IPhO 1989 · Theory problem 3
From an electron microscope to a proton microscope
The problem concerns investigation of transforming the electron microscope with magnetic guiding of the electron beam (which is accelerated with the potential difference \(U = 511\ \mathrm{kV}\)) into a proton microscope (in which the proton beam is accelerated with the potential difference \(-U\)). For this purpose, solve the following two problems:
A. An electron after leaving a device, which accelerated it with the potential difference \(U\), falls into a region with an inhomogeneous field \(\boldsymbol{B}\) generated with a system of stationary coils \(L_1, L_2, \ldots, L_n\). The known currents in the coils are \(i_1, i_2, \ldots, i_n\), respectively.
What should the currents \(i'_1, i'_2, \ldots, i'_n\) in the coils \(L_1, L_2, \ldots, L_n\) be, in order to guide the proton (initially accelerated with the potential difference \(-U\)) along the same trajectory (and in the same direction) as that of the electron?
HINT: The problem can be solved by finding a condition under which the equation describing the trajectory is the same in both cases. It may be helpful to use the relation:
\[ \boldsymbol{p}\frac{d}{dt}\boldsymbol{p} = \frac{1}{2}\frac{d}{dt}\boldsymbol{p}^{\,2} = \frac{1}{2}\frac{d}{dt}p^2. \]
B. How many times would the resolving power of the above microscope increase or decrease if the electron beam were replaced with the proton beam? Assume that the resolving power of the microscope (i.e. the smallest distance between two point objects whose circular images can be just separated) depends only on the wave properties of the particles.
Assume that the velocities of the electrons and protons before their acceleration are zero, and that there is no interaction between own magnetic moment of either electrons or protons and the magnetic field. Assume also that the electromagnetic radiation emitted by the moving particles can be neglected.
NOTE: Very often physicists use 1 electron-volt (1 eV), and its derivatives such as 1 keV or 1 MeV, as a unit of energy. 1 electron-volt is the energy gained by the electron that passed the potential difference equal to 1 V.
Perform the calculations assuming the following data:
| Rest energy of electron: | \(E_e=m_ec^2=511\ \mathrm{keV}\) |
| Rest energy of proton: | \(E_p=m_pc^2=938\ \mathrm{MeV}\) |
Official English text of the problem.
Answers
-
A. Reverse every coil current and multiply its magnitude by approximately \(35.0\): \[ \boxed{ i'_k=-\sqrt{\frac{2E_p+eU}{2E_e+eU}}\,i_k \simeq-35.0\,i_k,\qquad k=1,\ldots,n. } \]
-
B. The minimum resolvable distance becomes \[ \boxed{\frac{d_p}{d_e}=\frac{\lambda_p}{\lambda_e}\simeq0.0286.} \] Thus the minimum distance—the quantity called “resolving power” in the statement—decreases by a factor of \(35.0\). The ability to resolve fine detail improves by that factor; resolving power defined conventionally as \(1/d\) increases by \(35.0\).
Solution
A. Coil currents
Let \(e>0\) denote the elementary charge, so that \(q_e=-e\) and \(q_p=+e\). After acceleration, the motion in the magnetic field obeys the relativistic Lorentz-force equation \[ \frac{d\boldsymbol p}{dt} =q\,\boldsymbol v\times\boldsymbol B, \qquad \boldsymbol p=\gamma m\boldsymbol v. \]
Taking the scalar product with \(\boldsymbol p\), which is parallel to \(\boldsymbol v\), gives \[ \frac12\frac{d(p^2)}{dt} =\boldsymbol p\cdot\frac{d\boldsymbol p}{dt} =q\,\boldsymbol p\cdot(\boldsymbol v\times\boldsymbol B) =0. \] Hence the momentum magnitude \(p\) remains constant. This holds even when the magnetic field is inhomogeneous, under the stated neglect of magnetic-moment interactions and radiation.
To describe the spatial trajectory independently of the particle’s speed, let \(s\) be arc length increasing in the direction of motion, and let \[ \boldsymbol t=\frac{d\boldsymbol r}{ds} \] be the unit tangent. Then \(\boldsymbol p=p\boldsymbol t\), \(\boldsymbol v=v\boldsymbol t\), and \(ds/dt=v\). Consequently, \[ pv\frac{d\boldsymbol t}{ds} =qv\,\boldsymbol t\times\boldsymbol B, \] so the trajectory equations are \[ \boxed{ \frac{d\boldsymbol r}{ds}=\boldsymbol t, \qquad \frac{d\boldsymbol t}{ds} =\frac{q}{p}\,\boldsymbol t\times\boldsymbol B(\boldsymbol r). } \]
For the electron in \(\boldsymbol B\) and the proton in a new field \(\boldsymbol B'\), these equations coincide if \[ \frac{e}{p_p}\boldsymbol B' =-\frac{e}{p_e}\boldsymbol B, \] or \[ \boldsymbol B'(\boldsymbol r) =-\frac{p_p}{p_e}\boldsymbol B(\boldsymbol r). \] With the same entry point and direction, both particles therefore follow the same oriented spatial trajectory.
The magnetic field of the coil system is linear in its currents. Multiplying every current by the same factor multiplies the field everywhere by that factor. Thus the required choice is \[ i'_k=-\frac{p_p}{p_e}\,i_k. \]
It remains to calculate the momentum ratio. Both particles start from rest and gain the same kinetic energy, \[ K=eU=511\ \mathrm{keV}=0.511\ \mathrm{MeV}. \] The electron must be treated relativistically because \(K=E_e\). We use the exact relativistic expression for both particles: \[ (K+mc^2)^2=p^2c^2+m^2c^4. \] Therefore, \[ pc=\sqrt{K(K+2mc^2)}, \] and \[ \frac{p_p}{p_e} =\sqrt{\frac{K+2E_p}{K+2E_e}}. \]
Numerically, using energies in MeV, \[ p_ec=\sqrt{0.511(0.511+2\times0.511)} \simeq0.885\ \mathrm{MeV}, \] \[ p_pc=\sqrt{0.511(0.511+2\times938)} \simeq31.0\ \mathrm{MeV}. \] The ratio is \[ \frac{p_p}{p_e} =\sqrt{\frac{1876.511}{1.533}} =34.9868\ldots. \] Hence \[ \boxed{i'_k\simeq-35.0\,i_k\qquad(k=1,\ldots,n).} \] The negative sign is essential: reversing the magnetic field compensates for the reversal of the particle’s charge.
B. Resolving power
The de Broglie wavelength is \[ \lambda=\frac{h}{p}. \] For a diffraction-limited microscope with a fixed aperture geometry, the minimum resolvable object separation is proportional to the wavelength. More explicitly, it has the form \[ d_{\min}=C\frac{\lambda}{\sin\alpha}, \] where \(\alpha\) is the aperture half-angle and \(C\) depends on the resolution criterion.
The field scaling found in part A preserves the beam trajectories and therefore the geometrical factors. Thus \[ \frac{d_p}{d_e} =\frac{\lambda_p}{\lambda_e} =\frac{p_e}{p_p} =\sqrt{\frac{K+2E_e}{K+2E_p}} =\frac{1}{34.9868\ldots}. \] Therefore, \[ \boxed{d_p\simeq0.0286\,d_e.} \]
The proton microscope can distinguish points approximately \(35.0\) times closer together. Under the statement’s definition, its “resolving power,” meaning the smallest resolvable distance, decreases by this factor. The conventional reciprocal resolving power increases by the same factor.
The solution was checked against the official solution.
