IMO 1962 · Problem 2
Determine all real numbers \(x\) which satisfy the inequality: \[ \sqrt{3-x}-\sqrt{x+1}>\frac12. \]
Official text of the problem. Official problem paper (PDF)
Answer
\[ \boxed{x\in\left[-1,\;1-\frac{\sqrt{31}}8\right).} \]
Solution
Both square roots are defined precisely when \(-1\le x\le3\). Set \[ t=\sqrt{x+1},\qquad 0\le t\le2. \] Then \(x=t^2-1\), and the inequality becomes \[ \sqrt{4-t^2}>t+\frac12. \] Both sides are nonnegative, so squaring is reversible. Thus \[ \begin{aligned} \sqrt{4-t^2}>t+\frac12 &\iff 4-t^2>t^2+t+\frac14\\ &\iff 8t^2+4t-15<0. \end{aligned} \] The quadratic has roots \[ \frac{-1-\sqrt{31}}4 \quad\text{and}\quad \frac{-1+\sqrt{31}}4. \] Its leading coefficient is positive, so it is negative exactly between these roots. The first root is negative and the second lies in \((0,2)\). Consequently, for \(t\in[0,2]\), the inequality holds exactly when \[ 0\le t<\frac{\sqrt{31}-1}{4}. \] Since these quantities are nonnegative, this is equivalent to \[ 0\le x+1< \left(\frac{\sqrt{31}-1}{4}\right)^2 =2-\frac{\sqrt{31}}8, \] or \[ -1\le x<1-\frac{\sqrt{31}}8. \] All transformations were equivalences on the domain, so this is the complete solution set.
The solution was checked against John Scholes' IMO solution archive (Kalva).
IMO 1962 · Aufgabe 2
Bestimme alle reellen Zahlen \(x\), die die folgende Ungleichung erfüllen: \[ \sqrt{3-x}-\sqrt{x+1}>\frac12. \]
Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt. Offizielles Aufgabenblatt (PDF)
Antwort
\[ \boxed{x\in\left[-1,\;1-\frac{\sqrt{31}}8\right).} \]
Lösung
Beide Quadratwurzeln sind genau dann definiert, wenn \(-1\le x\le3\). Setze \[ t=\sqrt{x+1},\qquad 0\le t\le2. \] Dann gilt \(x=t^2-1\), und die Ungleichung wird zu \[ \sqrt{4-t^2}>t+\frac12. \] Beide Seiten sind nichtnegativ, daher ist das Quadrieren eine Äquivalenzumformung. Somit gilt \[ \begin{aligned} \sqrt{4-t^2}>t+\frac12 &\iff 4-t^2>t^2+t+\frac14\\ &\iff 8t^2+4t-15<0. \end{aligned} \] Das quadratische Polynom hat die Nullstellen \[ \frac{-1-\sqrt{31}}4 \quad\text{und}\quad \frac{-1+\sqrt{31}}4. \] Sein führender Koeffizient ist positiv, daher ist es genau zwischen diesen Nullstellen negativ. Die erste Nullstelle ist negativ, und die zweite liegt in \((0,2)\). Folglich gilt die Ungleichung für \(t\in[0,2]\) genau dann, wenn \[ 0\le t<\frac{\sqrt{31}-1}{4}. \] Da diese Größen nichtnegativ sind, ist dies äquivalent zu \[ 0\le x+1< \left(\frac{\sqrt{31}-1}{4}\right)^2 =2-\frac{\sqrt{31}}8, \] oder \[ -1\le x<1-\frac{\sqrt{31}}8. \] Alle Umformungen waren im Definitionsbereich Äquivalenzumformungen, daher ist dies die vollständige Lösungsmenge.
Die Lösung wurde mit dem IMO-Lösungsarchiv von John Scholes (Kalva) abgeglichen.
IMO 1962 · Soru 2
Şu eşitsizliği sağlayan tüm \(x\) gerçek sayılarını belirleyiniz: \[ \sqrt{3-x}-\sqrt{x+1}>\frac12. \]
Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir. Resmi soru kâğıdı (PDF)
Cevap
\[ \boxed{x\in\left[-1,\;1-\frac{\sqrt{31}}8\right).} \]
Çözüm
Her iki karekökün de tanımlı olması için gerek ve yeter koşul \(-1\le x\le3\) olmasıdır. \[ t=\sqrt{x+1},\qquad 0\le t\le2 \] olsun. Bu durumda \(x=t^2-1\) olur ve eşitsizlik \[ \sqrt{4-t^2}>t+\frac12 \] biçimine dönüşür. Her iki taraf da negatif olmadığından, kare alma işlemi tersine çevrilebilir. Böylece \[ \begin{aligned} \sqrt{4-t^2}>t+\frac12 &\iff 4-t^2>t^2+t+\frac14\\ &\iff 8t^2+4t-15<0. \end{aligned} \] İkinci dereceden ifadenin kökleri \[ \frac{-1-\sqrt{31}}4 \quad\text{ve}\quad \frac{-1+\sqrt{31}}4 \] olur. Başkatsayısı pozitif olduğundan, ifade yalnızca bu kökler arasında negatiftir. İlk kök negatiftir, ikinci kök ise \((0,2)\) aralığındadır. Dolayısıyla \(t\in[0,2]\) için eşitsizliğin sağlanması, tam olarak \[ 0\le t<\frac{\sqrt{31}-1}{4} \] koşuluna denktir. Bu nicelikler negatif olmadığından, bu koşul \[ 0\le x+1< \left(\frac{\sqrt{31}-1}{4}\right)^2 =2-\frac{\sqrt{31}}8, \] ya da \[ -1\le x<1-\frac{\sqrt{31}}8 \] ile eşdeğerdir. Tüm dönüşümler tanım kümesi üzerinde eşdeğer olduğundan, çözüm kümesinin tamamı budur.
Çözüm, John Scholes'un IMO çözüm arşiviyle (Kalva) karşılaştırılarak kontrol edildi.
IMO 1962 · Problema 2
Determinar todos los números reales \(x\) que satisfacen la desigualdad: \[ \sqrt{3-x}-\sqrt{x+1}>\frac12. \]
Enunciado traducido del texto oficial en inglés. Enunciado oficial (PDF)
Respuesta
\[ \boxed{x\in\left[-1,\;1-\frac{\sqrt{31}}8\right).} \]
Solución
Ambas raíces cuadradas están definidas precisamente cuando \(-1\le x\le3\). Sea \[ t=\sqrt{x+1},\qquad 0\le t\le2. \] Entonces \(x=t^2-1\), y la desigualdad se convierte en \[ \sqrt{4-t^2}>t+\frac12. \] Ambos miembros son no negativos, por lo que elevar al cuadrado es una operación reversible. Así, \[ \begin{aligned} \sqrt{4-t^2}>t+\frac12 &\iff 4-t^2>t^2+t+\frac14\\ &\iff 8t^2+4t-15<0. \end{aligned} \] El polinomio cuadrático tiene raíces \[ \frac{-1-\sqrt{31}}4 \quad\text{y}\quad \frac{-1+\sqrt{31}}4. \] Su coeficiente principal es positivo, por lo que es negativo exactamente entre estas raíces. La primera raíz es negativa y la segunda pertenece a \((0,2)\). En consecuencia, para \(t\in[0,2]\), la desigualdad se cumple exactamente cuando \[ 0\le t<\frac{\sqrt{31}-1}{4}. \] Como estas cantidades son no negativas, esto equivale a \[ 0\le x+1< \left(\frac{\sqrt{31}-1}{4}\right)^2 =2-\frac{\sqrt{31}}8, \] o bien a \[ -1\le x<1-\frac{\sqrt{31}}8. \] Todas las transformaciones fueron equivalencias en el dominio, de modo que este es el conjunto completo de soluciones.
La solución se comprobó con el archivo de soluciones de la IMO de John Scholes (Kalva).
