A static container of mass \(M\) and cylindrical shape is placed in vacuum. One of its ends is closed. A fixed piston of mass \(m\) and negligible width separates the volume of the container into two equal parts. The closed part contains \(n\) moles of monoatomic perfect gas with molar mass \(M_0\) and temperature \(T\). After releasing of the piston, it leaves the container without friction. After that the gas also leaves the container. What is the final velocity of the container?

The gas constant is \(R\). The momentum of the gas up to the leaving of the piston can be neglected. There is no heat exchange between the gas, container and the piston. The change of the temperature of the gas, when it leaves the container, can be neglected. Do not account for the gravitation of the Earth.

Official English text of the problem.

An electric lamp of resistance \(R_0 = 2\ \Omega\) working at nominal voltage \(U_0 = 4.5\ \mathrm{V}\) is connected to accumulator of electromotive force E = 6 V and negligible internal resistance.

1. The nominal voltage of the lamp is ensured as the lamp is connected potentiometrically to the accumulator using a rheostat with resistance \(R\). What should be the resistance \(R\) and what is the maximal electric current \(I_{\max}\), flowing in the rheostat, if the efficiency of the system must not be smaller than \(\eta_0 = 0.6\)?

2. What is the maximal possible efficiency \(\eta\) of the system and how the lamp can be connected to the rheostat in this case?

Official English text of the problem.

A detector of radiowaves in a radioastronomical observatory is placed on the sea beach at height \(h = 2\) m above the sea level. After the rise of a star, radiating electromagnetic waves of wavelength \(\lambda = 21\) cm, above the horizont the detector registers series of alternating maxima and minima. The registered signal is proportional to the intensity of the detected waves. The detector registers waves with electric vector, vibrating in a direction parallel to the sea surface.

1. Determine the angle between the star and the horizont in the moment when the detector registers maxima and minima (in general form).

2. Does the signal decrease or increase just after the rise of the star?

3. Determine the signal ratio of the first maximum to the next minimum. At reflection of the electromagnetic wave on the water surface, the ratio of the intensities of the electric field of the reflected (\(E_r\)) and incident (\(E_i\)) wave follows the low:

\[ \frac{E_r}{E_i}=\frac{n-\cos\varphi}{n+\cos\varphi}, \]

where \(n\) is the refraction index and \(\varphi\) is the incident angle of the wave. For the surface “air-water” for \(\lambda = 21\) cm, the refraction index \(n = 9\).

4. Does the ratio of the intensities of consecutive maxima and minima increase or decrease with rising of the star?

Assume that the sea surface is flat.

Official English text of the problem.

Ein ruhender zylindrischer Behälter der Masse \(M\) befindet sich im Vakuum. Eines seiner Enden ist geschlossen. Ein festgehaltener Kolben der Masse \(m\) und vernachlässigbarer Dicke teilt das Volumen des Behälters in zwei gleiche Teile. Der geschlossene Teil enthält \(n\) Mol eines einatomigen idealen Gases mit der molaren Masse \(M_0\) und der Temperatur \(T\). Nach seiner Freigabe verlässt der Kolben den Behälter reibungsfrei. Danach verlässt auch das Gas den Behälter. Wie groß ist die Endgeschwindigkeit des Behälters?

Die Gaskonstante ist \(R\). Der Impuls des Gases kann bis zum Austritt des Kolbens vernachlässigt werden. Zwischen dem Gas, dem Behälter und dem Kolben findet kein Wärmeaustausch statt. Die Temperaturänderung des Gases beim Verlassen des Behälters kann vernachlässigt werden. Die Erdgravitation ist nicht zu berücksichtigen.

Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt.

Eine elektrische Lampe mit dem Widerstand \(R_0 = 2\ \Omega\), die bei der Nennspannung \(U_0 = 4.5\ \mathrm{V}\) betrieben wird, ist an einen Akkumulator mit der elektromotorischen Kraft E = 6 V und vernachlässigbarem Innenwiderstand angeschlossen.

1. Die Nennspannung der Lampe wird dadurch sichergestellt, dass die Lampe mithilfe eines Schiebewiderstands mit dem Widerstand \(R\) in einer Potentiometerschaltung an den Akkumulator angeschlossen wird. Wie groß muss der Widerstand \(R\) sein, und wie groß ist der maximale elektrische Strom \(I_{\max}\), der im Schiebewiderstand fließt, wenn der Wirkungsgrad des Systems nicht kleiner als \(\eta_0 = 0.6\) sein darf?

2. Wie groß ist der maximal mögliche Wirkungsgrad \(\eta\) des Systems, und wie kann die Lampe in diesem Fall an den Schiebewiderstand angeschlossen werden?

Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt.

Ein Detektor für Radiowellen in einem radioastronomischen Observatorium befindet sich am Meeresstrand in einer Höhe von \(h = 2\) m über dem Meeresspiegel. Nachdem ein Stern, der elektromagnetische Wellen der Wellenlänge \(\lambda = 21\) cm aussendet, über dem Horizont aufgegangen ist, registriert der Detektor eine Folge abwechselnder Maxima und Minima. Das registrierte Signal ist proportional zur Intensität der empfangenen Wellen. Der Detektor registriert Wellen, deren elektrischer Feldvektor parallel zur Meeresoberfläche schwingt.

1. Bestimmen Sie den Winkel zwischen dem Stern und dem Horizont zu den Zeitpunkten, zu denen der Detektor Maxima und Minima registriert (in allgemeiner Form).

2. Nimmt das Signal unmittelbar nach dem Aufgang des Sterns ab oder zu?

3. Bestimmen Sie das Verhältnis des Signals beim ersten Maximum zum Signal beim darauffolgenden Minimum. Bei der Reflexion der elektromagnetischen Welle an der Wasseroberfläche folgt das Verhältnis der elektrischen Feldstärken der reflektierten (\(E_r\)) und der einfallenden (\(E_i\)) Welle dem Gesetz:

\[ \frac{E_r}{E_i}=\frac{n-\cos\varphi}{n+\cos\varphi}, \]

wobei \(n\) der Brechungsindex und \(\varphi\) der Einfallswinkel der Welle ist. Für die Grenzfläche „Luft–Wasser“ beträgt der Brechungsindex bei \(\lambda = 21\) cm \(n = 9\).

4. Nimmt das Verhältnis der Intensitäten aufeinanderfolgender Maxima und Minima mit zunehmender Höhe des Sterns zu oder ab?

Nehmen Sie an, dass die Meeresoberfläche eben ist.

Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt.

Kütlesi \(M\) olan silindir biçimindeki durgun bir kap, vakum ortamına yerleştirilmiştir. Kabın bir ucu kapalıdır. Kütlesi \(m\) ve kalınlığı ihmal edilebilir olan, sabitlenmiş bir piston, kabın hacmini iki eşit kısma ayırır. Kapalı kısımda molar kütlesi \(M_0\) ve sıcaklığı \(T\) olan \(n\) mol tek atomlu ideal gaz bulunmaktadır. Piston serbest bırakıldığında sürtünmesiz olarak hareket ederek kaptan çıkar. Ardından gaz da kaptan çıkar. Kabın son hızı nedir?

Gaz sabiti \(R\)'dir. Piston kaptan çıkıncaya kadar gazın momentumu ihmal edilebilir. Gaz, kap ve piston arasında ısı alışverişi yoktur. Gaz kaptan çıkarken sıcaklığındaki değişim ihmal edilebilir. Dünya'nın kütle çekimini hesaba katmayın.

Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir.

Nominal gerilimi \(U_0 = 4.5\ \mathrm{V}\) olan ve bu gerilimde çalışan, direnci \(R_0 = 2\ \Omega\) olan bir elektrik lambası, elektromotor kuvveti E = 6 V ve iç direnci ihmal edilebilir olan bir akümülatöre bağlanmıştır.

1. Direnci \(R\) olan bir reosta kullanılarak lamba akümülatöre potansiyometrik olarak bağlandığında lambanın nominal gerilimde çalışması sağlanmaktadır. Sistemin veriminin \(\eta_0 = 0.6\) değerinden küçük olmaması için \(R\) direnci ne olmalıdır ve reostadan geçen en büyük elektrik akımı \(I_{\max}\) nedir?

2. Sistemin mümkün olan en büyük verimi \(\eta\) nedir ve bu durumda lamba reostaya nasıl bağlanabilir?

Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir.

Bir radyoastronomi gözlemevindeki radyo dalgası dedektörü, deniz kıyısında deniz seviyesinden \(h = 2\) m yükseğe yerleştirilmiştir. Dalga boyu \(\lambda = 21\) cm olan elektromanyetik dalgalar yayan bir yıldız ufkun üzerine çıktıktan sonra dedektör, art arda gelen maksimum ve minimumlardan oluşan bir dizi kaydeder. Kaydedilen sinyal, algılanan dalgaların şiddetiyle orantılıdır. Dedektör, elektrik alan vektörü deniz yüzeyine paralel bir doğrultuda titreşen dalgaları algılar.

