IMO 1959 · Problem 1
Prove that the fraction \(\frac{21n+4}{14n+3}\) is irreducible for every natural number \(n\).
Official text of the problem. Official problem paper (PDF)
Solution
Let \(n\) be any natural number, and let \(d\) be a positive common divisor of \(21n+4\) and \(14n+3\). Then \(d\) divides every integer linear combination of these two numbers. In particular, it divides \[ 3(14n+3)-2(21n+4) =42n+9-42n-8 =1. \] Hence \(d=1\), so the numerator and denominator are coprime. Therefore the fraction is irreducible for every natural number \(n\). This argument also includes \(n=0\) if zero is counted as a natural number.
The solution was checked against John Scholes' IMO solution archive (Kalva).
IMO 1959 · Aufgabe 1
Beweise, dass der Bruch \(\frac{21n+4}{14n+3}\) für jede natürliche Zahl \(n\) vollständig gekürzt ist.
Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt. Offizielles Aufgabenblatt (PDF)
Lösung
Sei \(n\) eine beliebige natürliche Zahl, und sei \(d\) ein positiver gemeinsamer Teiler von \(21n+4\) und \(14n+3\). Dann teilt \(d\) jede ganzzahlige Linearkombination dieser beiden Zahlen. Insbesondere teilt er \[ 3(14n+3)-2(21n+4) =42n+9-42n-8 =1. \] Also ist \(d=1\), sodass Zähler und Nenner teilerfremd sind. Somit ist der Bruch für jede natürliche Zahl \(n\) vollständig gekürzt. Dieses Argument schließt auch \(n=0\) ein, falls die Null zu den natürlichen Zahlen gezählt wird.
Die Lösung wurde mit dem IMO-Lösungsarchiv von John Scholes (Kalva) abgeglichen.
IMO 1959 · Soru 1
Her \(n\) doğal sayısı için \(\frac{21n+4}{14n+3}\) kesrinin sadeleşmez olduğunu kanıtlayınız.
Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir. Resmi soru kâğıdı (PDF)
Çözüm
\(n\) herhangi bir doğal sayı ve \(d\), \(21n+4\) ile \(14n+3\) sayılarının pozitif bir ortak böleni olsun. O hâlde \(d\), bu iki sayının her tam sayı katsayılı doğrusal birleşimini böler. Özellikle, \[ 3(14n+3)-2(21n+4) =42n+9-42n-8 =1 \] ifadesini böler. Dolayısıyla \(d=1\) olur; yani pay ile payda aralarında asaldır. Böylece kesir her \(n\) doğal sayısı için sadeleşmezdir. Sıfır doğal sayı kabul edilirse bu kanıt \(n=0\) durumunu da kapsar.
Çözüm, John Scholes'un IMO çözüm arşiviyle (Kalva) karşılaştırılarak kontrol edildi.
IMO 1959 · Problema 1
Demuestre que la fracción \(\frac{21n+4}{14n+3}\) es irreducible para todo número natural \(n\).
Enunciado traducido del texto oficial en inglés. Enunciado oficial (PDF)
Solución
Sea \(n\) un número natural cualquiera y sea \(d\) un divisor común positivo de \(21n+4\) y \(14n+3\). Entonces \(d\) divide toda combinación lineal entera de estos dos números. En particular, divide a \[ 3(14n+3)-2(21n+4) =42n+9-42n-8 =1. \] Por tanto, \(d=1\), de modo que el numerador y el denominador son primos entre sí. En consecuencia, la fracción es irreducible para todo número natural \(n\). Este razonamiento también incluye \(n=0\) si se considera que el cero es un número natural.
La solución se comprobó con el archivo de soluciones de la IMO de John Scholes (Kalva).
IMO 1959 · 问题 1
证明：对每个自然数 \(n\)，分数 \(\frac{21n+4}{14n+3}\) 都是最简分数。
题目译自官方英文原文。 官方试卷 (PDF)
解答
设 \(n\) 为任意自然数，\(d\) 为 \(21n+4\) 与 \(14n+3\) 的一个正公因数。那么 \(d\) 整除这两个数的任意整数线性组合。特别地，它整除 \[ 3(14n+3)-2(21n+4) =42n+9-42n-8 =1. \] 因此 \(d=1\)，所以分子与分母互质。故对每个自然数 \(n\)，该分数都是最简分数。如果将零也算作自然数，上述论证同样包括 \(n=0\) 的情形。
解答已与 John Scholes 的 IMO 解答档案（Kalva）核对。
IMO 1959 · Задача 1
Докажите, что дробь \(\frac{21n+4}{14n+3}\) несократима при любом натуральном числе \(n\).
Условие переведено с официального английского текста. Официальный текст задач (PDF)
Решение
Пусть \(n\) — произвольное натуральное число, а \(d\) — положительный общий делитель чисел \(21n+4\) и \(14n+3\). Тогда \(d\) делит любую целочисленную линейную комбинацию этих двух чисел. В частности, он делит \[ 3(14n+3)-2(21n+4) =42n+9-42n-8 =1. \] Следовательно, \(d=1\), поэтому числитель и знаменатель взаимно просты. Таким образом, дробь несократима при любом натуральном числе \(n\). Это рассуждение охватывает и случай \(n=0\), если нуль считается натуральным числом.
Решение проверено по архиву решений IMO Джона Скоулза (Kalva).
IMO 1959 · المسألة 1
أثبت أن الكسر \(\frac{21n+4}{14n+3}\) غير قابل للاختزال لكل عدد طبيعي \(n\).
نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي. ورقة المسائل الرسمية (PDF)
الحل
ليكن \(n\) عددًا طبيعيًا كيفما كان، وليكن \(d\) قاسمًا مشتركًا موجبًا للعددين \(21n+4\) و\(14n+3\). عندئذ يقسم \(d\) كل تركيب خطي لهذين العددين بمعاملات صحيحة. وعلى وجه الخصوص، فإنه يقسم \[ 3(14n+3)-2(21n+4) =42n+9-42n-8 =1. \] ومن ثم \(d=1\)، أي إن البسط والمقام أوليان فيما بينهما. وبالتالي فإن الكسر غير قابل للاختزال لكل عدد طبيعي \(n\). ويشمل هذا البرهان أيضًا الحالة \(n=0\) إذا عُدَّ الصفر عددًا طبيعيًا.
تمت مراجعة الحل بمقارنته بأرشيف حلول IMO لجون سكولز (Kalva).