IPhO 1969 · Theory problem 3
Charged ball hanging on the axis of a charged ring
A small charged ball of mass \(m\) and charge \(q\) is suspended from the highest point of a ring of radius \(R\) by means of an insulating cord of negligible mass. The ring is made of a rigid wire of negligible cross section and lies in a vertical plane. On the ring there is uniformly distributed charge \(Q\) of the same sign as \(q\). Determine the length \(l\) of the cord so as the equilibrium position of the ball lies on the symmetry axis perpendicular to the plane of the ring.
Find first the general solution a then for particular values \(Q=q=9.0\cdot10^{-8}\ \mathrm{C}\), \(R=5\ \mathrm{cm}\), \(m=1.0\ \mathrm{g}\), \(\varepsilon_0=8.9\cdot10^{-12}\ \mathrm{F/m}\).
Official English text of the problem.
Answers
- 3. For equilibrium on the axis away from the ring’s centre, \[ \boxed{l=\left(\frac{QqR}{4\pi\varepsilon_0mg}\right)^{1/3}}, \] provided \[ \frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0}>mgR^2. \] The two possible positions are at axial distances \(x=\pm\sqrt{l^2-R^2}\). For the given data, \[ \boxed{l\approx7.2\ \mathrm{cm}}. \] There is also the special central equilibrium \(l=R\), which always satisfies static force balance. For these data, it has \(l=5\ \mathrm{cm}\) and is unstable.
Solution
3. Treat the small ball as a point charge, take gravity as uniform, and use the prescribed uniform charge distribution on the ring. The massless cord exerts tension along its length.
Let \(O\) be the ring’s centre, \(A\) its highest point, and \(P\) the ball’s position on the perpendicular axis. First consider \(OP=x>0\). Since \(OA=R\) is perpendicular to \(OP\), \[ l^2=R^2+x^2. \]
By symmetry, the components of the electric field parallel to the ring’s plane cancel. Every charge element \(\mathrm dQ\) is a distance \(\sqrt{R^2+x^2}=l\) from the ball. Coulomb’s law therefore gives the resultant electric force along the axis: \[ F_{\mathrm e} =\int\frac{q\,\mathrm dQ}{4\pi\varepsilon_0l^2}\frac{x}{l} =\frac{Qq\,x}{4\pi\varepsilon_0l^3}. \] Because \(Qq>0\), this force points away from the ring.
The tension \(T\) points from \(P\) towards \(A\). Its upward component is \(TR/l\), and its component towards the ring’s plane is \(Tx/l\). Vertical and horizontal equilibrium require \[ \frac{TR}{l}=mg, \qquad \frac{Tx}{l}=\frac{Qq\,x}{4\pi\varepsilon_0l^3}. \] The first equation gives \(T/l=mg/R\). Substituting into the second and cancelling \(x\ne0\), \[ \frac{mg}{R}=\frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0l^3}, \] hence \[ \boxed{l=\left(\frac{QqR}{4\pi\varepsilon_0mg}\right)^{1/3}}. \]
A nonzero axial displacement requires \(l>R\), so this solution exists only if \[ \boxed{\frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0}>mgR^2}. \] When this holds, reflection symmetry gives two equilibrium positions, one on each side of the ring: \[ x=\pm\sqrt{\left(\frac{QqR}{4\pi\varepsilon_0mg}\right)^{2/3}-R^2}. \]
For the numerical calculation, use \(g=9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}\), \(R=0.050\ \mathrm m\), and \(m=1.0\times10^{-3}\ \mathrm{kg}\). Then \[ \frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0mgR^2}\approx2.96>1, \] so the required noncentral equilibrium exists. Its cord length is \[ l= \left[ \frac{(9.0\times10^{-8})^2(0.050)} {4\pi(8.9\times10^{-12})(1.0\times10^{-3})(9.8)} \right]^{1/3} =0.07176\ \mathrm m. \] Thus \[ \boxed{l\approx7.2\ \mathrm{cm}}. \] The corresponding distance from the ring’s centre is approximately \(5.1\ \mathrm{cm}\).
Finally, the cancellation of \(x\) excludes a separate case. At \(x=0\), the electric field vanishes by symmetry, and \(l=R\), \(T=mg\) give a central equilibrium for any charge magnitude. To check this case for the supplied data, displace the ball slightly perpendicular to the ring. To first order, the electric force is \(Qq\,x/(4\pi\varepsilon_0R^3)\), while the restoring horizontal tension is \(mgx/R\). Therefore, \[ F_x\simeq \left(\frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0R^3}-\frac{mg}{R}\right)x. \] The coefficient is positive for the given data, so this displacement grows: the central equilibrium is unstable.
The solution was checked against the official solution.
