IMO 1962
7 problems with complete solutions · Official problem paper (PDF)
Problem 1
Find the smallest natural number \(n\) which has the following properties:
(a) Its decimal representation has 6 as the last digit.
(b) If the last digit 6 is erased and placed in front of the remaining digits, the resulting number is four times as large as the original number \(n\).
Problem 2
Determine all real numbers \(x\) which satisfy the inequality: \[ \sqrt{3-x}-\sqrt{x+1}>\frac12. \]
Problem 3
Consider the cube \(ABCDA'B'C'D'\) (\(ABCD\) and \(A'B'C'D'\) are the upper and lower bases, respectively, and edges \(AA', BB', CC', DD'\) are parallel). The point \(X\) moves at constant speed along the perimeter of the square \(ABCD\) in the direction \(ABCDA\), and the point \(Y\) moves at the same rate along the perimeter of the square \(B'C'CB\) in the direction \(B'C'CBB'\). Points \(X\) and \(Y\) begin their motion at the same instant from the starting positions \(A\) and \(B'\), respectively. Determine and draw the locus of the midpoints of the segments \(XY\).
Problem 4
Solve the equation \(\cos^2 x+\cos^2 2x+\cos^2 3x=1\).
Problem 5
On the circle \(K\) there are given three distinct points \(A, B, C\). Construct (using only straightedge and compasses) a fourth point \(D\) on \(K\) such that a circle can be inscribed in the quadrilateral thus obtained.
Problem 6
Consider an isosceles triangle. Let \(r\) be the radius of its circumscribed circle and \(\rho\) the radius of its inscribed circle. Prove that the distance \(d\) between the centers of these two circles is \[ d=\sqrt{r(r-2\rho)}. \]
Problem 7
The tetrahedron \(SABC\) has the following property: there exist five spheres, each tangent to the edges \(SA, SB, SC, BCCA, AB\), or to their extensions.
The printed \(BCCA\) denotes the two edges \(BC,CA\); thus all six edge lines are involved.
(a) Prove that the tetrahedron \(SABC\) is regular.
(b) Prove conversely that for every regular tetrahedron five such spheres exist.
IMO 1962
7 Aufgaben mit vollständigen Lösungen · Offizielles Aufgabenblatt (PDF)
Aufgabe 1
Bestimme die kleinste natürliche Zahl \(n\) mit den folgenden Eigenschaften:
(a) Ihre Dezimaldarstellung hat die Endziffer 6.
(b) Wird die Endziffer 6 gestrichen und vor die übrigen Ziffern gesetzt, so ist die entstehende Zahl viermal so groß wie die ursprüngliche Zahl \(n\).
Aufgabe 2
Bestimme alle reellen Zahlen \(x\), die die folgende Ungleichung erfüllen: \[ \sqrt{3-x}-\sqrt{x+1}>\frac12. \]
Aufgabe 3
Gegeben sei der Würfel \(ABCDA'B'C'D'\) (\(ABCD\) und \(A'B'C'D'\) sind die obere bzw. untere Grundfläche, und die Kanten \(AA', BB', CC', DD'\) sind parallel). Der Punkt \(X\) bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit auf dem Rand des Quadrats \(ABCD\) in der Richtung \(ABCDA\), und der Punkt \(Y\) bewegt sich mit derselben Geschwindigkeit auf dem Rand des Quadrats \(B'C'CB\) in der Richtung \(B'C'CBB'\). Die Punkte \(X\) und \(Y\) beginnen ihre Bewegung gleichzeitig in den Ausgangslagen \(A\) bzw. \(B'\). Bestimme und zeichne den geometrischen Ort der Mittelpunkte der Strecken \(XY\).
Aufgabe 4
Löse die Gleichung \(\cos^2 x+\cos^2 2x+\cos^2 3x=1\).
Aufgabe 5
Auf dem Kreis \(K\) sind drei verschiedene Punkte \(A, B, C\) gegeben. Konstruiere (nur mit Zirkel und Lineal) einen vierten Punkt \(D\) auf \(K\), sodass das so entstehende Viereck einen Inkreis besitzt.
Aufgabe 6
Gegeben sei ein gleichschenkliges Dreieck. Es seien \(r\) der Radius seines Umkreises und \(\rho\) der Radius seines Inkreises. Beweise, dass der Abstand \(d\) zwischen den Mittelpunkten dieser beiden Kreise durch \[ d=\sqrt{r(r-2\rho)} \] gegeben ist.
Aufgabe 7
Das Tetraeder \(SABC\) hat die folgende Eigenschaft: Es gibt fünf Kugeln, von denen jede die Kanten \(SA, SB, SC, BCCA, AB\) oder deren Verlängerungen berührt.
Das gedruckte \(BCCA\) bezeichnet die beiden Kanten \(BC,CA\); es sind also alle sechs Kantengeraden gemeint.
(a) Beweise, dass das Tetraeder \(SABC\) regelmäßig ist.
(b) Beweise umgekehrt, dass für jedes regelmäßige Tetraeder fünf solche Kugeln existieren.
IMO 1962
7 soru, tam çözümleriyle · Resmi soru kâğıdı (PDF)
Soru 1
Aşağıdaki özelliklere sahip en küçük doğal sayı \(n\)'yi bulunuz:
(a) Onluk gösteriminin son basamağı 6'dır.
(b) Son basamağındaki 6 silinip kalan basamakların önüne yazıldığında elde edilen sayı, başlangıçtaki \(n\) sayısının dört katıdır.
Soru 2
Şu eşitsizliği sağlayan tüm \(x\) gerçek sayılarını belirleyiniz: \[ \sqrt{3-x}-\sqrt{x+1}>\frac12. \]
Soru 3
\(ABCDA'B'C'D'\) küpünü ele alınız (\(ABCD\) ve \(A'B'C'D'\) sırasıyla üst ve alt tabanlardır ve \(AA', BB', CC', DD'\) ayrıtları paraleldir). \(X\) noktası \(ABCD\) karesinin çevresi boyunca \(ABCDA\) yönünde sabit hızla, \(Y\) noktası ise \(B'C'CB\) karesinin çevresi boyunca \(B'C'CBB'\) yönünde aynı hızla hareket etmektedir. \(X\) ve \(Y\) noktaları harekete aynı anda, sırasıyla \(A\) ve \(B'\) başlangıç konumlarından başlamaktadır. \(XY\) doğru parçalarının orta noktalarının geometrik yerini belirleyiniz ve çiziniz.
Soru 4
\(\cos^2 x+\cos^2 2x+\cos^2 3x=1\) denklemini çözünüz.
Soru 5
\(K\) çemberi üzerinde birbirinden farklı üç \(A, B, C\) noktası verilmiştir. Elde edilen dörtgenin içine bir çember çizilebilecek şekilde, \(K\) üzerinde dördüncü bir \(D\) noktası inşa ediniz (yalnızca cetvel ve pergel kullanınız).
Soru 6
Bir ikizkenar üçgeni ele alınız. Çevrel çemberinin yarıçapı \(r\), iç teğet çemberinin yarıçapı ise \(\rho\) olsun. Bu iki çemberin merkezleri arasındaki \(d\) uzaklığının \[ d=\sqrt{r(r-2\rho)} \] olduğunu ispatlayınız.
Soru 7
\(SABC\) dörtyüzlüsü şu özelliğe sahiptir: her biri \(SA, SB, SC, BCCA, AB\) ayrıtlarına veya bunların uzantılarına teğet olan beş küre vardır.
Basılı metindeki \(BCCA\), \(BC,CA\) ayrıtlarının ikisini belirtmektedir; dolayısıyla altı ayrıt doğrusu da söz konusudur.
(a) \(SABC\) dörtyüzlüsünün düzgün olduğunu ispatlayınız.
(b) Tersine, her düzgün dörtyüzlü için böyle beş kürenin var olduğunu ispatlayınız.
IMO 1962
7 problemas con soluciones completas · Enunciado oficial (PDF)
Problema 1
Hallar el menor número natural \(n\) que tiene las siguientes propiedades:
(a) Su representación decimal tiene un 6 como última cifra.
(b) Si se borra la última cifra, 6, y se coloca delante de las cifras restantes, el número resultante es cuatro veces el número original \(n\).
Problema 2
Determinar todos los números reales \(x\) que satisfacen la desigualdad: \[ \sqrt{3-x}-\sqrt{x+1}>\frac12. \]
Problema 3
Consideremos el cubo \(ABCDA'B'C'D'\) (\(ABCD\) y \(A'B'C'D'\) son las bases superior e inferior, respectivamente, y las aristas \(AA', BB', CC', DD'\) son paralelas). El punto \(X\) se mueve con rapidez constante a lo largo del perímetro del cuadrado \(ABCD\) en el sentido \(ABCDA\), y el punto \(Y\) se mueve con la misma rapidez a lo largo del perímetro del cuadrado \(B'C'CB\) en el sentido \(B'C'CBB'\). Los puntos \(X\) e \(Y\) comienzan su movimiento en el mismo instante desde las posiciones iniciales \(A\) y \(B'\), respectivamente. Determinar y dibujar el lugar geométrico de los puntos medios de los segmentos \(XY\).
