IMO 1962 · Problem 1
Find the smallest natural number \(n\) which has the following properties:
(a) Its decimal representation has 6 as the last digit.
(b) If the last digit 6 is erased and placed in front of the remaining digits, the resulting number is four times as large as the original number \(n\).
Official text of the problem. Official problem paper (PDF)
Answer
\[ \boxed{153846} \]
Solution
The one-digit number \(6\) does not satisfy (b), since moving its digit leaves it unchanged.
For any other candidate, write \[ n=10a+6, \] where \(a\) has exactly \(k\ge1\) decimal digits. Moving the last digit to the front gives \(6\cdot10^k+a\). Thus condition (b) is equivalent to \[ 6\cdot10^k+a=4(10a+6), \] or \[ 13a=2\cdot10^k-8. \] Since \(a\) is an integer, necessarily \[ 10^k\equiv4\pmod{13}. \]
The first five positive powers of \(10\) have residues \[ 10,\ 9,\ 12,\ 3,\ 4\pmod{13}, \] respectively. Consequently, \(k\ge5\), so any solution has at least six digits.
For \(k=5\), the equation uniquely determines \[ a=\frac{2\cdot10^5-8}{13}=15384, \] which indeed has five digits. Hence \[ n=153846. \] Moving its last digit to the front gives \[ 615384=4\cdot153846, \] so this number satisfies both conditions.
There is no solution with fewer digits, this is the unique six-digit solution, and every number with more digits is larger. Therefore the required minimum is \(\boxed{153846}\).
The solution was checked against John Scholes' IMO solution archive (Kalva).
IMO 1962 · Aufgabe 1
Bestimme die kleinste natürliche Zahl \(n\) mit den folgenden Eigenschaften:
(a) Ihre Dezimaldarstellung hat die Endziffer 6.
(b) Wird die Endziffer 6 gestrichen und vor die übrigen Ziffern gesetzt, so ist die entstehende Zahl viermal so groß wie die ursprüngliche Zahl \(n\).
Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt. Offizielles Aufgabenblatt (PDF)
Antwort
\[ \boxed{153846} \]
Lösung
Die einstellige Zahl \(6\) erfüllt (b) nicht, da sie beim Verschieben ihrer Ziffer unverändert bleibt.
Für jede andere infrage kommende Zahl schreiben wir \[ n=10a+6, \] wobei \(a\) genau \(k\ge1\) Dezimalstellen hat. Wird die letzte Ziffer an den Anfang gesetzt, so ergibt sich \(6\cdot10^k+a\). Damit ist Bedingung (b) äquivalent zu \[ 6\cdot10^k+a=4(10a+6), \] oder \[ 13a=2\cdot10^k-8. \] Da \(a\) eine ganze Zahl ist, gilt notwendigerweise \[ 10^k\equiv4\pmod{13}. \]
Die ersten fünf positiven Potenzen von \(10\) haben die Reste \[ 10,\ 9,\ 12,\ 3,\ 4\pmod{13}, \] in dieser Reihenfolge. Folglich gilt \(k\ge5\), sodass jede Lösung mindestens sechs Stellen hat.
Für \(k=5\) bestimmt die Gleichung eindeutig \[ a=\frac{2\cdot10^5-8}{13}=15384, \] was tatsächlich eine fünfstellige Zahl ist. Somit ist \[ n=153846. \] Wird ihre letzte Ziffer an den Anfang gesetzt, so ergibt sich \[ 615384=4\cdot153846, \] also erfüllt diese Zahl beide Bedingungen.
Es gibt keine Lösung mit weniger Stellen, dies ist die einzige sechsstellige Lösung, und jede Zahl mit mehr Stellen ist größer. Daher ist das gesuchte Minimum \(\boxed{153846}\).
Die Lösung wurde mit dem IMO-Lösungsarchiv von John Scholes (Kalva) abgeglichen.
IMO 1962 · Soru 1
Aşağıdaki özelliklere sahip en küçük doğal sayı \(n\)'yi bulunuz:
(a) Onluk gösteriminin son basamağı 6'dır.
(b) Son basamağındaki 6 silinip kalan basamakların önüne yazıldığında elde edilen sayı, başlangıçtaki \(n\) sayısının dört katıdır.
Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir. Resmi soru kâğıdı (PDF)
Cevap
\[ \boxed{153846} \]
Çözüm
Tek basamaklı \(6\) sayısı (b) koşulunu sağlamaz; çünkü basamağının yerini değiştirmek sayıyı değiştirmez.
Diğer her aday için \[ n=10a+6, \] yazalım; burada \(a\), onluk gösteriminde tam olarak \(k\ge1\) basamağı olan bir sayıdır. Son basamak başa alındığında \(6\cdot10^k+a\) elde edilir. Dolayısıyla (b) koşulu \[ 6\cdot10^k+a=4(10a+6), \] ya da \[ 13a=2\cdot10^k-8 \] eşitliğine denktir. \(a\) bir tam sayı olduğundan, zorunlu olarak \[ 10^k\equiv4\pmod{13} \] olmalıdır.
\(10\)'un ilk beş pozitif tam sayı kuvvetinin kalanları sırasıyla \[ 10,\ 9,\ 12,\ 3,\ 4\pmod{13}, \] olur. Bu nedenle \(k\ge5\) olur; dolayısıyla her çözüm en az altı basamaklıdır.
\(k=5\) için denklem \(a\)'yı tek bir biçimde \[ a=\frac{2\cdot10^5-8}{13}=15384, \] olarak belirler ve bu sayı gerçekten beş basamaklıdır. Böylece \[ n=153846 \] olur. Son basamağı başa alındığında \[ 615384=4\cdot153846, \] elde edilir; dolayısıyla bu sayı her iki koşulu da sağlar.
Daha az basamaklı bir çözüm yoktur, bu sayı altı basamaklı tek çözümdür ve daha fazla basamaklı her sayı daha büyüktür. O hâlde istenen en küçük sayı \(\boxed{153846}\)'dır.
Çözüm, John Scholes'un IMO çözüm arşiviyle (Kalva) karşılaştırılarak kontrol edildi.
IMO 1962 · Problema 1
Hallar el menor número natural \(n\) que tiene las siguientes propiedades:
(a) Su representación decimal tiene un 6 como última cifra.
(b) Si se borra la última cifra, 6, y se coloca delante de las cifras restantes, el número resultante es cuatro veces el número original \(n\).
Enunciado traducido del texto oficial en inglés. Enunciado oficial (PDF)
Respuesta
\[ \boxed{153846} \]
Solución
El número de una sola cifra \(6\) no satisface (b), pues al trasladar su cifra permanece inalterado.
Para cualquier otro candidato, escribimos \[ n=10a+6, \] donde \(a\) tiene exactamente \(k\ge1\) cifras decimales. Al trasladar la última cifra al principio se obtiene \(6\cdot10^k+a\). Por tanto, la condición (b) equivale a \[ 6\cdot10^k+a=4(10a+6), \] o bien a \[ 13a=2\cdot10^k-8. \] Como \(a\) es un entero, necesariamente \[ 10^k\equiv4\pmod{13}. \]
Las primeras cinco potencias de \(10\) con exponente positivo tienen residuos \[ 10,\ 9,\ 12,\ 3,\ 4\pmod{13}, \] respectivamente. En consecuencia, \(k\ge5\), de modo que toda solución tiene al menos seis cifras.
Para \(k=5\), la ecuación determina de manera única \[ a=\frac{2\cdot10^5-8}{13}=15384, \] que, en efecto, tiene cinco cifras. Por tanto, \[ n=153846. \] Al trasladar su última cifra al principio se obtiene \[ 615384=4\cdot153846, \] por lo que este número satisface ambas condiciones.
No hay ninguna solución con menos cifras, esta es la única solución de seis cifras y todo número con más cifras es mayor. Por lo tanto, el mínimo buscado es \(\boxed{153846}\).
La solución se comprobó con el archivo de soluciones de la IMO de John Scholes (Kalva).
IMO 1962 · 问题 1
求具有下列性质的最小自然数 \(n\)：
(a) 它的十进制表示的末位数字为 6。
(b) 将末位数字 6 删去，并移到其余数字的最前面，所得的数是原数 \(n\) 的四倍。
题目译自官方英文原文。 官方试卷 (PDF)
答案
\[ \boxed{153846} \]
解答
一位数 \(6\) 不满足 (b)，因为移动它的数字后，数值不变。
对于任何其他可能的数，设 \[ n=10a+6, \] 其中 \(a\) 恰有 \(k\ge1\) 位十进制数字。将末位数字移到最前面，得到 \(6\cdot10^k+a\)。因此，条件 (b) 等价于 \[ 6\cdot10^k+a=4(10a+6), \] 即 \[ 13a=2\cdot10^k-8. \] 由于 \(a\) 是整数，必有 \[ 10^k\equiv4\pmod{13}. \]
\(10\) 的前五个正整数次幂模 \(13\) 的余数依次为 \[ 10,\ 9,\ 12,\ 3,\ 4\pmod{13}, \] 因此，\(k\ge5\)，所以任何满足条件的数都至少有六位。
当 \(k=5\) 时，方程唯一确定 \[ a=\frac{2\cdot10^5-8}{13}=15384, \] 它确实是五位数。因此 \[ n=153846. \] 将它的末位数字移到最前面，得到 \[ 615384=4\cdot153846, \] 所以这个数满足两个条件。
不存在位数更少的解，这是唯一的六位数解，而位数更多的数都比它大。因此，所求的最小值为 \(\boxed{153846}\)。
解答已与 John Scholes 的 IMO 解答档案（Kalva）核对。
IMO 1962 · Задача 1
Найдите наименьшее натуральное число \(n\), обладающее следующими свойствами:
(a) Его десятичная запись оканчивается цифрой 6.
