IPhO 1997 · Theory problem 1

Scaling

Download PDFIPhO 1997

(a) A small mass hangs on the end of a massless ideal spring and oscillates up and down at its natural frequency \(f\). If the spring is cut in half and the mass reattached at the end, what is the new frequency \(f'\)? (1.5 marks)

(b) The radius of a hydrogen atom in its ground state is \(a_0 = 0.0529\ \mathrm{nm}\) (the “Bohr radius”). What is the radius \(a'\) of a “muonic-hydrogen” atom in which the electron is replaced by an identically charged muon, with mass 207 times that of the electron? Assume the proton mass is much larger than that of the muon and electron. (2 marks)

(c) The mean temperature of the earth is \(T = 287\ \mathrm{K}\). What would the new mean temperature \(T'\) be if the mean distance between the earth and the sun was reduced by 1%?
(2 marks)

(d) On a given day, the air is dry and has a density \(\rho = 1.2500\ \mathrm{kg/m^3}\). The next day the humidity has increased and the air is 2% by mass water vapour. The pressure and temperature are the same as the day before. What is the air density \(\rho'\) now? (2 marks)

Mean molecular weight of dry air: 28.8 (g/mol)
Molecular weight of water: 18 (g/mol)

Assume ideal-gas behaviour.

(e) A type of helicopter can hover if the mechanical power output of its engine is \(P\). If another helicopter is made which is an exact ½-scale replica (in all linear dimensions) of the first, what mechanical power \(P'\) is required for it to hover? (2.5 marks)

Official English text of the problem.

Answers

(a) \(\displaystyle f'=\sqrt{2}\,f.\)
(b) \(\displaystyle a'=\frac{a_0}{207}=2.56\times10^{-4}\ \mathrm{nm}=2.56\times10^{-13}\ \mathrm{m}.\)
(c) \(\displaystyle T'=\frac{287}{\sqrt{0.99}}\ \mathrm{K}\approx288.4\ \mathrm{K}\), an increase of approximately \(1.4\ \mathrm{K}\).
(d) \(\displaystyle \rho'=\frac{1.2500}{1.012}\ \mathrm{kg/m^3}\approx1.2352\ \mathrm{kg/m^3}.\)
(e) \(\displaystyle P'=2^{-7/2}P=\frac{P}{8\sqrt{2}}\approx0.0884P.\)

Solution

(a)

Let the original spring constant be \(k\), and the attached mass be \(m\). Its natural frequency is \[ f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}. \]

For a uniform spring, the two halves are identical springs connected in series. If each half has spring constant \(k_h\), then \[ \frac{1}{k}=\frac{1}{k_h}+\frac{1}{k_h}, \] so \(k_h=2k\). Equivalently, under the same tension each half extends half as much as the whole spring.

The mass remains unchanged, giving \[ \boxed{f'=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{2k}{m}}=\sqrt{2}\,f.} \] Gravity changes the equilibrium extension but does not affect the frequency of an ideal spring.

(b)

Under the stated approximation, the proton is effectively fixed, so the orbiting particle’s mass \(m\) determines the atomic length scale.

In the Bohr model, Coulomb attraction supplies the centripetal force, and the ground-state angular momentum is \(\hbar\): \[ \frac{mv^2}{a}=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0a^2}, \qquad mva=\hbar. \] Eliminating \(v\) gives \[ a=\frac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{me^2}. \] Thus, for unchanged charge, the radius is inversely proportional to the particle’s mass. Since \(m_\mu=207m_e\), \[ \frac{a'}{a_0}=\frac{m_e}{m_\mu}=\frac{1}{207}. \] Therefore, \[ \boxed{a'=\frac{0.0529}{207}\ \mathrm{nm} =2.56\times10^{-4}\ \mathrm{nm} =2.56\times10^{-13}\ \mathrm{m}.} \]

(c)

Assume radiative equilibrium, constant solar luminosity, and unchanged terrestrial albedo and effective thermal-radiation properties.

At Earth–Sun distance \(r\), the incident solar flux is proportional to \(r^{-2}\). The absorbed power is therefore \[ P_{\rm abs}=(1-\alpha)\frac{L_\odot}{4\pi r^2}\,\pi R_\oplus^2, \] where \(\alpha\) is the albedo. By the Stefan–Boltzmann law, the emitted power can be represented as \[ P_{\rm emit}=4\pi R_\oplus^2\varepsilon_{\rm eff}\sigma T^4, \] with a fixed effective factor \(\varepsilon_{\rm eff}\).

Equating absorbed and emitted power gives \[ T^4\propto r^{-2}, \qquad T\propto r^{-1/2}. \] The new distance is \(r'=0.99r\), so \[ \boxed{T'=T\left(\frac{r}{r'}\right)^{1/2} =\frac{287}{\sqrt{0.99}}\ \mathrm{K} \approx288.4\ \mathrm{K}.} \]

As a first-order check, \[ \frac{\Delta T}{T}\approx-\frac12\frac{\Delta r}{r} =0.005, \] giving \(\Delta T\approx1.435\ \mathrm{K}\), close to the unrounded result \(1.446\ \mathrm{K}\).

(d)

Let \(M_d=28.8\ \mathrm{g/mol}\) and \(M_w=18\ \mathrm{g/mol}\) be the molar masses of dry air and water. The water mass fraction is \(w=0.02\).

A mass \(m\) of moist air contains masses \((1-w)m\) of dry air and \(wm\) of water vapour. Using consistent mass units, its total number of moles is \[ n=\frac{(1-w)m}{M_d}+\frac{wm}{M_w}. \] Since \(m/V=\rho'\), the ideal-gas law gives \[ \frac{p}{RT}=\frac{n}{V} =\rho'\left(\frac{1-w}{M_d}+\frac{w}{M_w}\right). \]

For the original dry air at the same pressure and temperature, \[ \frac{p}{RT}=\frac{\rho}{M_d}. \] Equating these expressions and rearranging, \[ \rho'=\frac{\rho}{(1-w)+wM_d/M_w}. \] Hence \[ \boxed{ \rho'= \frac{1.2500}{0.98+0.02(28.8/18)} =\frac{1.2500}{1.012} \approx1.2352\ \mathrm{kg/m^3}. } \]

The density decreases because water molecules are lighter than the average dry-air molecule, while the total molecular number density remains fixed at fixed pressure and temperature.

(e)

Assume the replica uses the same material densities and hovers in air of the same density. Use ideal momentum-flow scaling, with unchanged aerodynamic efficiency; neglect changes in viscous effects and mechanical losses.

Let the linear scale factor be \(\lambda\). The helicopter’s mass \(m\) scales with volume, while the rotor’s swept area \(A\) scales with area: \[ m'=\lambda^3m, \qquad A'=\lambda^2A. \]

Let \(v\) characterize the downward air velocity produced by the rotor. For geometrically similar flow, the mass of air accelerated per unit time scales as \[ \dot m_{\rm air}\propto\rho_{\rm air}Av. \] By conservation of momentum, the upward thrust scales as \[ F\propto\dot m_{\rm air}v \propto\rho_{\rm air}Av^2. \] Hovering requires \(F=mg\), so \[ v\propto\sqrt{\frac{mg}{\rho_{\rm air}A}}. \] Consequently, \[ \frac{v'}{v} =\sqrt{\frac{\lambda^3}{\lambda^2}} =\lambda^{1/2}. \]

The required power is proportional to the rate at which kinetic energy is imparted to the air: \[ P\propto\dot m_{\rm air}v^2 \propto\rho_{\rm air}Av^3. \] Thus \[ \frac{P'}{P} =\lambda^2\left(\lambda^{1/2}\right)^3 =\lambda^{7/2}. \] For \(\lambda=\tfrac12\), \[ \boxed{P'=\left(\frac12\right)^{7/2}P =\frac{P}{8\sqrt2} \approx0.0884P.} \]

The solution was checked against the official solution.

