A young radio amateur maintains a radio link with two girls living in two towns. He positions an aerial array such that when the girl living in town A receives a maximum signal, the girl living in town B receives no signal and vice versa. The array is built from two vertical rod aerials transmitting with equal intensities uniformly in all directions in the horizontal plane.

a) Find the parameters of the array, i.e. the distance between the rods, its orientation and the phase shift between the electrical signals supplied to the rods, such that the distance between the rods is minimum.

b) Find the numerical solution if the boy has a radio station transmitting at 27 MHz and builds up the aerial array at Portorož. Using the map he has found that the angles between the north and the direction of A (Koper) and of B (small town of Buje in Istria) are \(72^\circ\) and \(157^\circ\), respectively.

Official English text of the problem.

In a long bar having the shape of a rectangular parallelepiped with sides \(a\), \(b\), and \(c\) (\(a\gg b\gg c\)), made from the semiconductor InSb flows a current \(I\) parallel to the edge \(a\). The bar is in an external magnetic field \(B\) which is parallel to the edge \(c\). The magnetic field produced by the current \(I\) can be neglected. The current carriers are electrons. The average velocity of electrons in a semiconductor in the presence of an electric field only is \(v=\mu E\), where \(\mu\) is called mobility. If the magnetic field is also present, the electric field is no longer parallel to the current. This phenomenon is known as the Hall effect.

a) Determine what the magnitude and the direction of the electric field in the bar is, to yield the current described above.

b) Calculate the difference of the electric potential between the opposite points on the surfaces of the bar in the direction of the edge \(b\).

c) Find the analytic expression for the DC component of the electric potential difference in case b) if the current and the magnetic field are alternating (AC); \(I=I_0\sin\omega t\) and \(B=B_0\sin(\omega t+\delta)\).

d) Design and explain an electric circuit which would make possible, by exploiting the result c), to measure the power consumption of an electric apparatus connected with the AC network.

Data: The electron mobility in InSb is \(7.8\ \mathrm{m^2T/Vs}\), the electron concentration in InSb is \(2.5\cdot10^{22}\ \mathrm{m^{-3}}\), \(I=1.0\ \mathrm A\), \(B=0.10\ \mathrm T\), \(b=1.0\ \mathrm{cm}\), \(c=1.0\ \mathrm{mm}\), \(e_0=-1.6\cdot10^{-19}\ \mathrm{As}\).

Official English text of the problem.

In a space research project two schemes of launching a space probe out of the Solar system are discussed. The first scheme (i) is to launch the probe with a velocity large enough to escape from the Solar system directly. According to the second one (ii), the probe is to approach one of the outer planets, and with its help change its direction of motion and reach the velocity necessary to escape from the Solar system. Assume that the probe moves under the gravitational field of only the Sun or the planet, depending on whichever field is stronger at that point.

a) Determine the minimum velocity and its direction relative to the Earth’s motion that should be given to the probe on launching according to scheme (i).

b) Suppose that the probe has been launched in the direction determined in a) but with another velocity. Determine the velocity of the probe when it crosses the orbit of Mars, i. e., its parallel and perpendicular components with respect to this orbit. Mars is not near the point of crossing, when crossing occurs.

c) Let the probe enter the gravitational field of Mars. Find the minimum launching velocity from the Earth necessary for the probe to escape from the Solar system.

Hint: From the result a) you know the optimal magnitude and the direction of the velocity of the probe that is necessary to escape from the Solar system after leaving the gravitational field of Mars. (You do not have to worry about the precise position of Mars during the encounter.) Find the relation between this velocity and the velocity components before the probe enters the gravitational field of Mars; i. e., the components you determined in b). What about the conservation of energy of the probe?

d) Estimate the maximum possible fractional saving of energy in scheme (ii) with respect to scheme (i). Notes: Assume that all the planets revolve round the Sun in circles, in the same direction and in the same plane. Neglect the air resistance, the rotation of the Earth around its axis as well as the energy used in escaping from the Earth’s gravitational field.

Data: Velocity of the Earth round the Sun is 30 km/s, and the ratio of the distances of the Earth and Mars from the Sun is 2/3.

Official English text of the problem.

Ein junger Funkamateur unterhält eine Funkverbindung mit zwei Mädchen, die in zwei Städten wohnen. Er richtet eine Antennenanordnung so aus, dass das Mädchen in Stadt B kein Signal empfängt, wenn das Mädchen in Stadt A ein maximales Signal empfängt, und umgekehrt. Die Anordnung besteht aus zwei vertikalen Stabantennen, die mit gleicher Intensität gleichmäßig in alle Richtungen der horizontalen Ebene abstrahlen.

a) Bestimmen Sie die Parameter der Anordnung, d. h. den Abstand zwischen den Stäben, ihre Ausrichtung und die Phasenverschiebung zwischen den den Stäben zugeführten elektrischen Signalen, so, dass der Abstand zwischen den Stäben minimal ist.

b) Bestimmen Sie die numerische Lösung, wenn der Junge eine Funkstation besitzt, die bei 27 MHz sendet, und die Antennenanordnung in Portorož aufbaut. Anhand der Karte hat er festgestellt, dass die Winkel zwischen der Nordrichtung und den Richtungen nach A (Koper) bzw. nach B (der Kleinstadt Buje in Istrien) \(72^\circ\) bzw. \(157^\circ\) betragen.

Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt.

In einem langen Stab aus dem Halbleiter InSb, der die Form eines Quaders mit den Kantenlängen \(a\), \(b\) und \(c\) (\(a\gg b\gg c\)) hat, fließt ein Strom \(I\) parallel zur Kante \(a\). Der Stab befindet sich in einem äußeren Magnetfeld \(B\), das parallel zur Kante \(c\) gerichtet ist. Das vom Strom \(I\) erzeugte Magnetfeld kann vernachlässigt werden. Die Ladungsträger sind Elektronen. Die mittlere Geschwindigkeit der Elektronen in einem Halbleiter beträgt bei alleiniger Anwesenheit eines elektrischen Feldes \(v=\mu E\), wobei \(\mu\) als Beweglichkeit bezeichnet wird. Ist zusätzlich ein Magnetfeld vorhanden, so ist das elektrische Feld nicht mehr parallel zum Strom gerichtet. Dieses Phänomen ist als Hall-Effekt bekannt.

a) Bestimmen Sie den Betrag und die Richtung des elektrischen Feldes im Stab, das den oben beschriebenen Strom hervorruft.

b) Berechnen Sie die elektrische Potentialdifferenz zwischen gegenüberliegenden Punkten auf den Oberflächen des Stabes in Richtung der Kante \(b\).

c) Bestimmen Sie den analytischen Ausdruck für den Gleichspannungsanteil der elektrischen Potentialdifferenz aus Fall b), wenn der Strom und das Magnetfeld zeitlich alternieren (AC); \(I=I_0\sin\omega t\) und \(B=B_0\sin(\omega t+\delta)\).

d) Entwerfen und erläutern Sie eine elektrische Schaltung, mit der sich unter Ausnutzung des Ergebnisses aus c) die Leistungsaufnahme eines an das Wechselstromnetz angeschlossenen elektrischen Geräts messen lässt.

Gegeben: Die Elektronenbeweglichkeit in InSb beträgt \(7.8\ \mathrm{m^2T/Vs}\), die Elektronenkonzentration in InSb beträgt \(2.5\cdot10^{22}\ \mathrm{m^{-3}}\), \(I=1.0\ \mathrm A\), \(B=0.10\ \mathrm T\), \(b=1.0\ \mathrm{cm}\), \(c=1.0\ \mathrm{mm}\), \(e_0=-1.6\cdot10^{-19}\ \mathrm{As}\).

Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt.

In einem Weltraumforschungsprojekt werden zwei Verfahren diskutiert, um eine Raumsonde aus dem Sonnensystem hinauszubefördern. Beim ersten Verfahren (i) wird die Sonde mit einer Geschwindigkeit gestartet, die groß genug ist, um das Sonnensystem direkt zu verlassen. Beim zweiten Verfahren (ii) soll sich die Sonde einem der äußeren Planeten nähern und mithilfe dieses Planeten ihre Bewegungsrichtung ändern und die zum Verlassen des Sonnensystems erforderliche Geschwindigkeit erreichen. Nehmen Sie an, dass sich die Sonde ausschließlich unter dem Einfluss des Gravitationsfeldes der Sonne oder des Planeten bewegt, je nachdem, welches Feld am jeweiligen Ort stärker ist.

a) Bestimmen Sie die Mindestgeschwindigkeit und ihre Richtung relativ zur Bewegung der Erde, die der Sonde beim Start nach Verfahren (i) erteilt werden muss.

b) Nehmen Sie an, dass die Sonde in der in a) bestimmten Richtung, jedoch mit einer anderen Geschwindigkeit gestartet wurde. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit der Sonde beim Kreuzen der Marsbahn, d. h. ihre zur Bahn parallele und senkrechte Komponente. Zum Zeitpunkt des Kreuzens befindet sich der Mars nicht in der Nähe des Kreuzungspunktes.

c) Die Sonde trete nun in das Gravitationsfeld des Mars ein. Bestimmen Sie die minimale Startgeschwindigkeit von der Erde, die erforderlich ist, damit die Sonde das Sonnensystem verlassen kann.

