Problem 1

Determine all three-digit numbers \(N\) having the property that \(N\) is divisible by 11, and \(N/11\) is equal to the sum of the squares of the digits of \(N\).

Solution →

Problem 2

For what values of the variable \(x\) does the following inequality hold: \[ \frac{4x^2}{(1-\sqrt{1+2x})^2}<2x+9? \]

Solution →

Problem 3

In a given right triangle \(ABC\), the hypotenuse \(BC\), of length \(a\), is divided into \(n\) equal parts (\(n\) an odd integer). Let \(\alpha\) be the acute angle subtending, from \(A\), that segment which contains the midpoint of the hypotenuse. Let \(h\) be the length of the altitude to the hypotenuse of the triangle. Prove: \[ \tan\alpha=\frac{4nh}{(n^2-1)a}. \]

Solution →

Problem 4

Construct triangle \(ABC\), given \(h_a, h_b\) (the altitudes from \(A\) and \(B\)) and \(m_a\), the median from vertex \(A\).

Solution →

Problem 5

Consider the cube \(ABCDA'B'C'D'\) (with face \(ABCD\) directly above face \(A'B'C'D'\)).

(a) Find the locus of the midpoints of segments \(XY\), where \(X\) is any point of \(AC\) and \(Y\) is any point of \(B'D'\).

(b) Find the locus of points \(Z\) which lie on the segments \(XY\) of part (a) with \(ZY = 2XZ\).

Solution →

Problem 6

Consider a cone of revolution with an inscribed sphere tangent to the base of the cone. A cylinder is circumscribed about this sphere so that one of its bases lies in the base of the cone. Let \(V_1\) be the volume of the cone and \(V_2\) the volume of the cylinder.

(a) Prove that \(V_1 \ne V_2\).

(b) Find the smallest number \(k\) for which \(V_1 = kV_2\), for this case, construct the angle subtended by a diameter of the base of the cone at the vertex of the cone.

Solution →

Problem 7

An isosceles trapezoid with bases \(a\) and \(c\) and altitude \(h\) is given.

(a) On the axis of symmetry of this trapezoid, find all points \(P\) such that both legs of the trapezoid subtend right angles at \(P\).

(b) Calculate the distance of \(P\) from either base.

(c) Determine under what conditions such points \(P\) actually exist. (Discuss various cases that might arise.)

Solution →

Aufgabe 1

Bestimme alle dreistelligen Zahlen \(N\) mit der Eigenschaft, dass \(N\) durch 11 teilbar ist und \(N/11\) gleich der Summe der Quadrate der Ziffern von \(N\) ist.

Lösung →

Aufgabe 2

Für welche Werte der Variablen \(x\) gilt die folgende Ungleichung: \[ \frac{4x^2}{(1-\sqrt{1+2x})^2}<2x+9? \]

Lösung →

Aufgabe 3

In einem gegebenen rechtwinkligen Dreieck \(ABC\) wird die Hypotenuse \(BC\) der Länge \(a\) in \(n\) gleiche Teile geteilt (\(n\) ist eine ungerade ganze Zahl). Sei \(\alpha\) der spitze Winkel, unter dem derjenige Abschnitt, der den Mittelpunkt der Hypotenuse enthält, von \(A\) aus erscheint. Sei \(h\) die Länge der Höhe auf die Hypotenuse des Dreiecks. Beweise: \[ \tan\alpha=\frac{4nh}{(n^2-1)a}. \]

Lösung →

Aufgabe 4

Konstruiere das Dreieck \(ABC\), wenn \(h_a, h_b\) (die Höhen von \(A\) und \(B\)) und \(m_a\), die Seitenhalbierende vom Eckpunkt \(A\), gegeben sind.

Lösung →

Aufgabe 5

Betrachte den Würfel \(ABCDA'B'C'D'\) (dessen Fläche \(ABCD\) unmittelbar über der Fläche \(A'B'C'D'\) liegt).

