IMO 1960 · Problem 2
For what values of the variable \(x\) does the following inequality hold: \[ \frac{4x^2}{(1-\sqrt{1+2x})^2}<2x+9? \]
Official text of the problem. Official problem paper (PDF)
Answer
\[ \boxed{x\in\left[-\frac12,0\right)\cup\left(0,\frac{45}{8}\right).} \]
Solution
The square root is real exactly when \(x\ge -\frac12\). The denominator vanishes exactly when \[ \sqrt{1+2x}=1, \] that is, when \(x=0\). Thus the domain is \(x\ge-\frac12\), \(x\ne0\).
On this domain, the identity \[ (1-\sqrt{1+2x})(1+\sqrt{1+2x})=-2x \] gives \[ \frac{4x^2}{(1-\sqrt{1+2x})^2} =(1+\sqrt{1+2x})^2 =2x+2+2\sqrt{1+2x}. \] Consequently, the given inequality is equivalent to \[ 2x+2+2\sqrt{1+2x}<2x+9, \] or \[ \sqrt{1+2x}<\frac72. \] Both sides are nonnegative, so squaring is reversible and yields \[ 1+2x<\frac{49}{4} \quad\Longleftrightarrow\quad x<\frac{45}{8}. \]
Intersecting this condition with the domain gives precisely \[ \left[-\frac12,0\right)\cup\left(0,\frac{45}{8}\right). \] The left endpoint is included; \(0\) is excluded because the original expression is undefined, and \(\frac{45}{8}\) is excluded because it gives equality.
The solution was checked against John Scholes' IMO solution archive (Kalva).
IMO 1960 · Aufgabe 2
Für welche Werte der Variablen \(x\) gilt die folgende Ungleichung: \[ \frac{4x^2}{(1-\sqrt{1+2x})^2}<2x+9? \]
Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt. Offizielles Aufgabenblatt (PDF)
Antwort
\[ \boxed{x\in\left[-\frac12,0\right)\cup\left(0,\frac{45}{8}\right).} \]
Lösung
Die Quadratwurzel ist genau dann reell, wenn \(x\ge -\frac12\). Der Nenner verschwindet genau dann, wenn \[ \sqrt{1+2x}=1, \] also wenn \(x=0\). Somit ist der Definitionsbereich durch \(x\ge-\frac12\), \(x\ne0\) gegeben.
Auf diesem Definitionsbereich ergibt die Identität \[ (1-\sqrt{1+2x})(1+\sqrt{1+2x})=-2x \] die Gleichheit \[ \frac{4x^2}{(1-\sqrt{1+2x})^2} =(1+\sqrt{1+2x})^2 =2x+2+2\sqrt{1+2x}. \] Folglich ist die gegebene Ungleichung äquivalent zu \[ 2x+2+2\sqrt{1+2x}<2x+9, \] oder \[ \sqrt{1+2x}<\frac72. \] Beide Seiten sind nichtnegativ, sodass das Quadrieren eine Äquivalenzumformung ist und \[ 1+2x<\frac{49}{4} \quad\Longleftrightarrow\quad x<\frac{45}{8} \] ergibt.
Der Schnitt dieser Bedingung mit dem Definitionsbereich ergibt genau \[ \left[-\frac12,0\right)\cup\left(0,\frac{45}{8}\right). \] Der linke Randpunkt gehört dazu; \(0\) ist ausgeschlossen, weil der ursprüngliche Ausdruck dort nicht definiert ist, und \(\frac{45}{8}\) ist ausgeschlossen, weil dort Gleichheit gilt.
Die Lösung wurde mit dem IMO-Lösungsarchiv von John Scholes (Kalva) abgeglichen.
IMO 1960 · Soru 2
\(x\) değişkeninin hangi değerleri için aşağıdaki eşitsizlik sağlanır: \[ \frac{4x^2}{(1-\sqrt{1+2x})^2}<2x+9? \]
Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir. Resmi soru kâğıdı (PDF)
Cevap
\[ \boxed{x\in\left[-\frac12,0\right)\cup\left(0,\frac{45}{8}\right).} \]
Çözüm
Karekökün gerçek sayı olması için gerek ve yeter koşul \(x\ge -\frac12\) olmasıdır. Payda ancak ve ancak \[ \sqrt{1+2x}=1, \] yani \(x=0\) olduğunda sıfır olur. Dolayısıyla tanım kümesi \(x\ge-\frac12\), \(x\ne0\) koşullarıyla verilir.
Bu tanım kümesinde \[ (1-\sqrt{1+2x})(1+\sqrt{1+2x})=-2x \] özdeşliğinden \[ \frac{4x^2}{(1-\sqrt{1+2x})^2} =(1+\sqrt{1+2x})^2 =2x+2+2\sqrt{1+2x} \] elde edilir. Böylece verilen eşitsizlik \[ 2x+2+2\sqrt{1+2x}<2x+9, \] ya da \[ \sqrt{1+2x}<\frac72 \] eşitsizliğine denktir. Her iki taraf da negatif olmadığından kare alma işlemi denkliği korur ve \[ 1+2x<\frac{49}{4} \quad\Longleftrightarrow\quad x<\frac{45}{8} \] sonucunu verir.
Bu koşulun belirlediği kümeyi tanım kümesiyle kesiştirince tam olarak \[ \left[-\frac12,0\right)\cup\left(0,\frac{45}{8}\right) \] elde edilir. Sol uç nokta dahildir; başlangıçtaki ifade tanımsız olduğu için \(0\), eşitlik sağlandığı için de \(\frac{45}{8}\) dahil değildir.
Çözüm, John Scholes'un IMO çözüm arşiviyle (Kalva) karşılaştırılarak kontrol edildi.
IMO 1960 · Problema 2
¿Para qué valores de la variable \(x\) se cumple la siguiente desigualdad? \[ \frac{4x^2}{(1-\sqrt{1+2x})^2}<2x+9? \]
Enunciado traducido del texto oficial en inglés. Enunciado oficial (PDF)
Respuesta
\[ \boxed{x\in\left[-\frac12,0\right)\cup\left(0,\frac{45}{8}\right).} \]
Solución
La raíz cuadrada es real exactamente cuando \(x\ge -\frac12\). El denominador se anula exactamente cuando \[ \sqrt{1+2x}=1, \] es decir, cuando \(x=0\). Por tanto, el dominio es \(x\ge-\frac12\), \(x\ne0\).
En este dominio, la identidad \[ (1-\sqrt{1+2x})(1+\sqrt{1+2x})=-2x \] da \[ \frac{4x^2}{(1-\sqrt{1+2x})^2} =(1+\sqrt{1+2x})^2 =2x+2+2\sqrt{1+2x}. \] En consecuencia, la desigualdad dada equivale a \[ 2x+2+2\sqrt{1+2x}<2x+9, \] o bien a \[ \sqrt{1+2x}<\frac72. \] Ambos miembros son no negativos, por lo que elevar al cuadrado es una operación reversible y da \[ 1+2x<\frac{49}{4} \quad\Longleftrightarrow\quad x<\frac{45}{8}. \]
Al intersectar esta condición con el dominio, obtenemos precisamente \[ \left[-\frac12,0\right)\cup\left(0,\frac{45}{8}\right). \] El extremo izquierdo está incluido; \(0\) se excluye porque la expresión original no está definida, y \(\frac{45}{8}\) se excluye porque da lugar a la igualdad.
La solución se comprobó con el archivo de soluciones de la IMO de John Scholes (Kalva).
IMO 1960 · 问题 2
变量 \(x\) 取哪些值时，下列不等式成立： \[ \frac{4x^2}{(1-\sqrt{1+2x})^2}<2x+9? \]
题目译自官方英文原文。 官方试卷 (PDF)
答案
\[ \boxed{x\in\left[-\frac12,0\right)\cup\left(0,\frac{45}{8}\right).} \]
解答
当且仅当 \(x\ge -\frac12\) 时，根式有实数值。当且仅当 \[ \sqrt{1+2x}=1, \] 即 \(x=0\) 时，分母为零。因此，定义域为 \(x\ge-\frac12\)，\(x\ne0\)。
在此定义域内，由恒等式 \[ (1-\sqrt{1+2x})(1+\sqrt{1+2x})=-2x \] 可得 \[ \frac{4x^2}{(1-\sqrt{1+2x})^2} =(1+\sqrt{1+2x})^2 =2x+2+2\sqrt{1+2x}. \] 因此，原不等式等价于 \[ 2x+2+2\sqrt{1+2x}<2x+9, \] 即 \[ \sqrt{1+2x}<\frac72. \] 两边均非负，因此两边平方是等价变形，得到 \[ 1+2x<\frac{49}{4} \quad\Longleftrightarrow\quad x<\frac{45}{8}. \]
将此条件与定义域取交集，恰好得到 \[ \left[-\frac12,0\right)\cup\left(0,\frac{45}{8}\right). \] 左端点取到；\(0\) 被排除，因为原式在该点无定义；\(\frac{45}{8}\) 也被排除，因为在该点两边相等。
解答已与 John Scholes 的 IMO 解答档案（Kalva）核对。
IMO 1960 · Задача 2
При каких значениях переменной \(x\) выполняется следующее неравенство: \[ \frac{4x^2}{(1-\sqrt{1+2x})^2}<2x+9? \]
Условие переведено с официального английского текста. Официальный текст задач (PDF)
Ответ
\[ \boxed{x\in\left[-\frac12,0\right)\cup\left(0,\frac{45}{8}\right).} \]
Решение
Квадратный корень определён в действительных числах тогда и только тогда, когда \(x\ge -\frac12\). Знаменатель обращается в нуль тогда и только тогда, когда \[ \sqrt{1+2x}=1, \] то есть при \(x=0\). Таким образом, область допустимых значений задаётся условиями \(x\ge-\frac12\), \(x\ne0\).
На этой области тождество \[ (1-\sqrt{1+2x})(1+\sqrt{1+2x})=-2x \] даёт \[ \frac{4x^2}{(1-\sqrt{1+2x})^2} =(1+\sqrt{1+2x})^2 =2x+2+2\sqrt{1+2x}. \] Следовательно, данное неравенство равносильно неравенству \[ 2x+2+2\sqrt{1+2x}<2x+9, \] или \[ \sqrt{1+2x}<\frac72. \] Обе части неотрицательны, поэтому возведение в квадрат является равносильным преобразованием и даёт \[ 1+2x<\frac{49}{4} \quad\Longleftrightarrow\quad x<\frac{45}{8}. \]
Пересекая это условие с областью допустимых значений, получаем в точности \[ \left[-\frac12,0\right)\cup\left(0,\frac{45}{8}\right). \] Левый конец включён; \(0\) исключён, поскольку исходное выражение не определено, а \(\frac{45}{8}\) исключено, поскольку при этом значении достигается равенство.
Решение проверено по архиву решений IMO Джона Скоулза (Kalva).
IMO 1960 · المسألة 2
لأي قيم المتغير \(x\) تتحقق المتباينة الآتية: \[ \frac{4x^2}{(1-\sqrt{1+2x})^2}<2x+9? \]
نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي. ورقة المسائل الرسمية (PDF)
الإجابة
\[ \boxed{x\in\left[-\frac12,0\right)\cup\left(0,\frac{45}{8}\right).} \]
الحل
يكون الجذر التربيعي حقيقيًا إذا وفقط إذا كان \(x\ge -\frac12\). وينعدم المقام إذا وفقط إذا كان \[ \sqrt{1+2x}=1, \] أي عندما \(x=0\). إذن مجال التعريف هو \(x\ge-\frac12\)، \(x\ne0\).
في هذا المجال، تعطينا المتطابقة \[ (1-\sqrt{1+2x})(1+\sqrt{1+2x})=-2x \] أن \[ \frac{4x^2}{(1-\sqrt{1+2x})^2} =(1+\sqrt{1+2x})^2 =2x+2+2\sqrt{1+2x}. \] وبالتالي، تكافئ المتباينة المعطاة \[ 2x+2+2\sqrt{1+2x}<2x+9, \] أو \[ \sqrt{1+2x}<\frac72. \] كلا الطرفين غير سالب، لذا فإن التربيع يحافظ على التكافؤ ويعطي \[ 1+2x<\frac{49}{4} \quad\Longleftrightarrow\quad x<\frac{45}{8}. \]
بأخذ تقاطع هذا الشرط مع مجال التعريف نحصل بالضبط على \[ \left[-\frac12,0\right)\cup\left(0,\frac{45}{8}\right). \] الطرف الأيسر مشمول؛ أما \(0\) فمستبعد لأن العبارة الأصلية غير معرّفة عنده، و\(\frac{45}{8}\) مستبعد لأنه يعطي المساواة.
تمت مراجعة الحل بمقارنته بأرشيف حلول IMO لجون سكولز (Kalva).