IPhO 1997 · Theorieaufgabe 1

Skalierung

PDF herunterladenIPhO 1997

(a) Eine kleine Masse hängt am Ende einer masselosen idealen Feder und schwingt mit ihrer Eigenfrequenz \(f\) auf und ab. Wenn die Feder halbiert und die Masse wieder am Ende befestigt wird, wie groß ist dann die neue Frequenz \(f'\)? (1.5 Punkte)

(b) Der Radius eines Wasserstoffatoms im Grundzustand beträgt \(a_0 = 0.0529\ \mathrm{nm}\) (der „Bohrsche Radius“). Wie groß ist der Radius \(a'\) eines „myonischen Wasserstoffatoms“, in dem das Elektron durch ein gleich geladenes Myon ersetzt ist, dessen Masse das 207-Fache der Elektronenmasse beträgt? Nehmen Sie an, dass die Protonenmasse viel größer als die Masse des Myons und des Elektrons ist. (2 Punkte)

(c) Die mittlere Temperatur der Erde beträgt \(T = 287\ \mathrm{K}\). Wie groß wäre die neue mittlere Temperatur \(T'\), wenn der mittlere Abstand zwischen Erde und Sonne um 1% verringert würde?
(2 Punkte)

(d) An einem bestimmten Tag ist die Luft trocken und hat eine Dichte von \(\rho = 1.2500\ \mathrm{kg/m^3}\). Am nächsten Tag ist die Luftfeuchtigkeit gestiegen, und der Massenanteil des Wasserdampfs in der Luft beträgt 2%. Druck und Temperatur sind dieselben wie am Vortag. Wie groß ist nun die Luftdichte \(\rho'\)? (2 Punkte)

Mittlere molare Masse trockener Luft: 28.8 (g/mol)
Molare Masse von Wasser: 18 (g/mol)

Nehmen Sie ideales Gasverhalten an.

(e) Ein Hubschraubertyp kann schweben, wenn die mechanische Ausgangsleistung seines Motors \(P\) beträgt. Wenn ein weiterer Hubschrauber gebaut wird, der eine exakte Nachbildung des ersten im Maßstab ½ (in allen linearen Abmessungen) ist, welche mechanische Leistung \(P'\) benötigt er zum Schweben? (2.5 Punkte)

Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt.

Antworten

(a) \(\displaystyle f'=\sqrt{2}\,f.\)
(b) \(\displaystyle a'=\frac{a_0}{207}=2.56\times10^{-4}\ \mathrm{nm}=2.56\times10^{-13}\ \mathrm{m}.\)
(c) \(\displaystyle T'=\frac{287}{\sqrt{0.99}}\ \mathrm{K}\approx288.4\ \mathrm{K}\), ein Anstieg um ungefähr \(1.4\ \mathrm{K}\).
(d) \(\displaystyle \rho'=\frac{1.2500}{1.012}\ \mathrm{kg/m^3}\approx1.2352\ \mathrm{kg/m^3}.\)
(e) \(\displaystyle P'=2^{-7/2}P=\frac{P}{8\sqrt{2}}\approx0.0884P.\)

Lösung

(a)

Die ursprüngliche Federkonstante sei \(k\) und die angehängte Masse \(m\). Ihre Eigenfrequenz beträgt \[ f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}. \]

Bei einer gleichmäßigen Feder sind die beiden Hälften identische, in Reihe geschaltete Federn. Wenn jede Hälfte die Federkonstante \(k_h\) hat, gilt \[ \frac{1}{k}=\frac{1}{k_h}+\frac{1}{k_h}, \] also \(k_h=2k\). Gleichbedeutend damit ist, dass sich jede Hälfte bei gleicher Zugkraft halb so weit dehnt wie die gesamte Feder.

Die Masse bleibt unverändert, sodass sich ergibt: \[ \boxed{f'=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{2k}{m}}=\sqrt{2}\,f.} \] Die Schwerkraft verändert die Dehnung in der Gleichgewichtslage, beeinflusst aber nicht die Frequenz einer idealen Feder.

(b)

Unter der angegebenen Näherung kann das Proton als ortsfest betrachtet werden, sodass die Masse \(m\) des umlaufenden Teilchens die atomare Längenskala bestimmt.

Im Bohrschen Modell liefert die Coulomb-Anziehung die Zentripetalkraft, und der Drehimpuls im Grundzustand beträgt \(\hbar\): \[ \frac{mv^2}{a}=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0a^2}, \qquad mva=\hbar. \] Durch Eliminieren von \(v\) erhält man \[ a=\frac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{me^2}. \] Bei unveränderter Ladung ist der Radius somit umgekehrt proportional zur Masse des Teilchens. Da \(m_\mu=207m_e\), gilt \[ \frac{a'}{a_0}=\frac{m_e}{m_\mu}=\frac{1}{207}. \] Daher ergibt sich \[ \boxed{a'=\frac{0.0529}{207}\ \mathrm{nm} =2.56\times10^{-4}\ \mathrm{nm} =2.56\times10^{-13}\ \mathrm{m}.} \]

(c)

Es werden Strahlungsgleichgewicht, eine konstante Sonnenleuchtkraft sowie eine unveränderte Albedo und unveränderte effektive Wärmestrahlungseigenschaften der Erde angenommen.

Beim Abstand \(r\) zwischen Erde und Sonne ist die einfallende solare Strahlungsflussdichte proportional zu \(r^{-2}\). Die absorbierte Leistung beträgt daher \[ P_{\rm abs}=(1-\alpha)\frac{L_\odot}{4\pi r^2}\,\pi R_\oplus^2, \] wobei \(\alpha\) die Albedo ist. Nach dem Stefan–Boltzmann-Gesetz lässt sich die abgestrahlte Leistung darstellen als \[ P_{\rm emit}=4\pi R_\oplus^2\varepsilon_{\rm eff}\sigma T^4, \] mit einem konstanten effektiven Faktor \(\varepsilon_{\rm eff}\).

Durch Gleichsetzen der absorbierten und der abgestrahlten Leistung erhält man \[ T^4\propto r^{-2}, \qquad T\propto r^{-1/2}. \] Der neue Abstand beträgt \(r'=0.99r\), also \[ \boxed{T'=T\left(\frac{r}{r'}\right)^{1/2} =\frac{287}{\sqrt{0.99}}\ \mathrm{K} \approx288.4\ \mathrm{K}.} \]

Zur Überprüfung in erster Ordnung gilt \[ \frac{\Delta T}{T}\approx-\frac12\frac{\Delta r}{r} =0.005, \] woraus \(\Delta T\approx1.435\ \mathrm{K}\) folgt, nahe am ungerundeten Ergebnis \(1.446\ \mathrm{K}\).

(d)

Es seien \(M_d=28.8\ \mathrm{g/mol}\) und \(M_w=18\ \mathrm{g/mol}\) die molaren Massen von trockener Luft und Wasser. Der Massenanteil des Wassers beträgt \(w=0.02\).

Eine Masse \(m\) feuchter Luft enthält die Masse \((1-w)m\) an trockener Luft und die Masse \(wm\) an Wasserdampf. Bei Verwendung einheitlicher Masseneinheiten beträgt ihre gesamte Stoffmenge \[ n=\frac{(1-w)m}{M_d}+\frac{wm}{M_w}. \] Da \(m/V=\rho'\), liefert das ideale Gasgesetz \[ \frac{p}{RT}=\frac{n}{V} =\rho'\left(\frac{1-w}{M_d}+\frac{w}{M_w}\right). \]

Für die ursprüngliche trockene Luft bei gleichem Druck und gleicher Temperatur gilt \[ \frac{p}{RT}=\frac{\rho}{M_d}. \] Durch Gleichsetzen dieser Ausdrücke und Umstellen erhält man \[ \rho'=\frac{\rho}{(1-w)+wM_d/M_w}. \] Somit ergibt sich \[ \boxed{ \rho'= \frac{1.2500}{0.98+0.02(28.8/18)} =\frac{1.2500}{1.012} \approx1.2352\ \mathrm{kg/m^3}. } \]

Die Dichte nimmt ab, weil Wassermoleküle leichter sind als das durchschnittliche Molekül trockener Luft, während die Gesamtzahldichte der Moleküle bei festem Druck und fester Temperatur konstant bleibt.

(e)

Es wird angenommen, dass die Nachbildung aus Materialien mit denselben Dichten besteht und in Luft derselben Dichte schwebt. Verwendet wird die Skalierung nach der idealen Impulsstromtheorie bei unverändertem aerodynamischem Wirkungsgrad; Änderungen viskoser Effekte und mechanischer Verluste werden vernachlässigt.

Der lineare Skalierungsfaktor sei \(\lambda\). Die Masse \(m\) des Hubschraubers skaliert mit dem Volumen, während die vom Rotor überstrichene Fläche \(A\) mit der Fläche skaliert: \[ m'=\lambda^3m, \qquad A'=\lambda^2A. \]

Es sei \(v\) die charakteristische, vom Rotor erzeugte abwärtsgerichtete Luftgeschwindigkeit. Bei geometrisch ähnlicher Strömung skaliert die pro Zeiteinheit beschleunigte Luftmasse gemäß \[ \dot m_{\rm air}\propto\rho_{\rm air}Av. \] Nach der Impulserhaltung skaliert der aufwärtsgerichtete Schub gemäß \[ F\propto\dot m_{\rm air}v \propto\rho_{\rm air}Av^2. \] Zum Schweben ist \(F=mg\) erforderlich, also \[ v\propto\sqrt{\frac{mg}{\rho_{\rm air}A}}. \] Folglich gilt \[ \frac{v'}{v} =\sqrt{\frac{\lambda^3}{\lambda^2}} =\lambda^{1/2}. \]

Die erforderliche Leistung ist proportional zur Rate, mit der der Luft kinetische Energie zugeführt wird: \[ P\propto\dot m_{\rm air}v^2 \propto\rho_{\rm air}Av^3. \] Somit gilt \[ \frac{P'}{P} =\lambda^2\left(\lambda^{1/2}\right)^3 =\lambda^{7/2}. \] Für \(\lambda=\tfrac12\) ergibt sich \[ \boxed{P'=\left(\frac12\right)^{7/2}P =\frac{P}{8\sqrt2} \approx0.0884P.} \]

Die Lösung wurde mit der offiziellen Lösung abgeglichen.

IPhO 1997 · Teori sorusu 1

Ölçeklendirme

PDF indirIPhO 1997

(a) Kütlesiz ideal bir yayın ucuna asılan küçük bir kütle, yayın doğal frekansı \(f\) ile aşağı yukarı salınmaktadır. Yay iki eşit parçaya kesilir ve kütle parçalardan birinin ucuna yeniden asılırsa yeni frekans \(f'\) ne olur? (1.5 puan)

(b) Temel durumdaki bir hidrojen atomunun yarıçapı \(a_0 = 0.0529\ \mathrm{nm}\) değerindedir (“Bohr yarıçapı”). Elektronun yerine aynı yüke sahip ve kütlesi elektronunkinin 207 katı olan bir müonun geçtiği “müonik hidrojen” atomunun yarıçapı \(a'\) nedir? Protonun kütlesinin müonun ve elektronun kütlelerinden çok daha büyük olduğunu varsayın. (2 puan)

(c) Dünya'nın ortalama sıcaklığı \(T = 287\ \mathrm{K}\) değerindedir. Dünya ile Güneş arasındaki ortalama uzaklık %1 azaltılsaydı yeni ortalama sıcaklık \(T'\) ne olurdu?
(2 puan)

(d) Belirli bir günde hava kurudur ve yoğunluğu \(\rho = 1.2500\ \mathrm{kg/m^3}\) değerindedir. Ertesi gün nem artmış ve havanın kütlece %2'si su buharı hâline gelmiştir. Basınç ve sıcaklık bir önceki günle aynıdır. Havanın şimdiki yoğunluğu \(\rho'\) nedir? (2 puan)

Kuru havanın ortalama mol kütlesi: 28.8 (g/mol)
Suyun mol kütlesi: 18 (g/mol)

İdeal gaz davranışı varsayın.

(e) Bir tür helikopter, motorunun mekanik güç çıkışı \(P\) olduğunda havada asılı kalabilmektedir. İlk helikopterin (tüm doğrusal boyutları bakımından) tam ½ ölçekli bir kopyası olan başka bir helikopter yapılırsa bunun havada asılı kalması için gereken mekanik güç \(P'\) nedir? (2.5 puan)

Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir.

Cevaplar

(a) \(\displaystyle f'=\sqrt{2}\,f.\)
(b) \(\displaystyle a'=\frac{a_0}{207}=2.56\times10^{-4}\ \mathrm{nm}=2.56\times10^{-13}\ \mathrm{m}.\)
(c) \(\displaystyle T'=\frac{287}{\sqrt{0.99}}\ \mathrm{K}\approx288.4\ \mathrm{K}\), yaklaşık \(1.4\ \mathrm{K}\) artış.
(d) \(\displaystyle \rho'=\frac{1.2500}{1.012}\ \mathrm{kg/m^3}\approx1.2352\ \mathrm{kg/m^3}.\)
(e) \(\displaystyle P'=2^{-7/2}P=\frac{P}{8\sqrt{2}}\approx0.0884P.\)

Çözüm

(a)

Başlangıçtaki yay sabiti \(k\), yaya asılan kütle ise \(m\) olsun. Sistemin doğal frekansı \[ f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}. \] ile verilir.

Düzgün bir yayın iki yarısı, seri bağlanmış özdeş yaylardır. Her bir yarının yay sabiti \(k_h\) ise \[ \frac{1}{k}=\frac{1}{k_h}+\frac{1}{k_h}, \] dolayısıyla \(k_h=2k\) olur. Eşdeğer olarak, aynı gerilme kuvveti altında her bir yarı, yayın tamamının yarısı kadar uzar.

Kütle değişmediğinden \[ \boxed{f'=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{2k}{m}}=\sqrt{2}\,f.} \] elde edilir. Yer çekimi, dengedeki uzamayı değiştirir ancak ideal bir yayın frekansını etkilemez.

(b)

Belirtilen yaklaşım altında proton sabit kabul edilebilir; dolayısıyla yörüngede dolanan parçacığın kütlesi \(m\), atomun uzunluk ölçeğini belirler.

Bohr modelinde Coulomb çekimi merkezcil kuvveti sağlar ve temel durumdaki açısal momentum \(\hbar\) değerindedir: \[ \frac{mv^2}{a}=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0a^2}, \qquad mva=\hbar. \] \(v\) elendiğinde \[ a=\frac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{me^2}. \] elde edilir. Böylece yük değişmediğinde yarıçap, parçacığın kütlesiyle ters orantılıdır. \(m_\mu=207m_e\) olduğundan \[ \frac{a'}{a_0}=\frac{m_e}{m_\mu}=\frac{1}{207}. \] Dolayısıyla, \[ \boxed{a'=\frac{0.0529}{207}\ \mathrm{nm} =2.56\times10^{-4}\ \mathrm{nm} =2.56\times10^{-13}\ \mathrm{m}.} \]

(c)

Işınım dengesi olduğunu, Güneş'in ışınım gücünün sabit kaldığını ve Dünya'nın albedosu ile etkin ısıl ışınım özelliklerinin değişmediğini varsayın.

Dünya–Güneş uzaklığı \(r\) iken gelen Güneş ışınımının akısı \(r^{-2}\) ile orantılıdır. Dolayısıyla soğurulan güç \[ P_{\rm abs}=(1-\alpha)\frac{L_\odot}{4\pi r^2}\,\pi R_\oplus^2, \] ile verilir; burada \(\alpha\) albedodur. Stefan–Boltzmann yasasına göre yayılan güç \[ P_{\rm emit}=4\pi R_\oplus^2\varepsilon_{\rm eff}\sigma T^4, \] şeklinde ifade edilebilir; burada \(\varepsilon_{\rm eff}\) sabit bir etkin katsayıdır.

Soğurulan ve yayılan güçler eşitlendiğinde \[ T^4\propto r^{-2}, \qquad T\propto r^{-1/2}. \] elde edilir. Yeni uzaklık \(r'=0.99r\) olduğundan \[ \boxed{T'=T\left(\frac{r}{r'}\right)^{1/2} =\frac{287}{\sqrt{0.99}}\ \mathrm{K} \approx288.4\ \mathrm{K}.} \]

Birinci mertebeden bir kontrol olarak, \[ \frac{\Delta T}{T}\approx-\frac12\frac{\Delta r}{r} =0.005, \] buradan \(\Delta T\approx1.435\ \mathrm{K}\) elde edilir; bu değer, yuvarlanmamış sonuç olan \(1.446\ \mathrm{K}\) değerine yakındır.