(a) Bestimme den geometrischen Ort der Mittelpunkte der Strecken \(XY\), wobei \(X\) ein beliebiger Punkt von \(AC\) und \(Y\) ein beliebiger Punkt von \(B'D'\) ist.

(b) Bestimme den geometrischen Ort der Punkte \(Z\), die auf den Strecken \(XY\) aus Teil (a) liegen und \(ZY = 2XZ\) erfüllen.

Lösung →

Aufgabe 6

Betrachte einen Rotationskegel mit einer einbeschriebenen Kugel, die die Grundfläche des Kegels berührt. Dieser Kugel wird ein Zylinder so umbeschrieben, dass eine seiner Grundflächen in der Grundfläche des Kegels liegt. Sei \(V_1\) das Volumen des Kegels und \(V_2\) das Volumen des Zylinders.

(a) Beweise, dass \(V_1 \ne V_2\).

(b) Bestimme die kleinste Zahl \(k\), für die \(V_1 = kV_2\) gilt, und konstruiere für diesen Fall den Winkel, unter dem ein Durchmesser der Grundfläche des Kegels von der Kegelspitze aus erscheint.

Lösung →

Aufgabe 7

Gegeben ist ein gleichschenkliges Trapez mit den Grundseiten \(a\) und \(c\) und der Höhe \(h\).

(a) Bestimme auf der Symmetrieachse dieses Trapezes alle Punkte \(P\), sodass beide Schenkel des Trapezes von \(P\) aus unter rechten Winkeln erscheinen.

(b) Berechne den Abstand von \(P\) zu jeder der beiden Grundseiten.

(c) Bestimme, unter welchen Bedingungen solche Punkte \(P\) tatsächlich existieren. (Untersuche die verschiedenen Fälle, die auftreten können.)

Lösung →

Soru 1

Şu özelliğe sahip tüm üç basamaklı \(N\) sayılarını bulunuz: \(N\), 11 ile bölünebilir ve \(N/11\) değeri \(N\)'nin rakamlarının kareleri toplamına eşittir.

Çözüm →

Soru 2

\(x\) değişkeninin hangi değerleri için aşağıdaki eşitsizlik sağlanır: \[ \frac{4x^2}{(1-\sqrt{1+2x})^2}<2x+9? \]

Çözüm →

Soru 3

Verilen bir \(ABC\) dik üçgeninde, uzunluğu \(a\) olan \(BC\) hipotenüsü \(n\) eş parçaya ayrılmıştır (\(n\) bir tek tam sayıdır). Hipotenüsün orta noktasını içeren parçanın \(A\)'dan görüldüğü dar açı \(\alpha\) olsun. Üçgenin hipotenüsüne ait yüksekliğin uzunluğu \(h\) olsun. Aşağıdaki eşitliği kanıtlayınız: \[ \tan\alpha=\frac{4nh}{(n^2-1)a}. \]

Çözüm →

Soru 4

\(h_a, h_b\) (\(A\) ve \(B\)'den çizilen yükseklikler) ve \(A\) köşesinden çizilen kenarortay \(m_a\) verildiğinde \(ABC\) üçgenini inşa ediniz.

Çözüm →

Soru 5

\(ABCDA'B'C'D'\) küpünü ele alalım (\(ABCD\) yüzü, \(A'B'C'D'\) yüzünün tam üzerindedir).

(a) \(X\), \(AC\)'nin herhangi bir noktası ve \(Y\), \(B'D'\)'nin herhangi bir noktası olmak üzere, \(XY\) doğru parçalarının orta noktalarının geometrik yerini bulunuz.

(b) (a) kısmındaki \(XY\) doğru parçaları üzerinde bulunan ve \(ZY = 2XZ\) koşulunu sağlayan \(Z\) noktalarının geometrik yerini bulunuz.

Çözüm →

Soru 6

İçine, tabanına teğet bir küre çizilmiş bir dönel koniyi ele alalım. Bu kürenin dışına, tabanlarından biri koninin tabanında bulunacak şekilde bir silindir çizilmiştir. Koninin hacmi \(V_1\), silindirin hacmi \(V_2\) olsun.

(a) \(V_1 \ne V_2\) olduğunu kanıtlayınız.

(b) \(V_1 = kV_2\) eşitliğini sağlayan en küçük \(k\) sayısını bulunuz ve bu durum için koninin tabanının bir çapının koninin tepe noktasından görüldüğü açıyı inşa ediniz.

Çözüm →

Soru 7

Taban uzunlukları \(a\) ve \(c\), yüksekliği \(h\) olan bir ikizkenar yamuk verilmiştir.

(a) Bu yamuğun simetri ekseni üzerinde, yamuğun her iki yan kenarının da dik açı altında görüldüğü tüm \(P\) noktalarını bulunuz.

(b) \(P\)'nin her bir tabana uzaklığını hesaplayınız.

(c) Böyle \(P\) noktalarının hangi koşullar altında var olduğunu belirleyiniz. (Ortaya çıkabilecek farklı durumları tartışınız.)

Çözüm →

Problema 1

Determinar todos los números de tres cifras \(N\) tales que \(N\) sea divisible por 11 y \(N/11\) sea igual a la suma de los cuadrados de las cifras de \(N\).

Solución →

Problema 2

¿Para qué valores de la variable \(x\) se cumple la siguiente desigualdad? \[ \frac{4x^2}{(1-\sqrt{1+2x})^2}<2x+9? \]

Solución →

Problema 3

En un triángulo rectángulo dado \(ABC\), la hipotenusa \(BC\), de longitud \(a\), se divide en \(n\) partes iguales (\(n\) es un entero impar). Sea \(\alpha\) el ángulo agudo bajo el cual se ve desde \(A\) el segmento que contiene el punto medio de la hipotenusa. Sea \(h\) la longitud de la altura del triángulo relativa a la hipotenusa. Demostrar: \[ \tan\alpha=\frac{4nh}{(n^2-1)a}. \]

Solución →

Problema 4

Construir el triángulo \(ABC\), dados \(h_a, h_b\) (las alturas desde \(A\) y \(B\)) y \(m_a\), la mediana desde el vértice \(A\).

Solución →

Problema 5

Consideremos el cubo \(ABCDA'B'C'D'\) (con la cara \(ABCD\) directamente encima de la cara \(A'B'C'D'\)).

(a) Hallar el lugar geométrico de los puntos medios de los segmentos \(XY\), donde \(X\) es un punto cualquiera de \(AC\) e \(Y\) es un punto cualquiera de \(B'D'\).

(b) Hallar el lugar geométrico de los puntos \(Z\) que pertenecen a los segmentos \(XY\) del apartado (a) y cumplen \(ZY = 2XZ\).

Solución →

Problema 6

Consideremos un cono de revolución con una esfera inscrita tangente a la base del cono. Se circunscribe un cilindro a esta esfera de modo que una de sus bases esté contenida en la base del cono. Sean \(V_1\) el volumen del cono y \(V_2\) el volumen del cilindro.

(a) Demostrar que \(V_1 \ne V_2\).

(b) Hallar el menor número \(k\) para el cual \(V_1 = kV_2\); para este caso, construir el ángulo bajo el cual se ve un diámetro de la base del cono desde el vértice del cono.

Solución →

Problema 7

Se da un trapecio isósceles de bases \(a\) y \(c\) y altura \(h\).

(a) Hallar todos los puntos \(P\) del eje de simetría de este trapecio desde los cuales ambos lados no paralelos del trapecio se vean bajo ángulos rectos.

(b) Calcular la distancia de \(P\) a cada una de las bases.

(c) Determinar en qué condiciones existen tales puntos \(P\). (Discutir los distintos casos que puedan presentarse.)

