IMO 1963 · Problem 5
Prove that \(\cos \frac{\pi}{7}-\cos \frac{2\pi}{7}+\cos \frac{3\pi}{7}=\frac12\).
Official text of the problem. Official problem paper (PDF)
Solution
Put \(x=\pi/7\) and \[ S=\cos x-\cos 2x+\cos 3x. \] Using the identity \[ 2\sin u\cos v=\sin(u+v)+\sin(u-v), \] which follows from the sine addition formulas, we obtain \[ \begin{aligned} 2\sin x\,S &=\sin 2x-(\sin 3x-\sin x)+(\sin 4x-\sin 2x)\\ &=\sin x+\sin 4x-\sin 3x. \end{aligned} \] Since \(7x=\pi\), we have \[ \sin 4x=\sin(\pi-3x)=\sin 3x. \] Thus \(2\sin x\,S=\sin x\). As \(0<x<\pi\), we have \(\sin x>0\), so division gives \(S=\frac12\), as required.
The solution was checked against John Scholes' IMO solution archive (Kalva).
IMO 1963 · Aufgabe 5
Beweise, dass \(\cos \frac{\pi}{7}-\cos \frac{2\pi}{7}+\cos \frac{3\pi}{7}=\frac12\).
Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt. Offizielles Aufgabenblatt (PDF)
Lösung
Setze \(x=\pi/7\) und \[ S=\cos x-\cos 2x+\cos 3x. \] Mit der Identität \[ 2\sin u\cos v=\sin(u+v)+\sin(u-v), \] die aus den Additionstheoremen für den Sinus folgt, erhalten wir \[ \begin{aligned} 2\sin x\,S &=\sin 2x-(\sin 3x-\sin x)+(\sin 4x-\sin 2x)\\ &=\sin x+\sin 4x-\sin 3x. \end{aligned} \] Wegen \(7x=\pi\) gilt \[ \sin 4x=\sin(\pi-3x)=\sin 3x. \] Somit ist \(2\sin x\,S=\sin x\). Wegen \(0<x<\pi\) gilt \(\sin x>0\), sodass Division \(S=\frac12\) ergibt, wie behauptet.
Die Lösung wurde mit dem IMO-Lösungsarchiv von John Scholes (Kalva) abgeglichen.
IMO 1963 · Soru 5
\(\cos \frac{\pi}{7}-\cos \frac{2\pi}{7}+\cos \frac{3\pi}{7}=\frac12\) olduğunu kanıtlayınız.
Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir. Resmi soru kâğıdı (PDF)
Çözüm
\(x=\pi/7\) ve \[ S=\cos x-\cos 2x+\cos 3x \] alalım. Sinüsün toplama formüllerinden elde edilen \[ 2\sin u\cos v=\sin(u+v)+\sin(u-v) \] özdeşliğini kullanarak \[ \begin{aligned} 2\sin x\,S &=\sin 2x-(\sin 3x-\sin x)+(\sin 4x-\sin 2x)\\ &=\sin x+\sin 4x-\sin 3x \end{aligned} \] elde ederiz. \(7x=\pi\) olduğundan \[ \sin 4x=\sin(\pi-3x)=\sin 3x \] olur. Böylece \(2\sin x\,S=\sin x\) elde edilir. \(0<x<\pi\) olduğundan \(\sin x>0\) olur; dolayısıyla bölme yaparak, istendiği gibi \(S=\frac12\) buluruz.
Çözüm, John Scholes'un IMO çözüm arşiviyle (Kalva) karşılaştırılarak kontrol edildi.
IMO 1963 · Problema 5
Demostrar que \(\cos \frac{\pi}{7}-\cos \frac{2\pi}{7}+\cos \frac{3\pi}{7}=\frac12\).