IPhO 1969 · Theorieaufgabe 3
Geladene Kugel auf der Achse eines geladenen Rings aufgehängt
Eine kleine geladene Kugel mit der Masse \(m\) und der Ladung \(q\) ist am höchsten Punkt eines Rings mit dem Radius \(R\) an einem isolierenden Faden vernachlässigbarer Masse aufgehängt. Der Ring besteht aus einem starren Draht mit vernachlässigbarem Querschnitt und liegt in einer vertikalen Ebene. Auf dem Ring ist die Ladung \(Q\) gleichmäßig verteilt; sie hat dasselbe Vorzeichen wie \(q\). Bestimmen Sie die Länge \(l\) des Fadens so, dass die Gleichgewichtslage der Kugel auf der senkrecht zur Ringebene stehenden Symmetrieachse liegt.
Ermitteln Sie zunächst die allgemeine Lösung und anschließend die Lösung für die konkreten Werte \(Q=q=9.0\cdot10^{-8}\ \mathrm{C}\), \(R=5\ \mathrm{cm}\), \(m=1.0\ \mathrm{g}\), \(\varepsilon_0=8.9\cdot10^{-12}\ \mathrm{F/m}\).
Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt.
Antworten
- 3. Für eine Gleichgewichtslage auf der Achse außerhalb des Ringmittelpunkts gilt \[ \boxed{l=\left(\frac{QqR}{4\pi\varepsilon_0mg}\right)^{1/3}}, \] sofern \[ \frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0}>mgR^2. \] Die beiden möglichen Positionen liegen bei den axialen Abständen \(x=\pm\sqrt{l^2-R^2}\). Für die gegebenen Werte ergibt sich \[ \boxed{l\approx7.2\ \mathrm{cm}}. \] Außerdem gibt es die besondere Gleichgewichtslage im Mittelpunkt mit \(l=R\), bei der stets statisches Kräftegleichgewicht herrscht. Für die vorliegenden Werte beträgt die Fadenlänge dabei \(l=5\ \mathrm{cm}\), und diese Gleichgewichtslage ist instabil.
Lösung
3. Wir behandeln die kleine Kugel als Punktladung, nehmen ein homogenes Schwerefeld an und verwenden die vorgegebene gleichmäßige Ladungsverteilung auf dem Ring. Der masselose Faden übt eine Zugkraft entlang seiner Längsrichtung aus.
Es seien \(O\) der Mittelpunkt des Rings, \(A\) sein höchster Punkt und \(P\) die Position der Kugel auf der senkrecht zur Ringebene stehenden Achse. Betrachten wir zunächst \(OP=x>0\). Da \(OA=R\) senkrecht auf \(OP\) steht, gilt \[ l^2=R^2+x^2. \]
Aufgrund der Symmetrie heben sich die zur Ringebene parallelen Komponenten des elektrischen Feldes auf. Jedes Ladungselement \(\mathrm dQ\) hat von der Kugel den Abstand \(\sqrt{R^2+x^2}=l\). Das Coulombsche Gesetz liefert daher für die resultierende elektrische Kraft entlang der Achse: \[ F_{\mathrm e} =\int\frac{q\,\mathrm dQ}{4\pi\varepsilon_0l^2}\frac{x}{l} =\frac{Qq\,x}{4\pi\varepsilon_0l^3}. \] Da \(Qq>0\) ist, weist diese Kraft vom Ring weg.
Die Fadenspannung \(T\) ist von \(P\) nach \(A\) gerichtet. Ihre nach oben gerichtete Komponente beträgt \(TR/l\), und ihre zur Ringebene gerichtete Komponente beträgt \(Tx/l\). Für das vertikale und horizontale Kräftegleichgewicht muss gelten: \[ \frac{TR}{l}=mg, \qquad \frac{Tx}{l}=\frac{Qq\,x}{4\pi\varepsilon_0l^3}. \] Die erste Gleichung ergibt \(T/l=mg/R\). Setzen wir dies in die zweite Gleichung ein und kürzen \(x\ne0\), erhalten wir \[ \frac{mg}{R}=\frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0l^3}, \] also \[ \boxed{l=\left(\frac{QqR}{4\pi\varepsilon_0mg}\right)^{1/3}}. \]
Eine von null verschiedene axiale Auslenkung erfordert \(l>R\), daher existiert diese Lösung nur, wenn \[ \boxed{\frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0}>mgR^2}. \] Ist diese Bedingung erfüllt, ergeben sich aufgrund der Spiegelsymmetrie zwei Gleichgewichtslagen, jeweils eine auf jeder Seite des Rings: \[ x=\pm\sqrt{\left(\frac{QqR}{4\pi\varepsilon_0mg}\right)^{2/3}-R^2}. \]
Für die numerische Berechnung verwenden wir \(g=9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}\), \(R=0.050\ \mathrm m\) und \(m=1.0\times10^{-3}\ \mathrm{kg}\). Dann gilt \[ \frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0mgR^2}\approx2.96>1, \] die gesuchte Gleichgewichtslage außerhalb des Mittelpunkts existiert also. Die zugehörige Fadenlänge beträgt \[ l= \left[ \frac{(9.0\times10^{-8})^2(0.050)} {4\pi(8.9\times10^{-12})(1.0\times10^{-3})(9.8)} \right]^{1/3} =0.07176\ \mathrm m. \] Somit ergibt sich \[ \boxed{l\approx7.2\ \mathrm{cm}}. \] Der entsprechende Abstand vom Ringmittelpunkt beträgt ungefähr \(5.1\ \mathrm{cm}\).
