IMO 1960 · Problem 5
Consider the cube \(ABCDA'B'C'D'\) (with face \(ABCD\) directly above face \(A'B'C'D'\)).
(a) Find the locus of the midpoints of segments \(XY\), where \(X\) is any point of \(AC\) and \(Y\) is any point of \(B'D'\).
(b) Find the locus of points \(Z\) which lie on the segments \(XY\) of part (a) with \(ZY = 2XZ\).
Official text of the problem. Official problem paper (PDF)
Answer
Let \(a>0\) be the edge length of the cube. Both loci include their entire interiors and boundaries.
(a) The closed square whose vertices, in cyclic order, are the midpoints of \(AB',CB',CD',AD'\). Its plane lies halfway between the two given faces, and its side length is \(a/\sqrt2\).
(b) The closed rectangle whose vertices, in cyclic order, are the points one-third of the way along \(AB',CB',CD',AD'\), starting from the unprimed endpoint. Its plane is parallel to \(ABCD\), at distance \(a/3\) below it, and its side lengths are \[ \frac{2a\sqrt2}{3}\qquad\text{and}\qquad\frac{a\sqrt2}{3}. \]
Solution
We establish both loci simultaneously. Fix \(t\) with \(0<t<1\), and consider the point \(W\) on \(XY\) satisfying \[ XW=t\,XY. \] Using position vectors with an arbitrary fixed origin, this means \[ W=(1-t)X+tY. \]
Every choice of \(X\in AC\) and \(Y\in B'D'\) can be written uniquely as \[ X=A+u(C-A),\qquad Y=B'+v(D'-B'), \qquad 0\le u,v\le1. \] Consequently, \[ W=P_t+uU_t+vV_t, \] where \[ P_t=(1-t)A+tB',\qquad U_t=(1-t)(C-A),\qquad V_t=t(D'-B'). \]
The directions \(AC\) and \(B'D'\) are perpendicular: \(AC\) is parallel to \(A'C'\), and \(A'C'\) and \(B'D'\) are the diagonals of a square. Moreover, \[ |AC|=|B'D'|=a\sqrt2. \] Thus \(U_t,V_t\) are nonzero perpendicular vectors of lengths \[ (1-t)a\sqrt2,\qquad ta\sqrt2. \]
It follows that \(P_t+uU_t+vV_t\), with \(u,v\in[0,1]\), describes exactly the closed rectangle with successive vertices \[ \begin{aligned} &(1-t)A+tB', &&(1-t)C+tB',\\ &(1-t)C+tD', &&(1-t)A+tD'. \end{aligned} \] Indeed, every point of this rectangle has such parameters \(u,v\); choosing the corresponding \(X,Y\) above produces that point. This proves both containment and attainability, including all edges and vertices.
Taking the lower face to have height \(0\) and the upper face height \(a\), every such \(W\) has height \((1-t)a\). Hence the rectangle lies in a plane parallel to the faces, at distance \(ta\) below the upper face.
For (a), a midpoint corresponds to \(t=\tfrac12\). The rectangle therefore has equal side lengths \[ \frac{a\sqrt2}{2}=\frac a{\sqrt2}, \] so it is precisely the square stated in the answer.
For (b), \(X\ne Y\) because they lie in distinct parallel planes. Since \(Z\in XY\) and \(ZY=2XZ\), \[ XY=XZ+ZY=3XZ. \] Thus \(t=\tfrac13\). Substituting this value into the rectangle description gives exactly the vertices, plane, and side lengths stated in part (b).
The solution was checked against John Scholes' IMO solution archive (Kalva).
IMO 1960 · Aufgabe 5
Betrachte den Würfel \(ABCDA'B'C'D'\) (dessen Fläche \(ABCD\) unmittelbar über der Fläche \(A'B'C'D'\) liegt).
(a) Bestimme den geometrischen Ort der Mittelpunkte der Strecken \(XY\), wobei \(X\) ein beliebiger Punkt von \(AC\) und \(Y\) ein beliebiger Punkt von \(B'D'\) ist.
(b) Bestimme den geometrischen Ort der Punkte \(Z\), die auf den Strecken \(XY\) aus Teil (a) liegen und \(ZY = 2XZ\) erfüllen.
Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt. Offizielles Aufgabenblatt (PDF)
Antwort
Sei \(a>0\) die Kantenlänge des Würfels. Beide geometrischen Orte umfassen jeweils das gesamte Innere und den Rand.
(a) Das abgeschlossene Quadrat, dessen Eckpunkte in zyklischer Reihenfolge die Mittelpunkte von \(AB',CB',CD',AD'\) sind. Seine Ebene liegt auf halber Höhe zwischen den beiden gegebenen Flächen, und seine Seitenlänge beträgt \(a/\sqrt2\).
(b) Das abgeschlossene Rechteck, dessen Eckpunkte in zyklischer Reihenfolge die Punkte sind, die auf \(AB',CB',CD',AD'\) jeweils nach einem Drittel der Strecke liegen, ausgehend vom Endpunkt ohne Strich. Seine Ebene ist parallel zu \(ABCD\) und liegt im Abstand \(a/3\) darunter; seine Seitenlängen betragen \[ \frac{2a\sqrt2}{3}\qquad\text{und}\qquad\frac{a\sqrt2}{3}. \]
Lösung
Wir bestimmen beide geometrischen Orte gleichzeitig. Wir wählen ein festes \(t\) mit \(0<t<1\) und betrachten den Punkt \(W\) auf \(XY\), für den \[ XW=t\,XY \] gilt. Mit Ortsvektoren bezüglich eines beliebigen festen Ursprungs bedeutet dies \[ W=(1-t)X+tY. \]
Jede Wahl von \(X\in AC\) und \(Y\in B'D'\) lässt sich eindeutig schreiben als \[ X=A+u(C-A),\qquad Y=B'+v(D'-B'), \qquad 0\le u,v\le1. \] Folglich gilt \[ W=P_t+uU_t+vV_t, \] wobei \[ P_t=(1-t)A+tB',\qquad U_t=(1-t)(C-A),\qquad V_t=t(D'-B'). \]
Die Richtungen \(AC\) und \(B'D'\) stehen senkrecht aufeinander: \(AC\) ist parallel zu \(A'C'\), und \(A'C'\) und \(B'D'\) sind die Diagonalen eines Quadrats. Außerdem gilt \[ |AC|=|B'D'|=a\sqrt2. \] Somit sind \(U_t,V_t\) von null verschiedene, zueinander senkrechte Vektoren mit den Längen \[ (1-t)a\sqrt2,\qquad ta\sqrt2. \]
Daraus folgt, dass \(P_t+uU_t+vV_t\) mit \(u,v\in[0,1]\) genau das abgeschlossene Rechteck mit den aufeinanderfolgenden Eckpunkten \[ \begin{aligned} &(1-t)A+tB', &&(1-t)C+tB',\\ &(1-t)C+tD', &&(1-t)A+tD' \end{aligned} \] beschreibt. Tatsächlich besitzt jeder Punkt dieses Rechtecks solche Parameter \(u,v\); wählt man die zugehörigen Punkte \(X,Y\) wie oben, so erhält man diesen Punkt. Damit ist sowohl gezeigt, dass alle entstehenden Punkte im Rechteck liegen, als auch, dass jeder Punkt des Rechtecks erreicht wird, einschließlich aller Seiten und Eckpunkte.
Ordnen wir der unteren Fläche die Höhe \(0\) und der oberen Fläche die Höhe \(a\) zu, so hat jeder solche Punkt \(W\) die Höhe \((1-t)a\). Daher liegt das Rechteck in einer zu den Flächen parallelen Ebene im Abstand \(ta\) unterhalb der oberen Fläche.
Für (a) entspricht ein Mittelpunkt dem Wert \(t=\tfrac12\). Das Rechteck hat daher gleiche Seitenlängen \[ \frac{a\sqrt2}{2}=\frac a{\sqrt2}, \] ist also genau das in der Antwort angegebene Quadrat.
Für (b) gilt \(X\ne Y\), da die Punkte in verschiedenen parallelen Ebenen liegen. Wegen \(Z\in XY\) und \(ZY=2XZ\) gilt \[ XY=XZ+ZY=3XZ. \] Somit ist \(t=\tfrac13\). Setzt man diesen Wert in die Beschreibung des Rechtecks ein, so erhält man genau die in Teil (b) angegebenen Eckpunkte, die Ebene und die Seitenlängen.
Die Lösung wurde mit dem IMO-Lösungsarchiv von John Scholes (Kalva) abgeglichen.
IMO 1960 · Soru 5
\(ABCDA'B'C'D'\) küpünü ele alalım (\(ABCD\) yüzü, \(A'B'C'D'\) yüzünün tam üzerindedir).
(a) \(X\), \(AC\)'nin herhangi bir noktası ve \(Y\), \(B'D'\)'nin herhangi bir noktası olmak üzere, \(XY\) doğru parçalarının orta noktalarının geometrik yerini bulunuz.
(b) (a) kısmındaki \(XY\) doğru parçaları üzerinde bulunan ve \(ZY = 2XZ\) koşulunu sağlayan \(Z\) noktalarının geometrik yerini bulunuz.
Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir. Resmi soru kâğıdı (PDF)
Cevap
Küpün ayrıt uzunluğu \(a>0\) olsun. Her iki geometrik yer de iç bölgelerinin ve sınırlarının tamamını içerir.
(a) Köşeleri, çevre boyunca sırasıyla \(AB',CB',CD',AD'\) doğru parçalarının orta noktaları olan kapalı kare. Bu karenin düzlemi, verilen iki yüzün tam ortasındadır ve kenar uzunluğu \(a/\sqrt2\)'dir.
(b) Köşeleri, çevre boyunca sırasıyla \(AB',CB',CD',AD'\) doğru parçaları üzerinde, üssüz uç noktadan başlayarak yolun üçte biri kadar ileride bulunan noktalar olan kapalı dikdörtgen. Bu dikdörtgenin düzlemi \(ABCD\)'ye paralel olup onun \(a/3\) kadar aşağısındadır ve kenar uzunlukları \[ \frac{2a\sqrt2}{3}\qquad\text{ve}\qquad\frac{a\sqrt2}{3} \] şeklindedir.
Çözüm
Her iki geometrik yeri birlikte belirleyelim. \(0<t<1\) koşulunu sağlayan bir \(t\) sabitleyelim ve \(XY\) üzerinde \[ XW=t\,XY \] koşulunu sağlayan \(W\) noktasını ele alalım. Keyfî bir sabit başlangıç noktasına göre konum vektörleri kullanıldığında bu, \[ W=(1-t)X+tY \] anlamına gelir.
Her \(X\in AC\) ve \(Y\in B'D'\) seçimi tek bir biçimde \[ X=A+u(C-A),\qquad Y=B'+v(D'-B'), \qquad 0\le u,v\le1 \] olarak yazılabilir. Dolayısıyla \[ W=P_t+uU_t+vV_t, \] burada \[ P_t=(1-t)A+tB',\qquad U_t=(1-t)(C-A),\qquad V_t=t(D'-B'). \]
\(AC\) ve \(B'D'\) doğrultuları birbirine diktir: \(AC\), \(A'C'\)'ye paraleldir ve \(A'C'\) ile \(B'D'\) bir karenin köşegenleridir. Ayrıca \[ |AC|=|B'D'|=a\sqrt2. \] Dolayısıyla \(U_t,V_t\), uzunlukları \[ (1-t)a\sqrt2,\qquad ta\sqrt2 \] olan, sıfırdan farklı ve birbirine dik vektörlerdir.
Bundan, \(u,v\in[0,1]\) olmak üzere \(P_t+uU_t+vV_t\) ifadesinin, ardışık köşeleri \[ \begin{aligned} &(1-t)A+tB', &&(1-t)C+tB',\\ &(1-t)C+tD', &&(1-t)A+tD' \end{aligned} \] olan kapalı dikdörtgeni tam olarak belirlediği sonucu çıkar. Gerçekten de bu dikdörtgenin her noktası için böyle \(u,v\) parametreleri vardır; yukarıdaki karşılık gelen \(X,Y\) noktaları seçilince o nokta elde edilir. Bu, tüm kenarlar ve köşeler dahil olmak üzere, hem elde edilen noktaların dikdörtgende kaldığını hem de dikdörtgenin her noktasının elde edilebildiğini kanıtlar.
Alt yüzün yüksekliğini \(0\), üst yüzünkini \(a\) alırsak, böyle her \(W\) noktasının yüksekliği \((1-t)a\) olur. Dolayısıyla dikdörtgen, yüzlere paralel ve üst yüzün \(ta\) kadar aşağısında bulunan bir düzlemde yer alır.
(a) için orta nokta, \(t=\tfrac12\) değerine karşılık gelir. Bu nedenle dikdörtgenin kenar uzunlukları birbirine eşit olup \[ \frac{a\sqrt2}{2}=\frac a{\sqrt2}, \] değerindedir; dolayısıyla bu, cevapta belirtilen karenin ta kendisidir.
(b) için, noktalar birbirinden farklı paralel düzlemlerde bulunduklarından \(X\ne Y\) olur. \(Z\in XY\) ve \(ZY=2XZ\) olduğundan \[ XY=XZ+ZY=3XZ. \] Dolayısıyla \(t=\tfrac13\). Bu değeri dikdörtgenin tanımında yerine koyunca, (b) kısmında belirtilen köşeler, düzlem ve kenar uzunlukları tam olarak elde edilir.
Çözüm, John Scholes'un IMO çözüm arşiviyle (Kalva) karşılaştırılarak kontrol edildi.
IMO 1960 · Problema 5
Consideremos el cubo \(ABCDA'B'C'D'\) (con la cara \(ABCD\) directamente encima de la cara \(A'B'C'D'\)).
(a) Hallar el lugar geométrico de los puntos medios de los segmentos \(XY\), donde \(X\) es un punto cualquiera de \(AC\) e \(Y\) es un punto cualquiera de \(B'D'\).
(b) Hallar el lugar geométrico de los puntos \(Z\) que pertenecen a los segmentos \(XY\) del apartado (a) y cumplen \(ZY = 2XZ\).
Enunciado traducido del texto oficial en inglés. Enunciado oficial (PDF)
Respuesta
Sea \(a>0\) la longitud de la arista del cubo. Ambos lugares geométricos incluyen todo su interior y su frontera.
(a) El cuadrado cerrado cuyos vértices, en orden cíclico, son los puntos medios de \(AB',CB',CD',AD'\). Su plano está a mitad de distancia entre las dos caras dadas, y la longitud de su lado es \(a/\sqrt2\).
(b) El rectángulo cerrado cuyos vértices, en orden cíclico, son los puntos situados a un tercio del recorrido de \(AB',CB',CD',AD'\), partiendo del extremo sin prima. Su plano es paralelo a \(ABCD\), a una distancia \(a/3\) por debajo de él, y las longitudes de sus lados son \[ \frac{2a\sqrt2}{3}\qquad\text{y}\qquad\frac{a\sqrt2}{3}. \]
Solución
Determinaremos ambos lugares geométricos simultáneamente. Fijemos \(t\) con \(0<t<1\) y consideremos el punto \(W\) de \(XY\) que satisface \[ XW=t\,XY. \] Usando vectores de posición respecto de un origen fijo arbitrario, esto significa que \[ W=(1-t)X+tY. \]
Toda elección de \(X\in AC\) e \(Y\in B'D'\) puede escribirse de manera única como \[ X=A+u(C-A),\qquad Y=B'+v(D'-B'), \qquad 0\le u,v\le1. \] En consecuencia, \[ W=P_t+uU_t+vV_t, \] donde \[ P_t=(1-t)A+tB',\qquad U_t=(1-t)(C-A),\qquad V_t=t(D'-B'). \]
Las direcciones \(AC\) y \(B'D'\) son perpendiculares: \(AC\) es paralela a \(A'C'\), y \(A'C'\) y \(B'D'\) son las diagonales de un cuadrado. Además, \[ |AC|=|B'D'|=a\sqrt2. \] Por tanto, \(U_t,V_t\) son vectores no nulos perpendiculares de longitudes \[ (1-t)a\sqrt2,\qquad ta\sqrt2. \]
Se deduce que \(P_t+uU_t+vV_t\), con \(u,v\in[0,1]\), describe exactamente el rectángulo cerrado cuyos vértices sucesivos son \[ \begin{aligned} &(1-t)A+tB', &&(1-t)C+tB',\\ &(1-t)C+tD', &&(1-t)A+tD'. \end{aligned} \] En efecto, todo punto de este rectángulo tiene tales parámetros \(u,v\); al elegir los correspondientes \(X,Y\) anteriores, se obtiene ese punto. Esto demuestra tanto la inclusión en el rectángulo como que se alcanza cada uno de sus puntos, incluidos todos los lados y vértices.
Tomando la cara inferior a altura \(0\) y la superior a altura \(a\), todo punto \(W\) de esta forma tiene altura \((1-t)a\). Por tanto, el rectángulo está en un plano paralelo a las caras, a una distancia \(ta\) por debajo de la cara superior.
En (a), un punto medio corresponde a \(t=\tfrac12\). Por tanto, el rectángulo tiene lados de igual longitud \[ \frac{a\sqrt2}{2}=\frac a{\sqrt2}, \] de modo que es precisamente el cuadrado indicado en la respuesta.
En (b), \(X\ne Y\) porque pertenecen a planos paralelos distintos. Como \(Z\in XY\) y \(ZY=2XZ\), \[ XY=XZ+ZY=3XZ. \] Por tanto, \(t=\tfrac13\). Sustituyendo este valor en la descripción del rectángulo, se obtienen exactamente los vértices, el plano y las longitudes de los lados indicados en el apartado (b).
La solución se comprobó con el archivo de soluciones de la IMO de John Scholes (Kalva).
IMO 1960 · 问题 5
考虑正方体 \(ABCDA'B'C'D'\)（面 \(ABCD\) 位于面 \(A'B'C'D'\) 的正上方）。
(a) 求线段 \(XY\) 的中点的轨迹，其中 \(X\) 为 \(AC\) 上的任意一点，\(Y\) 为 \(B'D'\) 上的任意一点。
(b) 求点 \(Z\) 的轨迹，其中 \(Z\) 在 (a) 中的线段 \(XY\) 上，且满足 \(ZY = 2XZ\)。
题目译自官方英文原文。 官方试卷 (PDF)
答案
设正方体的棱长为 \(a>0\)。两个轨迹都包含各自的全部内部和边界。
(a) 顶点按顺序依次为 \(AB',CB',CD',AD'\) 的中点的闭正方形区域。它所在的平面位于两个给定面的正中间，边长为 \(a/\sqrt2\)。
(b) 顶点按顺序依次为从不带撇号的端点出发，沿 \(AB',CB',CD',AD'\) 各走全长的三分之一处的点的闭矩形区域。它所在的平面平行于 \(ABCD\)，位于其下方且相距 \(a/3\)，两边长为 \[ \frac{2a\sqrt2}{3}\qquad\text{和}\qquad\frac{a\sqrt2}{3}. \]
解答
我们同时确定这两个轨迹。固定满足 \(0<t<1\) 的 \(t\)，考虑 \(XY\) 上满足 \[ XW=t\,XY. \] 的点 \(W\)。任取一个固定原点，使用位置向量，上式意味着 \[ W=(1-t)X+tY. \]
任意选取的 \(X\in AC\) 和 \(Y\in B'D'\) 都可以唯一地表示为 \[ X=A+u(C-A),\qquad Y=B'+v(D'-B'), \qquad 0\le u,v\le1. \] 因此， \[ W=P_t+uU_t+vV_t, \] 其中 \[ P_t=(1-t)A+tB',\qquad U_t=(1-t)(C-A),\qquad V_t=t(D'-B'). \]
\(AC\) 与 \(B'D'\) 的方向互相垂直：\(AC\) 平行于 \(A'C'\)，而 \(A'C'\) 与 \(B'D'\) 是一个正方形的两条对角线。此外， \[ |AC|=|B'D'|=a\sqrt2. \] 因此，\(U_t,V_t\) 是两个非零的垂直向量，长度分别为 \[ (1-t)a\sqrt2,\qquad ta\sqrt2. \]
由此可知，当 \(u,v\in[0,1]\) 时，\(P_t+uU_t+vV_t\) 恰好遍历以如下各点为依次相邻顶点的闭矩形区域： \[ \begin{aligned} &(1-t)A+tB', &&(1-t)C+tB',\\ &(1-t)C+tD', &&(1-t)A+tD'. \end{aligned} \] 事实上，该矩形区域内的每一点都有这样的参数 \(u,v\)；选取上面与之对应的 \(X,Y\)，就能得到该点。这既证明了轨迹包含于该区域，也证明了该区域中的每一点均可取到，包括所有边和顶点。
取下底面的高度为 \(0\)，上底面的高度为 \(a\)，则每个这样的 \(W\) 的高度均为 \((1-t)a\)。因此，该矩形位于与两底面平行的平面内，在上底面下方且与之相距 \(ta\)。
对于 (a)，中点对应于 \(t=\tfrac12\)。因此，该矩形的两边长相等，均为 \[ \frac{a\sqrt2}{2}=\frac a{\sqrt2}, \] 所以它恰好是答案中所述的正方形区域。
对于 (b)，由于 \(X,Y\) 位于两个不同的平行平面内，故 \(X\ne Y\)。因为 \(Z\in XY\) 且 \(ZY=2XZ\)， \[ XY=XZ+ZY=3XZ. \] 因此 \(t=\tfrac13\)。将此值代入上述矩形的描述中，得到的顶点、所在平面和边长恰好就是 (b) 中所述的结果。
解答已与 John Scholes 的 IMO 解答档案（Kalva）核对。
IMO 1960 · Задача 5
Рассмотрим куб \(ABCDA'B'C'D'\) (грань \(ABCD\) расположена непосредственно над гранью \(A'B'C'D'\)).
(a) Найдите геометрическое место середин отрезков \(XY\), где \(X\) — произвольная точка \(AC\), а \(Y\) — произвольная точка \(B'D'\).
(b) Найдите геометрическое место точек \(Z\), лежащих на отрезках \(XY\) из пункта (a) и удовлетворяющих условию \(ZY = 2XZ\).
Условие переведено с официального английского текста. Официальный текст задач (PDF)
Ответ
Пусть \(a>0\) — длина ребра куба. Оба геометрических места включают все свои внутренние точки и границы.
(a) Замкнутый квадрат, вершинами которого в порядке обхода являются середины \(AB',CB',CD',AD'\). Его плоскость проходит посередине между двумя данными гранями, а длина его стороны равна \(a/\sqrt2\).
(b) Замкнутый прямоугольник, вершинами которого в порядке обхода являются точки, расположенные на одной трети каждого из отрезков \(AB',CB',CD',AD'\), считая от конца без штриха. Его плоскость параллельна \(ABCD\) и расположена на расстоянии \(a/3\) ниже неё, а длины его сторон равны \[ \frac{2a\sqrt2}{3}\qquad\text{и}\qquad\frac{a\sqrt2}{3}. \]
Решение
Найдём оба геометрических места одновременно. Зафиксируем \(t\), удовлетворяющее \(0<t<1\), и рассмотрим точку \(W\) на \(XY\), для которой \[ XW=t\,XY. \] В терминах радиус-векторов относительно произвольного фиксированного начала это означает \[ W=(1-t)X+tY. \]
Любой выбор \(X\in AC\) и \(Y\in B'D'\) можно единственным образом записать в виде \[ X=A+u(C-A),\qquad Y=B'+v(D'-B'), \qquad 0\le u,v\le1. \] Следовательно, \[ W=P_t+uU_t+vV_t, \] где \[ P_t=(1-t)A+tB',\qquad U_t=(1-t)(C-A),\qquad V_t=t(D'-B'). \]
Направления \(AC\) и \(B'D'\) перпендикулярны: \(AC\) параллельна \(A'C'\), а \(A'C'\) и \(B'D'\) — диагонали квадрата. Кроме того, \[ |AC|=|B'D'|=a\sqrt2. \] Таким образом, \(U_t,V_t\) — ненулевые перпендикулярные векторы длины \[ (1-t)a\sqrt2,\qquad ta\sqrt2. \]
Отсюда следует, что \(P_t+uU_t+vV_t\) при \(u,v\in[0,1]\) описывает в точности замкнутый прямоугольник с последовательно расположенными вершинами \[ \begin{aligned} &(1-t)A+tB', &&(1-t)C+tB',\\ &(1-t)C+tD', &&(1-t)A+tD'. \end{aligned} \] Действительно, каждая точка этого прямоугольника имеет такие параметры \(u,v\); выбор соответствующих точек \(X,Y\) по приведённым выше формулам даёт эту точку. Тем самым доказано как включение в прямоугольник, так и достижимость всех его точек, включая все стороны и вершины.
Если принять высоту нижней грани за \(0\), а верхней — за \(a\), то каждая такая точка \(W\) имеет высоту \((1-t)a\). Следовательно, прямоугольник лежит в плоскости, параллельной граням, на расстоянии \(ta\) ниже верхней грани.
В пункте (a) середине соответствует \(t=\tfrac12\). Поэтому прямоугольник имеет равные стороны длины \[ \frac{a\sqrt2}{2}=\frac a{\sqrt2}, \] то есть является именно тем квадратом, который указан в ответе.
В пункте (b) \(X\ne Y\), поскольку эти точки лежат в различных параллельных плоскостях. Так как \(Z\in XY\) и \(ZY=2XZ\), \[ XY=XZ+ZY=3XZ. \] Таким образом, \(t=\tfrac13\). Подставляя это значение в описание прямоугольника, получаем в точности вершины, плоскость и длины сторон, указанные в пункте (b).
Решение проверено по архиву решений IMO Джона Скоулза (Kalva).
IMO 1960 · المسألة 5
اعتبر المكعب \(ABCDA'B'C'D'\) (حيث يقع الوجه \(ABCD\) مباشرة فوق الوجه \(A'B'C'D'\)).
(a) أوجد المحل الهندسي لمنتصفات القطع \(XY\)، حيث \(X\) نقطة كيفما اتفق من \(AC\)، و\(Y\) نقطة كيفما اتفق من \(B'D'\).
(b) أوجد المحل الهندسي للنقاط \(Z\) التي تقع على القطع \(XY\) الواردة في الجزء (a) وتحقق \(ZY = 2XZ\).
نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي. ورقة المسائل الرسمية (PDF)
الإجابة
ليكن \(a>0\) طول حرف المكعب. يشمل كلا المحلين الهندسيين كامل داخله وحدوده.
(a) المربع المغلق الذي رؤوسه، بالترتيب الدوري، هي منتصفات \(AB',CB',CD',AD'\). يقع مستواه في منتصف المسافة بين الوجهين المعطيين، وطول ضلعه \(a/\sqrt2\).
(b) المستطيل المغلق الذي رؤوسه، بالترتيب الدوري، هي النقاط الواقعة عند ثلث كل من القطع \(AB',CB',CD',AD'\)، بدءًا من الطرف غير المعلَّم بشرطة. مستواه موازٍ للوجه \(ABCD\)، ويقع تحته على مسافة \(a/3\)، وطولا ضلعيه هما \[ \frac{2a\sqrt2}{3}\qquad\text{و}\qquad\frac{a\sqrt2}{3}. \]
الحل
نثبت المحلين الهندسيين معًا. ثبّت \(t\) بحيث \(0<t<1\)، واعتبر النقطة \(W\) على \(XY\) التي تحقق \[ XW=t\,XY. \] باستخدام متجهات الموضع بالنسبة إلى مبدأ ثابت اختياري، يعني ذلك أن \[ W=(1-t)X+tY. \]
يمكن التعبير عن كل اختيار للنقطتين \(X\in AC\) و\(Y\in B'D'\) على نحو وحيد بالشكل \[ X=A+u(C-A),\qquad Y=B'+v(D'-B'), \qquad 0\le u,v\le1. \] وبالتالي، \[ W=P_t+uU_t+vV_t, \] حيث \[ P_t=(1-t)A+tB',\qquad U_t=(1-t)(C-A),\qquad V_t=t(D'-B'). \]
الاتجاهان \(AC\) و\(B'D'\) متعامدان: فـ\(AC\) موازٍ لـ\(A'C'\)، و\(A'C'\) و\(B'D'\) قطرا مربع. علاوة على ذلك، \[ |AC|=|B'D'|=a\sqrt2. \] إذن \(U_t,V_t\) متجهان غير صفريين متعامدان، طولاهما \[ (1-t)a\sqrt2,\qquad ta\sqrt2. \]
يترتب على ذلك أن \(P_t+uU_t+vV_t\)، حيث \(u,v\in[0,1]\)، يصف بالضبط المستطيل المغلق ذا الرؤوس المتتالية \[ \begin{aligned} &(1-t)A+tB', &&(1-t)C+tB',\\ &(1-t)C+tD', &&(1-t)A+tD'. \end{aligned} \] وبالفعل، لكل نقطة في هذا المستطيل وسيطان \(u,v\) من هذا النوع؛ واختيار \(X,Y\) الموافقين لهما كما سبق ينتج تلك النقطة. وهذا يثبت الاحتواء وإمكان الحصول على كل نقطة، بما في ذلك جميع الأضلاع والرؤوس.
إذا اعتبرنا ارتفاع الوجه السفلي \(0\) وارتفاع الوجه العلوي \(a\)، فإن ارتفاع كل نقطة \(W\) من هذا النوع هو \((1-t)a\). ومن ثم يقع المستطيل في مستوى موازٍ للوجهين، على مسافة \(ta\) تحت الوجه العلوي.
في (a)، تقابل نقطة المنتصف القيمة \(t=\tfrac12\). ولذلك يكون للمستطيل ضلعان متساويا الطول \[ \frac{a\sqrt2}{2}=\frac a{\sqrt2}, \] ومن ثم فهو بالضبط المربع المذكور في الإجابة.
في (b)، لدينا \(X\ne Y\) لأنهما تقعان في مستويين متوازيين متمايزين. وبما أن \(Z\in XY\) و\(ZY=2XZ\)، فإن \[ XY=XZ+ZY=3XZ. \] إذن \(t=\tfrac13\). وبالتعويض بهذه القيمة في وصف المستطيل نحصل بالضبط على الرؤوس والمستوى وطولي الضلعين المذكورة في الجزء (b).
تمت مراجعة الحل بمقارنته بأرشيف حلول IMO لجون سكولز (Kalva).