IMO 1964
6 problems with complete solutions · Official problem paper (PDF)
Problem 1
(a) Find all positive integers \(n\) for which \(2^n - 1\) is divisible by 7.
(b) Prove that there is no positive integer \(n\) for which \(2^n + 1\) is divisible by 7.
Problem 2
Suppose \(a, b, c\) are the sides of a triangle. Prove that \[ a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\leq 3abc. \]
Problem 3
A circle is inscribed in triangle \(ABC\) with sides \(a, b, c\). Tangents to the circle parallel to the sides of the triangle are constructed. Each of these tangents cuts off a triangle from \(\Delta ABC\). In each of these triangles, a circle is inscribed. Find the sum of the areas of all four inscribed circles (in terms of \(a, b, c\)).
Problem 4
Seventeen people correspond by mail with one another - each one with all the rest. In their letters only three different topics are discussed. Each pair of correspondents deals with only one of these topics. Prove that there are at least three people who write to each other about the same topic.
Problem 5
Suppose five points in a plane are situated so that no two of the straight lines joining them are parallel, perpendicular, or coincident. From each point perpendiculars are drawn to all the lines joining the other four points. Determine the maximum number of intersections that these perpendiculars can have.
Problem 6
In tetrahedron \(ABCD\), vertex \(D\) is connected with \(D_0\) the centroid of \(\Delta ABC\). Lines parallel to \(DD_0\) are drawn through \(A, B\) and \(C\). These lines intersect the planes \(BCD, CAD\) and \(ABD\) in points \(A_1, B_1\) and \(C_1\), respectively. Prove that the volume of \(ABCD\) is one third the volume of \(A_1B_1C_1D_0\). Is the result true if point \(D_0\) is selected anywhere within \(\Delta ABC\)?
IMO 1964
6 Aufgaben mit vollständigen Lösungen · Offizielles Aufgabenblatt (PDF)
Aufgabe 1
(a) Bestimme alle positiven ganzen Zahlen \(n\), für die \(2^n - 1\) durch 7 teilbar ist.
(b) Beweise, dass es keine positive ganze Zahl \(n\) gibt, für die \(2^n + 1\) durch 7 teilbar ist.
Aufgabe 2
Es seien \(a, b, c\) die Seitenlängen eines Dreiecks. Beweise, dass \[ a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\leq 3abc. \]
Aufgabe 3
In ein Dreieck \(ABC\) mit den Seitenlängen \(a, b, c\) ist ein Kreis einbeschrieben. Es werden Tangenten an den Kreis konstruiert, die parallel zu den Seiten des Dreiecks sind. Jede dieser Tangenten schneidet von \(\Delta ABC\) ein Dreieck ab. In jedes dieser Dreiecke wird ein Kreis einbeschrieben. Bestimme die Summe der Flächeninhalte aller vier einbeschriebenen Kreise (in Abhängigkeit von \(a, b, c\)).
Aufgabe 4
Siebzehn Personen stehen miteinander im Briefwechsel – jede mit allen anderen. In ihren Briefen werden nur drei verschiedene Themen besprochen. Jedes Paar von Briefpartnern behandelt nur eines dieser Themen. Beweise, dass es mindestens drei Personen gibt, die einander über dasselbe Thema schreiben.
Aufgabe 5
Fünf Punkte in einer Ebene seien so gelegen, dass keine zwei ihrer Verbindungsgeraden parallel, senkrecht zueinander oder identisch sind. Von jedem Punkt werden die Lote auf alle Verbindungsgeraden der anderen vier Punkte gefällt. Bestimme die größtmögliche Anzahl von Schnittpunkten dieser Lotgeraden.