(d)

Kuru havanın ve suyun mol kütleleri sırasıyla \(M_d=28.8\ \mathrm{g/mol}\) ve \(M_w=18\ \mathrm{g/mol}\) olsun. Suyun kütle kesri \(w=0.02\) değerindedir.

\(m\) kütleli nemli hava, \((1-w)m\) kütleli kuru hava ve \(wm\) kütleli su buharı içerir. Tutarlı kütle birimleri kullanıldığında toplam mol sayısı \[ n=\frac{(1-w)m}{M_d}+\frac{wm}{M_w}. \] olur. \(m/V=\rho'\) olduğundan ideal gaz yasası \[ \frac{p}{RT}=\frac{n}{V} =\rho'\left(\frac{1-w}{M_d}+\frac{w}{M_w}\right). \] bağıntısını verir.

Aynı basınç ve sıcaklıktaki başlangıçtaki kuru hava için \[ \frac{p}{RT}=\frac{\rho}{M_d}. \] Bu ifadeler eşitlenip yeniden düzenlendiğinde, \[ \rho'=\frac{\rho}{(1-w)+wM_d/M_w}. \] Böylece \[ \boxed{ \rho'= \frac{1.2500}{0.98+0.02(28.8/18)} =\frac{1.2500}{1.012} \approx1.2352\ \mathrm{kg/m^3}. } \]

Su molekülleri ortalama bir kuru hava molekülünden daha hafif olduğu ve sabit basınç ile sıcaklıkta birim hacimdeki toplam molekül sayısı sabit kaldığı için yoğunluk azalır.

(e)

Kopyada aynı yoğunluklara sahip malzemelerin kullanıldığını ve kopyanın aynı yoğunluktaki havada asılı kaldığını varsayın. Aerodinamik verimin değişmediğini kabul ederek ideal momentum akışı ölçeklendirmesini kullanın; viskoz etkilerdeki ve mekanik kayıplardaki değişimleri ihmal edin.

Doğrusal ölçek çarpanı \(\lambda\) olsun. Helikopterin kütlesi \(m\) hacimle, rotorun süpürdüğü alan \(A\) ise alanla ölçeklenir: \[ m'=\lambda^3m, \qquad A'=\lambda^2A. \]

\(v\), rotorun oluşturduğu aşağı yönlü hava hızını temsil etsin. Geometrik olarak benzer akışta, birim zamanda hızlandırılan havanın kütlesi \[ \dot m_{\rm air}\propto\rho_{\rm air}Av. \] şeklinde ölçeklenir. Momentumun korunumuna göre yukarı yönlü itki kuvveti \[ F\propto\dot m_{\rm air}v \propto\rho_{\rm air}Av^2. \] şeklinde ölçeklenir. Havada asılı kalmak için \(F=mg\) olması gerektiğinden \[ v\propto\sqrt{\frac{mg}{\rho_{\rm air}A}}. \] Sonuç olarak, \[ \frac{v'}{v} =\sqrt{\frac{\lambda^3}{\lambda^2}} =\lambda^{1/2}. \]

Gereken güç, havaya kinetik enerji aktarılma hızıyla orantılıdır: \[ P\propto\dot m_{\rm air}v^2 \propto\rho_{\rm air}Av^3. \] Dolayısıyla \[ \frac{P'}{P} =\lambda^2\left(\lambda^{1/2}\right)^3 =\lambda^{7/2}. \] \(\lambda=\tfrac12\) için, \[ \boxed{P'=\left(\frac12\right)^{7/2}P =\frac{P}{8\sqrt2} \approx0.0884P.} \]

Çözüm, resmi çözümle karşılaştırılarak kontrol edildi.

IPhO 1997 · Problema teórico 1

Leyes de escala

Descargar PDFIPhO 1997

(a) Una pequeña masa cuelga del extremo de un muelle ideal de masa despreciable y oscila verticalmente con su frecuencia natural \(f\). Si se corta el muelle por la mitad y se vuelve a fijar la masa en el extremo, ¿cuál es la nueva frecuencia \(f'\)? (1.5 puntos)

(b) El radio de un átomo de hidrógeno en su estado fundamental es \(a_0 = 0.0529\ \mathrm{nm}\) (el «radio de Bohr»). ¿Cuál es el radio \(a'\) de un átomo de «hidrógeno muónico» en el que el electrón se sustituye por un muón con la misma carga y una masa 207 veces mayor que la del electrón? Suponga que la masa del protón es mucho mayor que la del muón y la del electrón. (2 puntos)

(c) La temperatura media de la Tierra es \(T = 287\ \mathrm{K}\). ¿Cuál sería la nueva temperatura media \(T'\) si la distancia media entre la Tierra y el Sol se redujera un 1%?
(2 puntos)

(d) Un día determinado, el aire está seco y tiene una densidad \(\rho = 1.2500\ \mathrm{kg/m^3}\). Al día siguiente, la humedad ha aumentado y el aire contiene un 2% en masa de vapor de agua. La presión y la temperatura son las mismas que el día anterior. ¿Cuál es ahora la densidad del aire \(\rho'\)? (2 puntos)

Masa molar media del aire seco: 28.8 (g/mol)
Masa molar del agua: 18 (g/mol)

Suponga un comportamiento de gas ideal.

(e) Un tipo de helicóptero puede mantenerse en vuelo estacionario si la potencia mecánica que entrega su motor es \(P\). Si se fabrica otro helicóptero que es una réplica exacta a escala ½ (en todas sus dimensiones lineales) del primero, ¿qué potencia mecánica \(P'\) necesita para mantenerse en vuelo estacionario? (2.5 puntos)

Enunciado traducido del texto oficial en inglés.

Respuestas

(a) \(\displaystyle f'=\sqrt{2}\,f.\)
(b) \(\displaystyle a'=\frac{a_0}{207}=2.56\times10^{-4}\ \mathrm{nm}=2.56\times10^{-13}\ \mathrm{m}.\)
(c) \(\displaystyle T'=\frac{287}{\sqrt{0.99}}\ \mathrm{K}\approx288.4\ \mathrm{K}\), un aumento de aproximadamente \(1.4\ \mathrm{K}\).
(d) \(\displaystyle \rho'=\frac{1.2500}{1.012}\ \mathrm{kg/m^3}\approx1.2352\ \mathrm{kg/m^3}.\)
(e) \(\displaystyle P'=2^{-7/2}P=\frac{P}{8\sqrt{2}}\approx0.0884P.\)

Solución

(a)

Sea \(k\) la constante elástica del muelle original y \(m\) la masa fijada a él. Su frecuencia natural es \[ f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}. \]

En un muelle uniforme, las dos mitades son muelles idénticos conectados en serie. Si cada mitad tiene una constante elástica \(k_h\), entonces \[ \frac{1}{k}=\frac{1}{k_h}+\frac{1}{k_h}, \] por lo que \(k_h=2k\). De forma equivalente, bajo la misma tensión, cada mitad se alarga la mitad de lo que se alarga el muelle completo.

La masa no cambia, de modo que \[ \boxed{f'=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{2k}{m}}=\sqrt{2}\,f.} \] La gravedad modifica el alargamiento de equilibrio, pero no afecta a la frecuencia de un muelle ideal.

(b)

Con la aproximación indicada, el protón se considera efectivamente fijo, por lo que la masa \(m\) de la partícula que orbita determina la escala de longitud atómica.