IPhO 1989 · Theorieaufgabe 3
Vom Elektronenmikroskop zum Protonenmikroskop
In dieser Aufgabe wird untersucht, wie ein Elektronenmikroskop mit magnetischer Führung des Elektronenstrahls (der durch die Potentialdifferenz \(U = 511\ \mathrm{kV}\) beschleunigt wird) in ein Protonenmikroskop umgewandelt werden kann (in dem der Protonenstrahl durch die Potentialdifferenz \(-U\) beschleunigt wird). Lösen Sie dazu die folgenden beiden Aufgaben:
A. Ein Elektron tritt nach dem Verlassen einer Vorrichtung, in der es durch die Potentialdifferenz \(U\) beschleunigt wurde, in einen Bereich mit einem inhomogenen Feld \(\boldsymbol{B}\) ein, das von einem System ortsfester Spulen \(L_1, L_2, \ldots, L_n\) erzeugt wird. Die bekannten Ströme in diesen Spulen sind \(i_1, i_2, \ldots, i_n\).
Welche Ströme \(i'_1, i'_2, \ldots, i'_n\) müssen in den Spulen \(L_1, L_2, \ldots, L_n\) fließen, damit das Proton (das zuvor durch die Potentialdifferenz \(-U\) beschleunigt wurde) entlang derselben Bahn (und in derselben Richtung) wie das Elektron geführt wird?
HINWEIS: Die Aufgabe lässt sich lösen, indem man eine Bedingung dafür findet, dass die Gleichung zur Beschreibung der Bahn in beiden Fällen dieselbe ist. Dabei kann die folgende Beziehung hilfreich sein:
\[ \boldsymbol{p}\frac{d}{dt}\boldsymbol{p} = \frac{1}{2}\frac{d}{dt}\boldsymbol{p}^{\,2} = \frac{1}{2}\frac{d}{dt}p^2. \]
B. Um welchen Faktor würde das Auflösungsvermögen des oben beschriebenen Mikroskops zunehmen oder abnehmen, wenn der Elektronenstrahl durch den Protonenstrahl ersetzt würde? Nehmen Sie an, dass das Auflösungsvermögen des Mikroskops (d. h. der kleinste Abstand zwischen zwei punktförmigen Objekten, deren kreisförmige Bilder gerade noch getrennt werden können) nur von den Welleneigenschaften der Teilchen abhängt.
Nehmen Sie an, dass die Geschwindigkeiten der Elektronen und Protonen vor ihrer Beschleunigung null sind und dass weder bei den Elektronen noch bei den Protonen eine Wechselwirkung zwischen ihrem eigenen magnetischen Moment und dem Magnetfeld auftritt. Nehmen Sie außerdem an, dass die von den bewegten Teilchen ausgesandte elektromagnetische Strahlung vernachlässigt werden kann.
ANMERKUNG: Physiker verwenden sehr häufig 1 Elektronenvolt (1 eV) und dessen Vielfache wie 1 keV oder 1 MeV als Energieeinheit. 1 Elektronenvolt ist die Energie, die ein Elektron beim Durchlaufen einer Potentialdifferenz von 1 V gewinnt.
Führen Sie die Berechnungen mit den folgenden Daten durch:
| Ruheenergie des Elektrons: | \(E_e=m_ec^2=511\ \mathrm{keV}\) |
| Ruheenergie des Protons: | \(E_p=m_pc^2=938\ \mathrm{MeV}\) |
Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt.
Antworten
-
A. Kehren Sie die Richtung jedes Spulenstroms um und multiplizieren Sie seinen Betrag mit ungefähr \(35.0\): \[ \boxed{ i'_k=-\sqrt{\frac{2E_p+eU}{2E_e+eU}}\,i_k \simeq-35.0\,i_k,\qquad k=1,\ldots,n. } \]
-
B. Der kleinste auflösbare Abstand beträgt nun \[ \boxed{\frac{d_p}{d_e}=\frac{\lambda_p}{\lambda_e}\simeq0.0286.} \] Somit nimmt der kleinste Abstand — die in der Aufgabenstellung als „Auflösungsvermögen“ bezeichnete Größe — um den Faktor \(35.0\) ab. Die Fähigkeit, feine Details aufzulösen, verbessert sich um diesen Faktor; das üblicherweise als \(1/d\) definierte Auflösungsvermögen nimmt um den Faktor \(35.0\) zu.
Lösung
A. Spulenströme
Es sei \(e>0\) die Elementarladung, sodass \(q_e=-e\) und \(q_p=+e\) gilt. Nach der Beschleunigung wird die Bewegung im Magnetfeld durch die relativistische Bewegungsgleichung mit der Lorentzkraft beschrieben: \[ \frac{d\boldsymbol p}{dt} =q\,\boldsymbol v\times\boldsymbol B, \qquad \boldsymbol p=\gamma m\boldsymbol v. \]
Bildet man das Skalarprodukt mit \(\boldsymbol p\), das parallel zu \(\boldsymbol v\) ist, erhält man \[ \frac12\frac{d(p^2)}{dt} =\boldsymbol p\cdot\frac{d\boldsymbol p}{dt} =q\,\boldsymbol p\cdot(\boldsymbol v\times\boldsymbol B) =0. \] Der Impulsbetrag \(p\) bleibt also konstant. Dies gilt auch bei einem inhomogenen Magnetfeld, sofern wie angegeben die Wechselwirkung der magnetischen Momente mit dem Feld und die Strahlung vernachlässigt werden.
Um die räumliche Bahn unabhängig von der Geschwindigkeit des Teilchens zu beschreiben, sei \(s\) die in Bewegungsrichtung zunehmende Bogenlänge und \[ \boldsymbol t=\frac{d\boldsymbol r}{ds} \] der Einheitstangentenvektor. Dann gelten \(\boldsymbol p=p\boldsymbol t\), \(\boldsymbol v=v\boldsymbol t\) und \(ds/dt=v\). Folglich ist \[ pv\frac{d\boldsymbol t}{ds} =qv\,\boldsymbol t\times\boldsymbol B, \] sodass die Bahngleichungen lauten: \[ \boxed{ \frac{d\boldsymbol r}{ds}=\boldsymbol t, \qquad \frac{d\boldsymbol t}{ds} =\frac{q}{p}\,\boldsymbol t\times\boldsymbol B(\boldsymbol r). } \]
Für das Elektron in \(\boldsymbol B\) und das Proton in einem neuen Feld \(\boldsymbol B'\) stimmen diese Gleichungen überein, wenn \[ \frac{e}{p_p}\boldsymbol B' =-\frac{e}{p_e}\boldsymbol B, \] also \[ \boldsymbol B'(\boldsymbol r) =-\frac{p_p}{p_e}\boldsymbol B(\boldsymbol r). \] Bei gleichem Eintrittspunkt und gleicher Eintrittsrichtung durchlaufen daher beide Teilchen dieselbe räumliche Bahn in derselben Richtung.
Das Magnetfeld des Spulensystems hängt linear von den Spulenströmen ab. Wird jeder Strom mit demselben Faktor multipliziert, so wird das Feld an jedem Ort mit diesem Faktor multipliziert. Die erforderliche Wahl ist somit \[ i'_k=-\frac{p_p}{p_e}\,i_k. \]
Es bleibt, das Verhältnis der Impulsbeträge zu berechnen. Beide Teilchen starten aus der Ruhe und gewinnen dieselbe kinetische Energie: \[ K=eU=511\ \mathrm{keV}=0.511\ \mathrm{MeV}. \] Das Elektron muss relativistisch behandelt werden, da \(K=E_e\) gilt. Wir verwenden für beide Teilchen die exakte relativistische Beziehung: \[ (K+mc^2)^2=p^2c^2+m^2c^4. \] Daraus folgt \[ pc=\sqrt{K(K+2mc^2)}, \] und \[ \frac{p_p}{p_e} =\sqrt{\frac{K+2E_p}{K+2E_e}}. \]
Setzt man die Energien in MeV ein, erhält man numerisch \[ p_ec=\sqrt{0.511(0.511+2\times0.511)} \simeq0.885\ \mathrm{MeV}, \] \[ p_pc=\sqrt{0.511(0.511+2\times938)} \simeq31.0\ \mathrm{MeV}. \] Das Verhältnis beträgt \[ \frac{p_p}{p_e} =\sqrt{\frac{1876.511}{1.533}} =34.9868\ldots. \] Somit gilt \[ \boxed{i'_k\simeq-35.0\,i_k\qquad(k=1,\ldots,n).} \] Das negative Vorzeichen ist wesentlich: Die Umkehrung des Magnetfelds gleicht den Vorzeichenwechsel der Teilchenladung aus.
