IMO 1961

6 problems with complete solutions · Official problem paper (PDF)

1. Problem 1

   Solve the system of equations: \[ \begin{aligned} x+y+z&=a\\ x^2+y^2+z^2&=b^2\\ xy&=z^2 \end{aligned} \] where \(a\) and \(b\) are constants. Give the conditions that \(a\) and \(b\) must satisfy so that \(x,y,z\) (the solutions of the system) are distinct positive numbers.

   Solution →

2. Problem 2

   Let \(a,b,c\) be the sides of a triangle, and \(T\) its area. Prove: \(a^2+b^2+c^2 \ge 4\sqrt{3}T\). In what case does equality hold?

   Solution →

3. Problem 3

   Solve the equation \(\cos^n x-\sin^n x=1\), where \(n\) is a natural number.

   Solution →

4. Problem 4

   Consider triangle \(P_1P_2P_3\) and a point \(P\) within the triangle. Lines \(P_1P, P_2P, P_3P\) intersect the opposite sides in points \(Q_1, Q_2, Q_3\) respectively. Prove that, of the numbers \[ \frac{P_1P}{PQ_1},\ \frac{P_2P}{PQ_2},\ \frac{P_3P}{PQ_3} \] at least one is \(\leq 2\) and at least one is \(\geq 2\).

   Solution →

5. Problem 5

   Construct triangle \(ABC\) if \(AC=b\), \(AB=c\) and \(\angle AMB=\omega\), where \(M\) is the midpoint of segment \(BC\) and \(\omega<90^\circ\). Prove that a solution exists if and only if \[ b\tan\frac{\omega}{2}\le c<b. \] In what case does the equality hold?

   Solution →

6. Problem 6

   Consider a plane \(\varepsilon\) and three non-collinear points \(A,B,C\) on the same side of \(\varepsilon\); suppose the plane determined by these three points is not parallel to \(\varepsilon\). In plane a take three arbitrary points \(A',B',C'\). Let \(L,M,N\) be the midpoints of segments \(AA',BB',CC'\); let \(G\) be the centroid of triangle \(LMN\). (We will not consider positions of the points \(A',B',C'\) such that the points \(L,M,N\) do not form a triangle.) What is the locus of point \(G\) as \(A',B',C'\) range independently over the plane \(\varepsilon\)?

   Solution →

All years

IMO 1961

6 Aufgaben mit vollständigen Lösungen · Offizielles Aufgabenblatt (PDF)

1. Aufgabe 1

   Löse das Gleichungssystem: \[ \begin{aligned} x+y+z&=a\\ x^2+y^2+z^2&=b^2\\ xy&=z^2 \end{aligned} \] wobei \(a\) und \(b\) Konstanten sind. Gib die Bedingungen an, die \(a\) und \(b\) erfüllen müssen, damit \(x,y,z\) (die Lösungen des Systems) verschiedene positive Zahlen sind.

   Lösung →

2. Aufgabe 2

   Seien \(a,b,c\) die Seitenlängen eines Dreiecks und \(T\) sein Flächeninhalt. Beweise: \(a^2+b^2+c^2 \ge 4\sqrt{3}T\). In welchem Fall gilt Gleichheit?

   Lösung →

3. Aufgabe 3

   Löse die Gleichung \(\cos^n x-\sin^n x=1\), wobei \(n\) eine natürliche Zahl ist.

   Lösung →

4. Aufgabe 4

   Gegeben seien ein Dreieck \(P_1P_2P_3\) und ein Punkt \(P\) im Inneren des Dreiecks. Die Geraden \(P_1P, P_2P, P_3P\) schneiden die jeweils gegenüberliegenden Seiten in den Punkten \(Q_1, Q_2, Q_3\). Beweise, dass von den Zahlen \[ \frac{P_1P}{PQ_1},\ \frac{P_2P}{PQ_2},\ \frac{P_3P}{PQ_3} \] mindestens eine \(\leq 2\) und mindestens eine \(\geq 2\) ist.

   Lösung →

5. Aufgabe 5

   Konstruiere ein Dreieck \(ABC\), wenn \(AC=b\), \(AB=c\) und \(\angle AMB=\omega\) gegeben sind, wobei \(M\) der Mittelpunkt der Strecke \(BC\) ist und \(\omega<90^\circ\) gilt. Beweise, dass genau dann eine Lösung existiert, wenn \[ b\tan\frac{\omega}{2}\le c<b. \] In welchem Fall gilt Gleichheit?

   Lösung →

6. Aufgabe 6

   Gegeben seien eine Ebene \(\varepsilon\) und drei nicht auf einer Geraden liegende Punkte \(A,B,C\) auf derselben Seite von \(\varepsilon\); die durch diese drei Punkte bestimmte Ebene sei nicht parallel zu \(\varepsilon\). Wähle in der Ebene a drei beliebige Punkte \(A',B',C'\). Seien \(L,M,N\) die Mittelpunkte der Strecken \(AA',BB',CC'\); sei \(G\) der Schwerpunkt des Dreiecks \(LMN\). (Lagen der Punkte \(A',B',C'\), für die die Punkte \(L,M,N\) kein Dreieck bilden, werden nicht betrachtet.) Welchen geometrischen Ort beschreibt der Punkt \(G\), wenn \(A',B',C'\) unabhängig voneinander die Ebene \(\varepsilon\) durchlaufen?

   Lösung →

Alle Jahrgänge

IMO 1961

6 soru, tam çözümleriyle · Resmi soru kâğıdı (PDF)

1. Soru 1

   Aşağıdaki denklem sistemini çözünüz: \[ \begin{aligned} x+y+z&=a\\ x^2+y^2+z^2&=b^2\\ xy&=z^2 \end{aligned} \] Burada \(a\) ve \(b\) sabitlerdir. \(x,y,z\) (sistemin çözümleri) birbirinden farklı pozitif sayılar olacak şekilde \(a\) ve \(b\)'nin sağlaması gereken koşulları belirtiniz.

   Çözüm →

2. Soru 2

   Bir üçgenin kenar uzunlukları \(a,b,c\), alanı ise \(T\) olsun. \(a^2+b^2+c^2 \ge 4\sqrt{3}T\) olduğunu kanıtlayınız. Eşitlik hangi durumda sağlanır?

   Çözüm →

3. Soru 3

   \(n\) bir doğal sayı olmak üzere \(\cos^n x-\sin^n x=1\) denklemini çözünüz.

   Çözüm →

4. Soru 4

   \(P_1P_2P_3\) üçgenini ve bu üçgenin içinde bir \(P\) noktasını ele alalım. \(P_1P, P_2P, P_3P\) doğruları karşı kenarları sırasıyla \(Q_1, Q_2, Q_3\) noktalarında kesmektedir. \[ \frac{P_1P}{PQ_1},\ \frac{P_2P}{PQ_2},\ \frac{P_3P}{PQ_3} \] sayılarından en az birinin \(\leq 2\) ve en az birinin \(\geq 2\) olduğunu kanıtlayınız.

   Çözüm →

5. Soru 5

   \(M\), \(BC\) doğru parçasının orta noktası ve \(\omega<90^\circ\) olmak üzere, \(AC=b\), \(AB=c\) ve \(\angle AMB=\omega\) koşullarını sağlayan \(ABC\) üçgenini inşa ediniz. Bir çözümün var olması için gerek ve yeter koşulun \[ b\tan\frac{\omega}{2}\le c<b \] olduğunu kanıtlayınız. Eşitlik hangi durumda sağlanır?

   Çözüm →

6. Soru 6

   Bir \(\varepsilon\) düzlemini ve \(\varepsilon\)'un aynı tarafında bulunan, doğrusal olmayan üç \(A,B,C\) noktasını ele alalım; bu üç noktanın belirlediği düzlemin \(\varepsilon\)'a paralel olmadığını varsayalım. a düzleminde herhangi üç \(A',B',C'\) noktası alalım. \(L,M,N\), sırasıyla \(AA',BB',CC'\) doğru parçalarının orta noktaları ve \(G\), \(LMN\) üçgeninin ağırlık merkezi olsun. (\(A',B',C'\) noktalarının, \(L,M,N\) noktalarının bir üçgen oluşturmadığı konumlarını ele almayacağız.) \(A',B',C'\) noktaları \(\varepsilon\) düzleminde birbirinden bağımsız olarak değişirken \(G\) noktasının geometrik yeri nedir?

   Çözüm →

Tüm yıllar

IMO 1961

6 problemas con soluciones completas · Enunciado oficial (PDF)

1. Problema 1

   Resolver el sistema de ecuaciones: \[ \begin{aligned} x+y+z&=a\\ x^2+y^2+z^2&=b^2\\ xy&=z^2 \end{aligned} \] donde \(a\) y \(b\) son constantes. Determinar las condiciones que deben satisfacer \(a\) y \(b\) para que \(x,y,z\) (las soluciones del sistema) sean números positivos distintos entre sí.

   Solución →

2. Problema 2

   Sean \(a,b,c\) los lados de un triángulo y \(T\) su área. Demostrar que \(a^2+b^2+c^2 \ge 4\sqrt{3}T\). ¿En qué caso se da la igualdad?

   Solución →

3. Problema 3

   Resolver la ecuación \(\cos^n x-\sin^n x=1\), donde \(n\) es un número natural.

   Solución →

4. Problema 4

   Consideremos el triángulo \(P_1P_2P_3\) y un punto \(P\) en su interior. Las rectas \(P_1P, P_2P, P_3P\) cortan los lados opuestos en los puntos \(Q_1, Q_2, Q_3\), respectivamente. Demostrar que, de los números \[ \frac{P_1P}{PQ_1},\ \frac{P_2P}{PQ_2},\ \frac{P_3P}{PQ_3} \] al menos uno es \(\leq 2\) y al menos uno es \(\geq 2\).

   Solución →

5. Problema 5

   Construir el triángulo \(ABC\) si \(AC=b\), \(AB=c\) y \(\angle AMB=\omega\), donde \(M\) es el punto medio del segmento \(BC\) y \(\omega<90^\circ\). Demostrar que existe una solución si y solo si \[ b\tan\frac{\omega}{2}\le c<b. \] ¿En qué caso se da la igualdad?

   Solución →

6. Problema 6

   Consideremos un plano \(\varepsilon\) y tres puntos no alineados \(A,B,C\) situados en el mismo lado de \(\varepsilon\); supongamos que el plano determinado por estos tres puntos no es paralelo a \(\varepsilon\). En el plano a tomemos tres puntos arbitrarios \(A',B',C'\). Sean \(L,M,N\) los puntos medios de los segmentos \(AA',BB',CC'\); sea \(G\) el baricentro del triángulo \(LMN\). (No consideraremos las posiciones de los puntos \(A',B',C'\) para las cuales los puntos \(L,M,N\) no forman un triángulo.) ¿Cuál es el lugar geométrico del punto \(G\) cuando \(A',B',C'\) recorren independientemente el plano \(\varepsilon\)?

   Solución →

Todos los años

IMO 1961

6 道题及完整解答 · 官方试卷 (PDF)

1. 问题 1

   解方程组： \[ \begin{aligned} x+y+z&=a\\ x^2+y^2+z^2&=b^2\\ xy&=z^2 \end{aligned} \] 其中 \(a\) 和 \(b\) 为常数。求 \(a\) 和 \(b\) 应满足的条件，使得 \(x,y,z\)（方程组的解）是互不相同的正数。

   解答 →

2. 问题 2

   设 \(a,b,c\) 为一个三角形的三边长，\(T\) 为其面积。证明：\(a^2+b^2+c^2 \ge 4\sqrt{3}T\)。 等号在什么情况下成立？

   解答 →

3. 问题 3

   解方程 \(\cos^n x-\sin^n x=1\)，其中 \(n\) 为自然数。

   解答 →

4. 问题 4

   设有三角形 \(P_1P_2P_3\) 及其内部一点 \(P\)。直线 \(P_1P, P_2P, P_3P\) 分别交各自的对边于点 \(Q_1, Q_2, Q_3\)。证明：在下列三个数中， \[ \frac{P_1P}{PQ_1},\ \frac{P_2P}{PQ_2},\ \frac{P_3P}{PQ_3} \] 至少有一个 \(\leq 2\)，且至少有一个 \(\geq 2\)。

   解答 →

5. 问题 5

   已知 \(AC=b\)、\(AB=c\) 及 \(\angle AMB=\omega\)，其中 \(M\) 是线段 \(BC\) 的中点，且 \(\omega<90^\circ\)，求作三角形 \(ABC\)。证明：所求三角形存在当且仅当 \[ b\tan\frac{\omega}{2}\le c<b. \] 等号在什么情况下成立？

   解答 →

6. 问题 6

   设有平面 \(\varepsilon\)，以及位于 \(\varepsilon\) 同侧的三个不共线的点 \(A,B,C\)；假设这三点确定的平面不平行于 \(\varepsilon\)。在平面 a 内任取三点 \(A',B',C'\)。设 \(L,M,N\) 分别为线段 \(AA',BB',CC'\) 的中点，\(G\) 为三角形 \(LMN\) 的重心。（不考虑使点 \(L,M,N\) 不能构成三角形的点 \(A',B',C'\) 的位置。）当 \(A',B',C'\) 各自独立地遍历平面 \(\varepsilon\) 时，点 \(G\) 的轨迹是什么？

   解答 →

所有年份

IMO 1961

6 задач с полными решениями · Официальный текст задач (PDF)

1. Задача 1

   Решите систему уравнений: \[ \begin{aligned} x+y+z&=a\\ x^2+y^2+z^2&=b^2\\ xy&=z^2 \end{aligned} \] где \(a\) и \(b\) — постоянные. Найдите условия на \(a\) и \(b\), при которых \(x,y,z\) (решения системы) являются попарно различными положительными числами.

   Решение →

2. Задача 2

   Пусть \(a,b,c\) — стороны треугольника, а \(T\) — его площадь. Докажите: \(a^2+b^2+c^2 \ge 4\sqrt{3}T\). В каком случае достигается равенство?

   Решение →

3. Задача 3

   Решите уравнение \(\cos^n x-\sin^n x=1\), где \(n\) — натуральное число.

