IPhO 1983 · Theory problem 5
IPhO's logo
The Logo of the International Physics Olympiad is represented in the figure below.
The figure presents the phenomenon of the curving of the trajectory of a jet of fluid around the shape of a cylindrical surface. The trajectory of fluid is not like the expected dashed line but as the circular solid line.
Qualitatively explain this phenomenon (first observed by Romanian engineer Henry Coanda in 1936).
This problem will be not considered in the general score of the Olympiad. The best solution will be awarded a special prize.
Official English text of the problem.
Answers
- Problem V. This is the Coandă effect. The jet entrains surrounding fluid, and the cylinder restricts replacement of the fluid entrained from the space between the jet and the surface. The resulting lower pressure on the cylinder side produces an inward force, bending the jet around the cylinder.
Solution
Problem V.
Consider a jet passing approximately tangentially beside the cylinder. We neglect gravity over the region of the illustrated bend.
Through viscous shear—and turbulent mixing if the flow is turbulent—the jet transfers momentum to the surrounding fluid and carries some of it along. This process is called entrainment. For a free jet in otherwise symmetric surroundings, fluid can enter from both sides, so entrainment produces no preferred sideways deflection.
The nearby cylinder changes this situation. Fluid between the jet and the cylinder is entrained into the jet, but the solid surface restricts the supply of replacement fluid. Consequently, a region of reduced pressure develops on the cylinder side. The higher pressure on the exposed side then pushes the jet towards the cylinder.
Once the jet follows the curved surface, a pressure difference across it supplies the centripetal acceleration needed to maintain its curved trajectory. To express this quantitatively, let \(r\) measure distance from the cylinder axis, \(v\) be the local tangential speed, and \(\rho\) the fluid density. For locally circular flow, neglecting viscous forces in the normal momentum balance within the bulk of the jet,
\[ -\frac{\partial p}{\partial r} =-\rho\frac{v^{2}}{r}, \qquad\text{so}\qquad \frac{\partial p}{\partial r} =\rho\frac{v^{2}}{r}>0. \]
Thus pressure increases away from the cylinder: the pressure force points inward, exactly as required to turn the jet.
For example, for a thin jet of thickness \(h\ll R\), approximately constant density, and representative bulk speed \(U\), the required pressure difference is of order
\[ p_{\mathrm{outer}}-p_{\mathrm{wall}} \sim \rho U^{2}\frac{h}{R}, \]
where \(R\) is the cylinder radius.
Entrainment establishes the asymmetric pressure field, and that pressure field bends the jet. Attachment persists while the flow can maintain the pressure difference required by the curvature; if it cannot, the jet separates from the surface.
The solution was checked against the official solution.
IPhO 1983 · Theorieaufgabe 5
Das Logo der IPhO
Das Logo der Internationalen Physik-Olympiade ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
Die Abbildung zeigt das Phänomen, dass sich die Bahn eines Fluidstrahls entlang einer zylindrischen Oberfläche krümmt. Die Bahn des Fluids folgt nicht der erwarteten gestrichelten Linie, sondern der durchgezogenen Kreislinie.
Erklären Sie dieses Phänomen qualitativ (es wurde erstmals 1936 vom rumänischen Ingenieur Henry Coanda beobachtet).
Diese Aufgabe wird bei der Gesamtwertung der Olympiade nicht berücksichtigt. Die beste Lösung wird mit einem Sonderpreis ausgezeichnet.
Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt.
Antworten
- Aufgabe V. Dies ist der Coandă-Effekt. Der Strahl reißt umgebendes Fluid mit, und der Zylinder behindert das Nachströmen von Fluid als Ersatz für das aus dem Zwischenraum zwischen Strahl und Oberfläche mitgerissene Fluid. Der dadurch entstehende niedrigere Druck auf der Zylinderseite erzeugt eine nach innen gerichtete Kraft, die den Strahl um den Zylinder herum ablenkt.
Lösung
Aufgabe V.
Wir betrachten einen Strahl, der annähernd tangential am Zylinder vorbeiströmt. Im Bereich der dargestellten Krümmung vernachlässigen wir die Schwerkraft.
