Problem 1

Prove that the fraction \(\frac{21n+4}{14n+3}\) is irreducible for every natural number \(n\).

Solution →

Problem 2

For what real values of \(x\) is \[ \sqrt{(x+\sqrt{2x-1})}+\sqrt{(x-\sqrt{2x-1})}=A, \] given (a) \(A=\sqrt{2}\), (b) \(A=1\), (c) \(A=2\), where only non-negative real numbers are admitted for square roots?

Solution →

Problem 3

Let \(a, b, c\) be real numbers. Consider the quadratic equation in \(\cos x\) : \[ a\cos^2 x+b\cos x+c=0. \] Using the numbers \(a, b, c\), form a quadratic equation in \(\cos 2x\), whose roots are the same as those of the original equation. Compare the equations in \(\cos x\) and \(\cos 2x\) for \(a=4, b=2, c=-1\).

Solution →

Problem 4

Construct a right triangle with given hypotenuse \(c\) such that the median drawn to the hypotenuse is the geometric mean of the two legs of the triangle.

Solution →

Problem 5

An arbitrary point \(M\) is selected in the interior of the segment \(AB\). The squares \(AMCD\) and \(MBEF\) are constructed on the same side of \(AB\), with the segments \(AM\) and \(MB\) as their respective bases. The circles circumscribed about these squares, with centers \(P\) and \(Q\), intersect at \(M\) and also at another point \(N\). Let \(N'\) denote the point of intersection of the straight lines \(AF\) and \(BC\).

(a) Prove that the points \(N\) and \(N'\) coincide.
(b) Prove that the straight lines \(MN\) pass through a fixed point \(S\) independent of the choice of \(M\).
(c) Find the locus of the midpoints of the segments \(PQ\) as \(M\) varies between \(A\) and \(B\).

Solution →

Problem 6

Two planes, \(P\) and \(Q\), intersect along the line \(p\). The point \(A\) is given in the plane \(P\), and the point \(C\) in the plane \(Q\); neither of these points lies on the straight line \(p\). Construct an isosceles trapezoid \(ABCD\) (with \(AB\) parallel to \(CD\)) in which a circle can be inscribed, and with vertices \(B\) and \(D\) lying in the planes \(P\) and \(Q\) respectively.

Solution →

Aufgabe 1

Beweise, dass der Bruch \(\frac{21n+4}{14n+3}\) für jede natürliche Zahl \(n\) vollständig gekürzt ist.

Lösung →

Aufgabe 2

Für welche reellen Werte von \(x\) gilt \[ \sqrt{(x+\sqrt{2x-1})}+\sqrt{(x-\sqrt{2x-1})}=A, \] wenn (a) \(A=\sqrt{2}\), (b) \(A=1\), (c) \(A=2\) gegeben ist und für Quadratwurzeln nur nichtnegative reelle Zahlen zugelassen sind?

Lösung →

Aufgabe 3

Seien \(a, b, c\) reelle Zahlen. Betrachte die quadratische Gleichung in \(\cos x\): \[ a\cos^2 x+b\cos x+c=0. \] Bilde mithilfe der Zahlen \(a, b, c\) eine quadratische Gleichung in \(\cos 2x\), deren Lösungen dieselben sind wie die der ursprünglichen Gleichung. Vergleiche die Gleichungen in \(\cos x\) und \(\cos 2x\) für \(a=4, b=2, c=-1\).

Lösung →

Aufgabe 4

Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck mit gegebener Hypotenuse \(c\), in dem die Seitenhalbierende zur Hypotenuse das geometrische Mittel der beiden Katheten des Dreiecks ist.

Lösung →

Aufgabe 5

Im Inneren der Strecke \(AB\) wird ein beliebiger Punkt \(M\) gewählt. Auf derselben Seite von \(AB\) werden die Quadrate \(AMCD\) und \(MBEF\) mit den Strecken \(AM\) bzw. \(MB\) als Grundseiten errichtet. Die Umkreise dieser Quadrate mit den Mittelpunkten \(P\) und \(Q\) schneiden sich in \(M\) und in einem weiteren Punkt \(N\). Mit \(N'\) sei der Schnittpunkt der Geraden \(AF\) und \(BC\) bezeichnet.

(a) Beweise, dass die Punkte \(N\) und \(N'\) zusammenfallen.
(b) Beweise, dass die Geraden \(MN\) durch einen festen Punkt \(S\) gehen, der von der Wahl von \(M\) unabhängig ist.
(c) Bestimme den geometrischen Ort der Mittelpunkte der Strecken \(PQ\), wenn \(M\) zwischen \(A\) und \(B\) variiert.

Lösung →

Aufgabe 6

Zwei Ebenen \(P\) und \(Q\) schneiden sich in der Geraden \(p\). In der Ebene \(P\) ist der Punkt \(A\) und in der Ebene \(Q\) der Punkt \(C\) gegeben; keiner dieser Punkte liegt auf der Geraden \(p\). Konstruiere ein gleichschenkliges Trapez \(ABCD\) (mit \(AB\) parallel zu \(CD\)), das einen Inkreis besitzt und dessen Eckpunkte \(B\) und \(D\) in den Ebenen \(P\) bzw. \(Q\) liegen.

Lösung →

Soru 1

Her \(n\) doğal sayısı için \(\frac{21n+4}{14n+3}\) kesrinin sadeleşmez olduğunu kanıtlayınız.

Çözüm →

Soru 2

Karekökler için yalnızca negatif olmayan gerçek sayılar kabul edildiğine göre, (a) \(A=\sqrt{2}\), (b) \(A=1\), (c) \(A=2\) durumlarında \[ \sqrt{(x+\sqrt{2x-1})}+\sqrt{(x-\sqrt{2x-1})}=A, \] eşitliği hangi gerçek \(x\) değerleri için sağlanır?

Çözüm →

Soru 3

\(a, b, c\) gerçek sayılar olsun. \(\cos x\)'e göre ikinci dereceden \[ a\cos^2 x+b\cos x+c=0 \] denklemini ele alalım. \(a, b, c\) sayılarını kullanarak \(\cos 2x\)'e göre ikinci dereceden, kökleri başlangıçtaki denklemin kökleriyle aynı olan bir denklem oluşturunuz. \(a=4, b=2, c=-1\) için \(\cos x\) ve \(\cos 2x\)'e göre olan denklemleri karşılaştırınız.

Çözüm →

Soru 4

Hipotenüsü verilen \(c\) uzunluğunda olan ve hipotenüse çizilen kenarortayının uzunluğu iki dik kenarının uzunluklarının geometrik ortalamasına eşit olan bir dik üçgen çiziniz.

Çözüm →

Soru 5

\(AB\) doğru parçasının iç bölgesinde herhangi bir \(M\) noktası seçiliyor. \(AB\)'nin aynı tarafında, sırasıyla \(AM\) ve \(MB\) doğru parçaları taban olacak şekilde \(AMCD\) ve \(MBEF\) kareleri çiziliyor. Bu karelerin merkezleri \(P\) ve \(Q\) olan çevrel çemberleri \(M\)'de ve bir başka \(N\) noktasında kesişiyor. \(AF\) ve \(BC\) doğrularının kesişim noktası \(N'\) olsun.

(a) \(N\) ve \(N'\) noktalarının çakıştığını kanıtlayınız.
(b) \(MN\) doğrularının, \(M\)'nin seçiminden bağımsız sabit bir \(S\) noktasından geçtiğini kanıtlayınız.
(c) \(M\), \(A\) ile \(B\) arasında değişirken \(PQ\) doğru parçalarının orta noktalarının geometrik yerini bulunuz.

Çözüm →

Soru 6

\(P\) ve \(Q\) düzlemleri \(p\) doğrusu boyunca kesişiyor. \(P\) düzleminde \(A\) noktası ve \(Q\) düzleminde \(C\) noktası veriliyor; bu noktaların hiçbiri \(p\) doğrusu üzerinde değildir. İçine bir çember çizilebilen, \(B\) ve \(D\) köşeleri sırasıyla \(P\) ve \(Q\) düzlemlerinde bulunan bir \(ABCD\) ikizkenar yamuğu (\(AB\), \(CD\)'ye paralel olacak şekilde) çiziniz.

Çözüm →

Problema 1

Demuestre que la fracción \(\frac{21n+4}{14n+3}\) es irreducible para todo número natural \(n\).

Solución →

Problema 2

¿Para qué valores reales de \(x\) se cumple \[ \sqrt{(x+\sqrt{2x-1})}+\sqrt{(x-\sqrt{2x-1})}=A, \] si (a) \(A=\sqrt{2}\), (b) \(A=1\), (c) \(A=2\), admitiendo únicamente valores reales no negativos para las raíces cuadradas?

Solución →

Problema 3

Sean \(a, b, c\) números reales. Considere la ecuación cuadrática en \(\cos x\): \[ a\cos^2 x+b\cos x+c=0. \] Utilizando los números \(a, b, c\), forme una ecuación cuadrática en \(\cos 2x\) cuyas raíces sean las mismas que las de la ecuación original. Compare las ecuaciones en \(\cos x\) y \(\cos 2x\) para \(a=4, b=2, c=-1\).

Solución →

Problema 4

Construya un triángulo rectángulo de hipotenusa dada \(c\) tal que la mediana trazada a la hipotenusa sea la media geométrica de los dos catetos del triángulo.

Solución →

Problema 5

Se elige un punto arbitrario \(M\) en el interior del segmento \(AB\). Se construyen los cuadrados \(AMCD\) y \(MBEF\) en el mismo lado de \(AB\), con los segmentos \(AM\) y \(MB\) como bases respectivas. Las circunferencias circunscritas a estos cuadrados, de centros \(P\) y \(Q\), se cortan en \(M\) y también en otro punto \(N\). Sea \(N'\) el punto de intersección de las rectas \(AF\) y \(BC\).

(a) Demuestre que los puntos \(N\) y \(N'\) coinciden.
(b) Demuestre que las rectas \(MN\) pasan por un punto fijo \(S\) independiente de la elección de \(M\).
(c) Halle el lugar geométrico de los puntos medios de los segmentos \(PQ\) cuando \(M\) varía entre \(A\) y \(B\).

Solución →

Problema 6

Dos planos, \(P\) y \(Q\), se cortan según la recta \(p\). Se dan el punto \(A\) en el plano \(P\) y el punto \(C\) en el plano \(Q\); ninguno de estos puntos pertenece a la recta \(p\). Construya un trapecio isósceles \(ABCD\) (con \(AB\) paralelo a \(CD\)) en el que se pueda inscribir una circunferencia y cuyos vértices \(B\) y \(D\) pertenezcan a los planos \(P\) y \(Q\), respectivamente.

Solución →

问题 1

证明：对每个自然数 \(n\)，分数 \(\frac{21n+4}{14n+3}\) 都是最简分数。

解答 →

问题 2

分别给定 (a) \(A=\sqrt{2}\)，(b) \(A=1\)，(c) \(A=2\)，求满足 \[ \sqrt{(x+\sqrt{2x-1})}+\sqrt{(x-\sqrt{2x-1})}=A, \] 的所有实数 \(x\)，其中平方根只取非负实数值。

解答 →

问题 3

设 \(a, b, c\) 为实数。考虑关于 \(\cos x\) 的二次方程： \[ a\cos^2 x+b\cos x+c=0. \] 利用数 \(a, b, c\)，构造一个关于 \(\cos 2x\) 的二次方程，使其根与原方程的根相同。当 \(a=4, b=2, c=-1\) 时，比较关于 \(\cos x\) 和 \(\cos 2x\) 的这两个方程。

解答 →

问题 4

作一个斜边为给定长度 \(c\) 的直角三角形，使斜边上的中线长等于两条直角边长的几何平均数。

解答 →

问题 5

在线段 \(AB\) 的内部任取一点 \(M\)。在 \(AB\) 的同侧，分别以线段 \(AM\) 和 \(MB\) 为底边作正方形 \(AMCD\) 和 \(MBEF\)。这两个正方形的外接圆的圆心分别为 \(P\) 和 \(Q\)，两圆除相交于 \(M\) 外，还相交于另一点 \(N\)。记直线 \(AF\) 与 \(BC\) 的交点为 \(N'\)。

(a) 证明点 \(N\) 与 \(N'\) 重合。
(b) 证明直线 \(MN\) 经过一个与 \(M\) 的选择无关的定点 \(S\)。
(c) 当 \(M\) 在 \(A\)、\(B\) 之间变动时，求线段 \(PQ\) 的中点的轨迹。

解答 →

问题 6

两个平面 \(P\) 和 \(Q\) 相交于直线 \(p\)。在平面 \(P\) 内给定点 \(A\)，在平面 \(Q\) 内给定点 \(C\)；这两点都不在直线 \(p\) 上。作一个有内切圆的等腰梯形 \(ABCD\)（其中 \(AB\) 平行于 \(CD\)），使顶点 \(B\) 和 \(D\) 分别位于平面 \(P\) 和 \(Q\) 内。

解答 →

Задача 1

Докажите, что дробь \(\frac{21n+4}{14n+3}\) несократима при любом натуральном числе \(n\).

Решение →

Задача 2

При каких действительных значениях \(x\) выполняется равенство \[ \sqrt{(x+\sqrt{2x-1})}+\sqrt{(x-\sqrt{2x-1})}=A, \] если (a) \(A=\sqrt{2}\), (b) \(A=1\), (c) \(A=2\), причём для квадратных корней допускаются только неотрицательные действительные значения?

Решение →

Задача 3

Пусть \(a, b, c\) — действительные числа. Рассмотрим квадратное уравнение относительно \(\cos x\): \[ a\cos^2 x+b\cos x+c=0. \] Используя числа \(a, b, c\), составьте квадратное уравнение относительно \(\cos 2x\), корни которого совпадают с корнями исходного уравнения. Сравните уравнения относительно \(\cos x\) и \(\cos 2x\) при \(a=4, b=2, c=-1\).

Решение →

Задача 4

Постройте прямоугольный треугольник с данной гипотенузой \(c\), в котором медиана, проведённая к гипотенузе, является средним геометрическим двух катетов треугольника.

Решение →

Задача 5

Внутри отрезка \(AB\) выбрана произвольная точка \(M\). По одну сторону от \(AB\) построены квадраты \(AMCD\) и \(MBEF\) с основаниями \(AM\) и \(MB\) соответственно. Окружности, описанные около этих квадратов, с центрами \(P\) и \(Q\), пересекаются в точке \(M\) и ещё в одной точке \(N\). Обозначим через \(N'\) точку пересечения прямых \(AF\) и \(BC\).

(a) Докажите, что точки \(N\) и \(N'\) совпадают.
(b) Докажите, что прямые \(MN\) проходят через фиксированную точку \(S\), не зависящую от выбора \(M\).
(c) Найдите геометрическое место середин отрезков \(PQ\), когда \(M\) перемещается между \(A\) и \(B\).

Решение →

Задача 6

Две плоскости \(P\) и \(Q\) пересекаются по прямой \(p\). В плоскости \(P\) дана точка \(A\), а в плоскости \(Q\) — точка \(C\); ни одна из этих точек не лежит на прямой \(p\). Постройте равнобедренную трапецию \(ABCD\) (в которой \(AB\) параллельно \(CD\)), в которую можно вписать окружность и вершины \(B\) и \(D\) которой лежат в плоскостях \(P\) и \(Q\) соответственно.

Решение →

المسألة 1

أثبت أن الكسر \(\frac{21n+4}{14n+3}\) غير قابل للاختزال لكل عدد طبيعي \(n\).

← الحل

المسألة 2

لأي قيم حقيقية لـ \(x\) تتحقق المعادلة \[ \sqrt{(x+\sqrt{2x-1})}+\sqrt{(x-\sqrt{2x-1})}=A, \] إذا كان (a) \(A=\sqrt{2}\)، و(b) \(A=1\)، و(c) \(A=2\)، حيث لا تُقبل للجذور التربيعية إلا القيم الحقيقية غير السالبة؟

← الحل

المسألة 3

لتكن \(a, b, c\) أعدادًا حقيقية. اعتبر المعادلة التربيعية في \(\cos x\): \[ a\cos^2 x+b\cos x+c=0. \] باستخدام الأعداد \(a, b, c\)، كوِّن معادلة تربيعية في \(\cos 2x\)، تكون جذورها هي نفسها جذور المعادلة الأصلية. قارن بين المعادلتين في \(\cos x\) و\(\cos 2x\) عندما \(a=4, b=2, c=-1\).

← الحل

المسألة 4

أنشئ مثلثًا قائم الزاوية وتره المعطى \(c\)، بحيث يكون المتوسط المرسوم إلى الوتر هو الوسط الهندسي لطولي ضلعيه القائمين.

← الحل

المسألة 5

تُختار نقطة كيفما كانت \(M\) في داخل القطعة \(AB\). يُنشأ المربعان \(AMCD\) و\(MBEF\) في الجهة نفسها من \(AB\)، بحيث تكون القطعتان \(AM\) و\(MB\) قاعدتيهما على الترتيب. تتقاطع الدائرتان المحيطتان بهذين المربعين، ومركزاهما \(P\) و\(Q\)، عند \(M\) وعند نقطة أخرى \(N\). ولتكن \(N'\) نقطة تقاطع المستقيمين \(AF\) و\(BC\).

(a) أثبت أن النقطتين \(N\) و\(N'\) تنطبقان.
(b) أثبت أن المستقيمات \(MN\) تمر بنقطة ثابتة \(S\) لا تعتمد على اختيار \(M\).
(c) أوجد المحل الهندسي لمنتصفات القطع \(PQ\) عندما تتغير \(M\) بين \(A\) و\(B\).

← الحل

المسألة 6

يتقاطع مستويان \(P\) و\(Q\) في المستقيم \(p\). النقطة \(A\) معطاة في المستوى \(P\)، والنقطة \(C\) معطاة في المستوى \(Q\)؛ ولا تقع أي من هاتين النقطتين على المستقيم \(p\). أنشئ شبه منحرف متساوي الساقين \(ABCD\) (بحيث يكون \(AB\) موازيًا لـ \(CD\)) يمكن رسم دائرة داخله تمس أضلاعه الأربعة، ويقع رأساه \(B\) و\(D\) في المستويين \(P\) و\(Q\) على الترتيب.

← الحل