   Решение →

4. Задача 4

   Рассмотрим треугольник \(P_1P_2P_3\) и точку \(P\) внутри него. Прямые \(P_1P, P_2P, P_3P\) пересекают противоположные стороны в точках \(Q_1, Q_2, Q_3\) соответственно. Докажите, что среди чисел \[ \frac{P_1P}{PQ_1},\ \frac{P_2P}{PQ_2},\ \frac{P_3P}{PQ_3} \] хотя бы одно \(\leq 2\) и хотя бы одно \(\geq 2\).

   Решение →

5. Задача 5

   Постройте треугольник \(ABC\), если \(AC=b\), \(AB=c\) и \(\angle AMB=\omega\), где \(M\) — середина отрезка \(BC\) и \(\omega<90^\circ\). Докажите, что решение существует тогда и только тогда, когда \[ b\tan\frac{\omega}{2}\le c<b. \] В каком случае достигается равенство?

   Решение →

6. Задача 6

   Рассмотрим плоскость \(\varepsilon\) и три не лежащие на одной прямой точки \(A,B,C\) по одну сторону от \(\varepsilon\); предположим, что плоскость, определяемая этими тремя точками, не параллельна \(\varepsilon\). В плоскости a возьмём три произвольные точки \(A',B',C'\). Пусть \(L,M,N\) — середины отрезков \(AA',BB',CC'\); пусть \(G\) — центр тяжести треугольника \(LMN\). (Мы не будем рассматривать такие положения точек \(A',B',C'\), при которых точки \(L,M,N\) не образуют треугольника.) Каково геометрическое место точек \(G\), когда \(A',B',C'\) независимо друг от друга пробегают плоскость \(\varepsilon\)?

   Решение →

Все годы

IMO 1961

6 مسائل مع حلول كاملة · ورقة المسائل الرسمية (PDF)

1. المسألة 1

   حل نظام المعادلات: \[ \begin{aligned} x+y+z&=a\\ x^2+y^2+z^2&=b^2\\ xy&=z^2 \end{aligned} \] حيث \(a\) و\(b\) ثابتان. أوجد الشروط التي يجب أن يحققها \(a\) و\(b\) لكي تكون \(x,y,z\) (حلول النظام) أعدادًا موجبة متمايزة.

   ← الحل

2. المسألة 2

   لتكن \(a,b,c\) أطوال أضلاع مثلث، ولتكن \(T\) مساحته. أثبت أن: \(a^2+b^2+c^2 \ge 4\sqrt{3}T\). في أي حالة تتحقق المساواة؟

   ← الحل

3. المسألة 3

   حل المعادلة \(\cos^n x-\sin^n x=1\)، حيث \(n\) عدد طبيعي.

   ← الحل

4. المسألة 4

   ليكن \(P_1P_2P_3\) مثلثًا، ولتكن \(P\) نقطة داخله. تقطع المستقيمات \(P_1P, P_2P, P_3P\) الأضلاع المقابلة في النقاط \(Q_1, Q_2, Q_3\) على الترتيب. أثبت أن من بين الأعداد \[ \frac{P_1P}{PQ_1},\ \frac{P_2P}{PQ_2},\ \frac{P_3P}{PQ_3} \] عددًا واحدًا على الأقل \(\leq 2\)، وعددًا واحدًا على الأقل \(\geq 2\).

   ← الحل

5. المسألة 5

   أنشئ مثلثًا \(ABC\) إذا كان \(AC=b\)، و\(AB=c\)، و\(\angle AMB=\omega\)، حيث \(M\) منتصف القطعة \(BC\) و\(\omega<90^\circ\). أثبت أن حلًا يوجد إذا وفقط إذا كان \[ b\tan\frac{\omega}{2}\le c<b. \] في أي حالة تتحقق المساواة؟

   ← الحل

6. المسألة 6

   ليكن \(\varepsilon\) مستوى، ولتكن \(A,B,C\) ثلاث نقاط غير واقعة على استقامة واحدة وتقع في جهة واحدة من \(\varepsilon\)؛ ولنفترض أن المستوى الذي تحدده هذه النقاط الثلاث غير موازٍ لـ\(\varepsilon\). خذ في المستوى a ثلاث نقاط كيفية \(A',B',C'\). لتكن \(L,M,N\) منتصفات القطع \(AA',BB',CC'\)؛ وليكن \(G\) مركز ثقل المثلث \(LMN\). (لن ننظر في أوضاع النقاط \(A',B',C'\) التي لا تشكل فيها النقاط \(L,M,N\) مثلثًا.) ما المحل الهندسي للنقطة \(G\) عندما تتحرك \(A',B',C'\) كل منها بصورة مستقلة على كامل المستوى \(\varepsilon\)؟

   ← الحل

جميع السنوات