IMO 1962 · Problem 4
Solve the equation \(\cos^2 x+\cos^2 2x+\cos^2 3x=1\).
Official text of the problem. Official problem paper (PDF)
Answer
\[ \boxed{x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2} \quad\text{or}\quad x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}, \qquad k\in\mathbb Z.} \]
Solution
Using the double-angle and sum-to-product identities, \[ \cos^2 x+\cos^2 3x =1+\frac{\cos 2x+\cos 6x}{2} =1+\cos 4x\cos 2x. \] Thus the given equation is equivalent to \[ \cos 2x(\cos 4x+\cos 2x)=0, \] or \[ 2\cos x\cos 2x\cos 3x=0. \]
If \(\cos x=0\), then \(x=\pi/2+n\pi\) for some integer \(n\), which also gives \(\cos 3x=0\). Therefore the equation is equivalent to \[ \cos 2x=0\quad\text{or}\quad\cos 3x=0. \] These conditions yield, respectively, \[ x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2} \quad\text{or}\quad x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}, \qquad k\in\mathbb Z. \] All transformations were equivalences, so every listed value satisfies the original equation and there are no other solutions.
The solution was checked against John Scholes' IMO solution archive (Kalva).
IMO 1962 · Aufgabe 4
Löse die Gleichung \(\cos^2 x+\cos^2 2x+\cos^2 3x=1\).
Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt. Offizielles Aufgabenblatt (PDF)
Antwort
\[ \boxed{x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2} \quad\text{oder}\quad x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}, \qquad k\in\mathbb Z.} \]
Lösung
Mit den Doppelwinkelformeln und den Formeln zur Umwandlung einer Summe in ein Produkt erhalten wir \[ \cos^2 x+\cos^2 3x =1+\frac{\cos 2x+\cos 6x}{2} =1+\cos 4x\cos 2x. \] Somit ist die gegebene Gleichung äquivalent zu \[ \cos 2x(\cos 4x+\cos 2x)=0, \] oder \[ 2\cos x\cos 2x\cos 3x=0. \]
Ist \(\cos x=0\), so gilt \(x=\pi/2+n\pi\) für eine ganze Zahl \(n\), woraus auch \(\cos 3x=0\) folgt. Daher ist die Gleichung äquivalent zu \[ \cos 2x=0\quad\text{oder}\quad\cos 3x=0. \] Diese Bedingungen liefern der Reihe nach \[ x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2} \quad\text{oder}\quad x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}, \qquad k\in\mathbb Z. \] Alle Umformungen waren Äquivalenzumformungen, daher erfüllt jeder angegebene Wert die ursprüngliche Gleichung, und es gibt keine weiteren Lösungen.
Die Lösung wurde mit dem IMO-Lösungsarchiv von John Scholes (Kalva) abgeglichen.
IMO 1962 · Soru 4
\(\cos^2 x+\cos^2 2x+\cos^2 3x=1\) denklemini çözünüz.
Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir. Resmi soru kâğıdı (PDF)
Cevap
\[ \boxed{x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2} \quad\text{veya}\quad x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}, \qquad k\in\mathbb Z.} \]
Çözüm
İki kat açı ve toplamı çarpıma dönüştürme özdeşliklerini kullanarak \[ \cos^2 x+\cos^2 3x =1+\frac{\cos 2x+\cos 6x}{2} =1+\cos 4x\cos 2x \] elde ederiz. Böylece verilen denklem \[ \cos 2x(\cos 4x+\cos 2x)=0, \] ya da \[ 2\cos x\cos 2x\cos 3x=0 \] denklemine denktir.
\(\cos x=0\) ise bir \(n\) tam sayısı için \(x=\pi/2+n\pi\) olur ve bu da \(\cos 3x=0\) sonucunu verir. Dolayısıyla denklem \[ \cos 2x=0\quad\text{veya}\quad\cos 3x=0 \] koşuluna denktir. Bu koşullardan sırasıyla \[ x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2} \quad\text{veya}\quad x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}, \qquad k\in\mathbb Z \] elde edilir. Tüm dönüşümler eşdeğer olduğundan, listelenen her değer başlangıçtaki denklemi sağlar ve başka çözüm yoktur.
Çözüm, John Scholes'un IMO çözüm arşiviyle (Kalva) karşılaştırılarak kontrol edildi.
IMO 1962 · Problema 4
Resolver la ecuación \(\cos^2 x+\cos^2 2x+\cos^2 3x=1\).