En el modelo de Bohr, la atracción de Coulomb proporciona la fuerza centrípeta y el momento angular del estado fundamental es \(\hbar\): \[ \frac{mv^2}{a}=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0a^2}, \qquad mva=\hbar. \] Al eliminar \(v\), se obtiene \[ a=\frac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{me^2}. \] Así, si la carga no cambia, el radio es inversamente proporcional a la masa de la partícula. Como \(m_\mu=207m_e\), \[ \frac{a'}{a_0}=\frac{m_e}{m_\mu}=\frac{1}{207}. \] Por tanto, \[ \boxed{a'=\frac{0.0529}{207}\ \mathrm{nm} =2.56\times10^{-4}\ \mathrm{nm} =2.56\times10^{-13}\ \mathrm{m}.} \]

(c)

Supongamos que hay equilibrio radiativo, que la luminosidad solar es constante y que el albedo terrestre y las propiedades efectivas de radiación térmica no cambian.

A una distancia Tierra–Sol \(r\), el flujo solar incidente es proporcional a \(r^{-2}\). Por tanto, la potencia absorbida es \[ P_{\rm abs}=(1-\alpha)\frac{L_\odot}{4\pi r^2}\,\pi R_\oplus^2, \] donde \(\alpha\) es el albedo. Según la ley de Stefan–Boltzmann, la potencia emitida puede representarse como \[ P_{\rm emit}=4\pi R_\oplus^2\varepsilon_{\rm eff}\sigma T^4, \] con un factor efectivo fijo \(\varepsilon_{\rm eff}\).

Al igualar las potencias absorbida y emitida, se obtiene \[ T^4\propto r^{-2}, \qquad T\propto r^{-1/2}. \] La nueva distancia es \(r'=0.99r\), de modo que \[ \boxed{T'=T\left(\frac{r}{r'}\right)^{1/2} =\frac{287}{\sqrt{0.99}}\ \mathrm{K} \approx288.4\ \mathrm{K}.} \]

Como comprobación a primer orden, \[ \frac{\Delta T}{T}\approx-\frac12\frac{\Delta r}{r} =0.005, \] lo que da \(\Delta T\approx1.435\ \mathrm{K}\), próximo al resultado sin redondear \(1.446\ \mathrm{K}\).

(d)

Sean \(M_d=28.8\ \mathrm{g/mol}\) y \(M_w=18\ \mathrm{g/mol}\) las masas molares del aire seco y del agua. La fracción másica de agua es \(w=0.02\).

Una masa \(m\) de aire húmedo contiene una masa \((1-w)m\) de aire seco y una masa \(wm\) de vapor de agua. Utilizando unidades de masa coherentes, su número total de moles es \[ n=\frac{(1-w)m}{M_d}+\frac{wm}{M_w}. \] Como \(m/V=\rho'\), la ley de los gases ideales da \[ \frac{p}{RT}=\frac{n}{V} =\rho'\left(\frac{1-w}{M_d}+\frac{w}{M_w}\right). \]

Para el aire seco original, a la misma presión y temperatura, \[ \frac{p}{RT}=\frac{\rho}{M_d}. \] Al igualar estas expresiones y reordenar, \[ \rho'=\frac{\rho}{(1-w)+wM_d/M_w}. \] Por consiguiente, \[ \boxed{ \rho'= \frac{1.2500}{0.98+0.02(28.8/18)} =\frac{1.2500}{1.012} \approx1.2352\ \mathrm{kg/m^3}. } \]

La densidad disminuye porque las moléculas de agua son más ligeras que la molécula media del aire seco, mientras que el número total de moléculas por unidad de volumen permanece fijo a presión y temperatura constantes.

(e)

Supongamos que la réplica utiliza materiales de las mismas densidades y se mantiene en vuelo estacionario en aire de la misma densidad. Utilicemos las leyes de escala ideales del flujo de cantidad de movimiento, con una eficiencia aerodinámica invariable; despreciemos los cambios en los efectos viscosos y en las pérdidas mecánicas.

Sea \(\lambda\) el factor de escala lineal. La masa \(m\) del helicóptero varía como el volumen, mientras que el área \(A\) barrida por el rotor varía como una superficie: \[ m'=\lambda^3m, \qquad A'=\lambda^2A. \]

Sea \(v\) la velocidad característica del aire dirigido hacia abajo por el rotor. Para un flujo geométricamente semejante, la masa de aire acelerada por unidad de tiempo varía según \[ \dot m_{\rm air}\propto\rho_{\rm air}Av. \] Por conservación de la cantidad de movimiento, el empuje hacia arriba varía según \[ F\propto\dot m_{\rm air}v \propto\rho_{\rm air}Av^2. \] El vuelo estacionario requiere \(F=mg\), de modo que \[ v\propto\sqrt{\frac{mg}{\rho_{\rm air}A}}. \] En consecuencia, \[ \frac{v'}{v} =\sqrt{\frac{\lambda^3}{\lambda^2}} =\lambda^{1/2}. \]

La potencia necesaria es proporcional al ritmo al que se transfiere energía cinética al aire: \[ P\propto\dot m_{\rm air}v^2 \propto\rho_{\rm air}Av^3. \] Así, \[ \frac{P'}{P} =\lambda^2\left(\lambda^{1/2}\right)^3 =\lambda^{7/2}. \] Para \(\lambda=\tfrac12\), \[ \boxed{P'=\left(\frac12\right)^{7/2}P =\frac{P}{8\sqrt2} \approx0.0884P.} \]

La solución se comprobó con la solución oficial.

IPhO 1997 · 理论题 1

标度关系

下载 PDFIPhO 1997

(a) 一个小物体悬挂在质量可忽略的理想弹簧末端，以固有频率 \(f\) 上下振动。如果将弹簧切成两半，并将该物体重新悬挂在其中一半的末端，新的频率 \(f'\) 是多少？（1.5 分）

(b) 基态氢原子的半径为 \(a_0 = 0.0529\ \mathrm{nm}\)（即“玻尔半径”）。如果用一个电荷与电子相同、质量为电子质量 207 倍的 μ 子替代电子，所形成的“μ 子氢”原子的半径 \(a'\) 是多少？假设质子的质量远大于 μ 子和电子的质量。（2 分）

(d) 某一天，空气干燥，密度为 \(\rho = 1.2500\ \mathrm{kg/m^3}\)。第二天，湿度增加，水蒸气占空气总质量的 2%。气压和温度与前一天相同。此时空气密度 \(\rho'\) 是多少？（2 分）

干空气的平均摩尔质量：28.8 (g/mol)
水的摩尔质量：18 (g/mol)

假设气体遵循理想气体规律。

(e) 某型号直升机在发动机输出机械功率为 \(P\) 时能够悬停。如果制造另一架直升机，其所有线性尺寸均严格缩小为原直升机的 ½，悬停所需的机械功率 \(P'\) 是多少？（2.5 分）

题目译自官方英文原文。

答案

(a) \(\displaystyle f'=\sqrt{2}\,f.\)
(b) \(\displaystyle a'=\frac{a_0}{207}=2.56\times10^{-4}\ \mathrm{nm}=2.56\times10^{-13}\ \mathrm{m}.\)
(c) \(\displaystyle T'=\frac{287}{\sqrt{0.99}}\ \mathrm{K}\approx288.4\ \mathrm{K}\)，约升高 \(1.4\ \mathrm{K}\)。
(d) \(\displaystyle \rho'=\frac{1.2500}{1.012}\ \mathrm{kg/m^3}\approx1.2352\ \mathrm{kg/m^3}.\)
(e) \(\displaystyle P'=2^{-7/2}P=\frac{P}{8\sqrt{2}}\approx0.0884P.\)

解答

(a)

设原弹簧的劲度系数为 \(k\)，悬挂物体的质量为 \(m\)。其固有频率为 \[ f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}. \]

对于均匀弹簧，原弹簧可视为两个完全相同的半段弹簧串联而成。若每个半段的劲度系数为 \(k_h\)，则 \[ \frac{1}{k}=\frac{1}{k_h}+\frac{1}{k_h}, \] 因此 \(k_h=2k\)。等价地，在相同拉力作用下，每个半段的伸长量是整根弹簧伸长量的一半。

物体的质量不变，因此 \[ \boxed{f'=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{2k}{m}}=\sqrt{2}\,f.} \] 重力会改变平衡时的伸长量，但不影响理想弹簧的振动频率。

(b)