B. Auflösungsvermögen
Die De-Broglie-Wellenlänge ist \[ \lambda=\frac{h}{p}. \] Bei einem beugungsbegrenzten Mikroskop mit fester Aperturgeometrie ist der kleinste auflösbare Objektabstand proportional zur Wellenlänge. Genauer hat er die Form \[ d_{\min}=C\frac{\lambda}{\sin\alpha}, \] wobei \(\alpha\) der halbe Öffnungswinkel ist und \(C\) vom Auflösungskriterium abhängt.
Die in Teil A gefundene Skalierung des Felds erhält die Strahlbahnen und damit die geometrischen Faktoren. Somit gilt \[ \frac{d_p}{d_e} =\frac{\lambda_p}{\lambda_e} =\frac{p_e}{p_p} =\sqrt{\frac{K+2E_e}{K+2E_p}} =\frac{1}{34.9868\ldots}. \] Daraus folgt \[ \boxed{d_p\simeq0.0286\,d_e.} \]
Das Protonenmikroskop kann Punkte unterscheiden, deren Abstand ungefähr um den Faktor \(35.0\) kleiner ist. Nach der Definition in der Aufgabenstellung nimmt sein „Auflösungsvermögen“, also der kleinste auflösbare Abstand, um diesen Faktor ab. Das übliche, als Kehrwert dieses Abstands definierte Auflösungsvermögen nimmt um denselben Faktor zu.
Die Lösung wurde mit der offiziellen Lösung abgeglichen.
IPhO 1989 · Teori sorusu 3
Elektron mikroskobundan proton mikroskobuna
Bu soru, elektron demetinin manyetik alanla yönlendirildiği (ve \(U = 511\ \mathrm{kV}\) potansiyel farkıyla hızlandırıldığı) bir elektron mikroskobunun, proton demetinin \(-U\) potansiyel farkıyla hızlandırıldığı bir proton mikroskobuna dönüştürülmesinin incelenmesiyle ilgilidir. Bu amaçla aşağıdaki iki problemi çözünüz:
A. Bir elektron, kendisini \(U\) potansiyel farkıyla hızlandıran bir düzenekten çıktıktan sonra, sabit bobinlerden oluşan bir \(L_1, L_2, \ldots, L_n\) sistemi tarafından oluşturulan düzgün olmayan bir \(\boldsymbol{B}\) alanının bulunduğu bölgeye girer. Bobinlerdeki bilinen akımlar sırasıyla \(i_1, i_2, \ldots, i_n\)'dir.
Başlangıçta \(-U\) potansiyel farkıyla hızlandırılan protonu, elektronla aynı yörünge boyunca (ve aynı yönde) yönlendirmek için \(L_1, L_2, \ldots, L_n\) bobinlerindeki \(i'_1, i'_2, \ldots, i'_n\) akımları ne olmalıdır?
İPUCU: Soru, yörüngeyi tanımlayan denklemin her iki durumda da aynı olmasını sağlayan bir koşul bulunarak çözülebilir. Aşağıdaki bağıntıyı kullanmak yararlı olabilir:
\[ \boldsymbol{p}\frac{d}{dt}\boldsymbol{p} = \frac{1}{2}\frac{d}{dt}\boldsymbol{p}^{\,2} = \frac{1}{2}\frac{d}{dt}p^2. \]
B. Elektron demeti proton demetiyle değiştirilirse yukarıdaki mikroskobun ayırma gücü kaç kat artar veya azalır? Mikroskobun ayırma gücünün (yani dairesel görüntüleri ancak birbirinden ayrılabilen iki noktasal cisim arasındaki en küçük uzaklığın) yalnızca parçacıkların dalga özelliklerine bağlı olduğunu varsayınız.
Elektronların ve protonların hızlandırılmadan önceki hızlarının sıfır olduğunu ve elektronların veya protonların kendi manyetik momentleri ile manyetik alan arasında etkileşim olmadığını varsayınız. Ayrıca hareketli parçacıkların yaydığı elektromanyetik ışınımın ihmal edilebileceğini varsayınız.
NOT: Fizikçiler enerji birimi olarak çok sık 1 elektron-volt (1 eV) ve bunun 1 keV veya 1 MeV gibi katlarını kullanırlar. 1 elektron-volt, 1 V'luk potansiyel farkından geçen bir elektronun kazandığı enerjidir.
Hesaplamaları aşağıdaki verileri kullanarak yapınız:
| Elektronun durgunluk enerjisi: | \(E_e=m_ec^2=511\ \mathrm{keV}\) |
| Protonun durgunluk enerjisi: | \(E_p=m_pc^2=938\ \mathrm{MeV}\) |
Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir.
Cevaplar
-
A. Her bobindeki akımın yönünü tersine çevirin ve büyüklüğünü yaklaşık \(35.0\) ile çarpın: \[ \boxed{ i'_k=-\sqrt{\frac{2E_p+eU}{2E_e+eU}}\,i_k \simeq-35.0\,i_k,\qquad k=1,\ldots,n. } \]
-
B. Ayırt edilebilen en küçük uzaklık \[ \boxed{\frac{d_p}{d_e}=\frac{\lambda_p}{\lambda_e}\simeq0.0286.} \] olur. Dolayısıyla en küçük uzaklık, yani soru metninde “ayırma gücü” olarak adlandırılan nicelik, \(35.0\) kat azalır. İnce ayrıntıları ayırt etme yeteneği aynı oranda iyileşir; geleneksel olarak \(1/d\) biçiminde tanımlanan ayırma gücü \(35.0\) kat artar.
Çözüm
A. Bobin akımları
\(e>0\) temel yükü göstersin; böylece \(q_e=-e\) ve \(q_p=+e\) olur. Hızlandırmadan sonra manyetik alandaki hareket, göreli Lorentz kuvveti denklemine uyar: \[ \frac{d\boldsymbol p}{dt} =q\,\boldsymbol v\times\boldsymbol B, \qquad \boldsymbol p=\gamma m\boldsymbol v. \]
\(\boldsymbol v\)'ye paralel olan \(\boldsymbol p\) ile skaler çarpım alındığında \[ \frac12\frac{d(p^2)}{dt} =\boldsymbol p\cdot\frac{d\boldsymbol p}{dt} =q\,\boldsymbol p\cdot(\boldsymbol v\times\boldsymbol B) =0. \] elde edilir. Dolayısıyla momentumun büyüklüğü \(p\) sabit kalır. Belirtildiği gibi manyetik moment etkileşimleri ve ışınım ihmal edildiğinde, manyetik alan düzgün olmasa bile bu sonuç geçerlidir.
Uzaysal yörüngeyi parçacığın süratinden bağımsız olarak tanımlamak için, \(s\) hareket yönünde artan yay uzunluğu ve \[ \boldsymbol t=\frac{d\boldsymbol r}{ds} \] birim teğet vektörü olsun. Bu durumda \(\boldsymbol p=p\boldsymbol t\), \(\boldsymbol v=v\boldsymbol t\) ve \(ds/dt=v\) olur. Buna göre, \[ pv\frac{d\boldsymbol t}{ds} =qv\,\boldsymbol t\times\boldsymbol B, \] dolayısıyla yörünge denklemleri şöyledir: \[ \boxed{ \frac{d\boldsymbol r}{ds}=\boldsymbol t, \qquad \frac{d\boldsymbol t}{ds} =\frac{q}{p}\,\boldsymbol t\times\boldsymbol B(\boldsymbol r). } \]
\(\boldsymbol B\) alanındaki elektron ile yeni bir \(\boldsymbol B'\) alanındaki proton için bu denklemler, \[ \frac{e}{p_p}\boldsymbol B' =-\frac{e}{p_e}\boldsymbol B, \] yani \[ \boldsymbol B'(\boldsymbol r) =-\frac{p_p}{p_e}\boldsymbol B(\boldsymbol r). \] olduğunda aynıdır. Dolayısıyla aynı giriş noktası ve yönü için her iki parçacık da aynı uzaysal yörüngeyi aynı yönde izler.