1. Dedektörün maksimum ve minimumları kaydettiği anlarda yıldız ile ufuk arasındaki açıyı (genel biçimde) belirleyiniz.

2. Yıldız doğduktan hemen sonra sinyal azalır mı, artar mı?

3. İlk maksimumdaki sinyalin bir sonraki minimumdaki sinyale oranını belirleyiniz. Elektromanyetik dalganın su yüzeyinden yansıması sırasında, yansıyan (\(E_r\)) ve gelen (\(E_i\)) dalgaların elektrik alan şiddetlerinin oranı şu yasaya uyar:

\[ \frac{E_r}{E_i}=\frac{n-\cos\varphi}{n+\cos\varphi}, \]

burada \(n\) kırılma indisi, \(\varphi\) ise dalganın gelme açısıdır. “Hava-su” ara yüzeyi için \(\lambda = 21\) cm dalga boyunda kırılma indisi \(n = 9\)'dur.

4. Yıldız yükseldikçe ardışık maksimum ve minimumların şiddetlerinin oranı artar mı, azalır mı?

Deniz yüzeyinin düz olduğunu varsayınız.

Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir.

Un recipiente de masa \(M\) y forma cilíndrica se encuentra en reposo en el vacío. Uno de sus extremos está cerrado. Un pistón inmovilizado de masa \(m\) y espesor despreciable divide el volumen del recipiente en dos partes iguales. La parte cerrada contiene \(n\) moles de gas ideal monoatómico de masa molar \(M_0\) y temperatura \(T\). Tras liberar el pistón, este sale del recipiente sin rozamiento. Después, el gas también sale del recipiente. ¿Cuál es la velocidad final del recipiente?

La constante de los gases es \(R\). Puede despreciarse la cantidad de movimiento del gas hasta que el pistón sale del recipiente. No hay intercambio de calor entre el gas, el recipiente y el pistón. Puede despreciarse el cambio de temperatura del gas al salir del recipiente. No se tenga en cuenta la gravedad terrestre.

Enunciado traducido del texto oficial en inglés.

Una lámpara eléctrica de resistencia \(R_0 = 2\ \Omega\), que funciona a una tensión nominal \(U_0 = 4.5\ \mathrm{V}\), está conectada a un acumulador de fuerza electromotriz E = 6 V y resistencia interna despreciable.

1. La tensión nominal de la lámpara se garantiza conectándola al acumulador mediante un reóstato de resistencia \(R\) en una conexión potenciométrica. ¿Cuál debe ser la resistencia \(R\) y cuál es la corriente eléctrica máxima \(I_{\max}\) que circula por el reóstato, si el rendimiento del sistema no debe ser inferior a \(\eta_0 = 0.6\)?

2. ¿Cuál es el máximo rendimiento posible \(\eta\) del sistema y cómo puede conectarse la lámpara al reóstato en este caso?

Enunciado traducido del texto oficial en inglés.

Un detector de ondas de radio de un observatorio radioastronómico está situado en una playa a una altura de \(h = 2\) m sobre el nivel del mar. Tras la aparición sobre el horizonte de una estrella que emite ondas electromagnéticas de longitud de onda \(\lambda = 21\) cm, el detector registra una serie de máximos y mínimos alternos. La señal registrada es proporcional a la intensidad de las ondas detectadas. El detector registra ondas cuyo vector eléctrico oscila en una dirección paralela a la superficie del mar.

1. Determine el ángulo entre la estrella y el horizonte en el momento en que el detector registra máximos y mínimos (en forma general).

2. ¿Disminuye o aumenta la señal inmediatamente después de la aparición de la estrella sobre el horizonte?

3. Determine el cociente entre la señal del primer máximo y la del mínimo siguiente. Cuando la onda electromagnética se refleja en la superficie del agua, el cociente entre las intensidades del campo eléctrico de la onda reflejada (\(E_r\)) y de la onda incidente (\(E_i\)) obedece a la ley:

\[ \frac{E_r}{E_i}=\frac{n-\cos\varphi}{n+\cos\varphi}, \]

donde \(n\) es el índice de refracción y \(\varphi\) es el ángulo de incidencia de la onda. Para la interfaz «aire-agua», con \(\lambda = 21\) cm, el índice de refracción es \(n = 9\).

4. ¿Aumenta o disminuye el cociente entre las intensidades de máximos y mínimos consecutivos a medida que asciende la estrella?

Suponga que la superficie del mar es plana.

Enunciado traducido del texto oficial en inglés.