Aufgabe 6
Im Tetraeder \(ABCD\) wird der Eckpunkt \(D\) mit dem Schwerpunkt \(D_0\) von \(\Delta ABC\) verbunden. Durch \(A, B\) und \(C\) werden Geraden parallel zu \(DD_0\) gezogen. Diese Geraden schneiden die Ebenen \(BCD, CAD\) und \(ABD\) in den Punkten \(A_1, B_1\) bzw. \(C_1\). Beweise, dass das Volumen von \(ABCD\) ein Drittel des Volumens von \(A_1B_1C_1D_0\) beträgt. Gilt das Ergebnis auch, wenn der Punkt \(D_0\) beliebig innerhalb von \(\Delta ABC\) gewählt wird?
IMO 1964
6 soru, tam çözümleriyle · Resmi soru kâğıdı (PDF)
Soru 1
(a) \(2^n - 1\) sayısının 7 ile bölünebildiği tüm pozitif \(n\) tam sayılarını bulunuz.
(b) \(2^n + 1\) sayısının 7 ile bölünebildiği hiçbir pozitif \(n\) tam sayısının bulunmadığını kanıtlayınız.
Soru 2
\(a, b, c\) bir üçgenin kenar uzunlukları olsun. Aşağıdaki eşitsizliği kanıtlayınız: \[ a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\leq 3abc. \]
Soru 3
Kenar uzunlukları \(a, b, c\) olan \(ABC\) üçgeninin iç teğet çemberi çiziliyor. Bu çembere üçgenin kenarlarına paralel teğetler çiziliyor. Bu teğetlerin her biri \(\Delta ABC\)'den bir üçgen ayırıyor. Bu üçgenlerin her birinin iç teğet çemberi çiziliyor. Dört iç teğet çemberin alanları toplamını (\(a, b, c\) cinsinden) bulunuz.
Soru 4
On yedi kişinin her biri diğerlerinin tümüyle mektuplaşmaktadır. Mektuplarında yalnızca üç farklı konu ele alınmaktadır. Mektuplaşan her kişi çifti bu konulardan yalnızca biri hakkında yazışmaktadır. Birbirleriyle aynı konu hakkında yazışan en az üç kişi bulunduğunu kanıtlayınız.
Soru 5
Düzlemde beş nokta, bunları birleştiren doğrulardan hiçbir ikisi paralel, dik veya çakışık olmayacak şekilde yerleştirilmiştir. Her noktadan, diğer dört noktayı birleştiren doğruların tümüne dik doğrular çiziliyor. Bu dik doğruların oluşturabileceği kesişim noktalarının sayısının en büyük değerini belirleyiniz.
Soru 6
\(ABCD\) dörtyüzlüsünde \(D\) köşesi, \(\Delta ABC\)'nin ağırlık merkezi \(D_0\) ile birleştiriliyor. \(A, B\) ve \(C\) noktalarından \(DD_0\)'a paralel doğrular çiziliyor. Bu doğrular \(BCD, CAD\) ve \(ABD\) düzlemlerini sırasıyla \(A_1, B_1\) ve \(C_1\) noktalarında kesiyor. \(ABCD\)'nin hacminin \(A_1B_1C_1D_0\)'ın hacminin üçte biri olduğunu kanıtlayınız. \(D_0\) noktası \(\Delta ABC\)'nin içinde herhangi bir yerde seçilirse sonuç doğru olur mu?
IMO 1964
6 problemas con soluciones completas · Enunciado oficial (PDF)
Problema 1
(a) Hallar todos los enteros positivos \(n\) para los cuales \(2^n - 1\) es divisible por 7.
(b) Demostrar que no existe ningún entero positivo \(n\) para el cual \(2^n + 1\) sea divisible por 7.
Problema 2
Sean \(a, b, c\) los lados de un triángulo. Demostrar que \[ a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\leq 3abc. \]
Problema 3
En un triángulo \(ABC\) de lados \(a, b, c\) se inscribe una circunferencia. Se trazan tangentes a la circunferencia paralelas a los lados del triángulo. Cada una de estas tangentes determina un triángulo dentro de \(\Delta ABC\). En cada uno de estos triángulos se inscribe una circunferencia. Hallar la suma de las áreas de los cuatro círculos inscritos (en función de \(a, b, c\)).