Bobin sisteminin manyetik alanı, akımlarına doğrusal olarak bağlıdır. Her akımı aynı katsayıyla çarpmak, alanı her noktada bu katsayıyla çarpar. Dolayısıyla gerekli seçim \[ i'_k=-\frac{p_p}{p_e}\,i_k. \] olur.
Geriye momentum oranını hesaplamak kalır. Her iki parçacık da durgun hâlden harekete başlar ve aynı kinetik enerjiyi kazanır: \[ K=eU=511\ \mathrm{keV}=0.511\ \mathrm{MeV}. \] \(K=E_e\) olduğundan elektron göreli olarak ele alınmalıdır. Her iki parçacık için de tam göreli ifadeyi kullanırız: \[ (K+mc^2)^2=p^2c^2+m^2c^4. \] Böylece, \[ pc=\sqrt{K(K+2mc^2)}, \] ve \[ \frac{p_p}{p_e} =\sqrt{\frac{K+2E_p}{K+2E_e}}. \]
Enerjileri MeV cinsinden kullanarak sayısal olarak, \[ p_ec=\sqrt{0.511(0.511+2\times0.511)} \simeq0.885\ \mathrm{MeV}, \] \[ p_pc=\sqrt{0.511(0.511+2\times938)} \simeq31.0\ \mathrm{MeV}. \] Oran şöyledir: \[ \frac{p_p}{p_e} =\sqrt{\frac{1876.511}{1.533}} =34.9868\ldots. \] Dolayısıyla \[ \boxed{i'_k\simeq-35.0\,i_k\qquad(k=1,\ldots,n).} \] Eksi işareti zorunludur: manyetik alanın yönünün tersine çevrilmesi, parçacığın yük işaretinin değişmesini dengeler.
B. Ayırma gücü
de Broglie dalga boyu \[ \lambda=\frac{h}{p}. \] ile verilir. Açıklık geometrisi sabit olan, kırınımla sınırlı bir mikroskop için ayırt edilebilen en küçük cisim uzaklığı dalga boyuyla orantılıdır. Daha açık bir ifadeyle, bu uzaklık \[ d_{\min}=C\frac{\lambda}{\sin\alpha}, \] biçimindedir; burada \(\alpha\) açıklığın yarı açısıdır ve \(C\) çözünürlük ölçütüne bağlıdır.
A kısmında bulunan alan ölçeklemesi, demet yörüngelerini ve dolayısıyla geometrik çarpanları korur. Böylece \[ \frac{d_p}{d_e} =\frac{\lambda_p}{\lambda_e} =\frac{p_e}{p_p} =\sqrt{\frac{K+2E_e}{K+2E_p}} =\frac{1}{34.9868\ldots}. \] Dolayısıyla, \[ \boxed{d_p\simeq0.0286\,d_e.} \]
Proton mikroskobu, aralarındaki uzaklık yaklaşık \(35.0\) kat daha küçük olan noktaları ayırt edebilir. Soru metnindeki tanıma göre, ayırt edilebilen en küçük uzaklık anlamındaki “ayırma gücü” bu katsayı kadar azalır. Geleneksel olarak bu uzaklığın tersiyle tanımlanan ayırma gücü ise aynı katsayı kadar artar.
Çözüm, resmi çözümle karşılaştırılarak kontrol edildi.
IPhO 1989 · Problema teórico 3
De un microscopio electrónico a un microscopio de protones
El problema trata del estudio de la transformación de un microscopio electrónico con guiado magnético del haz de electrones (que se acelera mediante la diferencia de potencial \(U = 511\ \mathrm{kV}\)) en un microscopio de protones (en el que el haz de protones se acelera mediante la diferencia de potencial \(-U\)). Para ello, resuelva los dos problemas siguientes:
A. Un electrón, tras salir de un dispositivo que lo ha acelerado mediante la diferencia de potencial \(U\), entra en una región con un campo no homogéneo \(\boldsymbol{B}\) generado por un sistema de bobinas estacionarias \(L_1, L_2, \ldots, L_n\). Las corrientes conocidas en las bobinas son \(i_1, i_2, \ldots, i_n\), respectivamente.
¿Cuáles deben ser las corrientes \(i'_1, i'_2, \ldots, i'_n\) en las bobinas \(L_1, L_2, \ldots, L_n\) para guiar al protón (acelerado inicialmente mediante la diferencia de potencial \(-U\)) a lo largo de la misma trayectoria (y en el mismo sentido) que el electrón?
INDICACIÓN: El problema puede resolverse encontrando una condición para que la ecuación que describe la trayectoria sea la misma en ambos casos. Puede resultar útil emplear la relación:
\[ \boldsymbol{p}\frac{d}{dt}\boldsymbol{p} = \frac{1}{2}\frac{d}{dt}\boldsymbol{p}^{\,2} = \frac{1}{2}\frac{d}{dt}p^2. \]
B. ¿Cuántas veces aumentaría o disminuiría el poder de resolución del microscopio anterior si se sustituyera el haz de electrones por el haz de protones? Suponga que el poder de resolución del microscopio (es decir, la distancia mínima entre dos objetos puntuales cuyas imágenes circulares apenas pueden distinguirse por separado) depende únicamente de las propiedades ondulatorias de las partículas.
Suponga que las velocidades de los electrones y de los protones antes de su aceleración son nulas y que no hay interacción entre el momento magnético propio de los electrones o de los protones y el campo magnético. Suponga también que puede despreciarse la radiación electromagnética emitida por las partículas en movimiento.
NOTA: Los físicos utilizan muy a menudo 1 electronvoltio (1 eV) y sus múltiplos, como 1 keV o 1 MeV, como unidad de energía. 1 electronvoltio es la energía que adquiere un electrón al atravesar una diferencia de potencial igual a 1 V.
Realice los cálculos utilizando los siguientes datos:
| Energía en reposo del electrón: | \(E_e=m_ec^2=511\ \mathrm{keV}\) |
| Energía en reposo del protón: | \(E_p=m_pc^2=938\ \mathrm{MeV}\) |
Enunciado traducido del texto oficial en inglés.
Respuestas
-
A. Invierta el sentido de la corriente en cada bobina y multiplique su valor absoluto por aproximadamente \(35.0\): \[ \boxed{ i'_k=-\sqrt{\frac{2E_p+eU}{2E_e+eU}}\,i_k \simeq-35.0\,i_k,\qquad k=1,\ldots,n. } \]
-
B. La distancia mínima resoluble pasa a ser \[ \boxed{\frac{d_p}{d_e}=\frac{\lambda_p}{\lambda_e}\simeq0.0286.} \] Por tanto, la distancia mínima —la magnitud denominada «poder de resolución» en el enunciado— disminuye en un factor de \(35.0\). La capacidad para distinguir detalles finos mejora en ese factor; el poder de resolución definido convencionalmente como \(1/d\) aumenta en un factor de \(35.0\).