Problema 4
Resolver la ecuación \(\cos^2 x+\cos^2 2x+\cos^2 3x=1\).
Problema 5
En la circunferencia \(K\) se dan tres puntos distintos \(A, B, C\). Construir (usando únicamente regla y compás) un cuarto punto \(D\) en \(K\) de modo que se pueda inscribir una circunferencia en el cuadrilátero así obtenido.
Problema 6
Consideremos un triángulo isósceles. Sea \(r\) el radio de su circunferencia circunscrita y \(\rho\) el radio de su circunferencia inscrita. Demostrar que la distancia \(d\) entre los centros de estas dos circunferencias es \[ d=\sqrt{r(r-2\rho)}. \]
Problema 7
El tetraedro \(SABC\) tiene la siguiente propiedad: existen cinco esferas, cada una tangente a las aristas \(SA, SB, SC, BCCA, AB\), o a sus prolongaciones.
La expresión impresa \(BCCA\) designa las dos aristas \(BC,CA\); por tanto, intervienen las rectas que contienen las seis aristas.
(a) Demostrar que el tetraedro \(SABC\) es regular.
(b) Demostrar recíprocamente que para todo tetraedro regular existen cinco esferas de este tipo.
IMO 1962
7 道题及完整解答 · 官方试卷 (PDF)
问题 1
求具有下列性质的最小自然数 \(n\)：
(a) 它的十进制表示的末位数字为 6。
(b) 将末位数字 6 删去，并移到其余数字的最前面，所得的数是原数 \(n\) 的四倍。
问题 2
求满足下列不等式的所有实数 \(x\)： \[ \sqrt{3-x}-\sqrt{x+1}>\frac12. \]
问题 3
考虑正方体 \(ABCDA'B'C'D'\)（\(ABCD\) 和 \(A'B'C'D'\) 分别为上、下底面，棱 \(AA', BB', CC', DD'\) 相互平行）。点 \(X\) 沿正方形 \(ABCD\) 的周界按 \(ABCDA\) 的方向匀速运动，点 \(Y\) 以相同的速率沿正方形 \(B'C'CB\) 的周界按 \(B'C'CBB'\) 的方向运动。点 \(X\) 和 \(Y\) 分别从起点 \(A\) 和 \(B'\) 同时开始运动。求线段 \(XY\) 的中点的轨迹，并画出该轨迹。
问题 4
解方程 \(\cos^2 x+\cos^2 2x+\cos^2 3x=1\)。
问题 5
圆 \(K\) 上给定三个互不相同的点 \(A, B, C\)。仅用直尺和圆规，在 \(K\) 上作出第四个点 \(D\)，使所得的四边形有内切圆。
问题 6
考虑一个等腰三角形。设其外接圆半径为 \(r\)，内切圆半径为 \(\rho\)。证明这两个圆的圆心之间的距离 \(d\) 为 \[ d=\sqrt{r(r-2\rho)}. \]
问题 7
四面体 \(SABC\) 具有下列性质：存在五个球，每个球都与棱 \(SA, SB, SC, BCCA, AB\) 或它们的延长线相切。
原文印出的 \(BCCA\) 表示两条棱 \(BC,CA\)；因此，这里涉及全部六条棱所在的直线。
(a) 证明四面体 \(SABC\) 是正四面体。
(b) 反过来，证明对每个正四面体，都存在这样的五个球。
IMO 1962
7 задач с полными решениями · Официальный текст задач (PDF)
Задача 1
Найдите наименьшее натуральное число \(n\), обладающее следующими свойствами:
(a) Его десятичная запись оканчивается цифрой 6.
(b) Если последнюю цифру 6 стереть и поставить перед оставшимися цифрами, то полученное число будет в четыре раза больше исходного числа \(n\).