Schließlich ist zu beachten, dass durch das Kürzen von \(x\) ein gesonderter Fall ausgeschlossen wird. Bei \(x=0\) verschwindet das elektrische Feld aufgrund der Symmetrie, und \(l=R\), \(T=mg\) ergeben für jeden Ladungsbetrag eine Gleichgewichtslage im Mittelpunkt. Um diesen Fall für die angegebenen Werte zu untersuchen, lenken wir die Kugel geringfügig senkrecht zur Ringebene aus. In erster Ordnung beträgt die elektrische Kraft \(Qq\,x/(4\pi\varepsilon_0R^3)\), während die rücktreibende horizontale Komponente der Fadenspannung \(mgx/R\) beträgt. Daher gilt \[ F_x\simeq \left(\frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0R^3}-\frac{mg}{R}\right)x. \] Der Koeffizient ist für die gegebenen Werte positiv, sodass diese Auslenkung anwächst: Die Gleichgewichtslage im Mittelpunkt ist instabil.
Die Lösung wurde mit der offiziellen Lösung abgeglichen.
IPhO 1969 · Teori sorusu 3
Yüklü bir halkanın ekseni üzerinde asılı duran yüklü küre
Kütlesi \(m\) ve yükü \(q\) olan küçük bir yüklü küre, kütlesi ihmal edilebilir yalıtkan bir ip aracılığıyla yarıçapı \(R\) olan bir halkanın en yüksek noktasından asılmıştır. Halka, kesiti ihmal edilebilir rijit bir telden yapılmıştır ve düşey bir düzlemde bulunmaktadır. Halka üzerinde, \(q\) ile aynı işaretli \(Q\) yükü düzgün olarak dağılmıştır. Kürenin denge konumu, halkanın düzlemine dik olan simetri ekseni üzerinde olacak şekilde ipin \(l\) uzunluğunu belirleyiniz.
Önce genel çözümü, ardından \(Q=q=9.0\cdot10^{-8}\ \mathrm{C}\), \(R=5\ \mathrm{cm}\), \(m=1.0\ \mathrm{g}\), \(\varepsilon_0=8.9\cdot10^{-12}\ \mathrm{F/m}\) özel değerleri için çözümü bulunuz.
Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir.
Cevaplar
- 3. Eksen üzerinde halkanın merkezi dışında denge için, \[ \boxed{l=\left(\frac{QqR}{4\pi\varepsilon_0mg}\right)^{1/3}}, \] şu koşul sağlanmalıdır: \[ \frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0}>mgR^2. \] Olası iki konum, eksen boyunca \(x=\pm\sqrt{l^2-R^2}\) uzaklıklarındadır. Verilen değerler için, \[ \boxed{l\approx7.2\ \mathrm{cm}}. \] Ayrıca, statik kuvvet dengesini her zaman sağlayan \(l=R\) özel merkezî denge durumu da vardır. Verilen değerler için bu durumda \(l=5\ \mathrm{cm}\) olur ve denge kararsızdır.
Çözüm
3. Küçük küreyi noktasal bir yük olarak ele alalım, yer çekimi alanını düzgün kabul edelim ve halka için belirtilen düzgün yük dağılımını kullanalım. Kütlesiz ip, kendi doğrultusu boyunca gerilme kuvveti uygular.
Halkanın merkezi \(O\), en yüksek noktası \(A\) ve kürenin dik eksen üzerindeki konumu \(P\) olsun. Önce \(OP=x>0\) durumunu ele alalım. \(OA=R\), \(OP\)'ye dik olduğundan, \[ l^2=R^2+x^2. \]
Simetri gereği, elektrik alanın halkanın düzlemine paralel bileşenleri birbirini götürür. Her bir \(\mathrm dQ\) yük elemanının küreye uzaklığı \(\sqrt{R^2+x^2}=l\)'dir. Dolayısıyla Coulomb yasası, eksen doğrultusundaki bileşke elektrik kuvvetini şöyle verir: \[ F_{\mathrm e} =\int\frac{q\,\mathrm dQ}{4\pi\varepsilon_0l^2}\frac{x}{l} =\frac{Qq\,x}{4\pi\varepsilon_0l^3}. \] \(Qq>0\) olduğundan, bu kuvvet halkadan dışarıya doğru yönelmiştir.
\(T\) gerilme kuvveti \(P\)'den \(A\)'ya doğru yönelmiştir. Yukarı yönlü bileşeni \(TR/l\), halkanın düzlemine doğru olan bileşeni ise \(Tx/l\)'dir. Düşey ve yatay doğrultularda denge için \[ \frac{TR}{l}=mg, \qquad \frac{Tx}{l}=\frac{Qq\,x}{4\pi\varepsilon_0l^3}. \] İlk denklemden \(T/l=mg/R\) elde edilir. Bunu ikinci denklemde yerine koyup \(x\ne0\) çarpanını sadeleştirirsek, \[ \frac{mg}{R}=\frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0l^3}, \] ve buradan \[ \boxed{l=\left(\frac{QqR}{4\pi\varepsilon_0mg}\right)^{1/3}}. \]
Eksen boyunca sıfırdan farklı bir yer değiştirme için \(l>R\) olmalıdır; dolayısıyla bu çözüm yalnızca şu koşulda vardır: \[ \boxed{\frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0}>mgR^2}. \] Bu koşul sağlandığında, yansıma simetrisi gereği halkanın her iki tarafında birer tane olmak üzere iki denge konumu bulunur: \[ x=\pm\sqrt{\left(\frac{QqR}{4\pi\varepsilon_0mg}\right)^{2/3}-R^2}. \]
Sayısal hesaplama için \(g=9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}\), \(R=0.050\ \mathrm m\) ve \(m=1.0\times10^{-3}\ \mathrm{kg}\) değerlerini kullanalım. Böylece \[ \frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0mgR^2}\approx2.96>1, \] olduğundan, istenen merkez dışındaki denge konumu vardır. Bu konum için ipin uzunluğu \[ l= \left[ \frac{(9.0\times10^{-8})^2(0.050)} {4\pi(8.9\times10^{-12})(1.0\times10^{-3})(9.8)} \right]^{1/3} =0.07176\ \mathrm m. \] Böylece \[ \boxed{l\approx7.2\ \mathrm{cm}}. \] Buna karşılık gelen halkanın merkezine uzaklık yaklaşık \(5.1\ \mathrm{cm}\)'dir.
Son olarak, \(x\)'in sadeleştirilmesi ayrı bir durumu dışarıda bırakır. \(x=0\) konumunda elektrik alan simetri gereği sıfır olur ve \(l=R\), \(T=mg\) koşulları, yükün büyüklüğü ne olursa olsun merkezde bir denge sağlar. Verilen değerler için bu durumu incelemek üzere küreyi halkaya dik doğrultuda küçük bir miktar yer değiştirelim. Birinci mertebede elektrik kuvveti \(Qq\,x/(4\pi\varepsilon_0R^3)\), gerilme kuvvetinin geri çağırıcı yatay bileşeni ise \(mgx/R\)'dir. Dolayısıyla, \[ F_x\simeq \left(\frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0R^3}-\frac{mg}{R}\right)x. \] Verilen değerler için katsayı pozitiftir; bu nedenle söz konusu yer değiştirme büyür: merkezdeki denge kararsızdır.
Çözüm, resmi çözümle karşılaştırılarak kontrol edildi.
IPhO 1969 · Problema teórico 3
Esfera cargada suspendida sobre el eje de un anillo cargado
Una pequeña esfera cargada de masa \(m\) y carga \(q\) está suspendida del punto más alto de un anillo de radio \(R\) mediante un hilo aislante de masa despreciable. El anillo está hecho de un alambre rígido de sección transversal despreciable y se encuentra en un plano vertical. Sobre el anillo hay una carga \(Q\) uniformemente distribuida, del mismo signo que \(q\). Determine la longitud \(l\) del hilo para que la posición de equilibrio de la esfera se encuentre sobre el eje de simetría perpendicular al plano del anillo.
Obtenga primero la solución general y luego la correspondiente a los valores particulares \(Q=q=9.0\cdot10^{-8}\ \mathrm{C}\), \(R=5\ \mathrm{cm}\), \(m=1.0\ \mathrm{g}\), \(\varepsilon_0=8.9\cdot10^{-12}\ \mathrm{F/m}\).
Enunciado traducido del texto oficial en inglés.
Respuestas
- 3. Para el equilibrio sobre el eje fuera del centro del anillo, \[ \boxed{l=\left(\frac{QqR}{4\pi\varepsilon_0mg}\right)^{1/3}}, \] siempre que \[ \frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0}>mgR^2. \] Las dos posiciones posibles se encuentran a distancias axiales \(x=\pm\sqrt{l^2-R^2}\). Para los datos dados, \[ \boxed{l\approx7.2\ \mathrm{cm}}. \] Existe también el caso especial de equilibrio en el centro, \(l=R\), que siempre satisface el balance estático de fuerzas. Para estos datos, corresponde a \(l=5\ \mathrm{cm}\) y es inestable.
Solución
3. Se trata la pequeña esfera como una carga puntual, se considera uniforme la gravedad y se utiliza la distribución uniforme de carga indicada para el anillo. El hilo sin masa ejerce una tensión a lo largo de su longitud.
Sean \(O\) el centro del anillo, \(A\) su punto más alto y \(P\) la posición de la esfera sobre el eje perpendicular. Consideremos primero \(OP=x>0\). Como \(OA=R\) es perpendicular a \(OP\), \[ l^2=R^2+x^2. \]
Por simetría, las componentes del campo eléctrico paralelas al plano del anillo se anulan entre sí. Cada elemento de carga \(\mathrm dQ\) se encuentra a una distancia \(\sqrt{R^2+x^2}=l\) de la esfera. Por tanto, la ley de Coulomb da la fuerza eléctrica resultante a lo largo del eje: \[ F_{\mathrm e} =\int\frac{q\,\mathrm dQ}{4\pi\varepsilon_0l^2}\frac{x}{l} =\frac{Qq\,x}{4\pi\varepsilon_0l^3}. \] Como \(Qq>0\), esta fuerza apunta en sentido opuesto al anillo.
La tensión \(T\) apunta desde \(P\) hacia \(A\). Su componente hacia arriba es \(TR/l\), y su componente hacia el plano del anillo es \(Tx/l\). El equilibrio vertical y horizontal exige \[ \frac{TR}{l}=mg, \qquad \frac{Tx}{l}=\frac{Qq\,x}{4\pi\varepsilon_0l^3}. \] La primera ecuación da \(T/l=mg/R\). Sustituyendo en la segunda y simplificando el factor \(x\ne0\), \[ \frac{mg}{R}=\frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0l^3}, \] de donde \[ \boxed{l=\left(\frac{QqR}{4\pi\varepsilon_0mg}\right)^{1/3}}. \]
Un desplazamiento axial distinto de cero requiere \(l>R\), por lo que esta solución existe solo si \[ \boxed{\frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0}>mgR^2}. \] Cuando se cumple esta condición, la simetría de reflexión da dos posiciones de equilibrio, una a cada lado del anillo: \[ x=\pm\sqrt{\left(\frac{QqR}{4\pi\varepsilon_0mg}\right)^{2/3}-R^2}. \]
Para el cálculo numérico, se utilizan \(g=9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}\), \(R=0.050\ \mathrm m\) y \(m=1.0\times10^{-3}\ \mathrm{kg}\). Entonces \[ \frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0mgR^2}\approx2.96>1, \] por lo que existe el equilibrio requerido fuera del centro. La longitud del hilo correspondiente es \[ l= \left[ \frac{(9.0\times10^{-8})^2(0.050)} {4\pi(8.9\times10^{-12})(1.0\times10^{-3})(9.8)} \right]^{1/3} =0.07176\ \mathrm m. \] Por tanto, \[ \boxed{l\approx7.2\ \mathrm{cm}}. \] La distancia correspondiente al centro del anillo es aproximadamente \(5.1\ \mathrm{cm}\).
Finalmente, la simplificación del factor \(x\) excluye un caso que debe tratarse por separado. En \(x=0\), el campo eléctrico se anula por simetría, y \(l=R\), \(T=mg\) dan un equilibrio en el centro para cualquier magnitud de la carga. Para comprobar este caso con los datos proporcionados, desplacemos ligeramente la esfera en dirección perpendicular al anillo. A primer orden, la fuerza eléctrica es \(Qq\,x/(4\pi\varepsilon_0R^3)\), mientras que la componente horizontal restauradora de la tensión es \(mgx/R\). Por tanto, \[ F_x\simeq \left(\frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0R^3}-\frac{mg}{R}\right)x. \] El coeficiente es positivo para los datos dados, por lo que este desplazamiento aumenta: el equilibrio en el centro es inestable.
La solución se comprobó con la solución oficial.
IPhO 1969 · 理论题 3
悬挂在带电圆环轴线上的带电小球
一个质量为 \(m\)、电荷量为 \(q\) 的带电小球，用一根质量可忽略的绝缘细绳悬挂在半径为 \(R\) 的圆环的最高点。圆环由横截面可忽略的刚性金属丝制成，位于竖直平面内。圆环上均匀分布着电荷量为 \(Q\) 的电荷，其符号与 \(q\) 相同。求细绳的长度 \(l\)，使小球的平衡位置位于垂直于圆环平面的对称轴上。
先求一般解，再求取下列特定数值时的结果：\(Q=q=9.0\cdot10^{-8}\ \mathrm{C}\)、\(R=5\ \mathrm{cm}\)、\(m=1.0\ \mathrm{g}\)、\(\varepsilon_0=8.9\cdot10^{-12}\ \mathrm{F/m}\)。
题目译自官方英文原文。
答案
- 3. 对于轴线上不在圆环中心处的平衡位置， \[ \boxed{l=\left(\frac{QqR}{4\pi\varepsilon_0mg}\right)^{1/3}}, \] 条件是 \[ \frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0}>mgR^2. \] 两个可能位置的轴向坐标为 \(x=\pm\sqrt{l^2-R^2}\)。对于给定数据， \[ \boxed{l\approx7.2\ \mathrm{cm}}. \] 此外，还存在 \(l=R\) 这一特殊的中心平衡位置，它总能满足静力平衡条件。对于这些数据，该位置对应 \(l=5\ \mathrm{cm}\)，且是不稳定的。
解答
3. 将小球视为点电荷，认为重力场均匀，并采用题目规定的圆环上的均匀电荷分布。无质量细绳沿绳的方向施加张力。
设 \(O\) 为圆环中心，\(A\) 为其最高点，\(P\) 为小球在垂直于圆环平面的轴线上的位置。先考虑 \(OP=x>0\) 的情况。由于 \(OA=R\) 垂直于 \(OP\)， \[ l^2=R^2+x^2. \]
由对称性，电场平行于圆环平面的分量相互抵消。每个电荷元 \(\mathrm dQ\) 到小球的距离均为 \(\sqrt{R^2+x^2}=l\)。因此，由库仑定律可得沿轴线方向的合电场力： \[ F_{\mathrm e} =\int\frac{q\,\mathrm dQ}{4\pi\varepsilon_0l^2}\frac{x}{l} =\frac{Qq\,x}{4\pi\varepsilon_0l^3}. \] 由于 \(Qq>0\)，该力指向远离圆环的方向。
张力 \(T\) 从 \(P\) 指向 \(A\)。其竖直向上的分量为 \(TR/l\)，指向圆环平面的分量为 \(Tx/l\)。竖直方向和水平方向的平衡条件为 \[ \frac{TR}{l}=mg, \qquad \frac{Tx}{l}=\frac{Qq\,x}{4\pi\varepsilon_0l^3}. \] 由第一个方程得 \(T/l=mg/R\)。代入第二个方程，并约去 \(x\ne0\)，得 \[ \frac{mg}{R}=\frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0l^3}, \] 因此 \[ \boxed{l=\left(\frac{QqR}{4\pi\varepsilon_0mg}\right)^{1/3}}. \]
轴向位移非零要求 \(l>R\)，因此该解仅在下列条件下存在： \[ \boxed{\frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0}>mgR^2}. \] 当此条件成立时，由镜面对称性可知存在两个平衡位置，分别位于圆环的两侧： \[ x=\pm\sqrt{\left(\frac{QqR}{4\pi\varepsilon_0mg}\right)^{2/3}-R^2}. \]
进行数值计算时，取 \(g=9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}\)、\(R=0.050\ \mathrm m\) 和 \(m=1.0\times10^{-3}\ \mathrm{kg}\)。于是 \[ \frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0mgR^2}\approx2.96>1, \] 因此，所要求的非中心平衡位置存在。其对应的绳长为 \[ l= \left[ \frac{(9.0\times10^{-8})^2(0.050)} {4\pi(8.9\times10^{-12})(1.0\times10^{-3})(9.8)} \right]^{1/3} =0.07176\ \mathrm m. \] 因此 \[ \boxed{l\approx7.2\ \mathrm{cm}}. \] 此时小球到圆环中心的距离约为 \(5.1\ \mathrm{cm}\)。
最后，约去 \(x\) 排除了一种需要单独讨论的情况。在 \(x=0\) 处，由对称性可知电场为零，且对于任意电荷量大小，\(l=R\)、\(T=mg\) 都给出一个中心平衡位置。为检验给定数据下这一平衡位置的稳定性，让小球沿垂直于圆环平面的方向发生微小位移。在一阶近似下，电场力为 \(Qq\,x/(4\pi\varepsilon_0R^3)\)，而起恢复作用的水平张力分量为 \(mgx/R\)。因此， \[ F_x\simeq \left(\frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0R^3}-\frac{mg}{R}\right)x. \] 对于给定数据，该系数为正，因此这一位移会增大：中心平衡是不稳定的。
解答已与官方解答核对。
IPhO 1969 · Теоретическая задача 3
Заряженный шарик, подвешенный на оси заряженного кольца
Маленький заряженный шарик массой \(m\) и с зарядом \(q\) подвешен к верхней точке кольца радиусом \(R\) на непроводящей нити пренебрежимо малой массы. Кольцо изготовлено из жёсткой проволоки пренебрежимо малого поперечного сечения и расположено в вертикальной плоскости. По кольцу равномерно распределён заряд \(Q\) того же знака, что и \(q\). Определите длину \(l\) нити, при которой положение равновесия шарика находится на оси симметрии, перпендикулярной плоскости кольца.
Сначала найдите решение в общем виде, а затем для конкретных значений \(Q=q=9.0\cdot10^{-8}\ \mathrm{C}\), \(R=5\ \mathrm{cm}\), \(m=1.0\ \mathrm{g}\), \(\varepsilon_0=8.9\cdot10^{-12}\ \mathrm{F/m}\).
Условие переведено с официального английского текста.
Ответы
- 3. Для равновесия на оси вне центра кольца \[ \boxed{l=\left(\frac{QqR}{4\pi\varepsilon_0mg}\right)^{1/3}}, \] при условии \[ \frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0}>mgR^2. \] Два возможных положения имеют координаты вдоль оси \(x=\pm\sqrt{l^2-R^2}\). Для заданных значений \[ \boxed{l\approx7.2\ \mathrm{cm}}. \] Существует также особое положение равновесия в центре при \(l=R\), в котором условие статического равновесия сил выполняется всегда. Для заданных значений ему соответствует \(l=5\ \mathrm{cm}\), и это равновесие неустойчиво.
Решение
3. Будем считать маленький шарик точечным зарядом, поле тяжести — однородным и использовать заданное равномерное распределение заряда по кольцу. Невесомая нить действует на шарик силой натяжения, направленной вдоль неё.
Пусть \(O\) — центр кольца, \(A\) — его верхняя точка, а \(P\) — положение шарика на оси, перпендикулярной плоскости кольца. Сначала рассмотрим \(OP=x>0\). Поскольку \(OA=R\) перпендикулярно \(OP\), \[ l^2=R^2+x^2. \]
В силу симметрии составляющие напряжённости электрического поля, параллельные плоскости кольца, взаимно компенсируются. Каждый элемент заряда \(\mathrm dQ\) находится на расстоянии \(\sqrt{R^2+x^2}=l\) от шарика. Поэтому по закону Кулона результирующая электрическая сила, направленная вдоль оси, равна \[ F_{\mathrm e} =\int\frac{q\,\mathrm dQ}{4\pi\varepsilon_0l^2}\frac{x}{l} =\frac{Qq\,x}{4\pi\varepsilon_0l^3}. \] Поскольку \(Qq>0\), эта сила направлена от кольца.
Сила натяжения \(T\) направлена из \(P\) к \(A\). Её составляющая, направленная вверх, равна \(TR/l\), а составляющая, направленная к плоскости кольца, равна \(Tx/l\). Условия равновесия по вертикали и горизонтали имеют вид \[ \frac{TR}{l}=mg, \qquad \frac{Tx}{l}=\frac{Qq\,x}{4\pi\varepsilon_0l^3}. \] Из первого уравнения получаем \(T/l=mg/R\). Подставляя это выражение во второе уравнение и сокращая на \(x\ne0\), получаем \[ \frac{mg}{R}=\frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0l^3}, \] откуда \[ \boxed{l=\left(\frac{QqR}{4\pi\varepsilon_0mg}\right)^{1/3}}. \]
Для ненулевого смещения вдоль оси необходимо \(l>R\), поэтому это решение существует только при условии \[ \boxed{\frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0}>mgR^2}. \] Если это условие выполняется, то в силу зеркальной симметрии существуют два положения равновесия, по одному с каждой стороны кольца: \[ x=\pm\sqrt{\left(\frac{QqR}{4\pi\varepsilon_0mg}\right)^{2/3}-R^2}. \]
Для численного расчёта используем \(g=9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}\), \(R=0.050\ \mathrm m\) и \(m=1.0\times10^{-3}\ \mathrm{kg}\). Тогда \[ \frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0mgR^2}\approx2.96>1, \] так что искомое положение равновесия вне центра существует. Соответствующая длина нити равна \[ l= \left[ \frac{(9.0\times10^{-8})^2(0.050)} {4\pi(8.9\times10^{-12})(1.0\times10^{-3})(9.8)} \right]^{1/3} =0.07176\ \mathrm m. \] Таким образом, \[ \boxed{l\approx7.2\ \mathrm{cm}}. \] Соответствующее расстояние от центра кольца составляет приблизительно \(5.1\ \mathrm{cm}\).
Наконец, сокращение на \(x\) исключает отдельный случай. При \(x=0\) напряжённость электрического поля равна нулю в силу симметрии, а \(l=R\), \(T=mg\) обеспечивают равновесие в центре при любой величине заряда. Чтобы проверить этот случай для заданных значений, немного сместим шарик перпендикулярно плоскости кольца. В первом приближении по смещению электрическая сила равна \(Qq\,x/(4\pi\varepsilon_0R^3)\), а возвращающая горизонтальная составляющая силы натяжения равна \(mgx/R\). Следовательно, \[ F_x\simeq \left(\frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0R^3}-\frac{mg}{R}\right)x. \] Для заданных значений коэффициент положителен, поэтому это смещение увеличивается: равновесие в центре неустойчиво.
Решение проверено по официальному решению.
IPhO 1969 · مسألة نظرية 3
كرة مشحونة معلّقة على محور حلقة مشحونة
تُعلَّق كرة صغيرة مشحونة كتلتها \(m\) وشحنتها \(q\) من أعلى نقطة في حلقة نصف قطرها \(R\)، بواسطة خيط عازل كتلته مهملة. تتكوّن الحلقة من سلك صلب ذي مقطع عرضي مهمل، وتقع في مستوى رأسي. تتوزّع على الحلقة بانتظام شحنة \(Q\) من الإشارة نفسها لشحنة \(q\). أوجد طول الخيط \(l\) بحيث يقع موضع اتزان الكرة على محور التناظر العمودي على مستوى الحلقة.
أوجد أولًا الحل العام، ثم الحل للقيم الخاصة \(Q=q=9.0\cdot10^{-8}\ \mathrm{C}\)، \(R=5\ \mathrm{cm}\)، \(m=1.0\ \mathrm{g}\)، \(\varepsilon_0=8.9\cdot10^{-12}\ \mathrm{F/m}\).
نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي.
الإجابات
- 3. للاتزان على المحور بعيدًا عن مركز الحلقة، \[ \boxed{l=\left(\frac{QqR}{4\pi\varepsilon_0mg}\right)^{1/3}}, \] بشرط أن \[ \frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0}>mgR^2. \] يقع الموضعان الممكنان عند إزاحتين محوريتين \(x=\pm\sqrt{l^2-R^2}\). وللمعطيات المحدّدة، \[ \boxed{l\approx7.2\ \mathrm{cm}}. \] توجد أيضًا حالة الاتزان الخاصة عند المركز، حيث \(l=R\)، وهي تحقّق دائمًا توازن القوى الساكن. ولهذه المعطيات، يكون فيها \(l=5\ \mathrm{cm}\)، ويكون هذا الاتزان غير مستقر.
الحل
3. نعامل الكرة الصغيرة بوصفها شحنة نقطية، ونفترض أن مجال الجاذبية منتظم، ونستخدم التوزيع المنتظم المعطى للشحنة على الحلقة. يؤثّر الخيط عديم الكتلة بقوة شد على امتداد طوله.
لتكن \(O\) مركز الحلقة، و\(A\) أعلى نقطة فيها، و\(P\) موضع الكرة على المحور العمودي. ندرس أولًا الحالة \(OP=x>0\). بما أن \(OA=R\) عمودي على \(OP\)، فإن \[ l^2=R^2+x^2. \]
بفعل التناظر، تتلاشى مركّبات المجال الكهربائي الموازية لمستوى الحلقة. يبعد كل عنصر شحنة \(\mathrm dQ\) مسافة \(\sqrt{R^2+x^2}=l\) عن الكرة. ومن ثم يعطي قانون كولوم محصّلة القوة الكهربائية على امتداد المحور: \[ F_{\mathrm e} =\int\frac{q\,\mathrm dQ}{4\pi\varepsilon_0l^2}\frac{x}{l} =\frac{Qq\,x}{4\pi\varepsilon_0l^3}. \] ولأن \(Qq>0\)، تتجه هذه القوة بعيدًا عن الحلقة.
تتجه قوة الشد \(T\) من \(P\) نحو \(A\). مركّبتها المتجهة إلى أعلى هي \(TR/l\)، ومركّبتها المتجهة نحو مستوى الحلقة هي \(Tx/l\). ويقتضي الاتزان الرأسي والأفقي أن \[ \frac{TR}{l}=mg, \qquad \frac{Tx}{l}=\frac{Qq\,x}{4\pi\varepsilon_0l^3}. \] تعطي المعادلة الأولى \(T/l=mg/R\). وبالتعويض في المعادلة الثانية واختزال \(x\ne0\)، نحصل على \[ \frac{mg}{R}=\frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0l^3}, \] ومن ثم \[ \boxed{l=\left(\frac{QqR}{4\pi\varepsilon_0mg}\right)^{1/3}}. \]
تتطلّب الإزاحة المحورية غير الصفرية أن يكون \(l>R\)، لذا لا يوجد هذا الحل إلا إذا كان \[ \boxed{\frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0}>mgR^2}. \] عندما يتحقّق هذا الشرط، يعطي التناظر بالانعكاس موضعي اتزان، أحدهما على كل جانب من الحلقة: \[ x=\pm\sqrt{\left(\frac{QqR}{4\pi\varepsilon_0mg}\right)^{2/3}-R^2}. \]
للحساب العددي، نستخدم \(g=9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}\)، و\(R=0.050\ \mathrm m\)، و\(m=1.0\times10^{-3}\ \mathrm{kg}\). عندئذ \[ \frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0mgR^2}\approx2.96>1, \] ومن ثم يوجد الاتزان المطلوب خارج المركز. ويكون طول الخيط في هذه الحالة \[ l= \left[ \frac{(9.0\times10^{-8})^2(0.050)} {4\pi(8.9\times10^{-12})(1.0\times10^{-3})(9.8)} \right]^{1/3} =0.07176\ \mathrm m. \] إذن \[ \boxed{l\approx7.2\ \mathrm{cm}}. \] وتبلغ المسافة المقابلة من مركز الحلقة نحو \(5.1\ \mathrm{cm}\).
أخيرًا، يستبعد اختزال \(x\) حالةً مستقلة. عند \(x=0\)، ينعدم المجال الكهربائي بفعل التناظر، وتعطي العلاقتان \(l=R\)، و\(T=mg\) اتزانًا عند المركز لأي مقدار للشحنة. لفحص هذه الحالة للمعطيات المقدّمة، نزيح الكرة قليلًا في اتجاه عمودي على الحلقة. في التقريب من الرتبة الأولى، تكون القوة الكهربائية \(Qq\,x/(4\pi\varepsilon_0R^3)\)، بينما تكون مركّبة الشد الأفقية المعيدة \(mgx/R\). لذلك، \[ F_x\simeq \left(\frac{Qq}{4\pi\varepsilon_0R^3}-\frac{mg}{R}\right)x. \] المعامل موجب للمعطيات المحدّدة، لذا تتزايد هذه الإزاحة: الاتزان عند المركز غير مستقر.
تمت مراجعة الحل بمقارنته بالحل الرسمي.