Hinweis: Aus dem Ergebnis von a) kennen Sie den optimalen Betrag und die Richtung der Geschwindigkeit der Sonde, die nach dem Verlassen des Gravitationsfeldes des Mars zum Verlassen des Sonnensystems erforderlich ist. (Um die genaue Position des Mars während der Begegnung müssen Sie sich nicht kümmern.) Bestimmen Sie den Zusammenhang zwischen dieser Geschwindigkeit und den Geschwindigkeitskomponenten vor dem Eintritt der Sonde in das Gravitationsfeld des Mars, d. h. den in b) bestimmten Komponenten. Wie verhält es sich mit der Energieerhaltung der Sonde?

d) Schätzen Sie die maximal mögliche relative Energieeinsparung bei Verfahren (ii) gegenüber Verfahren (i) ab. Anmerkungen: Nehmen Sie an, dass alle Planeten die Sonne auf Kreisbahnen in derselben Richtung und in derselben Ebene umlaufen. Vernachlässigen Sie den Luftwiderstand, die Rotation der Erde um ihre Achse sowie die Energie, die zum Verlassen des Gravitationsfeldes der Erde benötigt wird.

Angaben: Die Geschwindigkeit der Erde auf ihrer Bahn um die Sonne beträgt 30 km/s, und das Verhältnis der Abstände von Erde und Mars zur Sonne beträgt 2/3.

Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt.

Genç bir radyo amatörü, iki ayrı kasabada yaşayan iki kızla radyo bağlantısı kurmaktadır. Anten dizisini, A kasabasında yaşayan kız en güçlü sinyali alırken B kasabasında yaşayan kız hiç sinyal almayacak ve bunun tersi de mümkün olacak şekilde yerleştirir. Dizi, yatay düzlemde her yönde düzgün olarak ve eşit şiddette yayın yapan iki düşey çubuk antenden oluşmaktadır.

a) Çubuklar arasındaki uzaklık en küçük olacak şekilde dizinin parametrelerini, yani çubuklar arasındaki uzaklığı, dizinin yönelimini ve çubuklara uygulanan elektriksel sinyaller arasındaki faz farkını bulunuz.

b) Gencin 27 MHz frekansında yayın yapan bir radyo istasyonu varsa ve anten dizisini Portorož'da kuruyorsa sayısal çözümü bulunuz. Genç, haritayı kullanarak kuzey ile A (Koper) ve B (Istria'daki küçük Buje kasabası) doğrultuları arasındaki açıların sırasıyla \(72^\circ\) ve \(157^\circ\) olduğunu bulmuştur.

Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir.

InSb yarı iletkeninden yapılmış, kenarları \(a\), \(b\) ve \(c\) (\(a\gg b\gg c\)) olan dikdörtgenler prizması biçimindeki uzun bir çubuktan, \(a\) kenarına paralel bir \(I\) akımı geçmektedir. Çubuk, \(c\) kenarına paralel bir dış manyetik alan \(B\) içindedir. \(I\) akımının oluşturduğu manyetik alan ihmal edilebilir. Akım taşıyıcıları elektronlardır. Bir yarı iletkende yalnızca elektrik alan bulunduğunda elektronların ortalama hızı \(v=\mu E\) olur; burada \(\mu\), hareketlilik olarak adlandırılır. Manyetik alan da varsa elektrik alan artık akıma paralel değildir. Bu olgu Hall etkisi olarak bilinir.

a) Yukarıda belirtilen akımın oluşması için çubuktaki elektrik alanın büyüklüğünü ve yönünü belirleyiniz.

b) Çubuğun yüzeylerinde, \(b\) kenarı doğrultusunda karşılıklı bulunan noktalar arasındaki elektriksel potansiyel farkını hesaplayınız.

c) Akım ve manyetik alanın alternatif (AC) olduğu, \(I=I_0\sin\omega t\) ve \(B=B_0\sin(\omega t+\delta)\) durumunda, b) şıkkındaki elektriksel potansiyel farkının doğru akım (DC) bileşeninin analitik ifadesini bulunuz.

d) c) şıkkındaki sonuçtan yararlanarak, alternatif akım şebekesine bağlı bir elektrikli cihazın güç tüketimini ölçmeyi sağlayacak bir elektrik devresi tasarlayınız ve açıklayınız.

Veriler: InSb içindeki elektron hareketliliği \(7.8\ \mathrm{m^2T/Vs}\), InSb içindeki elektron yoğunluğu \(2.5\cdot10^{22}\ \mathrm{m^{-3}}\), \(I=1.0\ \mathrm A\), \(B=0.10\ \mathrm T\), \(b=1.0\ \mathrm{cm}\), \(c=1.0\ \mathrm{mm}\), \(e_0=-1.6\cdot10^{-19}\ \mathrm{As}\).

Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir.

Bir uzay araştırma projesinde, bir uzay sondasını Güneş sisteminin dışına göndermek için iki yöntem tartışılmaktadır. Birinci yöntem (i), sondayı Güneş sisteminden doğrudan kaçmasına yetecek kadar büyük bir hızla fırlatmaktır. İkinci yönteme (ii) göre ise sonda dış gezegenlerden birine yaklaşacak ve bu gezegenin yardımıyla hareket yönünü değiştirerek Güneş sisteminden kaçmak için gerekli hıza ulaşacaktır. Sondanın, bulunduğu noktada hangi alan daha kuvvetliyse yalnızca Güneş'in ya da gezegenin kütleçekim alanının etkisi altında hareket ettiğini varsayın.

a) (i) yöntemine göre fırlatma sırasında sondaya verilmesi gereken en küçük hızı ve bu hızın Dünya'nın hareketine göre yönünü belirleyin.

b) Sondanın a) kısmında belirlenen yönde, ancak farklı bir hızla fırlatıldığını varsayın. Sondanın Mars'ın yörüngesini keserken sahip olduğu hızı, yani bu yörüngeye paralel ve dik bileşenlerini belirleyin. Kesişme gerçekleştiğinde Mars, kesişme noktasının yakınında değildir.

c) Sondanın Mars'ın kütleçekim alanına girdiğini kabul edin. Sondanın Güneş sisteminden kaçabilmesi için Dünya'dan fırlatılırken sahip olması gereken en küçük hızı bulun.

İpucu: a) kısmının sonucundan, sondanın Mars'ın kütleçekim alanından çıktıktan sonra Güneş sisteminden kaçabilmesi için gerekli hızının en uygun büyüklüğünü ve yönünü biliyorsunuz. (Karşılaşma sırasında Mars'ın tam konumunu dikkate almanız gerekmez.) Bu hız ile sondanın Mars'ın kütleçekim alanına girmeden önceki hız bileşenleri, yani b) kısmında belirlediğiniz bileşenler arasındaki bağıntıyı bulun. Sondanın enerjisinin korunumu hakkında ne söylenebilir?

d) (ii) yönteminde (i) yöntemine göre mümkün olan en büyük oransal enerji tasarrufunu tahmin edin. Notlar: Bütün gezegenlerin Güneş'in çevresinde dairesel yörüngelerde, aynı yönde ve aynı düzlemde dolandığını varsayın. Hava direncini, Dünya'nın kendi ekseni etrafındaki dönüşünü ve Dünya'nın kütleçekim alanından kaçmak için kullanılan enerjiyi ihmal edin.

Veriler: Dünya'nın Güneş çevresindeki hızı 30 km/s, Dünya'nın ve Mars'ın Güneş'e olan uzaklıklarının oranı ise 2/3'tür.

Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir.

Un joven radioaficionado mantiene un enlace de radio con dos chicas que viven en dos localidades. Coloca un conjunto de antenas de modo que, cuando la chica que vive en la localidad A recibe una señal máxima, la chica que vive en la localidad B no recibe señal, y viceversa. El conjunto está formado por dos antenas de varilla verticales que transmiten con igual intensidad y de manera uniforme en todas las direcciones del plano horizontal.

a) Determine los parámetros del conjunto, es decir, la distancia entre las varillas, su orientación y el desfase entre las señales eléctricas suministradas a las varillas, de modo que la distancia entre estas sea mínima.

b) Obtenga la solución numérica si el joven dispone de una estación de radio que transmite a 27 MHz e instala el conjunto de antenas en Portorož. Utilizando el mapa, ha determinado que los ángulos entre el norte y las direcciones de A (Koper) y B (la pequeña localidad de Buje, en Istria) son \(72^\circ\) y \(157^\circ\), respectivamente.

Enunciado traducido del texto oficial en inglés.

Por una barra larga con forma de paralelepípedo rectangular de aristas \(a\), \(b\) y \(c\) (\(a\gg b\gg c\)), fabricada con el semiconductor InSb, circula una corriente \(I\) paralela a la arista \(a\). La barra se encuentra en un campo magnético externo \(B\) paralelo a la arista \(c\). El campo magnético producido por la corriente \(I\) puede despreciarse. Los portadores de corriente son electrones. La velocidad media de los electrones en un semiconductor en presencia únicamente de un campo eléctrico es \(v=\mu E\), donde \(\mu\) se denomina movilidad. Si también hay un campo magnético, el campo eléctrico deja de ser paralelo a la corriente. Este fenómeno se conoce como efecto Hall.

a) Determine el módulo y la dirección del campo eléctrico en la barra necesarios para producir la corriente descrita anteriormente.

b) Calcule la diferencia de potencial eléctrico entre puntos opuestos de las superficies de la barra en la dirección de la arista \(b\).

c) Halle la expresión analítica de la componente continua de la diferencia de potencial eléctrico del caso b) si la corriente y el campo magnético son alternos (CA); \(I=I_0\sin\omega t\) y \(B=B_0\sin(\omega t+\delta)\).

d) Diseñe y explique un circuito eléctrico que permita, aprovechando el resultado c), medir la potencia consumida por un aparato eléctrico conectado a la red de CA.

Datos: La movilidad de los electrones en InSb es \(7.8\ \mathrm{m^2T/Vs}\), la concentración de electrones en InSb es \(2.5\cdot10^{22}\ \mathrm{m^{-3}}\), \(I=1.0\ \mathrm A\), \(B=0.10\ \mathrm T\), \(b=1.0\ \mathrm{cm}\), \(c=1.0\ \mathrm{mm}\), \(e_0=-1.6\cdot10^{-19}\ \mathrm{As}\).

Enunciado traducido del texto oficial en inglés.

En un proyecto de investigación espacial se estudian dos procedimientos para lanzar una sonda espacial fuera del sistema solar. El primer procedimiento (i) consiste en lanzar la sonda con una velocidad suficientemente grande para escapar directamente del sistema solar. Según el segundo (ii), la sonda debe acercarse a uno de los planetas exteriores y, con su ayuda, cambiar su dirección de movimiento y alcanzar la velocidad necesaria para escapar del sistema solar. Suponga que la sonda se mueve bajo la acción del campo gravitatorio únicamente del Sol o del planeta, según cuál de los dos campos sea más intenso en ese punto.

a) Determine la velocidad mínima y su dirección respecto al movimiento de la Tierra que debe impartirse a la sonda en el lanzamiento según el procedimiento (i).

b) Suponga que la sonda se ha lanzado en la dirección determinada en a), pero con otra velocidad. Determine la velocidad de la sonda cuando cruza la órbita de Marte, es decir, sus componentes paralela y perpendicular a esta órbita. Marte no se encuentra cerca del punto de cruce cuando este se produce.

c) Suponga que la sonda entra en el campo gravitatorio de Marte. Halle la velocidad mínima de lanzamiento desde la Tierra necesaria para que la sonda escape del sistema solar.

Indicación: A partir del resultado de a), conoce el módulo óptimo y la dirección de la velocidad que necesita la sonda para escapar del sistema solar después de abandonar el campo gravitatorio de Marte. (No es necesario preocuparse por la posición precisa de Marte durante el encuentro.) Halle la relación entre esta velocidad y las componentes de la velocidad antes de que la sonda entre en el campo gravitatorio de Marte, es decir, las componentes que determinó en b). ¿Qué ocurre con la conservación de la energía de la sonda?

d) Estime el máximo ahorro fraccionario posible de energía en el procedimiento (ii) respecto al procedimiento (i). Notas: Suponga que todos los planetas giran alrededor del Sol en órbitas circulares, en el mismo sentido y en el mismo plano. Desprecie la resistencia del aire, la rotación de la Tierra alrededor de su eje y la energía empleada para escapar del campo gravitatorio terrestre.

Datos: La velocidad de la Tierra alrededor del Sol es de 30 km/s, y la razón entre las distancias de la Tierra y de Marte al Sol es 2/3.

Enunciado traducido del texto oficial en inglés.

一位年轻的业余无线电爱好者与住在两个城镇的两位女孩保持无线电通信。他布置了一个天线阵列，使得住在 A 镇的女孩接收到最强信号时，住在 B 镇的女孩接收不到信号，反之亦然。该阵列由两根竖直的杆状天线组成，两根天线以相同的强度在水平面内向各个方向均匀辐射。

a) 求该阵列的参数，即两根天线之间的距离、阵列的取向以及馈入两根天线的电信号之间的相位差，使两根天线之间的距离最小。

b) 如果这位男孩拥有一台发射频率为 27 MHz 的无线电台，并在波尔托罗日搭建该天线阵列，求数值解。他通过地图查得，正北方向与 A 镇（科佩尔）方向及 B 镇（伊斯特拉半岛上的小镇布耶）方向之间的夹角分别为 \(72^\circ\) 和 \(157^\circ\)。