Enunciado traducido del texto oficial en inglés. Enunciado oficial (PDF)
Respuesta
\[ \boxed{x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2} \quad\text{o}\quad x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}, \qquad k\in\mathbb Z.} \]
Solución
Usando las identidades del ángulo doble y de transformación de sumas en productos, \[ \cos^2 x+\cos^2 3x =1+\frac{\cos 2x+\cos 6x}{2} =1+\cos 4x\cos 2x. \] Así, la ecuación dada equivale a \[ \cos 2x(\cos 4x+\cos 2x)=0, \] o bien a \[ 2\cos x\cos 2x\cos 3x=0. \]
Si \(\cos x=0\), entonces \(x=\pi/2+n\pi\) para algún entero \(n\), lo que también implica \(\cos 3x=0\). Por tanto, la ecuación equivale a \[ \cos 2x=0\quad\text{o}\quad\cos 3x=0. \] Estas condiciones dan, respectivamente, \[ x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2} \quad\text{o}\quad x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}, \qquad k\in\mathbb Z. \] Todas las transformaciones fueron equivalencias, de modo que cada valor indicado satisface la ecuación original y no hay otras soluciones.
La solución se comprobó con el archivo de soluciones de la IMO de John Scholes (Kalva).
IMO 1962 · 问题 4
解方程 \(\cos^2 x+\cos^2 2x+\cos^2 3x=1\)。
题目译自官方英文原文。 官方试卷 (PDF)
答案
\[ \boxed{x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2} \quad\text{或}\quad x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}, \qquad k\in\mathbb Z.} \]
解答
利用倍角公式和和差化积公式， \[ \cos^2 x+\cos^2 3x =1+\frac{\cos 2x+\cos 6x}{2} =1+\cos 4x\cos 2x. \] 因此，原方程等价于 \[ \cos 2x(\cos 4x+\cos 2x)=0, \] 即 \[ 2\cos x\cos 2x\cos 3x=0. \]
若 \(\cos x=0\)，则对某个整数 \(n\)，有 \(x=\pi/2+n\pi\)，此时也有 \(\cos 3x=0\)。因此，原方程等价于 \[ \cos 2x=0\quad\text{或}\quad\cos 3x=0. \] 这两个条件分别给出 \[ x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2} \quad\text{或}\quad x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}, \qquad k\in\mathbb Z. \] 所有变形都是等价变形，因此所列的每个值都满足原方程，且没有其他解。
解答已与 John Scholes 的 IMO 解答档案（Kalva）核对。
IMO 1962 · Задача 4
Решите уравнение \(\cos^2 x+\cos^2 2x+\cos^2 3x=1\).
Условие переведено с официального английского текста. Официальный текст задач (PDF)
Ответ
\[ \boxed{x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2} \quad\text{или}\quad x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}, \qquad k\in\mathbb Z.} \]
Решение
Используя формулы двойного угла и преобразования суммы в произведение, получаем \[ \cos^2 x+\cos^2 3x =1+\frac{\cos 2x+\cos 6x}{2} =1+\cos 4x\cos 2x. \] Таким образом, данное уравнение равносильно уравнению \[ \cos 2x(\cos 4x+\cos 2x)=0, \] или \[ 2\cos x\cos 2x\cos 3x=0. \]
Если \(\cos x=0\), то \(x=\pi/2+n\pi\) для некоторого целого \(n\), откуда также следует \(\cos 3x=0\). Поэтому уравнение равносильно условию \[ \cos 2x=0\quad\text{или}\quad\cos 3x=0. \] Эти условия дают соответственно \[ x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2} \quad\text{или}\quad x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}, \qquad k\in\mathbb Z. \] Все преобразования были равносильными, поэтому каждое из перечисленных значений удовлетворяет исходному уравнению и других решений нет.
Решение проверено по архиву решений IMO Джона Скоулза (Kalva).
IMO 1962 · المسألة 4
حل المعادلة \(\cos^2 x+\cos^2 2x+\cos^2 3x=1\).
نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي. ورقة المسائل الرسمية (PDF)
الإجابة
\[ \boxed{x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2} \quad\text{أو}\quad x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}, \qquad k\in\mathbb Z.} \]
الحل
باستخدام متطابقات الزاوية المضاعفة وتحويل المجموع إلى جداء، \[ \cos^2 x+\cos^2 3x =1+\frac{\cos 2x+\cos 6x}{2} =1+\cos 4x\cos 2x. \] إذن المعادلة المعطاة تكافئ \[ \cos 2x(\cos 4x+\cos 2x)=0, \] أو \[ 2\cos x\cos 2x\cos 3x=0. \]
إذا كان \(\cos x=0\)، فإن \(x=\pi/2+n\pi\) لعدد صحيح \(n\)، وهذا يعطي أيضًا \(\cos 3x=0\). لذلك فإن المعادلة تكافئ \[ \cos 2x=0\quad\text{أو}\quad\cos 3x=0. \] يعطي هذان الشرطان، على الترتيب، \[ x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2} \quad\text{أو}\quad x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}, \qquad k\in\mathbb Z. \] كانت جميع التحويلات تكافئية، لذا فإن كل قيمة مذكورة تحقق المعادلة الأصلية، ولا توجد حلول أخرى.
تمت مراجعة الحل بمقارنته بأرشيف حلول IMO لجون سكولز (Kalva).