在题设近似下，可以认为质子固定不动，因此绕质子运动的粒子的质量 \(m\) 决定了原子的长度尺度。

在玻尔模型中，库仑引力提供向心力，基态的角动量为 \(\hbar\)： \[ \frac{mv^2}{a}=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0a^2}, \qquad mva=\hbar. \] 消去 \(v\)，得到 \[ a=\frac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{me^2}. \] 因此，在电荷不变时，半径与粒子的质量成反比。由于 \(m_\mu=207m_e\)， \[ \frac{a'}{a_0}=\frac{m_e}{m_\mu}=\frac{1}{207}. \] 所以， \[ \boxed{a'=\frac{0.0529}{207}\ \mathrm{nm} =2.56\times10^{-4}\ \mathrm{nm} =2.56\times10^{-13}\ \mathrm{m}.} \]

(c)

假设地球处于辐射平衡，太阳光度恒定，且地球的反照率和有效热辐射特性不变。

当地日距离为 \(r\) 时，入射太阳辐射通量密度与 \(r^{-2}\) 成正比。因此，吸收的功率为 \[ P_{\rm abs}=(1-\alpha)\frac{L_\odot}{4\pi r^2}\,\pi R_\oplus^2, \] 其中 \(\alpha\) 为反照率。根据斯特藩–玻尔兹曼定律，辐射功率可表示为 \[ P_{\rm emit}=4\pi R_\oplus^2\varepsilon_{\rm eff}\sigma T^4, \] 其中有效因子 \(\varepsilon_{\rm eff}\) 保持不变。

令吸收功率与辐射功率相等，得到 \[ T^4\propto r^{-2}, \qquad T\propto r^{-1/2}. \] 新的距离为 \(r'=0.99r\)，因此 \[ \boxed{T'=T\left(\frac{r}{r'}\right)^{1/2} =\frac{287}{\sqrt{0.99}}\ \mathrm{K} \approx288.4\ \mathrm{K}.} \]

用一阶近似进行检验， \[ \frac{\Delta T}{T}\approx-\frac12\frac{\Delta r}{r} =0.005, \] 得到 \(\Delta T\approx1.435\ \mathrm{K}\)，与舍入前的结果 \(1.446\ \mathrm{K}\) 接近。

(d)

设干空气和水的摩尔质量分别为 \(M_d=28.8\ \mathrm{g/mol}\) 和 \(M_w=18\ \mathrm{g/mol}\)。水的质量分数为 \(w=0.02\)。

质量为 \(m\) 的湿空气中，干空气的质量为 \((1-w)m\)，水蒸气的质量为 \(wm\)。采用一致的质量单位，其总物质的量为 \[ n=\frac{(1-w)m}{M_d}+\frac{wm}{M_w}. \] 由于 \(m/V=\rho'\)，由理想气体状态方程可得 \[ \frac{p}{RT}=\frac{n}{V} =\rho'\left(\frac{1-w}{M_d}+\frac{w}{M_w}\right). \]

对于处于相同气压和温度下的原来的干空气， \[ \frac{p}{RT}=\frac{\rho}{M_d}. \] 令上述表达式相等并整理，得到 \[ \rho'=\frac{\rho}{(1-w)+wM_d/M_w}. \] 因此 \[ \boxed{ \rho'= \frac{1.2500}{0.98+0.02(28.8/18)} =\frac{1.2500}{1.012} \approx1.2352\ \mathrm{kg/m^3}. } \]

密度减小是因为水分子的质量小于干空气分子的平均质量，而在气压和温度固定时，分子总数密度保持不变。

(e)

假设缩小后的直升机采用密度相同的材料，并在密度相同的空气中悬停。采用理想动量流的标度关系，假设气动效率不变，忽略黏性效应和机械损耗的变化。

设线性尺度因子为 \(\lambda\)。直升机的质量 \(m\) 按体积缩放，而旋翼的扫掠面积 \(A\) 按面积缩放： \[ m'=\lambda^3m, \qquad A'=\lambda^2A. \]

设 \(v\) 表征旋翼产生的向下气流的速度。对于几何相似的流动，单位时间内被加速的空气质量满足如下标度关系： \[ \dot m_{\rm air}\propto\rho_{\rm air}Av. \] 根据动量守恒，向上的推力满足 \[ F\propto\dot m_{\rm air}v \propto\rho_{\rm air}Av^2. \] 悬停要求 \(F=mg\)，因此 \[ v\propto\sqrt{\frac{mg}{\rho_{\rm air}A}}. \] 于是， \[ \frac{v'}{v} =\sqrt{\frac{\lambda^3}{\lambda^2}} =\lambda^{1/2}. \]

所需功率与向空气传递动能的速率成正比： \[ P\propto\dot m_{\rm air}v^2 \propto\rho_{\rm air}Av^3. \] 因此 \[ \frac{P'}{P} =\lambda^2\left(\lambda^{1/2}\right)^3 =\lambda^{7/2}. \] 当 \(\lambda=\tfrac12\) 时， \[ \boxed{P'=\left(\frac12\right)^{7/2}P =\frac{P}{8\sqrt2} \approx0.0884P.} \]

解答已与官方解答核对。

IPhO 1997 · Теоретическая задача 1

Масштабирование

Скачать PDFIPhO 1997

(a) Небольшой груз подвешен к концу идеальной пружины с пренебрежимо малой массой и совершает вертикальные колебания с собственной частотой \(f\). Если разрезать пружину пополам и снова подвесить груз к концу одной из половин, какой будет новая частота \(f'\)? (1.5 балла)

(b) Радиус атома водорода в основном состоянии равен \(a_0 = 0.0529\ \mathrm{nm}\) («боровский радиус»). Чему равен радиус \(a'\) атома «мюонного водорода», в котором электрон заменён мюоном с таким же зарядом и массой, в 207 раз превышающей массу электрона? Считайте, что масса протона намного больше масс мюона и электрона. (2 балла)

(c) Средняя температура Земли равна \(T = 287\ \mathrm{K}\). Какой стала бы новая средняя температура \(T'\), если бы среднее расстояние между Землёй и Солнцем уменьшилось на 1%?
(2 балла)

(d) В некоторый день воздух сухой и имеет плотность \(\rho = 1.2500\ \mathrm{kg/m^3}\). На следующий день влажность повысилась, и теперь водяной пар составляет 2% массы воздуха. Давление и температура остались такими же, как накануне. Чему теперь равна плотность воздуха \(\rho'\)? (2 балла)

Средняя молярная масса сухого воздуха: 28.8 (г/моль)
Молярная масса воды: 18 (г/моль)

Считайте газ идеальным.

(e) Вертолёт определённого типа может зависать в воздухе, если механическая мощность его двигателя равна \(P\). Если изготовить другой вертолёт, представляющий собой точную копию первого в масштабе ½ (по всем линейным размерам), какая механическая мощность \(P'\) потребуется ему для зависания? (2.5 балла)

Условие переведено с официального английского текста.

Ответы

(a) \(\displaystyle f'=\sqrt{2}\,f.\)
(b) \(\displaystyle a'=\frac{a_0}{207}=2.56\times10^{-4}\ \mathrm{nm}=2.56\times10^{-13}\ \mathrm{m}.\)
(c) \(\displaystyle T'=\frac{287}{\sqrt{0.99}}\ \mathrm{K}\approx288.4\ \mathrm{K}\), что соответствует повышению примерно на \(1.4\ \mathrm{K}\).
(d) \(\displaystyle \rho'=\frac{1.2500}{1.012}\ \mathrm{kg/m^3}\approx1.2352\ \mathrm{kg/m^3}.\)
(e) \(\displaystyle P'=2^{-7/2}P=\frac{P}{8\sqrt{2}}\approx0.0884P.\)

Решение

(a)

Пусть жёсткость исходной пружины равна \(k\), а масса подвешенного груза — \(m\). Собственная частота колебаний равна \[ f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}. \]

Однородную пружину можно рассматривать как две одинаковые пружины, соединённые последовательно, каждая из которых составляет её половину. Если жёсткость каждой половины равна \(k_h\), то \[ \frac{1}{k}=\frac{1}{k_h}+\frac{1}{k_h}, \] откуда \(k_h=2k\). Иными словами, при одной и той же силе натяжения удлинение каждой половины вдвое меньше удлинения всей пружины.