Durch viskose Scherkräfte – und bei turbulenter Strömung auch durch turbulente Durchmischung – überträgt der Strahl Impuls auf das umgebende Fluid und reißt einen Teil davon mit. Dieser Vorgang wird als Mitreißen bezeichnet. Bei einem freien Strahl in ansonsten symmetrischer Umgebung kann Fluid von beiden Seiten nachströmen, sodass das Mitreißen keine bevorzugte seitliche Ablenkung hervorruft.
Der nahe gelegene Zylinder verändert diese Situation. Fluid zwischen dem Strahl und dem Zylinder wird in den Strahl mitgerissen, doch die feste Oberfläche behindert das Nachströmen von Ersatzfluid. Dadurch bildet sich auf der Zylinderseite ein Bereich mit vermindertem Druck. Der höhere Druck auf der freien Seite drückt den Strahl dann zum Zylinder hin.
Sobald der Strahl der gekrümmten Oberfläche folgt, liefert eine Druckdifferenz quer zum Strahl die Zentripetalbeschleunigung, die zur Aufrechterhaltung seiner gekrümmten Bahn erforderlich ist. Um dies quantitativ auszudrücken, sei \(r\) der Abstand von der Zylinderachse, \(v\) die lokale Tangentialgeschwindigkeit und \(\rho\) die Dichte des Fluids. Für eine lokal kreisförmige Strömung gilt unter Vernachlässigung viskoser Kräfte in der Impulsbilanz senkrecht zur Strömungsrichtung im Inneren des Strahls:
\[ -\frac{\partial p}{\partial r} =-\rho\frac{v^{2}}{r}, \qquad\text{also}\qquad \frac{\partial p}{\partial r} =\rho\frac{v^{2}}{r}>0. \]
Der Druck nimmt somit mit zunehmendem Abstand vom Zylinder zu: Die Druckkraft ist nach innen gerichtet, genau wie es für die Ablenkung des Strahls erforderlich ist.
Für einen dünnen Strahl mit der Dicke \(h\ll R\), annähernd konstanter Dichte und einer repräsentativen Strömungsgeschwindigkeit \(U\) im Strahlinneren ist die erforderliche Druckdifferenz beispielsweise von der Größenordnung
\[ p_{\mathrm{outer}}-p_{\mathrm{wall}} \sim \rho U^{2}\frac{h}{R}, \]
wobei \(R\) der Zylinderradius ist.
Das Mitreißen erzeugt das asymmetrische Druckfeld, und dieses Druckfeld krümmt den Strahl. Der Strahl bleibt an der Oberfläche anliegend, solange die Strömung die durch die Krümmung erforderliche Druckdifferenz aufrechterhalten kann; ist dies nicht möglich, löst sich der Strahl von der Oberfläche ab.
Die Lösung wurde mit der offiziellen Lösung abgeglichen.
IPhO 1983 · Teori sorusu 5
IPhO'nun logosu
Uluslararası Fizik Olimpiyatı'nın logosu aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
Şekil, bir akışkan jetinin yörüngesinin silindirik bir yüzeyin biçimini izleyerek bükülmesi olgusunu göstermektedir. Akışkanın yörüngesi, beklenen kesikli çizgi gibi değil, dairesel sürekli çizgi gibidir.
Bu olguyu (ilk kez Rumen mühendis Henry Coanda tarafından 1936 yılında gözlemlenmiştir) nitel olarak açıklayınız.
Bu soru Olimpiyat'ın genel puanlamasına dahil edilmeyecektir. En iyi çözüme özel bir ödül verilecektir.
Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir.
Cevaplar
- Soru V. Bu, Coandă etkisidir. Jet, çevresindeki akışkanı sürükler ve silindir, jet ile yüzey arasındaki boşluktan sürüklenen akışkanın yerine yeni akışkan gelmesini kısıtlar. Bunun sonucunda silindir tarafında oluşan daha düşük basınç, içeriye doğru bir kuvvet oluşturarak jeti silindirin çevresinde büker.
Çözüm
Soru V.
Silindirin yanından yaklaşık olarak teğet doğrultuda geçen bir jeti ele alalım. Şekilde gösterilen bükülmenin bulunduğu bölgede yerçekimini ihmal ediyoruz.