Enunciado traducido del texto oficial en inglés. Enunciado oficial (PDF)
Solución
Sea \(x=\pi/7\) y sea \[ S=\cos x-\cos 2x+\cos 3x. \] Usando la identidad \[ 2\sin u\cos v=\sin(u+v)+\sin(u-v), \] que se deduce de las fórmulas de adición del seno, obtenemos \[ \begin{aligned} 2\sin x\,S &=\sin 2x-(\sin 3x-\sin x)+(\sin 4x-\sin 2x)\\ &=\sin x+\sin 4x-\sin 3x. \end{aligned} \] Como \(7x=\pi\), tenemos \[ \sin 4x=\sin(\pi-3x)=\sin 3x. \] Por tanto, \(2\sin x\,S=\sin x\). Como \(0<x<\pi\), tenemos \(\sin x>0\), por lo que, al dividir, resulta \(S=\frac12\), como se quería demostrar.
La solución se comprobó con el archivo de soluciones de la IMO de John Scholes (Kalva).
IMO 1963 · 问题 5
证明 \(\cos \frac{\pi}{7}-\cos \frac{2\pi}{7}+\cos \frac{3\pi}{7}=\frac12\)。
题目译自官方英文原文。 官方试卷 (PDF)
解答
令 \(x=\pi/7\)，并令 \[ S=\cos x-\cos 2x+\cos 3x. \] 利用由正弦加法公式推出的恒等式 \[ 2\sin u\cos v=\sin(u+v)+\sin(u-v), \] 可得 \[ \begin{aligned} 2\sin x\,S &=\sin 2x-(\sin 3x-\sin x)+(\sin 4x-\sin 2x)\\ &=\sin x+\sin 4x-\sin 3x. \end{aligned} \] 由于 \(7x=\pi\)，有 \[ \sin 4x=\sin(\pi-3x)=\sin 3x. \] 因此 \(2\sin x\,S=\sin x\)。由 \(0<x<\pi\) 知 \(\sin x>0\)，故两边相除得 \(S=\frac12\)，得证。
解答已与 John Scholes 的 IMO 解答档案（Kalva）核对。
IMO 1963 · Задача 5
Докажите, что \(\cos \frac{\pi}{7}-\cos \frac{2\pi}{7}+\cos \frac{3\pi}{7}=\frac12\).
Условие переведено с официального английского текста. Официальный текст задач (PDF)
Решение
Положим \(x=\pi/7\) и \[ S=\cos x-\cos 2x+\cos 3x. \] Используя тождество \[ 2\sin u\cos v=\sin(u+v)+\sin(u-v), \] которое следует из формул синуса суммы и разности, получаем \[ \begin{aligned} 2\sin x\,S &=\sin 2x-(\sin 3x-\sin x)+(\sin 4x-\sin 2x)\\ &=\sin x+\sin 4x-\sin 3x. \end{aligned} \] Поскольку \(7x=\pi\), имеем \[ \sin 4x=\sin(\pi-3x)=\sin 3x. \] Таким образом, \(2\sin x\,S=\sin x\). Так как \(0<x<\pi\), имеем \(\sin x>0\), поэтому после деления получаем \(S=\frac12\), что и требовалось доказать.
Решение проверено по архиву решений IMO Джона Скоулза (Kalva).
IMO 1963 · المسألة 5
أثبت أن \(\cos \frac{\pi}{7}-\cos \frac{2\pi}{7}+\cos \frac{3\pi}{7}=\frac12\).
نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي. ورقة المسائل الرسمية (PDF)
الحل
ضع \(x=\pi/7\) و \[ S=\cos x-\cos 2x+\cos 3x. \] باستخدام المتطابقة \[ 2\sin u\cos v=\sin(u+v)+\sin(u-v), \] التي تنتج من صيغ جمع الجيب، نحصل على \[ \begin{aligned} 2\sin x\,S &=\sin 2x-(\sin 3x-\sin x)+(\sin 4x-\sin 2x)\\ &=\sin x+\sin 4x-\sin 3x. \end{aligned} \] بما أن \(7x=\pi\)، فإن \[ \sin 4x=\sin(\pi-3x)=\sin 3x. \] إذن \(2\sin x\,S=\sin x\). وبما أن \(0<x<\pi\)، فإن \(\sin x>0\)، ولذلك نحصل بالقسمة على \(S=\frac12\)، وهو المطلوب.
تمت مراجعة الحل بمقارنته بأرشيف حلول IMO لجون سكولز (Kalva).