Масса остаётся неизменной, поэтому \[ \boxed{f'=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{2k}{m}}=\sqrt{2}\,f.} \] Сила тяжести изменяет равновесное удлинение, но не влияет на частоту колебаний идеальной пружины.

(b)

В указанном приближении протон можно считать неподвижным, поэтому характерный размер атома определяется массой \(m\) частицы, движущейся по орбите.

В модели Бора кулоновское притяжение создаёт центростремительную силу, а момент импульса в основном состоянии равен \(\hbar\): \[ \frac{mv^2}{a}=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0a^2}, \qquad mva=\hbar. \] Исключая \(v\), получаем \[ a=\frac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{me^2}. \] Таким образом, при неизменном заряде радиус обратно пропорционален массе частицы. Поскольку \(m_\mu=207m_e\), \[ \frac{a'}{a_0}=\frac{m_e}{m_\mu}=\frac{1}{207}. \] Следовательно, \[ \boxed{a'=\frac{0.0529}{207}\ \mathrm{nm} =2.56\times10^{-4}\ \mathrm{nm} =2.56\times10^{-13}\ \mathrm{m}.} \]

(c)

Предположим, что установилось радиационное равновесие, светимость Солнца постоянна, а альбедо Земли и её эффективные характеристики теплового излучения не изменяются.

На расстоянии \(r\) между Землёй и Солнцем плотность потока падающего солнечного излучения пропорциональна \(r^{-2}\). Поэтому поглощаемая мощность равна \[ P_{\rm abs}=(1-\alpha)\frac{L_\odot}{4\pi r^2}\,\pi R_\oplus^2, \] где \(\alpha\) — альбедо. По закону Стефана — Больцмана мощность излучения можно представить в виде \[ P_{\rm emit}=4\pi R_\oplus^2\varepsilon_{\rm eff}\sigma T^4, \] с постоянным эффективным коэффициентом \(\varepsilon_{\rm eff}\).

Приравнивая поглощаемую и излучаемую мощности, получаем \[ T^4\propto r^{-2}, \qquad T\propto r^{-1/2}. \] Новое расстояние равно \(r'=0.99r\), поэтому \[ \boxed{T'=T\left(\frac{r}{r'}\right)^{1/2} =\frac{287}{\sqrt{0.99}}\ \mathrm{K} \approx288.4\ \mathrm{K}.} \]

Для проверки в первом приближении имеем \[ \frac{\Delta T}{T}\approx-\frac12\frac{\Delta r}{r} =0.005, \] откуда \(\Delta T\approx1.435\ \mathrm{K}\), что близко к результату \(1.446\ \mathrm{K}\), полученному до округления.

(d)

Пусть \(M_d=28.8\ \mathrm{g/mol}\) и \(M_w=18\ \mathrm{g/mol}\) — молярные массы сухого воздуха и воды. Массовая доля воды равна \(w=0.02\).

Влажный воздух массой \(m\) содержит сухой воздух массой \((1-w)m\) и водяной пар массой \(wm\). При использовании согласованных единиц массы общее количество вещества равно \[ n=\frac{(1-w)m}{M_d}+\frac{wm}{M_w}. \] Поскольку \(m/V=\rho'\), из уравнения состояния идеального газа следует \[ \frac{p}{RT}=\frac{n}{V} =\rho'\left(\frac{1-w}{M_d}+\frac{w}{M_w}\right). \]

Для исходного сухого воздуха при тех же давлении и температуре \[ \frac{p}{RT}=\frac{\rho}{M_d}. \] Приравнивая эти выражения и преобразуя, получаем \[ \rho'=\frac{\rho}{(1-w)+wM_d/M_w}. \] Следовательно, \[ \boxed{ \rho'= \frac{1.2500}{0.98+0.02(28.8/18)} =\frac{1.2500}{1.012} \approx1.2352\ \mathrm{kg/m^3}. } \]

Плотность уменьшается, поскольку молекулы воды легче средней молекулы сухого воздуха, а общее число молекул в единице объёма при постоянных давлении и температуре остаётся неизменным.

(e)

Предположим, что копия изготовлена из материалов той же плотности и зависает в воздухе той же плотности. Используем законы масштабирования, полученные из идеальной модели потока импульса, при неизменной аэродинамической эффективности; пренебрежём изменениями влияния вязкости и механических потерь.

Пусть коэффициент линейного масштабирования равен \(\lambda\). Масса вертолёта \(m\) изменяется пропорционально объёму, а площадь \(A\), ометаемая несущим винтом, — пропорционально квадрату линейного размера: \[ m'=\lambda^3m, \qquad A'=\lambda^2A. \]

Пусть \(v\) — характерная скорость направленного вниз потока воздуха, создаваемого несущим винтом. Для геометрически подобных потоков масса воздуха, ускоряемого в единицу времени, изменяется по закону \[ \dot m_{\rm air}\propto\rho_{\rm air}Av. \] По закону сохранения импульса направленная вверх сила тяги изменяется по закону \[ F\propto\dot m_{\rm air}v \propto\rho_{\rm air}Av^2. \] Для зависания необходимо \(F=mg\), поэтому \[ v\propto\sqrt{\frac{mg}{\rho_{\rm air}A}}. \] Следовательно, \[ \frac{v'}{v} =\sqrt{\frac{\lambda^3}{\lambda^2}} =\lambda^{1/2}. \]

Необходимая мощность пропорциональна кинетической энергии, сообщаемой воздуху в единицу времени: \[ P\propto\dot m_{\rm air}v^2 \propto\rho_{\rm air}Av^3. \] Таким образом, \[ \frac{P'}{P} =\lambda^2\left(\lambda^{1/2}\right)^3 =\lambda^{7/2}. \] При \(\lambda=\tfrac12\) \[ \boxed{P'=\left(\frac12\right)^{7/2}P =\frac{P}{8\sqrt2} \approx0.0884P.} \]

Решение проверено по официальному решению.

IPhO 1997 · مسألة نظرية 1

قوانين التحجيم

تنزيل PDFIPhO 1997

(a) تُعلَّق كتلة صغيرة بطرف نابض مثالي عديم الكتلة، فتتذبذب صعودًا وهبوطًا بترددها الطبيعي \(f\). إذا قُطع النابض إلى نصفين وأُعيد تعليق الكتلة بطرف أحدهما، فما التردد الجديد \(f'\)؟ (1.5 درجة)

(b) نصف قطر ذرة الهيدروجين في حالتها الأرضية هو \(a_0 = 0.0529\ \mathrm{nm}\) («نصف قطر بور»). ما نصف القطر \(a'\) لذرة «الهيدروجين الميوني» التي يُستبدل فيها الإلكترون بميون له الشحنة نفسها، وتبلغ كتلته 207 أمثال كتلة الإلكترون؟ افترض أن كتلة البروتون أكبر بكثير من كتلتَي الميون والإلكترون. (درجتان)

(c) متوسط درجة حرارة الأرض هو \(T = 287\ \mathrm{K}\). ماذا يصبح متوسط درجة الحرارة الجديد \(T'\) إذا انخفض متوسط المسافة بين الأرض والشمس بنسبة 1%؟
(درجتان)

(d) في يوم معين، يكون الهواء جافًا وكثافته \(\rho = 1.2500\ \mathrm{kg/m^3}\). وفي اليوم التالي، تزداد الرطوبة ويصبح بخار الماء مكوِّنًا لنسبة 2% من كتلة الهواء. ويبقى الضغط ودرجة الحرارة كما كانا في اليوم السابق. فما كثافة الهواء \(\rho'\) الآن؟ (درجتان)

متوسط الكتلة المولية للهواء الجاف: 28.8 (g/mol)
الكتلة المولية للماء: 18 (g/mol)

افترض سلوك الغاز المثالي.

(e) يستطيع نوع من المروحيات التحويم عندما تكون القدرة الميكانيكية التي ينتجها محركه \(P\). إذا صُنعت مروحية أخرى تكون نسخة مطابقة للأولى بمقياس ½ (في جميع الأبعاد الخطية)، فما القدرة الميكانيكية \(P'\) اللازمة لتحويمها؟ (2.5 درجة)

نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي.

