Problem 1

Determine all values \(x\) in the interval \(0 \leq x \leq 2\pi\) which satisfy the inequality \[ 2\cos x \leq \left|\sqrt{1+\sin 2x}-\sqrt{1-\sin 2x}\right| \leq \sqrt{2}. \]

Solution →

Problem 2

Consider the system of equations \[ \begin{aligned} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3&=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3&=0\\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3&=0 \end{aligned} \] with unknowns \(x_1,x_2,x_3\). The coefficients satisfy the conditions:

(a) \(a_{11},a_{22},a_{33}\) are positive numbers;
(b) the remaining coefficients are negative numbers;
(c) in each equation, the sum of the coefficients is positive.

Prove that the given system has only the solution \(x_1=x_2=x_3=0\).

Solution →

Problem 3

Given the tetrahedron \(ABCD\) whose edges \(AB\) and \(CD\) have lengths \(a\) and \(b\) respectively. The distance between the skew lines \(AB\) and \(CD\) is \(d\), and the angle between them is \(\omega\). Tetrahedron \(ABCD\) is divided into two solids by plane \(\varepsilon\), parallel to lines \(AB\) and \(CD\). The ratio of the distances of \(\varepsilon\) from \(AB\) and \(CD\) is equal to \(k\). Compute the ratio of the volumes of the two solids obtained.

Solution →

Problem 4

Find all sets of four real numbers \(x_1, x_2, x_3, x_4\) such that the sum of any one and the product of the other three is equal to 2.

Solution →

Problem 5

Consider \(\triangle OAB\) with acute angle \(AOB\). Through a point \(M\ne O\) perpendiculars are drawn to \(OA\) and \(OB\), the feet of which are \(P\) and \(Q\) respectively. The point of intersection of the altitudes of \(\triangle OPQ\) is \(H\). What is the locus of \(H\) if \(M\) is permitted to range over (a) the side \(AB\), (b) the interior of \(\triangle OAB\)?

Solution →

Problem 6

In a plane a set of \(n\) points (\(n \geq 3\)) is given. Each pair of points is connected by a segment. Let \(d\) be the length of the longest of these segments. We define a diameter of the set to be any connecting segment of length \(d\). Prove that the number of diameters of the given set is at most \(n\).

Solution →

Aufgabe 1

Bestimme alle Werte \(x\) im Intervall \(0 \leq x \leq 2\pi\), welche die Ungleichung \[ 2\cos x \leq \left|\sqrt{1+\sin 2x}-\sqrt{1-\sin 2x}\right| \leq \sqrt{2} \] erfüllen.

Lösung →

Aufgabe 2

Betrachte das Gleichungssystem \[ \begin{aligned} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3&=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3&=0\\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3&=0 \end{aligned} \] mit den Unbekannten \(x_1,x_2,x_3\). Die Koeffizienten erfüllen die folgenden Bedingungen:

(a) \(a_{11},a_{22},a_{33}\) sind positive Zahlen;
(b) die übrigen Koeffizienten sind negative Zahlen;
(c) in jeder Gleichung ist die Summe der Koeffizienten positiv.

Beweise, dass das gegebene System nur die Lösung \(x_1=x_2=x_3=0\) hat.

Lösung →

Aufgabe 3

Gegeben sei das Tetraeder \(ABCD\), dessen Kanten \(AB\) und \(CD\) die Längen \(a\) beziehungsweise \(b\) haben. Der Abstand zwischen den windschiefen Geraden \(AB\) und \(CD\) beträgt \(d\), und der Winkel zwischen ihnen ist \(\omega\). Das Tetraeder \(ABCD\) wird durch eine Ebene \(\varepsilon\), die zu den Geraden \(AB\) und \(CD\) parallel ist, in zwei Körper zerlegt. Das Verhältnis der Abstände von \(\varepsilon\) zu \(AB\) und \(CD\) ist gleich \(k\). Berechne das Verhältnis der Volumina der beiden entstehenden Körper.

Lösung →

Aufgabe 4

Bestimme alle Zusammenstellungen von vier reellen Zahlen \(x_1, x_2, x_3, x_4\), für die die Summe aus einer beliebigen dieser Zahlen und dem Produkt der übrigen drei gleich 2 ist.

Lösung →

Aufgabe 5

Betrachte \(\triangle OAB\) mit spitzem Winkel \(AOB\). Durch einen Punkt \(M\ne O\) werden die Lote auf \(OA\) und \(OB\) gefällt, deren Fußpunkte \(P\) beziehungsweise \(Q\) sind. Der Schnittpunkt der Höhen von \(\triangle OPQ\) sei \(H\). Welchen geometrischen Ort beschreibt \(H\), wenn \(M\) (a) die Seite \(AB\), (b) das Innere von \(\triangle OAB\) durchläuft?

