IMO 1964 · Problem 2
Suppose \(a, b, c\) are the sides of a triangle. Prove that \[ a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\leq 3abc. \]
Official text of the problem. Official problem paper (PDF)
Solution
We prove the inequality for all nonnegative \(a,b,c\), which also covers degenerate triangles. By symmetry, we may assume \[ a\geq b\geq c\geq0. \] A direct expansion gives \[ \begin{aligned} &3abc-\bigl[a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\bigr]\\ &\qquad=a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)\\ &\qquad=(a-b)\bigl[a(a-c)-b(b-c)\bigr]+c(a-c)(b-c)\\ &\qquad=(a-b)^2(a+b-c)+c(a-c)(b-c). \end{aligned} \] Both terms in the last expression are nonnegative, because \[ a+b-c\geq a\geq0,\qquad a-c\geq0,\qquad b-c\geq0. \] Thus the required inequality follows.
For positive triangle sides, equality in the first term forces \(a=b\); equality in the second then forces \(a=c\). Hence equality holds exactly for an equilateral triangle.
The solution was checked against John Scholes' IMO solution archive (Kalva).
IMO 1964 · Aufgabe 2
Es seien \(a, b, c\) die Seitenlängen eines Dreiecks. Beweise, dass \[ a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\leq 3abc. \]
Aufgabentext aus dem offiziellen englischen Text übersetzt. Offizielles Aufgabenblatt (PDF)
Lösung
Wir beweisen die Ungleichung für alle nichtnegativen \(a,b,c\), womit auch entartete Dreiecke erfasst sind. Aus Symmetriegründen dürfen wir annehmen, dass \[ a\geq b\geq c\geq0. \] Direktes Ausmultiplizieren ergibt \[ \begin{aligned} &3abc-\bigl[a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\bigr]\\ &\qquad=a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)\\ &\qquad=(a-b)\bigl[a(a-c)-b(b-c)\bigr]+c(a-c)(b-c)\\ &\qquad=(a-b)^2(a+b-c)+c(a-c)(b-c). \end{aligned} \] Beide Summanden im letzten Ausdruck sind nichtnegativ, denn \[ a+b-c\geq a\geq0,\qquad a-c\geq0,\qquad b-c\geq0. \] Damit folgt die gewünschte Ungleichung.
Für positive Dreiecksseitenlängen erzwingt das Verschwinden des ersten Summanden \(a=b\); das Verschwinden des zweiten erzwingt dann \(a=c\). Gleichheit gilt also genau für ein gleichseitiges Dreieck.
Die Lösung wurde mit dem IMO-Lösungsarchiv von John Scholes (Kalva) abgeglichen.
IMO 1964 · Soru 2
\(a, b, c\) bir üçgenin kenar uzunlukları olsun. Aşağıdaki eşitsizliği kanıtlayınız: \[ a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\leq 3abc. \]
Soru metni resmi İngilizce metinden çevrilmiştir. Resmi soru kâğıdı (PDF)
Çözüm
Eşitsizliği, dejenere üçgenleri de kapsayacak biçimde, negatif olmayan tüm \(a,b,c\) için kanıtlayacağız. Simetriden dolayı \[ a\geq b\geq c\geq0 \] varsayabiliriz. Doğrudan açılım yapıldığında \[ \begin{aligned} &3abc-\bigl[a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\bigr]\\ &\qquad=a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)\\ &\qquad=(a-b)\bigl[a(a-c)-b(b-c)\bigr]+c(a-c)(b-c)\\ &\qquad=(a-b)^2(a+b-c)+c(a-c)(b-c). \end{aligned} \] Son ifadedeki her iki terim de negatif değildir, çünkü \[ a+b-c\geq a\geq0,\qquad a-c\geq0,\qquad b-c\geq0. \] Böylece istenen eşitsizlik elde edilir.
Pozitif üçgen kenar uzunlukları için birinci terimde eşitlik olması \(a=b\) olmasını gerektirir; bu durumda ikinci terimde eşitlik olması da \(a=c\) olmasını gerektirir. Dolayısıyla eşitlik ancak ve ancak üçgen eşkenar olduğunda sağlanır.
Çözüm, John Scholes'un IMO çözüm arşiviyle (Kalva) karşılaştırılarak kontrol edildi.
IMO 1964 · Problema 2
Sean \(a, b, c\) los lados de un triángulo. Demostrar que \[ a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\leq 3abc. \]
Enunciado traducido del texto oficial en inglés. Enunciado oficial (PDF)
Solución
Demostraremos la desigualdad para todos los valores no negativos de \(a,b,c\), lo que también abarca los triángulos degenerados. Por simetría, podemos suponer que \[ a\geq b\geq c\geq0. \] Desarrollando directamente, obtenemos \[ \begin{aligned} &3abc-\bigl[a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\bigr]\\ &\qquad=a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)\\ &\qquad=(a-b)\bigl[a(a-c)-b(b-c)\bigr]+c(a-c)(b-c)\\ &\qquad=(a-b)^2(a+b-c)+c(a-c)(b-c). \end{aligned} \] Ambos términos de la última expresión son no negativos, pues \[ a+b-c\geq a\geq0,\qquad a-c\geq0,\qquad b-c\geq0. \] De ello se deduce la desigualdad buscada.