一个质量为 \(M\) 的静止圆柱形容器置于真空中。容器的一端封闭。一个质量为 \(m\)、厚度可忽略不计的固定活塞将容器的容积分成相等的两部分。封闭部分装有 \(n\) 摩尔的单原子理想气体，其摩尔质量为 \(M_0\)，温度为 \(T\)。释放活塞后，活塞无摩擦地离开容器。随后，气体也逸出容器。容器的最终速度是多少？

气体常量为 \(R\)。在活塞离开容器之前，气体的动量可以忽略不计。气体、容器和活塞之间没有热交换。气体逸出容器时的温度变化可以忽略不计。不考虑地球的引力。

题目译自官方英文原文。

一盏电阻为 \(R_0 = 2\ \Omega\)、额定电压为 \(U_0 = 4.5\ \mathrm{V}\) 的电灯接在电动势 E = 6 V、内阻可忽略不计的蓄电池上。

1. 用一个电阻为 \(R\) 的滑动变阻器，以分压方式将电灯接到蓄电池上，使电灯两端的电压保持为额定电压。如果系统的效率不得低于 \(\eta_0 = 0.6\)，那么电阻 \(R\) 应为多少，流过滑动变阻器的最大电流 \(I_{\max}\) 是多少？

2. 系统可能达到的最大效率 \(\eta\) 是多少？此时应如何将电灯与滑动变阻器连接？

题目译自官方英文原文。

一座射电天文台的无线电波探测器置于海滩上，距海平面的高度为 \(h = 2\) m。一颗辐射波长为 \(\lambda = 21\) cm 的电磁波的恒星升出地平线后，探测器记录到一系列交替出现的极大值和极小值。记录到的信号与探测到的波的强度成正比。探测器接收的波，其电场矢量沿平行于海面的方向振动。

1. 求探测器记录到极大值和极小值时，恒星与地平线之间的夹角（给出一般表达式）。

2. 恒星刚升出地平线后，信号是减小还是增大？

3. 求第一个极大值与紧随其后的极小值的信号之比。电磁波在水面反射时，反射波的电场强度（\(E_r\)）与入射波的电场强度（\(E_i\)）之比遵循下列规律：

\[ \frac{E_r}{E_i}=\frac{n-\cos\varphi}{n+\cos\varphi}, \]

其中，\(n\) 为折射率，\(\varphi\) 为波的入射角。对于“空气—水”界面，当 \(\lambda = 21\) cm 时，折射率为 \(n = 9\)。

4. 随着恒星升高，相邻极大值与极小值的强度之比是增大还是减小？

假设海面是平的。

题目译自官方英文原文。

Неподвижный сосуд массой \(M\), имеющий цилиндрическую форму, помещён в вакуум. Один из его торцов закрыт. Закреплённый поршень массой \(m\) и пренебрежимо малой толщины разделяет объём сосуда на две равные части. В закрытой части находится \(n\) молей одноатомного идеального газа с молярной массой \(M_0\) и температурой \(T\). После освобождения поршень без трения выходит из сосуда. Затем из сосуда выходит и газ. Какова конечная скорость сосуда?

Газовая постоянная равна \(R\). Импульсом газа до момента выхода поршня можно пренебречь. Теплообмен между газом, сосудом и поршнем отсутствует. Изменением температуры газа при его выходе из сосуда можно пренебречь. Притяжение Земли не учитывать.

Условие переведено с официального английского текста.

Электрическая лампа сопротивлением \(R_0 = 2\ \Omega\), работающая при номинальном напряжении \(U_0 = 4.5\ \mathrm{V}\), подключена к аккумулятору с электродвижущей силой E = 6 V и пренебрежимо малым внутренним сопротивлением.

1. Номинальное напряжение на лампе обеспечивается её подключением к аккумулятору по потенциометрической схеме с помощью реостата сопротивлением \(R\). Каким должно быть сопротивление \(R\) и какова максимальная сила электрического тока \(I_{\max}\), протекающего через реостат, если КПД системы должен быть не меньше \(\eta_0 = 0.6\)?

2. Каков максимально возможный КПД \(\eta\) системы и как в этом случае следует подключить лампу к реостату?

Условие переведено с официального английского текста.

Детектор радиоволн радиоастрономической обсерватории расположен на морском берегу на высоте \(h = 2\) м над уровнем моря. После восхода над горизонтом звезды, излучающей электромагнитные волны с длиной волны \(\lambda = 21\) см, детектор регистрирует последовательность чередующихся максимумов и минимумов. Регистрируемый сигнал пропорционален интенсивности принимаемых волн. Детектор регистрирует волны, вектор электрического поля которых колеблется в направлении, параллельном поверхности моря.

1. Определите угол между направлением на звезду и горизонтом в моменты, когда детектор регистрирует максимумы и минимумы (в общем виде).

2. Уменьшается или увеличивается сигнал сразу после восхода звезды?