题目译自官方英文原文。

一根由半导体 InSb 制成的长方体长棒，三条边的长度分别为 \(a\)、\(b\) 和 \(c\)（\(a\gg b\gg c\)），其中有平行于边 \(a\) 的电流 \(I\) 流过。长棒处于平行于边 \(c\) 的外磁场 \(B\) 中。电流 \(I\) 产生的磁场可以忽略。载流子为电子。仅有电场时，半导体中电子的平均速度为 \(v=\mu E\)，其中 \(\mu\) 称为迁移率。如果同时存在磁场，电场就不再与电流平行。这种现象称为霍尔效应。

a) 求为产生上述电流，棒内电场应具有的大小和方向。

b) 计算沿边 \(b\) 的方向，棒的两个相对表面上正对的两点之间的电势差。

c) 若电流和磁场均为交变的（AC），即 \(I=I_0\sin\omega t\) 和 \(B=B_0\sin(\omega t+\delta)\)，求 b) 中电势差的直流分量的解析表达式。

d) 设计并说明一个利用 c) 的结果测量接入交流电网的用电器所消耗功率的电路。

已知数据：InSb 中电子的迁移率为 \(7.8\ \mathrm{m^2T/Vs}\)，InSb 中电子的浓度为 \(2.5\cdot10^{22}\ \mathrm{m^{-3}}\)，\(I=1.0\ \mathrm A\)，\(B=0.10\ \mathrm T\)，\(b=1.0\ \mathrm{cm}\)，\(c=1.0\ \mathrm{mm}\)，\(e_0=-1.6\cdot10^{-19}\ \mathrm{As}\)。

题目译自官方英文原文。

在一项空间研究计划中，人们讨论了将空间探测器发射到太阳系之外的两种方案。第一种方案 (i) 是以足够大的速度发射探测器，使其直接逃离太阳系。按照第二种方案 (ii)，探测器先接近一颗地外行星，借助该行星改变运动方向，并达到逃离太阳系所需的速度。假设探测器只在太阳或行星的引力场作用下运动，具体取决于所在位置哪个引力场更强。

a) 求按照方案 (i) 发射探测器时，应赋予探测器的最小速度，以及该速度相对于地球运动方向的方向。

b) 假设探测器沿 a) 中确定的方向发射，但速度大小不同。求探测器穿过火星轨道时的速度，即相对于该轨道的平行分量和垂直分量。探测器穿过火星轨道时，火星不在交点附近。

c) 令探测器进入火星的引力场。求探测器逃离太阳系所需的、相对于地球的最小发射速度。

提示：根据 a) 的结果，你已知探测器离开火星引力场后，为逃离太阳系所需的最佳速度大小和方向。（不必考虑交会时火星的精确位置。）求这一速度与探测器进入火星引力场之前的速度分量之间的关系，即与 b) 中求出的分量之间的关系。探测器的能量守恒情况如何？

d) 估算方案 (ii) 相对于方案 (i) 最多可节省的能量比例。说明：假设所有行星都在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。忽略空气阻力、地球自转以及逃离地球引力场所消耗的能量。

数据：地球绕太阳运动的速度为 30 km/s，地球与火星到太阳的距离之比为 2/3。

题目译自官方英文原文。

Юный радиолюбитель поддерживает радиосвязь с двумя девушками, живущими в двух городах. Он располагает антенную решётку так, чтобы, когда девушка, живущая в городе A, принимает сигнал максимальной интенсивности, девушка, живущая в городе B, не принимает сигнала, и наоборот. Решётка состоит из двух вертикальных штыревых антенн, излучающих с одинаковой интенсивностью равномерно во всех направлениях в горизонтальной плоскости.

a) Найдите параметры решётки, то есть расстояние между штырями, её ориентацию и сдвиг фаз между электрическими сигналами, подаваемыми на штыри, при которых расстояние между штырями минимально.

b) Найдите численное решение, если у юноши есть радиостанция, работающая на частоте 27 МГц, и он устанавливает антенную решётку в Портороже. По карте он определил, что углы между направлением на север и направлениями на A (Копер) и на B (небольшой город Буе в Истрии) равны соответственно \(72^\circ\) и \(157^\circ\).

Условие переведено с официального английского текста.