Lösung →

Aufgabe 6

In einer Ebene ist eine Menge von \(n\) Punkten (\(n \geq 3\)) gegeben. Je zwei Punkte werden durch eine Strecke verbunden. Sei \(d\) die Länge der längsten dieser Strecken. Als Durchmesser der Menge bezeichnen wir jede Verbindungsstrecke der Länge \(d\). Beweise, dass die Anzahl der Durchmesser der gegebenen Menge höchstens \(n\) beträgt.

Lösung →

Soru 1

\(0 \leq x \leq 2\pi\) aralığında \[ 2\cos x \leq \left|\sqrt{1+\sin 2x}-\sqrt{1-\sin 2x}\right| \leq \sqrt{2} \] eşitsizliğini sağlayan tüm \(x\) değerlerini bulunuz.

Çözüm →

Soru 2

Bilinmeyenleri \(x_1,x_2,x_3\) olan \[ \begin{aligned} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3&=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3&=0\\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3&=0 \end{aligned} \] denklem sistemini ele alalım. Katsayılar şu koşulları sağlamaktadır:

(a) \(a_{11},a_{22},a_{33}\) pozitif sayılardır;
(b) diğer katsayılar negatif sayılardır;
(c) her denklemde katsayıların toplamı pozitiftir.

Verilen sistemin tek çözümünün \(x_1=x_2=x_3=0\) olduğunu kanıtlayınız.

Çözüm →

Soru 3

\(AB\) ve \(CD\) ayrıtlarının uzunlukları sırasıyla \(a\) ve \(b\) olan \(ABCD\) dörtyüzlüsü veriliyor. \(AB\) ve \(CD\) aykırı doğruları arasındaki uzaklık \(d\), aralarındaki açı ise \(\omega\)'dır. \(ABCD\) dörtyüzlüsü, \(AB\) ve \(CD\) doğrularına paralel bir \(\varepsilon\) düzlemiyle iki cisme ayrılıyor. \(\varepsilon\)'un \(AB\) ve \(CD\)'ye olan uzaklıklarının oranı \(k\)'ya eşittir. Elde edilen iki cismin hacimlerinin oranını hesaplayınız.

Çözüm →

Soru 4

Herhangi biri ile diğer üçünün çarpımının toplamı 2'ye eşit olan tüm \(x_1, x_2, x_3, x_4\) gerçek sayı dörtlülerini bulunuz.

Çözüm →

Soru 5

\(AOB\) açısı dar olan \(\triangle OAB\)'yi ele alalım. \(M\ne O\) noktasından \(OA\) ve \(OB\)'ye çizilen dikmelerin ayakları sırasıyla \(P\) ve \(Q\) olsun. \(\triangle OPQ\)'nun yüksekliklerinin kesişim noktası \(H\)'dir. \(M\) noktası (a) \(AB\) kenarı üzerinde, (b) \(\triangle OAB\)'nin iç bölgesinde değiştiğinde \(H\)'nin geometrik yeri nedir?

Çözüm →

Soru 6

Düzlemde \(n\) noktadan (\(n \geq 3\)) oluşan bir küme veriliyor. Her nokta çifti bir doğru parçasıyla birleştiriliyor. Bu doğru parçalarının en uzununun uzunluğu \(d\) olsun. Uzunluğu \(d\) olan her birleştirme doğru parçasına kümenin bir çapı diyelim. Verilen kümenin çaplarının sayısının en fazla \(n\) olduğunu kanıtlayınız.

Çözüm →

Problema 1

Determinar todos los valores de \(x\) en el intervalo \(0 \leq x \leq 2\pi\) que satisfacen la desigualdad \[ 2\cos x \leq \left|\sqrt{1+\sin 2x}-\sqrt{1-\sin 2x}\right| \leq \sqrt{2}. \]

Solución →

Problema 2

Consideremos el sistema de ecuaciones \[ \begin{aligned} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3&=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3&=0\\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3&=0 \end{aligned} \] con incógnitas \(x_1,x_2,x_3\). Los coeficientes satisfacen las condiciones siguientes:

(a) \(a_{11},a_{22},a_{33}\) son números positivos;
(b) los demás coeficientes son números negativos;
(c) en cada ecuación, la suma de los coeficientes es positiva.

Demostrar que el sistema dado tiene únicamente la solución \(x_1=x_2=x_3=0\).