Solución →

问题 1

求所有满足下列条件的三位数 \(N\)：\(N\) 能被 11 整除，且 \(N/11\) 等于 \(N\) 的各位数字的平方和。

解答 →

问题 2

变量 \(x\) 取哪些值时，下列不等式成立： \[ \frac{4x^2}{(1-\sqrt{1+2x})^2}<2x+9? \]

解答 →

问题 3

在给定的直角三角形 \(ABC\) 中，将长为 \(a\) 的斜边 \(BC\) 分成 \(n\) 等份（\(n\) 为奇数）。设包含斜边中点的那一段在 \(A\) 点所张的锐角为 \(\alpha\)。设三角形斜边上的高为 \(h\)。证明： \[ \tan\alpha=\frac{4nh}{(n^2-1)a}. \]

解答 →

问题 4

已知 \(h_a, h_b\)（分别为从 \(A\) 和 \(B\) 引出的高）以及从顶点 \(A\) 引出的中线 \(m_a\)，作三角形 \(ABC\)。

解答 →

问题 5

考虑正方体 \(ABCDA'B'C'D'\)（面 \(ABCD\) 位于面 \(A'B'C'D'\) 的正上方）。

(a) 求线段 \(XY\) 的中点的轨迹，其中 \(X\) 为 \(AC\) 上的任意一点，\(Y\) 为 \(B'D'\) 上的任意一点。

(b) 求点 \(Z\) 的轨迹，其中 \(Z\) 在 (a) 中的线段 \(XY\) 上，且满足 \(ZY = 2XZ\)。

解答 →

问题 6

一个旋转圆锥有一个与其底面相切的内切球。作该球的外切圆柱，使圆柱的一个底面位于圆锥的底面内。设圆锥的体积为 \(V_1\)，圆柱的体积为 \(V_2\)。

(a) 证明 \(V_1 \ne V_2\)。

(b) 求使 \(V_1 = kV_2\) 成立的最小数 \(k\)，并在此情形下，作出圆锥底面的一条直径在圆锥顶点处所张的角。

解答 →

问题 7

给定一个两底长分别为 \(a\) 和 \(c\)、高为 \(h\) 的等腰梯形。

(a) 在该梯形的对称轴上，求所有使梯形的两腰在 \(P\) 点所张的角均为直角的点 \(P\)。

(b) 计算 \(P\) 到两底各自的距离。

(c) 确定这样的点 \(P\) 存在的条件。（讨论可能出现的各种情形。）

解答 →

Задача 1

Найдите все трёхзначные числа \(N\), обладающие следующим свойством: \(N\) делится на 11, а \(N/11\) равно сумме квадратов цифр числа \(N\).

Решение →

Задача 2

При каких значениях переменной \(x\) выполняется следующее неравенство: \[ \frac{4x^2}{(1-\sqrt{1+2x})^2}<2x+9? \]

Решение →

Задача 3

В данном прямоугольном треугольнике \(ABC\) гипотенуза \(BC\) длины \(a\) разделена на \(n\) равных частей (\(n\) — нечётное целое число). Пусть \(\alpha\) — острый угол, под которым из точки \(A\) виден тот отрезок деления, который содержит середину гипотенузы. Пусть \(h\) — длина высоты треугольника, проведённой к гипотенузе. Докажите: \[ \tan\alpha=\frac{4nh}{(n^2-1)a}. \]

Решение →

Задача 4

Постройте треугольник \(ABC\) по данным \(h_a, h_b\) (высотам из \(A\) и \(B\)) и \(m_a\) — медиане из вершины \(A\).

Решение →

Задача 5

Рассмотрим куб \(ABCDA'B'C'D'\) (грань \(ABCD\) расположена непосредственно над гранью \(A'B'C'D'\)).

(a) Найдите геометрическое место середин отрезков \(XY\), где \(X\) — произвольная точка \(AC\), а \(Y\) — произвольная точка \(B'D'\).

(b) Найдите геометрическое место точек \(Z\), лежащих на отрезках \(XY\) из пункта (a) и удовлетворяющих условию \(ZY = 2XZ\).

Решение →

Задача 6

Рассмотрим конус вращения с вписанным в него шаром, касающимся основания конуса. Около этого шара описан цилиндр так, что одно из его оснований лежит в основании конуса. Пусть \(V_1\) — объём конуса, а \(V_2\) — объём цилиндра.

(a) Докажите, что \(V_1 \ne V_2\).

(b) Найдите наименьшее число \(k\), при котором \(V_1 = kV_2\), и для этого случая постройте угол, под которым из вершины конуса виден диаметр его основания.

Решение →

Задача 7

Дана равнобедренная трапеция с основаниями \(a\) и \(c\) и высотой \(h\).

(a) На оси симметрии этой трапеции найдите все точки \(P\), такие что обе боковые стороны трапеции видны из \(P\) под прямыми углами.

(b) Вычислите расстояние от \(P\) до каждого из оснований.

(c) Определите, при каких условиях такие точки \(P\) существуют. (Рассмотрите различные возможные случаи.)

Решение →

المسألة 1

أوجد جميع الأعداد \(N\) المكوّنة من ثلاثة أرقام التي تحقق أن \(N\) يقبل القسمة على 11، وأن \(N/11\) يساوي مجموع مربعات أرقام \(N\).

← الحل

المسألة 2

لأي قيم المتغير \(x\) تتحقق المتباينة الآتية: \[ \frac{4x^2}{(1-\sqrt{1+2x})^2}<2x+9? \]

← الحل

المسألة 3

في مثلث قائم الزاوية معطى \(ABC\)، قُسّم الوتر \(BC\)، الذي طوله \(a\)، إلى \(n\) أجزاء متساوية (حيث \(n\) عدد صحيح فردي). لتكن \(\alpha\) الزاوية الحادة التي تُرى بها، من \(A\)، القطعة التي تحتوي على منتصف الوتر. وليكن \(h\) طول الارتفاع على وتر المثلث. أثبت أن: \[ \tan\alpha=\frac{4nh}{(n^2-1)a}. \]

← الحل

المسألة 4

أنشئ مثلثًا \(ABC\)، إذا عُلم \(h_a, h_b\) (الارتفاعان من \(A\) و\(B\)) و\(m_a\)، المتوسط من الرأس \(A\).

← الحل

المسألة 5

اعتبر المكعب \(ABCDA'B'C'D'\) (حيث يقع الوجه \(ABCD\) مباشرة فوق الوجه \(A'B'C'D'\)).

(a) أوجد المحل الهندسي لمنتصفات القطع \(XY\)، حيث \(X\) نقطة كيفما اتفق من \(AC\)، و\(Y\) نقطة كيفما اتفق من \(B'D'\).

(b) أوجد المحل الهندسي للنقاط \(Z\) التي تقع على القطع \(XY\) الواردة في الجزء (a) وتحقق \(ZY = 2XZ\).

← الحل

المسألة 6

اعتبر مخروطًا دورانيًا بداخله كرة مماسة لسطحه الجانبي ولقاعدته. أُحيطت هذه الكرة بأسطوانة مماسة لها بحيث تقع إحدى قاعدتي الأسطوانة في قاعدة المخروط. ليكن \(V_1\) حجم المخروط و\(V_2\) حجم الأسطوانة.

(a) أثبت أن \(V_1 \ne V_2\).

(b) أوجد أصغر عدد \(k\) يحقق \(V_1 = kV_2\)، وفي هذه الحالة، أنشئ الزاوية التي يُرى بها قطر قاعدة المخروط من رأس المخروط.

← الحل

المسألة 7

أُعطي شبه منحرف متساوي الساقين قاعدتاه \(a\) و\(c\) وارتفاعه \(h\).

(a) أوجد جميع النقاط \(P\) على محور تناظر شبه المنحرف هذا بحيث تُرى كلتا ساقيه من \(P\) بزاويتين قائمتين.

(b) احسب بُعد \(P\) عن كل من القاعدتين.

(c) حدد الشروط التي توجد بموجبها هذه النقاط \(P\) فعلًا. (ناقش الحالات المختلفة التي قد تنشأ.)

← الحل