Viskoz kayma yoluyla —ve akış türbülanslıysa türbülanslı karışma yoluyla— jet, çevresindeki akışkana momentum aktarır ve bu akışkanın bir kısmını beraberinde taşır. Bu sürece sürükleme denir. Diğer yönlerden simetrik bir çevrede bulunan serbest bir jete her iki taraftan da akışkan girebilir; dolayısıyla sürükleme, belirli bir yana doğru tercihli bir sapma oluşturmaz.
Yakındaki silindir bu durumu değiştirir. Jet ile silindir arasındaki akışkan jetin içine sürüklenir, ancak katı yüzey, onun yerini alacak akışkanın gelişini kısıtlar. Bunun sonucunda silindir tarafında düşük basınçlı bir bölge oluşur. Dışa açık taraftaki daha yüksek basınç da jeti silindire doğru iter.
Jet eğri yüzeyi izlemeye başladığında, jetin iki tarafı arasındaki basınç farkı, eğri yörüngesini koruması için gereken merkezcil ivmeyi sağlar. Bunu nicel olarak ifade etmek için, \(r\) silindir ekseninden uzaklığı, \(v\) yerel teğetsel sürati ve \(\rho\) akışkan yoğunluğunu göstersin. Yerel olarak dairesel olan bir akış için, jetin iç kesimindeki normal doğrultudaki momentum dengesinde viskoz kuvvetler ihmal edildiğinde,
\[ -\frac{\partial p}{\partial r} =-\rho\frac{v^{2}}{r}, \qquad\text{dolayısıyla}\qquad \frac{\partial p}{\partial r} =\rho\frac{v^{2}}{r}>0. \]
Böylece basınç silindirden uzaklaştıkça artar: basınç kuvveti, jeti döndürmek için tam da gerektiği gibi, içeriye doğru yönelir.
Örneğin, kalınlığı \(h\ll R\) olan, yoğunluğu yaklaşık olarak sabit ve iç kesimindeki akışı temsil eden sürati \(U\) olan ince bir jet için gerekli basınç farkı şu mertebededir:
\[ p_{\mathrm{outer}}-p_{\mathrm{wall}} \sim \rho U^{2}\frac{h}{R}, \]
burada \(R\) silindirin yarıçapıdır.
Sürükleme, asimetrik basınç alanını oluşturur ve bu basınç alanı jeti büker. Akış, eğriliğin gerektirdiği basınç farkını koruyabildiği sürece jet yüzeye tutunmayı sürdürür; koruyamazsa jet yüzeyden ayrılır.
Çözüm, resmi çözümle karşılaştırılarak kontrol edildi.
IPhO 1983 · Problema teórico 5
El logotipo de la IPhO
El logotipo de la Olimpiada Internacional de Física se representa en la figura siguiente.
La figura muestra el fenómeno de la curvatura de la trayectoria de un chorro de fluido alrededor de una superficie cilíndrica. La trayectoria del fluido no sigue la línea discontinua esperada, sino la línea continua circular.
Explique cualitativamente este fenómeno (observado por primera vez por el ingeniero rumano Henry Coanda en 1936).
Este problema no se tendrá en cuenta en la puntuación general de la Olimpiada. La mejor solución recibirá un premio especial.
Enunciado traducido del texto oficial en inglés.
Respuestas
- Problema V. Se trata del efecto Coandă. El chorro arrastra el fluido circundante, y el cilindro limita la reposición del fluido arrastrado desde el espacio entre el chorro y la superficie. La menor presión resultante en el lado del cilindro produce una fuerza hacia el interior, que curva el chorro alrededor del cilindro.
Solución
Problema V.
Consideremos un chorro que pasa junto al cilindro en una dirección aproximadamente tangencial. Despreciamos la gravedad en la región de la curvatura ilustrada.
Mediante esfuerzos cortantes viscosos —y mezcla turbulenta si el flujo es turbulento—, el chorro transfiere cantidad de movimiento al fluido circundante y arrastra parte de él. Este proceso se denomina arrastre. En un chorro libre cuyo entorno es, por lo demás, simétrico, el fluido puede entrar por ambos lados, de modo que el arrastre no produce una desviación lateral preferente.
La proximidad del cilindro cambia esta situación. El fluido situado entre el chorro y el cilindro es arrastrado hacia el chorro, pero la superficie sólida limita el suministro de fluido de reposición. En consecuencia, se forma una región de presión reducida en el lado del cilindro. La mayor presión en el lado expuesto empuja entonces el chorro hacia el cilindro.
Una vez que el chorro sigue la superficie curva, una diferencia de presión entre sus lados proporciona la aceleración centrípeta necesaria para mantener su trayectoria curva. Para expresar esto cuantitativamente, sean \(r\) la distancia al eje del cilindro, \(v\) la rapidez tangencial local y \(\rho\) la densidad del fluido. Para un flujo localmente circular, despreciando las fuerzas viscosas en el balance de cantidad de movimiento en la dirección normal dentro del seno del chorro,
\[ -\frac{\partial p}{\partial r} =-\rho\frac{v^{2}}{r}, \qquad\text{por tanto}\qquad \frac{\partial p}{\partial r} =\rho\frac{v^{2}}{r}>0. \]
Así, la presión aumenta al alejarse del cilindro: la fuerza de presión apunta hacia el interior, exactamente como se requiere para desviar el chorro.
Por ejemplo, para un chorro delgado de espesor \(h\ll R\), densidad aproximadamente constante y rapidez representativa en su seno \(U\), la diferencia de presión necesaria es del orden de
\[ p_{\mathrm{outer}}-p_{\mathrm{wall}} \sim \rho U^{2}\frac{h}{R}, \]
donde \(R\) es el radio del cilindro.
El arrastre establece el campo de presión asimétrico, y ese campo de presión curva el chorro. El chorro permanece adherido mientras el flujo pueda mantener la diferencia de presión requerida por la curvatura; si no puede hacerlo, el chorro se separa de la superficie.
La solución se comprobó con la solución oficial.
IPhO 1983 · 理论题 5
IPhO 的标志
国际物理奥林匹克竞赛的标志如下图所示。
图中展示了流体射流的轨迹沿圆柱面弯曲的现象。流体的轨迹并非预期的虚线，而是图中的圆弧实线。
请定性解释这一现象（该现象由罗马尼亚工程师亨利·科恩达于 1936 年首次观察到）。
本题不计入奥林匹克竞赛的总分。最佳解答将获得特别奖。
题目译自官方英文原文。
答案
- 题目 V. 这是科恩达效应。射流卷吸周围的流体，而圆柱体限制了流体的补充，使射流与表面之间被卷吸走的流体难以得到补充。由此在靠近圆柱体的一侧形成较低的压强，产生指向内侧的力，使射流绕着圆柱体弯曲。
解答
题目 V.
考虑一股近似沿切向从圆柱体旁流过的射流。在图示的弯曲区域内，我们忽略重力。
通过黏性剪切作用——如果流动是湍流，还包括湍流混合作用——射流将动量传递给周围的流体，并带动其中一部分流体一起流动。这一过程称为卷吸。对于周围环境在其他方面对称的自由射流，流体可以从两侧流入，因此卷吸不会使射流优先向某一侧偏转。
附近的圆柱体改变了这一情况。射流与圆柱体之间的流体被卷吸进入射流，但固体表面限制了补充流体的流入。因此，在靠近圆柱体的一侧形成了低压区。外露一侧较高的压强便将射流推向圆柱体。
一旦射流沿曲面流动，射流两侧的压强差就会提供维持其弯曲轨迹所需的向心加速度。为定量表述这一点，令 \(r\) 表示到圆柱体轴线的距离，\(v\) 为局部切向速率，\(\rho\) 为流体密度。对于局部呈圆周运动的流动，在射流主体内部的法向动量平衡中忽略黏性力，可得
\[ -\frac{\partial p}{\partial r} =-\rho\frac{v^{2}}{r}, \qquad\text{因此}\qquad \frac{\partial p}{\partial r} =\rho\frac{v^{2}}{r}>0. \]
因此，压强随到圆柱体的距离增大而增大：压力指向内侧，恰好满足使射流转弯的要求。
例如，对于厚度为 \(h\ll R\)、密度近似恒定、主体流动的代表性速率为 \(U\) 的薄射流，所需压强差的量级为
\[ p_{\mathrm{outer}}-p_{\mathrm{wall}} \sim \rho U^{2}\frac{h}{R}, \]
其中，\(R\) 为圆柱体的半径。
卷吸建立了不对称的压强场，而这一压强场使射流弯曲。只要流动能够维持曲率所要求的压强差，射流就会保持附着；如果不能，射流便会与表面分离。
解答已与官方解答核对。
IPhO 1983 · Теоретическая задача 5
Логотип IPhO
Логотип Международной физической олимпиады представлен на рисунке ниже.