الإجابات

(a) \(\displaystyle f'=\sqrt{2}\,f.\)
(b) \(\displaystyle a'=\frac{a_0}{207}=2.56\times10^{-4}\ \mathrm{nm}=2.56\times10^{-13}\ \mathrm{m}.\)
(c) \(\displaystyle T'=\frac{287}{\sqrt{0.99}}\ \mathrm{K}\approx288.4\ \mathrm{K}\)، أي بزيادة تبلغ نحو \(1.4\ \mathrm{K}\).
(d) \(\displaystyle \rho'=\frac{1.2500}{1.012}\ \mathrm{kg/m^3}\approx1.2352\ \mathrm{kg/m^3}.\)
(e) \(\displaystyle P'=2^{-7/2}P=\frac{P}{8\sqrt{2}}\approx0.0884P.\)

الحل

(a)

ليكن ثابت النابض الأصلي \(k\)، ولتكن الكتلة المعلَّقة به \(m\). تردده الطبيعي هو \[ f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}. \]

في النابض المنتظم، يكون النصفان نابضين متماثلين موصولين على التوالي. إذا كان ثابت كل نصف \(k_h\)، فإن \[ \frac{1}{k}=\frac{1}{k_h}+\frac{1}{k_h}, \] ومن ثم \(k_h=2k\). وبعبارة مكافئة، تحت تأثير قوة الشد نفسها، يستطيل كل نصف بمقدار نصف استطالة النابض بأكمله.

تبقى الكتلة دون تغيير، فنحصل على \[ \boxed{f'=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{2k}{m}}=\sqrt{2}\,f.} \] تغيّر الجاذبية الاستطالة عند الاتزان، لكنها لا تؤثر في تردد النابض المثالي.

(b)

وفق التقريب المذكور، يُعدّ البروتون ثابتًا عمليًا، ولذلك تحدد كتلة الجسيم المداري \(m\) مقياس الطول الذري.

في نموذج بور، يوفر التجاذب الكولومي القوة المركزية، ويكون الزخم الزاوي في الحالة الأرضية \(\hbar\): \[ \frac{mv^2}{a}=\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0a^2}, \qquad mva=\hbar. \] بحذف \(v\) نحصل على \[ a=\frac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{me^2}. \] إذن، عند ثبات الشحنة، يتناسب نصف القطر عكسيًا مع كتلة الجسيم. وبما أن \(m_\mu=207m_e\)، فإن \[ \frac{a'}{a_0}=\frac{m_e}{m_\mu}=\frac{1}{207}. \] وعليه، \[ \boxed{a'=\frac{0.0529}{207}\ \mathrm{nm} =2.56\times10^{-4}\ \mathrm{nm} =2.56\times10^{-13}\ \mathrm{m}.} \]

(c)

نفترض الاتزان الإشعاعي، وثبات اللمعان الشمسي، وعدم تغيّر بياض الأرض وخصائصها الفعالة للإشعاع الحراري.

عندما تكون المسافة بين الأرض والشمس \(r\)، يتناسب الفيض الشمسي الساقط مع \(r^{-2}\). ولذلك تكون القدرة الممتصة \[ P_{\rm abs}=(1-\alpha)\frac{L_\odot}{4\pi r^2}\,\pi R_\oplus^2, \] حيث \(\alpha\) هو البياض. وفق قانون ستيفان–بولتزمان، يمكن تمثيل القدرة المنبعثة بالعلاقة \[ P_{\rm emit}=4\pi R_\oplus^2\varepsilon_{\rm eff}\sigma T^4, \] حيث \(\varepsilon_{\rm eff}\) عامل فعال ثابت.

بمساواة القدرة الممتصة بالقدرة المنبعثة نحصل على \[ T^4\propto r^{-2}, \qquad T\propto r^{-1/2}. \] المسافة الجديدة هي \(r'=0.99r\)، ومن ثم \[ \boxed{T'=T\left(\frac{r}{r'}\right)^{1/2} =\frac{287}{\sqrt{0.99}}\ \mathrm{K} \approx288.4\ \mathrm{K}.} \]

للتحقق باستخدام تقريب من الرتبة الأولى، \[ \frac{\Delta T}{T}\approx-\frac12\frac{\Delta r}{r} =0.005, \] فنحصل على \(\Delta T\approx1.435\ \mathrm{K}\)، وهي قريبة من النتيجة قبل التقريب العددي \(1.446\ \mathrm{K}\).

(d)

لتكن \(M_d=28.8\ \mathrm{g/mol}\) و\(M_w=18\ \mathrm{g/mol}\) الكتلتين الموليتين للهواء الجاف والماء. الكسر الكتلي للماء هو \(w=0.02\).

تحتوي كتلة \(m\) من الهواء الرطب على كتلة \((1-w)m\) من الهواء الجاف وكتلة \(wm\) من بخار الماء. وباستخدام وحدات كتلة متسقة، يكون العدد الكلي لمولاتها \[ n=\frac{(1-w)m}{M_d}+\frac{wm}{M_w}. \] بما أن \(m/V=\rho'\)، فإن قانون الغاز المثالي يعطي \[ \frac{p}{RT}=\frac{n}{V} =\rho'\left(\frac{1-w}{M_d}+\frac{w}{M_w}\right). \]

بالنسبة إلى الهواء الجاف الأصلي عند الضغط ودرجة الحرارة نفسيهما، \[ \frac{p}{RT}=\frac{\rho}{M_d}. \] بمساواة هذين التعبيرين وإعادة الترتيب، \[ \rho'=\frac{\rho}{(1-w)+wM_d/M_w}. \] وعليه \[ \boxed{ \rho'= \frac{1.2500}{0.98+0.02(28.8/18)} =\frac{1.2500}{1.012} \approx1.2352\ \mathrm{kg/m^3}. } \]

تنخفض الكثافة لأن جزيئات الماء أخف من جزيء الهواء الجاف المتوسط، بينما تبقى الكثافة العددية الكلية للجزيئات ثابتة عند ثبات الضغط ودرجة الحرارة.

(e)

نفترض أن النسخة المصغرة تستخدم مواد بالكثافات نفسها، وتحوّم في هواء له الكثافة نفسها. نستخدم قوانين التحجيم المثالية لتدفق الزخم، مع ثبات الكفاءة الديناميكية الهوائية؛ ونهمل التغيّرات في تأثيرات اللزوجة والفواقد الميكانيكية.

ليكن عامل التحجيم الخطي \(\lambda\). تتغير كتلة المروحية \(m\) وفقًا لتغيّر الحجم، بينما تتغير المساحة \(A\) التي تمسحها المروحة الدوارة وفقًا لتغيّر المساحة: \[ m'=\lambda^3m, \qquad A'=\lambda^2A. \]

لتكن \(v\) السرعة المميزة للهواء المتجه إلى أسفل بفعل المروحة الدوارة. في الجريان المتشابه هندسيًا، تتغير كتلة الهواء المسرَّع في وحدة الزمن وفقًا للعلاقة \[ \dot m_{\rm air}\propto\rho_{\rm air}Av. \] وفقًا لحفظ الزخم، تتغير قوة الدفع إلى أعلى وفقًا للعلاقة \[ F\propto\dot m_{\rm air}v \propto\rho_{\rm air}Av^2. \] يتطلب التحويم \(F=mg\)، ولذلك \[ v\propto\sqrt{\frac{mg}{\rho_{\rm air}A}}. \] وبالتالي، \[ \frac{v'}{v} =\sqrt{\frac{\lambda^3}{\lambda^2}} =\lambda^{1/2}. \]

تتناسب القدرة المطلوبة مع معدل إكساب الهواء طاقة حركية: \[ P\propto\dot m_{\rm air}v^2 \propto\rho_{\rm air}Av^3. \] إذن \[ \frac{P'}{P} =\lambda^2\left(\lambda^{1/2}\right)^3 =\lambda^{7/2}. \] عند \(\lambda=\tfrac12\)، \[ \boxed{P'=\left(\frac12\right)^{7/2}P =\frac{P}{8\sqrt2} \approx0.0884P.} \]

تمت مراجعة الحل بمقارنته بالحل الرسمي.