IMO 1962 · 问题 2
求满足下列不等式的所有实数 \(x\)： \[ \sqrt{3-x}-\sqrt{x+1}>\frac12. \]
题目译自官方英文原文。 官方试卷 (PDF)
答案
\[ \boxed{x\in\left[-1,\;1-\frac{\sqrt{31}}8\right).} \]
解答
两个平方根都有意义的充要条件是 \(-1\le x\le3\)。令 \[ t=\sqrt{x+1},\qquad 0\le t\le2. \] 则 \(x=t^2-1\)，原不等式化为 \[ \sqrt{4-t^2}>t+\frac12. \] 两边均非负，因此平方是等价变形。于是 \[ \begin{aligned} \sqrt{4-t^2}>t+\frac12 &\iff 4-t^2>t^2+t+\frac14\\ &\iff 8t^2+4t-15<0. \end{aligned} \] 该二次多项式的两个根为 \[ \frac{-1-\sqrt{31}}4 \quad\text{和}\quad \frac{-1+\sqrt{31}}4. \] 它的二次项系数为正，因此恰在这两个根之间取负值。第一个根为负，第二个根在 \((0,2)\) 内。因此，对于 \(t\in[0,2]\)，不等式成立的充要条件是 \[ 0\le t<\frac{\sqrt{31}-1}{4}. \] 由于这些量均非负，这等价于 \[ 0\le x+1< \left(\frac{\sqrt{31}-1}{4}\right)^2 =2-\frac{\sqrt{31}}8, \] 即 \[ -1\le x<1-\frac{\sqrt{31}}8. \] 所有变形在定义域内都是等价变形，因此这就是完整的解集。
解答已与 John Scholes 的 IMO 解答档案（Kalva）核对。
IMO 1962 · Задача 2
Найдите все действительные числа \(x\), удовлетворяющие неравенству: \[ \sqrt{3-x}-\sqrt{x+1}>\frac12. \]
Условие переведено с официального английского текста. Официальный текст задач (PDF)
Ответ
\[ \boxed{x\in\left[-1,\;1-\frac{\sqrt{31}}8\right).} \]
Решение
Оба квадратных корня определены тогда и только тогда, когда \(-1\le x\le3\). Положим \[ t=\sqrt{x+1},\qquad 0\le t\le2. \] Тогда \(x=t^2-1\), и неравенство принимает вид \[ \sqrt{4-t^2}>t+\frac12. \] Обе части неотрицательны, поэтому возведение в квадрат является равносильным преобразованием. Таким образом, \[ \begin{aligned} \sqrt{4-t^2}>t+\frac12 &\iff 4-t^2>t^2+t+\frac14\\ &\iff 8t^2+4t-15<0. \end{aligned} \] Корни квадратного трёхчлена равны \[ \frac{-1-\sqrt{31}}4 \quad\text{и}\quad \frac{-1+\sqrt{31}}4. \] Его старший коэффициент положителен, поэтому трёхчлен отрицателен в точности между этими корнями. Первый корень отрицателен, а второй принадлежит \((0,2)\). Следовательно, при \(t\in[0,2]\) неравенство выполняется тогда и только тогда, когда \[ 0\le t<\frac{\sqrt{31}-1}{4}. \] Поскольку эти величины неотрицательны, это равносильно неравенствам \[ 0\le x+1< \left(\frac{\sqrt{31}-1}{4}\right)^2 =2-\frac{\sqrt{31}}8, \] или \[ -1\le x<1-\frac{\sqrt{31}}8. \] Все преобразования были равносильными на области определения, поэтому получено полное множество решений.
Решение проверено по архиву решений IMO Джона Скоулза (Kalva).
IMO 1962 · المسألة 2
عيّن جميع الأعداد الحقيقية \(x\) التي تحقق المتباينة: \[ \sqrt{3-x}-\sqrt{x+1}>\frac12. \]
نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي. ورقة المسائل الرسمية (PDF)
الإجابة
\[ \boxed{x\in\left[-1,\;1-\frac{\sqrt{31}}8\right).} \]
الحل
يكون كلا الجذرين التربيعيين معرّفًا إذا وفقط إذا كان \(-1\le x\le3\). نضع \[ t=\sqrt{x+1},\qquad 0\le t\le2. \] عندئذ \(x=t^2-1\)، وتصبح المتباينة \[ \sqrt{4-t^2}>t+\frac12. \] كلا الطرفين غير سالب، لذا فإن التربيع عملية تكافئية. ومن ثم \[ \begin{aligned} \sqrt{4-t^2}>t+\frac12 &\iff 4-t^2>t^2+t+\frac14\\ &\iff 8t^2+4t-15<0. \end{aligned} \] جذرا ثلاثي الحدود التربيعي هما \[ \frac{-1-\sqrt{31}}4 \quad\text{و}\quad \frac{-1+\sqrt{31}}4. \] معامل الحد الأعلى درجة موجب، لذا يكون ثلاثي الحدود سالبًا بين هذين الجذرين فقط. الجذر الأول سالب، والثاني يقع في \((0,2)\). وبالتالي، من أجل \(t\in[0,2]\)، تتحقق المتباينة إذا وفقط إذا كان \[ 0\le t<\frac{\sqrt{31}-1}{4}. \] وبما أن هذه الكميات غير سالبة، فإن ذلك يكافئ \[ 0\le x+1< \left(\frac{\sqrt{31}-1}{4}\right)^2 =2-\frac{\sqrt{31}}8, \] أو \[ -1\le x<1-\frac{\sqrt{31}}8. \] كانت جميع التحويلات تكافئية ضمن مجال التعريف، لذا فهذه هي مجموعة الحلول كاملة.
تمت مراجعة الحل بمقارنته بأرشيف حلول IMO لجون سكولز (Kalva).