По длинному бруску из полупроводника InSb, имеющему форму прямоугольного параллелепипеда с рёбрами \(a\), \(b\) и \(c\) (\(a\gg b\gg c\)), течёт ток \(I\), параллельный ребру \(a\). Брусок находится во внешнем магнитном поле \(B\), параллельном ребру \(c\). Магнитным полем, создаваемым током \(I\), можно пренебречь. Носителями тока являются электроны. Средняя скорость электронов в полупроводнике при наличии только электрического поля равна \(v=\mu E\), где \(\mu\) называется подвижностью. Если присутствует также магнитное поле, электрическое поле перестаёт быть параллельным току. Это явление известно как эффект Холла.

a) Определите величину и направление электрического поля в бруске, при которых в нём течёт описанный выше ток.

b) Вычислите разность электрических потенциалов между противоположными точками на поверхностях бруска в направлении ребра \(b\).

c) Найдите аналитическое выражение для постоянной составляющей разности электрических потенциалов в случае b), если ток и магнитное поле являются переменными; \(I=I_0\sin\omega t\) и \(B=B_0\sin(\omega t+\delta)\).

d) Разработайте и объясните электрическую схему, которая позволяла бы, используя результат c), измерять мощность, потребляемую электрическим прибором, подключённым к сети переменного тока.

Данные: Подвижность электронов в InSb равна \(7.8\ \mathrm{m^2T/Vs}\), концентрация электронов в InSb равна \(2.5\cdot10^{22}\ \mathrm{m^{-3}}\), \(I=1.0\ \mathrm A\), \(B=0.10\ \mathrm T\), \(b=1.0\ \mathrm{cm}\), \(c=1.0\ \mathrm{mm}\), \(e_0=-1.6\cdot10^{-19}\ \mathrm{As}\).

Условие переведено с официального английского текста.

В рамках проекта космических исследований обсуждаются две схемы запуска космического зонда за пределы Солнечной системы. Первая схема (i) состоит в том, чтобы сообщить зонду скорость, достаточную для непосредственного выхода из Солнечной системы. Согласно второй схеме (ii), зонд должен приблизиться к одной из внешних планет и с её помощью изменить направление движения и достичь скорости, необходимой для выхода из Солнечной системы. Считайте, что зонд движется под действием гравитационного поля только Солнца или только планеты — в зависимости от того, какое из этих полей сильнее в данной точке.

a) Определите минимальную скорость, которую следует сообщить зонду при запуске по схеме (i), и её направление относительно направления движения Земли.

b) Предположим, что зонд был запущен в направлении, определённом в a), но с другой скоростью. Определите скорость зонда при пересечении орбиты Марса, то есть её составляющие, параллельную и перпендикулярную этой орбите. В момент пересечения Марс не находится вблизи точки пересечения.

c) Пусть зонд входит в гравитационное поле Марса. Найдите минимальную скорость запуска с Земли, необходимую для выхода зонда из Солнечной системы.

Указание: Из результата a) вам известны оптимальные модуль и направление скорости зонда, необходимые для выхода из Солнечной системы после того, как он покинет гравитационное поле Марса. (Точное положение Марса во время сближения учитывать не требуется.) Найдите связь между этой скоростью и составляющими скорости перед входом зонда в гравитационное поле Марса, то есть составляющими, определёнными в b). Что можно сказать о сохранении энергии зонда?

d) Оцените максимально возможную относительную экономию энергии при использовании схемы (ii) по сравнению со схемой (i). Примечания: Считайте, что все планеты обращаются вокруг Солнца по круговым орбитам в одном направлении и в одной плоскости. Пренебрегите сопротивлением воздуха, вращением Земли вокруг своей оси, а также энергией, затрачиваемой на преодоление гравитационного притяжения Земли.

Данные: Скорость движения Земли вокруг Солнца равна 30 км/с, а отношение расстояний от Земли и Марса до Солнца равно 2/3.

Условие переведено с официального английского текста.

يقيم شاب من هواة الراديو وصلة راديوية مع فتاتين تعيشان في بلدتين. ويضع مصفوفة هوائيات بحيث تتلقى الفتاة التي تعيش في البلدة A إشارة عظمى، في حين لا تتلقى الفتاة التي تعيش في البلدة B أي إشارة، والعكس صحيح. تتكون المصفوفة من هوائيين قضيبيين رأسيين يرسلان بشدتين متساويتين وبانتظام في جميع الاتجاهات في المستوى الأفقي.

a) أوجد معلمات المصفوفة، أي المسافة بين القضيبين، واتجاهها، وفرق الطور بين الإشارتين الكهربائيتين المغذيتين للقضيبين، بحيث تكون المسافة بين القضيبين أصغر ما يمكن.

b) أوجد الحل العددي إذا كان لدى الشاب محطة راديوية ترسل بتردد 27 MHz، وكان يقيم مصفوفة الهوائيات في بورتوروج. وقد وجد باستخدام الخريطة أن الزاويتين بين اتجاه الشمال واتجاه كل من A (كوبر) وB (بلدة بويه الصغيرة في إستريا) هما \(72^\circ\) و\(157^\circ\)، على الترتيب.

نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي.

يمر تيار \(I\) في قضيب طويل مصنوع من شبه الموصل InSb، على شكل متوازي مستطيلات أبعاده \(a\)، و\(b\)، و\(c\) (\(a\gg b\gg c\))، ويكون التيار موازيًا للحافة \(a\). يوجد القضيب في مجال مغناطيسي خارجي \(B\) موازٍ للحافة \(c\). يمكن إهمال المجال المغناطيسي الناتج عن التيار \(I\). حاملات التيار هي الإلكترونات. مقدار السرعة المتوسطة للإلكترونات في شبه موصل عند وجود مجال كهربائي فقط هو \(v=\mu E\)، حيث تُسمّى \(\mu\) الحركية. وإذا وُجد مجال مغناطيسي أيضًا، لم يعد المجال الكهربائي موازيًا للتيار. تُعرف هذه الظاهرة بتأثير هول.

a) حدّد مقدار المجال الكهربائي واتجاهه في القضيب بحيث ينتج التيار الموصوف أعلاه.

b) احسب فرق الجهد الكهربائي بين النقطتين المتقابلتين على سطحي القضيب في اتجاه الحافة \(b\).

c) أوجد التعبير التحليلي للمركّبة المستمرة (DC) لفرق الجهد الكهربائي في الحالة b) إذا كان التيار والمجال المغناطيسي متناوبين (AC)؛ \(I=I_0\sin\omega t\) و\(B=B_0\sin(\omega t+\delta)\).

d) صمّم واشرح دائرة كهربائية تتيح، باستغلال نتيجة c)، قياس القدرة التي يستهلكها جهاز كهربائي موصول بشبكة التيار المتناوب.

المعطيات: حركية الإلكترونات في InSb هي \(7.8\ \mathrm{m^2T/Vs}\)، وتركيز الإلكترونات في InSb هو \(2.5\cdot10^{22}\ \mathrm{m^{-3}}\)، و\(I=1.0\ \mathrm A\)، و\(B=0.10\ \mathrm T\)، و\(b=1.0\ \mathrm{cm}\)، و\(c=1.0\ \mathrm{mm}\)، و\(e_0=-1.6\cdot10^{-19}\ \mathrm{As}\).

نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي.

تجري في مشروع للبحوث الفضائية مناقشة خطتين لإطلاق مسبار فضائي إلى خارج النظام الشمسي. تتمثل الخطة الأولى (i) في إطلاق المسبار بسرعة كبيرة بما يكفي للإفلات من النظام الشمسي مباشرة. أما وفقًا للخطة الثانية (ii)، فيقترب المسبار من أحد الكواكب الخارجية، ويغيّر بمساعدته اتجاه حركته ويبلغ السرعة اللازمة للإفلات من النظام الشمسي. افترض أن المسبار يتحرك تحت تأثير مجال جاذبية الشمس وحدها أو الكوكب وحده، بحسب أي المجالين أقوى عند النقطة المعنية.

a) حدّد أدنى سرعة ينبغي إكسابها للمسبار عند إطلاقه وفقًا للخطة (i)، واتجاهها بالنسبة إلى حركة الأرض.

b) افترض أن المسبار أُطلق في الاتجاه المحدّد في a)، ولكن بسرعة أخرى. حدّد سرعة المسبار عندما يعبر مدار المريخ، أي مركبتيها الموازية لهذا المدار والعمودية عليه. لا يكون المريخ قريبًا من نقطة العبور عند حدوث العبور.

c) ليدخل المسبار مجال جاذبية المريخ. أوجد أدنى سرعة إطلاق من الأرض تلزم المسبار للإفلات من النظام الشمسي.

تلميح: تعرف من نتيجة a) المقدار الأمثل لسرعة المسبار واتجاهها اللازمين للإفلات من النظام الشمسي بعد مغادرة مجال جاذبية المريخ. (لا داعي للاهتمام بموضع المريخ الدقيق أثناء اللقاء.) أوجد العلاقة بين هذه السرعة ومركبتي السرعة قبل دخول المسبار مجال جاذبية المريخ؛ أي المركبتين اللتين حدّدتهما في b). ماذا عن انحفاظ طاقة المسبار؟

d) قدّر أكبر وفر نسبي ممكن في الطاقة في الخطة (ii) مقارنة بالخطة (i). ملاحظات: افترض أن جميع الكواكب تدور حول الشمس في مدارات دائرية، في الاتجاه نفسه وفي المستوى نفسه. أهمل مقاومة الهواء، ودوران الأرض حول محورها، وكذلك الطاقة المستخدمة في الإفلات من مجال جاذبية الأرض.

المعطيات: سرعة الأرض حول الشمس هي 30 km/s، ونسبة بُعد الأرض عن الشمس إلى بُعد المريخ عنها هي 2/3.

نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي.