IMO 1961 · Problem 2
Let \(a,b,c\) be the sides of a triangle, and \(T\) its area. Prove: \(a^2+b^2+c^2 \ge 4\sqrt{3}T\). In what case does equality hold?
Official text of the problem. Official problem paper (PDF)
Answer
Proof problem. Equality holds if and only if the triangle is equilateral: \(a=b=c\).
Solution
Label the vertices so that \(BC=a\), \(CA=b\), and \(AB=c\). Choose coordinates \[ B=(0,0),\qquad C=(a,0),\qquad A=(x,h), \] where \(a>0\), \(h>0\), and \(x\) is any real number. Allowing arbitrary \(x\) also covers triangles whose altitude meets an extension of \(BC\).
The distance and area formulas give \[ c^2=x^2+h^2,\qquad b^2=(a-x)^2+h^2,\qquad T=\frac{ah}{2}. \] Consequently, \[ \begin{aligned} a^2+b^2+c^2-4\sqrt3\,T &=a^2+(a-x)^2+x^2+2h^2-2\sqrt3\,ah\\ &=2\left(x-\frac a2\right)^2 +2\left(h-\frac{\sqrt3\,a}{2}\right)^2\\ &\ge0. \end{aligned} \] This proves the inequality.
Equality holds precisely when both squares vanish, namely when \[ x=\frac a2,\qquad h=\frac{\sqrt3\,a}{2}. \] The distance formulas then give \(b^2=c^2=a^2\), hence \(a=b=c\). Conversely, if \(a=b=c\), those same formulas imply these values of \(x\) and \(h\), so equality holds.
If degenerate triangles with positive side lengths are admitted, then \(T=0\) and \(a^2+b^2+c^2>0\), so the inequality is strict.
The solution was checked against John Scholes' IMO solution archive (Kalva).
IMO 1961 · Aufgabe 2
Seien \(a,b,c\) die Seitenlängen eines Dreiecks und \(T\) sein Flächeninhalt. Beweise: \(a^2+b^2+c^2 \ge 4\sqrt{3}T\). In welchem Fall gilt Gleichheit?
Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt. Offizielles Aufgabenblatt (PDF)
Antwort
Beweisaufgabe. Gleichheit gilt genau dann, wenn das Dreieck gleichseitig ist: \(a=b=c\).
Lösung
Bezeichne die Eckpunkte so, dass \(BC=a\), \(CA=b\) und \(AB=c\). Wähle die Koordinaten \[ B=(0,0),\qquad C=(a,0),\qquad A=(x,h), \] wobei \(a>0\), \(h>0\) und \(x\) eine beliebige reelle Zahl ist. Da \(x\) beliebig sein darf, sind auch Dreiecke erfasst, deren Höhe auf eine Verlängerung von \(BC\) trifft.
Die Abstandsformel und die Flächenformel ergeben \[ c^2=x^2+h^2,\qquad b^2=(a-x)^2+h^2,\qquad T=\frac{ah}{2}. \] Folglich gilt \[ \begin{aligned} a^2+b^2+c^2-4\sqrt3\,T &=a^2+(a-x)^2+x^2+2h^2-2\sqrt3\,ah\\ &=2\left(x-\frac a2\right)^2 +2\left(h-\frac{\sqrt3\,a}{2}\right)^2\\ &\ge0. \end{aligned} \] Damit ist die Ungleichung bewiesen.
Gleichheit gilt genau dann, wenn beide Quadrate verschwinden, also wenn \[ x=\frac a2,\qquad h=\frac{\sqrt3\,a}{2}. \] Die Abstandsformeln ergeben dann \(b^2=c^2=a^2\), also \(a=b=c\). Ist umgekehrt \(a=b=c\), so folgen aus denselben Formeln diese Werte von \(x\) und \(h\), also gilt Gleichheit.
Lässt man entartete Dreiecke mit positiven Seitenlängen zu, so gilt \(T=0\) und \(a^2+b^2+c^2>0\), also ist die Ungleichung strikt.
Die Lösung wurde mit dem IMO-Lösungsarchiv von John Scholes (Kalva) abgeglichen.
IMO 1961 · Soru 2
Bir üçgenin kenar uzunlukları \(a,b,c\), alanı ise \(T\) olsun. \(a^2+b^2+c^2 \ge 4\sqrt{3}T\) olduğunu kanıtlayınız. Eşitlik hangi durumda sağlanır?
Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir. Resmi soru kâğıdı (PDF)
Cevap
Bir kanıtlama sorusudur. Eşitlik ancak ve ancak üçgen eşkenar olduğunda sağlanır: \(a=b=c\).
Çözüm
Köşeleri \(BC=a\), \(CA=b\) ve \(AB=c\) olacak şekilde adlandıralım. Koordinatları \[ B=(0,0),\qquad C=(a,0),\qquad A=(x,h), \] olarak seçelim; burada \(a>0\), \(h>0\) ve \(x\) herhangi bir gerçek sayıdır. \(x\)'in herhangi bir gerçek sayı olmasına izin verilmesi, yüksekliğin ayağının \(BC\)'nin uzantısında olduğu üçgenleri de kapsar.
Uzaklık ve alan formüllerinden \[ c^2=x^2+h^2,\qquad b^2=(a-x)^2+h^2,\qquad T=\frac{ah}{2} \] elde edilir. Dolayısıyla \[ \begin{aligned} a^2+b^2+c^2-4\sqrt3\,T &=a^2+(a-x)^2+x^2+2h^2-2\sqrt3\,ah\\ &=2\left(x-\frac a2\right)^2 +2\left(h-\frac{\sqrt3\,a}{2}\right)^2\\ &\ge0. \end{aligned} \] Bu, eşitsizliği kanıtlar.
Eşitlik tam olarak her iki kare de sıfır olduğunda, yani \[ x=\frac a2,\qquad h=\frac{\sqrt3\,a}{2} \] olduğunda sağlanır. Bu durumda uzaklık formülleri \(b^2=c^2=a^2\), dolayısıyla \(a=b=c\) verir. Tersine, \(a=b=c\) ise aynı formüller \(x\) ve \(h\)'nin bu değerlerini verir; dolayısıyla eşitlik sağlanır.
Kenar uzunlukları pozitif olan dejenere üçgenler de kabul edilirse, bunlar için \(T=0\) ve \(a^2+b^2+c^2>0\) olduğundan eşitsizlik kesindir.
Çözüm, John Scholes'un IMO çözüm arşiviyle (Kalva) karşılaştırılarak kontrol edildi.
IMO 1961 · Problema 2
Sean \(a,b,c\) los lados de un triángulo y \(T\) su área. Demostrar que \(a^2+b^2+c^2 \ge 4\sqrt{3}T\). ¿En qué caso se da la igualdad?
Enunciado traducido del texto oficial en inglés. Enunciado oficial (PDF)
Respuesta
Problema de demostración. La igualdad se da si y solo si el triángulo es equilátero: \(a=b=c\).
Solución
Denotemos los vértices de modo que \(BC=a\), \(CA=b\) y \(AB=c\). Elijamos las coordenadas \[ B=(0,0),\qquad C=(a,0),\qquad A=(x,h), \] donde \(a>0\), \(h>0\) y \(x\) es un número real cualquiera. Al permitir cualquier valor de \(x\), también se incluyen los triángulos cuya altura corta una prolongación de \(BC\).
Las fórmulas de la distancia y del área dan \[ c^2=x^2+h^2,\qquad b^2=(a-x)^2+h^2,\qquad T=\frac{ah}{2}. \] Por consiguiente, \[ \begin{aligned} a^2+b^2+c^2-4\sqrt3\,T &=a^2+(a-x)^2+x^2+2h^2-2\sqrt3\,ah\\ &=2\left(x-\frac a2\right)^2 +2\left(h-\frac{\sqrt3\,a}{2}\right)^2\\ &\ge0. \end{aligned} \] Esto demuestra la desigualdad.
La igualdad se da precisamente cuando ambos cuadrados se anulan, es decir, cuando \[ x=\frac a2,\qquad h=\frac{\sqrt3\,a}{2}. \] Las fórmulas de la distancia dan entonces \(b^2=c^2=a^2\), de donde \(a=b=c\). Recíprocamente, si \(a=b=c\), esas mismas fórmulas implican estos valores de \(x\) y \(h\), por lo que se da la igualdad.
Si se admiten triángulos degenerados con longitudes de los lados positivas, entonces \(T=0\) y \(a^2+b^2+c^2>0\), por lo que la desigualdad es estricta.
La solución se comprobó con el archivo de soluciones de la IMO de John Scholes (Kalva).
IMO 1961 · 问题 2
设 \(a,b,c\) 为一个三角形的三边长，\(T\) 为其面积。证明：\(a^2+b^2+c^2 \ge 4\sqrt{3}T\)。 等号在什么情况下成立？
题目译自官方英文原文。 官方试卷 (PDF)
答案
本题为证明题。等号成立当且仅当该三角形为等边三角形，即 \(a=b=c\)。
解答
标记各顶点，使得 \(BC=a\)、\(CA=b\)、\(AB=c\)。选取坐标 \[ B=(0,0),\qquad C=(a,0),\qquad A=(x,h), \] 其中 \(a>0\)、\(h>0\)，而 \(x\) 为任意实数。允许 \(x\) 取任意实数，也就涵盖了高的垂足落在 \(BC\) 延长线上的三角形。
由距离公式和面积公式得 \[ c^2=x^2+h^2,\qquad b^2=(a-x)^2+h^2,\qquad T=\frac{ah}{2}. \] 因此， \[ \begin{aligned} a^2+b^2+c^2-4\sqrt3\,T &=a^2+(a-x)^2+x^2+2h^2-2\sqrt3\,ah\\ &=2\left(x-\frac a2\right)^2 +2\left(h-\frac{\sqrt3\,a}{2}\right)^2\\ &\ge0. \end{aligned} \] 不等式得证。
等号成立当且仅当两个平方项都为零，即 \[ x=\frac a2,\qquad h=\frac{\sqrt3\,a}{2}. \] 此时由距离公式得 \(b^2=c^2=a^2\)，故 \(a=b=c\)。反过来，若 \(a=b=c\)，由同样的公式可得 \(x\) 和 \(h\) 取上述值，因而等号成立。
若允许三边长均为正数的退化三角形，则 \(T=0\) 且 \(a^2+b^2+c^2>0\)，所以不等号严格成立。
解答已与 John Scholes 的 IMO 解答档案（Kalva）核对。
IMO 1961 · Задача 2
Пусть \(a,b,c\) — стороны треугольника, а \(T\) — его площадь. Докажите: \(a^2+b^2+c^2 \ge 4\sqrt{3}T\). В каком случае достигается равенство?