Para lados positivos de un triángulo, la igualdad en el primer término obliga a que \(a=b\); la igualdad en el segundo obliga entonces a que \(a=c\). Por consiguiente, la igualdad se cumple si y solo si el triángulo es equilátero.
La solución se comprobó con el archivo de soluciones de la IMO de John Scholes (Kalva).
IMO 1964 · 问题 2
设 \(a, b, c\) 为一个三角形的三边长。证明 \[ a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\leq 3abc. \]
题目译自官方英文原文。 官方试卷 (PDF)
解答
我们对所有非负数 \(a,b,c\) 证明此不等式，这也涵盖了退化三角形的情形。由对称性，不妨设 \[ a\geq b\geq c\geq0. \] 直接展开可得 \[ \begin{aligned} &3abc-\bigl[a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\bigr]\\ &\qquad=a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)\\ &\qquad=(a-b)\bigl[a(a-c)-b(b-c)\bigr]+c(a-c)(b-c)\\ &\qquad=(a-b)^2(a+b-c)+c(a-c)(b-c). \end{aligned} \] 最后一个表达式中的两项都非负，因为 \[ a+b-c\geq a\geq0,\qquad a-c\geq0,\qquad b-c\geq0. \] 因此，所求不等式成立。
当三角形的三边长均为正数时，第一项等于零必有 \(a=b\)；此时第二项等于零又必有 \(a=c\)。因此，等号成立当且仅当该三角形为等边三角形。
解答已与 John Scholes 的 IMO 解答档案（Kalva）核对。
IMO 1964 · Задача 2
Пусть \(a, b, c\) — стороны треугольника. Докажите, что \[ a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\leq 3abc. \]
Условие переведено с официального английского текста. Официальный текст задач (PDF)
Решение
Докажем неравенство для всех неотрицательных \(a,b,c\), что охватывает и вырожденные треугольники. В силу симметрии можно считать, что \[ a\geq b\geq c\geq0. \] Непосредственно раскрывая скобки, получаем \[ \begin{aligned} &3abc-\bigl[a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\bigr]\\ &\qquad=a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)\\ &\qquad=(a-b)\bigl[a(a-c)-b(b-c)\bigr]+c(a-c)(b-c)\\ &\qquad=(a-b)^2(a+b-c)+c(a-c)(b-c). \end{aligned} \] Оба слагаемых в последнем выражении неотрицательны, поскольку \[ a+b-c\geq a\geq0,\qquad a-c\geq0,\qquad b-c\geq0. \] Отсюда следует требуемое неравенство.
Для положительных сторон треугольника равенство нулю первого слагаемого влечёт \(a=b\); тогда равенство нулю второго слагаемого влечёт \(a=c\). Следовательно, равенство достигается тогда и только тогда, когда треугольник равносторонний.
Решение проверено по архиву решений IMO Джона Скоулза (Kalva).
IMO 1964 · المسألة 2
لتكن \(a, b, c\) أطوال أضلاع مثلث. أثبت أن \[ a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\leq 3abc. \]
نص المسألة مترجم عن النص الإنجليزي الرسمي. ورقة المسائل الرسمية (PDF)
الحل
سنثبت المتباينة لجميع القيم غير السالبة لـ \(a,b,c\)، وبذلك تشمل المثلثات المنعدمة المساحة أيضاً. وبالتناظر، يمكننا أن نفترض أن \[ a\geq b\geq c\geq0. \] بالتوسيع المباشر نحصل على \[ \begin{aligned} &3abc-\bigl[a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\bigr]\\ &\qquad=a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)\\ &\qquad=(a-b)\bigl[a(a-c)-b(b-c)\bigr]+c(a-c)(b-c)\\ &\qquad=(a-b)^2(a+b-c)+c(a-c)(b-c). \end{aligned} \] كلا الحدين في التعبير الأخير غير سالب، لأن \[ a+b-c\geq a\geq0,\qquad a-c\geq0,\qquad b-c\geq0. \] ومن ثم تنتج المتباينة المطلوبة.
عندما تكون أطوال أضلاع المثلث موجبة، فإن انعدام الحد الأول يقتضي \(a=b\)؛ وعندئذ يقتضي انعدام الحد الثاني \(a=c\). إذن تتحقق المساواة إذا وفقط إذا كان المثلث متساوي الأضلاع.
تمت مراجعة الحل بمقارنته بأرشيف حلول IMO لجون سكولز (Kalva).