات من رتب أعلى. وبالنسبة إلى الشمس،

\[ \frac{GM}{Rc^2}=2.12\times10^{-6}\ll1, \]

ولذلك فإن التقريب مبرّر تمامًا.

B(b)

نعرّف

\[ \epsilon=\frac{GM}{rc^2}, \qquad q=1-\epsilon. \]

يقابل انخفاض التردد بالعامل \(q\) زيادة في الزمن الدوري للساعة بالعامل \(1/q\). ووفقًا لقاعدة انكماش الأطوال المعطاة في السؤال، ينخفض مقياس الطول المصاحب بالعامل \(q\).

وعليه، في المقارنة مع الإحداثيات البعيدة المستخدمة في المسألة، تتغير السرعة الفعّالة وفقًا للعلاقة

\[ \frac{c'_r}{c}\simeq\frac{q}{1/q}=q^2. \]

ويترتب على ذلك أن

\[ n_r=\frac{c}{c'_r} \simeq\frac1{(1-\epsilon)^2}. \]

بالتوسيع حتى الرتبة الأولى،

\[ (1-\epsilon)^{-2}=1+2\epsilon+O(\epsilon^2). \]

إذًا،

\[ \boxed{n_r\simeq1+\frac{2GM}{rc^2}}, \qquad \boxed{\alpha=2}. \]

هنا تمثل \(c'_r\) السرعة الإحداثية الفعّالة المستخدمة في نموذج معامل الانكسار الوارد في السؤال. أما القياس المحلي باستخدام الأطوال والأزمنة الخاصة، فيظل يعطي سرعة الضوء في الفراغ \(c\).

B(c)

نفترض أن الشعاع الضوئي الوارد ينتشر تقريبًا على امتداد الاتجاه \(x\)، بمعامل تصادم \(b\). وعلى امتداد مساره غير المضطرب،

\[ y=b,\qquad r=\sqrt{x^2+b^2}. \]

معامل الانكسار هو

\[ n(x,y)=1+\frac{\alpha GM}{c^2\sqrt{x^2+y^2}}. \]

يعطي قانون سنيل لمعامل انكسار يتغير باستمرار معادلة الشعاع

\[ \frac{d}{ds}(n\hat{\boldsymbol t})=\boldsymbol\nabla n, \]

حيث \(\hat{\boldsymbol t}\) متجه الوحدة المماس للشعاع. ولانحراف صغير، يكون \(ds\simeq dx\) و\(n\simeq1\)، فتصبح مركبتها العرضية

\[ \frac{d\theta}{dx}\simeq\frac{\partial n}{\partial y}. \]

يعطي الاشتقاق

\[ \frac{\partial n}{\partial y} =-\frac{\alpha GM\,y} {c^2(x^2+y^2)^{3/2}}. \]

حتى الرتبة الأولى، يمكن حساب ذلك على امتداد المسار المستقيم \(y=b\):

\[ \Delta\theta =-\frac{\alpha GMb}{c^2} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dx}{(x^2+b^2)^{3/2}}. \]

باستخدام التكامل المعطى،

\[ \Delta\theta =-\frac{\alpha GMb}{c^2}\frac2{b^2} =-\frac{2\alpha GM}{bc^2}. \]

تشير الإشارة السالبة إلى انحناء الشعاع باتجاه الشمس. ولشعاع يمر بمحاذاة حافتها، يكون \(b\simeq R\)، ومع \(\alpha=2\)، نحصل على مقدار الانحراف

\[ \theta=\frac{4GM}{Rc^2}. \]

عدديًا،

\[ \theta= \frac{4(6.67\times10^{-11})(1.99\times10^{30})} {(6.95\times10^8)(3.00\times10^8)^2}. \]

إذًا

\[ \boxed{\theta=8.49\times10^{-6}\ \mathrm{rad} \quad\text{باتجاه الشمس}}. \]

يساوي ذلك نحو \(1.75\) ثانية قوسية.

تمت مراجعة الحل بمقارنته بالحل الرسمي.