Problema 4
Diecisiete personas mantienen correspondencia entre sí: cada una con todas las demás. En sus cartas solo se tratan tres temas diferentes. Cada pareja de corresponsales trata solo uno de estos temas. Demostrar que hay al menos tres personas que se escriben entre sí sobre el mismo tema.
Problema 5
Supongamos que cinco puntos del plano están situados de modo que no hay dos rectas que los unan que sean paralelas, perpendiculares o coincidentes. Desde cada punto se trazan perpendiculares a todas las rectas que unen los otros cuatro puntos. Determinar el número máximo de intersecciones que pueden tener estas perpendiculares.
Problema 6
En un tetraedro \(ABCD\), se une el vértice \(D\) con \(D_0\), el baricentro de \(\Delta ABC\). Por \(A, B\) y \(C\) se trazan rectas paralelas a \(DD_0\). Estas rectas cortan los planos \(BCD, CAD\) y \(ABD\) en los puntos \(A_1, B_1\) y \(C_1\), respectivamente. Demostrar que el volumen de \(ABCD\) es un tercio del volumen de \(A_1B_1C_1D_0\). ¿Sigue siendo cierto el resultado si el punto \(D_0\) se elige en cualquier lugar dentro de \(\Delta ABC\)?
IMO 1964
6 道题及完整解答 · 官方试卷 (PDF)
问题 1
(a) 求所有使得 \(2^n - 1\) 能被 7 整除的正整数 \(n\)。
(b) 证明：不存在使得 \(2^n + 1\) 能被 7 整除的正整数 \(n\)。
问题 2
设 \(a, b, c\) 为一个三角形的三边长。证明 \[ a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\leq 3abc. \]
问题 3
三角形 \(ABC\) 的三边长为 \(a, b, c\)，其中有一个内切圆。作此圆的切线，分别平行于三角形的各边。每条切线都从 \(\Delta ABC\) 中截出一个三角形。在每个截出的三角形内作内切圆。求这四个内切圆的面积之和（用 \(a, b, c\) 表示）。
问题 4
十七个人相互通信，每个人都与其余所有人通信。他们的信中只讨论三个不同的话题。每一对通信者只讨论其中一个话题。证明：至少有三个人，他们两两通信时讨论的都是同一个话题。
问题 5
平面上有五个点，连接这些点所得到的直线中，任意两条都不平行、不垂直且不重合。从每个点向连接其余四个点的所有直线作垂线。求这些垂线最多能有多少个交点。
问题 6
在四面体 \(ABCD\) 中，连接顶点 \(D\) 与 \(\Delta ABC\) 的重心 \(D_0\)。分别过 \(A, B\) 和 \(C\) 作平行于 \(DD_0\) 的直线。这些直线分别与平面 \(BCD, CAD\) 和 \(ABD\) 交于点 \(A_1, B_1\) 和 \(C_1\)。证明：\(ABCD\) 的体积是 \(A_1B_1C_1D_0\) 的体积的三分之一。如果点 \(D_0\) 选在 \(\Delta ABC\) 内的任意位置，这一结论是否仍然成立？
IMO 1964
6 задач с полными решениями · Официальный текст задач (PDF)
Задача 1
(a) Найдите все положительные целые числа \(n\), для которых \(2^n - 1\) делится на 7.
(b) Докажите, что не существует положительного целого числа \(n\), для которого \(2^n + 1\) делится на 7.
Задача 2
Пусть \(a, b, c\) — стороны треугольника. Докажите, что \[ a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\leq 3abc. \]
Задача 3
В треугольник \(ABC\) со сторонами \(a, b, c\) вписана окружность. К окружности проведены касательные, параллельные сторонам треугольника. Каждая из этих касательных отсекает от \(\Delta ABC\) треугольник. В каждый из этих треугольников вписана окружность. Найдите сумму площадей всех четырёх вписанных кругов (через \(a, b, c\)).
Задача 4
Семнадцать человек переписываются друг с другом — каждый со всеми остальными. В их письмах обсуждаются лишь три различные темы. Каждая пара переписывается только на одну из этих тем. Докажите, что найдутся по крайней мере три человека, которые переписываются друг с другом на одну и ту же тему.
Задача 5
Пять точек на плоскости расположены так, что никакие две из соединяющих их прямых не параллельны, не перпендикулярны и не совпадают. Из каждой точки проведены перпендикуляры ко всем прямым, соединяющим остальные четыре точки. Определите наибольшее число точек пересечения этих перпендикуляров.
Задача 6
В тетраэдре \(ABCD\) вершина \(D\) соединена с точкой \(D_0\) — центром тяжести \(\Delta ABC\). Через \(A, B\) и \(C\) проведены прямые, параллельные \(DD_0\). Эти прямые пересекают плоскости \(BCD, CAD\) и \(ABD\) в точках \(A_1, B_1\) и \(C_1\) соответственно. Докажите, что объём \(ABCD\) равен одной трети объёма \(A_1B_1C_1D_0\). Останется ли результат верным, если точку \(D_0\) выбрать произвольно внутри \(\Delta ABC\)?
IMO 1964
6 مسائل مع حلول كاملة · ورقة المسائل الرسمية (PDF)
المسألة 1
(a) أوجد جميع الأعداد الصحيحة الموجبة \(n\) التي يكون فيها \(2^n - 1\) قابلاً للقسمة على 7.
(b) أثبت أنه لا يوجد عدد صحيح موجب \(n\) يكون فيه \(2^n + 1\) قابلاً للقسمة على 7.
المسألة 2
لتكن \(a, b, c\) أطوال أضلاع مثلث. أثبت أن \[ a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\leq 3abc. \]
المسألة 3
رُسمت دائرة داخل المثلث \(ABC\) ذي أطوال الأضلاع \(a, b, c\)، بحيث تمس أضلاعه. أُنشئت مماسات للدائرة موازية لأضلاع المثلث. يقتطع كل مماس من هذه المماسات مثلثاً من \(\Delta ABC\). وفي كل مثلث من هذه المثلثات رُسمت دائرة داخلية مماسة لأضلاعه. أوجد مجموع مساحات الدوائر الداخلية الأربع (بدلالة \(a, b, c\)).
المسألة 4
يتراسل سبعة عشر شخصاً بالبريد، بحيث يراسل كل واحد منهم جميع الآخرين. ولا يناقشون في رسائلهم سوى ثلاثة موضوعات مختلفة. ويتناول كل زوج من المتراسلين موضوعاً واحداً فقط من هذه الموضوعات. أثبت أن هناك ثلاثة أشخاص على الأقل يتراسلون فيما بينهم حول الموضوع نفسه.
المسألة 5
لتكن خمس نقاط في مستوى موضوعة بحيث لا يكون أي مستقيمين من المستقيمات الواصلة بينها متوازيين أو متعامدين أو منطبقين. من كل نقطة تُرسم أعمدة على جميع المستقيمات الواصلة بين النقاط الأربع الأخرى. حدد أكبر عدد ممكن لنقاط تقاطع هذه الأعمدة.
المسألة 6
في رباعي الوجوه \(ABCD\)، وُصل الرأس \(D\) بالنقطة \(D_0\)، مركز ثقل \(\Delta ABC\). رُسمت مستقيمات موازية لـ \(DD_0\) تمر بالنقاط \(A, B\) و\(C\). تقطع هذه المستقيمات المستويات \(BCD, CAD\) و\(ABD\) في النقاط \(A_1, B_1\) و\(C_1\)، على الترتيب. أثبت أن حجم \(ABCD\) يساوي ثلث حجم \(A_1B_1C_1D_0\). هل تبقى النتيجة صحيحة إذا اختيرت النقطة \(D_0\) في أي موضع داخل \(\Delta ABC\)؟