(b) Если последнюю цифру 6 стереть и поставить перед оставшимися цифрами, то полученное число будет в четыре раза больше исходного числа \(n\).
Условие переведено с официального английского текста. Официальный текст задач (PDF)
Ответ
\[ \boxed{153846} \]
Решение
Однозначное число \(6\) не удовлетворяет условию (b), поскольку перестановка его цифры не изменяет числа.
Любое другое подходящее число запишем в виде \[ n=10a+6, \] где \(a\) имеет ровно \(k\ge1\) десятичных цифр. Перенос последней цифры в начало даёт \(6\cdot10^k+a\). Таким образом, условие (b) равносильно равенству \[ 6\cdot10^k+a=4(10a+6), \] или \[ 13a=2\cdot10^k-8. \] Поскольку \(a\) — целое число, необходимо, чтобы \[ 10^k\equiv4\pmod{13}. \]
Первые пять положительных степеней числа \(10\) имеют остатки \[ 10,\ 9,\ 12,\ 3,\ 4\pmod{13}, \] соответственно. Следовательно, \(k\ge5\), так что любое решение имеет не менее шести цифр.
При \(k=5\) уравнение однозначно определяет \[ a=\frac{2\cdot10^5-8}{13}=15384, \] и это число действительно имеет пять цифр. Поэтому \[ n=153846. \] Перенос его последней цифры в начало даёт \[ 615384=4\cdot153846, \] так что это число удовлетворяет обоим условиям.
Решений с меньшим количеством цифр нет, это единственное шестизначное решение, а любое число с большим количеством цифр больше него. Следовательно, искомый минимум равен \(\boxed{153846}\).
Решение проверено по архиву решений IMO Джона Скоулза (Kalva).
IMO 1962 · المسألة 1
أوجد أصغر عدد طبيعي \(n\) يحقق الخاصيتين الآتيتين:
(a) الرقم الأخير في تمثيله العشري هو 6.
(b) إذا حُذف الرقم الأخير 6 ووُضع أمام الأرقام المتبقية، كان العدد الناتج أربعة أمثال العدد الأصلي \(n\).
نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي. ورقة المسائل الرسمية (PDF)
الإجابة
\[ \boxed{153846} \]
الحل
العدد \(6\) المكوّن من رقم واحد لا يحقق (b)، لأن نقل رقمه يبقيه دون تغيير.
لأي عدد مرشح آخر، نكتب \[ n=10a+6, \] حيث يتكون \(a\) من \(k\ge1\) أرقام عشرية بالضبط. ينتج عن نقل الرقم الأخير إلى المقدمة العدد \(6\cdot10^k+a\). ومن ثم فإن الشرط (b) يكافئ \[ 6\cdot10^k+a=4(10a+6), \] أو \[ 13a=2\cdot10^k-8. \] وبما أن \(a\) عدد صحيح، فلا بد أن \[ 10^k\equiv4\pmod{13}. \]
بواقي القوى الخمس الأولى ذات الأسس الموجبة للعدد \(10\) هي \[ 10,\ 9,\ 12,\ 3,\ 4\pmod{13}, \] على الترتيب. وبالتالي، \(k\ge5\)، فيتكون كل حل من ستة أرقام على الأقل.
عندما \(k=5\)، تحدد المعادلة على نحو وحيد \[ a=\frac{2\cdot10^5-8}{13}=15384, \] وهو بالفعل مكوّن من خمسة أرقام. ومن ثم \[ n=153846. \] بنقل رقمه الأخير إلى المقدمة نحصل على \[ 615384=4\cdot153846, \] إذن يحقق هذا العدد كلا الشرطين.
لا يوجد حل ذو عدد أقل من الأرقام، وهذا هو الحل الوحيد المكوّن من ستة أرقام، وكل عدد ذي أرقام أكثر أكبر منه. لذلك فإن أصغر عدد مطلوب هو \(\boxed{153846}\).
تمت مراجعة الحل بمقارنته بأرشيف حلول IMO لجون سكولز (Kalva).