Solución
A. Corrientes en las bobinas
Sea \(e>0\) la carga elemental, de modo que \(q_e=-e\) y \(q_p=+e\). Tras la aceleración, el movimiento en el campo magnético obedece a la ecuación relativista de la fuerza de Lorentz \[ \frac{d\boldsymbol p}{dt} =q\,\boldsymbol v\times\boldsymbol B, \qquad \boldsymbol p=\gamma m\boldsymbol v. \]
Al tomar el producto escalar con \(\boldsymbol p\), que es paralelo a \(\boldsymbol v\), se obtiene \[ \frac12\frac{d(p^2)}{dt} =\boldsymbol p\cdot\frac{d\boldsymbol p}{dt} =q\,\boldsymbol p\cdot(\boldsymbol v\times\boldsymbol B) =0. \] Por tanto, el módulo del momento lineal \(p\) permanece constante. Esto se cumple incluso cuando el campo magnético no es homogéneo, bajo las hipótesis indicadas de despreciar las interacciones del momento magnético y la radiación.
Para describir la trayectoria espacial con independencia de la rapidez de la partícula, sea \(s\) la longitud de arco creciente en el sentido del movimiento, y sea \[ \boldsymbol t=\frac{d\boldsymbol r}{ds} \] el vector tangente unitario. Entonces \(\boldsymbol p=p\boldsymbol t\), \(\boldsymbol v=v\boldsymbol t\) y \(ds/dt=v\). En consecuencia, \[ pv\frac{d\boldsymbol t}{ds} =qv\,\boldsymbol t\times\boldsymbol B, \] por lo que las ecuaciones de la trayectoria son \[ \boxed{ \frac{d\boldsymbol r}{ds}=\boldsymbol t, \qquad \frac{d\boldsymbol t}{ds} =\frac{q}{p}\,\boldsymbol t\times\boldsymbol B(\boldsymbol r). } \]
Para el electrón en \(\boldsymbol B\) y el protón en un nuevo campo \(\boldsymbol B'\), estas ecuaciones coinciden si \[ \frac{e}{p_p}\boldsymbol B' =-\frac{e}{p_e}\boldsymbol B, \] o bien \[ \boldsymbol B'(\boldsymbol r) =-\frac{p_p}{p_e}\boldsymbol B(\boldsymbol r). \] Con el mismo punto de entrada y la misma dirección y sentido iniciales, ambas partículas siguen, por tanto, la misma trayectoria espacial orientada.
El campo magnético del sistema de bobinas depende linealmente de sus corrientes. Al multiplicar todas las corrientes por un mismo factor, el campo queda multiplicado por ese factor en todos los puntos. Por tanto, la elección requerida es \[ i'_k=-\frac{p_p}{p_e}\,i_k. \]
Queda por calcular la razón entre los momentos lineales. Ambas partículas parten del reposo y adquieren la misma energía cinética, \[ K=eU=511\ \mathrm{keV}=0.511\ \mathrm{MeV}. \] El electrón debe tratarse relativísticamente porque \(K=E_e\). Utilizamos la expresión relativista exacta para ambas partículas: \[ (K+mc^2)^2=p^2c^2+m^2c^4. \] Por tanto, \[ pc=\sqrt{K(K+2mc^2)}, \] y \[ \frac{p_p}{p_e} =\sqrt{\frac{K+2E_p}{K+2E_e}}. \]
Numéricamente, utilizando energías en MeV, \[ p_ec=\sqrt{0.511(0.511+2\times0.511)} \simeq0.885\ \mathrm{MeV}, \] \[ p_pc=\sqrt{0.511(0.511+2\times938)} \simeq31.0\ \mathrm{MeV}. \] La razón es \[ \frac{p_p}{p_e} =\sqrt{\frac{1876.511}{1.533}} =34.9868\ldots. \] Así pues, \[ \boxed{i'_k\simeq-35.0\,i_k\qquad(k=1,\ldots,n).} \] El signo negativo es esencial: invertir el campo magnético compensa el cambio de signo de la carga de la partícula.
B. Poder de resolución
La longitud de onda de de Broglie es \[ \lambda=\frac{h}{p}. \] Para un microscopio limitado por la difracción con una geometría de apertura fija, la separación mínima resoluble entre objetos es proporcional a la longitud de onda. Más explícitamente, tiene la forma \[ d_{\min}=C\frac{\lambda}{\sin\alpha}, \] donde \(\alpha\) es el semiángulo de apertura y \(C\) depende del criterio de resolución.
El cambio de escala del campo obtenido en la parte A conserva las trayectorias del haz y, por tanto, los factores geométricos. Así, \[ \frac{d_p}{d_e} =\frac{\lambda_p}{\lambda_e} =\frac{p_e}{p_p} =\sqrt{\frac{K+2E_e}{K+2E_p}} =\frac{1}{34.9868\ldots}. \] Por tanto, \[ \boxed{d_p\simeq0.0286\,d_e.} \]
El microscopio de protones puede distinguir puntos aproximadamente \(35.0\) veces más próximos entre sí. Según la definición del enunciado, su «poder de resolución», entendido como la distancia mínima resoluble, disminuye en ese factor. El poder de resolución convencional, definido como el inverso de esa distancia, aumenta en el mismo factor.
La solución se comprobó con la solución oficial.
IPhO 1989 · 理论题 3
从电子显微镜到质子显微镜
本题研究如何将一台利用磁场引导电子束（电子束经电势差 \(U = 511\ \mathrm{kV}\) 加速）的电子显微镜改造成质子显微镜（其中的质子束经电势差 \(-U\) 加速）。为此，请解答以下两个问题：
A. 一个电子离开使其经电势差 \(U\) 加速的装置后，进入一个非均匀磁场 \(\boldsymbol{B}\) 区域。该磁场由一组固定线圈 \(L_1, L_2, \ldots, L_n\) 产生。各线圈中的已知电流分别为 \(i_1, i_2, \ldots, i_n\)。
为了使质子（先经电势差 \(-U\) 加速）沿着与电子相同的轨迹（且运动方向相同）运动，线圈 \(L_1, L_2, \ldots, L_n\) 中的电流 \(i'_1, i'_2, \ldots, i'_n\) 应分别为多少？
提示： 可以通过寻找使两种情况下描述轨迹的方程相同的条件来解答本题。下列关系式可能有所帮助：
\[ \boldsymbol{p}\frac{d}{dt}\boldsymbol{p} = \frac{1}{2}\frac{d}{dt}\boldsymbol{p}^{\,2} = \frac{1}{2}\frac{d}{dt}p^2. \]
B. 如果用质子束代替电子束，上述显微镜的分辨本领将增大或减小多少倍？假设显微镜的分辨本领（即两个点物体的圆形像恰好能够分开时，这两个点物体之间的最小距离）仅取决于粒子的波动性质。
假设电子和质子在加速前的速度均为零，且电子或质子的固有磁矩与磁场之间不存在相互作用。另假设运动粒子发出的电磁辐射可以忽略。
注： 物理学家经常使用 1 电子伏特（1 eV）及其倍数单位，如 1 keV 或 1 MeV，作为能量单位。1 电子伏特是电子通过 1 V 的电势差所获得的能量。
请使用以下数据进行计算：
| 电子的静止能量： | \(E_e=m_ec^2=511\ \mathrm{keV}\) |