Solución →

Problema 3

Se da un tetraedro \(ABCD\) cuyas aristas \(AB\) y \(CD\) tienen longitudes \(a\) y \(b\), respectivamente. La distancia entre las rectas alabeadas \(AB\) y \(CD\) es \(d\), y el ángulo que forman es \(\omega\). El tetraedro \(ABCD\) queda dividido en dos sólidos por un plano \(\varepsilon\), paralelo a las rectas \(AB\) y \(CD\). La razón entre las distancias de \(\varepsilon\) a \(AB\) y a \(CD\) es igual a \(k\). Calcular la razón entre los volúmenes de los dos sólidos obtenidos.

Solución →

Problema 4

Hallar todos los conjuntos de cuatro números reales \(x_1, x_2, x_3, x_4\) tales que la suma de cualquiera de ellos y el producto de los otros tres sea igual a 2.

Solución →

Problema 5

Consideremos \(\triangle OAB\) con el ángulo \(AOB\) agudo. Por un punto \(M\ne O\) se trazan perpendiculares a \(OA\) y a \(OB\), cuyos pies son \(P\) y \(Q\), respectivamente. El punto de intersección de las alturas de \(\triangle OPQ\) es \(H\). ¿Cuál es el lugar geométrico de \(H\) si \(M\) puede recorrer (a) el lado \(AB\), (b) el interior de \(\triangle OAB\)?

Solución →

Problema 6

En un plano se da un conjunto de \(n\) puntos (\(n \geq 3\)). Cada par de puntos se une mediante un segmento. Sea \(d\) la longitud del más largo de estos segmentos. Definimos un diámetro del conjunto como cualquier segmento de longitud \(d\) que una dos de sus puntos. Demostrar que el número de diámetros del conjunto dado es a lo sumo \(n\).

Solución →

问题 1

求区间 \(0 \leq x \leq 2\pi\) 内满足下列不等式的所有 \(x\) 的值： \[ 2\cos x \leq \left|\sqrt{1+\sin 2x}-\sqrt{1-\sin 2x}\right| \leq \sqrt{2}. \]

解答 →

问题 2

考虑方程组 \[ \begin{aligned} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3&=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3&=0\\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3&=0 \end{aligned} \] 其中未知数为 \(x_1,x_2,x_3\)。其系数满足以下条件：

(a) \(a_{11},a_{22},a_{33}\) 均为正数；
(b) 其余系数均为负数；
(c) 每个方程的系数之和均为正数。

证明：此方程组只有解 \(x_1=x_2=x_3=0\)。

解答 →

问题 3

给定四面体 \(ABCD\)，其棱 \(AB\) 和 \(CD\) 的长分别为 \(a\) 和 \(b\)。异面直线 \(AB\) 与 \(CD\) 之间的距离为 \(d\)，所成的角为 \(\omega\)。平面 \(\varepsilon\) 平行于直线 \(AB\) 和 \(CD\)，将四面体 \(ABCD\) 分成两个几何体。\(\varepsilon\) 到 \(AB\) 和 \(CD\) 的距离之比等于 \(k\)。求所得两个几何体的体积之比。

解答 →

问题 4

求所有满足下列条件的四个实数 \(x_1, x_2, x_3, x_4\)：其中任意一个数与其余三个数之积的和等于 2。

解答 →

问题 5

设 \(\triangle OAB\) 的角 \(AOB\) 为锐角。过点 \(M\ne O\) 分别向 \(OA\) 和 \(OB\) 作垂线，垂足分别为 \(P\) 和 \(Q\)。\(\triangle OPQ\) 的高的交点为 \(H\)。当 \(M\) 在 (a) 边 \(AB\) 上，(b) \(\triangle OAB\) 的内部运动时，\(H\) 的轨迹是什么？

解答 →

问题 6

在平面内给定一个由 \(n\) 个点（\(n \geq 3\)）组成的点集。将每一对点用线段连接。设 \(d\) 为这些线段中最长线段的长度。我们将其中任意一条长度为 \(d\) 的连线段称为该点集的一条直径。证明：给定点集的直径条数至多为 \(n\)。

解答 →

Задача 1

Найдите все значения \(x\) из промежутка \(0 \leq x \leq 2\pi\), удовлетворяющие неравенству \[ 2\cos x \leq \left|\sqrt{1+\sin 2x}-\sqrt{1-\sin 2x}\right| \leq \sqrt{2}. \]

Решение →

Задача 2

Рассмотрим систему уравнений \[ \begin{aligned} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3&=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3&=0\\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3&=0 \end{aligned} \] с неизвестными \(x_1,x_2,x_3\). Коэффициенты удовлетворяют следующим условиям:

(a) \(a_{11},a_{22},a_{33}\) — положительные числа;
(b) остальные коэффициенты — отрицательные числа;
(c) в каждом уравнении сумма коэффициентов положительна.