3. Определите отношение сигнала в первом максимуме к сигналу в следующем за ним минимуме. При отражении электромагнитной волны от поверхности воды отношение напряжённостей электрического поля отражённой (\(E_r\)) и падающей (\(E_i\)) волн подчиняется закону:

\[ \frac{E_r}{E_i}=\frac{n-\cos\varphi}{n+\cos\varphi}, \]

где \(n\) — показатель преломления, а \(\varphi\) — угол падения волны. Для границы раздела «воздух — вода» при \(\lambda = 21\) см показатель преломления \(n = 9\).

4. Увеличивается или уменьшается отношение интенсивностей в последовательных максимумах и минимумах по мере подъёма звезды над горизонтом?

Считайте поверхность моря плоской.

Условие переведено с официального английского текста.

يوضع وعاء ساكن كتلته \(M\) وشكله أسطواني في الفراغ. أحد طرفيه مغلق. يقسم مكبس مثبت كتلته \(m\) وسُمكه مهمل حجم الوعاء إلى جزأين متساويين. يحتوي الجزء المغلق على \(n\) مول من غاز مثالي أحادي الذرة، كتلته المولية \(M_0\) ودرجة حرارته \(T\). بعد تحرير المكبس، يخرج من الوعاء دون احتكاك. وبعد ذلك يخرج الغاز أيضًا من الوعاء. ما السرعة النهائية للوعاء؟

ثابت الغازات هو \(R\). يمكن إهمال كمية حركة الغاز حتى خروج المكبس. لا يحدث تبادل حراري بين الغاز والوعاء والمكبس. ويمكن إهمال تغير درجة حرارة الغاز عند خروجه من الوعاء. أهمل جاذبية الأرض.

نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي.

مصباح كهربائي مقاومته \(R_0 = 2\ \Omega\) ويعمل عند جهد اسمي \(U_0 = 4.5\ \mathrm{V}\)، موصول ببطارية قوتها الدافعة الكهربائية E = 6 V ومقاومتها الداخلية مهملة.

1. يُؤمَّن الجهد الاسمي للمصباح بتوصيله بالبطارية باستخدام مقاومة متغيرة مقدار مقاومتها \(R\) تعمل كمقسّم جهد. ما قيمة المقاومة \(R\) المطلوبة، وما أقصى تيار كهربائي \(I_{\max}\) يسري في المقاومة المتغيرة، إذا كان يجب ألا تقل كفاءة المنظومة عن \(\eta_0 = 0.6\)؟

2. ما أقصى كفاءة ممكنة \(\eta\) للمنظومة، وكيف يمكن توصيل المصباح بالمقاومة المتغيرة في هذه الحالة؟

نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي.

وُضع كاشف للموجات الراديوية في مرصد فلكي راديوي على شاطئ البحر على ارتفاع \(h = 2\ \mathrm{m}\) فوق مستوى سطح البحر. بعد طلوع نجم يشع موجات كهرومغناطيسية طولها الموجي \(\lambda = 21\ \mathrm{cm}\) فوق الأفق، يسجل الكاشف سلسلة من القيم العظمى والصغرى المتناوبة. تتناسب الإشارة المسجلة طرديًا مع شدة الموجات المكتشفة. يسجل الكاشف الموجات التي يهتز متجه مجالها الكهربائي في اتجاه موازٍ لسطح البحر.

1. حدد الزاوية بين اتجاه النجم والأفق في اللحظات التي يسجل فيها الكاشف القيم العظمى والصغرى (بصيغة عامة).

2. هل تنخفض الإشارة أم تزداد مباشرة بعد طلوع النجم؟

3. حدد نسبة الإشارة عند القيمة العظمى الأولى إلى الإشارة عند القيمة الصغرى التالية. عند انعكاس الموجة الكهرومغناطيسية على سطح الماء، تخضع نسبة شدتي المجال الكهربائي للموجة المنعكسة (\(E_r\)) والموجة الساقطة (\(E_i\)) للقانون:

\[ \frac{E_r}{E_i}=\frac{n-\cos\varphi}{n+\cos\varphi}, \]

حيث \(n\) هو معامل الانكسار و\(\varphi\) هي زاوية سقوط الموجة. بالنسبة إلى السطح الفاصل «هواء–ماء» عند \(\lambda = 21\ \mathrm{cm}\)، فإن معامل الانكسار هو \(n = 9\).

4. هل تزداد نسبة الشدتين عند القيم العظمى والصغرى المتتالية أم تنخفض مع ارتفاع النجم؟

افترض أن سطح البحر مستوٍ.

نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي.