IMO 1963
6 problems with complete solutions · Official problem paper (PDF)
Problem 1
Find all real roots of the equation \[ \sqrt{x^2-p}+2\sqrt{x^2-1}=x, \] where \(p\) is a real parameter.
Problem 2
Point \(A\) and segment \(BC\) are given. Determine the locus of points in space which are vertices of right angles with one side passing through \(A\), and the other side intersecting the segment \(BC\).
Problem 3
In an \(n\)-gon all of whose interior angles are equal, the lengths of consecutive sides satisfy the relation \[ a_1\ge a_2\ge\cdots\ge a_n. \] Prove that \(a_1=a_2=\cdots=a_n\).
Problem 4
Find all solutions \(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\) of the system \[ \begin{aligned} x_5+x_2&=yx_1\\ x_1+x_3&=yx_2\\ x_2+x_4&=yx_3\\ x_3+x_5&=yx_4\\ x_4+x_1&=yx_5, \end{aligned} \] where \(y\) is a parameter.
Problem 5
Prove that \(\cos \frac{\pi}{7}-\cos \frac{2\pi}{7}+\cos \frac{3\pi}{7}=\frac12\).
Problem 6
Five students, \(A, B, C, D, E\), took part in a contest. One prediction was that the contestants would finish in the order \(ABCDE\). This prediction was very poor. In fact no contestant finished in the position predicted, and no two contestants predicted to finish consecutively actually did so. A second prediction had the contestants finishing in the order \(DAECB\). This prediction was better. Exactly two of the contestants finished in the places predicted, and two disjoint pairs of students predicted to finish consecutively actually did so. Determine the order in which the contestants finished.
IMO 1963
6 Aufgaben mit vollständigen Lösungen · Offizielles Aufgabenblatt (PDF)
Aufgabe 1
Bestimme alle reellen Lösungen der Gleichung \[ \sqrt{x^2-p}+2\sqrt{x^2-1}=x, \] wobei \(p\) ein reeller Parameter ist.
Aufgabe 2
Gegeben sind ein Punkt \(A\) und eine Strecke \(BC\). Bestimme den geometrischen Ort aller Punkte im Raum, die Scheitelpunkte rechter Winkel sind, deren einer Schenkel durch \(A\) geht und deren anderer Schenkel die Strecke \(BC\) schneidet.
Aufgabe 3
In einem \(n\)-Eck, dessen Innenwinkel alle gleich groß sind, erfüllen die Längen aufeinanderfolgender Seiten die Beziehung \[ a_1\ge a_2\ge\cdots\ge a_n. \] Beweise, dass \(a_1=a_2=\cdots=a_n\).
Aufgabe 4
Bestimme alle Lösungen \(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\) des Gleichungssystems \[ \begin{aligned} x_5+x_2&=yx_1\\ x_1+x_3&=yx_2\\ x_2+x_4&=yx_3\\ x_3+x_5&=yx_4\\ x_4+x_1&=yx_5, \end{aligned} \] wobei \(y\) ein Parameter ist.
Aufgabe 5
Beweise, dass \(\cos \frac{\pi}{7}-\cos \frac{2\pi}{7}+\cos \frac{3\pi}{7}=\frac12\).
Aufgabe 6
Fünf Schüler, \(A, B, C, D, E\), nahmen an einem Wettbewerb teil. Eine Vorhersage lautete, dass die Teilnehmer in der Reihenfolge \(ABCDE\) abschneiden würden. Diese Vorhersage war sehr schlecht. Tatsächlich belegte kein Teilnehmer den vorhergesagten Platz, und keine zwei Teilnehmer, denen aufeinanderfolgende Plätze vorhergesagt worden waren, belegten tatsächlich in dieser Reihenfolge aufeinanderfolgende Plätze. Eine zweite Vorhersage gab die Reihenfolge \(DAECB\) an. Diese Vorhersage war besser. Genau zwei der Teilnehmer belegten die vorhergesagten Plätze, und zwei disjunkte Paare von Schülern, denen aufeinanderfolgende Plätze vorhergesagt worden waren, belegten tatsächlich in der vorhergesagten Reihenfolge aufeinanderfolgende Plätze. Bestimme die Reihenfolge, in der die Teilnehmer abschnitten.
IMO 1963
6 soru, tam çözümleriyle · Resmi soru kâğıdı (PDF)
Soru 1
\(p\) bir gerçek parametre olmak üzere, \[ \sqrt{x^2-p}+2\sqrt{x^2-1}=x \] denkleminin tüm gerçek köklerini bulunuz.
Soru 2
\(A\) noktası ve \(BC\) doğru parçası veriliyor. Bir kenarı \(A\)'dan geçen, diğer kenarı ise \(BC\) doğru parçasını kesen dik açıların köşeleri olan uzay noktalarının geometrik yerini belirleyiniz.
Soru 3
Bütün iç açıları eşit olan bir \(n\)-genin ardışık kenar uzunlukları \[ a_1\ge a_2\ge\cdots\ge a_n \] bağıntısını sağlıyor. \(a_1=a_2=\cdots=a_n\) olduğunu kanıtlayınız.
Soru 4
\(y\) bir parametre olmak üzere, \[ \begin{aligned} x_5+x_2&=yx_1\\ x_1+x_3&=yx_2\\ x_2+x_4&=yx_3\\ x_3+x_5&=yx_4\\ x_4+x_1&=yx_5 \end{aligned} \] denklem sisteminin tüm \(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\) çözümlerini bulunuz.
Soru 5
\(\cos \frac{\pi}{7}-\cos \frac{2\pi}{7}+\cos \frac{3\pi}{7}=\frac12\) olduğunu kanıtlayınız.
Soru 6
\(A, B, C, D, E\) adlı beş öğrenci bir yarışmaya katıldı. Bir tahmine göre yarışmacılar yarışmayı \(ABCDE\) sırasıyla bitirecekti. Bu tahmin çok başarısız oldu. Gerçekte hiçbir yarışmacı tahmin edilen sırada yer almadı ve art arda bitireceği tahmin edilen hiçbir iki yarışmacı yarışmayı gerçekten bu şekilde bitirmedi. İkinci bir tahmine göre yarışmacılar yarışmayı \(DAECB\) sırasıyla bitirecekti. Bu tahmin daha başarılıydı. Yarışmacılardan tam olarak ikisi tahmin edilen sıralarda yer aldı ve art arda bitireceği tahmin edilen, ortak öğrencisi olmayan iki öğrenci çifti yarışmayı gerçekten bu şekilde bitirdi. Yarışmacıların yarışmayı hangi sırayla bitirdiğini belirleyiniz.
IMO 1963
6 problemas con soluciones completas · Enunciado oficial (PDF)
Problema 1
Hallar todas las raíces reales de la ecuación \[ \sqrt{x^2-p}+2\sqrt{x^2-1}=x, \] donde \(p\) es un parámetro real.
Problema 2
Se dan un punto \(A\) y un segmento \(BC\). Determinar el lugar geométrico de los puntos del espacio que son vértices de ángulos rectos con un lado que pasa por \(A\) y el otro que corta al segmento \(BC\).
Problema 3
En un \(n\)-gono cuyos ángulos interiores son todos iguales, las longitudes de los lados consecutivos satisfacen la relación \[ a_1\ge a_2\ge\cdots\ge a_n. \] Demostrar que \(a_1=a_2=\cdots=a_n\).
Problema 4
Hallar todas las soluciones \(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\) del sistema \[ \begin{aligned} x_5+x_2&=yx_1\\ x_1+x_3&=yx_2\\ x_2+x_4&=yx_3\\ x_3+x_5&=yx_4\\ x_4+x_1&=yx_5, \end{aligned} \] donde \(y\) es un parámetro.
Problema 5
Demostrar que \(\cos \frac{\pi}{7}-\cos \frac{2\pi}{7}+\cos \frac{3\pi}{7}=\frac12\).
Problema 6
Cinco estudiantes, \(A, B, C, D, E\), participaron en un concurso. Un pronóstico afirmaba que los concursantes quedarían clasificados en el orden \(ABCDE\). Este pronóstico fue muy desacertado. En efecto, ningún concursante terminó en el puesto pronosticado, y ningún par de concursantes que, según el pronóstico, ocuparían puestos consecutivos los ocupó realmente. Un segundo pronóstico daba el orden \(DAECB\). Este pronóstico fue mejor. Exactamente dos de los concursantes terminaron en los puestos pronosticados, y dos pares disjuntos de estudiantes que, según el pronóstico, ocuparían puestos consecutivos los ocuparon realmente. Determinar el orden en que quedaron clasificados los concursantes.
IMO 1963
6 道题及完整解答 · 官方试卷 (PDF)
问题 1
求方程 \[ \sqrt{x^2-p}+2\sqrt{x^2-1}=x, \] 的所有实根，其中 \(p\) 为实参数。
问题 2
已知点 \(A\) 和线段 \(BC\)。求空间中满足下述条件的点的轨迹：该点是一个直角的顶点，这个直角的一边经过 \(A\)，另一边与线段 \(BC\) 相交。
问题 3
一个 \(n\) 边形的所有内角都相等，其各边按顺序的长度满足关系 \[ a_1\ge a_2\ge\cdots\ge a_n. \] 证明 \(a_1=a_2=\cdots=a_n\)。
问题 4
求方程组 \[ \begin{aligned} x_5+x_2&=yx_1\\ x_1+x_3&=yx_2\\ x_2+x_4&=yx_3\\ x_3+x_5&=yx_4\\ x_4+x_1&=yx_5, \end{aligned} \] 的所有解 \(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\)，其中 \(y\) 为参数。
问题 5
证明 \(\cos \frac{\pi}{7}-\cos \frac{2\pi}{7}+\cos \frac{3\pi}{7}=\frac12\)。
问题 6
五名学生 \(A, B, C, D, E\) 参加了一场比赛。有人预测他们的最终名次顺序为 \(ABCDE\)。这一预测很不准确。事实上，没有一名选手的实际名次与预测相符，而且预测中名次相邻的任意两名选手，实际上都没有按所预测的先后顺序取得相邻名次。另一个预测给出的最终名次顺序为 \(DAECB\)。这一预测较为准确。恰有两名选手的实际名次与预测相符，而且有两对互不重叠的学生，预测中他们的名次相邻，实际上也按所预测的先后顺序取得了相邻名次。确定选手们的最终名次顺序。
IMO 1963
6 задач с полными решениями · Официальный текст задач (PDF)
Задача 1
Найдите все действительные корни уравнения \[ \sqrt{x^2-p}+2\sqrt{x^2-1}=x, \] где \(p\) — действительный параметр.
Задача 2
Даны точка \(A\) и отрезок \(BC\). Найдите геометрическое место точек пространства, являющихся вершинами прямых углов, одна сторона которых проходит через \(A\), а другая пересекает отрезок \(BC\).
Задача 3
В \(n\)-угольнике, все внутренние углы которого равны, длины последовательных сторон удовлетворяют соотношению \[ a_1\ge a_2\ge\cdots\ge a_n. \] Докажите, что \(a_1=a_2=\cdots=a_n\).
Задача 4
Найдите все решения \(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\) системы \[ \begin{aligned} x_5+x_2&=yx_1\\ x_1+x_3&=yx_2\\ x_2+x_4&=yx_3\\ x_3+x_5&=yx_4\\ x_4+x_1&=yx_5, \end{aligned} \] где \(y\) — параметр.
Задача 5
Докажите, что \(\cos \frac{\pi}{7}-\cos \frac{2\pi}{7}+\cos \frac{3\pi}{7}=\frac12\).
Задача 6
Пять учеников, \(A, B, C, D, E\), участвовали в соревновании. Согласно одному прогнозу, участники должны были занять места в порядке \(ABCDE\). Этот прогноз оказался весьма неудачным. В действительности ни один участник не занял предсказанного ему места, и ни одна пара участников, которым предсказывали последовательные места, не заняла последовательных мест в предсказанном порядке. Согласно второму прогнозу, участники должны были занять места в порядке \(DAECB\). Этот прогноз оказался удачнее. Ровно двое участников заняли предсказанные им места, и две непересекающиеся пары учеников, которым предсказывали последовательные места, действительно заняли последовательные места в предсказанном порядке. Определите порядок, в котором участники заняли места.
IMO 1963
6 مسائل مع حلول كاملة · ورقة المسائل الرسمية (PDF)
المسألة 1
أوجد جميع الجذور الحقيقية للمعادلة \[ \sqrt{x^2-p}+2\sqrt{x^2-1}=x, \] حيث \(p\) وسيط حقيقي.
المسألة 2
أُعطيت نقطة \(A\) وقطعة مستقيمة \(BC\). عيّن المحل الهندسي للنقاط في الفضاء التي تكون رؤوسًا لزوايا قائمة يمر أحد ضلعيها بالنقطة \(A\)، ويقطع الضلع الآخر القطعة \(BC\).
المسألة 3
في مضلع ذي \(n\) أضلاع جميع زواياه الداخلية متساوية، تحقق أطوال الأضلاع المتتالية العلاقة \[ a_1\ge a_2\ge\cdots\ge a_n. \] أثبت أن \(a_1=a_2=\cdots=a_n\).
المسألة 4
أوجد جميع الحلول \(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\) لنظام المعادلات \[ \begin{aligned} x_5+x_2&=yx_1\\ x_1+x_3&=yx_2\\ x_2+x_4&=yx_3\\ x_3+x_5&=yx_4\\ x_4+x_1&=yx_5, \end{aligned} \] حيث \(y\) وسيط.
المسألة 5
أثبت أن \(\cos \frac{\pi}{7}-\cos \frac{2\pi}{7}+\cos \frac{3\pi}{7}=\frac12\).
المسألة 6
شارك خمسة طلاب، هم \(A, B, C, D, E\)، في مسابقة. كان أحد التوقعات أن ينهي المتسابقون المسابقة بالترتيب \(ABCDE\). وكان هذا التوقع بعيدًا جدًا عن الصواب. ففي الواقع، لم ينهِ أي متسابق المسابقة في المركز المتوقع له، ولم يأتِ أي متسابقين تُوقّع أن يكونا متتاليين على هذا النحو فعلًا. وتوقع ثانٍ أن ينهي المتسابقون المسابقة بالترتيب \(DAECB\). وكان هذا التوقع أفضل. فقد أنهى اثنان بالضبط من المتسابقين المسابقة في المركزين المتوقعين لهما، وتحقق فعلًا مجيء زوجين منفصلين من الطلاب بالتتابع المتوقع. حدّد الترتيب الذي أنهى به المتسابقون المسابقة.