На рисунке показано явление искривления траектории струи текучей среды при обтекании цилиндрической поверхности. Траектория струи проходит не по ожидаемой штриховой линии, а по сплошной линии в виде дуги окружности.
Дайте качественное объяснение этого явления (впервые наблюдавшегося румынским инженером Анри Коандэ в 1936 году).
Эта задача не будет учитываться в общем зачёте олимпиады. Лучшее решение будет отмечено специальным призом.
Условие переведено с официального английского текста.
Ответы
- Задача V. Это эффект Коандэ. Струя увлекает окружающую текучую среду, а цилиндр ограничивает приток среды взамен той, которая увлекается из пространства между струёй и поверхностью. Возникающее вследствие этого понижение давления со стороны цилиндра создаёт силу, направленную к нему и изгибающую струю вокруг цилиндра.
Решение
Задача V.
Рассмотрим струю, проходящую рядом с цилиндром приблизительно по касательной к его поверхности. В области показанного на рисунке изгиба пренебрежём силой тяжести.
За счёт вязких касательных напряжений, а при турбулентном течении — также за счёт турбулентного перемешивания, струя передаёт импульс окружающей текучей среде и увлекает часть её с собой. Этот процесс называется вовлечением. В свободную струю, находящуюся в симметричном окружении, среда может поступать с обеих сторон, поэтому вовлечение не создаёт преимущественного направления бокового отклонения.
Наличие рядом цилиндра меняет ситуацию. Среда между струёй и цилиндром вовлекается в струю, но твёрдая поверхность ограничивает приток среды ей на смену. В результате со стороны цилиндра образуется область пониженного давления. Более высокое давление с открытой стороны прижимает струю к цилиндру.
Когда струя следует вдоль искривлённой поверхности, перепад давления поперёк струи обеспечивает центростремительное ускорение, необходимое для поддержания её криволинейной траектории. Чтобы выразить это количественно, обозначим через \(r\) расстояние от оси цилиндра, через \(v\) — местную тангенциальную скорость, а через \(\rho\) — плотность текучей среды. Для течения, локально направленного по окружности, пренебрегая вязкими силами в уравнении баланса импульса по нормали к траектории в основной части струи, получаем
\[ -\frac{\partial p}{\partial r} =-\rho\frac{v^{2}}{r}, \qquad\text{следовательно}\qquad \frac{\partial p}{\partial r} =\rho\frac{v^{2}}{r}>0. \]
Таким образом, давление возрастает по мере удаления от цилиндра: сила давления направлена к нему, как и требуется для поворота струи.
Например, для тонкой струи толщиной \(h\ll R\), с приблизительно постоянной плотностью и характерной скоростью в основной части струи \(U\), необходимый перепад давления имеет порядок
\[ p_{\mathrm{outer}}-p_{\mathrm{wall}} \sim \rho U^{2}\frac{h}{R}, \]
где \(R\) — радиус цилиндра.
Вовлечение окружающей среды создаёт асимметричное поле давления, и это поле давления изгибает струю. Струя остаётся прикреплённой к поверхности, пока течение способно поддерживать перепад давления, необходимый при данной кривизне; если это становится невозможным, струя отрывается от поверхности.
Решение проверено по официальному решению.
IPhO 1983 · مسألة نظرية 5
شعار IPhO
يُمثَّل شعار الأولمبياد الدولي للفيزياء في الشكل أدناه.
يوضح الشكل ظاهرة انحناء مسار نفاثة مائع حول سطح أسطواني. ولا يتبع مسار المائع الخط المتقطع المتوقع، بل يتبع الخط الدائري المتصل.
اشرح هذه الظاهرة شرحًا نوعيًا (وقد رصدها لأول مرة المهندس الروماني هنري كواندا عام 1936).
لن تُحتسب هذه المسألة ضمن المجموع العام لدرجات الأولمبياد. وسيُمنح أفضل حل جائزة خاصة.
نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي.
الإجابات
- المسألة V. هذه هي ظاهرة كواندا. تستجر النفاثة المائع المحيط بها، وتحد الأسطوانة من تعويض المائع المستجَر من الحيز الواقع بين النفاثة والسطح. ويؤدي انخفاض الضغط الناتج على الجانب المواجه للأسطوانة إلى نشوء قوة نحو الداخل، تحني النفاثة حول الأسطوانة.
الحل
المسألة V.
لننظر في نفاثة تمر بجانب الأسطوانة في اتجاه مماسي تقريبًا. نهمل تأثير الجاذبية في منطقة الانحناء المبين في الشكل.
تنقل النفاثة الزخم إلى المائع المحيط بها وتحمل جزءًا منه معها بفعل إجهادات القص اللزجة — وبفعل الخلط الاضطرابي أيضًا إذا كان الجريان مضطربًا. وتُسمى هذه العملية الاستجرار. وفي حالة نفاثة حرة في وسط محيط متناظر من سائر النواحي، يمكن للمائع الدخول من كلا الجانبين، ولذلك لا يؤدي الاستجرار إلى انحراف جانبي في اتجاه مفضَّل.
تغيّر الأسطوانة القريبة هذا الوضع. فالمائع الواقع بين النفاثة والأسطوانة يُستجَر إلى داخل النفاثة، لكن السطح الصلب يحد من إمداد هذا الحيز بالمائع الذي يعوضه. ونتيجة لذلك، تنشأ منطقة ذات ضغط منخفض على الجانب المواجه للأسطوانة. وعندئذ يدفع الضغط الأعلى على الجانب المكشوف النفاثة نحو الأسطوانة.
ما إن تتبع النفاثة السطح المنحني حتى يوفر فرق الضغط عبرها التسارع المركزي اللازم للحفاظ على مسارها المنحني. وللتعبير عن ذلك كميًا، ليكن \(r\) مقياسًا للمسافة من محور الأسطوانة، و\(v\) السرعة المماسية المحلية، و\(\rho\) كثافة المائع. بالنسبة إلى جريان دائري محليًا، ومع إهمال القوى اللزجة في موازنة الزخم في الاتجاه العمودي على المسار داخل جسم النفاثة،
\[ -\frac{\partial p}{\partial r} =-\rho\frac{v^{2}}{r}, \qquad\text{ومن ثم}\qquad \frac{\partial p}{\partial r} =\rho\frac{v^{2}}{r}>0. \]
إذن يزداد الضغط بالابتعاد عن الأسطوانة: وتتجه قوة الضغط نحو الداخل، تمامًا كما يلزم لتغيير اتجاه النفاثة.
فعلى سبيل المثال، بالنسبة إلى نفاثة رقيقة سمكها \(h\ll R\)، وكثافتها ثابتة تقريبًا، وسرعة تمثيلية في جسمها مقدارها \(U\)، يكون فرق الضغط المطلوب من رتبة
\[ p_{\mathrm{outer}}-p_{\mathrm{wall}} \sim \rho U^{2}\frac{h}{R}, \]
حيث \(R\) نصف قطر الأسطوانة.
ينشئ الاستجرار مجال الضغط غير المتناظر، ويؤدي مجال الضغط هذا إلى انحناء النفاثة. ويستمر التصاق النفاثة بالسطح ما دام الجريان قادرًا على الحفاظ على فرق الضغط الذي يتطلبه الانحناء؛ وإذا عجز عن ذلك، انفصلت النفاثة عن السطح.
تمت مراجعة الحل بمقارنته بالحل الرسمي.