| 质子的静止能量： | \(E_p=m_pc^2=938\ \mathrm{MeV}\) |
题目译自官方英文原文。
答案
-
A. 将每个线圈中的电流反向，并将其大小乘以约 \(35.0\)： \[ \boxed{ i'_k=-\sqrt{\frac{2E_p+eU}{2E_e+eU}}\,i_k \simeq-35.0\,i_k,\qquad k=1,\ldots,n. } \]
-
B. 最小可分辨距离变为 \[ \boxed{\frac{d_p}{d_e}=\frac{\lambda_p}{\lambda_e}\simeq0.0286.} \] 因此，最小距离——即题目中称为“分辨本领”的量——减小为原来的 \(35.0\) 分之一。分辨精细结构的能力提高至原来的相应倍数；按照通常定义 \(1/d\) 表示的分辨本领增大为原来的 \(35.0\) 倍。
解答
A. 线圈电流
用 \(e>0\) 表示元电荷，因此 \(q_e=-e\)，\(q_p=+e\)。加速后，粒子在磁场中的运动遵循相对论形式的洛伦兹力方程 \[ \frac{d\boldsymbol p}{dt} =q\,\boldsymbol v\times\boldsymbol B, \qquad \boldsymbol p=\gamma m\boldsymbol v. \]
将方程两边与平行于 \(\boldsymbol v\) 的 \(\boldsymbol p\) 作标量积，得到 \[ \frac12\frac{d(p^2)}{dt} =\boldsymbol p\cdot\frac{d\boldsymbol p}{dt} =q\,\boldsymbol p\cdot(\boldsymbol v\times\boldsymbol B) =0. \] 因此，动量的大小 \(p\) 保持不变。在题目所述忽略磁矩相互作用和辐射的条件下，即使磁场不均匀，这一结论也成立。
为了在不涉及粒子速率的情况下描述空间轨迹，令 \(s\) 为沿运动方向递增的弧长，并令 \[ \boldsymbol t=\frac{d\boldsymbol r}{ds} \] 为单位切向量。于是 \(\boldsymbol p=p\boldsymbol t\)，\(\boldsymbol v=v\boldsymbol t\)，且 \(ds/dt=v\)。因此， \[ pv\frac{d\boldsymbol t}{ds} =qv\,\boldsymbol t\times\boldsymbol B, \] 所以轨迹方程为 \[ \boxed{ \frac{d\boldsymbol r}{ds}=\boldsymbol t, \qquad \frac{d\boldsymbol t}{ds} =\frac{q}{p}\,\boldsymbol t\times\boldsymbol B(\boldsymbol r). } \]
对于磁场 \(\boldsymbol B\) 中的电子和新磁场 \(\boldsymbol B'\) 中的质子，如果 \[ \frac{e}{p_p}\boldsymbol B' =-\frac{e}{p_e}\boldsymbol B, \] 即 \[ \boldsymbol B'(\boldsymbol r) =-\frac{p_p}{p_e}\boldsymbol B(\boldsymbol r). \] 则上述方程完全相同。因此，当入射点和入射方向相同时，两种粒子沿同一条有向空间轨迹运动。
线圈系统产生的磁场与各线圈电流呈线性关系。将每个电流乘以同一个因子，就会使各处的磁场都乘以该因子。因此，所需的电流为 \[ i'_k=-\frac{p_p}{p_e}\,i_k. \]
接下来只需计算动量之比。两种粒子都从静止开始加速，并获得相同的动能， \[ K=eU=511\ \mathrm{keV}=0.511\ \mathrm{MeV}. \] 由于 \(K=E_e\)，必须对电子采用相对论处理。我们对两种粒子均使用精确的相对论表达式： \[ (K+mc^2)^2=p^2c^2+m^2c^4. \] 因此， \[ pc=\sqrt{K(K+2mc^2)}, \] 并且 \[ \frac{p_p}{p_e} =\sqrt{\frac{K+2E_p}{K+2E_e}}. \]
以 MeV 为能量单位代入数值，得到 \[ p_ec=\sqrt{0.511(0.511+2\times0.511)} \simeq0.885\ \mathrm{MeV}, \] \[ p_pc=\sqrt{0.511(0.511+2\times938)} \simeq31.0\ \mathrm{MeV}. \] 两者之比为 \[ \frac{p_p}{p_e} =\sqrt{\frac{1876.511}{1.533}} =34.9868\ldots. \] 因此 \[ \boxed{i'_k\simeq-35.0\,i_k\qquad(k=1,\ldots,n).} \] 负号至关重要：磁场反向可补偿粒子电荷符号的反转。
B. 分辨本领
德布罗意波长为 \[ \lambda=\frac{h}{p}. \] 对于孔径几何条件固定、分辨率受衍射限制的显微镜，物体上两点的最小可分辨间距与波长成正比。更明确地说，其形式为 \[ d_{\min}=C\frac{\lambda}{\sin\alpha}, \] 其中 \(\alpha\) 为孔径半角，\(C\) 取决于所采用的分辨判据。
A 部分求得的磁场缩放关系保持了粒子束的轨迹，因此也保持了几何因子。于是 \[ \frac{d_p}{d_e} =\frac{\lambda_p}{\lambda_e} =\frac{p_e}{p_p} =\sqrt{\frac{K+2E_e}{K+2E_p}} =\frac{1}{34.9868\ldots}. \] 因此， \[ \boxed{d_p\simeq0.0286\,d_e.} \]
质子显微镜能够分辨间距约为原来 \(35.0\) 分之一的点。按照题目中的定义，其“分辨本领”指最小可分辨距离，因而按这一倍数缩小。通常以该距离的倒数定义的分辨本领则按同一倍数增大。
解答已与官方解答核对。
IPhO 1989 · Теоретическая задача 3
От электронного микроскопа к протонному микроскопу
В задаче исследуется возможность преобразования электронного микроскопа с магнитным управлением электронным пучком (ускоряемым разностью потенциалов \(U = 511\ \mathrm{kV}\)) в протонный микроскоп (в котором протонный пучок ускоряется разностью потенциалов \(-U\)). Для этого решите следующие две задачи:
A. Электрон, покинув устройство, в котором он ускорялся разностью потенциалов \(U\), попадает в область с неоднородным полем \(\boldsymbol{B}\), создаваемым системой неподвижных катушек \(L_1, L_2, \ldots, L_n\). Известные токи в катушках равны соответственно \(i_1, i_2, \ldots, i_n\).
Какими должны быть токи \(i'_1, i'_2, \ldots, i'_n\) в катушках \(L_1, L_2, \ldots, L_n\), чтобы протон (предварительно ускоренный разностью потенциалов \(-U\)) двигался по той же траектории (и в том же направлении), что и электрон?
УКАЗАНИЕ: Задачу можно решить, найдя условие, при котором уравнение, описывающее траекторию, одинаково в обоих случаях. Может оказаться полезным следующее соотношение:
\[ \boldsymbol{p}\frac{d}{dt}\boldsymbol{p} = \frac{1}{2}\frac{d}{dt}\boldsymbol{p}^{\,2} = \frac{1}{2}\frac{d}{dt}p^2. \]
B. Во сколько раз увеличится или уменьшится разрешающая способность описанного выше микроскопа, если заменить электронный пучок протонным? Считайте, что разрешающая способность микроскопа (то есть наименьшее расстояние между двумя точечными объектами, при котором их круглые изображения ещё можно различить по отдельности) зависит только от волновых свойств частиц.
Считайте, что скорости электронов и протонов до ускорения равны нулю и что взаимодействие собственного магнитного момента электронов или протонов с магнитным полем отсутствует. Считайте также, что электромагнитным излучением движущихся частиц можно пренебречь.
ПРИМЕЧАНИЕ: Физики очень часто используют в качестве единицы энергии 1 электронвольт (1 эВ) и кратные ему единицы, такие как 1 кэВ или 1 МэВ. 1 электронвольт — это энергия, которую приобретает электрон, прошедший разность потенциалов, равную 1 В.
Выполните расчёты, используя следующие данные:
| Энергия покоя электрона: | \(E_e=m_ec^2=511\ \mathrm{keV}\) |
| Энергия покоя протона: | \(E_p=m_pc^2=938\ \mathrm{MeV}\) |
Условие переведено с официального английского текста.
Ответы
-
A. Измените направление тока в каждой катушке на противоположное и увеличьте его величину приблизительно в \(35.0\) раза: \[ \boxed{ i'_k=-\sqrt{\frac{2E_p+eU}{2E_e+eU}}\,i_k \simeq-35.0\,i_k,\qquad k=1,\ldots,n. } \]
-
B. Минимальное разрешаемое расстояние становится равным \[ \boxed{\frac{d_p}{d_e}=\frac{\lambda_p}{\lambda_e}\simeq0.0286.} \] Таким образом, минимальное расстояние — величина, названная в условии «разрешающей способностью», — уменьшается в \(35.0\) раза. Способность различать мелкие детали улучшается во столько же раз; разрешающая способность, определяемая обычным образом как \(1/d\), увеличивается в \(35.0\) раза.
Решение
A. Токи в катушках
Обозначим через \(e>0\) элементарный заряд, так что \(q_e=-e\) и \(q_p=+e\). После ускорения движение в магнитном поле подчиняется релятивистскому уравнению движения под действием силы Лоренца \[ \frac{d\boldsymbol p}{dt} =q\,\boldsymbol v\times\boldsymbol B, \qquad \boldsymbol p=\gamma m\boldsymbol v. \]
Скалярно умножая это уравнение на \(\boldsymbol p\), параллельный \(\boldsymbol v\), получаем \[ \frac12\frac{d(p^2)}{dt} =\boldsymbol p\cdot\frac{d\boldsymbol p}{dt} =q\,\boldsymbol p\cdot(\boldsymbol v\times\boldsymbol B) =0. \] Следовательно, модуль импульса \(p\) остаётся постоянным. Это справедливо и для неоднородного магнитного поля при принятом в условии пренебрежении взаимодействием магнитного момента с полем и излучением.
Чтобы описать пространственную траекторию независимо от скорости частицы, обозначим через \(s\) длину дуги, возрастающую в направлении движения, и пусть \[ \boldsymbol t=\frac{d\boldsymbol r}{ds} \] — единичный касательный вектор. Тогда \(\boldsymbol p=p\boldsymbol t\), \(\boldsymbol v=v\boldsymbol t\) и \(ds/dt=v\). Следовательно, \[ pv\frac{d\boldsymbol t}{ds} =qv\,\boldsymbol t\times\boldsymbol B, \] так что уравнения траектории имеют вид \[ \boxed{ \frac{d\boldsymbol r}{ds}=\boldsymbol t, \qquad \frac{d\boldsymbol t}{ds} =\frac{q}{p}\,\boldsymbol t\times\boldsymbol B(\boldsymbol r). } \]
Для электрона в поле \(\boldsymbol B\) и протона в новом поле \(\boldsymbol B'\) эти уравнения совпадают, если \[ \frac{e}{p_p}\boldsymbol B' =-\frac{e}{p_e}\boldsymbol B, \] или \[ \boldsymbol B'(\boldsymbol r) =-\frac{p_p}{p_e}\boldsymbol B(\boldsymbol r). \] Поэтому при одинаковых точке входа и направлении движения обе частицы движутся по одной и той же пространственной траектории в одном и том же направлении.
Магнитное поле системы катушек линейно зависит от токов в них. Умножение каждого тока на один и тот же коэффициент умножает поле во всех точках на этот коэффициент. Таким образом, требуемые токи равны \[ i'_k=-\frac{p_p}{p_e}\,i_k. \]
Остаётся вычислить отношение импульсов. Обе частицы начинают движение из состояния покоя и приобретают одинаковую кинетическую энергию, \[ K=eU=511\ \mathrm{keV}=0.511\ \mathrm{MeV}. \] Электрон необходимо рассматривать релятивистски, поскольку \(K=E_e\). Для обеих частиц воспользуемся точным релятивистским выражением: \[ (K+mc^2)^2=p^2c^2+m^2c^4. \] Следовательно, \[ pc=\sqrt{K(K+2mc^2)}, \] и \[ \frac{p_p}{p_e} =\sqrt{\frac{K+2E_p}{K+2E_e}}. \]
Подставляя численные значения энергий в МэВ, получаем \[ p_ec=\sqrt{0.511(0.511+2\times0.511)} \simeq0.885\ \mathrm{MeV}, \] \[ p_pc=\sqrt{0.511(0.511+2\times938)} \simeq31.0\ \mathrm{MeV}. \] Отношение равно \[ \frac{p_p}{p_e} =\sqrt{\frac{1876.511}{1.533}} =34.9868\ldots. \] Отсюда \[ \boxed{i'_k\simeq-35.0\,i_k\qquad(k=1,\ldots,n).} \] Знак минус принципиально важен: изменение направления магнитного поля на противоположное компенсирует изменение знака заряда частицы.
B. Разрешающая способность
Длина волны де Бройля равна \[ \lambda=\frac{h}{p}. \] Для микроскопа, разрешение которого ограничено дифракцией, при неизменной геометрии апертуры минимальное разрешаемое расстояние между объектами пропорционально длине волны. Более конкретно, оно имеет вид \[ d_{\min}=C\frac{\lambda}{\sin\alpha}, \] где \(\alpha\) — половина угла раскрытия апертуры, а \(C\) зависит от критерия разрешения.
Найденное в части A масштабирование поля сохраняет траектории частиц пучка и, следовательно, геометрические множители. Таким образом, \[ \frac{d_p}{d_e} =\frac{\lambda_p}{\lambda_e} =\frac{p_e}{p_p} =\sqrt{\frac{K+2E_e}{K+2E_p}} =\frac{1}{34.9868\ldots}. \] Следовательно, \[ \boxed{d_p\simeq0.0286\,d_e.} \]
Протонный микроскоп позволяет различать точки, расположенные приблизительно в \(35.0\) раза ближе друг к другу. Согласно определению в условии, его «разрешающая способность», то есть наименьшее разрешаемое расстояние, уменьшается во столько же раз. Разрешающая способность в обычном определении как обратная величина увеличивается в то же число раз.
Решение проверено по официальному решению.
IPhO 1989 · مسألة نظرية 3
من مجهر إلكتروني إلى مجهر بروتوني
تتناول المسألة دراسة تحويل المجهر الإلكتروني الذي تُوجَّه فيه حزمة الإلكترونات مغناطيسيًا (وتُسرَّع بفرق الجهد \(U = 511\ \mathrm{kV}\)) إلى مجهر بروتوني (تُسرَّع فيه حزمة البروتونات بفرق الجهد \(-U\)). ولهذا الغرض، حل المسألتين الآتيتين:
A. يدخل إلكترون، بعد مغادرته جهازًا سرَّعه بفرق الجهد \(U\)، منطقةً ذات مجال غير متجانس \(\boldsymbol{B}\) تولِّده منظومة من الملفات الثابتة \(L_1, L_2, \ldots, L_n\). والتيارات المعلومة في الملفات هي \(i_1, i_2, \ldots, i_n\)، على الترتيب.
ما التيارات \(i'_1, i'_2, \ldots, i'_n\) التي ينبغي أن تسري في الملفات \(L_1, L_2, \ldots, L_n\) لتوجيه البروتون (الذي سُرِّع أولًا بفرق الجهد \(-U\)) على طول مسار الإلكترون نفسه (وفي الاتجاه نفسه)؟
تلميح: يمكن حل المسألة بإيجاد شرط تكون عنده المعادلة التي تصف المسار واحدةً في كلتا الحالتين. وقد يكون من المفيد استخدام العلاقة:
\[ \boldsymbol{p}\frac{d}{dt}\boldsymbol{p} = \frac{1}{2}\frac{d}{dt}\boldsymbol{p}^{\,2} = \frac{1}{2}\frac{d}{dt}p^2. \]
B. بأي عامل تزداد القدرة التمييزية للمجهر المذكور أو تنقص إذا استُبدلت حزمة الإلكترونات بحزمة بروتونات؟ افترض أن القدرة التمييزية للمجهر (أي أصغر مسافة بين جسمين نقطيين يمكن عندها فصل صورتيهما الدائريتين بالكاد) تعتمد فقط على الخصائص الموجية للجسيمات.