Условие переведено с официального английского текста. Официальный текст задач (PDF)
Ответ
Задача на доказательство. Равенство достигается тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний: \(a=b=c\).
Решение
Обозначим вершины так, чтобы \(BC=a\), \(CA=b\) и \(AB=c\). Выберем координаты \[ B=(0,0),\qquad C=(a,0),\qquad A=(x,h), \] где \(a>0\), \(h>0\), а \(x\) — произвольное действительное число. Поскольку \(x\) может быть произвольным, рассматриваются также треугольники, у которых основание высоты лежит на продолжении \(BC\).
По формулам расстояния и площади имеем \[ c^2=x^2+h^2,\qquad b^2=(a-x)^2+h^2,\qquad T=\frac{ah}{2}. \] Следовательно, \[ \begin{aligned} a^2+b^2+c^2-4\sqrt3\,T &=a^2+(a-x)^2+x^2+2h^2-2\sqrt3\,ah\\ &=2\left(x-\frac a2\right)^2 +2\left(h-\frac{\sqrt3\,a}{2}\right)^2\\ &\ge0. \end{aligned} \] Неравенство доказано.
Равенство достигается в точности тогда, когда оба квадрата равны нулю, то есть когда \[ x=\frac a2,\qquad h=\frac{\sqrt3\,a}{2}. \] Тогда из формул расстояния получаем \(b^2=c^2=a^2\), откуда \(a=b=c\). Обратно, если \(a=b=c\), то из тех же формул следуют указанные значения \(x\) и \(h\), поэтому достигается равенство.
Если допускаются вырожденные треугольники с положительными длинами сторон, то \(T=0\) и \(a^2+b^2+c^2>0\), поэтому неравенство строгое.
Решение проверено по архиву решений IMO Джона Скоулза (Kalva).
IMO 1961 · المسألة 2
لتكن \(a,b,c\) أطوال أضلاع مثلث، ولتكن \(T\) مساحته. أثبت أن: \(a^2+b^2+c^2 \ge 4\sqrt{3}T\). في أي حالة تتحقق المساواة؟
نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي. ورقة المسائل الرسمية (PDF)
الإجابة
مسألة إثبات. تتحقق المساواة إذا وفقط إذا كان المثلث متساوي الأضلاع: \(a=b=c\).
الحل
لنسمِّ الرؤوس بحيث يكون \(BC=a\)، و\(CA=b\)، و\(AB=c\). اختر الإحداثيات \[ B=(0,0),\qquad C=(a,0),\qquad A=(x,h), \] حيث \(a>0\)، و\(h>0\)، و\(x\) عدد حقيقي كيفي. والسماح بأن يكون \(x\) كيفيًا يشمل أيضًا المثلثات التي يقع قدم ارتفاعها على امتداد \(BC\).
تعطي صيغتا المسافة والمساحة \[ c^2=x^2+h^2,\qquad b^2=(a-x)^2+h^2,\qquad T=\frac{ah}{2}. \] وبالتالي، \[ \begin{aligned} a^2+b^2+c^2-4\sqrt3\,T &=a^2+(a-x)^2+x^2+2h^2-2\sqrt3\,ah\\ &=2\left(x-\frac a2\right)^2 +2\left(h-\frac{\sqrt3\,a}{2}\right)^2\\ &\ge0. \end{aligned} \] وهذا يثبت المتباينة.
تتحقق المساواة بالضبط عندما ينعدم المربعان، أي عندما \[ x=\frac a2,\qquad h=\frac{\sqrt3\,a}{2}. \] وعندئذ تعطي صيغ المسافة \(b^2=c^2=a^2\)، ومن ثم \(a=b=c\). وعكسًا، إذا كان \(a=b=c\)، فإن الصيغ نفسها تستلزم هاتين القيمتين لـ\(x\) و\(h\)، فتتحقق المساواة.
إذا سُمح بالمثلثات المنعدمة المساحة ذات أطوال الأضلاع الموجبة، فإن \(T=0\) و\(a^2+b^2+c^2>0\)، فتكون المتباينة صارمة.
تمت مراجعة الحل بمقارنته بأرشيف حلول IMO لجون سكولز (Kalva).