Докажите, что данная система имеет только решение \(x_1=x_2=x_3=0\).

Решение →

Задача 3

Дан тетраэдр \(ABCD\), рёбра \(AB\) и \(CD\) которого имеют длины \(a\) и \(b\) соответственно. Расстояние между скрещивающимися прямыми \(AB\) и \(CD\) равно \(d\), а угол между ними равен \(\omega\). Плоскость \(\varepsilon\), параллельная прямым \(AB\) и \(CD\), делит тетраэдр \(ABCD\) на два тела. Отношение расстояний от \(\varepsilon\) до \(AB\) и \(CD\) равно \(k\). Найдите отношение объёмов полученных тел.

Решение →

Задача 4

Найдите все наборы из четырёх действительных чисел \(x_1, x_2, x_3, x_4\), для которых сумма любого одного числа и произведения остальных трёх равна 2.

Решение →

Задача 5

Рассмотрим \(\triangle OAB\) с острым углом \(AOB\). Через точку \(M\ne O\) проведены перпендикуляры к \(OA\) и \(OB\), основания которых — \(P\) и \(Q\) соответственно. Точка пересечения высот \(\triangle OPQ\) обозначена через \(H\). Каково геометрическое место точек \(H\), если \(M\) пробегает (a) сторону \(AB\), (b) внутреннюю область \(\triangle OAB\)?

Решение →

Задача 6

На плоскости дано множество из \(n\) точек (\(n \geq 3\)). Каждая пара точек соединена отрезком. Пусть \(d\) — длина самого длинного из этих отрезков. Диаметром множества назовём любой соединяющий отрезок длины \(d\). Докажите, что число диаметров данного множества не превосходит \(n\).

Решение →

المسألة 1

أوجد جميع قيم \(x\) في الفترة \(0 \leq x \leq 2\pi\) التي تحقق المتباينة \[ 2\cos x \leq \left|\sqrt{1+\sin 2x}-\sqrt{1-\sin 2x}\right| \leq \sqrt{2}. \]

← الحل

المسألة 2

لتكن لدينا جملة المعادلات \[ \begin{aligned} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3&=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3&=0\\ a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3&=0 \end{aligned} \] ذات المجاهيل \(x_1,x_2,x_3\). تحقق المعاملات الشروط الآتية:

(أ) \(a_{11},a_{22},a_{33}\) أعداد موجبة؛
(ب) بقية المعاملات أعداد سالبة؛
(ج) مجموع المعاملات في كل معادلة موجب.

أثبت أن الحل الوحيد للجملة المعطاة هو \(x_1=x_2=x_3=0\).

← الحل

المسألة 3

ليكن \(ABCD\) رباعي وجوه طول حرفيه \(AB\) و\(CD\) هو \(a\) و\(b\) على الترتيب. المسافة بين المستقيمين المتخالفين \(AB\) و\(CD\) هي \(d\)، والزاوية بينهما هي \(\omega\). يُقسم رباعي الوجوه \(ABCD\) إلى مجسمين بالمستوى \(\varepsilon\)، الموازي للمستقيمين \(AB\) و\(CD\). نسبة بُعد \(\varepsilon\) عن \(AB\) إلى بُعده عن \(CD\) تساوي \(k\). احسب نسبة حجمي المجسمين الناتجين.

← الحل

المسألة 4

أوجد جميع مجموعات الأعداد الحقيقية الأربعة \(x_1, x_2, x_3, x_4\) التي يكون فيها مجموع أي عدد منها وحاصل ضرب الأعداد الثلاثة الأخرى مساويًا لـ 2.

← الحل

المسألة 5

ليكن لدينا المثلث \(\triangle OAB\) ذو الزاوية الحادة \(AOB\). نرسم من نقطة \(M\ne O\) عمودين على \(OA\) و\(OB\)، قدماهما \(P\) و\(Q\) على الترتيب. نرمز إلى نقطة تقاطع ارتفاعات \(\triangle OPQ\) بالرمز \(H\). ما المحل الهندسي للنقطة \(H\) إذا سُمح للنقطة \(M\) بأن تتحرك على (أ) الضلع \(AB\)، (ب) داخل \(\triangle OAB\)؟

← الحل

المسألة 6

أُعطيت في مستوى مجموعة من \(n\) نقطة (\(n \geq 3\)). نصل كل زوج من النقاط بقطعة مستقيمة. ليكن \(d\) طول أطول هذه القطع المستقيمة. نعرّف قطرًا للمجموعة بأنه أي قطعة مستقيمة واصلة طولها \(d\). أثبت أن عدد أقطار المجموعة المعطاة لا يتجاوز \(n\).

← الحل