Задача 2
Найдите все действительные числа \(x\), удовлетворяющие неравенству: \[ \sqrt{3-x}-\sqrt{x+1}>\frac12. \]
Задача 3
Рассмотрим куб \(ABCDA'B'C'D'\) (\(ABCD\) и \(A'B'C'D'\) — соответственно верхнее и нижнее основания, а рёбра \(AA', BB', CC', DD'\) параллельны). Точка \(X\) движется с постоянной скоростью по периметру квадрата \(ABCD\) в направлении \(ABCDA\), а точка \(Y\) движется с той же скоростью по периметру квадрата \(B'C'CB\) в направлении \(B'C'CBB'\). Точки \(X\) и \(Y\) начинают движение одновременно из точек \(A\) и \(B'\) соответственно. Найдите и изобразите геометрическое место середин отрезков \(XY\).
Задача 4
Решите уравнение \(\cos^2 x+\cos^2 2x+\cos^2 3x=1\).
Задача 5
На окружности \(K\) даны три различные точки \(A, B, C\). Постройте (используя только линейку и циркуль) четвёртую точку \(D\) на \(K\) так, чтобы в полученный четырёхугольник можно было вписать окружность.
Задача 6
Рассмотрим равнобедренный треугольник. Пусть \(r\) — радиус его описанной окружности, а \(\rho\) — радиус его вписанной окружности. Докажите, что расстояние \(d\) между центрами этих двух окружностей равно \[ d=\sqrt{r(r-2\rho)}. \]
Задача 7
Тетраэдр \(SABC\) обладает следующим свойством: существуют пять сфер, каждая из которых касается рёбер \(SA, SB, SC, BCCA, AB\) или их продолжений.
Напечатанное обозначение \(BCCA\) означает два ребра \(BC,CA\); таким образом, речь идёт обо всех шести прямых, содержащих рёбра.
(a) Докажите, что тетраэдр \(SABC\) правильный.
(b) Докажите, обратно, что для любого правильного тетраэдра существуют пять таких сфер.
IMO 1962
7 مسائل مع حلول كاملة · ورقة المسائل الرسمية (PDF)
المسألة 1
أوجد أصغر عدد طبيعي \(n\) يحقق الخاصيتين الآتيتين:
(a) الرقم الأخير في تمثيله العشري هو 6.
(b) إذا حُذف الرقم الأخير 6 ووُضع أمام الأرقام المتبقية، كان العدد الناتج أربعة أمثال العدد الأصلي \(n\).
المسألة 2
عيّن جميع الأعداد الحقيقية \(x\) التي تحقق المتباينة: \[ \sqrt{3-x}-\sqrt{x+1}>\frac12. \]
المسألة 3
ليكن \(ABCDA'B'C'D'\) مكعبًا (قاعدتاه العليا والسفلى هما \(ABCD\) و\(A'B'C'D'\) على الترتيب، والأحرف \(AA', BB', CC', DD'\) متوازية). تتحرك النقطة \(X\) بسرعة ثابتة على محيط المربع \(ABCD\) في الاتجاه \(ABCDA\)، وتتحرك النقطة \(Y\) بالسرعة نفسها على محيط المربع \(B'C'CB\) في الاتجاه \(B'C'CBB'\). تبدأ النقطتان \(X\) و\(Y\) حركتيهما في اللحظة نفسها من الموضعين الابتدائيين \(A\) و\(B'\) على الترتيب. عيّن وارسم المحل الهندسي لمنتصفات القطع \(XY\).
المسألة 4
حل المعادلة \(\cos^2 x+\cos^2 2x+\cos^2 3x=1\).
المسألة 5
أُعطيت ثلاث نقاط متمايزة \(A, B, C\) على الدائرة \(K\). أنشئ (باستخدام المسطرة والفرجار فقط) نقطة رابعة \(D\) على \(K\) بحيث يمكن رسم دائرة داخل الرباعي الناتج تمس أضلاعه الأربعة.
المسألة 6
ليكن لدينا مثلث متساوي الساقين. وليكن \(r\) نصف قطر دائرته المحيطة، و\(\rho\) نصف قطر دائرته الداخلية. أثبت أن المسافة \(d\) بين مركزي هاتين الدائرتين هي \[ d=\sqrt{r(r-2\rho)}. \]
المسألة 7
يتمتع رباعي الوجوه \(SABC\) بالخاصية الآتية: توجد خمس كرات، كل منها تمس الأحرف \(SA, SB, SC, BCCA, AB\)، أو امتداداتها.
الرمز المطبوع \(BCCA\) يدل على الحرفين \(BC,CA\)؛ ومن ثم فإن المستقيمات الحاملة للأحرف الستة كلها معنية.
(a) أثبت أن رباعي الوجوه \(SABC\) منتظم.
(b) أثبت، عكسًا، أنه توجد خمس كرات من هذا النوع لكل رباعي وجوه منتظم.