افترض أن سرعات الإلكترونات والبروتونات قبل تسريعها تساوي صفرًا، وأنه لا يوجد تآثر بين العزم المغناطيسي الذاتي لأيٍّ من الإلكترونات أو البروتونات والمجال المغناطيسي. وافترض أيضًا إمكان إهمال الإشعاع الكهرومغناطيسي المنبعث من الجسيمات المتحركة.
ملاحظة: كثيرًا ما يستخدم الفيزيائيون 1 إلكترون فولت (1 eV)، ومضاعفاته مثل 1 keV أو 1 MeV، وحدةً للطاقة. والإلكترون فولت الواحد هو الطاقة التي يكتسبها الإلكترون عند اجتيازه فرق جهد يساوي 1 V.
أجرِ الحسابات بافتراض المعطيات الآتية:
| طاقة سكون الإلكترون: | \(E_e=m_ec^2=511\ \mathrm{keV}\) |
| طاقة سكون البروتون: | \(E_p=m_pc^2=938\ \mathrm{MeV}\) |
نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي.
الإجابات
-
A. اعكس اتجاه التيار في كل ملف واضرب مقداره في نحو \(35.0\): \[ \boxed{ i'_k=-\sqrt{\frac{2E_p+eU}{2E_e+eU}}\,i_k \simeq-35.0\,i_k,\qquad k=1,\ldots,n. } \]
-
B. تصبح أصغر مسافة قابلة للتمييز \[ \boxed{\frac{d_p}{d_e}=\frac{\lambda_p}{\lambda_e}\simeq0.0286.} \] ومن ثم فإن أصغر مسافة — وهي الكمية التي تُسمَّى «القدرة التمييزية» في نص المسألة — تنخفض بمعامل \(35.0\). وتتحسن القدرة على تمييز التفاصيل الدقيقة بهذا المعامل؛ أما القدرة التمييزية المعرَّفة اصطلاحًا بأنها \(1/d\) فتزداد بمعامل \(35.0\).
الحل
A. تيارات الملفات
لنرمز إلى الشحنة الأولية بـ \(e>0\)، بحيث تكون \(q_e=-e\) و\(q_p=+e\). بعد التسريع، تخضع الحركة في المجال المغناطيسي لمعادلة قوة لورنتز النسبية \[ \frac{d\boldsymbol p}{dt} =q\,\boldsymbol v\times\boldsymbol B, \qquad \boldsymbol p=\gamma m\boldsymbol v. \]
بأخذ الضرب القياسي في \(\boldsymbol p\)، الموازي لـ \(\boldsymbol v\)، نحصل على \[ \frac12\frac{d(p^2)}{dt} =\boldsymbol p\cdot\frac{d\boldsymbol p}{dt} =q\,\boldsymbol p\cdot(\boldsymbol v\times\boldsymbol B) =0. \] ومن ثم يبقى مقدار الزخم \(p\) ثابتًا. ويصح ذلك حتى عندما يكون المجال المغناطيسي غير متجانس، في ظل إهمال تآثرات العزم المغناطيسي والإشعاع كما ورد في المعطيات.
لوصف المسار المكاني على نحو مستقل عن سرعة الجسيم، ليكن \(s\) طول القوس المتزايد في اتجاه الحركة، وليكن \[ \boldsymbol t=\frac{d\boldsymbol r}{ds} \] متجه الوحدة المماسي. عندئذٍ تكون \(\boldsymbol p=p\boldsymbol t\)، و\(\boldsymbol v=v\boldsymbol t\)، و\(ds/dt=v\). وبالتالي، \[ pv\frac{d\boldsymbol t}{ds} =qv\,\boldsymbol t\times\boldsymbol B, \] فتكون معادلات المسار \[ \boxed{ \frac{d\boldsymbol r}{ds}=\boldsymbol t, \qquad \frac{d\boldsymbol t}{ds} =\frac{q}{p}\,\boldsymbol t\times\boldsymbol B(\boldsymbol r). } \]
بالنسبة إلى الإلكترون في المجال \(\boldsymbol B\) والبروتون في مجال جديد \(\boldsymbol B'\)، تتطابق هذه المعادلات إذا كان \[ \frac{e}{p_p}\boldsymbol B' =-\frac{e}{p_e}\boldsymbol B, \] أو \[ \boldsymbol B'(\boldsymbol r) =-\frac{p_p}{p_e}\boldsymbol B(\boldsymbol r). \] ولذلك، عند تطابق نقطة الدخول واتجاهه، يتبع الجسيمان المسار المكاني نفسه وفي الاتجاه نفسه.
يعتمد المجال المغناطيسي لمنظومة الملفات خطيًا على تياراتها. وضرب كل تيار في العامل نفسه يضرب المجال في كل موضع في ذلك العامل. ومن ثم فإن الاختيار المطلوب هو \[ i'_k=-\frac{p_p}{p_e}\,i_k. \]
يبقى حساب نسبة الزخمين. ينطلق كلا الجسيمين من السكون ويكتسبان طاقة الحركة نفسها، \[ K=eU=511\ \mathrm{keV}=0.511\ \mathrm{MeV}. \] يجب معالجة حركة الإلكترون نسبيًا لأن \(K=E_e\). ونستخدم العلاقة النسبية الدقيقة لكلا الجسيمين: \[ (K+mc^2)^2=p^2c^2+m^2c^4. \] وعليه، \[ pc=\sqrt{K(K+2mc^2)}, \] و \[ \frac{p_p}{p_e} =\sqrt{\frac{K+2E_p}{K+2E_e}}. \]
عدديًا، باستخدام الطاقات بوحدة MeV، \[ p_ec=\sqrt{0.511(0.511+2\times0.511)} \simeq0.885\ \mathrm{MeV}, \] \[ p_pc=\sqrt{0.511(0.511+2\times938)} \simeq31.0\ \mathrm{MeV}. \] وتكون النسبة \[ \frac{p_p}{p_e} =\sqrt{\frac{1876.511}{1.533}} =34.9868\ldots. \] ومن ثم \[ \boxed{i'_k\simeq-35.0\,i_k\qquad(k=1,\ldots,n).} \] الإشارة السالبة ضرورية: فعكس اتجاه المجال المغناطيسي يعوِّض انعكاس إشارة شحنة الجسيم.
B. القدرة التمييزية
طول موجة دي برولي هو \[ \lambda=\frac{h}{p}. \] في مجهر تحدُّ ظاهرة الحيود من قدرته على التمييز وتكون هندسة فتحته ثابتة، تتناسب أصغر مسافة قابلة للتمييز بين الأجسام طرديًا مع الطول الموجي. وبصورة أكثر تحديدًا، تأخذ الشكل \[ d_{\min}=C\frac{\lambda}{\sin\alpha}, \] حيث \(\alpha\) نصف زاوية الفتحة و\(C\) يعتمد على معيار التمييز.
يحافظ تغيير مقياس المجال الذي وجدناه في الجزء A على مسارات الحزمة، ومن ثم على العوامل الهندسية. وبالتالي \[ \frac{d_p}{d_e} =\frac{\lambda_p}{\lambda_e} =\frac{p_e}{p_p} =\sqrt{\frac{K+2E_e}{K+2E_p}} =\frac{1}{34.9868\ldots}. \] وعليه، \[ \boxed{d_p\simeq0.0286\,d_e.} \]
يمكن للمجهر البروتوني تمييز نقاط تقل المسافات بينها بمعامل يقارب \(35.0\). ووفقًا للتعريف الوارد في نص المسألة، فإن «قدرته التمييزية»، التي تعني أصغر مسافة قابلة للتمييز، تنخفض بهذا المعامل. أما القدرة التمييزية المعرَّفة اصطلاحًا بمقلوب هذه المسافة فتزداد بالمعامل نفسه.
تمت مراجعة الحل بمقارنته بالحل الرسمي.